taller de algebra lineal final

TALLER DE ALGEBRA LINEAL

PROFESORA YOLVI ADRIANA CORDOBA BUITRAGO

ACTIVIDAD 1

1) En cada caso, determine si el conjunto B forma una base del espacio vectorial V

2. Encuentre una base del espacio vectorial dado y determine su dimensión.

3. A partir del conjunto S dado, construya una base del espacio vectorial H que contenga o este contenida en S.

4. Justifique que B y B´ son bases de V, calcule el vector u cuyas coordenadas en una de las dos bases se dan y calcule las coordenadas del vector u en la otra base.

5. Demuestre que el conjunto de vectores formado por las filas, diferentes de cero, de una matriz escalonada es linealmente independiente.

6. Determine una base y la dimensión de espacio solución del sistema homogéneo dado.

7.

8. Verifique si los siguientes conjuntos son ortogonales y si son ortonormales.

9. Calcule el rango y la nulidad para cada una de las matrices dadas.

10. Determine si cada una de las siguientes afirmaciones es FALSA O VERDADERA y diga por que.

ACTIVIDAD 2

1. En R4, halle una base ortonormal para el espacio generado por los vectores {(1,1,1,0),(1,0,1,1),(2,1,0,1), (4,3,2,1)}. ¿El vector (4,2,1,2) pertenece a dicho subespacio?.

2. Sean en R4, los vectores u=(2,3,2,5), v=(1,2,4,0),w=(1,1,10,7/m). a. Calcular el valor de m para que w pertenezca al subespacio generado

por u y v . b. Halle un valor de m para que los vectores u, v y w, formen una base

para el subespacio.c. Determine una base ortogonal para dicho subespacio.

3. En R3, considere las siguientes bases: B1={(1,1,1),(1,1,0),(1,0; 0)} y B2={(2,1,2);(1,0,3),(1,4,2)}. a. Encontrar el vector de coordenadas del vector (1; 1; 3) en la base

B2respecto a la base B1. b. Encontrar el vector de coordenadas del vector (1; 1; 3) en lavase B1

respecto a la base B2. c. Encuentre la matriz cambio de base de 1 a 2.d. Encuentre la matriz cambio de base de 2 a 1.e. Obtenga los resultados hallados en los incisos (a) y (b), usando las

matrices halladas en los incisos (c) y (d).

4. En R3, para los vectores u=(1,2,3), v=(4,5,6) y w=(7,8,9), se puede afirmar quea. u pertenece al espacio generado por v y Wb. u,v y w son linealmente independientes.

c. Los vectores u,v y w forman una base para R3

d. u y v forman una base para R3

e. Los tres vectores no están sobre el mismo plano.

5. Halle los valores de los parámetros λ, ρ tales que el vector (λ, ρ, -37, -3) pertenezca al subespacio de R4 gendrado por los vectores: v1 = (1, 2, -5, -3) ; v2 = (2, -1, 4, 7).

6. Determine cuales de los siguientes subconjuntos son subespacios

vectoriales en R3.

a. S = { (x, y, z) ∈ R3 / y = 0} b. S = { (x, y, z) ∈ R3/ x + y + z = 0} c. S = { (x, y, z) ∈ R3 / x + z = 1} d. S = { (x, y, z) ∈ R3 / x + z = 0}

7. Determine las coordenadas del vector (11,15,0) en la base (1,2,1),(3,2,4)y (1,1,-1) .

ACTIVIDAD 3

1. Determine, en cada parte, si el vector dado v pertenece a gen {v1 , v2 , v3},

donde v1 = (1, 0, 0, 1), v2 = (1,-1, 0, 0) y v3 = (0, 1, 2, 1)

a) V = (-1, 4 2, 2)

b) V = ( 0. 1. 1. 0)

2. ¿Cuáles de los siguientes vectores son combinaciones lineales de A1 =

[1 −10 3 ] A2 = [1 1

0 2] y A3 = [ 2 2−1 1]?

a) [ 5 1−1 9 ]

b) [−3 −13 2 ]

3. Determine, en cada parte, si el vector dado p(t) pertenece a gen {p1(t) , p2(t)

, p3(t)}, donde p1 (t) = t 2−t, p2(t) = t 2−2 t + 1 y p3(t) = −t 2+1

a) p(t) = 3 t 2−3 t+1

b) p(t) = 2 t2−t−1

4. Sea S = {(0, 0,1), (1, 0,1), (0, 1,1)}, Determine si u = (1, 1,1) pertenece a

gen S.

5. ¿Cuáles de los siguientes vectores generan a R2?

a) (1,2), (-1,1)

b) (0,0), (1,1), (-2, -2)


a) (1, -1, 2), (0, 1,1)

b) (1, 2, -1), (6, 3, 0), (4, .1, 2), (2, -5, 4)


a) (1, 0, 0, 1) , (0, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0)

b) (6, 4, -2, 4), (2, 0, 0, 1), (3, 2, -1, 2), (5, 6, -3, 2), (0,4, -2, -1)

8. ¿Generan los polinomios t 3+2t+1, t 2−t+2, t 3+2,−t 3+ t2−5 t+2 P3 ?

9. Determine un conjunto de vectores que genere el espacio nulo de

A =

1 1 2 -1

2 3 6 -2

-2 1 2 2

0 -2 -4 0

10.Sean

e

elementos del espacio nulo de A.

¿Es el conjunto {x1, x2 , x3 } linealmente

independiente?

11.Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores en el espacio indicado son

linealmente dependientes? Cuando lo sean, exprese un vector del conjunto

como combinación lineal de los demás.

a) {(1,2, -1) , (3,2,59} en R3

b) {(1, 1, 2, 1), (1, 0, 0, 2), (4, 6, 8, 6), (0, 3, 2, 1)} en R4

c) { t 2+1, t -2,t+3 } en P2

d) { [1 11 2] , [1 0

0 2] , [0 31 2], [2 6

4 6 ]} en M22

x1 =

1

2

0

1

x2 =

1

0

-1

1

x3 =

1

6

2

0

e) {(1, 1, 0), (0, 2, 3), (1, 2, 3), (3, 6, 6)} en R3

f) {(4, 2, -1, 3), (6, 5, -5, 1), (2, -1, 3, 5)} en R4

g) {t 2−4, 5 t2−5 t−6,3 t 2−5 t+2 } en P2

h) { [1 11 1] , [2 3

1 2] , [3 12 1], [2 2

1 1]} en M22

12.¿Para qué valores de c son los vectores (-1, 0, -1), (2, 1, 2) y (1,1, c) en R3

linealmente dependientes?

13.¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son bases para el espacio

indicado?

a) {(1, 3), (1, 1)}, R2

b) {(1, 1, -1), (2, 3, 4), (4, 1, -1), (0, 1, -1)}, R3

c) {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (0, 1, 1,1)}, R4

d) {−t 2+ t−1, 2t 2+3t−2} , P2

e) {t 3+ t2+t+1, t 3+2t 2+t+3, 2 t3+t 2+3 t+2,t 3+ t2+2 t+2 }, P3

f) { [1 10 0] , [0 0

1 1] , [1 00 1], [0 1

1 1]} , M22

14.Sea S = {v1 , v2 , v3, v4 }, donde v1 = (1, 2, 2), v2 = (3, 2, 1), v3 = (11, 10, 7) y v4

= (7, 6, 4), Determine una base para el subespacio de R3, W = gen S. ¿Cuál

es la dim W?

15.Considere el siguiente subconjunto de P3 : S = {t 3+ t2−2 t+1, t 2+1, t 3−2 t,

2 t3+3 t 2−4 t+3 }. Determine una base para el subespacio W = gen S. ¿Cuál

es dim W?

16.Sea S = { [1 00 1] , [0 1

1 0] , [1 11 1], [−1 1

1 −1]}. Determine una base para el

subespacio W = gen S de M22

17.Determine una base para los subespacios dados de R3.

a) Todos los vectores de la forma (a, b, c), donde b = a + c.

b) Todos los vectores de la forma (a, b, c) donde a – b + 5c = 0

18.Determine una base para R4 que incluya los vectores (1, 0, 1, 0) y (0,1, -1,

0)

19.Determine una base para el plano 2x – 3y + 4z = 0

20.Determine las dimensiones de los subespacios generados por los vectores

de los ejercicios del punto 21.

21.Determine las dimensiones de los subespacios dados de R4

a) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) donde d = a + b

b) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) donde a = b

22.

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