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  • CAPITULO III

    CALCULO INTEGRAL

    Seccin 1.

    289

    LA INTEGRAL INDEFINIDA

    En este captulo aprenderemos algo acerca de la segunda parte del clcu-lo-clculo integral. La integracin es bsicamente lo contrario a la dife-renciacin; dada una derivada debemos encontrar la funcin. Esto es,teniendo una funcin f se necesita encontrar otra funcin F tal quedF(x) = ((x).

    dxLa integracin es muy til en una gran variedad de aplicaciones. Por

    ejemplo, en algunos problemas se obtienen ecuaciones que contienen deri-vadas. Revolver esas ecuaciones requiere integracin. La integracin tam-bin permite encontrar el rea bajo una curva, as como tambin el volumende cualquier slido cuyos lmites se puedan expresar por ecuaciones. Pron-to veremos ejemplos de las dos ltimas aplicaciones en este captulo.Para empezar, pase a 290.

    290

    Aqu tenemos un problema sencillo para ayudarle a entender el signifi-cado de la integracin.

    Encuentre la funcin F tal que su derivada sea x2.

    F(x) = _

    Para ver la respuesta, pase a 291.

    173

  • 174 Clculo Integral

    291

    La respuesta correcta es

    1F (x) = - x3 + c.3

    c puede ser cualquier constante; esto es, c es una constante arbitraria.(Por supuesto que puede usar cualquier smbolo para la constante. En estecaptulo c siempre ser una constante.) iSi le entendi a lo anterior y siem-pre se acuerda de poner una constante arbitraria se merece una felicitacindoble!

    Puede ver si esta funcin satisface el enunciado, simplemente dife-rencindola.

    dF d [1 3] d 2 2dx = dx "3 x + dx (e) = x + O = x

    Resuelva este problema: encuentre una funcin G tal que su derivada es x + x2.

    G(x) = _Pase a 292 para ver la respuesta correcta.

    292

    Debi haber puesto1 2 1 3G (x) = - x + - x + e, donde c es cualquier constante.2 3

    Se puede verificar el resultado por diferenciacin.

    dG d [1 2 1 3 J 2 'd- = - - x + - x + e = x + x , como se pl e.dx dx 2 3

    Pase a 293.

  • La Integral Indefinida 175

    293

    Demos una explicacin ms amplia de lo que estamos haciendo.

    dF(x)Supongamosque--- = f(x).

    dx

    Entonces F(x) se llama la integral indefinida de f(x). Este enunciadose escribe simblicamente en la forma siguiente,

    F(x) = f f(x) dx.Lo anterior se lee "F (x) es igual a la integral indefinida de f(x)".

    El smbolo f se llama signo de integral. Algunas veces lo escribiremoscomo J. No confunda J con la letra f

    Pronto ver que esta notacin es muy til, aunque por ahora le parezcaalgo misteriosa. La cantidad dx que est dentro del smbolo de integralparece una diferencial, pronto veremos que realmente es una diferencial.Por lo pronto, es parte de un solo smbolo.

    La funcin que se est integrando se llama el integrando. En el ejemploanterior, el integrando es f (x) .

    Pase a 294.

    294

    Para asegurarse de que entiende la notacin, llene el espaCIo enblanco.

    Si F(x)

    dF (x)

    dx

    f f(x) dx, entonces.

    Pase a 295.

  • 176 Clculo Integral

    295

    La respuesta correcta es

    dF (x) = ((x).dx

    Si se equivoc, debe repasar los dos ltimos prrafos y aprenderse lanueva notacin cuidadosamente.

    Pase a 296.

    296

    Hemos aprendido que si

    F(x) = J ((x) dxentonces

    dF(x) = ((x).dx

    Sin embargo, podemos agregar cualquier constante, e, a F(x) y anrene las condiciones pedidas, ya que

    !!.... [F(x) + e] = dF(x) + de = ((x).dx dx dx

    Tal parece que si se agrega una constante a una integral indefinidade f(x), la suma es tambin una integral indefinida de f(x). En estaforma podemos esperar que dos integrales indefinidas cualesquiera de f(x)difieran nicamente en una constante. (Esto se demuestra en el apndi-ce A12.) Se le da el nombre de indefinida debido a que e puede tenercualquier valor. A veces este nombre se omite.

    Pase a 297.

  • La Integral Indefinida 177

    297

    Detengmonos un momento para hacer un resumen.

    SI' f() dFx = dx entoncesF es la de __ o

    Para ver la respuesta, pase a 298.

    298

    dFSi f(x) = dx entonces F es la integral indefinida de f(x). Si escribi

    otra cosa, repase desde el principio del captulo. Si no, llene el espacioen blanco:

    Escriba una ecuacin equivalente a decir que ~~ = f( x).

    y=--------

    Pase a 299.

    299

    Debi escribir

    y = f f(x) dx.La cantidad f f (x) dx es la integral indefinida de f (x). Ya que

    f f(x) dx depende de x, se define una nueva (uncin.Podemos usar cualquier smbolo para representar f f(x) dx: F, G, y,

    etc. Generalmente usaremos el smbolo F en este captulo.

    Pase a 300

  • 178 Clculo Integral

    300

    Trate de encontrar las integrales indefinidas de las funciones siguientes.C es una constante.

    (a)

    (b)

    {(x) = cos x

    fcos x dx = ~en x + c I c sen x I cos x I ninguna de stas]

    {(x) =J:..x2

    fdx [C 1-= --I--+cix2 x3 x mnguna de stas]

    301

    Si acert a las dos, pase a la seCClOn2,prrafo 302. Si no, pase a 301.

    Para comprobar que las respuestas dadas son las correctas, simplementemostramos que sus derivadas son las funciones requeridas.

    (a) -!!:.... (sen x + c) = cos x, por tanto sen x + e =fcos x dxdx

    (b) -!!:.... (- .!. + e) = +-.!:.., por tanto - .!. + e =f-.!:.. dxdx x x2 X x2

    Pase a la seccin 2, prrafo 302

    Seccin 2

    302

    INTEGRACION

    Hasta aqu hemos visto como encontrar las integrales indefinidas deun cierto tipo de funciones algebraicas. Hicimos esto asociando una expre-sin que, al diferenciarse, dio la funcin original. En esta seccin veremoscomo puede hacerse esto ms sistemticamente.

    Pase a 303.

  • Integracin 179

    303

    Ya que la integracin es la inversa de la diferenciacin, para cadafrmula de diferenciacin en el captulo n, tenemos aqu la frmulacorrespondiente para integracin. Por tanto, del captulo n,

    d sen xdx

    = cos x,

    por definicin de integral indefinida,

    J cos x dx = sen x + c.

    Trate de hacer este. Cul es

    J sen x dx ?

    Respuesta: [cos x + e I - cos x + e 1 sen x cos x + e I ninguna de stas]

    Asegrese de que entiende la respuesta correcta (puede comprobar elresultado por diferenciacin) y despus pase a 304.

    304

    Trate de encontrar estas integrales (para simplificar, la constante c seha omitido de las respuestas).

    (b) J eX dx = [eX I x eX I ; eX I ninguna de stas]

    Si acert a las dos, lo est haciendo muybien, pase a 306. Si no} pase al prra-fo 305.

    1Respuestas: (300) (a) sen x + c, (b)- - + c

    x

  • 180 Clculo Integral

    305

    Si se equivoc debido a un ligero error pero ya entendi el problema,corrija su error y pase a 306. Si no, repase las definiciones de integralindefinida en la primera seccin de este captulo y despus siga aqu.

    Si F = f {(x) dxentonces

    dFdx

    {(x).

    Por lo tanto, si queremos encontrar F, debemos hallar una expreslOnX1l+1

    tal, que diferencindola nos de f(x). La derivada de-- est dada porn+l

    d[xn+1] 1 dxn+1 1_ __ = -- -- = -- (n + 1) xn = xndx n+l n+l dx n+l

    de acuerdo con la frmula de diferenciacin para xn en el captulo n.

    En esta forma, incluyendo la constante de integracin, e, tenemosxn+1f xn dx = -- + c.n+l

    (fjese que esta frmula no es vlida para n = -1.)As, de acuerdo con el captulo n,

    por tanto

    Pase a 306.

    Respuestas: (303) -cosx+c; (304) (a)_1_xn+1; (b)eXn + 1

  • Integracin 181

    306

    Hasta qu, hemos encontrado las integrales buscando una funcincuya derivada es el integrando. Aunque esto funciona bien en muchoscasos, especialmente despus de que se tiene cierta prctica, es muy tiltener una lista de las integrales ms importantes. Es apropiado usar esalista. Si aplica con mucha frecuencia el clculo, conocer de vista la ma-yora de las integrales de la lista, o al menos estar familiarizado conellas para proponer la integral. Siempre puede comprobar su proposicinpor diferenciacin.

    Una tabla de las integrales ms importantes se da en el prrafo SI-guiente. Puede comprobar cualquiera de las ecuaciones

    J!(x) dx = F(x)

    confirmando que

    dF(x)=!(x).dx

    Pronto emplearemos este mtodo para verificar algunas de las ecua-Clones.

    Pase a 307

  • 182 Clculo Integral

    307

    LISTA DE INTEGRALES IMPORTANTES

    En la siguiente lista de integrales It y V son variables que dependende x; w es una variable que depende de u que a su vez depende de x;a y n son constantes y las constantes arbitrarias de integracin se hanomitido para simplificar.

    (1) J a dx = ax(2) J a ((;;) dx = a J ((x) dx(3) J (u + v) dx = J u dx + J v dx

    n!-l

    dx(5) f - = In x

    x

    (6) J eX dx = eX(7) f eax dx = eax/ a

    bax(8) J bax dx = --

    a In b

    (9) J In x dx = x In x - x(10) J sen x dx = - cos x(11) J cosx dx = sen x(12) J tan x dx = - In cos x( 13) J cot x dx = In sen x(14) J sec x dx = In (se e x + tan x)

    1(15) J sen x cos x dx = - sen 2 x

    2

    dx 1 x(16) J --- = - arctan -

    a2 + x2 a a

    xarcsen -

    a

    (Contina en la sigtiente pgina.)

  • Integracin 183

    307 continuacin

    LISTA DE INTEGRALES IMPORTANTES continuacin

    dx ](l8) f --__-_-_-~= In [x + V X2 a2V X2 a2dx

    (19) f w (u) dx = f [w (u) -] dudu

    (20) f u dv = uv - f v du

    Para su conveniencia esta tabla est repetida como tabla 2 al finaldel libro (pgina 295).

    Pase a 308.

    308

    Veamos si puede comprobar algunas de las frmulas de la tabla. De-muestre que las frmulas (9) y (15) son correctas.

    Si demostr las frmulassatisfactoriamente, pase a 310

    Si qrlere ver las demostraciones,pase a 309.

  • 184 Clculo Integral

    309d F(x)

    Para probar que F(x) = f f(x) dx, debemos demostrar que - = f(x).dx

    (9) F(x)=xlnx-x, f(x)=lox

    dF d 1- = - (x lo x - x) = x (-) + lo x - 1 = lo x = f.dx dx x

    1(15) F (x) = - sen 2 x, f(x) = sen x cos x2

    d 1 2 1 d- - sen x = - (2 sen x) - sen x = sen x cos xdx 2 2 dx

    Pase a 310.

    310Para probar fa frmula (19) del prrafo 307, todo lo que tenemos que

    hacer es demostrar que la derivada con respecto a x del segundo miembrode la ecuacin, es igual al integrando, w (u). Sin embargo, usando la

    dF dF duregla de la cadena - =- - tenemos:

    dx du dx

    d [} dx ] d [f dx ] du- w(u) - du = - w(u) - du x-dx du du du dx

    [dX] du= w(u) - - = w(u).du dx

    dx jdllEn el ltimo paso hemos empleado - = 1 - (probado en el apndi-du dx

    ce All.)

    Pase a 311.

  • Integracin 185

    311Discutamos ahora una aplicacin importante de la frmula 19, que

    acabamos de demostrar.

    Cuando escribimos J f (x) dx, el smbolo dx parece la diferencialdx que se discuti en el prrafo 266. Por otra parte, dx en el smbolode integral es parte del smbolo y no tenemos razn para considerar quese comporta como una diferencial. Sin embargo, la frmula que acaba-mos de probar indica que dx puede tratarse como una diferencial y que

    dxpodemos reemplazar dx por - du, lo que se implica automticamente

    dudebido a la notacin diferencial.

    Pase a 312.

    312dx

    El hecho de reemplazar dx en el signo de integral por - du nos dadu

    una herramienta poderosa, ya que ello implica que la integracin se efec-tuara con respecto a dtt en lugar de dx. Esta substitucin se llama a me-nudo "cambio de variable". Para ver que tan til es, pase a 313.

  • 186 Clculo Integral

    313En este ejemplo se muestra como con un cambio de variable una

    integral puede volverse ms sencilla. Tratemos de hallar f sen 3x dx.Esta integral no tiene una forma conocida. Sin embargo, puede volverseconocida con un cambio de variable apropiado.

    1 1 1f sen 3x dx = - f 3 sen 3x dx =- f sen 3x d (3x) = - f sen ti dtl

    3 3 3

    donde ti es la nueva variable, 11= 3x.Entonces

    1 -1 1f sen 3x dx = - f sen ti dtl = - (cos 11 + c] = - - [cos 3x + c]

    3 3 3

    (Nuestras frmulas de integracin son vlidas no importa cual sea elnombre de la variable independiente, as, si f sen x dx = - cos x + c,entonces f sen ti d1l = - COS 11 + c.)

    x xPara ver si ya entendi, use este mtodo para encontrar f sen - (OS - dx

    2 2(Le puede ser muy til la frmula 15 del prrafo 307.)

    x xf sen - cos - dx =

    2 2

    Para comprobar su respuesta,pase a 314.

  • Integracin 187

    314

    Su respuesta debi ser:

    f x X 2X Isen - cos - dx = sen - + e .2 2 2

    ( c' = cualquier constante)

    Si este fue el resultado que obtuvo, pase a 316. Si no, siga aqu.

    x x x x xf sen - cos - dx = 2 f sen - cos - d( -) = 2 f sen u cos u du,2 2 2 2 2

    xdonde hemos substituido ti - -tenemos

    De la frmula 15 del prrafo 307

    1 2 1 2xf sen u cos u du = - sen u + e = - sen - + e,222

    as

    f x x 1 2X 2Xsen - cos - dx = 2 (- sen - + e) = sen - + e2 2 2 2 2

    (c' = 2c = cualquier constante).Comprobemos este resultado:

    d [ 2 X ,] X x 1 x x- sen - + e = 2 ( sen - cos -) (-) = sen - cos -dx 2 2 2 2 2 2

    como se pide. (Hemos usado la regla de la cadena.)

    Resuelva este problema: Si a y b son constantes, encuentre

    f dxa2 + b 2 x2 = _Le ser muy til la tabla del prrafo 307 para resolverlo.

    Pase a 315 para ver la solucin.

  • 188 Clculo Integral

    315

    Estos son los pasos necesarios para encontrar la integral.

    1 u= -b [arctan - + e] (prrafo 307, frmula 16)a a

    1 [ bx= - arctan - + elab a

    Pase a 316

    316

    Hemos visto como hallar el valor de una integral cambiando la variablede x a u = ax, donde a es una constante. Frecuentemente es posible simplificar una integral substituyendo algunas otras cantidades por la variable.Aqu tenemos un ejemplo.

    Queremos encontrar f xdx .x2 + 4

    Supongamos que ,12 = x2 + 4, entonces 2u du = 2x dx.

    J xdx =fudu =fdu = In u + e = In y'"X"2+4 + ex2 + 4 u2 UPor este mtodo trate de encontrar la siguiente integral.

    J cos (20 + 5) dO.

    Respuesta: _

    Pase a 317 para comprobar Stt respuesta.

  • Integracin 189

    317

    Podemos encontrar f cos (20 + 5) dO en la forma siguiente. Haga-mos ti = 20 + 5, dtl = 2dO, entonces

    J cos (2e + 5) de = :!. J cos udu = :!. [sen u + c]2 2

    1=- [sen(2e+ 5)+ cl

    2

    Despus de que se haya acostumbrado a este mtodo, se dar cuentaque puede ahorrarse el introducir u en forma explcita. Por ejemplo,el problema anterior puede resolverse as:

    1J cos (2e + 5) de = - J cos (2e + 5) d(2e + 5)2

    1= - sen (2e+ 5)+ c.

    2

    Sin embargo, debe escribir los pasos intermedios hasta que est segurode s mismo.

    Pase a 318

  • 190 Clculo Integral

    318

    La frmula 20 del prrafo 307 frecuentemente es muy til, se conocecomo "integracin por partes". La demostracin es sencilla. Sean u y vdos variables que dependen de x. Del prrafo 189 de la pgina 118tenemos

    d dv du- (uv) = u - + v -.dx dx dx

    integrando ambos miembros de la ecuacin con respecto a x, segn p-rrafo 312,

    f d dv du- (uv) dx = f u - dx + f v - dxdx dx dxf d (uv) = f u dv + f v duo

    Pero, f d(uv) = uv, y arreglando los trminosf u dv = uv - f v du

    Aqu tenemos otro ejemplo: Encuentre f e sen e de.

    Sea u = e, dv = sen e de.Fcilmente se ve que du = de, v = - cos e.

    319

    As fe sen e de f u dv = u v - f v du

    e cose - f (-cos e) de

    - e cose + sen e. Pase a 319

    Trate de integrar por partes para encontrar f xeX dx.

    Respuesta: (se han omitido las constantes).

    [(x - 1) eX I xex 1 eX I xex + x 1 ninguna de stas]

    Si acert, pase a 321.Si se equivoc o quiere ver como se resuel

    ve el problema, pase a 320.

  • Integracin 191

    320Para encontrar f xe" dx usando la frmula de integracin por partes,

    podemos hacer u = x, dv = eXdx, as que du = dx, v = eX.Entonces,

    f Xd x f Xd x xxe x = xe - e x = xe - e

    Pase a 321

    321

    Empleando la integracin por partes, encuentre la siguiente integral:

    f x cos x dx.

    Respuesta:

    Compruebe su respuesta en 322.

    322f x cos x dx = x sen x + cos x + eSi quiere saber como se obtiene, siga aqu. Si no, pase a 323.

    Haciendo la substitucin siguiente e integrando por partes:

    u = x, dv = cos x dx. As du = dx, v = sen x.

    f x cos x dx = f u dv = uv - f v du =x sen x - f sen x dx = x sen x + cos x + c.

    Pase a 323.

    Respuesta: (319) (x -1) eX

  • 192 Clculo Integral

    323En los problemas de integracin frecuentemente es necesarIO utilizar

    varios procedimientos para resolver un solo problema.

    Resuelva los problemas siguientes: (b es una constante)

    (a) J[cos 5e + b] de = _

    (b) J x In x2 dx =------------------Para ver as respuestas pase a 324.

    324Las respuestas correctas son

    (a) J [cos 5e + b] de = .!.. sen 5e + be + e5

    1(b) J x In x2 dx = - [x2 (ln x2 - 1) + e]

    2

    . Si resolvi los dos problemas correctamente, lo est haciendo muybIen, pase a la seccin 3, prrafo 326. Si se equivoc, pase a 325.

  • Integracin 193

    325Si se equivoc en (a), posiblemente se confundi por el cambio de

    variable de x a (). Recuerde que x es un smbolo general para una variable.Todas las frmulas de integracin se pueden poner con () z o lo quequiera poner en lugar de x. En el caso (a):

    J [eos 58 + b] d8 = J eos 58 d8 + J b d8

    1= - J eos 58 d(58) + J bd85

    1=-sen 58 + b8 + e.5

    Para el problema (b), hacemos, u = x2, du = 2x dx:

    J x In x2 dx = .!- J In u du = .!- [u In u - u + e].2 2

    (El ltimo paso emplea la frmula 9, prrafo 307.) Por tanto,

    Este problema tambin se puede resolver por integracin por partes.

    Pase a la seccin 3, p"afo 326.

  • 194 Clculo Integral

    Seccin 3. EL AREA BAJO UNA CURVA

    326

    Una de las aplicaciones im- f(x)portantes de la integracin espara encontrar el rea entre unacurva y = f(x) y el eje x, limi-tada por dos valores de x, a y b.El rea rayada en la figura es unejemplo.

    En esta seccin aprender lamanera de hacerlo.

    a bFig. 93

    ejex

    Pase a 327.

    eje x

    sobre el

    a

    f(x)

    54

    3

    2

    1

    f(x) = constante

    Para que vea lo que esto sig-nifica, calcule el rea bajo la mssencilla de todas las curvas-una lnea recta, dada por

    bFig. 94

    Cul es el rea bajo la lnea f(x) = 3, entre dos puntoseje x cuyos valores son a y b?

    327

    A = Dab I 3 (a + b) I 3 (a - b) I 3 (b - a[J

    Si acert, pase a 329.Si no, pase a 328.

  • El Area Bajo una Curva 195

    328

    La regin indicada es un rectngulo. El rea de un rectngulo essencillamente el producto de su largo por su alto. En este caso su alturaes 3 y su largo es la distancia entre b - a. As:

    A = 3 (b - a).

    ((x)

    eje xa b

    Fig. 95 Pase a 329.

    Respuestas: (327) 3(b - a)

  • 196 Clculo Integral

    329Antes de continuar, debemos hacer notar que con esta definicin de

    rea bajo una curva, sta puede ser positiva o negativa. Para ver esto,consideremos unos ejemplos en los cuales el rea es un rectngulo porsimplicidad.

    {(x)

    t=~~.O a b ~exFig. 96

    (a - b) = - Aab.

    Si Aab nos representa el rea deun rectngulo definido por f(x)=3,y el eje x, cuya base se extiendedesde x = a a x = b. ObviamenteAab = 3 X (b - a). Si ahora con-sideramos Aba, el mismo rectngulo,pero su base ahora es desde x = ba x = a, tenemos que Aba = 3 X

    En esta forma Aab es positiva y Aba es negativa.

    eje x

    La altura del rectngulo tambinpuede ser negativa, como en la figu-ra; en ella. Aab es negativa, Aba espositiva.

    {(x)

    eje x

    -3

    Adc < 0, A{e > O. Fig 98En general, no denotaremos los extremos de la base con los subndices

    tal como lo hemos hecho aqu Aab, aunque ello se ver siempre claroen el problema de que se trate.

    Fig.97Las ideas son vlidas

    aunque el rea no sea rec-tangular. En esta figura,

    Acd> 0, Ae{ < O,

    {(x)

    Pase a 330.

  • 330

    El Area Bajo una Curva 197

    Encontramos muy fcilmente el rea bajo una lnea recta, ya quela figura de que se trata es un rectngulo. Busquemos ahora un mtodogeneral para encontrar el rea bajo cualquier curva.

    ((x)

    eje x

    Fig.99

    Para empezar, encontremos el rea aproximada bajo una curva y = f(x)entre dos puntos sobre el eje x separados una distancia pequea .x. Si.x es pequea, el rea es slo una estrecha franja tambin pequea.La designaremos por .A. Puede encontrar una expresin aproximadapara .A?

    .A '" _

    ('" significa "aproximadamente igual a")

    Esto representa un paso importante en el desarrollo del clculo inte-gral, as que no se desanime si necesita ayuda.

    Pase a 331 para ver la respuesta correcta.

  • 198 Clculo Integral

    331

    E

    D

    Fig. 100

    Arf(xo>

    L~ 6x '-

    La respuesta pedida es ~A '" f(xo) ~xSi respondi eso, pase a 332. Si no, siga leyendo aqu.

    Veamos ms de cerca el rea. Esta es una franjadelgada. Desgraciadamente, no es un rectngulo,pero se asemeja mucho. La mayor parte del rea esla del rectngulo ABCD y esta rea es el productode la longitud f(xo) y su ancho !:J.x, esto esf(xo) !:J.x.El rea buscada !:J.Adifiere, del rea delrectngulo slo por el rea de la figura ADE, quees casi un tringulo, nicamente que el lado AE noes recto. Si el valor de !:J.x se hace cada vez mspequeo, el rea de la figura ADE disminuye conmayor rapidez, debido a que su base AD y su al-tura DE se reducen en contraste con el rectnguloABCD en el cual, su longitud f(xo) permanece fija y slo el ancho,BC = !:J.x, disminuye. (Quiz lo dicho tenga un significado conocidoLo que tratamos de decir es que la aproximacin se acerca a una igualdaden el lmite cuando !:J. x ~ O. Ms exactamente, liro ~A '" l.)

    . Lh-..o f(xo) ~x

    Para un valor suficientemente pequeo de !:J.x,podemos decir

    Fjese que en forma anloga podamos haber dicho

    ~A '" f(xo + ~x) ~x

    y con mayor exactitud~x

    ~A", f(xo + -) ~x.2

    Sin embargo, el primer enunciado es el ms sencillo y suficientementeexacto si !:J.x es muy pequeo.

    Pase a 332.

  • El Area Bajo una Curva 199

    332

    Veamos ahora como se encuentra elrea bajo la curva f(x) comprendida en-tre dos lneas verticales cuyas interseccio-nes con el eje x son a y x. Obviamente, elrea depender tanto de! valor de x comodel valor de a y de f (x), as que escrribi-remos por ahora el rea como A (x ). Conun poco de dedicacin podr encontrar

    dA (x)una expresin para ---o

    dx

    f(x)

    a x

    Fig. 101

    eje x

    Trate de resolver este problema (tendr que usar el prrafo anterior)y despus pase a 333 para ver e! procedimiento correcto.

    dA (x)---

    dxPase a 333.

    333

    Esta es la solucin al problema anterior.

    dA (x)dx

    lim!'!x ->0

    A (x + !'!x) - A (x)!'!x

    f(x)

    Pero A(x + llX) - A(x) es e! reallA de la franja mostrada. Si llx es pe-quea, podemos emplear e! resultado delprrafo 331. El rea de la franja es apro-ximadamente llA = f(x) llx.Ahora ya podemos tomar el lmite

    lim!'!x->o

    A (x + !'!x) - A (x)!'!X

    !'!Alim!'!x->o !'!x

    lim!'!x ->0

    eje xa x (x + J1x)Fig. 102

    f(x) !'!x

    !'!X

    lim f(x) = f(x)!'!x ->0

    Obtenemos este resultado dA (x) = f(x)dx

    Pase a 334

  • 200 Clculo Integral

    334

    Para ilustrar el resultado obtenido, consideremos un caso que cono-cemos muy bien - el rea A(x) bajo una lnea recta.

    ejex

    Fig. 103

    Esta es la grfica de f(x) = 2. El rea bajo la lnea recta f(x) = 2Y el eje x, limitada por dos lneas verticales en O y en x es obviamente2x, como se ve de la figura. Por tanto, tenemos A(x) = 2x, de donde

    . d'f'" dAse sigue por I erenClaClon que -- = 2.dx

    dAPero f(x) = 2. En este caso -- = f(x), como demostramos en el

    dxprrafo anterior que es vlido.

    Resuelva este problema: Esta es

    la grfica de f(x) = ~x. En-2

    cuentre el rea bajo la lnea y eleje x, entre las lneas verticalesen y en x, como se indica en lafigura y del resultado demuestre

    dAque - = f(x).

    dx

    f(x)

    0.5

    o 0.5Fig. 104

    x 2

    Para comprobar su respuesta, pase a 335.

  • El Area Bajo una Curva 201

    335

    El rea A(x) es la de un ((x)tringulo rectngulo de baseb=x y de altura h=f(x) =

    ~ x, menos el rea del tringulo 0.52.ms pequeo de base = 1 Y de

    1altura = -

    21 1 1 1 1Por tanto, A= - bh - - ( - x 1) = - x 2 - -2 2 2 4 4

    dA d 1 2 - 1 1- = - (- x - -) = - x = ((x).dx dx 4 4 2 .

    Nuevamente vemos que el resultado

    dA (x) = ((x)dx

    es vlido. Fig. 105

    eje x

    De hecho, este resultado es general y es vlido para cualquier curva,como lo demostramos en el prrafo 333. Estos dos ejemplos hacen queel resultado parezca ms razonable.

    Pase a 336

    336Todava no hemos resuelto nuestro problema. Nos propusimos encon-

    trar el rea A(x) y slo hemos encontrado su derivada. Ahora ver porqu la idea de una integral es tan importante.

    dAYa que - = f(x), entonces

    dx

    A (x) = J ((x) dxLa expresin es correcta, pero no es muy til an. Puede ver por

    qu?

    Pase a 337.

  • 202 Clculo Integral

    337

    La expresin no es muy til, debido a que la integral indefinida con-sidera una constante arbitraria, mientras que no hay nada indefinido o ar-bitrario por lo que respecta al rea. Veamos como atacar este problema.Si el rea buscada A(x) se extiende de a a x en el dibujo. Supngase quehemos encontrado una integral particular de f(x), digamos

    F(x) = J {(x) dxTambin sabemos que

    A (x) = J {(x) dx.

    Sin embargo, como se discuti en el p-rrafo 296, las integrales de la misma fun-cin difieren nicamente en una cons-tante. Ya que A(x) y F(x) son dosintegrales de f (x), se sigue que

    f(x)

    Fig. 106

    eje x

    El siguiente problema es encontrar el valor correcto de la constante c.Puede hacerla?

    A(x) = F(x) + ec = _

    Si necesita ayuda, pase a 338.Si quiere comprobar su respuesta, pase

    a 339.

    338

    Sugestin - Considere que A (a) es el valor de A (x) cuando x = a.

    Ahora - cunto "ale c?

    c = _

    Pase {/ 339 para ver la respuesta.

  • El Area Bajo una Curva 203

    339

    Consideremos el rea sombreada bajof( x), entre las lneas sobre a y x en el casolmite cuando x = a, esto es, cuando las doslneas coinciden en una sola. Obviamente,en este caso el rea es O, ya que la franja notiene ancho. Por tanto, A (a) = O. Sin em-bargo, segn el prrafo 337

    A (x) = F (x) + e. Consecuentemente

    340

    as

    A (a) = F (a) + e = O

    e = - F(a).

    {(xl

    eje x

    Fig. 107

    Pase a 340.

    Por fin tenemos el resultado buscado.A (x) = F(x) + e, y e = - F(a), por lo tanto

    ( A (x) = F (x) - F (a) )

    En esta ecuacin, recuerde que{(xl

    A(x) = rea bajo la curva f(x) entre lospuntos a y x,

    a un valor dado de x,

    F(x)

    F(a)

    cualquier integral indefinida dex=ff(x)dx,

    F(x) evaluada en x = a.

    eje x

    Fig. 108

    Pase a 341.

  • 204 Clculo Integral

    341

    Para ver una aplicacin de todo esto, eje yencontremos el rea bajo la curva y = X2entre x = O Y otro valor de x.

    Como sabemos J x2 dx = 1 x3 + e = F (x)3 x eje x

    ( 1 3 1 3 )A(x) = F(x) - F O) = - x + e - (- O + e3 3

    Fig.109

    1 3= - x

    3

    Fjese que la constante indeterminada c se elimina, tal como debe ocurrir.Esto sucede cuando encontramos una expresin como F(x) - F(a), as quepodemos omitir sencillamente c. Eso haremos en los prrafos siguientes

    Pase a 342.

    eje x

    eje y30252015105

    2 3 4

    Fig. 110

    Puede encontrar el rea bajo la curva y = 2x2, entre los puntosx=2yx=3?

    342

    A = D 3 I .!. I 38 I 18J3 3

    Si acert, pase a 344.Si no, pase a 343.

  • El Area Bajo una Curva 205

    343eje y30252015105

    2 3 4Fig. 111

    Esta es la solucin al problema:

    eje x

    A = F(3) - F(2),2

    F(x) = f 2x2 dx =- x33

    2 2 16 38A = - x 27 - - x 8 = 18 - - = -

    3 3 3 3

    Pase a 344.

    344

    Antes de seguir adelante, introduzcamos una notacin que nos ahorrartrabajo.

    Frecuentemente tenemos que encontrar la diferencia de una expresinevaluada en dos puntos, como F (b) - F (a). Esto se puede escribir como

    F(b) - F(a) = F(x) I~Por ejemplo, x21 ~ = b2 _ a2

    Como otro ejemplo, en el problema anterior, necesitbamos encontrar

    2 3 13 2 3 2 3 2 38- x = - (3 ) - - (2 ) = - (27 - 8) = -3 2 3 3 3 3

    Pase a 345.

    Respuestas: (342) 383

  • 206 Clculo Integral

    345

    Hagamos este otro problema:

    La figura muestra la grfica de )'= x3 + 2.

    Encuentre el rea entre la curva y el eje x desde x = - 1 a x = + 2.

    Fig. 112

    eje x

    Respuesta: DI1/4\4117/4139/41 ninguna de stas]

    Si acert, pase a la seccin 4, prrafo 347.Si no, pase a 346.

    346

    El problema debe resolverse as:

    A = F (2) - F ( - 1) = F (x) I~11

    F = f ydx = f (x3 + 2) dx = - x4 + 2x4

    A=(.!.x4+2x)12 =(~+4)_(.!._2)=394 -1 4 4 4

    Pase a 347.

  • Seccin 4.

    347

    INTEGRALES DEFINIDAS

    Integrales Definidas 207

    En esta seccin encontraremos otra forma de obtener el rea bajo unacurva. Este resultado ser equivalente al de la seccin anterior, pero nosdar un nuevo punto de vista.

    ((x)

    a

    Fig. 113

    eje x

    Hagamos un breve resumen de la seccin anterior. Si A es el reabajo la curva de f(x), entre x = a y otro valor de x, demostramos (p-

    rrafo 333) que dA = f(x). A continuacin se vio (prrafo 340) quedx

    que si F(x) es una integral indefinida de f(x), por ejemplo, ~~ = f, en-tonces el rea bajo f(x) entre dos valores de x, a y b, esta dada por

    A = F(b) - F(a).

    iAhora por otro camino!

    PaJe a 348.

    39Respuesta: (345) -

    4

  • 208 Clculo Integral

    348

    Encontremos el rea bajo una curva en la forma siguiente:

    f(x)

    a

    Fig. 114

    beje"

    Primero dividimos el rea en varias franjas por medio de lneas para-lelas al eje de f(x), separadas la misma distancia. En la figura se mues-tran 4 de dichas franjas. Las franjas no tienen el lado superior regular,pero podemos volverlas rectangulares, trazando una lnea horizontal enla pacte de arriba de cada franja, como se indica. Llamemos a las franjas1. 2, 3, 4. El ancho de cada franja es

    b-a!:ix = --o4

    La altura de la primera franja es f(Xl)' donde Xl es el valor de x en elprincipio de la primera franja. Anlogamente, la altura de la franja 2es f(X2), donde X2 = Xl + 6.x. La tercera y cuarta franjas tienen altu-ras f(xa) y f(X4) respectivamente, donde Xa = Xl + 26.x, y X4 =Xl + 36.x.

    Pase a 349.

    349

    Usted ya est capacitado para escribir una expresin aproximada parael rea de cualquiera de las franjas. Si necesita ayuda, repase el prra-fo 331. Escriba abajo la expresin aproximada para el rea de lafranja 3, 6.Aa.

    Pase a 350 para ver la respuesta correcta.

  • Integrales Definidas 209

    350

    El rea aproximada de la franja nmero 3 es ~A3 == {(X3) ~x.

    Si quiere una explicacin de esto, repase al prrafo 331.

    Puede escribir una expresin aproximada para A, el. rea total de las4 franjas?

    A

    Trate de resoLverLo y des Plts pase a 351para ver La respuesta correcta.

    351

    Una expresin aproximada para el rea total es sencillamente la sumade las reas de todas las franjas. Empleando los smbolos, ya que

    A = ~A 1 + ~A 2 + ~A 3 + ~A 4, tenemos

    Podemos escribir tambin esto

    4A = L {(Xi) ~x.

    i= 1

    2: es la letra griega Jigma que corresponde a la letra S en Espaoly que se ha usado para representar suma. El smbolo i g (x i) significa

    i= 1

    p(1J1:' a 352.

  • 210 Clculo Integral

    352

    Supngase que dividimos el rea en un nmero mayor de franjas, cadauna ms estrecha, como se indica en las figuras. Evidentemente nuestraaproximacin ser cada vez mayor.

    {(x) {(x) {(x)

    an=4

    bx

    an=8

    Fig. 115

    bx -+---'a.LJ..L.Lll.l.J..U.LU..J ..bL-X

    n = 16

    nSi dividimos el rea en n franjas, entonces A == I. (Xi) .x, donde

    i= Ib - a S' h l 1" dI'n = --o I a ora tomamos e ImIte cuan o, !1x ~ O, a aproxima!1x

    cin se convierte en una igualdad. As,n

    A = lim I. (Xi) .x..x->O i=I

    Este lmite es tan importante que se le ha dado un smbolo y un nombreespecial. Se le llama la integral definida y se escribe

    Lb (x) dx. Este smbolo es muy parecido al de la integral indefinida(x) dx, y como veremos en el siguiente prrafo, estn relacionados.

    Sin embargo, es importante recordar que la integral definida est definidapor el lmite dado arriba. As, por definicin

    rb nJn (x) dx = lim I. (Xi) .xa .x->O i= I

    (El smbolo f es una S deformada y, como la sigma, se ha escogido pararepresentar suma.)

    Pase a 353.

  • Integrales Definidas 211

    353Con la definicin de integral definida, la discusin del prrafo

    anterior nos dice que el rea A bajo la curva es igual a la integral definida.

    A =J:b (x) dxPero antes habamos visto que el rea tambin puede encontrarse entrminos de la integral indefinida.

    F(x) =; J (x) dxy

    A = F(b) - F(a).

    Por lo tanto, tenemos la relacin

    f: (x) dx = F(b) - F(a) = {f(x) dx}l~

    As, la integral definida puede expresarse en trminos de una integralindefinida evaluada en los lmites. Este interesante resultado frecuen-temente se llama Teorema Fundamental del Clculo Integral.

    Pase a 354.

    354

    Como una ayuda, para recordar la definicin de integral definida,intente escribirla usted solo. Escriba una expresin que defina la inte-gral definida de f (x) entre los lmites a y b.

    Para comprobar .1/1 respuesta,paJe a 355.

  • 212 Clculo Integral

    355

    La respuesta correcta es

    Lb n((x) dx = lim ~a L1x ...o i= 1 b-a((Xi) L1x, donde n =--.L1xSi escribi lo anterior, una expresin equivalente, muy bien.Si escribi

    Lb ((x) dx = F(b) - F(a), donde F(x) = J ((x) dx,

    Tambin es cierto, pero no es la definicin de integral definida. Elresultado es vlido ya que ambos miembros representan la misma cosa-el rea bajo la curva fex) entre x = a y x = b. Este es un resultadoimportante, ya que sin l, no hay manera de encontrar el valor de laintegral definida, pero no es vlido como definicin.

    Si el razonamiento anterior est claro, pase a 356.Si no, repase este captulo y despus pase a 356, para ver una discu-

    sin posterior acerca de integrales definidas e indefinidas.

    356

    . Quiz la integral definida le parezca una complicacin innecesaria.Despus de todo, lo nico que hemos obtenido con ella ha sido escribirel rea bajo una curva en otra forma. Para obtener realmente el rea,hemos regresado a la integral indefinida. Sin embargo, hubisemos po-dido encontrar el rea directamente de la integral indefinida. La impor-tancia de la integral definida radica en su definicin como el lmitede una suma. El proceso de dividir un sistema en partes pequeas ydespus juntadas todas, tiene aplicacin en muchos problemas. Esto, na-turalmente, hace importante la integral definida, la cual podemos valo-rar en trminos de integrales indefinidas, mediante el uso del TeoremaFundamental, del prrafo 353.

    PtlJe a .357.

  • Integrales Definidas 213

    357

    Puede demostrar que

    Lb [(x) dx = -ha {(x) dx?

    Despus de intentarlo,pase a 358.

    358

    La demostracin de que Lb {(x) dx = -Iba {(x) dx es sencilla.Iab [(x) dx = F(b) - F(a), donde F(x) = f {(x) dx

    pero

    Iba {(x) dx = F(a) - F(b) = - [F(b) - F(a)]= -Lb {(x) dx.

    de f(x) de a a b" y a la expre-de a a bJJ

    Es evidente del prrafo 329, que cam-biando los puntos a y b entre s, se cam-bia el signo del rea.

    Los puntos a y b, se llaman los lmitesde la integral (nada tiene que ver conlim f(x); aqu lmite sencillamente sig-"'-nifica extremo). El proceso de encon-trar el valor de

    Lb {(x) dxse llama frecuentemente "integracinsin se le llama la "integral de f(x)

    eje y

    a b

    Fig. 116

    eje x

    Pase a 359.

  • 214 Clculo Integral

    359

    Cul de las expresiones siguientes, da correctamente1:277 sen O dO?[ 1 I O I 27T I -2 I -27< I ninguna de stas]

    Pase a 360.

    360

    f 277 1277o senede=-cose 0=-[1-11=0sen 8 Es fcil observar el porqu de

    este resultado, inspeccionando la figura.La integral da el rea total bajo lacurva, de O a 27T, o sea la suma de8Al Y A2 Pero A2 es negativa, ya que

    -1 sen O es negativo en esa regin. PorFig. 117 simetra, la suma de las dos reas es

    o. Sin embargo, debe poder encon-trar Al y A2 separadamente. Resuelva este problema:

    Al =f: sen e de = D\ 2 I - 1 I - 2 I 77 I OJSi acert, pase a 362.Si no, pase a 361.

    361

    Al = J sen e de = - cos e 1: = - [- 1 - (+1)1 = 2.Si no se acuerda de la integral, la puede encontrar en la tabla de

    la pgina 295. Para encontrar el valor de cos O en los lmites, es nece-sario saber que cos (7T) = -1, cos (O) = 1.

    Pase a 362.

  • Integrales Definidas 215

    362eje y

    %eje x

    Fig. 118Esta es la grfica de la {uncin y = 1 - e-flJPuede encontrar el rea sombreada bajo la curva, entre el origen y x?

    Respuesta: [e-X I 1 - e-x I x + e-x I x + e-x - lJSi acert, pase a 364.Pase a 363 para ver la solucin o si es quequiere una explicacin acerca del significado del rea.

    363

    Esta es la solucin al problema anterior.

    ( -X) Ix _xix -x 1= x - -e = x + e = x + e -o o 'El rea encontrada est limitada por una lnea vertical en x. Este

    resultado nos d el area A como una variable que depende de x. Siescogemos un cierto valor de x y se substituye en la expresin para A,obtenemos un valor especfico de A. Hemos encontrado una integraldefinida, en la cual uno de sus lmites ha sido una variable.

    Pase a 364.

    Respuestas: (359) O; (360) 2

  • 216 Clculo Integral

    364

    Evaluemos esta integral definida antes de segUIr adelante. Encuentre

    r 1 dx (si lo necesita, use la tabla de integrales, pgina 295.) o ..j 1 - x27T

    Respuesta: [ O I 1 I 00 I 'Ir I - I ninguna de stas]2

    Si acert, pase a la seccin 5,prrafo 366.

    Si no, pase a 365.

    365

    De la tabla de integrales, pg. 295, vemos que

    J'v 1 ~xx 2 arcsen x + c. por tanto ,

    1I (x) = -_-_-_-_-_ se..j 1 - x2

    r1 dxJ o ..j 1 - x2

    f(x)

    arcsen xl: = arcsen 1 - arcsen O.Pero arcsen (1) = 7T/2, ya que sen

    (71'/2) = 1. Anlogamente, arcsen (O) = O.Por tanto, la integral tiene por valor7T/2 - O = 7T/2.

    Una grfica deda en la fig.

    o ls 1Fig. 119

    Aunque la funcin es discontinua enx = 1, el rea bajo la curva est muy biendefinida.

    PaJe a la seccin 5,prrafo, 366.

    Respuestas: (362) x + e"- 1

  • Seccin 5.

    366

    Aplicaciones de la Integracin 217

    APLICACIONES DE LA INTEGRACION

    En esta seccin aplicaremos la integracin a ciertos problemas sencillos.

    En el captulo II aprendimos a encontrar la velocidad de unapartcula, si conocemos su posicin en trminos del tiempo. Aqu, apli-cando el proceso inverso, encontraremos la posicin partiendo de lavelocidad. Por ejemplo, vamos manejando un automvil en una carre-tera recta a travs de una espesa niebla, para empeorar la situacin nuestroindicador de distancia recorrida est descompuesto. En lugar de ob-servar la carretera continuamente, observamos el velocmetro. De estamanera, tendremos un registro continuo de la velocidad, desde el reposo.El problema es saber que tan lejos hemos llegado. (Este es un mtodo muypeligroso para manejar un automvil, pero es el que se emplea realmentepara la navegacin de aviones y submarinos). Ms especficamente, dadav(t), cmo hacemos para encontrar 5(t), la distancia recorrida desdeel tiempo to en que estbamos en reposo? Trate de encontrar un mtodo.

    5(t) = _

    Para comprobar el resultado,pase al prrafo 367.

    Respuesta: (364) "/2.

  • 218 Clculo Integral

    367

    Ya que

    dSv=-

    dt

    debemos encontrar dS = v dt (como se vio en 275)Integrando ambos miembros de la ecuacin desde el punto inicial

    (t = to, S = O) hasta el punto final (1, S).Tenemos que

    fs dS = rl v dt, as queS=o J lOs =fl V dt.

    lO

    Si no obtuvo este resultado o requiereuna explicacin ms amplia, pasea 368. Si no pase a 369.

    368u(l)

    Al

    I (1 + Al)

    Fig. 120

    eje t

    Otra forma de entender este problema, es analizado grficamente.Esta es una grfica de v(t) como una funcin de t. En el tiempo At ladistancia recorrida es t!.S = vt!.t. La distancia total recorrida es, entonces,igual al rea bajo la curva entre los dos tiempos considerados, o sea

    fl v (t) dt.lO Pase a 369.

  • Aplicaciones de la Integracin 219

    369

    eje t

    v(t)

    va

    Va y b son constantesEn tiempo t = O, dicho objeto esten el origen; S = O. Cul de las Fig. 121siguientes es la distancia que el objeto ha recorrido despus de un tiempoinfinito (o si gusta, despus de mucho tiempo)?

    Sea un objeto que se mueve de talmanera que su velocidad disminuyecontinuamente en la forma siguiente.

    v(t) = Va e-bt.

    Si acert, pase a 371Si no, pase a 370,

    370

    Esta es la solucin al problema del prrafo 369.

    S(t) - SeO) =J~v dt =J~Va e-bt dtS(t) _ 0= _.!:.Q e-bt It = _ Va (e-bt - 1)

    , b a b

    Nos interesa el lmite lim S(t), pero ya que e-bt ~ O Cuando t ~ 00t-. 00

    tenemos que:

    1, Va Va1m S (t) = - - (O - 1) = -t .. 00 b b

    Aunque el objeto no llega nunca a estar en reposo, su velocidad sehace tan pequea, que la distancia total recorrida es finita.

    Pase a 371,

  • 220 Clculo Integral

    371

    No todas las integrales dan resultados finitos. Por ejemplo, trate de re-solver este problema.

    Una partcula parte del origen en el tiempo t = O con una velocidadv(t) = vo/(b + t), donde Vo y b son constantes.

    Qu distancia ha recorrido cuando 1-700 ?

    372

    vo In .!. Vo I Vo \ ninguna de stas]L: b b b2 Pase a 372.

    Fcilmente se aprecia que el problema de 371 nos conduce a una in-tegral infinita.

    fl ~ 1S (t) - O = Vo -- = Vo In (b + t) I1=0 b+t o= Vo [In (b + t) - In b]

    t= Vo In (l + -)

    bt

    Ya que ln(l + b) ~ 00 cuando t -7 00, vemos que S(t) -7 00 cuandot ~ oo.

    En este caso, la partcula siempre se mueve tan rpido, que su movi-miento es ilimitado. En otras palabras, el rea bajo la curva v(t) = Vol(b + t) aumenta sin lmite cuando t -7 oo.

    Pase a 373.

    VoRespuesta; (369).-b

  • 373

    Aplicaciones de la Integracin 221

    En los prrafos siguientes, aplicaremos la integracin para encontrarel volumen de un cono recto.

    Fig. 122La altura del cono es h, y R es el radio de la base. x nos representar

    la distancia vertical a partir de la base.El mtodo que usaremos es parecido al que se emple en e! prrafo

    348 para encontrar e! rea bajo una curva. Cortaremos e! cuerpo en uncierto nmero de discos, cuyo volumen es aproximadamente el volumende! cono, como se aprecia de la figura (el cono se ha formado aproxima-damente por 8 discos).

    Por tanto, tenemos8

    V = I ~Vii= 1

    donde t.V i es el volumen de uno de los discos. En el lmite, cuandola altura de cada disco (y por tanto su volumen) tiende a O, nos queda

    V = J dV.

    Para hallar esto, debemos encontrar una expresin para dV. Para ello,pase a 374.

    Respuesta: (371) ninguna de stas.

  • 222 Clculo Integral

    374

    Ya que vamos a tomar el lmite cuando ~V -:> O, representaremos elvolumen por dV desde el principio.

    En la figura se muestra una seccin delcono, que para nuestros propsitos es undisco. El radio de dicho disco es r y sualtura dx. Intente encontrar una expresinpara dV en trminos de x. (Tambin debeponer r en trminos de x.)

    Fig. 123

    dV = _Para comp1'obar el resultado o ver cmo,

    se obtiene, pase a 375.

    375X 2

    dV = TTR2 (l - -) dx.h

    Si esa fue su respuesta, pase a 376.Si quiere saber como se obtuvo, siga leyendo aqu.El volumen del disco es el producto de su rea por su altura. As,

    dV = -rr'2 dx. El problema pendiente es expresar r en trminos de x.

    h

    /I

    h-x///

    ,/ .{L _

    Fig. 124

    R

    El diagrama muestra un corte del cono.Como r y R son lados correspondientesde tringulos semejantes, se observa que

    r h-x x= -h-' o r = R (l - ,/ As,2 x 2

    dV=TTR (l--)dx.h

    pase a 376.

  • 376

    377

    Aplicaciones de la Integracin 223

    Ahora si ya tenemos la integral para V.

    Trate de encontrar su valor.

    v= _

    Para comprobar su respuesta pase a 377.

    Debi haber obtenido

    1 2hV =- 11 R .3

    Si esto obtuvo, muy bien. Pase a 378. Si no, siga leyendo aqu.

    ih 2 X 2 2~h 2x X2V = 11 R (l - -) dx = 11 R (l - - + - ) dx.o h o h h2x2 1 x3 Ih 1=11R2[x--+--) =11R2(h-h+-h)h 3 h2 o 3

    1 2h=-11R .3

    Pase a 378.

  • 224 Clculo Integral

    378Aqu tenemos otro problema. Se trata de encontrar el volumen de una

    eje" esfera. Se hace ms sencillo si tratamos de en-contrar el volumen de la semiesfera V', que esexactamente la mitad del volumen pedido, V.As, V' = V/2.

    Puede dar una integral para expresar elvolumen de la semiesfera? (Cortar la esferaen la forma que se indica en la figura, puedeserie muy til.)

    Fig. 125

    V' = _Pase a 379 para comprobar Sil frmula

    379Debi escribir

    V'=foR TT(R2 - x2) dx.

    Si eso escribi, pase a 380.Si no, siga aqu.

    En el diagrama tenemos una seCClOnde la semiesfera. El volumen de un discoentre x y x + dx es 'Ir r2 dx. Pero, comopuede verse del tringulo de la figura,x2 + ,2 = R 2 as que

    ,2 = R 2 _ x2.Fig. 126

    Por tanto, dV'=TT(R2 -x2)dx y V'=foR TT(R2 -x2)dx.

    Pase a 380.

  • 380

    381

    Aplicaciones de la Integracin 225

    Sigamos adelante y encontremos el valor de la integral

    V'=foR rr (R2 - x2) dx.

    V'

    Para ver la respuesta correcta pase a 381.

    3 1 3 2 3= rr (R - - R ) = - rr R .3 3

    Ya que V = 2 V', 4 3V=-rrR3

    Pase a la seccin 6, prrafo 382.

  • 226 Clculo Integral

    Seccin 6. INTEGRALES MULTIPLES

    382

    El objeto de esta seCClon, integrales mltiples, es interesante, perotambin un poco complicado y, dependiendo del inters que usted tenga,puede que no sea muy necesario para sus estudios posteriores. Por lo tantosi considera que ya es suficiente con lo que ha aprendido de clculo, pasede inmediato a la conclusin de este captulo, prrafo 400. Si no, sigaleyendo aqu.

    Hasta aqu, hemos considerado integrales sencillas tales comof: f (x) dx.Ahora vamos a estudiar un tipo de integral ms general. Para empezar,veamos nuevas formas de resolver un problema conocido.

    Supngase que deseamos encontrar el rea dentro de una curva cerrada.Dicha curva puede estar definida por una expresin un poco ms com-plicada que las que habamos usado antes. Por ejemplo, la curva dada por

    es un crculo de radio r con centro en el origen. La curva mostrada enla figura representa cualquiera otra ecuacin de x y y. Nuestro problemaes encontrar el rea de la regin cerrada, A.

    eje y

    eje x

    Fig. 127

    Podemos encontrar el rea bajo la curva (1) entre a y b, y luego restarleel rea bajo la curva (2), pero hay otra manera de hacerla.

    Para ver como se hace pase a 383.

  • Integrales Mltiples 227

    383

    Comenzaremos dividiendo el rea en franjas, tal como se hizo en elprrafo 348, donde encontramos el rea entre una curva y el eje x. Ladiferencia bsica, es que aqu las coordenadas de ambos extremos de lafranja, dependen del valor de x correspondiente. Por tanto, si el anchode cada franja es f::"x, el rea de la franja sombreada es f::.x X (Y2 - '1)'

    eje y

    %

    Fig. 128

    eje x

    Si Y2(X) representa el valor de y en la parte superior de la franjacorrespondiente a x y Y1(x) representa el valor de y en la parte inferior,empleando lo visto en el prrafo 352, tenemos

    Consideraremos todava otra forma para expresar A.

    Para ello, pase a 384.

  • 228 Clculo Integral

    384

    Este es el dibujo de una de las franjas del rea de la figura en el p-rrarfo 383. Podemos subdividir las franjas en reas ms pequeas, forma-das por rectngulos de altura 6.y y con el mismo ancho que la franja illc.

    Entonces, el rea de la franja es aproximadamente la suma de las reasde los rectngulos, como se indica. Area de la franja '" Iy~Y~x. Parasimplificar, no hemos puesto los lmites de la suma. En lugar de ello, sim-plemente recuerde que la suma es desde el valor mnimo de y, Y1 a el valormximo, Y2' El subndice y bajo I es para recordar que estamos sumandotodos los 6.y s, multiplicados por un valor fijo 6. x.

    Y2(x)

    Fig. 129

    Entonces, el rea de la franja es aproximadamente la suma de las reastotal dentro de la curva, en trminos de los lmites de dos sumas, unacon respecto a x y la otra sobre y. Intente hacerla. Para simplificar, noponga los lmites de las sumas.

    A= _

    Para comprobar S1l respuesta o ver la ex-plicacin, pase a 385.

  • Integrales Mltiples 229

    385

    La expresin correcta es

    A = lim ~ [ lim ~ D..y] D..xD..x ->0 x D..y ->0 y

    limD..x ->0

    lim ~ ~ D..yD..x.D..y ->0 x y

    Si escribi cualquiera de las dos expresiones anteriores, muy bien.Son equivalentes y ambas son correctas. Haya acertado o no, siga leyendoabajo.

    La segunda frmula da una interpretacin particularmente sencilla parael significado de la doble suma. -

    eje Y

    eje x

    Fig. 130

    l::1y I::1x es el rea del pequeo rectngulo que se indica y podemosigualado a 1::1'A. 1::1'A es un incremento de rea. El apstrofe (') es pararecordar que 1::1'A es el producto de dos cantidades pequeas I::1x yl::1y. Cuando hacemos la suma con respecto a x y y, de hecho estamossumando todas las 1::1'A en el rea. As, podemos escribir la frmula como

    A = lim lim ~ ~ D../ A.Ax->o D..y ->0 x y

    Sin embargo, para encontrar el valor de las sumas, necesitamos ponerlas sumas como integrales definidas y para ello usaremos la frmula para A,que est en la parte superior de la pgina.

    Pase a 386.

  • 230 Clculo Integral

    386

    Hasta aqu tenemos que

    A = lim ~ 1 lim ~ ~yl ~x.~x -+0 x ~y -+0 y

    La cantidad dentro del parntesis, se parece mucho a una integral de-finida. De hecho, empleando el resultado del prrafo 352, tenemos

    Aqu introducimos implcitamente los lmites de y que se haba omi-tido desde el prrafo 384. Recuerde que estos lmites, Yl, Y2 dependende x. Si el uso de dy le parece extrao, lo discutiremos en el prrafosiguiente. El valor de la integral definida de arriba, se encuentra fcil-mente:

    (Y2 :1y = Y - YJy 2 11

    Sin embargo, lo dejaremos como una integral, de manera que el nuevoresultado es

    A= lim ~[r2dy]~x~x-+O x y

    Ahora ya puede usted escribir A completamente en trminos de inte-grales definidas. Para ello, considere que a representa el valor ms pequeode x en el rea y b el mayor.

    eje y

    Fig. 131

    A= _

    Para ver la respuesta correcta, pase a 387.

  • Integrales Mltiples 231

    387

    El resultado final es

    Cuando se emplean en la frmula anterior, dx y dy son diferencialesindependientes. I Este no es el caso de la seccin 11 del captulo 11. L; \ra-zn es que aunque y depende de x en la curva, podemos considerar a yy a x como variables independientes, cuando se integra el rea dentro dela curva. La dependencia entre y y x se nota en el problema a travsde los lmites en la integral de y. Y2 Y Y1 dependen de x.

    Antes de seguir adelante, debemos anotar que los lugares de x y y sonintercambiables. Podemos integrar x de un extremo del rea al otro y des-pus integrar y en el rango permitido.

    Para ver un ejemplo que indica cmo se hace esto prcticamente,pase a 388.

  • 232 Clculo Integral

    388Antes de que resuelva un problema usted solo, quiz quiere saber en

    forma detallada, la solucin de este tipo de problemas. Usaremos estemtodo para encontrar el rea de un crculo dado por x2 + y2 - R2 = O.El radio del crculo es R y sabemos la respuesta de antemano; A = 7r R2.

    a

    Fig. 132

    Tenemos A =fb [f~~1dx.a y 1 J

    Del diagrama, se observa que a = - R, b = R,y 1 = - ..R2 - x2, Y2 = ..R2 - x2.

    As, A =f+R[fVR2

    - x2

    dy]dX.- R - V-R-2---x-2

    La integral para y es

    Substituyendo en la frmula de A, nos queda

    J+RA=2 YR2-x2dx.-REsta integral no la hemos visto antes. Para ver el resto de la solucin

    pase a 389.

  • 389

    Integrales Mltiples 233

    J+RNuestro problema es encontrar el valor de ...;R 2_ X 2dx.-REsta integral no la tenemos en la lista de integrales de este libro, pero

    puede encontrarse en una lista de integrales ms completa, tales como lasreferidas en el apndice B6. El resultado es

    f V R 2 - X 2 dx = + [x ...;R 2 - X 2 + R 2 arcsen ~].Puede comprobarse que es el resultado correcto, diferenciando el segun-

    do miembro de la expresin. (La frmula 19 de la tabla 1, pg. 293 estil para ello.)

    As, el resultado es

    A = 2f+R V R 2_ X 2 dx = [x V R 2 - X 2 + R 2 arcsen ~] 1+ R-R R -R

    = R 2 [arcsen (1) - arcsen (-1)]

    17Ya que arcsen (1) =-

    217

    yarcsen (- 1) = --, tenemos2

    Pasemos ahora a un problema para que usted lo resuelva.

    Pase a 390.

  • 234 Clculo Integral

    390

    Encontremos el rea del tringuloindicado, empleando el mtodo des-arrollado en esta seccin.

    A = fXm x fY 2dy dxJXm!n JY1

    El nico problema real es encontrarlos lmites de las integrales. (Puedehacerlo ?)

    eje y

    bl2

    a

    Fig. 133

    eje x

    Y2 = _ y 1 = _

    Xm x = _ xmln = ----------

    Para ver la respuesta correcta pase a 391.

    391

    Del diagrama, puede usted ver que

    b xY2 ="20--;;)

    b xy 1 = - - O - -).

    2 a

    (Si tiene dudas al respecto, repase elprrafo 375.)

    Xm x = a xm In = O

    ejeybl2"

    a

    Fig. 134

    eje x

    Haga la siguiente integral de y

    b x

    J-(1--)2 a

    dy =-~(1-~)

    2 a

    Para comprobar el resultado, pase a 392.

  • Integralp.sMltiples 235

    392

    La integral es sencilla, ya que

    JY2 IY2dy = Y = Y2 - YlY 1 Y 1b x

    f+2"(l-a) b x b xdy =- (1--) - [--(1 --)]b x 2 a 2 a-2"(l-a)

    x= b (1 - -).

    a

    Complete el problema haciendo la integral de x.

    A = --------------P~se a 393.

    393

    ia x 1 x2 I+aA = b(1 --) dx = b(x ---)o a 2a o1 a2 1

    = b (a ---) =- ab.2 a 2

    Esto nos conduce a un resultado conocido - o sea el rea de un trin-1

    gulo = - base X altura.2

    Pasemos ahora a ver un problema ms complicado.

    Pase a 394.

  • 236

    394

    Supngase que nuestro tringulo es la base de un objeto hecho de unmaterial con espesor variable. El espesor z, vara en la forma siguiente:

    eje z

    Fig. 135

    z = e x2, donde e es constante. (Esta es una pieza especial de unmaterial. Tiene un espesor igual a O sobre el eje y, pero dicho espesorse incrementa a medida que x crece.) la base plana del objeto est sobreel plano x-y.

    El problema consiste en encontrar el volumen del objeto.

    Pase a 395.

    395

    Procederemos como antes, pero ahora tenemos tres dimensiones, paraefectuar las sumas con respecto a ellas.

    Sea dV = volumen del elemento, cuyos elementos son dx, dy, dz.v = JJ J dV = J lf [J dz] dy I dx

    (los lmites se han omitido para simplificar.)

    Puede hacer la integracin de z? (Repase el prrafo 394 si tiene dudasde esto.)

    iZ2 dz =ZlPase a 396, para ver la lespuesta.

  • 396

    as

    Integrales Mltiples 237

    fX2 2 2dz-z, -z' =CX -O=CX- max mlnxl

    Ya est capacitado para terminar este problema. Intntelo y despuscompruebe el resultado en el prrafo 397.

    v= _

    Pase a 397.

    397

    Los lmites para x y y son exactamente los mismos que en el prra-fo 390. Por tanto

    a 2b x 1 3 lx4)lao

    = Cx (l--)dx=bC(-x ---O a 3 4a

    Pase a 398.

  • 238 Clculo Integral

    398Puede usted pensar que la integracin mltiple es un mtodo compli-

    cado de hacer algo bsicamente sencillo. En la expresin para el rea,

    A = f[Jdy) dx

    la integracin de y siempre nos conduce a ]2 - Y1, de manera que seobtiene

    que es exactamente el punto de partida del prrafo 384. Si este fueseel nico empleo de las integrales mltiples, estara en lo justo. Sin em-bargo, el empleo de las integrales mltiples es mucho ms amplio queencontrar simplemente el valor de algunas reas. Por ejemplo, podemos en-contrar el valor de integrales de la forma

    .rxmx[fY2 ]G =J, , g(x,y) dy dxXm1n Y 1

    donde g(x, y) es una variable que depende de x y y y los lmites deY1 y Y2 dependen de x. Dimos un ejemplo de ello, en el prrafo 397donde g(x, y) = e :

  • Integrales Mltiples 239

    399

    eje x

    Aqu vamos a encontrar el valor de

    G = ff (x + y) dy dx, eje yDonde el rea es la encerrada por el se- Imicrculo de la figura. La integral de y da:

    2x y R2_x2.

    Por tanto, tenemos

    G =LR 2x yR2 - x2 dx.Fig. 136

    Podemos encontrar esta integral, haciendo un cambio de variable.u = i2. Entonces du = 2x dx, y

    fR2G =)0 (R2 - u)1/2 duo

    (Fjese que hemos substituido u = xl! en los lmites. Por tanto, enel lmite superior, x = R Y u = R2. Siempre que se hace un cambio devariable, se deben cambiar los lmites tambin.)

    Haciendo una nueva substitucin, s = R2 - U Yds = - du, obtenemos

    Pase a la seccin 1, prrafo 400.

  • 240 Clculo Integral

    Seccin 7. CONCLUSION

    400

    Al llegar aqu, ha entendido los prinCIpIOs de la integracin y estcapacitado para resolver algunas integrales. Con prctica, el nmero deintegrales que pueda resolver, se volver mayor. No tenga miedo de em-plear las tablas de integrales - todo mundo lo hace. Podr encontrartablas de integrales ms completas en

    Handbook of Chemistry and Physics(Chemical Rubber Publishing Co.),

    A Short Table of Integrals, B. O. Peirce(Ginn and Co.)

    No podemos terminar la materia sin decir antes unas palabras acercade la computacin numrica. Por ello, pase a 401.

  • Conclusin 241

    401

    Algunas veces no es posible encontrar la integral de una funcin. Perosi es posible encontrar, aunque sea en forma aproximada el rea bajouna curva. Uno de los mtodos sencillos es trazando la grfica en papelmilimtrico y contar el nmero de cuadrados en el rea.

    Otro mtodo rpido y burdo consiste en trazar la curva en papel car-tonciI1o o cartulina, cortar el rea y pesada. Tambin hay aparatos llama-dos planmetros, los cuales mecnicamente dan el rea si se recorre conellos el permetro de sta.

    Siempre es posible encontrar el valor de una integral definida, con laaproximacin deseada, mediante la integracin numrica. Para encontrarel rea bajo la curva, sencillamente se divide en un nmero apropiadode franjas, se encuentra su altura y se multiplica por su ancho y se suman

    todas. Si las franjas se hacen msestrechas, la aproximacin aumenta- pero aumenta el trabajo. Sin em-bargo el uso de mquinas computa-doras hace esta aproximacin muyefectiva donde antes a menudo noera prctica.

    Fig. 137Pase a 402

  • 242 Clculo Integral

    402Bien, ya estamos en el ltimo prrafo. Se merece un premio por el

    esfuerzo desarrollado - y todo lo que podemos prometede es que slohay un "Pase A" en el resto del libro.

    El captulo siguiente es un repaso y una lista general de todas lasideas presentadas en el libro. Aunque puede ya haber ledo parte de esecaptulo, debe estudiado ahora todo. Tambin se dar cuenta que le sermuy til en el futuro.

    Los apndices estn completamente llenos de tpicos interesantes:derivacin de frmulas, explicaciones sobre temas especiales, y cosasparecidas .

    . En el caso de que necesite o sencillamente porque quiera un poco msde prctica, hay una lista de problemas de repaso, con sus respuestas,que empieza en la pgina 285.

    Pase al Captulo IV.