cálculo en una variable, resumen y ejercicios resueltos

7/22/2019 Cálculo en una variable, resumen y ejercicios resueltos

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CÁLCULO EN UNA VARIABLE

RESUMEN Y EJERCICIOS

RESUELTOS

Evelyn Cueva, Andrés Merino y Juan Carlos Trujillo

5

Cuadernos de Matemática

de la Escuela Politécnica Nacional



CUADERNOS DE MATEMÁTICA

DE LA ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

A. MERINO - E. CUEVA - J. C. TRUJILLO

CÁLCULO EN UNA VARIABLE

Resumen y ejercicios resueltos



Cuaderno de Matemática No. 5CÁLCULO EN UNA VARIABLE: RESUMEN Y EJERCICIOS RESUELTOS

ANDRÉS MERINO - EVELYN CUEVA - JUAN CARLOS TRUJILLO

Responsable de la Edición: Juan Carlos TrujilloAsistentes: Andrés Merino

Registro de derecho autoral No.

ISBN:

Publicado por la Unidad de Publicaciones de la Facultad de Ciencias de la Escuela PolitécnicaNacional, Ladrón de Guevara E11-253, Quito, Ecuador.

Segunda edición: 2012Primera impresión: 2012

c Escuela Politécnica Nacional 2012



AGRADECIMIENTOS

Agradecemos a todos los estudiantes de las carrera de Matemática, Ingeniaría Matemáticay Física que han colaborado en la resolución de varios ejercicios presentados en esta pu-

blicación, entre ellos a Carolina Grados, Yandira Cuvero, Alejandro Coloma, Zuly Salinas,Sintya Serrano, Sofía Jijón y Diego Morales.

Los Autores.



Tabla de Contenidos

1 Límites y continuidad 1

1.1 Definiciones y Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Tabla de límites básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Enunciados de ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 La Derivada 35

2.1 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2 Tabla de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3 Enunciados de ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4 Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44



Capítulo 1

Límites y continuidad

1.1 Definiciones y Teoremas

L1. Definición de límite. Sean:

(a) a y L dos números reales;

(b) I un intervalo abierto que contiene el número a; y

(c) f una función real definida en I , salvo, tal vez, en a; es decir, I ⊂ Dom( f ) ∪ a.

Se dice que L es el límite de f cuando x tiende a a , y se escribe

L = l ımx→a f (x),

si y solo si para todo ǫ > 0, existe un δ > 0 tal que si:

0 < |x − a| < δ,

entonces:| f (x) − L| < ǫ.

Simbólicamente:

l ımx→a

f (x) = L ⇐⇒ (∀ǫ > 0)(∃δ > 0) [0 < |x − a| < δ ⇒ | f (x) − L| < ǫ] .

Para demostrar que un número L es el límite de f cuando x tiende al número a, seprocede de la siguiente manera:

(a) Se toma un ǫ > 0 arbitrario pero fijo.

(b) Se busca un número δ > 0 que satisfaga la implicación siguiente:

0 < |x − a| < δ ⇒ | f (x) − L| < ǫ.

L2. Sean I , J dos intervalos abiertos, f y g dos funciones definidas en I y J , respectivamen-te, salvo, tal vez, en a y que satisfacen las siguientes condiciones:

(a) f (x) = g(x) para todo x ∈ I ∩ J y x = a; y



2 Límites y continuidad

(b) existe L tal que:L = l ım

x→a g(x).

Entonces f también tiene límite en a y:

L = l ımx→a f (x).

L3. Sea f : A → R, donde A ⊆R. Entonces:

L = l ımx→a

f (x) ⇐⇒ 0 = l ımx→a

( f (x) − L) ⇐⇒ 0 = l ımx→a

| f (x) − L|.

L4. Definición de función continua en un punto. Una función real f : A → R, donde I ⊆ Aes un intervalo abierto, es continua en a si y solo si:

(a) a ∈ I ;(b) existe lım

x→a f (x); y

(c) f (a) = l ımx→a

f (x).

En otras palabras, una función es continua en a si y solo a está en el dominio de f y lafunción evaluada en a es igual al límite de la función f cuando x tiende a a.

L5. Definición de función continua en un intervalo. Una función es continua en el intervaloabierto I si y solo si es continua en cada uno de los elementos de I .

L6. Sean I un intervalo abierto, f : I → R y a ∈ I . Entonces f es continua en a si y solo sipara todo ǫ > 0, existe un número δ > 0 tal que

| f (x) − f (a)| < ǫ

siempre que |x − a| < δ y x ∈ I .

L7. Unicidad del límite. Si lımx→a

f (x) = L, entonces el número L es el único número que

satisface esta igualdad.

L8. Si L = l ımx→a

f (x), existe un intervalo abierto I centrado en a tal que f está acotada en

I − a; es decir, existen M > 0 y r > 0 tales que | f (x)| < M para todo x tal que0 < |x − a| < r.

L9. Propiedades algebraicas de los límites. Si existen lımx→a

f (x) y lımx→a

g(x), entonces:

(a) Límite de la suma: existe el límite de f (x) + g(x) y

l ımx→a

( f (x) + g(x)) = l ımx→a

f (x) + l ımx→a

g(x).

(b) Límite del producto: existe el límite de f (x) · g(x) y

l ımx→a

( f (x) · g(x)) = l ımx→a

f (x) · l ımx→a

g(x).



1.1 Definiciones y Teoremas 3

(c) Límite del inverso multiplicativo: si lımx→a

g(x) = 0, existe el límite de 1

g(x) y

l ımx→a

1 g(x)

= 1

l ımx→

a g(x)

.

L10. Sean α ∈R, β ∈R. Si existen lımx→a

f (x) y l ımx→a

g(x), entonces:

(a) Límite del producto de un escalar por una función: existe el límite de α f (x) y

l ımx→a

α f (x) = α l ımx→a

f (x).

(b) Límite de la resta: existe el límite de f (x) − g(x) y

l ımx

→a( f (x) − g(x)) = l ım

x

→a

f (x) − l ımx

→a g(x).

(c) Límite de una combinación lineal: existe el límite de α f (x) + β g(x) y

l ımx→a

(α f (x) + β g(x)) = α l ımx→a

f (x) + β l ımx→a

g(x).

(d) Límite del cociente: existe el límite de f (x)

g(x) siempre que lım

x→a g(x) = 0 y

l ımx→a

f (x)

g(x) =

l ımx→a

f (x)

l ımx→

a g(x)

.

L11. Propiedades algebraicas de la continuidad. Si f : A → R y g : B → R son continuasen a. Entonces la suma ( f + g), la resta ( f − g), el producto ( f · g) y el cociente ( f / g)(siempre que g(a) = 0) son funciones continuas en a.

L12. Generalización de las propiedades algebraicas. Sean n ∈ N, f 1, f 2, . . . , f n tales queexiste el límite lım

x→a f i(x) para todo i tal que 1 ≤ i ≤ n. Entonces:

(a) lımx→a

n

∑ i=1

f i(x) =n

∑ i=1

l ımx→a

f i(x).

(b) lımx→a

n

∏i=1

f i(x) =n

∏i=1

l ımx→a

f i(x)

(c) Si f i es continua en a para todo i tal que 1 ≤ i ≤ n, entoncesn

∑ i=1

f i yn

∏i=1

f i son

continuas en a.

L13. Límite de un polinomio y una función racional. Si P y Q son dos polinomios, entonces:

(a) lımx→a

P(x) = P(a).

(b) lımx→a

P(x)

Q(x)

= P(a)

Q(a)

siempre que Q(a)

= 0.

De aquí se tiene que todo polinomio es una función continua en R y toda funciónracional es continua en R excepto en aquellos números en los que el denominador esigual a cero.




L14. Límite de una composición. Si existe el límite lımx→a

g(x) = b y f es continua en b, en-

tonces existe lımx→a

f ( g(x)) y:

l ımx→a

f ( g(x)) = f l ımx→a

g(x) = f (b).

L15. Cambio de variable para límites. Sean f y g dos funciones reales. Si:

(a) existe b = l ımx→a

g(x); y

(b) se satisfacen una de las dos siguientes condiciones:

i. La función f es continua en b.ii. Existe lım

y→b f ( y) y existe un intervalo (a − r, a + r) tal que

g(x)

= b

para todo x ∈ (a − r, a + r).

Entonces:l ımx→a

f ( g(x)) = l ım y→b

f ( y).

Para calcular el límite de una composición como la siguiente

l ımx→a

f ( g(x)),

se puede usar el cambio de variable y = g(x)

siempre que se cumplan las condiciones de teorema anterior. Esta manera de calcularel límite de f ( g(x)) es denominado método del cambio de variable.

L16. Teorema del sandwich. Sean a ∈ R, f : A → R, g : B → R y h : C → R tres funcionestales que sus dominios contienen un intervalo abierto I centrado en a, excepto, quizás,el punto a. Supongamos que para todo x ∈ I , se verifican las desigualdades:

f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), para todo x ∈ I

y las igualdades:L = l ım

x→a f (x) = l ım

x→ah(x).

EntoncesL = l ım

x→a g(x).

L17. Definición de límites unilaterales. Sean:

(a) a y L dos números reales;



Entonces:L = l ım

x→a+ f (x),




(se lee: L es el límite de f (x) cuando x se aproxima a a por la derecha) si y solo si paratodo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que

| f (x) − L| < ǫ,

siempre que 0 < x − a < δ (es decir, siempre que x > a y x − a < δ).Análogamente:

L = l ımx→a− f (x),

(se lee: L es el límite de f (x) cuando x se aproxima a a por la izquierda) si y solo si paratodo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que

| f (x) − L| < ǫ,

siempre que 0 < a − x < δ (es decir, siempre que x < a y a − x < δ).

Simbólicamente:

l ımx→a+

f (x) = L ⇐⇒ (∀ǫ > 0)(∃δ > 0)[0 < x − a < δ ⇒ | f (x) − L| < ǫ].

l ımx→a− f (x) = L ⇐⇒ (∀ǫ > 0)(∃δ > 0)[0 < a − x < δ ⇒ | f (x) − L| < ǫ].

L18. L es el límite de f (x) cuando x se aproxima al número a si y solo si existen los doslímites unilaterales y son iguales a L. Es decir, lım

x→a f (x) = L si y solo si

l ımx→a+

f (x) = L y lımx→a−

f (x) = L.

L19. Propiedades de los límites unilaterales. Los límites unilaterales verifican las mismaspropiedades que satisfacen los límites y que fueron enunciadas anteriormente.

L20. Función continua por derecha en un punto. Una función f : A → R, donde I ⊆ A esun intervalo abierto, es continua por la derecha en a si y solo si:

(a) a ∈ I ;

(b) existe lımx→a+

f (x); y

(c) f (a) = l ımx→a+ f (x).

L21. Función continua por izquierda en un punto. Una función f : A → R, donde I ⊆ A esun intervalo abierto, es continua por la izquierda en a si y solo si:

(a) a ∈ I ;

(b) existe lımx→a−

f (x); y

(c) f (a) = l ımx→a−

f (x).

L22. Una función es continua en a si y solo si es continua en a por la derecha y es continua

en a por la izquierda.L23. Límites infinitos. Sean:

(a) a un número real;






Se dice que f tiende a infinito cuando x tiende al número a, y se escribe lımx→a

f (x) = +∞,

si y solo si para todo R > 0, existe δ > 0 tal que f (x) > R,

siempre que x ∈ Dom( f ) y0 < |x − a| < δ.

Análogamente, se dice que f tiende a menos infinito cuando x tiende al número a, y seescribe lım

x→a f (x) = −∞, si y solo si para todo R < 0, existe δ > 0 tal que

f (x) < R,

siempre que x ∈ Dom( f ) y0 < |x − a| < δ.

Simbólicamente:

l ımx→a

f (x) = +∞ ⇐⇒ (∀R > 0)(∃δ > 0)[0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > R].

l ımx→a

f (x) = −∞ ⇐⇒ (∀R < 0)(∃δ > 0)[0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < R].

L24. Si lımx→a f (x) = +∞, existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a − δ, a + δ) − a.

L25. Si lımx→a

f (x) = −∞, existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a − δ, a + δ) − a.

L26. Ampliación de límites laterales. Con el mismo significado para f , L y a de la definiciónde límite, se dice que:

(a) f (x) tiende a L por la derecha cuando x tiende al número a, y se escribe

l ımx→a

f (x) = L+,

si y solo si L = l ımx→a

f (x) y existe r > 0 tal que f (x) > L siempre que x ∈ (a −r, a + r).

(b) f (x) tiende a L por la izquierda cuando x tiende al número a, y se escribe

l ımx→a

f (x) = L−,

si y solo si L = l ımx→a

f (x) y existe r > 0 tal que f (x) < L siempre que x ∈ (a −r, a + r).

L27. Sean I un intervalo abierto, a ∈ I y f una función real tal que I ⊂ Dom( f ) ∪ a.Entonces:

(a) lımx→a

f (x) = 0+ si y solo si lımx→a

1 f (x)

= +∞.




(b) lımx→a

f (x) = 0− si y solo si lımx→a

1 f (x)

= −∞.

L28. Si lımx→a

f (x) = +∞, entonces f no está acotada superiormente en ningún intervalo

centrado en a.

L29. Si lımx→a

f (x) = −∞, entonces f no está acotada inferiormente en ningún intervalo cen-

trado en a.

L30. Propiedades de límites infinitos positivos. Sean f y g dos funciones reales. Entonces:

(a) Si lımx→a

f (x) = +∞ y l ımx→a

g(x) = +∞, entonces:

l ımx→a

[ f (x) + g(x)] = +∞ y lımx→a

[ f (x) g(x)] = +∞.

(b) Si lımx→a

f (x) = +∞ y β > 0, entonces: lımx→a

[ β f (x)] = +∞.

(c) Si lımx→a

f (x) = +∞ y β < 0, entonces: lımx→a

[ β f (x)] = −∞.

(d) Si lımx→a

f (x) = +∞ y existe lımx→a

g(x) o g está acotada inferiormente en un intervalo

alrededor de a, entonces:

l ımx→a

[ f (x) + g(x)] = +∞.

(e) Si lımx

→a

f (x) = +∞ y existe lımx

→a g(x) > 0 o g está acotada inferiormente por un

número positivo en un intervalo alrededor de a, entonces:

l ımx→a

[ f (x) g(x)] = +∞.

(f) Si existe lımx→a

f (x) > 0 o f está acotada por números positivos en un intervalo

alrededor de a y lımx→a

g(x) = 0+, entonces:

l ımx→a

f (x)

g(x) = +∞.

(g) Si existe lımx→a

f (x) o f está acotada en un intervalo alrededor de a y lımx→a

g(x) =

+∞, entonces:

l ımx→a

f (x)

g(x) = 0.

L31. Propiedades de límites infinitos negativos. Sean f y g dos funciones reales. Entonces:

(a) Si lımx→a

f (x) = −∞ y l ımx→a

g(x) = −∞, entonces:

l ımx→

a[ f (x) + g(x)] =

−∞ y lım

x→

a[ f (x) g(x)] = +∞.

(b) Si lımx→a

f (x) = −∞ y β > 0, entonces: lımx→a

[ β f (x)] = −∞.

(c) Si lımx→a

f (x) = −∞ y β < 0, entonces: lımx→a

[ β f (x)] = +∞.




(d) Si lımx→a

f (x) = −∞ y existe lımx→a

g(x) o g está acotada superiormente en un inter-

valo alrededor de a, entonces:

l ımx→a

[ f (x) + g(x)] = −∞

(e) Si lımx→a


g(x) > 0 o g está acotada inferiormente por un

número positivo en un intervalo alrededor de a, entonces:

l ımx→a

[ f (x) g(x)] = −∞.

(f) Si existe lımx→a


alrededor de a y l ımx→a

g(x) = 0−, entonces:

l ımx→a

f (x)

g(x) = −∞.

(g) Si existe lımx→a

f (x) o f está acotada en un intervalo alrededor de a y lımx→a

g(x) =

−∞, entonces:

l ımx→a

f (x)

g(x) = 0.

L32. Propiedades de límites infinitos mixtos. Sean f y g dos funciones reales. Entonces:

(a) Si lımx→a

f (x) = +∞ y l ımx→a

g(x) = −∞, entonces:

l ımx→a[ f (x) g(x)] = −∞.

(b) Si lımx→a

f (x) = +∞ y existe lımx→a

g(x) < 0 o g está acotada superiormente por un

número negativo en un intervalo alrededor de a, entonces:

l ımx→a

[ f (x) g(x)] = −∞.

(c) Si existe lımx→a

f (x) < 0 o f está acotada por números negativos en un intervalo

alrededor de a y l ımx

→a g(x) = 0+, entonces:

l ımx→a

f (x)

g(x) = −∞.

(d) Si lımx→a


g(x) < 0 o g está acotada superiormente por un

número negativo en un intervalo alrededor de a, entonces:

l ımx→a

[ f (x) g(x)] = +∞.

(e) Si existe lımx

→a


alrededor de a y l ımx→a g(x) = 0−, entonces:

l ımx→a

f (x)

g(x) = +∞.




L33. Formas indeterminadas. No hay reglas fijas para los límites de diferencias o cocientesde funciones que ambas tienden a ±∞, productos de funciones donde una de ellastiende 0 y la otra a ±∞, o cocientes de funciones donde ambas tienden a 0, pues, paraalgunas funciones toman un valor, para otras, un valor distinto; y en algunos casos, nisiquiera existen. A estos límites se los denomina formas indeterminadas.

L34. Definición de límites al infinito. Sean:

(a) L un número real;

(b) I un intervalo abierto del tipo (a, +∞); y

(c) f una función real definida en I ; es decir, I ⊂ Dom( f ).

Se dice que L es el límite de f cuando x tiende a +∞, y se escribe

L = l ımx→+∞

f (x),

si y solo si para todo ǫ > 0, existe R > 0 tal que

| f (x) − L| < ǫ

siempre que x ∈ Dom( f ) y x > R.

Análogamente, si

(a) L un número real;

(b) I un intervalo abierto del tipo (−∞, a); y(c) f una función real definida en I ; es decir, I ⊂ Dom( f ),

se dice que L es el límite de f cuando x tiende a −∞, y se escribe

L = l ımx→−∞ f (x)

si y solo si para todo ǫ > 0, existe R < 0 tal que

| f (x) − L| < ǫ

siempre que x ∈ Dom( f ) y x < R.

Simbólicamente:

l ımx→+∞

f (x) = L ⇐⇒ (∀ǫ > 0)(∃R > 0)[R < x ⇒ | f (x) − L| < ǫ].

l ımx→−∞ f (x) = L ⇐⇒ (∀ǫ < 0)(∃R > 0)[x < R ⇒ | f (x) − L| < ǫ].

L35. Propiedades de límites al infinitos. Sean f y g dos funciones reales. Entonces:

(a) Si lımx→+∞ f (x) = L > 0, entonces

l ımx→+∞

f (x) =

√ L.




(b) Si existe lımx→+∞


del tipo ]a, +∞[, con a ∈R, y lımx→+∞

g(x) = 0+, entonces

l ımx→+∞

f (x)

g(x) = +∞

.

(c) Si existe lımx→+∞



g(x) = 0+, entonces

l ımx→+∞

f (x)

g(x) = −∞.

(d) Si existe lımx→+∞


del tipo ]a, +∞[, con a ∈R, y lımx→+∞ g(x) = 0−, entonces

l ımx→+∞

f (x)

g(x) = −∞.

(e) Si existe lımx→+∞



g(x) = 0−, entonces

l ımx→

+∞

f (x)

g(x)

= +∞.

(f) Si f está acotada y lımx→+∞

g(x) = +∞, entonces

l ımx→+∞

f (x)

g(x) = 0.

1.2 Tabla de límites básicos

Sea a ∈ R. A menos que se diga lo contrario, se supondrá que a es una constante; es decir,

que no depende de x.T1. l ım

x→ak = k donde k ∈R no depende de x.

T2. l ımx→a

x = a.

T3. l ımx→a

sen x = sen a.

T4. l ımx→a

cos x = cos a.

T5. l ımx→

axn = an , si n

∈N.

T6. l ımx→a

n√

x = n√

a , si n ∈ N es impar.

T7. l ımx→a

n√

x = n√

a , si n ∈ N es par y a > 0.



1.2 Tabla de límites básicos 11

T8. l ımx→a

bx = ba , si b > 0 no depende de x.

T9. l ımx→+∞

bx =

0 si 0 < b < 1,

+∞ si 1 < b.

T10. l ımx→−∞ bx =

+∞ si 0 < b < 1,

0 si 1 < b.

T11. l ımx→a

ln x = ln a , si a > 0.

T12. l ımx→0+

ln x = −∞.

T13. l ımx→+∞

1x

= 0+.

T14. l ımx→−∞ 1x = 0−.

T15. l ımx→0+

1x

= +∞.

T16. l ımx→0−

1x

= −∞.

T17. l ımx→a

1 f (x)

= +∞ ⇐⇒ l ımx→a

f (x) = 0+.

T18. l ımx→a

1 f (x) = −∞ ⇐⇒ l ımx→a f (x) = 0−.

T19. l ımx→0

sen x

x = 1.

T20. l ımx→0

1 − cos x

x = 0.

T21. l ımx→a

[ f (x)] g(x) =

l ımx→a

f (x) l ım

x→a g(x)

si existen L = l ımx→a

f (x) y l ımx→a

g(x), y L > 0.

T22. l ımx→∞1 + 1xx

= e.

T23. l ımx→a

1 +

k

f (x)

f (x)

= ek , si lımx→a

f (x) = +∞.




1.3 Enunciados de ejercicios resueltos

Siempre que escribamos lımx→a

f (x), salvo que se diga lo contrario, se entenderá que f es la

función que toma valores reales y cuyo dominio es el conjunto más grande de números

reales para los que f (x) existe o está definida.1. Demostrar que lım

x→3(8x − 15) = 9.

2. Demostrar que lımx→8

3√

x2 + 2 3√

x + 4

= 12.

3. Demostrar que lımx→−2

2x2 − 8x + 2

= −8.

4. Demostrar que lımx→

1

2x2 − 7x + 5x

−1

= −3.


2x2 + x − 3x2 − 3x + 2

= −5.


(5 − x)(2x − 1)

| − 5x2 + 7x + 6| = +∞.

7. Demostrar que lımx→−∞

sin x

x = 0.

8. Calcule lımx→4

3 − √ 5 + x

1 − √ 5 − x

.


√ 1 + x − √

1 − x

x .

10. Calcule lımx→+∞

√ x

x +

x +√

x.

11. Calcule lımx→a

x2 − (a + 1)x + a

x3 − a3 .

12. Calcule lımh→0

(x + h)3 − x3h

.


sen(x − a)

x − a .


sin x − sin a

x − a .


arctan x

x .

16. Calcule lımx→0 arctan2xsin3x .


cos π x2

1 − √ x

.



1.4 Soluciones 13


1 − √ cos x

x2 .

19. Calcule lımx→ π

4

sin x − cos x

1 − tan x .


x2 − 2x + 3x2 − 3x + 2

sen xx

.

21. Calcule lımx→ π

4

(tan x)tan2x.


x√

1 − 2x.

1.4 Soluciones

Para demostrar que lımx→a

f (x) = L, se suele proceder de la siguiente manera.

Se toma ǫ > 0. Nuestro objetivo es encontrar un δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ, severifique la desigualdad

| f (x) − L| < ǫ. (1.1)

Para ello, debemos trabajar con el lado izquierdo de la desigualdad (1.1) hasta obtener,si fuera posible, una desigualdad del siguiente tipo:

| f (x) − L| ≤ |x − a| g(x) (1.2)

para todo x ∈ Dm ( f ) − a.Si la expresión g(x) fuera una constante, independiente de x, por ejemplo M, tendría-mos:

| f (x) − L| ≤ |x − a| M (1.3)

para todo x ∈ Dm ( f ) − a. Entonces, para que la desigualdad (1.1) se verifique, es sufi-ciente que

|x − a| M < ǫ

para x ∈ Dm ( f ) − a; es decir, es suficiente que

|x − a| <ǫ

M

para x ∈ Dm ( f ) − a. Por lo tanto, si definiéramos

δ = ǫ

M,

tendríamos que, si 0 < |x − a| < δ, se verificaría

| f (x) − L| = |x − a| M < δ M = ǫ

M M = ǫ.

El caso de que g(x) no fuera una función constante, lo que se suele hacer es encontrarun δ′

> 0 tal que (a − δ′, a + δ′) ⊆ Dm ( f ) ∪ a y

| g(x)| ≤ M, (1.4)




para todo x ∈ (a − δ′, a + δ′). Entonces, es suficiente tomar δ así:

δ = mın ǫ

M, δ′

.

1. Demostrar que lımx→3(8x − 15) = 9.Demostración. En este caso, f (x) = 8x − 15 y Dm ( f ) = R. Sea ǫ > 0. Debemos hallarun δ > 0 tal que si 0 < |x − 3| < δ, se verifique la desigualdad

|(8x − 15) − 9| < ǫ. (1.5)

Para hallar el número δ, observemos que:

|(8x − 15) − 9| = |8x − 24|=

|8(x

−3)

|= 8|x − 3|para todo x ∈ Dm ( f ). Entonces, para que la desigualdad (1.5) se verifique, es sufi-ciente que

8|x − 3| < ǫ,

que equivale a

|x − 3| < ǫ

8.

Por lo tanto, si definimosδ =

ǫ

8,

tenemos que, si 0 < |x − 3| < δ, se verificaría

|(8x − 15) − 9| = 8|x − 3| < 8(δ) = 8 ǫ

8

= ǫ.


3√

x2 + 2 3√

x + 4

= 12.

Demostración. En este caso, f (x) = 3√

x2 + 2 3√

x + 4 y D m ( f ) = R.Sea ǫ > 0. Debemoshallar un δ > 0 tal que, si 0 < |x − 8| < δ, se verifique la desigualdad

3√ x2 + 2 3√ x + 4− 12 < ǫ. (1.6)

Observemos que: 3√ x2 + 2 3

√ x + 4

− 12

= 3√

x2 + 2 3√

x − 8

= 3

√ x − 2

3√

x + 4

= 3√

x − 2 3

√ x + 4

;por lo tanto 3√

x2 + 2 3√

x + 4

− 12 = 3√

x − 2 3

√ x + 4

(1.7)

para todo x ∈ Dm ( f ).



1.4 Soluciones 15

Queremos expresar el lado derecho de esta igualdad como el producto |x − 8| g(x).Para ello, utilicemos la siguiente identidad (verdadera para todo x ∈ Dm ( f )):

x − 8 =

3√

x − 2

3√

x2 + 2 3√

x + 4

.

De ésta, obtenemos3√

x − 2 = x − 8

3√

x2 + 2 3√

x + 4,

para todo x tal que 3√

x2 + 2 3√

x + 4 = 0.Ahora bien, puesto que el cálculo del límite de f (x) es cuando x tiende a 8, pode-

mos suponer que x ∈ (8 − δ′, 8 + δ′) con δ ′ = 1. Esto significa que x > 0, con lo quenos aseguramos

3√ x2 + 2 3

√ x + 4 > 4 > 0

para todo x ∈ (7, 9), de donde la igualdad (1.7) puede ser re-escrita de la siguientemanera: 3√

x2 + 2 3√

x + 4

− 12 =

|x − 8| 3√

x + 4 3

√ x2 + 2 3

√ x + 4

(1.8)

para todo x ∈ (7, 9).Ya hemos logrado expresar el lado derecho de la igualdad (1.7) como el producto

|x − 8| g(x), donde

g(x) = 3√

x + 4

3

√ x2 + 2 3√ x + 4 .para todo x ∈ (7, 9).

Ahora tratemos de acotar superiormente g(x) en (7, 9) o en un subconjunto de esteintervalo. En primer lugar, tenemos que

x ∈ (8 − 1, 8 + 1) ⇐⇒ 7 < x < 9 (1.9)

⇐⇒ −1 < x − 8 < 1

⇐⇒ |x − 8| < 1. (1.10)

A continuación, de (1.9), vamos a “construir” g(x). Como la raíz cúbica es una funcióncreciente, se tiene:

7 < x < 9 ⇐⇒ 3√

7 < 3√

x < 3√

9

⇐⇒ 0 < 3√

7 + 4 < 3√

x + 4 < 3√

9 + 4

=⇒ −

3√

9 + 4<

3√

x + 4 < 3√

9 + 4

⇐⇒ 3√

x + 4 < 3

√ 9 + 4;

es decir, se tiene que:

7 < x < 9 =⇒ 3√ x + 4 < 3√ 9 + 4. (1.11)



1.4 Soluciones 17

obtenemos que 0 < |x − 8| < δ implica

3√

x2 + 2 3√

x + 4

− 12< ǫ.

3. Demostrar que lımx→−2 2x2

− 8x + 2 = −8.

Demostración. En este caso, f (x) = 2x2 − 8

x + 2 y Dm ( f ) = R− −2. Sea ǫ > 0. Debe-

mos hallar un δ > 0 tal que si 0 < |x − (−2)| < δ, se verifique la desigualdad2x2 − 8

x + 2 − (−8)

< ǫ. (1.14)

Observemos que: 2x2 − 8x + 2

− (−8)

= 2 (x + 2)2

x + 2

para todo x = −2. Además, si suponemos que x toma valores tales que 0 < |x + 2|, laexpresión anterior queda en:

2x2 − 8

x + 2 − (−8)

= 2 |x + 2| .

Entonces, para que la desigualdad (1.14) se verifique, es suficiente que

2|x + 2| < ǫ,

lo que equivale a

|x + 2| < ǫ

2.

Por lo tanto, si definimosδ =

ǫ

2,

tenemos que si 0 < |x + 2| < δ, se verificaría que2x2 − 8x + 2

− (−8)

< ǫ.


2x2 − 7x + 5x − 1

= −3.

Demostración. En este caso, f (x) = 2x2 − 7x + 5

x − 1

y Dm ( f ) = R

− −1

. Sea ǫ > 0.

Debemos hallar un δ > 0 tal que si 0 < |x − 1| < δ, se verifique la desigualdad2x2 − 7x + 5x − 1

− (−3)

< ǫ.




Observemos que: 2x2 − 7x + 5

x − 1 − (−3)

= 2

(x − 1)2

x − 1

si x = 1. Por lo tanto, el δ buscado es ǫ

2.


2x2 + x − 3x2 − 3x + 2

= −5.

Demostración. En este caso, f (x) = 2x2 + x − 3

x2 − 3x + 2 y Dm ( f ) = R − 1, 2. Sea ǫ > 0.

Debemos hallar un δ > 0 tal que si 0 <

|x

−1

|< δ y x

= 2, se verifique la desigualdad2x2 + x − 3

x2 − 3x + 2 − (−5)

< ǫ. (1.15)

Podemos observar que:2x2 + x − 3x2 − 3x + 2

− (−5)

= 7 (x − 1)2

(x − 2)(x − 1)

=

7|x − 2| |x − 1|

para todo x ∈ Dm ( f ). Para acotar superiormente el factor 1|x − 2| , supongamos que

x ∈ (1 − δ′, 1 + δ′) para δ′ = 12

2; es decir, supongamos que

12 < x <

32

, (1.16)

que equivale a suponer que

|x − 1| < 12

. (1.17)

Ahora, a partir de (1.17) y (1.16), construimos el factor 1x − 2 :

|x − 1| < 12

=⇒ 12 < x <

32

=⇒ − 32 < x − 2 < −1

2

=⇒ 1|x − 2| < 2

=⇒ 1

|x

−2||x − 1| < 2|x − 1|.

2No es difícil mostrar que las hipérbolas 1|x−2| no están acotadas superiormente para valores de δ′ ≥ 1. Por ello,

se tomó un valor menor que 1.



1.4 Soluciones 19

Por tanto, si 0 < |x − 1| < 12

y x = 2, entonces

2x2 + x − 3x2

−3x + 2

− (−5)

= 7

|x

−2

|

|x − 1|< 14|x − 1|;

es decir, si 0 < |x − 1| < 12

y x = 2, tenemos

2x2 + x − 3x2 − 3x + 2

− (−5)

< 14|x − 1|. (1.18)

Entonces, para que las desigualdades (1.18) y (1.15) se cumplan, es necesario que:

|x

−1|<

1

2 y

|x

−1|<

ǫ

14.

Por lo tanto, si definimos

δ = mın

12

, ǫ

14

,

tenemos que si 0 < |x − 1| < δ y x ∈ Dm ( f ), se verificaría que2x2 + x − 3x2 − 3x + 2

− (−5)

< ǫ.

6. Demostrar que: lımx→2

(5

−x)(2x

−1)

| − 5x2 + 7x + 6| = +∞

.

Demostración. En este caso, f (x) = (5 − x)(2x − 1)

| − 5x2 + 7x + 6| y Dm ( f ) = R − 2, − 35. Sea

R > 0. Debemos hallar un δ > 0 tal que si 0 < |x − 2| < δ, se verifique la desigualdad

(5 − x)(2x − 1)

| − 5x2 + 7x + 6| > R. (1.19)

Observemos que:(5 − x)(2x − 1)

| − 5x2 + 7x + 6| = (5 − x)(2x − 1)

|x − 2||5x + 3| (1.20)

Acabamos de obtener una expresión de la forma g(x)

|x − 2| , con

g(x) = (5 − x)(2x − 1)

|5x + 3| ,

donde Dm ( g) = R

− −3

5 .

Ahora procedamos a acotar inferiormente g(x). Para esto, supongamos que x tomavalores cercanos a 2; es decir, supongamos que x ∈ (2 − 1, 2 + 1). Entonces obtenemos:

1 < x < 3 (1.21)




que equivale a:|x − 2| < 1. (1.22)

De (1.21) se obtiene que:

2 < 5 − x < 4 , 1 < 2x − 1 y 118 < 1|5x + 3|

por lo tanto:(5 − x)(2x − 1)

|5x + 3| >19

,

de donde:(5 − x)(2x − 1)

|x − 2||5x + 3| >1

9|x − 2| .

Entonces, para que la desigualdad (1.19) se verifique es necesario que:

|x − 2| < 1 y 19|x − 2| > R,

lo que equivale a

|x − 2| < 1 y |x − 2| < 19R

.

Por lo tanto, si definimos

δ = mın

1, 19R

,

tenemos que si 0<

|x − 2|<

δ, se verificaría que(5 − x)(2x − 1)

| − 5x2 + 7x + 6| > R.

7. Demostrar que lımx→−∞

sen x

x = 0.

Demostración. En este caso f (x) = sen x

x y Dm ( f ) = R − 0. Sea ǫ > 0. Debemos

hallar un R < 0 tal que si x < R, se verifique la desigualdad

sen x

x − 0 < ǫ. (1.23)

Sabemos que para todo x ∈ R− 0, se tiene | sen x| ≤ 1; por lo tanto, se verifica sen x

x

≤ 1|x| para todo x = 0.

Ahora bien, para que la desigualdad (1.23) se verifique, es suficiente que 1|x| < ǫ,

lo que equivale a 1ǫ < |x|; por lo tanto, para que (1.23) se verifique, es suficiente que

x>

1ǫ o x

< −1ǫ .

Podemos, entonces, definir

R = −1ǫ

,



1.4 Soluciones 21

de donde, x < R implicasen x

x − 0

< ǫ que es lo que queríamos demostrar.


3 − √ 5 + x

1

−

√ 5

−x

.

Solución. Sea h : [−5, 5] − 4 −→ R la función definida por

h(x) = 3 − √

5 + x

1 − √ 5 − x

.

Dado que h es una función que puede ser vista como el cociente de dos funciones,la primera acción que llevaríamos a cabo para calcular lım

x→4h(x), sería utilizar el teo-

rema del límite de un cociente, L10. Para ello, deberemos averiguar, en primer lugar,si el límite del denominador de la función h cuando x tiende a 4 es distinto de 0. Sin

embargo, por los teoremas de: álgebra de límites, L9

, límite de una composición, L14

;y los límites de una constante, T1, y límite de la identidad, T2, se tiene:

l ımx→4

1 − √ 5 − x = 1 −

5 − l ım

x→4x = 1 − √

5 − 4 = 1 − 1 = 0.

De manera que no es posible aplicar teorema referido.Por lo tanto, para poder calcular este límite seguiremos otra estrategia3. Observe-

mos que, para todo x ∈ [−5, 5] y x = 4, se tiene:

3 − √ 5 + x

1 − √ 5 − x

= 3 − √

5 + x

1 − √ 5 − x1 +

√ 5 − x

1 + √ 5 − x3 +

√ 5 + x

3 + √ 5 + x=

9 − (5 + x)

1 − (5 − x)

1 +

√ 5 − x

3 +√

5 + x

= −4 − x

4 − x

1 +

√ 5 − x

3 +√

5 + x

;

es decir, tenemos que

3 − √ 5 + x

1 − √ 5 − x

=

−

1 +√

5 − x

3 + √ 5 + x

para todo x ∈ [−5, 5] y x = 4.Ahora bien, si definimos para todo x ∈ [−5, 5] y x = 4,

g(x) = −1 +√

5 − x

3 +√

5 + x,

obtenemos que h(x) = g(x) para todo x ∈ [−5, 5] y x = 4, y podemos, por lo tanto,aplicar L2, siempre que exista lım

x→4 g(x). Entonces, procedamos a verificar la existencia

de éste último límite.

3Ésta no es la única forma de calcular este límite. Por ejemplo, si consideramos las funciones g(x) =√

5 + x y f (x) = 3−x

1−√

10−x2 para todo x ∈ [−5, 5] y x = 4, obtenemos que h(x) = f ( g(x)) para todo x ∈ [−5, 5] − 4, y,una vez verificadas las hipótesis del teorema de cambio de variable, L15, podemos aplicarlo para calcular el límiterequerido.




En este caso sí es posible aplicar el teorema del límite de un cociente, pues al ser elnumerador y denominador funciones continuas, obtenemos:

l ımx→4

−

3 +

√ 5 + x

= −2 y lım

x→41 +

√ 5 − x = 6,

de donde al ser el límite del denominador distinto de 0, el teorema del límite de uncociente, L10, nos permite proceder de la manera siguiente:

l ımx→4

g(x) = l ımx→4

−1 +√

5 − x

3 +√

5 + x

=l ımx→4

−

3 +√

5 + x

l ımx→4

1 +

√ 5 − x

= −

2

6 = −1

3 .

De modo que, por el teorema L2, se tiene que

l ımx→4

h(x) = l ımx→4

g(x) = −13

.


√ 1 + x − √

1 − x

x .

Solución. Sea f : (−1, 1) − 0 −→ R definida por:

f (x) =

√ 1 + x − √

1 − x

x .

Es claro que no podemos aplicar el teorema del límite de un cociente directamente,sino después de “racionalizar” f (x):

√ 1 + x − √ 1 − xx

= √ 1 + x − √ 1 − xx

.√ 1 + x + √ 1 − x√ 1 + x +

√ 1 − x

= 1 + x − (1 − x)

x(√

1 + x +√

1 − x)

= 2√

1 + x +√

1 − x.

Ahora, por el teorema L2, tenemos que

l ımx→0

f (x) = l ımx→0

√ 1 + x − √

1 − x

x =

2

√ 1 + 0 + √ 1 − 0 = 1.


√ x

x +

x +√

x.




obtenemos de (1.24) que f (x) = g(x) para todo x = a, con g : R −→ R definida5 por:

g(x) = x − 1

x2 + ax + a2 .

Por lo tanto, por el teorema L2, tenemos que

l ımx→a

f (x) = l ımx→a

g(x) = a − 1

3a2 .

12. Calcule lımh→0

(x + h)3 − x3

h .

Solución. Sean x ∈ R y f : R− 0 −→ R definida por:

f (h) = (x + h)3 − x3

h .

Para calcular el límite de ésta función, desarrollemos f (h) como sigue:

(x + h)3 − x3

h =

x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 − x3

h

= h(3x2 + 3xh + h2)

h

=

3x2 + 3xh − h2

.

Por lo tanto,

l ımh→0

(x + h)3 − x3

h = l ım

h→0

3x2 + 3xh − h2

= 3x2.


sen(x − a)

x − a .

Solución. Sea f : R− a −→ R definida por:

f (x) =

sen(x

−a)

x − a .

Sean g : R − 0 −→ R y h : R −→ R las funciones definidas por g(x) = sen x

x y

h(x) = x − a. Entonces:

l ımx→a

sen (x − a)

(x − a) = l ım

x→a g(h(x)).

Verifiquemos si las funciones g y h satisfacen las condiciones del teorema de cambiode variable, L15.

Puesto que: l ımx→a

h(x) = l ımx→a

(x − a) = 0,

5Nótese que x2 + ax + a2 es distinto de 0 para todo x ∈ R, pues el discriminante del polinomio de segundogrado es negativo.



1.4 Soluciones 25

en L15, b = 0.Ahora, debemos determinar si g es continua en 0 o si existen lım

y→0 g( y) y un inter-

valo centrado en a en el cual h(x) es diferente de 0 (salvo, tal vez, en a).Como g no es continua en 0, pero existe

l ım y→0

g( y) = l ım y→0

sen y

y = 1,

por T19, debemos hallar un r > 0 tal que h(x) = 0 para todo x ∈ (a − r, a + r). En-tonces, puesto que h(x) = x − a se anula únicamente en a, podemos tomar cualquierr > 0, por ejemplo r = 1.

Ahora, todas las condiciones del teorema de cambio de variable, L15, son satisfe-chas,por lo tanto tenemos:

l ımx→

a g(h(x)) = l ım

y→0

g( y)

= l ım y→0

sen y

y = 1,

es decir:

l ımx→a

sen(x − a)

x − a = 1.


sen x − sen a

x − a .

Solución. Sea f : R

− a

−→R definida por

f (x) = sen x − sen a

x − a .

Debemos encontrarl ımx→a

f (x).

En primer lugar, no podemos aplicar el teorema del límite de un cociente. Porello, vamos a operar con el numerador de f (x) de tal manera que podamos utilizar lafórmula T19; para ello, utilicemos la identidad trigonométrica

sen α − sen β = 2 cosα + β2 · sen α − β2 .

Para todo x = a, obtenemos:

f (x) = sen x − sen a

x − a =

cos

x + a

2

· 2sen

x − a

2

x − a

;

es decir:

f (x) = cos x + a

2 ·2sen

x − a

2 x − a

para todo x = a.




Vamos a utilizar el teorema del límite del producto de funciones, L9. Para ello,vamos a calcular antes los límites

l ımx→a cosx + a

2 y lımx→a

2sen

x − a

2 x − a .

(a) Puesto que la función coseno es continua, por el límite de una composición, L14,tenemos que:

l ımx→a

cos

x + a

2

= cos

l ımx→a

x + a

2

= cos

a + a

2

.

Por lo tanto:

l ımx→a

cosx + a2 = cos a. (1.25)

(b) Por L2 y el teorema de cambio de variable L15, mediante un procedimiento pare-cido al ejercicio anterior, tenemos que

l ımx→a

2sen

x − a

2

x − a

= l ımx→a

sen

x − a

2

x − a

2

= 1, (1.26)

puesl ımx→a

x − a

2 = 0.

Finalmente, de (1.25) y (1.26),

l ımx→a

f (x) = cos a · 1 = cos a.


arctan x

x .

Solución. Sea f : R− 0 −→ R la función definida por:

f (x) = arctan x

x .

Realicemos el cambio de variable considerando la función g : R −→−π

2 , π

2

definida por:

g(x) = arctan x.

Al ser esta una función biyectiva, es inversible, y se tiene que:

f (x) = f g−1 ( g(x))para todo x ∈ R− 0; por tanto, podemos aplicar el teorema de cambio de variableL15 a las funciones f g−1 y g. En efecto:



1.4 Soluciones 27

• b = l ımx→0

arctan x = 0, puesto que g es una función continua;

• por L9 y T19

l ımt→0

f g−1(t) = l ım

t→0

t

tan t

= l ımt→0

cos t

sen t

t

= 1;

• g(x) = 0 solo cuando x = 0.

Por tanto, por el teorema de cambio de variable obtenemos que:

l ımx→0

f g−1 ( g(x)) = l ımt→0

f g−1(t) = 1;

de donde:l ımx→0

f (x) = 1.6


arctan2x

sen3x .

Solución. Sea f : R − 0 −→ R la función definida por:

f (x) = arctan2x

sen3x .

Para todo x = 0, podemos expresar f (x) de la siguiente manera:

arctan2x

sen3x =

23

arctan2x

2x · 1

sen3x

3x

.

Entonces, f es el producto de dos funciones y, por L9, se tiene:

l ımx→0

f (x) = 23

l ımx→0

arctan2x

2x · l ım

x→0

1sen3x

3x

,

ya que cada límite del lado derecho de la igualdad existe. En efecto:

• el límite lımx→0

arctan2x

2x , se calcula mediante el cambio de variable t = arctan2x,

de donde 2x = tan t. Como x → 0, por la continuidad de la función arcotangente,t → 0; por lo tanto, se tiene:

l ımx→0

arctan2x

2x = l ım

t→0

t

tan t = 1;

6Podemos generalizar esta forma de calcular límites de la siguiente manera: si necesitáramos calcular lımx→a

f (x), y

definiríamos u = g(x) donde g es una función biyectiva, tenemosque lımx→a

f (x) = l ımu→b

f

g−1(u)

con b = l ımx→a

g(x).

Cuando utilicemos de esta manera el teorema del cambio de variable, escribiremos u → b cuando x → a (u tiendea b cuando x tiende a a). Nótese que el requisito de la biyectividad de la función g es suficiente para satisfacer losrequisitos del teorema de cambio de variable.




• Por L9 y lımx→0

sen3x

3x = 1 = 0, tenemos:

l ımx

→0

1sen3x

3x

=l ımx→0

1

l ımx→0

sen3x

3x

= 11

= 1.

Por lo tanto,

l ımx→0

f (x) = 23 ·1 · 1 =

23

.


cos π x21 − √

x.

Solución. Sea f : [0, +∞) − 1 −→ R la función definida por:

f (x) = cos π x

21 − √

x.

Sea u = x − 1, entonces u → 0 si x → 1; por lo tanto:

l ımx→1

cos π x2

1 − √ x

= l ımu→0

cosπ

2 (1 + u)

1 − √

1 + u, (1.27)

si el límite del lado derecho existiera. Por lo tanto, intentemos calcular este último.Utilizando la identidad trigonométrica:

cos(α + β) = cos α · cos β− sen α · sen β,

se tiene que,

cosπ

2 (1 + u)

= cos

π 2

+ u

2

= cos

π 2

· cos

π u2

− sen

π 2

· sen

π u2

= − sen

π u2

.

De modo que, el límite del lado derecho de la igualdad (1.27), se reduce a:

l ımu→0

− senπ u

2

1 − √

1 + u. (1.28)

Pero:− sen

π u2

1 − √

1 + u= −

senπ u

2

π u

2

·

π u2

1 − √

1 + u.

Ahora bien, por un lado, tenemos:

l ımu→0

senπ u

2

π u

2

= l ımt→0

sen t

t = 1, (1.29)



1.4 Soluciones 29

donde t = π u

2 .

Por otro lado, se tiene que:

l ımu→0 π u

2 1 − √ 1 + u = l ımu→0 π u

2 1 − √ 1 + u · 1 +

√ 1 + u

1 + √ 1 + u= − l ım

u→0

π

2 (1 +

√ 1 + u)

= −π ,

de donde, junto con (1.29), se tiene que:

l ımu

→0

− senπ u

2

1−

√ 1 + u

= −1 · (−π ) = π .

Entonces, por (1.27) y (1.28):

l ımx→1

cos π x2

1 − √ x

= π .


1 − √ cos x

x2 .

Solución. Sea f : (−π 2 , π 2 ) − 0 −→ R

7 la función definida por:

f (x) = 1 − √

cos x

x2 .

Si multiplicamos al numerador y al denominador por

(1 +√

cos x)(1 + cos x),

y utilizamos T19 junto con el teorema de producto de límites, L9, obtenemos:

l ımx→0

1 − √ cos x

x2 = l ımx→0

sen x

x

2· l ım

x→0

1(1 +

√ cos x)(1 + cos x)

= 14

.

19. Calcule lımx→ π 4

sen x

−cos x

1 − tan x .

Solución. Sea g : R− π 2 −→ R, la función definida por:

g(x) = sen x − cos x

1 − tan x .

Observemos que:

sen x − cos x

1 − tan x =

cos x(sen x − cos x)

cos x − sen x

= −cos x(sen x − cos x)sen x − cos x

= −cos x,

7En este caso, Dm ( f ) =

k ∈Zx ∈R : 2k π − π 2 ≤ x ≤ (2k + 1)π − π

2 − 0, pero para el cálculo de lımx→0

f (x),

es suficiente tomar un subconjunto de éste.




pues sen x − cos x = 0 para x = π 4 + k π 2 , con k ∈ Z. Entonces:

l ımx→ π

4

sen x − cos x

1 − tan x = l ım

x→ π 4

− cos x = − 1√ 2

.


x2 − 2x + 3x2 − 3x + 2

sen xx

.

Solución. Sea f : R− 1,2,0 −→ R definida por:

f (x) =

x2 − 2x + 3x2 − 3x + 2

sen xx

.

Para poder utilizar T21, debemos probar la existencia de los límites del exponente yde la base.

(a) lımx→0

x2 − 2x + 3x2 − 3x + 2

= 32

, por L9, puesto que el límite del denominador es distinto

de 0.

(b) lımx→0

sen x

x = 1, por T19.

Puesto que el límite de la base es mayor que 0, concluimos que:

l ımx→0

x2 − 2x + 3x2 − 3x + 2

sen xx

=

32

1

= 32

.

21. Calcule lımx→ π 4

(tan x)tan2x.

Solución. Sea f : (−π 2 , π 2 ) −→ R, la función definida por:

f (x) = (tan x)tan2x .

Si analizamos los límites de la base y del exponente, se tiene que

l ımx→ π

4

tan x = tan π

4 = 1,

ya que la función tangente es continua; y lımx→ π

4

tan2x no existe, puesto que

l ımx→ π

4+

tan2x = −∞ y lımx→ π

4− tan2x = +∞,

entonces, no podemos aplicar el límite sobre potencias de funciones, T21, directamen-te. Sin embargo, sí lo podemos utilizar realizando previamente una manipulación al-gebraica, obteniendo:

(tan x)tan2x = (1 + (tan x

−1))tan2x

= (1 + (tan x − 1))tan x−1tan x−1 tan2x

=

(1 + (tan x − 1))1

tan x−1

(tan x−1) tan2x;



1.4 Soluciones 31

es decir:

(tan x)tan2x =

(1 + (tan x − 1))1

tan x−1

(tan x−1) tan2x.

Ahora, por T23, tenemos que

l ımx→ π

4

[1 + (tan x − 1)] 1tan x−1 = e, (1.30)

ya que (tan x − 1) → 0 cuando x → π 4 .

Además, como

(tan x − 1) tan2x = (tan x − 1) 2tan x

1 − tan2 x

= (tan x − 1) 2tan x

(1 − tan x)(1 + tan x),

y si tomamos x = π 4 + k π 2 , con k ∈ Z, tenemos que:

(tan x − 1) tan2x = −2 tan x

1 + tan x;

por lo tanto:

l ımx→ π

4

(tan x − 1) tan2x = l ımx→ π

4

−2

tan x

1 + tan x

=

−2

1

1 + 1

;

es decir:l ım

x→ π 4

(tan x − 1) tan2x = −1. (1.31)

Ahora ya podemos aplicar T21, pues el límite de la base y es igual a e, que es mayorque 0, y el límite del exponente también existe. Entonces:

l ımx→ π

4

(tan x)tan2x = l ımx→ π

4

(1 + (tan x − 1))

1tan x−1

(tan x−1) tan2x

= l ımx→ π

4(1 + (tan x − 1))

1tan x−1 l ım

x→π

4

(tan x

−1) tan2x

= e−1.

Por lo tanto:l ım

x→ π 4

(tan x)tan2x = 1e

.


x√

1 − 2x.

Solución. En este caso, f (x) = x

√ 1 − 2x y Dm ( f ) = (−∞, 12 ] − 0. Los límites de la base y del exponente son, respectivamente, los siguientes:

l ımx→0

(1 − 2x) = 1 y lımx→0

1x

= +∞




Como el límite del exponente no existe, no podemos aplicar el límite de potencia defunciones, T21. Pero puesto que:

x√

1 − 2x = (1 − 2x)1x

= (1 − 2x) 1−2x−2

para todo x ≤ 12 y x = 0, y por T23, conocemos que:

l ımx→0

(1 + (−2x))1

−2x = e,

podemos concluir que:

l ımx→0

(1 − 2x)

1−2x

−2= e−2.

1.5 Ejercicios Propuestos


1000x

x2 − 1. Respuesta 0.


2x + 3x + 3

√ x

. Respuesta 2.


1

1 − x − 3

1 − x3

. Respuesta −1.


3√ x2 − 2 3√ x + 1(x − 1)2 . Respuesta

19

.


x(x + a) − x

. Respuesta

a

2.


√ x + a − √

x

. Respuesta 0.


sen5x

sen2x. Respuesta

52

.

8. Calcule lımx→−2

tanπ xx + 2

. Respuesta π .


arcsen x

x . Respuesta 1.


x sen

π

x

. Respuesta π .


1x2

2xx+1

. Respuesta 0.


(cos x) 1x . Respuesta 1.


(cos x)1

x2 . Respuesta e− 12 .



1.5 Ejercicios Propuestos 33


x − 1x + 1

x

. Respuesta e−2.


(1 + x)1x . Respuesta e.


(1 + k · f (x))1

f (x) , si lımx→a

f (x) = 0. Respuesta ek .


[ f (x)] g(x) , si existe lımx→a

f (x) > 1 y lımx→a

g(x) = +∞. Respuesta +∞.


[ f (x)] g(x) , si existe lımx→a

f (x) > 1 y lımx→a

g(x) = −∞. Respuesta 0.


[ f (x)] g(x) , si 0 < l ımx→a

f (x) < 1 y lımx→a

g(x) = +∞. Respuesta 0.


[ f (x)] g(x) , si 0 < l ımx→a

f (x) < 1 y lımx→a

g(x) =

−∞. Respuesta +∞.



Capítulo 2

La Derivada

2.1 Derivadas

D1. Derivada de una función. Sea f : Dm( f ) → R y a ∈ Dm( f ). Si existe el límite

l ımx→a

f (x) − f (a)

x − a

se dice que f es derivable en a. Este límite se representa por f ′(a) o por d f dx (a), y es

denominado derivada de f en a. La función

f ′ : Dm( f ′) →

R

x −→ f ′(x)

donde Dm( f ′) es el subconjunto de Dm( f ) donde f ′ existe, es denominada la derivadade f .

D2. Si f es derivable en a, entonces f es continua en a.

D3. Propiedades algebraicas I. Sean f y g dos funciones reales derivables en a ∈ R yλ ∈R. Entonces:

(a) Suma: f + g es derivable en a y( f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a).

(b) Producto: f g es derivable en a y

( f g)′(a) = f ′(a) g(a) + f (a) g′(a).

(c) Inverso multiplicativo: Si g(a) = 0, 1 g es derivable en a y

1 g

′

(a) = − g′(a)

g2(a) .

D4. Propiedades algebraicas II. Sean f y g dos funciones reales derivables en a ∈ R yλ ∈R. Entonces:



36 La Derivada

(a) Escalar por función: λ f es derivable en a y

(λ f )′(a) = λ f ′(a).

(b) Resta: ( f

− g) es derivable en a y

( f − g)′(a) = f ′(a) − g′(a).

(c) Cociente: si g(a) = 0, f g es derivable en a y

f

g

′(a) =

f ′(a) g(a) − f (a) g′(a)

g2(a) .

D5. Regla de la cadena o derivada de la función compuesta. Sean f y g dos funcionesreales tales que existe f

g, y a

∈ Dm ( f

g). Supongamos que:

(a) g es derivable en a; y

(b) f es derivable en g(a).

Entonces la compuesta f g es derivable en a. Además:

( f g)′(a) = f ′( g(a)) g′(a).

D6. Derivada de la función inversa. Sean f : D ⊆ R → R una función inyectiva y f −1 :Im ( f )

→ D su inversa, se tiene que

( f −1)′( y) = 1

f ′( f −1( y)),

siempre que y ∈ Im ( f ) y que el denominador sea diferente de cero.

D7. Derivadas de segundo orden. Sea a ∈ D( f ′) para el cual existe la derivada de f ′; esdecir, existe ( f ′)′(a). Este número es denominado segunda derivada de f en a y es repre-sentado por:

f ′′(a) o d2

dx2 f (a).

Es decir:

f ′′(a) = d2

dx2 f (a) = d

dx

d

dx f

(a) = ( f ′)′(a).

D8. Derivada de orden n. Sea f : Dm( f ) → R. Para cada n ∈N, se define:

(a) f (0) = f .

(b) f (n+1) = ( f (n))′, para n ≥ 0.

Si existe f (n)(a), este número es denominado la n-ésima derivada de f en a y suele serrepresentado de la siguiente manera:

f (n)(a) = dn

dxn f (a).



2.1 Derivadas 37

D9. Conjunto acotado por arriba y por abajo. Un conjunto no vacío A ⊂ R es acotado porabajo (arriba) si existe c ∈ R tal que x ≥ c (x ≤ c) para todo x ∈ A. A c se le llama cotainferior (inferior) de A.

D10. Ínfimo, supremo, mínimo y máximo. Sea A

⊂R. Entonces, se define

(a) Ínfimo de A ( ınf A) como la más grande de las cotas inferiores de A si A es aco-tado por abajo, o −∞ si no.

(b) Supremo de A (sup A) como la más pequeña de las cotas superiores de A si A esacotado por arriba, o +∞ si no.

(c) Mínimo de A (m ın A) como el ınf A si ınf A ∈ A e ınf A > −∞;

(d) Máximo de A (max A) como el sup A si sup A ∈ A y sup A < +∞;

D11. Conjunto acotado. Un conjunto A ⊂ R es acotado si y solo si A es acotado por arriba

y por abajo.D12. Función acotada. Sean Ω = ∅ y f : Ω → R. Entonces, la función f es:

(a) acotada por abajo (arriba) si y solo si el conjunto Img( f ) es acotado por abajo(arriba).

(b) acotada si y solo si el conjunto Img( f ) es acotado.

D13. Caracterización función acotada. SeanΩ = ∅ y f : Ω → R. Entonces, la función f es:

(a) acotada por abajo si y solo si el conjunto existe c1 ∈ R tal que

f (x) ≥ c1,

(b) acotada por arriba si y solo si el conjunto existe c2 ∈ R tal que

f (x) ≤ c2,

(c) acotada si y solo si el conjunto existen c1 ∈ R y c2 ∈ R tales que

c1 ≤ f (x) ≤ c2,

(d) acotada si y solo si el conjunto existe R > 0 tal que

| f (x)| < R,

para todo x ∈ Ω.

D14. Sean Ω = ∅ y f : Ω → R. Definimos:

(a) ınf x∈Ω

f (x) = ınf Img( f ).

(b) sup

x∈Ω

f (x) = sup Img( f ).

(c) mınx∈Ω

f (x) = mın Img( f ).

(d) maxx∈Ω

f (x) = max Img( f ).



38 La Derivada

D15. Existencia de los extremos globales para funciones continuas. Sean a y b en R talesque a < b y f : [a, b] →R, una función continua en [a, b]. Entonces existen xm y x M en[a, b] tales que

f (xm) = mınx∈[a,b]

f (x)

y f (x M) = max

x∈[a,b] f (x).

Además, se tiene que I mg( f ) ⊆ [ f (xm), f (x M)]; es decir:

f (xm) ≤ f (x) ≤ f (x M)

para todo x ∈ [a, b].

D16. Extremos locales. Sean I un intervalo y f : I → R. Sean x y x dos elementos de I .

Entonces:(a) la función f alcanza un mínimo local o relativo en x si y solo si existe r > 0 tal que

f (x) ≤ f (x)

para todo x ∈ I ∩ ]x − r, x + r[.

(b) la función f alcanza un máximo local o relativo en x si y solo si existe r > 0 tal que

f (x) ≥ f (x)

para todo x ∈ I ∩ ]x − r, x + r[.

D17. Interior de un intervalo. Sea I un intervalo abierto. El interior de I es el intervaloabierto más grande que está contenido en I , se lo nota por I .

D18. Punto crítico. Dada una función real f , continua en un intervalo I de extremos a y b(a < b), y derivable en el interior de I , a un número c del interior de I se lo llama puntocrítico de f si y solo si f ′(c) = 0 o si no existe f ′(c), es decir, si f no es derivable en c.

D19. Extremos locales. Sean I un intervalo, f : I → R y c ∈ I . Si f alcanza un extremolocal en c, entonces c es un valor crítico de f .

D20. Funciones creciente y decreciente. Sean I un intervalo y f : I → R. Entonces la función f es

(a) creciente en I si y solo si f (x1) < f (x2)

(b) no decreciente en I si y solo si f (x1) ≤ f (x2)

(c) decreciente en I si y solo si f (x1) > f (x2)

(d) no creciente en I si y solo si f (x1) ≥ f (x2)

(e) monótona si y solo si es creciente o decreciente

para todo x1 y x2 en I tales que x1 < x2.

D21. Sean I un intervalo de extremos a < b, f : I → R continua en I y además, f derivableen ]a, b[, entonces:



2.1 Derivadas 39

(a) si f ′(x) > 0 para todo x ∈ ]a, b[, entonces f es creciente en I ; y

(b) si f ′(x) < 0 para todo x ∈ ]a, b[, entonces f es decreciente en I .

D22. Extremos locales. Sean I un intervalo abierto, c ∈ I y f : I → R una función continua

en I y derivable en I − c. Si c es un punto crítico de f y f ′(x) cambia de signo en c,entonces f alcanza un extremo local en c. De manera más precisa: si x ∈ I y

(a) si f ′(x) < 0 para todo x < c; y

(b) si f ′(x) > 0 para todo x > c,

entonces f alcanza un mínimo local en c; y

(a) si f ′(x) > 0 para todo x < c; y

(b) si f ′(x) < 0 para todo x > c,

entonces f alcanza un máximo local en c.

D23. Teorema del valor intermedio o de los incrementos finitos. Si f es continua en el inter-valo [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe un número c ∈ (a, b) tal que:

f ′(c) = f (b) − f (a)

b − a ,

o también: f (b) − f (a) = f ′(c)(b − a).

D24. Si f está definida en un intervalo [a, b], y es derivable en el abierto tal que su derivadaes igual a 0 para todo punto de éste, entonces f es constante en [a, b].

D25. Teorema general del valor intermedio. Sean f : R → R y g : R → R dos funcionescontinuas en el intervalo [a, b] y derivables en (a, b). Supongamos que g ′(x) = 0 paratodo x ∈ (a, b) y que g(a) = g(b). Entonces existe c ∈ (a, b) tal que:

f (b) − f (a)

g(b) − g(a) =

f ′(c)

g′(c).

D26. Funciones convexa y cóncava. Sean I

⊂ R un intervalo y f : I

→ R una función

definida en I . La función f es convexa (respectivamente cóncava) en I si para cualquierpara x0 ∈ I , x1 ∈ I tales que x0 < x1, el gráfico de f correspondiente al intervalo(x0, x1); es decir, el conjunto de R2

(x, f (x)) : x ∈ (x0, x1) (2.1)

queda por debajo (respectivamente por encima) del segmento de recta [P0, P1], conP0(x0, y0) y P1(x1, y1), donde y0 = f (x0) y y1 = f (x1).

D27. Criterio de la derivada para la convexidad. Sea f : [a, b] → R continua en [a, b] yderivable en (a, b). Si f

′ es creciente (respectivamente decreciente) en (a, b), entonces

f es convexa (respectivamente cóncava) en [a, b].

D28. Si f es continua en [a, b] y existe f ′′ y es positiva (respectivamente negativa) en (a, b),entonces f es convexa (respectivamente cóncava) en [a, b].



40 La Derivada

D29. Punto de inflexión. Sean f : [a, b] →R y x0 ∈ (a, b). Si f es convexa en [a, x0] y cóncavaen [x0, b], o viceversa, se dice que el punto de coordenadas (x0, f (x0)) es un punto deinflexión del gráfico de f .

D30. Si existe f ′′(x0) y si P0(x0, f (x0)) es un punto de inflexión de la gráfica de f , entonces

f ′′(x0) = 0.

D31. Sean I un intervalo y x un punto de su interior tal que f alcanza un extremo local enx. Entonces x es un punto crítico de f ; es decir, f ′(x) = 0 o no existe la derivada de f en x.

D32. Sean I =]a, b[ y f : I → R una función continua en I . Entonces:

(a) Si f es creciente en I , entonces I mg( f ) =

l ımx→a+

f (x), lımx→b−

f (x)

.

(b) Si f es decreciente en I , entonces I mg( f ) = l ımx→b− f (x), lımx→a+ f (x).(c) Resultados análogos a los anteriores son verdaderos si I es uno de los siguientes

intervalos: ] −∞, b[, ]a, +∞[ y ] −∞,∞[.

D33. Regla de L’Hôpital. Sea a ∈R. Si lımx→a f (x) g(x)

es una indeterminación y si

l ımx→a

f ′(x)

g′(x) = L ∈R ∪ −∞,∞,

entonces

l ımx→a

f (x)

g(x) = l ımx→a

f ′(x)

g′(x) .

2.2 Tabla de derivadas

T24. y = k y′ = 0.

T25. y = x y′ = 1.

T26. y = sen u y′ = u ′ cos u.

T27. y = cos u y′ = −u′ sen u.T28. y = tan u y′ = u ′ sec u.

T29. y = arc sen u y′ = u′√ 1−u2 .

T30. y = arc cos u y′ = −u′√ 1−u2 .

T31. y = arctan u y′ = u′1+u2 .

T32. y = um y′ = m um−1u′, para todo m ∈R.

T33. y = eu y′ = u′eu.

T34. y = ln u y′ = u′u .



2.3 Enunciados de ejercicios resueltos 41

2.3 Enunciados de ejercicios resueltos

1. Derivar, utilizando la definición, f (x) = arctan(x).

2. Derivar utilizando la definición f (x) =

⌊x

⌋ si x

∈Z.

3. Hallar la derivada de la función f (x) = ⌊x⌋ si x ∈ Z.

4. Derive f (x) = arctan x.

5. Derive f (x) = ex(tan−1 x + 3x2).

6. Derive g(t) = cos(t3 − 7t + et).

7. Derive u(t) = ln(sin t + arccos t).

8. Derive f (x) = ln |x + ex

|.9. Derive h(x) =

cos x

sen x + 3.

10. Halle, si existen, f ′+(x0) y f ′−(x0) para f (x) = |x − 2|, x0 = 2.

11. Halle, si existen, f ′+(x0) y f ′−(x0) para

f (x) =

√ x − 1 si x ≥ 1,

x2

−3x + 2 si x < 1,

x0 = 1.

12. Demuestre que para f : R −→ R y x0 ∈ R, existe f ′(x0) si y solo si:

(a) Existen f ′−(x0) y f ′+(x0); y

(b) f ′−(x0) = f ′+(x0).

Además, en el caso de que exista f ′(x0), siempre se verificará que

f ′(x0) = f ′−

(x0) = f ′+(x0).

13. Halle los valores de α y β en R para que

f (x) =

(x + α)e− βx si x < 0,

αx2 + βx + 1 si x ≥ 0,

sea derivable en R.


f (x) = αx + β si x < 0,α cos x + β sen x si x ≥ 0,

sea derivable en R.



42 La Derivada

15. Halle el valor de α elemento de R de modo que la función

f (x) =

|x|α sen 1

x si x = 0,

0 si x = 0,

sea continua en 0 y derivable en 0.

16. Halle los valores de α y β en R de modo que la función

f (x) =

|x|α sen 1

|x| β si x = 0,

0 si x = 0,


17. ¿Para qué valores de x ∈ R, f (x) = | sen x| es derivable en x?

18. ¿Para qué valores de x ∈ R, f (x) = x|x| es derivable en x?

19. Un avión que está a 500 kilómetros al norte de Quito viene hacia la capital a 400 ki-lómetros por hora, mientras que otro, que está a 600 kilómetros al este, lo hace a unavelocidad de 300 kilómetros por hora. ¿A qué velocidad se acercan el uno al otro?

20. Un radar que está a 12 kilómetros de una base militar detecta que un avión sobrevuelala base a 9 000 metros de altura y que se dirige hacia el radar, manteniendo su altitudy velocidad. Si la rapidez con que decrece la distancia entre el avión y el radar es de500 kilómetros por hora, ¿a qué velocidad vuela el avión?

21. Un buque se acerca a un faro de 50 metros de altura. Se sabe que el ángulo entre lahorizontal y la recta que une el buque con la punta del faro varía a una razón constantede α por minuto, cuando el buque está a dos kilómetros del faro. ¿Cuál es la velocidaddel buque? ¿Cuál sería un valor razonable para α?

22. El agua escapa del reservorio cónico, mostrado en la figura, a una razón de 20 litrospor minuto: ¿Con qué velocidad disminuye el nivel de agua cuando su altura h desdeel fondo es de 5 metros? ¿Cuál es la razón de cambio de radio r del espejo del agua enese instante?

r

8 m

h

8 m



2.3 Enunciados de ejercicios resueltos 43

23. Un faro ubicado en un islote situado a 3 kilómetros de la playa emite un haz de luz quegira dando una vuelta entera cada minuto (figura). ¿Con qué velocidad se “mueve” elpunto P de la playa iluminado por el haz de luz FP emitido por el faro cuando P estásituado a 2 kilómetros del punto Q, que es el punto de la playa más cercano al faro?

P

Q F

3 km

P l a y a

24. Un rectángulo mide 10 metros de altura por 20 metros de base. Si la base aumenta arazón constante de un metro por minuto y la altura disminuye a una razón constantede dos metros por minuto, ¿con qué velocidad varía el área del rectángulo? El área,¿aumenta o disminuye?

25. Si de un recipiente, que tiene la forma de una pirámide truncada invertida de basecuadrada, de 10 metros de altura, de 10 metros el lado del cuadrado más grande y de5 metros el lado del cuadrado más pequeño, y que está lleno de agua a media altura,se extrae el líquido a una razón constante de un metro cúbico por minuto:

(a) ¿Con qué rapidez baja el nivel del agua?

(b) Si, por otro lado, el nivel del agua sube un metro por hora al bombear agua enel reservorio cuando está lleno hasta la mitad, ¿cuál es el caudal de agua que seintroduce?

26. ¿Con qué rapidez varía el área de la corona que queda entre dos circunferencias con-céntricas de radios 10 metros y 20 metros respectivamente, si el diámetro de la máspequeña aumenta un metro por hora y el diámetro de la más grande disminuye dosmetros por hora? ¿Y si los diámetros aumentan un metro por hora? Si el diámetromenor crece dos metros, ¿cómo debe variar el otro para que el área de la corona nocambie?

27. Una partícula se mueve en una trayectoria elíptica cuya forma está dada por la ecua-ción

x

32

+

y

22

= 1.

Supongamos que las longitudes están expresadas en metros. Si se sabe que en puntode la abscisa 1, ésta se incrementa a una razón de dos metros por segundo, ¿qué sucedecon la ordenada del punto con la abscisa dada? Considere los casos que se derivansegún los cuadrantes en los que se halla la ordenada.



44 La Derivada

28. Dos calles de diez metros de ancho se intersecan. Se desea transportar horizontalmen-te una varilla larga y delgada, pero, en la intersección, se requiere virar a la derecha.¿Cuál es el largo máximo de la varilla que se puede transportar si el grosor de la varillaes despreciable?

29. Un joven puede remar a razón de dos kilómetros por hora y correr a seis kilómetrospor hora. Si está en el punto A de la playa y desea llegar lo antes posible al puntoB, situado en la isla de enfrente, que está a dos kilómetros del punto C en la playa,¿hasta qué punto P de la playa debe correr para luego remar desde P hasta B? ¿Enqué tiempo llegará?

A

P

C

B

4 km

2 km

Playa

Isla

2.4 Soluciones

1. Derivar, utilizando la definición, f : R

−→ −π

2 , π

2 , definida por f (x) = arctan(x).Solución. Para todo x ∈ −π

2 , π 2

, se tiene que:

f ′(x) = l ımh→0

f (x + h) − f (x)

h

= l ımh→0

arctan (x + h) − arctan (x)

h . (2.2)

Definamosu = arctan (x + h)

−arctan (x).

Entonces:tan (u) = tan(arctan (x + h) − arctan (x)),

de donde, gracias a la identidad trigonométrica

tan(x − y) = tan(x) − tan( y)

1 + tan(x) tan( y),

se tiene:

tan u = x + h − x

1 + (x + h)x =

h

1 + x(x + h),

de donde, se concluye que:

u = arctan

h

1 + x(x + h)

.



2.4 Soluciones 45

Al reemplazar esta expresión para u en (2.2), se sigue que

f ′(x) = l ımh

→0

arctan

h

1 + x(x + h)

h

= l ımh→0

arctan h

1 + x(x + h)

h

1 + x(x + h)

· 11 + x(x + h)

;

es decir:

f ′(x) = l ımh→0

arctan

h

1 + x(x + h)

h

1 + x(x + h)

· 11 + x(x + h)

. (2.3)

Por otro lado, puesto que

l ımh→0

h

1 + x(x + h) = 0 y l ım

t→0

arctan t

t = 1,

si se hace el cambio de variable

t = h

1 + x(x + h),

de (2.3) se sigue:

f ′(x) = l ımh→0

arctan

h

1 + x(x + h)

h

1 + x(x + h)

· l ımh→0

11 + x(x + h)

= l ımt→0

arctan t

t · l ım

h→0

11 + x(x + h)

= 1 · 11 + x2 .

Por lo tanto: f ′(x) = 11 + x2 .

2. Derivar, utilizando la definición, la función f : Z −→ R, definida por f (x) = ⌊x⌋.

Solución. La parte entera de un número real x se define como el número entero ⌊x⌋ talque

⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + 1.

Su existencia está garantizada por el principio del buen orden y la propiedad arqui-

mediana. Entonces, si x0 ∈ Z, f (x0) = ⌊x0⌋ = x0.Para calcular f ′(x0), calculemos las dos derivadas laterales.

• Cálculo de f ′+(x0) = l ımh→0+

f (x0 + h) − f (x0)

h . Como h → 0+, se puede considerar



46 La Derivada

0 < h < 1. Luegox0 < x0 + h < x0 + 1,

de donde, por la definición de parte entera, tenemos que

f (x0 + h) = ⌊x0 + h⌋ = x0.(Véase la figura 2.1). Entonces:

f ′+(x0) = l ımh→0+

x0 − x0

h = 0.

• Cálculo de f ′−(x0) = l ımh→0−

f (x0 + h) − f (x0)

h . En este caso h → 0−, se puede

considerar −1 < h < 0, de donde

x0 − 1 < x0 + h < x0

por lo que f (x0 + h) = x0 − 1.

(Véase la figura 2.1). Por lo tanto:

f ′−(x0) = l ımh→0−

x0 − 1 − x0

h = l ım

h→0−−1

h = +∞.

x

f (x)

x0 x0 + k x0 + 1x0 + hx0−

1

x0

x0 + 1

x0 − 1

Figura 2.1: Gráfica de la función parte entera para x0 ∈ Z.

Por lo tanto, no existe f ′−(x0), con lo cual, no existe tampoco f ′(x0). Consecuente-mente la función parte entera no es derivable para x0 ∈ Z.

3. Derivar, utilizando la definición, la función f : R

−Z

−→R, definida por f (x) =

⌊x

⌋.

Solución. Sea x ∈ R tal que x ∈ Z, se tiene que

⌊x⌋ < x < ⌊x⌋ + 1. (2.4)



2.4 Soluciones 47

Definamos la función g : R− 0 −→ R

h −→ ⌊x+h⌋−⌊x⌋h ,

debemos calcular lımh→

0 g(h), pues

f ′(x) = g ′(x).

La figura 2.2 ilustra la función parte entera.

x

f (x)

⌊x

⌋

⌊x⌋ x x + h ⌊x⌋ + 1

Figura 2.2: Gráfica de la función parte entera para x /∈ Z.

Si x + h ∈

⌊x⌋, ⌊x⌋ + 1

, se tiene que ⌊x + h⌋ = ⌊x⌋ y, por lo tanto, g(h) = 0.

Por otro lado, como

x + h ∈ ⌊x⌋, ⌊x⌋ + 1⇐⇒ h ∈ ⌊x⌋ − x, ⌊x⌋ + 1 − x

,

de donde g(h) = 0 para todo

h ∈ ⌊x⌋ − x, ⌊x⌋ + 1 − x− 0.

Ycomopor (2.4), se tiene que el intervalo⌊x⌋− x, ⌊x⌋ + 1 − x

contiene al 0, se deduce

quel ımh→0

g(h) = l ımh→0

0 = 0,

de donde f ′(x) = 0.

4. Derive la función f : (−π 2 , π 2 ) −→ R, definida por f (x) = arctan x, sin utilizar la

definición de derivada.

Solución. Dada la función g : (−π 2 , π 2 ) −→ R, se tiene, por el teorema de la derivada

de la función inversa D6 y por T28, que:

(arctan x)′ = 1tan′(arctan x)

= 1

sec2(arctan x) .

Por otro lado, sabemos quesec2 x = 1 + tan2 x,



48 La Derivada

de donde,

(arctan x)′ = 11 + (tan(arctan x))2

=

1

1 + x2 .

5. Derive la función f : (−π 2 , π 2 ) −→ R, definida por f (x) = ex(tan−1 x + 3x2).

Solución. Podemos ver a f como un producto de funciones, por lo tanto, de las pro-piedades algebraicas de la derivada D3 y D4, tenemos que

f ′(x) = (ex)′(arctan x + 3x2) + (ex)(arctan x + 3x2)′

= (ex)′(arctan x + 3x2) + (ex)((arctan x)′ + 3(x2)′).

Y gracias a T33, T32 y el ejercicio anterior, tenemos que:• (ex)′ = ex,

• (arctan x)′ = 11 + x2 ,

• (x2)′ = (2x).

Por lo tanto,

f ′(x) = ex(arctan x + 3x2) + ex

1

1 + x2 + 6x

.

6. Derive la función g : R −→ R, definida por g(t) = cos(t3 − 7t + et).

Solución. Se tiene que g(t) = ( f h)(t), donde f (t) = cos t y h(t) = t3 − 7t + et , lascuales son funciones derivables en todo t ∈R; entonces, por la regla de la cadena D5,se tiene

g′(t) = f ′(h(t))(h(t))

= (cos′(t3 − 7t + et))(t3 − 7t + et)′

= (3t2 − 7 + et) sen(t3 − 7t + et).

7. Derive la función u : D −→ R, definida por u(t) = ln(sin t + arc cos t), con D ⊆ R tal

que para todo t ∈ D , se pueda calcular ln(sin t + arccos t).Solución. Sea t ∈ D. Por T30, T34 y las propiedades algebraicas de la derivada D3, setiene:

u′(t) = (sen t + arccos t)′

(sen t + arc cos t)

=

cos t − 1√ 1 − t2

sen t + arc cos t.

8. Derive la función f : R

−→R

, definida por f (x) = ln |x + e

x

|.Solución. Puesto que f se puede expresar como la composición de las funciones g y h,tales que:

h(x) = l n|x| y g(x) = x + ex,



2.4 Soluciones 49

se tiene, por la regla de la cadena D5, que:

f ′(x) = (ln |x + ex|)′(x + ex)′

= 1

x + ex (1 + ex).

9. Derive la función h : R −→ R, definida por h(x) = cos x

sen x + 3.

Solución. Sea x ∈ R. Por las propiedades algebraicas de la derivada D3, se tiene

h′(x) = (cos x)′(sen x + 3) − (cos x)(sen x + 3)′

(sen x + 3)2

= − sen x(sen x + 3) − cos x(cos x)

(sen x + 3)2

= −1 − 3sen x(sen x + 3)2 .

10. Halle, si existen, f ′+(x0) y f ′−(x0) para la función f : R −→ R, con f (x) = |x − 2|,

x0 = 2.

Solución. Tomando en cuenta que para x > 2, f (x) =√

x − 2, se tiene que

f ′+(2) = l ımx→2+

f (x) − f (2)

x − 2

= l ımx→2+

√ x

−2

−

√ 2

−2

x − 2

= l ımx→2+

1√ x − 2

= +∞.

Es decir, no existe la derivada por la derecha de f en el punto x0 = 2.Ahora, para x < 2, se tiene que f (x) =

√ 2 − x; de este modo

f ′−(2) = l ımx→2−

f (x) − f (2)

x − 2

= l ımx→2−

√ 2 − x − √ 2 − 2x − 2

= − l ımx→2−

√ 2 − x

2 − x

= − l ımx→2−

1√ 2 − x

= −∞.

Entonces, no existe la derivada por la izquierda de f en el punto x0 = 2.

11. Halle, si existen, f ′+(x0) y f ′−(x0) para la función f definida por

f (x) =

√ x − 1 si x ≥ 1,

x2 − 3x + 2 si x < 1,



50 La Derivada

x0 = 1.

Solución. Tomando en cuenta que, para x > 1, f (x) =√

x − 1, se tiene

f ′+

(1) = l ımx→1+

f (x)

− f (1)

x − 1

= l ımx→1+

√ x − 1 − √

1 − 1x − 1

= l ımx→1+

1√ x − 1

= +∞.

Es decir, no existe la derivada por la derecha de f en el punto x0 = 1.Por otro lado, para x < 1, f (x) = x2 − 3x + 2, por lo tanto

f ′−(1) = l ımx→1−

f (x) − f (1)x − 1

= l ımx→1−

x2 − 3x + 2x − 1

= l ımx→1−

(x − 2)(x − 1)

x − 1= l ım

x→1−(x − 2) = −1.

Entonces, f ′−(1) = −1.

12. Demuestre que para f : R −→ R y x0 ∈ R, existe f ′(x0) si y solo si:


(b) f ′−(x0) = f ′+(x0).

Además, en el caso de que exista f ′(x0), siempre se verificará que

f ′(x0) = f ′−(x0) = f ′+(x0).

Demostración. Se tiene que f ′(x0) existe si y solo si el siguiente límite existe

l ımx→x0

f (x) − f (x0)

x − x0.

Por el teorema L18, este límite existe si y solo si se cumplen las siguientes dos condi-ciones

(a) Existen lımx→x+

0

f (x) − f (x0)

x − x0y lım

x→x−0

f (x) − f (x0)

x − x0; y

(b) lım

x→x

+

0

f (x) − f (x0)

x−

x0

= l ım

x→x−0

f (x) − f (x0)

x−

x0

,

lo cual, por la definición de derivadas laterales, que exista la derivada de f en x0 esequivalente a:




2.4 Soluciones 51

(b) f ′−(x0) = f ′+(x0).

Además, si f ′(x0) existe, también existe el límite

l ımx→

x0

f (x) − f (x0)

x − x0

,

y por lo tanto

l ımx→x0

f (x) − f (x0)

x − x0= l ım

x→x+0

f (x) − f (x0)

x − x0= l ım

x→x−0

f (x) − f (x0)

x − x0,

lo que implica que f ′(x0) = f ′−(x0) = f ′+(x0).


f (x) =(x + α)e− βx si x < 0,αx2 + βx + 1 si x ≥ 0,

sea derivable en R.

Solución. La función f es derivable enR−0 para todo α, β ∈R, pues, en el intervalo(−∞, 0), la función es el producto de una función polinomial con una exponencial y,en (0, +∞), es una función polinomial. Se sabe que estas funciones son derivables entodo R y, por lo tanto, su producto es derivable.

Nos resta, entonces, saber qué sucede respecto a la derivabilidad en x = 0. Para

que f sea derivable, debe ser continua, por lo tanto, analicemos la continuidad en 0.Para esto, calculemos los límites laterales de f en 0:

l ımx→0−

f (x) = l ımx→0

(x + α)e− βx = α, y lımx→0+

f (x) = l ımx→0

(αx2 + βx + 1) = 1.

Obtenemos que, si f es continua en 0, entonces α = 1. Es fácil ver que el recíproco esverdadero.

Ahora, si f fuera derivable en cero, deberían existir sus derivadas direccionales.Estas serían:

f ′−(0) = (x + α)e− βx′x=0

=

e− βx(1 + (x + α)(− β))

x=0

= 1 + (− β)α

= 1 − β

f ′+(0) =αx2 + βx + 1

′

x=0

= [2αx + β]|x=0

= β

con lo cual β = 12

.



52 La Derivada

Finalmente, es fácil ver que para α = 1 y β = 1/2, f es derivable en 0.

14. Halle los valores de α y β en R para que la función f definida por

f (x) = αx + β si x < 0,

α cos x + β sen x si x ≥ 0,

sea derivable en R.

Solución. Por un razonamiento similar al del ejercicio anterior, basta analizar la deri-vabilidad en cero.

Si f fuera continua en cero,

l ımx→0−

f (x) = l ımx→0

(αx + β) = β = l ımx→0+

f (x) = l ımx→0

(α cos x + β sen x) = α,

de donde α = β.Si f fuera derivable en cero:

f ′−(0) = α = f ′+(0) = −α sen(0) + β cos(0) = β

con lo cual se concluye que α = β.Es fácil verificar que si α = β, f es diferenciable en 0.

15. Halle el valor de α elemento de R de modo que la función f definida por

f (x) = |x|α sen 1

x si x

= 0,

0 si x = 0,


Solución. En primer lugar, calculemos los límites unilaterales. En primer lugar, calcu-lemos

l ımx→0+

f (x) = l ımx→0+

xα sen 1x

.

En primer lugar, tenemos que

−1 < sen

1x < 1.

Si x > 0, se verifica que

−x < x sen 1x < x;

luego, por el teorema del sandwich L16:

l ımx→0+

x sen 1x

= 0,

con lo que podemos concluir que

l ımx→0+

f (x) = l ımx→0+

xα−1 · l ımx→0+

x sen 1x

= 0 · 0 = 0,

siempre y cuando α − 1 > 0.



2.4 Soluciones 53

De manera similar, se puede encontrar que

l ımx→0−

f (x) = 0,

siempre y cuando α−

1 > 0. Por lo tanto f será continua en 0 si α > 1.Ahora, calculemos las derivadas direccionales de f en 0.

f ′+(0) =

xα sen

1x

′x=0

=

αxα−1 sen

1x

+ xα

−1x2

cos

1x

x=0

=

αxα−1 sen

1x − xα−2 cos

1x

x=0= 0,

si y cuando α > 2, pues las funciones sen y cos están acotadas ∀x ∈ R.De manera similar, se tiene que f ′+(0) = 0, cuando α > 2.Finalmente, para α > 2, las derivadas direccionales de f existen y son iguales.

Luego f es derivable para α > 2.

16. Halle los valores de α y β en R de modo que la función f definida por

f (x) =

|x|α sen 1|x| β si x = 0,

0 si x = 0,


Solución. Calculemos los límites unilaterales; empecemos por

l ımx→0+

f (x) = l ımx→0+

xα sen 1x β

.

Si x > 0 entonces x β > 0 para todo β = 0 y

−x β < x β sen 1x β < x β.

Luego, por el teorema del sánduche, si β = 0, entonces:

l ımx→0+

f (x) = l ımx→0+

xα− β l ımx→0+

x β sen 1x β

= 0 × 0 = 0,

siempre y cuando β = 0 y α − β > 0.De manera similar se puede demostrar que lım

x→0− f (x) = 0, siempre y cuando β = 0

y α − β > 0.

Por lo tanto, si f es continua en 0, entonces β = 0 y α − β>

0.Ahora, calculemos las derivadas direccionales de f en 0:

f ′+(0) = l ımh→0+

f (h) − f (0)

h



54 La Derivada

= l ımh→0+

hα sen

1h β

h

= l ımh

→0+

hα−1 sen

1h β

= 0

si α > 1, pues la función sen es acotada.De manera similar, se tiene que f ′+(0) = 0, cuando α > 1. Por lo tanto f es deriva-

ble si α > 1.

17. ¿Para qué valores de x ∈ R, la función f definida por f (x) = | sen x| es derivable enx?

Solución. Primeramente, por la definición de valor absoluto se tiene:

f (x) = sen x si sen x ≥ 0,

− sen x si sen x<

0.Entonces, la derivada de f está dada por:

f ′(x) =

cos x si sen x > 0,

− cos x si sen x < 0.

Ahora, puesto que

sen x = 0 ⇐⇒ x = nπ , n ∈N,

calculemos las derivadas laterales en x = nπ para n ∈N. Si n ∈ N:

f ′−(nπ ) = −cos(nπ ) = −(−1)n = (−1)n+1,

f ′+(nπ ) = cos(nπ ) = (−1)n.

Por lo tanto, se concluye que

f ′−(nπ ) = f ′+(nπ ),

lo que implica f es derivable en R− nπ : n ∈N.

18. ¿Para qué valores de x ∈ R, la función f , definida por f (x) = x |x|, es derivable en x?Solución. De las definiciones de valor absoluto y de la función f se tiene:

f (x) =

x2 si x ≥ 0,

−x2 si x < 0.

Para todo x = 0, la función f es derivable. Veamos qué si también lo es en x = 0.Calculemos las derivadas unidireccionales de f en 0:

f ′

−(0) =

−02 = 0

f ′+(0) = 02 = 0.

Puesto que las derivadas por derecha e izquierda en el punto 0 coinciden, f es dife-renciable en 0 también.



2.4 Soluciones 55

19. Un avión que está a 500 kilómetros al norte de Quito viene hacia la capital a 400 ki-lómetros por hora, mientras que otro, que está a 600 kilómetros al este, lo hace a unavelocidad de 300 kilómetros por hora. ¿A qué velocidad se acercan el uno al otro enese momento?

Solución. Sean

x(t) : la distancia (en km) entre Quito y el avión que se encuentra en el este en elmomento t,

y(t) : la distancia (en km) entre Quito y el avión que se encuentra al norte en elmomento t,

z(t) : la distancia (en km) entre ambos aviones en el momento t.

Por la posición de lo aviones, tenemos la siguiente relación

z2

= x2

+ y2

,

de la cual, derivándola respecto al tiempo (t), y aplicando la regla de la cadena, seobtiene que

2 zdz

dt = 2x

dx

dt + 2 y

dy

dt.

Luego de despejar dzdt , obtenemos que

dz

dt =

x

x2 + y2

dx

dt +

y

x2 + y2

dy

dt

Puesto que dxdt y dy

dt son las velocidades (en km/h) con las que los aviones se acercan a

Quito, respectivamente, se tiene que dxdt = 300 y dy

dt = 400. Entonces, en el momento ten el que x(t) = 600 y y(t) = 500, se obtiene

dz

dt =

600√ 6002 + 5002

·300 + 500√ 6002 + 5002

·400

≈ 486,54.

Por lo tanto, la velocidad en la que se acercan los aviones entre sí cuando están a una

distancia de 600 y 500 kilómetros de Quito, respectivamente, es aproximadamente486,54 km/h.

20. Un radar que está a 12 kilómetros de una base militar detecta que un avión sobrevuelala base a 9 000 metros de altura y que se dirige hacia el radar, manteniendo su altitudy velocidad. Si la rapidez con que decrece la distancia entre el avión y el radar es de500 kilómetros por hora, ¿a qué velocidad vuela el avión?

Solución. Definamos:

x(t) : distancia horizontal (en km) entre el radar y el avión en el momento t,

z(t) : distancia total (en km) entre entre el radar y el avión en el momento t.Puesto que el avión conserva una altitud constante de 9 km/h, se tiene la siguiente

relación: z =

x2 + 92,



56 La Derivada

de donde, derivando con respecto al tiempo, obtenemos

dz

dt =

x√ x2 + 81

dx

dt ;

por lo tanto:dx

dt =

√ x2 + 81

x

dz

dt.

Por otro lado, se tiene que y dzdt es la velocidad con la que se acerca el avión al radar,

por lo tanto dzdt = 500.

Ahora calculemos dxdt , que es la velocidad del avión, cuando x = 12, porque a esa

distancia está la base del radar, y el avión está sobre la base:

dx

dt

=

√ 122 + 81

12 ·500

= 625.

Por lo tanto, la velocidad en la que vuela el avión es 625 km/h cuando sobre vuela la base.

21. Un buque se acerca a un faro de 50 metros de altura. Se sabe que el ángulo entre lahorizontal y la recta que une el buque con la punta del faro varía a una razón constantede α por minuto, cuando el buque está a dos kilómetros del faro. ¿Cuál es la velocidaddel buque? ¿Cuál sería un valor razonable para α?

Solución. Notando por F al punto en el cual se encuentra el faro y B a aquel en el quese encuentra el buque, podemos realizar el siguiente gráfico que ilustra la situación:

B

F

θ

θ

2 km

0,05 km

Si nombramos con x la distancia del bote a la base del faro, tenemos que:

tan θ = 0,05

x ;

por lo tanto

x = 0,05tan θ

.

Ahora, si derivamos con respecto al tiempo, obtenemos que

dx

dt = −0,05 · sec2 θ

tan2 θ· dθ

dt



2.4 Soluciones 57

= −0,05 · 1sen2 θ

· dθdt

.

Por otro lado se tiene que dθdt = α y θ = arctan 0,05

2 ≈ 0,025 en el momento en quex = 2. Luego, como

sen θ ≈ θ ≈ 0,025,obtenemos que

dx

dt ≈ −80α.

P or lo tanto la velocidad a la que se acerca el buque a la orilla es de aproximadamen-te 80 αkm/h. Puesto que la velocidad promedio de un buque es 20 km/h, un valorrazonable para α sería 0,25.

22. El agua escapa del reservorio cónico, mostrado en la figura 2.3, a una razón de 20litros por minuto. ¿Con qué velocidad disminuye el nivel de agua cuando su alturah, medida desde el fondo, es de 5 metros? ¿Cuál es la razón de cambio de radio r delespejo del agua en ese instante?

r

8 m

h

8 m

Figura 2.3

Solución. Sea V el volumen de agua, medido en metros cúbicos, que hay en el reci-piente cónico cuando el radio del espejo del agua, medido en metros, es r. Si h es laaltura del cono de agua, medido en metros, entonces se tiene la siguiente relación

V = 13π r2h. (2.5)

Conocemos que el agua escapa del reservorio a una razón de 20 litros por minuto; esdecir,

dV

dt = −20.

Derivamos la ecuación (2.5) respecto al tiempo, por lo tanto se tiene:

dV

dt =

13π

2rdr

dth + r2 dh

dt

.

Por otra parte, de la figura 2.4 podemos observar que la relación entre r y h está dada



58 La Derivada

por:

tan θ = h

r =

84

= 2,

de donde, 2r = h y derivando respecto al tiempo:

2dr

dt =

dh

dt .

θ

h

r

Figura 2.4

Reemplazando en la ecuación (2.5) se tiene

dV

dt =

13π

2r

dr

dth + 2r2 dr

dt

.

Ahora, si h = 5 y r = 2,5, tenemos que

−20 = 13π 2 · 2,5 dr

dt5 + 2 · 2,52 dr

dt ,

luego,dr

dt = − 16

5π ≈ −1,019.

Es decir, el radio r del espejo del agua disminuye aproximadamente a 1.019 metrospor minuto cuando la altura del agua es de 5 metros.

23. Un faro ubicado en un islote situado a 3 kilómetros de la playa emite un haz de luzque gira dando una vuelta entera cada minuto (figura 2.5). ¿Con qué velocidad se“mueve” el punto P de la playa iluminado por el haz de luz FP emitido por el farocuando P está situado a 2 kilómetros del punto Q, que es el punto de la playa máscercano al faro?

Solución. Sean θ el ángulo entre las rectas PF y QF, y x la distancia medida en metrosdesde Q hasta P, se tiene la relación

tan θ = x

3. (2.6)

Como el faro emite un haz de luz que gira dando una vuelta cada minuto, entonces

dθ

dt = 2π . (2.7)

Las magnitudes θ y x están relacionadas entre sí mediante (2.6) las mismas que a



2.4 Soluciones 59

P

Q F

3 km

P l a y a

Figura 2.5

su vez dependen del tiempo t, por lo tanto, para encontrar la razón de cambio dx

dtderivamos respecto a t ambos lados de la ecuación (2.6); es decir,

sec2 θdθ

dt =

13

dx

dt ,

con lo cual,

dxdt = 3 sec2 θ dθdt .

Para el caso en que x = 2,

sec2 θ = 1 + tan2 θ = 1 +

23

2

= 59

,

y considerando la ecuación (2.7), se tiene finalmente

dx

dt = 3 × 5

9(2π ) =

10π 3

≈ 10,47.

Es decir, el punto P se “mueve” a una velocidad de aproximadamente 10.47 kilómetrospor minuto.

24. Un rectángulo mide 10 metros de altura por 20 metros de base. Si la base aumenta arazón constante de un metro por minuto y la altura disminuye a una razón constantede dos metros por minuto, ¿con qué velocidad varía el área del rectángulo? El área,¿aumenta o disminuye?

Solución. Sean A el área del rectángulo medida en metros cuadrados, x la base del

rectángulo medido en metros y y la altura del rectángulo medido en metros. Entoncesse tiene la relación A = xy. (2.8)

Dado que la base aumenta a razón de un metro por minuto y la altura disminuye a



60 La Derivada

razón de 2 metros por minuto, se tiene:

dx

dt = 1

dy

dt = −2.

Derivando la ecuación (2.8) respecto al tiempo se tiene quedA

dt =

d

dt(xy) =

dx

dt y + x

dy

dt.

Por lo tanto, cuando x = 20 y y = 10, se obtiene

dA

dt = 1 · 10 + 20 · (−2) = −30.

Es decir, el área del rectángulo disminuye 30 metros cuadrados cada minuto.

25. De un recipiente, que tiene la forma de una pirámide truncada invertida de base cua-drada, de 10 metros de altura, de 10 metros el lado del cuadrado más grande y de 5metros el lado del cuadrado más pequeño, y que está lleno de agua a media altura, seextrae el líquido a una razón constante de un metro cúbico por minuto.

(a) ¿Con qué rapidez baja el nivel del agua?

(b) Si, por otro lado, el nivel del agua sube un metro por hora al bombear agua enel reservorio cuando está lleno hasta la mitad, ¿cuál es el caudal de agua que seintroduce?

Solución. (a) Sean h la altura del nivel del agua medida en metros, V el volumen del

agua medida en metros cúbicos y 2r la longitud medida en metros del lado delcuadrado de la base superior de la pirámide de agua. Entonces el área medida enmetros cuadrados de las superficie de la base inferior Sb de la pirámide de aguaes

Sb = 52 = 25

y el área medida en metros cuadrados de la base superior SB es

SB(r) = (2r)2.

Luego V está dado por

V = h(r)

3

SB(r) + Sb +

SbSB(r)

. (2.9)

Derivando respecto a t ambos lados de la ecuación (2.9), se tiene

dV

dt =

13

dh

dt

SB(r) + Sb +

SbSB

+

h(r)

3

dSB

dt +

SbdSB(r)

dt

2

SbSB(r)

= 1

3

dh

dt 4r2 + 25 + 25×

4r2+ h(r)

3 d(4r2)

dt

+ 25 d(4r2)

dt

2√ 25 × 4r2=

13

dh

dt

4r2 + 25 + 10r

+

h(r)

3

8r

dr

dt + 10

dr

dt

(2.10)



2.4 Soluciones 61

h

10 m

10 m

5 m

2r

Figura 2.6

10

h = 5

10

2.5

r = 3,75

5

Figura 2.7

Ahora consideremos el gráfico de un corte vertical de la pirámide, por simplesrelaciones entre triángulos tenemos que:

h + 10

r =

20

5r =

14

(h + 10), (2.11)



62 La Derivada

derivando a ambos lados de (2.11) respecto al tiempo se tiene que

dr

dt =

14

dh

dt . (2.12)

De esta manera, con (2.10) y (2.12), se obtiene quedV

dt =

13 × 4

dr

dt

4r2 + 25 + 10r

+ (8r + 10)

h

3dr

dt

=

43

(4r2 + 10r + 25) + (8r + 10)h

3

dr

dt (2.13)

Se extrae el líquido a una razón constante de un metro cúbico por minuto, por lotanto:

dV

dt = −1,

entonces, cuando h = 5, de (2.11) se tiene que r = 3,75, esto, con (2.13), implica

dr

dt = (−1)

43

(4 × (3,75)2 + 10 × 3,75 + 25) + (8 × 3,75 + 10)53

−1

≈ −0,0044

Es decir, el radio del espejo de agua se reduce aproximadamente 0,004 metros porminuto.

(b) En este caso, tenemos quedh

dt = 1,

con lo cual, la ecuación (2.12) queda

dr

dt =

14

.

Reemplazando esto en la ecuación (2.13), cuando h = 5 y r = 3,75, se tiene

dV

dt =

43

(4 × 3,752 + 10 × 3,75 + 25) + (8 × 3,75 + 10)53

14

= 56,2.

Es decir, el volumen del reservorio aumenta 56.2 metros cúbicos cada hora.

26. ¿Con qué rapidez varía el área de la corona que queda entre dos circunferencias con-céntricas de radios 10 metros y 20 metros respectivamente, si el diámetro de la máspequeña aumenta un metro por hora y el diámetro de la más grande disminuye dosmetros por hora? ¿Y si los diámetros aumentan un metro por hora? Si el diámetromenor crece dos metros, ¿cómo debe variar el otro para que el área de la corona nocambie?

Solución. Sean x el diámetro de la circunferencia pequeña, y el diámetro de la circun-ferencia más grande, ambas medidas en metros. Entonces, conocemos que

dx

dt = −2y

dy

dt = 1.



2.4 Soluciones 63

Ahora, puesto que el área de una corona circular está dada por

A = π (R2 − r2),

donde, R es el radio de la circunferencia más grande y r de la más pequeña, entonces

para este caso:

A = π

y2

4 − x2

4

,

luego

A = π

4 ( y2 − x2).

Derivando esta última expresión con respecto al tiempo se obtiene que la razón decambio del área con respecto al tiempo estará dada por

dA

dt =

π

2 y

dy

dt − x

dx

dt . (2.14)

Entonces, cuando el diámetro de la más pequeña aumenta un metro por hora y eldiámetro de la más grande disminuye dos metros por hora, en (2.14) se tiene:

dA

dt =

π

2 (40(−2) − 20(1)) = −50π ,

es decir, el área de la corona determinada por las dos circunferencias disminuye a unarazón de 50π metros por hora.

Por otro lado, cuando los diámetros aumentan un metro por hora, entonces por

(2.14) se tiene:dA

dt =

π

2 (40(1) − 20(1)) = 10π ,

por lo cual, el área de la corona aumenta a razón de 10π metros por hora.

27. Una partícula se mueve en una trayectoria elíptica cuya forma está dada por la ecua-ción

x

32

+

y

22

= 1.

Supongamos que las longitudes están expresadas en metros. Si se sabe que en puntode la abscisa 1, ésta se incrementa a una razón de dos metros por segundo, ¿qué sucedecon la ordenada del punto con la abscisa dada? Considere los casos que se derivansegún los cuadrantes en los que se halla la ordenada.

Solución. Se tienen dos casos: el movimiento de la partícula es en sentido horario y elmovimiento de la partícula es en sentido antihorario.

Cuando el movimiento es en sentido horario, se tiene que la partícula debe estaren el primer cuadrante, puesto que la abscisa se incrementa.

Partiendo de la ecuación de la elipse, se encuentra que la relación entre x y y estádada por

y = 2

1 − x

3

2. (2.15)



64 La Derivada

x

y

3

2

x = 1

movimiento

•

Figura 2.8

Derivando (2.15) respecto al tiempo tenemos que

dy

dt = 2 × 1

21

1 − x3

2−2 x

3

13

dx

dt .

Ahora, para x = 1 y dx

dt = 1, se tiene

dy

dt = − 2

1 − 1

32

19 × 1 = −

√ 2

6 ≈ −0,236.

Es decir, cuando la partícula está viajando en sentido horario en la abscisa 1 del primercuadrante, su ordenada decrece aproximadamente 0.236 metros por segundo.

Cuando el movimiento es en sentido antihorario, se tiene que la partícula debe es-tar en el cuarto cuadrante, puesto que la abscisa se incrementa. Partiendo de la ecua-

x

y

3

2

x = 1

movimiento

•

Figura 2.9

ción de la elipse, se encuentra que la relación entre x y y está dada por

y = −2

1 − x

3

2. (2.16)



2.4 Soluciones 65

Derivando (2.16) respecto al tiempo tenemos que

dy

dt = −2 × 1

21

1 −

x3

2

−2x

3

13

dx

dt .

Ahora, para x = 1 y dx

dt = 1, se tiene

dy

dt =

2 1 −

13

29

× 1 =

√ 2

6 ≈ 0,236.

Es decir, cuando la partícula está viajando en sentido antihorario en la abscisa 1 delcuarto cuadrante, su ordenada crece aproximadamente 0.236 metros por segundo.

28. Dos calles de diez metros de ancho se intersecan. Se desea transportar horizontalmen-te una varilla larga y delgada, pero, en la intersección, se requiere virar a la derecha.¿Cuál es el largo máximo de la varilla que se puede transportar si el grosor de la varillaes despreciable?

Solución. Es evidente que si se desea que la varilla transportada tenga una longitudmáxima, ésta debe rozar una de las esquinas, llamemos a esta esquina el punto A.La longitud de la varilla no podrá exceder ninguna de las longitudes de las rectas BCmostradas en el gráfico, la inclinación de estas rectas se caracteriza mediante el ánguloθ y su longitud por l, que es una función dependiente de θ cuyo dominio es [0, π /2].

Del gráfico podemos ver que la longitud l puede ser escrita como l1 + l2, donde

l1(θ) = 10cos θ

, l2(θ) = 10sen θ

.

De este modo

l(θ) = 10

1cos θ

+ 1sin θ

.

El problema consiste en hallar los extremos de l, para ello derivamos

l′(θ) = 10sen θ

cos2 θ − 10cos θ

sin2 θ.

La longitud de la varilla será aquella para la cual l alcanza su mínimo, digamos que



66 La Derivada

se alcanza en θ, entonces10sen θcos2

θ

− 10cos θsin2

θ

= 0,

tan3

θ = 1

⇒ θ = π /4.

Para verificar que se trata de un mínimo analicemos la monotonía de l antes y despuésde π /4.

Si 0 < θ < π /4, la función seno es creciente y la función coseno es decreciente,considerando esto, es fácil obtener que

sen θ <

√ 2

2 , cos θ < 1,

1cos2 θ

< 2, − 1sen2 θ

< −2

y de estas desigualdades:

10sen θcos2 θ

<10 × √ 22 × 2

−10cos θsen2 θ

<10 × (−2)

finalmente se obtiene que

l′(θ) < 10(√

2 − 2) < 0, para 0 < θ < π /4.

Es decir, la función l es decreciente para 0 < θ < π /4.Si π /4 < θ < π /2, la función seno es creciente y la función coseno es decreciente,

considerando esto, es fácil obtener que

sen θ >

√ 2

2 , − cos θ > −

√ 2

2 ,

1cos2 θ

> 2, 1sen2 θ

> 1

y de estas desigualdades:

10sen θ

cos2 θ >10 ×

√ 2

2 × 2

−

10cos θsen2 θ

>10

×−

√ 2

2 finalmente se obtiene que

l′(θ) > 10(√

2 − 12

) > 0, para π /4 < θ < π /2.

Es decir, la función l es creciente para π /4 < θ < π /2.Con esto, podemos asegurar que la función l alcanza un mínimo en θ = π /4 y que

la longitud de la varilla deber ser

L = l ( θ) = 10 1cos(π /4) +

1sin(π /4) = 20√ 2.



2.4 Soluciones 67

29. Un joven puede remar a razón de dos kilómetros por hora y correr a seis kilómetrospor hora. Si está en el punto A de la playa y desea llegar lo antes posible al puntoB, situado en la isla de enfrente, que está a dos kilómetros del punto C en la playa,¿hasta qué punto P de la playa debe correr para luego remar desde P hasta B? ¿Enqué tiempo llegará?

A

P

C

B

4 km

2 km

Playa

Isla

Solución. Sea x la distancia en kilómetros medida desde el punto A al punto P. Elcamino que el joven caminará es AP(x) y el camino que remará es PB(x). Del gráficoobtenemos que

AP(x) = x ,

PB(x) =

22 + (4 − x)2.

Suponiendo que en el tramo AP se tiene una velocidad constante medida en kilóme-tros por hora: v AP = 6, el tiempo en correrlo es

t AP (x) = AP(x)v AP

= x6

,

y si en el tramo PB se tiene una velocidad constante medida en kilómetros por hora:vPB = 2, el tiempo en navegarlo es

tPB (x) = PB(x)

vPB=

4 − (4 − x)2

2 .

El tiempo que se busca minimizar es

t(x) = t AP (x) + tPB (x) = x6

+ 4 − (4 − x)22

= x + 3 4 − (4 − x)26

.

Derivando

t′(x) =

√ −x2 + 8x − 12 − 3(x − 4)

6√ −x2 + 8x − 12

para hallar su mínimo encontramos los xm tales que t′(xm) = 0,

t′(xm) =

−x2m + 8xm − 12 − 3(xm − 4)

6 −x2m + 8xm − 12

= 0

resolviendo para xm se obtiene

xm =

√ 10 + 20

5 .



68 La Derivada

El tiempo de viaje mínimo se logrará cuando la distancia recorrida a pie sea de√

10+205

kilómetros. Y el tiempo medido en horas, que se tardará es

t(xm) =

√ 10+20

5 + 3 4 − 4

−

√ 10+20

5 2

6 =

√ 10 + 2

3 .

cálculo en una variable, resumen y ejercicios resueltos

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