Resumen Calculo III (2015-1)

Juyoung Wang

A) Derivadas parciales

a-0) Algebra lineal:

Sea A una matriz cuadrada de n dimensiones:

- Multiplicacion de las matrices: Sea C = A ⋅ B con las minusculas respectivas son sus

elementos respectivos, se calcula los elementos de la matriz C de la siguiente forma.

𝑐𝑖,𝑗 = ∑ 𝑎𝑖,𝑘𝑏𝑘,𝑗

𝑛

𝑘=1

Tip:

Se multiplica fila de A con la columna de B. Si A es una matriz de 𝑚 × 𝑛 y B de

𝑛 × 𝑙, mediante esta operacion, obtendremos una matriz de de 𝑚 × 𝑙.

Deben coincidir las cantidades de las columnas de la primera matriz con la

cantidades de las filas de la segunda matriz.

Por esta razon, AB ≠ BA en general y si AB = BA ⇒ (A = I ∧ B = I) ∨ (B = A−1)

- Matriz de identidad: Es una matriz cuadrada de n dimensines con sus diagonales 1 y

los restos igual a 0.

- Matriz inversa: Sea A una matriz, llamaremos a una matriz B como la inversa de A si

y solo si AB = I con B ≠ I y lo denotaremos con A−1.

- Determinante: Sea A una matriz cuadrada, definiremos su determinante como:

det(𝐴) = ∑(−1)𝑖+𝑗

𝑛

𝑗=1

𝑎𝑖,𝑗𝑀𝑖,𝑗 = ∑ 𝑠𝑔𝑛(ℴ)

ℴ⊂𝑆𝑛

∏ 𝑎𝑖,ℴ𝑖

𝑛

𝑖=1

= det(𝐴𝑇)

a-1) Funcion de varias variables:

Funcion de n variables:

Sea A el dominio de la funcion 𝑓, lo llamaremos como una funcion de n variables, si

(𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛) ∈ 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 con 𝑛 > 1. Se denota mediante la siguiente notacion:

𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 ⟶ ℝ

Grafica de 𝑓:

Sea 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 ⟶ ℝ, definiremos la grafica de 𝑓 como el subconjunto de ℝ𝑛+1 y

se denota como:

𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑓 = *(𝑥1, ⋯ , 𝑥𝑛 , 𝑓(𝑥1, ⋯ , 𝑥𝑛)) ∈ ℝ𝑛+1 | (𝑥1, ⋯ , 𝑥𝑛) ∈ ℝ𝑛+

Conjunto de nivel:

Sea 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 ⟶ ℝ y sea c ∈ ℝ, entonces el conjunto de nivel del valor c se

define como aquellos puntos 𝑥 ∈ 𝑈 para los cuales 𝑓(𝑥) = 𝑐.

*𝑥 ∈ 𝑈|𝑓(𝑥) = 𝑐+ ⊂ ℝ𝑛

Curvas del nivel: Es un caso particular. Es para 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 ⟶ ℝ con 𝑛 = 2.

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘 con 𝑘 = 𝑐𝑡𝑒

Superficie de nivel: Es un conjunto de nivel para 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 ⟶ ℝ con 𝑛 = 3.

Tecnica para graficar una funcion de dos variables:

1) Dibujar las curvas de nivel.

2) Dibujar la interseccion entre la 𝑓 y el plano xy y el otro entre el plano xz.

3) Elevar las curvas dibujadas en el plano xy.

a-2) Limites y continuidad:

Conjunto abierto:

Sea 𝑈 ⊂ ℝ𝑛, decimos que 𝑈 es un conjunto abierto, cuando:

∀𝑥𝑜 ∈ 𝑈, ∂𝑟 > 0 | 𝐷𝑟(𝑥𝑜) ⊂ 𝑈

donde: 𝑫𝒓(𝒙𝒐): Es el Interior de un disco de radio 𝑟 con su centro en 𝑥𝑜 . Se

define como el conjunto de todos los puntos 𝑥 tales que

‖𝑥 − 𝑥𝑜‖ < 𝑟.

Es decir, un conjunto esta abierto los borde del conjunto U no pertencen a U.

Tip: Por convencion, decimos que un conjunto vacio (∅) es un conjunto abierto.

Teorema:

Para cada 𝑥𝑜 ∈ ℝ𝑛 y 𝑟 > 0, 𝐷𝑟(𝑥𝑜) es un conjunto abierto.

Punto frontera:

Sea A ⊂ ℝ𝑛, un punto x ∈ ℝ𝑛 es punto frontera de A, si toda vecindad de 𝑥 contiene

al menos un punto en A y al menos un punto fuera de A.

Un punto frontera de A es un punto justo en el borde de A por las siguientes

razones:

i) Por la definicion del conjunto abierto, ningun punto del conjunto abierto

A puede ser el punto frontera de A.

ii) Es decir, un punto x puede ser un punto frontera del conjunto A si y solo

si esta fuera del conjunto y que toda vecindad de x tenga interseccion

no vacia con A.

Limite:

Sea 𝑓: 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑚 , donde A es conjunto abierto, sea 𝑥𝑜 un punto en A o en la

frontera de A, y sea 𝑉 una vecindad de 𝑏 ∈ ℝ𝑚, decimos que 𝑓 esta eventualemente

en 𝑉 conforme 𝑥 tiende a 𝑥𝑜 , si existe una vecindad 𝑈 de 𝑥𝑜 tal que 𝑥 ≠ 𝑥𝑜 , 𝑥 ∈ U

y entonces 𝑥 ∈ A implica 𝑓(𝑥) ∈ V.

En los simbolos, decimos que 𝑓(𝑥) tiende a 𝑏.

lim𝑥→𝑥𝑜

𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑜 𝑓(𝑥) → 𝑏, cuando 𝑥 → 𝑥𝑜

En una terminologia simple, decimos que 𝑓(𝑥) esta cercca de 𝑏, si 𝑥 tiende a 𝑥𝑜 .

Si 𝑥 → 𝑥𝑜 no implica 𝑓(𝑥) → 𝑏, con 𝑏 un numero particular, entonces decimos

que el limite no existe.

Teorema: Unicidad de los limites.

Si lim𝑥→𝑥𝑜

𝑓(𝑥) = 𝑏1 y lim𝑥→𝑥𝑜

𝑓(𝑥) = 𝑏2 ⇒ 𝑏1 = 𝑏2

Teorema: Sean 𝑓: 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑚 , 𝑔: 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑚, xo un elemento de A o un

punto frontera de A, 𝑏 ∈ ℝ𝑚 y 𝑐 ∈ ℝ, entonces:

i) Si lim𝑥→𝑥𝑜𝑓(𝑥) = 𝑏 , entonces lim𝑥→𝑥𝑜

𝑐𝑓(𝑥) = 𝑐𝑏 , donde 𝑐𝑓: 𝐴 → ℝ𝑚 esta

defina por 𝑥 → 𝑐(𝑓(𝑥)).

ii) Si lim𝑥→𝑥𝑜𝑓(𝑥) = 𝑏1 y lim𝑥→𝑥𝑜

𝑔(𝑥) = 𝑏2 , entonces lim𝑥→𝑥𝑜(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑏1 +

𝑏2 , donde (𝑓 + 𝑔): A → ℝ𝑚 esta definida por 𝑥 → 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥).

iii) Si 𝑚 = 1, lim𝑥→𝑥𝑜𝑓(𝑥) = 𝑏1 y lim𝑥→𝑥𝑜

𝑔(𝑥) = 𝑏2, entonces

lim𝑥→𝑥𝑜(𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑏1𝑏2, donde (𝑓𝑔): 𝐴 → ℝ esta defina por 𝑥 → 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥).

iv) Si 𝑚 = 1, lim𝑥→𝑥𝑜𝑓(𝑥) = b ≠ 0 y 𝑓(𝑥) ≠ 0 ∀x ∈ 𝐴, entonces

lim𝑥→𝑥𝑜

1

𝑓(𝑥)=

1

𝑏, donde

1

𝑓: 𝐴 → ℝ esta defina por 𝑥 →

1

𝑓(𝑥).

v) Si 𝑓(𝑥) = (𝑓1(𝑥), ⋯ , 𝑓𝑚(𝑥)) donde 𝑓𝑖: 𝐴 → ℝ , 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑚 , son las funciones

componentes de 𝑓, entonces lim𝑥→𝑥𝑜𝑓(𝑥) = 𝑏, si y solo si lim𝑥→𝑥𝑜

𝑓𝑖(𝑥) = bi

para cada 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑚.

Teorema: Sean 𝑔: 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑚 , 𝑓: 𝐵 ⊂ ℝ𝑚 → ℝ𝑝, suponer que 𝑔(𝐴) ⊂ 𝐵 , de

manera que 𝑓 𝑜 𝑔 = (𝑓(𝑔)) esta definida en A. Si 𝑔 es continua en 𝑥𝑜 ∈ 𝐴 y 𝑓

es continua en 𝑦𝑜 = 𝑔(𝑥𝑜), entonces 𝑓 𝑜 𝑔 es continua en 𝑥𝑜 .

Teorema: Sean 𝑓: 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ una funcion dada, entonces 𝑓 es continua en

𝑥𝑜 ∈ 𝐴 si y solo si:

∀ε > 0 ∂δ > 0 |( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ‖𝑥 − 𝑥𝑜‖ < δ) ⟹ ‖𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥𝑜)‖ < 휀

Tecnicas para verificar la existencia del limite:

Verificar la coincidencia de los limites iterados: Sea 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ2 → ℝ, llamaremos

como limites iterados a:

lim(𝑥,𝑦)→(𝑥,0)

𝑓(𝑥, 𝑦) lim(𝑥,𝑦)→(0,𝑦)

𝑓(𝑥, 𝑦)

i) Si son distintos: No existe limite.

ii) Si son iguales:

a) Verificar utilizando 𝑦 = 𝑘𝑥 e 𝑦 = 𝑥𝑚 .

b) Utilizar coordenadas polares:

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑒 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛(𝜃)

Si el limite calculado no es dependiente de 𝑟 , sino de 𝜃 ,

entonces el limite no existe.

Y si el limite convertido en polares admite un valor definido,

entonces el limite si existe y admite ese valor dado.

c) Verificar por definicion.

Continuidad:

Sea 𝑥0 ∈ 𝐷, sea 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ una funcion y 𝐷 un conjunto abierto, diremos que 𝑓

es continua en 𝑥0 si:

lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0)

Utilizando esta propiedad, podemos definir:

Sea 𝑓, 𝑔 funciones continuas en 𝑥0 ∈ 𝐷 con 𝑓, 𝑔: 𝐷 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ, entonces:

a) 𝑓 ± 𝑔 tambien es continua en 𝑥0.

b) 𝑓 ∙ 𝑔 tambien es continua en 𝑥0.

c) 𝑓/𝑔 tambien es continua en 𝑥0, si 𝑔(𝑥0) ≠ 0.

a-3) Diferenciacion:

Derivada parcial:

Sean 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 un conjunto abierto y 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ una funcion con valores reales,

entonces definiremos la derivada parcial de 𝑓 respecto a 𝑗 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑥 como:

𝑓𝑥𝑗(𝑥1, ⋯ 𝑥𝑗 , ⋯ 𝑥𝑛) =

∂𝑓

∂𝑥𝑗(𝑥1, ⋯ 𝑥𝑗 , ⋯ 𝑥𝑛) = lim

𝑕→0

𝑓(𝑥1, ⋯ 𝑥𝑗 + 𝑕, ⋯ 𝑥𝑛) − 𝑓(𝑥1, ⋯ 𝑥𝑗 , ⋯ 𝑥𝑛)

𝑕= lim

𝑕→0

𝑓(�⃗� + 𝑕 ∙ 𝑒𝑗) − 𝑓(�⃗�)

𝑕

Es lo mismo que derivar una funcion pero tomando las otras variables como

constantes.

Diferenciabilidad:

Sea 𝑓: ℝ2 → ℝ, decimos que 𝑓 es diferenciable en (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜), si existen 𝛿𝑓(𝑥𝑜,𝑦𝑜)

𝛿𝑥 y

𝛿𝑓(𝑥𝑜,𝑦𝑜)

𝛿𝑦 y satisface la siguiente ecuacion, cuando (𝑥, 𝑦) → (𝑥𝑜, 𝑦𝑜):

lim(𝑥,𝑦)→(𝑥𝑜,𝑦𝑜)

𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥𝑜 , 𝑦𝑜) − [𝜕𝑓𝜕𝑥

(𝑥𝑜, 𝑦𝑜)] (𝑥 − 𝑥𝑜) − [𝜕𝑓𝜕𝑦

(𝑥𝑜, 𝑦𝑜)] (𝑦 − 𝑦𝑜)

‖(𝑥, 𝑦) − (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜)‖= 0

Esta propiedad puede ser simplificada de la siguiente manera:

Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ tal que ∂f

∂x y

∂f

∂y son continuas en (𝑥0, 𝑦0) ,

entonces 𝑓 es diferenciable.

Y si 𝑓 es diferenciable, entonces 𝑓 es continua.

En resumen:

Derivadas parciales continuas ⇒ Diferenciable ⇒ Continua

No continua ⇒ No Diferenciable

Plano tangente en 3D:

Sean ∂𝑓

∂𝑥𝑗= 𝑓𝑥𝑗 continuas ∀𝑗 ∈ ℕ , sea 𝑡 el vector tangente a la curva C de 𝑓

parametrizados, definiremos el plano tangente al punto 𝑃(𝑥𝑜 , 𝑦𝑜, 𝑧𝑜) como:

𝑧 = 𝑓(𝑥𝑜 , 𝑦𝑜) + [𝜕𝑓

𝜕𝑥(𝑥𝑜 , 𝑦𝑜)] (𝑥 − 𝑥𝑜) + [

𝜕𝑓

𝜕𝑦(𝑥𝑜 , 𝑦𝑜)] (𝑦 − 𝑦𝑜) = ∇𝑓(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) ∙ (𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0) = 0

Propiedades de la derivada:

Regla de la cadena: Sea 𝑓: ℝ2 → ℝ con 𝑓 = 𝑓(𝑢, 𝑣), 𝑢 = 𝑢(𝑥), 𝑣 = 𝑣(𝑥):

𝜕𝑓

𝜕𝑥=

𝜕𝑓

𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡+

𝜕𝑓

𝜕𝑣

𝑑𝑣

𝑑𝑥= 𝛻𝑓 ⋅ [

𝜕𝑢

𝜕𝑥,𝛿𝑣

𝛿𝑥]

Regla del multiplo constante:

Sea 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑚, diferenciable en 𝑥𝑜 , y sea 𝑐 un numero real, entonces

𝑕(𝑥) = 𝑐𝑓(𝑥) es diferenciable en 𝑥𝑜 y:

𝐷𝑕(𝑥𝑜) = 𝑐𝐷𝑓(𝑥𝑜) (Igualdad de matrices).

Regla de la suma:

Sean 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑚 y 𝑔: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑚 diferenciable en 𝑥𝑜 , entonces

𝑕(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) es diferenciable en 𝑥𝑜 y:

𝐷𝑕(𝑥𝑜) = 𝐷𝑓(𝑥𝑜) + 𝐷𝑔(𝑥𝑜) (Suma de matrices).

Regla del producto:

Sean 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ y 𝑔: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ iferenciable en 𝑥𝑜 , y sea 𝑕(𝑥) =

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), entonces 𝑕: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ es diferenciable en 𝑥𝑜 y:

𝐷𝑕(𝑥𝑜) = 𝐷𝑓(𝑥𝑜)𝑔(𝑥𝑜) + 𝑓(𝑥𝑜)𝐷𝑔(𝑥𝑜)

Regla del cuociente:

Sean 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ y 𝑔: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ diferenciable en 𝑥𝑜 , y sea 𝑕(𝑥) =

𝑓(𝑥)/ 𝑔(𝑥), entonces 𝑕: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ es diferenciable en 𝑥𝑜 y:

𝐷𝑕(𝑥𝑜) =𝐷𝑓(𝑥𝑜)𝑔(𝑥𝑜) − 𝑓(𝑥𝑜)𝐷𝑔(𝑥𝑜)

,𝑔(𝑥𝑜)-2

Regla de la cadena:

Sean 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 y 𝑉 ⊂ ℝ𝑚 abiertos con 𝑔: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑚 y 𝑓: 𝑉 ⊂ ℝ𝑚 → ℝ𝑝

funciones dadas que 𝑔 manda a 𝑈 en 𝑉 con (𝑓 𝑜 𝑔) definida. Si 𝑔 es

diferenciable en 𝑥𝑜 y 𝑓 diferenciable en 𝑦𝑜 = 𝑔(𝑥𝑜) , entonces (𝑓 𝑜 𝑔) es

diferenciable en 𝑥𝑜y:

𝐷(𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥𝑜) = 𝐷 .𝑓(𝑔(𝑥𝑜))/ = 𝐷𝑓(𝑥𝑜)𝐷𝑔(𝑥𝑜)

Gradiente: Se define como un vector compuesto por las derivadas parciales de las

variables de una funcion 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ.

𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑓) = ∇𝑓 = [𝜕𝑓

𝜕𝑥1

(𝑥0), ⋯ ,𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑛

(𝑥0)]

Propiedad: Sea 𝑓: ℝ3 → ℝ una funcion de clase ∁1 y (𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0) un punto de la

superficie de nivel 𝑆 dado por 𝑓(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0) = 𝑘 con 𝑘 constante, entonces

∇𝑓(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) es normal a la superficie 𝑆 en el punto (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0).

∇𝑓 ⊥ 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 ⇒ ∇𝑓: Vector normal al plano tangente.

Calcular Hiperplano tangente de 𝑓 en (x1o, 𝑥2𝑜, ⋯ , 𝑥𝑛𝑜), usando de gradiente:

Sea ∇𝑓(x1o, 𝑥2𝑜, ⋯ , 𝑥𝑛𝑜) = (𝑎1, ⋯ , 𝑎𝑛), se define el hiperplano tangente de

𝑓 en (x1o, 𝑥2𝑜 , ⋯ , 𝑥𝑛𝑜), como:

𝜋: ∇𝑓(x1o, 𝑥2𝑜, ⋯ , 𝑥𝑛𝑜) ⋅ (

𝑥1𝑜 − 𝑎1

⋮𝑥𝑛𝑜 − 𝑎𝑛

) = 0

Calcular la recta normal a la superficie 𝑓 en (x0, 𝑦0, 𝑧0), usando gradiente:

Sea ∇𝑓(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) = (𝑎, 𝑏, 𝑐), la recta normal a la superficie es:

𝑥 − 𝑥0

𝑎=

𝑦 − 𝑦0

𝑏=

𝑧 − 𝑧0

𝑐

Derivada direccional:

Sea 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ3 → ℝ , se define la derivada de 𝑓 en la direccion �̂� en el punto 𝑥0

como:

d

dx𝑓(𝑥0 + 𝑡�̂�)|

𝑡=0= 𝐷𝑣𝑓(𝑥0) = ∇𝑓(𝑥0) ⋅ �̂� = 𝑓𝑥 ∙ 𝑣1 + 𝑓𝑦 ∙ 𝑣2 + 𝑓𝑥 ∙ 𝑣3, si este existe.

Teorema: Si ∇𝑓 ≠ 0 , esto siempre apunta en la direccion en la cual 𝑓 crece mas

rapidamente. Y esto hace que la derivada tome su maximo valor cuando ∇𝑓 ∥ �̂�.

Teorema de Clairaut:

Sea (𝑎, 𝑏) un punto contenido en un disco 𝐷, si 𝑓 es una funcion de clase ∁2,

entonces:

𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥

donde:

𝑓𝑥𝑦 =𝜕

𝜕𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑥=

𝜕2𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥 𝑓𝑦𝑥 =

𝜕

𝜕𝑥

𝜕𝑓

𝜕𝑦=

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦

Maximos y minimos:

Maximo: Sea 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ una funcion, sea 𝑥0 ∈ 𝐷 un punto, diremos que 𝑥0

es un maximo de 𝑓 en 𝐷, si:

𝑓(𝑥0) ≥ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷

Maximo local: Diremos que 𝑥0 es una maximo local de 𝐷 , si existe

𝐷𝑟(𝑥0) ⊆ D tal que:

𝑓(𝑥0) ≥ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑟(𝑥0) y para algun 𝑟 ∈ ℝ

Minimo: Sea 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ una funcion, sea 𝑥0 ∈ 𝐷 un punto, diremos que 𝑥0

es un maximo de 𝑓 en 𝐷, si:

𝑓(𝑥0) ≤ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷

Minimo local: Diremos que 𝑥0 es una minimo local de 𝐷 , si existe

𝐷𝑟(𝑥0) ⊆ D tal que:

𝑓(𝑥0) ≤ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑟(𝑥0) y para algun 𝑟 ∈ ℝ

Propiedad: Si 𝑓 posee un maximo o un minimo en x0, entonces ∇𝑓(𝑥0) = 0⃗⃗.

Matriz Hessiana: Sea 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ una funcion con derivadas parciales hasta

3er orden, sea hi los errores de la derivada y sea x0 un punto critico, se tiene que:

𝑓(𝑥0 + 𝑕) − 𝑓(𝑥0) = 𝑕𝑇𝐻(𝑓(𝑥0))𝑕

donde, para ℝ2: 𝑕 = (𝑕1

𝑕2) y 𝐻 = (

𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑥𝑦

𝑓𝑦𝑥 𝑓𝑦𝑦)

Forma cuadratica de la matriz Hessiana:

Minimo local Maximo local Punto silla

∇𝑓(𝑃0) = 0⃗⃗ 𝑓𝑥𝑥(𝑃0) > 0

(𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦)2

)(𝑃0) > 0

∇𝑓(𝑃0) = 0⃗⃗ 𝑓𝑥𝑥(𝑃0) < 0

.𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦)2

/ (𝑃0) > 0

.𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦)2

/ (𝑃0) < 0

Conjunto acotado: Sea 𝐷 ⊆ ℝ𝑛, diremos que Sea 𝐷 es un conjunto acotado, si

existe un disco o una bola 𝐵𝑟(𝑥0) con 𝑥0 ∈ 𝐷 tal que 𝐷 ⊆ 𝐵𝑟(𝑥0).

Teorema del maximo: Sea 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ una funcion continua con 𝐷 un

conjunto cerrado y acotado, esta funcion siempre admite maximo y minimo.

Buscar maximos y minimos:

i) Analizar en el interior de D, los maximos y los mminimos,

buscando puntos criticos (∇𝑓 = 0) y luego, revisar H.

ii) Buscar en la frontera de D. Para esto, tenemos que parametrizar

la frontera en una variable.

Metodo de Lagrange:

Sea 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ una funcion de clase ∁2 y S: *𝑔(𝑥) = 𝑐 una

superficie o curva de nivel, sea 𝑥0 ∈ 𝐷 un punto tal que 𝑔(𝑥0) = c, con

∇𝑔(𝑥0) ≠ 0⃗⃗.

Si 𝑓|𝑆 (𝑓 restringida en 𝑆) posee un maximo o un minimo local en 𝑥0 ,

entonces se tiene que:

∇𝑓(𝑥0) = 𝜆∇𝑔(𝑥0)

donde: 𝜆: Multiplicador de Lagrange.

𝑥0: Punto critico.

Teorema: Si 𝑓|𝑆 posee un maximo o un minimo en 𝑥0 , ∇𝑓(𝑥0) es

perpendicular al S en 𝑥0.

TFIs:

Teorema de la funcion implicita:

Sean:

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣) = 0 𝑦 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣) = 0

Si:

|𝜕(𝐹, 𝐺)

𝜕(𝑢, 𝑣)| = det (

𝐹𝑢 𝐹𝑣

𝐺𝑢 𝐺𝑣) ≠ 0

Se tiene que:

𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑣 = 𝑣(𝑥, 𝑦)

Teorema de la funcion inversa:

Sea 𝐹: ℝ𝑛 → ℝn, si det (𝐽𝐹)(𝑃0) ≠ 0, ∂F−1 en el punto 𝑃0 ∈ ℝ𝑛 y para este caso:

𝐽𝐹−1(𝑃0) = (𝐽𝐹(𝑃0))−1

B) Integrales multiples

a-1) Integrales dobles:

Sea 𝑅 = ,𝑎, 𝑏- × ,𝑐, 𝑑- un conjunto en ℝ2 , para este rectangulo R, consideraremos una

particion::

𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏

𝑐 = 𝑦0 < 𝑦1 < ⋯ < 𝑦𝑛−1 < 𝑦𝑛 = 𝑑

De este modo, generando los sub-rectangulos:

𝑅𝑖𝑗 = ,𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1- × [𝑦𝑗 , 𝑦𝑗+1] = ∆𝑥𝑖 × ∆𝑦j

Sea 𝑓: ℝ2 → ℝ una funcion continua y sea 𝑐𝑖𝑗 ∈ 𝑅𝑖𝑗 :

lim(𝑚,𝑛)→∞

∑ ∑ 𝑓(𝑥𝑖𝑗∗ , 𝑦𝑖𝑗

∗ )(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖)(𝑦𝑗+1 − 𝑦𝑗)

𝑛

𝑗=1

𝑚

𝑖=1

= lim(𝑚,𝑛)→∞

∑ 𝑓(𝑐𝑖𝑗)∆𝑥𝑖∆𝑦𝑗

𝑛,𝑚

𝑗,𝑖=1

Y esta suma de Riemann, lo expresaremos de la siguiente manera:

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥

,𝑎,𝑏-×,𝑐,𝑑-

= ∬ 𝑑𝐴

𝑅

Propiedad:

i) ∬ 𝑘𝑓𝑑𝐴

𝑅= 𝑘 ∬ 𝑓𝑑𝐴

𝑅

ii) Si 𝑅 = 𝑅1 ∪ 𝑅2: ∬ 𝑓𝑑𝐴

𝑅= ∬ 𝑓𝑑𝐴

𝑅1+ ∬ 𝑓𝑑𝐴

𝑅2,

iii) ∬ (𝑓 + 𝑔)𝑑𝐴 =

𝑅∬ 𝑓𝑑𝐴

𝑅+ ∬ 𝑔𝑑𝐴

𝑅

iv) ∬ (𝑓 + 𝑔)𝑑𝐴 =

𝑅

v) Si 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑔(𝑥, 𝑦) para (𝑥, 𝑦) ∈ R, entonces: ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 ≤

𝑅∬ 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

𝑅

Teorema: Sea 𝑓 una funcion continua en 𝑅 = ,𝑎, 𝑏- × ,𝑐, 𝑑-, entonces diremos que la

funcion es integrable. Dicho de otra manera:

∂ ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

𝑅

Teorema de Fubini: Sea 𝑓 una funcion continua sobre 𝑅 = ,𝑎, 𝑏- × ,𝑐, 𝑑-, entonces:

∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑

𝑐

𝑏

𝑎

𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑏

𝑎

𝑑

𝑐

𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

𝑅

Integrales dobles sobre regiones generales:

I) Region del tipo I:

Un conjunto 𝐷 ⊆ ℝ2, se dira del tipo I si:

𝐷 ≔ *(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑦 𝑔1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2(𝑥)+ con 𝑔1 y 𝑔2 continuas,

Sobre este tipo de regiones, denotaremos:

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

𝐷

= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑔2(𝑥)

𝑔1(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑦𝑑𝑥

II) Region del tipo II:

Un conjunto 𝐷 ⊆ ℝ3, se dira del tipo II si:

𝐷 ≔ *(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 𝑦 𝑕1(𝑥) ≤ 𝑥 ≤ 𝑕2(𝑥)+ con 𝑕1 y 𝑕2 continuas,

Sobre este tipo de regiones, denotaremos:

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

𝐷

= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑕2(𝑥)

𝑕1(𝑥)

𝑑

𝑐

𝑑𝑥𝑑𝑦

III) Region del tipo III:

Un conjunto 𝐷 ⊆ ℝ2, se dira del tipo III, si es del tipo I o del tipo II.

Cambio de variables en polares: Sea 𝑓 una funcion continua en un rectangulo polar R

dado por 0 ≤ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 y 𝛼 ≤ 𝑐 ≤ 𝛽, donde 0 ≤ 𝑏 − 𝛼 ≤ 2𝜋, tenderemos:

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑎

𝐷

= ∬ 𝑓(𝑟 cos(𝜃) , 𝑟 𝑠𝑖𝑛(𝜃)) ∙ 𝑟 ∙ 𝑑𝑟 𝑑𝜃

𝐷

Aplicacion de las integrales dobles:

a) Masa: Sea 𝐷 ⊆ ℝ2 una region con densidad puntual 𝜌(𝑥, 𝑦), la masa de D sera:

𝑚(𝐷) = ∬ 𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

𝐷

b) Momento: Se definen los momentos de D respecto a los ejes x e y como:

𝑀𝑥 = ∬ 𝑦𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

𝐷

𝑀𝑦 = ∬ 𝑥𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

𝐷

c) Centro de masa:

(�̅�, �̅�) = (𝑀𝑦

𝑚,𝑀𝑥

𝑚) = (

∬ 𝑥𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

𝐷

∬ 𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

𝐷

,∬ 𝑦𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

𝐷

∬ 𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

𝐷

)

d) Momento de inercia:

𝐼𝑥 = ∬ 𝑦2𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

𝐷

𝐼𝑦 = ∬ 𝑥2𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

𝐷

Momento polar de inercia: Es el momento de inercia calculado respecto al

origen.

𝐼𝑂 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 = ∬(𝑥2 + 𝑦2)𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

𝐷

Teorema de Steiner:

𝐼𝐸𝑃 = 𝐼𝐶𝑀 + 𝑚𝑑2

donde: 𝐼𝐸𝑃 : Momento de inercia de un punto con eje paralelo al centroide.

𝐼𝐶𝑀 : Momento de inercia calculado respecto al centro de masa.

𝑚: Masa del objeto.

𝑑: Distancia entre los ejes paralelos.

a-2) Integrales triples:

Sea B una caja en 3D que tiene la siguiente forma:

𝐵 = *(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 𝑟 ≤ 𝑧 ≤ 𝑠+

De esta manera, podemos extraer las sub-cajas de la caja B:

𝐵𝑖𝑗𝑘 = ,𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1- × [𝑦𝑗 , 𝑦𝑗+1] × ,𝑧𝑘 , 𝑧𝑘+1- = ∆𝑥𝑖 × ∆𝑦j × ∆𝑧𝑘

Sea 𝑓: ℝ → ℝ una funcion continua y sea 𝑐𝑖𝑗𝑘 ∈ 𝑅𝑖𝑗𝑘 :

lim(𝑙,𝑚,𝑛)→∞

∑ ∑ ∑ 𝑓(𝑥𝑖𝑗𝑘∗ , 𝑦𝑖𝑗𝑘

∗ , 𝑧𝑖𝑗𝑘∗ )(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖)(𝑦𝑗+1 − 𝑦𝑗)

𝑛

𝑘=1

(𝑧𝑘+1 − 𝑧𝑘)

𝑚

𝑗=1

𝑙

𝑖=1

= lim(𝑙,𝑚,𝑛)→∞

∑ 𝑓(𝑐𝑖𝑗𝑘)∆𝑥𝑖∆𝑦𝑗

𝑙,𝑚,𝑛

𝑖,𝑗,𝑘=1

∆𝑧𝑘

Y esta suma de Riemann, lo expresaremos de la siguiente manera:

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

,𝑎,𝑏-×,𝑐,𝑑-×,𝑟,𝑠-

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝐵

𝑑𝑉

Teorema de Fubini: Sea 𝑓 una funcion continua sobre 𝐵 = ,𝑎, 𝑏- × ,𝑐, 𝑑- × ,𝑟, 𝑠-, entonces:

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

,𝑎,𝑏-×,𝑐,𝑑-×,𝑟,𝑠-

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑏

𝑎

𝑑

𝑐

𝑠

𝑟

= ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝐵

𝑑𝑉

Cambio de variables en cilindricas:

Dado (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3, podemos aplicar el siguiente cambio de variables:

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = {𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝑦 = 𝑠𝑖𝑛(𝜃)𝑧 = 𝑧

𝑝𝑎𝑟𝑎𝑟 ∈ ℝ+

𝜃 ∈ ,0,2𝜋-𝑧 ∈ ℝ

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉

𝐵

= ∭ 𝑓(𝑟 cos(𝜃) , 𝑟 𝑠𝑖𝑛(𝜃) , 𝑧) ∙ 𝑟 ∙ 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧

𝐵

Cambio de variables en esfericas:

Dado (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3, podemos aplicar el siguiente cambio de variables:

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = {

𝑥 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛(𝜙) 𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛(𝜙) 𝑠𝑖𝑛(𝜃)

𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠(𝜙)𝑝𝑎𝑟𝑎

𝑟 ∈ ℝ+

𝜃 ∈ ,0,2𝜋-

𝜙 ∈ ,0,2𝜋-

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉

𝐵

= ∭ 𝑓(𝑟 𝑠𝑖𝑛(𝜙) 𝑐𝑜𝑠(𝜃) , 𝑟 𝑠𝑖𝑛(𝜙) 𝑠𝑖𝑛(𝜃) , 𝑟 𝑐𝑜𝑠(𝜙)) ∙ 𝑟2 𝑠𝑖𝑛(𝜙) ∙ 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝜙

𝐵

Integrales triples sobre regiones generales:

I) Region del tipo I:

Un conjunto 𝐸 ⊆ ℝ3, se dira del tipo I si:

𝐸 = *(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑔1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2(𝑥), 𝑢1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑢2(𝑥, 𝑦)+

con 𝑔1, 𝑔2, 𝑢1 y 𝑢2 continuas,

Sobre este tipo de regiones, denotaremos:

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉

𝐵

= ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑢2(𝑥)

𝑢1(𝑥)

𝑔2(𝑥)

𝑔1(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥

II) Region del tipo II:

Un conjunto 𝐸 ⊆ ℝ3, se dira del tipo II si:

𝐸 = *(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 𝑎 ≤ 𝑦 ≤ 𝑏, 𝑕1(𝑥) ≤ 𝑥 ≤ 𝑕2(𝑥), 𝑢1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑢2(𝑥, 𝑦)+

con 𝑕1, 𝑕2, 𝑢1 y 𝑢2 continuas,

Sobre este tipo de regiones, denotaremos:

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉

𝐵

= ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑢2(𝑥)

𝑢1(𝑥)

𝑕2(𝑥)

𝑕1(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥

III) Region del tipo III:

Un conjunto 𝐸 ⊆ ℝ3, se dira del tipo III, si es del tipo I o del tipo II.