UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA”

DPTO. DE FÍSICA Y MATEMÁTICA CÁTEDRA: ESTADÍSTICA

TEMA Nº 7. PRUEBA DE HIPÓTESIS

HIPÓTESIS ESTADÍSTICA: Es una proposición sobre los parámetros de una o más poblaciones. La esencia de probar una Hipótesis Estadística es el decidir si la proposición se encuentra apoyada o no por la evidencia experimental que se obtiene a través de una muestra aleatoria. En forma general, la proposición involucra ya sea algún parámetro o alguna forma funcional no conocida de la distribución de interés a partir de la cual se obtiene una muestra aleatoria. La decisión acerca de si los datos muestrales apoyan la evidencia estadísticamente o no la proposición se toma con base en la probabilidad, y si ésta es mínima, entonces será rechazada. Para ilustrar la noción de Hipótesis Estadística, supóngase que se tiene interés en el número de personas que votarán por el candidato político Campins. El número de votantes es una Variable Aleatoria que puede describirse con una Distribución de Probabilidad. Supóngase que el interés se centra sobre la Proporción de personas que votarán por dicho candidato político (que es un parámetro de esta distribución). De manera específica, el interés recae en decidir si la Proporción de votantes es, por ejemplo, 60%. Esto puede expresarse:

H0: p 0,60 H1: p 0,60

La proposición H0: p = 0,60 se conoce como Hipótesis Nula. Se le llama Hipótesis Nula porque se supone que no hay diferencia real entre el verdadero valor de p en la población de la cual se ha muestreado y el valor hipotético de p = 0,60. La proposición H1: p 0,60 recibe el nombre de Hipótesis Alternativa. Puesto que la Hipótesis Alternativa especifica valores de p que pueden ser > ó < que 0,60 también se conoce como Hipótesis Alternativa Bilateral. En algunas situaciones, lo que se desea es formular una Hipótesis alternativa Unilateral, como en:

H0: p = 0,60 o H0: p = 0,60 H1: p < 0,60 H1: p > 0,60

Hipótesis Nula (H0): Es la Hipótesis que se desea comprobar. Esta

Hipótesis siempre será establecida en forma tal que se especifique un valor exacto del parámetro

de la población. Hipótesis Alternativa (H1): Es la Hipótesis que se acepta como resultado

del rechazo de la Hipótesis Nula. Esta hipótesis admite la probabilidad de varios valores. PRUEBA DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICA: Es un procedimiento que conduce a una decisión sobre una Hipótesis en Particular. Los procedimientos de prueba de hipótesis dependen del empleo de la información contenida en la muestra aleatoria de la población de interés. Si esta información es consistente con la Hipótesis, se concluye que ésta es verdadera, si esta información es inconsistente con la hipótesis, se concluye que ésta es falsa.

μ

2σ

ρ

PoblaciónMuestra

nInformació

ParámetroalgúnEstimar

Cuando se toma una decisión con respecto a una Hipótesis Nula, dos de las posibles consecuencias relativas al verdadero estado de la naturaleza conducen a errores inferenciales. El rechazo de H0 cuando en realidad H0 es cierta constituye lo que se denomina Error Tipo I. Equivocarse al rechazar (aceptas) H0 cuando en realidad H0 es falsa, constituye el Error Tipo II. En términos generales, cuando se prueba una Hipótesis Estadística se pueden dar las siguientes cuatro situaciones:

Decisión H0 es Verdadera H0 es Falsa

Rechazar H0 Error Tipo I No hay error

Aceptar H0 No hay error Error Tipo II

Veamos cada uno de los casos gráficamente:

Continuando con el ejemplo anterior, supóngase que se quiere probar la Hipótesis de que la proporción de votantes a favor del candidato político es de 60%, entonces se plantea la siguiente Hipótesis Nula: H0: p = 0,60

PoblaciónMuestra

nInformació

0,60p

)H rechaza (Se0,60p:H 00

I Tipo Error :Caso1er

PoblaciónMuestra

nInformació

Error hay No :Caso2do

)H rechaza (Se0,60p:H 00

0,40p

PoblaciónMuestra

nInformació

0,60p

)H acepta (Se0,60p:H 00

Error hay No :Caso3er

PoblaciónMuestra

nInformació

II Tipo Error :Caso4 to

0,40p

)H acepta (Se0,60p:H 00

La Probabilidad de rechazar H0, dado que H0 es cierta, se define como la

Probabilidad (o tamaño) del error tipo I y se denota por , 1α0 .

La Probabilidad de aceptar H0, dado que H0 es falsa, se define como la

Probabilidad (o tamaño) del error tipo II y se denota por , 1β0 .

Por tanto, las Probabilidades de los errores tipo I y II están dadas por:

P(rechazar H0 / H0 es cierta) = y P(aceptar H0 / H0 es falsa) = Algunas veces la Probabilidad de cometer el Error Tipo I, también recibe el nombre de “Nivel o tamaño de Significancia” Si se realiza una Prueba sobre una muestra de 200 votantes y se observa cual es la proporción de ellos que están a favor del candidato político Campins. La

proporción muestral p̂ , es un estimador de la Proporción poblacional p. Un

valor de p̂ cercano al valor hipotético de p = 0,60 es una evidencia de que el

valor verdadero de p es 0,60, esot es, apoya H0. Por otra parte un valor diferente de 0,60 constituye una evidencia que apoyaría a H1.

La proporción muestral p̂ puede tomar muchos valores. Supóngase que si

0,62p0,58 ˆ entonces se Acepta H0 y que si 0,58p̂ ó 0,62p̂ , entonces

se Acepta H1. Esto da lugar a lo que se denomina Regiones de Rechazo y Aceptación.

0,58 0,620,60p

Crítico ValorCrítico Valor

n Aceptacióde Región

Rechazo de RegiónRechazo de Región

Entonces en el ejemplo se presenta un Error Tipo I cuando 0,58p̂ ó 0,62p̂

y la verdadera proporción de votantes es p = 0,60. Y se presenta un Error Tipo

II cuando 0,62p0,58 ˆ y la verdadera proporción de votantes es, por

ejemplo, p = 0,40.

PROCEDIMIENTO DE PRUEBA DE HIPÓTESIS: Como procedimiento general para la aceptación o rechazo de la Hipótesis Nula se tienen los siguientes pasos:

1. Del contexto del problema, identificar el parámetro θ de interés

2. Establecer la Hipótesis Nula:

H0: 0θθ

3. Seleccionar una Hipótesis Alternativa Apropiada:

H1: 0θθ H1: 0θθ H1: 0θθ

4. Seleccionar un Nivel de Significancia , P(rechazar H0 / H0 es verdadera) 5. Seleccionar el Estadístico de Prueba apropiado 6. Calcular el valor del Estadístico de Prueba a partir de los datos muestrales 7. Tomar una decisión: Rechazar H0 si el valor del Estadístico no es suficiente con respecto al valor crítico A continuación se presentan métodos para contrastar hipótesis estadística para medias, varianzas y proporciones: PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN CON

VARIANZA CONOCIDA: Plantear alguna de las siguientes Hipótesis:

01

00

μμ:H

μμ:H1)

01

00

μμ:H

μμ:H2)

01

00

μμ:H

μμ:H3)

Estadístico de Prueba: nσ

μxZ 0

0

Decisión: Rechazar H0 si:

1)enzzózz 2α02α-10

2)enzz α-10

3)enzz α0

PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA IGUALDAD DE DOS MEDIAS

POBLACIONALES CON VARIANZAS CONOCIDAS:

Plantear alguna de las siguientes Hipótesis:

211

210

μμ:H

μμ:H1)

211

210

μμ:H

μμ:H2)

211

210

μμ:H

μμ:H3)

Estadístico de Prueba:

2

2

2

1

2

1

210

n

σ

n

σ

XXZ

Decisión: Rechazar H0 si:

1)enzzózz 2α02α-10

2)enzz α-10

3)enzz α0

PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN CON

VARIANZA DESCONOCIDA: Plantear alguna de las siguientes Hipótesis:

01

00

μμ:H

μμ:H1)

01

00

μμ:H

μμ:H2)

01

00

μμ:H

μμ:H3)

Estadístico de Prueba: nS

μxT 0

0

Decisión: Rechazar H0 si:

1)enttótt 1n,2α01n,2α-10

2)enzt 1-nα,-10

3)entt 1-nα,0

PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA IGUALDAD DE DOS MEDIAS

POBLACIONALES CON VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES: Plantear alguna de las siguientes Hipótesis:

211

210

μμ:H

μμ:H1)

211

210

μμ:H

μμ:H2)

211

210

μμ:H

μμ:H3)

Estadístico de Prueba:

21

210

n

1

n

1Sp

XXT

2nn

s1ns1nSp

21

2

22

2

11

Decisión: Rechazar H0 si:

1)enttótt 2nn,2α02nn,2α-10 2121

2)entt 2nnα,-10 21

3)entt 2nnα,0 21

PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA IGUALDAD DE DOS MEDIAS

POBLACIONALES CON VARIANZAS DESCONOCIDAS Y DIFERENTES: Plantear alguna de las siguientes Hipótesis:

211

210

μμ:H

μμ:H1)

211

210

μμ:H

μμ:H2)

211

210

μμ:H

μμ:H3)

Estadístico de Prueba:

2

2

2

1

2

1

210

n

S

n

S

XXT

Decisión: Rechazar H0 si:

1)enttótt ,v2α0,v2α-10

2)entt α,v-10

3)entt α,v0

1n

ns

1n

ns

nsnsv

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

21

2

1

PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA VARIANZA DE UNA POBLACIÓN:

Plantear alguna de las siguientes Hipótesis:

2

0

2

1

2

0

2

0

σσ:H

σσ:H1)

2

0

2

1

2

0

2

0

σσ:H

σσ:H2)

2

0

2

1

2

0

2

0

σσ:H

σσ:H3)

Estadístico de Prueba: 2

0

2

σ

1)S-(n2

0

Decisión: Rechazar H0 si:

1)enxxóxx 2

1-n2,α

2

0

2

1-n2,α-1

2

0

2)enxx 2

1-nα,-1

2

0

3)enxx 2

1-nα,

2

0

PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA IGUALDAD DE DOS VARIANZAS

POBLACIONALES: Plantear alguna de las siguientes Hipótesis:

2

0

2

11

2

2

2

10

σσ:H

σσ:H1)

2

0

2

11

2

2

2

10

σσ:H

σσ:H2)

2

0

2

11

2

2

2

10

σσ:H

σσ:H3)

Estadístico de Prueba: 2

2

2

10

S

SF

Decisión: Rechazar H0 si:

1)enffóff 1-n1,-n2,α01-n,1-n2,α-10 2121

2)enff 1-n1,-nα,10 21

3)enff 1-n1,-nα,0 21

PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA PROPORCIÓN DE UNA

POBLACIÓN: Plantear alguna de las siguientes Hipótesis:

0

0

pp:H

pp:H1)

1

0

0

0

pp:H

pp:H2)

1

0

0

0

pp:H

pp:H3)

1

0

Estadístico de Prueba: 00

00

qnp

np-xZ

Decisión: Rechazar H0 si:

1)enzzózz 2α02α-10

2)enzz α-10

3)enzz α0

PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA IGUALDAD DE DOS

PROPORCIONES POBLACIONALES: Plantear alguna de las siguientes Hipótesis:

211

210

pp:H

pp:H1)

211

210

pp:H

pp:H2)

211

210

pp:H

pp:H3)

Estadístico de Prueba:

21

210

n

1

n

1qp

ppZ

ˆˆ

ˆˆ

1

11

n

xp̂

2

22

n

xp̂

21

21

nn

xxp̂ p1q ˆˆ

Decisión: Rechazar H0 si:

1)enzzózz 2α02α-10

2)enzz α-10

3)enzz α0