cálculo de una variable, 6a ed español james stewart

1. STEWART JAMES STEWART Sexta edicin Sexta edicin El contenido de la obra que tiene usted en sus manos,Clculo de una variable: Trascendentes tempranas,se ha reorganizado de manera tal que los profesores puedan ensear las funciones trascendentes (ms que simples funciones trigonomtricas) antes de pasar a la integral.Adems,el autor desarrolla el texto basndose en lo que l llama regla de tres,es decir,plantea quelos temas deben presentarse de manera geomtrica,numrica y algebraica.El nfasis en la solucin de problemas,la meticulosa exactitud,las pacientes explicaciones y los conjuntos de problemas cuidadosamente graduados son conceptos que identifican este texto clsico de clculo. Caractersticas La obra tiene una presentacin clara y selectiva.El autor conduce al estudiante a lo largo de un material crucial mediante una forma sencilla,correcta y analtica. Se han incorporado nuevos ejercicios que van desde un nivel bsico hasta los muy complicados,para obligar la prctica y adquisicin de habilidades (incluyendo problemas para software y calculadora graficadora). En el texto se enfatiza la importancia de la solucin de problemas,en el apartado Principios para la resolucin de problemas,adems de las conocidas y aumentadas secciones deProblemas adicionales. Estamos seguros de que esta excelente obra ser para usted una herramienta fundamental en la enseanza y/o aprendizaje del Clculo. EDICIN REVISADA EDICIN REVISADA

2. Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page iv 3. C L C U L O D E U N A V A R I A B L E Trascendentes tempranas SEXTA EDICIN (Edicin revisada) JAMES STEWART McMASTER UNIVERSITY Traduccin: Jorge Humberto Romo M. Traductor Profesional Revisin tcnica: Dr. Ernesto Filio Lpez Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniera y Tecnologas Avanzadas Instituto Politcnico Nacional M. en C. Manuel Robles Bernal Escuela Superior de Fsica y Matemticas Instituto Politcnico Nacional Australia Brasil Corea Espaa Estados Unidos Japn Mxico Reino Unido Singapur Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page i 4. Clculo de una variable: Trascendentes tempranas, Sexta edicin James Stewart Presidente de Cengage Learning Latinoamrica: Javier Arellano Gutirrez Director general Mxico y Centroamrica: Pedro Turbay Garrido Director editorial Latinoamrica: Jos Toms Prez Bonilla Director de produccin: Ral D. Zendejas Espejel Coordinadora editorial: Mara Rosas Lpez Editor de desarrollo: Sergio R. Cervantes Gonzlez Editor de produccin: Timoteo Eliosa Garca Ilustrador: Brian Betsill Composicin tipogrca: Servicios Editoriales 6Ns, S.A. de C.V. D.R. 2008 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compaa de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe, nm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, Mxico, D.F. Cengage Learning es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podr ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea grco, electrnico o mecnico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproduccin, escaneo, digitalizacin, grabacin en audio, distribucin en Internet, distribucin en redes de informacin o almacenamiento y recopilacin en sistemas de informacin a excepcin de lo permitido en el Captulo III, Artculo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro Single Variable Calculus: Early Trascendentals, Sixth Edition Publicado en ingls por Thomson/Brooks/Cole 2008 ISBN: 0-495-01169-X Datos para catalogacin bibliogrca: Stewart, James Clculo de una variable: Trascendentes tempranas Sexta edicin ISBN-13: 978-607-481-317-3 ISBN-10: 607-481-317-5 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page ii 5. PARA SALLY Y DON PARA ALAN Y SHARON PARA KELLY, KIM Y CALLUM PARA JACKIE Y NINO Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page iii 6. Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page iv 7. v Prefacio xi Al estudiante xix Exmenes de diagnstico xx PRESENTACIN PRELIMINAR DEL CLCULO 2 FUNCIONES Y MODELOS 10 1.1 Cuatro maneras de representar una funcin 11 1.2 Modelos matemticos: un catlogo de funciones bsicas 24 1.3 Funciones nuevas a partir de funciones antiguas 37 1.4 Calculadoras gracadoras y computadoras 46 1.5 Funciones exponenciales 52 1.6 Funciones inversas y logaritmos 59 Repaso 73 Principios para la resolucin de problemas 76 LMITES Y DERIVADAS 82 2.1 La tangente y los problemas de la velocidad 83 2.2 Lmite de una funcin 88 2.3 Clculo de lmites utilizando las leyes de los lmites 99 2.4 Denicin exacta de lmite 109 2.5 Continuidad 119 2.6 Lmites al innito, asntotas horizontales 130 2.7 Derivadas y razones de cambio 143 Redaccin de proyecto & Mtodos anticipados para la bsqueda de tangentes 153 2.8 La derivada como una funcin 154 Repaso 165 Problemas adicionales 170 2 1 CONTENIDO Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page v 8. REGLAS DE DERIVACIN 172 3.1 Derivadas de polinomios y de funciones exponenciales 173 Proyecto de aplicacin & Construccin de una montaa rusa 182 3.2 Las reglas del producto y el cociente 183 3.3 Derivadas de las funciones trigonomtricas 189 3.4 La regla de la cadena 197 Proyecto de aplicacin & Dnde debe un piloto iniciar un descenso? 206 3.5 Derivacin implcita 207 3.6 Derivadas de funciones logartmicas 215 3.7 Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales 221 3.8 Crecimiento y decaimiento exponencial 233 3.9 Relaciones afines 241 3.10 Aproximaciones lineales y diferenciales 247 Proyecto de laboratorio & Polinomios de Taylor 253 3.11 Funciones hiperblicas 254 Repaso 261 Problemas adicionales 265 APLICACIONES DE LA DERIVACIN 270 4.1 Valores mximos y mnimos 271 Proyecto de aplicacin & El clculo de los arcoris 279 4.2 Teorema del valor medio 280 4.3 Manera en que las derivadas afectan la forma de una grca 287 4.4 Formas indeterminadas y la regla de lHospital 298 Redaccin de proyecto & Los orgenes de la regla de lHospital 307 4.5 Resumen de trazo de curvas 307 4.6 Trazado de grcas con clculo y calculadoras 315 4.7 Problemas de optimizacin 322 Proyecto de aplicacin & La forma de una lata 333 4.8 Mtodo de Newton 334 4.9 Antiderivadas 340 Repaso 347 Problemas adicionales 351 4 3 vi |||| CONTENIDO y 0 y 0 2 m=1 m=_1 m=0 2 Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page vi 9. CONTENIDO |||| vii INTEGRALES 354 5.1 reas y distancias 355 5.2 La integral denida 366 Proyecto para un descubrimiento & Funciones de rea 379 5.3 El teorema fundamental del clculo 379 5.4 Integrales indenidas y el teorema del cambio total 391 Redaccin de proyecto & Newton, Leibniz y la invencin del clculo 399 5.5 La regla de la sustitucin 400 Repaso 408 Problemas adicionales 412 APLICACIONES DE LA INTEGRACIN 414 6.1 reas entre curvas 415 6.2 Volmenes 422 6.3 Volmenes mediante cascarones cilndricos 433 6.4 Trabajo 438 6.5 Valor promedio de una funcin 442 Proyecto de aplicacin & Dnde sentarse en las salas cinematogrficas? 446 Repaso 446 Problemas adicionales 448 TCNICAS DE INTEGRACIN 452 7.1 Integracin por partes 453 7.2 Integrales trigonomtricas 460 7.3 Sustitucin trigonomtrica 467 7.4 Integracin de funciones racionales por fracciones parciales 473 7.5 Estrategia para integracin 483 7.6 Integracin por medio de tablas y sistemas algebraicos 489 Proyecto para un descubrimiento & Patrones de integrales 494 7 6 5 Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page vii 10. viii |||| CONTENIDO 7.7 Integracin aproximada 495 7.8 Integrales impropias 508 Repaso 518 Problemas adicionales 521 MS APLICACIONES DE LA INTEGRACIN 524 8.1 Longitud de arco 525 Proyecto para un descubrimiento & Concurso de la longitud de arco 532 8.2 rea de una supercie de revolucin 532 Proyecto para un descubrimiento & Rotacin sobre una pendiente 538 8.3 Aplicaciones a la fsica y a la ingeniera 539 Proyecto para un descubrimiento & Tazas de caf complementarias 550 8.4 Aplicaciones a la economa y a la biologa 550 8.5 Probabilidad 555 Repaso 562 Problemas adicionales 564 ECUACIONES DIFERENCIALES 566 9.1 Modelado con ecuaciones diferenciales 567 9.2 Campos direccionales y mtodo de Euler 572 9.3 Ecuaciones separables 580 Proyecto de aplicacin & Qu tan rpido drena un tanque? 588 Proyecto de aplicacin & Qu es ms rpido, subir o bajar? 590 9.4 Modelos de crecimiento poblacional 591 Proyecto de aplicacin & Clculo y bisbol 601 9.5 Ecuaciones lineales 602 9.6 Sistemas depredador-presa 608 Repaso 614 Problemas adicionales 618 9 8 Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page viii 11. ECUACIONES PARAMTRICAS Y COORDENADAS POLARES 620 10.1 Curvas denidas por ecuaciones paramtricas 621 Proyecto de laboratorio & Crculos que corren alrededor de crculos 629 10.2 Clculo con curvas paramtricas 630 Proyecto de laboratorio & Curvas de Bzier 639 10.3 Coordenadas polares 639 10.4 reas y longitudes en coordenadas polares 650 10.5 Secciones cnicas 654 10.6 Secciones cnicas en coordenadas polares 662 Repaso 669 Problemas adicionales 672 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 674 11.1 Sucesiones 675 Proyecto de laboratorio & Sucesiones logsticas 687 11.2 Series 687 11.3 La prueba de la integral y estimaciones de las sumas 697 11.4 Pruebas por comparacin 705 11.5 Series alternantes 710 11.6 Convergencia absoluta y las pruebas de la razn y la raz 714 11.7 Estrategia para probar series 721 11.8 Series de potencias 723 11.9 Representaciones de las funciones como series de potencias 728 11.10 Series de Taylor y de Maclaurin 734 Proyecto de laboratorio & Un lmite escurridizo 748 Redaccin de proyecto & Cmo descubri Newton la serie binomial 748 11.11 Aplicaciones de los polinomios de Taylor 749 Proyecto de aplicacin & Radiacin proveniente de las estrellas 757 Repaso 758 Problemas adicionales 761 11 10 CONTENIDO |||| ix Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page ix 12. APNDICES A1 A Nmeros, desigualdades y valores absolutos A2 B Geometra de coordenadas y rectas A10 C Grcas de ecuaciones de segundo grado A16 D Trigonometra A24 E Notacin sigma A34 F Pruebas de teoremas A39 G El logaritmo denido como una integral A48 H Nmeros complejos A55 I Respuestas a ejercicios de nmero impar A63 NDICE A113 x |||| CONTENIDO Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page x 13. xi Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay un grano de descubrimiento en la solucin de cualquier problema. El problema del lector puede ser modesto, pero desafa su curiosidad y pone en juego sus facultades inventi- vas; si lo resuelve por s solo puede experimentar la tensin y disfrutar el triunfo del descubrimiento. GEORGE POLYA PREFACIO El arte de ensear, dijo Mark Van Doren, es el arte de ayudar en un descubrimiento. He tratado de escribir un libro que ayude a estudiantes a descubrir el clculo, por su poder prctico y sorprendente belleza. En esta edicin, al igual que en las primeras cinco ediciones, mi meta es expresar al estudiante un sentido de la utilidad del clculo y desarrollar competencia tcnica en l, pero tambin me esfuerzo en dar alguna apreciacin de la belleza intrnseca de esta materia. Es indudable que Newton experiment una sensacin de triunfo cuando hizo sus grandes descubrimientos. Mi deseo es que el estudiante com- parta en algo esa emocin. El nfasis est en entender conceptos. Creo que casi todos estamos de acuerdo en que sta debe ser el objetivo principal de aprender clculo. De hecho, el mpetu para el actual movimiento de reforma del clculo provino de la Conferencia de Tulane de 1986, que formul como su primera recomendacin: Concentrarse en entender conceptos He tratado de poner en prctica esta meta a travs de la Regla de Tres: Los temas deben presentarse de manera geomtrica, numrica y algebraica. La visualizacin, la experimen- tacin numrica y grca, y otros mtodos, han cambiado de modo fundamental la forma en que enseamos el razonamiento conceptual. Ms recientemente, la Regla de Tres se ha expandido para convertirse en la Regla de Cuatro al resaltar tambin el punto de vista verbal, o descriptivo. Al escribir la sexta edicin, mi promesa ha sido que es posible lograr la comprensin de conceptos y retener todava las mejores tradiciones del clculo tradicional. El libro contiene elementos de reforma, pero dentro del contexto de un currculo tradicional. VERSIONES ALTERNATIVAS He escrito otros libros de clculo diversos que podran ser preferidos por algunos profesores. Casi todos ellos vienen en versiones de una variable y de varias variables. & Clculo, Sexta edicin, es semejante al presente libro con excepcin de que las funciones exponenciales, logartmicas y trigonomtricas inversas se tratan en el segundo semestre. & Clculo esencial es un libro mucho ms breve (800 pginas), aun cuando contiene casi todos los temas del presente libro. La brevedad relativa se alcanza por medio de expo- siciones ms breves de algunos temas y poniendo algunos elementos en el sitio web. & Clculo esencial: Primeras trascendentales se asemeja al Clculo esencial, pero las funciones exponenciales, logartmicas y trigonomtricas inversas se tratan en el Ca- ptulo 3. Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xi 14. xii |||| PREFACIO & Clculo: conceptos y contextos, Tercera edicin, destaca la comprensin de conceptos con ms vehemencia incluso que este libro. El tratamiento de temas no es enciclop- dico, y el material sobre funciones trascendentales y sobre ecuaciones paramtricas se entrelaza en todo el libro, en lugar de tratarlo en captulos separados. & Clculo: primeros vectores introduce vectores y funciones vectoriales en el primer semestre y los integra en todo el libro. Es apropiado para estudiantes que toman cursos de ingeniera y fsica de modo concurrente con clculo. LO NUEVO EN LA SEXTA EDICIN Veamos a continuacin algunos de los cambios para la sexta edicin de Clculo de una variable: Trascendentes tempranas: & Al principio del libro hay cuatro exmenes de diagnstico, en lgebra bsica, geometra analtica, funciones y trigonometra. Se dan las respuestas y el estudiante que no lo haga bien se remite a donde pueda buscar ayuda (Apndices, secciones de repaso del Captulo 1, y la web). & En respuesta a las peticiones de diversos usuarios, el material que motiva la derivada es ms breve: las Secciones 2.7 y 2.8 se combinan en una sola seccin llamada Deri- vadas y Magnitudes de Rapidez de Cambio. & La seccin de Derivadas de Orden Superior del Captulo 3 ha desaparecido y ese material est integrado en varias secciones de los Captulos 2 y 3. & Los profesores que no cubren el captulo sobre ecuaciones diferenciales han comenta- do que la seccin sobre Crecimiento y Decadencia Exponenciales estaba ubicada en un lugar inadecuado. De conformidad con esto, se ha cambiado al principio del libro, al Captulo 3. Este movimiento precipita una reorganizacin de los Captulos 3 y 9. & Las Secciones 4.7 y 4.8 se unen en una sola seccin, con un tratamiento ms breve de problemas de optimizacin en nanzas y economa. & Las Secciones 11.10 y 11.11 se unen en una sola. Previamente, yo haba descrito la serie del binomio en su propia seccin para destacar su importancia pero me enter que algunos profesores estaban omitiendo esta seccin, de modo que decid incorpo- rar la serie del binomio en la 11.10. & Se han agregado nuevas frases y notas marginales para aclarar la exposicin. & Se han vuelto a dibujar nuevas guras. & Los datos en ejemplos y ejercicios se han actualizado para ser ms oportunos. & Numerosos ejemplos se han agregado o cambiado. Por mencionar alguno, el Ejemplo 2 de la pgina 185 se cambi porque era frecuente que los estudiantes se desconcertaran al ver constantes arbitrarias en un problema, por lo que quise dar un ejemplo en el que se presentan. & Se han incluido pasos adicionales en algunos de los problemas existentes. & Ms del 25% de los ejercicios de cada uno de los captulos es nuevo. He aqu algunos de mis favoritos: 3.1.79, 3.1.80, 4.3.62, 4.3.83 y 11.11.30. & Tambin hay algunos buenos problemas nuevos en las secciones de Problemas Adi- cionales. Observen, por ejemplo, los Problemas 2 y 13 de la pgina 413, el Problema 13 de la pgina 450, y el Problema 24 de la pgina 763. & El nuevo proyecto de la pgina 550, Tazas de caf complementarias, proviene de un artculo de Thomas Banchoff en el que l se preguntaba cul de dos tazas de caf, cuyos perles convexo y cncavo ajustaban perfectamente, contendra ms caf. Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xii 15. PREFACIO |||| xiii & El captulo de Herramientas para Enriquecer el Clculo (TEC, por sus siglas en ingls) se ha rediseado por completo y est accesible en el Internet en www.stewartcalculus.com. Ahora incluye lo que llamamos visuales, que son breves animaciones de diversas guras del texto. Vea la descripcin en la pgina 14. SECCIONES EJERCICIOS CONCEPTUALES La forma ms importante de favorecer la comprensin de conceptos es por medio de los problemas que dejamos de tarea, para cuyo n hemos ideado diversos tipos de problemas. Algunos conjuntos de ejercicios empiezan con peticiones para que el estudiante explique los signicados de los conceptos bsicos de la seccin. (Vea, por ejemplo, los primeros ejercicios de las Secciones 2.2, 2.5 y 11.2.) Del mismo modo, todas las secciones de repaso empiezan con una Revisin de Conceptos y Preguntas de Verdadero-Falso. Otros ejercicios someten a prueba la comprensin de conceptos mediante grficas o tablas (vea Ejerci- cios 2.7.17, 2.8.33-38, 2.8.41-44, 9.1.11-12, 10.1.24-27 y 11.10.2). Otro tipo de ejercicio emplea la descripcin verbal para probar la comprensin de conceptos (Vea Ejercicios 2.5.8, 2.8.56, 4.3.63-64 y 7.8.67). En lo particular, valoro los problemas que combinan y comparan mtodos grcos, numricos y algebraicos (vea Ejercicios 2.6.37-38, 3.7.25 y 9.4.2). CONJUNTO DE EJERCICIOS Cada uno de los conjuntos de ejercicios se calica cuidadosamente, avanzando desde ejerci- CALIFICADOS cios bsicos de conceptos y problemas para desarrollo de habilidades hasta problemas de mayor grado de dicultad que comprenden aplicaciones y pruebas. DATOS REALES Mis ayudantes y yo hemos pasado mucho tiempo en bibliotecas, en empresas y ocinas gubernamentales, y buscando informacin real en Internet para presentar, motivar e ilustrar los conceptos de clculo. Como resultado de esto, muchos de los problemas y ejercicios hablan de funciones denidas por esta informacin numrica o grcas. Vea, por ejemplo, la Figura 1 de la Seccin 1.1 (sismgrafos del terremoto en Northridge), el Ejer- cicio 2.8.34 (porcentaje de poblacin de menos de 18 aos), el Ejercicio 5.1.14 (velocidad del transbordador espacial Endeavour), y la Figura 4 de la Seccin 5.4 (consumo de ener- ga elctrica en San Francisco). PROYECTOS Un modo de interesar a estudiantes y hacerlos lectores activos es hacerlos trabajar (quiz en grupos) en proyectos prolongados que den la sensacin de un logro importante cuando se terminen. He incluido cuatro clases de proyectos: Proyectos de Aplicacin que comprenden aplicaciones diseadas para apelar a la imaginacin de estudiantes. El proyecto despus de la Seccin 9.3 pregunta si una pelota lanzada hacia arriba tarda ms en alcan- zar su altura mxima o en caer a su altura original. (La respuesta podra sorprenderlo.) Los Proyectos de Laboratorio se reeren a tecnologa; el que sigue de la Seccin 10.2 muestra cmo usar curvas de Bzier para disear formas que representan letras para una impresora lser. Los Redaccin de Proyectos piden a estudiantes comparar mtodos ac- tuales con los de los fundadores del clculo: el mtodo de Fermat para hallar tangentes, por ejemplo. Se sugieren referencias. Los Proyectos para un Descubrimiento anticipan resultados que se discuten ms adelante o estimulan el descubrimiento por medio del re- conocimiento de guras (vea la que sigue a la Seccin 7.6). Se pueden hallar proyectos adicionales en la Gua del Profesor (vea, por ejemplo, el Ejercicio 5.1 de Grupo: Posicin desde muestras). RESOLUCIN DE PROBLEMAS Es comn que los estudiantes tengan dicultades con problemas para los que no hay un solo procedimiento bien denido para obtener una respuesta. Pienso que no hay nadie que haya mejorado en mucho la estrategia de George Polya para la resolucin de problemas en cuatro etapas y, de conformidad con esto, he incluido una versin de sus principios para la resolucin de problemas despus del Captulo 1. Se aplican, tanto implcita como Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xiii 16. xiv |||| PREFACIO explcitamente, en todo el libro. Despus de los otros captulos he puesto secciones llamadas Problemas Adicionales, que presentan ejemplos de cmo atacar los desaantes problemas de clculo. Al seleccionar los diversos problemas para estas secciones, siempre tuve presente el consejo de David Hilbert: Un problema matemtico debe ser difcil para convencernos, pero no inaccesible como para frustrarnos. Cuando pongo estos desaantes problemas en tareas y exmenes los calico de forma diferente. Aqu recompenso muy bien a un estudiante por sus ideas hacia una solucin y por reconocer cules principios de resolucin de problemas son relevantes. TECNOLOGA La disponibilidad de tecnologa no hace menos importante sino ms importante entender claramente los conceptos que son las bases de las imgenes que aparecen en pantalla. Cuando se usan en forma adecuada, las calculadoras de grcas y las computadoras son poderosas herramientas para descubrir y entender esos conceptos. Este texto se puede usar con o sin tecnologa y aqu uso dos smbolos especiales para indicar con claridad cundo se requiere un tipo particular de mquina. El icono ; indica un ejercicio que en forma denitiva requiere el uso de esta tecnologa, pero no es para indicar que no se puede usar tambin en los otros ejemplos. El smbolo se reserva para problemas en los que se requieren todos los recursos de un sistema computarizado de lgebra (como Derive, Maple, Mathematica o TI-89/92). Con todo, la tecnologa no deja obsoletos al lpiz y papel. A veces son preferibles los clculos y dibujos hechos manualmente para ilustrar y reforzar algunos conceptos. Tanto profesores como estudiantes necesitan desarrollar la capacidad de deci- dir cundo es apropiada la mano o una mquina. El TEC es un compaero de este libro de texto y est pensado para enriquecer y comple- mentar su contenido. (Ahora est accesible por Internet en www.stewartcalculus.com.) Creado por Harvey Keynes, Dan Clegg, Hubert Hohn y por m, el TEC utiliza un mtodo de descubrimiento y exploracin. En algunas secciones de este libro en donde la tecnologa es particularmente apropiada, los iconos situados a los mrgenes dirigen a estudiantes a mdulos del TEC que dan un ambiente de laboratorio en el que pueden explorar el tema en formas diferentes y a niveles diferentes. Visual son animaciones de guras del texto; Module son actividades ms elaboradas e incluyen ejercicios. Los profesores pueden es- coger participar en varios niveles diferentes, que van desde simplemente estimular al estudiante a usar Visual y Module para exploracin independiente, hasta asignar ejercicios especcos de los incluidos en cada Module, o para crear ejercicios adicionales, laborato- rios y proyectos que hacen uso de Visual y Module. El TEC tambin incluye Homework Hints para ejercicios representativos (por lo general de nmeros impares) en cada una de las secciones de este libro, indicados al imprimir en rojo el nmero del ejercicio. Estas sugerencias suelen presentarse en forma de preguntas y tratan de imitar un asistente efectivo de enseanza al funcionar como profesor particular silencioso. Los ejercicios estn construidos para no revelar ms de la solucin real de lo que es el mnimo necesario para avanzar ms. WEBASSIGN MEJORADO La tecnologa est teniendo impacto en la forma en que se asignan tareas a estudiantes, sobre todo en grupos numerosos. El uso de tareas en lnea es creciente y su inters depende de la facilidad de uso, precisin en calicacin y conabilidad. Con la sexta edicin hemos estado trabajando con la comunidad de clculo y WebAssign para crear un sistema de tareas en lnea. Hasta 70% de los ejercicios de cada seccin son asignables a tareas en lnea, incluyendo formatos de respuesta libre, opcin mltiple y partes diversas. Algunas preguntas son problemas de partes diversas sobre simulaciones de los Module del TEC. El sistema tambin incluye ejemplos activos, en los que los estudiantes son guiados en el material didctico paso a paso por ejemplos del texto, con vnculos al libro de texto y soluciones en video. TOOLS FOR ENRICHING CALCULUS CAS Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xiv 17. PREFACIO |||| xv Este sitio se ha renovado y ahora incluye lo siguiente: & Repaso de lgebra & Miente mi Calculadora y la Computadora me Dijo & Historia de las matemticas, con vnculos a los mejores sitios web histricos & Temas adicionales (completos con conjuntos de ejercicios): series de Fourier, frmulas para el resto del semestre en series de Taylor, rotacin de ejes & Problemas archivados (ejercicios de prctica que aparecieron en ediciones anteriores, junto con sus soluciones) & Problemas de desafo (algunos de las secciones de Problemas especiales de ediciones anteriores) & Vnculos, para temas en particular, a fuentes externas de la Web & Las Tools for Enriching Calculus (TEC), Module, Visual y Homework Hints CONTENIDO Exmenes de diagnstico El libro empieza con cuatro exmenes de diagnstico, en lgebra bsica, geometra analtica, funciones y trigonometra. Presentacin preliminar del clculo ste es un repaso del tema e incluye una lista de preguntas para motivar el estudio del clculo. Desde el principio, se destacan representaciones mltiples de funciones: verbales, numricas, visuales y algebraicas. Un estudio de los modelos matemticos lleva a un repaso de las funciones estndar, incluyendo funciones exponenciales y logartmicas, desde estos cuatro puntos de vista. 2 & Lmites y derivadas El material sobre lmites est motivado por un examen ya anterior de problemas de la tangente y velocidad. Los lmites se tratan aqu desde puntos de vista descriptivos, grcos, numricos y algebraicos. La Seccin 2.4, que trata de la denicin precisa de e-d de un lmite, es una seccin opcional. Las Secciones 2.7 y 2.8 se reeren a derivadas (en especial con funciones denidas grca y numricamente) antes de tratar las reglas de derivacin en el Captulo 3. Aqu los ejemplos y ejercicios exploran los signicados de derivadas en varios contextos. Las derivadas de orden superior se introducen ahora en la Seccin 2.8. Todas las funciones bsicas, incluyendo funciones exponenciales, logartmicas y trigonomtricas inversas se derivan aqu. Cuando las derivadas se calculan en situaciones de aplicacin, a los estudiantes se les pide explicar sus signicados. El crecimiento y decaimiento exponenciales se tratan ahora en este captulo. Los datos bsicos referentes a valores extremos y formas de curvas se deducen del Teore- ma del Valor Medio. Gracar con tecnologa destaca la interaccin entre clculo y calculadoras y el anlisis de familias de curvas. Se dan algunos problemas de optimizacin importante, incluyendo una explicacin de por qu es necesario levantar la cabeza 42 para ver la parte superior de un arcoris. 5 & Integrales El problema del rea y el problema de la distancia sirven para motivar la integral denida, con la notacin sigma introducida segn sea necesario. (Un tratamiento completo de la notacin sigma se da en el Apndice E). Se hace nfasis en explicar los signicados de integrales en diversos contextos y en estimar sus valores a partir de grcas y tablas. 4 & Aplicaciones de la derivacin 3 & Reglas de derivacin 1 & Funciones y modelos PGINA WEB www.stewartcalculus.com Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xv 18. 6 & Aplicaciones de la integracin Aqu presento las aplicaciones de integracin, es decir, rea, volumen, trabajo, valor promedio, que razonablemente se pueden hacer sin tcnicas especializadas de integracin. Se destacan mtodos generales. La meta es que los estudiantes puedan dividir una cantidad en partes pequeas, estimar con sumas de Riemann y reconocer el lmite como una integral. 7 & Tcnicas de integracin Se tratan todos los mtodos estndar pero, por supuesto, el desafo real es ser capaz de reconocer cul tcnica se usa mejor en una situacin dada. De conformidad con esto, en la Seccin 7.5 presento una estrategia para integracin. El uso de un sistema computarizado de lgebra se ve en la Seccin 7.6. Aqu estn las aplicaciones de integracin la longitud de arco y el rea supercial para las que es til tener disponibles todas las tcnicas de integracin, as como aplicaciones a la biologa, economa y fsica (fuerza hidrosttica y centros de masa). Tambin he incluido una seccin sobre probabilidad. Hay aqu ms aplicaciones de las que en realidad se puedan cubrir en un curso determinado. Los profesores deben seleccionar aplicaciones apropiadas para sus estudiantes y para las que ellos mismos puedan interesarse. 9 & Ecuaciones diferenciales La creacin de modelos es el tema que unica este tratamiento de introduccin a las ecuaciones diferenciales. Los campos de direccin y el mtodo de Euler se estudian antes que las ecuaciones separables y lineales se resuelvan de forma explcita, de manera que los mtodos cualitativo, numrico y analtico reciben igual consideracin. Estos mtodos se aplican a los modelos experimental, logstico y otros para crecimiento poblacional. Las primeras cuatro de cinco secciones de este captulo sirven como una buena introduccin a ecuaciones diferenciales de primer orden. Una seccin nal opcional utiliza modelos de predador-presa para ilustrar sistemas de ecuaciones diferenciales. Este captulo introduce curvas paramtricas y polares y aplica los mtodos del clculo a ellas. Las curvas paramtricas son bien apropiadas para proyectos de laboratorio; las dos que aqu se presentan comprenden familias de curvas y curvas de Bzier. Un breve tratamiento de secciones cnicas en coordenadas polares prepara el camino para las leyes de Kepler en el Captulo 13. Las pruebas de convergencia tienen justicaciones intuitivas (vea pgina 697) as como pruebas formales. Las estimaciones numricas de sumas de series estn basadas en cul prueba se us para demostrar una convergencia. El nfasis est en la serie y polinomios de Taylor y sus aplicaciones a la fsica. Las estimaciones de error incluyen los de aparatos de grcas. MATERIAL AUXILIAR Clculo: Trascendentes tempranas, Sexta edicin, est apoyado por un conjunto completo de materiales auxiliares creados bajo mi direccin. Cada parte se ha diseado para mejo- rar la comprensin del estudiante y para facilitar una enseanza creativa. MATERIAL DE APOYO PARA EL PROFESOR Este libro cuenta con una serie de recursos para el profesor, los cuales estn disponibles en ingls y slo se proporcionan a los docentes que lo adopten como texto en sus cursos. Para mayor informacin, pngase en contacto con el rea de servicio a clientes en las siguientes direcciones de correo electrnico: Cengage Learning Mxico y Centroamrica [email protected] Cengage Learning Caribe [email protected] 11 & Sucesiones y series infinitas 10 & Ecuaciones paramtricas y coordenadas polares 8 & Ms aplicaciones de la integracin xvi |||| PREFACIO Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xvi 19. Cengage Learning Cono Sur [email protected] Cengage Learning Pacto Andino [email protected] Los recursos disponibles se encuentran disponibles en el sitio web del libro: http://latinoamerica.cengage.com/stewart6 Las direcciones de los sitios web referidas en el texto no son administradas por Cengage Learning Latinoamrica, por lo que sta no es responsable de los cambios o actualizacio- nes de las mismas. REVISIN DE LA SEXTA EDICIN He sido muy afortunado por haber trabajado con algunos de los mejores editores de matemticas en el negocio por ms de dos dcadas: Ron Munro, Harry Campbell, Craig Barth, Jeremy Hayhurst, Gary Ostedt y ahora, Bob Pirtle. Bob contina en esta tradicin de editores quienes mientras escuchan consejos y ofrecen una amplia ayuda, confan en mis instintos y me permiten escribir los libros que deseo escribir. JAMES STEWART AGRADECIMIENTOS Asimismo, deseamos agradecer la valiosa colaboracin de los profesores: Dr. Manuel lvarez Blanco, MSc. Jos Ignacio Cuevas Gonzles y MSc. Eduardo Fernandini Capurro, Profesores Principales del rea de Ciencias, de la Universidad Peruana de Ciencias Apli- cadas (UPC) miembro del grupo Laureate International Universities, en la revisin de esta sexta edicin en espaol. ATENTAMENTE, LOS EDITORES. Marilyn Belkin, Villanova University Philip L. Bowers, Florida State University Amy Elizabeth Bowman, University of Alabama in Huntsville M. Hilary Davies, University of Alaska Anchorage Frederick Gass, Miami University Nets Katz, Indiana University Bloomington James McKinney, California State Polytechnic University, Pomona Martin Nakashima, California State Polytechnic University, Pomona Lila Roberts, Georgia College and State University Paul Triantalos Hadavas, Armstrong Atlantic State University PREFACIO |||| xvii Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xvii 20. Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xviii 21. AL ESTUDIANTE xix Leer un libro de clculo es diferente a leer un peridico o una novela, o incluso un libro de fsica. No se desanime si tiene que leer un pasaje ms de una vez para entenderlo. Debe tener lpiz, papel y calculadora a la mano para bosquejar un diagrama o hacer un clculo. Algunos estudiantes empiezan por tratar sus problemas de tarea y leen el texto slo si se atoran en un ejercicio. Sugiero que un plan mucho mejor es leer y entender una seccin del texto antes de abordar los ejercicios. En particular, el estudiante debe leer las deniciones para ver los signicados exactos de los trminos.Y antes de leer cada ejemplo, sugiero que llegue hasta la solucin y trate de resolver el problema por s mismo. Obtendr mucho ms de ver la solucin si lo hace as. Parte de la meta de este curso es capacitar al estudiante para pensar de una manera lgica. Aprenda a escribir las soluciones de los ejercicios de un modo enlazado y paso a paso con frases explicativas, no slo una hilera de ecuaciones o frmulas desconectadas. Las respuestas a los ejercicios de nmeros impares aparecen al nal de este libro, en el apndice I. Algunos ejercicios piden una explicacin verbal o interpretacin o descripcin. En estos casos no una sola forma correcta de expresar la respuesta, de modo que no se preocupe por no hallar la respuesta denitiva. Adems, a veces hay varias formas diferentes en las cuales se expresa una respuesta numrica o algebraica, de modo que si su respuesta difiere de la ma no suponga de inmediato que est en un error. Por ejemplo, si la respuesta dada en la parte nal de este libro es y usted obtiene , entonces tiene razn y racionalizar el denominador demostrar que las respuestas son equivalentes. El icono ; indica un ejercicio que denitivamente requiere el uso ya sea de una calculadora de grcas o una computadora con software de grcas. Con todo, esto no significa que los aparatos de grficas no se puedan usar para comprobar el trabajo en los otros ejercicios. El smbolo se reserva para problemas en los que se requieren todos los recursos de un sistema computarizado de lgebra (como el Derive, Maple, Ma- thematica, o la TI-89/92). Tambin encontrar el smbolo | que advierte para no cometer un error. He puesto este smbolo en mrgenes en situaciones donde he observado que una gran parte de mis estudiantes tienden a cometer el mismo error. Al Tools for Enriching Calculus, que es compaero de este libro, se hace referencia mediante el smbolo y se puede tener acceso al mismo en www.stewartcalculus.com. Dirige al estudiante a mdulos en los que puede explorar aspectos de clculo para los que la computadora es particularmente til. El TEC tambin da Homework Hints para ejercicios representativos que estn indicados con un nmero de ejercicio impreso en rojo: . Estas sugerencias de tarea hacen preguntas al estudiante que le permiten avanzar hacia una solucin sin dar en realidad su respuesta. El lector tiene que seguir cada una de las sugerencias de una manera activa con papel y lpiz para trabajar los detalles. Si una sugerencia en particular no lo hace capaz de resolver un problema, puede hacer clic para ver la siguiente sugerencia. Recomiendo que conserve este libro como referencia despus que termine el curso. Debido a que es probable que el lector olvide algunos de los detalles especcos del clculo, el libro servir como un til recordatorio cuando necesite usar clculo en cursos subsiguientes. Tambin, como este libro contiene ms material del que se puede cubrir en cualquier curso, puede servir como un valioso recurso para cualquier cientco o ingeniero. El clculo es una materia extraordinaria, justamente consi- derada como uno de los mayores logros de la mente humana. Espero que el lector descubra que no es slo til sino tambin intrnsecamente hermoso. JAMES STEWART 15. TEC CAS 11 s2s2 1 Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xix 22. xx EXMENES DE DIAGNSTICO El xito en clculo depende en gran medida del conocimiento de las matemticas que prece- den al clculo: lgebra, geometra analtica, funciones y trigonometra. Los exmenes que siguen tienen el propsito de diagnosticar los puntos dbiles que el lector pudiera tener en estos campos del conocimiento y, despus de tomar cada uno de estos exmenes, puede vericar sus respuestas contra las respuestas dadas. Adems, si es necesario, puede recordar o actualizar sus conocimientos si consulta los materiales de repaso que tambin se dan aqu. EXAMEN DE DIAGNSTICO: LGEBRAA 1. Sin usar calculadora, evale cada una de estas expresiones. (a) (3)4 (b) 34 (c) 34 (d) (e) (f) 163/4 2. Simplique estas expresiones. Escriba su respuesta sin exponentes negativos. (a) (b) (3a3 b3 )(4ab2 )2 (c) 3. Expanda y simplique. (a) 3(x 6) 4(2x 5) (b) (x 3)(4x 5) (c) (d) (2x 3)2 (e) (x 2)3 4. Factorice estas expresiones. (a) 4x2 25 (b) 2x2 5x 12 (c) x3 3x2 4x 12 (d) x4 27x (e) 3x3/2 9x1/2 6x1/2 (f) x3 y 4xy 5. Simplique la expresin racional. (a) (b) (c) (d) y x x y 1 y 1 x x2 x2 4 x 1 x 2 2x2 x 1 x2 9 x 3 2x 1 x2 3x 2 x2 x 2 sa sbsa sb 3x32 y3 x2 y12 2 s200 s32 2 3 2 523 521 Examen de diagnstico 06/04/2009 17:41 Page xx 23. 6. Racionalice la expresin y simplique. (a) (b) 7. Complete el cuadrado de lo siguiente. (a) x2 x 1 (b) 2x2 12x 11 8. Resuelva la ecuacin. (Encuentre slo las soluciones reales.) (a) (b) (c) x2 x 2 0 (d) 2x2 4x 1 0 (e) x4 3x2 2 0 (f) (g) 9. Resuelva estas desigualdades, use notacin de intervalo. (a) 4 5 3x 17 (b) x2 2x 8 (c) x(x 1)(x 2) 0 (d) (e) 10. Exprese si cada una de estas ecuaciones es verdadera o falsa. (a) (p q)2 p2 q2 (b) (c) (d) (e) (f) 1x ax bx 1 a b 1 x y 1 x 1 y 1 TC C 1 Tsa2 b2 a b sab sa sb 2x 3 x 1 1 x 4 3 2x4 x12 3s4 x 0 3x 4 10 2x x 1 2x 1 x x 5 14 1 2x s4 h 2 h s10 s5 2 EXMENES DE DIAGNSTICO |||| xxi 6. (a) (b) 7. (a) (b) 2(x 3)2 7 8. (a) 6 (b) 1 (c) 3, 4 (d) (e) (f) (g) 9. (a) [4, 3) (b) (2, 4) (c) (2, 0) (1, ) (d) (1, 7) (e) (1, 4] 10. (a) Falsa (b) Verdadera (c) Falsa (d) Falsa (e) Falsa (f) Verdadera 12 5 2 3, 22 31 s21 1 2 s2 x 1 22 3 4 1 s4 h 2 5s2 2s101. (a) 81 (b) 81 (c) (d) 25 (e) (f) 2. (a) (b) 48a5 b7 (c) 3. (a) 11x 2 (b) 4x2 7x 15 (c) a b (d) 4x2 12x 9 (e) x3 6x2 12x 8 4. (a) (2x 5)(2x 5) (b) (2x 3)(x 4) (c) (x 3)(x 2)(x 2) (d) x(x 3)(x2 3x 9) (e) 3x1/2 (x 1)(x 2) (f) xy(x 2)(x 2) 5. (a) (b) (c) (d) (x y) 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 2 x 9y7 6s2 1 8 9 4 1 81 RESPUESTAS AL EXAMEN DE PRUEBA A: LGEBRA Si el lector tiene dicultad con estos problemas, puede consultar Review of Algebra (repaso de lgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com. Examen de diagnstico 06/04/2009 17:41 Page xxi 24. xxii |||| EXMENES DE DIAGNSTICO EXAMEN DE DIAGNSTICO: GOMETRA ANALTICAB 1. Encuentre una ecuacin para la recta que pasa por el punto (2, 5) y (a) tiene pendiente 3 (b) es paralela al eje x (c) es paralela al eje y (d) es paralela a la recta 2x 4y 3 2. Encuentre una ecuacin para el crculo que tiene centro en (1, 4) y pasa por el punto (3, 2). 3. Encuentre el centro y radio del crculo con ecuacin x2 y2 6x 10y 9 0. 4. Sean A(7, 4) y B(5, 12) puntos en el plano. (a) Encuentre la pendiente de la recta que contiene A y B. (b) Encuentre una ecuacin de la recta que pasa por A y B. Cules son los puntos de interseccin con los ejes? (c) Encuentre el punto medio del segmento AB. (d) Encuentre la longitud del segmento AB. (e) Encuentre una ecuacin de la perpendicular que biseca a AB. (f) Encuentre una ecuacin del crculo para el cual AB es un dimetro. 5. Trace la regin en el plano xy denida por la ecuacin o desigualdades. (a) 1 y 3 (b) y (c) (d) y x2 1 (e) x2 y2 4 (f) 9x2 16y2 144 y 1 1 2 x y 2x 4 5. (a) (b) (c) (d) (e) (f) 1. (a) y 3x 1 (b) y 5 (c) x 2 (d) 2. (a) 3. Centro (3, 5), radio 5 4. (b) 4x 3y 16 0; cruce con eje x 4, cruce con eje y (c) (1, 4) (d) 20 (e) 3x 4y 13 (f) (x 1)2 (y 4)2 100 16 3 4 3 x 12 y 42 52 y 1 2 x 6 RESPUESTAS AL EXAMEN DE DIAGNSTICO B: GEOMETRA ANALTICA Si el lector tiene dicultad con estos problemas, puede consultar Review of Algebra (repaso de lgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com. y x 0 y x0 4_4 y x0 2 1 _1 3 2 _2 y=1- x 1 2 y x1 2 0 y x0 y x0 4 3 _1 2 y=-1 +=4 Examen de diagnstico 06/04/2009 17:41 Page xxii 25. EXMENES DE DIAGNSTICO |||| xxiii EXAMEN DE DIAGNSTICO: FUNCIONESC 1. La grca de una funcin f se da a la izquierda. (a) Exprese el valor de f(1). (b) Estime el valor de f(2). (c) Para qu valores de x es f(x) 2? (d) Estime los valores de x tales que f(x) 0. (e) Exprese el dominio y rango de f. 2. Si f(x) x3 , evale el cociente de diferencia y simplique su respuesta. 3. Encuentre el dominio de la funcin. (a) (b) (c) 4. Cmo se obtienen las grcas de las funciones a partir de la grca de f? (a) y f(x) (b) y 2f(x) 1 (c) y (x 3) 2 5. Sin usar calculadora, haga un bosquejo aproximado de la grca. (a) y x3 (b) y (x 1)3 (c) y (x 2)3 3 (d) y 4 x2 (e) (f) (g) y 2x (h) y 1 x1 6. Sea (a) Evaluacin f(2) y f(1) (b) Dibuje la grca de f. 7. Si f(x) x2 2x 1 y t(x) 2x 3, encuentre cada una de las siguientes funciones. (a) f t (b) t f (c) t t t fx 1 x2 si x 0 2x 1 si x 0 y 2sxy sx hx s4 x sx2 1gx 3 sx x2 1 fx 2x 1 x2 x 2 f2 h f2 h (d) (e) (f) (g) (h) 6. (a) 3, 3 7. (a) (f t)(x) 4x2 8x 2 (b) (b) (t f)(x) 2x2 4x 5 (c) (t t t)(x) 8x 21 1. (a) 2 (b) 2.8 (c) 3, 1 (d) 2.5, 03 (e) [3, 3], [2, 3] 2. 12 6h h2 3. (a) (, 2) (2, 1) (1, ) (b) (, ) (c) (, 1] [1, 4] 4. (a) Reeje alrededor del eje x (b) Estire verticalmente en un factor de 2, y a continuacin desplace 1 unidad hacia abajo (c) Desplace 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba 5. (a) (b) (c) RESPUESTAS AL EXAMEN DE DIAGNSTICO C: FUNCIONES Si el lector tiene dicultad con estos problemas, puede consultar Review of Algebra (Repaso de lgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com. y 0 x 1 1 FIGURA PARA PROBLEMA 1 y x0 y 1 1 x0 1 _1 y x0 (2,3) y x0 4 2 y x0 y 1 x0 1 y x0 1 y x 0 1 1 _1 y x0_1 1 Examen de diagnstico 06/04/2009 17:41 Page xxiii 26. xxiv |||| EXMENES DE DIAGNSTICO EXAMEN DE DIAGNSTICO: TRIGONOMETRAD 1. Convierta de grados a radianes. (a) 300 (b) 18 2. Convierta de radianes a grados. (a) 5p/6 (b) 2 3. Encuentre la longitud de un arco de crculo con radio de 12 cm si el arco subtiende un ngulo central de 30. 4. Encuentre los valores exactos. (a) tan(p/3) (b) sen(7p/6) (c) sec(5p/3) 5. Exprese las longitudes a y b de la gura en trminos de u. 6. Si sen y sec , donde x y y estn entre 0 y p/2, evale sen(x y). 7. Demuestre las identidades. (a) tan u sen u cos u sec u (b) 8. Encuentre todos los valores de x tales que sen 2x sen x y 0 x 2p. 9. Trace la grca de la funcin y 1 sen 2x sin usar calculadora. 2 tan x 1 tan2 x sen 2x y 5 4x 1 3a b 24 FIGURA PARA PROBLEMA 5 6. 7. 0, p/3, p, 5p/3, 2p 8. 1 15 4 6s21. (a) 5p/3 (b) p/10 2. (a) 150 (b) 360/p L 114.6 3. 2p cm 4. (a) (b) (c) 2 5. (a) 24 sen u (b) 24 cos u 1 2s3 RESPUESTA AL EXAMEN DE DIAGNSTICO D: TRIGONOMETRA _ x0 2 y Si el lector tiene dicultad con estos problemas, puede consultar Review of Algebra (Repaso de lgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com. Examen de diagnstico 06/04/2009 17:41 Page xxiv 27. C L C U L O D E U N A V A R I A B L E Trascendentes tempranas Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 1 28. PRESENTACIN PRELIMINAR DEL CLCULO El clculo es fundamentalmente diferente de las matemticas que el lector ha estudiado con anterioridad. El clculo es menos esttico y ms dinmico. Se interesa en el cambio y en el movimiento; trata cantidades que se aproximan a otras cantidades. Por esa razn, puede resultar til tener un panorama general de la materia antes de empezar su estudio intensivo. En las pginas siguientes se le presentan algunas de las ideas principales del clculo, al mostrar cmo surgen los lmites cuando intentamos resolver diversos problemas. 2 Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 2 29. EL PROBLEMA DEL REA Los orgenes del clculo se remontan a unos 2500 aos, hasta los antiguos griegos, quienes hallaron reas aplicando el mtodo del agotamiento. Saban cmo hallar el rea A de cualquier polgono al dividirlo en tringulos como en la gura 1, y sumar las reas de estos tringulos. Hallar el rea de una gura curva es un problema mucho ms difcil. El mtodo griego del agotamiento consista en inscribir polgonos en la gura y circunscribir otros polgonos en torno a la misma gura y, a continuacin, hacer que el nmero de lados de los polgonos aumentara. En la gura 2 se ilustra este proceso para el caso especial de un crculo con polgonos regulares inscritos. Sea An el rea del polgono inscrito con n lados. Al aumentar n, parece que An se aproxima cada vez ms al rea del crculo. El rea del crculo es el lmite de las reas de los polgonos inscritos y Los griegos no aplicaron explcitamente los lmites. Sin embargo, por razonamiento indi- recto Eudoxo (siglo v a. C.) utiliz el agotamiento para probar la conocida frmula del rea de un crculo: El captulo 5 expone una idea semejante para hallar las reas de regiones del tipo que se muestra en la gura 3. Se da una aproximacin del rea deseada A por medio de reas de rectngulos (como en la gura 4), hasta que disminuya el ancho de los rectngulos y, en seguida, se calcula A como el lmite de estas sumas de reas de rectngulos. El problema del rea es el problema central de la rama del clculo que se conoce como clculo integral. Las tcnicas desarrolladas en el captulo 5 para hallar reas tambin permiten calcular el volumen de un slido, la longitud de una curva, la fuerza del agua contra la cortina de una presa, la masa y el centro de gravedad de una varilla y el trabajo que se lleva a cabo al bombear agua hacia afuera de un tanque. A r2 . A lm n l An PRESENTACIN PRELIMINAR DEL CLCULO |||| 3 3 A A AAAA FIGURA 2 FIGURA 3 1 n 10 x y (1, 1) 10 x y (1, 1) 1 4 1 2 3 4 0 x y 1 (1, 1) FIGURA 4 10 x y y= A (1, 1) FIGURA 1 A=A+A+A+A+A A A A A A El Preview Visual es una investiga- cin numrica y grca de la aproximacin del rea de un crculo mediante polgonos inscritos y circunscritos. TEC Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 3 30. EL PROBLEMA DE LA TANGENTE Considere el problema de tratar de hallar la ecuacin de la recta tangente t a una curva, con ecuacin y f(x), en un punto dado P. (En el captulo 2, aparece una definicin precisa de recta tangente. Por ahora, puede concebirla como una recta que toca la curva en P, como en la figura 5.) Como saber que el punto P est en la recta tangente, puede hallar la ecuacin de t si conoce su pendiente m. El problema est en que necesita dos puntos para calcular la pendiente y slo conoce un punto, P, de t. Para darle vuelta al problema, primero halle una aproximacin para m al tomar un punto cercano Q de la curva y calcule la pendiente mPQ de la recta secante PQ. En la figura 6 Imagine ahora que Q se mueve a lo largo de la curva, hacia P como en la gura 7. Puede ver que la recta secante gira y se aproxima a la recta tangente como su posicin lmite. Esto significa que la pendiente mPQ de la recta secante se acerca cada vez ms a la pendiente m de la recta tangente. Escriba donde m es el lmite de mPQ cuando Q se aproxima a P a lo largo de la curva. Como x se acerca a a cuando Q lo hace a P, podra usar tambin la ecuacin 1 para escribir En el captulo 2 se darn ejemplos especcos de este procedimiento. El problema de la tangente ha dado lugar a la rama del clculo llamada clculo diferencial, el cual se invent ms de 2 000 aos despus que el clculo integral. Las ideas principales que se encuentran detrs del clculo diferencial se deben al matemtico fran- cs Pierre Fermat (1601-1665) y fueron desarrolladas por los matemticos ingleses John Wallis (1616-1703), Isaac Barrow (1630-1677) e Isaac Newton (1642-1727), as como por el matemtico alemn Gottfried Leibniz (1646-1716). Las dos ramas del clculo y sus problemas principales, el problema del rea y el de la tangente, parecen muy diferentes, pero existe una conexin muy ntima entre ellas. El problema de la tangente y el del rea son problemas inversos, en un sentido que se descubrir en el captulo 5. VELOCIDAD Cuando mire el velocmetro de un automvil y lea que viaja a 48 mih, qu informacin se le indica? Sabe que la velocidad del automvil puede variar, qu signica decir que la velocidad en un instante dado es de 48 mih? Para analizar esta cuestin analice el movimiento de un automvil que viaja a lo largo de un camino recto y suponga que pueda medir la distancia recorrida por el automvil (en pies) a intervalos de 1 segundo, como en la tabla siguiente. m lm x l a f x f a x a 2 m lm Q lP mPQ mPQ f x fa x a 1 4 |||| PRESENTACIN PRELIMINAR DEL CLCULO t Tiempo transcurrido (s) 0 1 2 3 4 5 d Distancia (pies) 0 2 9 24 42 71 0 y x P y= t P Q t 0 x y y 0 xa x -f(a)P{a,f(a)} x-a t Q{x, } FIGURA 5 La recta tangente en P FIGURA 6 La recta secante PQ FIGURA 7 Rectas secantes aproximndose a la recta tangente Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 4 31. Como primer paso para hallar la velocidad una vez que han transcurrido 2 segundos, encuentre la velocidad durante el intervalo : De manera anloga, la velocidad promedio en el intervalo de tiempo es Tiene la sensacin de que la velocidad en el instante t 2 no puede ser muy diferente de la velocidad promedio durante un intervalo corto que se inicie en t 2. De modo que imagine que se ha medido la distancia recorrida a intervalos de 0.1 segundo, como en la tabla siguiente: Entonces, por ejemplo, calcule la velocidad promedio sobre el intervalo 2, 2.5: En la tabla siguiente se muestran los resultados de esos clculos: Las velocidades promedio sobre intervalos sucesivamente ms pequeos parecen apro- ximarse cada vez ms a un nmero cercano a 10, y, por lo tanto, espera que la velocidad en exactamente t 2 sea alrededor de 10 pies/s. En el captulo 2, se dene la velocidad instan- tnea de un objeto en movimiento como el valor lmite de las velocidades promedio sobre intervalos cada vez ms pequeos. En la gura 8 se muestra una representacin grca del movimiento del automvil al gracar los puntos correspondientes a la distancia recorrida como funcin del tiempo. Si escribe d f(t), entonces f(t) es el nmero de pies recorridos despus de t segundos. La velocidad promedio en el intervalo 2, t es lo cual es lo mismo que la pendiente de la recta secante PQ de la gura 8. La velocidad v cuando t 2 es el valor lmite de esta velocidad promedio cuando t se aproxima a 2; es decir y reconoce, a partir de la ecuacin 2, que esto es lo mismo que la pendiente de la recta tangente a la curva en P. v lm t l 2 f t f 2 t 2 velocidad promedio distancia recorrida tiempo transcurrido f t f2 t 2 velocidad promedio 15.80 9.00 2.5 2 13.6 piess velocidad promedio 24 9 3 2 15 piess 2 t 3 16.5 piess 42 9 4 2 velocidad promedio distancia recorrida tiempo transcurrido 2 t 4 PRESENTACIN PRELIMINAR DEL CLCULO |||| 5 t 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 d 9.00 10.02 11.16 12.45 13.96 15.80 Intervalo 2, 3 2, 2.5 2, 2.4 2, 2.3 2, 2.2 2, 2.1 Velocidad promedio (piess) 15.0 13.6 12.4 11.5 10.8 10.2 FIGURA 8 t d 0 1 2 3 4 5 10 20 P{2,f(2)} Q{t,f(t)} Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 5 32. Por lo tanto, al resolver el problema de la tangente en el clculo diferencial, tambin est resolviendo problemas referentes a velocidades. Las mismas tcnicas permiten resolver problemas en que intervienen razones de cambio en todas las ciencias naturales y sociales. LMITE DE UNA SUCESIN En el siglo v a. C., el lsofo griego Zenn de Elea propuso cuatro problemas, que ahora se conocen como las paradojas de Zenn, las cuales desaaban algunas de las ideas con- cernientes al espacio y al tiempo que sostenan en sus das. La segunda paradoja de Zenn se reere a una carrera entre el hroe griego Aquiles y una tortuga a la que se ha dado una ventaja inicial. Zenn argumentaba, como se hace ver a continuacin, que Aquiles nunca podra rebasarla. Suponga que Aquiles arranca en la posicin a1 y la tortuga en la posicin t1 (vase la figura 9). Cuando Aquiles llega a a3 t2, la tortuga est en t3. Este proceso contina indenidamente y, de este modo, parece que la tortuga siempre estar adelante! Pero esto contraviene el sentido comn. Una manera de explicar esta paradoja es con la idea de sucesin. Las posiciones sucesivas deAquiles o las posiciones sucesivas de la tortuga forman lo que se conoce como una sucesin. En general, una sucesin es un conjunto de nmeros escritos en un orden denido. Por ejemplo, la sucesin se puede describir al dar la frmula siguiente para el n-simo trmino Puede visualizar esta sucesin situando sus trminos en una recta numrica como en la figura 10(a) o trazando su grfica como en la figura 10(b). Observe, a partir de cual- quiera de las dos figuras, que los trminos de la sucesin se aproximan cada vez ms a 0 al aumentar . De hecho, es posible hallar trminos tan pequeos como lo desee al hacer n suficientemente grande. Entonces el lmite de la sucesin es 0 y se indica al escribir En general, se usa la notacin si los trminos an se aproximan al nmero L, cuando n se hace sucientemente grande. Esto signica que se puede aproximar los nmeros an al nmero L tanto como quiera si se toma una n lo sucientemente grande. lm n l an L lm n l 1 n 0 n an 1n an 1 n {1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , . . .} an t1, t2, t3, . . .a1, a2, a3, . . . 6 |||| PRESENTACIN PRELIMINAR DEL CLCULO Aquiles tortuga a a a a a t t t t . . . . . .FIGURA 9 1 n1 2 3 4 5 6 7 8 FIGURA 10 10 aaaa (a) (b) Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 6 33. El concepto de lmite de una sucesin se presenta siempre que usa la representacin decimal de un nmero real. Por ejemplo, si entonces Los trminos de esta sucesin son aproximaciones racionales a p. De nuevo la paradoja de Zenn. Las posiciones sucesivas de Aquiles y la tortuga forman las sucesiones y , en donde para toda n. Se puede demostrar que las dos sucesiones tienen el mismo lmite Es precisamente en este punto p en que Aquiles alcanza a la tortuga. SUMA DE UNA SERIE Otra de las paradojas de Zenn, segn. Aristteles, es: Un hombre parado en un cuarto no puede caminar hasta la pared. Para que esto suceda, primero avanzara la mitad de la distancia, en seguida la mitad de la distancia restante y, a continuacin, una vez ms la mitad de la que todava queda. Siempre se puede continuar este proceso y nunca se termina. (Vase la gura 11.) Por supuesto, sabe que el hombre llega a la pared, de modo que esto sugiere que quiz se pueda expresar la distancia total como la suma de una innidad de distancias ms pequeas, como sigue 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 2n 3 lm n l an p lm n l tn an tntnan lm n l an a7 3.1415926 a6 3.141592 a5 3.14159 a4 3.1415 a3 3.141 a2 3.14 a1 3.1 PRESENTACIN PRELIMINAR DEL CLCULO |||| 7 1 2 1 4 1 8 1 16FIGURA 11 Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 7 34. Zenn argumentaba que no tiene sentido sumar una innidad de nmeros. Pero existen otras situaciones en que, implcitamente, se usan sumas innitas. Por ejemplo, en notacin decimal, el smbolo signica y, por lo tanto, en cierto sentido, debe ser cierto que De modo ms general, si denota el n-simo dgito en la representacin decimal de un nmero, entonces Por lo tanto, algunas sumas innitas, o series innitas como se les llama, tienen un signicado. Pero debe denir con cuidado lo que es la suma de una serie innita. Considere de nuevo la serie de la ecuacin 3 y denote con la suma de los primeros n trminos de la serie. De este modo Observe que conforme agrega ms y ms trminos, las sumas parciales se aproximan cada vez ms a 1. De hecho, se puede demostrar que, si n es sucientemente grande (es decir, si se suman un nmero suciente de trminos de la serie), es posible aproximar la suma parcial tanto como desee al nmero 1. Por lo tanto, parece razonable decir que la serie innita es 1 y escribir 1 2 1 4 1 8 1 2n 1 sn s16 1 2 1 4 1 216 0.99998474 s10 1 2 1 4 1 1024 0.99902344 s7 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 0.9921875 s6 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 0.984375 s5 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 0.96875 s4 1 2 1 4 1 8 1 16 0.9375 s3 1 2 1 4 1 8 0.875 s2 1 2 1 4 0.75 s1 1 2 0.5 sn 0.d1d2 d3 d4 . . . d1 10 d2 102 d3 103 dn 10n dn 3 10 3 100 3 1000 3 10 000 1 3 3 10 3 100 3 1000 3 10 000 0.3 0.3333 . . . 8 |||| PRESENTACIN PRELIMINAR DEL CLCULO Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 8 35. En otras palabras, la razn de que la suma de la serie sea 1 es que En el captulo 11 se analizan con ms detalle estas ideas. Entonces usar la idea de Newton de combinar las series innitas con el clculo diferencial e integral. RESUMEN El concepto de lmite surge al tratar de hallar el rea de una regin, la pendiente de una tangente a una curva, la velocidad de un automvil o la suma de una serie infinita. En cada caso, el tema comn es el clculo de una cantidad como el lmite de otras cantidades calculadas con facilidad. Esta idea bsica de lmite separa al clculo de las otras reas de las matemticas. De hecho, podra denirlo como la parte de las matemticas que trata con lmites. Despus que sir Isaac Newton invent su versin del clculo, la utiliz para explicar el movimiento de los planetas alrededor del Sol. En la actualidad sirve para calcular las rbitas de los satlites y de las naves espaciales, predecir los tamaos de poblaciones, estimar la rapidez con que se elevan los precios, pronosticar el tiempo, medir el ritmo car- diaco, calcular las primas de seguros y en una gran diversidad de otras reas. En este libro encontrar algunos de estos usos. Para dar una idea del poder de la materia, nalice este panorama preliminar con una lista de algunas de las preguntas que podra usted responder al aplicar el clculo: 1. Cmo explica el hecho que se ilustra en la gura 12 de que el ngulo de eleva- cin desde un observador hasta el punto ms alto de un arcoris es 42. (Vase pgina 279.) 2. Cmo explica las formas de las latas en los anaqueles de los supermercados? (Vase pgina 333.) 3. Dnde es el mejor lugar para sentarse en un cine? (Vase pgina 446.) 4. Qu tan lejos del aeropuerto debe empezar a descender el piloto? (Vase p- gina 206.) 5. Cmo usar las curvas y el diseo de formas para reprsentar letras en una impresora lser? (Vase pgina 639). 6. Cul ser la posicin del parador en corto para atrapar la pelota lanzada por el jardinero y lanzarla a la base? (Vase pgina 601). 7. Una bola lanzada hacia arriba tarda ms tiempo en llegar a su altura mxima o en volver al sitio del lanzamiento? (Vase pgina 590.) lm n l sn 1 PRESENTACIN PRELIMINAR DEL CLCULO |||| 9 rayos del Sol observador rayos del Sol 42 FIGURA 12 138 Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 9 36. 10 Representacin grca de una funcin. Aqu el nmero de horas de luz solar en diferentes periodos del ao y diferentes latitudes, es la manera ms natural y conveniente de ilustrar la funcin. FUNCIONES Y MODELOS 1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic. Horas 60N 50N 40N 30N 20N El propsito fundamental del clculo son las funciones. En este captulo se prepara el camino para el clculo al analizar las ideas bsicas referentes a las funciones, sus grcas y las maneras para transformarlas y combinarlas. Se har hincapi en que una funcin se puede representar de diferentes modos: mediante una ecuacin, en una tabla, con una grfica o con palabras. Se considerarn los tipos principales de funciones que se presentan en el clculo y se describir el proceso de usarlas como modelos matemticos de fenmenos del mundo real. Tambin se expondr el uso de las calculadoras gracadoras y del software para trazar grcas. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 10 37. CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIN Las funciones surgen siempre que una cantidad depende de otra. Considere las siguientes cuatro situaciones: A. El rea A de un crculo depende de su radio r. La regla que relaciona r con A se expresa mediante la ecuacin A pr 2 . Con cada nmero positivo r existe asociado un valor de A, por lo que A es funcin de r. B. La poblacin humana del mundo, P, depende del tiempo t. En la tabla se dan estimaciones de la poblacin del mundo, Pt, en el tiempo t, para ciertos aos. Por ejemplo, P1950 2 560 000 000 Pero para cada valor de tiempo t existe un valor de P correspondiente, por lo que P es una funcin de t. C. El costo C de enviar por correo una carta de primera clase depende de su peso w. Aun cuando no existe una frmula sencilla que relacione w con C, la ocina de correos tiene una regla parta determinar C cuando se conoce w. D. La aceleracin vertical a del suelo, segn la mide un sismgrafo durante un terremo- to, es una funcin del tiempo transcurrido t. En la figura 1 se muestra una grca generada por la actividad ssmica durante el terremoto de Northridge que sacudi Los ngeles en 1994. Para un valor dado de t, la grca proporciona un valor correspondiente de a. En cada uno de estos ejemplos se describe una regla por la cual, dado un nmero r, t, w o t), se asigna otro nmero A, P, C o a). En cada caso, el segundo nmero es funcin del primero. Una funcin f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D exactamente un elemento, llamado fx), de un conjunto E. A menudo, se consideran funciones para las cuales los conjuntos D y E son conjuntos de nmeros reales. El conjunto D se llama dominio de la funcin. El nmero fx) es el valor de f en x y se lee f de x. El rango de f es el conjunto de todos los valores posibles de fx), conforme x vara en todo el dominio. Un smbolo que representa un nmero arbitrario en el dominio de una funcin f se llama variable independiente. Un smbolo que representa un nmero en el rango de f se llama variable dependiente. En el ejemplo A, r es la variable independiente y A es la dependiente. FIGURA 1 Aceleracin vertical del suelo durante el terremoto de Northridge {cm/s@} (segundos) Calif. Dept. of Mines and Geology 5 50 10 15 20 25 a t 100 30 _50 1.1 11 Poblacin Ao (en millones) 1900 1650 1910 1750 1920 1860 1930 2070 1940 2300 1950 2560 1960 3040 1970 3710 1980 4450 1990 5280 2000 6080 CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 11 38. Resulta til concebir una funcin como una mquina vase la gura 2). Si x est en el dominio de la funcin f, entonces cuando x entra en la mquina, se acepta como una entrada y la mquina produce una salida fx) de acuerdo con la regla de la funcin. De este modo, puede concebir el dominio como el conjunto de todas las entradas posibles y el rango como el conjunto de todas las salidas posibles. Las funciones preprogramadas de una calculadora son buenos ejemplos de una funcin como una mquina. Por ejemplo, la tecla de raz cuadrada en su calculadora calcula una de esas funciones. Usted oprime la tecla marcada como o y registra la entrada x. Si x 0, en tal caso x no est en el dominio de esta funcin; es decir, x no es una entrada aceptable y la calculadora indicar un error. Si x 0, en tal caso aparecer una aproximacin a en la pantalla. As, la tecla de su calculadora no es la misma exactamente que la funcin ma- temtica f denida por . Otra manera de representar una funcin es un diagrama de echas como en la gura 3. Cada echa une un elemento de D con un elemento de E. La echa indica que fx) est asociada con x, fa) con a, y as sucesivamente. El mtodo ms comn para visualizar una funcin es su grca. Si f es una funcin con dominio D, su grca es el conjunto de las parejas ordenadas Observe que son parejas entrada-salida.) En otras palabras, la grca de f consta de todos los puntos x, y) en el plano coordenado, tales que y fx) y x est en el dominio de f. La grca de una funcin f da una imagen til del comportamiento, o la historia de la vida, de una funcin. Como la coordenada y de cualquier punto x, y) de la grfica es y fx), es posible leer el valor de fx) a partir de la grca como la altura de esta ltima arriba del punto x vase la gura 4). La grca de f tambin permite tener una imagen del dominio de f sobre el eje x y su rango en el eje y como en la gura 5. EJEMPLO 1 En la gura 6 se muestra la grca de una funcin f. (a) Encuentre los valores de f1) y f5). (b) Cules son el dominio y el intervalo de f? SOLUCIN (a) En la gura 6 se ve que el punto 1, 3) se encuentra sobre la grca de f, de modo que el valor de f en 1 es . En otras palabras, el punto de la grca que se encuentra arriba de x 1 est tres unidades arriba del eje x.) Cuando x 5, la grca se encuentra alrededor de 0.7 unidades debajo del eje x por tanto, (b) fx) est denida cuando , de modo que el dominio de f es el intervalo cerrado [0, 7]. Observe que f toma todos los valores desde 2 hasta 4, de manera que el intervalo de f es y2 y 4 2, 4 0 x 7 f5 0.7 f 1 3 0 y (x) dominio intervalo FIGURA 4 {x, } f(1) f(2) 0 1 2 x FIGURA 5 x y x y x, fxx D fx sx sx sx sxs 12 |||| CAPTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS FIGURA 2 Diagrama de una mquina para una funcin x (entrada) (salida) f f D E f(a)a x FIGURA 3 Diagrama de flechas para FIGURA 6 x y 0 1 1 & La notacin para intervalos aparece en el apndice A. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 12 39. EJEMPLO 2 Trace una grca y encuentre el dominio y el intervalo de cada funcin. a) b) SOLUCIN a) La ecuacin de la grca es y esto se reconoce como la ecuacin de la recta con pendiente 2 y ordenada al origen 1. Recuerde la forma de pendiente-ordenada al origen de la ecuacin de una recta: . Vase apndice B.) Esto permite trazar la grca de f. Ver la gura 7. La expresin est denida para todos los nmeros reales, de modo que el dominio de f es el conjunto de todos los nmeros reales, el cual se denota con . En la grca se muestra que el rango tambin es . b) Como y , podra dibujar los puntos 2, 4) y 1, 1) junto con unos cuantos puntos ms de la grca y unirlos para producir la grca gura 8). La ecuacin de la grca es , la cual representa una parbola vase el apndice C). El dominio de t es . El rango de t consta de todos los valores de tx); es decir, todos los nmeros de la forma x2 . Pero para todos los nmeros x y cualquier nmero positivo y es un cuadrado. De este modo, el rango de t es . Esto tambin se ve en la gura 8. EJEMPLO 3 Si fx 2x2 5x 1 y h 0, evaluar SOLUCIN Primero evale fa h sustituyendo x mediante a h en la expresin para fx: fa h 2(a h)2 5(a h) 1 2(a2 2ah h2 ) 5(a h) 1 2(a2 2ah h2 ) 5a 5h 1 Por lo tanto al sustituir en la expresin que se proporciona y simplicando: REPRESENTACIN DE LAS FUNCIONES Se tienen cuatro maneras posibles para representar una funcin: & Verbalmente (mediante una descripcin en palabras) & Numricamente (con una tabla de valores) & Visualmente (mediante una grca) & Algebraicamente (por medio de una frmula explcita) Si la funcin se puede representar de las cuatro maneras, con frecuencia resulta til pasar de una representacin a otra, para adquirir un conocimiento adicional de la funcin. (En el ejemplo 2 se empieza con frmulas algebraicas y, a continuacin, se obtuvieron las grcas.) Pero ciertas funciones se describen de manera ms natural con uno de los mtodos 4ah 2h2 5h h 4a 2h 5 2a2 4ah 2h2 5a 5h 1 2a2 5a 1 h fa h fa h 2a2 4ah 2h2 5a 5h 1 2a2 5a 1 h fa h fa h y y 0 0, x2 0 y x2 t1 12 1t2 22 4 2x 1 y mx b y 2x 1 tx x2 fx 2x 1 SECCIN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIN |||| 13 & La expresin en el ejemplo 3 se le denomina un cociente de diferencia y habitualmente sucede en clculo. Como se ver en el captulo 2, representa la razn promedio de cambio f(x) entre x a y x a h f(a h) f(a) h FIGURA 7 x y=2x-1 0 -1 y 1 2 (_1,1) (2,4) 0 y 1 x1 y= FIGURA 8 CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 13 40. que con otro. Con esto en mente, analice de nuevo las cuatro situaciones consideradas al principio de esta seccin. A. Quiz la representacin ms til del rea de un crculo como funcin de su radio sea la frmula algebraica , aunque es posible compilar una tabla de valores o trazar una grca (la mitad de una parbola). Como un crculo debe tener un radio positivo, el dominio es , y el rango tambin es . B. Se ha descrito verbalmente la funcin: Pt es la poblacin humana del mundo en el tiempo t. La tabla de valores de la poblacin mundial da una representacin conveniente de esta funcin. Si coloca estos valores en una grca, obtendr la grca (llamada grca de dispersin) de la gura 9. Tambin es una representacin til; pues nos permite absorber todos los datos a la vez. Qu hay acerca de una frmula? Por supuesto, es imposible idear una frmula explcita que d la poblacin humana exacta Pt en cualquier tiempo t. Pero es posible hallar una expresin para una funcin que proporcione una aproximacin de Pt). De hecho, con la aplicacin de los mtodos que se explican en la seccin 1.2, se obtiene la aproximacin y en la gura 10 se ilustra que es un ajuste razonablemente bueno. La funcin f se llama modelo matemtico para el crecimiento de la poblacin. En otras palabras, es una funcin con una frmula explcita que da una aproximacin para el comportamiento de la funcin dada. Sin embargo, ver que las ideas del clculo se pueden aplicar a una tabla de valores; no se necesita una frmula explcita. La funcin P es tpica entre las funciones que surgen siempre que intenta aplicar el clculo al mundo real. Empieza con una descripcin verbal de la funcin. En seguida, es posible que sea capaz de construir una tabla de valores de la funcin, quiz a partir de lecturas de instrumentos en un experimento cientfico. Aun cuando no tenga el conocimiento completo de los valores de la funcin, a lo largo del libro ver que todava es posible realizar las operaciones del clculo en una funcin de ese tipo. C. Una vez ms, la funcin est descrita en palabras: Cw) es el costo de enviar por correo una carta de primera clase con peso w. La regla que en 1996 aplicaba el U.S. Postal Service (Servicio Postal de Estados Unidos) es la siguiente: el costo es de 39 centavos de dlar hasta por una onza, ms 24 centavos por cada onza sucesiva, hasta 13 onzas. La tabla de valores que se muestra en el margen es la representacin ms conveniente para esta funcin, aunque es posible trazar una grca (vase el ejemplo 10). D. La grca que se muestra en la gura 1 es la representacin ms natural de la funcin aceleracin vertical at). Es cierto que se podra compilar una tabla de valores e incluso FIGURA 10FIGURA 9 1900 6x10' P t1920 1940 1960 1980 2000 1900 6x10' P t1920 1940 1960 1980 2000 Pt ft 0.008079266 1.013731t 0, rr 0 0, Ar r2 14 |||| CAPTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Poblacin Ao (en millones) 1900 1650 1910 1750 1920 1860 1930 2070 1940 2300 1950 2560 1960 3040 1970 3710 1980 4450 1990 5280 2000 6080 (onzas) (dlares) 0.39 0.63 0.87 1.11 1.35 3.2712 w 13 4 w 5 3 w 4 2 w 3 1 w 2 0 w 1 Cww & Una funcin denida por una tabla de valores se conoce como funcin tabular. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 14 41. es posible idear una frmula aproximada. Pero todo lo que necesita saber un gelogo, amplitudes y patrones, puede observarse con facilidad a partir de la grca. (Lo mismo se cumple para los patrones que se ven en los electrocardiogramas de los pacientes car- diacos y en los polgrafos para la deteccin de mentiras.) En el ejemplo siguiente, se graca una funcin denida verbalmente. EJEMPLO 4 Cuando abre una llave de agua caliente, la temperatura T del agua depende de cunto tiempo ha estado corriendo. Trace una grfica aproximada de T como funcin del tiempo t que ha transcurrido desde que se abri el grifo. SOLUCIN La temperatura inicial del agua corriente est cercana a la temperatura ambiente, debido al agua que ha estado en los tubos. Cuando empieza a salir la que se encuentra en el tanque de agua caliente, T aumenta con rapidez. En la fase siguiente, T es constante a la temperatura del agua calentada del tanque. Cuando ste se drena, T decrece hasta la temperatura de la fuente de agua. Esto permite realizar el boceto de grca de T como una funcin de t en la gura 11. El ejemplo que sigue, parte de una descripcin verbal de una funcin, en una situacin fsica, y se obtiene una frmula algebraica explcita. La capacidad para llevar a cabo esto constituye una habilidad til en los problemas de clculo en los que se piden los valores mximo y mnimo de cantidades. EJEMPLO 5 Un recipiente rectangular para almacenamiento, con su parte superior abierta, tiene un volumen de 10 m3 . La longitud de su base es el doble de su ancho. El material para la base cuesta 10 dlares por metro cuadrado y el material para los lados, cuesta 6 dlares por metro cuadrado. Exprese el costo del material como funcin del ancho de la base. SOLUCIN Dibuje un diagrama como el de la figura 12 e introduzca la notacin to- mando w y 2w como el ancho y la longitud de la base, respectivamente, y h como la altura. El rea de la base es , de modo que el costo, en dlares, del material para la base es . Dos de los lados tienen el rea y el rea de los otros dos es , as el costo del material para los lados es . En consecuencia el costo total es Para expresar C como funcin slo de w, necesita eliminar h, lo que sucede al aplicar el hecho de que el volumen es 10 m3 . De este modo, lo cual da Si se sustituye esto en la expresin para C Por lo tanto, la ecuacin expresa C como funcin de w. w 0Cw 20w2 180 w C 20w2 36w5 w2 20w2 180 w h 10 2w2 5 w2 w2wh 10 C 102w2 62wh 22wh 20w2 36wh 62wh 22wh2wh wh102w2 2ww 2w2 V SECCIN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIN |||| 15 t T 0 FIGURA 11 w 2w h FIGURA 12 & Al establecer funciones de aplicacin, como en el ejemplo 5, puede resultar til repasar los principios para la resolucin de problemas como se plantean en la pgina 76, en particular el paso 1: comprender el problema. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 15 42. EJEMPLO 6 Encuentre el dominio de cada funcin. (a) (b) SOLUCIN (a) Ya que la raz cuadrada de un nmero negativo no est denida (como nmero real), el dominio de f consta de todos los valores de x tales que . Esto es equivalente a , de modo que el dominio es el intervalo . (b) Dado que y la divisin entre 0 no est permitida, tx no est denida cuando x 0 o x 1. Por lo tanto, el dominio de t es lo cual tambin podra escribirse, con la notacin de intervalos, como La grca de una funcin es una curva en el plano xy. Pero surge la pregunta: cules curvas en el plano xy son grcas de funciones? La siguiente prueba responde lo anterior. PRUEBA DE LA LNEA VERTICAL Una curva en el plano xy es la grfica de una funcin de x si y slo si ninguna lnea vertical se interseca con la curva ms de una vez. En la gura 13 se puede ver la razn de la veracidad de la prueba de la lnea vertical. Si cada lnea vertical x a interseca una curva slo una vez, en a, b, por lo tanto se dene exactamente un valor funcional mediante . Pero si una lnea x a se interseca con la curva dos veces, en a, b y a, c, entonces la curva no puede representar una funcin, porque una funcin no puede asignar dos valores diferentes a a. Por ejemplo, la parbola que aparece en la gura 14(a) en la pgina que sigue no es la grca de una funcin de x porque, como el lector puede ver, existen lneas vertica- les que intersecan dos veces esa parbola. Sin embargo, la parbola en realidad contiene las grcas de dos funciones de x. Observe que significa , por lo que Por esto, las mitades superior e inferior de la parbola son las grcas de las funciones [del ejemplo 6(a)] y [vase las figuras 14(b) y (c)]. Observe que, si invierte los papeles de x y y, en tal caso la ecuacin dene x como funcin de y (con y como la variable independiente y x como dependiente) y la parbola aparece ahora como la grca de la funcin h. x hy y2 2 tx sx 2fx sx 2 y sx 2. y2 x 2x y2 2 x y2 2 FIGURA 13 a x=a (a,b) 0 a (a,c) (a,b) x=a 0 x y x y fa b , 0 0, 1 1, xx 0, x 1 tx 1 x2 x 1 xx 1 2, x 2 x 2 0 tx 1 x2 x fx sx 2 16 |||| CAPTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS & Si se da una funcin mediante una frmula y no se da el dominio explcitamente, la con- vencin es que el dominio es el conjunto de todos los nmeros para los que la frmula tiene sentido y dene un nmero real. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 16 43. FUNCIONES SECCIONALMENTE DEFINIDAS Las funciones de los cuatro ejemplos siguientes estn denidas por frmulas diferentes en diferentes partes de sus dominios. EJEMPLO 7 Una funcin f se dene por Evale f0), f1) y f2) y trace la grca. SOLUCIN Recuerde que una funcin es una regla. Para esta funcin en particular, la regla es: primero se considera el valor de la entrada x. Si sucede que x 1, entonces el valor de fx) es 1 x. Por otra parte, si x 1, entonces el valor de fx) es x2 . Cmo dibujar la grca de f? Observe que, si x 1, entonces fx) 1 x de modo que la parte de la grca de f que se encuentra a la izquierda de la lnea vertical x 1 debe coincidir con la lnea y 1 x, la cual tiene la pendiente 1 y 1 como ordenada al origen. Si x 1, entonces fx) x2 , por lo que la parte de la grca de f que est a la derecha de la lnea x 1 tiene que coincidir con la grca de y x2 , la cual es una parbola. Esto permite trazar la grca de la gura 15. El punto relleno indica que el punto 1, 0) est incluido en la grca; el punto hueco indica que el punto 1, 1) est fuera de la grca. El ejemplo siguiente de una funcin seccionalmente denida es la funcin valor absoluto. Recuerde que el valor absoluto de un nmero a, denotado con , es la distancia de a hasta 0, sobre la recta de los nmeros reales. Las distancias siempre son positivas o 0; de tal manera para todo nmero a Por ejemplo, En general, (Recuerde que si a es negativo, entonces a es positivo.) si a 0a a si a 0a a 3 3s2 1 s2 10 03 33 3 a 0 a Como 2 1, tenemos f2 22 4. Como 1 1, tenemos f1 1 1 0. Como 0 1, tenemos f0 1 0 1. f x 1 x x2 si x 1 si x 1 V FIGURA 14 (b) y=x+2 _2 0 x y (_2,0) (a) x=-2 0 x y (c) y=_x+2 _2 0 y x SECCIN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIN |||| 17 1 x y 1 FIGURA 15 & Para un repaso ms extenso de los valores absolutos, vase el apndice A. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 17 44. EJEMPLO 8 Trace la grca de la funcin valor absoluto, . SOLUCIN Con base en el anlisis precedente, sabe que Al aplicar el mtodo del ejemplo 7, la grfica de f coincide con la lnea y x, a la derecha del eje y, y coincide con la lnea y x, a la izquierda del eje y (vase la gura 16). EJEMPLO 9 Encuentre una frmula para la funcin f que se dibuja en la gura 17. SOLUCIN La lnea que pasa por 0, 0) y 1, 1) tiene pendiente m 1 y su ordenada al origen es b 0, de forma que su ecuacin es y x. As, para la parte de la grfica de f que une 0, 0) con 1, 1), si La lnea que pasa por 1, 1) y 2, 0) tiene pendiente m 1, de suerte que su forma punto-pendiente es De tal manera que si Observe tambin que, para x 2, la grca de f coincide con el eje x. Si rene esta informacin, tiene la frmula siguiente para f, en tres secciones: EJEMPLO 10 En el ejemplo C del principio de esta seccin, se consider el costo Cw de enviar por correo una carta de primera clase con peso w. En realidad, sta es una funcin seccionalmente denida porque, a partir de la tabla de valores, se tiene La grca se muestra en la gura 18. Usted puede ver por qu a las funciones semejantes a sta se les llama funcin escaln: saltan de un valor al siguiente. En el captulo 2 se estudiarn esas funciones. 0.39 0.63 0.87 1.11 si 0 w 1 si 1 w 2 si 2 w 3 si 3 w 4 Cw f x x 2 x 0 si 0 x 1 si 1 x 2 si x 2 1 x 2fx 2 x y 2 xoy 0 1x 2 0 x 1f x x FIGURA 17 x y 0 1 1 x x x si x 0 si x 0 f x x 18 |||| CAPTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS x y=|x| 0 y FIGURA 16 & Forma punto-pendiente de la ecuacin de una recta: vase el apndice B. y y1 mx x1 FIGURA 18 C 1 1 0 2 3 4 5 w CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 18 45. SIMETRA Si una funcin f satisface para todo nmero x en su dominio, entonces f se denomina funcin par. Por ejemplo, la funcin es par porque El signicado geomtrico de una funcin par es que su grca es simtrica con respecto al eje y (vase la gura 19). Esto signica que si traza la grca de f para x 0, obtiene toda la grca con slo reejar esta porcin con respecto al eje y. Si f satisface para todo nmero x en su dominio, entonces f se conoce como funcin impar. Por ejemplo, la funcin es impar porque La grca de una funcin impar es simtrica respecto al origen (vase la gura 20). Si ya tiene la grca de f para x 0, puede obtener la grca entera al hacerla girar 180 alrededor del origen. EJEMPLO 11 Determine si cada una de las funciones siguientes es par, impar o ninguna de las dos. (a) (b) (c) SOLUCIN (a) En consecuencia, f es una funcin impar. (b) De modo que t es par. (c) Dado que y , se concluye que h no es par ni impar. En la gura 21 se muestran las grcas de las funciones del ejemplo 11. Observe que la grca de h no es simtrica respecto al eje y ni respecto al origen. 1 1 x y h1 1 y x g1 _1 1 y x f _1 (a) (b) (c)FIGURA 21 hx hxhx hx hx 2x x2 2x x2 tx 1 x4 1 x4 tx f x x5 x x5 x fx x5 x 15 x5 x hx 2x x2 tx 1 x4 fx x5 x V fx x3 x3 f x fx x3 fx fx, fx x2 x2 f x fx x2 fx fx, SECCIN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIN |||| 19 0 x_x f(_x) FIGURA 19 Una funcin par x y 0 x _x FIGURA 20 Una funcin impar x y CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 19 46. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES La grca que se muestra en la gura 22 sube desde A hasta B, desciende desde B hasta C, y vuelve a subir desde C hasta D. Se dice que la funcin f est creciendo sobre el intervalo a, b, decreciendo sobre b, c, y creciendo de nuevo sobre c, d. Observe que si x1 y x2 son dos nmeros cualesquiera entre a y b, con , entonces . Use esto como la propiedad que dene una funcin creciente. Se dice que una funcin f es creciente sobre un intervalo I si Se dice que es decreciente sobre I si En la denicin de funcin creciente es importante darse cuenta que se debe satisfacer la desigualdad para toda pareja de nmeros x1 y x2 en I con . A partir de la gura 23 es posible observar que la funcin es decreciente sobre el intervalo y creciente sobre el intervalo .0, , 0 f x x2 x1 x2fx1 fx2 siempre que x1 x2 en If x1 fx2 siempre que x1 x2 en If x1 fx2 A B C D y= f(x) f(x) a y 0 xx x b c d FIGURA 22 fx1 fx2 x1 x2 20 |||| CAPTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS FIGURA 23 0 y x y= y 0 x 1 1 1. Se da la grca de una funcin f. (a) Establezca el valor de . (b) Estime el valor de . (c) Para cules valores de x se tiene ? (d) Estime los valores de x tales que . (e) Establezca el dominio y el rango de f. (f) En qu intervalo es f creciente? f x 0 f x 2 f 2 f 1 EJERCICIOS1.1 CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 20 47. SECCIN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIN |||| 21 el peso de esta persona a lo largo del tiempo. Qu piensa el lector que sucedi cuando esta persona tena 30 aos? 10. La grca que se muestra da la distancia a la que se encuentra un vendedor de su casa como funcin del tiempo en cierto da. Describa con palabras lo que la grca indica con respecto al recorrido del vendedor en este da. Usted pone algunos cubos de hielo en un vaso, lo llena con agua fra y lo deja sobre una mesa. Describa cmo cambia la temperatura del agua a medida que pasa el tiempo. Despus, trace una grca aproximada de la temperatura del agua como funcin del tiempo transcurrido. 12. Trace una grca aproximada del nmero de horas de luz del da como funcin de la poca del ao. Trace una grca aproximada de la temperatura exterior como funcin del tiempo durante un da tpico de primavera. 14. Dibuje una grca aproximada del valor en el mercado, por un periodo de 20 aos de un automvil nuevo. Considere que se le da buen mantenimiento. 15. Dibuje la grca de la cantidad de una marca particular de caf vendida por una tienda como una funcin del precio del caf. 16. Usted coloca un pastel congelado en un horno y lo hornea durante una hora. Luego, lo saca y lo deja enfriar, antes de comerlo. Describa cmo cambia la temperatura del pastel conforme pasa el tiempo. Despus, trace una grca aproximada de la temperatura del pastel como funcin del tiempo. 17. El propietario de una casa corta el csped cada mircoles por la tarde. Trace una grca aproximada de la altura del csped como funcin del tiempo durante un periodo de cuatro semanas. 18. Un avin sale de un aeropuerto y aterriza, una hora ms tarde, en otro aeropuerto que se encuentra a 400 millas de distancia. Si t representa el tiempo en minutos desde que el avin ha dejado 13. 11. 8 A.M. 10 MEDIODA 2 4 6 P.M. Tiempo (horas) Distancia hasta la casa (millas) Edad (aos) Peso (libras) 0 150 100 50 10 200 20 30 40 50 60 70 Se proporcionan las grcas de f y t. (a) D los valores de y . (b) Para cules valores de x se tiene ? (c) Estime la solucin de la ecuacin . (d) En qu intervalo f es decreciente? (e) D el dominio y el rango de f. (f) D el dominio y el rango de t. 3. Un instrumento operado por el Departamento de Minas y Geo- loga en el Hospital Universitario de la Universidad del Sur de California (USC) en Los ngeles, registr la figura 1. sela para estimar el intervalo de la funcion aceleracin vertical del suelo, en la USC durante el terremoto de Northridge. 4. En esta seccin se analizaron ejemplos de funciones, cotidia- nas: la poblacin es una funcin del tiempo, el costo del porte de correos es una funcin del peso, la temperatura del agua es una funcin del tiempo. D otros tres ejemplos de funciones de la vida cotidiana que se describan verbalmente. Qu puede decir acerca del dominio y del rango de cada una de sus funciones? Si es posible, trace una grfica aproximada de cada funcin. 58 Determine si la curva es la grca de una funcin de x. Si lo es, d el dominio y el rango de la funcin. 5. 6. 7. 8. La grca que se muestra da el peso de cierta persona como una funcin de la edad. Describa con palabras la manera en que vara 9. y x0 1 1 y x0 1 1 y x0 1 1 y x0 1 1 g x y 0 f 2 2 f x 1 f x tx t3f 4 2. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 21 48. 22 |||| CAPTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 28. Encuentre el dominio, el rango y trace la grca de la funcin . 3344 Encuentre el dominio y trace la grca de la funcin. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 40. 41. 42. 44. 4550 Encuentre una expresin para la funcin cuya grca es la curva dada. 45. El segmento rectilneo que une los puntos y 46. El segmento rectilneo que une los puntos y La mitad inferior de la parbola 48. La mitad superior del crculo 49. 50. 5155 Encuentre una frmula para la funcin descrita y d su dominio. 51. Un rectngulo tiene un permetro de 20 m. Exprese el rea del rectngulo como funcin de la longitud de uno de sus lados. y 0 x 1 1 y 0 x 1 1 x2 (y 22 4 x y 12 047. 7, 105, 10 5, 71, 3 f x x 9 2x 6 si x 3 si x 3 si x 3 f x x 2 x2 si x 1 si x 1 43. f x 3 1 2x 2x 5 si x 2 si x 2 f x x 2 1 x si x 0 si x 0 tx x x2 Gx 3x x x 39. Fx 2x 1 tx sx 5 Ht 4 t2 2 t f t t2 6t Fx 1 2 x 3f x 5 hx s4 x2 hx 1 s4 x2 5x 31. la terminal, sea la distancia horizontal recorrida y la altitud del avin. Trace. (a) Una grca posible de . (b) Una grca posible de . (c) Una grca posible de la rapidez con respecto al suelo. (d) Una grca posible de la velocidad vertical. 19. En la tabla se exhibe el nmero N (en millones) de usuarios de telefonos celulares en el mundo. (Se proporcionan estimaciones semestrales). (a) Mediante los datos trace una grca de N en funcin de t. (b) Utilice la grca para estimar la cantidad de usuarios de telfono celular a mediados de ao en 1995 y 1999. 20. El 2 de junio de 2001 se tomaron lecturas de temperatura T (en F) cada dos horas desde la medianoche hasta las 2:00 P.M. El tiempo t se midi en horas a partir de la medianoche. (a) Utilice las lecturas para trazar una grca aproximada de T como una funcin de t. (b) Utilice la grca que traz para estimar la temperatura a las 11:00 A.M. 21. Si , encuentre , , , , , , , , y . 22. Un globo esfrico con radio de r pulgadas tiene el volumen . Encuentre una funcin que represente la cantidad de aire que se requiere para inarlo desde un radio de r pulgadas hasta otro de r 1 pulgadas. 2326 Valorar el cociente de diferencia para la funcin que se proporciona. Simplique su respuesta. f(x) 4 3x x2 , 24. f(x) x3 , 25. , 26. , 2731 Encuentre el dominio de la funcin. 27. 28. 29. 30. tu su s4 uf t st s3 t f x 5x 4 x2 3x 2 f x x 3x 1 f(x) f(1) x 1 fx x 3 x 1 f(x) f(a) x a f(x) 1 x f(a h) f(a) h f(3 h) f(3) h 23. Vr 4 3 r3 f a h[ f a]2 f a2 f 2a2f af a 1 f af af 2f 2f x 3x2 x 2 yt xt ytxt t 1990 1992 1994 1996 1998 2000 N 11 26 60 160 340 650 t 0 2 4 6 8 10 12 14 T 73 73 70 69 72 81 88 91 CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 22 49. SECCIN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIN |||| 23 (b) Cul impuesto corresponde a un ingreso de 14

cálculo de una variable, 6a ed español james stewart

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