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Propagación de ondas electromagnéticasJordi Bonastre Muñoz

PID_00159139

CC-BY-SA • PID_00159139 2 Propagación de ondas electromagnéticas

CC-BY-SA • PID_00159139 Propagación de ondas electromagnéticas

Índice

Introducción

Objetivos ................................................................................................. 7

1. Propagación de ondas electromagnéticas en un medio ........ 9

1.1. Propagación de ondas electromagnéticas

armónicas planas en el vacío ....................................................... 9

1.1.1. Espectro electromagnético ................................................ 11

1.2. Propagación de ondas electromagnéticas armónicas

planas en medios materiales no conductores .............................. 12

1.2.1. Velocidad de propagación ................................................. 13

1.2.2. Índice de refracción ........................................................... 14

1.3. Propagación de ondas electromagnéticas armónicas

planas en medios materiales conductores .................................... 15

1.3.1. Absorción y profundidad de penetración ......................... 16

1.4. ¿Qué hemos aprendido? ............................................................... 21

2. Polarización ...................................................................................... 22

2.1. Concepto de polarización ............................................................. 22

2.2. Polarización lineal ........................................................................ 23

2.3. Polarización circular ..................................................................... 26


3. Reflexión y transmisión de ondas planas en un cambio

de medio ............................................................................................ 28

3.1. Condiciones de frontera ............................................................... 28

3.1.1. Condiciones de frontera para el campo eléctrico ............. 29

3.1.2. Condiciones de frontera para el campo magnético .......... 31

3.1.3. Visión global y casos particulares ..................................... 32

3.2. Reflexión y transmisión a la interfaz entre dos medios ............... 33

3.2.1. Deducción de las leyes de reflexión y refracción

de la óptica para cualquier onda

electromagnética ............................................................... 34

3.2.2. Reflexión y transmisión de ondas polarizadas

con el campo eléctrico perpendicular al plano

de incidencia ..................................................................... 38

3.2.3. Reflexión y transmisión de ondas polarizadas con

el campo eléctrico paralelo al plano de incidencia ........... 44

3.2.4. Ángulo de Brewster ........................................................... 51

3.2.5. Ángulo crítico .................................................................... 55

3.3. ¿Qué hemos aprendido?................................................................ 57

CC-BY-SA • PID_00159139 Propagación de ondas electromagnéticas

4. Reflexión y transmisión por una capa fina:

interferencia .................................................................................... 59

4.1. Concepto de interferencia ............................................................ 59

4.2. Estudio de las reflexiones y transmisiones

en una capa fina ........................................................................... 62


5. Guías de onda ................................................................................... 69

5.1. Guías de onda de sección rectangular .......................................... 69

5.1.1. Modos transversales eléctricos (TE) ................................... 73

5.1.2. Modos transversales magnéticos (TM) .............................. 78

5.1.3. Atenuación en una guía de onda. Modos guiados,

modos de corte y modo dominante ................................. 81


6. Cavidades resonantes ..................................................................... 85

6.1. Cavidades resonantes con forma de paralelepípedo

regular ........................................................................................... 85


7. Problemas resueltos ........................................................................ 93

7.1. Enunciados ................................................................................... 93

7.2. Soluciones ..................................................................................... 93

Resumen .................................................................................................. 100

Ejercicios de autoevaluación ............................................................. 103

Solucionario ........................................................................................... 105

Glosario ................................................................................................... 105

Bibliografía ............................................................................................ 106


Introducción

aYa hemos introducido el concepto de ondas electromagnéticas como un flujo

de energía que se intercambia entre el campo eléctrico y el campo magnético

y que se propaga por el espacio. También dedujimos la expresión matemática

a partir de las leyes de Maxwell. Sin embargo, no entramos en ningún momen-

to en cómo se produce esta propagación.

En este módulo nos centraremos precisamente en este aspecto, es decir, estu-

diaremos la propagación de las ondas electromagnéticas y los fenómenos que

se producen a causa de esta propagación. Limitaremos el estudio, eso sí, a on-

das electromagnéticas planas armónicas, que ya os introdujimos. No obstante,

buena parte de los conceptos que veremos son extrapolables a cualquier tipo

de ondas electromagnéticas.

aEn el apartado 1 analizaremos cómo se produce la propagación de una onda

electromagnética en un único medio, tanto en el caso de un material dieléc-

trico como de un conductor. Durante el análisis nos reencontraremos con el

concepto de índice de refracción que ya estudiamos. Aquí, no obstante, lo ve-

remos aplicado a una onda electromagnética en general. También veremos

cómo y por qué la intensidad de las ondas se atenúa cuando se propagan por

ciertos materiales.

En el apartado 2 veremos que los campos eléctrico y magnético pueden estar

orientados de muchas maneras respecto a la dirección de propagación. Estu-

diaremos lo que denominaremos estado de polarización.

aEn el apartado 3 daremos un paso más allá y analizaremos qué sucede cuando

una onda atraviesa la interfaz entre dos medios materiales diferentes. Entre

otras cosas, volveremos a deducir las propiedades geométricas que ya os expli-

camos para la luz, pero ahora lo haremos desde el punto de vista de la teoría

electromagnética y aplicadas a las ondas electromagnéticas en general.

En los últimos apartados estudiaremos tres casos específicos de configuracio-

nes que podemos encontrar en algunos dispositivos habituales y analizaremos

cómo se comportan en ellos las ondas electromagnéticas:

• El primer ejemplo (apartado 4) corresponde a una capa fina de un material

dieléctrico. En este tipo de configuraciones se producen interferencias, un

concepto que ya vimos en el módulo “Ondas” y que aquí volveremos a ex-

plicar. Deduciremos cómo son las interferencias debidas a una capa fina y

veremos algunas de las aplicaciones que utilizan este fenómeno.

Podéis ver el concepto de ondas electromagnéticas y de ondas electromagnéticas planas armónicas en el módulo “Leyes de Maxwell”.

Podéis ver el índice de refracción en el módulo “Óptica”.

Podéis ver cómo la luz atraviesa la interfaz entre medios diferentes en el módulo “Óptica”.


• El segundo ejemplo que estudiaremos (apartado 5) son las guías de onda.

Se trata de dispositivos en los que un material dieléctrico está envuelto de

un material conductor en todas las direcciones excepto en una. Esta confi-

guración permite la propagación de ciertas ondas electromagnéticas de una

manera eficiente. En este módulo analizaremos qué características presen-

tan las ondas que se pueden propagar en estas situaciones.

• El último ejemplo que estudiaremos son las cavidades resonantes. Veremos

que se trata de una configuración muy similar a una guía de onda, con la

diferencia de que ahora el material conductor limita el dieléctrico por todas

las direcciones, es decir, es una región cerrada. Comprobaremos que en es-

tos dispositivos se producen ondas estacionarias y estudiaremos qué carac-

terísticas presentan.


Objetivos

Los materiales didácticos contenidos en este módulo proporcionan los co-

nocimientos necesarios para que el estudiante adquiera los objetivos si-

guientes:

1. Conocer el mecanismo de propagación de las ondas electromagnéticas y su

tratamiento matemático en medios naturales, tanto dieléctricos como con-

ductores.

2. Saber determinar, de manera cuantitativa, la atenuación que se produce en

una onda electromagnética a causa de la conductividad del material por el

que se propaga.

3. Entender el concepto de esta polarización de una onda electromagnética,

conocer los diferentes tipos que hay y saber relacionarlos con las configu-

raciones posibles de los campos eléctrico y magnético.

4. Entender las propiedades de los campos eléctrico y magnético en las zonas

interfaciales entre dos medios materiales diferentes y saber aplicarlas a la

deducción del comportamiento de las ondas electromagnéticas en estas zo-

nas interfaciales.

5. Saber aplicar los conceptos del punto 4 a la deducción de las relaciones en-

tre las amplitudes y las intensidades de las ondas incidente, reflejada y

transmitida en una interfaz entre dos medios.

6. Conocer la dependencia de las relaciones del punto 5 respecto al ángulo de

incidencia y saber deducir la existencia de unos ángulos “especiales”, el án-

gulo de Brewster y el ángulo límite o de reflexión total, y entender su sig-

nificado físico.

7. Entender el comportamiento de una onda electromagnética cuando atra-

viesa una lámina muy fina de un material dieléctrico y saber determinar las

interferencias que se producen allí en función de los parámetros de diseño

y de las características de la onda.

8. Entender el funcionamiento físico de las guías de onda y el comportamien-

to de las ondas electromagnéticas en su interior. Conocer los modos de

propagación que se pueden producir en ellas y las frecuencias de las ondas

que se pueden propagar por ellas.


9. Entender el fundamento físico de las cavidades resonantes y el comporta-

miento de las ondas electromagnéticas estacionarias que se establecen en

su interior. Saber determinar las características de los modos de vibración

posibles y las frecuencias características asociadas.


1. Propagación de ondas electromagnéticas en un medio

aYa hemos deducido, a partir de las ecuaciones de Maxwell, que la energía elec-

tromagnética se propaga mediante ondas electromagnéticas. También “descu-

brimos” que la velocidad de propagación de estas ondas en el vacío es

precisamente la velocidad de la luz en el vacío.

Sin embargo, en la vida cotidiana a la que estamos acostumbrados, el concepto de

vacío se convierte en una mera aproximación teórica, ya que buena parte de las

ondas electromagnéticas se propagan en un medio material. Incluso el aire (quizá

el medio que, de manera intuitiva, encontraréis más cercano a estas características

“ideales”), se debe considerar como un medio material diferente del vacío.

En este módulo trabajaremos el comportamiento de las ondas electromagné-

ticas que se propagan en medios materiales y encontraremos respuesta a algu-

nos de los fenómenos que podéis observar a menudo en la naturaleza y que se

explican por la presencia de estos medios (y, de manera especial, de transicio-

nes entre medios diferentes) en el camino que siguen las ondas.

Comenzaremos el módulo estudiando, en el primer apartado, la propagación

de las ondas electromagnéticas en un único medio y dejaremos para más ade-

lante los fenómenos que se producen cuando estas ondas atraviesan una in-

terfaz entre dos medios diferentes. Limitaremos el estudio, eso sí, a ondas

electromagnéticas armónicas y planas. Este caso es el más simple de tratar y

nos servirá para entender los fenómenos y conceptos que veremos y que son

extrapolables a una onda electromagnética cualquiera.

1.1. Propagación de ondas electromagnéticas armónicas planas en

el vacío

aYa hemos visto que una onda electromagnética armónica plana se comporta

y se propaga como una onda transversal; es decir, su dirección de “vibración”

o de oscilación es perpendicular a la dirección de propagación. Para verlo, ob-

servad la figura 1.

Figura 1

Podéis ver las ecuaciones de Maxwell en el módulo “Leyes de Maxwell”.

Podéis ver las ondas transversales en el módulo “Leyes de Maxwell”.

Figura 1

Representación esquemática de una onda electromagnética.


En el dibujo podéis observar que, para una onda electromagnética armónica

plana que se propaga a lo largo del eje z, tanto el campo eléctrico (indicado

con color gris claro) como el campo magnético (indicado con color gris os-

curo) siempre tendrán una dirección perpendicular a este eje y, además, siem-

pre serán perpendiculares entre sí.

Recordad que también vimos que la expresión matemática de esta onda plana

armónica es, para una onda que se propaga en la dirección :

(1)

(2)

Fijaos en que tanto las expresiones para el campo eléctrico (1) como para el

campo magnético (2) están estructuradas de la misma manera:

• El primer factor ( o ) corresponde a las amplitudes de oscilación, es

decir, a los valores máximos que pueden alcanzar los campos. También in-

dica su dirección.

• El segundo factor ( ) recibe el nombre de fasor y se trata de un nú-

mero complejo cuyo módulo es siempre 1 y que indica la fase o el desfase

de la onda en un punto y un instante determinados.

a• Los parámetros y son los que determinan las características de la onda

y su significado es idéntico al que ya vimos con las ondas mecánicas. Si re-

cordáis, es la frecuencia angular y corresponde al ritmo con el que varía

la fase en función del tiempo en una posición determinada. es la cons-

tante de onda. Su dirección indica la dirección de propagación y su módulo

(que a partir de ahora, y para simplificar, denominaremos simplemente k)

es el análogo de la frecuencia angular pero en el espacio, es decir, corres-

ponde al ritmo con el que varía el desfase en función del espacio.

Sin embargo, aunque son los parámetros y los que aparecen en las ecua-

ciones (1) y (2), en la vida cotidiana es mucho más habitual oír hablar de otros

dos parámetros: la longitud de onda () y la frecuencia (f).

La longitud de onda () es la distancia, a lo largo de la dirección de propaga-

ción, entre dos puntos consecutivos que tienen el mismo desfase (por ejem-

plo, la distancia entre dos máximos). Se puede calcular a partir del módulo de

la constante de onda:

(3)

Atención

No confundáis el vector unita-rio en la dirección z, , con la constante de onda .

k

k

E

B

j en lugar de i como unidad de los números imaginarios

Cuando se trabaja en el ámbito del electromagnetismo se utili-za j para indicar la unidad ima-ginaria i. El motivo de este convenio es para que no se produzca confusión con la co-rriente eléctrica, que se indica también con i o I.

k

0

kj r teE E

·0

j k r teB B

Recordad

Un término del tipo ej es un número complejo equivalente a:

ej cos j sen donde j es la unidad imaginaria

( y j2 1). 1j

0E

0B

·j k r te

Podéis ver los parámetros y para una onda mecánica en el módulo “Ondas”.

k k

k

k

es la letra griega lambda.

Recordad

corresponde a una distancia y, por tanto, se mide en unida-des de longitud (m, mm, μm, nm, etc.).

2

k


La frecuencia (f) es el número de ciclos que realiza una onda por unidad de

tiempo. Su relación con la frecuencia angular (), que ya hemos introducido,

también es directa:

a(4)

Los valores de la longitud de onda () y de la frecuencia (f) y, en consecuencia,

también de la constante de onda (k) y de la frecuencia angular (), están relacio-

nados entre sí mediante el valor de la velocidad de propagación de la onda (v):

(5)

En otras palabras, podéis comprobar que la longitud de onda () y la frecuen-

cia (f), a pesar de poder tomar cualquier valor de manera individual, en con-

junto han de cumplir la condición (5). De esta manera, una onda de alta

frecuencia presentará una longitud de onda pequeña, mientras que una onda

de baja frecuencia presentará una longitud de onda grande.

1.1.1. Espectro electromagnético

aAnteriormente dedujimos que la velocidad de propagación de una onda elec-

tromagnética que se propaga en el vacío es:

(6)

donde 0 y 0 son, respectivamente, la permeabilidad magnética y la per-

mitividad eléctrica del vacío. Podéis comprobar que el resultado de la ex-

presión anterior da una magnitud bien conocida: la velocidad de la luz en

el vacío (c = 2,998 · 108 m/s).

La relación (5) entre , f y c es aplicable a cualquier onda electromagnética en

el vacío, sea cual sea su frecuencia y longitud de onda. Como el valor de c (ve-

locidad de la luz) es constante, lo que tendremos es que los diferentes valores

para las frecuencias (f) determinarán diferentes valor en la longitud de onda

(), y estas diferencias determinarán si tendremos un tipo de onda u otro. Así,

por ejemplo, los rayos X corresponden a ondas electromagnéticas con una

longitud de onda muy pequeña y, por tanto, una frecuencia muy alta, mien-

tras que las ondas de radio son ondas con una longitud de onda muy grande

y, por tanto, una frecuencia muy baja.

Podéis ver la frecuencia angular en el módulo “Ondas”.

Recordad

f se mide, en el SI, en hercios (Hz), mientras que ese mide en radianes por segundo (rad/s).

2f

v fk

Podéis ver la velocidad de propagación de una onda en el módulo “Leyes de Maxwell”.

0 y 0 se leen “mu sub cero” y “épsilon sub cero”.

0 0

1 c

Recordad

0 = 8,854 · 1012 C2/Nm2

0 = 4 · 107 N/A2

Denominamos espectro electromagnético al conjunto de rangos de

frecuencias posibles de las ondas electromagnéticas.


Los distintos tipos de ondas electromagnéticas que conocemos de la vida co-

tidiana no son más que divisiones que se han hecho en el espectro electromag-

nético en función de la frecuencia (f) o de la longitud de onda ().

En la tabla 1.1 os mostramos los diferentes tipos de ondas electromagnéticas

y las partes del espectro, es decir, los rangos de frecuencias o longitudes de on-

da, a las que corresponden.

Tabla 1.1. Espectro electromagnético

Todo lo que hemos explicado hasta aquí se ha hecho teniendo en cuenta que

las ondas se propagan en el vacío. A continuación, estudiaremos qué modifi-

caciones se deben considerar para explicar el comportamiento de las ondas

electromagnéticas en presencia de materia.

aSi os acordáis, anteriormente hicimos una división de los materiales en dos

grupos básicos: dieléctricos (o no conductores) y conductores. A continuación

trataremos estos dos casos por separado.


medios materiales no conductores

aDe manera análoga a como procedimos anteriormente, comenzaremos el es-

tudio del comportamiento de las ondas electromagnéticas en un medio mate-

rial con el caso de que se propagan por un medio dieléctrico o no conductor

Región del espectroRango de

longitudes de onda ()

Rango de frecuencias (f)

Aplicaciones más habituales Observaciones

Radio

Onda larga 10 m 30 MHzSeñales de radio (AM)

Comunicación submarina

Se reflejan en la ionosfera y, por tanto, pueden viajar largas distancias. Por ello se utilizan para comunicar dos puntos lejanos de la Tierra.

Onda corta 10 cm - 10 m 30 MHz - 3 GHz Señales de radio (FM)

Señales de TV

No se reflejan en la ionosfera y, por tanto, solo se pueden utilizar para distancias cortas.

Microondas 1 mm - 10 cm 3 - 300 GHz

Radar

Redes sin hilos (WiFi)

Hornos de microondas

Presentan mucha atenuación en la atmósfera y, por tanto, sólo se pueden utilizar para distancias muy cortas.

Infrarrojos 700 nm - 1 mm 3 · 1011 - 4 · 1014 Hz

Termografías

Visión nocturna

Controles remotos

Emisión térmica.

Luz visible 400 - 700 nm 4 · 1014 - 7 · 1014 Hz Instrumentos ópticosRadiación visible por el ojo humano y el de la mayoría de los seres vivos.

Ultravioletas 10 - 400 nm 7 · 1014 - 3 · 1016 Hz Medicina

EspectrofotometríaLa materia los absorbe muy fácilmente.

Rayos X 0,01 - 10 nm 3 · 1016 - 3 · 1019 HzRadiografía diagnóstica

Cristalografía

Generados por radiación de ionización, su longitud de onda está dentro de la escala de los átomos y los cristales atómicos.

Rayos 1011 m 3 · 1019 HzEsterilización

RadioterapiaGenerados por interacciones subatómicas.

Podéis ver los materiales dieléctricos y conductores en el módulo “Leyes de Maxwell”.

Podéis ver el comportamiento de las ondas en el módulo “Leyes de Maxwell”.Podéis ver el índice de refracción en el módulo “Óptica”.


y dejaremos para más adelante el caso de medios conductores. Analizaremos

primero cómo es la velocidad de propagación en un medio material y volve-

remos a trabajar con el concepto de índice de refracción (n), pero ahora lo ve-

remos aplicado a las ondas electromagnéticas en general.

1.2.1. Velocidad de propagación

aSi recordáis, anteriormente os explicamos el efecto de introducir un material

dieléctrico en una región del espacio donde están presentes campos eléctricos

o magnéticos. Los valores de la permitividad eléctrica y la permeabilidad mag-

nética para el vacío (0 y 0) se sustituyen por sus equivalentes correspondien-

tes al medio en cuestión ( y ).

Esta sustitución es aplicable a todas las expresiones donde aparecen los con-

ceptos de permitividad o permeabilidad y, por tanto, también a la expresión

para la velocidad de propagación de una onda electromagnética (6). Así pues,

podréis encontrar la velocidad de propagación de las ondas en un medio cual-

quiera si conocéis los valores de la permitividad eléctrica () y la permeabilidad

magnética () correspondientes.

Podéis comprobar que si sustituís, en la expresión (7), los valores de la permi-

tividad eléctrica () y la permeabilidad magnética () por los valores corres-

pondientes al vacío (y ), obtendréis la expresión que ya habíamos visto

para la velocidad de propagación en el vacío (6). Esto quiere decir que en el

fondo esta última es un caso particular de la primera.

Así pues, podéis ver que la velocidad de propagación (v) de las ondas varía de

manera significativa entre un medio y otro, ya que también lo hacen los valo-

res de y de. Es más, incluso dentro de un mismo medio, si este no es i. h.

l., la velocidad puede variar entre un punto y otro, ya que tanto la permeabi-

lidad () como la permitividad () dependen de muchos factores, como la den-

sidad o la temperatura.

La velocidad de propagación (v) de una onda electromagnética en un medio es

un parámetro muy importante en el estudio de su comportamiento. Podemos

encontrar multitud de tablas y documentos con los valores de esta velocidad

para la mayoría de los materiales conocidos. No obstante, igual que sucedía con

Podéis ver el efecto de un material dieléctrico en presencia de campos en el módulo “Leyes de Maxwell”.

y son las letras griegas mu y épsilon, respectivamente.La velocidad de propagación (v) (también denominada velocidad de fa-

se) de una onda electromagnética en presencia de un medio material es:

(7)

donde y son, respectivamente, la permeabilidad magnética y la per-

mitividad eléctrica absolutas del material.

1 v

v y c

En este módulo utilizaremos v para indicar la velocidad de propagación de una onda en un medio cualquiera y limitare-mos c para indicar la velocidad de propagación de la onda en el vacío (c 2,998 · 108 m/s).

Recordad

Un medio i. h. l. es un medio:

• Isótropo: sus características electromagnéticas no de-penden de la dirección de propagación.

• Homogéneo: sus caracterís-ticas son las mismas en cual-quier punto del medio.

• Lineal: sus características eléc-tricas y magnéticas dependen linealmente de los campos eléctrico y magnético.


la permeabilidad () y la permitividad (), lo más habitual es encontrar valores

en términos relativos, es decir, comparados con su equivalente para el vacío.

Por ejemplo, encontraréis que la velocidad de propagación de una onda por un

medio es x veces inferior que la que tendría si lo hiciera por el vacío. Aquí entra

en juego el concepto de índice de refracción de un medio.

aEl concepto de índice de refracción ya lo introdujimos, pero lo volveremos a

explicar en este módulo, incluyendo ahora su relación con los conceptos de

permeabilidad y permitividad.

1.2.2. Índice de refracción

aYa hemos mencionado que resulta muy habitual encontrar las características

eléctricas o magnéticas de un medio en forma relativa, es decir, en compara-

ción con las del vacío. De hecho, el índice de refracción (n) de un medio es

una medidad de la velocidad relativa de una onda electromagnética respecto

a la que tendría en el vacío (c 2,998 · 108 m/s):

(8)

donde v es la velocidad de propagación de la onda en el medio en cuestión y c

es la velocidad de la misma onda en el vacío, que siempre es c 2,998 · 108 m/s.

aEl concepto de índice de refracción de un medio ya lo vimos, pero aplicado

sólo a la luz. Ahora podéis comprobar que este concepto se puede aplicar a

cualquier tipo de onda electromagnética.

Podéis desarrollar la expresión (9) y sustituir los valores de las velocidades (c y

v) por sus relaciones con las permeabilidades () y permitividades () respecti-

vas que habéis visto en las ecuaciones (6) y (7). Obtendréis:

(10)

Podéis ver el concepto de índice de refracción en el módulo “Óptica”.

Podéis ver las características eléctricas o magnéticas de un medio en forma relativa en el subapartado 1.2.1 de este módulo.

El índice de refracción (n) de un medio material se define como el co-

ciente entre la velocidad de propagación de una onda electromagnética

en el vacío (c 2,998 · 108 m/s) y la velocidad que tiene en este medio:

(9)

Dado que tanto c como v son magnitudes de velocidad y se miden con

las mismas unidades, el índice de refracción es adimensional (es decir,

no tiene unidades).

cn

v

cn

v

Podéis ver el concepto de índice de refracción en el módulo “Óptica”.

0 0

1

1

cn

v


Si juntáis los términos que se encuentran dentro de la raíz, os quedará:

(11)

Si os fijáis bien, los dos cocientes que aparecen dentro de la raíz no son otra

cosa que sus permeabilidad y permitividad relativas, r y r, que ya vimos. Re-

cordad que eran:

a(12)

Podéis comprobar que tanto r como r son magnitudes adimensionales (es

decir, no tienen unidades). Por tanto, el resultado de la operación (13) tam-

bién lo será, tal como ya habíamos visto.

Hasta aquí hemos estudiado la propagación de ondas electromagnéticas en el

vacío y en medios dieléctricos. En ambos casos, hemos supuesto que las ondas

se propagan de manera indefinida, sin atenuación en su amplitud de oscila-

ción. Sin embargo, seguro que habréis observado en la vida cotidiana que hay

objetos que dejan pasar la luz, otros que no y otros que lo hacen de manera

parcial. Decimos que los cuerpos presentan un cierto grado de opacidad, es de-

cir, que hay cuerpos más opacos que otros. Lo mismo se puede aplicar a otros

tipos de ondas electromagnéticas, como las ondas de radio o los rayos X (res-

pecto a estos últimos, sólo es necesario que os imaginéis una radiografía, don-

de se puede ver que la piel deja pasar “la luz”, los rayos X, mientras que los

huesos son opacos).

Los medios conductores en general presentan una alta opacidad respecto a las

ondas electromagnéticas. A continuación estudiaremos este caso.


medios materiales conductores

El estudio de la propagación de una onda electromagnética en un medio con-

ductor es muy similar al que hemos realizado hasta ahora para el caso del va-

0 0

0 0 0 0

1

1

n

r y r se leen “mu sub erre” y “épsilon sub erre”.

Podéis ver la permeabilidad y la permitividad relatives en el módulo “Leyes de Maxwell”.

0 0 r ri

r 1,

A excepción de los materiales ferromagnéticos, la mayoría de los materiales presentan una permeabilidad magnética rela-tiva muy cercana a 1 (r 1). Por este motivo, en algunos ámbitos, como la óptica, en-contraréis a menudo la expre-sión para el índice de refracción aproximada a:

rn

rn

El índice de refracción (n) de un medio cualquiera está relacionado con

la permeabilidad magnética (r) y la permitividad eléctrica (r) relativas

del medio:

(13) r rn


cío de un medio dieléctrico. La diferencia más notable radica en que hemos de

tener en cuenta que la conductividad del material ahora no es insignificante.

La consecuencia principal de encontrarse en un medio material con una con-

ductividad diferente de cero es que la onda electromagnética interacciona con

el material y parte de su energía se consume durante el proceso. Podríamos de-

cir que la onda “se desgasta” a medida que se propaga. Y eso se traduce en una

reducción de su intensidad. Lo veremos a continuación.

1.3.1. Absorción y profundidad de penetración

a

Un mismo medio material puede ser más o menos opaco en función de su gro-

sor; de hecho, si cortáis un material muy opaco y muy delgado, puede llegar a

ser transparente. Es decir, es como si la onda electromagnética se fuera “des-

gastando” a medida que se adentra en el medio material. Lo que en realidad

está sucediendo es que la onda electromagnética va cediendo parte de su ener-

gía al medio, fenómeno que recibe el nombre de atenuación.

Para la cuantificación de esta atenuación, podemos redefinir el concepto de

índice de refracción para introducir en él un término que incluya la atenua-

ción de parte de la energía de las ondas (las “pérdidas”). Estos efectos se pue-

den englobar en un nuevo valor del índice de refracción, que ahora será un

número complejo, que simbolizaremos ñ:

(14)

La parte real de este índice de refracción complejo (ñ) corresponde al índice de

refracción “normal” (n) que hemos visto hasta ahora. La parte imaginaria (k)

se denomina coeficiente de extinción y explica las “pérdidas” o la reducción en

la amplitud de la onda a medida que se propaga por un medio. Este fenómeno

se denomina atenuación y lo detallaremos a continuación.

aCuando se produce atenuación, la intensidad de la onda, I, viene regida por la

expresión siguiente:

I I0ex (15)

donde I0 es la intensidad inicial, es el coeficiente de atenuación del medio

material y x es la distancia recorida por la onda dentro del medio.

En la figura 2 podéis observar una representación gráfica de la expresión ante-

rior. Podéis comprobar que, a medida que la onda penetra una distancia x den-

Podéis ver también el fenómeno de la atenuación en el módulo “Óptica”.

Atención

No las confundáis. Fijaos en que tenemos tres “k”, la , vector unitario en la dirección z, la correspondiente al nú-mero de onda, y la k coeficien-te de extinción. Fijaos en que la primera es un vector, la segun-da puede aparecer como vec-tor o módulo y la tercera es un escalar.

k

k

ñ se lee “ene tilde”.

Recordad

Un número complejo z es un

número del tipo z a jb, donde a y b son números reales y j es la unidad de los números imaginarios

( y j2 1).1j

n n jk

Podéis ver el índice de refracción en el subapartado 1.2.2 de este módulo.

Recordad

e 2,718281828459...

es la letra griega alfa.


tro del medio, su intensidad se va reduciendo de manera exponencial, de

modo que cuanto más grande es el valor del coeficiente de atenuación (), más

rápidamente se atenúa la onda.

Figura 2

El coeficiente de atenuación () es una característica de cada medio material y

mide la rapidez con la que se reduce la intensidad de una onda electromagné-

tica cuando se propaga por el medio.

No obstante, a menudo resulta muy interesante hablar del concepto inverso a

la atenuación, es decir, de la capacidad de una onda de penetrar dentro de un

medio sin experimentar pérdidas significativas. Así, por ejemplo, en la gráfica

de la figura 2 podéis observar que cuando la onda penetra una distancia co-

rrespondiente a cuatro marcas del eje horizontal, la intensidad es un 20% del

valor original (o, lo que es lo mismo, se ha reducido en un 80%). Para un me-

dio con un coeficiente de atenuación () muy grande, esta misma caída se pro-

duce en poca distancia y, por tanto, podríamos decir que la onda penetra

menos distancia dentro del medio. Por el contrario, en un medio con un co-

eficiente muy pequeño sucede todo lo contrario: la onda recorre mucha más

distancia antes de reducirse en un mismo factor.

Así pues, ya hemos visto, desde el punto de vista cualitativo, que existe un

concepto de profundidad de penetración, es decir, una distancia que puede re-

correr una onda dentro de un medio antes de atenuarse un cierto factor. Sin

embargo, desde el punto de vista cuantitativo, la determinación exacta de esta

distancia varía según qué valor tomemos como factor de reducción de referen-

cia. Por ejemplo, en la figura 2 no es lo mismo calcular la distancia recorrida

para una reducción del 50% que la distancia para una reducción del 80%.

Como este valor de referencia es arbitrario, hay que definir un parámetro están-

dar para poder cuantificar esta distancia de penetración y permitir la compara-

ción entre medios diferentes. Este parámetro se denomina profundidad de

penetración () y se define como el valor inverso del coeficiente de atenuación:

(16)

Figura 2

Representación gráfica de la re-ducción de la intensidad de una onda a causa de la atenua-ción por parte del medio.

es la letra griega delta minúscula. 1


La profundidad de penetración () es un parámetro que depende tanto de las

características del material como de la onda que lo atraviesa. Su valor es:

(17)

donde encontramos los parámetros siguientes:

• La conductividad del medio (). Cuanto mejor conductor es el medio,

menos podrá penetrar en él una cierta onda electromagnética. En un con-

ductor ideal o perfecto ( 0), la onda sería completamente incapaz de pe-

netrar. Por el contrario, en un medio dieléctrico, donde la conductividad

es muy pequeña y se puede aproximar a cero ( 0), la onda podrá penetrar

de manera casi indefinida. El caso extremo sería el vacío ( 0), donde la

onda no experimentaría ningún tipo de atenuación y, por tanto, la profun-

didad de penetración () sería infinita.

• La permeabilidad magnética del medio (). Cuanto más magnético es el

medio, menor es la profundidad de penetración (). Así, por ejemplo, una

misma onda se atenuará de manera mucho más rápida en un material fe-

rromagnético que en un material no ferromagnético (suponiendo que el

resto de los parámetros son iguales).

• La frecuencia de la onda que se propaga (f). A diferencia de los dos fac-

tores anteriores, que dependen de las características del medio, este tercer

factor depende de las características de la onda que se propaga. Como po-

déis comprobar a partir de la expresión (17), cuanto más alta es la frecuen-

cia, menor es la profundidad de penetración (). Por tanto, las ondas de

baja frecuencia tendrán una atenuación más pequeña y una penetración

mucho más grande en el medio. Por el contrario, en las ondas de alta fre-

cuencia, el valor de puede reducirse de manera significativa.

Podéis comprobar, a partir de la expresión (15), que la profundidad de pene-

tración () corresponde a la distancia que ha de recorrer la onda para que su

intensidad disminuya un factor e.

Recordad

3,141592658979...

1

f

Recordad

La conductividad eléctrica es la “facilidad” con la que las cargas eléctricas pueden circu-lar por un cierto material. correspondería a un conductor perfecto, mientras que 0 correspondería a un aislante perfecto.

Recordad

Los materiales ferromagnéticos presentan en general una per-meabilidad magnética muy grande ().

Recordad

e 2,718281828459...

La reducción de la intensidad de una onda electromagnética cuando

esta se propaga por un medio material se denomina atenuación. La in-

tensidad de la onda (I) a una distancia (x) al interior del medio es:

(18)

donde I0 es la intensidad inicial y es la profundidad de penetración,

que es igual a:

(19)

donde y son la permeabilidad magnética y la conductividad eléctri-

ca del medio material, respectivamente, y f es la frecuencia de la onda.

0

x

I I e

1

f


Ejemplo de absorción y profundidad de penetración

El agua de mar presenta una conductividad aproximadamente mil veces mayor que la del

agua corriente, a causa de la elevada concentración de sales que contiene. Esta alta con-

ductividad dificulta en gran medida la comunicación con los submarinos.

La intensidad (I) de una onda electromagnética que llega a un receptor sumergido en el

agua disminuye exponencialmente según la ecuación (18):

donde es la profundidad de penetración, un parámetro que disminuye con el valor de

la frecuencia de la onda transmitida, según la ecuación (19):

Si sabemos que para una frecuencia f = 10 kHz, la profundidad de penetración es = 2,25

m, mientras que para una frecuencia 100 veces más grande (f = 1 MHz) tenemos que =

0,22 m, determinad:

a) La intensidad de una onda I (expresada en % respecto a la intensidad inicial I0) a una

profundidad de 1 m, para las dos frecuencias anteriores.b) La profundidad a la que ha de llegar la segunda onda (f = 10 kHz) para experimentar

la misma atenuación que la primera (f = 1 MHz).c) Repetid el apartado anterior para dos frecuencias cualesquiera.

Solución

a) Para determinar la intensidad a una cierta profundidad, hay que conocer o bien el va-

lor del coeficiente de atenuación () o bien su valor inverso, la profundidad de penetra-

ción (). En este ejemplo, conocemos el segundo.

Como solo necesitamos determinar el valor de la intensidad en términos relativos, es de-

cir, queremos saber el porcentaje respecto al valor total, hemos de calcular el cociente en-

tre las intensidades final e inicial. Lo encontraremos a partir de la expresión (18):

(20)

Por tanto, sólo nos queda sustituir el valor de la distancia recorrida (x 1 m) y la profun-

didad de penetración correspondiente:

Para la onda de 10 kHz ( = 2,25 m):

Para la onda de 1 MHz ( = 0,22 m):

b) La intensidad relativa de la primera onda después de haber recorrido una distancia x1

es, según la expresión (20):

(21)

Para la segunda onda, la intensidad después de haber recorrido una distancia x2 es:

(22)

0

x

I I e

1

f

0

0

x x

II I e e

I

1

2,25

00,064 6,4 %

x

I e eI

1

0,22

00,011 1,1 %

x

I e eI

1

11

0

xI

eI

2

22

0

xI

eI


Como hemos de comparar las distancias recorridas por cada una de las ondas cuando es-tas han experimentado exactamente la misma reducción en la intensidad, hay que igua-lar las expresiones (21) y (22):

(23)

Podemos igualar directamente los exponentes, ya que a los dos lados está la misma base:

(24)

Si separamos las distancias recorridas (x1 y x2) a un lado y las profundidades de penetra-ción ( y ) al otro, quedará:

(25)

Y, finalmente, sustituiremos los valores de las profundidades de penetración correspon-dientes ( y ):

Es decir, la onda con f = 10 kHz ha de recorrer una distancia 10 veces superior que la def = 1 MHz para experimentar la misma atenuación.

c) Para repetir el apartado anterior para el caso de dos frecuencias cualesquiera, hay queproceder de la misma manera. Por tanto, partiremos de la ecuación (25) y continuaremosa partir de ella. Utilizaremos el subíndice 1 para la primera onda y el 2 para la segunda:

(26)

Ahora, hemos de sustituir los valores de y por las expresiones generales de la pro-fundidad de penetración (19):

(27)

Podemos simplificar:

(28)

Por tanto, la relación entre las distancias recorridas por dos ondas de frecuencia diferentepara que experimenten la misma atenuación será:

(29)

Podéis comprobar que la distancia recorrida disminuye con la frecuencia, ya que la pro-porcionalidad es inversa: cuanto mayor sea la frecuencia 2 respecto a la 1, más pequeñaserá la longitud de penetración. Así pues, para una buena recepción submarina, es prefe-rible utilizar ondas de baja frecuencia, ya que presentan una profundidad de penetra-ción mayor.

1 2

1 2

x x

e e

1 2

1 2

x x

2 2

1 1

x

x

2

1

2,2510 veces

0,22

x

x

2 2

1 1

x

x

22 2

1 1

1

1

1fx

xf

2 12 1

1 22

1

1

1f fx f

x fff

2 1

1 2

x

x

ff


1.4. ¿Qué hemos aprendido?

En este apartado hemos visto cómo se propaga una onda electromagnética

tanto por el vacío como por un medio material. También hemos visto que este

tipo de ondas siempre son ondas transversales (podéis recordar la figura 1). Es

decir, que las direcciones de oscilación o de “vibración” son perpendiculares

a la dirección de propagación.

Sin embargo, hasta ahora no hemos entrado en detalle sobre cómo son estas

direcciones de oscilación. Pensad que, para una dirección determinada, exis-

ten infinitas direcciones perpendiculares. En el siguiente apartado explicare-

mos este aspecto.


2. Polarización

aAnteriormente vimos que en una onda electromagnética tanto el campo eléc-

trico como el campo magnético son perpendiculares a la dirección de propa-

gación y también perpendiculares entre sí (podéis recordar la figura 1). Pero la

pregunta que nos podemos hacer es: ¿quiere esto decir que si conocemos la di-

rección de propagación conoceremos por fuerza la dirección de los campos

eléctrico y magnético?

Para responder a esta pregunta, podéis observar la figura 3. Fijaos en que todas

las combinaciones de vectores y que hemos dibujado satisfacen las dos

condiciones:

• y son perpendiculares entre sí,

• y son perpendiculares a la dirección de propagación.

Figura 3

Por tanto, dada una dirección de propagación específica, existen infinitas con-

figuraciones posibles para los campos eléctrico y magnético. En otras palabras,

los campos pueden “estar puestos” de muchas maneras.

En este apartado estudiaremos las diferentes configuraciones de campo eléc-

trico y magnético que podemos encontrar en una onda electromagnética. Es

lo que denominamos polarización de una onda.

aA continuación explicaremos este concepto de polarización y más adelante es-

tudiaremos los tipos que hay. En concreto, limitaremos el análisis a los dos

más importantes: la polarización lineal y la polarización circular.

2.1. Concepto de polarización

Como ya hemos dicho, en una onda electromagnética los campos eléctrico

y magnético “vibran” siempre en direcciones perpendiculares a la dirección

Podéis ver la perpendicularidad entre el campo eléctrico y el campo magnético en el módulo “Leyes de Maxwell”.

E

B

E

B

E

B

Figura 3

Representación gráfica de la polarización lineal.

Todos los pares de vectores y son perpendiculares entre sí y perpendiculares a la direc-ción de propagación.

E

B

Observación

No debéis confundir la polari-zación de una onda electro-magnética con la polarización eléctrica en un dieléctrico. A pesar de tener nombres idénti-cos, son conceptos diferentes.

Podéis ver la polarización en el módulo “Ondas”. Podéis ver la polarización eléctrica en un dieléctrico en el apartado 1 del módulo “Leyes de Maxwell”.

E

B


de propagación y perpendicular entre ellos. También hemos visto que existen

infinitas orientaciones posibles que satisfacen estas dos condiciones. La pre-

gunta que nos hacemos ahora es: ¿los campos mantienen la misma dirección

a medida que una onda electromagnética se propaga?

La respuesta es que depende del caso. Por ejemplo:

a• Podemos encontrarnos con que, efectivamente, los campos mantengan

(oscilen en) la misma dirección todo el tiempo. Este es el caso de la polari-

zación lineal, que veremos más adelante.

a

• Pero también podría suceder que las direcciones de los campos eléctrico y

magnético no se mantuvieran constantes, sino que fueran variando. Eso sí,

siempre lo harían respecto a un plano perpendicular a la dirección de pro-

pagación como el de la figura 3, ya que en caso contrario ya no sería una

onda transversal. A continuación veremos que este tipo de configuración

corresponde a las polarizaciones circular o elíptica (esta última la citaremos

pero no la estudiaremos).

Por otra parte, no podemos olvidar que buena parte de las ondas electromag-

néticas que se crean de manera natural no se pueden englobar en ninguno de

los casos anteriores. Esto se debe a que estas ondas electromagnéticas son, en

realidad, superposiciones de muchas ondas producidas por un número muy

grande de fuentes diferentes y dispuestas de manera aleatoria (por ejemplo, los

átomos de una bombilla de incandescencia). En consecuencia, estas ondas es-

tán polarizadas en todas direcciones, aunque lo que decimos es que se trata de

ondas “no polarizadas”.

El conocimiento del concepto de polarización es vital y necesario para entender

bien otros conceptos que veremos más adelante. Por ejemplo, en una interfaz

de cambio de medio, dos ondas electromagnéticas aparentemente similares se

pueden comportar de manera diferente en función de su polarización.

A continuación, veremos los dos tipos de polarización más importantes: la po-

larización lineal y la circular. Para simplificar el texto, en el estudio nos referire-

mos siempre a las direcciones solo del campo eléctrico ( ) y obviaremos las del

campo magnético ( ). Este hecho no afecta al resultado, ya que, como ya he-

mos visto, el campo magnético siempre tiene dirección perpendicular al campo

eléctrico y a la dirección de propagación. Por tanto, si conocemos las caracterís-

ticas de uno de los dos y la dirección de propagación, tendremos las del otro.

2.2. Polarización lineal

El primer estado de polarización que estudiaremos será la polarización lineal.

Decimos que una onda electromagnética presenta este estado de polarización

Podéis ver la polarización lineal en el subapartado 2.2 de este módulo.

Podéis ver la polarización circular en el subapartado 2.3 de este módulo.

Recordad

Los campos eléctrico y

magnético siempre son per-pendiculares entre ellos.

E

BE

B


si su campo eléctrico ( ) siempre oscila o “vibra” en la misma dirección a me-

dia que la onda se propaga.

En la figura 4a podéis observar un ejemplo de una onda electromagnética con

polarización lineal. Podéis comprobar que si observamos la onda “desde de-

lante”, es decir, si nos ubicamos en un punto en el camino de propagación de

la onda, lo que veremos es que los vectores de los campos eléctrico ( ) y mag-

nético ( ) trazan siempre una línea recta. De aquí viene el nombre de polari-

zación lineal.

Figura 4

En la figura 4b mostramos también una onda electromagnética con polariza-

ción lineal pero ahora hemos hecho que la dirección del campo no coincida

con ninguno de los ejes de coordenadas. De esta manera, podéis comprobar

que sus componentes respecto a estas direcciones “dibujan” ambas una forma

sinusoidal y, además, se encuentran en fase entre sí. En otras palabras, para

una onda que se propaga en la dirección z, cuando el campo es máximo en el

eje x también lo es en el eje y, y lo mismo sucede para los mínimos. Este último

punto es importante; implica que podemos considerar una onda polarizada li-

nealmente en una cierta dirección como una suma de dos (o más) ondas po-

larizadas de forma lineal en direcciones diferentes, siempre y cuando estas se

encuentren en fase. Utilizaremos esta propiedad más adelante.

Figura 5

E

E

B

Figura 4

Representación gráfica de la polarización lineal.

¡Cuidado! Solo hemos dibuja-do la proyección del campo eléctrico E. Recordad que el campo magnético B es perpen-dicular.

Figura 5

Descomposición de un campo eléctrico polarizado linealmen-te en dos componentes inde-pendientes también polarizadas de forma lineal.


En la figura 5 os mostramos un ejemplo de un campo eléctrico que está pola-

rizado linealmente, es decir, que oscila en una misma dirección, marcado por

el ángulo respecto al eje x. Podéis comprobar que este campo se puede repre-

sentar como una composición de una componente que “vibra” en el eje x ( )

y de otra que lo hace en el eje y ( ).

Un ejemplo donde está involucrada la polarización lineal lo podéis encontrar

en la luz solar que se refleja sobre la superficie del agua, que después de refle-

jarse queda, en buena parte, polarizada linealmente. Si observamos el agua

con una cámara o unas gafas que dispongan de un filtro que impida el paso

de ondas con esta polarización, no veremos toda esta luz solar reflejada en el

agua. En consecuencia, el agua se verá mucho más transparente que cuando

la observamos a simple vista (de hecho, muchas fotografías de aguas supues-

tamente cristalinas están hechas con filtros de este tipo, precisamente para eli-

minar buena parte de los reflejos de la luz solar).

Otro aspecto que subraya la importancia de la polarización lineal es el hecho

de que cuando las ondas inciden sobre una interfaz entre dos medio materia-

les, la onda reflejada está polarizada linealmente de manera parcial o incluso

total. Esto quiere decir que buena parte de las ondas que detectamos (la luz

misma, por ejemplo), como en general son el resultado de múltiples reflexio-

nes sobre los objetos que existen alrededor, estarán a menudo polarizadas de

manera lineal. Por este motivo muchas gafas de sol se construyen con vidrios

que incluyen filtros para luz polarizada, ya que de esta manera se aumenta la

eficacia sobre lo que interesa filtrar (por ejemplo, la luz reflejada sobre la nie-

ve) pero no sobre el resto.

Una vez introducida la polarización lineal, en la que el campo eléctrico siem-

pre oscila en una misma dirección, pasaremos a estudiar un caso un poco más

complejo: la polarización circular.

Decimos que una onda electromagnética presenta polarización lineal

si el campo eléctrico (o magnético) siempre oscila en una misma di-

rección.

Esto es equivalente a decir que, para una onda que se propaga a lo largo

de la dirección z, las componentes del campo eléctrico (o magnético) en

las direcciones x e y se encuentran en fase entre ellas.

(30)

xE

yE

j kz tx yE E jE ei

j kz tx yB B eB i j


2.3. Polarización circular

aComo ya hemos mencionado, decimos que una onda electromagnética pre-

senta polarización circular si los campos eléctrico o magnético no oscilan

siempre en la misma dirección a medida que la onda se propaga, y además va-

rían de una determinada manera, que veremos a continuación.

En la figura 6a podéis visualizar un ejemplo de una onda con polarización cir-

cular. En el primer esquema podéis comprobar que, para una onda que se pro-

paga a lo largo del eje z, las componentes del campo eléctrico en las

direcciones x e y ( y ) están desfasadas un ángulo /2. En otras pala-

bras, cuando la componente es máxima, la componente es mínima, y

al revés. En el segundo esquema, las flechas corresponden a la composición de

estas dos componentes desfasadas.

Figura 6

Por otra parte, la figura 6b muestra el dibujo imaginario que traza el vector del

campo eléctrico. Como podéis comprobar, la proyección sobre un plano per-

pendicular a la dirección de propagación (el plano de la parte inferior de la fi-

gura), corresponde a una circunferencia y de aquí proviene la denominación

polarización circular.

Podéis ver el concepto de polarización en el subapartado 2.1 de este módulo.

xE

yE

xE

yE

Figura 6

Representación gráfica de la polarización circular.

¡Cuidado! Solo hemos repre-sentado las dos componentes del campo eléctrico y no he-mos representado el campo magnético.

Decimos que una onda electromagnética presenta polarización circu-

lar si la proyección del campo eléctrico (o magnético) respecto a un pla-

no perpendicular a la dirección de propagación “dibuja” un círculo.

Eso es equivalente a decir que, para una onda que se propaga a lo largo

de la dirección z, las componentes del campo eléctrico (o magnético) en

las direcciones x e y se encuentran desfasadas un ángulo /2:

(31)

2 j kz tj kz t

x yE E i e E ej

2 j kz tj kz t

x yB B i e B j e



En este apartado hemos estudiado el concepto de polarización de las ondas

electromagnéticas. Este concepto detalla cómo “están puestos” los campos

eléctrico y magnético respecto a la dirección de propagación de la onda.

aHemos estudiado los dos tipos de polarización más comunes: la polarización

lineal y la polarización circular.

Existe un tercer tipo de polarización que denominamos polarización elíptica.

No entraremos en detalle sobre este tipo de polarización porque queda fuera

de los objetivos de la asignatura, pero sí diremos que se trata de un caso gene-

ral que engloba las dos polarizaciones anteriores.

Recursos en Internet

Más información sobre polari-zación (en inglés):

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/polclas.html#c1

Podéis ver la polarización lineal en el subapartado 2.2 de este módulo.Podéis ver la polarización circular en el subapartado 2.3 de este módulo.


3. Reflexión y transmisión de ondas planas en un cambio de medio

Hasta aquí hemos visto cómo se propagan las ondas electromagnéticas por un

único medio. Sin embargo, una onda electromagnética que se propaga por un

medio material generalmente entra en él a través de una superficie de separa-

ción que lo separa de otro medio (por ejemplo, el aire o el vacío). Es en estas

interfaces de separación donde se producen los fenómenos más interesantes

desde el punto de vista del comportamiento de las ondas electromagnéticas.

aYa os mostramos un pequeño avance de estos fenómenos cuando os describi-

mos el comportamiento de la luz al pasar de un medio a otro con un índice de

refracción diferente. No obstante, nos limitamos a describirlo y no explicamos

el porqué de estos comportamientos. Esto es lo que haremos en este apartado.

En el primer apartado retomaremos las ecuaciones de Maxwell que os hemos

introducido en el módulo anterior y las estudiaremos en el caso concreto que

necesitamos: la frontera entre dos medios. Más adelante aplicaremos este re-

sultado para analizar el comportamiento de una onda electromagnética al in-

cidir sobre una interfaz.

3.1. Condiciones de frontera

Las ondas electromagnéticas, al pasar de un medio a otro, deben satisfacer una

serie de condiciones. Estas condiciones son aplicables a los campos eléctrico y

magnético en toda la región cercana a la zona de separación de los dos medios,

que denominaremos a partir de ahora zona interfacial o interfaz de cambio de

medio y se deducen a partir de las ecuaciones de Maxwell. Para facilitar el estudio

de estas condiciones haremos el análisis de las componentes normales (perpen-

diculares a la interfaz) y tangenciales (paralelas a la interfaz) por separado. Para

entender mejor cómo son estas componentes, podéis observar la figura 7.

En el esquema podéis visualizar una interfaz entre dos medios materiales y las

respectivas componentes del campo eléctrico ( ) a ambos lados:

• En el medio 1, el campo eléctrico es , y sus componentes normal y tan-

gencial a la superficie son y , respectivamente.

• En el medio 2, el campo total es y las componentes son y .

Para simplificar la imagen, sólo hemos incluido las componentes del campo

eléctrico, pero el mismo procedimiento es aplicable también al campo magné-

tico .

Podéis ver un avance de la reflexión en el módulo “Óptica”.

E

1E

1nE

1tE

2E

2nE

2tE

B


Figura 7

A continuación, estudiaremos por separado las condiciones que deben satisfa-

cer el campo eléctrico, por una parte, y el campo magnético, por la otra, en la

zona interfacial entre dos medios cualesquiera. Como ya hemos dicho, para

cada estudio analizaremos por separado las componentes normales y las com-

ponentes tangenciales a la superficie de contacto. Comenzaremos primero

con el análisis de las del campo eléctrico y, después, haremos lo mismo con las

del campo magnético.

3.1.1. Condiciones de frontera para el campo eléctrico

Las componentes normales (o perpendiculares) y tangenciales (o paralelas) a

la superficie de separación, del campo eléctrico, deben satisfacer, en la zona

interfacial entre dos medios cualesquiera, una serie de condiciones. Para en-

contrarlas procederemos con el razonamiento siguiente:

Suponed en primer lugar que no existe ninguna carga eléctrica en la zona in-

terfacial. Esto quiere decir que el número de líneas de campo que entran en la

interfaz por un lado es el mismo que las que salen por el otro. Es decir, el cam-

po eléctrico es el mismo en los dos lados.

Ahora suponed que sí que existen cargas en la zona interfacial. Bajo este su-

puesto, sí que habrá generación o destrucción de líneas de campo y, por tanto,

el campo eléctrico no será el mismo en ambos lados. Es decir, habrá una dis-

continuidad en el valor del campo eléctrico. En la figura 8 podéis ver un ejem-

plo simplificado con una sola carga puntual (en realidad, hay carga en toda la

superficie de separación, pero dibujamos sólo una porque así se ve mejor la

idea que queremos transmitir).

En el dibujo, fijaos en la descomposición del campo eléctrico en componentes

normales y tangenciales (líneas discontinuas) a la superficie de separación de

los dos medios. Podéis comprobar que las componentes tangenciales o parale-

las a la interfaz ( ) son idénticas en los dos lados, mientras que las com-

ponentes normales ( ) presentan una cierta discontinuidad (un

“salto”) en la magnitud, ya que en un lado apuntan en un sentido y en el otro

apuntan al otro.

Figura 7

Representación gráfica de las componentes normal y tan-gencial del campo eléctrico en la zona interfacial.

1 2 t tiE E

1 2 n niE E


aLa determinación del valor exacto de este “salto” en el valor del campo no la

haremos en detalle. Sí que os diremos que se puede deducir a partir de la ley

de Gauss para el campo electrostático, que ya vimos.

Figura 8

Por lo que respecta a la componente tangencial, ya hemos dicho que es idén-

tica en los dos lados de la interfaz.

Una vez determinadas las condiciones que debe satisfacer el campo eléctrico

en una zona interfacial, procedemos a estudiar las del campo magnético.

Podéis ver la ley de Gauss para el campo electrostático en el módulo “Leyes de Maxwell”.

Figura 8

Representación gráfica de las componentes normal y tan-gencial del campo eléctrico en presencia de una carga eléctri-ca en la interfaz entre dos me-dios

Para facilitar la claridad de las expresiones, utilizaremos

simplemente E para indicar el módulo de una magnitud

vectorial

Recordad

El campo eléctrico ( ) y el campo de desplazamiento eléctrico ( ) están relaciona-dos por la permitividad del me-dio material (), según la expresión siguiente, si el mate-rial es isótropo, homogéneo y lineal:

E

E

D

D E

Las componentes normales (o perpendiculares) del campo eléctrico en

cada uno de los dos lados de una interfaz entre dos medios materiales

(E1n y E2n) deben cumplir la condición siguiente:

E1n E2n (32)

donde y son las permitividades eléctricas de los dos medios y es

la densidad superficial de carga en aquella región de la zona interfacial.

Esta misma expresión se puede reescribir en términos del campo de des-

plazamiento eléctrico D:

D1n D2n (33)

Las componentes tangenciales (o paralelas) del campo eléctrico a la

zona interfacial entre dos medios materiales (E1t y E2t) son idénticas en

las dos caras de la interfaz:

E1t E2t (34)


3.1.2. Condiciones de frontera para el campo magnético

a

Para determinar las condiciones correspondientes al campo magnético, se

puede aplicar el mismo razonamiento que hemos aplicado para el campo eléc-

trico en el apartado anterior. Sin embargo, si os acordáis, vimos que no existen

“cargas magnéticas” y, por tanto, las líneas de campo magnético no se pueden

generar ni destruir en ningún lugar.

En la figura 9 podéis observar un ejemplo de un campo magnético creado por

una corriente eléctrica que circula por la interfaz entre dos medios. La direc-

ción de la corriente eléctrica es perpendicular al plano del papel y el símbolo

indica que el sentido de la corriente es hacia dentro. Hemos mostrado sólo

un caso muy simplificado con un único “hilo” de corriente puntual; en reali-

dad, hay corriente en toda la superficie, pero dibujaremos sólo una porque así

se ve mejor la idea que queremos transmitir. Podríamos llegar a la misma con-

clusión si la corriente fluyera por toda la interfaz.

Figura 9

En el dibujo podéis comprobar que la discontinuidad (el “salto”) en la magnitud

del campo magnético se produce solo en la componente tangencial, mientras que

la componente normal se mantiene igual en los dos lados de la interfaz.

aLa determinación de la expresión exacta del “salto” en la componente tangen-

cial en la superficie de separación no la explicaremos en detalle, pero sí que

avanzaremos que se puede deducir a partir de la ley de inducción de Faraday

y de la ley de Ampère-Maxwell, que ya os explicamos.

Recordad

En un diagrama, para repre-sentar vectores o direcciones perpendiculares al plano del papel se utiliza la notación si-guiente:

o para indicar que el senti-do es hacia dentro (del lector hacia el papel),

o ● para indicar que el sen-tido es hacia fuera (del papel hacia al lector).

Podéis ver el razonamiento de por qué no existen “cargas magnéticas” en el módulo “Leyes de Maxwell”.

Figura 9

Representación gráfica de las componentes normal y tan-gencial del campo magnético en presencia de una corriente eléctrica en la interfaz entre dos medios.

Las componentes normales (o perpendiculares) del campo magnético

en la zona interfacial entre dos medios materiales (B1n y B2n) es idéntica

en los dos lados:

B1n B2n (35)

Podéis ver la ley de Faraday y la ley de Ampère-Maxwell en el módulo “Leyes de Maxwell”.


La densidad de corriente j tiene el mismo papel que la densidad de carga en

el caso de las condiciones de frontera para el campo eléctrico. Sin embargo, fi-

jaos en el subíndice . Este símbolo quiere decir “perpendicular” y aquí se uti-

liza para indicar que solo hay que tener en cuenta la componente de la

corriente eléctrica perpendicular a la dirección que se ha tomado como com-

ponente tangencial.

Este matiz es necesario porque, a pesar de que solo existe una única dirección

normal en la interfaz, hay infinitas direcciones que se pueden considerar

como tangenciales o paralelas. Imaginaos, por ejemplo, que el plano del papel

que estáis leyendo corresponde a una interfaz entre dos medios materiales.

Cualquier raya que dibujéis en ella seguirá una línea paralela a este plano y,

por tanto, se podrá considerar como componente tangencial.

3.1.3. Visión global y casos particulares

Ahora que ya hemos visto cómo son las condiciones que deben satisfacer tan-

to el campo eléctrico como el magnético, las visualizaremos en conjunto en la

tabla 3.1.

Tabla 3.1

Hemos optado por mostrar algunos elementos de la tabla 3.1 de las dos mane-

ras posibles. El motivo es que, a pesar de que en este texto utilizaremos la pri-

mera forma (es decir, sólo en función de y ), es muy habitual encontrar

en muchos textos las condiciones escritas de la segunda forma (es decir, en

función de los campos de desplazamiento eléctrico y de la intensidad de

campo magnético ).

Densidad de corriente

En la figura 9 habéis visto un ejemplo de una densidad de corriente perpendicular a la componente tangencial (j).

Recordad

El campo magnético ( ) y la intensidad de campo magnéti-co ( ) están relacionados por la permeabilidad del medio material (), según la expre-sión siguiente:

B

H

BH

La diferencia entre las componentes tangenciales (o paralelas) de los cam-

pos magnéticos en cada uno de los lados de una interfaz entre dos medios

materiales (B1t y B2t) es proporcional a la componente perpendicular de la

densidad superficial de corriente en aquella región de la interfaz:

(36)

donde 1 y 2 son las respectivas permeabilidades magnéticas y j es la

densidad de corriente que circula por la interfaz. Esta misma expresión

se puede reescribir en términos de la intensidad de campo magnético H:

H1t H2t j (37)

Campo eléctrico Campo magnético

Componentes

normales

1E1n 2E2n D1n D2n

B1n B2n

Componentes

tangencialesH1t H2t j

1 2

1 2

t tB Bj

1 2t tE E 1 2

1 2

t tB Bj

E

B

D

H


Resulta interesante estudiar las condiciones de continuidad de la tabla para un

caso particular: cuando no hay ninguna carga ( 0) ni corriente (j 0) sobre

la interfaz. Esta situación es muy habitual y, dado que las expresiones se sim-

plifican de manera notable, vale la pena analizarla.

Las condiciones de continuidad para interfaces donde no hay ninguna carga

( 0) ni ninguna corriente eléctrica (j 0) son:

Tabla 3.2

Una vez conocidas las condiciones que deben satisfacer los campos eléctrico y

magnético en una zona interfacial, y que son consecuencia directa del cum-

plimiento de las leyes de Maxwell, pasaremos a aplicarlas en el estudio del

comportamiento de las ondas electromagnéticas cuando se encuentran con

una interfaz de cambio de medio.

3.2. Reflexión y transmisión a la interfaz entre dos medios

aCuando una onda electromagnética incide en una superficie de cambio de me-

dio, su comportamiento no será aleatorio, sino que vendrá determinado por

las condiciones de frontera que os acabamos de introducir.

a

Anteriormente vimos que el comportamiento de la luz cuando incide sobre

una superficie de cambio de medio se rige por unas leyes determinadas. A con-

tinuación, deduciremos estas mismas leyes a partir de estas condiciones de

frontera y, de esta manera, podremos comprobar que se pueden aplicar a cual-

quier tipo de onda electromagnética.

En primer lugar, haremos una serie de suposiciones que nos simplificarán la

deducción. Son las que enunciamos a continuación.

Campo eléctrico Campo magnético

Componentes

normales

1E1n 2E2n

D1n D2nB1n B2n

Componentes

tangencialesE1t E2t

H1t H2t

1 2

1 2

t tB B

Podéis ver las condiciones de frontera en el subapartado 3.1 de este módulo.

Podéis ver el comportamiento de la luz al cambiar de medio en el módulo “Óptica”.

1) La zona interfacial se puede considerar como un único plano infini-

to, es decir, como una zona suficientemente delgada, infinitamente ex-

tensa y completamente plana.

2) En la zona interfacial no hay ninguna carga eléctrica ( 0) ni nin-

guna corriente eléctrica (j 0). Esto quiere decir que se pueden aplicar

las condiciones de frontera de la tabla 3.2.

3) Los dos lados de la zona interfacial son suficientemente extensos

como para negligir las posibles reflexiones múltiples que se pudieran

producir a causa de la presencia del otro extremo.


Ninguna de las suposiciones anteriores afecta de manera significativa al resul-

tado final y las pocas modificaciones que introducen quedan fuera del objeti-

vo de este módulo.

a

Una vez consideradas estas simplificaciones, veamos qué sucede cuando una

onda electromagnética incide sobre la interfaz. La experiencia cotidiana nos

dice que parte de la onda se reflejará y parte se transmitirá hacia el segundo

medio. Estudiaremos las características tanto de la onda reflejada como de la

onda transmitida. En ambos casos podréis comprobar que llegaremos al mis-

mo resultado que encontramos anteriormente.

3.2.1. Deducción de las leyes de reflexión y refracción de la óptica

para cualquier onda electromagnética

Como ya hemos dicho, cuando una onda electromagnética incide sobre una

interfaz de cambio de medio, una parte se refleja y no llega a penetrar en el

segundo medio, mientras que la otra parte atraviesa la interfaz y continúa pro-

pagándose por el segundo medio. A continuación, estudiaremos las caracterís-

ticas de estas dos ondas.

Para simplificar, trabajaremos solo con el campo eléctrico. Recordad que la di-

rección del campo magnético se puede determinar directamente a partir de la

del campo eléctrico. a

Comenzamos por escribir las expresiones de los campos eléctricos correspon-

dientes a las ondas incidente (38), reflejada (39) y transmitida (40). Como ya

hemos dicho, estamos suponiendo que se trata de ondas armónicas planas con

polarización lineal:

(38)

(39)

(40)

donde , y son las amplitudes, , y son las constantes de

onda y i, r y t son las frecuencias angulares de las ondas incidente, refleja-

da y transmitida, respectivamente. Por tanto, fijaos en que el subíndice i quie-

re decir “incidente”, el subíndice r, “reflejada” y el subíndice t, “transmitida”.

En la figura 10 podéis visualizar un esquema con las ondas incidente, reflejada

y transmitida.

Recordad



• Homogéneo: sus caracte-rísticas son las mismas en cualquier punto del medio.

• Lineal: sus características eléctricas y magnéticas de-penden linealmente de los campos eléctrico y magnéti-co.

4) Los medios de los dos lados son i. h. l. (isótropos, homogéneos y li-

neales) y no magnéticos.

5) La onda incidente es una onda armónica plana y está polarizada li-

nealmente.

Podéis ver las características de las ondas reflejadas y de las ondas transmitidas en el módulo “Óptica”.

Recordad

Los campos eléctrico y mag-nético ( ) siempre son per-pendiculares entre sí.

E

B

Recordad

x y zk r k x k y k z

0

i ij k r ti iE E e

·0

r rtr

rr

kjeE E

·0

t tj k r tt teE E

0iE

0rE

0tE

ik

rk

tk


En el esquema de la figura podéis identificar los elementos siguientes:

• Plano de la interfaz: plano que contiene la interfaz de separación entre los

dos medios. En el dibujo, corresponde al plano xz.

• Plano de incidencia: más adelante veremos que las ondas incidente, refle-

jada y transmitida se propagan sobre un mismo plano, este es el plano de

incidencia. Se trata de un plano perpendicular a la interfaz. En el dibujo,

corresponde al plano xy.

• Ángulos de incidencia (i), de reflexión (r) y de transmisión (t): ángulos

que forman las direcciones de propagación de las ondas incidente, reflejada y

transmitida respecto a una dirección perpendicular al plano de incidencia.

Figura 10a

Figura 10b

Corte transversal

es la letra griega theta minúscula (pronunciada como la zeta

castellana).

Figura 10

Representación gráfica de las ondas incidente, reflejada y transmitida.

Recordad

El símbolo indica una flecha entrando en el papel; y el sím-bolo indica una flecha sa-liendo del papel.


a

Durante el instante preciso en el que la onda entra en contacto con la interfaz,

las tres ondas presentes (incidente, reflejada y transmitida) coexisten y, como

se encuentran en la zona interfacial, los campos eléctrico y magnético han de

satisfacer las condiciones de frontera que ya os hemos introducido. En concre-

to, analizaremos la condición que debe satisfacer la componente tangencial

del campo eléctrico, que recordemos que había de ser idéntica a los dos lados

de la interfaz (E1t E2t). Por tanto, tendremos:

Eit Ert Ett (41)

donde Eit es la componente tangencial del campo eléctrico de la onda inciden-

te, Ert es la de la onda reflejada y Ett es la de la onda transmitida. Fijaos en que,

dado que solo hemos tomado una componente del vector, no hay que poner

la flechita de vector.

Dado que la condición de la expresión (41) se debe satisfacer en cualquier ins-

tante y en cualquier punto de la interfaz, a partir de las ecuaciones (38), (39)

y (40) deducimos que:

it rt tt (42)

(43)

La condición (42) implica que las frecuencias de oscilación son las mismas

para las tres ondas. La condición (43) lleva a las consecuencias siguientes:

1) La onda incidente, la onda reflejada y la onda transmitida se propagan en

el mismo plano. Este plano lo denominamos plano de incidencia y ya lo hemos

mencionado en la figura 10.

Figura 10c

Proyección en los ejes

Podéis ver las condiciones de frontera en el subapartado 3.1 de este módulo.

i r tk r k r k r


2) Como , tendremos que:

kiz sen i krz sen r (44)

es decir, que la proyección en el eje z de y es igual a la componente z de

, que es equivalente a:

(45)

y, por tanto:

sen i sen r

i r (46)

aEs decir, que el ángulo de reflexión debe ser igual al ángulo de incidencia, que

es la ley de la reflexión que ya vimos.

3) Como , tendremos que

kiz sen i ktz sen t (47)

que es equivalente a:

(48)

y, por tanto:

n1 sen i n1 sen t (49)

aLa relación (49) es la ley de Snell que ya vimos, aplicada a la luz, y que aquí

podemos comprobar que se puede ampliar a cualquier onda electromagnética.

De hecho, lo que habéis podido ver también es que hemos llegado a las mis-

mas de la Óptica pero ahora a partir de las leyes de Maxwell.

a

i rkk r r

Recordad

Como :

c

k i nv v

k n

c

k

r

rk r

1 1sen seni tn z n zc c

Podéis ver el módulo “Óptica geométrica” de esta asignatura.

i tk r k r

Recordad

Como :

c

k i nv v

k nc

1 2sen seni tn z n zc c

Podéis ver la ley de Snell aplicada a la luz en el módulo “Óptica”.

Podéis ver las condiciones de la óptica geométrica en el módulo “Óptica”.

Cuando una onda electromagnética incide sobre una interfaz de con-

tacto entre dos medios no conductores, las direcciones de las ondas in-

cidente, reflejada y transmitida deben satisfacer las condiciones de la

óptica geométrica que ya estudiamos:

1) La onda incidente, la onda reflejada y la onda transmitida se propa-

gan en el mismo plano (denominado plano de incidencia).

2) El ángulo de reflexión debe ser igual al ángulo de incidencia: i r.

3) El ángulo de transmisión se relaciona con el ángulo de incidencia

mediante la ley de Snell: n1 sen i n2 sen t.


En resumen, podéis ver que se puede determinar en todo momento el recorri-

do que seguirán tanto la onda reflejada como la onda transmitida solo con el

conocimiento de:

• el ángulo de incidencia (i),

• los índices de refracción de los dos medios involucrados (n1 y n2).

No obstante, enseguida toparéis con algunas cuestiones que aún no se han re-

suelto:

• ¿Cómo son las intensidades de los haces reflejado y transmitido? Es decir,

¿cómo varía la amplitud de la onda?

• ¿Habrá siempre el mismo comportamiento según cuáles sean las caracterís-

ticas de la onda incidente?

a

Reflexionemos primero un poco respecto a la segunda pregunta. Si analizáis

las condiciones de frontera que ya hemos visto y que hemos resumido en las

tablas 3.1 y 3.2, podéis deducir que los campos presentan comportamientos

diferentes en la zona interfacial en función de cómo están orientados respecto

a la superficie. Esto quiere decir que, en efecto, observaremos diferencias en el

comportamiento de las ondas según la orientación de los campos, es decir, se-

gún su polarización.

aA pesar de que, a priori, el análisis completo de la incidencia sobre una interfaz

puede parecer muy complicado, recordad que ya os explicamos que una onda po-

larizada en una dirección se puede descomponer como la suma de distintas ondas

polarizadas en diferentes direcciones. Por tanto, podemos estudiar por separado

el comportamiento de cada una de estas ondas en las que se ha descompuesto.

Dado que la descomposición se puede hacer en cualquier número de componen-

tes y respecto a cualquier dirección, hay que elegir una configuración que simpli-

fique los cálculos y nos sea de utilidad. Las direcciones que elegiremos son:

• polarización con el campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia,

• polarización con el campo eléctrico paralelo al plano de incidencia.

aA continuación, analizaremos las componentes de cada uno de estos dos casos

específicos. Más adelante los veremos de manera conjunta y también estudia-

remos algunos casos particulares.

3.2.2. Reflexión y transmisión de ondas polarizadas con el campo

eléctrico perpendicular al plano de incidencia

La primera configuración que analizaremos será la de una onda que está pola-

rizada de forma lineal con su campo eléctrico perpendicular al plano de inci-

i, r y t son los ángulos de las ondas incidente, reflejada y transmitida

medidos desde un plano perpendicular a la superficie. n1 y n2 son los

índices de refracción de los medios respectivos.

Podéis ver la condiciones de frontera en el subapartado 3.1 de este módulo.

Podéis ver la polarización en el apartado 2 de este módulo.

Podéis ver de manera conjunta estas dos polarizaciones y algunos de sus casos particulares en los subapartados 3.2.4 y 3.2.5 de este módulo.


dencia. El objetivo que perseguimos es ver cómo varía la amplitud de la onda

al reflejarse y refractarse. En la figura 11 podéis visualizar esta configuración.

En el dibujo podéis comprobar que la dirección perpendicular al plano de inci-

dencia corresponde a la dirección del eje z y, por tanto, es paralela al plano de la

interfaz. Esto quiere decir que, en esta configuración, el campo eléctrico solo ten-

dría componente tangencial respecto a la interfaz del cambio de medio.

Figura 11a

Figura 11b

Tall transversal

Condiciones de frontera del campo eléctrico

Si aplicáis la condición de frontera para la componente tangencial del campo

eléctrico (podéis consultar la tabla 3.2), tendréis que:

Ei Er Et (50)

Figura 11

Ondas incidente, reflejada y transmitida en una interfaz en-tre dos medios para el caso en el que la onda incidente está polarizada con el campo eléc-trico perpendicular al plano de incidencia.

Recordad

El símbolo indica una flecha entrando al papel. El símbolo indica una fle-cha saliendo del papel.


donde Ei, Er y Et son, respectivamente, los campos eléctricos para las ondas in-

cidente, reflejada y transmitida.

La ecuación (50) muestra la relación entre los campos eléctricos de las ondas

incidente, reflejada y transmitida. Sin embargo, podéis observar que esta ex-

presión no es suficiente para determinar el valor exacto de los campos eléctri-

cos reflejado y transmitido, ya que tenemos dos incógnitas (Er) y (Et).

Necesitamos, pues, encontrar una segunda condición.

Condiciones de frontera del campo magnético

La segunda condición la podéis encontrar si procedéis de manera análoga con

el campo magnético. En este caso, la aplicación de las condiciones de fronte-

ra para las componentes tangenciales resulta (podéis consultar la tabla 3.2):

(51)

donde Bi, Br y Bt son los campos magnéticos para las ondas incidente, reflejada

y transmitida, i y t son los ángulos de incidencia y de transmisión y, como

suponemos que se trata de medios no magnéticos, podemos hacer 1 2 0

en la ecuación (51) y simplificar:

(52)

Y utilizando que i = r (ecuación (46)) tenemos:

(Bi Br)cos i Bt cos t (53)

Para encontrar las relaciones entre las amplitudes de los campos eléctricos, uti-

lizamos la relación entre los campos eléctrico y magnético que ya vimos:

(54)

Si simplificáis el término c, que se encuentra en los dos lados, obtendréis la se-

gunda condición buscada:

an1(Ei Er)cos i n2Et cos t (55)

Así pues, con las ecuaciones (50) y (55) lo que hemos encontrado son dos re-

laciones entre parámetros: los campos eléctricos de la onda incidente (Ei), de

la onda reflejada (Er) y de la onda transmitida (Et). Os las volvemos a mostrar

una al lado de la otra:

Ei Er Et (56)

n1(Ei Er)cos i n2Et cost (57)

1 1 2

cos cos cosi i r r t tB B B

0 0 0

cos cos cosi i r r t tB B B

Recordad

La relación entre los campos eléctrico y magnético es:

y, por tanto:

1

B Ev

n

B Ec

1 2cos cosi r i t tn n

E E Ec c

Podéis ver la relación entre los campos eléctrico y magnético en el módulo “Leyes de Maxwell”.


En las expresiones (56) y (57) hay dos parámetros desconocidos, Er y Et, y un ter-

cero que sí que es conocido, Ei. Podéis combinar estas expresiones para encontrar

una expresión individual para cada uno de los valores desconocidos.

Determinación de la onda reflejada

Para encontrar la primera relación, la que determina la amplitud de la onda

reflejada, sustituid el valor de Et de la ecuación (56) dentro de la ecuación (57):

n1(Ei Er)cos i n2(Ei Er)cos t (58)

A continuación, agrupad en un lado los términos dependientes de Er y en el

otro los de Ei y sacad factor común:

n1Er cos i n2Ercos t n1Ei cos i n2Eicos t

(n1cos i n2cos t)Er (n1cos i n2cos t)Ei (59)

Así encontraréis la primera de las relaciones que estábamos buscando, la rela-

ción entre la onda reflejada y la onda incidente:

(60)

Determinación de la onda transmitida

Para encontrar la segunda relación, la de la amplitud de la onda transmitida,

ahora debéis aislar el valor de Er en la ecuación Ei Er Et (56):

Er Et Ei (61)

I sustituimos este valor en la ecuación (57):

n1(Ei Et Ei)cos i n2Et cos t (62)

Como antes, podéis agrupar en un lado los términos que dependen de Et y en

el otro los que dependen de Ei y después sacar el factor común:

n1Et cos i n2Et cos t 2n1Ei cos i

n1cos i n2cos t)Et (2n1cos i)Ei (63)

Y así encontramos la segunda de las relaciones que estábamos buscando:

(64)

Las ecuaciones (60) y (64) demuestran que se pueden determinar, en todo mo-

mento, los cocientes entre las amplitudes de las ondas reflejada e incidente y de

la onda transmitida e incidente, respectivamente, si se conocen únicamente los

índices de refracción de los dos medios (n1 y n2) y el ángulo de incidencia (i).

Bien, en la figura también aparece el ángulo de transmisión, (t), pero este lo po-

demos encontrar a partir del ángulo de incidencia mediante la ley de Snell (49).

1 2

1 2

cos cos

cos cosr i t

i i t

E n n

E n n

1

1 2

2 cos

cos cost i

i i t

E n

E n n


Estos cocientes se denominan coeficientes de Fresnel para polarización per-

pendicular, y se simbolizan, de manera respectiva, rs para la onda reflejada y

ts para la onda transmitida.

Los coeficientes de Fresnel (rs) y (ts) expresan la relación entre las amplitudes

de las ondas reflejada y transmitida respecto a la amplitud de la onda inciden-

te. Cabe señalar, también, que lo que conocemos de modo habitual como in-

tensidad de una onda no es esta amplitud, sino el valor medio del flujo de

energía por unidad de área, como veremos a continuación.

Determinación de las intensidades

aSi recordáis, anteriormente os explicamos que este flujo de energía venía de-

terminado por el vector de Poynting ( ), y que este era proporcional al pro-

ducto entre el campo eléctrico y el campo magnético. Además, estos dos

campos son proporcionales entre sí:

; ; (67)

Por tanto, la intensidad de una onda electromagnética es proporcional al cua-

drado de su amplitud.

Por ello, en la práctica, se definen unos coeficientes análogos a los coeficientes

de Fresnel anteriores pero aplicados a la intensidad en lugar de la amplitud.

Son las denominadas reflectancia (Rs) y transmitancia (Ts):

(69)

Subíndice ‘s’

Habitualmente se utiliza la letra s en lugar de p para indicar que la polarización es perpendicu-lar al plano, y así diferenciarla de la polarización paralela (que sí que utiliza la letra p). La elec-ción de la letra s viene de la pa-labrá alemana senkrecht, que significa ‘perpendicular’.

Los coeficientes de Fresnel de reflexión (rs) y transmisión (ts) para

una onda con polarización perpendicular al plano de incidencia son:

(65)

(66)

donde y son los ángulos de incidencia y transmisión, respectiva-

mente, y y son los índices de refracción de los dos medios.

1 2

1 2

cos cos

cos cosr i t

si i t

E n nr

E n n

1

1 2

2 cos

cos cost i

si i t

E nt

E n n

i t

1n 2n

Podéis ver el vector de Poynting en el módulo “Leyes de Maxwell”.

S

a b se lee “a es proporcional a b”.

I S

S E B

B E

Intensidad y amplitud

El concepto de intensidad de una onda como el cuadrado de la amplitud ya lo visteis en el módulo “Ondas y Acústica”, donde se aplicaba a ondas me-cánicas.

La intensidad de una onda electromagnética es proporcional al cua-

drado de su amplitud:

(68)2I E

rs

i

IR

I


(70)

Fijaos en que, dado que la intensidad de la onda reflejada o transmitida no

pueden ser nunca más grandes que la incidente, tanto la reflectancia (Rs)

como la transmitancia (Ts) serán más pequeñas que 1.

Así pues, hemos encontrado que el valor de la reflectancia (Rs) corresponde al co-

ciente de los cuadrados de las amplitudes de las ondas reflejada e incidente (69):

(71)

Y así, encontramos una relación directa entre la reflectancia (Rs) y el coeficien-

te de Fresnel de reflexión (rs):

Rs rs2 (72)

Para encontrar el valor de la transmitancia (Ts), debéis aplicar el principio de

conservación de la energía. En otras palabras, hay que considerar que toda la

energía de la onda incidente se debe “repartir” entre la onda reflejada y la

onda transmitida. Esto se traduce en que:

(74)

Y, por tanto:

(75)

Si sustituís rs por su valor:

(76)

Después de hacer algunas operaciones, acabaréis obteniendo la expresión si-

guiente:

(77)

La reflectancia (Rs) para una onda electromagnética polarizada con el

campo eléctrico ( ) perpendicular al plano de incidencia es:

(73)

donde n1 y n2 son los índices de refracción de los medios 1 y 2, i y t

son los ángulos de incidencia y transmisión, respectivamente, y rs es el

coeficiente de Fresnel de reflexión para polarización perpendicular.

ts

i

IT

I

2

2r r

si i

I ER

I E

E

22 1 2

1 2

cos cos

cos cosr i t

s si i t

I n nR r

I n n

1s sR T

1s sT R

21s sT r

21 2

1 2

cos cos1

cos cosi t

si t

n nT

n n

22 1

1 1 2

cos 2 cos

cos cos cost i

si i t

n nT

n n n


Podéis comprobar, a partir de la expresión (66), que el contenido del interior

del paréntesis corresponde al valor de ts. Por tanto:

(78)

Ya hemos visto cómo se comporta, al llegar a una zona interfacial, una onda

polarizada con el campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia. Du-

rante el estudio hemos introducido los coeficientes de Fresnel (rs y ts), que

muestran las relaciones entre las amplitudes de las ondas incidente, reflejada

y transmitida, y también los conceptos de reflectancia (Rs) y transmitancia

(Ts), que hacen lo mismo para las intensidades. A continuación, repetiremos

el estudio para el caso en el que la onda está polarizada con el campo eléctrico

paralelo al plano de incidencia.

3.2.3. Reflexión y transmisión de ondas polarizadas con el campo

eléctrico paralelo al plano de incidencia

El estudio de la componente con polarización paralela al plano de incidencia

podría parecer, a priori, un poco más complicado que la perpendicular. Obser-

vad la figura 12.

Figura 12a

La transmitancia ( ) para una onda electromagnética polarizada con

el campo eléctrico ( ) perpendicular al plano de incidencia es:

(79)


son los ángulos de incidencia y transmisión, respectivamente, y tS es el

coeficiente de Fresnel de transmisión.

22

1

cos

cost

s si

nT t

n

sT

E

222 2 1

1 1 1 2

cos cos 2 cos

cos cos cos cost t t i

s si i i i t

I n n nT t

I n n n n

Figura 12

Ondas incidente, reflejada y transmitida en una interfaz en-tre dos medios para el caso en el que la onda incidente está polarizada con el campo eléc-trico paralelo al plano de inci-dencia.


Figura 12b

Corte transversal

Como podéis ver en el dibujo, a diferencia del caso anterior, en el que podía-

mos ver que una dirección perpendicular al plano de incidencia (el plano yz)

siempre era paralela al plano de la interfaz (el plano xz), una dirección paralela

al plano de incidencia puede estar en cualquier orientación respecto al plano

de la interfaz. Es decir, puede ser tanto paralela como perpendicular u oblicua.

Esta indeterminación hace difícil su simplificación.

De todos modos, hay un camino alternativo que simplifica el análisis: podéis

utilizar el campo magnético en lugar del campo eléctrico. Recordad que, en una

onda electromagnética, ambos campos son perpendiculares entre sí. Esto quiere

decir que una onda polarizada con su campo eléctrico paralelo al campo de in-

cidencia (plano yz) tendrá su campo magnético perpendicular a este plano y, en

concreto, en la dirección del eje y. En la figura 12 lo podéis visualizar.

Condiciones de frontera del campo magnético

a

Como en el caso de la polarización perpendicular, volveremos a suponer que

no hay ninguna carga ni corriente eléctrica en la interfaz. Por tanto, la condi-

ción de frontera del campo magnético tangencial a la superficie es, según la

expresión de la tabla 3.2:

Bi Br Bt (80)

donde Bi, Br y Bt son los campos eléctricos para las ondas incidente, reflejada

y transmitida, respectivamente.

Para encontrar las relaciones entre las amplitudes de los campos eléctricos usa-

mos, como antes, la relación entre los campos eléctrico y magnético que ya

vimos:

Recordad

El símbolo indica una flecha entrando al papel; y el símbolo

indica una flecha saliendo del papel.

Recordad

La relación entre los campos eléctrico y magnético es:

Y, por tanto:

Podéis ver la relación entre los campos eléctrico y magnético en el módulo “Leyes de Maxwell”.

1

B Ev

n

B Ec

1 1 2i r t

n n nE E E

c c c


n1(Ei Er) n2Et (81)

Esta es la primera condición que necesitamos. Como contiene dos incógnitas

(Er y Et), hay que obtener una segunda. Aplicaremos la condición de frontera

para la componente tangencial del campo eléctrico.

Condiciones de frontera para el campo eléctrico

En la zona interfacial, la componente tangencial del campo eléctrico debe sa-

tisfacer la condición correspondiente de la tabla 3.2. Por tanto,

Ei cos i Er cos i Et cos t

(Ei Er) cos i Et cos t (82)

Ya tenemos, pues, las dos condiciones que buscábamos. Las volvemos a mos-

trar una al lado de la otra:

n1(Ei Er) n2Et (83)

(Ei Er) cos i Et cos t (84)

aPodéis comprobar que en las expresiones n1(Ei Er) n2Et (83) y (84) hay dos

parámetros desconocidos, Er y Et y un tercero que sí que es conocido, Ei. De

forma análoga a como hemos procedido anteriormente, podéis combinarlas

para encontrar una expresión individual para la amplitud de la onda reflejada

y de la onda transmitida.

Determinación de la amplitud de la onda reflejada

Para encontrar la primera relación, comenzad por aislar el valor de Et en la

ecuación n1(Ei Er) n2Et (83):

(85)

Y ahora sustituid Et en la ecuación (84):

(86)

Podéis agrupar en un lado los términos que dependen de Er y en el otro los que

dependen de Ei y sacar el factor común:

(87a)

(87b)

Y de aquí encontramos la expresión siguiente:

Podéis ver el procedimiento de condiciones de frontera en el subapartado 3.2.2 de este módulo.

1

2

i rt

n E EE

n

1

2cos cosi r

i r i tn E E

E En

1 1

2 2cos cos cos cosr i r t i i i t

n nE E E E

n n

1 1

2 2cos cos cos cosi t r i t i

n nE E

n n

1

2

1

2

cos cos

cos cos

i tr

ii t

n

E nnEn


Para acabar, podéis “arreglarla” un poco si multiplicáis arriba y abajo por n2,

y obtendréis la primera de las relaciones que estábamos buscando:

(88)

Determinación de la amplitud de la onda transmitida

Para encontrar la segunda relación (Er/Ei), tenéis que aislar el valor de Er en la

ecuación n1(Ei Er) n2Et (83):

(89)

Y ahora sustituir Er en la ecuación (84):

(90)

Como antes, podéis agrupar en un lado los términos dependientes de Et y en

el otro, los de Ei y sacar factor común:

(91)

Y de aquí encontramos la expresión siguiente:

Podéis multiplicar arriba y abajo por n1 y obtendréis la segunda de las relacio-

nes que estábamos buscando:

(92)

aDe manera análoga a como hemos visto para el caso de la polarización perpen-

dicular, podéis comprobar que las relaciones (88) y (92) demuestran que se

pueden determinar, en todo momento, los cocientes entre las amplitudes de

las ondas reflejada e incidente, y de las ondas transmitida e incidente, respec-

tivamente, si se conocen únicamente los índices de refracción de los dos me-

dios (n1 y n2) y el ángulo de incidencia (i). Por lo que respecta al valor de t

que aparece en (92), se puede obtener a partir de la ley de Snell (49).

Estos cocientes se denominan coeficientes de Fresnel para polarización pa-

ralela, y se simbolizan, de forma respectiva, rp para la onda reflejada y tp para

la onda transmitida.

2 1

2 1

cos cos

cos cosr i t

i ti

E n n

E n n

2

1

tr i

n EE E

n

2

1cos cost

i i i t tn E

E E En

2

1cos cos 2 cost i t t i i

nE E E

n

2

1cos cos 2cosi t t i i

nE E

n

2

1

2 cos

cos cos

t i

ii t

EnEn

1

2 1

2 cos

cos cost i

i i t

E n

E n n

Podéis ver el procedimiento para polarización perpendicular en el subapartado 3.2.2 de este módulo.


Determinación de las intensidades

aLos coeficientes de Fresnel (rp) y (tp) expresan la relación entre las amplitudes

de las ondas reflejada y transmitida respecto a la amplitud de la onda inciden-

te. Tal como hemos visto para la polarización perpendicular, también podéis

definir la reflectancia (Rp) y la transmitancia (Tp) como el cociente entre las in-

tensidades de las ondas:

(95)

Recordad que el valor de la reflectancia (Rp) corresponde al cociente de los cua-

drados de las amplitudes de las ondas reflejada e incidente:

(96)

Por tanto:

(97)

Los coeficientes de Fresnel de reflexión (rp) y transmisión (tp) para

polarización paralela son:

(93)

(94)

donde i y t son los ángulos de incidencia y transmisión, respectiva-

mente, y n1 y n2 son los índices de refracción de los dos medios.

2 1

2 1

cos cos

cos cosr i t

pi i t

E n nr

E n n

1

2 1

2 cos

cos cost i

pi i t

E nt

E n n

Podéis ver el procedimiento para polarización perpendicular en el subapartado 3.2.2 de este módulo.

La reflectancia (Rp) para una onda electromagnética polarizada con el

campo eléctrico ( ) paralelo al plano de incidencia es:

(98)

donde n1 y n2 son los índices de refracción de los medios 1 y 2, 1 y 2

son los ángulos de incidencia y transmisión, respectivamente, y rs es el

coeficiente de Fresnel de reflexión para polarización paralela.

rp

i

IR

I

tp

i

IT

I

2

2r r

pi i

I ER

I E

2p pR r

E

22 2 1

2 1

cos cos

cos cosr i t

p pi i t

I n nR r

I n n


Para encontrar el valor para la transmitancia (Tp) debéis aplicar la relación Tp

1 Rp:

(99)

Después de hacer algunas operaciones, acabaréis obteniendo la expresión si-

guiente:

(100)

Podéis comprobar, a partir de la expresión (94), que el contenido del interior

del paréntesis corresponde al valor de tp. Por tanto,

(101)

Ya hemos estudiado los dos casos que consideramos como “bases”. En la tabla

3.3 podéis visualizar de manera conjunta los coeficientes que acabamos de es-

tudiar para los dos casos.

Tabla 3.3

Para una onda electromagnética con polarización perpendicular y

que incide sobre una interfaz entre dos medios, la transmitancia (TS)

es el cociente entre las intensidades de la onda transmitida y de la onda

incidente:

(102)


son los ángulos de incidencia y transmisión, respectivamente, y tp es el

coeficiente de Fresnel de transmisión.

Polarización perpendicular al plano de incidencia

Polarización paralela al plano de incidencia

Coeficiente de Fresnel de reflexión (r)

Coeficiente de Fresnel de transmisión (t)

ReflectanciaR = r2

Transmitancia

22 1

2 1

cos cos1

cos cosi t

pi t

n nT

n n

22 1

1 2 1

cos 2 cos

cos cos cost i

pi i t

n nT

n n n

22

1

cos

cost

p pi

nT t

n

222 2 1

1 1 2 1

cos cos 2 cos

cos cos cos cost t t i

p pi i i i t

I n n nT t

I n n n n

1 2

1 2

cos cos

cos cosi t

si t

n nr

n n2

2 1

1cos cos

cos cost

pi

i t

n nr

n n

1

1 2

2 cos

cos cosi

si t

nt

n n

1

2 1

2 cos

cos cosi

pi t

nt

n n

21 2

1 2

cos cos

cos cosi t

si t

n nR

n n

21

2 1

2 cos cos

cos cost

pi

i

t

n nR

n n

22

1

cos

cost

i

nT t

n

22 1

1 1 2

cos 2 cos

cos cos cost i

si i t

n nT

n n n

22 1

1 2 1

cos 2 cos

cos cos cost i

pi i t

n nT

n n n


Para todas las expresiones, n1 y n2 son los índices de refracción respectivos de los

medios 1 y 2, y i y t son los ángulos de incidencia y de refracción. Recordad que

los ángulos siempre se miden respecto a la perpendicular al plano de la interfaz.

aAnteriormente ya vimos que cualquier onda electromagnética se puede consi-

derar como una combinación de varias ondas con polarizaciones lineales en

direcciones diferentes, como por ejemplo estos dos casos que hemos estudia-

do. Así pues, el conocimiento del comportamiento por separado de las polari-

zaciones perpendicular y paralela nos permite determinar de modo completo

el comportamiento de cualquier onda en una interfaz de cambio de medio.

Vale la pena estudiar un caso particular para las expresiones anteriores: el de

una onda que se propaga en una dirección perpendicular a la interfaz de cam-

bio de medio. Este caso se denomina de manera habitual incidencia normal.

Los motivos para estudiarlo son:

• Es un caso muy habitual.

• Las expresiones se simplifican considerablemente.

• Ayuda a entender bien los conceptos de reflectancia y transmitancia.

Para determinar las expresiones correspondientes a este caso, simplemente

hay que tomar el caso general para la polarización perpendicular de la tabla

3.3 y hacer la sustitución i 0 y t 0 (este último valor se obtiene a partir

del de incidencia mediante la ley de Snell (49)).

Tabla 3.4

aPodéis comprobar que, igual que en los casos que hemos estudiado anterior-

mente, en este caso particular también se cumple que Rn Tn 1 para cual-

quier valor de n1 y n2.

Ejemplo de determinación de las intensidades

Sobre un vidrio (n 1,5) incide, perpendicularmente, un haz de radiación electromagné-tica de intensidad 50 W/m2. Calculad:

a) La intensidad de la radiación reflejada.b) La intensidad de la radiación transmitida al interior del vidrio.


¿ 0° o 90°?

Recordad que en el estudio de la reflexión y transmisión, los ángulos siempre se miden res-pecto a la perpendicular a la in-terfaz. Por tanto, en el caso de incidencia normal, el ángulo es 0.

Expresión para el caso generalCoeficientes para incidencia normal

( 0 )

Coeficiente de Fresnel de

reflexión (r)

Coeficiente de Fresnel de

transmisión (t)

ReflectanciaR = r2

Transmitancia

1 2

1 2

cos cos

cos cosi t

si t

n nr

n n

1 2

1 2n

n nr

n n

1

1 2

2 cos

cos cosi

si t

nt

n n

1

1 2

2n

nt

n n

21 2

1 2

cos cos

cos cosi t

si t

n nR

n n

21 2

1 2n

n nR

n n

22

1

cos

cost

i

nT t

n

22 1

1 1 2

cos 2 cos

cos cos cost i

si i t

n nT

n n n

22 1

1 1 2

2n

n nT

n n n

Podéis ver la reflexión y transmisión de ondas polarizadas en los subapartados 3.2.2 y 3.2.3 de este módulo.


Solución

Si leéis bien el enunciado del problema, podéis ver que se trata de una onda electromag-nética que incide de forma perpendicular. Así pues, utilizaremos las expresiones corres-pondientes al caso de incidencia normal ( 0).

Por otra parte, dado que tanto los datos de los que disponemos como los que se nos pideencontrar son todo magnitudes de intensidad, quiere decir que deberemos trabajar conla reflectancia (Rn), para la radiación reflejada, y la transmitancia (Tn), para la radiacióntransmitida.

a) Lo primero que hemos de hacer es determinar la reflectancia para incidencia normal co-rrespondiente a la interfaz. Como el enunciado no nos dice nada al respecto, supondremosque el medio 1 es el aire (n1 1). Hacemos el cálculo a partir de la expresión de la tabla 3.4:

(103)

De la definición de reflectancia (73), podéis deducir que la intensidad de la radiación re-flejada será:

IR RnI0 0,04 · 50 2 W/m2 (104)

b) Para la determinación de la radiación transmitida, procedemos de manera análogapero ahora con el valor de la transmitancia:

(105)

También podríamos haberla determinado mediante la propiedad Rn Tn 1:

Tn 1 Rn 1 0,04 0,96 (106)

Como en el punto (a), podemos determinar la intensidad de la radiación transmitida apartir de la intensidad incidente y el valor de la transmitancia:

IR TnI 0,96 · 50 48 W/m2 (107)

Podéis comprobar que la suma de los resultados de los dos apartados da la intensidad to-tal (50 W/m2).

Ya hemos visto los coeficientes de Fresnel (r y t) y los conceptos de reflectancia

(R) y transmitancia (T). Hemos visto que todos estos parámetros dependen de:

• los índices de refracción de los dos medios (n1 y n2),

• el ángulo de incidencia de la onda (i).

El ángulo de transmisión (t), como ya hemos dicho varias veces, no lo tene-

mos en cuenta porque viene determinado directamente por el ángulo de inci-

dencia, mediante la ley de Snell (49): n1 sin i n2 sin t.

aA continuación, analizaremos los coeficientes de la tabla 3.3 y veremos cómo

les afectan tanto los índices de refracción como el ángulo de incidencia. Co-

menzaremos por estudiar un fenómeno que depende solo de la polarización,

el ángulo de Brewster; y continuaremos con un caso que solo se da cuando

n1 n2 y que ya habéis visto anteriormente, el ángulo crítico.

3.2.4. Ángulo de Brewster

A partir de las expresiones de los coeficientes de Fresnel (r y t) y de la reflec-

tancia (R) y la transmitancia (T) de la tabla 3.3, podemos estudiar la relación

entre las intensidades o las amplitudes de las ondas incidente, reflejada y

2 21 2

1 2

1 1,50,04

1 1,5nn n

Rn n

2 22 1

1 1 2

2 1,5 20,96

1 1 1,5nn n

Tn n n

Podéis ver el ángulo crítico y la reflexión interna total en el módulo “Óptica”.


transmitida para una interfaz entre dos medios no conductores y para cual-

quier ángulo de incidencia.

aCentraremos el análisis en la expresión para la reflectancia (R), ya que es el pa-

rámetro más interesante y a partir del cual se deduce el resto. Estos otros pará-

metros se pueden calcular de manera directa a partir de las relaciones (74),

(73), (o (98)) y (79) y (o (102)), que os volvemos a recordar:

T 1 R (108)

(109)

(110)

A continuación, estudiaremos cómo es la reflectancia (R) para el caso particular

en el que el índice de refracción del primer medio es inferior al del segundo

(n1 n2) (el estudio es equivalente a hacerlo para n1 n2, pero este segundo caso

lo dejaremos para más adelante). Un ejemplo de este caso en el que n1 n2 podría

ser una onda que se propaga por el aire (n1 1) y entra en el agua (n2 1,33).

En la figura 13 os mostramos gráficamente la reflectancia en función del án-

gulo de incidencia (i) para este ejemplo, tanto para la polarización perpendi-

cular (RS) como paralela (Rp).

Figura 13

Si observáis las curvas tanto de la polarización perpendicular (Rs) como de la

paralela (Rp) en la figura 13a, podéis comprobar que, en ambos casos, los va-

lores máximos de la reflectancia se encuentran para ángulos cercanos a 90°.

Esta situación se denomina incidencia rasante, y en ella la onda incidente se

propaga de forma paralela a la interfaz. Para ángulos cercanos a esta región, la

Podéis ver la reflexión y transmisión de ondas polarizadas en los subapartados 3.2.2 y 3.2.3 de este módulo.

r R

1

2

cos

cosi

t

nt T

n

Recordad

El ángulo de incidencia (i) es el ángulo que forma la direc-ción de propagación de la onda con el plano de inciden-cia, no con el plano de la inter-faz

Figura 13

a. Reflectancia en función del ángulo de incidencia para el caso (n1 n2).

b. Ampliación de la región próxima al ángulo de Brewster.


reflectancia es grande y la transmitancia es casi nula. Este es el motivo por el

que, por ejemplo, un lago muy tranquilo actúa como un espejo cuando lo mi-

ramos desde su misma altura y, en cambio, no sucede lo mismo cuando lo ob-

servamos desde más arriba.

Pero si os fijáis de nuevo en la misma figura, veréis que también hay un valor mí-

nimo de la reflectancia. ¿Dónde se encuentra este valor mínimo? Y, todavía más,

¿podemos llegar a encontrar algún ángulo para el que la reflectancia se haga 0? La

figura 13b muestra una ampliación de la región cercana a este mínimo.

Observad primero la curva para la polarización perpendicular (RS). Podéis ver

que el valor mínimo corresponde al caso 0°, denominado de incidencia nor-

mal o perpendicular, pero, incluso así, el valor de la reflectancia no llega a ha-

cerse 0. La consecuencia es que siempre habrá una parte de la onda que se verá

reflejada, es decir, no tendremos nunca una transmisión completa (TS 1).

Por el contrario, si os fijáis en la curva para la polarización paralela (Rp), obser-

varéis que el mínimo en la reflectancia ya no corresponde al ángulo 0°,

sino que existe otro ángulo de incidencia para el que no solo la reflectancia es

mínima, sino que incluso se hace cero (figura 13b). Este ángulo “especial” se

denomina ángulo de Brewster.

El ángulo de Brewster es un concepto nuevo que no habíamos visto, ya que

sus efectos se obtienen a partir de la polarización de la onda. Es decir, el ángulo

de Brewster no se puede mostrar desde un punto de vista puramente fenome-

nológico como el que habíamos utilizado anteriormente, en el caso de la óp-

tica geométrica.

Determinemos, entonces, el valor exacto del ángulo de Brewster. Os debéis fi-

jar en la expresión para la reflectancia Rs de la tabla 3.3:

(111)

El ángulo de Brewster corresponde al valor de i para el que la reflectancia es nu-

la, es decir, el ángulo para el cual el numerador de la expresión (111) se hace ce-

ro. Este ángulo se puede encontrar a partir de la denominada ley de Brewster:

(112)

Como podéis comprobar, el valor exacto del ángulo de Brewster depende úni-

camente de los índices de refracción de los dos medios implicados.

90° o ?

Recordad que la forma más adecuada de medir los ángulos es en radianes, ya que es así como están definidas las fun-ciones matemáticas.

Sin embargo, en este texto ha-remos una excepción para los ángulos geométricos y los es-pecificaremos en grados sexa-gesimales (°), ya que es como se suele hacer en el mundo co-tidiano.

Eso sí, solo lo haremos para los ángulos geométricos, nunca en los desfases ya que, en este caso, se deberían utilizar los ra-dianes.

2

21 2

1 2

cos cos

cos cost i

pt i

n nR

n n

2

1tan B

n

n


Actividad

Deducid la ley de Brewster a partir de . Recordad que i y t se rela-cionan por medio de la ley de Snell. Ayuda: sin (2) = 2 sincos

Ejemplo del ángulo de Brewster

Determinad el ángulo de Brewster para la interfaz entre el aire (n 1) y el agua (n 1,33).

Solución

Para encontrar el ángulo de Brewster para la interfaz aire-agua, debéis utilizar la ley deBrewster (113):

Sólo hay que sustituir los valores de n1 y n2 correspondientes (n1 1 y n2 1,33):

En resumen, una onda con polarización lineal paralela al plano de incidencia

y que incide sobre una interfaz entre dos medios con un ángulo de inclinación

igual al ángulo de Brewster (B) correspondiente tendrá reflectancia nula y,

por tanto, se transmitirá completamente.

a¿Pero qué sucede si la onda incidente no presenta este tipo de polarización? Por

ejemplo, suponed una onda “no polarizada”. Recordad que en realidad esto quie-

re decir que la onda presenta polarización en infinitas direcciones. Recordad tam-

bién que una polarización lineal en cualquier dirección de polarización se puede

representar como una combinación de polarización paralela y polarización per-

pendicular. Cuando esta onda incide con el ángulo de Brewster (B) su compo-

nente paralela no se verá reflejada, mientras que la componente perpendicular, sí.

Por tanto, la onda reflejada solo presentará polarización perpendicular.

aUna vez hemos estudiado el comportamiento en el caso n1 n2, pasamos a

continuación a analizar el caso contrario: una interfaz en la que n1 n2. Veréis

que aparece un fenómenos nuevo que ya os describimos anteriormente y que

ahora explicaremos más detalladamente.

El ángulo de Brewster (B) es el ángulo de incidencia para el que la re-

flectancia correspondiente a la polarización paralela al eje de incidencia

(Rp) se hace cero y solo se refleja la componente perpendicular. Por tan-

to, para este ángulo, la onda reflejada siempre presentará polarización

perpendicular.

Su valor exacto depende sólo de los valores de los índices de refracción

de los dos medios implicados y se puede encontrar mediante la ley de

Brewster:

(113)

donde n1 y n2 son los índices de refracción de los medios.

1 2cos cos 0t in n

2

1tan B

n

n

2

1

tan Bn

n

1,33tan arctan1,33 53

1B B


Podéis ver el ángulo crítico en el módulo “Óptica”.


3.2.5. Ángulo crítico

aPodemos aplicar el mismo procedimiento que hemos seguido anteriormente

para determinar el comportamiento de una onda en el caso en el que el ín-

dice de refracción del primer medio es mayor que el del segundo (n1 n2).

Un ejemplo de este caso es la misma interfaz entre el agua (n 1,33) y el aire

(n 1) que hemos visto antes, pero ahora vista “desde el otro lado” (desde

dentro del agua).

Como antes, estudiaremos solo el valor de la reflectancia, ya que el resto de los

coeficientes se encuentran a partir de esta. Analicemos cómo evoluciona la re-

flectancia en función del ángulo de incidencia (i) según las expresiones de la

tabla 3.3:

(114)

Tal como hemos hecho en el caso anterior, os presentamos la figura 14, donde

hemos representado de manera gráfica las expresiones para las reflectancias

(114). Hemos utilizado como ejemplo la interfaz entre el agua (n1 1,33) y el

aire (n1 1). Notad que, a diferencia del caso del ángulo de Brewster, aquí la

onda va en sentido contrario, es decir, del agua al aire.

Figura 14

Podéis ver el procedimiento para el ángulo de Brewster en el subapartado 3.2.4 de este módulo.

21 2

1 2

cos cos

cos cosi t

si t

n nR

n n

21 2

1 2

cos cos

cos cost i

pt i

n nR

n n


Fijaos en que la forma de las curvas es muy similar al caso n1 n2 (figura 13)

e, incluso, volvemos a encontrar el ángulo de Brewster (eso sí, ahora con un

valor inferior al otro caso). Pero el fenómeno más relevante lo encontramos

para un ángulo más grande.

En efecto, podéis observar cómo hay toda una región, a partir de un ángulo

determinado, donde la reflectancia es 1. Es decir, existe un ángulo límite a par-

tir del cual toda la onda se refleja y ya no hay onda transmitida. Este ángulo

se denomina ángulo crítico, ángulo límite o ángulo de reflexión total.

La determinación del valor exacto del ángulo crítico se puede hacer a partir de

cualquiera de las ecuaciones (114). Solo hay que imponer RS 1 (o Rp 1):

(115)

La solución de la ecuación (115) nos da la relación para encontrar el ángulo

crítico (c):

(116)

No hemos detallado el proceso de resolución de la ecuación (116) porque que-

da más allá de los objetivos de la asignatura, y hemos pasado directamente al

resultado. Sí que os diremos que ha sido necesario aplicar la ley de Snell (49),

n1sen1 n2sen2, y la identidad trigonométrica sin2 cos2 1.

Actividad

Obtened la ecuación (116).

aComo podéis comprobar, la relación (117) es la misma que ya vimos anterior-

mente, en el caso de la óptica geométrica.

Figura 14

a. Reflectancia en función del ángulo de incidencia para el caso n1 n2.

b. Ampliación de la región próxima al ángulo de Brewster

El ángulo crítico, ángulo límite o ángulo de reflexión total (c) es el

ángulo de incidencia a partir del cual una onda que incide sobre una in-

terfaz de separación de dos medios se refleja de forma total y no se

transmite hacia el otro medio. Su valor depende solo de los valores de

los índices de refracción de los dos medio implicados:

sen (117)

donde n1 y n2 son los índice de refracción respectivos de los dos medios.

El ángulo límite solo aparece cuando el índice de refracción del primer

medio es mayor que el del segundo (n1 n2).

21 2

1 2

cos cos1

cos cosi t

si t

n nR

n n

2

1sen c

n

n

2

1n c

n

n

Podéis ver el ángulo crítico y la reflexión interna total en el módulo “Óptica”.


Como en el caso del ángulo de Brewster, el valor específico del ángulo crítico

depende únicamente de los índices de refracción respectivos de los medios im-

plicados (n1 y n2). El significado físico de este ángulo es que una onda que in-

cide sobre una interfaz de separación de medios con un ángulo de incidencia

mayor que el ángulo crítico correspondiente experimenta el efecto de la re-

flexión total y no se transmite hacia el segundo medio. Un ejemplo de este fe-

nómeno lo podéis encontrar si observáis la superficie del agua vista desde

abajo. Para ciertos ángulos, la superficie aparece como un espejo.

La existencia de un ángulo crítico es una propiedad muy interesante que se

utiliza en multitud de aplicaciones. Una de las más comunes es en el diseño

de fibras ópticas, donde lo que interesa es que la luz que se propaga se refleje

internamente de manera indefinida.

Ejemplo de ángulo crítico

Determinad el ángulo crítico para la interfaz entre el agua (n 1,33) y el aire (n 1).

Solución

Para determinar el ángulo crítico, debéis utilizar la relación (117):

Si sustituís los valores de los índices de refracción correspondientes al agua (n1 1,33) y

al aire (n2 1), tendréis:

(118)

Para acabar, calculad el ángulo crítico a partir del resultado (118):

c arcosen 0,75 = 49


En este apartado hemos estudiado los comportamientos de las ondas cuando

inciden sobre una interfaz entre dos medios.

Para comenzar hemos visto las “bases” para este estudio, las condiciones de

frontera, es decir, las condiciones que los campos eléctrico y magnético han

de satisfacer obligatoriamente en las regiones próximas a las interfaces entre

dos medios. Estas condiciones son consecuencia directa de las leyes de Maxwell

que vimos en el módulo correspondiente, a pesar de que aquí las hemos mos-

trado desde un punto de vista más intuitivo.

aA continuación hemos analizado el comportamiento de las ondas al atravesar

una interfaz y hemos deducido las mismas leyes de reflexión y refracción que

vimos anteriormente, pero ahora con más detalle y desde un punto de vista

de las ondas electromagnéticas.

1

2

sen cn

n

1sen 0,75

1,33c

Podéis ver las leyes de reflexión y de refracción de la luz en el módulo “Óptica”.


Durante el estudio hemos comprobado que existen diferencias en el compor-

tamiento entre una onda y otra según su polarización y, por tanto, hemos di-

vidido el análisis en dos casos: uno para una onda con polarización lineal y

con el campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia y otro con el cam-

po eléctrico paralelo. Estos dos casos son la “base” a partir de la cual se puede

estudiar el comportamiento general.

También durante el estudio hemos encontrado que existen algunos ángulos

concretos para los cuales se producen unos comportamientos específicos. Es el

caso del ángulo de Brewster, que corresponde al único ángulo de incidencia para

el cual una onda podría transmitirse completamente y no reflejarse. Y también

es el caso del ángulo crítico, ángulo a partir del cual sucede precisamente lo con-

trario, es decir, la onda se refleja completamente y no hay transmisión.


4. Reflexión y transmisión por una capa fina: interferencia

aHasta aquí hemos estudiado la propagación de las ondas electromagnéticas y

su comportamiento al encontrarse con una interfaz entre dos medio materia-

les diferentes. Ya tenemos, pues, las “herramientas” necesarias para poder ana-

lizar algunas configuraciones concretas que se encuentran de modo habitual

en muchas aplicaciones cotidianas.

aSi os acordáis, cuando dedujimos los coeficientes de Fresnel y los conceptos de

reflectancia y transmitancia, establecimos una serie de condiciones para sim-

plificar el cálculo. Una de ellas hacía referencia a que los dos lados de la inter-

faz tenían una extensión infinita. Pero ¿qué sucedería si esta suposición no

fuera cierta, es decir, si el segundo medio tuviera un grueso determinado?

Esta configuración se denomina capa fina y, tal como podéis observar en la

figura 17, se trata de un sistema con tres medios materiales involucrados: el

medio de “entrada”, el medio del interior de la capa y el medio de “salida”.

También podéis observar que en el sistema están presentes dos interfaces de

cambio de medio.

aLas capas finas son muy habituales en muchas aplicaciones de los ámbitos de

la telecomunicación y de la óptica, ya que, como veréis en este apartado, una

de sus propiedades es que producen interferencias. Esto fenómenos, que ya os

introdujimos aplicado a ondas mecánicas, es el fundamento en el que se basan

buena parte de los mecanismos para separar o filtrar ondas de diferente longi-

tud de onda.

En este apartado estudiaremos el comportamiento de una onda electromagné-

tica cuando atraviesa una capa fina y cómo varía en función de las caracterís-

ticas tanto de la capa como de la onda misma. Antes volveremos a explicar el

concepto de interferencia en una onda.

4.1. Concepto de interferencia

aAntes de entrar en el estudio de las interferencias debidas a una capa fina, es

necesario recordaros el concepto de interferencia. Este fenómeno ya lo vimos

y para explicaros mejor en qué consiste comenzaremos con un ejemplo. En la

figura 15 podéis observar dos ondas circulares con fuentes muy próximas y

que interfieren entre sí.

Podéis ver la propagación de las ondas electromagnéticas en los apartados 1 y 2 de este módulo.Podéis ver su comportamiento al encontrarse una interfaz en el apartado 3 de este módulo.

Podéis ver los coeficientes de Fresnel en el subapartado 3.2 de este módulo.

Podéis ver las interferencias aplicadas a ondas mecánicas en el módulo “Ondas”.

Podéis ver el concepto de interferencia en el módulo “Ondas”.


Figura 15

La figura muestra las interferencias creadas por la acción conjunta de dos on-

das (en este caso, circulares) de las mismas características pero provinientes

de dos fuenes independientes. Las zonas claras representan los máximos en

la amplitud de la onda, mientras que las zonas oscuras representan los míni-

mos. En la imagen podéis comprobar que existen puntos en los que la ampli-

tud es siempre máxima y otros en los que es siempre mínima. No los debéis

confundir con los máximos y mínimos de las ondas. Estos últimos se despla-

zan a medida que la onda se propaga, mientras que los puntos en cuestión

permanecen en posiciones determinadas y fijas, que dependen de factores

geométricos.

La explicación de la existencia de estos puntos radica en que, dado que la dis-

tancia que debe recorrer cada una de las ondas desde su respectivo origen has-

ta llegar al punto en cuestión es diferente, también lo será su desfase.

aAnteriormente os introdujimos el principio de superposición, que decía que la

magnitud de la onda resultante de la superposición de dos ondas es la suma

algebraica de las magnitudes de cada una en aquel instante. Esta suma se rea-

liza teniendo en cuenta también el signo de las magnitudes, de tal modo que

si una onda llega con su magnitud positiva y la otra lo hace con la magnitud

negativa, se compensarán de manera parcial o incluso total. Por tanto, la mag-

nitud de la onda resultante en un punto y en un instante determinados de-

pende del desfase con el que llegan las ondas respectivas. Este fenómeno se

conoce como interferencia.

Para visualizar este fenómeno, vale la pena analizar los dos casos extremos:

cuando las ondas llegan en fase entre ellas y cuando las ondas llegan en con-

trafase. En la figura 16 os mostramos un ejemplo esquemático con estos dos

casos.

Figura 15

Ejemplo de interferencias crea-das por dos ondas circulares

Podéis ver el principio de superposición en el módulo “Ondas”.


Figura 16

En la figura 16a, las dos ondas están completamente en fase. Esta situación su-

cede cuando el desfase es un múltiplo par de (0, 2, 4, ..., 2n). En este caso,

la amplitud resultante es la suma de las dos amplitudes. Decimos que se trata

de una interferencia constructiva.

En la figura 16b las dos ondas tienen fases opuestas. Esta situación sucede

cuando el desfase es múltiplo impar de (0, 3, ..., (2n 1)). En este caso, la

amplitud resultante es la diferencia entre las dos amplitudes. Decimos que se

trata de una interferencia destructiva.

Figura 16

Explicación esquemática de los conceptos de interferencia:

a) interferencia constructiva

b) interferencia destructiva

Recordad

sin sin( + 2)

cos cos( + 2)

ej ej(+2)

para cualquier valor de

Delta fi

es la letra griega delta ma-yúscula y se suele utilizar para indicar una diferencia o un cambio en la magnitud a la que acompaña.

Así, indica una diferencia de y se lee “delta fi”.

Se dice que en un punto donde se propagan dos ondas de fuentes dife-

rentes se produce una interferencia constructiva cuando la diferencia

en el desfase () de ambas es un múltiplo par de:

2n

( 0, 2, 4, ...) (119)

En los puntos donde se cumple esta condición, la amplitud de oscila-

ción es máxima.

Se dice que en un punto donde se propagan dos ondas de fuentes dife-

rentes se produce una interferencia destructiva cuando la diferencia

en el desfase () de ambas es un múltiplo impar de :

(2n + 1)

( , 3, 3, ...) (120)

En los puntos donde se cumple esta condición, la amplitud de oscila-

ción es mínima.


En el resto de los casos nos encontraremos en un término medio. Debéis tener

presente que la amplitud será más grande cuanto más se acerque a un múltiplo

par de , y más pequeña cuanto más se acerque a un múltiplo impar.

Una vez ya conocéis el concepto de interferencia, podemos proceder, ahora sí,

al estudio de las reflexiones y transmisiones sucesivas que se producen en una

capa fina.

4.2. Estudio de las reflexiones y transmisiones en una capa fina

aComo ya vimos, cuando una onda incide sobre una superficie de cambio de

medio se genera una onda reflejada y otra transmitida. En el caso de una capa

fina, una vez la onda incidente ha atravesado la primera interfaz, se encuentra

con una segunda interfaz, correspondiente a la otra cara de la capa fina.

En la figura 17 podéis visualizar un ejemplo esquemático de una capa fina de

grueso l en cuyo interior hay un medio material B con índice de refracción n.

La capa está ubicada entre dos medio (A y C). Para simplificar, supondremos

que estos medios A y C son el aire, con un índice de refracción muy cercano

al del vacío (n 1); también supondremos que el medio B es un medio no con-

ductor que no presenta absorción.

Figura 17

En el dibujo podéis ver una onda (I) que viaja por un medio material A. Al inci-

dir sobre la interfaz de separación con el medio B, se “divide” en dos ondas: una

reflejada (R0) que retorna hacia el medio A y una transmitida que se propaga por

el interior de B con un ángulo respecto a la perpendicular a la superficie.

La onda que ha continuado su camino por el interior de B ahora se encuentra

con la segunda interfaz, la que separa B y C. En consecuencia, vuelve a generar

dos nuevas ondas: una nueva onda reflejada que “vuelve atrás” por el interior

Podéis ver las ondas reflejadas y las ondas transmitidas en el apartado 3 de este módulo.

Figura 17

Esquema de las reflexiones y transmisiones sucesivas en una capa fina


de B y una onda transmitida (T0) que continúa su camino ya por el exterior

del medio C.

De la misma manera, la onda que ya ha sido reflejada una vez y se está propa-

gando hacia atrás por el interior de B se reencuentra con la primera interfaz

entre A y B por donde ya ha pasado antes, pero ahora lo hace en sentido con-

trario. De nuevo, podéis ver que vuelven a generarse dos ondas: una nueva re-

flejada que continúa en el interior de B y una onda (R1) que atraviesa la

interfaz y continúa su camino por el exterior, A.

Este proceso se repite de manera indefinida y se generan las ondas R2, R3, etc.,

en el medio A y T1, T2, etc. en el medio C.

Limitaremos el análisis al último grupo de ondas (las del medio C), ya que son

las que nos interesan. A partir de la figura 18 podéis deducir que las ondas que

se propagan por el medio C (T0, T1, T2, ...) son todas ellas paralelas y su direc-

ción de propagación es exactamente la misma que la de la onda incidente ini-

cial l (desplazadas lateralmente, eso sí).

Figura 18

En efecto, si analizáis bien la geometría de la imagen, podéis comprobar que

todos los ángulos de las reflexiones internas son iguales (). Por tanto, y dado

que los medios exteriores presentan el mismo índice de refracción (n 1), los

ángulos exteriores también han de ser iguales (0).

Ahora bien, ya sabemos que aparece un número indefinido de ondas paralelas

y equidistantes entre sí, pero ¿cómo son estas ondas? ¿Son todas iguales entre sí?

Para responder a esta pregunta, echad un vistazo a la figura 19, donde os mos-

tramos los recorridos que hacen la onda T0, que no ha experimentado ningu-

na reflexión interna (figura 19a), y la onda T1, que ha experimentado dos

reflexiones internas (figura 19b).

Figura 18

Esquema de las reflexiones y transmisiones sucesivas en una capa fina. Se han incluido los ángulos involucrados.


Figura 19

Podéis comprobar que ambas ondas hacen una parte de recorrido compartido,

en concreto hasta el punto b. A partir de aquí, la onda T1 hará un recorrido

“de más” respecto a la onda T0. A continuación analizaremos por separado

cómo afecta este recorrido a la intensidad y la amplitud de la onda, por una

parte, y a su desfase, por otra.

Intensidad y amplitud

aA lo largo del recorrido entre b y d, la onda T1 experimenta dos reflexiones

internas y, por tanto, su intensidad se verá reducida un cierto factor debido a

estas reflexiones. Si os acordáis, anteriormente (ecuaciones (73) o (98)) os in-

trodujimos el concepto de reflectancia como el cociente entre las intensidades

de las ondas reflejada e incidente:

(121)

donde Ii y Ir son las intensidades de las ondas incidente y reflejada, respectiva-

mente.

Por tanto, la reducción de la intensidad de la onda T1 respecto a la de T0 a cau-

sa de la distancia adicional recorrida entre b y d es:

(122)

donde I0 y I1 son las intensidades de las ondas T0 y T1, y R es la reflectancia de

las dos interfaces entre el medio interior B y los medios exteriores A y C. Fijaos

en que hemos multiplicado por R dos veces porque ha habido dos reflexiones.

El mismo razonamiento se podría aplicar a las sucesivas ondas T2, T3, ... Para

una hipotética onda Tm, la reducción de la intensidad a causa de las sucesivas

reflexiones internas sería:

(123)

Figura 19

Comparativa de los recorridos de las ondas T0 y T1.

Podéis ver el concepto de reflectancia en el subapartado 3.2 de este módulo.

r

i

IR

I

21

0

IR R R

I

2

0

mmI RI


donde I0 y Im son las intensidades de las ondas T0 y Tm, y R es la reflectancia

de las dos interfaces entre el medio interior B y los medios exteriores A y C.

Notad que el exponente 2m se debe al hecho de que la onda Tm ha experimen-

tado 2m reflexiones en el interior de la capa fina.

Para encontrar la reducción de la amplitud, debéis recordar que la intensidad

es proporcional al cuadrado de la amplitud (podéis consultar la ecuación (68)).

Por tanto, para la onda Tm, tendremos que:

(124)

donde A0 y Am son las amplitudes (tanto del campo eléctrico como del campo

magnético) de las ondas T0 y Tm y R es la reflectancia de las dos interfaces entre

el medio interior B y los medios exteriores A y C.

Desfase

Hemos dejado para el final el aspecto de la onda más relevante para nuestro

propósito: su desfase. Si os acordáis, hemos iniciado este apartado introdu-

ciendo el concepto de interferencia y hemos visto que esta se debía al desfase

entre dos ondas que llegan a un mismo punto en un cierto instante. Por tanto,

es importante deducir el desfase de la onda para después poderlo comparar

con el del resto de las ondas que se han producido.

aAnteriormente os explicamos el concepto de desfase y su relación con la dis-

tancia recorrida por la onda. Recordad que el desfase presente en una onda de-

bido al recorrido que ha efectuado al propagarse en la dirección x es:

k · x (125)

donde k es la constante de onda en el medio interior (B) y x es la distancia

recorrida.

Para calcular el desfase debido a la propagación a lo largo de todo el grueso

de la capa fina, debéis determinar la distancia recorrida para atravesarla. Ob-

servad de nuevo la figura 19. Si la onda se estuviera propagando en una direc-

ción perpendicular a las interfaces, la distancia recorrida sería x l. Pero, dado

que la onda se propaga por el interior con un ángulo , la distancia recorrida

será , entonces:

(126)

Podéis comprobar, en la figura 19b, que la onda T1 atraviesa la capa fina dos

veces. Por tanto, el desfase será dos veces el de la expresión (126):

(127)

2

0

m mmAR R

A

Podéis ver el concepto de desfase en el módulo “Ondas”.

Recordad

La constante de onda k es uno de los parámetros de una onda y está relacionada con su fre-cuencia (f) y su velocidad de propagación (v):

f

kv

cos

lx

cos

lk

2

cos

kl


Para una hipotética onda Tm, el desfase será 2m veces el de la expresión (126):

(128)

Sin embargo, no hemos acabado aquí con el desfase, ya que hay otra contri-

bución al desfase que también debéis tener en cuenta. Si os fijáis en la figura

20a, el hecho de que las ondas transmitidas se propaguen en una dirección no

perpendicular a la superficie hace que los puntos de “salida” no estén a la mis-

ma distancia del frente de onda. Para que fuera así, la onda T1 debería tener el

punto de salida en e.

Figura 20

En efecto, podéis comprobar cómo el punto d se encuentra avanzado una dis-

tancia l0 respecto al punto b. Este avance se traduce en el cálculo del desfase

como un término que hay que restar al desfase total que hemos calculado has-

ta ahora:

k0l0 (129)

donde k0 es la constante de onda en el medio exterior (C).

Para determinar el valor exacto de esta distancia l0, es necesario que observéis

el esquema de la figura 20b. Si utilizáis las relaciones trigonométricas que se

indican, podréis comprobar que el valor de l0 es:

l0 2l · tan sen 0 (130)

aSi os fijáis, el último término se puede sustituir, mediante la ley de Snell (49),

que ya hemos visto, con la consideración de que el medio exterior es el aire

(n0 1):

sin 0 n sen (131)

donde n es el índice de refracción del medio interior (B).

2

cos

mkl

Figura 20

Comparativa de los recorridos de las ondas T0 y T1.

Podéis ver la ley de Snell en el subapartado 3.2 de este módulo.


Si sustituís la igualdad (131) dentro de la expresión para l0 (130) tendréis:

l0 2nl · tan sen (132)

Por tanto, el desfase total de la onda Tm será la resta de los desfases debidos a

(128) y a (132) combinados con (129):

(133)

Finalmente, podéis expresar las constantes de onda k y k0 en función de la lon-

gitud de onda () de la onda incidente y de los índices de refracción respecti-

vos:

(134)

Donde n0 corresponde al índice de refracción de c que en nuestro caso es 1.

Si sustituís los valores de las igualdades (134) dentro del desfase total tendréis,

finalmente:

(135)

Ya conocemos la variación en la amplitud (124) y en el desfase (135) que se

produce en la onda Tm al atravesar la capa fina. Podéis reunir ambos conceptos

en un único factor:

(136)

La expresión (136) es poco práctica, ya que interviene en ella el ángulo , que

es el ángulo de las reflexiones internas y no se puede medir directamente. Sin

embargo,la expresión se puede simplicar de manera considerable si supone-

mos valores pequeños de . Esta es una situación muy habitual, ya que para la

mayoría de las aplicaciones en las que se utilizan las capas finas, en general las

ondas inciden de manera perpendicular y, por tanto, se puede hacer la aproxi-

mación 0. Bajo esta suposición podéis hacer las sustituciones siguientes:

sen 0 ; cos 1 ; tan 0 (137)

02

2 tan sencos

mklk nl

Recordad

1. La constante de ondas (k) es:

2. El índice de refracción (n) de un medio es:

3. Y la relación entre la frecuen-cia f y la longitud de onda es:

2πf

kv

c

nv

f c

00

2 2 2 ;

n nk k

4 tan sencos

n ml

Recordad

Cualquier número complejo se puede representar de la forma Aej. Cuando este número multiplica una onda, el factor A (módulo) solo modifica su am-plitud, mientras que el factor ej (fasor), lo que hace es mo-dificar su desfase.

La reducción en las magnitudes del campo eléctrico (E) o del campo

magnético (B) de una onda que experimenta m reflexiones internas en

una capa fina para ángulos de incidencia muy pequeños ( 0) es:

(138)

4 tan sencos

0

n mj l

mmAR e

A

4

0 0

jm nlmm mE BR e

E B


Hemos visto que cuando una onda electromagnética incide sobre una de las

caras de una capa fina, en el otro lado se genera una serie indefinida de ondas

paralelas con las mismas características que la onda inicial pero con valores de

amplitud y desfase diferentes.

Al principio del apartado hemos introducido el concepto de interferencia y

hemos explicado que cuando dos (o más) ondas llegan a un punto con ampli-

tud y desfase diferente, se producirán interferencias. Este es precisamente el

efecto que se busca en una capa fina.

El desfase entre los diferentes haces que se producen depende, según la expre-

sión (138), de la longitud de onda de la onda incidente (también depende

de algunas características del propio dispositivo, como el grueso l o el índice

de refracción de su interior n, pero estas son fijas). Por tanto,lo que encontra-

remos es que algunas ondas producirán interferencia constructiva y otras pro-

ducirán interferencia destructiva, según el valor de .

Los dispositivos que se basan en esta configuración de capa fina se denominan

interferómetros de Fabry-Pérot y se utilizan para la detección o el filtrado de

ondas con unas longitudes de onda determinadas.


En este apartado hemos visto el primero de los ejemplos de configuraciones

básicas, una capa fina de un material dieléctrico, y hemos estudiado el com-

portamiento de las ondas electromagnéticas cuando inciden en ella.

aHemos comenzado explicando el concepto de interferencia y su funciona-

miento físico para poderlo utilizar más adelante.

aA continuación hemos analizado el comportamiento específico de las ondas

en el interior de una capa fina y hemos visto que el resultado es que las ondas

transmitidas producirán interferencias que podrán ser constructivas o destruc-

tivas en función de su longitud de onda.

donde l es el grueso de la capa fina, n es el índice de refracción del medio

de su interior, R es la reflectancia entre el medio interior y el medio ex-

terior y es la longitud de onda de la onda incidente.

Podéis ver el concepto de interferencia en el subapartado 4.1 de este módulo.

Podéis ver el comportamiento de las ondas en el interior de una capa fina en el subapartado 4.2 de este módulo.


5. Guías de onda

aYa hemos estudiado el comportamiento de una onda electromagnética cuan-

do incide sobre una capa fina. Hemos visto que esta configuración tiene mu-

chas aplicaciones bastante interesantes, especialmente como filtros de ondas.

En este apartado estudiaremos una nueva configuración también muy habi-

tual en el mundo cotidiano. Se trata de regiones limitadas por medios mate-

riales en todas sus direcciones excepto en una. Es decir, como un tubo de

longitud indefinida. Esta configuración se denomina guía de onda.

En el mundo hay un gran número de estructuras que se pueden considerar o

catalogar como guías de onda. Estos elementos se utilizan principalmente para

propagar ondas electromagnéticas destinadas a transmitir información. Estas

“señales” son, en general, ondas de frecuencia elevada y a menudo nos encon-

tramos con que no podrían ser transmitidas de otras formas, ya sea por la baja

eficiencia de los sistemas utilizados o porque producirían intereferencias sobre

otros dispositivos.

En este apartado estudiaremos el comportamiento de las ondas en estructuras

de este tipo y explicaremos el fundamento físico en el que se basan. Podríamos

decir, de manera muy simplificada, que una guía de ondas canaliza un cierto

tipo de ondas electromagnéticas y permite que se propaguen con una atenua-

ción mínima. Por el contrario, otras frecuencias se verán muy atenuadas y, por

tanto, será casi imposible su propagación por la guía de onda. Eso explica, por

ejemplo, que nos sea muy difícil sintonizar una emisora de radio cuando cir-

culamos por un túnel muy largo. Podríamos decir que el túnel está actuando

como una guía de onda y no deja pasar las ondas de radio porque, como vere-

mos, las guías de onda solo propagan determinadas longitudes de onda.

¿De qué depende que unas ondas se puedan propagar por una guía de onda y

otras no? Depende de varios factores, los más relevantes de los cuales son su

geometría y sus dimensiones.

Para no alargar el texto de manera considerable, limitaremos el estudio al caso

más simple: las guías de onda de sección rectangular. El estudio de este caso es

suficiente para entender el fundamento físico general de las guías de onda.

5.1. Guías de onda de sección rectangular

Ya hemos dicho que una guía de onda es una región del espacio limitada por

un medio material en todas sus direcciones excepto en una. En una guía de

Podéis ver el comportamiento de una onda al incidir sobre una capa fina en el apartado 4 de este módulo.


onda de sección rectangular, la región está limitada por dos parejas de planos

paralelos entre sí de tal manera que, visto desde los lados abiertos, se observará

una sección con forma rectangular (en la figura 21 podéis visualizar un dibujo

esquemático). Las direcciones x e y son las que están limitadas, mientras que

la dirección z es la que se encuentra libre.

Figura 21

En el dibujo se muestran las diferentes secciones de una guía de onda rectangular

de dimensiones a y b. Veremos más adelante que precisamente los valores exactos

de a y b determinan las características de las ondas que se pueden propagar.

A continuación estudiaremos el comportamiento de las ondas electromagné-

ticas en el interior de una guía de onda rectangular. Puesto que el análisis com-

pleto puede llegar a ser bastante complicado, consideraremos una serie de

suposiciones y aproximaciones, que corresponden a las situaciones más habi-

tuales en la práctica y no afectan al resultado general de forma significativa.

Estas suposiciones son:

• Las paredes limitadoras son de un material conductor perfecto ( ).

Recordad que, según la ecuación (19), la conductividad de un material au-

menta la atenuación sobre las ondas electromagnéticas que se propagan

por él. Un material con una alta conductividad presenta una atenuación

elevada, y eso quiere decir que las ondas no pueden penetrar en él. Por tan-

to, si las paredes de la guía de onda son conductores perfectos, la conse-

cuencia es que las paredes actúan como “barreras”

• En el interior de la guía hay o bien el vacío o bien un material dieléctrico

i. h. l. Eso quiere decir que los valores correspondientes de la permitividad

eléctrica () y de la permeabilidad magnética () son constantes y reales.

Figura 21

Esquema de una guía de onda de sección rectangular.

a) Sección transversal, plano xy, es decir, vista desde delan-te.

b) Longitudinal, plano yz, es decir, como si lo hubieran cor-tado longitudinalmente desde arriba.

c) Longitudinal desde arriba, plano xz, es decir, como si lo hubieran cortado para hacer un bocadillo.

Recordad



• Homogéneo: sus caracte-rísticas son las mismas en cualquier punto del medio.

• Lineal: sus características eléctricas y magnéticas de-penden linealmente de los campos eléctrico y magnético.


• Para simplificar los cálculos, supondremos los ejes de coordenadas tal y

como se muestran en la figura 21. Los ejes x e y corresponden a las direc-

ciones de los dos planos que determinan la sección rectangular, mientras

que el eje z corresponde a la dirección longitudinal de la guía de onda. Esta

suposición no afecta al resultado final, ya que la elección de los ejes de co-

ordenadas es totalmente arbitraria.

Una vez tenemos claras las suposiciones anteriores, suponed ahora que en el

interior de la guía de onda se propaga una onda electromagnética a lo largo de

la dirección longitudinal (z). La podéis representar mediante las expresiones

siguientes:

(139)

donde y son las amplitudes de oscilación de los campos eléctrico y mag-

nético y ej(kzt) es el fasor correspondiente.

Las expresiones (139) son la generalización de un número infinito de ondas posi-

bles. No obstante, y como ya hemos insinuado antes, no todas se pueden propa-

gar en una guía de onda. Las soluciones posibles están limitadas a aquellas que

cumplen una serie de condiciones, las llamadas condiciones de contorno. En una

guía de onda como la que estamos estudiando, estas condiciones se deben al he-

cho de que la región está limitada físicamente por las paredes conductoras.

Las condiciones de contorno se pueden determinar a partir de las propiedades

de los campos eléctrico y magnético en las regiones cercanas a un conductor.

En la figura 22 podéis visualizar un ejemplo que os permitirá entender estas

condiciones.En el ejemplo hemos utilizado la configuración más básica de un

material conductor (hilos rectilíneos perpendiculares al plano del papel), para

facilitar su comprensión.

Figura 22

Recordad

Un término del tipo ej es un número complejo equivalente a:

ej cos + jsen donde j es la unidad imaginaria

( i j2 1).1j

0 , j kz tx yE E e

0 , j kz tx yB B e

0E

0B

Recordad

Una ecuación diferencial en general puede tener infinitas soluciones. Las condiciones de contorno son las condiciones que la geometría o la física de un problema obligan a satisfa-cer y que permiten discriminar entre las soluciones matemáti-cas que son válidas y las que no.

Figura 22

Ejemplo de los campos eléctri-co y magnético en los alrede-dores de dos conductores. El esquema nos permite deducir las condiciones de contorno a causa de la presencia de un material conductor.

a) Campo eléctrico en los alre-dedores de un plano conduc-tor.

b) Campo magnético alrede-dor de un plano conductor.

Fijaos en que dentro del con-ductor está la imagen especu-lar de lo que hay fuera.


a• El campo eléctrico en la superficie de las paredes conductoras no puede

tener componente tangencial (figura 22a). Fijaos en que las líneas de cam-

po entran perpendiculares a la superficie de separación. Esta condición es

una característica del campo eléctrico en regiones cercanas a un material

conductor y ya lo habéis visto anteriormente.

• El campo magnético en la superficie de las paredes conductoras no puede

tener componente normal (figura 22b). Fijaos en que las líneas de campo

son tangentes a la superficie de separación. Esta condición es una caracte-

rística del campo magnético en regiones cercanas a un material conductor

y ya lo habéis visto anteriormente.

Estas condiciones de contorno son de cumplimiento obligatorio para cual-

quier material conductor y para cualquier geometría. Por tanto, las expresio-

nes (139), que realmente son ondas electromagnéticas posibles, estarán

limitadas a aquellas que cumplan estas condiciones.

Los modos correspondientes a una guía de onda son las oscilaciones “básicas”

que se pueden producir en ella. Todas las oscilaciones en los campos eléctrico

y magnético que se producirán en una guía de onda son combinaciones de un

número indefinido de estos modos.

Con tal de determinar cómo son estos modos, lo que haremos será hacer una

clasificación según cómo sean sus campos eléctrico o magnético. Es importan-

te que notéis que esta clasificación que realizaremos no es la única posible y

su elección es arbitraria. Los motivos que nos llevan a proceder con esta clasi-

ficación son:

• Esta clasificación nos permite simplificar los cálculos.

• Es una clasificación que nos sirve de manera habitual en el estudio de las

guías de ondas.

• Cualquier modo que se produzca en una guía de ondas rectangular se puede

descomponer en una combinación de distintos modos de estos dos grupos.

Así pues, tendremos que los modos de ondas electromagnéticas en una guía

de onda se pueden clasificar en:

• Modos transversales eléctricos (TE)

En estos modos, la componente del campo eléctrico en la dirección longi-

tudinal (eje z) de la guía de onda es cero (Ez = 0) para cualquier punto de

su interior.

Podéis ver las características del campo eléctrico en el subapartado 3.1.1 de este módulo. Podéis ver las características del campo magnético en el subapartado 3.1.2 de este módulo.

Llamamos modo a cada una de las ondas electromagnéticas posibles

que cumplen las condiciones de contorno y que, por tanto, se pueden

propagar en una guía de onda.

Etapa transitoria

En realidad, el proceso me-diante el cual se “discriminan” ciertas ondas de las otras (lo que llamamos etapa transito-ria) es bastante más complejo. Sin embargo, lo que nos inte-resa para nuestro propósito es solo el estado final (o estacio-nario). Es decir, que los modos son las únicas ondas que se mantienen.


• Modos transversales magnéticos (TM)

En estos modos, ahora es la componente del campo magnético la que es

cero en la dirección longitudinal de la guía de onda (Bz = 0) para cualquier

punto de su interior.

A continuación, estudiaremos estos dos primeros grupos de modos por sepa-

rado. Comenzaremos por los modos transversales eléctricos.

5.1.1. Modos transversales eléctricos (TE)

Como ya hemos mencionado, en un modo transversal eléctrico (TE) el campo

eléctrico es nulo en la dirección longitudinal (Ez 0). Por tanto, tendremos:

Ex E0x(x,y) · ej(kzt)

Ey E0y(x,y) · ej(kzt)

Ez 0 (140)

donde E0x y E0y son las amplitudes de oscilación.

Por otro lado, debido a que tanto Ex como E0y son componentes de una onda

electromagnética, habrán de satisfacer las ecuaciones de onda correspondientes:

(141)

adonde y son la permeabilidad magnética y permitividad eléctrica del medio

en el interior de la guía de onda.

Y, dado que se trata del campo eléctrico, deberán satisfacerse las condiciones de

contorno correspondientes. Es decir, que el campo eléctrico no tenga componen-

te tangencial en las regiones de alrededor de las paredes conductoras. Para ver

cómo se traducen estas condiciones en la guía de onda, observad la figura 23.

A partir del esquema (a) podéis deducir que:

Ex(y0) Ex(yb) = 0

Ey(x0) Ey(xa)0 (142)

Una vez determinadas las condiciones de contorno del problema, ya podemos

resolver las ecuaciones (141). No detallaremos el proceso de resolución por-

que queda más allá de los objetivos de la asignatura y pasaremos directamente

al resultado.

Recordad

La ecuación diferencial que ex-plica el comportamiento de una onda cualquiera que se propaga con una velocidad c es:

y

22 2

20

uc u

t

1

c

22

2

10x

xE

Et

22

2

10

yy

EE

t

Podéis ver las ecuaciones de ondas en el módulo “Leyes de Maxwell”.


Las componentes del campo eléctrico en el interior de la guía de onda son:

Ez 0

(m, n 0, 1, 2, 3, ...) (143)

donde y son las amplitudes de oscilación o valores máximos de cada

componente, a y b son las dimensiones de la guía de onda y m y n son cual-

quier combinación de números enteros.

Más adelante explicaremos el significado de las ecuaciones y de sus paráme-

tros. Antes procederemos al cálculo del campo magnético:

Bx B0x(x,y) · ej(kzt)

By B0y(x,y) · ej(kzt)

Bz B0z(x,y) · ej(kzt) (144)

Como en el caso del campo eléctrico, el campo magnético también ha de sa-

tisfacer las condiciones de contorno. En este caso, las que tienen que hacerse

cero son las componentes normales (para entender mejor de dónde salen, po-

déis volver a consultar la figura 21):

Bx(x0) Bx(xa)0

By(y0) By(yb)0 (145)

Tampoco explicaremos el proceso de resolución de la ecuación y os daremos

directamente el resultado:

(m, n 0, 1, 2, 3, ...) (146)

cos senx

j kz tx E

m nE A x y e

a b

sen cosy

j kz ty E

m nE A x y e

a b

xEA yEA

sen cosx

j kz tx B

m nB A x y e

a b

cos seny

j kz ty B

m nB A x y e

a b

cos cosz

j kz tz B

m nB A x y e

a b


donde , y son las amplitudes de oscilación o valores máximos de

cada componente, a y b son las dimensiones de la guía de onda y m y n son

cualquier combinación de números enteros.

Ahora ya sí que podemos analizar las ecuaciones (143) y (146):

• El primer término de las ecuaciones ( , , ...) corresponde a los valores

máximos que pueden alcanzar los campos. No entraremos en detalle en sus

valores exactos, ya que no entra dentro de los objetivos de este módulo.

• El segundo y tercer término incluyen las dependencias de los campos

respecto a las direcciones transversales x e y. Fijaos en que en todos los

casos se trata de funciones armónicas del tipo sin(kx), cos(ky), etc. Los

valores de k son diferentes para x y para y y dependiendo de las dimen-

siones de la guía en las direcciones respectivas, como en el caso de las

ondas estacionarias que ya visteis.

aEn efecto, si hacemos un corte transversal y analizamos la amplitud de

cualquiera de las componentes del campo a lo largo de uno de los ejes, po-

déis comprobar que se comporta como una onda estacionaria con una lon-

gitud de onda que siempre será un divisor exacto de la distancia entre las

paredes respectivas. Los valores de m y n indican precisamente el número

de máximos a lo largo de las direcciones respectivas x e y. En la figura 23 se

muestra, a modo de ejemplo, cómo sería la amplitud de la componente Ey

a lo largo de la dirección x para los casos m 1, 2, 3 y 4.

Figura 23

En el ejemplo de la figura podéis comprobar que m 1 implica que el

campo presenta un máximo de amplitud a lo largo del eje x, m 2 indica

que se producen dos (uno positivo y uno negativo). Y así sucesivamente

para m 3, 4, 5, ... Por su parte, a pesar de que no lo hemos incluido en

la figura, n 1 indicaría que habrá un máximo a lo largo de la dirección y,

xBAyBA

zBA

xBAyBA

Podéis ver las ondas estacionarias en el módulo “Ondas”.

Figura 23

Esquema de los modos de osci-lación de Ey que se producen a lo largo de una de las direccio-nes transversales de la guía de onda (en el ejemplo, la direc-ción x) para los casos:

a) m 1,

b) m = 2,

c) m = 3, y

d) m = 4.


n 2 quiere decir que habrá dos, etc. Los casos m 0 y n 0 no los hemos

incluido porque implican que el campo es constante en la dirección res-

pectiva.

• El último término (ej(kzt)) es el fasor de la onda correspondiente. Recor-

dad que el fasor indica cómo varía el desfase tanto en el tiempo como en

la dirección longitudinal (z).

Las diferentes combinaciones de valores de m y n determinan cada uno de los

modos posibles en una guía de onda. Para identificar los modos, los denomi-

naremos utilizando la notación TEmn, donde los subíndices corresponden a

los valores respectivos de m y n.

Para acabar de entender el significado de los modos, analizaremos un caso par-

ticular: el modo TE10. Este es, junto con el TE01, el modo más simple y tam-

bién el más fácil de entender. Veamos cómo son el campo eléctrico ( ) y


En la web http://www.fals-tad.com/embox/guide.html (en inglés) encontraréis una miniaplicación (applet) donde podéis visualizar una simula-ción de los modos transversa-les eléctricos (TE) en una guía de onda rectangular.

¿Existe el modo TE00?

El “modo” TE00 no existe como tal, ya que eso implicaría Ex 0, Ey 0 y Ez 0. Es decir, que no habría ninguna onda.

En una guía de onda, un modo transversal eléctrico TEmn es aquel en

el que no hay componente del campo eléctrico en la dirección longitu-

dinal (z).

Para el caso de una guía de onda de sección rectangular, los campos

eléctrico y magnético en un modo TEmn son:

Ez 0

(147)

donde , , , y son las amplitudes de oscilación o

valores máximos de cada componente, a y b son las dimensiones de la

guía de onda y m y n son cualquier combinación de números enteros

(m, n 0, 1, 2, 3 ...).

cos senx

j kz tx E

m nE A x y e

a b

sen cosy

j kz ty E

m nE A x y e

a b

sen cosx

j kz tx B

m nB A x y e

a b

cos seny

j kz ty B

m nB A x y e

a b

cos cosz

j kz tz B

m nB A x y e

a b

xEA yEAxBA

yBAzBA

E


magnético ( ) en este modo. Para encontrarlos hay que sustituir m 1 y n 0

en las expresiones (147):

Ex 0

Ez 0

By 0

(148)

En la figura 24 podéis visualizar una representación gráfica de las amplitudes

de estos campos en una sección transversal, es decir, vista desde delante (figu-

ra 24a); longitudinal, desde arriba (como si la hubiésemos cortado para hacer

un bocadillo, figura 24b); y desde el lado (figura 24c).

Fijaos primero en el campo eléctrico. Como Ex 0 y Ez 0, este campo solo pre-

senta componente en la dirección y. En los esquemas a y b podéis comprobar

que, efectivamente, el campo eléctrico siempre apunta en esta dirección (fle-

chas continuas). En el esquema c el campo eléctrico es perpendicular al plano

del papel y puede ir hacia afuera (por eso está representado con el símbolo •).

Figura 24

Su amplitud es una función sinusoidal que se hace cero en x 0 y en x a y

tiene un máximo en el centro de la guía. Por ello las líneas de campo están más

B

Recordad

sen 0 sen 2 ... 0

cos 0 cos 2 ... 1

πsen

yj kz t

y EE A x ea

πsen

xj kz t

x BB A x ea

Figura 24

Esquema del campo eléctrico y magnético en un modo TE10 de una guía de onda de sec-ción rectangular.

a) Sección transversal, plano xy, es decir, visto desde delan-te. El campo eléctrico se repre-senta con flechas verticales.

b) Sección lateral, plano zy. El campo eléctrico se represen-ta con flechas verticales.

c) Longitudinal desde arriba, plano xz. Es decir, como cuan-do cortamos una barra de pan para un bocadillo. El campo magnético se representa con lí-neas discontinuas, y el campo eléctrico con flechas verticales y cruces o puntos según si en-tra o sale del papel.

πcos

zj kz t

z BB A x ea


separadas cerca de las paredes y más juntas hacia el centro. Podéis comprobar

que este comportamiento de Ex, Ey y Ez está totalmente en concordancia con

la condición de contorno que dice que el campo eléctrico sólo puede ser nor-

mal en la pared de la guía de onda (podéis ver las figuras 25a y 25b).

Respecto al campo magnético, podéis comprobar que ahora sucede justamen-

te a la inversa: no hay componente en la dirección y (By 0) pero sí en el resto

(observad la figura 24c, donde se ha representado con líneas discontinuas).

Este hecho no os debería sorprender si recordáis que los campos eléctrico y

magnético siempre son perpendiculares entre sí.

La amplitud de Bx varía igual que la de Ey, es decir, es cero en x 0 y en x a

y tiene un máximo en el centro de la guía. La amplitud de Bz, en cambio, es

máxima en x 0 y en x a y presenta un mínimo en el centro de la guía. Podéis

comprobar que este comportamiento de Bx, By y Bz está totalmente en concor-

dancia con la condición de contorno que dice que el campo magnético sólo

puede ser tangencial a la pared de la guía de onda (podéis ver la figura 24c).

Ya os hemos introducido el concepto de modos de una guía y hemos visto el

primer grupo de clasificación: los modos transversales eléctricos (TE). A conti-

nuación veremos el segundo grupo: los modos transversales magnéticos (TM).

5.1.2. Modos transversales magnéticos (TM)

En los modos TE que hemos estudiado hasta ahora hemos incluido todos

aquellos que no presentan componente del campo eléctrico en la dirección de

propagación (Ez 0). En este apartado estudiaremos aquellos que no presentan

componente del campo magnético en esta misma dirección (Bz 0). Estos mo-

dos reciben el nombre de transversales magnéticos (TM). Los modos TM po-

dríamos decir que son los complementarios de los transversales eléctricos (TE).

Por tanto, las expresiones de los campos eléctrico y magnético para los modos

TM son:

Ex E0x(x,y) · ej(kzt)

Ey E0y(x,y) · ej(kzt)

Ez E0z(x,y) · ej(kzt)

Bx B0x(x,y) · ej(kzt)

By B0y(x,y) · ej(kzt)

Bz 0 (149)

donde E0x, E0y, etc., son las amplitudes de oscilación.


Estas expresiones han de satisfacer las ecuaciones de ondas que ya conocéis:

(150)

aTal y como hemos procedido con los modos TE, tenemos que imponer que las

soluciones de las ecuaciones (150) satisfagan las condiciones de contorno. Re-

cordemos cuáles eran estas condiciones (para verlas más claras, volved a echar

un vistazo a las figuras 21 y 22):

• El campo eléctrico ( ) no puede tener componente tangencial sobre la

superficie de las paredes conductoras:

Ex(y0) Ex(yb) 0

Ey(x0) Ey(xa)0 (151)

• El campo magnético ( ) no puede tener componente normal sobre la su-

perficie de las paredes conductoras:

Bx(x0) Bx(xa)0

By(y0) By(yb)0 (152)

El proceso de resolución de las ecuaciones (150) queda más allá de los objeti-

vos de la asignatura y pasaremos directamente al resultado. Observaréis que el

resultado es muy similar al que hemos encontrado para los modos TE. La úni-

ca diferencia está en las componentes Ez y Bz (las componentes longitudina-

les), a causa de la propia definición de los modos TE y TM.

De manera análoga al caso de los modos TE, para los modos transversales mag-

néticos (TM) utilizaremos la denominación TMmn, donde los subíndices co-

rresponden a los valores respectivos de m y n.

Recordad


2

2 22

0u

c ut

22

2

10

EE

t

22

2

10

BB

t

Podéis ver las ecuaciones de ondas en el módulo “Leyes de Maxwell”.

E

B


En la web http://www.fals-tad.com/embox/ (en inglés) encontraréis una miniaplica-ción (applet) donde podéis vi-sualizar una simulación de los modos transversales magnéti-cos (TM) para una guía de onda rectangular.

En una guía de onda, un modo transversal magnético TMmn es aquel

en el que no hay componente del campo magnético en la dirección lon-

gitudinal (z). Para una guía de onda de sección rectangular, los campos

eléctrico y magnético en un modo de este tipo son:

cos senx

j kz tx E

m nE A x y e

a b

sen cosy

j kz ty E

m nE A x y e

a b


El significado de las componentes de las ecuaciones (153) es el mismo que en

el caso de los modos TE, por tanto, nos limitaremos a señalar las pequeñas di-

ferencias que encontramos.

• La diferencia más notable la encontramos en las componentes longitudi-

nales (Ez y Bz). Ahora la componente longitudinal del campo eléctrico no

es cero (Ez 0), mientras que para el caso de los modos TE sí que lo era (Ez

0). En cambio, para el campo magnético es precisamente a la inversa (Bz

0 para los modos TM y Bz 0 para los modos TE). Esta diferencia no nos

debería sorprender, ya que proviene de la propia definición de TE y TM.

• , , ... corresponden a los valores máximos que pueden conseguir

los campos. Estos valores no tienen por qué ser los mismos que en el caso

de los TE. Simplemente hemos utilizado la misma notación para no com-

plicar las ecuaciones. No obstante, como en el caso de los modos TE, no en-

traremos en detalle en sus valores exactos, ya que no entra dentro de los

objetivos de este módulo.

• Los modos correspondientes a m 0 (TM01, TM02, TM03, ...) y a n 0 (TM10,

TM20, TM30, ...) no existen como tal, ya que eso implicaría que tendríamos

al mismo tiempo Ez 0 y Bz 0. Este caso particular, de hecho, se denomi-

na modo transversal electromagnético (TEM) y, a pesar de ser una solu-

ción matemáticamente posible, no corresponde a una onda que se pueda

propagar por una guía de ondas como la que estamos estudiando. El estu-

dio de guías de ondas donde sí que se pueden propagar los modos TEM

tampoco entra dentro de los objetivos de este módulo.

aYa hemos visto que existe un número infinito de modos TE y de modos TM

que se pueden propagar por una guía de onda, y que cada uno de ellos presen-

ta unas características diferentes. Ahora bien, una pregunta que no nos hemos

hecho es si todos ellos se propagan de manera indefinida dentro de la guía de

onda o si, por el contrario, experimentan una atenuación significativa. A con-

tinuación estudiaremos este aspecto.

Bz o (153)

donde , , , y son las amplitudes de oscilación o

valores máximos de cada componente, a y b son las dimensiones de la

guía de onda y m y n son cualquier combinación de números enteros

(m, n 0, 1, 2, 3, ...).

sen senz

j kz tz E

m nE A x y e

a b

sen cosx

j kz tx B

m nB A x y e

a b

cos seny

j kz ty B

m nB A x y e

a b

xEAyEA

zEAxBA

yBA

¿Existe el modo TM00?

El “modo” TM00 no existe como tal, ya que eso implicaría Ex 0, Ey 0 y Ez 0. Es decir, que no habría ninguna onda.

xEAyEA

Recordad

sen 0 0

En el módulo “Líneas de transmisión” encontraréis un caso en el que sí utilizamos los modos TEM.


5.1.3. Atenuación en una guía de onda. Modos guiados, modos de

corte y modo dominante

En la práctica se observa que en una guía de onda hay modos que experimen-

tan una atenuación elevada y que, por tanto, no se pueden propagar a grandes

distancias, mientras que hay otros en los que la atenuación es mucho más pe-

queña y, por tanto, son aptos para la propagación de señales.

Se puede demostrar que existe un criterio que determina qué modos se consi-

deran del primer grupo y cuáles del segundo. Se trata de la llamada relación

de dispersión:

(154)

donde kmn es la constante de propagación de la onda correspondiente al modo

TEmn (o TMmn), es la frecuencia angular de la onda, y son la permitividad

eléctrica y la permeabilidad magnética del medio y a y b son las dimensiones

del rectángulo.

El valor de kmn, la constante de propagación de la onda, es lo que determina

qué comportamiento tendrá el modo en cuestión. Fijaos en que este valor pue-

de ser real o imaginario en función del signo de la expresión contenida dentro

de la raíz. Estudiemos los dos casos:

• Cuando el radicando es positivo, la constante de propagación es un núme-

ro real y, por tanto, corresponde a la de una onda que se propaga indefini-

damente en la dirección de la guía de onda. No habrá una atenuación

significativa (a excepción de la atenuación propia del medio de propaga-

ción). Como podéis comprobar, esta condición no se verifica para cual-

quier modo, sino sólo para aquellos cuyos valores m y n lo hacen posible.

Estos modos se denominan modos guiados.

• Cuando el radicando es negativo, la constante de propagación es un número

imaginario puro y, por tanto, corresponde a la de una onda que presenta una

cierta atenuación, en general elevada. Los modos que cumplen esta condición

se denominan modos de corte, y no se pueden propagar en esta guía de onda.

Se llaman modos guiados aquellos que se pueden propagar por una

guía de onda específica. La condición que han de cumplir es:

(155)

Se denominan modos de corte aquellos que no se pueden propagar por

una guía de onda específica. La condición que han de cumplir es:

(156)

2 22

mnm n

ka b

2 22m n

a b

2 22m n

a b


Así pues, podéis comprobar que, dada una onda de una cierta frecuencia, esta

sólo se podrá propagar por la guía en cuestión según ciertos modos: aquellos

que presentan unos valores de m y n suficientemente pequeños para que cum-

plan la relación (155). En cambio, los modos con índices m y n que no cum-

plan esta relación no se podrán propagar por esta frecuencia.

De la misma manera, también podemos analizar el sentido inverso. Es decir,

dado un modo específico, determinar las frecuencias de las ondas que se pue-

den propagar de manera indefinida por la guía de onda. Existe una frecuencia

límite que divide el espectro en estos dos grupos. Su valor se obtiene a partir

de la relación (155):

(157)

Como podéis comprobar, cada modo (TEmn o TMmn) presenta una frecuencia

de corte diferente. Si calculásemos esta frecuencia para cada modo, encontra-

donde m y n son los índices del modo correspondiente (TEmn o TMmn),

a y b son las dimensiones de la sección rectangular, es la frecuencia

angular de la onda propagada y y son, respectivamente, la permeabi-

lidad magnética y la permitividad eléctrica del medio de propagación.

2 22 m n

a b

2 2

2

m n

a b

2 2m n

a b

2 2m n

a b

Recordad

La frecuencia f y la frecuencia angular se relacionan me-diante:

2f

Llamamos frecuencia de corte (ft) de un modo TEmn o TMmn a la fre-

cuencia mínima por debajo de la cual una onda no puede propagarse

según aquel modo. Su valor es:

(158)

donde m y n son los índices del modo correspondiente (TEmn o TMmn),

a y b son las dimensiones de la sección rectangular y y son, respec-

tivamente, la permeabilidad magnética y la permitividad eléctrica del

medio de propagación.

2 21

2t

m nf

a b


ríais que uno de ellos presenta el valor más pequeño de todos. O lo que es lo

mismo, imaginaos que partís de una frecuencia muy elevada, es decir, que os

encontráis por encima de la frecuencia de corte para muchos modos. Suponed

ahora que vais disminuyendo la frecuencia de modo gradual. Poco a poco iréis

superando una a una, por debajo, las frecuencias de corte de los diferentes mo-

dos, y eso quiere decir que cada vez habrá menos modos posibles. Finalmente

llegaréis a un punto en el que solo quedará un único modo según el cual la

onda se podría propagar: aquel que presenta la frecuencia de corte más baja.

A este modo se le conoce como modo dominante.

a

La frecuencia de corte (ft) del modo dominante indica cuál es la frecuencia mí-

nima que se podrá propagar por aquella guía de onda. Frecuencias más peque-

ñas no serán posibles, ya que estaríamos por debajo de la frecuencia de corte

más pequeña posible.

A partir de la expresión para la ft (158) podéis comprobar que los modos que

presentan una frecuencia más pequeña son aquellos en los que los valores de

m y n son los más pequeños posibles. Dado que la combinación m 0 y n 0

no tiene casi sentido porque no corresponde a ningún modo (de hecho,

quiere decir que no hay ninguna onda), el modo dominante corresponde al

caso m 0 y n 1, es decir, al modo TE01.

Así pues, el modo dominante en una guía de onda rectangular siempre es el modo

TE01, ya que, tal y como hemos explicado, el modo TM01 no existe como tal.

Ejemplo de frecuencia de corte

Determinad los tres modos con frecuencias de corte más pequeñas para una guía de ondade dimensiones a = 1,3 cm y b = 2,0 cm. Calculad también el valor de sus frecuencias decorte. Suponed que en el interior de la guía está el vacío.

Solución

Para resolver el problema, lo más práctico es hacer una tabla con las frecuencias de corteft para los primeros valores de m y n. Para calcular estas frecuencias, debéis utilizar la ex-presión (158). Recordémosla:

(159)

Ya podéis calcular los elementos de la tabla para diferentes valores de m y n. Los datosque tenéis que utilizar son:

• a 1,3 cm

• b 2,0 cm

• (permeabilidad magnética del vacío)

• (permitividad eléctrica del vacío)

Denominamos modo dominante o fundamental de una guía de onda

al modo que presenta una frecuencia de corte (ft) más pequeña.

Recordad

Los “modos” TE00 y TM00 no existen como tales, ya que im-plicarían Ex 0, Ey 0 y Ez 0. Es decir, que no habría ningu-na onda.

Hipótesis

Para llegar a esta conclusión hemos supuesto que el rectán-gulo es como el de la figura 21, es decir, que a b.

Si fuese al revés (a b), el modo dominante corres-pondería al caso

m 1 y n 0, es decir, el modo T10.

Podéis ver que no existe el modo TM01 en el subapartado 5.1.2 de este módulo.

2 21

2t

m nf

a b

70 2

4 10 N

A

212

0 28,854 10

C

Nm


Hemos marcado con negrita los tres valores más pequeños, que es lo que nos pide elenunciado. Las casillas con puntos supensivos las podéis dejar sin calcular porque ya sa-bemos con seguridad que los números que obtendréis serán más grandes que los tres queya tenemos marcados.

Así pues, los modos y las frecuencias que se nos piden son:

1) Modo dominante: transversal eléctrico TE01 y ft 7,5 GHz

2) Segundo modo: transversal eléctrico TE10, con ft 11,5 GHz

3) Tercer modo: transversal eléctrico TE11 o transversal magnético TM11, y ft 13,8 GHz

Notad que hemos incluido en la lista el modo transversal magnético TM11 pero no elTM01 ni el TM10. Recordad que los modos del tipo TM0n y TMm0 no existen.


En este apartado hemos visto que las ondas se pueden propagar por una región

limitada en el espacio por paredes conductoras, las llamadas guías de onda y he-

mos estudiado el caso particular de un tubo de sección rectangular. En este caso,

hemos visto que a causa de las condiciones de contorno se propagan determi-

nadas ondas de campos eléctrico y magnético, lo que denominamos modos. He-

mos visto también que hay una frecuencia, la frecuencia de corte, por debajo de

la cual no se propaga la onda, lo que explica fenómenos cotidianos como el he-

cho de que la radio no se escuche dentro de un túnel. ¿Qué pasaría si cerráramos

el tubo y lo conviertiéramos en una caja? Lo veremos a continuación.

ft n 0 n 1 n 2 n 3

m 0 - 7,5 GHz 15,0 GHz ...

m 1 11,5 GHz 13,8 GHz ... ...

m 2 24,3 GHz ... ... ...

m 3 ... ... ... ...


6. Cavidades resonantes

aYa hemos estudiado dos de las estructuras más habituales que nos encontra-

mos en aplicaciones del ámbito de la óptica y de las telecomunicaciones: la

capa fina y la guía de onda. Nos queda presentaros una última configuración:

la cavidad resonante o resonador. A pesar de que es posible que, por este

nombre, no conozcáis ningún ejemplo de este tipo de configuración, seguro

que cambiáis de parecer cuando os presentemos una aplicación bien conocida

que la utiliza: los hornos de microondas que encontráis en cualquier cocina.

Se considera como una cavidad resonante cualquier región del espacio limita-

da por un medio conductor en todas direcciones. Es decir, es como una caja

cerrada cuyas “paredes” son de un material conductor.

La aplicación principal de las cavidades resonantes es su uso como un dispo-

sitivo de almacenamiento de energía en forma de campos eléctricos y magné-

ticos oscilantes.

El comportamiento de las ondas electromagnéticas en una cavidad resonante es

muy similar al de una guía de onda. Sin embargo, a diferencia de esta última,

donde existe una dirección en la que las ondas pueden propagarse indefinida-

mente, en una cavidad resonante las ondas presentes no se propagan, sino que

experimentan reflexiones continuas sobre las superficies hasta que adoptan la

forma de ondas estacionarias, de acuerdo con la geometría de la cavidad.

En este apartado estudiaremos las características de estas ondas estacionarias.

Limitaremos el análisis a un caso específico: las cavidades resonantes con for-

ma de paralelepípedo regular (como una caja de zapatos).

6.1. Cavidades resonantes con forma de paralelepípedo regular

A pesar de que existe una gran variedad de formas y dimensiones, como ejem-

plo específico de cavidad resonante consideraremos el caso simple de una ca-

vidad en forma de paralelepípedo regular (prisma rectangular). Los principios

de funcionamiento son siempre los mismos y, por tanto, se pueden generali-

zar a todo tipo de cavidades resonantes.

El procedimiento para determinar cómo son las ondas que se establecen en el in-

terior de la cavidad es muy similar al que hemos utilizado para las guías de onda.

Comencemos escribiendo las ecuaciones para los campos eléctrico y magnético:

Podéis ver la capa fina en el apartado 4 de este módulol.Podéis ver la guía de onda en el apartado 5 de este módulo.

0 , , j tE E x y z e


(160)

Figura 25

adonde y son las amplitudes de los campos y ej(t) son los fasores, que

en este caso sólo dependen del tiempo. El motivo es que como la cavidad está

cerrada por todos los lados, tenemos una situación en la que hay que aplicar

condiciones de contorno a las ondas en cualquier dirección. Esta situación ge-

nera ondas estacionarias en todas las direcciones y, si recordáis lo que ya he-

mos visto, las ondas estacionarias no se propagan y, por tanto, el término

dentro del coseno (o lo que es lo mismo, dentro del exponencial complejo) no

dependerá de .

aTal y como hemos procedido para las guías de onda, debéis imponer que todas

las componentes de los campos satisfagan las respectivas ecuaciones de onda:

(161)

donde Ex, Ey, y Ez son las componentes del campo eléctrico en las tres direc-

ciones principales, Bx, By, y Bz son las del campo magnético y y son, res-

pectivamente, la permeabilidad magnética y la permitividad eléctrica del

medio que hay en el interior de la cavidad resonante.

0 , , j tB B x y z e

Figura 25

Esquema de una cavidad resonante con forma de para-lelepípedo regular.

a) Sección transversal, plano xy, es decir, visto desde delante.

b) Longitudinal desde arriba, plano yz.

c) Longitudinal desde arriba, plano xz, es decir, como si lo hubiésemos cortado para ha-cer un bocadillo.

Podéis ver las ondas estacionarias en el módulo “Ondas”.

0E

0B

rk

Podéis ver las guías de onda en el subapartado 5.1 de este módulo.

Recordad


22 2

20

uc u

t

2 22 2

2 2

1 10 0x x

x xE B

E Bt t

2 22 2

2 2

1 10 0

y yy y

E BE B

t t

2 22 2

2 2

1 10 0z z

z zE B

E Bt t


También como en el caso de las guías de onda, las ecuaciones (161) tienen in-

finitas soluciones matemáticas, de las cuales solo tendrán sentido físico aque-

llas que cumplan las condiciones de contorno, por el hecho de que las paredes

de la cavidad son conductoras.

Estas condiciones son las mismas que en el caso de una guía de onda, con la dife-

rencia de que ahora hay que aplicarlas a las tres dimensiones (en el caso de la guía

de onda solo se tenían que aplicar en las direcciones x e y). Observad la figura 25,

donde podéis ver que, desde todos los puntos de vista, la zona está cerrada.

Determinemos cuáles son las condiciones de contorno.

a• El campo eléctrico( ) no puede tener componente tangencial sobre la su-

perficie de las paredes conductoras. Analicemos los esquemas de la figura

25.

Según la sección paralela al plano xy (figura 25a), eso quiere decir que:

Ex(y0) Ex(yb) 0

Ey(x0) Ey(xa) 0 (162)

Según la sección paralela al plano yz (figura 25b), quiere decir que:

Ey(z0) Ey(zc) 0

Ez(y0) Ez(yb) 0 (163)

Y según la sección paralela al plano xz (figura 25c), tendremos que:

Ex(z0) Ex(zc) 0

Ez(x0) Ez(xa) 0 (164)

a• El campo magnético ( ) no puede tener componente normal sobre la su-

perficie de las paredes conductoras. Si volvemos a analizar la figura 25 en-

contramos:

Bx(x0) Bx(xa) 0

By(y0) By(yb) 0

Bz(z0) Bz(zc) 0 (165)

Como en el caso de las guías de onda tampoco detallaremos el procedimiento

de resolución de las ecuaciones (161) y daremos directamente el resultado:

Podéis ver que el campo eléctrico no puede tener componente tangencial sobre la superficie de las paredes conductoras en el subapartado 3.1.1 de este módulo.

E

Podéis ver que el campo magnético no puede tener componente normal sobre la superficie de las paredes conductoras en el subapartado 3.1.2 de este módulo.

B


En la web http://www.fals-tad.com/embox/index.html (en inglés) encontraréis una miniaplicación (applet) donde podéis visualizar una simula-ción de los modos presentes en una cavidad resonante.

Los campos eléctrico y magnético en el interior de una cavidad reso-

nante con forma de paralelepípedo regular de dimensiones a, b y c to-

man la forma de ondas estacionarias:

cos sen senx

j tx E

m n pE A x y z e

a b c


El análisis de las ecuaciones (166) es muy similar al que hicimos para las guías

de onda:

• El primer término de las ecuaciones ( , , , , y ) co-

rresponde a los valores máximos que pueden conseguir los campos. No en-

traremos en detalle en sus valores exactos, ya que no entra dentro de los

objetivos de este módulo.

a• El segundo, tercero y cuarto término incluyen las dependencias de los cam-

pos respecto a las direcciones posibles (x, y y z). Fijaos en que en todos los

casos se trata de funciones armónicas del tipo sin(kx), cos(ky), etc. Los va-

lores de esta constante k son diferentes para cada una de las direcciones y

están determinados por las dimensiones de la cavidad, como en el caso de

las ondas estacionarias que ya os introdujimos.

• Si hacéis un corte transversal imaginario en cualquiera de las tres direccio-

nes y analizáis la amplitud del campo a lo largo de cualquiera de los ejes

que se observan, veréis el mismo comportamiento que ya vimos en una

guía de onda. Es decir, encontraréis que la amplitud dibuja una curva si-

nusoidal con un “periodo” igual a un divisor exacto de la distancia entre

las dos paredes en cuestión. Los valores de m, n y p indican precisamente

el número de máximos a lo largo de las direcciones respectivas x, y y z. En

la figura 26 se muestra, a modo de ejemplo, cómo sería la amplitud de la

componente Ey a lo largo de la dirección x para los casos m 1, 2, 3 y 4.

(m, n, p 0, 1, 2, ...) (166)

donde , , , , y son las amplitudes o valores

máximos de los campos, a, b y c son las dimensiones de la cavidad re-

sonante y m, n y p son cualquier combinación de números enteros po-

sitivos. ejt es el fasor, que en este caso solo depende del tiempo, dado

que tenemos ondas estacionarias.

sen cos seny

j ty E

m n pE A x y z e

a b c

sen sen cosz

j tz E

m n pE A x y z e

a b c

sen cos cosx

j tx B

m n pB A x y z e

a b c

cos sen cosy

j ty B

m n pB A x y z e

a b c

cos cos senz

j tz B

m n pB A x y z e

a b c

xEA yEAzEA

xBA yBAzBA

xEAyEA

zEAxBA

yBA zBA

Podéis ver el concepto de ondas estacionarias en el módulo “Ondas y acústica”.


Figura 26

• El último término (ejt) es el fasor de la onda correspondiente. En este caso

sólo presenta dependencia temporal, ya que el resto de las variables (x, y y

z) están incluidas dentro de las funciones armónicas anteriores.

Las diferentes combinaciones de valores de m, n y p determinan cada uno de

los modos que se pueden producir en una cavidad resonante.

Para acabar de entender el significado de los modos, analizaremos un caso par-

ticular: el modo 101. Veamos cómo son el campo eléctrico ( ) y magnético

( ) en este modo. Para encontrarlos, hay que sustituir m 1, n 0 y p 1 en

las expresiones (166):

Ex 0

Ez 0

By 0

(m, n, p 0, 1, 2, ...) (167)

En la figura 27 podéis visualizar una representación gráfica de las amplitudes de

estos campos en las tres secciones posibles: en una sección transversal, es decir,

Figura 26

Esquema de los modos de oscilación de Ey que se pro-ducen a lo largo de la dirección x:

a) m = 1,

b) m = 2,

c) m = 3, y

d) m = 4.

En una cavidad resonante, se denomina modo de vibración a cada una

de las combinaciones de valores enteros de m, n y p.

101 se lee “uno cero uno” (no “ciento uno”), ya que se refiere

a tres cifras diferentes.E

B

Recordad

sen 0 sen 2 ... 0

cos 0 cos 2 ... 1sen sen

yj t

y EE A x z ea c

sen cosx

j tx BB A x z e

a c

cos senz

j tz BB A x z e

a c


vista desde delante (figura 27a), longitudinal, desde arriba (como si la hubiése-

mos cortado para hacer un bocadillo, figura 27c) y desde el lado (figura 27b).

Fijaos primero en el campo eléctrico. Como Ex 0 y Ez 0, este campo solo

presenta componente en la dirección y. En los esquemas a y b podéis compro-

bar que, efectivamente, el campo eléctrico siempre apunta en esta dirección

(flechas continuas). En el esquema c el campo eléctrico es perpendicular al pla-

no del papel y va “hacia afuera” respecto al papel (por ello está expresado con

el símbolo •).

Figura 27

La amplitud del campo eléctrico es una función sinusoidal que se hace cero en

x 0 y en x a, y en z 0 y en z a tiene un máximo en el centro de la guía.

Por ello las líneas de campo están más separadas cerca de las paredes y más

juntas hacia el centro. Podéis comprobar que este comportamiento de Ex, Ey y

Ez está totalmente en concordancia con la condición de contorno que dice

que el campo eléctrico solo puede ser normal en las paredes.

Por lo que respecta al campo magnético, podéis observar que ahora sucede jus-

tamente a la inversa que en el campo eléctrico: no hay componente en la di-

rección y (By 0) pero sí en el resto (observad las líneas discontinuas en la

figura 27c). Este hecho no os debería sorprender si recordáis que el campo eléc-

trico y magnético siempre son perpendiculares entre ellos.

Hasta aquí os hemos explicado cómo son los modos que se “podrían” producir

en una cavidad resonante de manera general. Como en el caso de las guías de

onda, ahora deberíamos determinar qué ondas (es decir, qué frecuencias) “so-

brevivirán” al estado transitorio y se mantendrán en el estado estacionario.

Sin embargo, a diferencia de las guías de onda donde había un cierto intervalo

de frecuencias posibles, en una cavidad resonante solo habrá un único valor

posible.

Figura 27

Esquema del campo eléctrico y magnético en un modo TE10 de una guía de onda de sec-ción rectangular:

a. Sección transversal, plano xy, es decir , vista desde delan-te. El campo eléctrico se repre-senta con flechas verticales.

b. Sección lateral, plano yz. El campo eléctrico se representa con flechas verticales.

c. Longitudinal desde arriba, plano xz. Es decir, como cuan-do cortamos una barra de pan para hacer un bocadillo. El campo eléctrico se representa con puntos y el campo magné-tico con líneas discontinuas.

Recordad

El término transitorio se refiere a los fenómenos y comporta-mientos que se observan en el estado inicial y durante un tiempo finito, mientras que el término estacionario se refiere a los fenómenos que “sobrevi-ven” de manera indefinida.


La relación que asigna una frecuencia determinada a cada modo se puede de-

ducir a partir de la “obligación” de que las ecuaciones del campo eléctrico y

magnético en una cavidad resonante (166) satisfagan la ecuación de ondas co-

rrespondiente:

(168)

No detallaremos el proceso de resolución porque queda más allá de los objeti-

vos de la asignatura y daremos directamente la relación que buscamos:

m, n, p 0, 1, 2, 3, ... (169)

La relación (169) implica, como ya hemos dicho, que existe una única fre-

cuencia posible para cada modo de una cavidad resonante.

Ejemplo de frecuencia característica de un modo de vibración

Determinad la frecuencia característica del modo 101 para una cavidad resonante de di-mensiones a 2,0 cm, b 1,5 cm y c 3,0 cm en cuyo interior hay aire ( 0 y 0).

Solución

La frecuencia característica de un modo de una cavidad resonante con forma de parale-lepípedo está determinada por la ecuación (170). Para encontrar la frecuencia correspon-diente al modo 101 hemos de sustituir m 1, n 0 y p 1, es decir:

(171)

Recordad


22 2

20

uc u

t

22

2

10

EE

t

2 2 22

m n p

a b c

Recordad

2fLa frecuencia característica de un modo de vibración (fmnp) es la fre-

cuencia correspondiente a las ondas estacionarias correspondientes.

Para una cavidad resonante con forma de paralelepípedo regular de di-

mensiones a, b y c, el valor de esta frecuencia es:

m, n, p 0, 1, 2, 3, ... (170)

donde m, n y p son los índices correspondientes al modo de vibración y

y son la permeabilidad magnética y la permitividad eléctrica del me-

dio material del interior de la cavidad.

2 2 21

2

mnpm n p

fa b c

2 2 2

1010 0

1 0 1

2

a b cf

22 2

2 2 2

101 7 12

1 0 1

2 10 1,5 10 3 109 GHz

2 4π 10 8,85 10f


Las cavidades resonantes permiten el almacenamiento de energía en campos

eléctricos y magnéticos oscilantes de forma indefinida. Las pérdidas de ener-

gía que se puedan producir se deben a las sucesivas reflexiones en las paredes

de los conductores por el hecho de que estos no son del todo perfectos como

habíamos supuesto en el inicio, es decir, es muy grande pero no llega a

ser .


Es este apartado hemos tomado la guía rectangular del apartado anterior y la

hemos cerrado, transformándola en una caja. Lo que se conoce como caja re-

sonante o resonador. Como en el caso de las guías de onda, en la cavidad re-

sonante solo están permitidos algunos modos. En este caso, hay una única

frecuencia permitida por modo, que se denomina frecuencia característica.


7. Problemas resueltos

7.1. Enunciados

1) Una onda de radio presenta una longitud de onda 9 m cuando se propaga

por un medio no magnético con una permeabilidad eléctrica relativa r 9.

Calculad la frecuencia de esta onda. Podéis utilizar la aproximación c 3 · 108 m/s.

2) Se necesita enviar un mensaje a un submarino que se encuentra a una pro-

fundidad de 120 m. Para que el submarino pueda recibir de manera correcta

la señal, es necesario que la onda llegue a su destino con una intensidad que

sea como mínimo un 1% de la que tiene cuando se emite (en otras palabras,

la atenuación no puede superar el 99%). Determinad la frecuencia máxima

que puede tener la onda para que el mensaje pueda ser leído. La conductividad

del agua de mar es 4,8 1m1.

3) Una onda que se propaga por un medio con índice de refracción n1 incide

sobre una interfaz con otro medio con índice n2 con un ángulo de incidencia

63,43° y se observa que no se produce ninguna onda reflejada. Se decide re-

orientar la interfaz de tal modo que se consigue que la onda incida en ella de ma-

nera perpendicular, y entonces se observa que sí que existe una onda reflejada.

Determinad la intensidad de esta onda reflejada, expresada en términos relativos

respecto a la intensidad de la onda incidente. ¿Cómo ha de ser la polarización de

la onda incidente para que este ejemplo corresponda a un caso real?

4) Determinad las frecuencias de corte de los modos TE10, TE01 y TE11 para

una guía de onda de sección rectangular de dimensiones a 1,5 cm y b 3,0

cm, suponiendo que:

a) en el interior de la guía está el vacío,

b) en el interior de la guía hay un material no ferromagnético con n 1,50.

5) Determinad las frecuencias características de los modos 110, 101 y 111 para

una cavidad resonante con forma de paralelepípedo regular de dimensiones

a 20 cm, b 25 cm y c 30 cm, suponiendo que:

a) en el interior de la guía está el vacío,

b) en el interior de la guía hay un material no ferromagnético con n 1,50.

7.2. Soluciones

a1) La longitud de onda y la frecuencia f de una onda están relacionadas me-

diante la velocidad de propagación v. Lo vimos para una onda en general y

para una onda electromagnética en particular:

· f v (172)

Podéis ver la relación entre la longitud de onda y la frecuencia para una onda en general en el módulo “Ondas” y para una onda electromagnética en el módulo “Leyes de Maxwell”.


aYa hemos visto que la velocidad de propagación de una onda electromagnéti-

ca en un medio cualquiera (v) se expresa en relación con la velocidad en el va-

cío (c) mediante el concepto de índice de refracción (n):

(173)

Y, por otra parte, sabemos que el índice de refracción depende de la permeabi-

lidad magnética y la permitividad eléctrica relativas (r y r) del material (13):

(174)

Como se trata de un medio no magnético, la permeabilidad magnética se pue-

de aproximar a r 1 y, por tanto, obtenemos:

(175)

Así pues, ya solo nos queda combinar la expresión (175) con la (173), y la

(172):

(176)

Y como lo que queremos calcular es la frecuencia f:

(177)

Ya solo nos queda sustituir los valores del encunciado:

9 m

r 9

c 3 · 108 m/s (178)

Y obtenemos el resultado:

(179)

2) A diferencia del agua pura, que presenta una conductividad muy pequeña, el

agua de mar presenta una conductividad relativamente alta ( 4,8 1m1) a

causa de la elevada concentración de sales. Por tanto, se puede considerar, hasta

cierto punto, como un medio conductor. Eso quiere decir que las ondas electro-

magnéticas que se propagan por el océano experimentan una atenuación signifi-

cativa.

Podéis ver la expresión de la velocidad en un medio en relación con la velocidad en el vacío en el subapartado 1.2.1 de este módulo.

cv

n

r rn

rn

r

cf

r

cf

83 1011,1 MHz

9 9f


aRecordemos la expresión para la atenuación en función de la profundidad x

que ya hemos visto (18) :

(180)

donde es la denominada profundidad de penetración.

El enunciado nos dice que la señal emitida ha de ser capaz de llegar a una pro-

fundidad de x 120 m sin bajar del 1% de su valor inicial (es decir, sin que la

atenuación supere el 99%). Eso quiere decir que:

(181)

A partir de aquí podemos deducir el valor de la profundidad de penetración

() mínima necesaria para que la señal llegue correctamente, es decir, para que

su intensidad no baje por debajo de este umbral del 1%. Lo hacemos sacando

logaritmos a los dos lados de la ecuación:

(182)

(183)

aPor otra parte, hemos visto también la relación entre la profundidad de pene-

tración () y la frecuencia (f) (19) :

(184)

Si aislamos la frecuencia (f) tenemos:

(185)

Ya solo nos queda sustituir valores. La profundidad de penetración () es la

que hemos calculado en (183), la permeabilidad magnética es aproximada-

mente la del vacío, ya que el agua de mar es un medio no ferromagnético, y la

conductividad eléctrica () está indicada en el enunciado:

26,1 m

4 · 107 NA2

4,8 1m1 (186)

Podéis ver la atenuación en función de la profundidad en el subapartado 1.3.1 de este módulo.

0

x

I I e

0

xI

eI

1201

100e

1 120ln

100

120

26,1 m1ln 100

Podéis ver la relación entre la profundidad de penetración y la frecuencia en el subapartado 1.3.1 de este módulo.

1

f

2

1f


Por tanto, la frecuencia (f) máxima posible es:

(187)

3) Antes de resolver el problema hemos de leer detenidamente el enunciado

e identificar los datos relevantes:

a) Existe un ángulo ( 63,43°) para el que no hay onda reflejada. Este ángulo

debe ser obligatoriamente el ángulo de Brewster correspondiente a la inter-

faz, dado que es el único ángulo para el que se puede producir este fenómeno.

Por tanto, se debe satisfacer la ley de Brewster que ya hemos visto (113):

a(188)

Dado que tenemos dos incógnitas, no podemos encontrar los valores exactos

de n1 y n2, pero sí que podemos encontrar la relación entre ambos:

n2 n1 tan 63,43°

n2 2n1 (189)

b) La existencia de este ángulo de Brewster implica por fuerza que la onda in-

cidente está polarizada con el campo eléctrico paralelo al plano de inciden-

cia, ya que es el único caso en el que puede haber una reflectancia Rp 0.

ac) Cuando la onda incide sobre la interfaz de manera perpendicular, la expre-

sión de la reflectancia Rp, (144), se simplifica mediante:

i 0°

t 0° (190)

Y resulta:

(191)

Como antes, volvemos a tener dos incógnitas, pero podemos resolver la ecua-

ción si aplicamos la relación (189). Así reduciremos la ecuación a una sola in-

cógnita:

(192)

2 7

177,7Hz

26,1 π 4π 10 4,8f

Podéis ver la ley de Brewster en el subapartado 3.2.4 de este módulo.

2

1tan63,43

n

n

tan 63,43° 2

Podéis ver la reflectancia Rp = 0 en el subapartado 3.2.4 de este módulo.Podéis ver la reflectancia en caso de incidencia perpendicular en el subapartado 3.2.3 de este módulo.

Recordad

Los ángulos se miden respecto al plano de incidencia, que es perpendicular al plano de la in-terfaz. Por tanto, para inciden-cia perpendicular o normal, tenemos 0°.

21 2

1 2

n nR

n n

2 2 21 1 1

1 1 1

2 1

2 3 3

n n nR

n n n


La intensidad de la onda reflejada se encuentra a partir de la reflectancia que

acabamos de encontrar:

4) La frecuencia de corte de un modo TEmn en una guía de sección rectangular

de dimensiones a y b se puede calcular a partir de la expresión (158):

(193)

En esta guía de onda, a 1,5 cm y b 3,0 cm.

a) Para el caso del vacío, hemos de utilizar 0 y 0.

Modo TE10:

Modo TE01:

Modo TE11:

b) Para un medio no ferromagnético con índice de refracción n 1,50, pode-

mos utilizar:

· r n2 2,250 (194)

Modo TE10:

Modo TE01:

1

9r

i

IR

I

2 21

2t

m nf

a b

Recordad

0 8,854 · 1012 C2/Nm2

4 · 107 N/A22 2

0 0

1 1 09,97 GHz

0,015 0,0302tf

2 2

0 0

1 0 14,98 GHz

0,015 0,0302tf

Recordad

Para un medio no ferromagné-tico, podemos aproximar:

r n2

rn

2 2

0 0

1 1 111,14 GHz

0,015 0,0302tf

2 2

0 0

1 1 06,64 GHz

0,015 0,0302 2,25tf

2 2

0 0

1 0 13,32 GHz

0,015 0,0302tf


Modo TE11:

5) La frecuencia característica de un modo mnp en una cavidad resonante con

forma de paralelepípedo de dimensiones a, b y c se puede calcular a partir de

la expresión (170):

(195)

En esta cavidad resonante, a 20 cm, b 25 cm y c 30 cm.

a) Para el caso del vacío, hemos de utilizar y .

Modo 110:

Modo 101:

Modo 111:

b) Para un medio no ferromagnético con índice de refracción n 1,50, pode-

mos utilizar:

· r n2 2,250 (196)

Modo 110:

Modo 101:

2 2

0 0

1 1 17,43 GHz

0,015 0,0302tf

2 2 21

2

mnpm n p

fa b c

Recordad

0 8,854 ·1012 C2/Nm2

4 · 107 N/A22 2 2

1100 0

1 1 1 0960 MHz

0,20 0,25 0,302f

2 2 2

1100 0

1 1 0 1901 MHz

0,20 0,25 0,302f

2 2 2

1100 0

1 1 1 1 1.082 MHz

0,20 0,25 0,302f

Recordad

Para un medio no ferromagné-tico, podemos aproximar:

r n2

rn

2 2 2

1100 0

1 1 1 0 640 MHz

0,20 0,25 0,302 2,25f

2 2 2

1100 0

1 1 0 1601 MHz

0,20 0,25 0,302 2,25f


Modo 111:

2 2 2

1100 0

1 1 1 1 722 MHz

0,20 0,25 0,302 2,25f


Resumen

La velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas en un medio ma-

terial depende de la permitividad eléctrica y de la permeabilidad magnética

del material:

(197)

Para el caso del vacío (4 · 107 N/A2 y 0 8,854 · 1012 C2/Nm2), la ve-

locidad corresponde a la velocidad de la luz en el vacío (c 2,998 · 108 m/s).

Esta velocidad se puede representar de manera relativa mediante el concepto

de índice de refracción (n) de un medio, que es el cociente entre la velocidad

de una onda en el vacío y la velocidad de la misma onda en el medio en cues-

tión. El valor del índice de refracción está relacionado con la permeabilidad y

la permitividad relativas del medio:

(198)

Cuando la onda se propaga por un medio conductor, su intensidad se reduce

de manera gradual a causa del fenómeno de la atenuación. La profundidad

de penetración () mide la distancia que una onda es capaz de penetrar den-

tro de un medio conductor antes de atenuarse un cierto factor. Esta distancia

depende de la frecuencia de la onda y de la conductividad del medio:

(199)

El estado de polarización de una onda electromagnética indica cómo “están

puestos” los campos eléctrico y magnético. Los dos tipos de polarización que

hemos estudiado son:

• Polarización lineal: el campo eléctrico siempre oscila en una misma direc-

ción.

• Polarización circular: la proyección del vector del campo eléctrico respec-

to a un plano perpendicular a la dirección de propagación dibuja una cir-

cunferencia.

Cuando una onda incide en una interfaz entre dos medios materiales, parte de

la energía se propagará mediante una onda reflejada y la otra mediante una

1 v

r rc

nv

1

f


onda transmitida. La geometría que involucra las direcciones de propagación

de estas tres ondas (incidente, reflejada y transmitida) viene regida por las mis-

mas leyes de la óptica geométrica que se aplican a la luz. En cambio, la relación

entre las intensidades depende de su estado de polarización. Podemos estudiar

esta relación para dos casos específicos, ya que, a causa de las propiedades de

los vectores, cualquier estado de polarización genérico se puede representar

como una combinación lineal de estos dos estados.

Para una onda polarizada de forma paralela al plano de incidencia, existe un

cierto ángulo, denominado ángulo de Brewster, para el que la reflectancia se

hace 0 y eso quiere decir que toda la onda se transmite hacia el segundo me-

dio. Para una onda con polarización perpendicular al plano de incidencia, no

existe este ángulo.

Por otra parte, si el índice de refracción del primer medio es más grande que

el del segundo (n1 n2), existirá también un ángulo límite a partir del cual hay

reflexión total y la onda no se puede propagar hacia el segundo medio. Este

ángulo se denomina ángulo crítico o ángulo de reflexión total.

Cuando una onda incide sobre una configuración basada en una capa muy

fina de un material dieléctrico, se descompone en un número indefinido de

haces paralelos con desfases diferentes, cada uno de ellos debido a un número

diferente de reflexiones internas.

Una guía de onda es un dispositivo de geometría variable en el que un mate-

rial dieléctrico está envuelto por un material conductor en todas sus direccio-

nes excepto una, que corresponde a la dirección de propagación. Bajo esta

configuración, solo ciertas ondas electromagnéticas se pueden propagar, los

denominados modos de propagación. Las características de estos modos es-

tán determindas por la geometría y las dimensiones de la guía de onda. La más

importante es la frecuencia de corte, que es la frecuencia mínima por debajo

de la cual una onda no se puede propagar por la guía de onda.

(200)

Polarización perpendicular al plano de incidencia

Polarización paralela al plano de incidencia

Reflectancia

R r2

Transmitancia

21 2

1 2

cos cos

cos cosi t

i ts

n nR

n n

21 2

2 1

cos cos

cos cost i

i tp

n nR

n n

22

1

cos

cost

i

nT t

n

22 1

1 1 2

cos 2 cos

cos cos cost i

is

i t

n nT

n n n

22 1

1 2 1

cos 2 cos

cos cos cost i

ip

i t

n nT

n n n

2 21

2t

m nf

a b


Una cavidad resonante es un volumen de un material dieléctrico envuelto

por un conductor en todas direcciones. En su interior se producen una serie

de ondas estacionarias cuyas características están determinadas por los deno-

minados modos de vibración, que dependen de la geometría y las dimensio-

nes de la cavidad. Cada modo de vibración presenta una única frecuencia

posible, la llamada frecuencia característica del modo:

(201)2 2 2

1

2mnp

m n pf

a b c


Ejercicios de autoevaluación

1. La velocidad de propagación de una onda electromagnética es....a) siempre igual a c 2,998 · 108 m/s.b) más alta cuanto más grandes son la permitividad y la permeabilidad del medio.c) más baja cuanto más grandes son la permitividad y la permeabilidad del medio.d) siempre la misma sea cual sea el medio por donde se propague.

2. La profundidad de penetración de una onda en un material conductor es...a) más grande cuanto más alta es la frecuencia de la onda.b) más grande cuanto más baja es la frecuencia de la onda.c) independiente de la frecuencia de la onda pero dependiente de la conductividad del ma-terial.d) independiente de la frecuencia de la onda y de la conductividad del material.

3. En una onda electromagnética con polarización lineal...a) los campos eléctrico ( ) y magnético ( ) no son perpendiculares entre sí.b) tanto como oscilan siempre en una misma dirección respectiva y son perpendicula-res entre sí. c) oscila siempre en una misma dirección pero no.d) oscila siempre en una misma dirección pero no.

4. En una interfaz entre dos medios cualesquiera...a) los campos eléctrico ( ) y magnético ( ) son idénticos en los dos lados.b) las componentes tangenciales de y son idénticas en los dos lados.c) las componentes tangenciales de y las componentes normales de son idénticas enlos dos lados.d) las componentes normales de y las componentes tangenciales de son idénticas enlos dos lados.

5. En una interfaz entre dos medios no conductores...a) la reflectancia y la transmitancia siempre han de sumar 1 sea cual sea la dirección de po-larización de la onda incidente.b) la reflectancia y la transmitancia han de sumar 1 solo para las ondas con polarización pa-ralela al plano de incidencia.c) la reflectancia y la transmitancia han de sumar 1 solo para las ondas con polarización per-pendicular al plano de incidencia.d) la reflectancia no puede llegar a hacerse cero nunca.

6. En una interfaz entre el aire (n 1) y un vidrio (n 1,5)...a) existe un ángulo de Brewster y un ángulo crítico en ambos sentidos.b) solo existe ángulo de Brewster en un sentido pero ángulo crítico en ambos sentidos.c) hay ángulo de Brewster en ambos sentidos pero solo hay ángulo crítico cuando la ondaincide desde el lado del aire.d) hay ángulo de Brewster en ambos sentidos pero solo hay ángulo crítico cuando la ondaincide desde el lado del agua.

7. En una guía de onda rectangular, el campo eléctrico de una onda que se propaga en elmodo TE01 presenta componentes...a) Ex y Ey.b) solo Ex.c) solo Ey.d) No se puede propagar ninguna onda en este modo porque el primer subíndice es un 0.

8. En una guía de onda rectangular, el campo eléctrico de una onda que se propaga en elmodo TM01 presenta componentes...a) Ex y Ey.b) solo Ex.c) solo Ey.d) No se puede propagar ninguna onda en este modo porque el primer subíndice es un 0.

9. En una guía de onda rectangular de dimensiones a 1 cm y b 2 cm en cuyo interior estáel vacío, la frecuencia mínima por debajo de la cual una onda no se puede propagar es...a) 748 kHz.b) 7,48 GHz.c) 14,95 GHz.d) 1495 kHz.

E

B

E

B

E

B

B

E

E

B

E

B

E

B

E

B


10. De las magnitudes siguientes, ¿cuál corresponde a la frecuencia característica del modode vibración 110 de una cavidad resonante de dimensiones a 1 cm, b 2 cm y c 3 cm?Suponed que el medio del interior es el vacío.a) 1,03 MHz.b) 10,3 GHz.c) 1,67 MHz.d) 16,7 GHz.


Solucionario

1. c; 2. b; 3. b; 4. c; 5. a; 6. d; 7. b; 8. d; 9. b; 10. d

Glosario

amplitud f Separación máxima que toma una magnitud oscilatoria respecto a la posición

de equilibrio.

ángulo de Brewster m Ángulo para el que una onda electromagnética con polarización

paralela al plano de incidencia no se refleja y se transmite completamente. Eso es equivalente

a decir que la onda reflejada está por fuerza polarizada perpendicularmente al plano de inci-

dencia. Su valor depende de los índices de refracción de los dos medios.

ángulo crítico m Ángulo a partir del cual una onda electromagnética que incide sobre una

interfaz de separación entre dos medio se refleja completamente y, por tanto, no existe onda

transmitida. Su valor depende de los índices de refracción de los dos medios.

sin. ángulo de reflexión total

ángulo de reflexión total m

sin. ángulo crítico

campo eléctrico m Entidad matemática que se utiliza para concentrar, con una sola expre-

sión, toda la información eléctrica en un punto del espacio.

campo magnético m Entidad matemática que se utiliza para concentrar, con una sola ex-

presión, toda la información magnética en un punto del espacio.

capa fina f Dispositivo basado en una configuración formada por un material dieléctrico

de un grueso relativamente fino sobre el cual se hace incidir ondas electromagnéticas para

que se produzcan interferencias en él.

cavidad resonante f Dispositivo basado en una configuración en la que un medio dieléc-

trico está limitado por un material conductor en todas direcciones. En una cavidad resonante

se producen ondas estacionarias con unas frecuencias determinadas.

coeficientes de Fresnel m pl Relaciones entre las amplitudes de las ondas incidente y re-

flejada, e incidente y transmitida para una interfaz entre dos medios. Los valores de los co-

eficientes varían en función de los índices de refracción de los dos medios implicados, y

también en función de la polarización de la onda incidente.

conductor m Material en el que, a causa de su estructura microscópica, puede haber cargas

libres que se verán afectadas por la presencia de un campo eléctrico y, por tanto, permitirán

al material conducir corriente eléctrica.

constante de onda f Ritmo de variación del desfase respecto al espacio, igual a 2 dividido

por la longitud de onda.

dieléctrico m Material en el que, a causa de su estructura microscópica, las cargas que hay

están unidas y no se pueden mover libremente.

fase f Estado de una onda en un instante y posición determinados.

frecuencia f Número de ciclos u oscilaciones que realiza una magnitud oscilatoria y perió-

dica por unidad de tiempo.

frecuencia angular f Ritmo de variación de la fase en función del tiempo. Es igual a la fre-

cuencia multiplicada por 2.

frecuencia de corte f Frecuencia mínima por debajo de la cual una onda no puede propa-

garse por una guía de onda según un cierto modo.

guía de onda f Dispositivo basado en una configuración en la que un medio dieléctrico está

limitado por un material conductor en todas direcciones excepto una. Una guía de onda per-

mite la propagación de ciertas ondas de una manera eficiente.

incidencia normal f Situación en la que una onda electromagnética incide sobre una in-

terfaz de cambio de medio de manera perpendicular a esta.


intensidad f Potencia de una onda por unidad de superficie. Es proporcional al cuadradode la amplitud de la onda.

líneas de campo f pl Líneas imaginarias que sirven para dibujar el campo y para dar unaidea de cuál sería la dirección y la intensidad del campo electrostático en un determinadopunto del espacio.

longitud de onda f Distancia mínima entre dos puntos de una onda que tienen el mismoestado de oscilación.

modo m Onda electromagnética con una configuración determinada que se puede propagarpor una guía de onda o puede establecerse de forma estacionaria en una cavidad resonante.

onda f Perturbación que se propaga por el espacio y el tiempo, con transporte de energíapero sin transporte neto de materia.

onda electromagnética f Onda que propaga energía electromagnética.

onda armónica f Onda cuya magnitud se puede expresar matemáticamente por una fun-ción sinusoidal.

permeabilidad magnética f Propiedad de los medios materiales que da cuenta de sus pro-piedades magnéticas. En el valor de la permeabilidad se concentran todos los efectos micros-cópicos relacionados con el campo magnético.

permitividad eléctrica f Propiedad de los medios materiales que da cuenta de sus propie-dades eléctricas. En el valor de la permitividad se concentran todos los efectos microscópicosrelacionados con el campo eléctrico.

polarización f Condición de una onda transversal para la cual su magnitud característicaestá establecida con una orientación determinada respecto a la dirección de propagación.

polarización circular f Polarización en la que la dirección de oscilación del campo eléc-trico (o magnético) de una onda transversal varía periódicamente de manera que su proyec-ción sobre un plano perpendicular a la dirección de propagación dibuja un círculo. Esto esequivalente a decir que las componentes en las direcciones x e y están desfasadas un ángulo/2.

polarización lineal f Polarización en la que el campo eléctrico (o magnético) de una ondatransversal siempre oscila en una misma dirección. Esto es equivalente a decir que las com-ponentes en las direcciones x e y están en fase.

reflectancia f Relación entre las intensidades de la onda incidente y la onda reflejada parauna interfaz entre dos medios. Su valor varía en función de los índices de refracción de losdos medio implicados y también en función de la polarización de la onda incidente.

transmitancia f Relación entre las intensidades de la onda incidente y de la onda transmi-tida para una interfaz entre dos medios. Su valor varía en función de los índices de refracciónde los dos medios implicados y también en función de la polarización de la onda incidente.

Bibliografía

Dios, F.; Artigas, D.; Recolons, J.; Comerón, J.; Canal, F. (1998). Campos electromagné-ticos. Barcelona: Edicions UPC.

Lorrain, P.; Corson, D. (1972). Campos y ondas electromagnéticos. Madrid: SeleccionesCientíficas.

Reitz, J.; Milford, F.; Christy, R. (1960). Fundamentos de la teoría electromagnética. PearsonAddison-Wesley.

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