TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

CAPÍTULO 3

PROPAGACIÓN DE ONDAS PLANAS UNIFORMES

 

3.1 La Ecuación de Onda.

En este capítulo empezamos el estudio de las aplicaciones e implicaciones de las ecuaciones de Maxwell para campos electomagnéticos variantes en el tiempo. Nuestro interés se centrará en varios métodos de propagación de energía. Uno de los aspectos más controvertidos de las ecuaciones de Maxwell, cuando se publicaron en 1864, fue que predijeron la propagación de la energía en la forma de ondas. Heinrich Hertz verificó, experimentalmente, la existencia de estas ondas en 1887.

Primero vamos a obtener la ecuación de onda que gobierna la propagación de todas las ondas electromagnéticas. Consideremos un medio lineal, isotrópico y homogéneo. Vamos a suponer que la carga neta libre en la región es cero (v = 0) y que cualquier corriente en la región es corriente de conducción (J = E). Este tipo de regiones son generalizadas e incluyen los casos prácticos del espacio libre ( = 0) así como la mayoría de los conductores y dieléctricos. Las ecuaciones de Maxwell en su forma puntual se vuelven, para esta región:

     Ecuación 3.1a

 Ecuación 3.1b

Ecuación 3.1c

Ecuación 3.1d

Sacando el rotacional de 3.1a;

 Ecuación 3.2

substituyendo 3.1b en 3.2

   Ecuación 3.3

   Ecuación 3.4

De manera similar, tomando el rotacional de 3.1b

 Ecuación 3.5

substituyendo (3.1) en (3.4)

   Ecuación 3.6

 Ecuación 3.7

Para poder interpretar estos resultados, usamos la identidad vectorial;

 Ecuación 3.8

Donde 2A es el vector laplaciano. En coordenadas rectangulares, el vector laplaciano es:

 Ecuación 3.9

 

En la ecuación 3.9 cada componente escalar es el laplaciano de cada componente, por ejemplo para la coordenada X:

   Ecuación 3.10

Las formas del vector laplaciano en coordenadas cilíndricas y en coordenadas esféricas son derivadas de 3.8 y no son tan sencillas como en la ecuación 3.7. Substituyendo 3.8 en 3.4 y en 3.7:

 Ecuación 3.11a

 Ecuación 3.11b

Ya que . E = . H = 0, entonces, substituyendo el campo eléctrico en la ecuación 3.8 tenemos:

   Ecuación 3.12

 

pero si . E = 0, de 3.1c, entonces:

     Ecuación 3.13

 

para este medio. Las ecuaciones diferenciales vectoriales en (3.10) son conocidas como las ecuaciones de onda o ecuaciones de Helmholtz. Cada ecuación se compone de tres ecuaciones diferenciales escalares en términos de los componentes de los vectores. Por ejemplo, igualando componentes obtenemos:

   Ecuación 3.14

y de manera similar para los otros dos componentes de E y los tres componentes de H.

Nuestro interés en las ecuaciones de onda será desde el punto de vista senoidal, la variación de estado estable de los campos vectoriales. Para este caso, las ecuaciones de onda en 3.11, en términos de los fasores de los campos vectoriales, se vuelven:

 Ecuación 3.15a

 Ecuación 3.15b

 Ecuación 3.15c

Se va a utilizar un símbolo especial ( 2 )para la cantidad j(+j):

  Ecuación 3.16

La raiz cuadrada positiva de 2 , , se conoce con el nombre de constante de propagación del medio. Puesto que 2 es un número complejo, la raiz cuadrada de 2

también es un número complejo, la cual se escribe como:

= + j   Ecuación 3.17

 

   Ecuación 3.18

Si expandemos 3.11 en términos de los componentes, las ecuaciones de onda para los componentes fasoriales de los campos vectoriales se vuelven:

 

   Ecuación 3.19a

   Ecuación 3.19b

    Ecuación 3.19c

   Ecuación 3.19d

   Ecuación 3.19e

    Ecuación 3.19f

 

Estas ecuaciones (3.19 hasta 3.19f) son ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden, en las cuales hay seis incógnitas, los fasores Ex, Ey, Ez, Hx, Hy y Hz, también hay seis ecuaciones. Las ecuaciones se resuelven para cada tipo de señal EM particular y la misma solución de estas ecuaciones da como resultado otras ecuaciones que van a indicar cómo se van a comportar los campos EM. Por ejemplo, en la siguiente sección, 3.2, estas ecuaciones se van a resolver para Ondas Planas Uniformes y la solución son las ecuaciones.

 

3.2 La Onda Plana Uniforme (O.P.U)

Antes de iniciar con el estudio de la propagación de ondas planas uniformes en medios sin pérdidas, vale la pena explicar el significado del nombre. El término onda plana uniforme significa lo siguiente. El término plana indica que los campos vectoriales E y H están sobre un plano en cada punto del espacio, con los planos paralelos uno con el otro, a cada dos puntos diferentes. El término uniforme indica que los fasores de campos vectoriales (magnitud y fase) son independientes de la posición en cada uno de estos planos. Esto va a limitar y simplificar las componentes de la señal EM, así como su dependencia del espacio X, Y,Z. Si consideramos que son planas en XY y se propagan en Z positiva, entonces, solamente quedarán dos incógnitas: Ex y Hy y dos ecuaciones (de las seis de 3.19):

 

    Ecuación 3.20a

   Ecuación 3.20b

Las soluciones a estas dos ecuaciones se muestran en 3.21a y 3.21b

   Ecuación 3.21a

   Ecuación 3.21b

La solución a 3.20 a y b incluye dos resultados, uno positivo y uno negativo, ya que es una ecuación (diferencial homogénea) de segundo orden, sin embargo, en 3.21a y 3.21b

no se muestran las soluciones negativas y se supone que las magnitudes de E y de H, Em y Hm podrían ser complejas. Si aplicamos la relación que hay entre Em y Hm:

  Ecuación 3.22a

 

  Ecuación 3.22b

Donde fasor se denomina La Impedancia Intrínseca del Medio, es un número complejo y sus unidades son ohms. Substituyendo 3.22a en 3.21 b:

  V/m  Ecuación 3.23a

  A/m  Ecuación 3.23b

Nótese que  Ém  es compleja.

Si se "pasa" 3.23 al dominio del tiempo (aplicando la identidad de Euler y tomando la parte real):

   V/m  Ecuación 3.23c

   A/m Ecuación 3.23d

Donde Ém  es compleja y tiene parte real y parte imaginaria, o magnitud y fase:

 

   V/m  Ecuación 3.23e

 

Vamos a considerar el caso de un medio sin pérdidas, es decir, = 0:

   Ecuación 3.24

=    Ecuación 3.25

así que:

= Re ( ) = 0 Np/m  Ecuación 3.26a

  rad/m  Ecuación 3.26b

También la impedancia intrínseca se vuelve un número real:

    Ecuación 3.27

3.3 Propagación de la O.P.U. en medios sin Pérdidas ( 0)

Si en 3.27 se substituye la principal característica de un medio sin pérdidas ( = 0), entonces 3.27 se convierte en 3.28:

   Ecuación 3.28

Donde el ángulo de la impedancia intrínseca, , la última parte de 3.23, después de la raíz cuarta se vuelve

  radianes   Ecuación 3.29

Para = 0 tenemos las siguientes componentes de campo, substituyendo esta condición y substituyendo 3.25, 3.26a, 3.26b y 3.28 en 3.23c y 3.23d:

 

    V/m Ecuación 3.30a

    A/m Ecuación 3.30b

Con = 0 y =0.

La ecuación 3.30a representa un campo eléctrico que viaja en la dirección positiva del eje Z, la ecuación 3.30b representa un campo magnético que viaja en la dirección positiva del eje Z, las dos en conjunto representan una OPU que viaja en V.  Podrían existir las contrapartes que viajan en la dirección negativa del eje Z, las cuales son la solución negativa de las ecuaciones de onda para una OPU 3.20a y 3.20b, sin embargo, estas soluciones negativas no se tomarán en cuenta. Lo que se desplaza de cada campo es la fase (la fase de las ecuaciones 3.30), la cual debe ser idéntica para puntos equivalentes, pero en distintos instantes de tiempo t0 y t1, donde t1 > t0. Así pues, para  t0 la fase se encuentra en Z0 y para t1 se encuentra en Z1:

  Ecuación 3.31

De esta manera, observamos que un punto en la forma de onda se debe mover en la dirección positiva del eje Z, cuando t aumenta , así que

  Ecuación 3.32

Si de 3.32 se despeja la variable Z y se deriva  con respecto al tiempo, se obtiene la velocidad a la cual viajan los puntos de la constante de fase. Esto se conoce como la velocidad de fase de la propagación de la onda:

   m/s   Ecuación 3.33

Hay que notar que el ángulo de fase m (introducido al suponer que Em podría ser, en el

caso general, compleja) no tiene que ver con la función que representa una onda viajante, y tampoco afecta la velocidad de propagación de la onda.

No se hacen observaciones similares para el campo magnético dado en 3.30b, ya que se comporta exactamente igual.

Si en 3.33 se substituye 3.26b:

 

    Ecuación 3.34

 

La cantidad se conoce como la constante de fase, o número de onda. Las

unidades de son , de tal manera que representa el cambio en la fase de la onda respecto de la distancia. La distancia entre los puntos adyacentes correspondientes en la onda, se conoce como la longitud de onda y se denota por , también se define como la distancia entre un frente de onda y el siguiente y existe la siguiente relación entre ellas:

   Ecuación 3.35

 

Substituyendo 3.34 y 3.26b en 3.35, se obtiene la longitud de onda para un medio sin pérdidas :

V  Ecuación 3.36

y

     Ecuación 3.37

Las frecuencias altas resultan en longitudes de onda más cortas. Nótese que la longitud de

onda es también una función de las propiedades del medio puesto que . Para materiales típicos, y ; de esta manera, la velocidad de fase de propagación es más lenta en el espacio libre y la longitud de onda es más corta.

La OPU completa es la superposición de las ondas viajantes al frente, Z positiva,  y hacia atrás, Z negativa. Obsérvese que el vector de Poynting para las componentes que viajan hacia el frente está en la dirección +Z, indicando el flujo de potencia en esa dirección. Sin embargo, está en la dirección -Y, y por consiguiente, el vector de poynting para las componentes que viajan hacia atrás está en la dirección -Z, indicando el flujo de potencia en esa dirección.

En conclusión, para un medio sin pérdidas con ry  r

 Ecuación 3.38a

 Ecuación 3.38b

 Ecuación 3.38c

Donde las variable con subíndice cero representan los valores del espacio libre.

Ejemplo 3.1 La intensidad de campo eléctrico de una O.P.U. en el aire tiene una amplitud de 800V/ m y está en dirección ax . Si la O.P.U. se propaga en dirección az y tiene una longitud de onda de 0.6096 m encuentre:

a) la frecuencia de la O.P.U.;

b) ;

 c) la amplitud de H;

d) expresiones completas en el dominio del tiempo para E y H;

e) la densidad de potencia promedio.

 

 

Ejemplo 3.2. Una O.P.U. con una frecuencia de 9.46 Hz se propaga en polietileno. Si la amplitud del campo mágnetico ( intensidad ) es de 7 mA / m y se supone que el polietileno no tiene pérdidas ( para el polietileno : r = 2.26 y r = 1 )., encuentre :

a) la velocidad de propagación;

b) la longitud de onda;

 c) ;

d) la impedancia intrínseca;

e) expresiones completas en el dominio del tiempo para E y H;

 f) la densidad de potencia promedio.

 

 

 

 

 

3.4 Propagación de la O.P.U. en Medios con Pérdidas ( 0)

Hay dos diferencias muy importantes entre las ondas planas uniformes en medios sin pérdidas y en medios con pérdidas. La primer diferencia es que la constante de propagación tiene una parte real diferente de cero:

  Ecuación 3.39

= j Ecuación 3.40

 

Esto resulta en las ondas para el caso sin pérdidas multiplicadas por el exponencial e-Z:

   Ecuación 3.41a

   Ecuación 3.41b

Es evidente que éstas son aún ondas viajeras hacia adelante y hacia atrás, pero la amplitud de la onda viajera hacia adelante es  Eme-Z , la cual disminuye para valores de Z altos (incrementa en la dirección de propagación).

La parte real de , , se conoce como "La constante de atenuación" por las razones expuestas arriba. Las unidades de en el SI son nepers por metro (Np/m). Nótese que la "constante de fase" es la parte imaginaria de . Y es diferente del resultado que se obtuvo para el medio sin pérdidas ≠ . Las ecuaciones para calcular   y en un  medio con pérdidas se obtiene al "sacar" la parte real y la parte imaginaria de 3.39:

 

     Ecuación 3.42a

    Ecuación 3.42b

Donde:

    Ecuación 3.43a

   Ecuación 3.43b

Al término de la ecuación 3.34b , tan, se le conoce como pérdida tangencial.

La segunda diferencia entre el medio sin pérdidas y el medio con pérdidas es la impedancia intrínseca del medio, al cual ya de había definido en la ecuación 3.27 como:

  #9; Ecuación 3.44

Es evidente que para un medio con pérdidas la impedancia intrínseca es compleja y no tiene el mismo valor que para un medio sin pérdidas:

   Ecuación 3.45

 

Para el caso sin pérdidas, = 0 y observamos que los campos eléctrico y magnético de las ondas, están en fase. Sin embargo, para el caso con pérdidas, como el ángulo de fase de la impedancia intrínseca, , es diferente de cero, esto provoca que los campos eléctrico y magnético estén defasados. Nótese de 3.44 que estará en el rango 0 45 . Por lo tanto, el campo magnético está desplazado un ángulo , respecto del campo eléctrico.

Las relaciones de y V para este caso son:

m/s Ecuación 3.46

m Ecuación 3.47

Sin embargo, es la parte imaginaria de la constante de propagación y no es igual a

.

Ejemplo sugerido:  Encuentre , , v, y para un material de ferrita que tiene las siguientes características a 60 Hz: r = 9, r = 4 y = 10 .

 

 

 

 

 

3.5 Polarización de las O.P.U.

Es importante acotar que el análisis de la polarización de OPU, se realizará solamente para medios sin pérdidas. Consideremos el vector de campo eléctrico de una onda plana uniforme que viaja en un medio sin pérdidas, considerar al ángulo m de la magnitud de Em , el cual es difernte de cero cuando Em es compleja:

V/m Ecuación 3.48a

El vector de campo magnético está dado por:

   Ecuación 3.48b

 

En la figura 3.1 se muestra un dibujo instantáneo de estos dos vectores como una función de Z. Nótese que conforme aumenta el tiempo, la onda se mueve a la derecha con velocidad

    Ecuación 3.49

 

Figura 3.1Vista seccional del comportamiento de E y de H haciendo Z=0.

En la figura se observa que la OPU se desplaza hacia Z positiva y que es plana sobre el plano XY.

Por otro lado, observemos la variación de la onda en alguna posición fija, Z=0 conforme varía el tiempo. En Z=0 obtenemos (de 3.48):

 Ecuación 3.50a

 Ecuación 3.50b

Si tomamos una vista seccional de la onda en el plano XY en Z=0, observamos que la magnitud de los campos varía senoidalmente de acuerdo a 3.48, como se muestra en la figura 3.2. Nótese que los campos cambian de dirección ( la invierten) cada medio ciclo, pero esta variación siempre es a lo largo de una línea (la dirección X para E y la dirección Y para H). Se dice que esta onda esta polarizada linealmente en el sentido de que la dirección de cada uno de los campos en algún punto del espacio y cada punto en el tiempo está a lo largo de una línea en un plano perpendicular a la dirección de propagación.

Figura 3.2Vista seccional del comportamiento de E y de H haciendo Z=0.

 

 

Así, las ondas planas uniformes que hemos considerado, se dice que están polarizadas linealmente.

Ahora consideremos otra onda plana uniforme, diferente, formada por la rotación de los campos 3.50 en 90 en el espacio, y la adición de un ángulo de fase m (suponemos que Em es compleja) a los argumentos del coseno:

   V/m    Ecuación 3.51a

    A/m    Ecuación 3.51b

 

 

Note el signo menos en 3.51b, el cual es necesario para asegurar que el flujo de potencia (EXH) está en la dirección apropiada (+Z). Podemos verificar rápidamente que los campos en 3.51 también satisfacen las ecuaciones de Maxwell y también están polarizados linealmente.

En resumen, puesto que las ecuaciones de Maxwell son lineales (para medios lineales), las sumas de los campos en 3.48 y 3.51 son también soluciones válidas. Sumando obtenemos:

V/m #9; Ecuación 3.52a

A/m #9; Ecuación 3.52b

Donde se cambió el nombre de Em a Em1 y Em2 respectivamente, ya que podría ocurrir que los componentes del campo eléctrico tuvieran diferentes magnitudes, también se cambió el nombre de m a . Y 

Ahora, consideraremos, con más detalle, el campo eléctrico en 3.52a en un punto fijo del espacio, Z=0, conforme aumente el tiempo. Substituyendo Z=0 en 3.52a obtenemos

 Ecuación 3.53

Debido a que las magnitudes son diferentes, Em1 y Em2, y al ángulo de fase , podemos tener cuatro casos que explicaremos a continuación.

Caso 1 Em1=Em2  = Em y = 0. Para este caso 3.53se reduce a

   Ecuación 3.54

Se dice que es  una onda polarizada linealmente(Pendiente m= 45o).

 

Caso 2 Em1≠Em2  y = 0. Para este caso 3.53 se reduce a:

 Ecuación 3.55

La cual es también una onda polarizada linealmente, figura (Pendiente diferente a 45o).

 

Caso 3 Em1=Em2 = Em y = +90o. Para este caso la ecuación 3.53 se reduce a:

   Ecuación 3.56

 Ecuación 3.57

La amplitud de este vector siempre es Em y el ángulo entre éste y el eje X es:

 Ecuación 3.58

 

De esta manera, el extremo del vector resultante dibuja un círculo. Esto se conoce como polarización circular. El vector rota en el sentido de las manecillas del reloj y se conoce como una onda polarizada circularmente, de mano derecha, ya que si ponemos los dedos de la mano derecha en la dirección de rotación, el pulgar va a apuntar en la dirección de propagación. Si escogemos   = -90o, entonces el extremo del vector resultante va a trazar un círculo, pero el vector rotará en el sentido inverso a las manecillas del reloj, esto se conoce como polarización circular de mano izquierda.

 

Caso 4 Em1≠Em2  y = -90o . Para este caso,

 Ecuación 3.59

Para cualquier valor de t, 3.59 nos da la ecuación de una elipse

 Ecuación 3.60

El extremo del vector resultante dibuja una elipse y rota en el sentido de las manecillas del reloj. Se dice que la onda tiene una polarización elíptica de mano derecha. Si Em1=Em2, entonces 3.60 se vuelve la ecuación de la circunferencia.

Es importante notar que, del desarrollo anterior, una onda plana uniforme que tenga alguna polarización (elíptica) general, se puede ver (o analizar) como si fuera la superposición de dos vectores polarizados linealmente, como se muestra en la ecuación (3.40). Por lo tanto, cualquier análisis de una onda plana uniforme que tenga alguna polarización general, se puede lograr haciendo la superposición de los análisis de cada componente polarizado linealmente (ortogonal) ya que las ecuaciones de Maxwell son lineales (para medios lineales). De esta manera, el análisis de las ondas polarizadas linealmente es muy importante y fundamental.

Ejemplo Sugerido: Determine la polarización de una O.P.U. que penetra en porcelana ( r = 3.4 y r 1), si el campo eléctrico es de la forma :

E = 500 e- y e j y ( 1 ax - j 3 e j / 4 az ), f = 10Ghz, = 10- 14 S /m.