Raices de ECUACIONES NO

LINEALESPRIMER PARCIAL

TEMA 2

introducción

MÉTODO GRÁFICO

PARA ENCONTRAR

LAS RAICES DE

SISTEMAS DE

ECUACIONES

EJEMPLO:

f(x)= 𝑒−𝑥 − 𝑥

A)LA RAIZ ES

DONDE LA

GRAFICA

INTERSECTA EL

EJE “X”

B) LA RAIZ ES

EL PUNTO DE

INTERSECCION

DE LAS DOS

FUNCIONES

COMPONENTES

3 MÉTODOS PARA ENCONTRAR LA

SOLUCIÓN DE EC. NO LINEALES

1.METODO DEL PUNTO FIJO

2.METODO DE NEWTON RAPHSON

3.METODO DE LA SECANTE

3.1 MÉTODO DEL PUNTO FIJO

PASO 1.

realizar

todos los

despejes

posibles de

“x”

EJEMPLO 1

Llamamos

a ese

despeje

x=g(x)

PASO 2. SE TOMA UN VALOR TANTEADO DE X0 . Este valor se puede tomar cercano a alguna

de las raices conocidas, o simplemente un valor cualquiera

PASO 3. Se evalua la función g(x) en el valor tanteado, y posteriormente en los valores

obtenidos de “x”

DIVERGENCIA CONVERGENCIA

Si el valor

converge,

quiere decir

que ese valor

de “x” es una

raíz de la

ecuación

¿Cuántas

iteraciones

hago?

El error “Є” en la raíz

calculada, se obtiene como:

ϵ= 𝑋𝑖+1 − 𝑋𝑖

Є= 1.85115 − 1.85349 = 0.00234Є= 1.85083 − 1.85115 = 0.00032

Si la raíz que encontramos es la correcta,

entonces al sustituirla dentro de la

expresión f(x), el resultado deberá ser

CERO, o muy cercano a él, ya que f(x)=0

CRITERIO 1

CRITERIO 2

Generalmente se

considera BUENO un

error de Є=10-3

EJEMPLO 2. trabajo en clase

Si la raíz que encontramos es la correcta, entonces al

sustituirla dentro de la expresión f(x), el resultado deberá

ser CERO, o muy cercano a él, ya que f(x)=0

CON X0=2

error de Є=10-3

Inciso a

DIVERGE

5 iteraciones

ERROR

#ITERACIONES

Inciso b

5 iteraciones

CONVERGE

ERROR

TAREA/ TRABAJO EN CLASE

IMPLEMENTAR LOS CODIGOS ANTERIORES EN

OCTAVE

CRITERIO PARA RECONOCER LA

CONVERGENCIA, ANTES DE ITERAR

La cual es una condición SUFICIENTE, mas NO NECESARIA para la convergencia

A y b convergencia

c y d convergencia

TAREA/ TRABAJO EN CLASE Con Є=10-3

Para el despeje a,

después de 9

iteraciones

Despeje c

Después de 5

iteraciones, NO

CONVERGE

La condición NO ASEGURA

LA CONVERGENCIA

OTRO DESPEJE

Con Є=10-3

b) Hágalo también tomando X0=1

USAR AL MENOS 6 DECIMALES

4

Con error≤0.001

a)

Problema 6.1. con X0=0.5, como dice el problema sale en

6 iteraciones

ERROR

Problema 6.1. si tomamos X0=1, como dice el problema sale en5 iteraciones (menos que con 0.5)

Problema 2 . Sale en 6 iteraciones

3.2 MÉTODO DE NEWTON-RAPSHON

CONTINUA

Vamos a suponer un valor inicial X0 que se sitúa en el eje horizontal. Trace una

tangente a al curva en el punto (X0, f(x0)) y a partir de ese punto sígase por la

tangente hasta una intersección con el eje x. el punto de corte x es una nueva

aproximación a x (hay que observar que se ha reemplazado la curva f(x) por su

tangente en (X0, f(x0)) ). El proceso se repite comenzando con X, se obtiene una

nueva aproximación X y asi sucesivamente.

Ejemplo 3. Newton-rapshon

Derivada

de la

función

EVALUAMOS LO ANTERIOR EN X0=1

Los resultados al hacer 4 iteraciones

ERROR

RAIZ ENCONTRADA

CON Є≤10-3

PROGRAMA

MATLAB OCTAVE

PARA ENCONTRAR

LA SOLUCION A EC

NO LINEALES, POR

EL METODO DE

NEWTON RAPSHON

FALLAS EN EL METODO DE NEWTON

RAPSHON

Cuando el método de Newton-Raphson converge se obtienen los

resultados en relativamente pocas iteraciones.

Sin embargo, algunas veces el método NO CONVERGE sino que

oscila. Esto puede ocurrir si no hay raíz real, si la raíz es un

punto de inflexión o si el valor inicial está muy alejado de la

raíz.

Éste método requiere la evaluación de la primera derivada de

f(x). En la mayoría de los problemas de los textos este requisito

es trivial, pero éste no es el caso en problemas reales donde,

por ejemplo, la función f(x) está dada en forma TABULAR.

3.3 MÉTODO DE LA SECANTE Consiste en aproximar la derivada f´(x) de la ecuación 2.12 por el cociente

PARA EL MÉTODO DE LA SECANTE SE REQUIEREN

INICIALMENTE DE DOS PUNTOS X0 Y X1

PARA EL MÉTODO DE LA SECANTE NO SE NECESITA SACAR LA DERIVADA

DE LA FUNCIÓN

PARA EL MÉTODO DE LA

SECANTE SE REQUIEREN

INICIALMENTE DE DOS

PUNTOS X0 Y X1

EJEMPLO 4. MÉTODO DE LA SECANTE

X0=0 ; X1=1

PARA 5

ITERACIONES

LOS VALORES

SON:

PROGRAMA MATLAB

OCTAVE PARA LA SOLUCION

DE ECUACIONES NO

LINEALES, POR EL METODO

DE LA SECANTE

TAREA/TRABAJO EN CLASE, métodos N-R y secanteResuelva las siguientes ecuaciones por: a) en método de

Newton Rapshon y el método de la secante. Escoja de

manera adecuada los valores tanteados x0 y/o x1

Parte 1.-

Parte 2.- X0=2 , x1=3

respuestas PARTE 1

a) 4 iter, 0.80903

B) 5 iter , -0.51354

C) 4ite, 0.578713

PARTE 2

A) 3.14619

B)0.8526

C)1.02986

D)0.201639