propagación de ondas 01

Universidad Simon Bolıvar

Temas de Propagacion de Ondas

Mario I. Caicedo

Departamento de Fısica

Placido J. Mora

Departamento de Ciencias de la Tierra

Topicos en Propagacion de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 1

Copyright (c) 2004 M. I. Caicedo, P. J. Mora1.

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Indice general

1. Introduccion 12

1.1. Objetivo de estas Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2. Sısmica de Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3. Ondas Elasticas, una Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4. Modelado de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5. Organizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. ¿Que es una onda? 22

2.1. Definicion General del Problema de Propagacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Ondas en una Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. Ondas Longitudinales y Transversales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4. Ondas Armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5. Ondas en dos y tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5.1. Ondas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5.2. Ondas esfericas y objetos relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2


3. La Ecuacion de Ondas en 1+1 Dimensiones 36

3.1. Introduccion a las EDP’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2. El metodo de las caracterısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3. Problema de Valores Iniciales y Solucion de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4. El problema de Cauchy en dominio k − ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5. Reflexion entre dos medios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.6. Una aplicacion geofısica:

Sismogramas Sinteticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4. La cuerda vibrante 55

4.1. La cuerda tensa y la ecuacion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2. Consideraciones Energeticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2.1. Flujo de Energıa en Forma Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2.2. Energıa potencial Elastica de la Cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2.3. Flujo de Energıa en Forma Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2.4. La Ecuacion de Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3. La cuerda con extremos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3.1. Problemas de contorno y series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3.2. Calculo de los coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4. Ecuacion de ondas para la membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5. Paquetes de Onda y Velocidad de Grupo en 1D 76

5.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78


5.2. Velocidad de Grupo:

su definicion precisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3. Dispersion de un Paquete Gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.4. Dos ejemplos sencillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6. Rayos y Frentes de Onda 86

6.1. La Ecuacion Eikonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.2. Definicion matematica de los rayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.3. Los rayos y el principio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7. Calculo de Rayos 102

7.1. El Sistema de de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.2. Solucion numerica de un Sistema de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.2.1. Metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.3. Metodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.4. Trazado de Rayos con el El Metodo de Shooting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.4.1. Aplicaciones Practicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8. Ondas Electromagneticas 112

8.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.2. Las ecuaciones de onda para los campos E y B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.2.1. Ondas Armonicas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.3. Polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.4. Flujo de Energıa y Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125


8.5. Vector de Poynting para ondas armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.6. Complemento matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9. Elastodinamica Linealizada 130

9.1. El vector ~u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.2. El tensor de Deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.3. El tensor de Esfuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

9.4. El tensor de Elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9.5. Las Ecuaciones de Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

9.6. La Ecuacion de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

9.7. Enfoque Alternativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

10.Propagacion en Medios Isotropos 152

11.Propagacion en Medios Anisotropos 160

11.1. ¿Que es Anisotropıa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

11.1.1. ¿Ha sido observada la anisotropıa sısmica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

11.1.2. El problema del NMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

11.2. Anisotropıa en la Geofısica Contemporanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

11.3. Sistemas de Simetrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

11.4. Medios con Simetrıa Hexagonal Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

11.5. Medios con Simetrıa Hexagonal Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

11.6. Birrefringencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180


12.Soluciones Numericas a la Ecuacion de Onda 185

12.1. Introduccion a la Derivacion Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

12.2. EDP’s en D = 1 + 1 y Analisis de Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

12.2.1. Analisis de Von Newman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

12.2.2. Metodo de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

12.2.3. Dispersion Numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

12.3. Problemas en D = 2 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

12.3.1. La Ecuacion de Ondas Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

12.3.2. Discretizacion del Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

12.3.3. Evolucion Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

12.4. Esquemas Implıcitos y Explıcitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

12.5. Ecuaciones con Coeficientes Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Bibliografıa 206

A. Parametros elasticos de los medios isotropos 209

B. Anisotropıa Hexagonal de una pila de capas isotropas 214

C. Elastodinamica Simplificada 220

C.1. Las ecuaciones de Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

C.2. Descripcion 3D y Notacion Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

C.3. El ejemplo mas sencillo: Medios Isotropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

D. Modelado de un Medio VTI 230


D.1. Anisotropa Axisimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

D.2. Propagacion P − Sv y Sh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

D.3. Formulacion Numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

Indice de figuras

1.1. Comportamiento Ondulatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1. Problema General de Propagacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2. La ecuacion de ondas c2∇2u − ∂2t u = 0 predice la propagacion de pulsos como

los que se observan en una cuerda (en este caso una onda transversal). Los pulsos

viajan sin deformacion con velocidad c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3. Ondas longitudinales en un resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1. Una forma de onda representada en los dominios de numero de onda (k) y de

posicion (x), observense los anchos de banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1. Cuerda elastica ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.1. La dispersion del paquete gaussiano. Observese que el ancho espacial cambia con

el tiempo mientras que el maximo viaja a velocidad constante . . . . . . . . . . . 83

6.1. Rayos de luz atravesando un prisma. Observense los rayos reflejados y refractados 87

6.2. Los frentes de onda para las soluciones planas monocromaticas . . . . . . . . . . . 88

8


6.3. Luego de atravesar una ranura los frentes de onda plano se convierten en frentes

(aproximadamente) cilındricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.4. El efecto de las heterogeneidades. Una fuente puntual emite un frente de onda

esferico (Σ) que luego de atravesar un material heterogeneo se convierte en el nuevo

frente de onda (Σ′) que carece simetrıa debido a la presencia de la heterogeneidad. 91

6.5. Frentes de Onda en un subsuelo formado por dos capas homogeneas, los rayos son

rectos y se desvıan en la interface obedeciendo a la ley de Snell . . . . . . . . . . . 96

6.6. En un subsuelo heterogeneo los frentes de onda son superficies complicadas, y los

rayos siguen trayectorias curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

8.1. Campo electromagnetico instantaneo en el vacıo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8.2. Polarizaciones (1) Lineal, (2) Circular Dextrogira, (3) Circular Levogira . . . . . . 124

9.1. Vector de desplazamientos infinitesimales ~u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.2. Deformacion Homogenea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.3. Cizalla y rotacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.4. Para definir el tensor de deformacion eij, un solido 3D es pensado como un ar-

reglo discreto de partıculas. Las entradas diagonales del tensor eij describen los

movimientos de la partıcula en las direcciones de los ejes cartesianos. . . . . . . . 137

9.5. Esfuerzo sobre elemento de superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

11.1. (a) Medio heterogeneo 1D. (b) Medio anisotropo 1D. . . . . . . . . . . . . . . . . 162

11.2. Esquema NMO basico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166


11.3. La propagacion paralela al eje de simetrıa en un medio VTI esta compuesta por

los dos modos que se muestran: uno longitudinal denominado P2 y otro transverso

(S2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

11.4. La propagacion perpendicular al eje de simetrıa en un medio VTI esta compues-

ta por los tres modos que se muestran: uno longitudinal denominado P y dos

transversos (S1, S2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

11.5. Birrefringencia en un medio VTI y en un medio HTI . . . . . . . . . . . . . . . . 181

11.6. Birrefringencia en un medio fracturado. Vista de planta . . . . . . . . . . . . . . . 184

11.7. Trazas registradas en un experimento de modelaje fısico de un medio HTI (Tatham

et al.,1987) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

12.1. Solucion FTCS a la ecuacion de ondas unidireccional. La condicion inicial es una

forma de onda Gaussiana. La corrida consta de 100 iteraciones en tiempo. El

algoritmo es inestable, lo que se refleja tanto en el crecimiento de la solucion como

en la aparicion de artefactos numericos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

12.2. Otra corrida del esquema FTCS a la ecuacion de ondas unidireccional con la misma

condicion inicial utilizada en la figura 12.1. El numero de iteraciones en tiempo es

200. Resulta obvio que los efectos de la inestabilidad son catastroficos. . . . . . . . 192

12.3. Solucion con suavizado de Lax para una condicion inicial gaussiana. El algoritmo

es estable pero se observan claramente dos efectos indeseados: dispersion (en este

caso ensanchamiento de la onda) y atenuacion (perdida de amplitud). . . . . . . . 194

12.4. Propagacion del campo de ondas escalar en un medio homogeneo (condicion inicial).200

12.5. El campo de ondas luego de 300 iteraciones en tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . 201


B.1. Pila de capas isotropas con rigideces µ1 y µ2 alternadas . . . . . . . . . . . . . . . 219

B.2. Pila de capas isotropas. Planos z-y y x-y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

D.1. Campo de onda P − Sv evolucionando en tiempo, mostrando la interaccion con

una interfaz plana horizontal. Tomado de [20]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

D.2. Campo de onda P − Sv evolucionando en tiempo, mostrando la interaccion con

una interfaz plana inclinada (buzante). Tomado de [20]. . . . . . . . . . . . . . . . 237

Capıtulo 1

Introduccion

Pocas cosas escapan en la naturaleza al comportamiento ondulatorio. Casi todo termina, en

una escala o en otra, manifestando propiedades de onda. En un planeta donde existe atmosfera,

luz solar abundante, y predominan oceanos de agua lıquida, no resulta extrano que muchos

animales hayan evolucionado aprovechando las propiedades de las ondas, en particular las ondas

acusticas. Si Ud. es un cetaceo marino, utilizara ondas acusticas de aproximadamente 400Hz

para localizar a otros miembros de su grupo. Si Ud. es un murcielago, utilizara ondas acusticas

con frecuencias de aprox. 20KHz para localizar alguna vıctima apetecible y asi subsanar una

necesidad proteica basica. Si Ud. es un homo sapiens tiene varias opciones. En particular, si

Ud. es afecto a la geofısica, puede utilizar ondas acusticas de 10-100Hz para localizar recursos

minerales en el subsuelo.

La sısmica de reflexion utilizada por los geofısicos y la ecolocalizacion utilizada por el pequeno

murcielago comparten un principio elemental comun1: las ondas que rebotan en un objeto y

1Seamos justos: el murcielago ejecuta adicionalmente un procesamiento neural de la senal (y ademas en tiempo

12


regresan en forma de eco tienen informacion valiosa que es utilizable para (1) conocer ciertas

caracterısticas del medio en que se propagan la ondas y (2) conocer caracterısticas inherentes al

objeto mismo (posicion, velocidad, etc).

En la sısmica de reflexion basicamente se utiliza una fuente explosiva para excitar el subsuelo.

La senal generada viaja hacia abajo y genera reflexiones hacia arriba en cada interfaz que consigue

durante el viaje. Estas reflexiones llegan a la superficie y son captadas por arreglos de detectores

que son localizados adecuadamente alrededor del sitio de explosion. El procesamiento y posterior

analisis de estas senales suele producir una imagen muy parecida a la distribucion real de capas

que hay en el subsuelo en ese lugar. Esto permite iniciar entonces un proceso extractivo para

aprovechar los recursos (en particular petroleo) que estan encerrados bajo tierra.

El fenomeno ondulatorio, aparece asociado a un amplio espectro de teorıas fısicas, que incluyen

no solo a la mecanica de medios contınuos [1] [2] [3] y a la electrodinamica [4], sino tambien a la

mecanica cuantica y a las teorıas modernas de gravitacion.

Las ondas constituyen el elemento basico que nos provee de informacion a distancia, ası por

ejemplo, y al nivel mas elemental, la luz nos permite observar objetos mucho antes de que esten

al alcance del tacto; el sonido de varios relampagos consecutivos nos permite estimar si una

tormenta se acerca o se aleja de nosotros, finalmente, y a un nivel mucho mas elaborado, las di-

versas componentes del espectro electromagnetico emitidas por los objetos celestes nos proveen

de la informacion necesaria para entender algunos aspectos de la estructura del cosmos. Todos

estos ejemplos tienen en comun que la fuente de las ondas es natural. Sin embargo, con el paso

del tiempo, los seres humanos hemos desarrollado tecnologıas que nos permiten generar ondas

real !) que dejarıa palido al mejor de los geofısicos..


artificialmente para ponerlas a nuestro servicio. Ası por ejemplo, nuestros sistemas de telecomu-

nicaciones estan basados en la transmision y recepcion de ondas electromagneticas, mientras que

utilizamos ondas acusticas generadas artificialmente para observar el interior del cuerpo humano

sin invadirlo traumaticamente. Otra aplicacion importante de las ondas mecanicas, el estudio

del subsuelo para la busqueda de hidrocarburos [5], constituye el elemento general de interes de

estas notas.

Figura 1.1: Comportamiento Ondulatorio

1.1. Objetivo de estas Notas

El objetivo general de estas notas consiste en introducir al lector a los conceptos y tecnicas

matematicas adecuadas para la descripcion de algunos de estos fenomenos y de proveerle, tanto de

cierta intuicion sobre los mismos, como de algunas herramientas para estudiarlos preparandolo


para leer literatura mas avanzada. Las notas se centraran principalmente en el estudio de la

propagacion de ondas mecanicas (elasticas).

El objetivo especıfico del material que se presenta consiste en aproximar al lector a las aplica-

ciones relacionadas con la prospeccion de hidrocarburos. En particular a la modelacion tanto cin-

ematica como dinamica de la propagacion de ondas elasticas en medios de una gran generalidad,

con miras a las aplicaciones especıficas en los metodos sısmicos de exploracion multicomponente.

1.2. Sısmica de Reflexion

Con el nombre de sısmica de reflexion se conoce colectivamente a todo un conjunto de tecnicas

de exploracion geofısica cuyo objetivo consiste en obtener una imagen del subsuelo a partir de la

reflexion de ondas elasticas generadas artificialmente en (o cerca) de la superficie de la tierra [6][7].

Luego de un procesamiento adecuado de los datos obtenidos la imagen es interpretada en terminos

geologicos que permiten ubicar posibles trampas (tanto estructurales como estratigraficas) de

petroleo o gas . Idealmente el proceso de interpretacion se basa en la comparacion heurıstica

entre la imagen producida por el procesamiento de los datos obtenidos en campo y una imagen

producida sinteticamente, es decir, a traves de una simulacion a partir de un modelo geologico

cuya representacion matematica es en terminos de la mecanica de medios continuos.

La imagen sintetica debe calcularse como el resultado de la simulacion de la propagacion

de ondas elasticas a traves del modelo geologico, y es allı donde surge la necesidad de poseer

programas que permitan un modelado matematico lo mas cercano posible a la realidad. De

esta forma, un buen software de modelacion geofısica permite realizar mejores interpretaciones

geologicas, esto se refleja en la posibilidad de tener interpretaciones geologicas cada vez mas


precisas de los resultados de las mediciones geofısicas. En el caso de la exploracion, esto permite

una mejor identificacion de las zonas prospectivas, mientras que en la geofısica de detalle, tıpica

de los campos en produccion, la mejora conduce, casi con certeza, a un mejor aprovechamiento

de los recursos del yacimiento.

1.3. Ondas Elasticas, una Introduccion

La mecanica y la electrodinamica de medios contınuos estudian el comportamiento de la la

materia sin considerar su granularidad (estrucutra atomica). Esta aproximacion es valida siempre

que las condiciones experimentales no alcancen los lımites en que los efectos cuanticos hacen

su aparicion. Mas aun, para la modelacion de fenomenos ondulatorios la idea de granularidad

puede ser bastante mas macroscopica y depende crıticamente de la relacion entre el espectro de

longitudes de onda que se propagan y las dimensiones de los objetos explorados.

La dinamica de un medio continuo esta descrita por un conjunto de ecuaciones diferenciales no

lineales en derivadas parciales denominadas ecuaciones de Navier, estas ecuaciones representan

las ecuaciones de Newton para un contınuo y describen el movimiento relativo de los puntos del

medio provocado por los esfuerzos internos y las fuerzas de volumen aplicadas al mismo [1][2].

Desde el punto de vista matematico, las ecuaciones de Navier contienen demasiadas incognitas

lo que las hace insuficientes para describir al sistema, razon por la cual deben complementarse

con algun conjunto de relaciones empıricas entre los esfuerzos y el objeto cinematico que describe

al movimiento relativo de los puntos del medio (relaciones constitutivas) y ciertamente por las

ecuaciones que describen a la termodinamica del sistema [2] [8]. En general y aun cuando se

disponga de un conjunto de relaciones constitutivas las ecuaciones de Navier suelen mantener


su caracter de no linealidad por lo que son extraordinariamente complicadas y en general es

necesario recurrir a la busqueda de soluciones a traves de metodos numericos.

En las aplicaciones a la geofısica de exploracion, y debido a que las deformaciones son

pequenas, es posible utilizar un conjunto de relaciones constitutivas muy sencillas que consis-

ten en describir a los esfuerzos como proporcionales a las deformaciones (Ley de Hooke), de esta

forma el sistema de ecuaciones se linealiza y se hace factible estudiar analıticamente algunos casos

sencillos para obtener ideas generales acerca del comportamiento cualitativo de las soluciones.

Al utilizar la ley de Hooke para un medio homogeneo se hace evidente que las ecuaciones

de Navier linealizadas poseen soluciones ondulatorias sin perdidas. Si adicionalmente el medio

es isotropico, la teorıa predice la existencia de dos modos de propagacion independientes (ondas

P , S) correspondientes a ondas longitudinales y transversales [8]. Otros aspectos cualitativos

generales del comportamiento de las ondas elasticas , reflexion y refraccion en una interfase

plana y conversion entre los modos y fenomenos de multirrefringencia aparecen naturalmente en

las soluciones exactas de las ecuaciones de Navier en los medios anisotropos. Adicionalmente, el

lımite de altas frecuencias del modelo, completamente analogo a la optica geometrica, puede ser

estudiado por la ecuacion eikonal correspondiente.

Los fenomenos de perdida de energıa no pueden ser descritos por la ley de Hooke y es necesario

modificar las relaciones constitutivas para incorporarlos. En el caso de un medio viscoelastico

lineal, las relaciones constitutivas incluyen un termino que involucra la derivada temporal del

tensor de deformaciones.


1.4. Modelado de Ondas

En primera aproximacion la modelacion de fenomenos ondulatorios consiste en definir lo que

se denomina frentes de onda. Grosso modo, los frentes de onda representan las regiones del

espacio a las cuales una onda llega simultaneamente, ası por ejemplo, las ondas producidas por

una piedra al caer en el agua de un estanque llegan simultaneamente a cırculos cuyos radios son

iguales al producto de la velocidad de las ondas superficiales por el tiempo transcurrido desde

el momento en que la piedra cayo al agua. De esta forma, si se quiere modelar un fenomeno de

propagacion entre una fuente y un receptor, sencillamente debe calcularse el tiempo de viaje y

colocar alguna forma de onda en el receptor con el retardo calculado.

De acuerdo a estas ideas, el calculo de tiempos de viaje es un primer elemento fundamental

en la modelacion. Estos calculos se pueden llevar adelante en terminos de la aproximacion de

la optica geometrica (denominada teorıa de rayos), en este enfoque, sencillamente se estiman las

trayectorias de los rayos que unen fuentes y receptores (si las condiciones geometricas permiten su

existencia) y se calcula el tiempo de viaje a lo largo de los rayos. Para el calculo de las trayectorias

de los rayos es necesario resolver una ecuacion diferencial ordinaria de segundo orden que puede

atacarse con cualquiera de los metodos numericos adecuados a este fin (tıpicamente el metodo

de Runge-Kutta) [9]. El trazado de rayos constituye la herramienta fundamental de modelado de

la mayorıa de los programas comerciales dedicados a construir sismogramas sinteticos.

Tambien puede atacarse el problema del calculo de tiempos de viaje en terminos de la ecuacion

eikonal, esta es una ecuacion diferencial no lineal de primer orden en derivadas parciales que puede

resolverse con metodos de diferencias finitas. En el caso bidimensional, existen algoritmos suma-

mente rapidos que permiten la resolucion del problema en medios heterogeneos relativamente


suaves [10].

Sea cual sea la tecnica que se utilice, la modelacion basada en el calculo de los tiempos de

viaje no permite un calculo real de las amplitudes y mucho menos de los fenomenos de dispersion

que puedan ocurrir si el medio es complicado, de allı que al modelado basado en estos calculos

se le denomine modelado cinematico.

Si se quiere realizar una modelacion que incorpore la maxima realidad fısica contenida en la

mecanica de medios contınuos se hace necesario resolver directamente las ecuaciones de Navier,

como ya hemos adelantado, estas son ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de segun-

do orden, desde el punto de vista de su clasificacion, son ecuaciones de tipo hiperbolico que

pueden atacarse directamente con tecnicas de diferencias finitas [9]. En la practica este enfoque

es enormemente costoso desde el punto de vista de computacion, y de hecho, puede constituir

uno de los ejercicios de calculo numerico de exigencias mas intensivas que se conoce.

1.5. Organizacion

Los contenidos presentados en este curso son fruto de las notas de clase que han utilizado

los autores de manera total o parcial, en los siguientes cursos de la Univsersidad Simon Bolıvar:

Propagacion en Medios Anisotropos, Topicos Avanzados en Fısica I y II, Procesamiento Sısmico

Digital y Fısica V.

El libro esta concebido como un curso para estudiantes de pregrado avanzados y para es-

tudiantes de postgrado, aunque igualmente puede ser utilizado por personas que provienen de

disciplinas distintas a la geofısica de exploracion pero quieren iniciar investigacion en propagacion

de ondas con aplicaciones. El material es adaptable a diversos niveles. Para el lector no iniciado,


recomendamos su lectura desde el primer capıtulo, abordando cada tema de manera gradual. En

cambio, los temas presentados del capıtulo 5 en adelante suelen ser referencias recurrentes del

lector avanzado.

Algunos capıtulos, contienen ejercicios, problemas y proyectos. La resolucion de los problemas

deben considerarse como parte integral del curso. Nuestra metodologıa consiste en dictar tres

horas de clase semanales organizadas como sigue: dos horas de teorıa mas una hora de practica

en que los estudiantes discuten la resolucion de los problemas.

Este es un libro en construccion constante y dinamica, pensado para estar disponible de forma

gratuita a los lectores interesados por los medios mas accesibles, como Internet.

Una descripcion de la organizacion del curso es como sigue. El capıtulo 2 contiene una intro-

duccion al comportamiento de las ondas lineales cuyo nivel es adecuado para lectores con poca

o ninguna familiaridad con el tema.

El capıtulo 3 contiene conceptos un poco mas avanzados acerca de la ecuacion de ondas en

una dimension espacial y la estructura de sus soluciones generales, tema que se enfoca tanto en

el dominio espacio temporal como en el dominio del numero de onda y la frecuencia. El capıtulo

concluye con dos secciones. La primera de ellas debe entenderse como un problema-ejemplo

guiado y la ultima es una aplicacion directa a la geofısica de exploracion.

En el capıtulo 4 presentamos una discusion relativamente completa de un ejemplo fısico

explıcito: a saber, el de las vibraciones transversales de una cuerda. El objetivo principal de este

capıtulo consiste en introducir el tipo de ideas que al generalizarse a la elastodinamica, llevan a la

formulacion del problema de propagacion de ondas sısmicas y a cierta comprension del problema

de flujo de energıa.


La discusion del capıtulo 5 se centra en el problema de la propagacion de paquetes de onda,

lo que lleva naturalmente a introducir las ideas de velocidad de grupo y dispersion que aparecen

usualmente en el ruido sısmico denominado ground roll.

Los conceptos de rayos y frentes de onda son discutidos rigurosamente en el capıtulo 6, en

donde se muestra claramente que ambos conceptos estan relacionados a traves de la ecuacion

eikonal.

Como prerequisito para la lectura efectiva de estas notas se asume que el lector esta famil-

iarizado con

1. Los fenomenos de interferencia y difraccion.

2. La ecuacion escalar de ondas homogenea en 1,2 y 3 dimensiones

(∇2 − 1

c2

∂2

∂t2)Ψ(~x, t) = 0

y sus soluciones en terminos de ondas planas.

3. Las tecnicas del Analisis de Fourier.

Nota Importante Las notas incluyen algunos proyectos de programacion, para llevarlos a

cabo los autores recomendamos el uso del programa SCILAB1.

1SCILAB es un paquete de calculo numerico muy similar a MATLAB, pero a diferencia de este, es de dis-

tribucion gratuita lo que evita el problema de la pirateria. Existen versiones para MacIntosh, Windows 95, 98,

2000 y Solaris. El programa puede obtenerse libremente en la red en la direccion http://www-rocq.inria.fr/scilab,

donde tambien se consiguen un gran numero de aplicaciones especiales colocadas por contribuyentes

Capıtulo 2

¿Que es una onda?

El tıtulo de este capıtulo coincide con una de las preguntas que queremos responder en este

curso.

En un cierto caso especial puede decirse que:

Una onda es una senal reconocible que puede ser transferida de un lugar a otro

de un medio con una velocidad de propagacion reconocible.

G. B. Whithman [11]

Tambien podemos decir que una onda es una perturbacion que se propaga en el espacio y en

el tiempo manteniendo ciertas caracterısticas discernibles. En esta forma decir las cosas hay una

diferencia sustancial con el parrafo anterior: no estamos haciendo referencia a medio alguno, y

esto es vital ya que en el caso de las ondas electromagneticas no hace falta ningun medio para

la propagacion ya que las ondas electromagneticas se propagan en el vacio.

22


2.1. Definicion General del Problema de Propagacion

Como habıamos mencionado en la introduccion ,la descripcion de los procesos ondulatorios

en electrodinamica, ası como su descripcion en mecanica de medios contınuos, presenta ademas

de lsa particularidades propias de cada caso, abundantes y representativos elementos comunes.

Queremos presentar a continuacion una descripcion de los elementos esenciales que conforman

el problema general de propagacion (fig.2.1).

Dada una region (s) del espacio donde ocurre la propagacion, que puede o no estar ocupado

por un medio material contınuo 1, se define como objeto cinematico fundamental φ(~r, t) a la can-

tidad (escalar o vectorial) que describe matematicamente el comportamiento de una perturbacion

que viaja en (s). La cantidad φ(~r, t) constituye la funcion incognita en toda ecuacion de onda.

La solucion φ(~r, t) (∀~r y t > 0) describe pues explıcitmente la cantidad que se propaga en forma

de onda. La evolucion de φ(~r, t) en el dominio espacio-temporal describe la propagacion de la

perturbacion en la region s.

La especificacion analıtica del comportamiento de φ(~r, t) en t = 0 constituye las condiciones

iniciales del problema, y son suficientes para iniciar la propagacion de la perturbacion. El proble-

ma de propagacion para φ(~r, t) puede pues resolverse completamente aunque solo estan presentes

las condiciones iniciales como agente iniciador. Adicionalmente, una excitacion o fuente (f) puede

forzar condiciones extra en t ≥ 0 ademas de las impuestas por las C.I.

La especificacion de las condiciones fısicas en el lımite geometrico (borde o frontera) de la

region s constituye las condicione de borde (c.b).

1Hacemos la observacion dado que las ondas electromagneticas se propagan en el vacıo, que no es un medio

material contınuo.


Figura 2.1: Problema General de Propagacion

Hagamos algunas puntualizaciones importantes:

Hemos mencionado que la region s puede contener un medio material sobre el cual ocurre

la propagacion. Este puede ser un medio acustico (fluidos) o elastico, con sus respectivas

variantes dispersivas y/o disipativas (con perdidas). En cualquier caso, sus propiedades

estan descritas por tensores en terminos de los parametros constitutivos del medio.

En el dominio temporal, la excitacion o fuente puede ser aperiodica (pulso o shot) o periodi-

ca; en este ultimo caso, si ademas la dependencia es armonica, la ecuacion de onda es

resoluble por separacion de variables, dando a la parte temporal una solucion de la forma

eiwt, y a la parte espacial una solucion via la ecuacion de Helmholtz.

Llamamos objeto cinematico fundamental a la cantidad que aparece como funcion incognita

en la ecuacion de onda. La solucion pues describe explıcitmente la cantidad que se propaga

en forma de onda. Como ejemplos, podemos citar la i-esima componente del campo electrico,

que aparece como incognita en la ecuacion de onda electromagnetica y como tal se comporta

de forma ondulatoria


µε∂2Ei

∂t2= ∇2Ei

o tambien, en elastodinamica, la cantidad (∇× ~u) aparece en la ecuacion de onda-S, y es

por tanto el objeto cinematico fundamental de dicha ecuacion

ρ∂2(∇×~u)∂t2

= λ∇2(∇× ~u)

La forma de la ecuacion a resolver, y por ende la naturaleza de sus soluciones, depende de

los factores fısicos que se desee incorporar a la observacion. Hablamos entonces de ecuacion

de onda libre, ecuacion de onda con fuentes, ecuacion de onda en coordendadas esfericas,

ecuacion de onda en medio dispersivo, etc.

Finalmente, un elemento esencial a tener en cuenta es el enfoque, (scope) o rango de obser-

vacion del problema (O-), el cual dicta en buena medida las aproximaciones idoneas a realizar en

el analisis cuantitativo del mismo. Asi por ejemplo, una onda cuyo analisis cuantitativo predice

como esferica, puede ser tratada como onda plana si el analisis se hace suficientemente lejos de

la fuente. O una onda 3D puede ser resuelta en 1D o 2D si la fısica del problema permite una

tal simplificacion.

2.2. Ondas en una Dimension

Para acercarnos un poco a la intuicion2 consideremos un pulso que se propaga en una cuerda

(esta es una onda mecanica que se propaga en un medio). Durante su transito, el pulso transmite

2Por cierto, que una buena manera de mejorar la intuicion ondulatoria consiste en hacer experimentos con

ondas jugando con un slinky.


movimiento a todos los puntos de la cuerda. Ademas, si hacemos un experimento con cierto cuida-

do veremos que el pulso se propaga a lo largo de la cuerda con rapidez constante y practicamente

sin deformacion.

Tratemos de construir un modelo matematico para lo que estamos describiendo, coloquemos

un eje de coordenadas (que llamaremos x) a lo largo de la cuerda, y pensemos en enviar un

pulso de tal suerte que los puntos de la cuerda se mantengan siempre en el mismo plano (que

ciertamente contendra al eje x). En estas condiciones podemos escoger el eje y para que el plano

x− y coincida con el plano del movimiento de los puntos de la cuerda.

Notemos que podemos utilizar la coordenada x para hacer referencia (etiquetar) a los puntos

de la cuerda. En consecuencia la altura de un punto (P ) de la cuerda sera una funcion de xp (la

posicion del punto P ) y del tiempo esto es3 yP (t) = u(xP , t).

Consideremos ahora una funcion real de una variable real (f(s)), cuyo grafo coincida con

una imagen instantanea del pulso (digamos en t = 0), en ese caso, conocimientos elementales de

matematicas permiten afirmar que si el pulso viaja sin deformacion con una rapidez v a lo largo

de la cuerda la funcion u(x, t) tendra de la forma4

u(x, t) = f(x± v t) (2.0)

donde los signos + y − indican un movimiento del pulso a la izquierda o a la derecha respecti-

3una forma de entender esto es atraves de un proceso de lımites, podemos imaginar un sistema de N osciladores

acoplados cuyos movimientos estan limitados al plano x− y, a cada oscilador podemos asignarle una etiqueta de

manera que sus alturas en funcion del tiempo seran y1(t), y2(t), . . . , yN−1(t), y yN (t), si mantenemos la longitud

de la cadena de osciladores finita y hacemos que el numero de osciladores tienda a infinito las etiquetas deberan

ser sustituidas por el contınuo de manera que la lista yk(t), k = 1, 2, . . . , N se sustituira naturalmente por u(x, t)4a este tipo de ondas se les denomina ondas viajeras


vamente.

Un efecto fısico notable -que no siempre ocurre- se puede observar con onditas producidas

en la superficie de un charco tranquilo. Bajo ciertas condiciones cuando dos ondas se encuen-

tran interactuan produciendo una cresta mas alta o anulandose por completo, para luego seguir

propagandose tranquilamente con la misma forma que tenıan antes de interactuar. Este fenomeno

que no ocurre con todo tipo de ondas se denomina principio de superposicion. En este curso nos

limitaremos a estudiar en detalle las ondas que obedecen el principio de superposicion y las de-

nominaremos ondas lineales para diferenciarlas de otro tipo de ondas (las ondas de choque, por

ejemplo) para las cuales el principio de superposicion no se satisface.

Volvamos a poner atencion a la onda viajera dada por la formula (2.2). Supongamos que la

segunda derivada ordinaria de f(s) es g(s), es decir, d2f(s)ds2 = g(s). En ese caso, las segundas

derivadas parciales de u(x, t) estan dadas por

∂2 u(x, t)

∂ x2= g(x± v t) (2.1)

∂2 u(x, t)

∂ t2= v2 g(x± v t) (2.2)

de donde sigue que u(x, t) satisface la siguiente ecuacion diferencial en derivadas parciales de 20

orden5

∂2x u(x, t)− 1

v2∂2

t u(x, t) = 0 (2.2)

Que denominaremos ecuacion de ondas unidimensional sin fuentes, y que sera el punto inicial

de la modelacion de los fenomenos ondulatorios. En este punto vamos a introducir algo de

nomenclatura extra: el parametro v que aparece en la ecuacion de ondas se denomina velocidad

de fase.

5por simplicidad a veces usaremos la notacion ∂x = ∂∂ x , etc.


Una de las virtudes basicas de la ecuacion de ondas es que es lineal, lo que permite asegurar

que las ondas que satisfagan la ecuacion (2.2) satisfacen el principio de superposicion. En efecto,

supongamos que u1(x, t) y u2(x, t) sean soluciones de (2.2), y que α es un numero real entonces

∂2x [u1(x, t) + α u2(x, t)]− 1

v2∂2

t [u1(x, t) + α u2(x, t)] =

= ∂2x u1(x, t)− 1

v2∂2

t u1(x, t) + α

[∂2

x u2(x, t)− 1

v2∂2

t u(x, t)

]= 0 (2.2)

en otras palabras, u(x, t) = u1(x, t) + α u2(x, t) es una solucion de la ecuacion de ondas, lo que

corresponde sencillamente a la representacion matematica del principio de superposicion.

Una de las caracterısticas fundamentales de las ondas es que portan energıa, momentum, y

en algunos casos momentum angular.

2.3. Ondas Longitudinales y Transversales

Existen diversas clasificaciones (todas incompletas) para las ondas. En una de ellas hablamos

de ondas longitudinales y ondas transversales.

En las ondas longitudinales la perturbacin es paralela a la direccion de propagacion. Tal es el

caso por ejemplo de las ondas de presion en un fluido y de las ondas tipo P en un medio elstico.

En las ondas transversales la perturbacion es ortogonal a la direccion de propagacion. Tal es

el caso por ejemplo de las ondas electromagneticas y de las ondas S en un medio elastico.


Figura 2.2: La ecuacion de ondas c2∇2u−∂2t u = 0 predice la propagacion de pulsos como los que

se observan en una cuerda (en este caso una onda transversal). Los pulsos viajan sin deformacion

con velocidad c


Figura 2.3: Ondas longitudinales en un resorte

2.4. Ondas Armonicas

Existen una clase de soluciones muy particulares a la ecuacion de ondas que se conocen

colectivamente como ondas armonicas monocromaticas. Estas son soluciones de la ecuacion (2.2)

que pueden expresarse en una de las siguientes formas:

u(x, t) = Acos(k x− ω t + φ) (2.3)

u(x, t) = Asen(k x− ω t + φ) (2.4)

u(x, t) = <e[A ei(k x−ω t)] (2.5)

u(x, t) = Im[A ei(k x−ω t)] (2.6)

donde A, k y ω son constantes reales, y A = Aeiφ. Debido a la ecuacion de ondas, las constantes

k y ω denominadas numero de onda y frecuencia angular respectivamente no son independientes,

sino que estan relacionados por la velocidad de fase a traves de la relacion de dispersion

k2 =ω2

v(2.6)

o ω = v k. Es facil observar que el numero de onda y la frecuencia angular son cantidades

dimensionales cuyas dimensiones son de recıproco de longitud y tiempo−1 respectivamente. La

amplitud (A) es una cantidad cuya dimensionalidad depende del contexto; en el caso de las ondas


de campo electrico [A] = voltm

, mientras que en el caso de las ondas transversales en una cuerda

la amplitud tiene dimensiones de longitud.

El numero de onda y la frecuencia angular tienen una interpretacion interesante, la cantidad

λ ≡ 2π

k(2.6)

representa un perıodo espacial de las ondas armonicas como puede verse de la cadena de igual-

dades

cos[k(x + λ)± ω t + φ] = cos(kx± ω t + φ + 2π) = cos(kx± ω t + φ) (2.6)

es por esto que λ se denomina longitud de onda.

La frecuencia angular define el perıodo temporal (T ) de una onda armonica segun la identidad

T ≡ 2πω

.

Las ondas armonicas tienen una caracterıstica que las hace acreedoras a una atencion es-

pecial, en efecto, de acuerdo al teorema de Fourier, cualquier solucion a la ecuacion de ondas

unidimensional se puede expresar como superposicion de ondas armonicas de distinta amplitud

relativa. Puesto en forma matematicamente explıcita:

Teorema 1 Toda solucion de la ecuacion de ondas unidimensional puede escribirse como

u(x, t) =∑

ω

A(ω) ei(k(ω)−ω t) (2.6)

en donde, la suma es en las frecuencias, los numeros de onda asociados a cada frecuencia estan

dados por k(ω) = ωv

y la notacion A(ω) pretende destacar que las amplitudes de las ondas

armonicas cuya superposicion permite sintetizar u(x, t) son diferentes (y dependen de u(x, t)).


2.5. Ondas en dos y tres dimensiones

Los fenomenos ondulatorios lineales tambien pueden ocurrir en dos y tres dimensiones espa-

ciales. Como ejemplo bidimensional por excelencia podemos mencionar las ondas que se producen

en la superficie de un pozo, o las vibraciones del cuero de un tambor (ondas en membranas),

mientras que en tres dimensiones podemos mencionar las ondas acusticas (el sonido no es otra

cosa que la propagacion de ondas de presion en el aire).

Los modelos matematicos que describen estos fenomenos estan basados en las soluciones de

las ecuaciones de onda en dos y tres dimensiones (o como decimos los fısicos en 2 + 1 y 2 + 1

dimensiones, a saber

∂2x u(x, y; t) + ∂2

y u(x, y; t)− 1

v2∂2

t u(x, y; t) = 0 (2.6)

para el caso 2 + 1, y

∂2x u(x, y, z; t) + ∂2

y u(x, y, z; t) + ∂2z u(x, y, z; t)− 1

v2∂2

t u(x, y, z; t) = 0 (2.6)

para el caso 3 + 1. Definiendo el operador de Laplace

∇2 = ∂2x + ∂2

y + . . . (2.6)

es posible resumir las ecuaciones de onda en los casos d + 1 con solo poner

∇2 u(~x; t)− 1

v2u(~x; t) = 0 (2.6)

y especificando d = 1, 2 o 3.


2.5.1. Ondas Planas

De particular interes son las soluciones denominadas ondas planas. Estas se construyen como

generalizaciones de las ondas viajeras unidimensionales y requieren de un vector unitario n y de

una funcion real de variable real (f(s)) con segunda derivada contınua. Es facil ver que con estos

elementos, las funciones

u(~x; t) ≡ f(n.~x± v t) (2.6)

son ondas (es decir soluciones a las ecuaciones de onda en d = 1, 2 o 3) que se propagan paralela

o antiparalelamente al vector n segun sea el signo relativo que aparece en el argumento.

Las soluciones se denominan planas porque en el caso tridimensional para cada instante de

tiempo fijo (tomemos t0 como ejemplo), el lugar geometrico de los puntos de fase (i.e. argumento)

constante son los planos

n.~x = v t0 (2.6)

Estos planos de fase constante se denominan frentes de onda y evidentemente son ortogonales a

los vectores de propagacion n. Mas aun, es facil convencerse de que los frentes de onda viajan

con velocidad ± vn.

Es claro que la nocion de ondas planas se puede generalizar a las ondas armonicas monocromaticas.

Si tomamos la notacion de funciones complejas, podemos poner una onda armonica plana monocromatica

como

u(~x, t) = A ei(~k.~x− ω t) (2.6)

donde (como usted debera probar en los ejercicios) el vector de onda ~k esta relacionado con la


frecuencia angular por

|~k|2 =ω2

c2(2.6)

2.5.2. Ondas esfericas y objetos relacionados

Como usted debe haber aprendido en sus cursos de matematicas, cuando el operador de

Laplace o laplaciano ∇2 actua sobre funciones, su accion tiene la siguiente forma en coordenadas

cilındricas y esfericas

∇2Ψ(ρ, φ, z) =1

ρ∂ρ(ρ∂ρΨ) +

1

ρ2∂2

φΨ + ∂2zΨ coordenadas cilındricas (2.6)

y

∇2Ψ =1

r∂2

r (rΨ) +1

r2 senθ∂θ(senθ ∂θΨ) +

1

r2 sen2θ∂2

φΨ coordenadas esfericas. (2.6)

Evidentemente esto lleva a las formas correspondientes para la ecuacion de ondas. Para el nivel

matematico de este curso nos limitaremos al caso esfericamente simetrico, es decir a soluciones

de la ecuacion de ondas que solo dependen de la distancia radial (r) y el tiempo. En ese caso, la

ecuacion de ondas correspondiente se simplifica de manera notable reduciendose a

1

r∂2

r (r u(r, t))− 1

v2∂2

t u(r, t) = 0 (2.6)

que, como usted demostrara en la seccion de problemas, tiene la solucion general

u(r, t) =1

rf1(r + vt) +

1

rf2(r − vt) (2.6)

donde f1(s) y f2(s) son funciones reales de una variable real con segundas derivadas contınuas y

que carecen de cualquier otra caracterıstica especial.


Es claro que en el caso de las ondas esfericas los frentes de onda son esfericas (lo que coincide

con nuestra intuicion asociada a la experiencia de ver las ondas que se producen al lanzar una

piedra en un charco).

Una vez mas es posible encontrar el caso armonico monocormatico, que en notacion trigonometri-

ca sera

u(r, t) =A

rcos(kr − ωt + φ), con k2 =

ω2

v2(2.6)

Los temas que hemos mencionado en esta pequena resena acerca de las ondas seran profundizados

y complementados con otros a lo largo del curso.

Capıtulo 3

La Ecuacion de Ondas en 1+1

Dimensiones

En este capıtulo vamos a abordar algunos conceptos basicos relacionados con la propagacion

de ondas en una dimension. Antes de entrar de lleno en el tema debemos insistir, en que como se

dijo en la introduccion, el comportamiento ondulatorio es sumamente universal. Mientras ciertas

condiciones fısicas se satisfagan, la propagacion de un pulso de presion en una columna de gas

contenida en un tubo, las vibraciones de una cuerda en un instrumento como el violın o el piano,

las transmision de un impulso de torsion en una barra larga, la propagacion de senales de voltaje

en una lınea de transmision son ejemplos de fenomenos que -despreciando las perdidas de energıa-

son descritos adecuadamente por la ecuacion de ondas unidimensional sin fuentes o ecuacion de

ondas libre:

∂2φ(x, t)

∂2x− 1

c2

∂2φ(x, t)

∂2t= 0 (3.0)

36


En esta ecuacion, la incognita es la funcion φ(x, t) que representa la perturbacion1 y c es una

constante2 que, como veremos en la primera seccion de este capıtulo, representa la velocidad con

que las ondas (pulsos) se propagan a traves del sistema.

3.1. Introduccion a las EDP’s

Evidentemente, la variable independiente en la ecuacion (3) es una funcion de dos variables

que aparece en terminos de sus derivadas parciales. Las ecuaciones diferenciales de este tipo se

denominan ecuaciones diferenciales en derivadas parciales o EDP’s. El objetivo de esta seccion

consiste en introducir muy brevemente un cierto conjunto de EDP’s denominadas EDP’s de 2o

orden.

El interes en las EDCP’s de segundo orden consiste en que las ecuaciones de este tipo aparecen

generalmente ligadas a problemas de la fısica matematica que describen la distribucion espacial

o espacio temporal de alguna variable. Como ejemplos tıpicos podemos mencionar la ecuacion

para la propagacion del calor, la ecuacion de Laplace y ciertamente, la ecuacion de ondas, todos

fenomenos de evidente interes para la geofısica.

Definicion 1 Una EDP de 2o orden en 2 dimensiones es una ecuacion diferencial de la forma:

A(x, y)∂2u

∂x2+ 2B(x, y)

∂2u

∂x∂y+ C(x, y)

∂2u

∂y2=

= f(x, y; u(x, y),∂u(x, y)

∂x,∂u(x, y)

∂y) (3.0)

1presion, amplitud de un movimiento transversal, angulo de torsion o voltaje en nuestros ejemplos2la naturaleza de c esta asociada directamente con ciertas propiedades intrınsecas del sistema que estemos

estudiando


generalmente estas ecuaciones se plantean en alguna region finita (o infinita) del plano x − y

sobre cuyo borde se establecen condiciones de frontera para la funcion u(x, y). Si la funcion f

es lineal con respecto a u y sus derivadas3 el problema se denomina lineal, en caso contrario

cuasi-lineal.

Las EDP’s de 2o orden se clasifican en tres tipos asociados a los tres problemas basicos de la

fısica matematica clasica. La clasificacion es de acuerdo al signo del discriminante ∆ = B2−AC

y la presentamos en el cuadro (3.1).

Tipo de Ecuacion ∆ Prototipo Ejemplo Fisico

Hiperbolico > 0 ∂2u∂2x

− ∂2u∂2y

= 0 Ecuacion de Ondas

Parabolico = 0 ∂2u∂2x

− ∂u∂y

= 0 Ecuacion del Calor

Elıptico < 0 ∂2u∂2x

+ ∂2u∂2y

= 0 Ecuacion de Laplace

]

Cuadro 3.1: Clasificacion de las Ecuaciones de la Fısica Matematica Clasica.

Cabe destacar que los tres tipos de ecuaciones a que hemos hecho referencia aparecen en

problemas de geofısica. Las ecuaciones elıpticas (ecuaciones de Laplace y Poisson) describen los

campos gravitatorio y magnetico terrestres, y tambien tienen aplicacion en los metodos geoelectri-

cos de corfriente contınua. Las ecuaciones parabolicas permiten describir el flujo de calor en el

interior de la tierra. Y las ecuaciones de tipo hiperbolico aparecen en los problemas de sismologıa,

exploracion sısmica y electromagnetica por campos variables.

El interes de esta clasificacion esta relacionado con las propiedades generales de las solu-

ciones de las ecuaciones y con el tipo de problemas de borde que pueden plantearse para cada

3f = f0(x, y) + D(x, y)u(x, y) + F (x, y)∂u(x,y)∂x + G(x, y)∂u(x,y)

∂y


ecuacion ambos problemas de gran importancia que escapan del alcance de estas notas. Al lector

interesado en estos detalles se le recomienda consultar las referencias [12] y [13] que seguramente

encontrara de enorme utilidad.

3.2. El metodo de las caracterısticas

En el caso mas general posible en que los coeficientes A, B y C de la ecuacion (3.0) no son

constantes, la clasificacion de la ecuacion puede variar de una region a otra del plano. En esta

seccion nos restringiremos al caso sencillo en que A, B y C sean constantes, asumiremos ademas

que la ecuacion es homogenea (f = 0), con lo que el problema que nos ocupa es:

A∂2u

∂x2+ 2B

∂2u

∂x∂y+ C

∂2u

∂y2= 0 (3.0)

Queremos tratar de decir algunas cosas acerca de las propiedades de las soluciones de la ecuacion

(3.2), con este fin tomaremos el siguiente ansatz4

u(x, y) = f(p) con: p = ax + by (3.0)

en donde a y b son constantes. Sustituyendo nuestra “solucion”en (3.2) queda (ejercicio)

(Aa2 + 2Bab + Cb2)f ′′(p) = 0 (3.0)

donde: f ′′(p) = d2fdp2 .

Es evidente que la solucion no trivial mas general posible a la ecuacion (3.2) se obtiene

anulando la expresion bilineal en a y b, esto es, cuando a y b satisfacen la condicion

Aa2 + 2Bab + Cb2 = 0 (3.0)

4observese que ∂u∂x = af ′(p), ∂2u

∂x2 = a2f ′′(p), ∂u∂y = bf ′(p), ∂2u

∂y2 = b2f ′′(p), y ∂2u∂x∂y abf ′′(p)


cuya solucion es

b/a =[−B ±√B2 − AC]

C= λ1, λ2 (3.0)

si la ecuacion que estamos estudiando es de tipo hiperbolico se obtienen dos raices reales que

llevan a dos rectas (denominadas “caracterısticas de la ecuacion”)

p1 = x + λ1y y p2 = x + λ2y (3.0)

de esta manera, hemos obtenido dos soluciones

f1(x + λ1y) y f2(x + λ2y) (3.0)

ahora bien, la ecuacion (3.2) es lineal lo que obliga a superponer las dos soluciones recien obtenidas

para demostrar que la forma de la solucion mas general posible de una ecuacion hiperbolica a

coeficientes constantes es

u(x, y) = f1(p1) + f2(p2) = f1(x + λ1y) + f2(x + λ2y) (3.0)

Evidentemente la ecuacion de ondas (3) es hiperbolica y los valores de los coeficientes en este

caso son:

A = 1 B = 0 C = − 1

c2(3.0)

en consecuencia, al utilizar la formula (3.2) hemos probado que la forma general de la solucion

de la ecuacion de ondas es la siguiente

u(x, t) = f1(x + ct) + f2(x− ct) (3.0)

la interpretacion fısica de la formula (3.2) es sencilla (pero fundamental). Si pensamos que las

variables x y t representan posicion y tiempo, resulta facil darse cuenta de que la solucion (3.2)


a la ecuacion unidimensional de ondas representa la superposicion de dos pulsos de amplitud (de

formas f1 y f2) que viajan sin deformacion en los dos sentidos espaciales (±x) con velocidad c

(ejercicio: medite acerca de esta afirmacion, si es posible utilice algun recurso de computacion

para hacer una animacion).

Hay una forma -quiza mas intuitiva- de llegar al resultado (3.2) y que proviene de la simple

observacion de que el operador de D’Alembert:

∂2x −

1

c2∂2

t (3.0)

se puede factorizar en la forma5

∂2x −

1

c2∂2

t = ∂+∂−con: ∂± =1

2(∂x ± 1

c∂t) (3.0)

de esta manera la ecuacion de ondas se reescribe en la forma

∂+∂−u = 0 (3.0)

cuya solucion mas general es evidentemente de la forma (3.2).

3.3. Problema de Valores Iniciales y Solucion de Cauchy

En la seccion (3.1) comentamos que las soluciones a las PDE’s deben satisfacer algun tipo

de condicion en la region en que se han definido. Para la ecuacion de ondas el problema tıpico

es el problema de condiciones iniciales, en esta seccion mostraremos la solucion de D’Alembert

al problema de Cauchy (problema de condiciones iniciales) para la ecuacion de ondas libre en 1

dimension. El problema que nos interesa es el siguiente:

5que corresponde al cambio de variables: x± = x± ct


Definicion 2 El Problema de Cauchy para la ecuacion de ondas consiste en encontrar la solucion

a la ecuacion

(∂2

∂x2− 1

c2

∂2

∂t2)u(x, t) = 0 (3.0)

sometida a las siguientes condiciones iniciales:

u(x, 0) = φ(x) (3.0)

∂u(x, 0)

∂t= Ψ(x) (3.0)

Para tener una imagen fısica del problema imaginemos las vibraciones transversales de una

cuerda. En ese caso, y para cada punto x a lo largo de la cuerda, la funcion u(x, t) representa

la amplitud instantanea del movimiento de la cuerda en ese punto, mientras que la derivada

parcial ∂tu(x, t) representa la velocidad transversal del punto de la cuerda que esta localizado en

la coordenada x. De esta forma, las condiciones iniciales φ y Ψ representan la forma inicial y la

velocidad transversal6 de cada punto a lo largo de la cuerda.

Para resolver el problema de Cauchy, recordemos que la formula (3.2) representa la solucion

mas general posible de la ecuacion de ondas en 1 dimension, ahora bien, el problema de valores

iniciales requiere para su solucion la imposicion de las condiciones iniciales (2) y (2). Utilizando

la formula (3.2) para evaluar las condiciones iniciales se obtiene

φ(x) = u(x, 0) = f1(x + 0) + f2(x− 0) (3.0)

ψ(x) =∂u(x, 0)

∂t= cf ′1(x + 0)− cf ′2(x− 0) (3.0)

6que no debemos confundir con la velocidad de propagacion c


la ultima de estas dos condiciones puede integrarse y resulta

f1(x)− f2(x) =1

c

∫ x

x0

ψ(q)dq + K (3.0)

las ecuaciones (3.3) y (3.3) constituyen el siguiente sistema de ecuaciones que permite determinar

la funciones f1 y f2

f1(x) + f2(x) = φ(x) (3.0)

f1(x)− f2(x) =1

c

∫ x

x0

ψ(s)ds + K (3.0)

Las soluciones de este sistema de ecuaciones se encuentran de manera elemental, y podemos

escribir -luego de evaluar en las variables apropiadas-

f1(x + ct) =1

2φ(x + ct) +

1

2c

∫ x+ct

x0

ψ(s)ds +K

2(3.0)

f2(x− ct) =1

2φ(x− ct)− 1

2c

∫ x−ct

x0

ψ(s)ds− K

2(3.0)

sumando f1 y f2 resulta

u(x, t) =1

2φ(x + ct) +

1

2φ(x− ct) +

1

2c[

∫ x+ct

x0

ψ(s)ds−∫ x−ct

x0

ψ(s)ds] (3.0)

de donde, en definitiva, se obtiene la solucion de D’Alembert al problema de Cauchy para la

ecuacion de ondas

u(x, t) =1

2φ(x + ct) +

1

2φ(x− ct) +

1

2c

∫ x+ct

x−ct

Ψ(s)ds (3.0)

Para interpretar adecuadamente los terminos que aparecen en la solucion de D’Alembert es

conveniente pensar en el problema de oscilaciones transversales en una cuerda larga, de esta

forma, resulta evidente que los dos primeros sumandos corresponden a un par de ondas viajeras


(una a la izquierda y otra a la derecha) cuya amplitud es 1/2 de la forma inicial de la onda,

mientras que el termino integral corresponde al efecto que en la onda total tiene la velocidad

transversal inicial de los puntos de la cuerda.

Problema 1 ¿Cuales seran las condiciones iniciales que garantizan que una forma de onda dada

f(x) se propague solamente hacia la derecha?

3.4. El problema de Cauchy en dominio k − ω

En esta ultima seccion queremos retomar el estudio de la solucion del problema de Cauchy,

esta vez, en terminos de tecnicas de transformacion de Fourier7 (TDF)

Comenzaremos por tomar la TDF de la ecuacion de ondas sin fuentes

(∂2

∂x2− 1

c2

∂2

∂t2)ψ(x, t) = 0 (3.0)

para obtener el siguiente problema equivalente en la representacion frecuencia-numero de onda

o dominio k − ω

[k2 − (ω

c)2]ψ(k, ω) = 0 (3.0)

o

(k − ω

c)(k +

ω

c)ψ = 0 (3.0)

7Nuestras convenciones para las transformadas de Fourier directa e inversa son las siguientes:

Ψ(k,w) =12π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞ψ(x, t)e−i(kx−wt)dxdt y

ψ(x, t) =12π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞Ψ(k,w)ei(kx−wt)dkdw


La ecuacion (3.4) debe entenderse como una ecuacion distribucional, debido a lo cual, su

solucion mas general es de la forma

ψ(k, ω) = A+(k)δ(k +ω

c) + A−(k)δ(k − ω

c) (3.0)

de este resultado se deduce la forma mas general posible para las soluciones de la ecuacion (3.4)

ψ(x, t) =1

2π

∫ ∞

−∞[A+(k)δ(k +

ω

c) + A−(k)δ(k − ω

c)]ei(kx−ωt)dkdω (3.0)

podemos integrar esta expresion en ω para obtener

ψ(x, t) =1

2π

∫ ∞

−∞[A+(k)ei[kx+ckt] + A−(k)ei[kx−ckt]dk (3.0)

evidentemente esta formula se puede interpretar como la superposicion de ondas viajeras que se

propagan en las direcciones ±x. Para simplificar la notacion reescribiremos la formula anterior

en la siguiente forma mas compacta8

ψ(x, t) =1

2π

∫ ∞

−∞A(k)ei[kx−ω(k)t]dk (3.0)

En general la solucion que hemos encontrado es una funcion de valores complejos, sin embargo

estamos interesados en problemas de propagacion de ondas fısicas ası que solo deseamos soluciones

a la ecuacion de ondas que tomen valores reales (u(x, t)), estas soluciones pueden describirse en

terminos de la solucion general ψ(x, t) segun

u(x, t) =1

2(ψ(x, t) + ψ∗(x, t)), (3.0)

8una formula similar sera utilizada en el capıtulo 5 para describir ondas que se propagan en medios en los que

la relacion de dispersion ω = ω(k) no es trivial


esto es,

u(x, t) =1

2{ 1

2π

∫ ∞

−∞A(k)ei[kx−ω(k)t]dk +

∫ ∞

−∞A∗(k)e−i[kx−ω(k)t]dk}

=1

2{ 1

2π

∫ ∞

−∞[A(k)ei[kx−ω(k)t] + A∗(k)e−i[kx−ω(k)t]]dk} (3.0)

En este punto es conveniente introducir la siguiente notacion

〈f〉s =1√2π

∫ ∞

−∞f(s)ds (3.0)

que nos permitira no solo trabajar en forma mas compacta, sino manteniendo una clara vision

de la estructura general del analisis que estamos realizando. En terminos de la nueva notacion la

formula (3.0) para la soluciones reales de la ecuacion de ondas adopta la forma

u(x, t) =1

2√

2π〈A(k)ei(kx−ωt) + A∗(k)e−i(kx−ωt)〉k (3.0)

Ahora utilizaremos esta forma de u(x, t) para evaluar las condiciones iniciales (2) y (2). Comen-

zaremos por evaluar la formula (3.4) en t = 0 para obtener

u(x, 0) =1

2√

2π〈Aeikx + A∗e−ikx〉k (3.0)

por otra parte, la evaluacion de la velocidad inicial requiere de una expresion para ∂∂t

u(x, t) que

se puede encontrar usando tecnicas estandar9 , el resultado de evaluar la velocidad en t = 0 es

el siguiente

∂

∂tu(x, 0) =

−i

2〈Aweikx − A∗we−ikx〉k (3.1)

9

∂

∂tψ(x, t) =

12{ 12π

∫dk[A(k)(−iω(k))ei(kx−ωt) + A∗(k)(iω(k))e−i(kx−ωt)]} (3.1)


El uso de estas tecnicas nos ha llevado a poder construir el siguiente sistema de ecuaciones para

la amplitud de Fourier A(k)

φ(x) =1

2〈A(k)eikx + A∗(k)e−ikx〉k (3.1)

Ψ =−i

2〈A(k)ω(k)eikx − A∗(k)ω(k)e−ikx〉k (3.1)

Para resolver este sistema comencemos por multiplicar ambos lados de las ecuaciones (3.4) y

(3.4) por el kernel

1√2π

e−iqx

integrando en x obtenemos

〈φ(x)e−iqx〉x = 12〈A(k)eix(k−q) + A∗(k)e−ix(k+q)〉k,x (3.2)

〈V (x)e−iqx〉x = −i2〈A(k)w(k)eix(k−q) − A∗(k)w(k)e−ix(k+q)〉k,x (3.3)

igualdades que al utilizar la relacion de completitud

2πδ(x− x′) =

∫ +∞

−∞dξei(x−x′)ξ (3.3)

implican

Φ(q) =1

2〈A(k)δ(k − q) + A∗(k)δ(k + q)〉k (3.3)

un resultado analogo para V nos permite escribir el siguiente sistema de ecuaciones algebraicas

Φ(q) = 12[A(q) + A∗(−q)] (3.4)

V (q) = −i2

[A(q)ω(q)− A∗(−q)ω(−q)] (3.5)


que a menos e un detalle permite el calculo de la amplitud A(k), el detalle se puede resolver

observando que los mınimos requisitos fısicos de propagacion en uno u otro sentido obligan a la

condicion de simetrıa: ω(q)=ω(-q), lo que convierte a la ultima de las dos ecuaciones del sistema

en

V (q) =−i

2ω(q)[A(q)− A∗(−q)] (3.5)

El calculo de A(k) ahora es trivial, resultando que la amplitud de Fourier de la onda esta dada

por

A(q) = Φ(q) + iV (q)

ω(q)(3.5)

Es instructivo detenerse a examinar el significado de la amplitud (3.4), en primer lugar resulta

claro que si la velocidad inicial (∂tu(x, 0)) es nula, la amplitud A(k) contiene la informacion

acerca de la forma inicial de la onda (que permanecera constante durante la propagacion). Por

otra parte, si la velocidad inicial no es nula el factor iω

en la expresion para la A(k) debe entenderse

como un filtro integrador que corresponde al termino

∫ x+ct

x−ct

Ψ(ξ)dξ

en la formula (3.3).

Como hemos visto, la argumentacion que nos ha llevado a la expresion (3.4) para la am-

plitud de Fourier de una onda que se propaga en una dimension ha sido totalmente riguroso.

El argumento intuitivo estandar para la construccion de la amplitud A(k) consiste en construir

soluciones armonicas monocromaticas a la ecuacion de ondas, esto es, en proponer soluciones de

la forma

eikx−ωt


que luego de sustituirse en la ecuacion de ondas llevan a las relaciones de dispersion k2 = ω2/c2;

finalmente se recurre a la linealidad de la ecuacion de ondas para obtener la solucion general

(3.0) por superposicion de modos armonicos y a partir de ese punto el argumento es identico al

que se ha presentado aca.

Figura 3.1: Una forma de onda representada en los dominios de numero de onda (k) y de posicion

(x), observense los anchos de banda

Para concluir el capıtulo queremos insistir de nuevo en el significado fısico de la amplitud

A(k), si la forma inicial de la onda u(x, 0) es una onda armonica monocromatica con numero de


onda k0 y si la velocidad inicial es nula, resulta evidente que la amplitud tendra la forma A(k) =

(2π)1/2δ(k − k0) lo que lleva a que la onda viajera tenga la forma u(x, t) ∼ cos (kox− iωt + φ0).

Si por otra parte forma inicial de u(x, t) que se propagara posteriormente sin deformacion ocupa

una region espacial finita de longitud aproximada ∆x entonces la amplitud A(k) tendra un ancho

de banda limitado ∆k centrado alrededor de un numero de onda ko.

3.5. Reflexion entre dos medios

Habiendo estudiado el problema mas elemental posible de propagacion de ondas (la propa-

gacion unidimensional en un medio homogeneo) es conveniente complicar un poco las cosas descri-

biendo algun fenomeno mas complejo. Con este fin, consideraremos las oscilaciones transversales

de dos cuerdas tensas unidas firmemente en un punto.

Comencemos por decir que la propagacion de un pulso transversal en una cuerda de densidad

de masa uiforme µ sometida a una tension constante T esta descrita por la ecuacion (ejercicio10)

∂2xu−

T

µ∂2

t u = 0 (3.5)

de acuerdo a esto, si dos cuerdas de diferentes densidades se unen firmemente en x = 0, los

pulsos en ambas cuerdas estaran descritos por ecuaciones del mismo tipo pero cambiando la

densidad segun la region que se este describiendo. Adicionalmente, la continuidad del sistema y

de la tension en el punto de contacto obligaran a imponer las condiciones de borde (ejercicio:

10AYUDA: para probar esto basta con utilizar la 2a leyes de Newton y la aproximacion de pequenas oscilaciones


¿por que?, explique)

lımx→0−

u(x, t) = lımx→0+

u(x, t) (3.6)

lımx→0−

∂xu(x, t) = lımx→0+

∂xu(x, t) (3.7)

nuestro objetivo consiste en inquirir acerca del problema de reflexion y transmision en la interfaz.

Para simplificar el analisis supondremos que ambas cuerdas son semiinfinitas, y consideraremos

adicionalmente la incidencia de una onda armonica plana monocromatica que viene de x = −∞(es decir: ψI(x, t) = AIe

i(kx−ωt)). Es claro que un buen anzats para la solucion ψ(x, t) es el

siguiente

ψ(x, t) =

AIei(kx−ωt) + ARei(kx+ωt) x < 0

AT ei(kx−ωt) x > 0

(3.7)

donde AI , AR y AT son las amplitudes incidente, reflejada y transmitida. Al expresar AR y AT

en terminos de AI se obtiene (ejercicio)

AR =z2 − z1

z1 + z2

AI y, (3.8)

AT =2z2

z1 + z2

AI (3.9)

donde las cantidades zi -denominadas impedancias acusticas-, solo dependen de T y µi (ejercicio:

encuentre una expresion para las cantidades z1 y z2 en terminos de las densidades y la tension ).

Si definimos los coeficientes de reflexion y transmision como R = AR/AI y T = 1−R se obtiene

(ejercicio)

R =z2 − z1

z1 + z2

y, (3.10)

T =2z1

z1 + z2

(3.11)


Estas dos cantidades contienen toda la informacion fısica de interes para el fenomeno de reflexion

y transmision que estamos estudiando. En efecto, las formulas AR = RAI y AT = TAI nos mues-

tran que las formas amplitudes de onda reflejada y transmitida corresponden a un reescalamiento

de la amplitud incidente.

La onda transmitida siempre tiene el mismo signo que la onda incidente. Por otra parte, el

signo relativo (o diferencia de fase) entre las amplitudes reflejada e incidente depende fuertemente

de las caracterısticas acusticas de ambos medios. En el lımite en que ambas impedancias acusticas

son muy parecidas casi no hay onda reflejada.

3.6. Una aplicacion geofısica:

Sismogramas Sinteticos

Los resultados de este capıtulo encuentran aplicacion inmediata en exploracion sısmica11.

Si consideramos un modelo geologico constituido por estratos horizontales homogeneos y on-

das que inciden perpendicularmente a las interfaces entre dichos estratos (incidencia normal) es

posible dar una descripcion muy simplificada de las ondas reflejadas por las interfaces (reflec-

tores sısmicos) en terminos de coeficientes de reflexion y transmision. En efecto, de acuerdo a

nuestro modelo simplificado, cada capa es homogenea y la propagacion de ondas es vertical (uni-

dimensional), en consecuencia, en cada capa las ondas acusticas deben obedecer a la ecuacion

11En la sısmica de reflexion de ondas P la tierra se modela como un medio acustico de manera que las cantidades

fısicas de interes son la velocidad de propagacion de las ondas P (v) y la densidad de las rocas (ρ) y las impedancias

acusticas se calculan como: z = ρ× v


∂2zu− ∂2

t u

c2i= 0, donde ci es la velocidad de propagacion en cada capa y z la profundidad.

De acuerdo al modelo que estamos utilizando, en cada capa las ondas se propagan sin defor-

macion, y en cada interface generan una onda reflejada primaria (ψ(i)R ) y una onda transmitida

ψiT cuyas amplitudes se calculan como el producto de la amplitud incidente por el coeficiente de

reflexion o transmision correspondiente.

Desde el punto de vista practico los coeficientes de transmision son muy cercanos a 1, de

manera que si se desprecian las perdidas por transmision, las amplitudes primarias reflejadas en

la i-esima capa se estiman por la formula:

ψ(i)R ≈ RiψS, con: R =

zi+1 − zi

zi + zi+1

(3.11)

donde ψS es la forma de onda introducida en la superficie. De acuerdo con esto, en un modelo

de N interfaces excitado en la superficie es ψS(t), las senales reflejadas normalmente por las

interfaces son detectadas en los geofonos como:

ψR(t) =N∑

i=1

R(i)ψS(t− Ti) (3.11)

donde Ti es el retardo asociado al tiempo de viaje de ida y vuelta entre la superficie y cada

reflector. De esta manera, si construimos la distribucion auxiliar (denominada serie de reflectivi-

dades):

R(t) =N∑

i=1

R(i)δ(t− Ti) (3.11)

podemos reescribir

ψR(t) = R(t) ∗ ψS(t) (3.11)

y esto es lo que se conoce como modelo convolucional de la traza sısmica.


En el caso de una zona de interes en que los reflectores sean bastante horizontales, la siguiente

modificacion de la formula (3.6)

ψR(t) = R(t) ∗ ψS(t) + n(t) (3.11)

donde n(t) es una funcion que pretende simular el ruido en la senal (ruido aleatorio) permite

llevar a cabo un modelado sencillo relativamente realista de las trazas que se obtendrıan con

sısmica de superficie.

Esta seccion dista bastante de ser solamente un ejercicio teorico, en la tecnicaa interpretativa

de amarre a los datos de pozo, la serie de reflectividades que aparece en la formula (3.6) se con-

struye con datos de registros de pozo (tıpicamente datos de densidad y sonicos) y los sismogramas

sinteticos se comparan con la sısmica de superficie.

Capıtulo 4

La cuerda vibrante

4.1. La cuerda tensa y la ecuacion de ondas

En este capıtulo vamos a deducir que la descripcion dinamica de las oscilaciones transversales

de una cuerda esta dada efectivamente por la ecuacion de ondas unidimensional.

Comencemos por considerar la dinamica de un pequeno trozo de cuerda cuyos extremos estan

en los puntos x− dx2

y x + dx2

. En ausencia de gravedad y considerando que las oscilaciones son

solo en la direccion y (de manera que la velocidad del trocito de cuerda es simplemente ∂t u(x, t),

podemos escribir la ecuacion de movimiento para la cuerda (segunda ley de Newton) como

~T (x− dx

2) + ~T (x +

dx

2) = µ∂2

t u(x, t) (4.0)

donde ~T (x− dx2

) y ~T (x + dx2

) son las fuerzas que actuan en cada extremo de la cuerda.

55


Figura 4.1: Cuerda elastica ideal.

La forma escalar de esta ecuacion vectorial es el sistema de ecuaciones

Tx(x− dx

2) + Tx(x +

dx

2) = 0 (4.1)

Ty(x− dx

2) + Ty(x +

dx

2) = µ ∂2

t u(x, t) (4.2)

donde Tx y Ty son las componentes horizontal y vertical de la tension. Ahora bien, llamemos

α(x) al angulo que forman la cuerda y el eje x en el punto x, ası que Tx = |~T | cosα(x) and

Ty = |~T (x) senα(x)

La primera hipotesis que haremos sera considerar que la cuerda no ejerce resistencia a la

flexion. Como consecuencia de esta hipotesis, las tensiones son tangentes a la cuerda en cada

punto, de acuerdo a esto tanα(x) = ∂x u(x, t). La segunda hipotesis consistira en considerar un

regiman de oscilaciones pequenas (esto es, que la amplitud de la oscilacion en cualquier instante

y punto de la cuerda -u(x, t)- satisface la condicion u(x, t) << L donde L es la longitud de la

cuerda.

De acuerdo a las hipotesis que estamos haciendo, los angulos tambien son chicos, y por lo


tanto cosα(x) ≈ 1, y senα(x) = senα(x + dx) ≈ tanα(x) = ∂xu(x, t). De aca sigue que

|~T (x +dx

2)| − |~T |(x− dx

2) ≈ 0 (4.3)

lo que implica (en esta aproximacion) que la magnitud de la tension es constante (|~T (x)| = T ),

por otra parte,

Ty(x− dx

2) + Ty(x +

dx

2) = T

[∂xu(x +

dx

2)− ∂xu(x− dx

2)

], (4.4)

ahora bien,

∂xu(x +dx

2)− Tx(x− dx

2) = (∂xu(x, t) + ∂2

xu(x, t)dx

2+ . . . )−

−(∂xu(x, t) + ∂2xu(x, t)

−dx

2+ . . . ) (4.4)

y de allı sigue que

T

[∂xu(x +

dx

2)− Tx(x− dx

2)

]≈ T∂2

xu(x, t) dx (4.5)

Sustituyendo este resultado en la ecuacion para la aceleracion vertical del elemento de cuerda

resulta

∂2x u(x, t)− µ

T∂2

t u(x, t) = 0 (4.5)

que no es otra cosa que la ecuacion de ondas unidimensional con velocidad de fase v =√

Tµ


4.2. Consideraciones Energeticas

4.2.1. Flujo de Energıa en Forma Diferencial

Consideremos la tasa de cambio en la energıa cinetica de un pequeno trozo de cuerda cuyos

extremos estan identificados por las coordenadas x y x + dx

dK

dt=

dW

dt, (4.5)

donde dWdt

es la potencia1 que desarrollan las fuerzas que actuan sobre el pequeno trozo de cuerda,

es decir

dW

dt= (~T (x + dx) + ~T (x)).~v. (4.5)

Como ya hemos discutido, la velocidad instantanea (~v) con que se desplaza el trozo de cuerda

cuando a traves de este viaja una onda transversal (cuyo movimiento es solo en la direccion del

vector y = ) esta dada por ~v = ∂tu(x, t) j. Sustituyendo de vuelta en la igualdad (4.2.1) queda

dW

dt= [Ty(x + dx) + Ty(x)] ∂tu(x, t). (4.5)

Ahora bien, la componente vertical de la tension no es otra cosa que Ty(x) = T∂xu(x, t) de

manera que2,

dW

dt= T [∂xu(x + dx)− ∂xu(x, t)]∂tu(x, t) = T∂2

xu(x, t)∂tu(x, t)dx + O(dx2), (4.5)

1recuerde que la potencia instantanea desarrollada por una fuerza (~F ) que actua sobre una partıcula que en

un cierto instante t se mueve con velocidad ~v es P (t) = ~F .~v2es necesario que insistamos en notar que el producto T∂xu(x, t) ∂tu(x, t) es la potencia desarrollada por la

tension que actua en el punto x


ası, que en resumen, y despreciando los infinitesimos de orden superior al primero, la rata de

cambio de la energıa cinetica del pequeno trozo de cuerda se puede poner como

dK

dt= T∂2

xu(x, t)∂tu(x, t) dx. (4.5)

Por otra parte, la expresion ∂2xu(x, t)∂tu(x, t) que aparece en el miembro derecho de esta

ultima igualdad puede reescribirse como3

∂2xu(x, t)∂tu(x, t) = ∂x [∂xu(x, t)∂tu(x, t)]− ∂xu(x, t)∂2

xtu(x, t), (4.5)

adicionalmente, es facil darse cuenta de que

∂xu(x, t)∂2xtu(x, t) = ∂t[

1

2(∂xu(x, t)2] (4.5)

de manera que

∂2xu(x, t)∂tu(x, t) = ∂x [∂xu(x, t)∂tu(x, t)]− ∂t[

1

2(∂xu(x, t)2] (4.5)

reinsertando este resultado en la identidad (4.2.1), y utilizando el hecho de que T =constante

obtenemos el siguiente resultado parcial

dK

dt=

{∂x [T∂xu(x, t)∂tu(x, t)]− ∂t[

T

2(∂xu(x, t)2]

}dx. (4.5)

Observando que la energıa cinetica del trozo de cuerda esta dada por

K =µ

2(∂tu(x, t))2 dx (4.5)

es posible reescribir la igualdad (4.2.1) en la forma

∂t

[µ

2(∂tu(x, t))2 +

T

2(∂xu(x, t)2

]dx = ∂x [T∂xu(x, t)∂tu(x, t)] dx. (4.5)

3observe que esto no es mas que el truco para hacer una integracion “por partes”: v du = d(vu)− dv u


es decir:

∂t

[µ

2(∂tu(x, t))2 +

T

2(∂xu(x, t)2

]= ∂x [T∂xu(x, t)∂tu(x, t)] . (4.5)

4.2.2. Energıa potencial Elastica de la Cuerda

En este punto debemos detenernos a pensar en el significado de la cantidad T2(∂xu(x, t)2 que

aparece en el lado izquierdo de la igualdad (4.2.1). Para ello consideremos la cuerda en reposo,

en cuyo caso la longitud del trozo que estamos considerando es dl = dx. Durante el movimiento

de la cuerda la longitud del mismo trozo de cuerda resulta ser:

dl′=

√dx2 + dy2 =

√1 + (

dy

dx)2 dx (4.5)

pero, el cociente diferencial dydx

no es otra cosa que ∂xu de manera que

dl′=

√1 + (∂xu)2 dx ≈

[1 +

1

2(∂xu)2

]dx (4.5)

de acuerdo a esto, la longitud del elemento de cuerda cambia en la cantidad ds = dl′ − dx =

12(∂xu)2 dx. El producto de la tension T por esta cantidad, no es otra cosa que el trabajo realizado

para cambiar la longitud de la cuerda, es decir, la energıa potencial elastica.

4.2.3. Flujo de Energıa en Forma Integral

Si pensamos ahora en un trozo de cuerda cuyos extremos esten indexados por las coordenadas

x1 y x2 (x1 < x2), podemos integrar en dx para obtener

dE(x1, x2; t)

dt=

∫ x2

x1

dx ∂x[∂xu ∂tu] (4.5)


donde hemos definido la tasa de cambio en la energıa de la cuerda (la potencia) como:

dE(x1, x2; t)

dt≡

∫ x2

x1

dx ∂t

[1

2µ (∂tu)2 +

1

2T (∂xu)2)

](4.5)

podemos integrar esta expresion en el tiempo (entre un instante arbitrario y el instante t) para

obtener la energıa de la cuerda al instante t4

E(x1, x2; t) =

∫ x2

x1

dx

[1

2µ (∂tu)2 +

1

2T (∂xu)2)

](4.5)

si observamos la dimensionalidad de los objetos que aparecen en esta igualdad resulta evidente

que las cantidades

uc ≡ 1

2µ (∂tu)2 (4.6)

ue ≡ 1

2T (∂xu)2 (4.7)

tienen unidades de energıa por unidad de longitud ( energialongitud

) de manera que son densidades de

energıa. Lo que nos permite reescribir la energıa en la siguiente forma5

E(x1, x2; t) =

∫ x2

x1

dx (uc + ue) (4.7)

Aca resulta claro que cada trozo de cuerda “almacena”energıa en forma de energıa cinetica y

potencial

Volviendo nuestra atencion a la expresion (4.2.3 para la tasa de cambio de la energıa alma-

cenada en la cuerda, podemos integrar el extremo derecho para obtener

dE(x1, x2; t)

dt= T∂xu(x2, t)∂tu(x2, t)− T∂xu(x1, t)∂tu(x1, t) (4.7)

4Aca aparece una constante aditiva que no tomamos en cuenta porque corresponde a la escogencia libre de un

valor de base para la energıa potencial elastica5que compararemos mas adelante con un resultado analogo para el campo electromagnetico


El significado de esta ecuacion deberıa ser claro:

Teorema 2 La tasa de cambio en la energıa almacenada en un trozo de cuerda es igual a la

potencia que se entrega en los extremos del trozo de cuerda.

En este punto, y para prepararnos para cuando discutamos la teorıa electromagnetica defi-

namos el vector

~S(x, t) ≡ − T∂xu(x, t)∂tu(x, t) i (4.7)

y los vectores que definen las normales exteriores a los lımites x1 y x2 de la region de interes:

n1 = −ı y n2 = i. En terminos de estos vectores, podemos reexpresar la formula (4.2.3) como

dE(x1, x2; t)

dt= −(~S(x2, t).n2 + ~S(x1, t).n1) (4.7)

Aca bien vale la pena que nos entretengamos en un par de ejemplos explıcito.

Ejemplo 1 Consideremos una onda que viaja hacia la derecha u(x, t) = f(x− vt), y calculemos

el vector ~S en este caso. Es claro que si f′′(x) = g(x)

~S(x, t) = vT g(x− vt) g(x− vt)ı (4.7)

la forma de la dependencia espacio temporal de ~S, nos indica que ~S se comporta como una onda

viajera que se propaga con la velocidad de fase v.

Es claro que aun tenemos una pregunta basica, ¿que es ~S?. Para contestar esta pregunta seamos

aun mas explıcitos.


Ejemplo 2 Consideremos una onda armonica monocromatica, u(x, t) = Acos(kx − ω t). En

este caso, el vector ~S esta dado por

~S = A2k(−ω) T cos2(kx− ω t) (−ı) = A2 v T cos2(kx− ω t) ı (4.7)

y el promedio de ~S en un perıodo temporal (calT = 2πω

completo es

< ~S >=1

T∫ t+T

t

dtA2 v T cos2(kx− ω t) ı =v T

2A2 i (4.7)

Estos ejemplos nos ensena dos cosas, la onda porta energıa hacia la derecha, mas aun, el vector

~S no es otra cosa que una medida de la potencia instantanea que la onda entrega en cada punto

de la cuerda.

En el caso particular del segundo ejemplo, la potencia media que la onda entrega en un

punto arbitrario de la cuerda (< ~S(x, t) >) es proporcional al cuadrado de la amplitud, esto

es caracterıstico de las ondas lineales e induce la introduccion de una cantidad denominada

intensidad, que en el caso de las ondas que se propagan en el espacio es la potencia instantanea

que la onda deposita en un area unitaria ortogonal al vector que describe la propagacion de la

energıa.

4.2.4. La Ecuacion de Continuidad

Resumiendo haste este aca, hemos aprendido que la ecuacion para el flujo de energıa en un

punto de la cuerda puede ponerse en la forma

∂t ρ(x, t) + ∂x Sx(x, t) = 0 (4.7)


en donde la densidad de energıa ρ esta dada por

ρ(x, t) = uc(x, t) + ue(x, t) (4.7)

Es importante que en este momento desviemos completamente nuestra atencion y pensemos

en otro problema fısico. Consideremos un objeto de volumen V que pretendemos cargar electri-

camente con una corriente I, ciertamente, la relacion entre la carga del objeto y la corriente

es

dQ

dt= I, (4.7)

ahora bien, la carga total del objeto es evidentemente:

Q =

∫

V

dv ρ (4.7)

donde ρ es la densidad volumetrica con que la carga electrica se distribuye en el objeto, mientras

que la corriente que penetra al objeto es I = − ∮S

~J.n ds donde ~J es el vector de densidad

de corriente electrica por unidad de area, y S la superficie cerrada que define al objeto. De

estamanera, la igualdad (4.2.4) que representa nada mas y nada menos que la ley de conservacion

de la carga puede reexpresarse en la forma

∫

V

dv ∂tρ +

∮

S

~J.n ds = 0 (4.7)

usando el teoremade la divergencia, esta igualdad puede escribirse como

∫

V

dv [∂tρ + ~∇. ~J ] = 0 (4.7)

que por ser una identidad valida para cualquier volumen implica a su vez que -expresando ~∇. ~J

en forma desarrollada

∂tρ + ∂xJx + ∂yJy + ∂zJz = 0 (4.7)


que es entonces la forma diferencial de la ley de conservacion de la carga para una distribucion

contınuade carga electrica que es transportada por el vector ~J .

Las ecuaciones del tipo

∂tφ + ~∇.~V = 0 (4.7)

en donde φ es la densidad volumetrica asociada a alguna cantidad fısica y ~V un vector que

transporta dicha cantidad se conocen como ecuaciones de continuidad y expresan la conservacion

de la cantidad fısica. Ası, por ejemplo, un fluido de densidad ρ que es transportado a velocidad

~v tiene un vector de densidad de corriente dado sencillamente por ~J = ρ~v (note que las unidades

de ~J son gr/(cm2 × seg)), de manera que la conservacion de la cantidad de fluido se expresa en

forma diferencial como

∂tρ + ~∇.(ρ~v) = 0 (4.7)

Esta disgresion nos muestra claramente, que la igualdad (4.2.4 con que empezamos esta

seccion no es otra cosa que la ley de conservacion de la energıa expresada como una ecuacion de

continuidad para la densidad de energıa en la cuerda y el vector ~S de transporte de potencia.

4.3. La cuerda con extremos fijos

En esta seccion queremos discutir las oscilaciones transversales de una cuerda tensa cuyos

extremos localizados en x = 0 y x = L estan fijos, esto es, que los valores de u(x, t) deben

satisfacer las condiciones de frontera

u(0, t) = 0 (4.8)

u(L, t) = 0 (4.9)


La solucion de D’Alambert es particularmente adecuada para problemas en que la longitud

del intervalo es muy larga y el movimiento de la cuerda hacia los extremos es nulo. Para resolver

el problema particular que nos interesa en esta seccion la solucion de D’Alambert presenta ciertos

inconvenientes tecnicos y resulta mejor buscar la solucion del problema de valores inciales.

4.3.1. Problemas de contorno y series de Fourier

Para resolver el problema de la cuerda vibrante con extremos fijos (y otros parecidos) se

utiliza una tecnica conocida como separacion de variables, que consiste en proponer el siguiente

anzats6 para resolver la ecuacion de ondas unidimensional.

u(x, t) = X(x)T (t), (4.9)

al sustituir esta funcion en la ecuacion de ondas se obtiene

X ′′T − 1

v2XT = 0 (4.9)

donde ahora las derivadas no son parciales sino ordinarias (′ = ddx

, ˙= ddx

), la ecuacion (4.3.1) se

puede reescribir en la forma

X ′′T =1

v2XT (4.9)

y aca es que podemos hacer la observacion que sustenta el metodo: ‘!cada uno de los lados de esta

ecuacion tiene que ser constante!, en consecuencia, el anzats de separacion de variables convierte

el problema de resolucion de la ecuacion de ondas unidimensional en el de resolver dos ecuaciones

6una solucion de este tipo es denominada solucion en variables separadas


ordinarias dependientes de un parametro real denominado constante de separacion como sigue:

X ′′

X= κ2 (4.10)

1

v2

T

T= κ2 (4.11)

Para el caso que nos ocupa hay tres posibilidades: κ2 = 0, κ2 > 0 y κ2 < 0

En el primer caso κ = 0 la ecuacion para X es la siguiente

X ′′ = 0, (4.11)

con solucion X(x) = Ax + B, al evaluar las condiciones de borde obtenemos

X(0) = A0 + B = 0, y (4.12)

X(L) = AL + B = 0 (4.13)

que es un sistema lineal que solo posee la solucion trivial (A = 0, B = 0).

El segundo caso: κ2 > 0 tambien lleva (ejercicio) a X(x) = 0

Finalmente, el caso κ2 < 0 lleva a un analisis mas interesante, que comienza por observar la

ecuacion diferencial para X

X ′′ = −κ2X = 0 (4.13)

cuya solucion general es bien conocida

X(x) = Asen(κx) + Bcos(κx) (4.13)

Al evaluar las condiciones de frontera obtenemos de nuevo un sistema lineal para los coeficiente,

en este caso:

0 1

sen(κL) cos(κL)

A

B

=

0

0

, (4.13)


que en notacion compacta reescribimos como:

MA = 0 (4.13)

donde

M =

0 1

sen(κL) cos(κL)

y A =

A

B

(4.13)

La existencia de soluciones no triviales para el sistema (4.3.1) esta definida por la no inversibil-

idad de la matriz M, que a su vez esta dada por la nulidad de su determinante, al estudiar esta

condicion obtenemos

det(M) = 0 ⇐⇒ sen(κL) = 0 (4.13)

esta condicion implica las siguientes condiciones para el valor de κ (existencia de un numero

infinito de autovalores)

κ× L = nπ, n = 1, 2, . . . (4.13)

o equivalentemente

κ =nπ

L, n = 1, 2, . . . (4.13)

al reinsertar esto en el problema lineal queda

0 1

0 cos(nπ)

A

B

=

0

0

(4.13)

que implica: B = 0 y A arbitrario. De manera que las soluciones espaciales (autofunciones)

compatibles con las condiciones de frontera tienen la forma

Xn(x) = Asen(nπx

L) (4.13)


Para construir la parte temporal (T (t)) asociada a cada solucion espacial factible, debemos

recordar que T obedece la ecuacion general: 1v2

TT

= −κ2, de manera que para cada autofuncion

espacial, la funcion temporal correspondiente estara dada por la solucion general de

1

v2

T

T= −n2π2

L2(4.13)

donde debemos destacar la dependencia en el autovalor, al reescribir esta ecuacion en la forma

T =n2π2v2

L2T (4.13)

y definiendo ω2 = n2π2v2

L2 resulta

T = −ω2nT (4.13)

de donde sigue que

Tn(t) = ansen(ωnt) + bncos(ωnt) (4.13)

de esta manera, al multiplicar por la solucion espacial correspondiente obtenemos

un(x, t) = [asen(ωnt) + bcos(ωnt)]sen(nπx

L) (4.13)

Ahora bien, debemos notar que para cada n un(x, t) es una solucion de la ecuacion de ondas

que sartisface las condiciones de frontera, sin embargo, como la ecuacion es lineal, la super-

posicion de soluciones tambien es solucion, de manera que -por ejemplo-, la funcion: u(x, t) =

un1(x, t) + un2(x, t) es solucion de la ecuacion de ondas.

Este razonamiento puede extenderse a la superposicion de un numero arbitrario de soluciones

de manera que, la solucion mas general de la ecuacion de ondas compatible con las condiciones


de frontera que hemos dado estara dada por la siguiente superposicion infinita de soluciones:

u(x, t) =∞∑

n=1

[an sen(ωnt) + bn cos(ωnt)]sen(nπx

L) (4.14)

ω = vnπ

L(4.15)

Donde evidentemente, aun tenemos un numero infinito de constantes arbitrarias que se de-

terminan a partir de las condiciones iniciales: u(x, 0) = φ(x) y ∂tu(x, 0) = ψ(x).

Antes de abocarnos al calculo de las constantes es importante que destaquemos que inicial-

mente buscabamos una solucion en variables separadas y que hemos encontrado una solucion

general que obviamente no posee esta estructura pero (y esto es notable) que esta expresada

como superposicion de soluciones separadas. Mas aun, es posible demostrar que (bajo ciertas

condiciones), la serie as es convergente y que cualquier solucion de la ecuacion de ondas puede

ser aproximada por una serie del tipo (4.14) tanto como se quiera.

4.3.2. Calculo de los coeficientes

En la seccion anterior habıamos encontrado una expresion para la solucion general del prob-

lema que describe las oscilaciones transversales de una cuerda con sus extremos fijos en x = 0 y

x = L, a saber:

u(x, t) =∞∑

n=1

[ansen(ωnt) + bncos(ωnt)] sen(nπx

L) (4.15)

y habıamos comentado acerca de la necesidad de utilizar las condiciones iniciales para evaluar los

coeficientes, labor a que nos vamos as dedicar a continuacion. Al evaluar las condiciones iniciales:

u(x, 0) = φ(x) y ∂t u(x, 0) = ψ(x) se obtiene:


u(x, o) =∞∑

n=1

[ansen(ωn0) + bncos(ωn0)] sen(nπx

L) = u(x) (4.16)

∂t u(x, o) =∞∑

n=1

[anωncos(ωn0)− bnωnsen(ωn0)] sen(nπx

L) = v(x) (4.17)

esto es:

φ(x) =∞∑

n=1

bn sen(nπx

L) (4.18)

ψ(x) =∞∑

n=1

anωn sen(nπx

L) (4.19)

Dicho en pocas palabras: los coeficientes an y ωn bn son los coeficientes de los desarrollos en

serie de Fourier unidimensional de las funciones φ(x) y ψ(x). Ahora bien, cabe preguntarse ¿como

se calculan los coeficientes?.

Para contestar esta pregunta concentremonos en calcular los coeficientes de la primera de estas

series (4.18). para ello comencemos por multiplicar ambos lados de la igualdad por sen(pπxL

) luego

de lo cual vamos a integrar entre 0 y L para obtener:

∫ L

0

sen(pπx

L) φ(x)dx =

∞∑n=1

bn

∫ L

0

sen(pπx

L)sen(

nπx

L)dx (4.19)

donde “abusivamnete”hemos invertido el orden de la suma y la integracion.

Ahora bien, el siguiente resultado (ejercicio)

∫ L

0

sen(pπx

L)sen(

nπx

L)dx ==

L2

si n = p

0 si 6= p(4.19)


Que puede reescribirse como

∫ L

0

sen(pπx

L)sen(

nπx

L)dx =

L

2δnp (4.19)

donde

δmn =

1 si n = p

0 si n 6= p(4.19)

permite demostrar sin ningun problema que

bp =2

L

∫ L

0

sen(pπx

L)u(x)dx (4.19)

analogamente:

ap =2

ωpL

∫ L

0

sen(pπx

L)u(x)dx (4.19)

De esta manera, hemos calculado los coeficientes de la representacion en serie de la solucion

al problema que nos interesaba.

Probablemente, uno de los comentarios mas importante que podemos hacer en este momento

sea el siguiente:

Los coeficientes de una serie de Fourier son unicos.

Esto significa que si de alguna manera -diferente a calcular- somos capaces de encontrar los

coeficientes, ya no hara falta nada mas por hacer. A este respecto vale la pena comentar un

ejemplo sencillo.

Supongamos que las condiciones iniciales para un problema son

φ(x) =1

2sen(

2π x

L) (4.20)

ψ(x) =v

3sen(

3π x

L) (4.21)


Para encontrar los coeficientes de las series que nos interesan nos basta con leer para obtener

que los unicos coeficientes no nulos son a2 y b3, lo que implica que el movimiento de la cuerda

en este caso esta dado por

u(x, t) =L

9πsen(

3π v t

L) sen(

3π x

L) +

1

2cos(

2π v t

L) sen(

2π x

L) (4.21)

Un ultimo ejercicion interesante es el siguiente: utilice algun programa de manipulacion

matematica (por ejemplo: matlab, maple, mathematica, o scilab -que es un softwre de distribu-

cion gratuita-) para hacer una animacion de lo que acabamos de obtener.

4.4. Ecuacion de ondas para la membrana

Para concluir el capıtulo estudiemos la construccion de la ecuacion que describe el movimiento

de una membrana tensa. El analisis es similar al que se llevo a cabo en el estudio de la cuerda

en la seccion (4.1). La diferencia esta en que por ser un problema bidimensional, la membrana

posee tension superficial.

Consideremos un pequenop trozo rectangular de membrana cuyo punto medio esta localizado

en las coordenadas (x, y) y cuyas esquinas estan localizadas en los cuatro puntos (x± dx2, y± dy

2.

Queremos estudiar las oscilaciones transversales de la cuerda, es decir, los cambios en la altura

z del punto localizado en la posicion (x, y) en funcion del tiempo (z(t) = u(x, y; t).

Para comenzar debemos notar que la diferencia entre la tension superficial y la tension en

una cuerda consiste en que las fuerzas en un pequeno trozo de cuerda estan aplicadas en los

extremos del trocito, mientras que en el caso dela membrana las fuerzas estan distribuidas a lo

largo de los lados del pequeno rectangulo. Ası, por ejemplo, la fuerza neta que actua en el lado


localizado entre los puntos (x− dx2, y ± dy

2) esta dada por:

~F = ~T (x− dx

2, y) dy (4.21)

donde T es la tension superfiucial (cuyas unidades son fuerzalongitud

en consecuencia, la fuerza neta

que actua sobre el rectangulo es

~Ftotal = ~T (x +dx

2, y) dy + ~T (x− dx

2, y) dy + ~T (x, y +

dy

2) dx + ~T (x, y − dy

2) dx. (4.21)

Como estamos considerando solamente las oscilaciones transversales pequenas de la mem-

brana (i.e. en la direccion z), podemos seguir muy de cerca el argumento de la seccion anterior

para mostrar que |~T | es aproximadamente constante. Usando esta conclusion parcial y utilizando

argumentos geometricos muy parecidos a los que utilizamos en el caso de la cuerda, es muy facil

ver7 que la ley de fuerzas para la pequena pieza rectangular de la membrana es

T[∂2

x u(x, y; t) + ∂y u(x, y; t)]

dx dy = σ ∂2t u(x, y; t) dx dy (4.21)

donde σ es la densidad superficial de masa. Definiendo el operador de Laplace bidimensional

∇2 = ∂2x + ∂2

y (4.21)

podemos reescribir la ecuacion (4.4) en la forma

∇2 u(x, y; t)− σ

T ∂2t u(x, y; t) = 0 (4.21)

que es la ecuacion de ondas bidimensional (o ecuacion de ondas en 2 + 1 dimensiones)

A continuacion proponemos algunos ejercicios y problemas.

7solo siga el argumento de la cuerda paso a paso


1. Considere de nuevo la ecuacion de ondas en el dominio x ∈ [0, L], pero esta vez piense en

el siguiente conjunto de condiciones iniciales.

∂xu(0, t) = 0 (4.22)

∂xu(0, L) = 0 (4.23)

a) Utilice la tecnica de separacion de variables para obtener los auto-va-lo-res adecuados

para el problema espacial.

b) Encuentre la solucion general de la ecuacion y de una interpretacion fısica al modo

cero

2. En coordenadas polares la Ecuacion de Ondas en el plano tiene la forma:

1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂u

∂ρ

)+

1

ρ2

∂2u

∂φ2− 1

v2u = 0 (4.23)

Utilice la tecnica de separacion de variables para encontrar la forma de la solucion general

de esta ecuacion destacando sus singularidades (si las tiene).

Capıtulo 5

Paquetes de Onda y Velocidad de

Grupo en 1D

En el capıtulo 3 hemos estudiado la solucion general de la ecuacion de ondas la construc-

cion de la solucion se efectuo de dos formas, directamente en el dominio espacio tiempo como

en el dominio k − ω en que la solucion se presenta como superposicion de ondas armonicas

monocromaticas. Aprendimos en particular, que las soluciones de la ecuacion

∂2φ(x, t)

∂2x− 1

c2

∂2φ(x, t)

∂22= 0 (5.0)

consisten en la superposicion de dos pulsos que se desplazan sin deformacion a lo largo de la

direccion de propagacion y que viajan en sentidos opuestos. La ecuacion (5) describe la propa-

gacion de ondas en un medio unidimensional homogeneo, y como hemos visto predice que las

frecuencias y numeros de onda de los modos monocromaticos satisfacen la formula de dispersion

k = ±ω

c(5.0)

76


Ciertamente, un medio homogeneo no es el modelo unidimensional mas realista en que podamos

pensar, en efecto, si consideramos una cuerda cuya densidad de masa no sea uniforme la ecuacion

que describe la propagacion sigue siendo una ecuacion de tipo hiperbolico pero no con coeficientes

constantes. Aun las propiedades fıısicas de los modelos geologicos mas simples (un medio con

estratificacion horizontal) varıan con la profundidad y en consecuencia constituyen medios het-

erogeneos, de allı que resulte evidente la necesidad de estudiar algunos aspectos -aunque solo

sean cualitativos- de las soluciones a problemas hiperbolicos de coeficientes variables. El obje-

tivo de este capıtulo consiste en estudiar algunos de los fenomenos que ocurren en tales casos.

Consideraremos medios en los cuales la relacion de dispersion frecuencia-numero de onda tiene

la forma general

ω = ω(k) (5.0)

Veremos que cuando la relacion de dispersion no es trivial, es decir, dada por la formula (5)

pueden aparecer nuevos fenomenos en la propagacion, entre otros el denominado dispersion que

consiste en que la forma de onda inicial puede cambiar con el tiempo a diferencia de lo que ocurre

en el caso trivial en que la propagacion ocurre sin deformacion. En geofısica este fenomeno es

bien conocido y aparece tanto en las ondas Love [14] como en el ruido conocido como ground roll.

Como veremos, la dispersion ocurre debido a que una relacion ω = ω(k) no trivial implica

que las diferentes componentes armonicas de la onda inicial se desplazan a diferente velocidad

provocando que sus fases relativas cambien en el tiempo.


5.1. Motivacion

Los conceptos fundamentales asociados a la propagacion de una onda real (impulso con un

espectro finito de frecuencia) son los de Paquete de Ondas y Velocidad de Grupo. El objetivo de

este capıtulo consiste en discutir estos conceptos. Considerense un medio elastico unidimensional

y una onda (Ψ(x, t)) que se propaga en tal medio y que esta constituida por la superposicion de

dos ondas armonicas monocromaticas cuyas frecuencias y numeros de onda respectivos difieren

ligeramente, esto es:

Ψ(x, t) = cos[kx− ωt] + cos[(k + δk)x− (ω + δω)t] (5.0)

es facil ver que esta onda se puede reescribir como el producto de una onda viajera de alta

frecuencia y corta longitud de onda Φλ<(x, t) y una envolvente de baja frecuencia Φλ>(x, t), en

efecto

Ψ(x, t) = 2cos[(k +δ

2)x− (ω +

δω

2)t)× cos(

δ

2x− δω

2t) = Φλ<(x, t)× Φλ>(x, t) (5.0)

Problema 2 Haga un estudio grafico de la funcion (5.1) y trate de identificar los batidos y la

envolvente. Adicionalmente haga uso de alguna aplicacion de software adecuada para construir y

visualizar una animacion. Discuta sus resultados

De la expresion 5.1 resulta obvio que la envolvente Φλ>(x, t) es una onda armonica viajera

cuya velocidad de propagacion es:

VG =δω

δk≈ dω

dk(5.0)

que evidentemente es una velocidad de propagacion diferente a la de cualquiera de las dos veloci-

dades de fase de las ondas armonicas que se estan superponiendo, esta velocidad de propagacion


de la envolvente es lo que se denomina Velocidad de Grupo. En la siguiente seccion estudiaremos

el problema de dar una definicion precisa de la velocidad de grupo, objetivo que requerira del

uso intensivo de las tecnicas de analisis de Fourier que se introdujeron en el capıtulo 3

5.2. Velocidad de Grupo:

su definicion precisa

Consideremos la propagacion de una onda en un medio cuya relacion de dispersion tiene la

forma general

ω = ω(k) (5.0)

Aun en estas condiciones la onda puede ser expresada en terminos de sus componentes de Fourier

u(x, t) =< A(k)ei(kx−ω(k)t) >k (5.0)

para simplificar la discusion supondremos que la velocidad inicial de la onda es nula lo que nos

permite poner

A(k) =< u(x, 0)e−ikx >x=< φ(x)e−ikx >x (5.0)

adicionalmente supondremos que en t = 0 la forma de la onda esta limitada a un intervalo

de longitud ∆x finita, esto es lo que entenderemos de ahora en adelante cuando usemos la

expresion: paquete de ondas. En estas condiciones, la amplitud A(K) es distinta de 0 solamente

en un intervalo Ik de ancho ∆k alrededor de algun valor k0, de hecho, los anchos de banda ancho

de banda ∆x y ∆k han de satisfacer la relacion

∆x∆k > 1 (5.0)


la relacion de dispersion puede desarrollarse en serie de potencias alrededor de del punto ko de

la manera usual

ω = ω(k0) +dω

dk(k − k0) + · · · ≡ ω0 +

dω

dk(k − k0) + O[(k − k0)

2] (5.0)

esta expresion puede de ser sustituida directamente en el integrando de la formula (5.2) para

encontrar esta forma equivalente de representar a la onda u(x, t)

A(k)ei(kx−w(k)t) = eikxA(k)e−i(ω0+ dωdk

(k−k0)+... ) (5.0)

donde ω0 = ω(k0), al integrar en k para encontrar u(x, t) las contribuciones mayores provienen

de la region cercana a k0 (la amplitud es chica para grandes desviaciones de k), por lo tanto es

posible aproximar la integral a la region cercana a k0 despreciando en consecuencia la “cola”de

la expansion de la relacion de dispersion en los exponentes en favor de los terminos que mas

contribuyen, de acuerdo a esta discusion, la funcion u(x, t) puede aproximarse adecuadamente

como sigue

u(x, t) ≈ < eikxA(k)e−it[ω0+ dωdk|0(k−ko)] >k

≈ < eikxA(k)e−itwoe−it dwdk|okeit dw

dk|oko >k (5.0)

En definitiva, la forma de la onda admite la siguiente expresion simplificada

u(x, t) ≈ eit[kodwdk|o−wo] < A(k)eik(x− dw

dk|ot) >k (5.0)

observando el segundo factor del lado derecho de esta igualdad

< A(k)eik(x− dwdk|ot) >k


y comparandola con la formual 5.2 podemos reescribir

< A(k)eik(x− dwdk|ot) >k= φ(x− dw

dk|ot) (5.0)

para obtener finalmente una expresion para la onda u(x, t)

u(x, t) = eit[kodwdk|o−wo]φ(x− dw

dk|ot) (5.0)

La observacion importante con respecto a esta formula consiste en el hecho de que la formula

(5.2) contiene solamente dos factores, el primero no es mas que un factor de fase eit[...] el segundo

representa la forma inicial de la onda u(x, o) = φ(x) evaluada en (dwdk|ot). Por lo tanto -a menos

del factor de fase- el paquete de ondas se desplaza con la velocidad de grupo:

vg =dω

dk(5.0)

En los medios no dispersivos (aquellos en que ω = ck, no hay diferencia entre la velocidad de

grupo y la velocidad de fase ya que vg = d(ck)dk

= c.

5.3. Dispersion de un Paquete Gaussiano

En esta seccion estudiaremos en detalle un ejemplo de propagacion en un medio dispersivo.

Consideremos un paquete de ondas que se propaga en un medio con la siguiente ley de dispersion

ω(k) = ωp(1 +a2k2

2) (5.0)

como ya hemos aprendido, el paquete de ondas tiene la siguiente expresion general

u(x, t) =1√2π

∫ +∞

−∞dkA(k)ei(kx−ωt) (5.0)


y para usar un ejemplo explıcito supondremos que el espectro de amplitud del paquete es gaus-

siano, es decir A(k) esta dado por

A(k) =L

2e−L2(k−k0)2/2 (5.0)

al calcular la forma del paquete en el dominio espacio-temporal encontramos (ejercicio)

u(x, t) =1√2π

∫ +∞

−∞dkA(k)ei(kx−ωp(1+a2k2

2)t) =

=e− (x−vgt)2

2L2R(t)

2R(t)ei(k0x−ω(k0)t) (5.0)

donde

R(t) =

√(1 + i

a2ωpt

L2) , y vg = ωpa

2k0 (5.0)

al evaluar la forma inicial del paquete obtenemos

u(x, 0) =1

2e−

x2

2L2 eik0x (5.0)

de donde se deduce que

Re(u(x, 0)) ∼ e−x2

2L2 cos(k0x) (5.0)

Problema 3 Realize una animacion de la parte real del paquete gaussiano dispersivo (5.0)

Los calculos que hemos realizado nos permiten observar algunos detalles de interes, a saber

1. Los anchos del paquete en los dominios espacial y de numero de onda son δx = L/√

2 y

δk = 1/(√

2L) respectivamente y que por tanto satisfacen la relacion estandar entre los

productos de ancho de banda: δxδk = 12


Figura 5.1: La dispersion del paquete gaussiano. Observese que el ancho espacial cambia con el

tiempo mientras que el maximo viaja a velocidad constante

2. El maximo del paquete de ondas viaja con velocidad vg, y finalmente

3. El ancho de banda espacial cambia con el tiempo segun la ley

δx ∼ L(t) ≡ L

2[R(t)R∗(t)] =

L√2(1 + (

a2ωpt

L2)2)

el ultimo de estos puntos caracteriza fundamentalmente a la propagacion de las ondas en un

medio dispersivo. Debido a que la velocidad de propagacion de cada una de las componentes

armonicas del paquete no es la misma,las relaciones de fase entre las componentes del paquete

cambian en el tiempo causando un cambio en la forma del paquete. A pesar de este cambio, el

centroide [15] del paquete viaja con la velocidad de grupo vg como se observa en la figura (5.3).


5.4. Dos ejemplos sencillos

Consideremos la siguiente modificacion a la ecuacion de ondas

∂2xu−

1

c2∂2

t u− a2u = o a2 = constante (5.0)

La primera observacion que debemos hacer consiste en notar que esta ecuacion no admite solu-

ciones del tipo onda viajera (f(x± ct)), sustituyendo una solucion de prueba de este tipo en la

ecuacion (5.4) resulta:

(1− c2

c2)f

′′ − a2f = −a2f = 0 (5.0)

lo que implica que no existen soluciones de onda viajera sin deformacoion a menos que la constante

c sea nula. Este resultado se puede comprender a la luz de lo que hemos aprendido en las secciones

anteriores, en efecto, el uso del anzats de ondas planas monocromaticas (o de la transformacion

al de Fourier) lleva a la siguiente formula que relaciona a la frecuencia angular y el numero de

onda:

k2 − ω2

c2− a2 = o (5.0)

o

ω =√

c2k2 − (ca)2 (5.0)

de donde sigue que la velocidad de grupo para un sistema descrito por la ecuacion (5.4) esta dada

por

vg =c2k√

c2k2 − (ca)2=

ck√k2 − (a

c)2

(5.0)

lo que efectivamente describe un sistema dispersivo en el sentido que habıamos discutido en el

capıtulo.


Para concluir este capıtulo consideremos otra modificacion a la ecuacion de ondas

∂2xu−

1

c2∂2

t u− 2µ∂tu = o µ = constante (5.0)

La transformada de Fourier de esta ecuacion es sencillamente

{k2 − ω2

c2+ 2iµω

}u = 0 (5.0)

y de la relacion de dispersion resultante se puede deducir (ejercicio:) que el termino −2µ∂tu

con que hemos modificado a la ecuacion de ondas homogenea implica la existencia de ondas que

decaen espacialmente.

Capıtulo 6

Rayos y Frentes de Onda

En el curso de cualquier discusion acerca de propagacion de ondas en mas de una dimension,

las expresiones rayo y frentes de ondas aparece en forma tan natural que usualmente no nos

preguntamos si habra alguna definicion precisa para estos objetos, de hecho, cualquier discusion

al respecto de los rayos queda rapidamente -y aparentemente- resuelta haciendo referencia a la

propagacion de la luz de una linterna o de un haz de LASER y al exito de la optica geometrica

como descripcion de un numero bastante alto de fenomenos fısicos asociados a la propagacion de

la luz (figura (6.1)). Mientras que los frentes de ondas se describen en forma heurıstica haciendo

referencia a las olas que forma una piedrita al caer en la superficie de un estanque. En este

capıtulo definiremos cuantitativamente tanto los frentes de onda como los rayos, y veremos que

las definiciones implican una profunda relacion entre ambos objetos.

En la definicion de los rayos a partir de fenomenos ondulatorios es necesario discutir la

Ecuacion Eikonal, esta no es mas que una aproximacion de la ecuacion de ondas valida para la

propagacion en frecuencia infinita y que relaciona el gradiente de las superficies de fase constante

86


Figura 6.1: Rayos de luz atravesando un prisma. Observense los rayos reflejados y refractados

(frentes de onda) con la funcion de rapidez de las ondas que se propagan en el medio.

Comenzaremos por estudiar brevemente las propiedades de algunas soluciones de la ecuacion

escalar de ondas en 3 dimensiones

∇2φ(~r, t)− 1

c2∂2

t φ(~r, t) = 0 (6.0)

En coordenadas cartesianas es muy sencillo construir soluciones de esta ecuacion, en efecto, si

se escoge un vector unitario constante k0 y se escoge un sistema de coordenadas con uno de sus

ejes paralelos a k0 la ecuacion (6 se reduce a

∂ζΦ(ζ, t)− 1

c2∂2

t Φ(ζ, t) = 0 (6.0)

donde ζ es la coordenada a lo largo de la direccion k0, y Φ(ζ, t) ≡ f(k0.~r, t)

nuestra experiencia con la ecuacion de ondas en una dimension nos permite construir soluciones

a la ecuacion (6) de la forma

φ(~r, t) = φ(k0.~r ± ct) (6.0)


La interpretacion de la solucion (6) es muy sencilla, la perturbacion ondulatoria se propaga en el

espacio de tal suerte que para cada instante (fijo) de tiempo τ el lugar geometrico de los puntos de

fase constante esta dado por la familia de planos k0.~r±cτ =constante, estos planos son ortogonales

al vector de propagacion k0 y se mueven con rapidez c. A este tipo de ondas, representadas en

la figura 6 se les conoce por el nombre de ondas armonicas planas monocromaticas.

Figura 6.2: Los frentes de onda para las soluciones planas monocromaticas

En coordenadas esfericas, y asumiendo simetrıa rotacional la ecuacion (6) se reduce a

1

r∂2

r (φ(r, t))− 1

c2∂2

t φ(r, t) = 0 (6.0)


o

∂2r (φ(r, t))− 1

c2∂2

t (rφ(r, t)) = 0 (6.0)

ecuacion que luego del cambio de variables rφ(r, t) = f(r, t) se reduce de nuevo al caso unidi-

mensional con soluciones

f(r, t) = f+(r + ct) + f−(r − ct) (6.0)

de donde obtenemos -tomando solo la onda expansiva- la expresion que se utiliza normalmente

en geofısica para modelar una onda en tres dimensiones, y en que se observa claramente el factor

de divergencia esferica

φ(r, t) =f(r − ct)

r(6.0)

en esta solucion el lugar geometrico de los puntos de fase constante consiste en la familia de

esferas concentricas de radios

r = ct (6.0)

A los dos tipos de superficie de fase constante que hemos discutido se les conoce con el nombre

de frentes de onda; ambas clases de superficies se pueden caracterizar a traves de sus vectores

normales (el vector k0 en el caso de las ondas planas y el vector ur en el caso de los frentes esfericos,

las direcciones determinadas por estos vectores constituyen los rayos en medios homogeneos.

Problema 4 ¿Es posible la existencia de frentes de onda cilındricos?

6.1. La Ecuacion Eikonal

El objetivo principal de este capıtulo consiste en extender las ideas de frentes de ondas y rayos

en medios homogeneos a medios heterogeneos, para entrar en el tema consideremos la ecuacion


Figura 6.3: Luego de atravesar una ranura los frentes de onda plano se convierten en frentes

(aproximadamente) cilındricos

de ondas acusticas para un medio heterogeneo

P (~r, t) = K∇ · (∇P (~r, t)

ρ(~r))−K∇ · (

~F (~r, t)

ρ(~r)) (6.0)

donde K es el modulo de compresibilidad, P (~r, t) es la presion, ρ(~r) es la densidad del medio y

~F (~r, t) es la resultante de las fuerzas de cuerpo.

Si la fuente de ondas es impulsiva (una explosion de burbujas es una idea aproximada) el lado

derecho de la igualdad se puede modelar con una distribucion δ de Dirac resultando:

P (~r, t)−K∇ · (∇P (~r, t)

ρ(~r)) = J(~r, t) (6.0)

con J(~r, t) = J0δ3(~r) δ(t) (J0=constante), para resolver esta ultima ecuacion proponemos el


siguiente ansatz:

P (~r, t) = A(~r) δ(t−Θ(~r)) (6.0)

que debido al factor δ(t−Θ(~r)) puede interpretarse como una singularidad propagandose por el

espacio con una amplitud modulada por la funcion A(~r). En efecto, debido a que δ(u) = 0 para

todos los valores de u no nulos, ocurre que para cada tiempo t la superficie:

s(~r)t ≡ Θ(~r)− t = 0 (6.0)

representa los unicos puntos del espacio en que no solo la presion no es nula sino que esta

distribuida por la amplitud A(~r, t). Las superficies s(~r)t constituyen los frentes de onda.

Figura 6.4: El efecto de las heterogeneidades. Una fuente puntual emite un frente de onda esferico

(Σ) que luego de atravesar un material heterogeneo se convierte en el nuevo frente de onda (Σ′)

que carece simetrıa debido a la presencia de la heterogeneidad.

Con el fin de probar el ansatz (6.1)tomamos la transforma de Fourier en tiempo de la


ecuacion (6.1) obteniendo (para cualquier punto distinto del origen)

−ω2P (~r, ω) = K∇ · (∇P (~r, ω)

ρ(~r)) (6.0)

La transformada de Fourier de la solucion propuesta (6.1) es

P (~r, ω) = A(~r) e−iωΘ(~r) (6.0)

ası que al sustituir en (6.1) resulta

−ω2A(~r) e−iωΘ(~r) = K∇ ·(∇[A(~r) e−iωΘ(~r)]

ρ(~r)

)(6.0)

donde, despues de derivar, queda

A(~r) =K

ρ(~r)

[−i∇Θ(~r)(~x)∇A(~r)

ω+ A(~r)(∇Θ(~r))2

]+

+K

ρ(~r)

[∇2A(~r)

ω2− i

ω(∇A(~r)Θ(~r) + A(~r)∇2Θ(~r)

]−

− K

ρ2(~r)∇ρ(~r)

[∇A(~r)

ω2− A(~r) i∇Θ(~r)

ω

]

Al tomar el lımite ω →∞ de la expresion anterior se obtiene

A(~r) =K

ρ(~r)A(~r)‖∇Θ(~r)‖2 (6.-3)

de esta manera, es posible eliminar la modulacion de amplitud A(~r) para quedar con la siguiente

ecuacion que determina Θ(~r) (es decir, los frentes de onda):

‖∇Θ(~r)‖2 = ρ(~r)/K (6.-3)


Recordando que la lentitud S(~r) de propagacion de ondas esta dada por el recıproco de la

velocidad de propagacion (S2(~r)) ≡ 1c2(~r)

) y usando que 1c2(~r)

= ρ(~r)/K, podemos reescribir la

ecuacion (6.1) en su forma estandar denominada: Ecuacion Eikonal

‖∇Θ(~r)‖2 = S2(~r) (6.-3)

Para evidenciar el sentido fısico de la ecuacion eikonal basta con recordar el significado de la

funcion Θ(~r) -dado por la ecuacion (6.1)- que permite interpretar directamente las superficies de

nivel de Θ(~r) como el lugar geometrico de los puntos de mismo tiempo de viaje (fase), de esta

manera, es claro que las soluciones a la ecuacion eikonal no son mas que los frentes de onda.

Con el fin de entrar en confianza con la ecuacion eikonal veamos lo que ocurre si estudiamos

la propagacion un medio homogeneo: S(~r) = 1c2

= constante. En este caso, la ecuacion (6.1) se

escribe

‖∇Θ(~r)‖2 =1

c2(6.-3)

la homogeneidad del medio sugiere la busqueda de soluciones con simetrıa esferica1 alrededor de

un punto, lo que lleva a la siguiente ecuacion diferencial2

(dΘ(r)

dr)2 =

1

c2(6.-3)

con soluciones:

Θ(r) = ±r

c+ t0 (6.-3)

1la expresion general para el gradiente en coordenadas esfericas es

∇Θ(~r) = ∂rΘ(~r)ur +1r∂θΘ(~r)uθ +

1senθ

∂φΘ(~r)

2debido a la simetrıa tomamos: Θ(r, θ, φ) = Θ(r)


que ciertamente representan los frentes de onda de las ondas esfericamente simetricas.

Tambien podemos buscar soluciones en coordenadas cartesianas en las cuales la ecuacion

eikonal para el medio homogeneo se expresa en la forma

(∂xΘ)2 + (∂xΘ)2 + (∂xΘ)2 =1

c2(6.-3)

y que tiene solucion

Θ(x, y, z) =1

c(nxx + nyy + nzz) + t0 =

n.~r

c+ t0, n, t0 constantes (6.-3)

En este punto debemos observar que desde el punto de vista matematico la ecuacion eikonal

es una ecuacion diferencial no lineal en derivadas parciales [12]. La no linealidad del problema

tiene como efecto neto que la busqueda de soluciones analıticas sea enormemente complicada, sin

embargo, las tecnicas del analisis numerico permiten encontrar soluciones a la ecuacion eikonal

en una diversidad de situaciones. El metodo usual de solucion es el metodo de diferencias finitas,

que con el enfoque de Vidale y Houston [10] permite alcanzar elevadas velocidades de calculo.

Desde otro punto de vista vale la pena observar que la busqueda de soluciones a la ecuacion

eikonal dista bastante de ser un problema academicoa, siendo mas bien una herramienta que

puede utilizarse directamente para hacer modelado cinematico. En efecto, al calcular los tiempos

de viaje fuente-receptor un sismograma sintetico se puede simular facilmente colocando una forma

de onda en los tiempos adecuados a cada reflexion. Tambien es posible utilizar estos tiempos de

viaje para efectuar migracion de Kirchoff.

Problema 5 Encuentre una ecuacion que le permita calcular la amplitude de la respuesta im-

pulsiva en el lımite de altas frecuencias (esta ecuacion se denomina ecuacion de transporte)


6.2. Definicion matematica de los rayos

Antes de entrar de lleno al tema recordemos que cuando se discute la optica geometrica en

los cursos de fısica introductorios se hace enfasis en el hecho de que la optica geometrica solo

es valida cuando la longitud de onda de la luz es mucho menor que las dimensiones fısicas de

los obstaculos que se interpongan al paso de la luz, en este sentido podemos decir que la optica

geometrica es el lımite de longitud de onda corta λ → 0 de la descripcion ondulatoria de la

luz. Ciertamente, la ecuacion eikonal que como hemos visto, se obtiene como el lımite de altas

frecuencias a la ecuacion e ondas provee de una descripcion de la propagacion de ondas que

corresponde al lımite de longitud de onda corta, esto es, al lımite de la optica geometrica.

Entrando ya en materia comencemos la discusion tecnica de esta seccion observando que

el vector ∇Θ(~r) es ortogonal a los frentes de onda, lo que permite construir el vector unitario

normal a estos segun:

n(r) = c(r)∇Θ(~r) (6.-3)

En el caso de las ondas planas el vector normal coincide (en direccion) con el vector de propa-

gacion, cosa que tambien ocurre en el caso de los frentes de onda esfericos que se propagan en la

direccion radial, estos dos ejemplos motivan la siguiente definicion para los rayos.

Definicion 3 Los rayos son las familias de curvas ortogonales a los frentes de onda.

De acuerdo a la definicion que acabamos de introducir, el vector n no es mas que el vector

tangente a un rayo, asi que para construir los rayos solo tenemos que construir las curvas integrales

de n, con este fin es necesario construir la ecuacion diferencial asociada a las curvas integrales.

Para ello consideremos al rayo como dado por su parametrizacion en longitud de arco: ~r(s), (con


Figura 6.5: Frentes de Onda en un subsuelo formado por dos capas homogeneas, los rayos son

rectos y se desvıan en la interface obedeciendo a la ley de Snell

|d~rds| = 1) la condicion de tangencia entre n y los rayos corresponde simplemente a la identificacion

n =d~r

ds(6.-3)

De esta forma, la igualdad (6.2)puede reescribirse en la forma

1

c(~r)

d~r

ds= ∇Θ (6.-3)

A continuacion probaremos que esta igualdad lleva a la siguiente ecuacion diferencial de segundo

orden para los rayos:

d

ds[

1

c(~r)

d~r

ds] = ∇ 1

c(~r)) (6.-3)


De la formula n(~r) = c(~r)∇Θ(~r) se deducen directamente las siguientes igualdades

dΘ

ds= ∇Θ · n =

1

c(~r)(6.-3)

de donde podemos concluir que

∇(dΘ

ds) = ∇(

1

c(~r)) (6.-3)

por otra parte, el intercambio del orden de derivacion implica que ∇(dΘds

) = dds

(∇Θ) de donde

por sustitucion directa en la formula (6.2) se obtiene la ecuacion para los rayos.

La ecuacion para los rayos es una ecuacion diferencial ordinaria cuya solucion (una vez conoci-

do el campo de velocidades) se puede resolver numericamente sin mayor problema. Mas adelante

comentaremos acerca de algunas dificultades tecnicas en las aplicaciones. Una vez mas, con el fin

de tomar algo mas de confianza estudiaremos el ejemplo sencillo de un medio homogeneo, en tal

caso la ecuacion de los rayos se reduce a

d

ds

[1

c

d~r

ds

]=

d2~r

ds2= 0 (6.-3)

cuya solucion es obviamente

~r(s) = ns + ~r0 (6.-3)

donde n es un vector unitario arbitrario constante. Por otra parte, debemos recordar que en la

parametrizacion de longitud de arco |d~rds| = 1 = |d~r

dt|| dt

ds| = c dt

ds. De estas relaciones obtenemos

dsdt

= c de donde sigue que s = ct, que lleva finalmente a la expresion de los rayos en terminos

del tiempo

~r(s) = nct + ~r0 (6.-3)


Figura 6.6: En un subsuelo heterogeneo los frentes de onda son superficies complicadas, y los

rayos siguen trayectorias curvas

6.3. Los rayos y el principio de Fermat

Si conocemos el campo de velocidades de propagacion de ondas en un medio y consideramos

una trayectoria arbitraria L que une a dos puntos fijos podemos calcular un tiempo de viaje

(Tab [L]) entre a y b como

Tab [L] =

∫ b

a

dl

c(~r)(6.-3)

Es claro que este tiempo -que no tiene mayor sentido fısico- es acotado inferiormente (el inte-

grando es definido positivo) y depende de la trayectoria. El principio de Fermat es un postulado

que relaciona a la trayectoria que minimiza Tab [L] con los rayos. Explıcitamente, el Principio

de Fermat establece que:


La trayectoria L que de hecho sigue un rayo es aquella que minimiza el tiempo de transito Tab[L].

En verdad el principio fısico correcto es el siguiente: los rayos siguen las trayectorias a lo largo

de las cuales el tiempo de viaje se hace estacionario; es decir, los rayos son aquellas trayectorias

que al ser variadas ligeramente no producen cambios en los tiempos de viaje Tab. Desde el punto

de vista fısico la propiedad definitoria de los rayos tiene consecuencias muy importantes, en efecto,

la senal que se captura en un receptor es la superposicion de muchas ondas que partiendo de la

fuente llegan al receptor con diferencias de fase que esencialmente son arbitrarias. Esto produce

interferencia destructiva entre casi todas las ondas que arriban al receptor salvo entre aquellas

casi llegan en fase es decir, entre aquellas ondas que llegan al receptor con el mismo tiempo de

viaje fuente receptor. En otras palabras, la energıa que se graba en un receptor proviene de las

ondas que se propagan a lo largo de las trayectorias que satisfacen el principio de Fermat.

Problema 6 Demuestre que el principio de Fermat aplicado a dos medios homogeneos unidos

por una interface plana implican las leyese usuales de la optica geometrica.

La relacion fundamental entre el principio de Fermat y la ecuacion eikonal esta dada por la

siguiente

Proposicion 1 Una trayectoria satisface el Principio de Fermat si obedece la ecuacion de los

rayos (6.2)

Demostracion: Sea L una trayectoria que une a los puntos a y b y sea ξ un parametro

arbitrario con el que vamos a parametrizar la curva (d~rdξ≡ ~r), en estos terminos, el tiempo de


transito3 Tab [L] se escribe como:

Tab =

∫ ξend

ξstart

(~r · ~r) 12

c(~r)dξ (6.-3)

En el caso que nos ocupa, la variacion del tiempo de transito δT12 se escribe como sigue:

δT12 =

∫ ξend

ξini

{ ~rδ(~r)

c(~r · ~r)1/2− δc

c2(~r · ~r)1/2}dξ (6.-3)

Ahora, observese que:

δc = c(~r + δ~r)− c(~r) = ∇c · δ~r ⇒ −δc

c2= ∇(

1

c) · δ~r (6.-3)

y que tambien

δ(~r) =d

dξ(δx) (6.-3)

utilizando estos dos resultados, y reescribiendo (~r ·~r)1/2 = |~r|, la expresion para δT12 queda como:

δT12 =

∫dξ{ ~r

c(~r · ~r)1/2

d

dξ(δ~r) +∇(

1

c) · δ~r(~r · ~r)1/2} (6.-3)

rearreglando e integrando por partes

δT12 =∫ {∇(1

c)|~r|+ d

dξ[ ~r

c|~r| ]} · (δ~r)δξ = ~r·δ~rc|~r| |

ξend

ξini

Para la condicion de extremo requerimos que la primera variacion del tiempo de viaje (δT12)

sea nula, condicion que se satisface si y solo si:

ddξ

[ ~r

c|~r| ] = ∇(1c)|~r|

3Tab es un funcional, es decir, una funcion cuyas variables son a su vez funciones, en este caso: Tab[L] = Tab[~r, ~r])


parametrizando la longitud de arco a |~r| = 1 queda finalmente:

d

dξ[~r

c] = ∇(

1

c) (6.-3)

que efectivamente es la ecuacion de rayos que habıamos obtenido a partir de la ecuacion eikonal.

En este punto podemos proponer el siguiente par de proyectos

Proyecto 1 Lleve adelante el trazado de varios rayos en un modelo geologico compuesto por ca-

pas horizontales homogeneas caracterizadas por tener una velocidad de propagacion de ondas que

crece con la profundiad de cada capa. ¿Puede predecir lo que ocurrira con un medio heterogeneo

cuya velocidad de propagacion de ondas crezca con la profundidad?

Proyecto 2 ¿Cual es la trayectoria que siguen los rayos en un semiespacio heterogeneo carac-

terizado por una velocidad de propagacion de ondas acusticas que aumenta con la profundidad

de acuerdo a la formula v(z) = uz + v0?

Vale la pena culminar este capıtulo insistiendo en la relevancia practica del calculo de los rayos,

el trazado de rayos no solo permiten el modelado cinematico a traves de sismogramas sinteticos

construidos utilizando los tiempos de viaje a lo largo de los rayos, sino que ademas resulta ser

una herramienta fundamental para la planificacion y diseno de levantamientos sısmicos.

Capıtulo 7

Calculo de Rayos

En el capıtulo (6) hemos visto que la aproximacion de longitud de onda corta describe la

propagacion ondas en terminos de frentes de ondas y rayos, estos objetos constituyen la base del

modelado cinematico. El objetivo de este capıtulo consiste en describir las tecnicas adecuadas

para la solucion de la ecuacion de rayos.

Utilizando el campo de “lentitud” s(~r) = 1c(~r)

la ecuacion diferencial de los rayos es la siguiente

d

dτ[s(~r)

d~r

dτ] = ∇(s(~r)) (7.0)

la forma desarrollada de esta ecuacion es

[s(~r)d2~r

dτ 2] + [∇(s(~r)).(

d~r

dτ)](

d~r

dτ) = ∇(s(~r)) (7.0)

Esta ecuacion diferencial tiene soluciones analıticas en un numero muy pequeno de casos espe-

ciales de tal forma que si queremos utilizarla para el modelado tendremos que recurrir a soluciones

numericas.

102


Existen diversos problemas de interes geofısico en los que es necesario realizar un trazado de

rayos y entre ellos destacan dos. El primero esta asociado al calculo de sismogramas sinteticos y

el segundo a la tomografıa de primeros quiebres. En ambos casos es necesario calcular el tiempo

de viaje entre un punto de disparo y un receptor, en el caso en que se conozcan las posiciones

de ambos dispositivos el problema del calculo de rayos es un problema con valores en la frontera

(los puntos extremos de los rayos son conocidos). La resolucion de un problema numerico de este

tipo puede ser relativamente complicada, y en los paquetes comerciales se utiliza un metodo de

resolucion conocido como metodo de shooting o metod de disparos sobre el que hablaremos al

final del capıtulo. Por el momento baste con decir que las siguientes secciones nos prepararan

para poder poner en practica el metodo de shooting.

7.1. El Sistema de de Primer Orden

Con el fin de estudiar en detalle el problema de trazado numerico de rayos nos concentraremos

en el caso bidimensional (~r(τ) = x(τ )i + z(τ)k). En estas condiciones la ecuacion vectorial (7)

se expresa como el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden acopladas con

coeficientes variables1

sx + (sxx + sz z)x− sx = 0 (7.1)

sz + (sxx + sz z)z − sz = 0 (7.2)

ahora bien, los algoritmos numericos estandar estan disenados para resolver sistemas de primer

orden, de manera que es menester reducir el orden del sistema (7.1)(7.2), el procedimiento general

1hemos introducido la siguiente notacion compacta: s = s(~r), sx = ∂s(~r)∂x , sz = ∂s(~r)

∂z


para alcanzar este objetivo consiste en introducir variables auxiliares que permiten efectivamente

reducir el orden de las ecuaciones que aparecen en el sistema a expensas de aumentar el numero

de ecuaciones. En el caso que estamos estudiando introducimos dos nuevas variables como sigue

u(τ) = x(τ) v(τ) = z(τ) (7.2)

en terminos de estas nuevas variables podemos introducir un nuevo sistema de ecuaciones equiv-

alente al sistema (7.1)(7.2), a saber:

x = u (7.3)

su + (sxu + szv)u− sx = 0 (7.4)

z = v (7.5)

sv + (sxu + szv)v − sz = 0 (7.6)

sistema que reescribiremos en la forma final

x = u

u = −(sxu + szv)u

s+

sx

s

(7.5)

z = v

v = −(sxu + szv)v

s+

sz

s

En definitiva, hemos podido expresar a la ecuacion de trazado de rayos en la forma:

X = F(X, τ) (7.3)


7.2. Solucion numerica de un Sistema de Primer Orden

El objetivo de esta seccion es discutir algunas tecnicas que permitan encontrar una aproxi-

macion numerica a la solucion de la ecuacion diferencial

X = F(X, τ) (7.3)

sujeta a las condiciones iniciales

X(τ0) = X0, (7.3)

y que sean adecuadas para su uso en un computador. Bajo ninguna circunstancia se pretende

que la exposicion sea detallada o completa y referiremos al lector a la literatura [16].

7.2.1. Metodo de Euler

Este metodo es el mas sencillo de una familia de tecnicas denominadas metodos de inte-

gracionde un paso. El valor practico del metodo es realmente pobre, sin embargo, su valor

pedagogico es de enorme importancia y es por eso que lo incluiremos aca.

La idea basica del metodo de Euler consiste en aproximar la derivada X(τ) que aparece en

la ecuacion diferencial (7.2) en la forma:

X(τ) ≈ X(τ + h)−X(τ)

h(7.3)

de tal forma que usando la ecuacion diferencial podemos obtener el valor de X(τ +h) en terminos

del valor anterior X(τ) a traves de la formula

X(τ + h) ≈ X(τ)h + hF(X, τ) (7.3)


De esta manera, si el numero h es razonablemente pequeno podemos iterar el procedimiento

para obtener -a partir de las condiciones iniciales- una sucesion de valores que aproximan a

los valores de la solucion exacta de la ecuacion diferencial. Desde el punto de vista geometrico

el procedimiento que hemos descrito simplemente aproxima la solucion exacta de la ecuacion

diferencial por una poligonal.

Desde el punto de vista de computacion en lugar de pensar en los valores de la funcion X(τ)

podemos pensar sencillamente en una lista discreta de valores Xi correspondientes a los valores

X(τ0 +hi), i = 1, 2, . . . , N donde N es el numero de valores que deseamos calcular, en este orden

de ideas la formula que debemos programar en la computadora es sencillamente

Xi+1 = Xi + hF(Xi, τ0 + ih) (7.4)

En caso de que la evolucion sea entre dos instantes de tiempo dados τin y τfin y que el numero

de puntos que queramos calcular sea fijo, el parametro h (paso) se calcula sencillamente con la

formula h =τfin−τin

N

Ası, el algoritmo de calculo es el siguiente

Inicio

ENTRADA(X0)

Calcule:

∆i ≡ hF(Xi, τ0 + ih)

Xi+1 = Xi + ∆i

Imprima:

Xi+1


Evalue el Criterio de Parada (Verdadero/Falso)

Fin

donde deliberadamente hemos dejado el criterio de parada sin especificar puesto que este podrıa

ser tanto alcanzar un numero de iteraciones fijo como llenar un intervalo de tiempo con un paso

predeterminado.

Como comentabamos al iniciar la seccion el metodo de Euler pertenece a una familia de

metodos denominados metodos de un paso, para toda esta familia de metodos el algorıtmo de

calculo es basicamente el mismo y lo unico que cambia es el vector de actualizacion ∆i, en la

siguiente seccion discutiremos brevemente un metodo bastante mas preciso que el metodo de

Euler y que se puede considerar como el caballo de batalla de los algoritmos de resolucion de

ecuaciones diferenciales ordinarias.

7.3. Metodos de Runge-Kutta

Con el nombre de metodos de Runge-Kutta se conoce a una serie de tecnicas de un paso

entre los que se destaca el metodo denominado de cuarto orden por ser lo suficientemente robusto

como para atacar cualquier problema con una precision relativamente razonable [16][9]. Por ser

un metodo de un solo paso, el pseudocodigo del algoritmo de Runge-Kutta es fundamentalmente

identico al del metodo de Euler diferenciandose de este ultimo en la funcion de actualizacion. En

el pseudocodigo que se adjunta se muestra el algoritmo de Runge-Kutta de cuarto orden para el

caso en que el paso y el numero de puntos que desean calcularse estan dados.

INICIO


Entrada (X0, τ0, N, h)

τ = τ0 + ih

Mientras i < N

{Calcule:

K1 = F(Xi, τ + h2)

K2 = F(Xi + K1

2, τ + h

2)

K3 = F(Xi + K2

2, τ + h

2)

K3 = F(Xi + K3, τ + h)

Φ = h6[K1 + 2K2 + 2K3 + K4]

∆i = hΦ

Xi+1 = Xi + ∆i

Salida: (Xi+1)

τ = τ0 + ih

i = i + 1

}FIN

Es evidente que el paso (h) es un parametro fundamental de los algoritmos de integracion

numerica que hemos comentado, incidiendo no solo en la precision de calculo sino tambien en


la velocidad. existen algoritmos de paso variable en los cuales el tamano de h se ajusta conve-

nientemente de acuerdo a las propiedades de los coeficientes, en estos algoritmos -denominados

adaptativos-, se utiliza un paso pequeno en zonas donde la integracion se hace difıcil (debido por

ejemplo a una gran complejidad en los coeficientes) y un paso mas grande donde la integracion de

la ecuacion diferencial sea sencilla. Estas tecnicas especiales mejoran notablemente la velocidad

y precision de calculo.

7.4. Trazado de Rayos con el El Metodo de Shooting

Habiendo comentado acerca de algunos metodos de resolucion numerica para problemas con

valores iniciales retomemos le trazado de rayos limitandonos al calculo de los tiempos de viaje en-

tre fuente y receptor para el caso de la tomografıa entre dos pozos. Como ya habıamos comentado

este es un problema con valores en los bordes (BVP) y no un problema de valores iniciales (IVP).

El metodo balıstico (shooting) es una ingeniosa tecnica de fuerza bruta que permite resolver un

BVP utilizando recursivamente algoritmos de resolucion de IVP.

La idea del metodo es bien sencilla se efectuan muchos trazados de rayos con diferentes

condiciones iniciales hasta que se alcance el blanco. Claro que la escogencia de las condiciones

iniciales no es aleatoria, se utiliza un metodo de busqueda adecuado para “afinar la punteria”.

El shooting consiste en lo siguiente, escogiendo alguna condicion inicial se traza un rayo que

alcance la linea de receptores, habiendo escogido cual es el receptor “blanco”se evalua la posicion

de llegada del rayo con respecto al blanco y se modifica la condicion inicial una y otra vez

buscando acercarse al blanco hasta que se est ’e a una distancia de este que podamos considerar

nula. Tıpicamente el metodo de afinacon de punteria se basa en el algoritmo de biseccion para


la busqueda de raices de una ecuacion no lineal se dispara a uno y otro lado del blanco tratando

de reducir la distancia entre los “impactos”sucesivos hnasta que el receptor sea localizado.

Una vez trazados los rayos los tiempos de viaje se pueden calcular sin mayor problema a

traves de la formula:

t =

∫

rayo

dl

c(7.4)

7.4.1. Aplicaciones Practicas

El trazado de rayos aparece como problema de importancia fundamental en el calculo de

sismogramas sinteticos y en el diseno de levantamientos, en ciertas aplicaciones a la migracion y

en los metodos de inversion tomografica por tiempos de viaje.

En el caso del calculo de sismogramas sinteticos es necesario especificar las interfaces entre las

capas del modelo para utilizar las leyes de reflexion en los puntos en que los rayos alcanzan dichas

capas calculo que por cierto no habıamos mencionado hasta ahora. En todo caso, dado un reflector

(i) geologico y habiendo calculado el tiempo de viaje fuente-receptor (tsr), la contribucion a la

traza sintetica debida a la reflexion en i se estima por

ψr(t) = RiψS(t− tsr) (7.4)

donde, como siempre, ψS(t) es la senal producida por la fuente y Ri es el coeficiente de reflexion

en la interface i.

Debemos mencionar que el trazado de rayos es un instrumento de primerısima importancia

para el diseno de levantamientos, donde es posible planear cuidadosamente la geometrıa de

disparos que optimice la iluminacion del objetivo. En tomografıa el problema de trazado de rayos


debe entenderse como un problema con condiciones de borde, en efecto, es necesario calcular las

trayectorias y tiempos de viaje entre fuentes y receptores cuyas posiciones estan predeterminadas

(fijas).

Proyecto 3 Escriba un codigo que le permita efectuar trazado de rayos en una malla bidimen-

sional de Nx × Nz puntos. Los datos de entrada son las velocidades en cada vertice de la malla

(presentados en forma de un archivo x − y en formato ascii) . Solo se pretende que calcule un

rayo asumiendo que el punto de disparo esta definido por sus coordenadas y que el parametro

inicial (angulo con respecto al eje z) es dado por el usuario. El programa debera ser capaz no solo

de calcular la trayectoria del rayo sino el tiempo de viaje desde el punto de disparo y hasta cada

punto (calculado) a lo largo de dicha trayectoria. ¿Como modificarıa su programa para trazar un

haz de rayos.

Problema 7 ¿Cuales seran las (al menos algunas) dificultades relacionadas con tratar de re-

alizar un trazado de rayos incluyendo interfaces bien definidas?

Proyecto 4 Utilice el resultado del proyecto anterior para programar un codigo capaz de calcular

frentes de onda aproximados.

Capıtulo 8

Ondas Electromagneticas

En este capıtulo vamos a estudiar el comportamiento ondulatorio de los campos electro-

magneticos. Nuestro interes en el problema se centrara en mostrar ciertas caracterısticas que

estan ausentes en el comportamiento de las ondas escalares (ondas transversales en cuerdas y

membranas u ondas longitudinales en un gas), y que se deriva del hecho de que en el campo elec-

tromagnetico aparecen varias funciones simultaneas (las componentes de los vectores de campo)

a diferencia de lo que ocurre en el caso escalar en que solo hay una funcion.

8.1. Ecuaciones de Maxwell

En presencia de un medio contınuo (un dielectrico, o un conductor ohmico) un sistema elec-

tromagnetico se describe a traves de un campo escalar, y siete campos vectoriales, a saber:

La densidad volumetrica de carga ρ(~x, t).

112


La densidad de corriente electrica ~J(~x, t).

El desplazamiento electrico ~D(~x, t).

La polarizacion ~P (~x, t).

El campo electrico ~E(~x, t).

El campo magnetico ~H(~x, t).

La magnetizacion ~M(~x, t) y

La induccion magnetica ~B(~x, t).

La dinamica de este conjunto de campos se describe parcialmente por las ecuaciones de

Maxwell:

div ~D = ρ (8.1)

div ~B = 0 (8.2)

rot ~H = ~J + ∂t~D (8.3)

rot ~E = −∂t~B (8.4)

que deben ser complementadas por las definiciones

~D = ε0~E + ~P (8.5)

~H =1

µ0

~B − ~M (8.6)


y por un conjunto de relaciones empıricas que permiten encontrar los valores del desplazamiento

electrico y del campo magnetico y en terminos del campo electrico y la induccion magnetica

~D = ~D( ~E) (8.7)

~H = ~H( ~B) . (8.8)

Estas relaciones son denominadas relaciones constitutivas y desde el punto de vista matematico

son absolutamente necesarias para asegurar que las ecuaciones de Maxwell puedan ser resueltas

para una distribucion de cargas y corrientes en un material dado.

La descripcion completa de un sistema electromagnetico requiere de la especificacion de la

interaccion entre los campos y las cargas y corrientes electricas que esta dada por la fuerza de

Lorentz

F = q( ~E + ~v ×B) (8.8)

8.2. Las ecuaciones de onda para los campos E y B

En esta seccion vamos a demostrar que las ecuaciones de Maxwell en el vacio ( ~D = ε0~E,

~H = 1µ0

~B)y en ausencia de cargas y corrientes implican la existencia de ondas electromagneticas,

para ello comenzaremos por escribir las ecuaciones de Maxwell incorporando estas hipotesis:

~∇. ~E = 0 (8.9)

~∇. ~B = 0 (8.10)

~∇× ~B = µ0 ε0 ∂t~E (8.11)

~∇× ~E = −∂t~B (8.12)


Si tomamos el rot de la ecuacion (8.12) resulta y usamos1 la ecuacion (8.11) se obtiene

∇(~∇.( ~E))−∇2 ~E = −µ0 ε0 ∂2t~E (8.12)

donde hemos usado la identidad ~∇× (~∇× ~F ) = ∇(~∇. ~F )−∇2 ~F . Tomando en cuenta la ley de

Gauss y el hecho de que no hay cargas, el primer termino del lado izquierdo de la ecuacion (8.2)

se anula y obtenemos finalmente:

∇2 ~E − µ0ε0∂2t~E = 0 (8.12)

Realizando operaciones analogas en la ecuacion (8.11) se obtiene similarmente

∇2 ~B − µ0 ε0 ∂2t~B = 0 (8.12)

donde se ha utilizado que el campo magnetico es solenoidal (div( ~B) = 0).

Ciertamente las ecuaciones (8.2) y (8.2) son ecuaciones de onda para los campos electrico y

magnetico. La velocidad de fase de estas ondas es claramente:

c =1√

ε0 µ0

(8.12)

8.2.1. Ondas Armonicas Planas

Es interesante observar lo que ocurre al tratar de resolver directamente (esto es sin recurrir

a las ecuaciones de onda) las ecuaciones de Maxwell sin fuentes para el vacio. La linealidad de

las ecuaciones sugiere la posibilidad de proponer soluciones de la forma

~E = ~E0 eiφ1 (8.13)

~B = ~B0 eiφ2 (8.14)

1estamos utilizando hipotesis de diferenciabilidad que nos permiten asegurar que ~∇(∂t~B = ∂t(~∇ ~B)


con:

φi = ~ki~x− ωi t, i = 1, 2 (8.14)

en donde ~E0 y ~B0 son vectores de entradas complejas denominados vectores de polarizacion

electrico y magnetico y los vectores de onda ~k1, ~k2 y las frecuencias angulares son -en principio

diferentes-. Es facil utilizar las formulas (8.41), (8.42) y (8.43) de la seccion complementaria (8.6)

para ver que al sustituir este ansatz, las ecuaciones de Maxwell adoptan la forma

~k1.~E0 = 0 (8.15)

~k2. ~B0 = 0 (8.16)

~k2 × ~B0 eiφ2 = −ε0 µ0 ω1~E0 eiφ1 (8.17)

~k1 × ~E0 eiφ1 = ω2~B0e

iφ2 (8.18)

de donde se deduce inmediatamente (ejercicio)que ambos campos deben tener la misma depen-

dencia espacio-temporal, es decir

φ1(~r, t) = φ2(~r, t) (8.18)

a su vez. esto implica que las frecuencias y vectores de onda tambien han de ser iguales, es decir

~k1 = ~k2 = ~k (8.19)

ω1 = ω2 = ω (8.20)


De acuerdo a este resultado parcial las ecuaciones de Maxwell implican las siguientes relaciones

entre los vectores de polarizacion electrico (~E0), magnetico ( ~B0) y el vector de propagacion ~k.

~k.~E0 = 0 (8.21)

~k. ~B0 = 0 (8.22)

~k × ~B0 = −ε0 µ0 ω ~E0 (8.23)

~k × ~E0 = ω ~B0 (8.24)

de donde se deduce que en el vacio las polarizaciones (y por lo tanto los campos) son ortogonales

a la direccion de propagacion2, es decir

~E0 ⊥ ~k ~B0 ⊥ ~k . (8.24)

Mas aun, la relacion (8.24) demuestra que en las condiciones que estamos estudiando, los campos

electrico y magnetico son ortogonales entre sı, y de hecho nos da una regla para encontrar B0 en

funcion del vector de polarizacion del campo electrico, a saber

~B0 =~k

ω× ~E0 . (8.24)

Aun es necesario encontrar -si es que la hay-, una relacion entre el vector de onda y la frecuen-

cia. Para encontrar la relacion de dispersion adecuada para los medios que estamos estudiando

multiplicamos vectorialmente la igualdad (8.23) a la izquierda por el vector de propagacion, esto

lleva a

~k × (~k × ~B0) = −ε0 µ0~k × ~E0 (8.24)

2como ya hemos aprendido en este curso, tecnicamente se dice que la propagacion es transversal


resultado que, al utilizar la formula general para el triple producto vectorial

~A× ( ~B × ~C) = ( ~A. ~C) ~B − ( ~A. ~B) ~C (8.24)

conduce a la siguiente igualdad

(~k. ~B0)~k − k2 ~B0 = ε0 µ0 ω2 ~B0 , (8.24)

el primer termino del lado izquierdo es nulo debido a la transversalidad ası, que en definitiva

hemos obtenido

(k2 − ω2

c2) ~B0 = 0 (8.24)

de donde se deduce automaticamente la relacion de dispersion

|~k| = ω

c(8.24)

Por cierto que la relacion de dispersion nos permite expresar el vector de polarizacion magnetico

en terminos del electrico en la forma alternativa

~B0 =k

c× ~E0 , (8.24)

donde k es el vector unitario paralelo al vector de onda ~k.

En este punto es importante que destaquemos dos cosas, en primer lugar el hecho de que

si bien los campos ~E(~r, t) y ~B(~r, t) son soluciones de las ecuaciones de Maxwell, estas no son

soluciones fısicas, las soluciones fısicas se obtienen tomando la parte real o imaginaria de las

soluciones complejas. Ası, por ejemplo, en el primer caso, las soluciones fısicas estan dadas por

~E(~r, t) = <e{

~E(~r, t)}

(8.25)

~B(~r, t) = <e{

~B(~r, t)}

, (8.26)


debemos apuntar sin embargo, que en cualquier operacion lineal (suma por ejemplo) entre los

campos, podemos utilizar los campos complejos para luego encontrar el resultado fısico tomando

la parte real o imaginaria (segun halla sido la escogencia a priori).

En segundo lugar es necesario observar que las ecuaciones de Maxwell no son capaces de

predecir la direccion de propagacion (el vector de onda), esta debe ser introducida como una

condicion externa al problema.

Es muy interesante destacar el hecho de que -para los campos fısicos- toda la informacion de

polarizacion (se decir, los vectores de polarizacion) esta codificada en solo tres numeros uno de

ellos la fase del campo electrico (ya que el magnetico esta en fase con ~E. Olvidando la fase, es

claro que en principio y en vista de que los dos campos de interes son vectoriales deberıan hacer

falta 2 × 3 = 6 numeros para especificar las componentes de ambos campos. Sin embargo, la

igualdad (8.2.1) que permite expresar B0 en funcion de E0 y de la direccion de propagacion (que

suponemos dada a priori) reduce los numeros independientes a las tres componentes de E0 que

a su vez se reducen a solo dos componentes ya que E0 es perpendicular al vector de propagacion.

Ası por ejemplo, si consideramos una onda plana monocromatica que viaja en la direccion del

eje z y usamos notacion matricial podemos escribir

~k =ω

c

0

0

1

(8.26)


Figura 8.1: Campo electromagnetico instantaneo en el vacıo.

lo que implica que necesariamnete la forma del campo de polarizacion electrico tiene que ser

~E0 =

E0x

E0y

0

(8.26)

en donde E0x y E0y son constantes arbitrarias en terminos de las cuales es posible calcular las

componentes de B0.

Finalmente, es menester recordar que la linealidad de las ecuaciones permite encontrar las

soluciones generales de las ecuaciones de Maxwell en terminos de la suma de modos armonicos,

y es por ello que solo nos hemos preocupado de las ondas planas monocromaticas.


8.3. Polarizacion

Habıamos descrito en la seccion precedente que las soluciones tipo onda plana a la ecuacion

de onda electromagnetica en el vacıo sin fuentes vienen dadas por

~Ei = ~Eoiei(~k·~r−ωt) (8.27)

~Bi = ~Boiei(~k·~r−ωt) (8.28)

donde ~Eoi y ~Boi son cantidades complejas

~Eoi = EoieiψE (8.29)

~Boi = BoieiψB (8.30)

denominadas vectores de polarizacion. Consideremos el campo electrico. Supongamos que ten-

emos una onda electromagnetica que se propaga en el vacıo en la direccion u = (0, 0, 1). En ese

caso, ~k = ku = (o, o, k), donde k = ωv, y por tanto

~k · ~r = (o, o, k) · (x, y, z) = kz (8.30)

quedando la solucion para el campo ~E como

~Ei = Eoiei(kz−ωt+ψE) (8.30)

Dada la direccion de propagacion ~u = (0, 0, 1) a lo largo del eje z, las relaciones (8.21), (8.22),

(8.23), (8.24) imponen que las componentes del campo electrico existen en el plano xy, perpen-

diculares a la direccion de propagacion, es decir

Ex(z, t) = Eoxei(kz−ωt+ψx) (8.31)

Ey(z, t) = Eoyei(kz−ωt+ψy) (8.32)


tales que el campo electrico total es:

~E(z, t) = Re(Exi + Ey j) = Eoxcos(kz − ωt + ψx)i + Eoycos(kz − ωt + ψy)j (8.32)

Ejemplo 1. Supongamos que Eoy = 0. Se pide observar el campo total en un z fijo, por ejemplo

z = 0. En ese caso, el campo electrico total queda como

~E(z, t) = Eoxcos(ωt + ψx)i (8.32)

que corresponde simplemente a un campo electrico que se propaga en direccion z, pero oscila

transversalmente a esta direccion, con frecuencia angular ω, a lo largo del eje x.

Ejemplo 2. Supongamos que ψx = ψy = ψ. Se pide observar el campo total en un z fijo, por

ejemplo z = 0. En ese caso, el campo electrico total queda como

~E(z, t) = Eoxcos(ωt + ψ)i + Eoycos(ωt + ψ)j (8.32)

el cual tiene un modulo dado por

|E| =√

E2x + E2

y =√E2

ox + E2oycos(ωt + ψ) (8.32)

y un argumento dado por

θ = arctg[Eoy

Eoy

] (8.32)

El campo resultante se muestra en la figura (8.1). Observese que en particular, si Eox = Eoy

entonces el argumento total es θ = 45o. Los ejemplos 1 y 2 son casos de polarizacion lineal.

Ejemplo 3. Supongamos ahora que ψx = 0, ψy = −π2, y ademas Eox = Eoy = ER . Se pide

observar el campo total en un z fijo, por ejemplo z = 0. En ese caso, el campo electrico total


queda como

~E(z, t) = ERcos(ωt)i + ERcos(ωt− π

2)j (8.32)


|E| =√E2

R[cos2(ωt) + sin2(ωt)] = ER (8.32)


θ = arctg[ERsin(ωt)

ERcos(ωt)] = ωt (8.32)

El vector total ~E(z, t) se propaga a lo largo del eje z, pero observado en un z fijo, su extremo

describe un cırculo de radio |E| = ER que gira a medida que transcurre el tiempo segun un angulo

variable ωt. Si se observa la onda desde atras, a lo largo de z, entonces dicho giro es hacia la

derecha (fig.8.2). Este ejemplo 3 corresponde pues a polarizacion circular dextrogira.

Ejemplo 4. Supongamos ahora que ψx = 0, ψy = +π2, y ademas Eox = Eoy = EL . Se pide

observar el campo total en un z fijo, por ejemplo z = 0. En ese caso, el campo electrico total

queda como

~E(z, t) = ELcos(ωt)i− ELsin(ωt +π

2)j (8.32)


|E| =√E2

L[cos2(ωt) + sin2(ωt)] = EL (8.32)


θ = arctg[−sin(ωt)

cos(ωt)] = −ωt (8.32)

El vector total ~E(z, t) se propaga a lo largo del eje z, pero observado en un z fijo, su extremo

describe un cırculo de radio |E| = EL que gira a medida que transcurre el tiempo segun un angulo


variable −ωt. Si se observa la onda desde atras, a lo largo de z, entonces dicho giro es hacia la

izquierda (fig.8.2). Este ejemplo 4 corresponde pues a polarizacion circular levogira.

Es posible pues concretar el concepto de polarizacion de una onda electromagnetica de la

manera siguiente: ”..that property of a radiated electromagnetic wave describing the time-varying

direction and relative magnitude of the electric field vector; specifically, the figure traced as a

function of time by the extremity of the vector at a fixed location in space, and the sense in which

it is traced, as observed along the direction of propagation.”3.

Figura 8.2: Polarizaciones (1) Lineal, (2) Circular Dextrogira, (3) Circular Levogira

3IEEE Standard Definitions for Antennas.


8.4. Flujo de Energıa y Vector de Poynting

Con el fin de conectar nuestra discusion con el estudio que hicimos acedrca de la cuerda

vibrante, es conveniente estudiar el problema de flujo de energıa, para ello consideremos la

potencia que el campo electromagnetico entrega a una carga puntual. En terminos de la fuerza

de Lorentz, y observando que el campo magnetico no hace trabajo, es claro que la potencia que

estamos buscando esta dada por

dE

dt= ~E.(q~v) (8.32)

Si hay una distribucion de cargas entonces, la potencia se entrega a la densidad de corriente ~J

de manera que

dE

dt=

∫

V

dv ~E. ~J (8.32)

Al utilizar las ecuaciones de Maxwell para sustituir a la densidad de corriente por su relacion

con los campos electrico y nmagnetico se obtiene

dE

dt=

∫

V

dv ~E.

[~1

µ0

∇× ~B − ε0∂t~E

]. (8.32)

Ahora bien, es conveniente observar la siguiente identidad:

~∇.( ~E × ~B) = ~B.(~∇× ~E)− ~E.(~∇× ~B) (8.32)

que nos permite reescribir (8.4) en la siguiente forma alternativa:

1

µ0

~E.(~∇× ~B) =1

µ0

[~B.(~∇× ~E)− ~∇.( ~E × ~B)

], (8.32)

por otra parte, ~∇× ~E = −∂t~B de manera que el ultimo resultado puede reescribirse en la forma

1

µ0

~E.(~∇× ~B) =1

µ0

[− ~B.∂t

~B − ~∇.( ~E × ~B)]

(8.32)


en definitiva: ∫

V

dv ~E. ~J =

∫

V

dv

[− 1

µ0

~B.∂t~B − ε0

~E.∂t~E − ~∇.( ~E × ~B)

](8.32)

igualdad que, introduciendo la densidad de energıa electromagnetica,

u = uE + uB =1

2µ0

B2 +ε0

2E2 (8.32)

y utilizando el teorema de la divergencia podemos expresar en la forma:

∫

V

dv[~E. ~J + ∂t u

]= − 1

µ0

∫ds n.( ~E × ~B) (8.32)

en ausencia de corrientes esta igualdad corresponde ciertamente a la ecuacion de continuidad

∂tu + div(~S) = 0 (8.32)

donde el vector de Poynting definido como

~S ≡ 1

µ0

~E × ~B (8.32)

representa el transporte instantaneo de potencia por unidad de area, de manera que la potencia

instantanea (P ) que se entrega a una superficie S esta dada por:

P =

∫

S

~S.n ds (8.32)

8.5. Vector de Poynting para ondas armonicas

Es interesante observar la densidad de energıa y el vector de Poynting para una onda elec-

tromagnetica monocromatica. Como las operaciones involucradas no son lineales, es menester


trabajar con los campos fısicos concentrandonos en ondas con polarizacion uniforme. Usando la

parte real de las soluciones complejas, la onda electromagnetica esta formada por los campos:

~E(~r, t) = ~E0 cos(~k.~r − ω t + φ) (8.33)

~B(~r, t) =k × ~E0

ccos(~k.~r − ω t + φ) (8.34)

De acuerdo a esto, el vector de Poynting es:

~S =1

µ0

~E0 × (k × ~E0

c) cos2(~k.~r − ω t + φ) =

= ε0 cE20 cos2(~k.~r − ω t + φ) k (8.34)

donde hemos utilizado la formula que nos permite calcular un producto vectorial triple.

Es interesante calcular la densidad de energıa asociada al campo electromagnetico que estamos

discutiendo, el resultado es (ejercicio)

u = εo E20 cos2(~k.~r − ω t + φ) (8.34)

de manera que podemos expresar en la forma ~S = uck.

Finalmente, nos interesa estudiar los valores medios de estas cantidades, usando el resultado

estandar que establece que la media del cuadrado de un coseno es 0,5 obtenemos

< u > =1

2ε0 E2

0 (8.35)

< ~S > =1

2ε0 cE2

0 k = I k . (8.36)

donde la cantidad I denominada intensidad es la potencia media por unidad de area que trans-

porta la onda electromagnetica.


8.6. Complemento matematico

En esta seccion vamos a establecer algunos resultados que estan siendo utilizados en el texto

principal del capıtulo.

En primer lugar recordemos los operadores diferenciales basicos del analisis vectorial (aca φ

es un campo escalar, y ~V un campo vectorial):

grad(φ) = ∂xφ ex + ∂yφ ey + ∂zφ ez (8.37)

div(~V ) = ~∇.~V = ∂xVx + ∂yVy + ∂zVz (8.38)

rot~V = ~∇× ~V = det

ex ey ez

∂x ∂y ∂z

Vx Vy Vz

(8.39)

Estamos interesados en el siguiente campo escalar Φ = A ei(~k.~r−ω t), y en sus derivadas parciales:

∂iΦ = A∂i ei(~k.~r−ω t) = i ki A ei(~k.~r−ω t), i = x, y, z (8.40)

∂tΦ = −iω A ei(~k.~r−ω t) (8.41)

Podemos aplicar estos resultados al campo vectorial

~V = [Vxex + Vyey + Vz z] ei(~k.~r−ω t) (8.41)

donde ~V0 = Vxex+Vyey +Vz z es un vector de entradas complejas, con el fin de calcular ~nabla× ~V ,

y ~∇.~V . El resultado es

~∇× ~V = i~k × ~V y (8.42)

~∇.~V = i~k.~V (8.43)


Verifiquemos el resultado del rot,

rot~V = ~∇× ~V = det

ex ey ez

∂x ∂y ∂z

Vx ei(~k.~r−ω t) Vy ei(~k.~r−ω t) Vz ei(~k.~r−ω t)

(8.43)

de manera que

~∇× ~V = ex [∂y Vz − ∂z Vy] + · · · =

= {ex [i(kzVy − kyVz)] + . . . } ei(~k.~r−ω t) =

= i~V0 × ~k ei(~k.~r−ω t) = i~V × ~k (8.42)

Capıtulo 9

Elastodinamica Linealizada

La mecanica y la electrodinamica de medios contınuos estudian el comportamiento de la

la materia sin considerar su granularidad (estructura atomica). Esta aproximacion es valida

siempre que las condiciones experimentales no alcancen los lımites en que los efectos cuanticos

hacen su aparicion. Para el modelado de fenomenos ondulatorios, la idea de granularidad puede

ser bastante no trivial, pues depende crıticamente de la relacion entre el espectro de longitudes

de onda que se propagan y las dimensiones de los objetos explorados.

El objetivo de este capıtulo consiste en introducir cuatro cantidades fundamentales para el

desarrollo de la teorıa de elasticidad, a saber:

El vector de desplazamientos infinitesimales.

El tensor de deformacion.

El tensor de esfuerzos, y

El tensor de elasticidad.

130


Para el lector interesado en temas mas avanzados y especializados, debemos destacar algunos

trabajos comentados en la referencia [17]:

Un desarrollo sistematico del calculo tensorial, sin perder de vista las aplicaciones de la mecanica

(lineal) de los medios contınuos, viene bien tratado en P.Appel, Traite de mecanique rationelle, vol.5,

1926 y 1931, y en J.M. McConnells, Applications of the Absolute Differential Calculus (1931). Los que

marcan una nueva etapa en cuanto a la teorıa no-lineal de la elasticidad son las comunicaciones de

Leon Brillouin Les lois de l’elasticite sous forme tensorielle valable pour des coordonnees quelconques,

Annales de Physique, 3 (1925), y F.D.Murnaghan Finite deformations of an elastic solid. American

Journal of Mathematics, 59 (1937). El trabajo de Brillouin tambien puede leerse en Les tenseurs en

mecanique et elasticite (Masson et Cie, 1938; Dover, 1946).

9.1. El vector ~u

Consideremos un solido y un punto P en su interior. Sea ~rP su posicion antes de la deformacion

y ~r ′P su posicion despues de la deformacion. El vector de desplazamientos infinitesimales se define

como

~uP = ~r ′P − ~rP , (9.0)

es claro que si asignamos a cada punto del solido coordenadas referidas a un sistema cartesiano

fijo, el conjunto de los vectores ~uP para todos ellos constituye un campo vectorial, que en el caso

de una deformacion dinamica depende ademas del tiempo:

~u = ~u (x, y, z; t). (9.0)

Este campo vectorial se denomina el campo de desplazamientos infinitesimales1.

1En la literatura en ingles, ~u se denomina particle displacement field.


Figura 9.1: Vector de desplazamientos infinitesimales ~u.

Consideremos ahora dos puntos muy cercanos entre s—ii cuyas posiciones corresponden a

las coordenadas: P (x, y, z) y Q (x + dx, y + dy, z + dz), al ocurrir una deformacion, el cambio

de posicion entre ambos puntos no es otra cosa que

δ~u = ~r ′Q − ~r ′P = ~u(x + dx, y + dy, z + dz; t)− ~u(x, y, z; t) (9.0)

aproximando linealmente, resulta

δ~u = J ~dr (9.0)

donde J es la matriz de Jacobi de ~u. Ahora bien, siempre es posible poner:

J = w + e (9.0)

donde w y e son una matriz simetrica y una antisimetrica cuyas componentes son

wij =1

2[∂iuj − ∂jui] = ∂[iuj] (9.1)

eij =1

2[∂iuj + ∂jui] = ∂(iuj) (9.2)

(9.3)

Estos objetos son tensores, el tensor w esta asociado a rotaciones rıgidas -sin deformacion- del


solido como un todo, mientras que como aprenderemos en la siguiente seccion, el tensor simetrico

e es el objeto que describe las deformaciones2.

9.2. El tensor de Deformacion

El concepto de deformacion es fundamental en elastodinamica. Describe el cambio de las

posiciones relativas de las partıculas que componen un solido en la aproximacion de medios

contınuos. La deformacion puede ubicarse en el rango elastico (en el que las partıculas recuperan

sus posiciones al retirarse el agente deformante), plastico (en el que las partıculas quedan con

nuevas posiciones) o fractura (en el cual el solido pierde unidad estructural).

Queremos mostrar el aparato matematico que describe de forma general la deformacion de un

solido elastico. Para ello, necesitamos ser capaces de describir cuantitativamente la deformacion

local en cada punto dentro del solido. Veremos que dicha descripcion es posible asignando un

conjunto de seis numeros a cada punto. Dichos numeros son las componentes de un tensor

simetrico [17] que se llama tensor de deformacion (strain tensor).

Definimos deformacion homogenea cuando el solido es deformado a lo largo de una sola

direccion del sistema de referencia. Dado que tenemos un solido elastico lineal, se cumple que

ux

x=

∆L

L(9.3)

ux = exxx (9.3)

2ası por ejemplo, la elongacion por unidad de longitud de un cuerpo a lo largo del eje x, esta dada por

δxx = ∂xux, mientras que la dilatacion por unidad de volumen Θ ≡ ∆V

V esta dada por la traza de e, esto es:

Θ = eii


Cuando la deformacion es no homogenea, las otras dimensiones participan, ahora exx = exx(x, y, z),

pero exx sigue describiendo localmente la deformacion en la direccion x, por lo que generalizamos

exx =∂ux

∂x(9.3)

Todo el analisis anterior vale tambien para z y para y, por lo que

eyy =∂uy

∂y(9.3)

ezz =∂uz

∂z(9.3)

Hemos descrito deformaciones compresionales, es decir, deformaciones que van a lo largo de uno

o mas ejes del sistema de referencia. Falta describir deformaciones tipo cizalla (shear strain) en

las que los cambios de posicion son diagonales y hay angulos involucrados. En tales casos, la

deformacion en x es proporcional a la posicion en y, y viceversa (fig.9.3):

ux =θ

2y, uy =

θ

2x (9.3)

exy = eyx =θ

2(9.3)

con lo cual podrıa decirse que en general:

exy =∂ux

∂yeyx =

∂uy

∂x(9.3)

Sin embargo, en una rotacion pura, donde ∂ux

∂yy ∂uy

∂xson iguales y opuestos, no ocurre deformacion

(fig.9.3).


Figura 9.2: Deformacion Homogenea.

Figura 9.3: Cizalla y rotacion.


Debemos redefinir algunos terminos de manera que en casos como este la deformacion resulte

cero. Lo hacemos asi:

exy = eyx =1

2(∂uy

∂x+

∂ux

∂y) (9.3)

La descripcion anterior es analoga para exz, ezx, eyz, ezy, etc. El tensor de deformacion tiene

entonces nueve componentes

exx exy exz

eyx eyy eyz

ezx ezy ezz

(9.3)

con la facilidad adicional de que lo hemos definido como tensor simetrico (exy = eyx,..) por lo que

hay, a lo sumo, solo seis (6) numeros diferentes. Escrito con la notacion formal, el tensor (9.2) se

escribe de forma general y elegante como

eij =1

2(∂uj

∂xi

+∂ui

∂xj

) (9.3)

9.3. El tensor de Esfuerzo

En la seccion 9.2 hemos introducido el vector de desplazamientos infinitesimales u(r) y el

tensor de deformacion eij en un solido elastico3. En esta seccion introduciremos el tensor de

esfuerzo σij.

3A futuro veremos que, por ejemplo, la cantidad u(r,t) es el objeto cinematico fundamental de la ecuacion de

onda elastica y por tanto describe el movimiento de las partıculas en un solido por el que viaja una perturbacion

ondulatoria.


Figura 9.4: Para definir el tensor de deformacion eij, un solido 3D es pensado como un arreglo

discreto de partıculas. Las entradas diagonales del tensor eij describen los movimientos de la

partıcula en las direcciones de los ejes cartesianos.

Dos tipos de fuerzas pueden actuar sobre un solido: fuerzas de cuerpo (body or volume forces)

o fuerzas de superficie (surface or traction forces) [2][18]. Las fuerzas de cuerpo son fuerzas de

gran alcance que actuan sobre todas las partıculas del solido [2][18], y para cada elemento del

mismo son proporcionales a su masa o volumen4. Son ejemplos la fuerza gravitatoria (i.e.peso),

la fuerza electrostatica y la fuerza magnetostatica.

En cambio, las fuerzas de superficie actuan sobre las fronteras o bordes del solido [2]. Su

efecto no se produce de una vez sobre todas las partıculas del solido, sino que es transmitido

progresivamente a todas ellas via las fuerzas restauradoras entre partıculas vecinas (esfuerzos).

Los esfuerzos internos de un solido 3D sometido a deformacion pueden ser descritos por medio

de un tensor de rango dos denominado tensor de esfuerzo. Al igual que las fuerzas de superficie,

4Ver: http://www.damtp.cam.ac.uk/user/examples/P2Lb.pdf


Figura 9.5: Esfuerzo sobre elemento de superficie.

y a diferencia de las fuerzas de cuerpo, los esfuerzos actuan localmente entre las partıculas,

sobre elementos de superficie y no de volumen, por lo que pueden ser descritos como fuerzas de

superficie internas. En una vibracion libre, los esfuerzos son las unicas fuerzas presentes.

En un solido, a diferencia de un lıquido, toda fuerza interna tiene componentes compresionales

y de cizalla, por lo que hay que considerar sus componentes a lo largo de todos los ejes.

Sea un elemento de superficie ∆y∆z perpendicular al eje x. Una fuerza ∆F aplicada a dicho

elemento se descompone en sus tres componentes ∆Fx, ∆Fy, ∆Fz como muestra la figura.

Definimos entonces estas tres cantidades:

σxx =∆Fx

∆y∆z(9.3)

σyx =∆Fy

∆y∆z(9.3)

σzx =∆Fz

∆y∆z(9.3)

Notese que en cada cantidad σij, el primer ındice (i) se refiere a la componente de la fuerza, y el

segundo ındice (j) se refiere al eje coordenado perpendicular al elemento del area.


De manera similar, podemos imaginar un elemento de area ∆x∆y (perpendicular al eje z)

o un elemento de area ∆x∆z (perpendicular al eje y). En ambos casos podemos descomponer

las fuerzas como lo hemos hecho antes, y definir respectivamente

σxz =∆Fx

∆x∆yσyz =

∆Fy

∆x∆yσzz =

∆Fz

∆x∆y(9.3)

σxy =∆Fx

∆x∆zσyy =

∆Fy

∆x∆zσzy =

∆Fz

∆x∆z(9.3)

Todas estas cantidades son las nueve entradas del tensor de esfuerzo (stress tensor)

σij =

σxx σxy σxz

σyx σyy σyz

σzx σzy σzz

(9.3)

Problema 8 Revise la definicion del tensor de deformacion eij hecha en la seccion 9.2, y

comparela con la definicion del tensor de esfuerzo σij. Note en particular que las deformaciones

homogeneas van asociadas a los elementos de la diagonal eij, ası como los esfuerzos a lo largo

de los ejes van asociados a la diagonal σkk del tensor de esfuerzo.

9.4. El tensor de Elasticidad

Las ecuaciones dinamicas de la teorıa de elasticidad (denominadas ecuaciones de Navier)

relacionan al vector de desplazamientos infinitesimales con el tensor de esfuerzos. Como discu-

tiremos en el siguiente capıtulo, estas ecuaciones no son suficientes para encontrar el estado de

esfuerzos y deformacion de un solido arbitrario [1]. Y para lograr condiciones de integrabilidad

de las ecuaciones, es menester buscar un conjunto de relaciones constitutivas entre el tensor de


esfuerzos, el vector de desplazamientos infinitesimales y sus derivadas, esto es, una relacion con

la siguiente forma general

σ = σ(~u, ∂~u, ~u, ...). (9.3)

Las relaciones constitutivas mas sencillas corresponden a una linealizacion de la formula (9.4) en

que solo aparecen las derivadas espaciales de ~u

σij = σ(0)ij +

∂σij

∂∂pul

|~u0∂pul + . . .

≈ σ(0)ij +

∂σij

∂∂pul

|~u0∂pul (9.3)

en esta aproximacion, valida en el lımite (∂iup << 1), el termino de orden cero σ(0)ij representa

el estado natural de esfuerzos del sistema antes de que ocurra cualquier cambio en la posicion

relativa de los puntos del medio medido con respecto a un estado de referencia caracterizado por

el vector ~u0 (deformacion).

Como ya hemos comentado, la informacion acerca de la deformacion esta codificada en las

componentes del tensor e:

e ij ≡ 1

2(∂ui

∂xj

+∂uj

∂xi

) i, j = 1, 3 (9.3)

expresion que al sustituirse en las relaciones constitutivas linealizadas (9.3), permite reexpresar

la relacion esfuerzo-deformacion en la forma

σij ≈ ∂σij

∂∂pul

|~u0∂pul

= Cijklekl (9.3)

donde σ = σij − σ(0)ij representa la desviacion del estado de esfuerzos natural del medio y Cijkl ≡

∂σij

∂∂pul|~u0 . La igualdad (9.3) tiene una interpretacion fısica bastante sencilla, describe un material en


que los esfuerzos asociados a las deformaciones son proporcionales a esta estas, de tal suerte que

la ecuacion tensorial σ = Ce que denominaremos Ley de Hooke no es mas que la generalizacion

del modelo simplificado de un resorte (F = kx).

Desde el punto de vista de su comportamiento, un material se considera elastico si regresa a un

estado no deformado cuando dejan de actuar sobre el fuerzas externas. Experimentalmente se han

estudiado curvas de esfuerzo-deformacion para un gran numero de materiales observandose que

mientras las deformaciones son pequenas los esfuerzos resultan ser efectivamente proporcionales

a aquellas. De esta forma, la Ley de Hooke describe razonablemente el comportamiento fısico

de los medios contınuos en el lımite de deformaciones pequenas. Al pasar del lımite elastico,

el comportamiento de los materiales se puede volver sumamente complejo lo que se refleja en

relaciones constitutivas cada vez mas complicadas que pueden incluir terminos no lineales. En

particular, durante el comportamiento denominado plastico de los materiales, estos no regresan

a sus configuraciones iniciales cuando dejan de actuar las fuerzas externas (histeresis).

Los coeficientes Cijkl que aparecen en la ley de Hooke se denominan usualmente coeficientes

elasticos, como consecuencia del teorema del cociente, estas cantidades constituyen las compo-

nentes de un tensor de cuarto orden, y describen totalmente propiedades elasticas del medio (en

forma analoga a como los elementos de la matriz de permitividad εij describen sus propiedades

electricas). Fısicamente, las constantes elasticas aportan la informacion necesaria para entender

como se deformara el medio debido a una traccion (compresion o cizalla) aplicada en alguna

direccion dada.

En general un tensor de cuarto orden tiene 34 = 81 componentes independientes, el tensor de

coeficientes elasticos sin embargo, posee algunas simetrıas que reducen notablemente este numero.


En primer lugar, la ley de Hooke y la simetrıa del tensor de deformaciones implica que el tensor

de coeficientes elasticos debe ser simetrico en su primer par de ındices (esto es: Cijkl = Cjikl). En

segundo lugar debemos observar que en la ley de Hooke los dos segundos ındices del tensor de

coeficientes elasticos se contraen con los del tensor de deformaciones que es un tensor simetrico

lo que garantiza que el tensor de coeficientes elasticos tambien debe ser simetrico en dicho par

de ındices (Cijkl = Cijlk). Finalmente, un argumento termodinamico muy general [8] permite

probar que el tensor de coeficiente elasticos tambien es simetrico bajo el intercambio del primer

par de ındices con el segundo: Cijkl = Cklij. Como consecuencia de estas simetrıas el numero de

componentes independientes del tensor de coeficientes elasticos se reduce a 21.

Problema 9 Demuestre que un tensor de cuarto rango con las simetrıas Tijkl = Tjikl, Tijkl =

Tijlk y Tijkl = Tklij solo tiene 21 componentes independientes.

Discutamos en mas detalle la “Ley de Hooke”.

σij = Cijklekl (9.3)

Esta relacion nos dice que en cada punto las deformaciones locales son proporcionales a los esfuer-

zos locales. Mas especıficamente, cada componente σij del tensor de esfuerzos esta relacionada

linealmente con cada uno de los componentes del tensor de deformacion. Dado que eij tiene 9

componentes y σij tiene 9 componentes tambien, entonces tenemos 9x9=81 posibles coeficientes5

que describen el comportamiento elastico del solido, lo que efectivamente corresponde al conteo

de componentes de un tensor de cuarto orden que habıamos hecho anteriormente. El tensor de

coeficientes elasticos C se denomina tensor de elasticidad6. La relacion lineal5Coeficientes que son constantes si el medio es homogeneo y no dispersivo.6Stiffness tensor.


σxx σxy σxz

σyx σyy σyz

σzx σzy σzz

← lineal →

exx exy exz

eyx eyy eyz

ezx ezy ezz

(9.3)

se expresa como

σ = C : e (9.3)

Algunas simplificaciones generales muy importantes pueden hacerse sobre el tensor de elasticidad.

Son ellas:

Los tensores de esfuerzo y deformacion son simetricos, es decir σij = σji y ekl = elk, por

lo que en realidad el tensor de elasticidad solamente tiene 6x6=36 componentes indepen-

dientes. Estas 36 entradas independientes del tensor de elasticidad son7

C1111 C1122 C1133 C1123 C1113 C1112

C2211 C2222 C2233 C2223 C2213 C2212

C3311 C3322 C3333 C3323 C3313 C3312

C2311 C2322 C2333 C2323 C2313 C2312

C1311 C1322 C1333 C1323 C1313 C1312

C1211 C1211 C1233 C1223 C1213 C1212

(9.3)

Para fines del estudio de algunos casos especiales y de calculo numerico resulta muy conve-

niente recordar que debido a sus simetrıas, el numero de grados de libertad de los tensores

con los que estamos trabajando esta enormemente reducido. En particular, los tensores de

7El lector debe tener cuidado en observar que esto es una lista de los elementos independientes de Cijkl, no

una matriz.


esfuerzo y deformacion tienen seis (6) componentes independientes cada uno mientras que

el tensor de coeficientes elasticos tiene 21 que hemos definido anteriormente. Debido a sus

simetrıas, los tensores de esfuerzos y deformaciones solo tienen 6 componentes cada uno,

mientras que el tensor de coeficientes elasticos tiene 21 que corresponde al numero de com-

ponentes de una matriz 6 × 6 simetrica (n = 62+62

), esto sugiere una nueva simplificacion

en la notacion [2][19][20] que permite visualizar a todos los objetos de interes en terminos

de vectores y matrices que operan sobre ellos. La notacion se introduce a traves de las

siguientes identificaciones: 11 → 1, 22 → 2, 33 → 3, 32 → 4, 13 → 5 y 12 → 6,

donde por razones de consistencia denotaremos a los subındices que hacen referencia a los

objetos expresados en la nueva notacion con mayusculas. En la notacion matricial la ley

de Hooke se escribe como sigue:

σA = CABeB A,B = 1, 2, 3, 4, 5, 6 (9.3)

o en forma explıcita

σ1

σ2

σ3

σ4

σ5

σ6

=

C11 C12 C13 C14 C15 C16

C21 C22 C23 C24 C25 C26

C31 C32 C33 C34 C35 C36

C41 C42 C43 C44 C45 C46

C51 C52 C53 C54 C55 C56

C61 C62 C63 C64 C65 C66

e1

e2

e3

e4

e5

e6

(9.3)

las transformaciones que dan el cambio entre ındices (ij → A) se pueden expresar a traves


de la siguiente formula

A =

i sı i = j

9− (i + j) sı i 6= j

(9.3)

El tensor elastico Cijkl es de particular importancia porque, junto con la densidad ρ(x, y, z),

permite caracterizar de manera compacta y completa las propiedades de un medio elastico.

Matematicamente, un medio es distinto de otro porque difiere en densidad y en la forma del

tensor elastico [20].

9.5. Las Ecuaciones de Navier

En las secciones anteriores hemos introducido cuatro cantidades fundamentales de la mecanica

de medios contınuos, a saber, el vector de desplazamientos infinitesimales (ui), el tensor de

deformacion (eij), el tensor de esfuerzo (σij), y el tensor de elasticidad (Cijkl), con las relaciones

fundamentales (9.2) y (9.4).

Agregaremos ahora las ecuaciones de movimiento que relacionan aceleracion, esfuerzos y

fuerzas de cuerpo [2]43. En una pieza de material vibrante de volumen δV y superficie δS, el

balance de fuerzas totales y aceleracion viene dado (2a Ley de Newton) por

∫

δS

σ · ndS +

∫

δV

~FdV =

∫

δV

ρ∂2~u

∂t2dV (9.3)

donde σ son las fuerzas de traccion ejercidas sobre su superficie por partıculas vecinas (esfuerzos),

~F son las fuerzas de cuerpo, y ρ es la densidad del medio. Si estamos haciendo la aproximacion

anterior en un volumen pequeno, los integrandos de las integrales de volumen pueden considerarse


constantes, y podemos escribir ∫δS

σ · ndS

δV= ρ

∂2~u

∂t2− ~F (9.3)

pero nos damos cuenta que en el lado izquierdo tenemos por definicion, en el lımite δV → 0, la

divergencia

lımδV→0

∫δS

σ · ndS

δV≡ ∇ · σ (9.3)

donde se entiende que, solo en coordenadas cartesianas [2]45, se tiene

∇ · σ = i

(∂

∂xσxx +

∂

∂yσxy +

∂

∂zσxz

)(9.4)

+j

(∂

∂xσyx +

∂

∂yσyy +

∂

∂zσyz

)(9.5)

+k

(∂

∂xσzx +

∂

∂yσzy +

∂

∂zσzz

)(9.6)

de modo que la ecuacion (9.5) queda escrita como

ρ∂2~u

∂t2= ∇ · σ − ~F (9.6)

Se puede utilizar una notacion mas compacta con subındices

ρ∂2t uj = ∂i(σij)− Fj (9.6)

es decir

ρ∂2ux

∂t2= [

∂σxx

∂x+

∂σyx

∂y+

∂σzx

∂z]− Fx (9.6)

ρ∂2uy

∂t2= [

∂σxy

∂x+

∂σyy

∂y+

∂σzy

∂z]− Fy (9.6)

ρ∂2uz

∂t2= [

∂σxz

∂x+

∂σyz

∂y+

∂σzz

∂z]− Fz (9.6)

Estas relaciones se denominan8 ecuaciones de Navier.8Tambien aparecen referidas estas ecuaciones en la literatura como ecuacion traslacional de movimiento[2], o

simplemente como una consecuencia de la conservacion del momentum lineal [21], segun acabamos de deducir.


9.6. La Ecuacion de Christoffel

El grupo de relaciones elastodinamicas

eij =1

2(∂uj

∂xi

+∂ui

∂xj

) (9.6)

σij = Cijklekl (9.6)

ρ∂2t uj = ∂i(σij)− Fj (9.6)

puede ser resuelto iterativamente por metodos numericos [21][20] o analıticamente, como mostraremos

a continuacion. Haciendo cero las fuerzas de cuerpo en (9.6), y sustituyendo las ecuaciones (9.6)

y (9.6) en la ecuacion (9.6) se tiene [17]

Cijkl∂2uk

∂xl∂xj

− ρui = 0 (9.6)

expresion que puede reescribirse como (ui = δikuk)

Cijkl∂2uk

∂xl∂xj

− ρδikuk = 0 (9.6)

Las ecuaciones (9.6) son EDP lineales y homogeneas a coeficientes constantes, por lo que podemos

proponer soluciones en terminos de ondas armonicas planas monocromaticas [22]

uk = u(0)k ei(~k.~r−ωt) (9.6)

donde u(0)k , k = 1, 2, 3 son las componentes del vector de polarizacion, k es el numero de onda, y

~k es el vector de propagacion. Vamos a sustituir la solucion (9.6) en la ecuacion (9.6)

Cijkl∂

∂xl

∂

∂xj

[u(0)k ei(~k.~r−ωt)]− ρδik

∂2

∂t2[u

(0)k ei(~k.~r−ωt)] = 0 (9.6)


u(0)k Cijklkjkl[e

i(~k.~r−ωt)]− u(0)k ω2ρδik[e

i(~k.~r−ωt)] = 0 (9.6)

(Cijklkjkl − ρω2δik)u(0)k = 0 (9.6)

y reescribiendo en virtud de que ~k = k~n se tiene

(Cijklnjnl − ρ(ω

k)2δik)u

(0)k = 0 (9.6)

Esta es la ecuacion de Christoffel, y representa un problema de autovalores para el vector de

polarizacion u(0)k y la velocidad de fase v = ω

k. En las aplicaciones, por lo general se especifican

los coeficientes elasticos (entradas del tensor Cijkl) y la direccion de propagacion, y entonces el

tensor de segundo rango Cijklnjnl es pensable como una matriz 3 × 3, por lo que la ecuacion

(9.6) suele escribirse como

( Γ(n)− ρ(ω

k)2I )~u(0) = 0 (9.6)

donde I es la matriz identidad y (Γ(n)) es la denominada matriz de Kelvin-Christoffel. Dado que

conocemos sus elementos (Γ(n))jk = Cijklnjnl podemos reescribir explıcitamente

Γ11 − ρv2 Γ12 Γ13

Γ21 Γ22 − ρv2 Γ23

Γ31 Γ32 Γ33 − ρv2

u(0)1

u(0)2

u(0)3

= 0 (9.6)

La solucion del problema de autovalores (9.6) proveera las condiciones bajo las cuales la onda

plana monocromatica es solucion del mismo. La solucion, obviamente, estara conformada por

tres autovalores (valores de la velocidad de fase) y tres autovectores asociados, correspondientes

cada uno a un modo de propagacion independiente. Los autovalores se obtienen por medio de la


resolucion de determinante nulo∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Γ11 − ρv2 Γ12 Γ13

Γ21 Γ22 − ρv2 Γ23

Γ31 Γ32 Γ33 − ρv2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0 (9.6)

9.7. Enfoque Alternativo

Una forma alternativa de hacer el desarrollo anterior que conlleva igualmente a la ecuacion

de Christoffel es la siguiente, que utiliza notacion matricial en lugar de subındices.

Partimos nuevamente de las relaciones elastodinamicas fundamentales (9.6),(9.6) y (9.6),

ahora escritas de forma matricial mas compacta, a saber

e = ∇Ts u (9.6)

σ = C : e (9.6)

∇s · σ = ρ∂2u

∂t2− F (9.6)

donde el operador ∇s es9

∇s =

∂x 0 0 0 ∂z ∂y

0 ∂y 0 ∂z 0 ∂x

0 0 ∂z ∂y ∂x 0

(9.6)

9Este operador (la s viene por symmetric) esta definido en [2], y no debe confundirse con el operador tradicional

∇ = (∂x, ∂y, ∂z). La forma ∇s del operador no incluye un factor de 12 que aparece originalmente en el tensor eij , ya

que se presupone una redefinicion de dicho tensor con un factor de 2 en sus componentes cruzados. Sin embargo,

esto no afecta el desarrollo del argumento presentado (Ver [2])


Ahora, incluyendo la relacion (9.7) en (9.7) se tiene

σ = C : ∇Ts u (9.6)

Ahora introducimos (9.7) en (9.7), hacemos F = 0 en las fuerzas de cuerpo, y tenemos

(∇sC∇Ts )u = ρ

∂2

∂t2u (9.6)

Al igual que en la deduccion anterior, suponemos solucion en forma de ondas planas de la forma

u = u(0)ei(k·r−wt) (9.6)

donde k = kn y n = (nx, ny, nz), por lo que el operador diferencial ∇s dado en la expresion (9.7)

toma la forma

∇s → ik

nx 0 0 0 nz ny

0 ny 0 nz 0 nx

0 0 nz ny nx 0

(9.6)

∇Ts → ik

nx 0 0

0 ny 0

0 0 nz

0 nz ny

nz 0 nx

ny nx 0

(9.6)

entonces la cantidad (∇sC∇Ts ) se convierte en una matriz 3x3 que llamaremos [Γ], y la ecuacion

(9.7) queda como

(i2)k2[Γ]ei(kr−ωt)u(0) = (i2)ρω2ei(kr−ωt)u(0) (9.6)


al cancelar los terminos (i2)ei(kr−ωt) de ambos lados, y rearreglando, queda

(Γ− ρv2I)u(0) = 0 (9.6)

donde I es la matriz identidad y v = ω/k. Esta es la ecuacion de Christoffel, y la matriz Γ

es la matriz de Kelvin-Christoffel, cuyos coeficientes Γij dependen del medio de propagacion

via el tensor elastico C. Las componentes Γij de la matriz de Kelvin-Christoffel quedan pues

explıcitamente como

Γ11 = C11n2x + C66n

2y + C55n

2z +

+2C56nynz + 2C15nxnz + 2C16nxny (9.6)

Γ22 = C66n2x + C22n

2y + C44n

2z


Γ33 = C55n2x + C44n

2y + C33n

2z +


Γ12 = Γ21 = C16n2x + C26n

2y + C45n

2z + (C46 + C25) nynz +

+ (C14 + C56) nxnz + (C12 + C66) nxny (9.6)

Γ13 = Γ31 = C15n2x + C46n

2y + C35n

2z + (C45 + C36) nynz +

+ (C13 + C55) nxnz + (C14 + C56) nxny (9.6)

Γ23 = Γ32 = C56n2x + C24n

2y + C34n

2z + (C44 + C23) nynz +

+ (C36 + C45) nxnz + (C25 + C46) nxny. (9.6)

Capıtulo 10

Propagacion en Medios Isotropos

Se presenta un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales en derivadas parciales, denom-

inadas ecuaciones de Navier, que describen la dinamica de un medio contınuo. Estas ecuaciones

son la forma natural de las ecuaciones de Newton para un contınuo, y describen el movimiento

relativo de los puntos del medio provocado por los esfuerzos internos y las fuerzas de volumen

aplicadas al mismo [2].

Las ecuaciones de Navier son insuficientes para describir un sistema contınuo, razon por la cual

deben complementarse con un conjunto de relaciones constitutivas entre los esfuerzos y el objeto

cinematico que describe al movimiento relativo de los puntos del medio1. Hemos visto que, en el

caso de deformaciones pequenas, se utilizan relaciones constitutivas sencillas que describen a los

esfuerzos como proporcionales a las deformaciones (Ley de Hooke). Esto permitira, segun veremos,

que el sistema de ecuaciones total se linealiza, permitiendonos estudiar analıticamente algunos

casos sencillos. En dichos casos, es posible obtener ideas generales acerca del comportamiento

1Tambien por las ecuaciones que describen a la termodinamica del sistema[2] [8]

152


cualitativo de las soluciones.

Los fenomenos de perdida de energıa no pueden ser descritos por la ley de Hooke y es necesario

modificar las relaciones constitutivas para incorporarlos, por lo que no son objeto de estudio en

esta seccion2.

Al utilizar la ley de Hooke para un medio homogeneo es posible ver que las ecuaciones de

Navier linealizadas tienen soluciones ondulatorias sin perdidas. Si adicionalmente el medio es

isotropico, la teorıa predice la existencia de dos modos de propagacion independientes (ondas P ,

S) correspondientes a ondas longitudinales y transversales [8].

Veamos como luce el problema de la ecuacion de Christoffel para un medio isotropo. Vamos

a estudiar el problema con dos tecnicas diferentes.

Comencemos por recordar que para un medio isotropo el tensor de elasticidad tiene la forma

Cijkl = λδijδkl + µ(δikδjl + δilδik) (10.0)

Nuestra primera tecnica mostrara la ventaja de los metodos tensoriales. En el problema general

de autovalores (9.6) es decir, para la construccion de la matriz de Kelvin-Christoffel es necesario

evaluar la contraccion Cijklnjnl, sustituyendo la expresion (10) para las componentes del tensor

de coeficientes elasticos en esta contraccion se obtiene

[λδijδkl + µ(δikδjl + δilδjk)] njnl = (λ + µ)nink + µδik (10.0)

donde se ha utilizado explıcitamente que nini = 1. De esta forma, la ecuacion de Christoffel (en

2En el caso de un medio viscoelastico lineal, por ejemplo, las relaciones constitutivas incluyen un termino que

involucra la derivada temporal del tensor de deformaciones.


componentes) para un medio homogeneo es la siguiente

[(λ + µ)nink + µδik − ρ(

ω

k)2δik

]u

(0)k = 0, (10.0)

esta ecuacion se puede escribir facilmente en terminios vectoriales como

(λ + µ)(n.~u0)n + (µ− ρ(ω

k)2)~u(0) = 0 (10.0)

de esta forma, si descomponemos al vector ~u(0) en sus componentes longitudinal y transversa con

respecto al vector director de la propagacion

~u(0) = ~u(0)|| + ~u

(0)⊥ (10.0)

la ecuacion de Christoffel se desacopla y queda:

(λ + 2µ− ρ(ωk)2)~u

(0)|| = 0

(10.0)

(λ− ρ(ωk)2)~u

(0)⊥ = 0

haciendo evidente dos aspectos de la propagacion de ondas elasticas en un medio isotropo y

homogeneo, en primer lugar la existencia de dos modos de propagacion independientes, uno

longitudinal (la onda P ) que se propaga con velocidad de fase cP =√

λ+2µρ

y otro transverso (la

onda S) que se propaga con velocidad cS =√

λρ. En segundo lugar el hecho de que la onda P

es necesariamente escalar (solo tiene un grado de libertad) mientras que la onda S es vectorial y

por tanto es polarizable.

Nuestra segunda tecnica de resolucion hara uso de la notacion matricial descrita en el capıtulo

anterior [19, 2]. En terminos de esta notacion, la matriz CAB asociada al tensor elastico para un


medio isotropo es:

[C]iso =

λ + 2µ λ λ 0 0 0

λ λ + 2µ λ 0 0 0

λ λ λ + 2µ 0 0 0

0 0 0 µ 0 0

0 0 0 0 µ 0

0 0 0 0 0 µ

(10.-1)

Sustituyendo esta expresion en la matriz de Kelvin-Christoffel, los elementos Γij quedan de la

siguiente manera

Γ11 = (λ + 2µ)n2x + µn2

y + µn2z (10.0)

Γ22 = µn2x + (λ + 2µ)n2

y + µn2z (10.1)

Γ33 = µn2x + µn2

y + (λ + 2µ)n2z (10.2)

Γ12 = Γ21 = (λ + µ) nxny (10.3)

Γ13 = Γ31 = (λ + µ) nxnz (10.4)

Γ23 = Γ32 = (λ + µ) nynz. (10.5)

Consideremos ahora el problema de propagacion vertical en un medio isotropo, esto es, supong-

amos que el vector de propagacion de la onda esta dado por

n = (0, 0, 1) = k (10.5)

bajo esta hipotesis la matriz de Kelvin-Christoffel es automaticamente diagonal, en efecto, sus


elementos no nulos son

Γ11 = µ, (10.6)

Γ22 = µ,

Γ33 = (λ + 2µ),

y en consecuencia el problema de autovectores y autovalores para la propagacion se convierte en:

µ− ρν2 0 0

0 µ− ρν2 0

0 0 (λ + 2µ)− ρν2

u(0)1

u(0)2

u(0)3

= 0. (10.4)

Es evidente que el problema posee solo dos autovalores, uno de ellos degenerado, lo que indica que

solo hay dos ondas propagandose por la vertical. Una onda es una onda transversa (de cizalla)

asociada al autovalor degenerado

νS =

√µ

ρ, (10.4)

El vector de polarizacion (normalizado) de esta onda S esta dado por

~S(0) =1√

a2 + b2(a, b, 0) , (10.4)

de acuerdo a esto, podemos observar que la polarizacion de la onda S que se propaga verticalmente

en un medio isotropo es cualquier direccion arbitraria perteneciente al plano x− y.

La otra onda es una onda longitudinal (onda P ) que corresponde al autovalor

νP =

√(λ + 2µ)

ρ, (10.4)

con autovector asociado

~P (0) = (0, 0, 1) , (10.4)


Ahora, consideremos el problema de propagacion horizontal en un medio isotropo, esto es,

supongamos que el vector de propagacion de la onda es por ejemplo

n = (1, 0, 0) = i (10.4)

bajo esta hipotesis los elementos no nulos de la matriz Kelvin-christoffel son ahora

Γ11 = (λ + 2µ), (10.5)

Γ22 = µ,

Γ33 = µ,

y en consecuencia el problema de autovectores y autovalores para la propagacion es:

(λ + 2µ)− ρν2 0 0

0 µ− ρν2 0

0 0 µ− ρν2

u(0)1

u(0)2

u(0)3

= 0. (10.3)

Es evidente que el problema posee nuevamente solo dos autovalores, uno de ellos degenerado, lo

que indica que solo hay dos ondas propagandose por la horizontal. Una longitudinal (onda P )

que corresponde al autovalor

νP =

√(λ + 2µ)

ρ, (10.3)


~P (0) = (1, 0, 0) , (10.3)

la otra onda es una onda transversa (de cizalla) asociada al autovalor degenerado

νS =

√µ

ρ, (10.3)


El vector de polarizacion (normalizado) de la onda S esta dado por

~S(0) =1√

a2 + b2(a, b, 0) , (10.3)


en un medio isotropo es cualquier direccion arbitraria perteneciente al plano x− y.

Con el fin de que el lector pueda verificar la evidente ventaja de los metodos tensoriales para

manipular este tipo de calculos, queremos recordar que la solucion (10.0) considera la propagacion

en direccion arbitraria, mientras que los dos ultimos desarrollos que hemos presentado se limitan

a la propagacion vertical u horizontal.

Problema 10 Use las formulas (10.0) a (10.5) para las componentes de la matriz de Kelvin-

Christoffel de un medio isotropo para tratar el caso de propagacion general.

Un desarrollo alternativo [23] consiste en introducir directamente (10) en (9.7) y al manipular

un poco el algebra se obtiene

ρ∂2

∂t2~u = (λ + 2µ)∇(∇ · ~u)− µ(∇×∇× ~u) (10.3)

donde el operador ∇ es el tradicional

∇ = (∂x, ∂y, ∂z) (10.3)

Al aplicar divergencia a ambos lados de (10) se tiene

ρ∂2

∂t2(∇ · ~u) = (λ + 2µ)[∇ · ∇(∇ · ~u)] (10.3)

rearrglando y simplificando se tiene finalmente

∇2θ =ρ

λ + 2µ

∂2θ

∂t2(10.3)


donde θ = ∇ · ~u o dilatacion es la cantidad dinamica que cumple con esta ecuacion de onda, y

que se asocia al movimiento longitudinal de las partıculas u onda-P, de modo que

vP =

√λ + 2µ

ρ(10.3)

Problema 11 Dado que en un medio isotropo la cantidad (∇ · ~u) es el ente dinamico funda-

mental que se propaga como onda-P, es importante recuperar la intuicion de lo que significa un

campo divergente. Para el campo ~F (~r) = (−x,−y−,−z), visualice la forma del campo, y calcule

respectivamente ∇ · ~F y ∇× ~F .

Analogamente, si ahora se toma rotacional a ambos lados de (10), se tiene3

∇2(∇× ~u) =ρ

µ

∂2

∂t2(∇× ~u) (10.3)

que es una ecuacion de onda para ∇× ~u, que es la cantidad que se desplaza como onda-S, con

velocidad de fase

vs =

√µ

ρ(10.3)

Problema 12 Dado que en un medio isotropo la cantidad (∇ × ~u) es el ente dinamico fun-

damental que se propaga como onda-S, es importante recuperar la intuicion de lo que significa

un campo rotacional. Para el campo ~F (~r) = (−y, x), visualice la forma del campo, y calcule

respectivamente ∇ · ~F y ∇× ~F .

3Hemos utilizado las identidades vectoriales ∇×∇f = 0 con f = (∇ · ~u) y ∇×∇× ~F = ∇(∇ · ~F −∇2 ~F ), con

~F = ∇× ~u.

Capıtulo 11

Propagacion en Medios Anisotropos

La anisotropıa sısmica es una propiedad de los medios contınuos cuyo estudio cobra cada vez

mas importancia dado el avance que presentan las tecnicas emergentes en geofısica de exploracion.

Esta seccion contiene un resumen parcial de algunos topicos fundamentales en anisotropıa sısmica.

No se incluyen todavıa topicos concernientes a Anisotropıa en procesamiento-interpretacion, y

anisotropıa observada en estudios de petrofısica. En cambio, son parte central del contenido de

estas seccion temas como: teorıa de propagacion en medios dispersivos, teorıa de propagacion en

medios isotropos, teorıa de propagacion en medios anisotropos con simetrıas usuales, entre otros.

11.1. ¿Que es Anisotropıa?

En su sentido mas amplio, la palabra anisotropıa se refiere de la manera siguiente [24]:

Un medio es anisotropo si sus propiedades dependen de la direccion en que sean

160


observadas1.

Esta manera de definir el concepto es lo suficientemente amplia (ni siquiera refiere la palabra

onda) como para pensar en casos no referidos necesariamente a la sısmica. Por ejemplo, en la

vida cotidiana podemos percibir la anisotropıa en variedad de situaciones. Entre ellas:

Caminar por un tejado. Dado que las tejas se colocan en el techo en la distribucion usual,

sabemos que no es lo mismo caminar (”propagarse”) a lo largo de ellas que atravesandolas.

Si nuestra propiedad bajo observacion es la sensacion que produce en los pies caminar por

un tejado con los ojos cerrados, podemos decir que el tejado es un medio que, respecto a

dicho parametro, es anisotropo.

Caminar por un empedrado fino. Esta experiencia, a diferencia de la anterior, podrıa dar

la sensacion subjetiva de isotropıa, ya que sentirıamos lo mismo al caminar en cualquier

direccion. Sin embargo, una tortuga podrıa no pensar lo mismo, y encontrar incluso una

direccion en la que su andar sea mas ligero. Asimismo, un pequeno escarabajo dirıa que des-

de su punto de vista, el empedrado es un medio heterogeneo. Entonces cabe una pregunta:

¿esta ligada la nocion de anisotropıa al concepto de escala?

Onda en 1 dimension. Ya que, segun nuestro concepto, la anisotropıa depende de la direc-

cion, entonces ¿Puede hablarse de anisotropıa en el caso de un medio 1D?. Parece imposi-

ble!. Sin embargo, es importante tener presente el sentido (Figura 11.1).

Ahora bien, en un marco estrictamente geofısico, la anisotropıa sısmica se define de la manera

siguiente [25]:

1i.e.medidas


Figura 11.1: (a) Medio heterogeneo 1D. (b) Medio anisotropo 1D.

Un medio es anisotropo si la velocidad sısmica depende de la direccion (angulo)

Obviamente, en esta definicion hay que explicar un poco que se entiende por terminos como

angulo y velocidad sısmica. El angulo se refiere a cualquier parametro que en la geometrıa de

adquisicion y procesamiento se utilice para especificar una direccion de propagacion de onda. El

termino velocidad sısmica, sin embargo, requiere un poco mas de cuidado: se refiere a cualquiera

de las velocidades que se manejan en adquisicion o procesamiento, vale decir [25]:

Velocidad de rayo / Velocidad de frente de onda

Velocidad de Grupo / Velocidad de Fase

Velocidad Intervalica

Velocidad Promedio Vertical

Velocidad de Apilamiento

Velocidad RMS


Sin embargo, en el concepto de anisotropıa sısmica no solo entran en juego factores como

la velocidad o la direccion. Hay involucradas otras sutilezas, como por ejemplo la definicion

de escala, a lo cual habıamos hecho breve mencion en uno de los ejemplos anteriores. Es tan

importante este punto que merecera reiterada mencion a lo largo de estas notas. Sin embargo,

podemos revisar ahora algunos conceptos importantes que son pertinentes [20]:

Un medio es heterogeneo si sus propiedades, medidas a lo largo de una direccion fija, varıan

al cambiar la posicion.

Un medio es anisotropo si sus propiedades, medidas en una posicion fija, varıan al cambiar

la direccion.

Veremos mas adelante que la diferencia ultima entre calificar un medio como anisotropo o

como heterogeneo va ligada a la especificacion de una escala, la cual en problemas de propagacion

viene determinada por la longitud de onda. Es por ello que encontramos definiciones alternativas

de anisotropıa como la siguiente [26]:

”[...] anisotropy as a concept of geophysics should not be applied to every heteroge-

neous material, but only to those that may be treated as homogeneous on the scale

of the wavelengths used to probe them.”

Este enfoque, que es el que utilizaremos en adelante, es compatible con la clasificacion de

Tatham-MacCormack [23] para los tipos de anisotropıa:

Intrınseca: en aquellos materiales que a la escala de observacion presentan

anisotropıa pero lucen homogeneos.


Inducida: materiales intrınsecamente isotropos pero que sometidos a esfuer-

zos o temperaturas muy fuertes sufren una orientacion preferencial de sus partıcu-

las, haciendose anisotropos.

Long-wavelength anisotropy: aquellos materiales que lucen heterogeneos (lam-

inares, por ejemplo), pero que a la escala de la sısmica (long−wavelength) tienen

un comportamiento anisotropico.

Hemos revisado hasta aquı algunas ideas que nos acercan al concepto de anisotropıa sısmica.

Sin embargo, una pregunta capital debe ser resuelta primero [24]:

Si la anisotropıa sısmica es tan importante, ¿por que ha sido tan exitosamente

ignorada en geofısica de exploracion durante los ultimos 50 anos?

A contestar esta pregunta esta dedicada, en parte, la presente seccion. Veamos entonces

algunas razones.

11.1.1. ¿Ha sido observada la anisotropıa sısmica?

La anisotropıa sısmica habıa sido observada en datos sısmicos de diversa ındole desde hace

bastante tiempo. Sin embargo, por razones que mencionaremos, no habıa sido incorporada a las

rutinas de exploracion. Veamos la siguiente lista de hechos importantes [24]:

Ya en los anos 30 se sabıa que Vp determinada por reflexion (reflection surveys) era 10−20 %

mayor que la Vp determinada por refraccion (refraction surveys) en la misma area. Por

ejemplo, Levin (1978) reporta un estudio no publicado de McCollum y Snell en 1932, en el

que VPH es 40 % mayor que VPV en Lorraine Shales, Canada.


En los anos 50 y 60 son representativos los estudios teoricos y practicos de Postma (1955)

y Backus (1962) que llevaron a la hoy conocida y capital conclusion: Even a completely

isotropic layered earth could appear anisotropic if the layering is on a finer scale than the

seismic wavelegths.

Posteriormente, aparecieron estudios importantes de anisotropıa intrınseca en petrofısica:

Nur(1969), Bachman(1979), y Jones&Wang(1981) son algunos de los mas representativos.

11.1.2. El problema del NMO

A pesar de toda esta evidencia historica y reciente en favor de la anisotropıa sısmica, mu-

chos procedimientos de la geofısica de exploracion siguen funcionando sobre la base implıcita de

isotropıa en el subsuelo. La correccion de NMO por ejemplo, paso fundamental y primario en

toda secuencia de procesamiento digital de datos de sısmica de reflexion, es uno de los mas rep-

resentativos. Veamos a continuacion una breve revision [27] de los calculos elementales de NMO,

a fin de aclarar como un NMO asumido isotropico puede funcionar con anisotropıa presente.

En la figura vemos una capa plana isotropa de velocidad V , con una fuente y un receptor. En

virtud de la construccion tipo imagen indicada, el tiempo de viaje del rayo SCR en dicha capa,

es

t =IR

V(11.0)

La hiperbola x− t es entonces

V 2t2 = x2 + 4h2 (11.0)


Figura 11.2: Esquema NMO basico

Haciendo x = 0 (posicion de la fuente) se tiene

h =1

2V t0 (11.0)

de donde la ecuacion de la hiperbola (11.1.2) se puede reescribir

t2 = (x2

V 2) + (

4h2

V 2) = (

x2

V 2) + t20 (11.0)

Ahora bien, el siguiente paso es aplicar una aproximacion binomial que explıcitamente asume

2h >> x (11.0)

es decir

t = (2h

V)[1 + (

x

2h)2]1/2 = t0[1 + (

x

V t0)2]1/2 = t0[1 +

1

2(

x

V t0)2 +

1

8(

x

V t0)4 + ...] (11.0)

Para dos tiempos y dos offsets cualesquiera:

∆t = t2 − t1 ≈ (x22 − x2

1)

2V 2t0(11.0)


Respecto a x = 0 (i.e. NMO)

∆tn ≈ x2

2V 2t0(11.0)

que es la correccion de NMO usual. Vemos entonces que la aproximacion (11.1.2) es muy im-

portante, hemos obtenido un resultado donde al no aparecer ya ningun termino que involucre

(x/h) o (x/2h) se esta asumiendo isotropıa de la capa V. La aproximacion (11.1.2) significa en

adquisicion una sola cosa: offsets cortos. Ası pues, anotemos la conclusion siguiente

La razon fundamental por la cual un procedimiento de NMO isotropo funciona,

aun para capas fuertemente anisotropas, es que por lo general se han utilizado2 offsets

cortos en los disenos y rutinas de adquisicion de datos sısmicos.

De hecho, Dellinger [24] advierte que el prestigioso Encyclopedic Dictionary of Exploration Geo-

physics3 define NMO como:

The additional time required for energy to travel from a source to a flat, reflecting

bed and back to a geophone at some distance from the source point, compared with the

time to return to a geophone at the source point.

asumiendo implıcitamente: 1) Capa isotropa, 2) Reflector plano (fondo) y 3) Superficie plana

(fuente y receptores). De hecho, se asume que si la variacion del tiempo de viaje ajusta a este

modelo, el moveout es normal, y la velocidad de la capa isotropa es, por definicion, la velocidad

de NMO.

2Hasta los anos 803Sheriff, 1984


11.2. Anisotropıa en la Geofısica Contemporanea

Al igual que en el caso del NMO, muchos otros pasos importantes del procesamiento de datos

sısmicos tienen por lo general una hipotesis subyacente fundamentalmente isotropica. A pesar de

todo esto, es justo aclarar que la hipotesis isotropica tuvo y sigue teniendo dominancia por una

razon fundamental

ES MAS SIMPLE!

Si esta razon parece tonta o sin peso, recuerdese que hubo un tiempo en que se utilizo con

exito, inclusive, la hipotesis acustica [25].

En esta parte de nuestro analisis, cabe tambien la pregunta inversa:

Si la hipotesis isotropa no es enteramente correcta, entonces ¿Por que los trabajos

prospectivos, sobre todo en tiempos recientes, son cada vez mas exactos y exitosos?.

Las razones a analizar para responder esta pregunta son varias. Mencionemos algunas [25]:

Mejores datos

• Mejores instrumentos (mayor ancho de banda)

• Mas adquisicion worldwide (3D,4D)

• Nuevas tecnicas de adquisicion

Mejores algoritmos (imaging, migracion, etc)

Mayor capacidad de computo (procesamiento, interpretacion)


En los parrafos anteriores nos hemos enfrentado con dos interrogantes fundamentales. La

primera de ellas nos llevo a la conclusion de que, a pesar de las evidencias historicas y tecnicas

en favor de la anisotropıa, una aproximacion isotropica funciona bastante bien dentro de los

rangos usuales. La segunda, nos llevo a reconocer que, a pesar de que la aproximacion isotropa

no es enteramente correcta, mejoras sustanciales en prospeccion han aparecido gracias a factores

adicionales que han contribuido de forma importante.

Sin embargo, la incorporacion de la anisotropıa sısmica como consideracion tecnica funda-

mental en adquisicion y procesamiento, ha venido cobrando cada vez mas importancia debido a

varios factores. Podemos mencionar entre ellos:

Utilizacion de mayores offsets en los disenos y rutinas de adquisicion. Esto hace que

la aproximacion (11.1.2) ya no sea necesariamente valida, las velocidades horizontales

pueden diferir sustancialmente de las verticales, con lo cual se hace necesario consider-

ar la anisotropıa de la capa observada.

Practica extendida de AVO y AVO azimutal, en los que el procesamiento requiere de manera

casi imperativa la incorporacion de la anisotropıa como factor de analisis.

Incorporacion de computadores de alto rendimiento. Esto hace factible ejecutar de manera

eficiente procesos complejos como la migracion que incluya anisotropıa

11.3. Sistemas de Simetrıa

El estudio de las simetrıas presentes en los solidos viene del estudio de cristales y su com-

portamiento optico, elastico y acustico [28]. Existen 32 clases de simetrıas cristalinas. La teorıa


de grupos las clasifica a su vez en 7 sistemas de simetrıa [2] [26], que reciben comunmente los

siguientes nombres: triclınico, monoclınico, ortorrombico, tetragonal, trigonal, hexagonal, cubico.

Las diferencias entre representantes de las 32 clases de simetrıas se deben a sus propiedades

de simetrıa [26]:

Symmetry properties are ways a material might be transformed either physically or conceptually

to make it appear the same after transformation as before. For example, rotating a solid around

any axis by 360 degrees will leave it unchanged both in appearance and in fact. So all solids are

symmetric under 360 degrees rotations. Such a rotation is a symmetry operation, although trivial.

Others are nontrivial. There are symmetry operations other than rotation and reflection, but all of

them can be generated by simple combinations of rotation and reflection.

En un solido 3D, cada sistema de simetrıa esta asociado a una forma particular del tensor

elastico. El cuadro (11.1) resume los siete sistemas de simetrıa [2]191 [19] [28]77. Estos nombres

se usan para designar los medios elasticos anisotropos, ası como el numero de coeficientes inde-

pendientes (C.I.) del tensor elastico asociado. Hemos agregado el caso isotropo, por referencia.

Un caso capital, dado su nivel de importancia y utilidad en las aplicaciones, es el tensor

elastico de un medio isotropo. Se puede demostrar [19][8][2][1] que la forma del tensor elastico

Cijkl para un medio isotropo 3D es

Cijkl = λδijδkl + µ(δikδjl + δilδjk) (11.0)


Simetrıa C.I.

Triclınico 21

Monoclınico 13

Ortorrombico 9

Trigonal 7

Tetragonal 6

Hexagonal 5

Cubico 3

Isotropico 2

]

Cuadro 11.1: Sistemas de simetrıa de medios elasticos

donde λ, µ son los parametros de Lame. Escrito explıcitamente se tiene [20]

[C]iso =

λ + 2µ λ λ 0 0 0

λ λ + 2µ λ 0 0 0

λ λ λ + 2µ 0 0 0

0 0 0 µ 0 0

0 0 0 0 µ 0

0 0 0 0 0 µ

(11.0)

Problema 13 Muestre que es posible escribir las componentes del tensor elastico Cijkl en un

medio isotropo en terminos del modulo de Young y el radio de Poisson.

Otra simetrıa de importancia primordial en geofısica de exploracion es la simetrıa hexagonal,


cuyo tensor de elasticidad tiene la forma

[C]hex =

C11 C11 − 2C66 C130 0 0

C11 − 2C66 C11 C13 0 0 0

C13 C13 C33 0 0 0

0 0 0 C44 0 0

0 0 0 0 C44 0

0 0 0 0 0 C66

(11.0)

Tanto el medio isotropico como de simetrıa hexagonal seran objeto de estudio en lo sucesivo, en

estas notas.

11.4. Medios con Simetrıa Hexagonal Vertical

Hemos visto ya la forma de las soluciones a las ecuaciones de la elastodinamica en el caso

de un medio isotropo. Otros aspectos cualitativos generales del comportamiento de las ondas

elasticas , reflexion y refraccion en una interfase plana y conversion entre los modos y fenomenos

de birrefringencia aparecen naturalmente en las soluciones exactas de las ecuaciones de Navier

en los medios anisotropos, que es lo que veremos a continuacion.

Se dice que un medio tiene simetrıa hexagonal vertical si su tensor de elasticidad Cijkl tiene


la forma

[C]V TI =

C11 C11 − 2C66 C13 0 0 0

C11 − 2C66 C11 C13 0 0 0

C13 C13 C33 0 0 0

0 0 0 C44 0 0

0 0 0 0 C44 0

0 0 0 0 0 C66

(11.0)

En este caso, los coeficientes Γij de la matriz de Kelvin-Christoffel son

Γ11 = C11n2x + C66n

2y + C44n

2z (11.1)

Γ22 = C66n2x + C22n

2y + C44n

2z

Γ33 = C44n2x + C44n

2y + C33n

2z

Γ12 = Γ21 = (C11 − C66) nxny

Γ13 = Γ31 = (C13 + C44) nxnz

Γ23 = Γ32 = (C44 + C23) nynz.

Consideremos ahora el problema de propagacion vertical en un medio con simetrıa hexagonal

vertical, esto es, supongamos que el vector de propagacion de la onda esta dado por

n = (0, 0, 1) = k (11.-4)




Γ11 = C44, (11.-3)

Γ22 = C44,

Γ33 = C33,

y en consecuencia el problema de autovectores y autovalores para la propagacion se trivializa

totalmente, a pesar de esto lo escribiremos en forma explıcita para analizar las consecuencias

fısicas de la anisotropıa del medio:

C44 − ρν2 0 0

0 C44 − ρν2 0

0 0 C33 − ρν2

u(0)1

u(0)2

u(0)3

= 0. (11.-5)

Es evidente que el problema posee solo dos autovalores, uno de ellos degenerado, lo que indica

que solo hay dos ondas propagandose por la vertical. Una longitudinal (onda P ) que corresponde

al autovalor

νP =

√C33

ρ, (11.-5)


~P (0) = (0, 0, 1) , (11.-5)

la otra onda es una onda transversa (de cizalla) asociada al autovalor degenerado

νS =

√C44

ρ, (11.-5)

El vector de polarizacion (normalizado) de la onda S esta dado por

~S(0) =1√

a2 + b2(a, b, 0) , (11.-5)



en un medio V TI es en el plano x− y pero que aparte de esta condicion es arbitraria.

x1

x3

x2

Direccion dePropagacion

P2

S2

S2

Figura 11.3: La propagacion paralela al eje de simetrıa en un medio VTI esta compuesta por los

dos modos que se muestran: uno longitudinal denominado P2 y otro transverso (S2)

Ahora, consideremos [19] el problema de propagacion horizontal en un medio con simetrıa

hexagonal vertical, esto es, supongamos que el vector de propagacion de la onda es perpendicular

a la direccion de simetrıa, por ejemplo

n = (1, 0, 0) = i (11.-5)




Γ11 = C11, (11.-4)

Γ22 = C66,

Γ33 = C44,

y en consecuencia el problema de autovectores y autovalores para la propagacion es:

C11 − ρν2 0 0

0 C66 − ρν2 0

0 0 C44 − ρν2

u(0)1

u(0)2

u(0)3

= 0. (11.-6)

El problema posee solo tres autovalores, lo que indica que hay tres ondas propagandose por la

horizontal. Una longitudinal (onda P ) que corresponde al autovalor

νP =

√C11

ρ, (11.-6)


~P (0) = (1, 0, 0) , (11.-6)

una segunda es una onda transversa asociada al autovalor

νS1 =

√C66

ρ, (11.-6)

y autovector (0, 1, 0). La tercera (autovector (0,1,0)) es tambien una onda transversal asociada

al autovalor

νS2 =

√C44

ρ, (11.-6)


de acuerdo a esto, podemos observar que la onda S que se propaga horizontalmente en un medio

V TI tiene dos componentes (S1, S2) que se propagan a distintas velocidades, lo cual da origen

al fenomeno de birrefringencia.

Problema 14 En un medio VTI homogeneo e infinito a lo largo del eje-y (∂y = 0), y donde la

excitacion corresponde a fuentes de esfuerzo tales que σ2 = σyy = 0, se sabe que en una cierta

direccion la matriz de Kelvin-Christoffel adopta la forma

Γ11 0 Γ13

0 Γ22 0

Γ31 0 Γ33

(11.-6)

donde Γ11 = C11/2, Γ22 = C66/2, Γ33 = C33/2, Γ13 = Γ31 = C13/2 y ademas se conoce que

C44 = 0. Diga cual es el vector unitario n que corresponde a esa direccion.

11.5. Medios con Simetrıa Hexagonal Horizontal

Otros medios elasticos de interes en las aplicaciones a la exploracion son aquellos que poseen

simetrıa hexagonal con con eje de simetrıa horizontal.

En la literatura estos medios se conocen como medios de isotropıa transversal horizontal

Horizontal Transversaly Isotropic (HTI). Es claro que para un medio de este tipo las propiedades

elasticas en el plano xy no son iguales en todas la direcciones, debido a esto, estos medios tambien

son denominados medios con anisotropıa acimutal. Los medios de este tipo se han utilizado

para modelar la propagacion de ondas sısmica en areas que presentan un sistema de fracturas


x1

x3

x2

Direccion dePropagacion

P1S1

S2

Figura 11.4: La propagacion perpendicular al eje de simetrıa en un medio VTI esta compuesta

por los tres modos que se muestran: uno longitudinal denominado P y dos transversos (S1, S2)

paralelas4.

Para un medio HTI la matriz de coeficientes elasticos esta dada por5:

[C]HTI =

C11 C13 C13 0 0 0

C13 C33 (C33 − 2c44) 0 0 0

C13 (C33 − 2c44) C33 0 0 0

0 0 0 C44 0 0

0 0 0 0 C55 0

0 0 0 0 0 C55

, (11.-6)

Estudiemos de nuevo la propagacion vertical, esto es, con vector director de propagacion vertical.

4Thomsen, 1988, Crampin, 1978, 19845Tsvankin, 1997


En este caso los elementos no nulos de la matriz de Kelvin-Crhistoffel son los siguientes

Γ11 = C55

Γ22 = C44 (11.-6)

Γ33 = C33,

y en consecuencia la ecuacion de Christoffel tiene la siguiente forma explıcita

C55 − ρν2 0 0

0 C44 − ρν2 0

0 0 C33 − ρν2

u(0)1

u(0)2

u(0)3

= 0. (11.-7)

que de nuevo es un problema de solucion elemental que exhibe tres autovalores asociados a tres

autovectores ortogonales entre sı

νP =√

C33

ρ, ~P (0) = (0, 0, 1) para la onda P ,

ν// =√

C44

ρ, ~S

(0)// = (0, 1, 0) para la onda S//,

ν⊥ =√

C55

ρ, ~S

(0)⊥ = (1, 0, 0) para la onda S⊥,

(11.-7)

la interpretacion fısica de estos resultados es la siguiente: en la propagacion de las ondas en una

direccion perpendicular al eje de simetrıa del medio hexagonal se propagan dos modos de cizalla

(ondas S ) con polarizaciones ortogonales entre sı y a la direccion de propagacion. El modo de

propagacion S// se denomina usualmente modo rapido ya que para incidencia normal se propaga

a mayor velocidad que el modo S⊥6

Un caso especial de este tipo de medio esta caracterizado por fracturas paralelas y verticales,

donde los planos verticales que contienen a las fracturas coinciden con los planos de simetrıa.

6Crampin, 1985


En medios de este tipo , se define el Sistema de Coordenadas Naturales (SCN) formado por la

direccion de las fracturas (eje y), la direccion perpendicular a las fracturas (eje x) y la direccion

vertical (eje z ).

Si la polarizacion de la onda S coincide con uno de los planos naturales, paralela (yz) o

perpendicular (xz) a la direccion de las fracturas, la onda se propaga sin sufrir cambios en su

polarizacion. En caso que la polarizacion de la onda incidente no coincida con alguno de estos

planos ocurre el fenomeno de birrefringencia y la onda S se separa en dos ondas que se propagan

a distintas velocidades, polarizadas en los planos naturales

Lo anterior tambien tiene una explicacion intuitiva. La velocidad de las ondas polarizadas en

la direccion perpendicular a las fracturas (V⊥) es menor debido a que estas ondas atraviesan zonas

menos duras (fracturas). Esto hace que experimenten una menor rigidez y puedan deformar mas

facilmente al medio. Por otra parte, las ondas polarizadas paralelas a las fracturas tienen que

deformar las rocas sin fracturas experimentando una rigidez efectiva mayor por lo que tendran

mayor velocidad de propagacion(V//

).

Hay evidencias que indican que dentro de cierto rango el cociente V// y V⊥ es proporcional a

la densidad de fracturas7. Entendiendose por densidad de fracturas el numero de fracturas por

unidad de volumen.

11.6. Birrefringencia

A partir de lo discutido en las secciones anteriores, podemos comprender el compendio pre-

sentado en la figura (11.6): cuando se tienen dos ondas de cizalla en cualquier orientacion (S1,S2)

7Tatham et al., 1992


penetrando un medio VTI a lo largo de su eje de simetrıa (eje vertical), no ocurre birrefringencia,

y las ondas emergen de la misma forma que ingresaron al medio. Asimismo, cuando se tienen

dos ondas de cizalla (S1,S2) orientadas segun (perpendicular y paralelo) el plano de las capas

penetrando un medio VTI a lo largo de un eje perpendicular al eje de simetrıa (eje vertical),

ocurre birrefringencia, y las ondas emergen cada una con su propia velocidad, separadas por un

retardo en tiempo, emergiendo primero y mas rapido la S1 orientada paralelo a las intefaces del

medio.

Figura 11.5: Birrefringencia en un medio VTI y en un medio HTI

Por el contrario, cuando se tienen dos ondas de cizalla en cualquier orientacion (S1,S2) pene-

trando un medio HTI a lo largo de su eje de simetrıa (eje horizontal), no ocurre birrefringencia,

y las ondas emergen de la misma forma que ingresaron al medio. Asimismo, cuando se tienen

dos ondas de cizalla (S1,S2) orientadas segun (perpendicular y paralelo) el plano de las fracturas

penetrando un medio HTI a lo largo de un eje perpendicular al eje de simetrıa (eje horizontal),

ocurre birrefringencia, y las ondas emergen cada una con su propia velocidad, separadas por un

retardo en tiempo, emergiendo primero y mas rapido la S1 orientada paralelo a las fracturas del

medio.


En la figura (11.6) se muestra la vista en planta de un medio fracturado, modelable como el

medio HTI de la figura (11.6). Localmente, es posible asignar un sistema coordenado a la direccion

preferencial de las fracturas, sistema que se conoce generalmente como sistema de coordenadas

naturales (SCN), y un sistema coordenado (SCR) al geofono multicomponente instalado para

registrar las senales de cizalla en cada direccion. Independientemente de la orientacion que tenga

una hipotetica onda-S que se propaga acercandose a la parte de atras de la pagina, cuando

esta atraviesa el medio fracturado inmerso en la pagina, se divide (split) en sus proyecciones

asociadas al SCN, que es lo que identificamos como ondas S1 y S2, una paralela a las fracturas

y otra perpendicular, respectivamente. El detector multicomponente, y por tanto el SCR, tienen

orientacion arbitraria, tal vez alineado uno de sus ejes con la direccion fuente-receptor, como

muestra la figura. Las senales que se registraran finalmente como trazas inline (i) y crossline

(c) en el geofono, son las proyecciones de S1 y S2 sobre los ejes SCR, es decir, los ejes del geofono

(fig.11.6).

Tatham et al.(1987) realizaron un experimento fısico similar al experimento mental que acabamos

de describir, con la salvedad de que la fuente-S utilizada (detras de la pagina) y el receptor-

S, unico y monocomponente, utilizado para captar la senal emergente, eran en todo momento

paralelos, es decir, la onda emitida por la fuente con angulo (θ) es recibida, despues de sufrir

birrefringencia, por un receptor orientado con el mismo angulo (θ). Esto permite estudiar el com-

portamiento de la birrefringencia de onda-S versus el angulo (θ). Los resultados [23] se muestran

en la figura (11.6). Para (θ = 0o) y para (θ = 180o) por ejemplo, se registra solamente la onda

S1 (rapida), mientras que para (θ = 90o) y para (θ = 270o), se registra solamente la onda S2

(lenta). En los angulos intermedios, porciones de ambas se registran en cada traza.


Buena parte de la literatura tecnica sobre sısmica multicomponente en medios fracturados

esta dedicada a algoritmos para la estimacion de orientacion y densidad de fracturas (Crampin,1985;

Alford,1986; Naville,1986; Harrison8,1992)[23]. La orientacion de fracturas usualmente es estima-

da a partir de algoritmos que utilizan los angulos que ya hemos examinado (angulos relativos de

SCN,SCR, y onda saliente del punto de conversion, por ejemplo). La densidad de fracturamiento,

por su parte, es estimada usualmente a partir del retardo en tiempo que se observa de la onda

S2 respecto a la onda S1.

La birrefringencia o doble refraccion, descrita aquı para ondas sısmicas, tiene su fuente de

estudio original y mas exacta en optica, en la que es comun por ejemplo el estudio experimental

de cristales birefringentes que, segun sea el angulo de giro que se les proporcione en el laboratorio,

transmite en mayor o menor grado una onda de luz polarizado en una direccon especıfica9.

8CREWES,Canada.9Ver Born & Wolf


Figura 11.6: Birrefringencia en un medio fracturado. Vista de planta

Figura 11.7: Trazas registradas en un experimento de modelaje fısico de un medio HTI (Tatham

et al.,1987)

Capıtulo 12

Soluciones Numericas a la Ecuacion de

Onda

Los metodos de diferencias finitas son tecnicas que permiten encontrar aproximaciones a

las soluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (PDE). En este reporte vamos

a introducir las ideas basicas de resolucion de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales a

traves de metodos de diferencias finitas. El problema de interes consiste en encontrar un conjunto

de funciones (ΦA(x), A = 1, 2, ..., P , x ≡ (~x, t) ∈ <n+1) que satisfagan un sistema de ecuaciones

de la forma

[M(x)]ijAB∂2ijΦ

B + FA(∂1Φ1, . . . , ∂nΦP ; Φ1, . . . , ΦP ;x) = 0 (12.0)

en el interior de un hipervolumen. La idea basica de los metodos de diferencias finitas consiste

en sustituir los puntos del interior del hipervolumen por una discretizacion en terminos de los

vertices de una malla (que puede o no ser regular). Una vez escogida la discretizacion (es decir,

185


la geometrıa de la malla) las derivadas parciales se aproximan por cocientes incrementales y las

ecuaciones diferenciales son sustituidas por un conjunto de ecuaciones que contienen los valores

de las funciones en diferentes puntos de la malla, de esta manera, lo que se busca es encontrar

valores aproximados a los valores de las funciones incognita en los vertice de la malla. Estos

metodos numericos son de alcance bastante general. El procedimiento que se utilice para llevar

a cabo la discretizacion define el esquema de diferencias finitas que se esta utilizando.

Es claro que el proceso de discretizacion sustituye la solucion exacta u por una solucion

aproximada uh. Y es natural preguntarse acerca del sentido en que la sustitucion es adecuada,

las respuestas a esta interrogante estan asociadas con tres conceptos basicos [29][9], a saber

1. La convergencia, es un concepto asociado con el error de truncacion y define la forma

en que la solucion aproximada se acerca a la solucion exacta. Se dice que el esquema es

convergente si lımh→0

uh → u.

2. La consistencia del esquema esta relacionada con la precision con la que el operador

diferencial discretizado (ph) aproxima al operador diferfencial P que define la PDE. Se dice

que el esquema es consistente si y solo si Pφ− phφ → 0, ∀φ

3. El ultimo concepto de interes es denominado estabilidad. La solucion uh debe mantenerse

acotada cuando uh → u, el criterio de estabilidad es el siguiente

h∑

|uh|2 < c(u) (12.0)

Estos tres conceptos estan relacionados por el siguiente

Teorema 3 Un esquema consistente de diferencias finitas es convergente si y solo si es estable


Volveremos al detalle de la convergencia mas adelante.

Los problemas fısicos que involucran ecuaciones diferenciales en derivadas parciales suelen

clasificarse en dos grandes grupos (ver cap. 3):

1. Problemas de Valores Iniciales: Son problemas en los que la solucion buscada describe

la evolucion temporal de la(s) variable(s) involucrada(s) a partir de los valores de la(s)

funcion(es) en t = 0. Entran en esta categorıa

a) Problemas de tipo parabolico (Ecuacion de Difusion)

∂u

∂t= D∇2u (12.0)

b) Problemas de tipo hiperbolico (Ecuacion de Ondas)

∂2u

∂t2= v2∇2u (12.0)

2. Problemas de Valores en la Frontera: Son problemas estaticos, en los que la solucion

debe verificar en particular los valores de la funcion en cierta parte del dominio que es el

borde o frontera. Pertenecen a esta categorıa los problemas de tipo elıptico (Ecuaciones de

Poisson y Laplace)

∇2u = ρ (12.0)

En estas notas nos restringiremos a problemas de tipo hiperbolico. En el apendice aparecen varios

ejemplos de corridas con codigos en diferencias finitas, todos los codigos fueron programados por

el autor utilizando la aplicacion MATLAB.


12.1. Introduccion a la Derivacion Discreta

El primer paso en nuestro estudio consiste en profundizar un poco mas en las ideas mas

elementales de la diferenciacion discreta introducidas en el capıtulo 7, con este fin, consideremos

una funcion real (f(x)) de una variable definida en un intervalo que discretizaremos segun la

siguiente prescripcion

xj = x0 + j∆x j = 0, 1, ..., J (12.0)

de esta forma, el dominio que consiste en el intervalo [x0, x0 + N∆x] ha sido discretizado a J

puntos distanciados ∆x unidades entre sı. Adicionalmente utilizarfemos la siguiente notacion

estandar para para los valores de la funcion discretizada: f(xj) → fj.

La manera mas sencilla de definir operadores de diferenciacion discreta es a traves de las

siguientes formulas de desarrollo de Taylor

f(xj+1) ≈ f(xj) +df

dx(xj)∆x +

1

2

d2f

dx2(xj)(∆x)2 +

+1

3!

d3f

dx3(xj)(∆x)3 + O(∆x4) (12.0)

f(xj−1) ≈ f(xj)− df

dx(xj)∆x +

1

2

d2f

dx2(xj)(∆x)2 −

− 1

3!

∂3f

∂x3(xj)(∆x)3 + O(∆x4), (12.0)

a partir de las cuales obtenemos tres posibilidades para los operadores de derivacion discreta

du

dx|j =

fj+1 − fj

∆x+ 0(∆x), derivada avanzada (12.1)

df

dx|j =

fj − fj−1

2∆x+ 0(∆x2), derivada atrasada (12.2)

df

dx|j =

fj+1 − fj−1

2∆x+ 0(∆x2), derivada centrada (12.3)


Cualquiera de estos operadores es consistente en el sentido de que al tomar el lımite ∆x →0 se recupera la definicion de la derivada, sin embargo, el error numerico que se comete al

utilizar cada uno de ellos es diferente, siendo el operador centrado el que tiene mayor orden en

el error de truncacion. Es posible definir operadores mucho mas precisos, pero por el momento

nos conformaremos con estos comentando adicionalmente que todos tienen el mismo punto de

asignacion (xj).

La manipulacion de las aproximaciones de Taylor tambien permite encontrar expresiones para

las derivadas de orden superior, ası por ejemplo, la inspeccion directa de las expresiones para

f(xj±1) lleva a la siguiente formula para la segunda derivada

d2f

dx2|j =

fj+1 + fj−1 − 2fj

∆x2+ O(∆x2) (12.3)

12.2. EDP’s en D = 1 + 1 y Analisis de Estabilidad

El problema hiperbolico mas sencillo posible esta definido por la ecuacion de ondas unidirec-

cional1 o ecuacion advectiva, esta sencillez permite entender algunos de los aspectos basicos de los

problemas de estabilidad que deben enfrentarse durante el proyecto y por esto que abordaremos

el problema de estabilidad en esta seccion siguiendo muy de cerca la presentacion de la referencia

[9].

La ecuacion de ondas unidireccional sin fuentes es la siguiente:

∂u

∂t+ v

∂u

∂x= 0, v constante (12.3)

cuyas soluciones exactas son de la forma f(x− vt).

1one way wave equation


Para resolver numericamente la ecuacion (12.2) discretizaremos el dominio x − t (espacio

tiempo) en una malla de J ×N puntos definidos como sigue:

xj = x0 + j∆x j = 0, 1, ..., J (12.4)

tn = t0 + n∆t n = 0, 1, ..., N (12.5)

adicionalmente utilizaremos la siguiente notacion para para los valores de la solucion aproximada

en los vertices de la red: u(xj, ti) → uij

Con el fin de resolver la ecuacion diferencial en forma aproximada utilizaremos operadores

avanzados para las derivadas temporales y centrados para las derivaciones espaciales, es decir,

utilizaremos:

∂u

∂t|j,n =

un+1j − un

j

∆t+ 0(∆t) (12.6)

∂u

∂x|j,n =

unj+1 − un

j−1

2∆x+ 0(∆x2) (12.7)

de manera que la solucion que vamos a obtener es de primer orden en tiempo y de segundo orden

en el espacio. Al sustituir (12.6) y (12.7) en la ecuacion (12.2) resulta

un+1j − un

j

∆t= −v(

unj+1 − un

j−1

2∆x) (12.7)

que no es mas que una ecuacion en diferencias de la que podemos podemos despejar un+1j segun

un+1j = [−v(

unj+1 − un

j−1

2∆x)]∆t + un

j (12.7)

esta ultima formula nos permite calcular los valores de la funcion en el punto (xj, tn+1) a partir de

los valores en los puntos (xj−1, tn) y (xj+1, tn). Los metodos de resolucion de estas caracterısticas

se conocen como esquemas explıcitos. La formula (12.2) permite obtener la evolucion temporal


del campo de ondas a partir de las condiciones iniciales u(xj, t0), j = 0, . . . J . Por razones

obvias el esquema de diferencias finitas que estamos utilizando es denominado FTCS Forward

Time Centered Space. Lamentablemente, y a pesar de que los operadores de derivacion son

consistentes, este esquema de solucion numerico -relativamente directo- a la ecuacion (12.2)

resulta ser inestable, lo que puede exhibirse programando la formula (12.2)en un computador

(ver figura (12.1)).

020

4060

80100 0

50

100

150−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (t) Posición (x)

z=u(x,t)

Figura 12.1: Solucion FTCS a la ecuacion de ondas unidireccional. La condicion inicial es una

forma de onda Gaussiana. La corrida consta de 100 iteraciones en tiempo. El algoritmo es in-

estable, lo que se refleja tanto en el crecimiento de la solucion como en la aparicion de artefactos

numericos.

Este ejemplo sencillo nos muestra claramente el principal problema de los metodos explıcitos,

la estabilidad de la solucion no esta garantizada a priori lo que en principio lleva a posibles

perdidas de tiempo al poner estos metodos en practica, sin embargo, existe un metodo teorico


(cuya utilidad practica quiza este limitada por las dificultades analıticas que puede implicar) que

permite predecir algunos aspectos de la estabilidad de un esquema explıcito y debido a su interes

dedicaremos la siguiente subseccion a explicarlo.

0

50

100

150

200

020406080100120140

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Tiempo

Figura 12.2: Otra corrida del esquema FTCS a la ecuacion de ondas unidireccional con la misma

condicion inicial utilizada en la figura 12.1. El numero de iteraciones en tiempo es 200. Resulta

obvio que los efectos de la inestabilidad son catastroficos.

12.2.1. Analisis de Von Newman

El valor de la solucion aproximada en cada punto (unj )puede representarse en la forma [9]

unj = ξn(k)ei(kj∆x) (12.7)

donde los coeficientes ξ(k) ∈ C y k es el numero de onda (real), la idea basica del analisis de Von

Newman consiste en observar que en vista de que n es el ındice asociado a la evolucion temporal


la amplitud de la solucion (ξn) tiende a crecer sin cota si |ξ(k)| > 1 para algun k. De acuerdo a

esto, la solucion unj resulta estable si |ξ(k)| ≤ 1 para todo2 numero de onda (k).

Al sustituir unj = ξnei(kj∆x) en la ecuacion discretizada (12.2) resulta

ξn+1eikj∆x − ξneikj∆x = −v∆t

∆x[ξneik(j+1)∆x − ξneik(j−1)∆x] (12.7)

de donde se obtiene inmediatamente

ξ(k) = 1− v∆t

∆x[eik∆x − e−ik∆x]

= 1− iv∆t

∆xsin(k∆x) (12.7)

de aca resulta obvio que |ξ(k)| ≥ 1 ∀k, de donde se concluye que el esquema FTCS es incondi-

cionalmente inestable.

12.2.2. Metodo de Lax

El problema de la inestabilidad del esquema FTCS para la ecuacion (12.2) puede ser resuelto

utilizando un metodo debido a Lax [9], la idea es introducir una modificacion al esquema FTCS

de tal manera que al aplicar el analisis Von Neuman la condicion de estabilidad |ξ(k)| ≤ 1, se

satisfaga -al menos bajo ciertas condiciones-.

El metodo consiste en sustituir el termino unj en la derivada temporal por la media aritmetica

de los valores de unj calculada con sus vecinos

unj →

1

2(un

j+1 + unj−1) (12.7)

2o al menos para un rango de numeros de onda


Al hacer esto y despejar un+1j se obtiene el siguiente esquema explıcito

un+1j =

1

2(un

j+1 + unj−1)−

v∆t

2∆x(un

j+1 − unj−1) (12.7)

0

50

100

0 20 40 60 80 100 120 140

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo

Figura 12.3: Solucion con suavizado de Lax para una condicion inicial gaussiana. El algoritmo

es estable pero se observan claramente dos efectos indeseados: dispersion (en este caso ensan-

chamiento de la onda) y atenuacion (perdida de amplitud).

La figura (12.3) muestra la solucion de la ecuacion de ondas unidireccional utilizando el

metodo de Lax, la solucion se ha estabilizado. Con el fin de entender este resultado comencemos

por llevar a cabo el analisis de Von Newman (unj = ξnei(kj∆x)), el valor que resulta para el factor


de amplificacion es el siguiente

ξ(k) = cos(k∆x)− iv∆t

∆xsin(k∆x) (12.7)

y en consecuencia la condicion de estabilidad |ξ(k)| ≤ 1 se satisface siempre y cuando

|v|∆t

∆x≤ 1 (12.7)

resultado que se conoce como criterio de estabilidad de Courant-Friedrichs-Lewy, o sencillamente

condicion de Courant. Vale la pena comentar que la condicion de Couranrt es una guıa que nos

permite escoger los parametros de discretizacion del mallado en que se va a resolver la ecuacion

diferencial.

Para entender un poco el origen de la estabilidad asociada al metodo de Lax restemos unj en

ambos lados de la formula (12.2.2)

un+1j − un

j =1

2(un

j+1 + unj−1)−

v∆t

2∆x(un

j+1 − unj−1)− un

j (12.7)

reordenando el miembro derecho y dividiendo por ∆t resulta:

un+1j − un

j

∆t=

1

2∆t(un

j+1 − 2unj + un

j−1)−v

2∆x(un

j+1 − unj−1) (12.7)

expresion que representa la discretizacion de la ecuacion

∂u

∂t= −v

∂u

∂x+

(∆x)2

2∆t

∂2u

∂x2(12.7)

El nuevo termino (∆x)2

2∆t∂2u∂x2 , analogo al termino de disipacion en la ecuacion del calor, es de origen

puramente numerico y es la fuente de la estabilizacion del metodo de Lax. Este termino tiende a

suavizar la solucion aproximada atenuando los modos de longitud de ondas corta y preservando

los de longitud de onda larga.


12.2.3. Dispersion Numerica

Consideremos las soluciones exactas de la ecuacion

∂tu(x, t) + v∂xu(x, t) = 0 (12.7)

es decir, paquetes de onda de la forma f(x− vt), al avanzar en tiempo (t → t+∆t), los paquetes

evolucionan segun f(x−vt) → f(x−v(t+∆t)), y en consecuencia cada modo de Fourier3, resulta

multiplicado por un factor e−ikv∆t.

Al examinar el factor de amplificacion asociado al metodo de Lax para la ecuacion (12.2.3)

ξ(k) = cos(k∆x)− iv∆t

∆xsin(k∆x) (12.8)

= e−ik∆x + i(1− v∆t

∆x)sin(k∆x (12.9)

resulta claro que si se escogen las discretizaciones de manera que ∆x = v∆t el factor de am-

plificacion reproduce la solucion exacta. Por otra parte, si ∆x 6= v∆t el factor de amplificacion

introduce cambios de fase adicionales debido al termino i(1 − v∆t∆x

)sin(k∆x) lo que ciertamente

induce dispersion en el paquete de ondas, este efecto es puramente numerico y es despreciable

si k∆x << 1 (longitudes de onda largas), pero se hace mas y mas notable a medida que las

longitudes de onda se hacen comparables con el espaciamiento espacial de la malla lo que causa

que la dispersion numerica se concentre en las altas frecuencias.

La aparicion de fenomenos dispersivos asociados a la discretizacion numerica de la ecuacion

diferencial no es sorprendente, en efecto, en los cursos de fısica elemental se estudia el problema de

la cuerda vibrante como el lımite contınuo (N →∞) de una cadena de N osciladores acoplados.

3recordemos que los desplazamientos en un dominio corresponden a productos por una fase en el dominio

conjugado, esto es:∫∞−∞ g(q − q0)eipq = e−ipq0G(p)


En el transcurso de este analisis se estudia la propagacion de pulsos en la cadena de osciladores

encontrandose efectos de dispersion que desaparecen en lımite contınuo.

12.3. Problemas en D = 2 + 1

12.3.1. La Ecuacion de Ondas Escalar

Nuestro interes esta centrado en el modelado de propagacion de ondas en medios tridimen-

sionales, las secciones anteriores nos han permitido discutir algunos aspectos elementales de la

tecnica de diferencias finitas aplicada a la resolucion de EDP’s, evidentemente, los problemas

de PDE’s formulados en dimensionalidades espaciales mayores a 1 presentan complicaciones adi-

cionales que presentaremos en esta seccion. Con este proposito vamos a construir un par de

esquemas explıcitos para estudiar el problema de propagacion de ondas escalares en 2D. En esta

seccion simplificaremos al maximo el problema limitandonos al caso de medios homogeneos, esto

es, pretendemos resolver la ecuacion

c2{∂2

xφ(x, y; t) + ∂2yφ(x, y; t)

}= ∂2

t φ(x, y; t) (12.9)

cuyas soluciones analıticas son bien conocidas.

12.3.2. Discretizacion del Laplaciano

Para construir el esquema de diferencias y siguiendo la seccion 12.1 comenzaremos por con-

siderar las siguientes formulas de Taylor a segundo orden (a tiempo fijo) para la funcion φ (h es


el espaciamiento de la malla):

φ(x + h, y; t) ≈ φ(x, y; t) + h∂xφ(x, y; t) + 12∂2

xφ(x, y; t)h2 (12.10)

φ(x, y + h; t) ≈ φ(x, y; t) + h∂xφ(x, y; t) + 12∂2

yφ(x, y; t)h2 (12.11)

φ(x− h, y; t) ≈ φ(x, y; t)− h∂xφ(x, y; t) + 12∂2

xφ(x, y; t)h2 (12.12)

φ(x, y + h; t) ≈ φ(x, y; t)− h∂yφ(x, y; t) + 12∂2

yφ(x, y; t)h2 (12.13)

olvidando el resto (para sustituir el signo de aproximacion por una igualdad) y sumando miembro

a miembro obtenemos la expresion

φ(x + h, y; t) + φ(x− h, y; t) + φ(x, y + h; t) + φ(x, y − h; t) = 4φ(x, y; t) + 2∇2φ(x, y; t) (12.13)

de donde podemos obtener la siguiente formula aproximada para el laplaciano de la funcion φ en

el punto (x, y; t)

∇2φ(x, y; t) =1

2h2(

∑vecinos

φ− 4φ(x, y; t)) (12.13)

esta formula no considera la contribucion de los cuatro puntos (x±h, y±h) denominados segundos

vecinos del punto (x, y), que pueden ser incluıdos en un estudio mas detallado. Por cierto que esta

formula puede obtenerase como suma de dos derivaciones dobles centradas (una en x y otra en

y), este es un ejemplo de una tecnica denominada operator splitting sobre la que no elaboraremos

mas en este primer estudio de los metodos DF para PDE’s.

12.3.3. Evolucion Temporal

Estudiaremos la evoucion temporal con dos discretizaciones que llevan a esquemas distin-

tos. El primero utilizara una discretizacion directa del operador ∂2t mientras que el segundo se

obtendra de un argumento fısico que tiene una elegante correspondencia matematica.


El primer esquema se obtiene utilizando la siguiente generalizacion de la formula (12.1)

∂2t φ(x, y; t) =

1

(∆t)2[φ(, x, y; t + ∆t)− 2φ(x, y; t) + φ(x, y; t−∆t)] (12.13)

cuya interpretacion fısica es clara: (12.3.3) es una formula que nols permite encontrar la “acel-

eracion” (φ) en un instante de tiempo en terminos de los valores de φ en el mismo punto espacial

en dos instantes diferentes.

El esquema de diferencias se obtiene sustituyendo (12.3.2) y (12.3.3) en la ecuacion de ondas

para representarla por la siguiente aproximacion

1

(∆t)2(φ(t + ∆t)− 2φ(t) + φ(t−∆t)) =

c2

2h2[

∑vecinos

φ(t)− 4φ(t)] (12.13)

Esta expresion se traduce trivialmente a los puntos de la red discreta (para ello se introduce la

siguiente notacion estandar: φ(mh, nh; t∆t) → utm,n)

1

(∆t)2(ut+1

m,n − 2utm,n + ut−1

m,n) =c2

2h2{(ut

m+1,n − 2utm,n + ut

m−1,n) +

+(utm,n+1 − 2ut

m,n + utm,n−1)} (12.13)

de esta igualdad podemos despejar ut+1m,n para obtener la siguiente formula de extrapolacion en

tiempo para los valores de u

ut+1m,n = 2ut

m,n +(c∆t)2

2h2{(ut


m−1,n) +

+(utm,n+1 − 2ut

m,n + utm,n−1)} − ut−1

m,n (12.13)

De esta manera, hemos obtenido una formula que a partir de los datos iniciales u0mn y u−∆t

mn

permite -en principio- predecir la evolucion por pasos de tiempo de u en todos los puntos de la

malla. Aca debemos observar que si bien el esquema de diferencias finitas que hemos construido


0

20

40

60

80

100

120

140 0

20

40

60

80

100

120

140

0

5

10

15

20

Figura 12.4: Propagacion del campo de ondas escalar en un medio homogeneo (condicion inicial).

es no solo natural sino claramente consistente, el hecho de que sea un esquema explıcito implica

que es menester estudiar en detalle de el problema de estabilidad para asegurar la convergencia.

El segundo esquema que discutiremos fue utilizado para calcular la figuras (12.4) y (12.5) y

consiste en utilizar la aceleracion (φ) para encontrar la velocidad (φ) por una integraciontemporal

para luego integrar de nuevo en el tiempo para conseguir φ

De acuerdo con esto resulta claro que si usamos derivadas avanzadas para discretizar el


020

4060

80100

120140

0

50

100

150

−1

−0.5

0

0.5

1

Figura 12.5: El campo de ondas luego de 300 iteraciones en tiempo.

tiempo, el esquema es resulta como sigue:

atm,n ≡ c2

2h2{(ut


m−1,n) +

+(utm,n+1 − 2ut

m,n + utm,n−1)} (12.13)

vt+1m,n = vt

m,n + ∆tatm,n (12.14)

ut+1 = vtm,n∆t + ut

m,n (12.15)

Este esquema se puede obtener reduciendo el orden de la ecuacion original de la forma estandar,

es decir, sustituyendo la ecuacion por un sistema de primer orden, a saber:

v(x, y; t) = c2∇2φ(x, t; t) (12.16)

φ(x, y; t) = v(x, y; t) (12.17)


12.4. Esquemas Implıcitos y Explıcitos

La formula de extrapolacion en tiempo (12.13) tiene la forma general

ut+1m,n =

∑

m′,n′;p≤t

C(m,n, m′, n′, p)upm′,n′ (12.17)

donde los coeficientes C(m,n, m′, n′, p) son conocidos, y los ındices (m′, n′) estan asociados a

alguna vecindad del punto (m,n) de la malla, los metodos basados en diferencias finitas en

que la solucion final se expresa en esta forma son denominados metodos explıcitos en contraste

con otros metodos denominados implıcitos en los cuales la solucion se obtiene resolviendo un

sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de coeficientes generalmente es dispersa.

Como regla general los esquemas explıcitos son relativamente mas simples de implementar que

los implıcitos (sobre todo en 3D), y no se necesita hacer inversiones de matrices en cada paso de

calculo, como ocurre en los esquemas implıcitos. Sin embargo, el estudio de la estabilidad de los

esquemas explıcitos requiere un cuidado especial, lo que generalmente se traduce en pasos cortos

de calculo y chequeo de condiciones crıticas. Por otra parte, los esquemas implıcitos son siempre

incondicionalmente estables pero tienden a ser menos precisos y requieren -por construccion- de

la inversion de matrices [29]

12.5. Ecuaciones con Coeficientes Variables

Uno de los problemas de mayor interes para las aplicaciones consiste en el manejo de medios

heterogeneos, o en terminos matematicos, en la resolucion numerica de EDP’s con coeficientes

variables.


Las ecuaciones de interes para el proyecto son las ecuaciones de la elas-to-di-na-mi-ca lineal-

izada, lo que implica que en las PDE’s de interes apareceran terminos tıpicos de la forma

∂i[s(~x)∂jg(~x, t)] (12.17)

donde: s representa alguna funcion “conocida”(alguno de los parametros elasticos del medio), g

alguna de las funciones que queremos determinar y los subındices i y j alguna de las direcciones

de diferenciacion espacial.

De acuerdo con esta observacion observacion, uno de los temas prioritarios acerca de los cuales

tendremos que inquirir es el de la discretizacion eficiente y consistente de expresiones del tipo

(12.5). Para destacar el punto consideremos una posible solucion al problema. Supongamos que

estamos en una dimension espacial, y que estamos interesados en discretizar la expresion:

E =∂(f(x)u(x))

∂x(12.17)

donde f(x) es una funcion que conocemos en todos los puntos de la malla (es decir, la tenemos

almacenada). Una forma de resolver el problema podrıa ser la siguiente: utilizar la formula de

derivacion de productos para obtener

E = f ′(x)u(x, t) + f(x)∂u(x)

∂x(12.17)

y calcular f ′(x) cada vez que haga falta, tambien podrıamos calcular f ′(x) una sola vez y al-

macenarla. Cada una de estas soluciones introduce algun problema, el almacenamiento de f ′ no

parece molestar mucho, pero en tres dimensiones la cantidad de memoria necesaria para alma-

cenar todas las derivadas parciales crecerıa enormemente. El otro metodo (calcular f ′ cadas vez

que haga falta no es tan caro en memoria, pero evidentemente cobra su precio en tiempo de

calculo y ademas lleva a problemas de otro tipo (que no discutire ahora).


En todo caso, los investigadores del area han estudiado otras posibilidades y han encontrado

una excelente forma de resolver el problema sobre la que comentaremos ahora. En la referencia

[30] se discute el calculo de sismogramas sinteticos para medios elasticos en 2D, problema que

pasa por la resolucion del siguiente sistema de ecuaciones en derivadas parciales acoplado4

u = ∂x(α2∂xu) + ∂x(α

2∂zu)− ∂x(β2∂zw) + ∂z(β

2∂xw) + ∂z(β2∂zu) (12.18)

w = ∂z(α2∂xu) + ∂z(α

2∂zw)− ∂z(β2∂xu) + ∂x(β

2∂xw) + ∂x(β2∂zu) (12.19)

Para discretizar el primer sumando de la ecuacion (12.18): ∂x(α2∂xu) la referencia [30] utiliza la

formula

∂x(α2∂xu) =

1

∆x[α2(m +

1

2, n)

u(m + 1, n)− u(m,n)

∆x−

− α2(m− 1

2, n)

u(m, n)− u(m− 1, n)

∆x] (12.19)

donde:

α2(m +1

2, n) ≡ 1

2

{α2(m + 1, n) + α2(m,n)

}, y (12.20)

α2(m− 1

2, n) ≡ 1

2

{α2(m,n) + α2(m− 1, n)

}(12.21)

esto es: α2(m± 12, n) aproxima el valor de α en el punto (m + 1

2, n) por la media de α2 entre los

vecinos mas cercanos a dicho punto.

Por otra parte, las formulas

u(m + 1, n)− u(m, n)

∆x

4u = u(x, z; t), w = w(x, z; t)


y

u(m,n)− u(m,n− 1)

∆x

se pueden pensar como derivadas centradas alrededor de los puntos (m ± 12, n) de manera que

(12.19) se puede reescribir como:

∂x(α2∂xu)(m,n) ≈ 1

∆x[F (m +

1

2, n)− F (m− 1

2, n)] (12.21)

con F (m,n) = α2(m,n)∂xu(m,n). De esta manera, la formula (12.19) no hace mas que introducir

un refinamiento en la malla haciendo uso del artificio de interpolacion entre los puntos reales del

grid.

Bibliografıa

[1] L. D. Landau y E. M. Lifshitz. Elasticity Theory. Pergamon Press, 1982.

[2] B. A. Auld. Acoustic Fields and Waves in Solids. Robert E. Krieger Publishing Co, 1990.

[3] J. D. Achenbach. Wave Propagation in Solids. North Holland, 1990.

[4] J. D. Jackson. Classical Electrodynamics. J. Wiley, second edition, 1975.

[5] Milton B. Dobrin and Savit Carl H. Introduction to Geophysical Prospecting. McGraw-Hill,

4th edition, 1988.

[6] Claerbout. Imaging the Earth’s Interior. Blackwell Scientific Publications, 1985.

[7] O. Yilmaz. Seismic Data Processing, volume 2 of Investigations in Geophysics. Society of

Exploration Geophycisists, Tulsa, Oklahoma, 1987.

[8] K. Aki y P. Richards. Quantitative Seismology. W.H. Freeman, 1990.

[9] Vetterling y Flannery Press, Teukolsky. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing.

Cambridge University Press.

206


[10] J. Vidale y H. Houston. Rapid calculation of seismic amplitudes. Geophysics, 55(8), 1990.

[11] Whithman. Linear and Non-Linear Waves. John Wiley&Sons.

[12] Tikhonov y Samarski. Ecuaciones de la Fısica Matematica. MIR.

[13] I. Stackgold. Green’s Functions and Boundary Value Problems. Wiley Interscience. Wiley,

1979.

[14] W. Jardetsky y F. Press M. Ewing. Elastic Waves in Layered Media. International Series

in the Earth Sciences. McGraw-Hill Book Company, 1957.

[15] Prestwich W. V. Am. J. Phys., 43(9), 1975.

[16] R. Burden y J. D. Faires. Analisis Numerico. Grupo Editorial Iberoamenricana, 1965.

[17] Sokolnikoff. Analisis Tensorial.

[18] A. Ben-Menahem y S. J. Shing. Seismic Waves and Sources. Springer-Verlag.

[19] V. Babuska y M. Cara. Seismic Anisotropy in the Earth. Modern Approaches in Geophysics.

Kluwer Academic Publishers, 1991.

[20] P. J. Mora. Simulation and wavefield continuation applied to seismic acquisition problems

in lake maracaibo. Master’s thesis, Universidad Simon Bolıvar, 1999.

[21] J. T. Etgen. Finite-difference elastic anisotropic wave propagation. Technical Report SEP-

56, Stanford Exploration Project.

[22] P. Mora. Topicos a&n sobre ecuaciones diferenciales en fısica. Unpublished, 2003.


[23] R. H. y Mc Cormack M. D. Tatham. Multicomponent Seismology in Petroleum Exploration,

volume 6 of Investigations in Geophysics. Society of Exploration Geophycisits, Tulsa, Ok-

lahoma, i edition, 1993.

[24] Joe A. Dellinger. Anisotropic Seismic Wave Propagation. PhD thesis, Stanford University,

1991.

[25] L. Thomsen. Understanding.... Geophysics, xx(XX), xx.

[26] D. F. Winterstein. Velocity anisotropy terminology for geophysicists. Geophysics,

55(8):1070–1088, August 1990.

[27] R. E. Sheriff y L. P. Geldart. Exploration Seismology, volume 1. Cambridge University

Press, 1982.

[28] D. Roger y E. Dieulesaint. Ondes Elastiques dans les Solides. Masson, Paris, 1996.

[29] M. Karrenbach. Modelling Physical Systems: Wave Propagation by FD examples.

http://www-gpi.physik.uni-karlsruhe.de/pub/martin, 1997.

[30] Sven Treitel Alford R.M. Kelly K. R., Ward R. W. Sinthetic seismograms: a finite diference

approach. Geophysics, 41:2–27, 1976.

Apendice A

Parametros elasticos de los medios

isotropos

En el capıtulo 9 hemos comentado que los coeficientes elasticos de los medios isotropos y

homogeneos son solamente dos, existen dos representaciones equivalentes una en terminos de los

parametros de Lame y la otra en terminos de los modulos de Young (E) y la relacionm de Poisson

(µ).

Es muy facil probar que, en terminos de los parametros de Lame la ley de Hooke se escribe

como

σij = λΘδij + 2µeij (A.0)

donde como sabemos: Θ ≡ ekk la dilatacion es la traza del tensor de deformacion.

Por cierto que es oportuno recordar que en terminos de los parametros de Lame las velocidades

209


de fase de las ondas P y S son

cP =

√λ + 2µ

ρcS =

√λ

ρ(A.0)

Donde ρ es la densidad del medio. De esta manera, si se miden la densidad y las velocidades de

propagacion es posible calcular (medir indirectamente) los parametros de Lame.

La representacion de la ley de Hooke en terminos del modulo de Young y la relacion de

Poisson (ν) es la siguiente1

Eeij = (1 + ν)σij − νTr(σ)δij (A.0)

El objetivo fundamental de este apendice es familiarizar al lector con la interpretacion fısica a

los parametros elasticos de de los medios isotropos ya que -entre otras cosas- la interpretacion

sugiere formas de medicion de dichos parametros. La manera mas directa de encontrare una

interpretacion consiste en pensar en ciertos experimentos sencillos.

En primer lugar consideremos una deformacion de volumen pura, esto es, un cambio en el

contınuo que se describe con un tensor de deformaciones diagonal eij = eδij. En este caso, la ley

de Hooke implica que los esfuerzos son

σij = 3λe + 2µeδij (A.0)

es decir: σij = 0 si i 6= j y σ11 = σ12 = σ33 = 3κe donde κ = λ + 23µ es el parametro conocido

como modulo de volumen o de compresibilidad.

1Otras dos representaciones posibles de la Ley de Hooke son (ejercicio):

2µeij = σij − λ

3λ + 2µtr(σ)δij , y

Eeij = (1 + ν)σij − νtr(σ)δij


A continuacion consideremos una situacion conocida como simple shear (cizalla simple). El

ejemplo estandar de cizalla simple esta dado por el siguiente vector de desplazamientos infinites-

imales: ~u = γyi [2]. En esta situacion las unicas componentes no nula del trensor de deformacion

son e12 = e21 = γ/2. Al sustituir este resultado en la ley de Hooke se obtiene que los unicos

esfuerzos no cero son σ12 = σ21 = γµ y de allı que µ sea conocido como modulo de corte (a veces

se le denomina modulo de rigidez).

El otro experimento que nos interesa considerar es denominado prueba de esfuerzo uniaxial,

este es un experimento tıpico de laboratorio que consiste en aplicar una traccion a lo largo de

una direccion (comprimir un cilindro a lo largo de su eje longitudinal dejando su superficie lateral

libre podrıa ser una excelente imagen de la prueba) de manera que solo un esfuerzo (digamos

que σ11) no es nulo. Debido a esto, y en virtud de la ley de Hooke, las componentes no nulas del

tensor de deformacion son

e11 =σ1

E(A.1)

e22 = e33 = −νσ1

E(A.2)

(A.3)

y de allı sigue que el modulo de Young no es otra cosa que el cociente entre el esfuerzo y

la elongacion unitaria: E = σδx/x

, mientras que la relacion de Posisson es la relacion entre la

contraccion lateral (−e22) y la elongacion longitudinal e11.

En las aplicaciones de la teorıa de la elasticidad a la sismologıa, el modelo de la tierra es un

modelo de capas concentricas constituidas por materiales isotropicos que se describen por sus

constantes elasticas, la tabla (A.1) muestra algunos valores tıpicos.

Es interesante establecer algunas relaciones entre las dos familias de constantes, para ello


Profundidad (Km) λ µ κ E ν

20 0,429 0,323 0.645 0.830 0.285

1000 2,180 1,820 3.420 4.630 0.272

2599 4,195 2,723 6,011 7,096 0,303

Cuadro A.1: Valores tıpicos para las constantes elasticas de la tierra. Las unidades para λ, µ, κ

y E son 1011 N/m2, la relacion de Poisson es adimensional

comencemos por tomar la traza de las relaciones (A) y (A) lo que resulta en el siguiente par de

igualdades

tr(σ) = 3(λ +2

3µ)Θ = 3κΘ (A.4)

EΘ = (1− 2ν)tr(σ) (A.5)

de donde sigue que

3κ =E

1− 2ν(A.5)

se puede jugar un poco mas con las diferentes representaciones (ejercicio) de la ley de Hooke

para encontrar la siguiente familia de relaciones de interes

3κ =E

1− 2ν(A.6)

2µ =E

1 + ν(A.7)

2ν =3κ− 2µ

3κ + µ, y (A.8)

3

E=

1

µ+

1

3κ(A.9)

Debido a que la energıa debe ser una cantidad definida positiva, los modulos de rigidez y de


volumen (µ y κ) tienen que ser positivos lo que implica que E > 0 y −1 < ν < 12, aunque

tıpicamente el modulo de Poisson es positivo.

El caso lımite de incompresibilidad total corresponde a tomar κ →∞ con µ fijo, lo que implica

E → 3µ y ν → 12. Observese que efectivamente, a grandes profundidades (2500 Km), la com-

presibilidad tiende a aumentar y que las otras cantidades tienen el comportamiento cualitativo

correcto.

Apendice B

Anisotropıa Hexagonal de una pila de

capas isotropas

Ya habıamos tratado en el capıtulo I de estas notas, la importancia que tiene la especificacion

de la escala al hablar formalmente de propiedades anisotropicas de un medio. A ese respecto, se

reproduce aqui una observacion importante [19]:

..The overall elastic properties of a heterogeneous medium, such as those affecting

long-wavelength seismic waves, differ from those observed on a small scale, say on

the scale of a crystal in polycrystalline aggregates..

En este apendice, queremos trabajar sobre un ejemplo particular muy importante, siguiendo de

cerca un argumento de [19]:

..A stack of parallel isotropic layers presenting alternate high and low rigidities is

a simple example exhibiting such a behavior..

214


Queremos entonces analizar el comportamiento de una pila de capas isotropas, con rigideces

µ1 y µ2 alternadas, al responder a dos tipos de movimientos (mov1 y mov2), como se muestra

en la figura (B.1).

En cada capa isotropa de la pila se cumple

σxx

σyy

σzz

σzy

σzx

σxy

=

λ + 2µ λ λ 0 0 0

λ λ + 2µ λ 0 0 0

λ λ λ + 2µ 0 0 0

0 0 0 µ 0 0

0 0 0 0 µ 0

0 0 0 0 0 µ

exx

eyy

ezz

ezy

ezx

exy

(B.0)

Analicemos el movimiento 1. De (B) se tiene

σxy = µexy (B.0)

donde como sabemos

exy =1

2(∂ux

∂y+

∂uy

∂x) (B.0)

En la figura (B.2), observamos que ∂ux

∂y6= 0 y ∂uy

∂x= 0 por lo que

σxy = µ∂ux

∂y(B.0)

donde hemos eliminado el coeficiente 1/2 porque desaparecera mas adelante al calcular los prome-

dios. En la figura (B.2) observamos igualmente que el esfuerzo (σ) varıa para cada capa, mientras

que la deformacion local ∂ux/∂y es uniforme dentro de todo el material. Por ello, tenemos

→ σ(n) = µ(n)∂ux

∂y(B.0)


Debemos calcular entonces un σ promedio ponderado para todas las capas, de la siguiente manera

< σ >=σ1d1 + σ2d2 + σ1d3 + σ2d4 + ...

H(B.0)

donde d1, d2, d3, d4, ... son los grosores respectivos de cada capa isotropa. Sacando factores co-

munes queda

< σ >=1

H(σ1E1 + σ2E2) (B.0)

donde E1 y E2 son las sumas respectivas de grosores de las capas con µ1 y µ2. Sustituyendo

tenemos

< σ >=1

H(µ1E1 + µ2E2)

∂ux

∂y(B.0)

pero tenemos (ver fig.B.2) que tgδ = D/L ∼= δ + δ3

+ .. → δ = D/L, donde δ = ∂ux/∂y pues asi

lo habıamos definido en el capıtulo de tensor de deformacion. Entonces finalmente

< σ >=< µV >D

L(B.0)

donde

< µV >≡ 1

H(µ1E1 + µ2E2) (B.0)

Esta expresion < µV > se denomina promedio de Voigt (1928)[19].

Analicemos ahora el movimiento 2. De (B) se tiene

σzy = µezy (B.0)

donde como sabemos

ezy =1

2(∂uz

∂y+

∂uy

∂z) (B.0)


En la figura (B.2), observamos que ∂uz

∂y= 0 y ∂uy

∂z6= 0 por lo que

σzy = µ∂uy

∂z(B.0)

donde hemos eliminado el coeficiente 1/2 porque desaparecera mas adelante al calcular los prome-

dios. En la figura (B.2) observamos igualmente que el esfuerzo (σ) es uniforme dentro de todo el

material, mientras que la deformacion local ∂uy/∂z varia capa por capa. Por ello tenemos

→ σ = µ(n)∂uy

∂z|(n) (B.0)

Debemos calcular entonces una deformacion promedio para todas las capas, de la siguiente man-

era

D

H=

∂uy

∂z|(1)d1 + ∂uy

∂z|(2)d2 + ∂uy

∂z|(1)d3 + ∂uy

∂z|(2)d4 + ...

H(B.0)

donde d1, d2, d3, d4, ... son los grosores respectivos de cada capa isotropa. Sacando factores co-

munes queda

D

H=

1

H(∂uy

∂z|(1)E1 +

∂uy

∂z|(2)E2) (B.0)

donde E1 y E2 son las sumas respectivas de grosores de las capas con µ1 y µ2. Sustituyendo (B)

en (B) tenemos

D

H=

σ

H(E1

µ1+

E2

µ2) (B.0)

Entonces finalmente

σ =<1

µR

>D

H(B.0)

donde

<1

µR

>=1

H(E1

µ1

+E2

µ2

) (B.0)

Esta expresion < µR > se denomina promedio de Reuss (1929)[19].


El promedio de Reuss conlleva a una rigidez aparente o equivalente menor que aquella cal-

culada con el promedio de Voigt1. Una onda de cizalla que penetre la pila confrontara una

rigidez total equivalente distinta segun sea su direccion de propagacion, de allı por ejemplo que

VSH 6= VSV .

1Siempre es ilustrativo hacer la analogıa entre estas dos formas de sumar rigideces y la forma en que se suman

resistencias electricas en serie y paralelo. En particular, recuerdese que la suma de dos resistencias en paralelo

siempre es menor que la menor de las resistencias.


Figura B.1: Pila de capas isotropas con rigideces µ1 y µ2 alternadas

Figura B.2: Pila de capas isotropas. Planos z-y y x-y

Apendice C

Elastodinamica Simplificada

El objetivo de este apendice consiste en dar una presentacion alternativa de algunos de as-

pectos acerca de la teorıa de la elasticidad discutidos en el capıtulo 10. Entre otros, utilizaremos

las leyes de Newton para construir las ecuaciones de Navier, y presentaremos alguna motivacion

adicional para el uso de la notacion matricial.

C.1. Las ecuaciones de Navier

Con el fin de construir las ecuaciones de Navier comencemos por considerar un paralelepipedo

(rectangular para hacer las cosas faciles) infinitesimal del solido que pretendemos estudiar y de-

notemos por ~r la posicion de uno de los vertices del paralelepıpedo. Sobre este paralelepıpedo

actuan dos clases de fuerzas bien definidas, a saber, las denominadas fuerzas de volumen que son

220


proporcionales al volumen del paralelepıpedo ( ~FV = ~f∆V )1 y las fuerzas de superficie o trac-

ciones, estas ultimas representan las fuerzas de contacto entre las caras del paralelepıpedo y el

medio que las rodea y son proporcionales a las superficies de cada cara del paralelepıpedo, para

ser mas preciso, la fuerza neta sobre una cara del paralelepıpedo cuya superficie es ∆S esta dada

por:

~F = ~T∆S (C.0)

donde ~T es la traccion (fuerza por unidad de suoperficie) neta que actua sobre el elemento de

area que estamos considerando.

Para facilitar la discusion pensemos en un un mundo simplificado (bidimensional), de manera

que nuestro pequeno paralelepıpedo pasa a ser un rectangulito. En tal caso las fuerzas de volumen

se convierten en fuerzas de area, y las tracciones son fuerzas por unidad de longitud. Para ser

aun mas explıcitos consideremos un rectangulıto cuyo centro tiene coordenadas (x, y) y cuyos

lados tienen longitudes dx y dy, de esta manera, si ~u(x, y; t) es un vector que representa el

movimiento del rectangulito (con respecto a un sistema de coordenadas fijo en la posicion original

del rectangulito) y ρm es su densidad de masa, la 2a ley de Newton para el movimiento del

rectangulito estara dada por:

ρmd2~u(x, y; t)

dt2dxdy = ~FAdxdy +

∑∆Si

~T∆Li (C.0)

1los dos ejemplos tıpicos son el peso: d ~W = ρm~g∆V y la fuerza electrostatica d~FE = ρe~E∆V , donde ρm es la

densidad de masa, ρe la densidad de carga electrica, ~g el campo gravitacional y ~E el campo electrico


donde∑

∆Si

~T∆Li es la suma de las fuerzas que actuan sobre las caras del rectangulito.

∑∆Si

~T∆Li = ~T (x− dx

2, y; t)dy + ~T (x +

dx

2, y; t)dy +

+~T (x, y − dy

2; t)dx + ~T (x, y +

dy

2; t)dx (C.0)

Ahora bien, la evidencia experimental indica que (en tres dimensiones) las tracciones y las areas

de cada cara del paralelogramo estan relacionadas por2:

~T = σn (C.0)

donde σ es un campo tensorial de dos ındices (para nuestros fines, un campo tensorial de este

tipo es una matriz 2 × 2 que depende de la posicion del elemento de volumen y del tiempo, es

decir: σ = σ2×2(x, y; t))) y n es la normal a la cara. Para ser mas precisos debemos entender

que el tensor de esfuerzos3 determina las tracciones que actuan en un segmento4 elemental y por

tanto en cualquier elemento infinitesimal del medio que estemos estudiando.

Para el problema simplificado que estamos estudiando

σ(x, y; t) =

σxx(x, y; t) σxy(x, y; t)

σyx(x, y; t) σyy(x, y; t)

(C.0)

es necesario que comentemos que ciertas razones fısicas (que no vamos a discutir aca) permiten

establecer que el tensor de esfuerzos es simetrico, esto es, que cumple con la relacion

σxy = σyx (C.0)

2de manera que en nuestro mundo bidimensional las tracciones y las longitudes de los lados estan relacionadas

como ~T = σ2×2n3que en 3D es una matriz 3× 34o superficie en el caso tridimensional


Desde el punto de vista de la interpretacion fısica debemos observar que los elementos no

diagonales del tensor de esfuerzos tienen que ver con fuerzas tangentes (llamadas de corte o

cizalla) a las caras del paralelepıpedo, mientras que los elementos diagonales estan relacionados

con fuerzas peprendiculares a dichas caras.

Para avanzar un poco mas en la busqueda de las ecuaciones de Navier consideremos la fuerza

que actua en el lado del paralelogramo localizado en x− dx2

. Observando que la normal exterior

a esta cara es:

n =

−1

0

(C.0)

obtenemos:

~T (x− dx

2, y; t)dy = σ(x− dx

2, y; t)

−1

0

= −

σxx(x− dx2, y; t)

σyx(x− dx2, y; t)

dy

= −

σxx(x, y; t)

σyx(x, y; t)

dy +

∂xσxx(x, y; t)

∂xσyx(x, y; t)

dx

2dy (C.0)

analogamente, al pensar en los otros tres lados obtenemos:

~T (x +dx

2, y; t)dy =

σxx(x, y; t)

σyx(x, y; t)

dy +

∂xσxx(x, y; t)

∂xσyx(x, y; t)

dx

2dy (C.1)

~T (x, y − dy

2; t)dx = −

σxy(x, y; t)

σyy(x, y; t)

dx +

∂yσxy(x, y; t)

∂yσyy(x, y; t)

dy

2dx (C.2)

~T (x, y +dy

2; t)dx =

σxy(x, y; t)

σyy(x, y; t)

dx +

∂yσxy(x, y; t)

∂yσyy(x, y; t)

dy

2dx (C.3)


al sumar todas las fuerzas obtenemos:

ρ

ux(x, y; t)

uy(x, y; t)

dxdy =

∂xσxx(x, y; t) + ∂yσxy(x, y; t)

∂xσyx(x, y; t) + ∂yσyy(x, y; t)

dxdy

+

Fx(x, y; t)

Fy(x, y; t)

dxdy (C.3)

que nos lleva directamente a las ecuaciones de Navier

ρux = ∂xσxx + ∂yσxy + Fx (C.4)

ρuy = ∂xσyx + ∂yσyy + Fy (C.5)

en donde por conveniencia en la notacion, hemos suprimido la dependencia en (x, y; t).

Es claro que si conocieramos la dependencia espaciotemporal del tensor de esfuerzos (esto

es, si conocemos σ(x, y; t)), las ecuaciones de Navier constituirıan sencillamente un sistema de

ecuaciones diferenciales ordinarias !desacopladas! para las componentes de ~u, sin embargo, este

no es el caso ya que el problema elastodinamico general implica el desconocimiento (y por lo tanto

la necesidad de encontrar) tanto del vector de desplazamientos como del estado de esfuerzos (σ)

del medio lo que resulta imposible puesto que las ecuaciones de Navier contienen un numero de

variables obviamente mayor a 2.

En la teorıa de elasticidad linealizada que hemos descrito en el capıtulo 9 se utilizan las rela-

ciones constitutivas mas sencillas. Conocidas colectivamente como ley de Hooke, estas relaciones

constitutivas expresan el comportamiento de los medios elasticos a traves de una relacion lineal

entre los esfuerzos y las deformaciones.


En dos dimensiones el tensor de deformaciones esta definido como

e =

∂xux12(∂yux + ∂yux)

12(∂yux + ∂yux) ∂yuy

(C.5)

donde las funciones ux(x, y; t) y uy(x, y; t) son las componentes del vector de desplazamientos

infinitesimales

Como ya hemos comentado en el capıtulo 9, el tensor de deformaciones tiene una interesante

interpretacion fısica. Como ejemplos podemos mencionar que la elongacion por unidad de longitud

del medio a lo largo del eje x, esta dada por

δx

x= ∂xux, (C.5)

mientras que el cambio porcentual de area (o volumen en el caso 3D): Θ ≡ ∆AA

, esta dado por la

traza de e, esto es

Θ = exx + eyy = ∂xux + ∂yuy, (C.5)

En terminos precisos (sin utilizar el criterio de suma) la ley de Hooke se escribe como

σij =∑

k,`

Cijk`ek` (C.5)

lo que lleva a la siguiente forma para las ecuaciones de Navier (linealizadas)

∑

j,k,l

Cijkl∂2ljuk − ρui = 0. (C.5)

estas ecuaciones constituyen un sistema de tres ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

para las tres componentes del vector de deformaciones y por tanto proveen de suficiente infor-

macion como para poder resolverlas.


C.2. Descripcion 3D y Notacion Matricial

Es interesante escribir unas cuantas formulas en su forma extendida para entender la necesidad

de utilizar la notacion tensorial y (para el calculo numerico, la notacion matricial que se introdujo

en el capıtulo 9.

En el caso tridimensional el tensor de esfuerzos y el de deformacion son arreglos simetrico

bidimensional de 3× 3 entradas, es decir:

σ(3D) =

σxx σxy σxz

σxy σyy σyz

σxz σyz σzz

(C.5)

e(3D) =

exx σxy exz

exy eyy eyz

exz eyz ezz

(C.5)

Al tensor de coeficientes elasticos no podemos representarlo en papel ya que corresponde a un

arreglo de 3××3× 3× 3 cantidades (necesitarıamos papel cuadridimensional para dibujar esto).

Recordando los comentarios acerca de las simetrıas de los tensores de interes resulta que

toda la informacion no redundante contenida en la ley de Hooke se resume en las siguientes seis

igualdades

σxx =∑

kl

Cxxklekl = Cxxxxexx + Cxxxyexy + . . . Cxxzzezz

σxy = Cxyxxexx + completar nueve terminos

. . .

σzz = Czzxxexx + Czzxyexy + . . . + Czzzzezz (C.3)


Si ponemos atencion observaremos que en cada lista de nueve sumandos aparecen elementos

relacionados por la simetrıa (como por ejemplo . . . + Cxxxyexy + · · · + Cxxyxeyx + . . . ) que se

simplifican lo que obviamente sugiere trabajar con pares de ındices a traves de la siguiente lista

de identificaciones:

xx → 1

yy → 2

zz → 3

zy → 4

xz → 5

xy → 6 (C.-1)

en estos terminos (y utilizando mayusculas para denotar los pares) podemos reescribir la ley de

Hooke en forma matricial como sigue:

σ = Ce (C.-1)

o en forma explıcita

σ1

σ2

σ3

σ4

σ5

σ6

=

C11 C12 C13 C14 C15 C16

C21 C22 C23 C24 C25 C26

C31 C32 C33 C34 C35 C36

C41 C42 C43 C44 C45 C46

C51 C52 C53 C54 C55 C56

C61 C62 C63 C64 C65 C66

e1

e2

e3

2e4

2e5

2e6

(C.-1)


donde debemos recordar que CAB = CBA, y que: C11 = Cxxxx, etc.5

C.3. El ejemplo mas sencillo: Medios Isotropos

Para los medios isotropos la matriz C se escribe trivialmente en terminos de los coeficientes

de Lame como sigue (ejericio)

C =

λ + 2µ λ λ 0 0 0

λ λ + 2µ λ 0 0 0

λ λ λ + 2µ 0 0 0

0 0 0 µ 0 0

0 0 0 0 µ 0

0 0 0 0 0 µ

(C.0)

5Si esta nueva notacion resulta confusa podemos usar una notacion mixta:

σxx

σyy

σzz

σzy

σxz

σxy

=

C11 C12 C13 C14 C15 C16

C21 C22 C23 C24 C25 C26

C31 C32 C33 C34 C35 C36

C41 C42 C43 C44 C45 C46

C51 C52 C53 C54 C55 C56

C61 C62 C63 C64 C65 C66

exx

eyy

ezz

ezy

exz

exy

(C.0)


Al llevar adelante el calculo de los esfuerzos resulta:

σxx = (λ + 2µ)∂xux + λ(∂yuy + ∂zuz) (C.1)

σyy = (λ + 2µ)∂yuy + λ(∂xux + ∂zuz) (C.2)

σzz = (λ + 2µ)∂zuz + λ(∂xux + ∂yuy) (C.3)

σzy = µ(∂zuy + ∂yuz) (C.4)

σxz = µ(∂xuz + ∂zux) (C.5)

σxy = µ(∂xuy + ∂yux) (C.6)

Y aca proponemos un trabajito.

Problema 15 Utilice la notacion matricial para probar que las formulas que acabamos de pre-

sentar y las ecuaciones de Navier llevan a las dos ecuaciones de ondas usuales

ρ∂2(∇.~u)

∂2t= (λ + 2µ)∇2(∇.~u) (C.7)

ρ∂2(∇× ~u)

∂2t= λ∇2(∇× ~u) (C.8)

Apendice D

Modelado de un Medio VTI

D.1. Anisotropa Axisimetrica

En este apendice vamos a estudiar un problema adecuado para un proyecto de modelado,

el ejemplo y su presentacion han sido tomados de la referencia [21]. El objeto de estudio es la

propagacion ondulatoria en un medio VTI. El estudio de este problema como ejemplo presenta

dos ventajas, la primera: el hecho de ser un sistema con anisotropıa, la segunda, el hecho de que

bajo ciertas condiciones el problema tridimensional se reduce a a dos problemas bidimensionales

independientes.

Comenzaremos nuestra discusion recordando que si escogemos que el eje de simetrıa coincide

con el eje z , la matriz de coeficientes elasticos de un medio 3D con la simetrıa que estamos

230


considerando lleva a la siguiente forma explıcita para la Ley de Hooke (vea los capıtulos 9 y 10)

σxx

σyy

σzz

σzy

σxz

σxy

=

C11 C12 C13 0 0 0

C21 C22 C23 0 0 0

C31 C32 C33 0 0 0

0 0 0 C44 0 0

0 0 0 0 C44 0

0 0 0 0 0 C66

exx

eyy

ezz

ezy

exz

exy

(D.0)

donde es necesario insistir en que los coeficientes C12, C11 y C66 estan relacionados como C12 =

C11 − 2C66, mientras que la condicion de positividad de la energıa obliga a que se satisfagan las

siguientes restricciones:

C11 ≥ C66 ≥ 0 ; C33 ≥ 0 ; C44 ≥ 0 ; C132 ≤ C33 ( C11 − 1

2C66)

D.2. Propagacion P − Sv y Sh

El siguiente paso en el estudio consiste en introducir dos simplificaciones adicionales, la primera:

considerar que los esfuerzos presentes son tales que que σ2 = σyy = 0 y la segunda denominada

condicion de reduccion dimensional consiste en considerar que la derivada de cualquier cantidad

con respecto a la coordenada y es nula (∂y(cualquier cosa) ≡ 0). La primera de estas simpli-

ficaciones se puede interpretar como que la fuente de los esfuerzos es una fuente lineal infinita

orientada a lo largo del eje y (esto es, perpendicular al plano xz), mientras que la segunda cor-

responde a asumir homogeneidad total del medio en la direccion definida por el eje y. Con estas


simplificaciones las relaciones esfuerzo-deformacion se reducen a

σxx

0

σzz

σzy

σxz

σxy

=

C11 C12 C13

C21 C22 C23

C31 C32 C33

C44

C44

C66

exx

0

ezz

ezy

exz

exy

(D.0)

Observando que -en este caso particular- las matrices estan constituidas por bloques podemos

reescribir las relaciones entre los esfuerzos y las deformaciones en la siguiente forma

σxx

σzz

σxz

=

C11 C13

C13 C33

C44

exx

ezz

exz

(D.0)

σzy

σxy

=

C44

C66

ezy

exy

(D.0)

Las tres primeras formulas estan relacionadas unicamente con la propagacion de las componentes

ux y uz del vector de desplazamientos infinitesimales (lo que en geofısica se denomina campo de

ondas P − Sv), mientras que el segundo grupo de formulas esta relacionado con la propagacion

aislada de uy (denominada campo de onda Sh), este desacoplamiento entre las componentes de

~u solo ocurre al imponer la condicion de homogeneidad ∂y = 0.

En efecto, las ecuaciones de Navier para ux y uz (la Onda P− Sv) involucran ∂yσxy y ∂yσyy


que por ser cantidades nulas nos dejan con las siguientes ecuaciones dinamicas:

1

ρ

{∂σxx

∂x+

∂σxz

∂z− Fx

}=

∂2ux

∂t2(D.1)

1

ρ

{∂σzz

∂z+

∂σxz

∂x− Fz

}=

∂2uz

∂t2(D.2)

por otra parte la forma explıcita de las relaciones esfuerzo-deformacion

σxx = C11exx + C13ezz = C11∂ux

∂x+ C13

∂uz

∂z(D.3)

σzz = C13exx + C33ezz = C13∂ux

∂x+ C33

∂uz

∂z(D.4)

σxz = 2C44exz = C44(∂ux

∂z+

∂uz

∂x) (D.5)

muestra claramente que en uy no aparece en ningun sitio y por tanto las dinamica de ux y uz es

indepoendiente de tal variable.

Las formulas que permiten calcular los esfuerzos σzy y σxy contienen los campos ux y uz como

se muestra a continuacion,

σzy = 2C44ezy = C44(∂uz

∂y+

∂uy

∂z) (D.6)

σxy = 2C66exy = C66(∂ux

∂y+

∂uy

∂x) (D.7)

sin embargo, al imponer la condicion de homogeneidad en la direccion y (∂y = 0) la dependencia

en los elementos P − Sv desaparece de manera que los esfuerzos quedan expresados por

σzy = C44∂uy

∂z(D.8)

σxy = C66∂uy

∂x(D.9)

lo que al sustituir en la ecuacion de Navier para uy resulta en

∂

∂x(C66

∂uy

∂x) +

∂

∂x(C44

∂uy

∂z)− Fy = ρ

∂2uy

∂t2(D.9)


que definitivamente demuestra el desacoplamiento de los modos de propagacion Sv1.

D.3. Formulacion Numerica

Con el fin de plantear el modelado numerico debemos especificar:

1. Los parametros que definen al medio. El medio debe definirse por su extension y por los

valores de las 6 funciones ρ(x, z) y CAB(x, y).

2. Las fuentes (si las hay)

3. Las condiciones inicales

4. Las condiciones de borde

5. El esquema de diferencias que vamos a utilizar

Con el fin de explorar algunos esquemas razonable de diferencias consideremos el problema

SH . En vista de que es menester efectuar una integracion temporal consideremos la expresion:

u(t±∆t) = u(t)± u(t)∆t +1

2u(t)∆t2 + . . . (D.9)

de donde sigue (u(t + ∆t) + u(t−∆t)):

u(t + ∆t) = 2u(t)− u(t−∆t) + ∆t2u(t) (D.9)

De esta manera, hemos obtenido una estrategia de integracion temporal de la ecuacion de Navier

que podemos resumir en el siguiente pseudocodigo

1observese que si C44 = C66 = constante uy satisface una ecuacion de ondas con velocidad de fase c =√

C44ρ


Inicio

ENTRADA(ρ(x, y), C44(x, y), C66(x, y), N)

For t = t1 to TN DO

Barriendo todos los puntos de la malla

Calcule los esfuerzos

σzy = C44∂u∂z

σxy = C66∂u∂x

Calcule las aceleraciones

u = 1ρ(∂xσyx + ∂zσyz)

En caso de que halla fuentes

u = u− Fy

ρ

Integre en el tiempo

u(t + ∆t) = 2u(t)− u(t−∆t) + ∆t2u(t)

Fin

Aca es claro que los esfuerzos y las aceleraciones deben calcularse a traves de algun esquema

consistente de diferenciacion espacial, tema que dejaremos para otro reporte.

La solucion general del problema axisimetrico VTI que hemos discutido aca esta presentada

en el reporte de Etgen [21] que refiere al codigo ANISO2D de las librerıas del Stanford Exploration

Project (sepwww.stanford.edu)


Figura D.1: Campo de onda P − Sv evolucionando en tiempo, mostrando la interaccion con una

interfaz plana horizontal. Tomado de [20].


Figura D.2: Campo de onda P − Sv evolucionando en tiempo, mostrando la interaccion con una

interfaz plana inclinada (buzante). Tomado de [20].

propagación de ondas 01

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