proyecto fin de grado - oa.upm.esoa.upm.es/43939/3/tfg_belen_lobo_sanchez.pdf · análisis nodal...

ESCUELATÉCNICASUPERIORDEINGENIERÍAYSISTEMASDE

TELECOMUNICACIÓN

PROYECTOFINDEGRADOTÍTULO:ANÁLISISDECIRCUITOSCONMATLABAUTOR:BELÉNLOBOSÁNCHEZTUTOR:DAVIDOSÉSDELCAMPOTITULACIÓN:GRADOENINGENIERÍAELECTRÓNICADE

COMUNICACIONESDEPARTAMENTO:TSC

VºBº

MiembrosdelTribunalCalificador:PRESIDENTE:ALFREDOMÉNDEZALONSOVOCAL:DAVIDOSÉSDELCAMPOSECRETARIO:LUISARRIEROENCINASFechadelectura:

Calificación:

ElSecretario,

AGRADECIMIENTOSEnprimerlugar,queríaagradeceramitutorDavidOséslaposibilidadderealizaresteproyecto que une el motivo por el que empecé este grado, la electrónica, y mi grandescubrimiento académico: programar. Gracias a él he podido unir estos dosconocimientosymehapermitidohacerlolibremente,sinlimitarmisideas.Especialmentedarlasgraciasamipadrequeeselculpabledequemegusteestemundo,amimadreporapoyarmesiempreentodoyguiarmeparaquenomevayadelcamino,amihermana,misabuelosymistíosquesiempresehaninteresadopormisprogresosyporloqueibaaprendiendoañotrasaño,yamiprimoFerporsermásqueunprimo,porsercomomihermano.Agradeceralauniversidadnosóloloqueheaprendidoacadémicamente,sinotambiénalagentequeheconocidoyqueestaráconmigo toda lavida.Entreellosestámimejoramiga,María,quehasidoyesdelomásimportantequetengo,unapersonaquesiempremehacomplementadoymehahechosermejorconelmundo.Tambiénestánlosniños,Andrésquelellevoamiespaldadesde2004peronoseestarsinél,clásicoejemplode“ni contigoni sin ti”;AlbertoCarrasco,por susojitos clarosy su léxicoqueha sido lainfraestructura principal en la vida de todos; Andrés LM por sus expresiones, su risacontagiosa y esas pestañas de chica que son la envidia de todas; Jairo con sumanerapeculiardedecirlascosasyconelpelomássuavequehetocadonunca;aÁlvaroAsenjo,nuestrofideo,porserélyporsoportarnosmutuamente;aDavidMedinaportratarmesiempreconcariñoypreocuparsepormi;yaDaniMoraporaparecerenunaclasedeprogramaciónquemarcóunantesyundespuésenmivida.Finalmente,acordarmedeunapersonaquehallegadoenlaúltimaetapadelauniversidadypisandofuerte,Coqui,graciasporsertú,porestarahíyporentendermemejorquenadie.Porotro lado, amis amigasquehanhechoquemedespejarayme riera comonunca,Elena,MacarenayespecialmenteMaribel,porsertancomoyo.Tambiénhanestadolasqueconservodelcolegio,lasdetodalavida:Marta,Jenny,Teresa,Abi…Que,aunquelavidahayacambiadoynuestroscaminosnoseanlosmismos,siempresehaceloposibleporquecoincidandenuevoenalgúnmomento.Engeneral,graciasatodosporestarahí,apoyarmeyquerermetalycomosoy.Osquiero.Belén

Amifamiliayamigosdeverdad.

Hepburn,Audrey:“Hazenlamedidadeloqueesperasconseguir”

Disney,WalterElias:“Pregúntatesiloqueestáshaciendohoyteacercaallugarenelquequieresestarmañana”

UniversidadPolitécnicadeMadrid.BelénLoboSánchez

RESUMENEn la actualidad y desde hace algunos años, muchas carreras y módulos de gradosuperiorsebasanenlaelectrónica.Enalgunosinstitutoshayasignaturasquehacenunabreve introducción a este mundo como es el caso de Tecnología u optativas comoElectrotecnia,peronolleganaprofundizarmucho,sólodanunabreveintroduccióndeconceptosbásicos.Muchas veces resulta tedioso el resolver los circuitos y más cuando no se sabe si elresultadoestábienonoyaqueseplanteanmuchasecuacionesconmuchasincógnitasyes relativamente fácil equivocarse en un número. Esto hace que el análisis no hayaservido para nada ya que el resultado final no es correcto, lo que puede llegar a serfrustranteypuedeprovocarelabandonodeciertosalumnos.Hayalgunosprogramasquepuedenresultardeayudaparaesteaprendizajeperonosonmuy intuitivos y requieren un tiempo para conseguirmanejarlos con cierta soltura yque, realmente, sirvan como soporte para alumnos que están empezando con estamateria.Además,lamayoríasondepagootienenunaversióndepruebalimitada.Con este proyecto se quiso hacer una herramienta sencilla que analizara circuitosbásicos,esdecir,resistivosdecorrientecontinuadehastacuatronodosfundamentalespara gente que estuviera empezando en este campo. Más concretamente, paraestudiantesdeprimerañodeingenieríadetelecomunicacionesqueestuvierancursandoAnálisisdeCircuitosI.Sepropusocrearunmétododeaprendizajequemotivaraalusuarioylereportaseunaayudaenelprocesodeaprendizajedeanálisisdecircuitos.Estemétodocuentaconunainterfazdeusuarioamigable,realizadaenunproyectoparalelo,quesebasaenimportarunaimagen,quepuedeserhechadesdeunteléfonomóvilounacapturadepantalla,quereconoce loselementosdelcircuitoysusvalores.Estosdatossonprocesadosporunaseriedealgoritmosquedancomoresultadolatensiónenlosnodosfundamentales,datonecesarioparatenertotalmenteresueltoelcircuito.Esteproyectosecentraen la realizacióndeestosalgoritmos, lamayoríamatemáticos,basadosenmatricesysuspropiedades,yladeteccióndenodosparapermitirsimplificarel circuito lomáximoposibleypoderadaptarseacualquiercircuitoresistivodehastacuatronodos.Sepensóqueunaaplicaciónsencilladeusarayudaríaalosalumnosamejoraryagilizarelaprendizajedeanálisisdecircuitosparaestablecerunabasesólidaqueserviríaparaasentarmejorfuturosconocimientosmásavanzados.

ABSTRACTNowadaysandforsomeyearsago,manydegreesandtopgrademodulesarebasedonelectronics. In some schools there are subjects thatmake a brief introduction to thisworldasTechnologyoroptativessuchasElectricalEngineeringTechnology,butdonotreachtoodeeply,justgiveabriefintroductionofbasicconcepts. Oftenitistedioussolvingcircuitsandmorewhenyoudonotknowniftheresultisgoodornotduetotherearemanyequationswithmanyunknownsvariablesandisrelativelyeasytogowronginanumber.Thismakesthattheanalysisisnouseatallbecausethefinalresultisnotcorrect.Thiscanbecomefrustratingforstudentsandtheycouldgiveupthesestudies. Therearesomeprogramsthatcanbehelpfulforthislearningbutarenotveryintuitiveand require too much time to get handle with some looseness and they serve as asupportforstudentswhoarebeginningwiththismatter.Inaddition,themostofthemarepaidorhavealimitedtrialversion. In thisproject, thegoal is tomakea simple tool toanalyzebasic circuits, resistiveDCcircuitswith nomore than four key nodes for peoplewhowere starting in this field,more specifically, for first-year engineering telecommunications students who werestudyingCircuitAnalysisI. Theaim is to createa learningmethod thatmotivatesandaids theuser in the circuitanalysis learning process. This method has a friendly interface, realized by somecolleaguesinaparallelproject,whichisbasedonimportanimage,whichcanbemadefromamobilephoneora screenshot,which recognizes the circuit elementsand theirvalues. This data is processed by some algorithms that get the voltage on thefundamentalnodes,datanecessarytohavecompletelysolvedthecircuit. This project focuses on the realization of these algorithms based onmatrix and theirproperties, and detection of nodes to simplify the circuit. The algorithms are able toadapttoanyresistivecircuituptofournodes. Itwas thought that a simple applicationmay help students to improve their learningcircuit analysis. Students could establish a solid foundation thatwill help them in thefuturetosettlemoreadvancedknowledge.

AnálisisdecircuitosmedianteMatlab

ÍNDICEDECONTENIDOSAGRADECIMIENTOS........................................................................................................................5

RESUMEN............................................................................................................................................3ABSTRACT..........................................................................................................................................4

ÍNDICEDECONTENIDOS................................................................................................................7

ÍNDICEDEFIGURAS.........................................................................................................................9ÍNDICEDETABLAS.......................................................................................................................10

1.INTRODUCCIÓNYOBJETIVOS.................................................................................................1

2.ESTADODELARTE......................................................................................................................33.DESCRIPCIÓNDELASOLUCIÓN..............................................................................................73.1.Eleccióndelentornodeprogramación......................................................................................73.2.Conceptosbásicosdecircuitoseléctricos.................................................................................83.2.1.Cargaeléctrica,tensiónycorriente......................................................................................................83.2.2.Fuentesdetensiónydecorriente.........................................................................................................93.2.3.LeydeOhmyresistenciaeléctrica.....................................................................................................103.2.4.LeyesdeKirchhoff.....................................................................................................................................103.2.5.Asociaciónderesistencias.....................................................................................................................12

3.3.Descripcióndeproblemasysolucionespropuestas..........................................................133.3.1Métodonodal................................................................................................................................................133.3.2.Métodonodalmodificado......................................................................................................................153.3.3.MétodoZBUS...............................................................................................................................................183.3.4.Métodoelegido...........................................................................................................................................19

4.DISEÑODELAAPLICACIÓN...................................................................................................214.1.FundamentosdeMatlab...............................................................................................................214.1.1.Formasdedefinirunamatriz...............................................................................................................214.1.2.Funcionesdematrices.............................................................................................................................22

4.2.Análisisnodal..................................................................................................................................234.3.Funcionesdelanálisisnodal.......................................................................................................244.3.1.Unnodofundamental..............................................................................................................................244.3.2.Dosnodosfundamentales......................................................................................................................254.3.3.Tresnodosfundamentales....................................................................................................................264.3.4.Cuatronodosfundamentales................................................................................................................28

4.4.Funcionessimplificadoras..........................................................................................................294.4.1.Localizaciónderesistenciasenserie................................................................................................294.4.2.Localizacióndefuentesindependientesdetensiónenserieconresistencias...............314.4.3.Algoritmoordenar.....................................................................................................................................32

4.5.Funcionamientoglobal.................................................................................................................335.RESULTADOS.............................................................................................................................35

6.MANUALDEUSUARIO.............................................................................................................456.1.Iniciodelaaplicación...................................................................................................................456.2.Ejemplos............................................................................................................................................466.2.1.Ejemplodecircuitoconunnodofundamental.............................................................................466.2.2.Ejemplodecircuitocondosnodosfundamentales....................................................................496.2.3.Ejemplodecircuitocontresnodosfundamentales....................................................................516.2.4.Ejemplodecircuitoconcuatronodosfundamentales..............................................................55


7.CONCLUSIONESYLÍNEASFUTURAS...................................................................................597.1.Conclusiones....................................................................................................................................597.2.Líneasfuturas..................................................................................................................................60

8.REFERENCIAS.............................................................................................................................61


ÍNDICEDEFIGURASFigura1:capturadelapantallaprincipaldelprogramaOrcadPSpice.......................................3Figura2:circuitoeléctricousandolaherramientaSimulink............................................................4Figura3:capturadepantalladelesquemáticodeuncircuitohechoenCircuitLab...............5Figura4:capturadepantalladelresultadodelanálisisdeuncircuitoconCircuitLab..........5Figura5:a)fuenteindependientedetensión;b)fuenteindependientedecorriente................9Figura6:a)fuentedecorrientedependientedetensión;b)fuentedetensióndependientede

tensión;c)fuentedecorrientedependientedecorriente;d)fuentedetensióndependientedecorriente........................................................................................................................9

Figura7:ejemplodecircuitoparaaplicarlaLeydeKirchhoffdelascorrientes.....................10Figura8:ejemplodecircuitoparaaplicarlaLeydeKirchhoffdelastensiones......................11Figura9:a)circuitoconresistenciasenserie;b)circuitoequivalentedelanterior.................12Figura10:a)circuitoconresistenciasenparalelo;b)circuitoequivalentealanterior.........12Figura11:fuentedependientedetensiónentredosnodos...............................................................14Figura12:circuitoconuntransistorbipolar.........................................................................................14Figura13:modeloenpequeñaseñaldeuntransistorbipolar........................................................14Figura14:modeloenpequeñaseñaldelcircuitodelafigura12...................................................15Figura15:resistenciaentredosnodos.....................................................................................................16Figura16:resistenciaentredosnodoscontensiónentreellos.......................................................16Figura17:circuitoequivalentedepequeñaseñalconfuentedecorrientedependientede

corriente......................................................................................................................................................17Figura18:circuitoconunsupernodo.......................................................................................................36Figura19:circuitogenéricodetresnodosfundamentales...............................................................37Figura20:circuitogenéricodecuatronodosfundamentales.........................................................37Figura21:capturadepantalladelscriptdepruebas,parte1........................................................38Figura22:capturadepantalladelscriptdepruebas,parte2........................................................38Figura23:capturadepantallademensajedeerrorenlaventanadecomandos...................39Figura24:capturadepantallaconelresultadodelalgoritmodeTresNodosenlaventana

decomandos..............................................................................................................................................39Figura25:circuitoconresistenciasenserieentrenodosfundamentales...................................40Figura26:circuitoequivalentealdelaFigura25...............................................................................41Figura27:circuitodecuatronodosfundamentalesconresistenciasenserieysupernodo41Figura28:circuitoequivalentealdelaFigura27...............................................................................42Figura29:capturadepantalladelareduccióndelamatrizdelcircuitodelaFigura28...43Figura30:circuitodelaFigura27identificandotodoslosnodos.................................................43Figura31:ficherosconlainformacióndelcircuitodelaFigura30.............................................44Figura32:ventanadecomandosdeMatlabtrasejecutarelprogramaconlosficherosdela

Figura31....................................................................................................................................................44Figura33:ficherotensiones.txt,solucióndelcircuitodelaFigura30.........................................44Figura34:formatodelosficherosdelasresistencias,fuentesdecorrienteyfuentesde

tensión..........................................................................................................................................................45Figura35:formatodelficherotensiones.txt...........................................................................................46Figura36:ejemplodecircuitoconunnodofundamental.................................................................46Figura37:identificacióndelosnodosdelaFigura36.......................................................................47Figura38:circuitoequivalentealdelaFigura36...............................................................................47Figura39:identificacióndelnodofundamentaldelcircuitodelaFigura38...........................47Figura40:ficherosconlainformacióndelcircuitodelaFigura37.............................................48Figura41:resolucióndelcircuitodelaFigura40(ficherotensiones.txt)..................................48


Figura42:ejemplodecircuitocondosnodosfundamentales........................................................49Figura43:identificacióndelosnodosdelaFigura42......................................................................49Figura44:ficherosconlainformacióndelcircuitodelaFigura43.............................................50Figura45:resolucióndelcircuitodelaFigura43(tensiones.txt).................................................50Figura46:ejemplodecircuitocontresnodosfundamentales........................................................51Figura47:identificacióndelosnodosdelaFigura46........................................................................51Figura48:circuitoequivalentealdelaFigura46...............................................................................52Figura49:identificacióndelosnodosfundamentalesdelcircuitodelaFigura48...............52Figura50:ficherosconlainformacióndelcircuitodelaFigura47.............................................54Figura51:resolucióndelcircuitodelaFigura47(tensiones.txt).................................................54Figura52:ejemplodecircuitoconcuatronodosfundamentales..................................................55Figura53:identificacióndelosnodosdelaFigura52......................................................................55Figura54:ficherosconlainformacióndelcircuitodelaFigura53.............................................57Figura55:resolucióndelcircuitodelaFigura53...............................................................................58

ÍNDICEDETABLASTabla1:tablacomparativadelasalternativasalaaplicacióndesarrollada.............................6Tabla2:tablacomparativadelosposiblesentornosdeprogramación........................................7Tabla3:funcionesútilesdematricesenMatlab..................................................................................22Tabla4:términosimportantesparaelanálisisnodal.......................................................................23

Capítulo1.Introducciónyobjetivos

1

1.INTRODUCCIÓNYOBJETIVOSEsnecesarioresaltarqueenlaactualidad,enlamayoríadelasingenieríasyenalgunasformaciones profesionales relacionadas con el mundo de la tecnología, se estudiancircuitoselectrónicosyaque laelectrónicaestá implantadaennuestrasvidasdesdeeldispositivomássencilloquesenospuedaocurrir,comounabombillaconectadaaunapilayuninterruptor,hastacomplejossistemasautónomos,comounrobot.Lasherramientasproporcionadashastalafechasonmuypotentesperoenfocadasaunpúblico que tenga un cierto conocimiento y destreza analizando circuitos como es elcasodeOrcadPSpice.Este proyecto surge de la necesidad de facilitar una herramienta muy sencilla demanejar para la resolución de circuitos dirigida para alumnos de nuevo ingreso en laEscuelamatriculadosdelaasignaturaAnálisisdeCircuitosIsinnecesidaddequeéstosapenastenganconocimientospreviosmásalládeidentificarloscomponentes.Este proyecto tiene dos partes diferenciadas. Por un lado, la interfaz gráfica queidentifica automáticamente los componentes del circuito y la conexión entre ellos apartir de una imagen importada, dando como resultado varios ficheros que recogentodoslosdatosnecesariosparapoderrealizarelcálculonodalenlasegundaparte.Estaprimera parte se realizará en un proyecto a parte. El cálculo nodal será una serie dealgoritmosqueinterpretanlosdatosy,apartirdeellos,creaunficheroconlastensionesdelosnodossignificativos.Seconsiderannodossignificativosaquellosquetienenvarioscomponentesconectadosaellosynosonsimplificables.Elproyectonotienecomoobjetivoquelosalumnoslousenparaqueleshagalastareasdeclase,puestoqueéstassemandanparapracticar losconocimientosadquiridos.Porello,estaaplicaciónnomuestralametodologíaempleadaparallegaralasolución,sinosolamente el resultado para comprobar que los circuitos analizados esténcorrectamenteresueltos.Estamemoriasehaestructuradoparapoderentendereldesarrollodelpropioproyecto.Paraello,primerohayqueconocerlasotrasalternativasalmismoproblemaplanteadoexistentes en elmercado.Después hay que abordar una posible solución, eligiendo elentornodeprogramaciónmásadecuadoparaestafinalidad,teniendoencuentaquesetratadealgoritmosmatemáticos.Ademásdequesetienequetenerunanociónbásicadeanálisisdecircuitosyaquesinoesimposibleusarlaherramientayplantearsoluciones.


2

Unavezestudiadosestos conocimientosprevios, sebuscanalternativasde soluciones,estudiandosusprosysuscontras.Yaelegidalasolución,sesubdivideenobjetivosque,unidos,consiganelfuncionamientoglobaldeseado:

1. Lectura y escritura de datos entre el entorno de programación elegido y losficheros.

2. Algoritmosdesimplificacióndecircuitos.

3. Métodosparaclasificarloscircuitos.

4. Funcionesqueobtenganlasoluciónfinal.

Capítulo2.Estadodelarte

3

2.ESTADODELARTEEnesteapartadoseveránlasherramientasusadashoyendíaquedanlamismasoluciónque esta aplicación, es decir, herramientas que se usan para resolver análisis decircuitosporordenador.Parapoderhacerlacomparativahabríaqueuniresteproyectoyeldesarrolladopor los compañeros, yaque todas las aplicaciones tienen interfazdeusuarioyunfuncionamientoqueprocesayanalizaloscircuitos.En primer lugar, destacar la herramienta más utilizada en esta Universidad para elanálisis de circuitos por ordenador, OrCad PSpice. Es un programa diseñado paraingenieros electrónicos que permite el desarrollo de un circuito eléctrico desde lacreación del esquemático hasta la realización de una placa de circuito impresogenerandoelfootprintdelamisma.Además,ofreceunafuncionalidadmuyimportante,lasimulacióndeloscircuitosquehaceposibleestudiaryverlarespuestadeldiseñounavezrealizadoenunaPCB.Estapotenteherramienta,lacuálsólotienesentidocompararconnuestraaplicaciónsinoscentramosen lapartedesimulación, fuecreadaen1985bajo lamarcaregistradaOrCAD, por John Durbetaki, Ken Seymour, Seymour y Keith como "OrCAD SystemsCorporation" enHillsboro, Oregon. El primer producto de la compañía fue SDT y quesolamentehacíaesquemáticos.Alañosiguientese integróunsimuladordigital,VST,yalgunasherramientasdediseñodePCBsperonofuehasta1997cuandosefusionóconmicroSIMparaadquirirPSPice,unasimulacióndeseñalesmixtasanalógicasydigitalesbasadoeneldiseñoporordenadordeestasplacasdecircuitoimpreso.

Figura1:capturadelapantallaprincipaldelprogramaOrcadPSpice


4

Otra herramienta que se puede utilizar con el fin de analizar circuitos es un paqueteadicionaldeMatlab,Simulink,quepermitediseñarysimularuncircuitoentendidocomounsistema,esdecir,hayqueentenderloporlafuncionalidaddecadaunodelosbloquesqueloforma.Para poder usar Simulink como analizador de circuitos, hay que tener instalada lalibreríade“SimPowerSystems”,dondeseencuentrantodosloselementosquepuedenformarpartedeuncircuitocomoresistencias, fuentes,masas…ycajasdemedidas,esdecir, bloques con la funcionalidadde voltímetroo amperímetro.Unavezmontado elcircuito,seejecutaelarchivoSimulinkyseobtienenlasmedidasdecorrienteytensiónencadapuntodondesehayanpuestolascajasdemedidasyamencionadas.

Figura2:circuitoeléctricousandolaherramientaSimulink

LaaplicaciónCircuitLabpermitecapturarysimularesquemaselectrónicosonline.Tieneunainterfazdeusuariomuysencillayes,posiblemente,laquealternativamásparecidaal programa diseñado. Además, permite compartir los circuitos simulados para quepuedanverlosmásusuariosyescompatibleconvariossistemasoperativos.Haydisponibleunaversiónlimitadagratuitayotradepagoquepermiterealizartodosloscircuitosquesequiera.

Capítulo2.Estadodelarte

5

Figura3:capturadepantalladelesquemáticodeuncircuitohechoenCircuitLab

Figura4:capturadepantalladelresultadodelanálisisdeuncircuitoconCircuitLab


6

Versión

GratuitaPrecioversióncompleta Limitaciones Manejo

OrCADPSpice

Sí

6600$(1000$fianzadepermanenciaparael

primeraño).

Nºdecomponentesdelesquemático.

Complejo

SimPowerSystems(LibreríadeSimulink).

No

Estudiantes:69€Matlab+20€/librería

Standard:2000€Matlab+1000€-3000€/librería

NecesariacomprarlibreríaademásdelalicenciadeMatlab.

Complejo

CircuitLab

Sí

1200€/6meses

Tiempolimitadodeestarhaciendocircuitos

Sencillo

Tabla1:tablacomparativadelasalternativasalaaplicacióndesarrollada

Laaplicacióndesarrolladaesdemanejosencilloygratuita.Elúnicoproblemaquetieneesqueloscircuitostienenqueserresistivosyreduciblesaunmáximodecuatronodosfundamentales.Paralafinalidadquetieneessuficiente,yaquesolucionaloscircuitosdecorrientecontinuaestudiadosenlaasignaturaAnálisisdeCircuitosI.

Capítulo3.Descripcióndelasolución

7

3.DESCRIPCIÓNDELASOLUCIÓN

3.1.EleccióndelentornodeprogramaciónPararealizarlaeleccióndelaherramientadedesarrollodelaaplicaciónsehantenidoencuentalassiguientesrazones:

• CompatibilidadconunlenguajedeprogramaciónqueestéenusoyqueseutiliceenlaEscuelaenvariasasignaturas.

• Quetengaunpotentesistemadeanálisismatemáticoparaquesealomásrápidoposible.

• Facilidaddeanálisisdeimágenes.Nombre

Lenguaje

Licencia

Uso

Aprendizaje

Estudiadodurantelacarrera

Eficiencia,orientadoalaresolucióndealgoritmos

matemáticosMatlab Matlab Proporcionada

porlaUPMEnuso Intermedio Sí Alta

Eclipse Java Libre Enuso Intermedio Sí NormalCrimson C Libre Enuso Fácil Sí BajaOtroseditoresdetexto

C

Libre

Endesuso

Fácil

No

Baja

Tabla2:tablacomparativadelosposiblesentornosdeprogramación

ParalafinalidaddelaaplicaciónlomásidóneoesusarMatlabyaqueseusaenvariasasignaturasdelacarrera,estádisponibleentodoslosordenadoresdelibreaccesodelaEscuela(laboratoriosyaulaReinaSofía)yhayunalicenciaparaordenadorespersonalesalestarestudiandoenlaUniversidadPolitécnicadeMadrid.Perolaprincipaldiferenciafrenteaotrosentornosy lenguajeses sugrancapacidadparael cálculomatemáticoyprocesadodedatoseimágenes.


8

3.2.ConceptosbásicosdecircuitoseléctricosEnesteapartadoseverándefinicionesdeconceptosypalabrasclavequeresultarándegranayudaparaentenderlosalgoritmosdesarrollados.Para empezar se definen modelos de circuito, que son modelos matemáticos de usocomún para los sistemas eléctricos los cuales están formados por una serie deelementos.Estoselementossellamancomponentesdecircuitoideales.Uncomponentedecircuitoidealnoesotracosaqueunmodelomatemáticodeuncomponenteeléctricoidealquerepresentaelcomportamientorealconbuenaprecisión.Alanálisisdelcomportamientodelmodelodecircuitoydesuscomponentesdecircuitoideales se conoce como análisis de circuitos. Este análisis se hace formulandoexpresiones matemáticas con términos de magnitudes mesurables, en este caso, enfuncióndelacorrienteylatensión.

3.2.1.Cargaeléctrica,tensiónycorrientePara poder describir estos dos fenómenos eléctricos hay que partir del concepto decarga. Una carga eléctrica es una magnitud física característica de los fenómenoseléctricos y es unapropiedadde los cuerpos ya que cualquier cuerpo eléctrico puedeadquirircargaeléctrica.LaunidadconlaquesemidelacargaeselCoulomb(C),cuyaunidad corresponde a 6,25·1018 electrones, por lo que la carga de un electrón es de1,6022·10-19C.Aplicandoesteconceptoacircuitos,latensióneslafuerzaeléctricaquesecreacuandose separan cargas mientras que la corriente es el flujo eléctrico creado por elmovimientodeunacarga.La tensiónsedefinecomo laenergíaporunidaddecargacreadapor la separacióndecargaspositivasynegativasysusunidadesdelSistemaInternacionalsonlosvoltios(V).𝑣 = !"

!" dondeveslatensiónenvoltios,w=energíaenJuliosyqlacargaenCoulombios.

Lacorrienteeléctricaes latasadeflujodecargaporunidaddetiempoquerecorreunmaterial, producida por el movimiento de cargas en el interior de un material. Seproducedichomovimientocuandohayunadiferenciadepotencialentredospuntos,esdecir,dospuntosconcargadediferentesigno.LaunidadconlaquesemidelacorrienteeselAmperio(A)yequivaleaC/sdelSistemaInternacional.Sedefinecomo:𝑖 = !"

!" dondeieslacorrienteenAmperios,qlacargaenCoulombiosyteltiempoen

segundos.

Capítulo3.2.Conceptosbásicosdecircuitoseléctricos

9

3.2.2.FuentesdetensiónydecorrienteUnafuenteeléctricaesundispositivocapazdeconvertirenergíanoeléctricaeneléctricayviceversa.Estasfuentespuedengeneraroabsorberenergíaeléctrica.Una fuente ideal de tensión es un elementode circuito quemantieneuna tensión fijaentre sus dos terminales, independientemente de la corriente que fluya a través dedichosterminales.Delamismamanera,unafuenteidealdecorrienteesunelementodecircuito que mantiene una misma corriente entre sus dos terminales,independientementedelatensiónentrelosbornesdelosmismos.Las fuentes ideales de tensión y de corriente pueden subdividirse en fuentesindependientesydependientes.Seentiendeporfuenteindependienteaquellaqueestableceunacorrienteounatensiónquenodependedeotracorrienteuotratensiónexistenteenotrapartedelcircuito.Porlo que, como su propio nombre indica, en una fuente dependiente su valor sí quedependedeotraintensidadotensióndeunpuntodiferentedelcircuito.

Figura5:a)fuenteindependientedetensión;b)fuenteindependientedecorriente

Figura6:a)fuentedecorrientedependientedetensión;b)fuentedetensióndependientedetensión;c)fuentedecorrientedependientedecorriente;d)fuentedetensióndependientedecorriente.


10

3.2.3.LeydeOhmyresistenciaeléctricaHayquediferenciardostiposdeelementosenuncircuito:losactivosylospasivos.Loselementos activos son aquellos quemodelan un dispositivo capaz de generar energíaeléctrica, como es el caso de las fuentes. Los elementos pasivos, por el contrario, nogeneran electricidad, como por ejemplo las resistencias, las bobinas o loscondensadores.LaLeydeOhm,nombreenhonoralfísicoalemánGeorgSimonOhmqueestablecióestaleyaprincipiosdelsigloXIX,eslarelaciónalgebraicaexistenteentrelatensiónentrelosterminales de una resistencia y la corriente que la pasa, tal que V=I·R. La resistenciaeléctrica es la oposición que muestra un conductor a los electrones cuando intentanmoverseatravésdeél.SusunidadesenelSistemaInternacionalsonlosOhmniosyserepresentanconlaletragriegaOmega(Ω).

3.2.4.LeyesdeKirchhoffAntes de enunciar las leyes de Kirchhoff es conveniente conocer algunos conceptosprevios,comounnodoouncaminocerrado.Unnodoeselpuntoenelquesejuntandosomás elementos de circuito. Un camino cerrado o lazo es el camino que recorre losnodosdeuncircuitoqueempiezayacabaenelmismonodosinpasara travésdeunnodointermediomásdeunavez.Hay dos leyes, una asociada a las corrientes y otra a las tensiones, las cuales seentiendenmejorconunejemploreal.La Ley de Kirchhoff de las corrientes es “la suma algebraica de todas las corrientesexistentesenunnododeuncircuitoesigualacero”.Parahacerunusoprácticodeestaley hay que asignar a cada nodo un signo algebraico que indique la dirección dereferencia.Asignarunsignopositivoaunacorrientequesalgadeunnodoimplicaqueasignaremosunsignonegativoatodaslascorrientesqueentrenalmismo.

Figura7:ejemplodecircuitoparaaplicarlaLeydeKirchhoffdelascorrientes

𝑁𝑜𝑑𝑜 𝐴: 𝐼1 + 𝑖2 − 𝑖3 = 0𝑁𝑜𝑑𝑜 𝐵: 𝑖3 − 𝑖6 − 𝑖7 = 0𝑁𝑜𝑑𝑜 𝐶: 𝑖5 − 𝑖4 − 𝑖2 = 0𝑁𝑜𝑑𝑜 𝐷: 𝑖7 − 𝑖5 − 𝑖8 = 0

Capítulo3.2.Conceptosbásicosdecircuitoseléctricos

11

La Ley de Kirchhoff de las tensiones dice “la suma algebraica de todas las tensionesalrededordecualquiercaminocerradoenuncircuitoes igualacero”.Parautilizar estaLeyhayquefijarunatensióndereferenciaacadatensióndelcaminocerrado.

Figura8:ejemplodecircuitoparaaplicarlaLeydeKirchhoffdelastensiones

𝐿𝑎𝑧𝑜 𝐴: 𝑉1+ 𝑉2− 𝑉6𝐿𝑎𝑧𝑜 𝐵: 𝑉3− 𝑉4− 𝑉2 = 0𝐿𝑎𝑧𝑜 𝐶: 𝑉4− 𝑉5 = 0𝐿𝑎𝑧𝑜 𝐷: 𝑉6− 𝑉7 = 0𝐿𝑎𝑧𝑜 𝐸: 𝑉1+ 𝑉3− 𝑉5− 𝑉7 = 0


12

3.2.5.AsociaciónderesistenciasLos circuitos eléctricos, enmuchas ocasiones, tienenunadisposiciónde componentesquepermitensimplificarloshaciendomodelosequivalentes.Enesteapartadoseveránalgunas posibilidades de asociación de resistencias, que son las que se utilizan en losalgoritmos.Sedicequedoselementosestánenseriecuandosóloestosdosestánconectadosaunmismo nodo. La característica más importante que tienen estos elementos es quetransportanlamismacorriente.Porello,sepuedecalcularunaresistenciaequivalentecuyovalornuméricosealasumadelasresistenciasindividuales.EstosedebealaLeydeKirchhoffdelastensiones.a)b)

Figura9:a)circuitoconresistenciasenserie;b)circuitoequivalentedelanterior

𝑉 = 𝑖 · 𝑅1+ 𝑖 · 𝑅2+ 𝑖 · 𝑅3+ 𝑖 · 𝑅4 = 𝑖 · (𝑅1+ 𝑅2+ 𝑅3+ 𝑅4)𝑉 = 𝐼 · 𝑅!" talque𝑅!" = 𝑅1+ 𝑅2+ 𝑅3+ 𝑅4Cuando dos elementos están en paralelo es cuando ambos están conectadosdirectamenteaunamismaparejadenodos.Lacaracterísticaquedefineestaconexiónesquetienenlamismatensiónenbornesdesusterminales.SiseaplicalaLeydeKirchhoffde las corrientes y la Ley de Ohm, se puede simplificar el circuito obteniendo unaresistenciaequivalenteentreestosdosterminales.

a)b)

Figura10:a)circuitoconresistenciasenparalelo;b)circuitoequivalentealanterior

𝑖 = 𝑖1+ 𝑖2+ 𝑖3+ 𝑖4AplicandolaLeydeOhm𝑉 = 𝑖1 · 𝑅1 = 𝑖2 · 𝑅2 = 𝑖3 · 𝑅3Sustituyendoyagrupando:

𝑖 = 𝑉 ·1𝑅1+

1𝑅2+

1𝑅3 →

𝑖𝑉 =

1𝑅!"

=1𝑅1+

1𝑅2+

1𝑅3

Capítulo3.3.Descripcióndeproblemasysolucionespropuestas

13

3.3.DescripcióndeproblemasysolucionespropuestasUnavezelegidoelentornodeprogramaciónsetuvoqueelegirelmétododedesarrollo.Seoptóporhaceralgoritmosbasadosenmatricesusandosuspropiedades.Hayvariasvías implementadas de analizar circuitos, las cuales se combinaron dando lugar a lasfuncionesquehacenposibleelfuncionamientodelaaplicación.Acontinuaciónseexpondrándichasvías.

3.3.1MétodonodalEs un método basado en análisis de circuitos por nudos. Estos circuitos estáncompuestos por resistencias, bobinas o condensadores, fuentes independientes ydependientesdecorriente.Este método es de aplicación inmediata en el análisis de circuitos RLC con fuentesindependientes de corriente J ya que las ecuaciones tienen una estructura adecuadaparaelanálisisdecircuitosporordenador.Estascorrientesserecogeránenunvectorcuyos términos son igual a la suma de los valores de las fuentes independientes decorrienteentrantesencadaunodelosnodos,exceptoeneldereferencia.Porotrolado,losvaloresRLCserecogeránenunamatrizdeadmitanciasnodalesYdondelostérminosde la diagonal principal son la suma de las admitancias conectadas al nodo y lostérminosrestanteseslasuma,cambiadadesigno,delasadmitanciasconectadasentredosnodosdistintosaldereferencia.Estamatrizsiempreserásimétrica.FinalmentesedefiniráelvectordelastencionesnodalesV.SecumpliráY·V=J,porloqueparaobtenerlamatrizdetensionesVhabráquedespejarla,esdecir,VseráelproductordelainversadelamatrizdeadmitancianodalYyelvectordecorrientesJ,segúnlaexpresión:V=Y-1·J.En el caso de tratarse de un circuito de tres nodos fundamentales la estructura de lamatrizylosvectoresseríalasiguiente:

𝑌!! 𝑌!" 𝑌!"𝑌!" 𝑌!! 𝑌!"𝑌!" 𝑌!" 𝑌!!

·𝑉!𝑉!𝑉!

=𝐽!𝐽!𝐽!

Este método se puede adaptar de tal manera que se pueda incorporar fuentes decorriente controladas por tensión añadiendo al vector J estas intensidades. Laconsecuencia de esta modificación es que se pierde la simetría de la matriz deadmitancianodal.


14

Laformagenéricadeexpresarlafuentedecorrientedependientedetensiónentredosnodoseslasiguiente:

Figura11:fuentedependientedetensiónentredosnodos

Este método también es aplicable a fuentes de corriente dependientes de corrienteteniendo la precaución de transformarlas previamente en fuentes de corrientedependientes controladas por tensión, es decir, expresando la propia dependencia enfuncióndelastensionesnodales.Un ejemplo podría ser analizar un circuito que tuviera, entre otros componentes, untransistorbipolar.

Figura12:circuitoconuntransistorbipolar

Teniendoencuentacómoeselmodeloenpequeñaseñaldedichotransistor:

Figura13:modeloenpequeñaseñaldeuntransistorbipolar

𝐽 = !

𝐽!𝐽! − 𝑔 · 𝑉! + 𝑔 · 𝑉!𝐽! + 𝑔 · 𝑉! − 𝑔 · 𝑉!

𝐽!

!


15

Transformandoyreordenandoelcircuito,seobtieneelsiguientecuyamatrizdeadmitanciasyvectoresdecorrienteytensiónsonlossiguientes:

Figura14:modeloenpequeñaseñaldelcircuitodelafigura12.

1𝑅!!

+1𝑔𝑖 +

1𝑅!

−1𝑅!

𝛽 · 𝑔𝑖 −1𝑅!

1𝑅!!

+1𝑅!

𝑉!𝑉!

= 𝐼!0

3.3.2.MétodonodalmodificadoEste método es una generalización del método nodal y permite el análisis de casicualquier circuito electrónico, lo único que hay que hacer es añadir ecuaciones a lasmatricesyvectoresvistosenelanteriorapartado.Noseveráeldesarrollodetodaslasposibilidadesquesepodríananalizarperosíquesecitarán la mayoría y se explicarán los circuitos que tienen trascendencia para eldesarrollodelaaplicación.AligualqueenelMétodoNodal,lasresistenciasnosedefinenenlamatrizporsuvaloróhmico aunque se podría hacer pero implicaría añadir una ecuación adicional queaumentaralasdimensionesdelamatriz.Porlotanto,generalmente,sedefinenporsusconductancias, es decir, por la facilidad que ofrece elmaterial al paso de la corrienteeléctrica.Enotraspalabras,laconductanciaeslapropiedadinversadelaresistencia,susímboloesGysuunidadeselSiemens.


16

La forma de definir la submatriz de admitancias de una única resistencia, como elcircuitodelafigura15eslasiguiente:

Figura15:resistenciaentredosnodos

Si se quiere añadir la corriente IG habría que añadir una fila y una columnacorrespondiente a una ecuación adicional, en este caso G·Vi-G·Vj-IG=0 por lo que lamatrizTquedaría:

𝑇 =

𝑉𝑖 𝑉𝑗 𝐼!𝑖𝑗𝐸𝐴

𝐺 −𝐺 1−𝐺 𝐺 −1𝐺 −𝐺 −1

Estaconstruccióndematrizesaplicableacondensadoresybobinas,teniendoencuentasu transformada de Laplace, donde la transformada de la conductancia deltransformador es Cs y de la bobina (Ls)-1. Aunque, en el caso del inductor, se sueleañadir en serie una fuente de tensión dependiente de corriente, fuente detransconductancia, paraevitar términosde s-1 en lamatrizT.Esto implica añadirunaecuaciónadicional.UnelementomuyimportantequeañadeelMétodoNodalModificadoeseldelasfuentesindependientesdetensión.ParaestecasonosólohayqueañadirunaecuaciónalamatrizT,sinoquetambiénhayquehacerloalvectordecorrientesW.Puestoquesetrabajaconconductanciaseintensidades,lafuentenosetratarácomolatensiónentresusterminalessinocomolacorrientequepasaporlosmismos,comosepuedeverenelcircuitodelafigura16.

Figura16:resistenciaentredosnodoscontensiónentreellos

𝑇 = !𝑉𝑖 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑖 𝑉𝑗 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑖𝑉𝑖 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑗 𝑉𝑗 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑗!

𝑇 = 𝑉𝑖 𝑉𝑗𝑖𝑗 ! 𝐺 −𝐺

−𝐺 𝐺 !

𝑇 =

𝑉𝑖 𝑉𝑗 𝐼!𝑖𝑗𝐸𝐴

! 1 −11 −1

! 𝑊 = !

⋯⋯𝐸

!


17

Delamismaforma,añadiendoestasfilasycolumnasenlamatrizTyenelvectorW,sepuedenhacercualquierfuentedecorrienteotensióndependientedelasmismas.Este método también permite analizar circuitos con amplificadores operacionales,bipuertos,circuitosconacoplamientomagnético...Yavistas la formacióndeestasmatricesenalgunoscasosparticulares,esconvenienteversucomposicióndeformagenérica:

𝑇 =𝑌! ⋮ 𝐵⋯ ⋯ ⋯𝐶 ⋮ 𝐷

𝑋 =𝑉𝑛⋯𝐼

𝑊 =𝐽⋯𝐸

talque𝑇𝑋 =𝑊

DondeTsecomponeporcuatrosubmatrices:

YReslamatrizreducidadelaadmitanciatotaldeordennparacircuitosden+1nodos.Incluye valores de conductancias G, tansconductancias g y admitacias de loscondensadores.B es la matriz de los coeficientes de las variables añadidas por las ecuacionesadicionales.Suvalorsiempreesde±1ó0exceptoenelcasodelasfuentesdecorrientedependientesdecorriente.CeslamatrizqueincluyeloscoeficientesdelasEAdelastensionesdenodo.DeslamatrizqueincluyeloscoeficientesdelasEAdelasvariablesadicionales.En cuanto al vector X está compuesto por el vector Vn que está compuesto por lastensionesnodalesyporelvectorIqueeselvectordelasintensidadesadicionales.Finalmente,elvectorW,queeselresultadodelproductodelamatrizTporelvectorX,está compuestopor el vectorde las fuentesde corriente, J, ypor el vectorEqueestácompuestoporlastensionesadicionales.Setomarácomoejemploelmismocircuitodelapartadoanterior,figura14,delmodeloenpequeñaseñaldeuntransistorbipolar,conladiferenciadequelafuentedecorrientedependientedetensiónahoraesdependientedecorriente.

Figura17:circuitoequivalentedepequeñaseñalconfuentedecorrientedependientedecorriente.


18

En primer lugar se define lamatriz reducida de la admitancia total YR y el vector detensionesnodales,sintenerencuentaeldereferencia.

𝑌! =

1𝑅𝑐1

+1𝑅𝐿

0 −1𝑅𝐿

0 1𝑟𝑖 0

−1𝑅𝐿 0

1𝑅𝑐2

𝑉𝑛 =𝑉1𝑉2𝑉3

En este caso, la EA que hay que añadir tiene que ver con la corriente Ib, la cual esentrantealnodo2ysalientedelnodo1.

𝑇 =

1𝑅𝑐1+

1𝑅𝐿 0 −

1𝑅𝐿

1

0 1𝑟𝑖 0 −1

−1𝑅𝐿 0

1𝑅𝑐2

𝛽 1 −1 0 0

𝑋 =𝑉1𝑉2𝑉3𝐼𝑏

𝑊 =𝐼000

Poniendovaloresaloscomponentesdelcircuitoyoperandoconlasmatricessepuedeobtenerfácilmentelosvaloresdelastensionesenlosnodosfundamentales.

3.3.3.MétodoZBUSEsunmétodomuyparecidoalnodal,sebasaendefinirunamatrizdeimpedanciasquetendráquesernxnsiendonelnúmerodenodosaanalizar, sincontarconelnododereferencia.Elformatodelamatrizdeimpedanciasdeuncircuitode3nodosserá:

𝑌!"# =𝑌!"#"! −𝑌!!! −𝑌!!!−𝑌!!! 𝑌!"#"! −𝑌!!!−𝑌!!! −𝑌!!! 𝑌!"#"!

YNODO1eslasumadetodaslasadmitanciasquelleganalnodo1.YNODO2eslasumadetodaslasadmitanciasquelleganalnodo2.YNODO3eslasumadetodaslasadmitanciasquelleganalnodo3.Y1-2eslasumadetodaslasadmitanciasqueseencuentranenlasramasquecompartenlosnodos1y2.PorloqueY1-2=Y2-1.Y1-3eslasumadetodaslasadmitanciasqueseencuentranenlasramasquecompartenlosnodos1y3.PorloqueY1-3=Y3-1.Y2-3eslasumadetodaslasadmitanciasqueseencuentranenlasramasquecompartenlosnodos2y3.PorloqueY2-3=Y3-2.


19

UnavezdefinidalamatrizYBUSsehacelamatrizinversaparaconseguirlamatrizZBUS.Porotrolado,sedefinelamatrizINODOqueseráde1xn,esdecir,tendrátantascolumnascomonodostengaelcircuito:

𝐼!"#" =𝐼!"#"!𝐼!"#"!𝐼!"#"!

INODO1eslasumadelascorrientesentrantesalnodo1yrestadelassalientesalmismo.INODO2eslasumadelascorrientesentrantesalnodo2yrestadelassalientesalmismo.INODO3eslasumadelascorrientesentrantesalnodo3yrestadelassalientesalmismo.Finalmente,paraobtener las tensionesde losnodosdereferenciasemultiplicarán lasmatrices INODO y ZBUS obteniendo como resultado unamatriz con dichas tensiones. Elformatodelacitadamatrizseráelquesemuestraacontinuaciónsiendocadaelementolatensiónencadanododereferencia:

𝑉 =𝑉!"#"!𝑉!"#"!𝑉!"#"!

3.3.4.MétodoelegidoPrimerosefijólafinalidaddelaaplicaciónconsusobjetivos.Yaquesepartedecero,sedecidióanalizarcualquiercircuitoconfuentesdetensiónydecorrienteindependientesde corriente continuapor lo que está orientadopara el usode resistencias, pero esteaspectoyaseverámejorenelapartado7.2.Líneasfuturas.Por lo tanto, después de estudiar y analizar los posibles métodos para el análisis decircuitosporordenadorseoptóporusar losaspectosprovechososdecadaunode talmanera que se llegó a unmétodo basado en el ZBUS y en elMétodo Nodal. Para losaspectosquenoplanteanestosmétodos,comolasfuentesdetensiónindependientes,seinvestigó un algoritmomatemático que atendiera a todos los casos ya que elMétodoNodal Modificado, por ejemplo, es bastante complejo de diseñar para cualquiercomposición de circuito que se resuelva automáticamente ya que hay que ver laecuaciónadicionalycómoañadirlaalamatrizTyalvectorW.Sellegóalaconclusióndequeéstemétodoes cómodoparaunusopersonal cuando se conoceenqué sebasaycómosecrean lasmatrices,noparaqueunaaplicaciónsebasaraenélparahacer loscálculosautomáticamente.Los aspectos tomadosde losmétodosexplicados sonelusodematrices, de signosenfunción del sentido de las fuentes… Pero se verámás detalladamente en el siguienteapartado.

Capítulo4.Diseñodelaaplicación

21

4.DISEÑODELAAPLICACIÓNEnesteapartadosepretendedeterminarlascaracterísticasfuncionalesdelaaplicación.EnprimerlugarsedescribiránlosconocimientosdeMatlabnecesariosparadesarrollarlaaplicación.Unavezvistaestapartesedetallaránlasfuncionesencargadasdelanálisisnodaldelcircuitopropiamentedicho,sudependenciadeloselementosqueleintegranyde lacantidadde losmismos.Estas funcionesseverándeformaincrementalsegúnsucomplejidad, empezando con la de un nodo fundamental hasta llegar a cuatro nodosfundamentales.Después se verán los algoritmos encargados de simplificar el circuito, es decir,simplificacióndefuentesydetecciónderesistenciasenserieparahacerunaúnica.Finalmenteseexplicaráelfuncionamientoglobaldelaaplicación,contodaslaspartesyaexplicadasintegradas,conladependenciaentreellas.

4.1.FundamentosdeMatlabMatlabesunaherramientamuypotenteyextensaquepermitemultituddeaplicacionespero, en este caso, la funcionalidad que buscamos está ligada a las matrices y suspropiedades. A continuación se verá formas de definir unamatriz y ciertas funcionesquesirvenparatrabajarconlasmismas.

4.1.1.Formasdedefinirunamatriz

Para definir unamatriz A enMatlab, tal que𝐴 =1 2 32 3 43 4 5

habrá que definir A de la

siguienteforma:A=[123;234;345];EnMatlab laseparaciónentreelementosde lamismafilasehacemedianteespaciosocomas y la separación entre columnas con punto y coma como se ha vistoanteriormente.


22

Sisequieredefinirunamatrizcomopartedeotra,esdecir,unasubmatriz,sehacedelasiguientemanera:B=A(:,n);SiendoBlamatrizformadaporloselementosdelacolumnan.C=A(m,:);SiendoClamatrizformadaporloselementosdelafilam.Otraopciónesponerloselementosdeunamatrizenunaúnicacolumna:D=A(:);SiendoDdichamatriz.EjemploprácticoaraízdelamatrizAdefinidaenesteapartado:

B=A(:,3);→ 𝐵 =345C=A(1,:); → 𝐶 = 1 2 3 D=A(:);→ 𝐷 =

123234345

4.1.2.FuncionesdematricesAlgunasfuncionesdeinterésparaeldesarrollodelasfuncionessevenenlasiguientetabla.

Función Descripciónsize(A) DevuelveeltamañodelamatrizAB=A’ TrasponerunamatrizAenunamatrizBB=inv(A) HacerlamatrizinversadelamatrizAenB

Tabla3:funcionesútilesdematricesenMatlab

Capítulo4.2.Análisisnodal

23

4.2.Análisisnodal

En primer lugar, se verán las definiciones de los términos necesarios para poderdesarrollar la explicación del método nodal que está recogidos en la siguiente tablaaunque algunos ya se han visto en el apartado 3.2. Conceptos básicos de circuitoseléctricos.

Nombre DefiniciónNodo Puntoenelqueseunenmásdeunelementodelcircuito.Nodofundamental Nodoenelqueseunentresomáselementosdelcircuito.Nododereferencia Nodofundamentaldelcircuitoconelquesecomparanlosdemás.Camino Sucesióndeelementosbásicosadyacentes.Rama Caminoqueconectadosnodos.

Tabla4:términosimportantesparaelanálisisnodal

Una vez aclaradas las palabrasque se van a utilizar y su significadohayque elegir elnododereferencia.Normalmenteseoptaporescogerelquemayornúmeroderamastenga que, en los libros de ejercicios de electrónica, suele ser el inferior. Después sedefinen las tensiones de nodo que son la diferencia de tensión entre el nodo dereferenciaylosotrosnodosdelcircuito.Elsiguientepasoesplantearlasecuacionesdetensióndenodo.Seescribelacorrientequesaledecadaramaconectadaaunnododistintoaldereferencia.EstascorrientesseescribenenfuncióndelastensionesaplicandolaleydeOhm(V=I·R)yluegosesumanigualándolasacero.Finalmente,hayqueresolverelsistemadeecuacionesparaobtenerlastensionesdelosnodosfundamentales.


24

4.3.FuncionesdelanálisisnodalEstasfuncionesestándesarrolladasparaunúnicoelementoporcadarama,esdecir,enelcasodequeelcircuitooriginaltengavariasresistenciasenserieenunamismarama,elvalorintroducidocomoparámetrodeentradaseráelequivalentedelasmismas.O,enel caso de fuente de tensión independiente en serie con una resistencia, se hará elequivalente de Thévenin-Norton por lo que los siguientes algoritmos verán unaresistenciaenparaleloconunafuentedecorrienteindependiente.

4.3.1.UnnodofundamentalElprimerpasoesempezarconelalgoritmoencargadodeobtenerlatensióndeunúniconodo.Estafuncióntienecomocabecera(V)=UnNodo(R,Ii, ind)dondelosparámetrosde entrada son R que es la matriz de resistencias entre el nodo a calcular y el dereferencia,Iieslamatrizovectordeintensidades,indesunparámetroconelvalordetensióndeunafuenteindependienteenunadelasramasenelcasoquelahubiera,sinosuvaloresceroyVeselparámetrodesalidacuyovaloreseldelatensiónenelnodofundamentalquesequierecalcular.Comosepuedededucir,sihayunafuentedetensiónindependienteentreelnodoyreferencia,ind,elparámetrodesalidaVseráigualaéste.El código de este algoritmo es muy sencillo y de poca longitud, a continuación sepresentaelpseudocódigo:FunciónV=UnNodo(R,Ii,ind)

Y←0I←0SimatrizRnoestávacíaentonces Parai←1hastalongituddeRconpasosde1hacer Y←Y+(1/ValordeRenlaposicióni) FinParaFinSiSimatrizIinoestávacíaentonces Parai←1hastalongituddeIiconpasosde1hacer I←I+Iienlaposicióni FinParaFinSiSiindesiguala0entonces V←1/Y·ISino V←indFinSi

FinFunción

Capítulo4.3.Funcionesdelanálisisnodal

25

4.3.2.DosnodosfundamentalesEstealgoritmoessimilaralanteriorperoaumentandolosparámetrosdeentradayaqueel valor devuelto por la función es de mayor magnitud. Por lo tanto, este algoritmocalculalasdostensionesreferentesalosnodosfundamentalesdistintosaldereferencia.En este caso hay que tener en cuenta las ramas entre cada uno de los nodos y el dereferenciaylasquepuedahaberentrelosmismos.Porlotanto,lacabeceradelafunciónsedefinecomoV=DosNodos(R1,R2,R12,I,ind1,ind2, S12) donde el parámetro de salida ahora es un vector y no un escalar ya quecontienelosvaloresdelastensionesdelosdosnodos.Enestecaso,R1eslamatrizderesistenciasentreelnodo1yeldereferencia,R2entreelnodo2yeldereferencia,R12lamatriz de resistencias entre los nodos 1 y 2, ind1 contiene el valor de la fuenteindependientede tensiónentreelnodo1ymasayel ind2hace lamismafunciónperoentre el nodo2 y masa, en el caso de que hubiera alguna de estas fuentes. En estealgoritmo aparece un nuevo parámetro de entrada, S12, que recoge el valor de unafuente independiente de tensión, en el caso de que existiera, entre los nodos 1 y 2considerándose positivo si el terminal positivo está en el nodo2 y el negativo en elnodo1.Lametodologíaquesigueesmuysimilaraladelalgoritmodeunnodo,comosepuedeverobservandolacabecera.Acontinuaciónsemuestraelpseudocódigodelafunción:FunciónV=DosNodos(R1,R2,R12,I,ind1,ind2,S12)

Y1←0Y2←0Y12←0SiS12esceroentonces

SimatrizR1noestávacíaentonces Parai←1hastalongituddeR1conpasosde1hacer Y1←Y1+(1/ValordeR1enlaposicióni) FinPara

FinSi/*SerepiteelbucleanteriorparaR2yparaR12Y1←Y1+Y12Y2←Y2+Y12Y←[Y1–Y12;-Y12Y2]V←inversa(Y)·I

Sino V←valordevueltoporlafunciónSuperNodo FinSi

Siind1noes0entonces Yenlaposición(1,1)←1 Yenlaposición(1,2)←0 Ienlaposición1←ind1 V←inversa(Y)·I


26

FinSi/*Mismobucleparaelcasodeind2

FinFunción

4.3.3.TresnodosfundamentalesLa complejidad del algoritmo y su longitud va aumentando exponencialmente segúnaumenta el número de nodos tal y como era de prever. Este algoritmo calcula lastensiones correspondientes a los tres nodos fundamentales del circuito teniendo encuentaqueencadaramaquelosinterconectapuedehabercualquierelemento.Siguiendoconlalíneadeexplicaciónseprocedeaanalizarlacabeceraysuselementos(V)= TresNodos(R1, R2, R3, R12, R13, R23, I, ind1, ind2, ind3, S12, S13, S23). Lasresistenciasque formancadaramavanen lasmatricesR1,para lasqueestánentreelnodo1ymasa,R2,lomismoperodelaramadelnodo2areferencia,R3,ídemperoconlasdelnodo3,R12,resistenciasenramasentreelnodo1yelnodo2,R13,entreelnodo1yelnodo3yR23,entreelnodo2yelnodo3.Lamatrizde intensidades I siguesiendoigual que en los otros algoritmos, es decir, en la primera posición almacena lascorrientesqueafectanalnodo1,siendopositivaslasentrantesynegativaslassalientes,en laposicióndos lascorrientesdelnodo2yen la terceraposición lasdelnodo3.Losindicadores ind1, ind2, ind3almacenanelvalorde la fuente independientede tensiónentreelnodocorrespondienteyreferenciasiendoind1elqueguardaelvoltajeentreelnodo1yreferencia,ind2entreelnodo2yreferenciaeind3entreelnodo3yreferencia.Finalmente,lapresenciadefuentesindependientesdetensiónenramasqueestánentredosnodosdistintoaldereferenciasealmacenaenlasvariablesS12,S13yS23siendolasfuentesentrelosnodos1y2,1y3,y2y3respectivamente.Enestapartedelcódigosecompruebasihayincongruenciastalescomoquehayavariasfuentesdetensiónquemarquenenunmismopuntodistintastensiones,esdecir,si,porejemplo,hayunafuenteentreelnodo1ymasade10V,hayotraentreelnodo3ymasade5Vyhayotraentreosnodos1y3de3Vconelterminalpositivodelamismasobreelnodo3elnodo3valdría,porunlado,13Vy,porelotro,5V.Enestoscasosapareceenlapantallaunmensajedeerrorinformandodelmismoyelvalordevueltoporlafunciónesuncero.Además hay que destacar que la diversidad de circuitos que se pueden dar con tresnodosfundamentaleshahechoquesetenganencuentamuchosfactoresy,esomismo,hadesencadenadoenqueseusenmás laspropiedadesde lasmatricesyelanálisisdecircuitosamanoqueeldescritoenlosmétodosdelapartado3deestedocumento.A continuación se verá un resumen del código de la función en formato depseudocódigo:

Capítulo4.3.Funcionesdelanálisisnodal

27

FunciónV=TresNodos(R1,R2,R3,R12,R13,R23,ind1,ind2,ind3,S12,S13,S23)

Y1←0Y2←0Y3←0Y12←0Y13←0Y23←0SimatrizR1noestávacíaentonces Parai←1hastalongituddeR1conpasosde1hacer Y1←Y1+(1/ValordeR1enlaposicióni) FinParaFinSi/*SerepiteelbucleanteriorparaR2,R3,R12,R13yR23Y1←Y1+Y12+Y13Y2←Y2+Y12+Y23Y3←Y3+Y13+Y23Y←[Y1–Y12–Y13;-Y12Y2-Y23;-Y13-Y23Y3]V←inversa(Y)·I

/*Seanalizanlosposiblescasosdecombinacionesdefuentes

SiS12noes0eind1es0eind2es0entonces SiS13noes0eind3es0entonces SiS23noes0entonces */Comprobamosincongruencias SiS13esS12+S23entonces

*/ConstruimosunamatrizMylareducimos*/guardandoelresultadoenVauxVenlaposición1←Vauxenlaposición(1,2)Venlaposición2←Venlaposición1+S12Venlaposición3←Venlaposición2+S23

SinoEscribirquenoesposibledistintatensiónenunmismopunto

FinSi Sino */SeconstruyeotramatrizMsimilaryseasignalatensión FinSi Sino */Secompruebanmásposiblescasosdefuentes FinSi Sino /*Secompruebanotrascombinacionesdefuentes FinSi


28

4.3.4.CuatronodosfundamentalesElalgoritmocorrespondienteacuatronodosfundamentalesesigualqueeldetresconladiferenciadequetienemásparámetrosdeentradaymáscasosdecombinacionesentrefuentesyresistencias,porloquenosedetallaráunpseudocódigo.Elvalordevuelto,eneste caso, será la misma matriz V y tendrá cuatro columnas, una por cada nodofundamentaldelcircuito.Lacabeceradelafunciónes(V)=CuatroNodos(R1,R2,R3,R4,R12,R13,R14,R23,R24,R34,I,ind1,ind2,ind3,ind4,S12,S13,S14,S23,S24,S34).Comparandoconelcasodetresnodos,seañadeR4queeslamatrizformadaporlasresistenciasqueformancadarama conectadas entre el cuarto nodo y el nodo de referencia, R14, R24 y R34 lasresistenciasentreelprimerycuartonodo,segundoycuartonodoytercerycuartonodorespectivamente. En el vector de intensidades I se añade una cuarta columna con lasumadelascorrientesentrantesmenoslassalientesalnodo4.Seañadeelindicadordepresenciadefuenteindependientedetensiónentreelnodo4yreferencia,ind4,asícomolapresenciade lasmismasentre losnodosunoy cuatro, dosy cuatroy tres y cuatroalmacenadasenlasmatricesS14,S24yS34.También, como en el apartado anterior, se comprueba, en cada caso, incongruenciasentrefuentesdetensiónmostrandounmensajeinformativoenlaventanadecomandosde Matlab y devolviendo un cero en la matriz de tensiones, el valor devuelto de lafunción.

Capítulo4.4.Funcionessimplificadoras

29

4.4.FuncionessimplificadorasLos algoritmos que se explicarán en este apartado corresponden con encargados deprocesarlainformaciónproporcionadaporelusuariomedianteficheros,paradepurarlayordenarla.Básicamentehaydosque,asuvez,usanotrasparaconseguirelresultadoesperadoqueesreducirelcircuitoennodosfundamentalesyaquelainformaciónleídade los ficheros está dada simplemente en nodos. Éstas se llaman desde el programaprincipalqueseexplicaráenelapartado4.5deestedocumento.

4.4.1.LocalizaciónderesistenciasenserieElprimerfiltroporelquepasaelprogramaeseldedetectardosomásresistenciasenserie para reducir el númerodenodos, dejando el circuito bastantemás simplificado.Todoellosehaceordenandoloselementosdelamatrizderesistenciasenfuncióndelosnodosalosqueestánconectadaslasmismas.La cabecera del algoritmo es (resistencias ,fuentesCorriente ,fuentesTension) =serie(resistenciasLeido ,fuentesCorrienteLeido ,fuentesTensionLeido). Como se puedededucir, las matrices de salida son iguales que las de entrada pero procesadas. Paraentendermejorelfuncionamientoseanalizaráelpseudocódigodelalgoritmo:

Función(resistencias,fuentesCorriente,fuentesTension)=serie(resistenciasLeido,fuentesCorrienteLeido,fuentesTensionLeido)

/*SeordenanlasmatricesresistenciasLeido,fuentesCorrienteLeido,/*fuentesTensionLeidoysealmacenanenlasmatricesresistencias,/*fuentesCorrienteyfuentesdetensión,respectivamente.

/*Serecorrelamatrizderesistenciashastaencontrarnodoscomunesdistintosal/*dereferencia.Paraj←1hastalongitudderesistenciasconpasosde1hacer

/*Seinicializaesteparámetroauxiliarquevaleunocuandonoha/*encontradoresistenciasenserieyceroencasocontrario.

noSerie←1 Parai←1hastalongitudderesistenciasconpasosde1hacer

Silaresistenciadelprimerbucleparayladelsegundobucletienenunsólonoencomúnentonces

noSerie←comprobarSerie(resistenciascomparadas)/*LafuncióncomprobarSerieseveráalterminarel/*pseudocódigo.

nodoComun←nodoComunlocalizado SinoSerie=0entonces

auxR←resistenciaequivalenteborrarlasresistenciasqueformanlaequivalente

FinSi


30

FinSiSinoSerie=0entonces/*Serecorrentodaslasmatricesysedecrementanlosnodos/*mayoresoigualesalcomún

Paray←1hastalongitudderesistenciasconpasosde1hacer

Silaresistenciatieneunnodo>=a1entoncesSielnodo1delaresistencia>=alnodocomúnhacer

Nodo1(resistencia)←Nodo1(resistencia)-1 FinSi

Sielnodo2delaresistencia>=alnodocomúnhacer


Sinosinodo1(resistencia)=0o1ynodo2>=alnodocomúnhacer

Nodo2(resistencia)←Nodo2(resistencia)-1Sinosinodo2(resistencia)=0o1ynodo1>=alnodocomúnhacer


FinPararesistencias←[resistencias;auxR]resistencias←ordenar(resistencias)

FinSi FinPara

FinPara

/*Sehacelomismoconlasmatricesdefuentesindependientesdecorrientesyde/*tensión.

FinFunciónComosehavistoenelpseudocódigo,seusandosfuncionesdentrodeél.Lafunciónparaordenar se detallará en el apartado 4.4.3 ya que se usa en varias ocasiones. Pero elalgoritmo comprobarSerie es una función auxiliar de serie.m que se ha externalizadoparaevitarrepeticionesinnecesariasdecódigo.LacabeceradecomprobarSeriees(noSerie)=comprobarSerie(i,resComp1,resComp2,resistencias, fuentesCorriente, fuentesTension). El valor devuelto sería un booleano,hablando en otros entornos de programación, valiendo únicamente uno o cero. Encuantoalosparámetrosdeentrada,estái,queeselpuntoonodoencomúnquetienenlasdosresistenciasacomparar,resComp1yresComp2quesonlaspropiasresistenciasquesecomparan,y tienen los tresparámetrosque lascaracterizan:suvalory losdosnodos a los que están conectadas, y las matrices de resistencias, fuentesCorriente,fuentesTensionusadasenelalgoritmoqueinvocaestafunción.

Capítulo4.4.Funcionessimplificadoras

31

Elalgoritmorecorrelastresmatrices,laderesistencias,ladefuentesindependientesdetensión y la de fuentes independientes de corriente, para detectar si hay algún otroelementoenelnodoquetienenencomúnlasdosresistenciasacomparar.Enelcasodequesíquelohaya,sedescartaráqueestánenseriey,encasocontrario,seconfirmaráqueloestán.Por lotanto, lavariablenoSerievaldrácerosóloenelcasodequesíqueesténenserielasdosresistencias,encualquieradelosdemás,seráununo.

4.4.2.LocalizacióndefuentesindependientesdetensiónenserieconresistenciasUnavezreducidoelcircuitoaequivalentesderesistenciasenserie,elsiguientepasoeshacermáscómodoysencilloelanálisishaciendotransformacióndefuentes,aunquesehayallamadoalalgoritmoequivalentedeThévenin-Norton.Estenombrevieneporqueambos procesos se han quedado en la mente de la mayoría de la gente que lo haestudiadoalgunavezensuvida.Ambosmétodossirvenparasimplificaruncircuitoy,parahacerelpasoentreellos,hayqueusarlatransformacióndefuentes.Acontinuaciónse explicará brevemente en qué consisten estos equivalentes y la transformación defuentes.La técnicade la transformaciónde fuentespermite sustituiruna fuentede tensiónenserie con una resistencia por una fuente de corriente en paralelo con la mismaresistencia,oviceversa.LaequivalenciaentrefuentessebasaenaplicarlaleydeOhm,detalmaneraque,sisetieneunafuentedetensiónenserieconunaresistencia,elvalordelafuentedecorrienteserálatensióndelafuentedetensióndivididaentreelvalordelaresistencia.Por otro lado, el equivalente de Thévenin es un circuito formado por una fuenteindependiente de tensión en serie con una resistencia, con el que se sustituye otrocircuito más complejo formado por una interconexión de fuentes y resistencias. Elequivalente de Norton está compuesto por una fuente de corriente independiente enparaleloconlaresistenciaequivalentedelcircuito.Elpasodeunequivalenteaotrosepuedehacermediantetransformacióndefuentes.Lacabeceradelalgoritmodescritoenesteapartadoes (resistencias, fuentesCorriente,fuentesTension)=equivalenteTheveninNorton(RIn, IIn,VIn) siendo losparámetrosdeentrada las matrices de resistencias, fuentes de corriente y fuentes de tensión sinresistencias en serie y, los parámetros de salida las mismas matrices con lastransformacionesdefuentescorrespondientes.El funcionamientodel algoritmosigueuna líneabastante intuitiva, enprimer lugar serecorre, a la vez, la matriz de resistencias y la matriz de fuentes independientes detensión para analizar las conexiones de los elementos de cada matriz. Es decir, secontrastan los nodos de una resistencia con los de todas las fuentes de tensión hastahaber probado todas las posibles combinaciones de elementos. El fin de estacomparaciónesencontrar los casos, si loshubiera,de fuentesde tensiónen serie conunaresistencia.


32

Paracorroborarqueestánrealmenteenserie,osea,quenohayningúnotroelementoenelnodoquetienenencomún,seusalafunciónbuscarNodoquebuscaelnúmerodevecesqueserepiteunnodo,detalmaneraquesiserepitemásdedosveces,unaporcadaelemento,quieredecirquenoestánenserie.Si se da el caso buscado, se hace la transformación de fuentes y se reordenan yactualizan todos losnodosde todos los componentesdel circuitoque sepudieranverafectadosporestecambio.La función comentada anteriormente, buscarNodo, consiste en un algoritmo formadopor tresbucles for,unoparacadaunade lasmatricesde losdiferenteselementosdelsistema, que comparan los nodos de losmismos con el nodo que tienen en común lafuenteindependientedetensiónylaresistencia.Lacabeceradelafunciónes(veces)=buscarNodo(nodoComun,tensiones,corrientes,resistencias,longV,longI,longR)dondeel valor devuelto, veces, es el número de casos que se repite el nodo a comparar,introducido como parámetro de entrada. Otros parámetros de entrada son las tresmatricesdecomponentesylaslongitudesdelasmismas.

4.4.3.AlgoritmoordenarEste algoritmo está basado en un método sencillo de ordenación conocido comoalgoritmo de la burbuja. Consiste en comparar pares de elementos adyacentes en unarray y, si están desordenados, intercambiarlos hasta que estén todos ordenados. Elpseudocódigocorrespondientealalgoritmodelaburbujaparaordenarloselementosdeunarraydemenoramayorseríaasí:Parai←0hastalalongituddelarray-1enpasosde1hacer Paraj←0hastalalongituddelarray-1-ienpasosde1hacer Sielarrayenlaposición(j+1)<elarrayenlaposiciónjentonces

Variableauxiliar←elarrayenlaposición(j+1) Elarrayenlaposición(j+1)←elarrayenlaposiciónj Elarrayenlaposiciónj←variableauxiliarFinSi

FinParaFinParaAdaptando este método de ordenación a la funcionalidad que se quiere dar en estaaplicación, sehace la funciónordenarque tiene como cabecera (elementoOrdenado)=ordenar (elementoAOrdenar, res)donde losparámetrosde entrada sonel elementoaordenar,queeslamatrizquecorrespondaencadacaso,ylavariableresquevaleunoenelcasodequedichoelementosealamatrizderesistenciasyceroenelcasocontrario.Elvalor devuelto, elementoOrdenado, corresponde, como su propio nombre indica, a lamatriz pasada como parámetro de entrada ordenada. El caso de las resistencias seestudia ya que éstas no tienen polaridad por lo que se ordenan también los propiosnodos considerándose el positivo el mayor de los dos

Capítulo4.5.Funcionamientoglobal

33

4.5.FuncionamientoglobalElfuncionamientoglobaldelsistemapartedeldesarrollodeunscript,traductor.m,queusalosalgoritmosyfuncionesdetalladosanteriormenteparaconseguirlafuncionalidadesperada. Consiste en coger los datos del circuito a analizar proporcionados por elusuario, ordenarlos, clasificarlos y realizar el cálculode las tensionesde losnodosdereferencia.Estealgoritmosepuededividirensietepasos:1. Se leen los ficheros con la información, uno para las resistencias que forman el

circuito, resistencias.txt, otro para las fuentes independientes de tensión,fuentesTension.txt, y otro para las fuentes independientes de corriente,fuentesCorriente.txt.Estosdatosseguardanentresmatrices.

2. Se pasa sintetiza el circuito localizando las resistencias en serie mediante losalgoritmosdetalladosenapartadosanteriores.

3. Sehaceotra simplificaciónbuscando fuentes independientesde tensión en serie

conresistenciasusandoelalgoritmoequivalenteTheveninNorton.m.4. Se crean e inicializan las matrices y vectores que recogerán las resistencias y

fuentesdecorrienteytensiónquehayencadanodofundamental.5. Se agrupan las resistencias y fuentes en función de los nodos a los que están

conectadosyseguardanenlosparámetrosinicializadosenelpasoanterior.6. Se comprueba el número de nodos fundamentales del circuito a analizar y, en

función de cuántos sean, se usa el algoritmo que corresponda de los cuatroposiblesdelascuatrofuncionesdeanálisisnodal.

7. Finalmente,seescribeelresultadodelastensionesdelosnodosfundamentalesen

elficherotensiones.txt.

Capítulo5.Resultados

35

5.RESULTADOSEn este capítulo se hará un repaso de las pruebas a las que ha sido sometida laaplicación según se ha ido desarrollando la misma. No procede poner las pruebasrealizadas ya que se basan en resolver un circuito a mano y estudiar cómoparametrizarlo para poder solucionarlo de una forma sistemática, se han estudiadocercadedoscientosejemplos.En primer lugar, se empezó estudiando circuitos con un único nodo, buscando quéparticularidadespodrían tenerunos sobreotros comoporejemplovarias resistenciasenparalelooenserie,fuentesdetensiónentreelnododereferenciayelfundamentalofuentesdetensiónenserieconresistencias,fuentesdecorrienteindependientesencadasentido… Para poder pasar estos resultados a ordenador fue necesario partir decircuitos que contaran únicamente con fuentes independientes de corriente yresistenciasoalgunosenlosquepoderhacertransformacióndefuentesyquequedarancircuitosconsóloestosdostiposdecomponentes.Porlotanto,haciendoelanálisisdecircuitosconnudossevioqueloprimeroquehabíaquesolucionareracuandohabíavariasresistenciasenparalelo,cómotratarlasydóndehacerlo.Sedecidióqueiríantodasellasenunamatrizyquealprincipiodelalgoritmoseharía suparaleloparaobtener laequivalente.Encuantoa las resistenciasen serie, sedecidióhacer lasumadeellasamanoantesde introducirsusvaloresen laaplicación,eraunasuntoqueseresolviómásadelante.Una vez conseguido para circuitos de un nodo, se escaló para circuitos de dos, tres ycuatronodosañadiendoúnicamentemásparámetrosdeentradaenlaecuaciónsiendoéstos resistencias entre losnodos fundamentales y el de referencia, resistencias entrenodosfundamentalesyfuentesindependientesdecorrienteentrecualquierpunto.Elsiguientepasofueincorporar latransformacióndefuentes,esdecir, ladetecciónderesistenciaenserieconfuentedetensión.Alprincipiosehizounalgoritmoqueaplicabaúnicamente la Ley de Ohm dentro de la propia función que calcula la tensión de losnodos. Luego sehizounomás complejoque, ademásde localizar estos casos,hacía latransformaciónyrecategorizabalosnodosparaposteriormentepasarloalafunciónquecorrespondieradelasyacitadas.Paraentenderlobienlomejoresverloconunejemplo.Si había un circuito con una fuente de tensión entre el nodo 1 y referencia y unaresistenciaentreelnodo1yelnodo2,detalmaneraqueestuvieranenserie,sehacíalatransformaciónestandotanto la fuentedecorriente independientecomolaresistenciaparalela a lamisma entre los nodos 1 y el de referencia, por lo que todos los nodosmayoresdeuno,queenestecasosontodos,habíaquereducirlosenuno.


36

Esta función devuelve a la aplicación principal las tres matrices una vez hecha latransformación, si procede hacerla, para posteriormente analizar si se trata de uncircuito de uno, dos, tres o cuatro nodos y usar el algoritmo correspondiente paracalcularlastensionesdelosnodosfundamentales.Elampliar lavariedaddecircuitosañadiendo fuentes independientesde tensiónentrenodo fundamental y el de referencia a priori no tendría por qué haber supuesto undesafíoyaqueestetipodefuentesloquehacenesfijarlatensiónenelnodoporloqueen cálculos teóricos ymanuales es una ventaja ya que reducenmucho la cantidad deecuaciones. Pero en el caso de diseñar un algoritmo matemático y automático paracualquierposiblecasono fuetansencillo,se tuvoquecambiar lamaneradetratar lasmatrices,esdecir,setuvoqueañadirparámetrosnuevosdeentradaalasfuncionesquecalculanlastensionesdelosnodosparaqueindicaranlapresenciadeestoselementos.Secreóunparámetroporcadanododereferenciadelalgoritmotratándosedecuatroelementosenelcasodecuatronodos,tresenelcasodetresnodosyasísucesivamente.Sefijóuncriteriodesignos,detalmaneraquesielparámetroerapositivoqueríadecirque el terminal positivo estaba sobre el nodo fundamental y el negativo sobre el dereferencia.Lasmatricessetrataríanigualalprincipiodelafunciónperoalfinal,antesdecrear el valor devuelto, es decir, las tensiones en los nodos fundamentales, secomprobabanestosparámetrosyserecalculabanlastensionesresultado.Apartirdeestemomento,seestudiócómoincorporaralosalgoritmoslaposibilidaddeque hubiera fuentes independientes de tensión entre dos nodos fundamentales. En elanálisis de circuitos, lo que se hace es considerar un supernodo, es decir, fijar ladiferenciadetensiónentredosnodosydejarunoenfuncióndeotroyaquísehizounalgoritmoquehicieraprácticamentelomismoperoautomáticamente.

Figura18:circuitoconunsupernodo.

Nosepodríanutilizarecuacionesdenudosyaquenohayningunaresistenciaentrelosnodos1y2,habríaquehacerloporcorrientesousandoelconceptodesupernodocomoseveacontinuación:𝑉1𝑅1+

𝑉2𝑅2 = 𝐼1− 𝐼2 , , 𝑉2− 𝑉1 = 𝑉𝑔 → 𝑉2 = 𝑉1+ 𝑉𝑔

𝑉1𝑅1+

𝑉1+ 𝑉𝑔𝑅2 = 𝐼1− 𝐼2 → 𝑉1 ·

1𝑅1+

1𝑅2 = 𝐼1− 𝐼2−

𝑉𝑔𝑅2


37

Dando valores a los componentes y despejando se obtendría V1 y, sustituyendo estevalor en la relación de V1, V2 y Vg el de V2. Por lo que un circuito con dos nodosfundamentales conun supernodohaceque tengaunaúnica ecuación en lugardedos,facilitandoloscálculosdelcircuito.Paraelcasodeunoodosnodosnofuemuycomplejo,puestoquelasposibilidadessonbastante limitadas, pero en el caso de tres y, sobretodo, de cuatro nodos se tuvo quebuscar un circuito de ejemplo para ver qué dependencias tenían y así poder formaradecuadamente las matrices. Ya que todos estos análisis se realizaban a mano, sebuscaron circuitos de prueba para no realizar todos los cálculos cada vez que secambiabaunelementoysehizounficherodeMatlabdondeestabantodaslaspruebasconlosresultadosqueteníanquedar.

Figura19:circuitogenéricodetresnodosfundamentales

Figura20:circuitogenéricodecuatronodosfundamentales


38

Estafuelapartequeconllevómástrabajoyaquesehicieronsietecircuitosparaelcasodetresnodosenfuentesentrenodosfundamentales,ademásdelagenérica,esdecir,sinfuentes,ylastresdefuentesentrenodofundamentalydereferenciaconposibilidaddequehubieramásdeunaentreellos.Para tresnodosun totaldequince circuitosperopara el caso de cuatro nodos este número aumentó exponencialmente. Se realizaronquincecircuitosparaloscasosdegeneradoresdetensiónentrenodofundamentalydereferencia, cincuenta y seis para casos entre nodos fundamentales y algunos casosgenéricos,esdecir,sehizountotaldesetentaytrescircuitos.

Figura21:capturadepantalladelscriptdepruebas,parte1

Figura22:capturadepantalladelscriptdepruebas,parte2


39

Al igual que para añadir fuentes entre un nodo fundamental y el de referencia, seañadieron parámetros que indicaran la presencia de generadores de tensión entrenodos fundamentales, uno por cada posibilidad. Aumentando en gran cantidad lascabecerasdelasfunciones.Además,setuvoquecomprobarcasosdeposiblesincongruenciascomoquehubieraunafuente enuna ramadeunnodo y en otra ramadel nodootra fuente conuna tensióndistinta.ParaestoscasoselvalordevueltoesunceroysaleunamensajedeerrorenlaconsoladecomandosdeMatlab.Lasiguiente imagenesunejemplo,noesposiblequeentrelosnodos1y2hayaunafuentede2V,entre1y3de10Vyentre2y3de5V.

Figura23:capturadepantallademensajedeerrorenlaventanadecomandos

Paraquefueracorrectoelejemploanterior,elvalordelatensiónentreelnodo1yel3deberíaserde7V,secompruebaconlasiguienteimagen:

Figura24:capturadepantallaconelresultadodelalgoritmodeTresNodosenlaventanade

comandos

El siguiente paso fue implementar la lectura de ficheros, lo cual se hizo directamentedesdeelprogramaprincipal,traductor.m.Despuésdecargarestosdatosseprocesaronpara clasificarlos y ponerlos en el formato de las cabeceras de los algoritmos quecalculanlastensionesysedescubrióquenotienenporquéestarordenados.Sehizounafunción auxiliar que coloca las filas de las matrices en orden ascendente según susnodos, la explicación del algoritmo estámás detallada en el apartado4.4.3.Algoritmoordenardeestedocumento.


40

Unavezhechaslaspruebasbien,estasmatricescargadasdeficherossepasaronprimeropor la función de transformación de fuentes y, posteriormente, por las de cálculo detensióndelosnodosfundamentales.Enúltimolugar,sebuscóunasoluciónparalocalizaryreducircircuitosconresistenciasenserie.Paraellosepartiódelascaracterísticasquetienenquetener:nopuedehabernada más conectado al nodo que hay entre ellas, esto implica buscar que no hayaninguna otra resistencia, fuente de corriente o tensión. Si esto ocurre se hace unaresistenciacuyovaloreslasumadelasotrasdosyqueestéentreelnodomáspequeñodelostresyelintermedio.Ademástambiénhayquedisminuirenunoelvalordetodoslosnodosmayores igualesqueel intermediosincontarconelde laresistenciaqueseacabadereducir.

Figura25:circuitoconresistenciasenserieentrenodosfundamentales

ElcircuitodelaFigura25tienecinconodos,peronosonfundamentalesyaqueentrelosnodos1y3haydos resistenciasen serieyocurre lomismoentre losnodos3y5.Elalgoritmo desarrollado procesa el circuito obteniendo el de la Figura 26, es decir, elcircuitoequivalenteconúnicamentetresnodosfundamentales,cuyastensionesseránelresultadoproporcionadoporelprograma.Enel circuitode laFigura26,elvalorde la resistenciaReq1es iguala la sumade lasresistenciasR1 yR2, y está situada entre los nodos1 y 2 por lo quehayque reducirtodoslosnodos,habiendountotaldecuatronodos.OcurrelomismoconlaresistenciaReq2,cuyovaloreslasumadeR5yR6,yahoraestásituadaentrelosnodos2y3.


41

Figura26:circuitoequivalentealdelaFigura25

Estedesarrollohizoqueseañadieraunapeculiaridadalalgoritmodeordenar.Cuandoelelemento a ordenar fuera la matriz de resistencias, además de ordenarse por filastambién se haría por columnas, de tal manera que el primer nodo a los que estáconectada la resistencia siempre fuera el menor de los dos y que, a partir de ahí,estuvieranordenadasenordenascendentedenodos.Unavezhechaslaspruebascorrectamentedeestealgoritmo,seincluyóenelprincipalde laaplicaciónyeselprimerfiltroapasar,despuéssepasapor latransformacióndefuentes y, finalmente, se agrupan las resistencias, generadores de corriente y tensiónparapoderpasarloscomoparámetrosalosalgoritmosdecálculodelastensionesenlosnodosdereferencia.El siguiente ejemplomuestra uno de los casosmás completos ya que cuenta con unafuentedetensiónentrenodosfundamentales,varioscasosderesistenciasenserieyungeneradordetensiónenserieconunasresistencias:

Figura27:circuitodecuatronodosfundamentalesconresistenciasenserieysupernodo


42

Secompruebalastensionesquetienequedarencadanodofundamentalteóricamente,teniendoencuentaelsupernodoquehayentrelosnodosByC,quehayresistenciasenserie y que se puede hacer transformación de fuentes. Teniendo en cuenta estoselementos,elanálisisserealizasobreelcircuitodelaFigura28.


𝑉𝐶 = 𝑉𝐵 + 4EcuacióncorrespondientealnodoC.

𝑁𝑜𝑑𝑜 𝐴: 𝑉𝐴5 +

𝑉𝐴 − 𝑉𝐵4 +

𝑉𝐴 − 𝑉𝐶6 +

𝑉𝐴 − 𝑉𝐷10 = 3 → 𝑉𝐴 ·

4360− 𝑉𝐵 ·

512−

𝑉𝐷10 =

113

𝑁𝑜𝑑𝑜 𝐵: 𝑉𝐵3 +

𝑉𝐵 − 𝑉𝐴4 +

𝑉𝐶 − 𝑉𝐴6 +

𝑉𝐶 − 𝑉𝐷4 = 3 → −𝑉𝐴 ·

512+ 𝑉𝐵 −

𝑉𝐷4 =

43

𝑁𝑜𝑑𝑜 𝐷: 𝑉𝐷5 +

𝑉𝐷 − 𝑉𝐴10 +

𝑉𝐷 − 𝑉𝐶4 = 10 → −

𝑉𝐴10 −

𝑉𝐵4 + 𝑉𝐷 ·

1120 = 11

Se utiliza Matlab para reducir las ecuaciones usando la función rref, como se puedeobservarenlaFigura29,yasíseobtienenlastensionescorrespondientesalnodoA,ByD.Paraellohayqueescribirlasecuacionesenformadematriz:

4360

−512

−110

113

−512 1

−110 −

14

−14

43

1120 11

− 𝑅𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎 → 1 0 00 1 00 0 1

10,601517,364931,4570


43

Figura29:capturadepantalladelareduccióndelamatrizdelcircuitodelaFigura28

Por lo que, aplicando la ecuación del supernodo se obtienen los cuatro valores detensión:𝑉𝐴 = 19,6015𝑉𝑉𝐵 = 17,3649𝑉𝑉𝐶 = 21,3649𝑉𝑉𝐷 = 31,4570𝑉VolviendoalcircuitodelaFigura27sinsimplificar,senombrantodoslosnodos,comoseveenlaFigura30,yseponenloselementosdelcircuitoenlostresficheroscomoseveenlaFigura31.

Figura30:circuitodelaFigura27identificandotodoslosnodos


44

Figura31:ficherosconlainformacióndelcircuitodelaFigura30

Se ejecuta el main de la aplicación, traductor.m, sobre la consola de comandos deMatlab:

Figura32:ventanadecomandosdeMatlabtrasejecutarelprogramaconlosficherosdelaFigura31

Secompruebaenelficherodetensiones.txtelresultadodelaprueba:

Figura33:ficherotensiones.txt,solucióndelcircuitodelaFigura30

Severificaqueenamboscasoselresultadoeselmismo.

Capítulo6.Manualdeusuario

45

6.MANUALDEUSUARIO

6.1.IniciodelaaplicaciónLos archivos necesarios para la ejecución del algoritmo se encuentran en la propiacarpetaraízdelaaplicación.Comoyasehavisto,losficherosdeentradasonR.m,GC.myGT.m,setendránquecrearenelcasodequenoesténenlacarpetaraíz.Secompletaránelsiguienteformato:

Figura34:formatodelosficherosdelasresistencias,fuentesdecorrienteyfuentesdetensión


46

Una vez guardados los ficheros se iniciará la aplicación usando elmain de lamisma,traductor.m.Cuandoacabedeejecutarsesecrearáunnuevofichero,osesobrescribiráen el caso de que no sea la primera vez en usarse la aplicación, con el nombretensiones.txt.Alabrirloaparecenencolumnaslastensionesdelosnodosfundamentalescomosemuestraenlasiguientefigura:

Figura35:formatodelficherotensiones.txt

6.2.EjemplosA continuación se expondrán algunos ejemplos de uso: se pondrá el circuito, elcontenido que hay que poner en cada fichero de entrada y la solución escrita en elfichero de salida. Además, para comprobar su que está bien el resultado, se hará elanálisisdelcircuitousandolastécnicasdescritasenelapartado3.2.Conceptosbásicosdecircuitoseléctricosdeestedocumento.

6.2.1.Ejemplodecircuitoconunnodofundamental

Figura36:ejemplodecircuitoconunnodofundamental

El circuitodeejemplopodría inducir aerrorporparecerque tienemásdedosnodosdistintosaldereferencia,pero,comoseveenlaFigura37,identificamosquesolamentehaydos.

Capítulo6.2.Ejemplos

47

Figura37:identificacióndelosnodosdelaFigura36

Unavez identificados, seobservaqueentreelnododereferenciayelnodo1hayunafuente independiente de tensión, por lo que la tensión en este nodo es lamisma delgenerador, es decir, 25V. Pero se puede aplicar la transformación de fuentes parasimplificarelcircuitoyaqueentreelnodo1yelnodo2únicamentehayunaresistencia,porloquelafuentedetensiónylaresistenciaestánenserie.


Nuevamente,seidentificanlosnodosyseobservaquehayunúniconodofundamentaldistintoaldereferencia.

Figura39:identificacióndelnodofundamentaldelcircuitodelaFigura38


48

ParaelanálisisdecircuitosteóricoomanualesmuchomáscómodohacerelparalelodelaresistenciaR1yR2perolaaplicaciónlorealizaautomáticamente.Aplicandolosmétodosdeanálisisdecircuitos,exactamentelaLeydeKirchhoffdelascorrientes:

𝑉1𝑅1+

𝑉1𝑅2+

𝑉1𝑅3 = 𝐼𝑣 + 𝐼1 → 𝑉1

15+

120+

14 = 5+ 3 → 𝑉1 = 8 · 2 = 16𝑉

PoniendolosdatosdelcircuitodelaFigura37,esdecir,elcircuitosintransformacionesde fuentes de la Figura 36 con los nodos identificados, en los tres ficheroscorrespondientesalasfuentesdecorriente,detensiónyalasresistenciasyejecutandoelprogramaseobtiene:


Figura41:resolucióndelcircuitodelaFigura40(ficherotensiones.txt)


49

6.2.2.Ejemplodecircuitocondosnodosfundamentales

Figura42:ejemplodecircuitocondosnodosfundamentales

Delamismaforma,seidentificanlosnodosdelcircuitodelaFigura42:


Enestecaso,seobtienendosnodosdiferentesaldereferenciaynohayposibilidaddereducirsunúmeroaplicandomodelosequivalentes.Secalculaelvalorenlosdosnodos:

𝑁𝑜𝑑𝑜 1: 𝑉1𝑅1+

𝑉1− 𝑉2𝑅2 = 𝐼1 →

𝑉1 𝑅1+ 𝑅2−

𝑉2𝑅2 = 𝐼1

𝑁𝑜𝑑𝑜 2: 𝑉2− 𝑉1𝑅2 +

𝑉2𝑅3+

𝑉2𝑅4 = −𝐼2 → −

𝑉1𝑅2+

𝑉2𝑅2+ 𝑅3+ 𝑅4 = −𝐼2


50

De la ecuación del nodo 1 se despeja V1 obteniendo𝑉1 = 𝐼1+ !!!!

· !!·!!!!!!!

y sesustituyeenlaecuacióndelnodo2ydespejandoV2:

−1𝑅2 · 𝐼1+ 𝑉2 ·

𝑅1 · 𝑅2𝑅1+ 𝑅2+

𝑉2𝑅2+ 𝑅3+ 𝑅4 = −𝐼2

𝑉2 ·1𝑅2+

1𝑅3+

1𝑅4−

𝑅1𝑅2 · 𝑅1+ 𝑅2 = −𝐼2+ 𝐼1 ·

𝑅1𝑅1+ 𝑅2

Sesustituyenlosvaloresdeloscomponentesysecalculanlastensionesdelosdosnodosfundamentales:

𝑉2 ·748−

548 = 1− 6 ·

56 → 𝑉2 =

4124

= 96𝑉

𝑉1 = 6+968 ·

32048 = 120𝑉

Porlotanto,elresultadoquemostrarálaaplicacióndesarrolladadeberáserV1=120VyV2=96V,secompruebausandoelprograma:


Figura45:resolucióndelcircuitodelaFigura43(tensiones.txt)


51

6.2.3.Ejemplodecircuitocontresnodosfundamentales

Figura46:ejemplodecircuitocontresnodosfundamentales

SeidentificanlosnodosfundamentalesdelcircuitomostradoenlaFigura46:

Figura47:identificacióndelosnodosdelaFigura46.


52

Deloscinconodoslocalizados,sepuedereducirentresnodosfundamentalesyaquelafuenteVa situadaentreelnodode referenciayelnodo1y la resistenciaR1estánenserieyocurrelomismoconlafuenteVbyR5.Siseaplicalatécnicadetransformacióndefuentesenamboscasos,obtenemoselcircuitodelaFigura48.


Seidentificanlosnodosenelcircuitoyareducido,encuantoanodosserefiere.

Figura49:identificacióndelosnodosfundamentalesdelcircuitodelaFigura48

Siguiendolamismametodologíaqueenloscasosanteriores,primerosecalculaelvalorteóricodelastensionesquedeberíadarlaaplicación:

𝑁𝑜𝑑𝑜 1 ∶ 𝑉1𝑅1+

𝑉1− 𝑉2𝑅2 +

𝑉1− 𝑉3𝑅4 = 𝐼𝑎 → 𝑉1 ·

1𝑅1+

1𝑅2+

1𝑅4 −

𝑉2𝑅2−

𝑉3𝑅4 = 𝐼𝑎

𝑁𝑜𝑑𝑜 2 ∶ 𝑉2− 𝑉1𝑅2 +

𝑉2− 𝑉3𝑅3 = 𝐼 → −

𝑉1𝑅2+ 𝑉2 ·

1𝑅2+

1𝑅3 −

𝑉3𝑅3 = 𝐼

𝑁𝑜𝑑𝑜 3 ∶ 𝑉3− 𝑉1𝑅4 +

𝑉3− 𝑉2𝑅3 +

𝑉3𝑅5 = 𝐼𝑏 → −

𝑉1𝑅4−

𝑉2𝑅3+ 𝑉3 ·

1𝑅3+

1𝑅4+

1𝑅5 = 𝐼𝑏


53

Se despeja de la ecuación del nodo 2 V1 y se sustituye en las otras dos ecuacionesagrupandonuevamentelostérminosV2yV3:

𝑁𝑜𝑑𝑜 2: 𝑉1 = 𝑉2 ·1𝑅2+

1𝑅3 −

𝑉3𝑅3− 𝐼 · 𝑅2

𝑁𝑜𝑑𝑜 1: 𝑉2 ·1𝑅2+

1𝑅3 −

𝑉3𝑅3− 𝐼 · 𝑅2 ·

1𝑅1+

1𝑅2+

1𝑅4 −

𝑉2𝑅2−

𝑉3𝑅4 = 𝐼𝑎

𝑉2 · 𝑅2 ·1𝑅2+

1𝑅3 ·

1𝑅1+

1𝑅2+

1𝑅4 −

1𝑅2 − 𝑉3

𝑅2𝑅3 ·

1𝑅1+

1𝑅2+

1𝑅4 +

1𝑅4 =

= 𝐼𝑎 + 𝐼 · 𝑅2 ·1𝑅1+

1𝑅2+

1𝑅4

𝑁𝑜𝑑𝑜 3: −𝑅2𝑅4 · 𝑉2 ·

1𝑅2+

1𝑅3 −

𝑉3𝑅3− 𝐼 −

𝑉2𝑅3+ 𝑉3

1𝑅3+

1𝑅4+

1𝑅5 = 𝐼𝑏

−𝑉2𝑅2𝑅4 ·

1𝑅2+

1𝑅3 +

1𝑅3 + 𝑉3

1𝑅3+

1𝑅4+

1𝑅5+

𝑅2𝑅3 · 𝑅4 = 𝐼𝑏 − 𝐼 ·

𝑅2𝑅4

Puestoquelasexpresionesquesalensonmuylargas,quedamuchomássimplificadosi,apartirdeestemomento,sesustituyenlosvaloresdeloscomponentesdelcircuito:

𝑁𝑜𝑑𝑜1: 𝑉2 ·52 ·35−

13 − 𝑉3 · 1 =

1006 + 5 · 3 ·

35 →

7 · 𝑉26 − 𝑉3 =

773

𝑁𝑜𝑑𝑜 3: − 𝑉2 ·14+

12 + 𝑉3 1 =

504 −

310 · 5 → −

3 · 𝑉24 + 𝑉3 = 11

SedespejaV3delaecuacióndelnodo1ysesustituyeenlaecuacióndelnodo3:

𝑁𝑜𝑑𝑜 1: 𝑉3 =76𝑉2−

773 → 𝑁𝑜𝑑𝑜 3: −

34𝑉2+

76𝑉2−

773 = 11 → 𝑉2 = 88𝑉

AhorasesustituyeV2sobrelaecuacióndelnodo1paraobtenerV3:

𝑁𝑜𝑑𝑜 1: 𝑉3 =76 · 88−

773 = 77𝑉 → 𝑉3 = 77𝑉

Finalmente,sesustituyesobrelaecuacióndelnodo2losvaloresobtenidosdeV2yV3paraobtenerlatensiónenelnodo1:

𝑁𝑜𝑑𝑜 2: 𝑉1 = 3 · 88 ·13+

12 −

772 − 5 = 89,5𝑉 → 𝑉1 = 89,5𝑉


54

Al igualque conelprimer ejemplo, losdatos introducidos enel fichero correspondenconeldelcircuitosinreordenarniusartransformacióndefuentesyaqueelprogramarealizaestoscambiosautomáticamente,esdecir,elcircuitodelaFigura47.Porloqueelcontenidode los ficheros inicialesderesistencias, fuentes independientesdetensiónydecorrienteademásdelquemuestraelresultadofinalsonlossiguientes:


Figura51:resolucióndelcircuitodelaFigura47(tensiones.txt)


55

6.2.4.EjemplodecircuitoconcuatronodosfundamentalesLas posibilidades de circuitos con cuatro nodos fundamentales aumentan en granmedida respecto a los otros tres anteriores. Se verá solamente un ejemplo en el que,además, al haber fuentes de tensión independientes entre nodo de referencia y nodofundamental,seobtienendirectamentelastensionesbuscadasparalasolución.

Figura52:ejemplodecircuitoconcuatronodosfundamentales

Identificandolosnodos:



56

Como ya se había comentado, en este ejemplo se buscan conocer las tensionescorrespondientesalosnodos1,2,3y4,delascuálesyasepuedensaberladelnodo1yladelnodo3.Además,enestecaso,estoscuatronodossonlosnodosfundamentalesdelcircuito,porloquenosepuedesimplificarmás.Seplanteaelsistemadeecuaciones:𝑁𝑜𝑑𝑜 1: 𝑉1 = 𝑉𝑎 = 4𝑉

𝑁𝑜𝑑𝑜 2: 𝑉2− 𝑉1𝑅1 +

𝑉2𝑅2+

𝑉2− 𝑉3𝑅3 +

𝑉2− 𝑉4𝑅5 = 0

−𝑉1𝑅1+ 𝑉2 ·

1𝑅1+

1𝑅2+

1𝑅3+

1𝑅5 −

𝑉3𝑅3−

𝑉4𝑅5 = 0

𝑁𝑜𝑑𝑜 3: 𝑉3 = 𝑉𝑐 = 8𝑉

𝑁𝑜𝑑𝑜 4: 𝑉4− 𝑉1𝑅6 +

𝑉4− 𝑉2𝑅5 +

𝑉4− 𝑉3𝑅7 +

𝑉4𝑅8 = 0

−𝑉1𝑅6−

𝑉2𝑅5−

𝑉3𝑅7+ 𝑉4 ·

1𝑅5+

1𝑅6+

1𝑅7+

1𝑅8 = 0

Seponenalaizquierdadelasecuacionesdelosnodos2y4lastensionesV2yV4yaladerechade la igualdadV1yV3,yaqueson las tensionesyaconocidas,yseoperaconellashastaordenarlasparasustituirlosvaloresnuméricosdeloscomponentes:

𝑁𝑜𝑑𝑜 2: 𝑉2 ·1𝑅1+

1𝑅2+

1𝑅3+

1𝑅5 −

𝑉4𝑅5 =

𝑉1𝑅1+

𝑉3𝑅3

𝑁𝑜𝑑𝑜 4: −𝑉2𝑅5+ 𝑉4 ·

1𝑅5+

1𝑅6+

1𝑅7+

1𝑅8 =

𝑉1𝑅6+

𝑉3𝑅7

SedespejaV4delaecuacióndelnodo2ysesustituyeenladelnodo4:

𝑉4 = 𝑅5 · 𝑉2 ·1𝑅1+

1𝑅2+

1𝑅3+

1𝑅5 −

𝑉1𝑅1−

𝑉3𝑅3

𝑁𝑜𝑑𝑜 4: −𝑉2𝑅5+ 𝑅5 · 𝑉2 ·

1𝑅1+

1𝑅2+

1𝑅3+

1𝑅5 −

𝑉1𝑅1−

𝑉3𝑅3 ·

1𝑅5+

1𝑅6+

1𝑅7+

1𝑅8 =

=𝑉1𝑅6+

𝑉3𝑅7


57

Ahorasedespejadelaecuacióndelnodo4V2ysesustituyenloscomponentesporsusvaloresnuméricos:

𝑁𝑜𝑑𝑜 4: 𝑉2 ·1𝑅1+

1𝑅2+

1𝑅3+

1𝑅5 ·

1𝑅5+

1𝑅6+

1𝑅7+

1𝑅8 · 𝑅5−

1𝑅5 + 𝑅5 =

=𝑉1𝑅1+

𝑉3𝑅3 ·

1𝑅5+

1𝑅6+

1𝑅7+

1𝑅8 · 𝑅5+

𝑉1𝑅6+

𝑉3𝑅7

𝑁𝑜𝑑𝑜 4: 𝑉2 ·2330 ·

1312 · 6−

16 + 6 =

43+

810 ·

1312 · 6+

46+

84 →

28960 𝑉2 =

24815

𝑉2 =992289 = 3,4325𝑉

Sesustituyeelvalordelatensióndelnodofundamental2enlaecuacióndelnodo2enlaqueestabadespejadaV4:

𝑁𝑜𝑑𝑜 2: 𝑉4 = 6 ·992289 ·

2330−

43−

810 =

864289 = 2,9896𝑉

Porloquelatensiónenloscuatronodosfundamentaleses:

𝑉1 = 4𝑉𝑉2 = 3,4325𝑉𝑉3 = 8𝑉𝑉4 = 2,9896𝑉

Finalmentesecompruebaelresultadoobtenidoutilizandolaaplicación:



58

Figura55:resolucióndelcircuitodelaFigura53

ComoseveenlaFigura55,elresultadoobtenidonuméricamentecoincideconelquedalaherramienta.

Capítulo7.Conclusionesylíneasfuturas

59

7.CONCLUSIONESYLÍNEASFUTURAS

7.1.ConclusionesEl objetivo de este proyecto es facilitar al aprendizaje de los métodos de circuitoseléctricosparapersonasqueesténempezandoenestecampo.LibroscomoelNilsson,elcuálhaservidodeapoyoparalaelaboracióndeesteproyecto,explicanenquéconsistenlosmétodosperonosiempreresultanfácilesparagentequeseestéiniciandoeneltema.Estaherramientapermitecomprobarsi losejerciciosrealizadosdeformaprácticasoncorrectos,proporcionandoúnicamenteelresultadofinal.Porlotanto,esunaaplicaciónquecorroboraresultadosynoque“hacelosdeberes”,yaqueenesecaso,muchagenteharíaunmalusodelaherramienta.Como ya se ha visto en el apartado 2. Estado del Arte hay otros programas queactualmentetienenunafuncionalidadparecidaperoésteessindudaelmássencilloyaque,unavezseunaconlainterfazdeusuariodesarrolladaenelproyectoparaleloaéste,bastaconsólounafotoparaobtenerlastensionesnodales.Todoslosalumnosquehanpasado por la escuela han tenido errores que no tienen que ver con el análisis decircuitospropiamentedichocomoporejemploelusodediferentesmasasque,unavezse entra en circuitosque combinan la electrónica analógicaydigital esmuyútil, peropara un primer contacto lo único que hace es provocar quebraderos de cabeza ypérdidas de tiempo innecesarias. Por lo que,más que una ayuda acaba resultado serotracosamásqueaprender.Aúnnosehahechopruebasenalumnosqueesténempezandoaestudiar,peroseesperaqueseaunaherramientadidácticaquefaciliteelaprendizajedelosmismosyquehagaquerentabilicensutiempo.Se esperaque estapartede la aplicación sea sólo el inicio yquepoco apoco se vayaimplementandohastahacerunprogramatanpotentecomoeselPSpice,porejemplo,yquepermitaelanálisisdecualquiertipodecircuito.


60

7.2.LíneasfuturasHaymuchas posibles líneas futuras tomando como base estos algoritmos, ya que soneso, la base de un proyecto que podría llegar a sermuchomayor. A continuación seexplicarántresideasdepocacomplejidad.La primera de ellas podría ser añadir más nodos fundamentales para ampliar ladiversidaddecircuitosanalizados.Paraellosólohabríaquehacerunnuevoalgoritmomatemáticoporcadaampliacióndenodoquesequierahacer, teniendoencuentaquemuchoscasosyaserepitenenlosalgoritmosdesarrolladoshastaahora.Otra podría ser la posibilidad de añadir elementos capacitivos e inductivos. En estapartenosehahechoyaquesólosehaplanteadoelanálisisencorrientecontinuay laequivalencia de estos elementos son o cortocircuitos, en el caso de la bobina, o decircuitosabiertos,eneldelcondensador.Seríarelativamentefácilmenteimplementableañadiendo a las fuentes un tercer parámetro, su frecuencia de oscilación, para poderhacer el equivalente de frecuencia de estos elementos. Por lo tanto, si en una terceracolumna no aparece nada o cero el análisis sería en corriente continua y si, por elcontrariohayunnúmero,querríadecirqueelanálisisesencorrientealterna.Otra ampliación, que sería la idónea para dar soporte a los alumnos de Análisis deCircuitosI,seríaladeincorporarfuentesdecorrienteytensióndependientesdeotrosparámetros del circuito. En este caso habría que crear nuevos elementos y tener encuenta las ecuaciones de dependencia, modificando las cuatro funciones de análisisnodal.

Capítulo7.Conclusionesylíneasfuturas

61

8.REFERENCIAS[1]J.M.MiróSans,“Métodonodalmodificado”enAnálisisyDiseñodecircuitosconPC,Marcombo.A.PuertaNotario,1989.[2] James W. Nilsson y Susan A. Riedel, Circuitos electrónicos, 7ª edición, PearsonPrenticeHall.[3]JohnO.Attia,ElectronicsandCircuitAnalysisusingMatlab,CRCPress.DepartmentofElectricalEngineeringPrairieViewA&MUniversity,NewYork,WashingtonD.C..[4]Orcad[Enlínea]. <http://www.orcad.com/about/orcad-history>.[Consultado:10-Marzo-2016].[5] Mathworks [En línea]. <http://es.mathworks.com/help/physmod/sps/functionlist.html>.[Consultado:5-Marzo-2016].[6] Profesor en línea [En línea]<http://www.profesorenlinea.cl/fisica/ElectricidadCargayCorriente.htm>. Profesor en línea con Nº registro: 188540.[Consultado:10-Marzo-2016].[7]Blogspot:puntocomnoesunlenguaje,entrada“Algoritmosdeordenación.Métododela Burbuja”. [En línea]. <http://puntocomnoesunlenguaje.blogspot.com.es/2012/07/ metodo-de-ordenacion-burbuja.html?m=1>.[Consultado:2-Diciembre-2015].[8]ÁreadeIngenieríaeléctricadelaUniversidaddeCastilla-LaMancha.Ecuacionesconnodosygeneradoresdependientes. [En línea].<http://iele.edii.uclm.es/Estudios/ITIE/Albacete/Asignaturas/CI_archivos/A_Descarga/Transparencias/Tema11/Tema11.pdf >[Consultado:23-Septiembre-2015].[9] “Problemas de circuitos Ejemplos resueltos.pptx”, Universidad de Castilla-LaMancha.<https://www.uclm.es/profesorado/ajbarbero/S_Campo_Electrico/Problemas%2520de%2520circuitos%2520Ejemplos%2520resueltos.pptx> [Consultado: 2-Diciembre-2015].

[10] Ayuda en línea de Matlab. [En línea] <http://es.mathworks.com/help/ >[Consultado:25-Mayo-2016].

[11]AnthonyGarcíaGonzálezenPanamaHitek,LeyesdeKirchhoff:ElmétodoZBUS[Enlínea]<http://panamahitek.com/leyes-de-kirchhoff-el-metodo-zbus/>[Consultado:20-Octubre-2015].

proyecto fin de grado - oa.upm.esoa.upm.es/43939/3/tfg_belen_lobo_sanchez.pdf · análisis nodal...

Documents