prueba de hipotesis
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PRUEBA DE HIPOTESIS, EN LA ESTADISTICA INFERENCIAL CON ANOVAS SIMPLES Y DOBLESTRANSCRIPT
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PRUEBA DE HIPOTESIS
PARA PROPORCIONES Ing. William León Velásquez
ESTADISTICA INDUSTRIAL
TEMA 02
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CONTENIDO
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA PROPORCION
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA DOS PROPORCIONES
ERROR TIPO II
POTENCIA DE LA PRUEBA
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PRUEBA PARA UNA PROPORCIÓN
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PRUEBA PARA UNA PROPORCIÓN
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• Las pruebas de hipótesis con proporciones son necesarias en muchas áreas del conocimiento y en especial en la administración e ingeniería.
• Se considerará el problema de probar la hipótesis de que la proporción de éxito en un experimento binomial sea igual a un cierto valor especifico.
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PRUEBA PARA UNA PROPORCIÓN
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• Se probará que la hipótesis nula es:
p = p0
donde • p es el parámetro de la distribución
binomial. • po es el valor poblacional
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6
La información que frecuentemente se utilizará para la estimación de una proporción real o verdadera (porcentaje o probabilidad) es una proporción muestral.
Que se calcula de la siguiente manera
PRUEBA PARA UNA PROPORCIÓN
donde x es el número de veces que ha ocurrido un evento en n ensayos.
𝑝 =𝑥
𝑛
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7
Ejemplo, Si una muestra aleatoria de 600 compras realizadas en
una tienda, 300 se realizan con tarjeta de crédito.
PRUEBA PARA UNA PROPORCIÓN
Entonces se puede utilizar esa cifra
como estimación puntual de la
proporción real de compras
realizadas en ese negocio que se
abonaron a tarjetas de crédito.
𝑝 =300
600
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• De la misma forma muchas compañías podrían estimar las proporciones de muchas transacciones.
• La hipótesis alterna puede ser una de las alternativas usuales: unilateral o bilateral
• Tales como:
000 ..,.., ppopppp
PRUEBA PARA UNA PROPORCIÓN
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9
• Un valor Zc calculado a partir de la muestra se compara con un valor critico de Z dados en las tablas.
• Zc se obtiene así:
O también se puede utilizar:
n
qp
ppZc
.
npq
npxZc
PRUEBA PARA UNA PROPORCIÓN
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EJEMPLOS PARA PROBAR UNA PROPORCIÓN
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Ejemplos: • Un político esta interesado en
conocer si ha habido un aumento en la proporción (porcentaje) de votantes que lo favorecen en las próximas elecciones;
• Un productor de cereales puede
querer conocer si ha ocurrido o no una
baja en la proporción de clientes que
prefieren su marca de cereal;
• Un hospital desea confirmar la
afirmación de un fabricante de
medicamentos quien indica que su
producto cura al 80% de los usuarios.
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• Estos ejemplos son algunas de las situaciones
donde nos interesa probar alguna afirmación
referente a una proporción.
EJEMPLOS PARA PROBAR UNA PROPORCIÓN
• El procedimiento
para probar una
proporción en
una población
normal es casi
igual al usado
para las medias.
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MÉTODOS PARA PROBAR UNA PROPORCIÓN
Para probar una
proporción
De la región de rechazo
Por el valor de p
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A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO (MÉTODO 1)
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Paso 1
Establecer las hipótesis.
Sea po es la proporción admitida o requerida.
Ho : p = po
H1 : p > po ó
p < po ó
p ≠ po
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• Paso 2 Con el nivel de significancia (α) se dibuja la región de rechazo en la curva normal estándar (curva z) indicando el valor de Z proveniente de la tabla Z.
•
Z
α ó α/2
A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO (MÉTODO 1)
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• Paso 3
• Indicar el valor de Zc en el diagrama de la región de rechazo (Paso 2).
Zc
A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO (MÉTODO 1)
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• Paso 4 Calcular el valor zc para la
proporción muestral usando la
fórmula
n
ppp
)1( 00
A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO (MÉTODO 1)
𝑝 =𝑥
𝑛
𝑧𝑐𝑝 − 𝑝0
𝜎𝑝
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• Paso 5
• Si el valor Zc cae dentro de la región de rechazo
(sombreada), entonces se rechaza Ho.
Si cae fuera de la región sombreada, entonces no se
rechaza la Ho.
Escriba la conclusión de la prueba en términos de la Ha
A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO (MÉTODO 1)
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• Ejemplo :
• Se desea probar si a habido una variación en la proporción de 0.4 de mujeres en las carreras de ingeniería.
• En el ultimo examen de admisión realizado se selecciona una muestra de 200 ingresantes y se obtiene una proporción de mujeres de 0.45.
A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO (MÉTODO 1)
• Utilice un nivel de
significancia del
0.01
𝑝 = 0.45, n = 200, y
α= 0.01.
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A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO (MÉTODO 1)
• Solución:
Paso 1 • H0 : p = 0.4
La proporción de mujeres en las carreras de
ingeniería es de 0.4
• H1 : p ≠ 0.4
La proporción de mujeres en las carreras de
ingeniería es diferente de 0.4
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• Paso 2
• Usando α= .01,
• como es de dos colas α/2= 0.005
Entonces Z= -2.575
A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO (MÉTODO 1)
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21
Paso 2
• Usando α= .01,
• Z= -2.575 y como es de colas el otro Z=
2.575
• Entonces el diagrama de la región de
rechazo es:
.005 .005
-2.575 2.575
A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO (MÉTODO 1)
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22
Paso 3
• Calculando el valor z para la proporción muestral
𝑝 = 0.45, po=0.4
• obtenemos:
• Z=
0346.0200
)4.01(4.0
p
45.10346.0
4.045.0
A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO (MÉTODO 1)
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Paso 4
• Dibujando z = 1.45 en el diagrama de la región de rechazo (Paso 2) obtenemos:
.005 .005
-2.575 2.575
1.45
A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO (MÉTODO 1)
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Paso 5 • Como el valor z está fuera de la región de rechazo
(sombreada), • Por lo tanto no se rechaza Ho.
• Conclusión: • La proporción de mujeres en las carreras de
ingeniería no es diferente de 0.4.
A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO (MÉTODO 1)
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B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2)
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• Sea po es la proporción admitida o requerida.
• Paso 1 Se establece las hipótesis:
H0 : p = p0
H1 : p > p0 ó
p < p0 ó
p ≠ p0
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• Paso 2
• Calcular el valor de Zc para la proporción
muestral usando la fórmula:
•
• donde
26
n
ppp
)1( 00
B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2)
𝑧𝑐𝑝 − 𝑝0
𝜎𝑝
𝑝 =𝑥
𝑛
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27
• Paso 3 • Utilizando la hipótesis alternativa dibujar la región bajo
la curva z que representa los valores extremos y con
el valor de Zc. Ir a la tabla y encontrar el valor de p
Zc p o p/2
B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2)
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28
• Paso 4
• El valor p = al área de la cola sombreada (s) en el Paso 3.
B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2)
![Page 29: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Paso 5
• Si el valor p< α, entonces se rechaza H0
• Si el valor p >= α, entonces no se rechaza H0.
• Escribir la conclusión de la prueba, en términos de la Ha
B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2)
![Page 30: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/30.jpg)
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B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2)
Ejemplo : • Se desea probar si a habido una variación en la proporción
de 0.4 de mujeres en las carreras de ingeniería.
• Se selecciona una muestra de 200 ingresantes y se obtiene una proporción de mujeres de 0.45.
• Utilice un nivel de significancia del 0.01
𝑝 = 0.45,
n = 200, y
α= 0.01.
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Paso 1
• Formulación de la hipótesis
H0 : p = 0.4
La proporción de mujeres en las carreras de
ingeniería es de 0.4
H1 : p ≠ 0.4
La proporción de mujeres en las carreras de
ingeniería no es de 0.4
• Asuma que
• 𝑝 = 0.45,
• n = 200, y
α = 0.01.
B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2)
![Page 32: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/32.jpg)
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Paso 2 o Calculo del valor z de 𝑝
o Se obtiene
Z = 45.10346.0
4.045.0
0346.0200
)4.01(4.0
p
B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2)
![Page 33: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Paso 3
• El valor P= para una de las áreas.
• Z= 1.45
• =1.4 +0.05 =1.45
B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2)
![Page 34: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Paso 3
• La región bajo la curva z que contiene los valores extremos de es 0.0735 en ambos lados de la curva
P/2 P/2
0.0735 0.0735
B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2)
![Page 35: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/35.jpg)
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Paso 4
• El valor p de una de las áreas es 0.0735 (p/2)
• Por lo tanto el valor total de los dos extremos para poder comparar con el α es sumando las dos regiones del Paso 3
p= 2(el área a la izquierda de 1.45)
p= 2(0.0735)
p= 0.147
B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2)
![Page 36: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/36.jpg)
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Paso 5
• Como alfa es 0.01
• Y sabemos que si el valor p >= α, entonces no se
rechaza H0
• Se tiene que 0.147 >=0.01 por lo tanto no se
rechaza la Ho
B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2)
Conclusión:
La proporción de mujeres en las
carrera de ingeniería no es
diferente de 0.4.
![Page 37: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/37.jpg)
EJEMPLO 1:
37
• Se afirma que, de todas los trabajadores que se contratan en
una empresa por lo menos el 30 % proviene del cono sur.
• Si una muestra de 600
contrataciones tomada al azar
de los registros de la oficina
de Recursos Humanos revela
que de las personas
contratadas 153 fueron del
cono sur.
• Se desea verificar tal
afirmación con un nivel de
significancia del 1%
![Page 38: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/38.jpg)
38
SOLUCIÓN:
• Para calcular la proporción p lo primero que se ha de hacer es determinar la proporción muestral.
• Luego se planteará una hipótesis unilateral con un nivel de significancia al 1%.
,...30.0,..255.0600
153,..600 ppn
153,..70.0 xq
EJEMPLO 1:
• Se probará la hipótesis nula p = 0.30 contra la
hipótesis alternativa p < 30 con un α=0.01
![Page 39: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/39.jpg)
39
1.- Hipótesis:
30.0:
30.0:
1
0
pH
pH
EJEMPLO 1:
Ho: El porcentaje de trabajadores que proviene del cono sur es del 30%
H1: El porcentaje de trabajadores que proviene del cono sur es menor del 30%
![Page 40: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/40.jpg)
40
2.- Cálculo del valor critico
,33.2Z
con un nivel de significancia del 1 %
para una prueba de una cola se tiene α=0.01.
EJEMPLO 1:
![Page 41: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/41.jpg)
41
• Regla de decisión o Región crítica:
Se rechaza la Hipótesis nula si: •
ZZc
es decir, .
33.2cZ
EJEMPLO 1:
![Page 42: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/42.jpg)
42
3.- Cálculo del estadístico de prueba Aplicando formula se tiene:
•
O también Aplicando:
41.20187.0
045.0
00035.0
045.0
600
7.03.0
300.0255.0
.
cc Z
x
n
qp
ppZ
41.2225,11
27
126
180153
)70.0)(30.0(600
)30.0(600153
npq
npxZ
EJEMPLO 1:
![Page 43: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/43.jpg)
43
4.- Conclusión:
• Como es menor que , se rechaza Ho con un nivel de significancia de 0.01.
Zc Z
33.241.2 cZ
EJEMPLO 1:
Esto se observa en la grafica donde Zc cae fuera del área de no rechazo .001
-2.33
-2.41
• El porcentaje de trabajadores que proviene del cono sur es menor del 30%
• Por lo tanto, la afirmación de que, de todas los trabajadores que se contratan en una empresa por lo menos el 30 % proviene del cono sur, es falsa.
Zc
AREA DE NO
RECHAZO
![Page 44: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/44.jpg)
44
• Se sabe que el 10 % de los fumadores prefieren la marca de cigarrillo Malboro. Después de una campaña publicitaria del cigarrillo Malboro, se entrevistaron a 200 fumadores para determinar la eficiencia de la campaña publicitaria.
• El resultado de la muestra realizada detecto un total de 26 personas que fumaban Malboro.
EJEMPLO 2:
• ¿Pueden considerarse que
esos datos presentan
evidencia suficiente para
indicar que hubo un aumento
en la aceptación del cigarrillo
Malboro. Utilice un nivel de
significancia del 5 %.
![Page 45: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/45.jpg)
45
• SOLUCIÓN:
• Para resolver el problema se plantea una hipótesis alternativa unilateral por la derecha.
• En la grafica se representara un 5 % por la derecha .
• Datos: .
200
,..13.0200
26
......90.0
,..10.0
n
p
q
p
EJEMPLO 2:
![Page 46: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/46.jpg)
46
1.- Hipótesis:
10.0:
10.0:
1
0
pH
pH
EJEMPLO 2:
Ho: El porcentaje de fumadores que prefieren la marca de cigarrillo Malboro es del 10% H1: El porcentaje de fumadores que prefieren la marca de cigarrillo Malboro es mayor del 10%
![Page 47: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/47.jpg)
47
645,1Z
2.-Cálculo del z critico Por tabla se sabe que al 5 % por la derecha es decir un α=0.05
EJEMPLO 2:
![Page 48: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/48.jpg)
48
• Regla de decisión o Región crítica:
Se rechaza la Hipótesis nula si
es decir,
ZZc
645,1cZ
EJEMPLO 2:
![Page 49: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/49.jpg)
49
3.-Calculo el Z de los datos
Aplicando formula se tiene:
200
9.01.0
10.013.0
. x
n
qp
ppZc
41.102127.0
03.0
00045.0
03.0 cZ
EJEMPLO 2:
![Page 50: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/50.jpg)
50
4.- Conclusión:
• Como es menor que , es decir,
• no se rechaza la Ho con un nivel de significancia de
0.05.
cZ Z 96.141.1 cZ
EJEMPLO 2:
• Esto se podrá observar en una grafica en donde
caerá dentro del área de no rechazo,
.005
1.96
1.41 cZ
• El porcentaje de fumadores que prefieren la marca de cigarrillo Malboro no es mayor del 10%
• Lo que indica que la campaña publicitaria no fue efectiva
![Page 51: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/51.jpg)
51
• Un fabricante de semiconductores produce controladores
que se emplean en el sistema eléctrico de vehículos.
• El cliente requiere que la proporción de controladores
defectuosos no sea mayor de 0.05, y que el fabricante
demuestre estas características del proceso de
fabricación con este nivel de calidad, con un nivel de
significancia del 5 %.
EJEMPLO 3:
• El fabricante de semiconductores
toma una muestra aleatoria de
200 dispositivos y encuentra
que 4 de ellos son
defectuosos.
• ¿El fabricante puede demostrar
al cliente la calidad exigida?
Obtener sus conclusiones.
![Page 52: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/52.jpg)
52
SOLUCIÓN: • Para resolver el problema hay que plantear una hipótesis
alternativa unilateral de una cola por la izquierda
• Es decir, p< 0.05
• y para ello se busca en la tabla el valor de Zα .
• Datos:
200
,.02.02004
,95.0
,05.0
n
p
q
p
EJEMPLO 3:
![Page 53: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/53.jpg)
53
1.- Hipótesis:
05.0:
05.0:
1
0
pH
pH
EJEMPLO 3:
Ho: La proporción de controladores
defectuosos es igual a 0.05
H1: La proporción de controladores
defectuosos es menor a 0.05
![Page 54: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/54.jpg)
54
645,1Z
2.-Cálculo del Z crítico Por tabla se sabe que al 5 % por la cola izquierda es decir un σ=0.05
EJEMPLO 3:
![Page 55: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/55.jpg)
55
• Regla de decisión o Región crítica:
• Se rechaza la Hipótesis nula si
• Es decir,
ZZc
645,1cZ
EJEMPLO 3:
![Page 56: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/56.jpg)
56
3.- Calculo el Z de los datos
Aplicando formula se tiene:
•
200
95.005.0
05.002.0
. x
n
qp
ppZc
95.10154.0
03.0
0002375.0
03.0 cZ
EJEMPLO 3:
![Page 57: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/57.jpg)
57
4.- Conclusión:
• Como es menor que , es decir,
• , se rechaza Ho con un nivel de significancia de 0.05. cZ Z 645.195.1 cZ
EJEMPLO 3:
• Esto se podrá observar en una grafica en donde caerá dentro del área de rechazo
•
cZ
.005
-1.645
-1.91
• Por lo tanto La proporción de
controladores defectuosos es
menor a 0.05
• es decir
• El fabricante puede demostrar
al cliente la calidad exigida
![Page 58: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/58.jpg)
58
• Se ha afirmado que por lo menos el 60 % de los
estudiantes de primero y segundo semestre de una
Universidad prefieren estudiar a partir de las dos de la
madrugada.
EJEMPLO 4:
• Si 4 de una muestra de 14 estudiantes de primero y
segundo semestre tomadas al azar, afirman que
estudian a partir de las dos de la madrugada,
• Pruebe con un nivel
de significancia del 5 %
si es cierta la
afirmación.
![Page 59: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/59.jpg)
59
• Nivel de significancia de 0.05
• 𝑝 =4
14= 0.285
• Como 𝑝 < 𝑝
• La hipótesis nula será p=0.60
contra la hipótesis alternativa p
menor que 0.60
EJEMPLO 4:
SOLUCIÓN: Datos:
4,..14,..40.0,..60.0 xnqp
![Page 60: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/60.jpg)
60
1.- Hipótesis:
60.0:
60.0:
1
0
pH
pH
EJEMPLO 4:
Ho: El porcentaje de los estudiantes de primero y
segundo semestre de una Universidad que prefieren
estudiar a partir de las dos de la madrugada es del
60% H1: El porcentaje de los estudiantes
de primero y segundo semestre
de una Universidad que prefieren
estudiar a partir de las dos de la
madrugada es menor del 60%
![Page 61: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/61.jpg)
61
645,1Z
2.-Cálculo del Z crítico Por tabla se sabe que al 5 % por la cola izquierda es decir un α=0.05
EJEMPLO 3:
![Page 62: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/62.jpg)
62
Regla de decisión • Región crítica: • Se rechaza la Hipótesis nula si
• ,es decir, .
• se rechaza la Ho
ZZc
645,1cZ
EJEMPLO 4:
![Page 63: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/63.jpg)
63
3.- Calcular el Z de los datos:
• Aplicando formula se tiene:
)40.0)(60.0(14
)60.0(144
npq
npxZ
40.2833,1
4.4
36.3
40.84
EJEMPLO 4:
![Page 64: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/64.jpg)
.005
-1.645
64
4.-Conclusión:
• Como es menor que , es decir,
• Se rechaza Ho y se acepta H1 con un nivel de significancia de 0.05.
cZ Z 645,140.2 cZ
EJEMPLO 4:
Esto se puede observar en una grafica en donde cae fuera del área de no rechazo, por lo tanto, se acepta la Ha
40.2cZ
• Se concluye que la proporción
de estudiantes del primero y
segundo semestre que
prefieren estudiar a partir de
las dos de la madrugada es
menor del 60 %.
cZ
![Page 65: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/65.jpg)
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS PROPORCIONES
65
![Page 66: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/66.jpg)
• La proporción de semillas que germinan siendo tratadas o no con un funguicida.
• El porcentaje de hombres y de mujeres que votan a determinado candidato.
COMPARANDO DOS PROPORCIONES
• En ciertos casos se esta interesado en comparar la proporción de “éxito” en dos poblaciones independientes.
66
![Page 67: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/67.jpg)
•Para efectuar esta comparación se requiere
Una muestra aleatoria de tamaño n1 extraída
de la población 1 con parámetro p1
Una muestra aleatoria de tamaño n2 extraída
de la población 2 con parámetro p2
COMPARANDO DOS PROPORCIONES
67
![Page 68: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/68.jpg)
• Comparamos las dos proporciones haciendo inferencia sobre p1-p2, la diferencia entre las dos proporciones poblacionales.
•Si las dos proporciones poblacionales son iguales, entonces p1-p2 = 0.
•El mejor estimador de p1-p2 es la diferencia entre las dos proporciones muestrales,
COMPARANDO DOS PROPORCIONES
68
𝑝 1 − 𝑝 2 =𝑥1
𝑛1−
𝑥2
𝑛2
![Page 69: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/69.jpg)
DIFERENCIAS ENTRE PROPORCIONES
69
• Muestras Grandes
• Aleatorias
• Independientes
( P1 – P2 )
H0: P1 = P2
H1: P1 P2
Proporción ponderada
0 por Ho
![Page 70: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/70.jpg)
La administración de una gran tienda cree, sobre la base
de una investigación, que el porcentaje de hombres que
visitan sus tiendas más veces al mes (clientes frecuentes)
es mayor que el porcentaje de mujeres que hacen lo
mismo.
EJEMPLO 1
Con los datos
proporcionados probar esta
hipótesis 70
Para probar esta información
se toma una muestras de
clientes y se encuentra que
67 fueron hombres y 48
fueron mujeres
Utilice un nivel de
significación de 0.05
.
![Page 71: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/71.jpg)
EJEMPLO 1
71
La información proporcionada es:
𝑛𝐻 = 67 𝑛𝑀 = 48 𝑝 𝐻 = 0.58 𝑝 𝑀 = 0.42
𝑝 𝐻 − 𝑝 𝑀 = 0.58 − 0.42 = 0.16
Especifica el nivel de
significación de
05.
.
![Page 72: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/72.jpg)
1. Se formula las hipótesis: Las especificaciones requeridas y el procedimiento para probar esta hipótesis es la siguiente: Las hipótesis nula y alternativa son las siguientes:
EJEMPLO 1
la proporción de hombres que reportan 9 o más visitas por mes es la misma que la proporción de mujeres que hacen lo mismo.
la proporción de hombres que reportan 9 o más visitas por mes es mayor a la proporción de mujeres que hacen lo mismo.
Ho: Ph – Pm = 0
H1: Ph – Pm >0
72
![Page 73: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/73.jpg)
2. Especifica el nivel de significación de α = .05 . El valor crítico para la prueba de una sola cola es de
1.64.
EJEMPLO 1
73 73
645,1Z
![Page 74: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/74.jpg)
EJEMPLO 1
74
4. Calculo del estadístico de la prueba:
74
𝑝 𝐻 = proporción muestral de hombres (H) 𝑝 𝑀 = proporción muestral de mujeres (M) nH = tamaño de muestra hombres nM = tamaño de muestra mujeres
𝑃 =𝑛𝐻𝑝 𝐻 + 𝑛𝑀𝑝 𝑀
𝑛𝐻 + 𝑛𝑀
a. Calculamos el P (la proporción ponderada)
Reemplazando se obtiene:
𝑃 =67(0.58)+48(0.42)
67+48=0.59
![Page 75: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/75.jpg)
EJEMPLO 1
3. Calculo del estadístico de la prueba:
b. Se estima el error estándar de la diferencia de las dos proporciones:
𝑃 = proporción ponderada nH = tamaño de muestra hombres nM = tamaño de muestra mujeres Reemplazando se obtiene:
P=0.59
𝑆𝑝ℎ−𝑚 = 𝑃(1 − 𝑃)1
𝑛𝐻+
1
𝑛𝑀
𝑆𝑝ℎ−𝑚 = 0.59(1 − 0.59)1
67+
1
48=
𝑆𝑝ℎ−𝑚 = 0.241
67+
1
48=0.0925=0.1
![Page 76: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/76.jpg)
EJEMPLO 1
76
4. Calculo del estadístico de la prueba:
Z=0.58−0.42 −(0)
0.1=1.6
76
c. Calculamos el Z de la muestra
Reemplazando se obtiene:
𝑝 𝐻 = proporción muestral de hombres (H)= 0.58 𝑝 𝑀 = proporción muestral de mujeres (M)= 0.42 Sph-m=0.1
Diferencias entre proporciones observadas= 𝑝 𝐻 - 𝑝 𝑀
![Page 77: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/77.jpg)
5.- La hipótesis nula no se
rechaza, porque el valor de la
Z calculada (1.60) es menor
que el valor crítico Z. (1.64)
EJEMPLO 1
77
.005
1.64
1.6
cZ
Conclusión: La administración no puede concluir con un nivel de significancia del nivel de 0.05, que la proporción de hombres que visita más veces a la gran tienda es mayor que la proporción de mujeres.
![Page 78: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/78.jpg)
78
EJEMPLO 02 • Se considera cierto cambio en un proceso de fabricación de
partes componentes. Se toman muestras del procedimiento existente y del nuevo para determinar si éste tiene como resultado una mejoría.
• Si se encuentra que 75 de 1500 artículos del procedimiento actual son defectuosos y 80 de 2000 artículos del procedimiento nuevo también lo son.
• Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la diferencia real en la fracción de defectuosos entre el proceso actual y el nuevo.
![Page 79: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/79.jpg)
79
EJEMPLO 02
Solución:
• Sean P1 y P2 las proporciones reales de
defectuosos para los procesos actual y nuevo,
respectivamente.
• De aquí,
• 𝑝 1 =75/1500 = 0.05 y
• 𝑝 2 = 80/2000 = 0.04
![Page 80: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/80.jpg)
80
EJEMPLO 02
1.- Formulación de la hipótesis:
Ho: Pa – Pn = 0
H1: Pa – Pn >0
Ho: La proporción de defectuosos del proceso existentes es igual al nuevo proceso
Ho: La proporción de defectuosos del proceso existentes es mayor al nuevo proceso
![Page 81: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/81.jpg)
81
EJEMPLO 02
81
645,1Z
2. Obtención del valor crítico:
• Con el uso de la tabla encontramos que z para un nivel de confianza del 95% (alfa=0.05)
![Page 82: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/82.jpg)
82
EJEMPLO 02 3.- Cálculo de los valores del intervalo
𝑃1 − 𝑃2 = (𝑝1−𝑝2) + 𝑧𝑝1𝑞1
𝑛1+
𝑝2𝑞2
𝑛2=
𝑃1 − 𝑃2 = 0.05 − 0.04 + 1.645(0.05)(0.95)
1500+
(0.04)(0.96)
2000=
p1-p2<0.0217
![Page 83: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/83.jpg)
83
EJEMPLO 02 4.- Conclusión:
Como el intervalo contiene el valor de cero, no se
rechaza la hipótesis nula
Es decir La proporción de defectuosos del proceso existentes no es mayor al nuevo proceso con un nivel de significancia del 5% Por lo tanto
no hay razón para creer que el nuevo
procedimiento producirá una disminución
significativa en la proporción de artículos
defectuosos comparado con el método existente.
![Page 85: PRUEBA DE HIPOTESIS](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022042423/563db984550346aa9a9e13af/html5/thumbnails/85.jpg)