prueba de hipotesis- estadistica aplicada

8/17/2019 Prueba de Hipotesis- Estadistica Aplicada

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INTRODUCCION

Los métodos estadísticos básicos que se aplican para tomar decisiones sobre la conjetura que sehace de alor numérico del parámetro de una poblaci!n en estudio " que es sometida a

comprobaci!n e#perimental con el prop!sito de determinar si los resultados de nuestra muestra

aleatoria e#traída de esta poblaci!n contradicen o no en $orma si%ni$icatia tal a$irmaci!n&

'ásicamente el proceso de la prueba de hip!tesis nos conduce a tomar la decisi!n de recha(ar o

no recha(ar la a$irmaci!n o conjetura acerca del alor numérico del parámetro de la poblaci!n

en estudio& Tal suposici!n tiene el nombre %enérico de hipótesis estadística " esta puede ser

erdadera o no& )or esto la in$erencia inclu"e una medida del error que se cometería al recha(ar

la hip!tesis principal cuando realmente es cierta& *sta medida de error en denominado en nivel

de significación.

*n %eneral las hip!tesis estadísticas son a$irmaciones no solamente acerca de los parámetros de

una poblaci!n si no también acerca de la $orma como se distribu"e la poblaci!n de$inida por la

ariable aleatoria en estudio& La conjetura hecha sobre el parámetro o sobre la $orma de la

distribuci!n de una poblaci!n sometida a comprobaci!n e#perimental será recha(ada solo si el

resultado muestral produce cuando la hip!tesis es cierta+ una probabilidad menor que el niel de

si%ni$icaci!n dado&


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HIPOTESIS ESTADISTICAS

De$inici!n&

,e denomina hip!tesis estadística a cualquier a$irmaci!n o conjetura que se hace acerca de la

distribuci!n de una o más poblaciones& *sta puede re$erirse bien a la $orma o tipo de

distribuci!n de probabilidad de la poblaci!n en estudio o bien re$erirse al alor o alores de unoo mas parámetros de la distribuci!n+ conocida su $orma

*n este te#to básico las hip!tesis estadísticas consisten en a$irmar que el o los parámetros que

contiene la poblaci!n toman alores numéricos&

-l%unos ejemplos de hip!tesis estadísticas son.

/&0 la lon%itud media de un tipo de objeto en /1 centímetros

2&0 la proporci!n de objetos de$ectuosos producidos por cierto proceso es superior al 34

5&0 la arian(a de los contenidos de un producto que se comerciali(a en bolsas de 216 %ramos en

6&21 %ramos&

Hipótesis simple e hipótesis compuesta

De$inici!n&

,e denomina hip!tesis simple a cualquier hip!tesis estadística que especi$ique un alor del

parámetro& )or ejemplo+ a$irmar que 78166 es una hipótesis simple

,i la hip!tesis no indica un alor especí$ico del parámetro se dice que es una hipótesis

compuesta. )or ejemplo+ a$irmar 7 9:6 es una hip!tesis compuesta&

,upon%amos que estamos interesados en reali(ar un estudio de los tiempos en minutos que lleva

realizar determinada obra.

*l interés de conocer el modelo de probabilidad de estos tiempos

,i suponemos que la distribuci!n de los tiempos es normal con una desiaci!n estándar de ; 8

5+ entonces+ tenemos in$initas curas normales dependientes del alor de la media u& si se a$irma

que su media+ por ejemplo es 7 8 :6 < hip!tesis simple=> este alor de$ine o especi$ica

completamente una cura normal con su centro en :6&

*n cambio+ las a$irmaciones+ 7 ≠ :6 ! 7 ? :6 ! 79:6


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La hip!tesis alternatia se acepta en caso de que la hip!tesis nula sea recha(ada&

)or ejemplo son hip!tesis nulas " alternatias acerca del parámetro 7 de la poblaci!n normal


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,i la alternatia $uera H

1 . 7 ≠ :6+ entonces la re%i!n critica RC de la prueba+ se ubica en

ambos e#tremos de la cura normal especi$icada por H 0 de manera que cada cola tiene

probabilidad B2& *ste tipo de contraste se denomina prueba bilateral o de dos colas.

Procedimiento de la pruea de hipótesis

*l procedimiento %eneral de pruebas de hip!tesis se resume en los si%uientes tres pasos

concretos.

/= Hipótesis.

)lantear adecuadamente la hip!tesis nula H

0 contra la hip!tesis alternatia H

1

2= Estadística y región critica

*speci$icar la estadística apropiada de la prueba& Lue%o con el alor dado del niel de

si%ni$icaci!n B " el tipo de contraste que indica H

1 + hallar la re%i!n critica RC en la

que se aplica la re%la de decisi!n5= Decisión

Calcular el alor de la estadística de la prueba aplicando los datos de la muestra " tomar

la decisi!n de recha(ar la hip!tesis H 0 si la estadística calculada esta en la re%i!n

critica& *n caso contrario+ no recha(ar H 0 &

Pruea de hipótesis de la media de una polación con

varian!a σ 2

desconocida

,ea ´ X la media de una muestra aleatoria de tamaAo n seleccionada de una poblaci!n

E con media 7 " una arian(a σ 2

distribuida en $orma normal o de cualquier otra

$orma&

,uponemos que la varian!a σ 2

es conocida. *ste hecho se justi$ica por los datos

hist!ricos o por estudio estadísticos similares o por su estimaci!n puntual Sn−12

calculada de la muestra siempre que esta sea de tamaAo %rande n ≥ 56&

,i la poblaci!n es normal N


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Z = ´ X −µσ /√ n

Cu"a distribuci!n es e#acta o apro#imadamente normal N z1−α }

Consecuentemente la

re%i!n de aceptaci!n de H

0 es el interalo

R-8 { Z ≤ z1−α }

La re%la de decisi!n

consiste en recha(ar

H 0 si zcal ∈

RC


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especi$icada por H

0 supuesta erdadera+ se halla el alor critico z

1−α tal que la

probabilidad de recha(ar H 0 cuando de hecho es erdadera sea+ P [Z z1−α /2 ] "# %&


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)or lo tanto+ la región crítica o de rechazo de H

0 en el rango de variación de Z es:

RC8 {Z z1−α /2 }

*n consecuencia la re%i!n de aceptaci!n de H 0 es el interalo

R-8 {− z1−α /2 ≤ Z ≤ z1−α /2 }

La re%la de decisi!n consiste en recha(ar H 0 si el alor de F calculada de la muestra

zcal ∈ RC


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Contra H

0 . 7 ≠ G66


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*n esta distribuci!n+ dado el niel de si%ni$icaci!n> B86&61 " dado que la hip!tesis H 1

indica una prueba bilateral+ se ubica el alor critico t 0.975,17=2.110

La re%i!n critica o de recha(o H 0 es el interalo.

RC = {T 2.110 }

5&0 Decisión) de la muestra se obtienen.


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La arian(a comn.

n

n

(¿¿ 1−1)s1

2+(¿¿2−1)s

2

2

n1+n

2−2

=9 x1.8222+8 x1.4999

10+9−2=1.67053

¿sc2=¿

*l error típico de la di$erencia de medias *T8 √ SC

1

n1

+ sc

2

n2

=0.594

La estadística calculada. t cal= ´ x

1−´ x

2

ET =

5.4−7.00.594

=−2.694 .

M dado que el t cal 802&HG ∈ RC debemos recha(ar H 0 " concluir que los promedios

de los tiempos de tratamientos con las medicinas - " ' son di$erentes

%inalmente dado B86&61+ %rados de libertad 8/: " la hip!tesis H

1: µ

1


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Donde los %rados de libertad está dado por. r 8

( S12

n1

+ s2

2

n2)2

( S12

n1)2

n1−1+

( S22

n2)2

n2−1

& Dado que r rara e( es un

entero+ se redondea al entero más cercano& ,i la hip!tesis nula H

0 . µ

1=µ

2 + es supuesta

erdadera entonces la estadística es.

T =( ´ X 1− ´ X 2 )

√S1

2

n1

+ s

2

2

n2

t (r )

*n esta distribuci!n T especi$icada por H 0 se determina la re%i!n critica RC de la prueba

cu"a probabilidad sea i%ual al niel de si%ni$icaci!n B&

De la muestra se calcula el alor de T dado por. t cal=( ´ X 1− ´ X 2 )

ET & Donde *T8

√ s12/n

1+s

2

2/n2 es el error típico de la di$erencia de medias& La regla de decisión de una

prueba bilateral o unilateral de dos medias consiste en recha(ar H

0 sit cal∈ RC " no

recha(ar H

0 en caso contrario&

*P*Q)LO

*l a%ente de compras de una empresa quiere decidir la adquisici!n de una de dos marcas de

máquinas a procesar cierto producto& )or cuestiones de precio él está pensando en comprar la

marca -+ a no ser que ha"a eidencias de que la maquina ' es más elo(& ,e le permiti! operar

los dos tipos de máquinas durante un periodo de prueba obserando los tiempos


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2&0 estadística y región critica. La estadística de prueba especi$icaba por la hip!tesis nula

H 0 supuesta erdadera es. 8 S1

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