1. -------PEARSON PEARSONhttp://gratislibrospdf.com/

2. FRMULAS BSICAS DE LGEBRA FRMULAS BSICAS DE LGEBRA Operaciones aritmticas Operaciones aritmticas aib a(b !!: !!: b b+ e) + e)= =ab ab+ S = ad + be .f. = ad be d da e a e+ ae, + ae,bd' bdae ae bd bdbd = /Y"71 = af b a/ b cid c/ d'a d a d= =bc /y"cleyes de los signos Leyes de los signos -a -a b b-( -a) ) = a, -(-a =a, Ceroa a a a b-b - b bLa divisin entre cero no est definida. La divisin entre cero no est definida. Si a aO: ~ = O, ~==j:. =1=o- = oa =aO = 1, =O OPara cualquier nmero a: a O = O a = O a" O = O" a = O Para cualquier nmero leyes de los exponentes Leyes de los exponentes(ab)1II Sia Sia=j:. =1==alllbm ,O, O,El teorema del binomio EL teorema del binomio(a+ b)"= =1 -- amo. am-m _ _-11Ia aPara cualquier entero positivo n, Para cualquier entero positivo n, n(n - 1) n(na" b2 a"--22b2 12 1"2 n(n l )(n nin - l)(n - 2) '3 + a"-~b + nab"-- I + b".. a" - 3b 3 + nab" I b" a"+ na"-1bIb + na,,1 23 1" 2" 3Por ejemplo, Por ejemplo, b? (a + b?2= = a2 + 2ab + b2, 2abb)2 = 2 - 2ab j2 (a - b)2 = a2 - 2ab + i}2 2 b)3 = (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3,3 2 2 3 b)3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3..Factorizacin diferencia potencias iguales enteros, > 1 Factorizacin de una diferencia de potencias iguales de enteros, n > 1 a" - b" = (a - b )(a"- I. + a,, -2b + a',-3b 2 + .. . + ab,,-2 + b" -I) I) = b)(a"-1 a"- 2b a"-3b2 ... ab"-2 b"-Por ejemplo, ejemplo, = a2 - b2 = (a - b )(a + b), )(a 2 3 = 3 a3 -- b3 = (a - b )(a2 + ab + b2), 3). = b)(a 3 b a4 - b4 = (a - b)(a3 + a2b + ab2 + b3 ).completar Cmo completar un cuadradoSi a2 = ax2 + bx + e = au2 + la frmula cuadrtica La frmula cuadrticaSi a=j:. =1=eO, O, (u (u= = xO Yax2 + bx + e ax:x= x =http://gratislibrospdf.com/=j:. =1=-b Vb2 -b Vb2 2a--(bI2a), = + (b/ 2a), e = e -=O, entonces O, entonces4ae 4ae!:) 3. TROMAS TROMAS ~ ~CALCULO UNA VARIABLE UNA VARIABLEDecimosegunda edicin Decimosegunda edicinGeorge B. Thomas, Jr. Thomas, Massachusetts Institute of Technology Massachusetts Institute Revisada por Revisada porMaurice D. Weir Mauriee Naval Postgraduate Sehool N aval Postgraduate School J oel Hass Joel Hass University California, Davis University of California, DavisTraduccin TraduccinVctor Hugo Ibarra Mercado Vctor Rugo !barra Mercado Escuela de Actuara Actuara Escuela Universidad Anhuac Norte Universidad Anhuac - Mxico NorteRevisin tcnica Revisin tcnica Carlos Bosch Giral Carlos Bosch Giral Csar Luis Garca Garca Csar Luis Garca Garca Claudia Gmez Wulschner Claudia Gmez Wulschner Departamento de Matemticas Departamento Matemticas Instituto Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico AutnomoManuel Robles Bernal Manuel Robles Bernal Instituto Politcnico Nacional Instituto Politcnico NacionalAddison-Wesley Addison-Wesley Mxico > Argentina' Brasil, Colombia Rica' Chile Ecuador M xico' Argentina Brasil Colombia Costa Rica' Chile ' Ecuador Espaa> Guatemala> Panam ' Per' Puerto Rico' Uruguay Espaa' Guatemala' Panam> Per > Puerto Rico > Uruguay>' Venezuelahttp://gratislibrospdf.com/ 4. /Datos de catalogacin bibliogrfica Datos catalogacin bibliogrficaTHOMAS TROMAS Clculo una variable Clculo una variable Decimosegunda edicin Decimosegunda edicinPEARSON EDUCACIN, Mxico, 2010 PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2010 ISBN: 978 -607-32-0164-3 ISBN: 978-607-32-0164-3 rea: Matemticas rea: Matemticas Formato: 21.5 cm Formato: 21.5 X 27.5 cmPginas: 800 Pginas:th Edition by GEORGE THOMAS; Authorizeded translation from the English language editions, entitled THOMAS' CALCULUS, SINGLE VARIABLE, 12th Edition by GEORGE THOMAS; Authorizeded translation from the English language editions, entitled THOMAS' CALCULUS, SINGLE VARIABLE, MAURICE WEI; OEL HASS, published by Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley, Copyright 2010. AH rights reserved. MAURICE WEI; OEL HASS, published by Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley, Copyright 2010. All rights reserved. ISBN 9780321637420 ISBN 9780321637420Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, CALCULUS, SINGLE VARIABLE, 12" ed. Por GEORGE THOMAS; MAURICE WEI; OEL HASS, Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, CALCULUS, SINGLE VARIABLE, Por GEORGE THOMAS; MAURICE WEI; OEL HASS, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Addison-Wesley, Copyright 2010. Todos los derechos reservados. publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Addison-Wesley, Copyright 2010. Todos los derechos reservados. Esta edicin en espaol la nica autorizada. Esta edicin en espaftol es la nica autorizada.Edicin en ingls Edicin en ingls Editor-in-Chief: Deirdre Lynch Editor-in-Chief: Deirdre Lynch Senior Acquisitions Editor: William Hoffman Senior Acquisitions Editor: William Hoffman Senior Project Editor: Rachel Reeve Senior Project Editor: Rachel S. Reeve Associate Editor: Caroline Celano Associate Editor: Caroline Celano Associate Project Editor: Leah Goldberg Associate Project Editor: Leah Goldberg Senior Managing Editor: Karen Wernholm Senior Managing Editor: Karen Wernholm Senior Production Supervisor: Sheila Spinney Senior Production Supervisor: Sheila Spinney Senior Design Supervisor: Andrea Nix Senior Design Supervisor: Andrea Nix Digital Assets Manager: Marianne Groth Digital Assets Manager: Marianne Groth Media Producer: Lin Mahoney Media Producer: Lin MahoneySoftware Development: Mary Durnwald and Bob Carroll Software Development: Mary Durnwald and Bob Carroll Executive Marketing Manager: Jeff Weidenaar Executive Marketing Manager: Jeff Weidenaar Marketing Assistant: Kendra Bassi Marketing Assistant: Kendra Bassi Senior Author Support/Technology Specialist: Joe Vetere Senior Author Support/Technology Specialist: [oe Vetere Senior Prepress Supervisor: Caroline Fell Senior Prepress Supervisor: Caroline Fell Manufacturing Manager: Evelyn Beaton Manufacturing Manager: Evelyn Beaton Production Coordinator: Kathy Diamond Production Coordinator: Kathy Diamond Composition: Nesbitt Craphics, Inc. Composition: Nesbitt Graphics, Ine. Illustrations: Karen Heyt, IllustraTech Illustrations: Karen Heyt, IllustraTech Cover Design: Rokusek Design Cover Design: Rokusek DesignEdicin en espaol Edicin en espaol Editor: Editor:Rubn Fuerte Rivera Rubn Fuerte Rivera e-mail: ruben.fuerte@pearsoned.com e-mail: ruben.fuerte@pearsoned.com Felipe Hernndez Carrasco Editor de desarrollo: Editor de desarrollo: Felipe Hernndez Carrasco Supervisor de produccin: Jos Hernndez Carduo Supervisor de produccin: Jos D. Hernndez GarduftoDECIMOSEGUNDA EDICIN, 2010 DECIMOSEGUNDA EDICIN, 2010 D.R. 2010 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de D.R. 2010 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de ev. Atlacomulco 500-50. piso Atlacomulco 500-50. piso Col. Industrial Atoto Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de [urez, Estado de Mxico 53519, Naucalpan de Jurez, Estado de MxicoCmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. nm. 1031. Cmara Nacional de Industria Editorial Mexicana. Reg. nm. 1031. Addison-Wesley es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de Addison-Wesley es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. deev.Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoquregistrarse transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico clectroptico. por fotocopia, mico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. grabacin cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes. prstamo, alquiler cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor de sus representantes. ISBN VERSIN IMPRESA: 978-607-32-0164-3 ISBN VERSIN IMPRESA: 978-607-32-0164-3 ISBN E-BOOK: 978-607-32-0165-0 ISBN E-BOOK: 978-607-32-0165-0 ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-0166-7 ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-0166-7D DJUL JULAddison-Wesley Addison-WesleyImpreso en Mxico. Printed in Mexico. Impreso en Mxico. Printed Mexico.es una marca de marca123456789 O-1312 1110 1 23456789 O - 13 12 11 10LlTOGRFICA INGRAMEX, S.A. LITOGRFICA INGRAMEX, S.A. CENTENO No. 162-1 CENTENO No. 162-1 COL. GRANJAS ESMERALDA COL. GRANJAS ESMERALDA 09810 MXICO, D.F. 09810 MXICO, 2010-----D DPEARSON PEARSON-----http://gratislibrospdf.com/ 5. REVISIN REVISIN TCNICA Adelia Copas Adelia Copas Enrique Santilln Enrique Santilln ES/ME, Zacatenco-Instituto ES/ME, Zacatenco -Instituto Politcnico Nacional Politcnico Nacional Javier Mosqueda Lafarga Javier Mosqueda Lafarga Instituto Tecnolgico de Culiacn Culiacn Instituto Tecnolgico Elio Csar Ramos Elio Csar Ramos Instituto Tecnolgico Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus Aguascalientes Estudios Superiores Monterrey-Campus Aguascalientes Mara Guadalupe Lomel Plascencia Mara Guadalupe Lomel Plascencia Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus Guadalajara Instituto Tecnolgico Estudios Superiores Monterrey-Campus Guadalajara Daniel Flores Barriga Daniel Flores Barriga Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus Morelia Instituto Tecnolgico Estudios Superiores Monterrey-Campus Morelia Eduardo Soberanes Lugo Eduardo Soberanes Lugo Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus Sinaloa Instituto Tecnolgico Estudios Superiores Monterrey-Campus Sinaloa Roberto Nez Roberto Nez Instituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Occidente Occidente Instituto Tecnolgico Estudios Superiores Enrique Fernndez Daz Enrique Fernndez Daz Gabriel Martnez Chvez Gabriel Martnez Chvez Instituto Tecnolgico de Hermosillo Instituto Tecnolgico Hermosillo Socorro Rivero Jimnez Socorro del Rivero Jimnez Instituto Tecnolgico Superior de Cajeme Cajeme Instituto Tecnolgico Superior Mario Mesino Mario Mesino Universidad Autnoma Guadalajara Universidad Autnoma de Guadalajara Cutberto Romero Melndez Cutberto Romero Melndez Universidad Autnoma Metropolitana- Unidad Azcapotzalco Universidad Autnoma Metropolitana- Unidad Azcapotzalco Luca Gonzlez Rendn Luca Gonzlez Rendn Universidad Guadalajara Universidad de Guadalajarahttp://gratislibrospdf.com/ 6. AGRADECIMIENTOS AGRADECIMIENTOS Pearson Educacin agradece a los centros de estudio y profesores usuarios de esta obra por su apoyo y retroalimentacin, Pearson Educacin agradece centros estudio profesores usuarios esta obra por apoyo retroalimentacin, elemento fundamental para esta nueva edicin de Clculo, una variable. elemento fundamental para esta nueva edicin Clculo, variable, Argentina Argentina Emilio Surez Emilio Surez Instituto Tecnolgico Buenos Aires Instituto Tecnolgico de Buenos AiresElena Arlauskas Elena Arlauskas Gabriela Righetti Gabriela Righetti Universidad Tecnolgica Nacional Regional Avellaneda Universidad Tecnolgica Nacional Regional AvellanedaHaydee Castelletti Haydee Castelletti Silvia Adriana Mamone Silvia Adriana Mamone Universidad de Belgrano Belgrano UniversidadColombia Colombia Bernardo Aldana Gmez Bernardo Aldana Gmez Nstor Ral Pachn N stor Ral Pachn Escuela Colombiana Ingeniera-Bogot Escuela Colombiana de Ingeniera-BogotViviana Niselman Viviana Niselman Universidad de Buenos Aires Buenos Aires Universidad Gladis Beatriz Astargo Gladis Beatriz Astargo Horacio Day Horacio Day Universidad Nacional de Cuyo Universidad Nacional Cuyo Isabel Weiriberg Isabel Weinberg Universidad Nacional Universidad Nacional de la Matanza Matanza ngela Maldonado ngela Maldonado Augusto Melgarejo Augusto Melgarejo Delicia Tisera Delicia Tisera Diego Vallejo Diego Vallejo Jos Surez Jos Surez Laura Langoni Laura Langoni Mara Ins Otegui Mara Ins Otegui Mara Teresa Guardarucci Mara Teresa Guardarucci Mariel Lavaa Mariel Lavaa Mercedes Trpoli Mercedes Trpoli Miguel Sanservino Miguel Sanservino Nstor Bucari Nstor Bucari Universidad Nacional Plata Universidad Nacional de la Plata Anglica Arnulfo Anglica Arnulfo Beatriz Introcaso Beatriz Introcaso Emilio Sastre Emilio Sastre Botto Jos Botto Mara Susana Montelar Mara Susana Montelar Mnica Casero Mnica Casero Universidad Nacional Rosario Universidad Nacional de RosarioElas Cardona Elas Cardona ICESI ICESI Antonio Merchn Antonio Merchn Fernando Novoa Fernando Novoa Gerardo Tole Gerardo Hctor Linares Hctor Linares Irina Reyes Irina Reyes Ismael Garca Ismael Garca Jaime Gmez Jaime Gmez Juan Carlos Quintero Juan Carlos Quintero Liliana Barreto Liliana Barreto Moiss Aranda Moiss Aranda Nazly Esmeralda Salas Nazly Esmeralda Salas Rafael Castro Rafael Castro Pontificia Universidad Javeriana Pontificia Universidad Javeriana Laureano Valencia Laureano Valencia Oswaldo Rodrguez Daz Oswaldo Rodrguez Daz Universidad Autnoma Occidente-Cali Universidad Autnoma de Occidente-Cali Mario Bravo Mario Bravo Universidad Universidad de San Buenaventura-Cali San Buenaventura-Cali Jos Villada Jos Villada Universidad Distrital Francisco Jos Caldas Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas Chile Chile Juan Duarte Juan Duarte Universidad Universidad de Antofagasta Antofagastahttp://gratislibrospdf.com/ 7. CIarita Balbontn Clarita Balbontn Universidad de los Andes Universidad de los AndesMauro Ernesto Espinoza Garca Mauro Ernesto Espinoza Garca Universidad Cristbal Coln - Jiracruz Universidad Cristbal Coln - VeracruzJulio Hugo Ramrez Julio Hugo Ramrez Universidad de del Mar Universidad de Via del MarAna Mara Gonzlez Pia Ana Mara Gonzlez Pia Javier Barrn Javier Barrn Karla Violeta Martnez Facundo Karla Violeta Martnez Facundo Maribel Fuentes Dvila Maribel Fuentes Dvila Patricia Gonzlez Patricia Gonzlez Universidad de Monterrey Universidad de MonterreyEcuador Ecuador Eduardo Alba Eduardo Alba Universidad San Francisco de Quito Universidad San Francisco de Quito Espaa Espaa Patricia Barral Rodillo Patricia Barral Rodio Universidad de Santiago de Compostela Universidad de Santiago de CompostelaAlma Rosa Griselda Zetina V lez Alma Rosa Griselda Zetina Vlez Martn Cruz Cuevas Martn Cruz Cuevas Miriam Lemus Miriam Lemus Roberto Bautista Atengenes Roberto Bautista Atengenes Sandra Chimal Garma Sandra Chimal Garma Universidad La Salle Universidad La SalleMxico Mxico Alicia Ordez Segura Alicia Ordez Segura Celerino Federico Navarrete Cruz Celerino Federico Navarrete Cruz Fernando Arenas Garca Fernando Arenas Garca Isidro Rodrguez Montoro Isidro Rodrguez Montoro Jess Solano Roano Jess Solano Roano Jorge Almanza Prez Jorge Almanza Prez Jos Luis Almanza Prez Jos Luis Almanza Prez Julio Ernesto Hoyos Ochoa Julio Ernesto Hoyos Ochoa Salvador Hoyos Ocho Salvador Hoyos Ochoaa Instituto Tecnolgico de Estudios Estudios Instituto Tecnolgico Superiores de Jalapa Jalapa SuperioresDolores Vera Dector Dolores Vera Dector Felipe Hernndez Hernndez Felipe Hernndez Hernndez Ricardo Victoria Carrera Ricardo Victoria Carrera Universidad Veracruzana Universidad Veracruzana Per Per Luis Daz Bazurco Luis Daz Bazurco Wilber Ramos Lovn Wilber Ramos Lovn Universidad Catlica de Santa Mara-Arequipa Universidad Catlica Santa Mara-ArequipaMiguel Hernndez la Torre Miguel Hernndez de la Torre Ornar Olmos Lpez Olmos Lpez Ornar Instituto Tecnolgico Estudios Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey - Campus Toluca Monterrey Campus Toluca SuperioresJos Cuevas Gonzlez Jos Cuevas Gonzlez Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Ciencias Aplicadas Universidad PeruanaVenezuela Venezuela Elvira Sabal Elvira Sabal Milagros Bosquetti Milagros Bosquetti Universidad Catlica Andrs Bello Universidad Catlica Andrs BelloMauricio Cirilo Mndez Canseca Mauricio Cirilo Mndez Canseca Ral Chvez Ral Chvez Universidad Anhuac - Mxico Sur Universidad Anhuac Mxico SurJess Hernndez Jess Hernndez Jos Luis Quinteros Jos Luis Quinteros Mara de Armas Mara Armas Mara Luisa Vonna Mara Luisa Vonna Marienma Snchez Marienma Snchez Universidad Central Venezuela Universidad Central de VenezuelaAnglica Tovar Gmez Anglica Tovar Gmez Bertha Alicia Arellano Silva Bertha Alicia Arellano Silva Elvia Loera Hernndez Elvia Loera Hernndez Javier Cant Rodrguez Javier Cant Rodrguez Karla Guajardo Coso Karla Guajardo Coso Universidad Autnoma de Nuevo Len Nuevo Len Universidad Autnoma Ramiro Garza Molina Ramiro Garza Molina Universidad Autnoma de Tamaulipas Universidad Autnoma Tamaulipas David Elizarraraz Martnez David Elizarraraz Martnez Jaime Grabinsky Steider Jaime Grabinsky Steider Jos Ventura Becerril Espinosa Ventura Becerril Espinosa Judith Omaa Pulido Judith Omaa Pulido Marina Salazar Antunez Marina Salazar Antunez Universidad Autnoma Metropolitana - Unidad Azcapotzalco Universidad Autnoma Metropolitana Unidad Azcapotzalcohttp://gratislibrospdf.com/ 8. http://gratislibrospdf.com/ 9. CONTENIDO CONTENIDO Prefacio Prefacio VOLUMEN VOLUMEN1 1xiii xiii1Funciones Funciones1 1 1.1 1.1 1.2 1.2 1.3 1.3 1.4 1.42Limites y continuidad Limites continuidad 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2. 5 2.6 2.63Las funciones y sus grficas 1 Las funciones grficas Combinacin de funciones ; traslacin y cambio de tamao de funciones Combinacin funciones; traslacin cambio tamao funciones Funciones trigonomtricas 22 Funciones trigonomtricas Graficacin por medio de calculadoras y computadora 30 Graficacin por medio calculadoras computadora PREGUNTAS REPASO PREGUNTAS DE REPASO 34 EJERCICIOS PRCTICA EJERCICIOS DE PRCT ICA 35 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 37 EJERCICIOS ADICIONALES AVANZADOSTasas de cambio y tangentes a curvas 39 Tasas cambio tangentes curvas Lmite de una funcin y leyes de los lmites una funcin leyes 46 Lmite lmites La definicin formal de lmite 57 definicin formal lmite Lmites laterales 66 Lmites laterales Continuidad Continuidad 73 Lmites que incluyen al infinito; asntotas de grficas Lmites incluyen infinito; asntotas grficas P REGUNTAS DE REPASO 96 PREGUNTAS REPASO EJERCICIOS DE PRCTICA 97 EJERCICIOS PRCTICA EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 98 EJERCICIOS ADICIONALES AVANZADOSDerivadas Derivadas143984102 3.1 3.2 3.3 3.4 3.4 3.5 3.6Tangentes derivada un punto Tangentes y la derivada en un punto 102 derivada como una funcin La derivada como una funcin 106 Reglas derivacin Reglas de derivacin 115 derivada como una tasa cambio La derivada como una tasa de cambio 124 Derivadas funciones trigonomtricas Derivadas de funciones trigonomtricas 135 regla cadena La regla de la cadena 142http://gratislibrospdf.com/vii 10. viii viiiContenido Contenido 3.7 3.8 3.9Derivacin implcita Derivacin implcita 149 Tasas relacionadas Tasas relacionadas 155 Linealizacin y diferenciales Linealizacin diferenciales 164 PREGUNTAS DE REPASO PREGUNTAS DE REPASO 175 EJERCICIOS DE PRCTICA 176 EJERCICIOS DE PRCTICA EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS EJERCICIOS ADICIONALES AVANZADOS4Aplicaciones de las derivadas Aplicaciones de Las derivadas 4,1 4,2 4,2 4.3 4.4 4.4 4.5 4.5 4.6 4.6 4.7 4.75Valores extremos de funciones funciones Valores extremos 184 El teorema del valor medio teorema valor medio 192 Funciones montonas y el criterio de la primera derivada Funciones montonas criterio primera derivada Concavidad y trazado de curvas 203 Concavidad trazado curvas Optimizacin aplicada 214 Optimizacin aplicada 214 Mtodo de Newton 225 Mtodo Newton Antiderivadas 230 Antiderivadas 230 PREGUNTAS DE REPASO 239 PREGUNTAS REPASO 239 EJERCICIOS DE PRCTICA 240 EJERCICIOS PRCTICA 240 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 243 EJERCICIOS ADICIONALES AVANZADOS184 184198Integracin Integracin246 246 5.1 5.2 5.3 5.3 5.4 5.5 5.66180rea y su estimacin mediante sumas finitas 246 rea estimacin mediante sumas finitas 246 Notacin sigma y lmites de sumas finitas sumas finitas 256 Notacin sigma lmites 256 La integral definida 262 La integral definida 262 El teorema fundamental del clculo 274 teorema fundamental clculo 274 Integrales indefinidas y el mtodo de sustitucin sustitucin 284 mtodo 284 Integrales indefinidas Sustitucin 291 rea entre curvas Sustitucin y rea entre curvas PREGUNTAS DE REPASO 300 PREGUNTAS DE REPASO 300 EJERCICIOS DE PRCTICA 301 EJERCICIOS DE PRCTICA EJERCICIOS ADICIO ALES y AVANZADOS 304 EJERCICIOS ADICIO ALES y AVANZADOS 304ApLicaciones de las integrales definidas . Las integraLes definidas. Aplicaciones 6.1 6.1 6.2 6.2 6.3 6.4 6.4 6.5 6.6Clculo de volmenes por medio de secciones transversales secciones transversales Clculo volmenes por medio Clculo de volmenes por medio de cascarones cilndricos cascarones cilndricos Clculo volmenes por medio Longitud de arco 326 Longitud arco 326 reas de superficies de revolucin superficies 332 reas revolucin 332 Trabajo y fuerza de fluidos fluidos 337 Trabajo fuerza 337 Momentos y centros de masa 346 Momentos centros masa 346 PREGUNTAS DE REPASO 357 PREGUNTAS REPASO 357 EJERCICIOS DE PRCTICA 357 EJERCICIOS DE PRCTICA 357 EJERCICIOS ADICIONALES AVANZADOS 359 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 359http://gratislibrospdf.com/308 308 308 308 319 319 11. ixContenido Contenido7Funciones trascendentes Funciones trascendentes 7.1 7.2 7.3 7A 7.5 7.6 7.7 7.88Integracin por partes Integracin por partes 436 436 Integrales trigonomtricas Integrales trigonomtricas 444 444 Sustituciones trigonomtricas Sustituciones trigonomtricas 449 449 Integracin 453 Integracin de funciones racionales por medio de fracciones parciales funciones racionales por medio de fracciones parciales Tablas de integrales y sistemas de lgebra por computadora (SAC) integrales sistemas lgebra por computadora (SAC) 463 463 Integracin numrica Integracin numrica 468 468 Integrales impropias Integrales impropias 478 478 PREGUNTAS REPASO PREGUNTAS DE REPASO 489 EJERCICIOS PRCTICA EJERCICIOS DE PRCTICA 489 EJERCICIOS ADICIONALES AVANZADOS 491 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS496 496Soluciones, campos direccionales y el mtodo de Euler Soluciones, campos direccionales mtodo Euler 496 496 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 504 504 Aplicaciones Aplicaciones 510 510 Soluciones grficas Soluciones grficas de ecuaciones diferenciales autnomas ecuaciones diferenciales autnomas 516 516 Sistemas de ecuaciones y planos fase 523 Sistemas de ecuaciones planos 523 PREGUNTAS PREGUNTAS DE REPASO 529 EJERCICIOS PRCTICA EJERCICIOS DE PRCTICA 529 EJERCICIOS ADICIONALES AVANZADOS EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 530Sucesiones y series infinitas Sucesiones y series infinitas 10.1 10.1 10.2 10.3 lOA lOA10.5387 387435 435Ecuaciones diferenciaLes de primer orden Ecuaciones diferenciaLes de primer orden 9.1 9.1 9.2 9.3 9A 9.510Funciones inversas y sus derivadas derivadas 361 Funciones inversas Logaritmos naturales Logaritmos naturales 369 Funciones exponenciales Funciones exponenciales 377 377 Cambio exponencial ecuaciones diferenciales con variables separables Cambio exponencial y ecuaciones diferenciales con variables separables Formas indeterminadas y la regla de L'Hpital 396 regla I.:H6pital Formas indeterminadas Funciones trigonomtricas inversas Funciones trigonomtricas inversas 404 404 Funciones hiperblicas Funciones hiperblicas 416 416 Razones relativas de crecimiento Razones relativas de crecimiento 424 424 PREGUNTAS DE REPASO PREGUNTAS 429 EJERCICIOS PRCTICA EJERCICIOS DE PRCTICA 430 EJERCICIOS ADICIONALES AVANZADOS 433 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOSTcnicas integracin Tcnicasde integracin 8.1 8.2 8.3 8A 8.5 8.6 8.79361 361Sucesiones Sucesiones 532 532 Series infinitas Series infinitas 544 544 Criterio de la integral Criterio la integral 553 553 Criterios Criterios de comparacin comparacin 558 558 Criterios de la raz y de la razn Criterios la raznhttp://gratislibrospdf.com/532 532563 563/ / 12. -~-------~------------------------------------------X XContenido Contenido10.6 10.7 10.8 10.8 10.9 10.10 10.1011paramtricas coordenadas poLares Ecuaciones paramtricas y coordenadas polares 11.1 1l.l 11.2 11.3 1l.3 11,4 11.4 11.5 11.6 1l.6 11.7VOLUMEN VOLUMEN12568610 610Parametrizacin de curvas planas curvas planas Parametrizacin 610 Clculo con curvas paramtricas Clculo con curvas paramtricas 618 627 Coordenadas polares Coordenadas polares Grficas coordenadas polares 631 Grficas en coordenadas polares reas y longitudes en coordenadas polares coordenadas polares reas longitudes 635 Secciones cnicas Secciones cnicas 639 648 Secciones cnicas coordenadas polares Secciones cnicas en coordenadas polares PREGUNTAS DE REPASO 654 PREGUNTAS DE REPASO 654 EJERCICIOS DE PRCTICA EJERCICIOS DE PRCTICA 655 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 65711vectores La geometra deL espacio Los vectores y la geometra del espacio 12.1 12.l 12.2 12.3 12,4 12.4 12.5 12.613Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional Series alternantes, convergencia absoluta convergencia condicional Series de potencias potencias 575 Series Series de Taylor y de Maclaurin Maclaurin 584 Series Taylor 584 Convergencia de series de Taylor 589 Convergencia series Taylor La serie binomial aplicaciones 596 La serie binomial y aplicaciones de las series de Taylor series Taylor PREGUNTAS DE REPASO PREGUNTAS DE REPASO 605 EJERCICIOS DE PRCTICA EJERCICIOS DE PRCTICA 605 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 607660Sistemas coordenadas tridimensionales Sistemas de coordenadas tridimensionales 660 Vectores Vectores 665 El producto punto 674 producto punto 674 El producto cruz ~682 producto cruz 682 Rectas y planos en el espacio espacio Rectas planos 688 Cilindros superficies cudricas Cilindros y superficies cudricas 696 PREGUNTAS DE REPASO 701 PREGUNTAS DE REPASO EJERCICIOS DE PRCTICA 702 EJERCICIOS DE PRCTICA 704 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 704 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS707Funciones con vaLores vectoriaLes movimiento en eL espacio Funciones con valores vectoriales y movimiento en el espacio 13.1 13.2 l3.3 l3.3 13,4 13.4 l3.5 l3.5 l3.6 l3.6Curvas espacio Curvas en el espacio y sus tangentes tangentes 707 Integrales funciones vectoriales; movimiento Integrales de funciones vectoriales; movimiento de proyectiles proyectiles Longitud de arco en el espacio arco espacio 724 Longitud 724 Curvatura Curvatura y vectores normales de una curva vectores normales una curva 728 Componentes tangencial normal aceleracin 734 Componentes tangencial y normal de la aceleracin 734 Velocidad y aceleracin en coordenadas polares coordenadas polares 739 Velocidad aceleracin 739 PREGUNTAS DE REPASO PREGUNTAS DE REPASO 742 EJERCICIOS DE PRCTICA 743 EJERCICIOS DE PRCTICA EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 745http://gratislibrospdf.com/715 13. xiContenido Contenido14Derivadas parciales Derivadas parciales747 74714.1 14.2 14.3 14.4Funciones varias variables Funciones de varias variables 747 Limites continuidad dimensiones superiores Lmites y continuidad en dimensiones superiores 755 Derivadas parciales 764 Derivadas parciales 764 Regla cadena Regla de la cadena 775 14.5 Derivadas direccionales vectores gradiente 784 14.5 Derivadas direccionales y vectores gradiente 784 Planos tangentes diferenciales 14.6 Planos tangentes y diferenciales 791 Valores extremos puntos silla 14.7 Valores extremos y plmtos de silla 802 Multiplicadores Lagrange 811 14.8 Multiplicadores de Lagrange 81 1 Frmula Taylor para variables 14.9 Frmula de Taylor para dos variables 820 variables restringidas 824 14.10 Derivadas parciales con variables restringidas Derivadas parciales 824 PREGUNTAS PREGUNTAS DE REPASO 829 EJERCICIOS PRCTICA EJERCICIOS DE PRCTICA 829 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS ADICIONALES 833 EJERCICIOS15Integrales mltiples Integrales mltiples 15.1 15.2 15 .2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.816836 836Integrales dobles iteradas sobre rectngulos Integrales dobles e iteradas sobre rectngulos 836 Integrales dobles sobre regiones generales dobles sobre regiones generales 841 Integrales reas por doble integracin 850 reas por doble integracin Integrales dobles en forma polar dobles forma polar 853 Integrales Integrales triples coordenadas rectangulares Integrales triples en coordenadas rectangulares 859 Momentos centros masa Momentos y centros de masa 868 Integrales triples coordenadas cilndricas esfricas Integrales triples en coordenadas cilndricas y esfricas Sustitucin integrales mltiples Sustitucin en integrales mltiples 887 PREGUNTAS PREGUNTAS DE REPASO 896 EJERCICIOS PRCTICA EJERCICIOS DE PRCTICA 896 EJERCICIOS ADICIONALES EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 898875Integracin en campos vectoriales Integracin en campos vectoriales 16.1 16.1 16.2 16.316.4 16.5 16.6 16.7 16.8Integrales lnea Integrales de lnea 901 Campos vectoriales integrales Trabajo, circulacin Campos vectoriales e integrales de lnea: Trabajo, circulacin y flujo Independencia trayectoria, campos conservativos funciones Independencia de la trayectoria, campos conservativos y funciones potenciales 920 potenciales 920 Teorema Green plano Teorema de Oreen en el plano 931 Superficies reas Superficies y reas 943 Integrales superficie Integrales de superficie 953 Teorema Stokes Teorema de Stokes 962 teorema divergencia una teora unificada El teorema de la divergencia y una teora unificada 972 PREGUNTAS PREGUNTAS DE REPASO 983 EJERCICIOS PRCTICA EJERCICIOS DE PRCTICA 983 EJERCICIOS ADIC IONALES Y AVANZADOS 986 EJERCICIOS ADICIONALEShttp://gratislibrospdf.com/901 907 907/ 14. -------------------------------------------------------~xiiContenido Contenido17Ecuaciones diferenciaLes de segundo orden Ecuaciones diferenciaLes de segundo orden 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5989Ecuaciones lineales segundo orden 989 Ecuaciones lineales de segundo orden 989 Ecuaciones lineales 996 Ecuaciones lineales no homogneas homogneas Aplicaciones Aplicaciones 1005 Ecuaciones Euler Ecuaciones de Euler 1011 Soluciones en series de potencias series Soluciones potencias 1014Apndices ApndicesAP-1 A.1 A.2 A.2 A.3 A.4 A.4 A.5 A.6 A.6 A.7 A.7 A.8 A.8 A.9 A.9Los nmeros reales AP-l Los nmeros reales y las rectas reales rectas reales AP-l Induccin matemtica AP-6 Induccin matemtica AP-6 Rectas, circunferencias AP-10 Rectas, circunferencias y parbolas parbolas AP-10 Demostraciones lmites AP-18 Demostraciones de los teoremas de lmites teoremas AP-18 Lmites que aparecen con frecuencia AP-21 Lmites que aparecen con frecuencia AP-21 Teora AP-23 Teora de los nmeros reales nmeros reales AP-23 Nmeros complejos AP-25 Nmeros complejos AP-25 La distributiva para producto vectorial cruz AP-35 La ley distributiva para el producto vectorial cruz AP-35 derivada mixta incremento El teorema de la derivada mixta y el teorema del incremento teorema teoremaAP-36 AP-36Respuestas a los ejercicios con nmero impar Respuestas a Los ejercicios con nmero imparA-1ndice ndice1-1Crditos CrditosC-1tabla de integrales Breve tabLa de integraLesT-1http://gratislibrospdf.com/ 15. PREFACIO PREFACIO Revisamos exhaustivamente esta edicin de Clculo de Thomas con la finalidad de cubrir las Revisamos exhaustivamente esta edicin de con finalidad cubrir las necesidades de los profesores y los estudiantes actuales. El resultado es un libro con ms ejemnecesidades los profesores los estudiantes actuales. El resultado un libro con ms ejemplos, ms ejercicios plos, ms ejercicios de nivel medio, mayor cantidad de figuras y mejor flujo conceptual, adems nivel medio, mayor cantidad figuras mejor flujo conceptual, adems de mayores claridad y precisin. Al igual que las ediciones anteriores, esta nueva edicin ofrece mayores claridad precisin. Al igual que las ediciones anteriores, esta nueva edicin ofrece una introduccin moderna al clculo que apoya la comprensin conceptual, pero conserva los una introduccin moderna clculo que apoya comprensin conceptual, pero conserva los elementos esenciales un curso tradicional. Tales mejoras relacionan estrechamente con una elementos esenciales de un curso tradicional. Tales mejoras se relacionan estrechamente con una versin ampliada del texto de MyMathLab (al que nos referiremos ms adelante), el cual brinversin ampliada del texto MyMathLab (al que nos referiremos ms adelante), cual brinapoyo adicional los estudiantes flexibilidad los profesores. da apoyo adicional a los estudiantes y flexibilidad a los profesores. Muchos de nuestros alumnos estuvieron expuestos a la terminologa y los aspectos compuMuchos nuestros alumnos estuvieron expuestos terminologa los aspectos computacionales del clculo durante el bachillerato. A pesar de la familiaridad con el lgebra y la tritacionales del clculo durante bachillerato. pesar de familiaridad con lgebra trigonometra, sus habilidades en estas materias con frecuencia son insuficientes para alcanzar el gonometra, sus habilidades en estas materias con frecuencia son insuficientes para alcanzar xito en el clculo universitario. Con este texto buscamos equilibrar la escasa experiencia de xito en clculo universitario. Con este texto buscamos equilibrar la escasa experiencia los estudiantes con el clculo y el desarrollo de habilidades algebraicas que podran necesitar, los estudiantes con clculo desarrollo habilidades algebraicas que podran necesitar, todo sin socavar o minar su confianza. Adems, hemos tenido cuidado de presentar suficiente todo sin socavar minar confianza. Adems, hemos tenido cuidado de presentar suficiente material, soluciones detalladas paso paso ejercicios que apoyen una comprensin completa material, soluciones detalladas paso a paso y ejercicios que apoyen una comprensin completa para alumnos de todos los niveles. para alumnos todos los niveles. Animamos a los estudiantes a ir ms all de la memorizacin de las frmulas para generaAnimamos los estudiantes ms all de memorizacin de las frmulas para generalizar conceptos conforme stos se presenten. Nuestro deseo es que despus de cursar clculo, lizar conceptos conforme stos presenten. Nuestro deseo que despus cursar clculo, ellos tengan confianza en sus habilidades para razonar y resolver problemas. El dominio de un ellos tengan confianza en sus habilidades para razonar resolver problemas. El dominio de tema maravilloso con aplicaciones prcticas al mundo ser su recompensa, pero el verdadero tema maravilloso con aplicaciones prcticas mundo ser recompensa, pero verdadero regalo ser la habilidad para pensar y generalizar. Creemos que este libro brindar respaldo y regalo ser habilidad para pensar generalizar. Creemos que este libro brindar respaldo apoyo para ambas cosas. apoyo para ambas cosas.Ladecimosegunda edicin Cambios en La decimosegunda edicin CONTENIDO En la preparacin de esta edicin hemos conservado la estructura bsica de la taCONTENIDO En la preparacin esta edicin hemos conservado estructura bsica tabla de contenido de la edicin anterior. Hemos puesto atencin a las peticiones de los usuarios la edicin anterior. Hemos puesto atencin bla de contenido las peticiones los usuarios y los revisores de posponer la introduccin de ecuaciones paramtricas hasta despus de explilos revisores de posponer la introduccin de ecuaciones paramtricas hasta despus explicar las coordenadas polares, presentar tema de la regla L'Hpital despus las funcar las coordenadas polares, y de presentar el tema de la regla de I:Hopital despus de las funciones trascendentes. Realizamos numerosas revisiones mayora los captulos, como ciones trascendentes. Realizamos numerosas revisiones a la mayora de los captulos, como se detalla continuacin. detalla a continuacin. Funciones Condensamos este captulo an ms para centrarnos en la revisin de los conFunciones Condensamos este captulo an ms para centramos en revisin los conceptos sobre funciones. El material de requisito que cubre nmeros reales, intervalos, increceptos sobre funciones. El material requisito que cubre nmeros reales, intervalos, incrementos, lneas rectas, distancias, circunferencias parbolas presenta en los apndices mentos, lneas rectas, distancias, circunferencias y parbolas se presenta en los apndices 1 a 3. Lmites Para mejorar continuidad en este captulo, combinamos las ideas de lmites que Lmites Para mejorar la continuidad en este captulo, combinamos las ideas de lmites que incluyen infinito relacin con las asntotas en las grficas de las funciones, colocnincluyen infinito y su relacin con las asntotas en las grficas de las funciones, colocndolas juntas final ltima seccin del captulo. dolas juntas al final de la ltima seccin del captulo. Derivadas Aunque utilizamos tasas cambio tangentes curvas como motivacin para Derivadas Aunque utilizamos tasas de cambio y tangentes a curvas como motivacin para el estudio del concepto concepto derivada en un solo capestudio del concepto de lmite, ahora presentamos el concepto de derivada en un solo caplmite, ahora presentamos tulo. Reorganizamos incrementamos nmero de ejemplos de tasas relacionadas agretulo. Reorganizamos e incrementamos el nmero de ejemplos de tasas relacionadas y agregamos nuevos ejemplos ejercicios sobre graficacin funciones racionales. gamos nuevos ejemplos y ejercicios sobre graficacin de funciones racionales.http://gratislibrospdf.com/xiii xiii 16. ~--~-------------------------------------------..",-----~xivPrefacio Prefacio Antiderivadas e integracin Conservamos la organizacin de la decimoprimera edicin al organizacin decimoprimera edicin Antiderivadas integracin Conservamos colocar las antiderivadas como el ltimo tema referente a las aplicaciones de las derivadas. ltimo tema referente aplicaciones colocar antiderivadas Nuestro objetivo es exponer "la forma de recuperar una funcin a partir de su derivada", recuperar funcin partir derivada", Nuestro exponer "la forma solucin sencillo como la solucin del tipo ms sencillo de una ecuacin diferencial de primer orden. Las una ecuacin diferencial primer integrales, como "lmites de sumas de Riemann", estudiadas sobre todo a la luz del proRiemann", estudiadas integrales, "lmites blema de determinar reas de regiones generales con fronteras curvas, son un nuevo tema fronteras curvas, tema blema determinar regiones generales que forma la parte sustancial del captulo 5. Despus de un cuidadoso desarrollo del concaptulo Despus cuidadoso desarrollo parte sustancial cepto de integral, pusimos nuestra atencin en su evaluacin y su relacin con las antievaluacin relacin integral, pusimos nuestra atencin derivadas, relacin que se plasma en el teorema fundamental del clculo. Las aplicaciones teorema fundamental clculo. aplicaciones relacin plasma geomtricas volumen, longitudes correspondientes definen diversas ideas geomtricas de rea, volumen, longitudes de tracorrespondientes yectorias y centroides, todas como lmites de sumas de Riemann que dan lugar a integrales lmites sumas Riemann lugar integrales yectorias centroides, definidas que pueden evaluarse determinando una antiderivada del integrando. Posteriorantiderivada integrando. Posteriordefinidas pueden evaluarse determinando mente, regresamos al tema de resolver ecuaciones diferenciales de primer orden ms comprimer orden regresamos resolver ecuaciones diferenciales plicadas; despus de ello, definimos y establecemos las funciones trascendentes y sus establecemos funciones trascendentes plicadas; definimos propiedades. propiedades. Ecuaciones diferenciales Algunas universidades prefieren que este tema se incluya en un tema incluya Ecuaciones diferenciales Algunas universidades prefieren curso aparte de clculo. Aunque nosotros tratamos las soluciones de ecuaciones diferenciasoluciones ecuaciones diferenciaaparte Aunque nosotros tratamos les con variables separables, cuando tratamos las aplicaciones de crecimiento y decaimiento aplicaciones crecimiento decaimiento variables separables, cuando tratamos exponenciales captulo funciones trascendentes, organizamos exponenciales en el captulo de funciones trascendentes, organizamos todo nuestro material nuestro material captulos pueden omitirse para seguir secuencia en dos captulos (que pueden omitirse para seguir la secuencia de clculo). En el captulo 9 clculo). captulo damos un tratamiento introductorio a las ecuaciones diferenciales de primer orden. El capecuaciones diferenciales primer orden. tratamiento introductorio tulo incluye una nueva seccin sobre sistemas y planos fase, con aplicaciones a modelos aplicaciones modelos seccin sistemas planos que incluyen presas y depredadores . En el captulo 17 presentamos una introduccin a ecuacaptulo presentamos una introduccin incluyen presas depredadores. ciones diferenciales de segundo orden, que se incluye en MyMathLab, as como en el sitio incluye MyMathLab, diferenciales segundo Web del texto, www.pearsoneducacion.net/thomas. www.pearsoneducacion.net/thomas. Series Conservamos la estructura organizacional de la decimoprimera edicin para los temas decimoprimera Conservamos estructura organizacional de sucesiones y series. Agregamos nuevas figuras y nuevos ejercicios a diversas secciones, figuras nuevos ejercicios sucesiones Agregamos secciones, pero adems revisamos algunas de las demostraciones relacionadas con la convergencia de demostraciones relacionadas convergencia adems revisamos algunas series de potencia para mejorar la accesibilidad del material a los estudiantes. Uno de los accesibilidad material potencia mejorar estudiantes. usuarios del texto nos dijo que cualquier modificacin que hiciramos "para que este mahiciramos "para usuarios cualquier modificacin terial resultara ms sencillo para los estudiantes" sera bienvenida en su facultad; ese coestudiantes" bienvenida facultad; resultara para mentario nos gui para hacer las revisiones de este captulo. captulo. mentario hacer revisiones Ecuaciones paramtricas Varios usuarios pidieron incluir este tema en el captulo 11, donusuarios pidieron incluir tema captulo Ecuaciones paramtricas de tambin se tratan coordenadas polares y secciones cnicas. Lo hicimos luego de comhicimos tambin tratan coordenadas polares secciones cnicas. prender que muchos departamentos eligen cubrir tales temas al inicio de Clculo IIl, como temas Clculo III, prender muchos departamentos eligen cubrir preparacin para tratar el clculo con vectores y de varias variables. vectores variables. preparacin tratar clculo Funciones de variables vectoriales Redujimos los temas de este captulo para dar mayor temas captulo para Funciones variables vectoriales Redujimos nfasis conceptos fundamentan nfasis a los conceptos que fundamentan el material sobre derivadas parciales, el vector gramaterial derivadas parciales, vector diente y las integrales de lnea. Compactamos el anlisis del marco de Frenet y las tres leyes anlisis marco Frenet integrales Compactamos de Kepler acerca del movimiento de los planetas. planetas. movimiento Clculo de varias variables En estos tres captulos resaltamos el diseo, adems de aadir captulos resaltamos diseo, adems aadir Clculo variables muchas figuras, ejemplos y ejercicios nuevos. Reorganizamos el material inicial sobre inteReorganizamos material muchas figuras, ejemplos ejercicios grales dobles. Combinamos en una sola seccin las aplicaciones de integrales dobles y triaplicaciones integrales Combinamos una seccin ples a masas y momentos; se presentan casos tanto de dos como de tres dimensiones. Dicha dimensiones. Dicha pies momentos; presentan reorganizacin permite una mejor exposicin de los conceptos clave, junto con sus propieconceptos junto propiereorganizacin permite mejor exposicin dades y sus aspectos computacionales. Al igual que en la edicin anterior, en sta contiigual aspectos computacionales. edicin nuamos haciendo las conexiones de las ideas de varias variables con sus anlogos de una varias variables anlogos nuamos haciendo conexiones variable estudian variable que se estudian antes en el texto. Campos vectoriales Dedicamos un considerable esfuerzo para mejorar la claridad y preconsiderable esfuerzo para mejorar claridad Campos vectoriales Dedicamos cisin matemtica de nuestro estudio de clculo integral vectorial, incluyendo ejemplos, clculo integral vectorial, incluyendo ejemplos, matemtica nuestro estudio figuras y ejercicios adicionales. Los teoremas y los resultados importantes se enuncian con teoremas resultados importantes enuncian figuras ejercicios adicionales. mayor claridad y en forma completa; se incluyen explicaciones amplias de sus hiptesis incluyen explicaciones amplias hiptesis claridad completa; y consecuencias matemticas. El rea de una superficie ahora se organiza en una sola secorganiza consecuencias matemticas. superficie ahora cin, mientras las superficies definidas, explcita o implcitamente, se tratan como casos tratan mientras superficies definidas, explcita implcitamente, especiales de la representacin paramtrica ms general. Las integrales de superficie y sus general. integrales superficie especiales representacin paramtrica aplicaciones estudian seccin separada. aplicaciones se estudian en una seccin separada. El teorema de Stokes y el teorema de teorema teorema la divergencia se siguen presentando como generalizaciones del teorema de Green a tres generalizaciones teorema Green divergencia presentando dimensiones. dimensiones.http://gratislibrospdf.com/ 17. Prefacio PrefacioXV XVEJERCICIOS Y EJEMPLOS Sabemos ejercicios ejemplos EJERCICIOS Y EJEMPLOS Sabemos que los ejercicios y los ejemplos son componentes fundacomponentes mentales aprendizaje clculo. virtud importancia, actualizamos, mejoramos mentales en el aprendizaje del clculo. En virtud de tal importancia, actualizamos, mejoramos ampliamos ejercicios y ampliamos el nmero de ejercicios en casi todas las secciones del libro. En la presente edicin secciones presente edicin incluimos nuevos ejercicios. Continuamos nuestra organizacin agrupacin incluimos ms de 700 nuevos ejercicios. Continuamos nuestra organizacin y la agrupacin de ejercicios ediciones anteriores, pasando ejercicios por tema, como en las ediciones anteriores, pasando de problemas computacionales a problemas computacionales problemas aplicados y tericos.. Los ejercicios que requieren del uso de sistemas de cmputo ejercicios sistemas cmputo problemas aplicados tericos requieren colocaron seccin ejercicios (como Maple o Mathematica) se colocaron al final de cada seccin de ejercicios con el tMaple Mathematica) Exploraciones computadora. mayora ejercicios aplicados tienen tulo Exploraciones con computadora. La mayora de los ejercicios aplicados tienen un subindicar aplicacin adecuada problema. ttulo para indicar la clase de aplicacin adecuada del problema. Muchas secciones incluyen ejemplos para clarificar profundizar significado Muchas secciones incluyen ejemplos nuevos para clarificar y profundizar en el significado estudia, ayudar estudiantes comprender consecuencias del tema que se estudia, as como para ayudar a los estudiantes a comprender las consecuencias matemticas aplicaciones ciencia ingeniera. mismo tiempo, eliminamos matemticas o las aplicaciones a la ciencia y la ingeniera. Al mismo tiempo, eliminamos ejemplos que repetan material presentado con anterioridad. anterioridad. repetan material presentado DISEO Por su importancia en el aprendizaje del clculo, continuamos con la mejora de figuras importancia aprendizaje continuamos mejora DISEO existentes incluimos nmero significativo figuras. Continuamos existentes en este texto e incluimos un nmero significativo de nuevas figuras. Continuamos conceptual con el uso del color de manera consistente y pedaggica para resaltar la idea conceptual que manera consistente pedaggica para resaltar Tambin revisamos leyendas figuras, poniendo mucha atencin se ilustra. Tambin revisamos todas las leyendas de las figuras , poniendo mucha atencin a la claridad precisin enunciados claridad y precisin en los enunciados cortos.y yy=1 1 y=No importa qu positivo nmero positi vo sea , a a grfica se encuentra encuentra = en esta banda en x = E Yah Yah permanece.~1 1y= y = ~ r-~~~~~~.r-~~--~----~Si,nimportar qU~ numero positivo sea e, la grfica se encuentra en esta banda en x = y ah permanece.-FIGURA 2.50 geometra dentro FIGURA 2.50 La geometra dentro del argumento ejemplo argumento del ejemplo 1....--FIGURA 16.9 Una superficie, FIGURA 16.9 Una superficie, como una campo vectorial red o un paracadas, en un campo vectorial paracadas, vectores velocidad que representa los vectores velocidad del representa flechas muestran flujo de agua o aire. Las flechas muestran la aire. direccin longitudes indican direccin y sus longitudes indican la rapidez.MYMATHlAB Y MATHXl aumento demanda sistemas MYMATHlAB Y MATHXl El aumento en el uso y la demanda de sistemas de tareas en lnea ha llevado a cambios en MyMathLab y MathXL para el texto. El curso MyMathLab ahora cambios MyMathLab MathXL para MyMathLab incluye muchos ejercicios tipo. applets Java agregan incluye muchos ms ejercicios de todo tipo. Los nuevos applets Java se agregan a la ya significativa coleccin, ayudar estudiantes visualizar conceptos generalizar nificativa coleccin, para ayudar a los estudiantes a visualizar los conceptos y generalizar el material. material.caractersticas destacadas Otras caractersticas destacadas RIGOR formalidad consistente ediciones anteriores. Seguimos RIGOR El nivel de formalidad es consistente con el de las ediciones anteriores. Seguimos distinguiendo informal, sealamos diferencias. Consideramos tinguiendo entre anlisis formal e informal, y sealamos sus diferencias. Consideramos que anlisis iniciar intuitiva menos estudiantes comprender iniciar con una idea ms intuitiva y menos formal ayuda a los estudiantes a comprender un condificil, manera puedan apreciar cabalmente precisin cepto nuevo y dificil, de manera que luego ellos puedan apreciar cabalmente su precisin matemtica resultados. Ponemos atencin definir manera detallada matemtica y los resultados. Ponemos atencin en definir las ideas de una manera detalladahttp://gratislibrospdf.com/ 18. xviPrefacio Prefacio y en probar los teoremas adecuados para estudiantes de clculo, aunque mencionamos temas probar teoremas adecuados para estudiantes clculo, aunque mencionamos temas ms profundos o sutiles que ellos estudiarn en un curso ms avanzado. Nuestra organizacin profundos sutiles estudiarn Nuestra organizacin y las distinciones entre tratamiento informal y formal dan al profesor un considerable grado de distinciones entre tratamiento informal formal profesor considerable grado flexibilidad en la cantidad y la profundidad de cobertura de los diferentes temas. Por ejemplo, ejemplo, flexibilidad cantidad profundidad cobertura diferentes no demostramos el teorema del valor intermedio ni el teorema del valor extremo para funciones demostramos teorema valor intermedio teorema valor extremo funciones continuas en a :=; x :=; b, pero enunciamos dichos teoremas de manera muy precisa, ilustramos :S :S continuas enunciamos dichos teoremas manera muy precisa, ilustramos significado su significado en numerosos ejemplos y los utilizamos para demostrar otros resultados impornumerosos ejemplos utilizamos para demostrar resultados importantes. Adems, para aquellos profesores que deseen una mayor profundidad, en e! apndice 6 tantes. Adems, para aquellos profesores deseen profundidad, el apndice estudiamos la validez de tales teoremas con base en la completez de los nmeros reales. teoremas estudiamos validez base completez nmeros reales. EJERCICIOS DE ESCRITURA Los ejercicios de escritura colocados en todo el texto piden a los EJERCICIOS DE ESCRITURA ejercicios escritura colocados estudiantes explicar una variedad de conceptos y variaciones del clculo. Adems, al final de estudiantes explicar una variedad conceptos variaciones clculo. Adems, cada captulo se incluye una lista de preguntas para que revisen y sinteticen lo que aprendieron. cada captulo incluye preguntas para revisen sinteticen aprendieron. Muchos de estos ejercicios son buenas tareas de redaccin. Muchos estos ejercicios buenas tareas redaccin. REPASO Y PROYECTOS DE FINAL DE DE CAPTULO Adems de los problemas que aparecen en REPASO Y PROYECTOS DE FINAL CAPTULO Adems problemas aparecen cada seccin, cada captulo termina con preguntas de repaso, ejercicios de prctica que cubren seccin, captulo termina preguntas repaso, ejercicios prctica cubren todo el captulo, y una serie de ejercicios adicionales y avanzados que sirven para incluir procaptulo, ejercicios adicionales avanzados sirven para incluir blemas ms desafiantes o que sintetizan el conocimiento. La mayora de los captulos tambin desafiantes sintetizan e! conocimiento. blemas mayora captulos tambin incluyen descripciones de varios Proyectos de aplicacin tecnolgica, que pueden desarroincluyen descripciones varios Proyectos aplicacin tecnolgica, pueden desarrollarse de manera individual o por grupos en un periodo ms prolongado. Dichos proyectos remanera individual por grupos periodo prolongado. Dichos proyectos quieren el uso de una computadora con Mathematica o Maple, y de material adicional, el cual quieren e! computadora Mathematica Maple, material adicional, est disponible en Internet en www.pearsoneducacion.net/thomas disponible Internet www.pearsoneducacion.net/thomas y en MyMathLab. MyMathLab. ESCRITURA Y APLICACIONES Como siempre, este texto contina siendo fcil de leer, pues ESCRITURA Y APLICACIONES Como siempre, contina siendo tiene un estilo conversacional al tiempo que es rico matemticamente. Cada nuevo tema se conversacional tiempo matemticamente. Cada plantea mediante ejemplos claros y fciles de comprender; adems, el tema se refuerza meplantea mediante ejemplos claros comprender; adems, refuerza diante aplicaciones a problemas del mundo real y de inters inmediato para los estudiantes. Un diante aplicaciones problemas mundo inters inmediato para estudiantes. sello distintivo de! libro han sido sus aplicaciones del clculo a la ciencia y la ingeniera. Estos distintivo del aplicaciones clculo ciencia ingeniera. problemas aplicados se han actualizado, mejorado y ampliado de manera continua durante las problemas aplicados actualizado, mejorado ampliado manera continua durante ltimas ediciones. ltimas ediciones. TECNOLOGA TECNOLOGA En un curso que utilice e! texto, la tecnologa puede incorporarse de acuerutilice el tecnologa puede incorporarse do con e! criterio de cada profesor. Cada seccin contiene ejercicios que requieren el uso de el criterio Cada seccin contiene ejercicios requieren tecnologa; si es pertinente el uso de una calculadora o una computadora, se incluye un smtecnologa; pertinente una calculadora computadora, incluye bolo D en los ejercicios, o bien, stos se agrupan bajo el ttulo Exploraciones con compuD ejercicios, agrupan Exploraciones computadora si se requiere del uso de un sistema algebraico computacional (SAC, como Maple o sistema algebraico computacional tadora requiere Maple Mathematica).). . MathematicamuLtimedia y apoyo en Lnea CompLementos muLtimedia y apoyo en Linea MANUALES DE RECURSOS TECNOLGICOS MANUALES DE RECURSOS TECNOLGICOS Maple Manual de James Stapleton, North Carolina State University Maple Manual James Stapleton, North Carolina University Mathematica Manual Mathematica Manual de Marie Vanisko, Carroll College Marie Vanisko, Carroll College TI-Graphing Calculator Manual TI-Graphing Calculator Manual de Elaine McDonald-Newman, Sonoma State University Elaine McDonald-Newman, Sonoma University Estos manuales cubren Maple 13, Mathematica 7 y las TI-83 PlusrrI-84 Plus y TI-89, respecmanuales cubren Maple Mathematica PluslTI-84 TI-89, respectivamente. Cada manual ofrece una gua detallada para integrar un paquete especfico o una tivamente. Cada manual ofrece detallada para integrar paquete especfico calculadora graficadora a lo largo de todo e! curso, incluyendo sintaxis y comandos. Los macalculadora graficadora el curso, incluyendo sintaxis comandos. nuales estn disponibles para profesores calificados a travs del Centro de Recursos para el nuales estn disponibles para profesores calificados Centro Recursos para Profesor de Pearson, www.pearsonhighered/irc y MyMathLab. Profesor Pearson, www.pearsonhighered/irc MyMathLab.SITIO WEB www.pearsoneducacion.netjthomas SITIO WEB www.pearsoneducacion.netjthomas El sitio Web de Clculo de Thomas contiene el captulo sobre ecuaciones de segundo orden, segundo orden, contiene captulo ecuaciones incluyendo las respuestas a problemas de nmero impar; adems, presenta las biografas hisincluyendo respuestas problemas nmero adems, presenta biografas tricas ampliadas y los ensayos a que hace referencia el texto.. Tambin est disponible una tricas ampliadas referencia texto Tambin disponible coleccin de mdulos en Maple y Mathematica, as como los Proyectos de aplicacin tecnocoleccin mdulos Maple Mathematica, Proyectos aplicacin tecnolgica, que pueden usarse como proyectos para los alumnos, ya sea que trabajen de manera inlgica, pueden usarse proyectos para alumnos, trabajen manera dividual o por grupos. dividual por grupos.http://gratislibrospdf.com/ 19. Prefacio PrefacioxviiCurso en linea con MyMathLab (se requiere un cdigo de acceso) lnea con MyMathLab (se requiere un cdigo de acceso) MyMathLab es un curso en lnea especfico del texto y fcil de personalizar que integra inspersonalizar MyMathLab especfico integra trucciones interactivas profesor trucciones interactivas de multimedios con contenido del texto. MyMathLab da al profesor las multimedios contenido MyMathLab herramientas que necesita para poner todo su curso o una parte de ste en lnea, si sus alumnos parte herramientas necesita para poner alumnos estn en un laboratorio o bien trabajan en su casa. laboratorio trabajan Ejercicios interactivos, correlacionados con el libro de texto en el nivel de objetivos, se geEjercicios interactivos, correlacionados objetivos, neran de manera algortmica para prctica y dominio ilimitados. La mayora de los ejercimanera algortmica para prctica dominio ilimitados. neran mayora cios son de respuesta abierta y presentan soluciones guiadas, problemas de ejemplo y apoyo respuesta abierta presentan soluciones guiadas, problemas ejemplo al aprendizaje para ayuda adicional. aprendizaje adicional. Captulo "Cmo prepararse": incluye cientos de ejercicios referentes a las habilidades Captulo "Cmo prepararse": cientos ejercicios referentes habilidades necesarias lgebra trigonometra. estudiante puede recibir necesarias de lgebra y trigonometra. Cada estudiante puede recibir apoyo para aquellas para aquellas habilidades necesite habilidades en las que necesite ayuda. Plan estudio personalizado, generado cuando estudiantes completan examen Plan de estudio personalizado, generado cuando los estudiantes completan un examen o cuestionario; indica temas tienen dominarse, contiene vnculos ejercicios un cuestionario; indica los temas que tienen que dominarse, y contiene vnculos a ejercicios tutoriales mejorar comprensin desempeo. tutoriales para mejorar su comprensin y desempeo. aprendizaje multimedia, videoclases, animaciones; Apoyo de aprendizaje multimedia, como videoclases, applets de Java y animaciones; ayuda estudiantes mejorar, independientemente comprensin desempeo. a los estudiantes a mejorar, independientemente de su nivel de comprensin y desempeo. Administrador evaluaciones: permite crear trabajos, cuestionarios exmenes Administrador de evaluaciones: permite crear trabajos, cuestionarios y exmenes en lnea, califican manera automtica. Basta seleccionar que se califican de manera automtica. Basta seleccionar una mezcla adecuada de las premezcla adecuada ejercicios MyMathLab ejercicios creados guntas en el banco de ejercicios de MyMathLab y de los ejercicios creados por el profesor. banco Libro calificaciones: diseado especficamente para matemticas estadstica, Libro de calificaciones: diseado especficamente para matemticas y estadstica, de maautomtica seguimiento estudiante brinda profesor control nera automtica hace un seguimiento del estudiante y brinda al profesor control para calcucalificaciones Tambin lar las calificaciones finales. Tambin es posible agregar calificaciones extras a este libro de posible agregar calificaciones calificaciones. calificaciones. Diseador ejercicios MathXL: permite ejercicios algortmicos para Diseador de ejercicios MatbXL: permite crear ejercicios fijos y algortmicos para las ejercicios como tareas en lnea. El profesor puede utilizar la biblioteca de ejercicios como un punto sencillo profesor puede utilizar biblioteca punto sencillo inicio. de inicio. MyMathLab CourseCompassTM, entorno s enseanza MyMathLab es activado por CourseCompassTM, entornos de enseanza y aprendizaje de Pearson Educacin, MathXL, nuestro sistema tareas, tutoriales MyMathLab Educacin, y por MathXL, nuestro sistema en lnea de tareas, tutoriales y trabajos. MyMathLab disponible para maestros calificados adopten est disponible para maestros calificados que adopten el texto. Para mayor informacin, comayor informacin, munquese representante ventas munquese con su representante de ventas local de Pearson.Video clases con captura opcional Video clases con captura opcional incluyen ejemplos ejercicios texto, Las presentaciones de las clases incluyen ejemplos y ejercicios del texto, adems de que apopresentaciones enfoque enfatiza visualizacin disponible yan un enfoque que enfatiza la visualizacin y la resolucin de problemas. Est disponible por resolucin problemas. MyMathLab MathXL. medio de MyMathLab y MathXL.Cursos lnea con MathXL (se requiere cdigo de acceso) Cursos en linea con MathXL (se requiere cdigo de acceso) MathXL sistema trabajos acompaa MathXL es un sistema en lnea para tareas, tutora y asignacin de trabajos que acompaa a lipara tareas, tutora asignacin bros de texto en matemticas y estadstica de Pearson. matemticas estadstica Pearson. Ejercicios interactivos, correlacionados objetivos; Ejercicios interactivos, correlacionados con el libro de texto en el nivel de objetivos; se generan manera algortmica para prctica dominio ilimitados. mayora generan de manera algortmica para prctica y dominio ilimitados. La mayora de los ejerejemplo cicios son de respuesta abierta y ofrecen soluciones guiadas, problemas de ejemplo y apoyo respuesta abierta ofrecen soluciones guiadas, problemas aprendizaje para adicional. al aprendizaje para ayuda adicional. Captulo "Cmo prepararse": incluye cientos ejercicios referentes habilidades Captulo "Cmo prepararse": incluye cientos de ejercicios referentes a las habilidades necesarias estudiante puede recibir necesarias de lgebra y trigonometra. Cada estudiante puede recibir apoyo para aquellas lgebra trigonometra. para aquellas habilidades necesite habilidades en las que necesite ayuda. Plan estudio personalizado: genera cuando estudiantes completan Plan de estudio personalizado: se genera cuando los estudiantes completan un examen o un cuestionario; adems, indica los temas que tienen que dominarse, y contiene vnculos cuestionario; adems, indica tienen dominarse, contiene vnculos ejercicios tutoriales para mejorar comprensin desempeo. a ejercicios tutoriales para mejorar su comprensin y desempeo. aprendizaje multimedia, videoclases, applets animaciones; Apoyo de aprendizaje multimedia, como videoclases, applets de Java y animaciones; estudiantes mejorar, independientemente comprensin ayuda a los estudiantes a mejorar, independientemente de su nivel de comprensin y desempeo. sempeo.http://gratislibrospdf.com/ 20. xviiiPrefacio Prefacio estadstica, macalificaciones: diseado especficamente para matemticas Libro de calificaciones: diseado especficamente para matemticas y estadstica, de manera automtica hace un seguimiento del estudiante brinda nera automtica hace un seguimiento del estudiante y y brinda al profesor control para calcuprofesor control para calcular las calificaciones finales. Tambin lar las calificaciones finales. Tambin es posible agregar calificaciones extras a este libro de posible agregar calificaciones extras este libro calificaciones. calificaciones.Diseador ejercicios MathXL: permite crear ejercicios fijos algortmico s para Diseador de ejercicios MathXL: permite crear ejercicios fijos y algortmicos para las tareas en lnea. E l profesor puede utilizar la biblioteca de ejercicios como un punto sencillo tareas en lnea. El profesor puede utilizar la biblioteca de ejercicios como un punto sencillo inicio. de inicio. Administrador evaluaciones: permite crear trabajos, cuestionarios exmenes en lnea Administrador de evaluaciones: permite crear trabajos, cuestionarios y exmenes en lnea que se califican manera automtica. Basta seleccionar una mezcla adecuada de las preque se califican de manera automtica. Basta seleccionar una mezcla adecuada de las preguntas en el banco de ejercicios de MyMathLab y de los ejercicios creados por el profesor. ejercicios MyMathLab los ejercicios creados por profesor. banco guntas enMathXL est disponible para profesores calificados que adopten libro. Para mayor informaMathXL est disponible para profesores calificados que adopten el libro. Para mayor informacin, comunquese con su representante ventas local Pearson. cin, comunquese con su representante de ventas local de Pearson.TestGen TestGen permite los maestros construir, editar, imprimir administrar exmenes utilizando TestGen permite a los maestros construir, editar, imprimir y administrar exmenes utilizando un banco cual fue desarrollado para cubrir todos los objetivos un banco de preguntas computarizado, el cual fue desarrollado para cubrir todos los objetivos preguntas computarizado, del texto. TestGen tiene como base un algoritmo que permite los profesores crear mltiples del texto. TestGen tiene como base un algoritmo que permite a los profesores crear mltiples versiones, aunque equivalentes, misma pregunta examen con tan slo hacer clic en un versiones, aunque equivalentes, de la misma pregunta o examen con tan slo hacer clic en un botn. Los profesores tambin pueden modificar las preguntas del banco respectivo agregar botn. Los profesores tambin pueden modificar las preguntas del banco respectivo o agregar nuevas preguntas. Es posible imprimir los exmenes administrados en lnea. nuevas preguntas. Es posible imprimir los exmenes o administrarlos en lnea.Diapositivas de clases en PowerPoint Diapositivas de clases en PowerPoint Estas diapositivas presentaciones clases fueron diseadas especficamente Estas diapositivas de presentaciones de clases fueron diseadas especficamente para la secuenpara secuencia filosofia serie Clculo de Thomas. incluyen grficas clave del libro para ayudar cia y filosofia de la serie de Clculo de Thomas. Se incluyen grficas clave del libro para ayudar hacer vvidos los conceptos en saln clases. a hacer vvidos los conceptos en el saln de clases.Manual de soluciones para el profesor soluciones para el profesor El Manual de soluciones para el profesor, El Manual de soluciones para el profesor, de William Ardis, Collin County Community College, William Ardis, Collin County Community College, contiene soluciones completamente desarrolladas todos los ejercicios del texto. contiene soluciones completamente desarrolladas de todos los ejercicios del texto.Agradecimientos Agradeci mi entos Queremos expresar nuestro agradecimiento las personas que hicieron muchas invaluables contribuciones esta edicin conforme deQueremos expresar nuestro agradecimiento a las personas que hicieron muchas e invaluables contribuciones a esta edicin conforme se desarrollaba en sus diferentes etapas: sarrollaba en sus diferentes etapas:Revisores Revisores Blaise DeSesa Blaise DeSesa Paul Lorczak Paul LorczakKathleen Pellissier Kathleen Pellissier Lauri Semarne Lauri SemameSarah Streett Sarah Streett Rolly Zullo Rolly ZulloRevisores la decimosegunda edicin Revisores de la decimosegunda edicin Meighan Dillon, Southern Polytechnic State University Meighan Dillon, Southern Polytechnic State University Anne Dougherty, University of Colorado Anne Dougherty, University of Colorado Said Fariabi, San Antonio College Said Fariabi, San Antonio College Klaus Fischer, George Mason University Klaus Fischer, George Mason University Tim Flood, Pittsburg State University Tim Flood, Pittsburg State University Rick Ford, California State University, Chico Rick Ford, California State University, Chico Robert Gardner, East Tennessee State University Robert Gardner, East Tennessee State University Christopher Heil, Georgia lnstitute ofTechnology Christopher Reil, Georgia lnstitute ofTechnology Joshua Brandon Holden, Rose-Hulman lnstitute ofTechnology Joshua Brandon Rolden, Rose-Hulman lnstitute ofTechnology Alexander Hulpke, Colorado State University Alexander Rulpke, Colorado State University Jacqueline Jensen, Sam Houston State University Jacqueline Jensen, Sam Houston State University Jennifer Johnson, Princeton University Jennifer M. Johnson, Princeton University Hideaki Kaneko, Old Dominion University Rideaki Kaneko, Old Dominion University Przemo Kranz, University of Mississippi Przemo Kranz, University of Mississippi Xin Li, University of Central Florida Xin Li, University of Central FloridaMaura Mast, University of Massachusetts, Boston Maura Mast, University of Massachusetts, Boston Mohanakumar, Hillsborough Community College, Dale Mabry Campus Val Mohanakumar, Hillsborough Community College, Dale Mabry Campus Aaron Montgomery, Central Washington University Aaron Montgomery, Central Washington University Cynthia Piez, University of ldaho Cynthia Piez, University ofldaho Brooke Quinlan, Hillsborough Community College, Dale Mabry Campus Brooke Quinlan, Hillsborough Community College, Dale Mabry Campus Rebecca Segal, Virginia Commonwealth University Rebecca A. Segal, Virginia Commonwealth University Andrew Sills, Georgia Southern University Andrew V Sills, Georgia Southern University Alex Smith, University ofWisconsin, Eau Alex Smith, University ofWisconsin. Eau Claire Mark A. Smith, Miami University Mark A. Smith, Miami University Donald Solomon, University ofWisconsin, Milwaukee Donald Solomon, University ofWisconsin, Milwaukee Blake Thornton, Washington University Sto Louis Blake Thornton, Washington University in Sto Louis David Walnut, George Mason University David Walnut, George Mason University Adrian Wilson, University of Montevallo Adrian Wilson, University ofMontevallo Bobby Winters, Pittsburg State University Bobby Winters, Pittsburg State University Dennis Wortman, University o/ Massachusetts, Boston Dennis Wortman, University of Massachusetts, Bostonhttp://gratislibrospdf.com/ 21. 1 1 FUNCIONES FUNCIONES INTRODUCCIN Las funciones son fundamentales en el estudio del clculo. En este captulo captulo fundamentales INTRODUCCIN funciones repasamos funciones, dibujan grficas, cmo combinan repasamos lo que son las funciones , cmo se dibujan sus grficas, cmo se combinan y se transforman, as como las formas en las que se pueden clasificar. Adems, revisamos las funtransforman, pueden clasificar. Adems, revisamos ciones trigonomtricas y analizamos las representaciones errneas que pueden ocurrir cuando pueden ocurrir cuando trigonomtricas analizamos representaciones errneas se utilizan calculadoras o computadoras para obtener la grfica de una funcin.. En los apnfuncin utilizan calculadoras computadoras para obtener grfica revisa sistema nmeros reales, coordenadas cartesianas, dices se revisa el sistema de los nmeros reales, as como las coordenadas cartesianas, las rectas, parbolas circunferencias. captulo lneas rectas, las parbolas y las circunferencias. En el captulo 7 se tratan las funciones invertratan funciones sas, exponenciales y logartmicas. exponenciales logartrnicas.1.1 1.1Las funciones sus grficas Las funciones y sus grficas funciones herramienta describir real Las funciones son una herramienta para describir el mundo real en trminos matemticos. trminos matemticos. Una funcin puede representarse mediante una ecuacin, una grfica, una tabla numrica o numrica funcin puede representarse mediante ecuacin, grfica, una mediante una descripcin verbal; a lo largo de este texto utilizaremos las cuatro representacuatro representamediante descripcin verbal; utilizaremos ciones. seccin revisa ciones. Esta seccin revisa tales ideas de funcin.Funciones: Dominio rango Funciones: Dominio y rango La temperatura a la cual hierve el agua depende de la altitud sobre el nivel del mar (el punto punto temperatura hierve depende altitud sobre de ebullicin es ms bajo conforme se asciende). El inters que se paga por una inversin deebullicin conforme asciende). inters paga por una inversin pende del tiempo que sta se conserve. El rea de un crculo depende de su radio. La distancia distancia pende tiempo conserve. depende recorre rapidez constante trayectoria recta depende que recorre un objeto a una rapidez constante a lo largo de una trayectoria recta depende del tiempo transcurrido. transcurrido. cantidad digamos depende En cada caso, el valor de una cantidad variable, digamos y, depende del valor de otra canvalor tidad variable, que podramos llamar x.. Decimos que ''y es una funcin de x", lo que en forma forma podramos llamar x Decimos una funcin simblica escribimos como simblica escribimos . y = f(x) = f(x)("y es igual a f de x"). fEn esta notacin, el smbolo f representa a la funcin, la letra x es la variable independiente variable independiente notacin, smbolo f representa funcin, representa valor entrada def, mientras variable dependiente que representa el valor de entrada de f, mientras que y es la variable dependiente o variable de variable salida de f en x.. f x DEFINICIN Una funcin f de un conjunto D a un conjunto Yes una regla que asigna funcin f conjunto conjunto Yes DEFINICIN asigna a cada elemento x E D un solo o nico elemento f(x) E Y. elemento E nico elemento f(x) E Y.conjunto valores posibles entrada denomina dominio El conjunto D de todos los valores posibles de entrada se denomina dominio de la funcin. conjunto valores todos El conjunto de todos los valores de f(x) cuando x vara por todos los valores de D se denomina f(x) valores denomina rango funcin. podra elementos rango de la funcin. El rango podra no incluir a todos los elementos del conjunto Y. El dominio conjunto Y. y el rango de una funcin pueden ser cualquier conjunto de objetos, aunque en clculo con frepueden cualquier conjunto cuencia se trata de conjuntos de nmeros reales, los cuales se interpretan como puntos de una puntos conjuntos nmeros interpretan recta coordenada. (En los captulos 13 a 16 encontraremos funciones para las que los elementos elementos coordenada. captulos 13 encontraremos funciones son puntos en el plano coordenado o en el espacio). puntos coordenadahttp://gratislibrospdf.com/1 1 22. 2xCaptulo 1: Funciones Captulo FuncionesEntrada (dominio)f- __---i.~ ---.~f(x) f(x)Salida (rango)FIGURA 1.1 Diagrama que muestra una FIGURA 1.1 Diagrama muestra [uncin como una especie de mquina. [uncin especie mquina.x~ ~f(a)~.r..;-.r -;-D = conjunto =dominio~f(a)frecuencia una expresa mediante una frmula describe calcular Con frecuencia una funcin se expresa mediante una frmula que describe cmo calcular el valor de salida a partir de la variable de entrada. Por ejemplo, la ecuacin A = 7Tr22 es una valor salida partir variable entrada. ejemplo, ecuacin A = 7Tr regla que permite calcular el rea A de un crculo de radio r (as, r se interpreta como una lonpermite calcular crculo interpreta gitud, que en esta frmula slo puede ser positiva). Cuando definimos una funcin y = f(x) puede frmula positiva). Cuando definimos una funcin = f(x) mediante una frmula, y el dominio no se establece de forma explcita o se restringe por el conmediante una frmula, dominio establece forma explcita restringe supondr dominio conjunto nmeros cuales texto, se supondr que el dominio ser el mayor conjunto de nmeros reales x para los cuales frmula proporciona valores dominio natural. alguna manera la frmula proporciona valores reales para y,, el llamado dominio natural. Si de alguna manera para y queremos restringir el dominio, debemos establecerlo. El dominio de y = x2 es todo el conjunto queremos restringir dominio, debemos establecerlo. dominio = x2 conjunto de los nmeros reales. Para restringir el dominio de la funcin, digamos a valores positivos restringir nmeros reales. dominio digamos valores positivos x, escribiramos "y = 2 x O". ". para x, escribiramos "y = x2, , x>> O Por lo regular, al cambiar el dominio para el que aplicamos una frmula, se modifica tamregular, cambiar dominio para aplicamos una frmula, modifica bin bin el rango. El rango de y = x2 es [O, (0). El rango de y = x2, , X 2: 2, es el conjunto de todos = x2 (0). = 2 X conjunto todos los nmeros reales que se obtienen al elevar al cuadrado nmeros mayores o iguales a 2. En la nmeros obtienen elevar cuadrado nmeros mayores iguales notacin conjuntos apndice {x21 {y (0). notacin de conjuntos (vase el apndice 1), el rango es {x2 1x 2: 2} o {y Iy 2: 4} o [4, (0). Cuando el rango de una funcin es un subconjunto de nmeros reales, se dice que la funCuando subconjunto nmeros cin tiene valores reales (o que es real valuada). Los dominios y rangos de muchas funcio valores reales valuada). dominios rangos muchas funciones con valores reales de una variable real son intervalos o combinaciones de intervalos. Los valores variable intervalos combinaciones intervalos. intervalos pueden ser abiertos, cerrados y semiabiertos, as como finitos o infinitos. El rango intervalos pueden abiertos, cerrados semiabiertos, finitos infinitos. funcin siempre sencillo determinar. de una funcin no siempre es sencillo de determinar. funcin una mquina salida f(x Una funcin ff es como una mquina que produce el valor de salida f(x) ) en su rango, siemproduce valor pre que le demos el valor de entrada x de su dominio (figura 1.1). Las teclas de funciones en valor entrada dominio (figura funciones una calculadora ofrecen un ejemplo de una funcin vista como una mquina. Por ejemplo, la una calculadora ofrecen ejemplo funcin vista una mquina. ejemplo, calculadora valor cuadrada) siempre introduce tecla en una calculadora da el valor de salida (la raz cuadrada) siempre que se introduce un nmero no negativo x y se presiona la tecla nmero presiona funcin tambin diagrama flechas (figura Una funcin tambin se puede representar como un diagrama de flechas (figura 1.2). puede representar asocia elemento dominio D elemento conjunto Cada flecha asocia un elemento del dominio D con un nico elemento en el conjunto Y. En la figura 1.2 las flechas indican que f( a) est asociada con a, f(x) est asociada con x y as sucef( f(x) figura indican asociada asociada sivamente. Observe que una funcin puede tener el mismo valor en dos elementos de entrada sivamente. Observe funcin puede tener mismo valor elementos entrada diferentes dominio ocurre conf(a) figura cada elemento diferentes en el dominio [como ocurre conf(a) en la figura 1.2], pero a cada elemento de entrada x se le asigna un solo valor de salida f(x).). solo trada asigna salida f(xVxf(x) f(x)y = conjunto que =contiene al rangoFIGURA 1.2 Una funcin conjunto Da FIGURA 1.2 Una funcin del conjunto Da un conjunto Y asigna un nico elemento de Y conjunto asigna elemento a cada elemento en D. elementoVx.EJEMPLO 1 Verifique los dominios naturales y los rangos asociados de algunas funciones Verifique dominios naturales rangos asociados algunas funciones sencillas. En cada caso, los dominios son los valores de x para los que la frmula tiene sentido. para sencillas. caso, dominios valores frmula tieneFuncin FuncinDominio (x) Dominioy = x2 = x2(-00, (0) (- 00, (0)(0) [O, (0)Y = l /x = l/x y= y=(-00, (0) (-00, O) U (O, (0) (0) [O, (0)(-00, U (0) (-00, O) U (O, (0) (0) [O, (0)y=~ ~ y=(-00,4] (- 00, 4](0) [O, (0)y=~ ~ y=[-1, 1] [ - 1, 1]1] [O, 1]VxRango (y) Rango (y)Solucin frmula = X2 valor Soludn La frmula y = x2 da un valor real y para cualquier nmero real x, as que el dopara cualquier nmero (-00, (0). = X cualquier nmero minio es (-00, (0). El rango de y = x22 es [O, (0), ya que el cuadrado de cualquier nmero real cuadrado es no negativo y todo nmero no negativo y es el cuadrado de su raz cuadrada, y = (v'Y)2 nmero negativo cuadrado cuadrada, = (vY)2 para y 2: O. para frmula = l/x valor excepto para = acuerdo La frmula y = l/x ser un valor real y para toda x, excepto para x = O. De acuerdo con aritmticas, no podemos dividir un nmero entre cero. = l/x, las reglas aritmticas, no podemos dividir un nmero entre cero . El rango de y = l / x, el conjunto de los recprocos de todos los nmeros reales distintos de cero, es precisamente el cero, precisamente junto recprocos nmeros reales distintos conjunto nmeros = l/(l/y). conjunto de todos los nmeros reales distintos de cero, ya que y = l / (l / y ). Esto es, para distintos para y -:F 0, el nmero x = l / y es la entrada asignada al valor de salida y.. =1=- nmero = l/y entrada asignada salida y frmula = = La frmula y = Vx da un valor real de y slo si x 2: O. El rango de y = Vx es [O, (0), porque cada nmero no negativo es la raz cuadrada de algn nmero (es decir, es la raz cuanmero negativo cuadrada algn nmero drada drada de su propio cuadrado). propio cuadrado). = ~ cantidad 2: ::s 4. En y = V4=X la cantidad 4 - x no puede ser negativa. Es decir, 4 - x 2: o x :::; 4. puede frmula valores ::s La frmula da valores reales de y para todas las x :::; 4. El rango de ~ para ~ es [O, (0), el conjunto nmeros negativos. conjunto de todos los nmeros no negativos. http://gratislibrospdf.com/ 23. 1.1La frmula yLasfunciones y sus grficas3da un valor real de y para toda x en el intervalo cerrado de= ~-1 a l. Fuera de este dominio, 1- x2 es negativo y su raz cuadrada no es un nmero real.Los valores de 1 - x2 y sus races varan de O a 1 en el dominio dado. El rango de ~ es [O, 1].Grficas de funciones Si f es una funcin con dominio D, su grfica consiste en los puntos del plano cartesiano cuyas coordenadas son las parejas de entrada-salida de f. En notacin de conjuntos, la grfica es {(x,j(xIxED}.La grfica de la funcin f(x) = x + 2 es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y) para los que y = x + 2. Su grfica es la lnea recta que se bosqueja en la figura l.3. La grfica de una funcin f es una representacin til de su comportamiento. Si (x, y) es un punto en la grfica, entonces y = f(x) es la altura de la grfica en el punto x. La altura puede ser positiva, negativa o cero, lo cual depende del valor de f(x) (figura 1.4). yy--~r---~---------+xxy=x2-24-11O1392424EJEMPLO 2Trace la grfica de la funcin yCmo sabemos que la grfica de y y-2-1O= x2en el intervalo [-2,2].Solucin Elabore una tabla de parejas xy que satisfagan la ecuacin y = x2. Trace los puntos (x, y) cuyas coordenadas aparecen en la tabla y dibuje una curva suave por los puntos trazados (rotule la curva con su ecuacin) (vase la figura 1.5). yFIGURA 1.5 ejemplo 2.FIGURA 1.4 Si (x, y) pertenece a la grfica de I, entonces el valor de y = f(x) es la altura de la grfica arriba de x (o abajo de x si f(x) es negativa).O1FIGURA 1.3 La grfica de f(x) = x + 2 es el conjunto de puntos (x, y) para los cuales y tiene el valor x + 2.2Grfica de la funcin en elhttp://gratislibrospdf.com/= x2no ser como una de estas curvas? y 24. 4Captulo 1: Funciones Para averiguarlo, podramos tabular ms puntos. Pero, cmo los conectamos? La pregunta original se sostiene: de qu manera sabremos con certeza cul es el aspecto de la grfica entre los puntos que tabulamos? El clculo responde esta pregunta, como veremos en el captulo 4. Mientras tanto, nos conformaremos con tabular puntos y conectarlos lo mejor que sea posible.Representacinen forma numrica de una funcinVimos cmo puede representarse una funcin de forma algebraica mediante una frmula (la funcin del rea de un crculo) y visualmente mediante una grfica (ejemplo 2). Otra manera de hacerlo es en forma numrica por medio de una tabla de valores. Los ingenieros y cientficos con frecuencia utilizan las representaciones numricas. Con una adecuada tabla de valores, se obtiene la grfica de una funcin al aplicar el mtodo que se ilustr en el ejemplo 2, posiblemente con ayuda de una computadora. La grfica que consiste en slo los puntos de la tabla se denomina diagrama de dispersin.EJEMPLO 3 Las notas musicales son ondas de presin en el aire. Los datos en la tabla 1.1 indican la variacin de presin registrada contra el tiempo en segundos de una nota musical producida por un diapasn. La tabla es una representacin de la funcin de presin a lo largo del tiempo. Si primero trazamos un diagrama de dispersin y luego conectamos los puntos (t,p) de la tabla, obtendremos la grfica que se muestra en la figura 1.6.pTABLA 1.1Datos del diapasnTiempoPresinTiempo0.00091-0.0800.003621.0 0.8 0.6 0.4 0.2Presin0.003790.217 0.4800.001250.200 0.4800.003980.6810.001440.6930.004160.8100.001620.8160.004350.8270.001800.8440.004530.7490.001980.7710.004710.5810.002160.6030.004890.3460.002340.3680.005070.002530.0990.00525(presin)-0.1640.00108t (seg)-0.2 -0.4 -0.6 FIGURA 1.6 La curva suave que pasa por los puntos trazados segn la tabla 1.1 forma una grfica que representa a la funcin de presin (ejemplo 3).0.0770.00271-0.1410.00543-0.3200.00289-0.3090.00562-0.3540.00307-0.348 -0.2480.00579-0.2480.003250.00598-0.0350.00344-0.041 La prueba de Larecta verticaL para una funcin No cualquier curva en el plano coordenado puede ser la grfica de una funcin. Una funcin f slo puede tener un valor f(x) para cada x en su dominio, por lo que ninguna recta vertical interseca ms de una vez a la grfica de una funcin. Si a est en el dominio de la funcin f, entonces la recta vertical x = a intersecar a la grfica de f en un nico punto (a, fea~. Una circunferencia no puede ser la grfica de una funcin, ya que algunas rectas verticales intersecan a la circunferencia dos veces. Sin embargo, la circunferencia en la figura 1.7a contiene las grficas de dos funciones de x: la semicircunferencia superior, definida mediante la funcin f(x) = ~ y la semicircunferencia inferior definida mediante la funcin g(x) = - ~ (figuras 1.7b y 1.7c).http://gratislibrospdf.com/ 25. 1.1 1.1 yLas funciones grficas Las funciones y sus grficasy5y-1 -1--_-I +------::+--t---t----->- x -1-~---+---~-~x------'.--------:c+-------'---~ X-1---t---+----+-~ x --~--------:c+------~--~ x(c)y = -~ (c)y=-~(b)y=~ (b) y=~FIGURA circunferencia grfica funcin; satisface FIGURA 1.7 (a) La circunferencia no es la grfica de una funcin; no satisface el criterio de la recta versemicircunferencia superior grfica funcinf(x) = ~. (e) semicircuntical. (b) La semicircunferencia superior es la grfica de la funcinf(x) = Vl"-=-:l. (c) La semicircunferencia inferior grfica g(x) -~. ferencia inferior es la grfica de la funcin g(x) = - Vl"-=-:l. yFunciones definidas partes Funciones definidas por partes funcin describe mediante frmulas diferentes distintas partes A veces una funcin se describe mediante el uso de frmulas diferentes en distintas partes de ejemplo funcin valor absoluto su dominio. Un ejemplo es la funcin valor absoluto- J_ _~_ _L-~_ _L - - J_ _~~-3 -2-1x2FIGURA 1.8 funcin valor FIGURA 1.8 La funcin valor absoluto dominio (-00,00) absoluto tiene dominio ( -00, (0) [0,00). y rango [O, (0).[x] Ixl= { = {x, -x,Ox 2:: x~ Ox < O, 1 FIGURA 1.9 Para graficar la funcin FIGURA 1.9 Para graficar funcin y = f(x), , que se muestra aqu, aplicay = f(x) muestra aplicamos frmulas diferentes a las distintas frmulas diferentes distintas partes del dominio (ejemplo 4). partes dominio (eJemplo 4).est definida en toda la recta real, pero sus valores estn dados por distintas frmulas, , lo definida toda recta valores estn dados por distintas frmulas cual depende de la posicin de x. Los valores de f estn dados por y = -x, cuando x < O, depende posicin valores dados por = -x, cuando por y = x2 cuando O :s; x :s; 1, Y por Y = 1 cuando x > l. Sin embargo, la funcin es simpor = x2 cuando O :-s: :-s: y por y = cuando > l. embargo, funcin simdominio conjunto nmeros reales (figura l.9). _ plemente una funcin plemente unafuncin cuyo dominio es todo el conjunto de los nmeros reales (figura l.9). y y /",, / y /'y=x = x / 1>--0"fi.--..O3 / /--.o ...--o " /2/" h ~Y=lxJlxJ Y="" /--_2L---~I-/-" ~-----jI"2""-2 -2o----;~""C>----jI " ~""r" "-1 " -1;"-1 -1123xgrfica izquierda derecha, Si la grfica de una funcin asciende o sube cuando usted se mueve de izquierda a derecha, asciende sube cuando usted consideramos funcin creciente. grfica desciende cuando consideramos que la funcin es creciente. Si la grfica desciende o baja cuando se mueve de izquierda derecha, funcin izquierda a derecha, la funcin es decreciente. . decreciente DEFINICIONES Sea f una funcin definida DEFINICIONES Sea f una funcin definida en un intervalo I y sean XI y X2 cuaun intervalo J sean XI X2 cualesquiera 1. lesquiera dos puntos en I. puntos1.-2 -22.FIGURA1.11 funcin FIGURA 1.11 La grfica de la funcin grfica menor entero y = [x]est sobre o arriba de = rxl est arriba menor = la recta y = x, por lo que proporciona un proporciona techo entero para x (ejemplo 6). para x (ejemploentonces creciente Si f(X2) > f(x 1), siempre que X 1 < X2, entonces se dice que ff es creciente en l. f(X2) f(x siempre x! J. entonces decreciente 1. Si f(X2) < f(x 1), siempre que x < X2, entonces se dice que ff es decreciente en I. f(X2) f(x siempre XIEs importante notar que las definiciones de funciones crecientes y decrecientes deben importante notar definiciones funciones crecientes decrecientes satisfacerse para satisfacerse para toda pareja de puntos x 1 y X2 en I, con Xl < X2. Puesto que utilizamos la pareja puntos x! J, x! < Puesto utilizamos desigualdad funcin, :s, ocasiones desigualdad < para comparar los valores de la funcin, en lugar de s, en ocasiones se dice para comparar valores estrictamente creciente decreciente 1. intervalo I puede finito (tambin que f es estrictamente creciente o decreciente en I. El intervalo J puede ser finito (tambin se llama acotado) infinito acotado) definicin, intervalo nunca puede consistir le llama acotado) o infinito (no acotado) y, por definicin, el intervalo nunca puede consistir de un solo punto (apndice 1). punto (apndice EJEMPLO 7