Esta presentación es el proyecto final de estudiantes de algebra lineal de la carrera de ingeniera en sistemas de la universidad de mariano Gálvez de Guatemala con el objetivo de dar un material de apoyo para futuros estudiantes de este curso u otros.

Estudiantes:

Edwin Misael Ailón López

Edgar Geovanny Simón Mateo

Jerson Eduardo Calderón Alvarado

Curso: Algebra lineal Catedrático: RAUL GABRIEL RENDON PADILLA

* Suma y resta de matrices

*Para poder sumar o restar matrices se debe cumplir con la siguiente regla:

éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas

Y el procedimiento es el siguiente: se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

*Ejemplos:

5 1

0 2

A: 2 1

0 3B: A+B

=

7 2

0 5

SUMA

RESTA:

5 1

0 2A:

2 1

0 3B: A-B=

3 0

0 -1

*Multiplicación de Matrices

*Para multiplicar dos matrices

*las siguientes propiedades son :

*Si la multiplicación es A * B debe considerarse que la

*misma cantidad de columnas de la matriz sea igual al número de filas

*de la matriz B.

*Si lo anterior se cumple se puede multiplicar la matriz A por B.

¿Cómo multiplicar dos matrices ?

*EJEMPLO:

A= B=

A2*3 * B3*3 = C3*3

Se multiplica cada elemento de las filas por cada elemento de las columnas y se suman los resultados para obtner los elementos que van a formar la ecuación final.C11= 0-2+0= -2

C12= -2-10+18= 6C13= 4-6+12= 10C21= 0+6+0= 6C22= -1+30+21= 50C23= 2+18+14= 34C31= 0+3+0= 3C32= 0+15+6= 21C33= 0+9+6= 15

*Sistema lineal Gauss

*es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas.

Veamos un ejemplo:

Dada las ecuaciones: 2x – y + z = 23x +y - 2z = 9-x + 2y + 5z = -5

2 - 1+1 = 23 +1 - 2 = 9-1 + 2 + 5 = -5

F3=2F3+f1

2– 1 + 1 = 23 +1 – 2 = 90 + 3 + 11= -8

F2=-2F2+3f1

2– 1 + 1 = 20 -5 +7 = -120 + 3 + 11= -8

2– 1 + 1 = 20 -5 +7 = -120 + 0 + 76= -76

F3=5f3+3f2

2– 1 + 1 = 20 -5 +7 = -120 + 0 + 1= -1

F3=F3/76

2– 1 + 0 = 30 -5 +7 = -120 + 0+ 1= -1

F1=F1+(-F3)

2 -1 + 0 = 30 -5 +0 = -50 +0 + 1= -1

F2=F2-7f3

-10 +0 + 0 = -20 0 -5 +0 = -5 0 +0 + 1 = -1

F1=-5F1+F2

1 +0 + 0 = 2 0 + 1 +0 = 1 0 +0 + 1 = -1

F1=F1/-10F2=F2/-5

xy

z

*TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

Para la calcular la transpuesta de una matriz todas las filas se

convierten en columnas.

*El signo de la transpuesta es T

PROPIEDAD

Una matriz no es simetrica si no tiene la misma dimension.

Una matriz es simétrica si AT = A, una matriz es antisimétrica si AT = -A

* ¿Cómo calcular la transpuesta de una matriz?

*EJEMPLO 1:

A= AT=

EJEMPLO 2:

B= BT=

No es simetrica porque las dimesiones no son iguales.A = 2*3 no es igual a A T= 3*2

Si es simétrica porque sus dimensiones son

B= 3*3 y B་ = 3*3 y tambiénporque tienen los mismos elementos.

*Inversa de una matriz

2 1 1 0

-1 2 0 1

Por método de eliminación de gauss:

Lo que tenemos que hacer con esto es que la matriz de la izquierda quede como la derecha y lo que nos quede en la derecha será la inversa

Primero se coloca en la izquierda los elementos de la matriz “a” y en la parte derecha la matriz identidad

Quedaría así:

1 1/2 1/2 0

-1 2 0 1

F1=a/2F1 F2=F2+F1

1 1/2 1/2 0

0 5/2 1/2 1

F2=2/5F2

1 1/2 1/2 0

0 1 1/5 2/5

F1=-1/2F2+F1

1 0 2/5 - 1/5

0 1 1/5 2/5

*DETERMINANTES

son valores que vienen de una matriz que servirán

más adelante para el calculo de la inversa y también para la

solución de sistemas lineales.

para su resolución que varían según la dimensión de la matriz.

¿Cómo calcular la determinante de una

matriz 2*2?

* EJEMPLO:

l A l=

l A l =(3)(-1)-(2)(1)

l A l =-3-2

l A l = -5

Se multiplican en diagonal: Como se muestra en la grafica siguiente

l A l=

l A l = a * d – c * b .

* Determinante 3X3

*Método de flechas:

5 2 4 -1 5 3 6 3 -2

A=

Se copia la matriz original y la derecha se copian las primeras dos columnas asi:

5 2 4 5 2-1 5 3 -1 5 6 3 -2 6 3

5 2 4 5 2-1 5 3 -1 5 6 3 -2 6 3

Det(a)=

Se multiplican en diagonal así como esta señalado y los resultados de arriba se le cambia de signo

Det(a)= -50+36-12-120-45-4

Det(a)= -14-132-49= -195

Det(a)= -195

El resultado de las multiplicaciones se suma:

*Desarrollo de Laplace

Para utilizar el método de Laplace se debe identificar la fila o la

columna que más ceros tenga y esas se trabaja elemento por

elemento.

*¿Cómo calcular el desarrollo de laplace matriz 3*3?*EJEMPLO:

*A=

*(-1)²⁺¹(2) + (-1)2+3 (3)

(-1)(2+0)+(-1)(4+0)= -6

*Inversa por cofactores:

6 2 8-3 4 1 4 -4 5

Se halla la determinante si es diferente de cero tiene inversa

6 2 8 6 2-3 4 1 -3 4 4 -4 5 4 -4 =15

0

detA=150 que es diferente de cero entonces la matriz A tiene inversa

* Ahora el método de cofactores que va acompañado de un -1

4 1

-4 5

-3 1

4 5

-3 4

4 - 4

2 8

-4 5

6 8

4 5

6 2

4 - 4

2 8

4 1

6 8

-3 1

6 2

-3 4

-12,1

-13,1

-11,2 -11,3

-12,2

-13,2

-12,3

-13,3

-11,1

Estos números se suman y si el resultado es impar se le cambia el signo al resultado

=24

=-(42)

=-30

=-(-19)

=-2

=-(30)

=(-4)

=-(-32)

=(30)

De aquí sale una nueva matriz y que quedaría así:

24 19 -4-42 -2 32-30 -30 30

Hallamos la traspuesta=

24 -42 -3019 -2 -30-4 32 30

La inversa seria 1 sobre la determinante que era 150 por la adjunta de A que seria la traspuesta

=1/150 24 -42 -3019 -2 -30-4 32 30

4/25 -7/25 -1/2519/150 -1/75 -1/5-2/75 16/75 1/5

=

*METODO DE KRAMER

Se calcula el determinante principal a través de una matriz que

contiene los elementos numéricos de los coeficientes o variables, esta

determinante principal será el denominador para cada uno de los

elementos del Sistema. Si la determinante del Sistema es cero, esto

quiere decir que el Sistema es Trivial, ósea que tiene infinitas

soluciones.

*Algoritmo para resolver matriz por método de cramer

*1. Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.

*  

*2. Calcular el determinante de A.

*  

*3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:

*  

* a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes;

*  

* b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita;

*  

* c) continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas.

*¿Cómo resolver una matriz por método de kramer?

*EJEMPLO:

IAI= D= IAI=(-20-36-4815-125-18)=-235

IBI=

lDl= IBI=(12-16+9-6+24-12)=11

(-20-24-48+10-128-18)= -228

2x1 +3x2 – 1x3 = 23x1 – 5x2 + 4x3 = 3-2x1 + 16x2 +2x3 =

- 3

ICI=

ICI=(30-18+96-20-96+27)=19

X=IAI=-235= 1.030

IDI -228

Y=IBI= 11= -0.04

IDI -228

Z=ICI= 19= -0.08

IDI -228

Solucion= 1.030, -0.04 ,-0.08

*11. Vector en R2 Magnitud

Para calcular la magnitud o longitud de un vector se eleva al cuadrado

cada una de sus componentes luego se suman y se calcula su raíz

cuadrada. De forma general se representa así:

-encuentre la magnitud de V=4i-3j

|V|

|V|=

|V|=5

12. Vector en R2 Cardinalidad

• La cardinalidad se representa con respecto a los puntos Norte, Sur, Este, Oeste, y sus puntos intermedios, encontrarla implica conseguir graficando la ecuación i y j en el plano x y y, de un plano cartesiano.

Nuestro vector V=4i-3j esta ubicado al Sur-Este S-E

*13. Vector en R2 Vector Unitario

Dado el vector V=4i-3j encuentre un vector unitario U que vaya en la

misma dirección que V.

|V|UV=

*14. Vector en R3 Magnitud

Para calcular la magnitud de un lR³ se hace exactamente igual que un

lR²; esto quiere decir que se eleva al cuadrado cada elemento del

vector, se suma y se extrae raíz cuadrada.

Sea V = ( 1 , 3 , -2 )

* lVl =

* lVl =

* lVl = =3.74

*15. Vector en R3 Cardinalidad

Para encontrar la dirección se calcula el vector unitario y cada

elemento del vector unitario va a formar un coseno director de cada

Eje. Calcule la cardinalidad de V = ( 1 , 3 , -2 )

lVl = =3.74

Angulo= Cos-1= 74.50

Angulo=Cos-1 36.60

Angulo=Cos-1

*16. Vector en R3 Vector Unitario

Sea V = ( 1 , 3 , -2 ) encuentre su vector unitario

Usando la siguiente formula:

* lVl =

* lVl =

* lVl = =3.74

*UV=

Para calcular el producto cruz de dos vectores se

realiza a través de una determinante entre los vectores unitarios y los

vectores a los cuales se calculará el producto cruz.

*Producto cruz:

Ejemplo:

Calcular producto cruz de : U:1i+4j-3k V:-2i-1j+1k

+ - + i j k

U*V = 1 4 -3 = i + 5j + 9k

-2 -1 1

4 -3 1 -3 1 4= 1 = 5 = 9

-1 1 -2 1 -2 -1

1*1-(-2*4)= 1*1-(-2*-3)=-5

4*1-(-1*-3)=

Este resultado nos dio -5 pero lo que nos indica el producto cruz es que el resultado de en medio se le cambia de signo por eso queda como 5

i + 5j + 9k

Calcular producto cruz de : U:1i+4j-3k V:-2i-1j+1k

*Área de un paralelogramo

A=(1,0,2), B=(2,-1,0), C=(0,3,3), D=(1,2,1)

AB= B – A =(2,-1,0)-(1,0,2)=(1,-1,-2)CD=D-C= (1,2,1)-(1,2,1)=(1-1,-2)AC=C-A =(0,3,3)- (1,0,2)=(-1,3,1)

Luego se calcula producto cruz entre AB y AC=

+ - +

U*V = 1 -1 -2 = i5+ j + 2k

-1 3 1

-1 -2 1 -2 1 -1= 5 = 1 = +2

3 1 -1 1 -1 3

Ahora procedemos a sacar la magnitud que es igual a la raíz cuadrada de la suma de los elementos elevados al cuadrado i5+ j + 2k

30 no tiene raíz cuadrada así que la dejamos como nuestra respuesta

Dirección en R3

El primer paso es obtener el vector unitario:

P=(4,1,3)

=5

Dividimos los elementos con el resultado que nos de:

4 1 3

5.09 5.09 5.09

*Y nos quedaría así:

0.7858546 , 0.1964636, 0.5893909

*Ahora procedemos a sacar el coseno inverso:

38.20021 , 78.66976, 53.8862 Ahora lo pasamos a grados que quedaría así:

38.2 º , 78.67 º , 53.88 º

Shift+ cos

Para sacar coseno inverso en calculadora se presiona:

*Calcular distancia en R3

Sea p= (1x,0y,2z) sea Q=(2x,3y,1z)

Restamos cada dato según su posición es decir con el x de P con el x de Q quedaría así:

3.31

*Parametrica

*Ejemplo:

P = ( 1 , 1 , 2 ) & Q = ( 4, 2 , -1 )

PQ=(3i, j , -3k)

parametrica

X= 1+3t

Y= 1+t

Z= 2-3t

Se saca la ecuacion vectorial

Para el valor final de X ,y, Z sera igual al valor de cada elemento del primer punto acompañada de los elementos de la ecuación vectorial que se obtuvo y se agrega a la letra t.

*SIMETRICA

*Ejemplo:

P = ( 1 , 1 , 2 ) & Q = ( 4, 2 , -1 )

PQ=(3i, j , -3k)

X-1 Y-1 Z -2

3 1 -3

Se le saca la ecuacion vectorial

Se niegan cada elemento del primer punto con su incognita: X,Y,Z

Esto se divide dentro de la ecuacion vectorial que se obtubo

* PLANOS

En vector PQ . n = 0 y este forma un plano en lR³.

Ejemplos:

Encuentre un plano que pasa por el punto ( 3, 4 , 1) y que tiene un vector normal ( 2i -2j + 4k )

a = 2 x0 = 3

b = -2 y0 = 4

c = 4 z0 = 1 ax0 + by0 + cz0 = d

( 2 )( 3 ) + ( -2 )( 4 ) + ( 4 )( 1 ) = d

( 6 ) + ( -8 ) + ( 4 ) = d

6 – 8 + 4 = d

2 = d

Se multiplica cada elemento del punto por cada elemento del vector normal.

Se suman los resultados para tener el resultado final

*PLANOS PARALELOS

Para que dos planos sean paralelos el producto de sus normales

deben de ser igual a 0.

Ejemplo:

Determine si los planos p1 : 3x + 4y – 2z = 3 & p2 : -3x -4y + 2z = 8

son paralelos.

n1 : 3i + 4j – 2kn2 : -3i – 4j + 2k

i j k 3 4 -2 = 0 Son paralelos-3 -4 2

Se le saca el producto cruz a los dos puntos

Si el resultado del producto cruz es = 0 quiere decir que son paralelos