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PROBLEMAS DE CÁLCULOEN UNA VARIABLE

PROBLEMAS DE CÁLCULO EN UNA VARIABLE

Francisco I. Chicharro | Alicia Cordero | Eulalia Martínez | Juan R. Torregrosa

Este libro presenta parte de las matemáticas básicas que se utilizan en las cien-cias aplicadas y las ingenierías.

Es el fruto de la experiencia docente de los autores en la enseñanza del Mate-máticas I en la Ingeniería de Telecomunicación y está diseñado para alumnos de primeros cursos universitarios.

Nuestro objetivo es proporcionar un texto de apoyo para el aprendizaje en la resolución de problemas en temas de Cálculo Diferencial como las funciones elementales de una variable, el estudio de su continuidad, su derivabilidad e in-tegrabilidad, o el cálculo de sucesiones y series.

Asimismo, se trata el tema de Números Complejos que será extremadamente útil para el seguimiento de asignaturas básicas dentro de las Telecomunicacio-nes, tales como Teoría de Circuitos, Circuitos Electrónicos o Señales y Sistemas, entre otras.

Francisco I. Chicharro | Alicia Cordero | Eulalia Martínez | Juan R. Torregrosa

MAT

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ICA

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Colección Punto de Partida

A través de estos manuales, la UPV quiere fortalecer los conocimientos sobre materias básicas que los alum-nos de nuevo ingreso deben dominar para cursar las asignaturas regladas. Con este objetivo, se presenta esta colección en la que se sintetizará teo-ría y práctica, para cualquiera de las materias que forman los planes de estudio universitarios y con las que el estudiante podrá reforzar el segui-miento de las mismas.

Francisco I. ChicharroDoctor en Matemáticas por la UPV (Uni-versitat Politècnica de València, 2017) y Premio Extraordinario de Tesis. Doctor en Telecomunicaciones por la UPV (2018). Es profesor de UNIR (Universidad Internacio-nal de La Rioja) desde 2017, impartiendo asignaturas del campo de la Matemática Aplicada. Ha participado en diferentes proyectos del Ministerio de Ciencia, Inno-vación y Universidades. Es autor de más de 15 publicaciones en revistas JCR y ha participado en más de 30 congresos inter-nacionales. Sus líneas de investigación es-tán centradas en el análisis dinámico y el diseño de métodos iterativos de resolución de ecuaciones y sistemas no lineales.

Alicia CorderoDoctora en Matemáticas por la Universitat Jaume I en 2003. Catedrático de Matemá-tica Aplicada en la Universitat Politècnica de València. Ha publicado más de 120 artículos de investigación en revistas inter-nacionales y ha participado en numerosos proyectos de investigación autonómicos, nacionales e internacionales. Actualmen-te, su investigación está centrada en el área de Análisis Numérico, en el diseño y análisis de la convergencia de métodos iterativos para la resolución de ecuaciones y sistemas no , así como el análisis dinámi-co de los mismos.

Eulalia MartínezDoctora en Matemáticas por la Universitat Politècnica de València en 2002. Profesora Titular de Matemática Aplicada en la Uni-versitat Politècnica de València. Ha publi-cado más de 55 artículos de investigación en revistas internacionales y ha participa-do en numerosos proyectos de investiga-ción autonómicos, nacionales e internacio-nales. Actualmente, su investigación está centrada en el área de Análisis Numérico, concretamente en la resolución de ecua-ciones y sistemas no lineales mediante métodos iterativos definidos en espacios de Banach.

Juan R. TorregrosaDoctor en Matemáticas por la Universitat de València en 1990. Catedrático de Mate-mática Aplicada en la Universitat Politècni-ca de València. Ha publicado más de 200 artículos de investigación en revistas inter-nacionales y ha participado en numerosos proyectos de investigación autonómicos, nacionales e internacionales. Actualmen-te, su investigación está centrada en el área de Análisis Numérico, concretamente en la resolución de ecuaciones y sistemas no lineales y ecuaciones matriciales me-diante métodos iterativos.

VVVUPVpuntodepartida

VVVUPV

puntodepartida

UPVUPVUPV

ISBN: 978-84-9048-814-0

0283P06

0283P06

Francisco I. Chicharro Alicia Cordero

Eulalia Martínez Juan R. Torregrosa

Problemas de cálculo en una variable

Colección Punto de Partida

Para referenciar esta publicación utilice la siguiente cita: Chicharro, F. I.; Cordero, A.; Martínez, E.; Torregrosa, J. R. (2019). Problemas de cálculo en una variable. Valencia: Editorial Universitat Politècnica de València

© Francisco I. Chicharro Alicia Cordero Eulalia Martínez Juan R. Torregrosa

© 2019, Editorial Universitat Politècnica de València Venta: www.lalibreria.upv.es / Ref.: 6551_01_01_01

ISBN: 978-84-9048-814-0 (versión impresa)ISBN: 978-84-9048-815-7 (versión electrónica)

Si el lector detecta algún error en el libro o bien quiere contactar con los autores, puede enviar un correo a [email protected]

La Editorial UPV autoriza la reproducción, traducción y difusión parcial de la presente publicación con fines científicos, educativos y de investigación que no sean comerciales ni de lucro, siempre que se identifique y se reconozca debidamente a la Editorial UPV, la publicación y los autores. La autorización para reproducir, difundir o traducir el presente estudio, o compilar o crear obras derivadas del mismo en cualquier forma, con fines comerciales/lucrativos o sin ánimo de lucro, deberá solicitarse por escrito al correo [email protected]

Autores

Francisco Israel Chicharro López

Doctor en Matemáticas por la UPV (Universitat Politècnica de València, 2017) y Premio Extraordinario de Tesis. Doctor en Telecomunicaciones por la UPV (2018). Es profesor de UNIR (Universidad Internacional de La Rioja) desde 2017, impartiendo asignaturas del campo de la Matemática Aplicada. Ha participado en diferentes proyectos del Ministerio de Ciencia, Innovación y Universidades. Es autor de más de 15 publicaciones en revistas JCR y ha participado en más de 30 congresos internacionales. Sus líneas de investigación están centradas en el análisis dinámico y el diseño de métodos iterativos de resolución de ecuaciones y sistemas no lineales.

Alicia Cordero Barbero

Doctora en Matemáticas por la Universitat Jaume I en 2003. Catedrático de Matemática Aplicada en la Universitat Politècnica de València. Ha publicado más de 120 artículos de investigación en revistas internacionales y ha participado en numerosos proyectos de investigación autonómicos, nacionales e internacionales. Actualmente, su investigación está centrada en el área de Análisis Numérico, en el diseño y análisis de la convergencia de métodos iterativos para la resolución de ecuaciones y sistemas no , así como el análisis dinámico de los mismos.

Eulalia Martínez Molada

Doctora en Matemáticas por la Universitat Politècnica de València en 2002. Profesora Titular de Matemática Aplicada en la Universitat Politècnica de València. Ha publicado más de 55 artículos de investigación en revistas internacionales y ha participado en numerosos proyectos de investigación autonómicos, nacionales e internacionales. Actualmente, su investigación está centrada en el área de Análisis Numérico, concretamente en la resolución de ecuaciones y sistemas no lineales mediante métodos iterativos definidos en espacios de Banach.

Juan Ramón Torregrosa Sánchez

Doctor en Matemáticas por la Universitat de València en 1990. Catedrático de Matemática Aplicada en la Universitat Politècnica de València. Ha publicado más de 200 artículos de investigación en revistas internacionales y ha participado en numerosos proyectos de investigación autonómicos, nacionales e internacionales. Actualmente, su investigación está centrada en el área de Análisis Numérico, concretamente en la resolución de ecuaciones y sistemas no lineales y ecuaciones matriciales mediante métodos iterativos.

Resumen

Este libro presenta parte de las matemáticas básicas que se utilizan en las ciencias aplicadas y las ingenierías. Es el fruto de la experiencia docente de los autores en la enseñanza de la asignatura Matemáticas I en Ingeniería de Telecomunicación y está diseñado para alumnos de primeros cursos universitarios.

Nuestro objetivo es proporcionar un texto de apoyo para el apren-dizaje en la resolución de problemas tanto en temas de Cálculo Diferencial como las funciones elementales de una variable, el estudio de su continuidad, su derivabilidad e integrabilidad, o el cálculo de sucesiones y series. Asimismo, se trata el tema de Números Complejos que será extremadamente útil para el seguimiento de asignaturas básicas dentro de las Telecomunicaciones, tales como Teoría de Circuitos, Circuitos Electrónicos o Señales y Sistemas, entre otras.

Los autores

iii

jlorcam

Nota adhesiva

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Índice general

Resumen iii

Índice general v

1 Funciones reales de variable real 11.1 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 Función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.4 Función valor absoluto. Inecuaciones.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.5 Función parte entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Límites y continuidad 232.1 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Derivación en una variable y aplicaciones 433.1 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1.1 La derivada: de�nición, reglas, ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1.2 Aplicaciones de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1.3 Polinomios de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2 Problemas de examen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4 Integración en una variable y aplicaciones 794.1 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.1.1 Integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.1.2 Integración por partes e integrales recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.1.3 Integración de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

v

Índice general

4.1.6 Aplicaciones: cálculo de áreas, longitudes de arco, promedios, ... . . . . . . . 96


5 Sucesiones y Series de números reales 1255.1 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.1.1 Sucesiones de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.1.2 Series numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133


6 Números complejos 1616.1 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.1.1 Operaciones con números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.1.2 Ecuaciones con números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6.1.3 Polinomios complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.1.4 Geometría de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.1.5 Problemas de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186


vi

4.1.4 Cambios de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.1.5 Integrales impropias e in�nitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Capítulo 1

Funciones reales de variable real

En este primer tema tratamos los objetos fundamentales del cálcu-lo: las funciones. Estas aparecen de forma natural cuando una canti-dad y depende de otra, x. El tipo de dependencia es muy variado perosi podemos expresar dicha dependencia en términos matemáticos, me-diante una función, y = f(x), tenemos asegurado un buen comienzopara realizar un estudio del fenómeno. Ya son conocidas las funcioneselementales, polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas, tri-gonométricas, etc. Es conveniente recordar sus propiedades, las opera-ciones entre ellas y por supuesto sus grá�cas, puesto que en ingeniería,en numerosas ocasiones, una función viene dada mediante una tablade valores o una grá�ca que modeliza un fenómeno. Sin duda la repre-sentación grá�ca de una función es sumamente útil para describirla yanalizarla.

1

Capítulo 1. Funciones reales de variable real

1.1 Problemas resueltos

Resolveremos en esta sección problemas que involucran funciones de una variableanalizando sus propiedades y, ayudándonos de sus representaciones grá�cas, in-tentaremos que el lector se familiarice con las funciones que van a ser la base paraadentrarse en temas posteriores con contenidos más especí�cos.

Cabe destacar que, dentro de esta sección, no hay problemas de examen, puestoque las preguntas relativas a funciones forman parte de problemas correspondientesa otros temas.

1.1.1 Funciones elementales

Problema 1. Determina el dominio de de�nición y el rango o conjunto imagende las siguientes funciones:

(a) f(x) =√x2 − 6x

(b) f(x) = log

(x3 + 5x+ 6

4− x2

)(c) f(x) = 3

√x− 1

Solución

(a) La raíz cuadrada está de�nida cuando el radicando es mayor o igual que cero.En este caso es una parábola cóncava como se observa en la Figura 1.1, conraíces x = 0 y x = 6, por tanto es positiva en x ∈]−∞, 0]∪ [6,+∞[ conjuntoque constituye el dominio de la función.

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

-10

0

10

20x2-6x

Figura 1.1: La parábola y sus puntos de corte.

En cuanto al rango de valores que toma la función es [0,+∞[, notemos quepara que f(x) sea función hemos de considerar la raíz positiva como se indicaen el enunciado, su menor valor se alcanza para x = 0 y x = 6, como podemosobservar en su representación grá�ca de la Figura 1.2.

2


-2 0 2 4 6 8

x

0

1

2

3

4

Figura 1.2: La raíz cuadrada positiva.

(b) La función logarítmica está de�nida para valores estrictamente positivos.Por tanto hemos de estudiar cuando esta función racional es positiva. Puedecomprobarse que el numerador tiene una única raíz real en x = −1 siendopositivo en ]−1,+∞[ mientras que el denominador es positivo en ]−2, 2[ porlo que el cociente será positivo en D =]−∞,−2[∪]− 1, 2[. Vemos la grá�cade la función racional en la Figura 1.3.

-4 -2 0 2 4 6 8

x

-20

-10

0

10

20

(x3+5 x+6)/(4-x2)

Figura 1.3: La función racional argumento de la función logarítmica.

En cuanto al rango de valores que toma la función f(x) de�nida en b) es] − ∞,+∞[, ya que el logaritmo alcanza cualquier número real cuando eldominio toma valores desde ]0,+∞[, como ocurre en este ejemplo al evaluarla función racional en D. Podemos observar la representación grá�ca de f(x)en la Figura 1.4.

3


-6 -4 -2 0 2

x

-0.5

0

0.5

1

1.5

log10

((x3+5 x+6)/(4-x2))

Figura 1.4: La función logarítmica.

(c) La raíz cúbica está de�nida en todo R y su rango también es toda la rectareal.

Problema 2. Indica cómo se obtiene la grá�ca de cada una de las siguientesfunciones a partir de la grá�ca de y = f(x).

(a) y = f(x)− 3, (b) y = f(x) + 3,

(c) y = f(x+ 3), (d) y = f(x− 3).

Solución

(a) La función se desplaza sobre el eje y hacia abajo tres unidades en todo sudominio.

(b) La función se desplaza sobre el eje y hacia arriba tres unidades en todo sudominio.

(c) La función se desplaza sobre el eje x hacia la izquierda tres unidades en todosu dominio.

(d) La función se desplaza sobre el eje x hacia la derecha tres unidades en todosu dominio.

Mostramos en la Figura 1.5 las representaciones grá�cas de las tres primeras op-ciones. Compárense con la grá�ca de la parábola y = x2.

4


x-5 0 5

0

10

20

x2-3

x-5 0 5

10

20

30x2+3

x-5 0 5

0

20

40

60

(x+3)2x

-5 0 5

0

10

20

x2

Figura 1.5: Desplazamiento de funciones.

Problema 3. Comprueba si la función f es par, impar o ninguna de las dos cosas:

(a) f(x) = x2 − 4, (b) f(x) =1

x, (c) f(x) = senπx,

(d) f(x) =1

x2 + 1, (e) f(x) = cos (1/x), (f) f(x) =

√1− x,

(g) f(x) = 1/x2, (h) f(x) = x3 − x, (i) f(x) = 2x3 + 2x2 + 1.

Solución

Una función es par si veri�ca f(−x) = f(x), por lo tanto las funciones paressiempre son simétricas respecto al eje y. Es fácil comprobar que las funciones dadasen (a), (d), (e) y (g) son funciones pares, mientras que las funciones dadas en (b),(c) y (h) son impares; el resto no son pares ni impares. Mostremos el razonamientoformalmente para algún caso.

Por ejemplo en (b) tendríamos f(−x) = 1−x = − 1

x = −f(x) por lo que se trata deuna función impar.

Por lo que respecta al apartado (e) basta utilizar el hecho de que cos(x) es unafunción par para concluir que esta también lo es, así tenemos f(−x) = cos( 1

−x ) =

cos(−1x ) = cos( 1

x ) = f(x).

5


Problema 4. Representa una función que cumpla las siguientes características:

(a) Su dominio es todo R.(b) Sólo corta al eje X en el punto (0, 0).(c) Su rango es el intervalo ]− 1, 1[.(d) Es creciente en todo su dominio.

Solución

La función y = f(x) = arctan(x) veri�ca las condiciones (a), (b) y (d) pero surango es ] − π/2, π/2[ por tanto la función y = 2

πf(x) veri�ca también la opción(c), como se observa en la Figura 1.6.

-10 -5 0 5 10

x

-1

-0.5

0

0.5

1

2/ atan(x)

Figura 1.6: La función arco tangente.

1.1.2 Operaciones con funciones

Problema 5. Dadas las funciones f, g, h y k de�nidas como sigue:

f(x) = 2x2 − x, g(x) = 3x+ 2, h(x) = senx, k(x) = 1−√x.

Determina las siguientes funciones:(a) g + k, (b) f/g, (c) h ◦ k, (d) k ◦ h, (e) 3k.

Solución Las nuevas funciones vienen dadas por:

(a) (g + k)(x) = g(x) + k(x) = 3x+ 3−√x

(b) (f/g)(x) = f(x)/g(x) =2x2 − x3x+ 2

(c) (h ◦ k)(x) = h(k(x)) = h(1−√x) = sen(1−

√x)

6


(d) (k ◦ h)(x) = k(h(x)) = k(senx) = 1−√

senx

(e) (3k)(x) = 3k(x) = 3(1−√x)

Problema 6. Sean f y g funciones pares.

(a) ¾La función f + g es una función par?(b) ¾La función fg es una función par?(c) ¾La función f ◦ g es una función par?, ¾y g ◦ f?(d) ¾Se pueden generalizar estos resultados para el caso de funciones impares?

Solución

Teniendo como hipótesis que f y g son pares, comprobemos si se veri�ca la de�-nición de función par para las funciones propuestas.

(a) (f + g)(−x) = f(−x) + g(−x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x).

(b) (fg)(−x) = f(−x)g(−x) = f(x)g(x) = (fg)(x).

(c) (f ◦ g)(−x) = f(g(−x)) = f(g(x)) = (f ◦ g)(x).

En de�nitiva la suma, el producto y la composición de funciones pares re-sulta ser una nueva función par. Análogamente se veri�ca la tesis para lacomposición g ◦ f .

(d) En el caso de que f y g sean impares se tiene que la suma y la composiciónde funciones impares resultan también funciones impares pero el productoresulta ser una función par.

Problema 7. Supongamos que g es una función par y h = f ◦ g. ¾Será h siempreuna función par?

Solución

Veamos que es su�ciente que la función g sea par para que lo sea la composiciónf ◦ g para cualquier función f .

h(−x) = (f ◦ g)(−x) = f(g(−x)) = f(g(x)) = (f ◦ g)(x) = h(x),

por lo que h(x) es una función par. Obviamente no ocurre lo mismo con la com-posición g ◦ f ; intente aplicar la de�nición para veri�carlo.

7


1.1.3 Función inversa

Problema 8. Determina una expresión para de�nir la función inversa de las si-guientes funciones:

(a) f(x) = x2 + 2, (b) f(x) = ln (x+ 3), (c) f(x) =1 + ex

1− ex,

(d) f(x) =√

2 + 5x, (e) f(x) = 210x , (f) f(x) = senx.

Solución

Recordemos que para que exista la inversa de una función ha de ser biyectiva, eneste caso la inversa de una función es otra de manera que al componerlas resultala función identidad. En general en un dominio donde exista la función inversaresulta cómodo realizar los siguientes pasos para obtenerla:

1. Escribe y = f(x).

2. Intercambia valores de x e y escribiendo x = f(y).

3. Al despejar y de x = f(y) se obtiene la función inversa f−1(x).

(a) f(x) = x2 + 2, es una función par, (simétrica respecto al eje Y ), de�nidaen todo R, para que sea biyectiva la restringimos al intervalo [0,+∞[ cuyaimagen es [2,+∞[. Para obtener la inversa de f(x) = x2 + 2, tendremos querestar 2 y después realizar la raíz cuadrada obteniendo como resultado �nalx, por lo que la inversa de f es f−1(x) =

√x− 2.

(b) La función f(x) = ln(x + 3) es biyectiva entre ]0,+∞[ y ] − ∞ +∞[, por

tanto siguiendo el procedimiento anterior tenemos que y = ln (x + 3) nos proporciona x = ln (y + 3) y por tanto y = ex−3, podemos escribir f−1(x) = ex − 3.

(c) La función f(x) =1 + ex

1− extiene dominio R − {1} y su rango de valores es

R − [−1, 1], por lo que su inversa está de�nida en ese conjunto, viene dada

por y = ln

(x− 1

1 + x

).

(d) La función f(x) =√

2 + 5x es biyectiva entre [−2/5,+∞[ y su conjunto

imagen [0,+∞] en el que se de�ne su inversa dada por y =x2 − 2

5

(e) Para este caso la función inversa está de�nida en ]0,+∞[ y es y = log10(log2(x)).

(f) Por último la función sen(x) toma valores en [−1, 1] donde su inversa seobtiene con y = arc sen(x).

8


En la Figura 1.7 podemos observar la simetría de una función y su inversa res-pecto a la bisectriz del primer cuadrante. Pueden realizarse otras representacionesgrá�cas de las funciones dadas junto a su inversa y observar esta simetría.

0 2 4 6

x

0

1

2

3

4

5

6

y=x2+2

y=(x-2)1/2

y=x

Figura 1.7: Simetría de una función y su inversa respecto a y = x.

Problema 9. La población de cierta especie en un ecosistema limitado, con unapoblación inicial de 100 individuos y que soporta una capacidad máxima de 1000,es

P (t) =100000

100 + 900e−t,

donde t se mide en años.

(a) Representa la función y estima cuánto tardará la población en alcanzar los900 individuos.

(b) Encuentra la inversa de la función P (t).(c) ¾Cuántos años deben transcurrir para que la población alcance la capacidad

máxima?

Solución

(a) En la Figura 1.8 podemos observar el crecimiento logístico de la poblaciónhasta alcanzar los 1000 habitantes.

Resolviendo la ecuación

P (t) =100000

−t = 900,100 + 900e

obtenemos t = ln(81) = 4.3944 años tardará la población en alcanzar los 900 hab.

9


0 2 4 6 8 10

t

200

400

600

800

1000

1000/(1+9 exp(-t))

Figura 1.8: Crecimiento logístico poblacional.

(b) Consideraremos la función P (t) de�nida en[0,+∞[ de forma que su imagenes [100, 1000[, este es el dominio de la inversa que viene dada por t(P ) =

ln

(9P

1000− P

)y nos proporcionará los años que han de pasar para que la

población sea de P habitantes.

(c) La capacidad máxima no llega a alcanzarse ya que se trata de un com-portamiento límite, no obstante si calculamos P (10) obtenemos 999.59 yP (18) = 999.99.

Problema 10. Encuentra valores de a y b para los cuáles:

(a) cos (a+ b) 6= cos a+ cos b

(b) cos (a/2) 6= cos a

2(c) ln (a+ b) 6= ln a+ ln b

Solución Es fácil encontrar valores para los que no se obtengan las desigualdadesanteriores ya que las relaciones que se veri�can son las siguientes:

(a) cos (a+ b) = cos a cos b− sen a sen b

(b) cos (a/2) =

√1 + cos a

2

(c) ln (ab) = ln a+ ln b

10


Por ejemplo:

(a) 1 = cos (π + π) 6= cosπ + cosπ = −2

(b) 0 = cos (π/2) 6= cosπ2 = −1/2

(c) 1.3132 = ln (1 + e) 6= ln 1 + ln e = 1

1.1.4 Función valor absoluto. Inecuaciones

Problema 11. Representa las grá�cas de las siguientes funciones:

(a) f(x) = |x|, (b) f(x) = | senx|, (c) f(x) = sen |x|, (d) f(x) = x+ |x|.

Solución

Es importante conocer la expresión de |x| como función de�nida a trozos:

f(x) = |x| ={−x, si x < 0x, si x ≥ 0,

por tanto

f(x) = | senx| ={

senx, si 0 ≤ x < π− senx, si π ≤ x ≤ 2π,

mientras que

f(x) = sen |x| ={

sen (−x), si x ≤ 0senx, si x > 0,

por último

f(x) = x+ |x| ={

0, si x ≤ 02x, si x > 0.

Con estas consideraciones obtenemos las grá�cas de estas funciones en la Figura1.9.

Problema 12. Resuelve las siguientes ecuaciones:

(a) |x+ 5| = 3, (b) |x|2 + x = 0, (c) 2x− |x2 − 5| = 0.

Solución

(a) Si x > −5 tenemos x + 5 > 0. La ecuación a resolver será x + 5 = 3, portanto x = −2.

Por el contrario si x ≤ −5 tenemos x + 5 ≤ 0. La ecuación a resolver será−(x+ 5) = 3, por tanto x = −8.

11


x-5 0 5

0

0.5

1

abs(sin(x))

x-5 0 5

-1

-0.5

0

0.5

1

sin(abs(x))

x-5 0 5

0

5

10

x+abs(x)x

-5 0 5

0

2

4

abs(x)

Figura 1.9: La función valor absoluto y variantes.

-10 -5 0 5x

0

2

4

6

8

10y=|x+5|y=3

Figura 1.10: Grá�ca para inecuación |x+ 5| = 3.

Grá�camente la solución resulta obvia observando los puntos de corte de lasgrá�cas involucradas, representadas en la Figura 1.10

(b) La ecuación |x|2 +x = 0 es equivalente a x2 +x = 0. Por tanto las solucionesson x = 0 y x = −1;

(c) La parábola x2 − 5 es negativa en ]−√

5,√

5[. Por tanto la ecuación en esteintervalo queda de la forma x2+2x−5 = 0, cuyas soluciones son x = −1±

√6.

12


Solo x = −1 +√

6 pertenece al intervalo considerado. En el resto de valoresla parábola es positiva y tendremos la ecuación −x2 + 2x + 5 = 0 de cuyassoluciones x = 1±

√6 solo es válida 1 +

√6, obsérvese la Figura 1.11.

-5 0 5x

0

5

10

15

y=|x2-5|y=2x

Figura 1.11: Obsérvese el rango de la parábola con valores positivos.

Problema 13. Resuelve las siguientes inecuaciones:(a) |2x− 1| ≤ 3, (b) x2 + x ≥ 6, (c) x4 − 6x2 + 8 < 0.

Solución

(a) Se tienen las siguientes equivalencias:

|2x− 1| ≤ 3↔ −3 ≤ 2x− 1 ≤ 3↔{−3 ≤ 2x− 12x− 1 ≤ 3

La primera inecuación conduce a x ≥ −1 y la segunda se veri�ca si x ≤ 2por lo que la solución es el intervalo [−1, 2].

(b) La ecuación x2 + x ≥ 6 es equivalente a x2 + x − 6 ≥ 0. Resolvemos laecuación de segundo grado x2 +x−6 ≥ 0, tiene soluciones x = 2 y x = −3 yla parábola es cóncava, por tanto concluimos que la solución de la inecuaciónes ]−∞,−3] ∪ [2,+∞[.

(c) La ecuación bicuadrada x4 − 6x2 + 8 = 0 tiene soluciones ±√

2 y ±2. Bastacomprobar que en ±∞ la función es +∞ para tener su representación grá�ca.Veáse Figura 1.12, de ella se deduce que la solución de nuestra inecuación es]− 2,−

√2[∪]√

2, 2[.

13


-2 0 2x

0

5

10

15

20

25

x4-6 x2+8

Figura 1.12: Obsérvese los valores donde la ecuación bicuadrada x4− 6x2 +8 = 0 tomavalores positivos.

1.1.5 Función parte entera

Problema 14. (a) Representa la función de Heaviside H de�nida por

H(t) =

{0, si t < 01, si t ≥ 0

(b) Traza la grá�ca de la función E(x) = [x], donde [x] representa la parte enteradel valor x.(c) Traza la grá�ca de la función f(x) = [x] + x.(d) Traza la grá�ca de la función f(x) = abs([x]).

Solución

(a) Evidentemente la función de Heaviside es una función discontinua en x =0, cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquierpositivo. Esta función tiene numerosas aplicaciones en procesado de señales,y se conoce como función escalón, describiendo una señal que se activa enun instante especí�co, y se queda activa inde�nidamente, como puede verseen la primera grá�ca de la Figura 1.13.

(b) Si de�nimos la parte entera de un número x como el máximo número enterono superior a x tenemos la segunda grá�ca mencionada de la Figura 1.13.

(c),(d) Basta analizar estas funciones de�nidas a trozos para obtener la tercera ycuarta grá�ca de la Figura 1.13.

14


x-5 0 5

-4

-2

0

2

4

E(x)

x-5 0 5

-10

-5

0

5

10x+E(x)

x-5 0 5

0

2

4

abs(E(x))x

-5 0 5

0

0.5

1

Heaviside

Figura 1.13: Representación de funciones (arriba izquierda) H(t), (arriba derecha) [x],(abajo izquierda) x+ [x], (abajo derecha) abs([x]).

Problema 15. Determina el dominio y la imagen de la función dada por

f(x) =

{ √x− 1, x ≥ 1,

1− x, x < 1

¾Podemos calcular la inversa de esta función?

Solución

El dominio de f(x) es todo R. En cuanto a la imagen es [0,+∞[, como puedeobservarse en la Figura 2.5.

La función inversa no está de�nida por no ser f(x) una función biyectiva ya quef(0) = f(2) = 1. Ahora bien podemos calcular las funciones inversas de cadauno de los trozos que de�nen a f(x). Es decir en el intervalo ] −∞, 1] la funciónde�nida tiene rango o imagen [0,+∞[ y sobre este intervalo podemos comprobarque la inversa coincide con la propia función, es y = 1 − x. Un razonamientoanálogo nos llevaría a establecer que la inversa del segundo trozo es y = x2 + 1.

15


-6 -4 -2 0 2 4 6

x

0

2

4

6

8

Figura 1.14: Función a trozos.

Problema 16. Comprueba que f(x) = g−1(x) y g(x) = f−1(x), siendo

f(x) = 2x3 − 1, g(x) =3

√x+ 1

2.

Solución

La función f(x) dada tiene dominio e imagen toda la recta real y es biyectiva, porlo tanto basta comprobar que tanto (f ◦g) como (g ◦f) son la identidad, veámosloen un caso, el otro será análogo.

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(2x3 − 1) =3

√(2x3 − 1) + 1

2= x.

Como ejercicio práctico puede comprobarse la simetría de ambas funciones respectoa la bisectriz del primer cuadrante al realizar la representación grá�ca.

Problema 17. La producción de x unidades supone para una empresa un costeC(x) = 0.5x+ 500. El coste medio por unidad viene dado por C/x. Determina elcomportamiento del coste medio si hiciéramos crecer la producción inde�nidamentee interpreta el resultado.

Solución

La función de costes de la empresa puede interpretarse en términos económicoscomo un coste �jo de 500 euros mas un coste variable de 0.5 euros por unidadproducida. El coste medio por unidad viene dado por

Cm(x) = 0.5 +500

x.

Si aumentamos la producción el coste medio decrece y su valor límite es 0.5. Obvia-mente la situación límite no es factible en términos económicos pues la producción

16


viene limitada por los recursos disponibles de la empresa. Ahora bien queda ma-ni�esto que los costes �jos se amortizan cuando la producción aumenta.

17

Problema 18. Un negocio adquiere un aparato electrónico por 875 euros. Tras 5años estará deteriorado y sin valor alguno. Escribe una expresión lineal que dé suvalor V durante los 5 años de uso.

Solución

Debemos pensar en una función lineal que haga decrecer el valor del aparato, portanto proponemos: V (t) = 875−kt de manera que inicialmente para t = 0 se tieneV (0) = 875.

Así hallaremos la constante k de manera que V (5) = 0. Es decir 875 − 5k = 0 y,por tanto, k = 875/5.

Evidentemente la función pedida V (t) = 875(1−t/5) indica que cada año el electro-doméstico pierde la quinta parte de su valor llegando a deteriorarse completamenteal cabo de 5 años.

Problema 19. Un término muy usado en economía es el de función homogénea.Se dice que una función f(x) es homogénea de grado r con r ∈ R si se veri�ca:

f(tx) = trf(x), ∀t ∈ R.

Indica si las siguientes funciones son o no homogéneas y en caso de serlo halla sugrado.

(a) f(x) = −3x,(c) f(x) = 2√x

3 − 4,(e) f(x) = x,

(b) f(x) = 3x+ 1,(d) f(x) = ex,(f) f(x) = 1/x.

Solución

Basta aplicar la de�nición para concluir que las funciones dadas en (a), (e) y (f)son homogéneas pero el resto no. Para obtener el grado de homogeneidad hacemos:

(a) f(tx) = −3tx = tf(x), homogénea de grado 1.

(e) f(tx) =√tx =

√t√x = t1/2

√x, homogénea de grado 1/2.

(f) f(tx) =1

tx= t−1f(x), homogénea de grado -1.


18

Problema 20. En el problema 19 está de�nido el concepto de función homogéneay su grado de homogeneidad. Demuestra que:

(a) Si f y g son dos funciones homogéneas del mismo grado r entonces lacombinación lineal de f y g es homogénea y conserva el grado.

(b) Si f y g dos funciones reales homogéneas de grados r y s, respectivamente,entonces el producto de ambas es homogénea de grado r + s.

(c) Si f y g dos funciones reales homogéneas de grados r y s, respectivamente,entonces el cociente de ambas es homogénea de grado r − s.

Solución

Basta aplicar la de�nición dada en el problema 19 en cada uno de los casos.

(a) Dados a, b ∈ R la combinacion lineal veri�ca

(af + bg)(tx) = af(tx) + bg(tx) = atrf(x) + btrg(x),

se tiene así que la combinación lineal de f y g es homogénea y conserva elgrado.

(b) El producto

(fg)(tx) = f(tx)g(tx) = trf(x)tsg(x) = tr+s(fg)(x),

se tiene así que la función producto fg es homogénea con grado r + s.

(c) La función cociente

(f/g)(tx) =f(tx)

=trf(x)

tsg(x)= tr−s

f(x)

g(x)g(tx)

es homogénea con grado r − s.

1.2 Problemas propuestos

Problema 1 Resuelve las siguientes desigualdades:(a) |x−1|− |x−3| ≥ 5, (b) |x−3|+ |x+ 2| < 11, (c) ln (x2 − 2x− 2) ≤ 0.

Solución (a) No existe solución, (b) ]− 5, 6[, (c) [−1, 1−√

3[∪]1 +√

(3), 3].

Problema 2 Resuelve las siguientes ecuaciones:(a) lnx+ ln (x− 1) = 1, (b) ln 2 + ln (4x− 3)− lnx = ln (2x),(c) cos (x2) senx = 0.

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problemas de cÁlculo en una variable

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