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Ecuacion de la Flecha, como calcular y obtener resultados, para profesionalesque estudia fisica avanzada, graficos de los clculos

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  • x

    CLCULO MECNICO

    1. ECUACIN DE LA FLECHA

    1.1. Planteamiento de la ecuacin de la flecha

    Un conductor de peso uniforme, sujeto entre dos apoyos por los puntos A y B situados a la

    misma altura, forma una curva llamada catenaria. La distancia f entre el punto ms bajo

    situado en el centro de la curva y la recta AB, que une los apoyos, recibe el nombre de flecha.

    Se llama vano a la distancia "a" entre los dos puntos de amarre A y B.

    Los postes debern soportar las tensiones TA y TB que ejerce el conductor en los puntos de

    amarre. La tensin T = TA = TB depender de la longitud del vano, del peso del conductor, de

    la temperatura y de las condiciones atmosfricas.

    Para vanos de hasta unos 500 metros podemos equipararla forma de la catenaria a la de una

    parbola, lo cual ahorra unos complejos clculos matemticos, obteniendo, sin embargo, una

    exactitud suficiente.

    La catenaria deber emplearse necesariamente en vanos superiores a los 1000 metros de

    longitud, ya que cuanto mayor es el vano, menor es la similitud entre la catenaria y la

    parbola.

    Calculamos a continuacin la relacin que existe entre la flecha y la tensin. Para ello

    representamos el conductor de un vano centrado en unos ejes de coordenadas:

    O

    y

    TB TA

    a

    f

    C

    PL y

    TB TA

    f

    2x

    x

  • Consideramos un trozo de cable OC que tendr un peso propio P aplicado en el punto medio y estar sometido

    a las tensiones TO y TC aplicadas en sus extremos.

    Tomando momentos respecto al punto C tendremos:

    02T

    xPy L

    Por lo tanto el valor de y ser:

    02T

    xPy L

    Si llamamos P al peso unitario del conductor, el peso total del conductor en el tramo OC,

    que hemos llamado PL, ser igual al peso unitario por la longitud del conductor, que

    cometiendo un pequeo error denominaremos x.

    Por lo tanto admitiendo que:

    xPPL

    y sustituyendo esta expresin en la frmula anterior del valor de y resulta:

    0

    2

    2T

    Pxy

    Si ahora consideramos el punto A correspondiente al amarre del cable en vez del punto C,

    tendremos que:

    2

    axfy

    Por lo tanto al sustituir queda:

    0

    2

    8T

    Paf

    Podemos despejar el valor de la tensin TO y tendremos que:

    0

    2

    0

    2

    12

    1

    2

    2

    2

    08

    *4*

    8

    )(*4*

    8

    *4*

    8

    )(*4*

    T

    xP

    T

    xaPffh

    f

    xP

    f

    xaPT

    0

    2

    0

    222

    0

    22

    2

    )2(

    8

    )2(*4

    8

    *4*)(*4*

    T

    axaP

    T

    PxxaxaP

    T

    xPxaPh

    O

    C

  • Pa

    hTa

    Pa

    hTaaxa

    Pa

    hTax

    Pa

    hTxa 0000

    222

    22

    La ecuacin [1 nos relaciona la flecha f en funcin de la tensin TO, del peso unitario del conductor P y de la longitud del vano a.

    Si comparamos esta ecuacin de la parbola con la de la catenaria:

    0

    2

    8T

    Paf

    1

    2cosh

    0

    0

    T

    aP

    P

    Tf

    podemos observar la complejidad de sta, y como demostraremos ms adelante, los resultados

    sern prcticamente iguales.

    Nos interesa trabajar con la tensin TA en lugar de la empleada hasta ahora TO. Observamos

    el tringulo de fuerzas compuesto por TO, TA y PL:

    0

    2

    2T

    Pxy

    y aplicando el Teorema de Pitgoras tenemos:

    220

    2 )2

    (a

    PTTA

    En los casos prcticos que se nos presentan en las lneas areas de alta tensin, el valor del

    ngulo formado por TO y TA es muy pequeo, por lo que podemos asegurar que TO TA, aproximacin que emplearemos en clculos posteriores. Esto equivale a afirmar que la tensin

    a lo largo del conductor es constante.

    Referente a TA, podemos decir que esta tensin no debe sobrepasar nunca el valor de la

    carga de rotura del conductor Q , pues de lo contrario se rompera:

  • SQ

    siendo el coeficiente de resistencia a la traccin del conductor utilizado y S la seccin del mismo.

    Puesto que un conductor no debe trabajar nunca en condiciones prximas a las de rotura, se

    deber admitir un cierto coeficiente de seguridad n tal que:

    n

    Q

    n

    STA

    max

    El Reglamento de Lneas de Alta Tensin admite coeficientes de seguridad mnimos de 2,5

    y en algunos casos obliga que sea del orden de 5 6.

    2. LONGITUD DEL CONDUCTOR

    Dada la flecha que se produce en un vano, la longitud del conductor no es igual a la

    distancia entre los postes. Por lo tanto, para hallar el valor exacto del conductor empleado,

    obtendremos la expresin de la longitud del conductor en un vano, en funcin de la flecha y

    de la distancia entre los postes.

    Tomamos un elemento diferencial de longitud dl, para el que se verifica:

    222 dydxdl

    Podemos multiplicar y dividir por dx2:

    2

    22

    2

    2

    2

    222222 211

    )(dx

    dx

    T

    Pxd

    dxdx

    dy

    dx

    dydxdxdydxdl

    Del apartado anterior sabemos que (T = TO = TA):

    222222

    2 11 2 dxxdldxT

    xPdl

    x

    y

    TP

    y derivando respecto a x podemos obtener el valor de dy/dx:

    T

    xP

    T

    xP

    dx

    dy

    2

    2

  • Por lo tanto al sustituir dx/dy en la expresin de dl2, nos queda:

    dxxdl 21

    ))(1( 2

    Para no arrastrar expresiones llamamos a:

    T

    P

    x

    y

    2

    2

    y la expresin de dl resulta:

    dxdl 21

    ))(1( 2

    Para resolver el corchete empleamos la frmula del binomio de Newton:

    ...!2

    )1(

    !11)1( 42

    121

    221

    2 21

    xxx

    La longitud del conductor en la mitad del vano se obtiene integrando dl desde 0 hasta x:

    xx

    dxxdllongitud0

    22

    0

    21

    )1(

    x

    dxxxlongitud0

    448122

    21 ..1

    x

    dxxxLlongitud0

    448122

    21 ..1

    Integrando cada sumando resulta:

    ..5440132

    61 xxxlongitud

    Sustituyendo por su valor (2

    2

    x

    y ) queda:

    3

    425

    4

    24013

    2

    261

    5

    2

    3

    2..

    22

    x

    y

    x

    yxx

    x

    yx

    x

    yxl

    Como x = a / 2 y la flecha es y = f queda:

  • La longitud del conductor en la totalidad del vano ser el doble que en la mitad, por lo tanto L

    = 2 l, es decir:

    2__*2

    axvanomediolongitudlongitud

    222

    8

    )2/(

    22

    2 a

    f

    a

    f

    x

    yflechay

    ax

    ..

    222*2

    5

    4

    401

    3

    2

    61

    aaalongitud

    ..2

    8*2

    2

    8*2

    542

    2401

    322

    261

    a

    a

    fa

    a

    falongitud

    Para vanos normales, slo se emplean los dos primeros trminos, pues la aproximacin es

    ms que suficiente:

    ..5

    32

    3

    84

    3

    2

    a

    f

    a

    falongitud

    Teniendo en cuenta la ecuacin de la flecha:

    2

    3222

    2483

    8

    T

    aPaL

    T

    Paf

    a

    falongitud

    la longitud total del conductor queda:

  • 232

    24T

    aPaL

    3. ACCIONES SOBRE LOS CONDUCTORES

    Para efectuar el clculo mecnico de un conductor es fundamental conocer cules son las

    fuerzas que actan sobre el mismo. En principio, se puede pensar que la nica fuerza que

    acta sobre el conductor es la fuerza de tensado, pero es necesario tener presente que sta es

    la consecuencia equilibradora de las dems acciones, ya que, si el conductor estuviera en el

    suelo, la tensin para mantenerlo recto sera nula.

    De esta forma se ve que es el peso de un conductor el que crea la tensin a la que est

    sometido. As pues, el primer dato que debe considerarse es su propio peso, pero adems

    existirn acciones importantes debidas a las inclemencias atmosfricas (hielo, fro, calor o

    viento).

    El Reglamento de Lneas Elctricas de Alta Tensin, divide el estudio de las acciones sobre

    los conductores en tres zonas segn la altitud.

    ZONA A 0 a 499 m. de altitud

    ZONA B 500 a 1000 m. de altitud

    ZONA C Ms de 1000 m. de altitud

    3.1. Accin del peso propio

    Como hemos admitido en apartados anteriores, la curva que forma el conductor es una

    parbola y la ecuacin que relaciona la flecha con la tensin es:

    T

    Paf

    8

    2

    La longitud del conductor es

    2

    3

    8

    a

    faL

    Al sustituir el valor de la flecha f en la longitud total L resulta:

    2

    32

    24T

    aPaL

  • En esta frmula vemos la relacin existente entre el peso unitario por unidad de longitud y

    la tensin a la que est sometido.

    3.2. Accin del viento

    Se puede decir que la fuerza ejercida por el viento sobre un cuerpo es directamente

    proporcional al cuadrado de la velocidad del viento y a la superficie expuesta. La constante K

    depende de la forma geomtrica y de la posicin relativa del obstculo respecto a la direccin

    del viento.

    SkvF 2

    siendo:

    * F: Fuerza total ejercida sobre el cuerpo (kg): direccin v.

    * k: Constante.

    * v: Velocidad del viento (km/h).

    * S: Superficie recta que presenta el objeto (m).

    Por ejemplo, para una superficie plana la constante k vale 0,007, pero si la superficie

    expuesta al viento tiene cierta forma aerodinmica, como puede ser un conductor elctrico de

    forma cilndrica, habr que aplicar ciertos coeficientes de correccin que modifiquen dicho

    valor.

    As, para conductores de dimetro igual o inferior a 16 mm., el coeficiente de correccin

    resulta ser 0,6, por lo tanto tendremos:

    k = 0,007 0,6 *D para D 16 mm.

    Cuando el dimetro sea superior a 16 mm., el coeficiente de correccin resulta ser de 0,5,

    por lo tanto:

    k = 0,007 0,5D para D 16 mm.

    Mejor que trabajar con la fuerza total es emplear la fuerza por unidad de longitud, y

    teniendo en cuenta que la superficie expuesta del conductor es igual al producto de su

    dimetro (D) por su longitud (L), nos queda:

    L

    LdiametrokvvientoaccinPv

    L

    Skv

    L

    F *_ 2

    2

    Llamando PV a la fuerza que ejerce el viento por unidad de longitud queda:

    DkvvientoaccinPv 2_

    en donde:

    * PV : Fuerza por unidad de longitud (daN/m)

    * D: Dimetro del conductor (m.)

  • * k: Constante.

    * v: Velocidad del viento (km/h.)

    El Reglamento hace referencia a velocidades mximas del viento de 120 km/h., por lo tanto

    tendremos que:

    mmDDD

    Pv 1606,01000

    1206,0007,0 2

    mmDDD

    Pv 1605,01000

    1205,0007,0 2

    Por lo tanto la fuerza del viento en cualquier zona (A, B o C) es:

    FUERZA DEL VIENTO POR UNIDAD DE LONGITUD

    DIAMETRO PV (daN/m) D (mm.)

    D 16 mm. PV = 0,06 D

    D 16 mm. PV = 0,05 D

    El viento acta de forma horizontal, mientras que el peso del conductor lo hace

    verticalmente. Por lo cual debemos componer ambas fuerzas:

    La resultante PT es el peso total por unidad de longitud en un conductor sometido a la

    accin del viento:

    22 PvPPT

    3.3. Accin del hielo

    El hielo que se puede formar alrededor del conductor hace aumentar considerablemente el

    peso del mismo, por lo que se eleva la tensin, pudiendo llegar a la rotura.

    Por estos motivos el Reglamento considera diversos manguitos de hielo segn la zona en la

    que est instalada la lnea. En la zona A, entre 0 y 500 metros de altitud, no se considera la

    formacin de hielo.

    Pv

    PT

    Viento

    P

  • En la zona B, entre 500 y 1000 metros, la fuerza del manguito por unidad de longitud PH

    (kg/m) es:

    DPH 18.0 D en mm

    En la zona C con una altitud de ms de 1000 metros tenemos:

    DPH 36.0 D en mm

    Podemos construir una tabla con los datos anteriores:

    PESO DEL HIELO POR UNIDAD DE LONGITUD

    ZONA DPH 0 (daN/m) D(mm)

    B DPH 18.0

    C DPH 36.0

    El hielo acta de forma vertical, por lo que se suma al peso propio del conductor:

    PT = P + PH

    3.4. Accin de la temperatura

    Debido a los cambios de temperatura, el conductor se dilata o se contrae. Esto origina

    variaciones en la tensin y en la flecha, que aunque no son muy importantes en vanos de

    pequea longitud, deberemos tenerlas en cuenta en el clculo mecnico.

    Como la dilatacin es lineal responde a la frmula:

    tLL 101

    en donde:

    * LO: Longitud del cable a cero grados (m).

    * L1: Longitud a la temperatura t (m).

    * : coeficiente de dilatacin lineal ( C -1). * t: temperatura considerada (C).

    Para hallar la variacin de la longitud entre dos temperaturas diferentes t1 y t2 haremos:

  • 210201021 11 ttLtLtLLL

    3.5. Accin de la elasticidad

    Cuando un conductor est sometido a una determinada tensin, se produce un alargamiento

    de su longitud que responde a la ley de Hooke.

    Llamando al alargamiento elstico producido por un kilogramo, sobre un conductor de un metro de longitud y un milmetro cuadrado de seccin, tendremos que en general, el

    alargamiento producido por una tensin T1 o T2 sobre un conductor de longitud LO y seccin

    S ser:

    S

    TTLLL

    S

    TLL

    S

    TLL 21021

    102

    101 11

    y siendo el llamado mdulo de elasticidad E = 1/ , tendremos:

    ES

    TTLLLE 21021

    1

    Ecuacin que nos permite saber la variacin de longitud del cable cuando est sometido a

    una variacin de tensin, T1, T2.

    4. ECUACIN DEL CAMBIO DE CONDICIONES

    4.1. Planteamiento de la ecuacin

    La variacin de las condiciones de carga (hielo o viento) o de la temperatura, producen la

    modificacin de la tensin de trabajo de los conductores.

    La ecuacin del cambio de condiciones relaciona dos estados o situaciones de una lnea

    elctrica. Si se conocen todos los parmetros de un estado o condicin inicial (1), se puede

    hallar por medio de la ecuacin los parmetros de otro estado arbitrario o condicin final (2).

    CONDICION INICIAL(1) a f1 L1 t1 T1 P1

    CONDICION FINAL(2) a f2 L2 t2 T2 P2

  • Resumiendo las ecuaciones que intervienen en las variaciones que sufre un vano cualquiera

    al variar sus condiciones, tendremos:

    Ecuacin de la flecha:

    2

    2

    22

    1

    2

    11

    88 T

    aPf

    T

    aPf [1]

    Longitud del conductor en el vano:

    2

    1

    32

    11

    1

    2

    1

    2

    11

    2483

    8

    T

    aPaL

    T

    aPf

    a

    falongitud

    2

    2

    32

    22

    2

    2

    22

    2

    22

    2483

    8

    T

    aPaL

    T

    aPf

    a

    falongitud

    por lo tanto

    2

    2

    32

    2

    2

    1

    32

    121

    2424 T

    aP

    T

    aPLL [2]

    Influencia de la temperatura:

    21021 ttLLL [3]

    Influencia de la elasticidad:

    ES

    TTLLL 21021 [4]

    en donde:

    * L0 a longitud del vano (m). * f1, f2: flecha del conductor (m).

    * L1, L2: longitud del conductor (m).

    * t1, t2: temperatura ambiente (C).

    * T1, T2: tensin en el conductor (kg).

    * P1, P2: peso total unitario del conductor incluyendo la accin del viento y del

    hielo si lo indica el Reglamento (kg/m).

  • Con todas estas premisas ya estamos en condiciones de plantear la ecuacin. Por una parte

    la diferencia entre las longitudes del conductor en dos condiciones diferentes est dada por la

    expresin [2], por lo tanto:

    ES

    TTatta

    T

    aP

    T

    aPLL

    )()(*

    2424

    21212

    2

    32

    2

    2

    1

    32

    121

    Por otra parte, la diferencia de longitudes tambin viene dada por las expresiones [3] y [4],

    pues el conductor estar sometido a las variaciones de temperatura y a la elasticidad, por lo

    tanto esta diferencia (L1 - L2) ser igual a la suma de estas variaciones:

    ES

    TTatta

    T

    aP

    T

    aP )()(*

    2424

    21212

    2

    32

    2

    2

    1

    32

    1

    En esta ecuacin hemos considerado que L0 = a, pues la diferencia existente es

    despreciable.

    Igualando queda:

    ES

    aTat

    T

    aP

    ES

    aTat

    T

    aP 222

    2

    3221

    121

    321

    2424

    Agrupando los trminos y dividiendo ambos miembros por a resulta:

    ES

    Tt

    T

    aP

    ES

    Tt

    T

    aP 222

    2

    22

    2112

    1

    22

    1

    2424

    Puesto que nos interesan las condiciones finales en funcin de las iniciales, y dando al

    primer miembro de la igualdad el valor de A:

    ES

    Tt

    T

    aPA 112

    1

    22

    1

    24

  • Si multiplicamos ambos trminos por 24T2

    La ecuacin del cambio de condiciones queda de la forma:

    Observamos que es una ecuacin de tercer grado, lo que nos plantear problemas a la hora

    de su resolucin, sin embargo, el empleo de ordenadores facilitar la obtencin de resultados

    exactos de forma inmediata.

    Tambin es necesario aclarar que esta ecuacin es vlida para vanos nivelados, es decir,

    que los dos apoyos estn a la misma altura. Sin embargo, se consigue suficiente aproximacin

    hasta el 14% de desnivel, lo que abarca la mayor parte de los casos prcticos. Para vanos muy

    024

    )( 2222

    22

    3

    2 ES

    aPTAtEST

    )( 2 AtEb

    024

    )( 223

    2

    22

    22 CBTTES

    aPCAtESB

    224

    222

    3/S

    EaPSCc

    023 cb 03

    2

    2

    3

    2

    S

    C

    S

    T

    S

    B

    S

    T

    3

    1

    S

    024

    )( 223

    2

    22

    22 CBTTES

    aPCAtESB

    ES

    Tt

    T

    aPA

    ES

    Tt

    T

    aPA 222

    2

    22

    2112

    1

    22

    1

    2424

    ES

    TTTtaPTA

    2

    222

    22

    22

    2

    2

    2

    242424

    ES

    TTTtaPAT

    2

    222

    22

    22

    2

    2

    2

    242424

    ES

    TATTtaP

    3

    22

    2

    2

    22

    22

    2

    2424240

    3

    2

    2

    2

    2

    22

    22

    224

    0 TESATTtESES

    aP 024

    )( 2222

    22

    3

    2 ES

    aPTAtEST

  • grandes o muy desnivelados se aplican frmulas ms complejas que se encontrarn en los

    libros especializados en el tema.

    4.2. Empleo de la ecuacin del cambio de condiciones

    El Reglamento nos marca una serie de hiptesis entre las que tenemos que buscar la ms

    desfavorable. Estas hiptesis se dividen segn las zonas en las que est situada la lnea.

    ZONA A

    HIPTESIS PESO TEMP.

    TRACCIN MXIMA P + V -5

    FLECHA MXIMA

    P + V 15

    P 50

    T.D.C. P 15

    FLECHA MNIMA P -5

    ZONA B

    HIPTESIS PESO TEMP.

    TRACCIN MXIMA P + H -15

    ADICIONAL P + V -10

    FLECHA MXIMA

    P + V 15

    P + H 0

    P 50

    T.D.C. P 15

    FLECHA MNIMA P -15

    ZONA C

    HIPTESIS PESO TEMP.

    TRACCIN MXIMA P + H -20

    ADICIONAL P + V -15

    FLECHA MXIMA

    P + V 15

    P + H 0

    P 50

    T.D.C. P 15

    FLECHA MNIMA P -20

  • Las hiptesis de traccin mxima, adicional y de flecha mxima son de obligado

    cumplimiento. Las hiptesis de flecha mnima y tensin de cada da (T.D.C.) no estn

    reglamentadas, pero dada su importancia se resean en las tablas.

    Atendiendo a lo dicho en la ICT-LAT07 del Reglamento de Lneas Elctricas de Alta

    Tensin, sobre vibraciones, incluimos una condicin no reglamentaria, la TDC Tensin de

    Cada Da. Esta condicin que corresponde a un peso del conductor sin sobrecargas y a una

    temperatura de 15 C, dar una tensin a la que el conductor est sometido la mayor parte del

    tiempo.

    Tambin incluimos una condicin, no reglamentada, la de FLECHA MNIMA, la cual

    puede ser interesante en ciertas ocasiones.

    La ecuacin del cambio de condiciones nos permitir hallar cul es la peor condicin a la

    que estar sometido un conductor en un vano, es decir, aquella situacin en la que nos

    acerquemos ms a la rotura del conductor; sta ser la hiptesis ms desfavorable.

    Para aplicar la ecuacin del cambio de condiciones necesitamos una serie de datos bsicos

    que quedarn definidos una vez elegido el conductor. La eleccin del conductor se hace en

    funcin de las caractersticas elctricas de la lnea, y casi nunca atendiendo a las necesidades

    mecnicas. Inmediatamente despus elegiremos el vano, teniendo presente que cuanto mayor

    sea el vano las flechas resultantes sern mayores y por tanto tambin la altura de los postes

    que sustentarn la lnea.

    Las caractersticas del conductor que necesitamos, y que facilitan las tablas son:

    * Peso propio por unidad de longitud.

    * Dimetro total.

    * Seccin total.

    * Mdulo de elasticidad.

    * Coeficiente de dilatacin.

    * Carga de rotura.

    Para obtener la hiptesis ms desfavorable, tendramos que comparar todas entre s, pero

    como sabemos que sta ser siempre la hiptesis de traccin mxima o la hiptesis adicional,

    solamente tendremos que buscar entre estos dos casos.

    Si suponemos que la lnea est en la zona B, comparamos la primera hiptesis (traccin

    mxima) con la segunda (hiptesis adicional). Como datos de la primera hiptesis tenemos el

    peso total a que estar sometido el conductor (peso propio ms peso del hielo), la temperatura

    (-15 C) y la tensin mxima que puede soportar el cable (carga de rotura dividida entre el

    coeficiente de seguridad). Como datos de la segunda hiptesis tenemos el peso total (peso

    propio ms peso originado por el viento) y la temperatura (-10 C) a que estar sometido el

    conductor en la hiptesis adicional. De esta manera tendremos una ecuacin con una sola

    incgnita T2. Al resolver la ecuacin del cambio de condiciones obtendremos la tensin de la

    hiptesis adicional.

  • La hiptesis que presenta una mayor tensin ser la ms desfavorable y con los datos de

    esta hiptesis calculamos la constante A en la ecuacin del cambio de condiciones, y a partir

    de aqu hallaremos las tensiones correspondientes al resto de las hiptesis.

    Una vez efectuadas todas estas operaciones tendremos la tensin a la que est sometido el

    conductor en cada una de las hiptesis que marca el Reglamento, y por lo tanto hallaremos las

    flechas correspondientes, fijndonos especialmente en la flecha mxima que nos condicionar

    la altura de los postes.

    Adems con los datos de la hiptesis ms desfavorable calcularemos las tablas de tendido

    del conductor que estudiaremos ms adelante.

    4.3. Tensin de cada da

    Por la experiencia adquirida en la explotacin de las lneas elctricas se lleg a la

    conclusin de que cuanto ms elevada sea la tensin mecnica de un cable, mayores son las

    probabilidades de que aparezca el fenmeno de las vibraciones. De aqu se dedujo la

    conveniencia de mantener dicha tensin dentro de ciertos lmites para eludir en lo posible la

    presencia de tal fenmeno.

    Se pretenda determinar cul sera la tensin admisible para poder recomendar valores con

    los que se esperaba no se produjeran averas por vibracin, es decir, roturas de los hilos

    componentes de los cables.

    Se lleg al concepto de "tensin de cada da" (T.D.C.) que es la tensin a la que est

    sometido el cable la mayor parte del tiempo correspondiente a la temperatura media de 15 C

    sin que exista sobrecarga alguna.

    El coeficiente T.D.C. (tensin de cada da) se expresa en tanto por ciento de la carga de

    rotura, es decir:

    Q

    TCDT CDT

    100... ...

    Se admite que cuando el coeficiente es mayor del 18% se colocarn antivibradores.

    En la figura se representa un antivibrador Stockbridge constituido por dos mazas enlazadas

    a travs de un cabo de cable por cuyo centro se fija al conductor.

  • 4.5. Tablas y curvas de tendido

    Como ya hemos visto, tomando como punto de partida la hiptesis ms desfavorable,

    obtenemos el resto de las hiptesis de flecha mxima, flecha mnima, condicin T. D. C., etc.

    No obstante, estos clculos no sern suficientes, ya que a la hora de montar la lnea, las

    condiciones climatolgicas no sern las de las citadas hiptesis.

    Se trata pues de establecer una serie de condiciones que sean normales a la hora del

    montaje y que tendrn como condicin extrema de referencia la hiptesis ms desfavorable.

    As, mediante la ecuacin del cambio de condiciones, deberemos resolver una serie de

    casos en los que supondremos que el viento y el manguito de hielo no existen, teniendo como

    nica variable las diversas temperaturas que se suponen normales en la zona. Para cada valor

    de temperatura obtendremos una tensin, formando as lo que llamaremos tabla de tendido

    para un determinado vano.

    La siguiente tabla de tendido est construida para un cable LA-180 y un vano de 200

    metros. Se ha considerado un intervalo de temperaturas comprendido entre -5 y 35 grados

    centgrados.

    VANO DE 200 METROS

    TEMP. (C) FLECHA (m) TENSIN (kg)

    -5 1,723 1961

    0 1,816 1861

    5 1,914 1765

    10 2,019 1673,5

    15 2,13 1586,5

    20 2,246 1504,4

    25 2,367 1427,4

    30 2,493 1355,6

    35 2,622 1288,7

  • Con objeto de simplificar la obtencin de esta tabla, ser suficiente con tomar valores de

    temperatura de cinco en cinco grados, desde la temperatura mnima que consideremos, hasta

    la mxima.

    Como en algunos casos en lugar de hacer el tendido por tensin, se efecta por la flecha,

    debemos tambin incluir el valor de la flecha que corresponde a cada valor de la tensin.

    De esta tabla podemos obtener lo que llamaremos curvas de tendido, es decir, la variacin

    de la tensin y la flecha con la temperatura:

    Observamos como la tensin disminuye con la temperatura, mientras que la flecha aumenta

    con la temperatura.

    4.6. Altura de los postes

    Segn el Reglamento, la altura de los apoyos ser la necesaria para que los conductores con

    su mxima flecha vertical, queden situados por encima de cualquier punto del terreno o

    superficies de agua no navegables, a una altura mnima de:

    metrosU

    1503,5

    Siendo U la tensin compuesta en kV, y siempre con una altura mnima de 6 metros.

    Si a esta altura le sumamos la flecha mxima y la longitud de la cadena de aisladores,

    tendremos la altura del punto de amarre al conductor ms bajo. La altura total del poste nos la

    dar la disposicin del resto de los conductores que estn por encima.

    4.7. Vano ms econmico

    La longitud del vano influye considerablemente en el costo total de una lnea area, por lo

    que es conveniente elegirlo dentro de una idea de mxima economa.

    Cuanto mayor sea la longitud del vano elegido, menor ser el nmero de apoyos y de

    aisladores, pero los apoyos debern ser ms altos y robustos, como consecuencia de las

    mayores flechas resultantes y de los mayores esfuerzos que debern soportar.

  • Por el contrario, si adoptamos vanos pequeos, mayor ser el nmero de apoyos y de

    aisladores, pero los apoyos podrn ser ms bajos y menos robustos, como consecuencia de las

    menores flechas resultantes y de los menores esfuerzos que debern soportar.

    Sin tener en cuenta el precio de los conductores de una lnea, que naturalmente es

    independiente de la longitud del vano adoptado, tendremos que el costo total de una lnea

    area ser igual al costo unitario de los apoyos ms el costo de las cadenas de aisladores que

    entran en cada apoyo, multiplicado por el nmero total de apoyos:

    nCCC APT )(

    siendo:

    * CT: costo total de la lnea.

    * CP: costo de un apoyo.

    * CA: costo de las cadenas de aisladores de un apoyo.

    * n: nmero de apoyos.

    Y como el nmero de apoyos en funcin de la longitud del vano a y de la longitud total de

    la lnea L, es:

    1a

    Ln

    tendremos:

    1)(

    a

    LCCC APT

    Para calcular el vano ms econmico, primeramente deberemos establecer la seccin de los

    conductores segn su potencia, tensin y longitud. Calcularemos seguidamente la tensin

    mecnica mxima correspondiente a la hiptesis ms desfavorable y la condicin de flecha

    mxima, para un determinado vano "a1". As obtendremos la resistencia mxima que deben

    soportar los postes y su altura, es decir, su costo unitario. Repitiendo estos clculos para

    distintos vanos, obtendremos una curva CT = f(a) que indudablemente tendr un mnimo,

    siendo este punto el correspondiente al vano ms econmico.

    En la grfica siguiente est representado el punto aE correspondiente al vano ms

    econmico.

  • Para lneas pequeas, los vanos suelen ser inferiores a 100 metros, para lneas medianas

    estn comprendidos entre 100 y 200 metros, y para grandes lneas, entre 200 y 400 metros.

    4.8. Distancias mnimas de seguridad

    En ciertas situaciones especiales, como cruzamientos y paralelismos con otras lneas o vas

    de comunicacin, pasos sobre bosques, pasos sobre zonas urbanas, etc., el Reglamento

    impone unas distancias mnimas de seguridad con el fin de reducir la probabilidad de

    accidentes. Estas distancias mnimas son:

  • DISTANCIAS MNIMAS DE SEGURIDAD DE LA PROPIA LINEA

    Conductores al terreno

    1503,5

    U

    mnimo 6 m.

    Conductores entre s y entre

    stos y los apoyos 150

    ULFK

    Conductores y los apoyos

    1501,0

    U

    mnimo 0,2m.

    U= Tensin compuesta de la lnea en kV.

    K = Coeficiente que depende de la oscilacin de los conductores con el viento.

    F = Flecha mxima

    L = longitud en metros de la cadena de suspensin

    Para obtener el valor del coeficiente K, primeramente deberemos determinar el ngulo de

    oscilacin, cuyo valor ser:

    P

    Parctag

    P

    Ptag VV

    y segn la tabla definida en el artculo 25-2 del Reglamento RAT

    ngulo de oscilacin

    Valores de K.

    Lneas de 1 y 2

    categora Lneas de 3 categora

    0,7

    0,65

    0,6

    0,65

    0,6

    0,55

    Primera categora.- Las lneas de tensin nominal superior a 66 kV

    Segunda categora.- Las de tensin nominal comprendida entre 66 y 30 kV, ambas inclusive.

    Tercera categora.- Las de tensin nominal inferior a 30 kV, e igual o superior a 1 kV.

  • DISTANCIAS MNIMAS DE SEGURIDAD EN CRUZAMIENTOS

    Lneas elctricas y de

    telecomunicaciones 150

    5,1U

    Carreteras y ferrocarriles sin

    electrificar 100

    3,6U

    mnimo 7 m.

    Ferrocarriles elctricos,

    tranvas y trolebuses 100

    3,2U

    mnimo 3 m.

    Telefricos y cables

    transportadores 100

    3,3U

    mnimo 4 m.

    Ros y canales navegables

    1003,2

    UG

    G =galibo (En el caso de que no exista galibo definido se considerar ste igual a 4,7 m.

    DISTANCIAS MNIMAS DE SEGURIDAD EN PASOS POR ZONAS

    Bosques, rboles y masas

    forestales. 150

    5,1U

    mnimo 2 m

    Edificios o construcciones.

    Puntos accesibles a personas 100

    3,3U

    mnimo 5 m.

    Edificios o construcciones.

    Puntos no accesibles a

    personas. 1503,3

    U

    mnimo 4 m.

    Siendo:

    * U: tensin compuesta de la lnea en kV.

    * K: coeficiente de oscilacin (ver Art. 25 del Reglamento).

  • * F: flecha mxima en metros.

    * L: longitud en metros de la cadena de suspensin.

    * G: glibo en metros.

    4.9. Vano ideal de regulacin. Tabla de tendido

    Si el clculo de las tensiones y flechas se hiciese de modo independiente para cada uno de

    los vanos del tramo, en funcin de las diferentes longitudes de los vanos, habra que tensar de

    manera distinta en vanos contiguos, pero como los cables cuelgan de cadenas de aisladores de

    suspensin, las diferencias de tensin quedaran automticamente anuladas por las

    inclinaciones que en sentido longitudinal tomaran dichas cadenas, cuya posicin correcta es

    precisamente vertical y no inclinada.

    Puesto que en un tramo de lnea constituido por una serie de apoyos de alineacin, limitada

    por dos de anclaje, las cadenas de suspensin (verticales) no pueden absorber las diferencias

    de tensado, debidas a las distintas longitudes de los vanos, deberemos admitir que las

    tensiones de los cables, iguales en todos los vanos, varen como lo hara el de un vano terico

    que le llamaremos "Vano ideal de regulacin".

    Es necesario, por consiguiente, que las tablas de tendido de los distintos vanos tengan una

    misma tensin para cada valor de la temperatura, siendo la variacin de la flecha quien

    compense las diferencias de longitud de los vanos.

    Tal tensin variar, como se ha dicho antes, si lo hace la temperatura, las condiciones

    meteorolgicas, las sobrecargas, etc., pero en todo momento deber tener un valor uniforme a

    lo largo del tramo.

    El vano ideal de regulacin a r puede calcularse mediante la frmula siguiente:

    n

    nr

    aaaa

    aaaaa

    ....

    .....

    321

    33

    3

    3

    2

    3

    1

    En la que a1, a2, a3, ... an son las diferentes longitudes de los vanos que forman una

    determinada alineacin comprendida entre dos postes de anclaje.

    Una vez determinado valor del vano ideal de regulacin, deberemos hallar su condicin

    reglamentaria ms desfavorable y la tabla de tendido correspondiente. De esta manera

    tendremos el punto de partida para determinar las caractersticas de los vanos que integran

    esta serie.

    Segn la tabla de tendido, para cada temperatura le corresponde una tensin y una flecha,

    por lo tanto para al vano de regulacin ar le corresponde una flecha de regulacin f r cuyo

    valor resultar ser: T

    Paf rr

    8

    2

    Como la tensin en la serie de vanos que integran la alineacin es igual en todos ellos,

    tendremos que la flecha "incgnita" para cada uno de los distintos vanos, ser:

  • TPaf ii

    8

    2

    Dividiendo estas dos igualdades, resulta:

    r

    r

    ii f

    a

    af *

    2

    2

    Ecuacin que nos proporciona el valor de la flecha fi , de cada vano, en funcin la flecha de

    regulacin fr, y de sus correspondientes vanos ai y ar, para una condicin determinada de

    temperatura, tensin y peso del conductor.

    As, ya podemos construir la tabla de tendido en la que para las distintas temperaturas

    obtenemos la tensin y la flecha correspondiente, segn la longitud de los diferentes vanos.

    Seguidamente, exponemos una tabla de tendido calculada para una cable de aluminio-acero

    con las siguientes caractersticas:

    Cable Gaviota,

    Zona B;

    Coeficiente de seguridad 2,5.-

    Seis vanos de 265, 270, 283, 290, 304, 310 m.

    Inicialmente calcularemos el vano ideal de regulacin para estos seis vanos, que resultar

    ser de 288m. Seguidamente calcularemos la tensin ms desfavorable segn las hiptesis

    reglamentarias, y con ella la tabla de tendido correspondiente.

    Con la tabla de tendido, para cada par de valores "tensin-temperatura" calcularemos la

    fleca correspondiente a cada uno de los seis vanos.

    Longitud de los vanos -- Flechas

    t. (C) Tensin 265 270 283 288 290 304 310

    Regulacin 2899,3 3,86 4,01 4,41 4,56 4,63 5,08 5,29

    5 2787,7 4,02 4,17 4,58 4,75 4,81 5,29 5,50

    10 2683,3 4,17 4,33 4,76 4,93 5,00 5,49 5,71

    15 2585,9 4,33 4,50 4,94 5,12 5,19 5,70 5,93

    20 2495,0 4,49 4,66 5,12 5,30 5,38 5,91 6,14

    25 2410,1 4,65 4,82 5,30 5,49 5,57 6,12 6,36

    30 2331,0 4,81 4,99 5,48 5,68 5,76 6,32 6,58

    35 2257,2 4,96 5,15 5,70 5,86 5,94 6,53 6,79

    40 2188,3 5,12 5,31 5,84 6,05 6,13 6,74 7,01

    45 2123,8 5,27 5,48 6,02 6,23 6,32 6,94 7,22

    50 2063,6 5,43 5,64 6,19 6,41 6,50 7,14 7,43