2 propagaciÓn guiada de ondas electromagnÉticas

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2 PROPAGACIÓN GUIADA DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

2.1 Concepto de guía de ondas

Utilización selectiva de materiales impenetrables para la radiación para definir una zona acotada del espacio donde se produce la propagación de las ondas.

En el caso de radiación EM los materiales “impenetrables” son los buenos conductores.

E

H

E

H

Superficie de confinamiento

2

2.2 Ecuación de propagación EM en guías de ondas

Elegimos un sistema de coordenadas donde z es la dirección de propagación y (x,y) es el plano de confinamiento.

yx

z 𝐸 = 𝐸 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡

𝐻 = 𝐻 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡

Hipótesis: una componente cualquiera de los campos (Ex, Ey, Ez, Hx, Hy, Hz) se puede expresar de manera genérica como:

𝐸 = 𝐸! )𝑥 + 𝐸" )𝑦 + 𝐸#�̂� 𝐻 = 𝐻! )𝑥 + 𝐻" )𝑦 + 𝐻#�̂�

𝜓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝜓$ 𝑥, 𝑦 𝑒%('()*!#)

3


Cualquier componente de los campos debe verificar la ecuación de ondas, por lo tanto en ausencia de fuentes de campo:

∆𝜓 − ,-"

."/

.(" = 0 𝑣 = ,01

Substituyendo la solución que corresponde a una onda propagándose en z:

."/#.!"

+ ."/#.""

− 𝑘23𝜓$ +'"

-"𝜓$ = 0

."/#.!" +

."/#."" + 𝑘4

3𝜓$ = 0

𝑘$3 ='"

-"

𝑘43 = 𝑘$3 − 𝑘23

Relación Pitagórica

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Interpretación geométrica de la propagación guiada de ondas EM:

ko

kc

kg

La radiación EM se propaga a través de la Guía mediante reflexiones múltiples en las superficies de confinamiento.

¿Con qué restricciones?.

¿Todos los ángulos de incidencia son posibles?

¿cómo afecta la frecuencia de la onda EM en la propagación?

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2.3 Campos EM en una guía de ondas

Concepto de campos reducidos:

𝐸 = 𝜉 𝑥, 𝑦 𝑒%('()*!#) 𝐻 = ℋ 𝑥, 𝑦 𝑒%('()*!#)

𝜉(𝑥, 𝑦) = 𝜉! 𝑥, 𝑦 )𝑥 + 𝜉" 𝑥, 𝑦 )𝑦 + 𝜉# 𝑥, 𝑦 �̂�

ℋ(𝑥, 𝑦) = ℋ! 𝑥, 𝑦 )𝑥 +ℋ" 𝑥, 𝑦 )𝑦 +ℋ# 𝑥, 𝑦 �̂�

Los campos reducidos contienen la información sobre el confinamiento en la Guía de ondas.

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Además de la ecuación de ondas los campos también han de verificar las ecuaciones de Maxwell.

En ausencia de fuentes externas de campo y suponiendo un medio lineal, isótropo, homogéneo e invariante con el tiempo: .

∇ · 𝐷 = 𝜌 ∇ · 𝐸 = 0 .5$.!

+ .5%."

+ .5&.#

= 0

.6$.! +

.6%." − 𝑗𝑘2𝜉# = 0

∇ · 𝐵 = 0 ∇ · 𝐻 = 0 .ℋ$.!

+ .ℋ%

."+ .ℋ&

.#= 0

.ℋ$.! + .ℋ%

." − 𝑗𝑘2ℋ# = 0

(1)

(2)


7

∇×𝐸 = −𝜕𝐵𝜕𝑡 ∇×𝐸 = −𝜇

𝜕𝐻𝜕𝑡

.5&." − .5%

.# = −𝜇 .8$.(.5$.# − .5&

.! = −𝜇 .8%.(.5%.! − .5$

." = −𝜇 .8&.(

𝜕𝜉#𝜕𝑦

− 𝑗𝑘2𝜉" = −𝑗𝜔𝜇ℋ! (3)

−𝑗𝑘2𝜉! −𝜕𝜉#𝜕𝑥

= −𝑗𝜔𝜇ℋ" (4)

𝜕𝜉"𝜕𝑥 −

𝜕𝜉!𝜕𝑦 = −𝑗𝜔𝜇ℋ# (5)


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∇×𝐻 =𝜕𝐷𝜕𝑡 ∇×𝐻 = 𝜀

𝜕𝐸𝜕𝑡

.8&." − .8%

.# = 𝜀 .5$.(.8$.# − .8&

.! = 𝜀 .5%.(.8%.! − .8$

." = 𝜀 .5&.(

𝜕ℋ#𝜕𝑦

− 𝑗𝑘2ℋ" = 𝑗𝜔𝜀𝜉! (6)

−𝑗𝑘2ℋ! −𝜕ℋ#𝜕𝑥

= 𝑗𝜔𝜀𝜉" (7)

𝜕ℋ"𝜕𝑥 −

𝜕ℋ!𝜕𝑦 = 𝑗𝜔𝜀𝜉# (8)


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𝜉! = − %*'"

𝑘2.6&.! + 𝜇𝜔

.ℋ&."


Si agrupamos términos en estas 8 ecuaciones podemos expresar las componentes de los campos reducidos en el plano (x, y) en función de las componentes en la dirección (z).

𝜉" = − %*'"

𝑘2.6&." − 𝜇𝜔

.ℋ&.!

ℋ! = − %*'"

−𝜀𝜔 .6&." + 𝑘2

.ℋ&.!

ℋ" = − %*'"

𝜀𝜔 .6&.! + 𝑘2

.ℋ&."

Dos familias de soluciones

Modos de propagación TE(transversal eléctrico)

𝜉! = 0

Modos de propagación TM(transversal magnético)

ℋ! = 0

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Estas cuatro ecuaciones conjuntamente con la ecuación de ondas nos permiten determinar los campos en una guía de ondas si conocemos su geometría (condiciones de contorno).

La solución general de los campos en una guía de ondas será una combinación lineal de modos pertenecientes a las familias TE y TM.

¿Es posible que ambas componentes de los campos en la dirección z sean cero simultáneamente?. Según las ecuaciones anteriores no (todos los campos serían nulos). ¿Pero que pasa si Kc =0?

Modos de propagación TEM(transversal electromagnético) ¿Son posibles?

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2.4 Guía de ondas rectangular

x

y

a

b

Para obtener los campos utilizaremos coordenadas cartesianas. Para una cualquiera de las componentes reducidas de los campos consideraremos separación de variables para obtener la solución:

𝜓$ 𝑥, 𝑦 = 𝑋 𝑥 · 𝑌(𝑦)

."/#.!" +

."/#."" + 𝑘4

3𝜓$ = 0

,9:"9:!" +

,;:";:"" = −𝑘43

constante constante

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Para obtener los campos utilizaremos coordenadas cartesianas. Para una cualquiera de las componentes reducidas de los campos consideraremos separación de variables para obtener la solución:

,9:"9:!" = −𝑘,3 ; ,

;:";:"" = −𝑘33 ; 𝑘43 = 𝑘,3 + 𝑘33

:"9:!" + 𝑘,

3𝑋 = 0 𝑋(𝑥) = 𝐴𝑒%*(! + 𝐵𝑒)%*(!

Solución ecuación diferencial

:";:"" + 𝑘3

3𝑌 = 0 Y(𝑦) = 𝐶𝑒%*"" + 𝐷𝑒)%*""

𝜓$(𝑥, 𝑦) = 𝐴𝑒%*(! + 𝐵𝑒)%*(! 𝐶𝑒%*"" + 𝐷𝑒)%*""

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ℋ! = 𝐴𝑒"#!$ + 𝐵𝑒%"#!$ 𝐶𝑒"#"& + 𝐷𝑒%"#"&

Modos de propagación TE

𝜉$ = − "'(##"

)ℋ$)&

𝜉! = 0

𝜉$ =#"##"𝜇𝜔 𝐴𝑒"#!$ + 𝐵𝑒%"#!$ 𝐶𝑒"#"& − 𝐷𝑒%"#"&

𝜉& ="'(##"

)ℋ$)$

𝜉& = − #!##"𝜇𝜔 𝐴𝑒"#!$ − 𝐵𝑒%"#!$ 𝐶𝑒"#"& + 𝐷𝑒%"#"&

ℋ$ = − "#%##"

)ℋ$)$

ℋ$ =#%#!##"

𝐴𝑒"#!$ − 𝐵𝑒%"#!$ 𝐶𝑒"#"& + 𝐷𝑒%"#"&

ℋ& = −"#%##"

)ℋ$)& ℋ& =

#%#"##"

𝐴𝑒"#!$ + 𝐵𝑒%"#!$ 𝐶𝑒"#"& − 𝐷𝑒%"#"&

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Condiciones de contorno

x

y

(0,0)

(0,b)

(a,0)

(a,b)

𝜉$(𝑥, 0)

𝜉! 𝑥, 0 = 0 ⁄∀𝑥 0 < 𝑥 < 𝑎

𝐶𝑒%*"" − 𝐷𝑒)%*"" = 0 𝑠𝑖 𝑦 = 0

𝐶 = 𝐷

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x

y

(0,0)

(0,b)

(a,0)

(a,b)

𝜉$(𝑥, 𝑏)

𝜉! 𝑥, 𝑏 = 0 ⁄∀𝑥 0 < 𝑥 < 𝑎

𝐶𝑒%*"" − 𝐷𝑒)%*"" = 0 𝑠𝑖 𝑦 = 𝑏

𝐶𝑒%*"< = 𝐷𝑒)%*"<

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2.4 Guia de ondas rectangular


x

y

(0,0)

(0,b)

(a,0)

(a,b)

𝜉&(0, 𝑦)

𝜉" 0, 𝑦 = 0 ⁄∀𝑦 0 < 𝑦 < 𝑏

𝐴𝑒%*(! − 𝐵𝑒)%*(! = 0 𝑠𝑖 𝑥 = 0

𝐴 = 𝐵

x

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y

(0,0)

(0,b)

(a,0)

(a,b)𝜉&(𝑎, 𝑦)

𝜉" 𝑎, 𝑦 = 0 ⁄∀𝑦 0 < 𝑦 < 𝑏

𝐴𝑒%*(! − 𝐵𝑒)%*(! = 0 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑎

𝐴𝑒%*(= = 𝐵𝑒)%*(=

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𝐴𝑒%*(= = 𝐵𝑒)%*(=

𝐴 = 𝐵𝑒%3*(= = 1 𝑘,𝑎 = 𝑚𝜋, 𝑚 𝜖 ℕ

𝐶𝑒%*"< = 𝐷𝑒)%*"<

𝐶 = 𝐷𝑒%3*"< = 1 𝑘3𝑏 = 𝑛𝜋, 𝑛 𝜖 ℕ

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Dada una geometría de la guía rectangular (a,b). Los valores de k1 y k2 que verifican las condiciones de contorno no forman un continuo sino que son valores discretos y numerables (m,n).

𝑘, = 𝜋>= , 𝑘3= 𝜋 ?

< , (𝑚, 𝑛) 𝜖 (ℕ, ℕ)

Los índices m y n no pueden ser simultáneamente cero, ya qué en tal caso los campos serian nulos. Combinando ambos tenemos:

𝑘43 = 𝜋3 >=

3+ ?

<

3, (𝑚, 𝑛) 𝜖 (ℕ, ℕ)

Por convenio siempre se toma a>b, con lo que el valor más pequeño de kccorresponde a m=1 y n=0.

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Para el vector de propagación en la guía, kg, obtenemos:

𝑘23 = 𝑘$3 − 𝜋3>=

3+ ?

<

3𝑘23 = 𝑘$3 − 𝑘43

𝑘$3 =𝜔3

𝑣3=

2𝜋𝜆

3 Vector de onda de propagación en el espacio libre

Sólo puede haber propagación en la guía de ondas si kg2 > 0 (en caso

contrario tendremos una onda evanescente).

𝑘$3 − 𝑘43 > 0Esta condición sólo se verificará para algunos valores de m y n

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Supongamos que damos valores a m y n y obtenemos los vectores, kc1, kc2,kc3, etc.

ko

kc1

kgko

kc2

kgko

kc3

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Cada vector kc identifica un modo de propagación. Los modos se indexan con los subíndices m y n correspondientes.

Modos de propagación transversal eléctrico TEm,n

Modos de propagación transversal magnético TMm,n

Dada una geometría de guía de ondas y un valor de ko, si existen varios valores de kc que pueden ser proyección de ko, se dice que para esta radiación la guía es multimodo. Si sólo existe un valor de kc,min que puede ser proyección de ko se dice que para esta radiación la guía es monomodo. Al modo de propagación asociado se le denomina modo fundamental.

Se define el umbral de propagación como aquella situación en que:

𝑘$ = 𝑘4,>A? 𝑓4 =𝑣2𝜋

𝑘4,>A? 𝜆4 =3B

*',*+,

Si f > fc la radiación se puede propagar por la guía. Si 𝜆 > 𝜆c la onda no cabe en la guía.

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En el caso de la guía de ondas rectangular el modo fundamental es el TE10

𝑘4(,- =B=

𝑓4 =-3=

𝜆4 = 2𝑎

Designation a (cm) b (cm) fc (GHz) Recommended frequency Range (TE10)

WR770 19.550 9.779 0.767 0.96 → 1.46

WR510 12.954 6.477 1.158 1.45 → 2.20

WR340 8.636 4.318 1.737 2.17 → 3.30

WR229 5.817 2.908 2.579 3.22 → 4.90

WR159 4.093 2.019 3.714 4.64 → 7.05

WR90 2.286 1.016 6.562 8.20 → 12.50

WR75 1.905 0.953 7.874 9.84 → 15.00

WR51 1.295 0.648 11.583 14.5 → 22.00

WR34 0.864 0.432 17.361 21.70 → 33.00

WR22 0.569 0.284 26.362 32.90 → 50.10

Characteristics of some standard Rectangular Waveguides

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Campos para el modo fundamental de una guía rectangular TE10

ℋ! = ℋ+𝑐𝑜𝑠 𝜋 $,𝜉! = 0

𝜉$ = 0

𝜉& = −𝑗 ,-𝜇𝜔ℋ+𝑠𝑖𝑛 𝜋 $

,

ℋ$ = 𝑗 ,-𝑘.𝜇𝜔ℋ+𝑠𝑖𝑛 𝜋 $

,

ℋ& = 0

𝐸 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝜉" 𝑥 )𝑦 𝑒%('()*!#)

𝐻 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = ℋ! 𝑥 )𝑥 +ℋ# 𝑥 �̂� 𝑒%('()*!#)

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2.4 Guía de ondas rectangularCampos para el modo fundamental de una guía rectangular TE10

𝐸 𝑥, 𝑦, 𝑧y

x

z

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Velocidad de propagación de las ondas en la guía:

𝑣 =𝜔𝑘$

Velocidad de la onda de en el espacio libre

𝑣2 =𝜔𝑘2

Velocidad de la onda de en la guía ?

𝑣2(,- =𝜔𝑘2(,-

=𝑣

1 − 𝜋𝑣𝑎𝜔

3 𝑣2(,- ≥ 𝑣 ?

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Velocidad de fase y velocidad de grupo:

𝑣′ =𝑑𝜔𝑑𝑘2

Velocidad de fase. NO es la velocidad de transmisión de la información

𝑣2 =𝜔𝑘2

Velocidad de grupo. SI es la velocidad de transmisión de la información

𝑣C =𝑑𝜔𝑑𝑘2

= 𝑣𝑘2𝑘$

= 𝑣 𝑐𝑜𝑠 𝛼

ko

kc

kg

𝛼

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Potencia transmitida en una guía de ondas:

𝑃(E =12𝑟𝑒𝑎𝑙 a

F𝐸G×𝐻G

∗𝑑𝑠

x

y

b

a

𝐸G

𝐻G∗𝑑𝑠

Para el modo fundamental, TE10

𝑃(E =𝑎I𝑏4𝜋3

𝜇𝜔𝑘2ℋ$3

2 propagaciÓn guiada de ondas electromagnÉticas

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