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Propagación de las Ondas Ultrasónicas (Cont…)
Carlos Correia
Propagación
Estudio del Campo de Radiación
Propagación
La emisión de una perturbación acústica y su propagación en el medio circundante se conoce como campo de radiación.
La variable de mayor interés es la Presión Acústica, tanto es su modulo como en su fase.
Propagación
Utilizando el principio de que conservación de la masa, podemos llegar a la siguiente conclusión importante para una onda esférica
pct
p 222
2
2
22
2
2 )()(
r
rpc
t
rp
Coord. cartesianas
Coord. Esféricas
Propagación
Existen muchas funciones que cumplen con la relación expresada en la ecuación diferencial:
2
22
2
2 )()(
r
rpc
t
rp
Propagación
La solución general de la ecuación diferencial, tiene la forma:
2
2
2
2 )()(
r
rp
t
rp
)()( 21 rctfrctfrp
Propagación
La función f1, es la solución llamada divergente, se utiliza para estudiar las ondas que se alejan de del agente emisor. La función f2, es la solución convergente y se utiliza para estudiar las ondas que convergen en un punto.
)()( 21 rctfrctfrp
Nos interesa estudiar la situación divergente.
Propagación
Vemos que la presión acústica puede expresarse como:
r
rctfp
)(1
En general utilizamos una función exponencial compleja:
)( krtjer
Ap
Propagación
La emisor más simple por su simetría es una fuente puntual :
En general utilizamos una función exponencial compleja:
)( krtjer
Ap
Propagación
Utilizando la definición de impedancia y velocidad e la vibración de la esfera, tenemos que para una fuente puntual, la presión acústica está dada por :
)(2
krtjoo er
Ucajp
Propagación
Veamos el caso de un radiador tipo pistón:
Radiación
La radiación ultrasónica emitida por un transductor piezoeléctrico, puede ser modelada como un pistón que mediante su oscilación, irradia energía hacia el medio circundante.
Radiación Se desea calcular la presión acústica en un punto arbitrario
del medio que es irradiado:
Radiación Una representación en 3D:
z
x
Radiación Si asumimos que cada diferencial de área, se comporta
como una fuente puntual de ultrasonido, podemos encontrar la presión acústica en el punto Po, sumando las contribuciones de cada elemento
Radiación Si asumimos además que la velocidad de
cada punto en la superficie del transductor es igual y es constante, se tiene que:
Radiación
Además por geometría se tiene que:
Radiación Sin embargo, la expresión resultante, no es de
fácil integración. Hay que hacer aproximaciones, supongamos que estamos en el campo lejano (Fraunhofer):
Por
ar
a
Radiación Estando en el campo lejano se pueden hacer algunas
aproximaciones que permiten resolver la integral:
Y la presión acústica queda dada por:
Radiación
La solución tiene un factor de directividad:
sin
)sin(2 1
ka
kaJDF
Radiación
Notemos que la función DF es del tipo:
sin
)sin(2 1
ka
kaJDF
x
xJDF
)(2 1
Radiación
Si graficamos la Función
sin
)sin(2 1
ka
kaJDF
x
xJDF
)(2 1
Radiación
Vemos que hay varios CEROS…
sin
)sin(2 1
ka
kaJDF
x
xJDF
)(2 1
Radiación
Esto Implica que existen lóbulos laterales…
Radiación
Los lóbulos laterales en general son indeseables y hay que minimizarlos. Como hacerlo?
El numero de lóbulos laterales depende del valor ka, En general cuando:
• Ka>>1 hay muchos lóbulos laterales• Ka <<1 hay un solo lóbulo lateral.
Radiación
El valor de Ka está dado por:
aaka 2
2
En el fondo se está evaluando la relación entre el díametro del transductor y la longitud de onda:
Radiación
También se puede optimizar el sistema para que habiendo muchos lóbulos laterales, éstos posean muy baja energía, y la energía esté concentrada en el LOBULO PRINCIPAL
Radiación
Una conclusión importante que se deriva del estudio de la radiación acústica es la divergencia del haz ultrasónico o el ángulo que ocupa el lóbulo principal. Este está dado por:
d
22.1sin
d
Radiación
Campo de Radiación en el eje Z
Radiación La solución de la expresión de presión acústica, para zonas cercanas al transductor solo se puede
resolver analíticamente para puntos en el eje z
r’
rs z
Radiación La parte real de la solución y utilizando el
concepto e Intensidad acústica se obtiene:
Dada la oscilacíón de la función seno, la Intensidad tiene varios máximos y mínimos. El ultimo máximo esta dado por:
rark
cUI oo222
2sin2
22
22
rark
Radiación Si graficamos la Intensidad acústica en función
de la distancia desde el transductor:
2rNo
r
Radiación El limite que separa los comportamientos
acústicos es No: conocido como campo cercano
2rNo
Radiación
Campo Cercano (Fresnel)
Campo Lejano (Fraunhofer)
Radiación
Campo Cercano (Fresnel)
Campo Lejano (Fraunhofer)
Radiación
El estudio del campo de radiación produjo dos resultados importantes, la divergencia del haz y el campo cercano.
Radiación
Ejercicio 1. Dados los siguientes transductores, calcule el campo cercano y la divergencia del haz en acero al carbono y en agua:
• d=3 mm, f=15 MHz• d= 3mm, f=2,25 MHz• D=9 mm, f=10MHz• D=9 mm, f=2,25 MHz
Radiación
Proyecto 2. Grafique la presión acústica en el eje Z (al menos 100 puntos), para un transductor de diámetro 6 mm, frecuencia 5 MHz, inmerso en agua.