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Área
INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO “DAVID AUSUBEL”
SEMIPRESENCIAL
ò
+
+
=
+
K
n
x
dx
x
n
n
1
1
TECNOLOGÍA EN: INFORMÁTICA
CÁLCULO II
CALCULO INTEGRAL
GUÍA DIDÁCTICA
AUTOR DEL MÓDULO NIVEL
ING. PABLO A. SILVA C. 3 er. NIVEL
QUITO - ECUADOR
ÍNDICE
Capitulo 1: INTEGRAL INDEFINIDA
1.1 Definiciones y teorema
1.2 Propiedades para integrar funciones elementales
1.3 Tabla de propiedades fundamentales e integrales básicas
Capitulo 2: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
2.1 Integración por sustitución
2.2 Integración por partes
2.3 Integración de funciones trigonométricas
Capitulo 3: INTEGRAL DEFINIDA
3.1 Definición
3.2 Evaluación de la integral definida
3.3 Propiedades
3.4 Área bajo la curva
3.5 Área sobre la curva
3.6 Área entre curvas
INTRODUCCIÓN
El Cálculo Integral es una rama de la Matemática utilizada para la resolución de problemas prácticos que se presentan con frecuencia en la industria, comercio e inclusive en la vida cotidiana. Es la parte fundamental en el análisis matemático; los interesados en incursionar en este estudio deben tener nociones fundamentales del cálculo diferencial. Por otro lado es necesario que el alumno este familiarizado con el manejo de los números reales.
Si usted como estudiante desea aprender esta asignatura es fundamental que le dedique el tiempo necesario todos los días, para que exista una asimilación correcta de los contenidos.
La guía esta estructurada en tres capítulos que permitirán una mejor compresión de los conceptos necesarios para dominar la asignatura.
OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
· Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la determinación del la integración de funciones.
· Utilizar y aplicar la integración de una función en la resolución de problemas prácticos.
· Entregar las herramientas necesarias de las ciencias exactas para permitir que el estudiante llegue a un dominio en cuanto al conocimiento de las matemáticas.
OBJETIVOS POR UNIDADES
· Determinar la integración de funciones básicas.
· Resolver problemas relativos al cálculo de áreas, sobre o bajo curvas.
· Aplicar los teoremas de la integración en la resolución de ejercicios.
· Integrar funciones por diferentes métodos.
· Desarrollar habilidades de interpretar y desarrollo de los procesos matemáticos.
· Lograr en el alumno el desarrollo de capacidades para el manejo de las matemáticas.
· Avalizar en el estudiante el principio de aprendizaje su capacidad para receptar y practicar problemas.
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
El triunfo o fracaso de una clase no depende solo del maestro, figura principal en el aula, por lo que a usted le conviene tener presente métodos, procedimientos, recursos, la evaluación, etc., elementos que nos permiten mantener el equilibrio necesario en el proceso enseñanza – aprendizaje, evitando la rutina, monotonía y el cansancio de los alumnos, pero de esto se puede hablar en una clase presencial, pero hablar de Usted señor estudiante, el proceso es diferente, se trata de una conversación didáctica guiada, la conversación entre Usted y Yo, por lo tanto se trata de una educación individualizada, donde el protagonista principal es Usted que tomó la decisión de estudiar en este sistema y donde debe tener presente las características de su decisión que son:
La acción es importante porque tiene implicaciones para el futuro.
Las acciones que tome son importantes porque tienen efectos sobre las personas que le rodean.
La decisión que tomó por estudiar y por continuar tiene un valor elevado para Usted, aunque para otros puede ser nulo, pero por satisfacción personal estudie y cumpla con las sugerencias que se le da.
Pero si generalmente, deberá organizar su tiempo para estudiar y presentarse a las tutorías y evaluaciones, a fin de que pueda compartir la responsabilidad de su trabajo en caso de tenerlo actualmente y el de estudiar.
Señor estudiante es muy importante que comprenda, que las jornadas de tutoría sirven para despejar dudas acerca de lo que usted ya ha estudiado con la anticipación necesaria, no espere que durante dichas jornadas se enseñe toda la materia que abarca el módulo. Es su responsabilidad el llegar preparado a las tutorías.
La primera evaluación semi presencial deberá ser entregada al final de la segunda jornada de tutoría, y la segunda evaluación semi presencial al final de la tercera jornada de tutoría.
CALCULO INTEGRAL
CAPITULO 1
INTEGRAL INDEFINIDA
Definición: Sea la función f(x) la derivada de la función F(x), entonces F(x) es la función primitiva de f(x). Si y solamente si se cumple que:
∫f(x) dx = F(x)
Donde: ∫: es el símbolo de la operación integración, se le denomina “integral”
f(x): función integrando
d(x): “diferencial de x”, nos indica la variable de integración
F(x): función Primitiva, resultado de la operación.
El cálculo de una primitiva (integración de funciones) a partir de su derivada se lo hace a través del proceso inverso a la derivación.
Teorema 1: Regla de la potencia
Si n es cualquier número racional excepto -1, entonces:
INTEGRAL INDEFINIDA: La integral indefinida es un operador lineal; que nos da como resultado la obtención de una función primitiva. Siempre al final de este proceso sumamos una constante indeterminada K, ya que es imposible obtener con exactitud una determinada función primitiva. Lo que se determina es una “familia de funciones”, diferentes una a la otra tan solo por el valor de la constante K.
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL
Sean f y g integrales indefinidas y sea c una constante. Entonces:
a.
EMBED Equation.3
ò
ò
=
dx
x
f
c
dx
x
cf
)
(
)
(
b.
[
]
ò
ò
ò
+
=
+
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
c.
[
]
ò
ò
ò
-
=
-
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
TABLA DE PROPIEDADES FUNDAMENTALES E INTEGRALES BÁSICAS
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/3a43c1d0.gif" \* MERGEFORMATINET
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral.
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/3a590380.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/3a637500.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/3a7eb350.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/3a8691d0.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/3a9dd3d0.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/3aad1270.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/3ab7f1d0.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/3acb41d0.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/3adef3d0.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/3aeb41d0.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/3afa81d0.gif" \* MERGEFORMATINET
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INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/3b2c91d0.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/3b3d41d0.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/3b4c82d0.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/3b5bd280.gif" \* MERGEFORMATINET
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INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/3bac91d0.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/3bbeb1d0.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/3bceb1d0.gif" \* MERGEFORMATINET
CAPITULO 2
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Método 1: de Sustitución
Sea g una función derivable y suponga que F es una antiderivada de f. Entonces u = g(x)
(
)
(
)
ò
ò
+
=
+
=
=
¢
C
x
g
F
C
u
F
du
u
f
dx
x
g
x
g
f
))
(
(
)
(
)
(
)
(
Método 2: de Integración por partes
ò
ò
¢
-
=
¢
dx
x
u
x
v
x
v
x
u
x
v
x
u
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
Método 3: Integraciones trigonométricas
Ejercicios resueltos
Determinar las integrales de las funciones indicadas aplicando el método correspondiente en cada caso:
S o l u c i o n e s
1. Solución:
2. Solución:
3. Solución:
4. Solución:
5. Solución:
6. Solución:
7. Solución:
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/3d250230.gif" \* MERGEFORMATINET
AUTOEVALUACIÓN PARA CAPÍTULOS 1 Y 2
Realice las integrales indicadas:
(
)
(
)
ò
ò
ò
ò
ò
ò
+
+
+
-
-
-
dx
x
x
f
x
x
x
e
dt
t
d
dx
x
x
c
dx
x
x
b
dx
x
a
2
2
2
5
5
cos
tan
)
1
2
3
)
1
2
5
)
1
)
5
)
5
)
dx
x
k
dt
t
t
j
dx
x
x
i
dx
xe
h
dx
x
x
g
x
ò
ò
ò
ò
ò
-
2
5
csc
)
ln
)
1
)
)
cos
)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios:
ò
ò
ò
ò
ò
-
+
+
-
+
+
-
+
3
2
)
1
3
2
)
5
3
)
16
9
)
2
3
)
2
2
2
2
2
t
t
dt
e
dx
x
x
x
d
dx
x
x
c
x
dx
b
dx
x
x
a
CAPITULO 3
INTEGRAL DEFINIDA
Definición: Sea f una función que está definida en el intervalo cerrado
[
]
b
a
;
. Entonces:
i
b
a
i
n
i
P
x
x
f
dx
x
f
ò
å
=
®
=
)
(
lim
)
(
1
0
Teorema 1: Integrabilidad
Sea f acotada en
[
]
b
a
;
y si f es continua, excepto en un número finito de puntos, entonces f es integrable en
[
]
b
a
;
. En particular, si f es continua en todo el intervalo
[
]
b
a
;
, es integrable en
[
]
b
a
;
.
Teorema 2: Propiedad aditiva de intervalos
Si f es integrable en un intervalo que contenga los puntos a, b y c, entonces:
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
c
b
b
a
c
a
ò
ò
ò
+
=
)
(
)
(
)
(
Teorema 3: Primer teorema fundamental del cálculo
Sea f continua en el intervalo cerrado
[
]
b
a
;
y sea x un punto (variable) en (a;b). Entonces:
ò
=
x
a
x
f
dt
t
f
dx
d
)
(
)
(
Teorema 4: Linealidad de la integral definida
dx
x
f
k
dx
x
kf
b
a
b
a
ò
ò
=
)
(
)
(
[
]
ò
ò
ò
+
=
+
b
a
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
[
]
ò
ò
ò
-
=
-
b
a
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
Teorema 5: Segundo teorema fundamental del cálculo.
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
dx
x
f
b
a
-
=
ò
Teorema 6: Teorema del valor medio para integrales
Si f es continua en
[
]
b
a
;
, existe un número c entre a y b tal que:
)
)(
(
)
(
a
b
c
f
dt
t
f
b
a
-
=
ò
ÁREA
Como se verá más adelante, para definir el área de una región en el plano cartesiano, acotada por una curva, el eje x y las rectas x = a y x = b, se requiere hallar la suma de muchos términos; para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria.
Sumatoria:
Propiedades de la sumatoria:
ÁREA: Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del área de un rectángulo (producto de la base por la altura), de aquí se deduce que el área de un triángulo rectángulo es igual a "un medio del producto de los catetos". La trigonometría facilita una fórmula para hallar la medida de cualquier clase de triángulo: "el área de un triángulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman dichos lados". Debido a que un polígono se puede descomponer en triángulos, la obtención de su área se consigue mediante la suma de las áreas de los triángulos en que se ha dividido. Este procedimiento de medir áreas sólo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas. Para medir el área de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro método, que es el que vamos a estudiar a continuación.
ÁREA ARRIBA DEL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano sobre el eje x
ò
=
b
a
dx
x
f
R
A
)
(
)
(
ÁREA BAJO EL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano bajo el eje x
ò
-
=
b
a
dx
x
f
R
A
)
(
)
(
ÁREA ENTRE CURVAS
Considere las curvas y = f(x) y y = g(x), determinan una región entre los puntos a y b, el área de la región viene dada por:
[
]
ò
-
=
b
a
dx
x
g
x
f
R
A
)
(
)
(
)
(
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/30a72290.gif" \* MERGEFORMATINET
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/31dd3670.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/31e20670.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/31f3f670.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/32026090.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/32127170.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/32248dd0.gif" \* MERGEFORMATINET
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14, evalúe la integral definida.
En los ejercicios 15 a 21, calcule la derivada.
Nota: para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas técnicas de integración, por el momento sólo es indispensable aprender la integración directa y la integración por sustitución.
S o l u c i o n e s
ÁREA DE UNA REGIÓN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14, encuentre el área de la región limitada por las curvas dadas. En cada problema haga lo siguiente: (a) trace una figura que muestre la región, así como un elemento rectangular de área; (b) exprese el área de la región como el límite de una suma de Riemann; (c) determine el límite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del cálculo:
S o l u c i o n e s
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/37372d00.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/37472ca0.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/37572500.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/376560d0.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/37a790d0.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/37d69d00.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://analisismatemati.webcindario.com/3815a0c0.gif" \* MERGEFORMATINET
INTEGRACIÓN DIRECTA
De cada regla de derivación se puede deducir una regla correspondiente de integración. La integración directa es aplicable cuando identificamos la función primitiva de forma inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de derivación que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la función primitiva.
Ejemplo:
TABLA DE INTEGRALES
BIBLIOBRAFÍA
· PURCELL, VARBERG, RIGDON, 2003, Cálculo Diferencial e Integral, Pearson Prentice Hall, Ecuador.
· GRANVILLE, SMITH, LONGLEY, 1974, Cálculo Diferencial e Integral, Uteha, México.
EVALUACIÓN SEMI PRESENCIAL 1
RECOMENDACIONES:
La evaluación corresponde a los capítulos uno y dos.
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas.
Si no recuerda la respuesta de una pregunta, sáltela y conteste las demás preguntas, no pierda el tiempo en una sola pregunta.
1. Escriba la letra V o F dentro del paréntesis, según sean verdaderos o falsos los siguientes enunciados.
A
Cualquier función puede ser integrada sea o no continua.
( )
B
Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) = f(x) en I, esto es si F´(x) = f(x) para todo x en I.
( )
C
Sea g una función derivable y suponga que F es una antiderivada de f. Entonces u = g(x)
(
)
(
)
ò
ò
+
=
+
=
=
¢
C
x
g
F
C
u
F
du
u
f
dx
x
g
x
g
f
))
(
(
)
(
)
(
)
(
( )
D
Integración por partes
ò
ò
¢
-
=
¢
dx
x
u
x
v
x
v
x
u
x
v
x
u
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
( )
E
La integración es igual que la diferenciación.
( )
F
La integración nos sirve para estimar el área de figuras curvas.
( )
2. Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta correcta.
A. La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B. La integral de ex es:
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
C. La función
1
4
)
(
3
+
+
=
x
x
x
f
es :
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D. La función
4
3
)
(
-
+
=
x
x
x
f
es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3. Resuelva los siguientes ejercicios.
A. Determinar la integral de las siguientes funciones:
a.
ò
+
-
dx
x
x
x
)
4
2
(
3
b.
ò
+
-
dx
x
x
14
3
2
c.
ò
dx
x
3
d.
ò
-
-
dx
x
x
)
9
(
)
9
(
2
e.
ò
-
+
+
dx
x
x
x
56
1
2
2
B. Integrar las siguientes funciones:
a.
ò
xdx
x
ln
(
3
b.
(
)
ò
-
dx
x
x
2
3
4
7
3
7
c.
ò
dx
e
x
x
2
d.
ò
xdx
3
ln
e.
ò
senxdx
x
2
EVALUACIÓN SEMI PRESENCIAL 2
RECOMENDACIONES:
La evaluación corresponde al capítulo tres.
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas.
Si no recuerda la respuesta de una pregunta, sáltela y conteste las demás preguntas, no pierda el tiempo en una sola pregunta.
1. Escriba la letra V o F dentro del paréntesis, según sean verdaderos o falsos los siguientes enunciados.
A
Sea f una función que no está definida en el intervalo cerrado
[
]
b
a
;
. Entonces:
i
b
a
i
n
i
P
x
x
f
dx
x
f
ò
å
=
®
=
)
(
lim
)
(
1
0
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado
[
]
b
a
;
y sea x un punto (variable) en (a;b). Entonces:
ò
=
x
a
x
f
dt
t
f
dx
d
)
(
)
(
( )
C
Las áreas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas.
( )
D
En la integral definida es necesario que la función sea continua entre los límites de integración.
( )
E
El teorema del valor medio dice que: Si f es continua en
[
]
b
a
;
, existe un número c entre a y b tal que:
)
)(
(
)
(
a
b
c
f
dt
t
f
b
a
-
=
ò
( )
F
El área entre curvas siempre es positiva.
( )
G
Para encontrar el área entre curvas es necesario encontrar los puntos donde las curvas se cortan.
( )
H
La principal aplicación de la integral definida es el cálculo de áreas y volúmenes de cuadriláteros.
( )
2. Calcule el área bajo, sobre o entre las siguientes curvas:
x
y
x
y
e
x
y
x
y
d
x
x
x
x
y
c
x
x
x
x
y
b
x
x
x
x
y
a
-
=
-
=
+
-
=
=
=
-
=
-
+
=
=
-
=
+
-
=
=
-
=
+
=
3
;
1
)
2
;
)
1
;
3
;
3
2
)
2
;
1
;
2
)
2
;
1
;
1
)
2
2
3
2