CUERPOS

GEOMÉTRICOS.

ÁREAS Y ÁREAS Y

VOLÚMENES.

2º E.S.O.

ÁREAS DE POLÍGONOS

h

b

h

b

h

b

A2

⋅=

b h

b

A = ⋅b h A = ⋅b h

b

ÁREAS DE POLÍGONOS

D

d

b

B

ha

A2

⋅=

D d

B

( )A

2

+ ⋅=

B b h

l

( )A

2 2

⋅ ⋅ ⋅= =

n l a p a

=n nº de lados

ÁREA Y LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA

r

r

nº

2A = π⋅ r

2= ⋅π⋅l r

2 nºA

360º

π⋅ ⋅=

r

2 nº

360º

⋅ π ⋅ ⋅=

rl

SUPERFICIE DE UN PRISMA

ÁREA LATERAL = Perímetro de la base · altura

ÁREA TOTAL = ÁREA LATERAL + 2 · ÁREA DE LA BASE

Hallar el área total de una celda conforma de prisma de base hexagonal deun panal de abejas, según el dibujo:

SUPERFICIE DE UN PRISMA

2LATERALA p h 4 6 8 192 mm= ⋅ = ⋅ ⋅ =

2TOTAL LATERAL BASEA A A 192 41'52 233'52 mm= + = + =

2 2 2 2 2 2p p p4 a 2 a 4 2 12 a 12 3'46= + → = − = → = =

p 2BASE

p a 24 3'46A 41'52 mm

2 2

⋅ ⋅= = =

SUPERFICIE DE UN ORTOEDRO

c

( )TOTALA 2 ab bc ac= + +

ab

Hallar el área total de este ortoedro:

SUPERFICIE DE UN ORTOEDRO

( ) 2TOTALA 2 6 3 6 2 2 3 72 cm= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

SUPERFICIE DE UNA PIRÁMIDE

( )LAT

1 1 Perímetro de la baseA

2 2 2

⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

an l a n l a

TOTAL LAT BASE

Perímetro de la base Perímetro de la baseA A A

2 2

⋅ ⋅= + = +

a a'

Hallar la superficie de la pirámide de Keops que se detalla acontinuación:

h =160 ml = 240 ma’ = 120 m

SUPERFICIE DE UNA PIRÁMIDE

( )22 2 2h 160 120 40000 200 m= + = + = =a a'

( ) 2LAT

4 240 200Perímetro de la base96000 m

2 2

⋅ ⋅⋅= = =

aA

SUPERFICIE DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE

( )( )

LAT

Lado base 1 + Lado base 2 HA nº de lados

2

⋅= ⋅

TOTAL LAT BASESA A A= +

TRONCO DE PIRÁMIDEHallar el área lateral y total del siguiente tronco de pirámidecuandrangular regular:

2 23 1 2 '83 m= − =a

( ) 2LATERAL

4 2 2 '83A 4 33'96 m

2

+ ⋅= ⋅ =

2 2 2TOTAL LATERAL BASESA A A 33'96 2 4 53'96 m= + = + + =

SUPERFICIE DE UN CILINDRO

LATERALA 2 h= π ⋅r

2TOTAL LATERAL BASEA A 2 A 2 h 2= + ⋅ = π + πr r

Hallar el área total de la figura (en centímetros):

SUPERFICIE DE UN CILINDRO

2LAT 1A 2 1 3 18'85 cm= ⋅ π ⋅ ⋅ =

2LAT 3A 2 2 5 62 '83 cm= ⋅π ⋅ ⋅ =

1 2 3

2TOTAL FIGURAA 18'85 150 '8 62 '83 232 '48 cm= + + =

2 2TOTAL2A 2 3 5 2 3 94 '25 56 '55 150 '8cm= ⋅ π⋅ ⋅ + ⋅ π ⋅ = + =

SUPERFICIE DE UN CONO

LATERALA = π⋅ ⋅r g

2TOTAL LATERAL BASEA A A= + = π⋅ ⋅ + π ⋅r g r

Hallar el área lateral y total del cono de la figura:

2 2g 12 5 13 cm= + =

SUPERFICIE DE UN CONO

2A r 5 13 204 '20 cm= π⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ =g =

2TOTAL LATERAL BASEA A A 204 '20 78'54 282 '74 cm= + = + =

2LATERALA r 5 13 204 '20 cm= π⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ =g =

2 2 2BASEA r 5 78'54 cm= π⋅ π⋅ ==

SUPERFICIE DE UN TRONCO DE CONO

( )LATERALA = π⋅ ⋅r + r' g

( ) 2 2TOTAL LATERAL BASEA A A= + = π⋅ ⋅ + π⋅ + π⋅r + r' g r r'

Hallar el área lateral y total del tronco de cono de la figura:

SUPERFICIE DE UN TRONCO DE CONO

( ) ( ) 2LATERALA 15 10 13 325 1020,5 cm= π⋅ ⋅ π ⋅ + ⋅ = π =r + r' g =

( ) 2 2 2 2 2TOTALA 1020,5 15 10 2041 cm= π⋅ ⋅ + π⋅ + π⋅ = + π⋅ + π⋅ =r + r' g r r'

SUPERFICIE DE LA ESFERA

La superficie de la esfera se llama superficie esférica. Coincidecon la superficie lateral del cilindro que la envuelve.

22 2 4= π ⋅ = πA R R R2

LATERAL DEL CILINDRO 2 2 4= π ⋅ = πA R R R

2ESFERA 4= πA R

SUPERFICIE DE LA ESFERA

La relación entre la superficie de la esfera y la del cilindro quela envuelve también se cumple para porciones de esfera.

SUPERFICIE DE LA ESFERA

La cúpula de un edificio tiene una altura de 4m y correspondea una esfera de 9m de radio. Calular su superficie.

22 9 4 226 m= π⋅ ⋅ =S

SUPERFICIE DE LA ESFERA

La cúpula de un edificio tiene una altura de 4m y correspondea una esfera de 9m de radio. Calular su superficie.

22 9 4 226 m= π⋅ ⋅ =S

VOLUMEN DEL PRISMA Y DEL CILINDRO

Los prismas y los cilindros son figuras prismáticas.

V = ABASE · Altura V = ABASE · Altura = πr2 · a

Hallar el volumen de un prisma hexagonal regular de lado de la base 30 cm y

1 m de altura.

2 2apotema 30 15 26 cm= − ≈

VOLUMEN DEL PRISMA Y DEL CILINDRO

2BASE

Perímetro apotema 30 6 26A 2340 cm

2 2

⋅ ⋅ ⋅= = =

2 3PRISMA BASEV A Altura 2340 cm 10 cm 234000 cm 234 litros= ⋅ = ⋅ = =

Hallar el volumen de un cilindro de 30 cm de radio y 1 m de altura.

30 cm

1 m

VOLUMEN DEL PRISMA Y DEL CILINDRO

2 2 3CILINDRO BASEV A Altura 30 100 282600 cm 282,6 litros= ⋅ = π ⋅ = π⋅ ⋅ = =r a

VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE

Pirámide

1V Área de la base Altura

3= ⋅

Hallar el volumen de una pirámide de altura 20 cm. La base es un triángulo

rectángulo de 10 cm de hipotenusa y 6 cm un cateto.

2 210 6 8 cm= − =c

VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE

2BASE

6 8A 24 cm

2

⋅= =

3PRISMA

1V 24 20 160 cm

3= ⋅ ⋅ =

20 cm

VOLUMEN DEL TRONCO DE PIRÁMIDE

Tronco de Pirámide Pirámide grande Pirámide pequeñaV V V= −

3

1Pirámide pequeña Pirámide grande

2

V V

= ⋅

a

a

VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE

Hallar el volumen del siguiente tronco de pirámide:

2 3PIRÁMIDE GRANDE

1V 8 12 256 cm

3= ⋅ ⋅ =

36

33 3

PIRÁMIDE PEQUEÑA

6V 256 cm 32 cm

12

= ⋅ =

3TRONCO DE PIRÁMIDE

V 256 32 224 cm= − =

VOLUMEN DEL CONO Y TRONCO DE CONO

2Cono

1 1V Área de la base Altura

3 3= ⋅ = πr a

Tronco de Cono Cono grande Cono pequeñoV V V= −

VOLUMEN DEL TRONCO DE CONO

Hallar el volumen de un tronco de cono de 10 cm de altura cuyas bases

tienen radios de 6 cm y 2 cm.

x 10 x2x 20 6x 4x 20 x 5 cm

6 2

+= → + = → = → =

Altura cono grande = 15 cm

Tronco de Cono Cono grande Cono pequeño

2 2 3

V V V

1 16 15 2 5 544 cm

3 3

= − =

= π⋅ ⋅ − π⋅ ⋅ =

VOLUMEN DE LA ESFERA

3Esfera

2 4V Volumen del cilindro que la contiene

3 3= = πR

VOLUMEN DE LA ESFERA

3 3 3Esfera

4 4V 9 972 3053,63 cm

3 3= π = ⋅π ⋅ = ⋅ π ≈R

Hallar el volumen de un sector esférico de 60º correspondiente a una esfera

de 9 cm de radio.

33360º 3053,63 cm 60º 3053,63

x 509 cm360º60º x

→ ⋅→ = ≈

→

3SECOR ESFÉRICO

V 509 cm≈

VOLUMEN DE LA ESFERA

3 3BALÓN

4V 25 65417 cm

3= ⋅π ⋅ ≈

El radio de un balón es 25 cm, y sabemos que el grosor de la goma es 3 mm.

¿Cuántos litros de goma son necesarios para fabricar un balón?

4 3 3ESFERA INTERIOR

4V 24,7 63090 cm

3= ⋅ π⋅ ≈

3GOMAV 65417 63090 2327 cm 2,327 litros= − = =

Solución: Se necesitarán 2,33 litros de goma aproximadamente.

LA TIERRA. MERIDIANOS Y PARALELOS

Los meridianos son semicircunferencias cuyos extremoscoinciden con los polos.

LA TIERRA. MERIDIANOS Y PARALELOS

Los paralelos son circunferencias sobre la superficie terrestretales que el plano que las contiene es perpendicular al ejeterrestre.

LA TIERRA. MERIDIANOS Y PARALELOS LA TIERRA. MERIDIANOS Y PARALELOS

La longitud de un lugar M es la medida en grados del arco,medido sobre el Ecuador, formado por el meridiano del lugar yel meridiano de Greenwich.

LatitudLatitud

Longitud

LA TIERRA. MERIDIANOS Y PARALELOS

La latitud del lugar M es la medida en grados del arco, medidosobre el meridiano que pasa por M, formado por el Ecuador y elparalelo de M.

LatitudLatitud

Longitud

LA TIERRA. MERIDIANOS Y PARALELOS