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Cuadernos de Matemticas

de la Escuela Politcnica Nacional

Germn Rojas

CLCULO EN UNA VARIABLE

Clculo Integral

Aqu van los logos de EPN y Departamento

Facultad de Ciencias de la EPN

Cuaderno de Matemtica No. 2

Clculo en una variable: Clculo Integral

Germn Rojas I.

Responsable de la Edicin: Juan Carlos TrujilloRevisin tcnica: Alejandro Araujo y Rolando Senz

Registro de derecho autoral No.Depsito Legal No.ISBN-

Publicado por la Unidad de Publicaciones de la Facultad de Ciencias de la EscuelaPolitcnica Nacional, Ladrn de Guevara E11-253, Quito, Ecuador.

c Escuela Politcnica Nacional 2010

Tabla de contenidos

Prefacio vii

1 La integral indefinida 11.1 Primitivas e integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 La diferencial y la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Cambios de variable en integrales indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Clculo de integrales mediante el uso de tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Integrales de potencias de sen y cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Integrales de potencias de sec y tan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7 Integracin por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8 Integracin de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.8.1 Integracin de fracciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8.2 El mtodo de las fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.9 El mtodo de Ostrogradski mejorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.9.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 La integral definida 292.1 El Palimpsesto de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Definicin de integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4 Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5 Otra propiedad de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6 El teorema fundamental del clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.6.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.7 El cambio de variable para la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.7.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.8 La integracin por partes para la integal definida . . . . . . . . . . . . . . . . 522.9 Integracin de funciones racionales de seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . 53

2.9.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.10 Sustituciones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.10.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.11 Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

iii

TABLA DE CONTENIDOS TABLA DE CONTENIDOS

2.11.1 Tipo I. Integrales impropias de dominios infinitos . . . . . . . . . . . . 602.11.2 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.11.3 Tipo II. Integrales con integrandos no acotados . . . . . . . . . . . . . 622.11.4 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.11.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.12 Integracin aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.12.1 Mtodo natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.12.2 Mtodo de los trapecios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.12.3 El mtodo de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.12.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3 Aplicaciones de la integral definida 713.1 La ofrenda de oro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2 Definicin de longitud, rea y volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3 El rea de una figura plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.4 Clculo de volmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.4.1 Volumen de un cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.4.2 Clculo de volmenes por elementos de seccin (rodajas) . . . . . . . 783.4.3 Clculo de volmenes de slidos de revolucin por arandelas . . . . . . 803.4.4 Clculo de volmenes de slidos de revolucin por cortezas . . . . . . 81

3.5 Modelizacin y solucin al problema de la ofrenda de oro . . . . . . . . . . . 833.5.1 Identificacin del modelo matemtico a usarse . . . . . . . . . . . . . . 833.5.2 Solucin del problema matemtico del volumen de la cruz . . . . . . . 843.5.3 Solucin del problema de la ofrenda de oro . . . . . . . . . . . . . . . 873.5.4 Eplogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.5.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.6 Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.6.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.7 rea de superficies de revolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.7.1 Caso con giro alrededor del eje Ox. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.7.2 Caso con giro alrededor del eje Oy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.7.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.8 El valor medio de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.8.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.9 Masa y densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.10 Posicin, velocidad y aceleracin de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.10.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.11 Trabajo mecnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.11.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.12 Presin hidrosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.12.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.13 Momentos de masa y Centro de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.13.1 Caso de sistemas en lnea recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.13.2 Caso de sistemas planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.13.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.14 Aplicaciones en economa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.14.1 Ingreso de una empresa o un gobierno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.14.2 Supervit del consumidor y del productor . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.14.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

iv


4 Funcin logaritmo y exponencial 1194.1 Relaciones y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.2 Sentido de la expresin ax para x Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.3 La funcin logaritmo natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.3.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.4 Funcin exponencial natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.4.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.5 Definicin de ax, a > 0, x R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.5.1 generalizacin de la regla de la potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.5.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.6 Funcin loga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.6.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.7 Funciones hiperblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.8 Ejercicios adicionales de funciones Exponenciales y logartmicas . . . . . . . . 135

5 Sucesiones y series 1375.1 Sucesiones numricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.1.1 Las sucesiones numricas vistas como elementos de R . . . . . . . . 1375.1.2 Las sucesiones como funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.1.3 Sucesiones acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.1.4 Sucesiones montonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.1.5 Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.1.6 Convergencia de sucesiones montonas y acotadas . . . . . . . . . . . 1425.1.7 Criterio de Cauchy. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.3 Series numricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.3.1 Series telescpicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.3.2 Propiedades algebraicas de las series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.5 Series de trminos no-negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.6 Criterio integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.7 Criterios de comparacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.7.1 Criterio de la razn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.9 Series alternantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.11 Criterio general de la razn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.12 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.13 Error de aproximacin del lmite de una serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.14 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.15 Convergencia puntual de sucesiones y series de funciones reales . . . . . . . . 1685.16 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.17 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1735.18 Derivacin e Integracin de Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.19 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.20 Series de Taylor y de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.21 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.22 Serie Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825.23 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

v


A Tablas de integracin 185A.1 Frmulas bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185A.2 Frmulas en las que interviene

a2 + u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

A.3 Frmulas en las que intervienea2 u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

A.4 Frmulas en las que intervieneu2 a2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

A.5 Frmulas con las funciones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187A.6 Frmulas con funciones exponenciales y logartmicas . . . . . . . . . . . . . . 188A.7 Frmulas con funciones hiperblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

vi

Prefacio

Entre los objetivos de la unificacin de los programas de la asignatura Clculo en unaVariable en la Escuela Politcnica Nacional, est el de uniformizar sus contenidos y el nivelde la enseanza aprendizaje en todos los paralelos de las carreras de ingeniera y ciencias dela Institucin.

En una serie de reuniones de los profesores que impartimos dicha asignatura en la Ins-titucin, vimos que para lograr este objetivo es necesario contar con bibliografa comn y,en lo posible, con un texto politcnico de Clculo en una Variable que sea el referente entodos los paralelos en que se dicte la materia.

El autor del presente trabajo, que es la primera versin de la segunda parte del texto,que cubre los contenidos de Clculo Integral que constan en el programa vigente, lo pone aconsideracin de la comunidad politcnica, en especial de los profesores de Clculo en unaVariable y de los alumnos que toman esta asignatura, con la esperanza de que sirva comoun primer borrador de lo que ser en un futuro cercano el texto politcnico que tanta faltanos hace. La primera parte, la de Clculo Diferencial, fue publicada en junio 2009 por laEscuela Politcnica Nacional en formato digital, y puede encontrarse en la pgina web delDepartamento de Matemtica de la Institucin.

Creemos necesario aclarar que los ejercicios resueltos y los propuestos han sido tomadoso son modificaciones a los que se encuentran en diversas obras similares, como son los textosde Apostol, Zill, Douchet y Zwahlen, Leithold, Demidovich y dems textos rusos, etc.

Debemos agradecer al Editor del libro, Juan Carlos Trujillo, por el enorme trabajo rea-lizado, a los profesores que revisaron el texto, Alejandro Araujo y Rolando Senz, y a lasAutoridades de la Institucin y del departamento de Matemticas y la facultad de Cienciaspor el apoyo que nos han brindado para su realizacin.

Quito, febrero de 2010

vii

Captulo 1

La integral indefinida

1.1 Primitivas e integral indefinida

Dada una funcin f derivable en un intervalo I, sabemos que la funcin derivada de f , f esnica. Ahora nos planteamos el problema inverso: hallar, para una funcin f definida en unintervalo I, una funcin F cuya derivada sea f . De existir una tal F , la llamaremos primitivade f .

Cuntas primitivas podra tener una funcin f? Para verlo, supongamos que F es unaprimitiva de f en un intervalo I. Entonces, la funcin G definida por

G(x) = F (x) + C,

donde C es una constante, tambin es una primitiva de f , pues

G(x) = F (x) + 0 = f(x)

para todo x I.La recproca de esta afirmacin tambin es verdadera; es decir, cualquier otra primitiva

de f tendr una forma similar. Esto resulta del siguiente teorema.

Teorema 1.1Sea h : I R una funcin continua en un intervalo I y derivable en int I. Entonces

h(x) = 0

para todo x int I si y solo existe C R tal que h(x) = C para todo x I

Demostracin. Si h es constante, entonces h es igual a 0. Recprocamente, sean x1, x2 en I,x1 < x2. Basta probar que h(x1) = h(x2). Como h cumple las condiciones del Teorema delValor Medio para las derivadas en el intervalo [x1, x2], tenemos que existe x ]x1, x2[ tal que

h(x) =h(x2) h(x1)

x2 x1 .

Como h(x) = 0 para todo x I esto implica que h(x2) h(x1) = 0 y, por ende,h(x1) = h(x2).

2 La integral indefinida

Corolario 1.2Si F y G son dos primitivas de f definidas en un intervalo I, existe C R tal que

F (x) = G(x) + C

para todo x I.

Demostracin. Basta aplicar el teorema anterior a la funcin h = F G.Recordemos que si para una funcin f tomamos a x como la variable independiente, a la

llamamos expresin f(x) se la llama forma funcional de la funcin f . En la practica se da laforma funcional para definir una funcin.

Definicin 1.1 (Integral indefinida)Dada una funcin f definida en un intervalo I, se llama primitiva de f a toda funcin F definidaen I tal que F (x) = f(x) para todo x I.A la forma funcional que permite definir el conjunto de todas las primitivas de f , se le llamaintegral indefinida de f y se nota as

Z

f(x)dx = F (x) + C (1.1)

A x se le llama variable de integracin y C es una constante arbitraria.

El corolario (1.2) garantiza que con esta forma funcional se estn representando a todaslas primitivas de f si la funcin F es una de ellas.

El smboloR

(una s (ese) alargada) se lee integral de y puede considerarse la operacininversa del signo d que define la operacin de hallar la diferencial de una forma funcionaldada. As, se puede ver que

Z

dF (x) = F (x) + C y dZ

f(x)dx = f(x).

Ejemplo 1.1

1.

Z

dx = x+C.

2.

Z

xa dx =1

a+ 1xa+1 + C, con a Q \ {1}.

3.

Z

sen x dx = cosx+ C.

4.

Z

cos x dx = sen x+ C.

5.

Z

tan x dx = ln | cos x|+ C.

6.

Z

sec x dx = ln | sec x+ tan x|+ C.

7.

Z

sec2 x dx = tan x+ C.

1.1 Primitivas e integral indefinida 3

Solucin. El clculo de la derivada de la funcin expresada en el lado derecho de cada una de lasigualdades muestra claramente que cada igualdad es verdadera.

Con el procedimiento utilizado en este ejemplo se demuestra el siguiente teorema.

Teorema 1.3 (Integral indefinida de una suma algebraica)Sean F y G las primitivas de las funciones f y g, respectivamente, definidas en un intervalo I.Sea k R. Entonces:

1.Z

[f(x) + g(x)] dx =

Z

f(x) dx+

Z

g(x) dx = F (x) +G(x) + C.

2.Z

kf(x) dx = k

Z

f(x) dx = kF (x) + C.

Ejemplo 1.2

Calcular la integral indefinida de un polinomio cualquiera P :

P (x) =

nX

k=0

akxk.

Solucin. Aplicando el teorema (1.3) y el numeral (2) del ejemplo (1.1), se obtiene:Z nX

k=0

akxk dx =

nX

k=0

ak

Z

xk dx =

nX

k=0

akk + 1

xk+1 + C.

Ejemplo 1.3

Calcular

Z x dx.

Solucin. De acuerdo con el numeral (2) del ejemplo (1.1) (a = 1/2) se obtiene:Z

x dx =

Z

x12 dx =

2

3x

32 + C.

Ejemplo 1.4

Calcular

Z

3x4 + 2x2 1x2

dx.

Solucin. Utilizando el numeral (1) del teorema (1.3) se obtiene:

Z

3x4 + 2x2 1x2

dx =

Z

(3x2 + 2 + (1)x2) dx

= 3

Z

x2 dx+ 2

Z

dx+ (1)Z

x2 dx

= x3 + 2x+1

x+C.


Ejemplo 1.5

Calcular

Z

(x+ 3)(x 3) dx.

Solucin. De acuerdo con el ejemplo (1.1), la integral indefinida de este polinomio es:Z

(x+ 3)(x 3) dx =Z

(x2 9) dx

=

Z

x2 dx 9Z

dx

=x3

3 9x+ C

1.1.1 Ejercicios

Con la ayuda del ejemplo 1.1 y del teorema 1.3, calcule:

1.

Z

3x2 dx

2.

Z

x2 2x+ 3x

dx

3.

Z

2x 3 3

x2 +

5x4

dx

4.

Z

(3 cos x tan x) dx

5.

Z

(3 secx tan2 x) dx

6.

Z

(x2 + 11/x+ 2 exp x) dx

Recuerde que (expx) = expx y (ln |x|) = 1x

7.

Z x 3x+ 4x

xdx

8.

Z

(3x+ 2)(5x+ 1)2 dx

9.

Z

(2 sen x+ expx) dx

10.

Z

(5xx 3 cos x) dx

11.

Z

3x 5x 7x

dx

1.2 La diferencial y la integral indefinida

Recordemos el concepto de diferencial: dada una funcin F : R R, la derivada de F en a,notada F (a), puede ser vista como la pendiente de la recta tangente a la grfica de F en elpunto (a, F (a)). En el sistema de coordenadas xy, la ecuacin de esta recta es

y F (a) = F (a)(x a). (1.2)Si escogemos un sistema de coordenadas cuyo origen est en (a, F (a)) y si llamamos dx ydy a las variables correspondientes a las abscisas y ordenadas, la ecuacin (1.2) de la rectatangente mencionada, toma la forma

dy = F (a) dx.

A las variables dx y dy se las llama diferenciales de x y de y, respectivamente. Dada unafuncin f : R R, x 7 f(x), con x como variable independiente, a una expresin de tipof(x) dx se la llama forma diferencial, mientras que a una expresin de tipo F (x) le llamamosforma funcional.

Dada una funcin f , escogidas x e y como variables independiente y dependiente, res-pectivamente, a la diferencial d se le puede ver como un operador que transforma una formafuncional en una forma diferencial

d : F (x) 7 dF (x) def= F (x) dx.

1.3 Cambios de variable en integrales indefinidas 5

En este caso la integral indefinidaR

puede ser vista como una especie de operador inversode d, aunque multivaluado porque, como acabamos de ver, si existe una primitiva de unafuncin, existe en realidad una infinidad de ellas:

Z

: f(x) dx 7Z

f(x) dxdef= F (x) + C,

con

F (x) = f(x).

Tendremos entonces:Z

d(F (x)) = F (x) + C, d

Z

f(x) dx

= f(x)dx.

Para los lectores que sean aficionados al lgebra Lineal, mencionaremos que si definimosla relacin binaria f g cuando existe C R tal que f = g + C, tendremos que es unarelacin de equivalencia en el conjunto de funciones

X = F(R,R) = {f : R R}.

Entonces d : X X es lineal, inyectivo, y el operador R : X X |, f 7 F , es el operadorlineal inverso de d. Aqu F denota la clase de equivalencia con representante F y con F = f .

Ejemplo 1.6

CalcularR

d(3x2 + cos x) y d

R

(5x4 sec2 x) dx.

Solucin.R

d(3x2 + cos x) = 3x2 + cosx+ C y d

R

(5x4 sec2 x) dx = (5x4 sec2 x)dx.

1.2.1 Ejercicios

Calcule:

1.

Z

(5x+ cosx) dx

2.

Z

d[3 expx+ cos(2x2 + 5)]

3.

Z

(cosx+ 3x2 5 ln x) dx

4.

Z

(3x2 2x+ expx) dx

5. d

Z

(cos x+ expx) dx

6. d

Z

2x 3 exp x dx

7.

Z

x+ 3

x

dx

8.

Z

[cos x 3 sen x+ exp(5x+ 4)] dx

1.3 Cambios de variable en integrales indefinidas

Sean I y J dos intervalos. Sea g : I J una funcin continua en I, derivable en el interiorde I y biyectiva como se ilustra el siguiente dibujo, donde tomamos I = [a, b] y J = [c, d],con a > 0 y c > 0.


x

u

a b

c

d

x

u

a b

c

d

Sea F : J R, u 7 F (u), y sea H = F g. Entonces H : I R, x 7 H(x) = F (g(x)).Si ponemos u g(x) y como x g1(u), tendremos

F (u) F (g(x)) = H(x) H(g1(u)).Por ello, para todo x I y para todo u J :

F (u) F (g(x)) = H(x)H(x) H(g1(u)) = F (u).

Se dice entonces que F : I R, u 7 F (u) se obtiene de H : I R, x 7 H(x) medianteel cambio de variable u g(x). Se tiene tambin que H se obtiene de F mediante el cambiode variable inverso x g1(u). Escribiremos entonces

F (u) H(x).Notemos que las imgenes de F y de H coinciden. Por otra parte, como

H (x) = [F (g(x))] = F (g(x)) g(x),

el signo de H (x) ser el mismo que el de F (g(x)), si g(x) > 0, y el signo contrario sig(x) < 0. As los intervalos de monotona de F y H coinciden en el primer caso, y soncontrarios en el segundo. La interelacin entre la convexidad o concavidad de F y G es mscompleja debido a que

H (x) = F (g(x)) [g(x)]2 + F (g(x)) g(x).

En particular, si g(x) = 0, es decir si el grfico de g es una recta, los intervalos de concavidady los de convexidad de F y H coinciden!

Ilustremos lo dicho con un ejemplo:

I = [1, 2], J = [2, 4], u g(x) = 2 + 2(x 1).El cambio de variable significa que para u g(x) o, lo que es lo mismo, x g1(u),identificamos las formas funcionales F (u) y H(x):

F (u) H(x) (1.3)Qu pasa con las correspondientes formas diferenciales obtenidas aplicando d a las formas

funcionales F (u) y H(x)? De (1.3) se obtiene, aplicando d a ambos lados:

F (u) du H (x) dx = [F (g(x))] dx = F (g(x)) g(x) dx.Es decir que

F (u) du F (g(x)) g(x) dx

1.4 Clculo de integrales mediante el uso de tablas 7

En general, dada una forma diferencial f(u) du, con u J , tendremos, para u g(x):

f(u) du f(g(x)) g(x) dx.

Supongamos ahora que F es una primitiva de f , ambas funciones definidas en un intervaloJ . Sea g una funcin como antes descrita. Entonces tenemos que:

1.Z

f(u) du = F (u) + C,

2.Z

f(g(x)) g(x) dx =Z

F (g(x)) g(x) dx =Z

d(F (g(x))) = F (g(x)) + C.

De donde podemos deducir el as llamado mtodo de sustitucin o de cambio de variablepara las integrales indefinidas: si ponemos u g(x), y en una integral de tipo

Z

f(g(x)) g(x) dx

sustituimos g(x) por u y g(x) dx por du se obtiene la integralZ

f(u) du

con u como variable de integracin. Si se logra hallar un resultado para la integral as obte-nida, digamos

Z

f(u) du = F (u) + C,

podemos regresar a la variable original x y tendremosZ

f(g(x)) g(x) dx = F (g(x)) + C.

Para que la integral dada est lista para un cambio de variable es necesario a veces ciertosclculos previos, teniendo en cuenta las propiedades de la integral indefinida, identidadesalgebraicas, trigonomtricas, logartmicas, etc. Todo ello se ilustra en los siguientes ejemplos.

1.4 Clculo de integrales mediante el uso de tablas

Una aplicacin sencilla del mtodo de sustitucin o cambio de variable nos permite calcularintegrales mediante el uso de tablas de integracin como las que constan en el anexo.

Ejemplo 1.7

Calcular

Z

dx

4x2 + 4x+ 10.

Solucin. Como

4x2 + 4x+ 10 = (4x2 + 4x+ 1) + 9

= (2x+ 1)2 + 32,

si ponemos u 2x+ 1, tenemos que du 2dx yZ

dx

4x2 + 4x+ 10=

1

2

Z

du

u2 + 32.


Esta ltima integral puede ser calculada usando la frmula siguiente (con a = 3):Z

du

u2 + a2=

1

aarctan

u

a+ C.

Entonces:Z

dx

4x2 + 4x+ 10=

1

6arctan

2x+ 1

3+ C.

Ejemplo 1.8

1. La integralZ

cos(ax) dx =

Z

cos(ax)adx

a

con el cambio de variable

u ax, du a dx, dx 1adu

se convierte enZ

cos udu

a=

1

a

Z

cos u du =1

asen u+ C

que, con el regreso a la variable original, resulta igual a:Z

cos(ax) dx =1

asen(ax) + C

2.Z

x2

2+ 3x 7

2

32

(x+ 3) dx Z

u32 du

=2

5u

52 + C

25

x2

2+ 3x 7

2

52

+C

mediante el cambio de variable

u x2

2+ 3x 7

2, du (x+ 3) dx.

En este ejemplo:

f(u) = u32 , g(x) =

x2

2+ 3x 7

2, I = [1,[, J = [0,[, F (u) = 2

5u

52 .

3.Z

tanx dx = Z sen x

cos xdx

Z

du

u= ln |u|+ C = ln | cosx|+ C

considerando el cambio de variable

u cos x, du sen x dx.

4.Z

sen(ax) dx =1

a

Z

sen(ax)a dx

1a

Z

sen u du

= 1acosu+C 1

acos(ax) + C

con el cambio de variableu ax, du a dx.

1.4 Clculo de integrales mediante el uso de tablas 9

5. Mediante el cambio de variable u 2x, du 2dx y usando la identidad sen2 = 1cos 2x2

, seobtiene:

Z

sen2 x dx =

Z

1 cos(2x)2

dx

=1

2

Z

dxZ

cos(2x) dx

=1

2

h

x 12sen(2x)

i

+ C.

6.

Z

5

1 5xx4

dx = 5Z

1 x 15

15

15x

45

dx

5Z

u15 du

= 556u

65 + C

256

1 x 15

65+C


u 1 x 15 , du 15x

45 dx.

7. A veces es ms sencillo realizar los clculos utilizando las igualdades

x g1(u), dx [g1(u)] du,

como veremos en este ejemplo.

Z

x2 dx25 x2

Z

25 sen2 u

5 cosu5 cos u du

= 25

Z

sen2 u du

= 25h

u

2 1

4sen(2u)

i

+ C

252

arc senx

5 1

2xp

25 x2 + C


u arcsin x5= g(x), x 5 sen u = g1(u), dx 5 cos u du,

I =] 5, 5[, J =

2,

2

,

p

25 x2 =p

25 25 sen2 u = 5p

1 sen2 u = 5cos2 u = 5| cos u| = 5 cos u,

ya que u 2, 2

. Adems, se us la expresin

sen(2u) = 2 sen u cos u 2 sen

arcsinx

5

cos

arcsinx

5

= 2x

5

25 x25

=2

25xp

25 x2.

En la expresin anterior cmo se calcula cos

arcsin ac

? Sean 0 < a < c. Si ponemos iguala arcsin a

c, tenemos que sen = a

c, lo que se puede representar con un tringulo rectngulo en el

cual c es la hipotenusa, uno de los ngulos agudos, a el cateto opuesto a , y b =c2 a2 su

cateto adyacente, como se muestra en la siguiente figura:


c

c2 a2

a

Por ello

cos

arcsina

c

= cos =b

c=

c2 a2c

.

1.4.1 Ejercicios

1. Use el cambio de variable u g(x) para calcular:

(a)

Z

x2 expx3 dx, u x3

(b)

Z

cos3 x sen x dx, u cos x

(c)

Z

senn x cosx dx, n N, u sen x

(d)

Z

(ln |x|)5x

dx, u ln |x|

(e)

Z

sen(expx+x)(expx+1) dx, u expx+x

(f)

Z

cot x dx, u sen x

(g)

Z

3

2 + 3x

x2dx, u 2 + 3x

(h)

Z

xx2 + 3

dx, u = x2 + 3

(i)

Z

x325 x4 dx, u 25 x

4

(j)

Z

(3 tan2 xtanx+3) sec2 x dx, u tan x

(k)

Z

sec4 x tan3 x dx, u tan x

(l)

Z

sec5 x tan3 x dx, u secx

(m)

Z

x

x2 + a2dx, u x2 + a2

(n)

Z

dx

x2 + a2

2. Use el cambio de variable x g1(u) para calcular:

(a)

Z

dx36 x2 , x 6 sen u

(b)

Z

dx

(x2 9)3/2 , x 3 sec u

(c)

Z

x

(25 x2) dx, x 5 sen u

(d)

Z

x3

(x2 + 16)3/2dx, x 4 tanu

(e)

Z

tan(x/2)

sen x+ cosx+ 1dx, x 2 tan1 u,

u tan(x/2)

(f)

Z

x22x+ 3

dx, x (u2 3)/2,

u 2x+ 3

(g)

Z

dxx2 + 2x+ 5

, x 1 + 2 tanu

(h)

Z

x22x+ 3

dx, x (u 3)/2, u 2x+3

(i)

Z

dx

x2 + a2, x a tan u

(j)

Z

Ax+B

x2 + 2bx+ cdx, si d = b2 c < 0,

x u b

1.5 Integrales de potencias de sen y cos

Son integrales del tipoZ

cosm x senn x dx; m,n Q.

Veamos algunos casos.

1.5 Integrales de potencias de sen y cos 11

(i) Si n impar: n = 2k + 1, k 0, k N {0}; m Q.Como senn x = sen2k+1 x = (sen2 x)k senx = (1 cos2 x)k senx, podemos escribir

Z

cosm x senn x dx = Z

cosm x(1 cos2 x)k( senx) dx = Z

um(1 u2)k du,

usando el cambio de variable

u = cosx, du = senx dx,obtenindose la integral de un polinomio que siempre se puede resolver (an si los expo-nentes no son enteros).

(ii) Si m impar: m = 2k + 1, k 0, k N {0}; n Q.Como cosm x = cos2k+1 x = (cos2 x)k cosx = (1 sen2 x)k cosx, podemos escribir

Z

cosm x senn x dx =

Z

(1 sen2 x)k senn x cos x dx =Z

(1 u2)kun du

con el cambio de variableu = senx, du = cosx dx,

y llegamos nuevamente a la integracin de un polinomio que siempre se puede resolver(an en los casos en que los exponentes no sean enteros).

(iii) Si n = 0 y m es par: m = 2k, k N.Como

cosm x = cos2k x = (cos2 x)k =

1 + cos(2x)

2

k

, (1.4)

se llega a integrales de tipoZ

cosj(2x) dx, j = 1, . . . , k.

Para j impar, es similar al caso (ii). Para j par como k = m2 < m, utilizando (1.4) lasveces que sea necesario se consigue el resultado.

(iv) Caso m y n pares: m = 2k, n = 2j, k, j N {0}. Como

senn x = sen2j x = (sen2 x)j =

1 cos(2x)2

j

,

y por (1.4) se llega a la misma situacin que en el caso (iii).

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1.9

1. Anlogamente al caso descrito en (i), la integral:Z

sen5(ax) dx =

Z

(sen2(ax))2 sen(ax) dx

= 1a

Z

(1 cos2(ax))2(a sen(ax))dx

= 1a

Z

(1 u2)2 du

(considerando el cambio de variable u = cos(ax), du = a sen(ax) dx)


= 1a

Z

(1 u2)2 du

= 1a

Z

(1 2u2 + u4) du

= 1a

u 23u3 +

1

5u5

+C

= 1a

h

cos(ax) 23cos3(ax) +

1

5cos5(ax)

i

+ C.

2. La siguiente integral se calcula como en el caso (iv)Z

cos2(ax) sen2(ax) dx =

Z

1 + cos(2ax)

2

1 cos(2ax)2

dx

=1

4

Z

[1 cos2(2ax)] dx

=1

4

Z

sen2(2ax) dx

=1

8

Z

[1 cos(4ax)]dx

=1

8

x sen(4ax)4a

+ C.

3. Aplicando el caso (ii) se calcula la integral indefinida:Z

sen2(ax) cos3(ax) dx =

Z

sen2(ax) cos2(ax) cos(ax) dx

=

Z

sen2(ax)(1 sen2(ax)) cos(ax) dx

=

Z

sen2(ax) sen4(ax) cos(ax) dx

=1

a

Z

(u2 u4) du

(con el cambio de variable u = sen(ax), du = a cos(ax)dx)

=1

a

u3

3 u

5

5

+ C

=1

a

sen3(ax)

3 sen

5(ax)

5

+ C.

4.Z

sen92x cos3

xdxx= 2

Z

sen92 cos3 d

(con el cambio de variable del caso (ii) =x, d =

dx

2x)

= 2

Z

sen92 (1 sen2 ) cos d

= 2

Z

(u92 u 132 ) du

(con el cambio de variable u = sen , du = cos d)

= 2

2

11u

112 2

15u

152

+ C

= 4

sen112x

11 sen

152x

15

+ C.

1.6 Integrales de potencias de sec y tan 13

1.5.1 Ejercicios

Calcule:

1.

Z

5

sec4(5x) sen3(5x) dx

2.

Z

cos9(ax) sen(ax) dx

3.

Z

sen3(bx) dx

4.

Z

cos5(cx) dx

5.

Z

sen5(ax) cos5(ax) dx

6.

Z

sen4 x cos2 x dx

7.

Z

sen2(2x) cos4(2x) dx

1.6 Integrales de potencias de sec y tan

Son integrales del tipoZ

secm x tann x dx; m,n Q.Veamos algunos casos.

(i) En el caso en que m par: m = 2k, k N; n Q, comosecm x = sec2k x = sec2k2 x sec2 x = (sec2 x)k1 sec2 x = (tan2 x+ 1)k1 sec2 x,

podemos escribirZ

secm x tann x dx =

Z

(tan2 x+ 1)k1 tann x sec2 x dx

=

Z

(u2 + 1)k1un du

(con el cambio de variable u = tanx, du = sec2 c dx),

con lo cual llegamos a la integral de un polinomio (con exponentes racionales en ciertoscasos), que podemos integrar fcilmente.

(ii) En el caso de que n sea impar: n = 2k + 1, k N {o}; m Q, comosecm x tann x = secm x tan2k+1 x = secm1 x(tan2 x)k secx tanx

= secm1 x(sec2 x 1)k secx tan x,podemos escribir

Z

secm x tann x dx =

Z

um1(u2 1)k du.

Con el cambio de variable u secx, du secx tanx dx, se llega tambin en este casoa la integral de polinomios con, tal vez, exponentes racionales no enteros, que podemosintegrar fcilmente.

(iii) En el caso de que m sea impar y n par; m N, n = 2k con k N, se escribe la funcinque vamos a integrar solo en trminos de sec, ya que

tann = tan2k = (tan2)k = (sec21)k,obteniendo la suma de integrales de potencias de sec de tipo

Ij =

Z

secj x dx


con j N y j 3 para los cuales se puede usar la frmula de recurrencia siguiente,que la obtendremos en la siguiente seccin:

Ij =1

j 1

secj2 x tanx+ (j 2)Ij2

con j 3, con lo cual todo se reduce al clculo de I2 o I1 ya conocido:

I1 =

Z

secx dx = ln | secx+ tanx|+ C y I2 =Z

sec2 x dx = tanx+ C.

1.6.1 Ejercicios

Calcule:

1.

Z

tan2 x dx

2.

Z

(tanx+ cot x)2 dx

3.

Z

tan3(3x) sec4(3x) dx

4.

Z

sec4 x dx

5.

Z

tan(2x) sec(2x) dx

6.

Z

tan5(3x) dx

7.

Z

cot6(2x+ 1) dx

8.

Z

tan3 xcos x dx

9.

Z

(tan(x/4) sec(x/4))3 dx

10.

Z

tan2(3x) sec(3x) dx

11.

Z

tan4(5x) dx

12.

Z

sec4 x cot8 x dx

13.

Z

sen x

cos7 xdx

1.7 Integracin por partes

Dadas las funciones derivables G y H , recordemos que:

d[G(x)H(x)] = G(x)H(x) dx +G(x)H (x) dx.

Si ponemos u = G(x), v = H(x), tendremos que:

d(uv) = d[G(x)H(x)], du = G(x) dx, dv = H (x) dx

y, por lo tanto,d(uv) = u dv + v du.

Por ello, aplicandoR

a ambos lados se obtiene:Z

d(uv) =

Z

u dv +

Z

v du,

de donde

uv =

Z

u dv +

Z

v du,

y, finalmente,Z

u dv = uv Z

v du.

Esta frmula, que tambin puede escribirse:Z

G(x)H (x) dx = G(x)H(x) Z

H(x)G(x) dx

se llama frmula de integracin por partes. Veamos cmo se aplica en algunos ejemplos.

1.7 Integracin por partes 15

Ejemplo 1.10

1.Z

xex dx = xex Z

ex dx

con u = x, du = dx, dv = ex dx, v = ex.

Z

xex dx = xex ex + C.

2.Z

x cos x dx = ex sen xZ

ex sen x dx

con u = ex, du = ex dx, dv = cos x dx, v = sen x.

Z

x cosx dx = ex sen x

ex cosx+Z

ex cos x dx

con u = ex, du = ex dx, dv = sen x dx, v = cosx.La integral

R

ex cos x dx aparece otra vez en el miembro derecho pero puede ser despejada dela igualdad que hemos obtenido:

Z

ex cos x dx = ex(sen x+ cosx)Z

ex cosx dx.

As, finalmente:Z

ex cos x dx =1

2ex(sen x+ cos x) + C.

3.Z

sec3 x dx = sec x tan xZ

secx tan2 x dx

con u = sec x, du = secx tanx dx, dv = sec2 x dx, v = tan x. Como

sec x tan2 x = sec x(sec2 x 1) = sec3 x secx,

se tiene:Z

sec3 x dx = sec x tan xZ

sec3 x dx+

Z

sec x dx,

es decirZ

sec3 x dx =1

2

sec x tan x+

Z

secx dx

,

y comoZ

sec x dx = ln | secx+ tan x|+ C,

se tiene finalmenteZ

sec3 x dx =1

2(secx tanx+ ln | secx+ tanx|) + C.

4.Z

xn ln x dx =xn+1 ln x

n+ 1 1n+ 1

Z

xn+1dx

x

con u = ln x, du = dxx, dv = xn, v = x

n+1

n+1.

Z

xn ln x dx =xn+1 ln x

n+ 1 1

(n+ 1)2xn+1 + C =

xn+1

n+ 1

ln x+1

n+ 1

+C.


5.Z

cos x ln(sin x) dx =

Z

t ln t dt

con t = sin x, dt = cosx dx.Z

cosx ln(sin x) dx =t2

2ln t 1

2

Z

t dt

con u = ln t, du = dtt, dv = t dt, v = t

2

2.

Z

cos x ln(sin x) dx =t2

2ln t t

4

4+ C =

1

4sin2 x [2 ln(senx) 1] +C.

1.7.1 Ejercicios

Calcule, mediante integracin por partes:

1.

Z

xx+ 1 dx

2.

Z

x(3x+ 1)1/2 dx

3.

Z

ln(ax)dx

4.

Z

ln(3x+ 2) dx

5.

Z

x ln(bx) dx

6.

Z x ln x dx

7.

Z

x2 ln(x2) dx

8.

Z

tan1 x dx

9.

Z

sen1 x dx

10.

Z

x2 tan1 x dx

11.

Z

x exp(ax) dx

12.

Z

x2 exp(ax) dx

13.

Z

x3 exp(x2) dx

14.

Z

exp(ax) cos(bx) dx

15.

Z

exp(ax) sen(bx) dx

16.

Z

sen(lnx) dx

17.

Z

x cos2 x dx

18.

Z

tan1x dx

Sugerencia: use antes un cambio de variableapropiado.

19.

Z

senax+ b dx

Sugerencia: use antes un cambio de variableapropiado.

1.8 Integracin de funciones racionales

La integracin de funciones racionales se realiza generalmente por el mtodo de reduccina fracciones parciales. Cuando el denominador tiene races mltiples, la frmula de Ostro-gradski permite simplificar el clculo, reducindolo a integrales de fracciones con denomina-dores con solo races simples. Si combinamos los dos mtodos, podemos escribir directamenteel resultado con coeficientes por determinar mediante la solucin de un sistema lineal deecuaciones. Este procedimiento puede ser denominado el de Ostrogradski mejorado.

Una funcin f : D R R de la forma

f(x) =p(x)

q(x),

1.8 Integracin de funciones racionales 17

donde p y q son polinomios se denomina funcin racional. Obviamente:

Dm(f) = R {x R : q(x) = 0}.

En principio, se puede obtener la integral indefinida de cualquier funcin racional. Pro-baremos este aserto poco a poco.

1.8.1 Integracin de fracciones simples

Integracin de fracciones simples de primer grado

Caso 1 Dado a R, a la expresin 1xa le llamaremos fraccin simple de primer grado ytenemos que :

Z

dx

x a = ln |x a|+ C.

Integracin de fracciones simples de segundo grado

Dado k > 0 llamaremos fracciones elementales de segundo grado a expresiones fraccionalesde la forma

x

x2 + k2y

1

x2 + k2.

Las podemos integrar de la siguiente manera.

Caso 2 Dado k > 0: Con el cambio de variable u x2 + k2, se obtiene:Z

x

x2 + k2dx =

1

2

Z

du

u

=1

2ln |u|+ C

=1

2ln(x2 + k2) + C,

con el cambio de variable u x2 + k2.

Caso 3 Dado k > 0: Con el cambio de variable es x k tan t con t ] pi2 , pi2 [, por lo tanto:

dx k sec2 t dt y x2 + k2 k2(tan2 t+ 1) = k2 sec2 t;

se obtiene:Z

dx

x2 + k2=

Z

k sec2 t

k2 sec2 t

=1

k

Z

dt

=1

kt+ C

=1

karctan

x

k+ C.

Ahora bien, un trinomio cuadrado de la forma x2 + 2bx + c no se puede descomponer enfactores si el discriminante d = (b2 c) es menor que 0. En este caso, podemos expresar estetrinomio como la suma de dos cuadrados:

x2 + 2bx+ c = (x+ b)2 + k2


con k =c b2. Gracias a esto, el cambio de variable u x + b nos permite transformar

integrales de expresiones de la forma

Ax+B

x2 + 2bx+ c,

que llamaremos fracciones simples de segundo grado, en integrales de fracciones elementalesque acabamos de estudiar.

En efecto, puesto que

x2 + 2bx+ c u2 + k2, x u b, dx du,se obtiene:

Caso 4 Dados A, B, b y c R tales que d = b2 c < 0, poniendo k = d se obtiene:Z

Ax+ B

x2 + 2bx+ cdx

Z

A(u b) +Bu2 + k2

du

= A

Z

u

u2 + k2du+ (Ab+B)

Z

du

u2 + k2

=A

2ln(u2 + k2) +

Ab+Bk

arctanu

k+ F

A2ln(x2 + 2bx+ c) +

Ab+Bc b2 arctan

x+ bc b2 + F.

Ejemplo 1.11

Calcular

Z 5x+ 8x2 4x+ 29 dx.

Solucin. Es un ejemplo del Caso 1.8.1 con

A = 5, B = 8, b = 2, c = 29,puesto que

d = b2 c = 4 29 = 25 < 0.En este caso tenemos la frmula

Z

Ax+B

x2 + 2bx+ cdx =

A

2ln(x2 + 2bx+ c) +

Ab+Bc b2 arctan

x+ bc b2 + C,

en nuestro ejemploc b2 = 25 = 5, y

Z 5x+ 8x2 4x+ 29 dx =

52

ln(x2 4x+ 29) 25arctan

x 25

+ C.

1.8.2 El mtodo de las fracciones parciales

Sabemos que todo polinomio de grado mayor que 2 se puede expresar como el producto defactores de la forma

(x a)m, m N y/o (x2 + 2bx+ c)n, n N, con b2 c < 0.Notemos primero que para la integracin de funciones racionales basta considerar el caso enel que el grado del denominador es mayor que el del numerador. En efecto, si f = pMqN , donde


pM y qN son polinomios de grado M y N , respectivamente, si M > N podemos dividir pMpor qN y obtendremos

f =pMqN

= CMN +rKqN

,

donde el cociente CMN es un polinomio de grado M N y el residuo rK es un polinomiode grado K < N . Para integrar f basta entonces saber cmo integrar fracciones racionales,el grado de cuyo denominador es mayor que el del numerador.

Se supone entonces que

f =pMqN

, M < N.

Ahora bien, una funcin racional f = pMqN con M < N puede siempre ser escrita comola suma de fracciones parciales de primero y segundo grado. Veamos algunos casos simples(m = 1, n = 1) porque para multiplicidades mayores que 1 es ms conveniente usar el mtodode Ostrogradski que solo requiere el clculo de integrales con fracciones simples de primeroo de segundo grado.

Caso 5 Con fracciones simples de primer gradoEl integrando

f(x) =pM (x)

(x a1)(x a2) (x aN ) , con N > M,

se puede escribir:

f(x) =A1

(x a1) +A2

(x a2) + +AN

(x aN ) .

Se puede hallar A1, A2, . . . , AN expresando la suma de la derecha como una fraccin condenominador comn

(x a1)(x a2) (x aN )y al ser igual a la fraccin

pM (x)

(x a1)(x a2) (x aN ) ,

los polinomios numeradores deben ser idnticos, por lo que se pueden igualar los N coeficien-tes de los dos polinomios, puesto que el grado de ambos ser menor a N , los dos polinomiostendrn la forma

a0 + a1x+ + aN1xN1,con N coeficientes. Se obtiene as un sistema lineal de N ecuaciones con las incgnitas

A1, A2, . . . , AN .

Resuelto este sistema, para integrar f(x) basta calcular integrales consideradas en el Caso 1.

Ejemplo 1.12

Calcular

Z

4x2 9x 4x3 x2 2x dx.

Solucin. Se tiene que el denominador es:

x3 x2 2x = x(x+ 1)(x 2).Al descomponer en suma de fracciones parciales:

f(x) =4x2 9x 4x3 x2 2x


=A

x+ 1+B

x+

D

x 2=

A(x2 2x) +B(x2 x 2) +D(x2 + x)x3 x2 2x

=(A+B +D)x2 + (2AB +D)x 2B

x3 x2 2x .

Como las dos fracciones son idnticas, se identifican los numeradores, es decir, los coeficientes de x2,x y x0 deben ser iguales.

Coeficientes de:

8

M,

se puede escribir:

f(x) =B1x+D1

x2 + 2b1x+ c1+

B2x+D2x2 + 2b2x+ c2

+ + BLx+DLx2 + 2bLx+ cL

.

Se calculan los coeficientes B1, B2, . . . , BL y D1, D2, . . . , DL de manera anloga al caso pre-cedente. Hecho esto, integrar f(x) se reduce al clculo de integrales estudiadas en el Caso4.

Ejemplo 1.13

Calcular

Z

f(x) dx si f(x) =x3 + 7x2 + 40

(x2 2x+ 2)(x2 + 6x+ 13) .

Solucin. Podemos expresar f(x) como la siguiente suma de fracciones parciales:

f(x) =Ax+B

x2 2x+ 2 +Dx+ E

x2 + 6x+ 13

=(Ax+B)(x2 + 6x+ 13) + (Dx+ E)(x2 2x+ 2)

(x2 2x+ 2)(x2 + 6x+ 13)

=(A+D)x3 + (6A+B 2D +E)x2 + (13A+ 6B + 2D 2E)x+ (13B + 2E)

(x2 2x+ 2)(x2 + 6x+ 13) .


Identificando los coeficientes de los numeradores de f(x) y los de la ltima expresin, obtenemos elsiguiente sistema lineal de 4 ecuaciones para calcular las 4 incgnitas A, B, D y E:

Coeficientes de:

8

>

>

>

:

x3 : 1 = A+D

x2 : 7 = 6A+B 2D + Ex : 0 = 13A+ 6B + 2D 2Ex0 : 40 = 13B + 2E

.

Al Resolver este sistema obtenemos:

A = 0, B = 2, D = 1, E = 7.

Entonces

Z

f(x) dx es la suma de dos integrales estudiadas en el Caso 4:

Z

f(x) dx =

Z

2

x2 2x+ 2 dx+Z

x+ 7

x2 + 6x+ 13dx

= 2arctan(x 1) + 12ln(x2 + 6x+ 13) + 2 arctan

x+ 3

2+ C.

Caso 7 Con fracciones simples de primero y de segundo gradoEl integrando

f(x) =pM (x)

(x a1)(x a2) (x aK)(x2 + 2b1x+ c1) (x2 + 2bLx+ cL)con

M < K + 2L = N y b2k ck < 0 para k {1, . . . , L},se puede escribir:

f(x) =A1

x a1 + AK

x aK +B1x+D1

x2 + 2b1x+ c1+ + BLx+DL

x2 + 2bLx+ cL.

Calculados de manera anloga a los casos precedentes los coeficientes

A1, . . . , AK , B1, . . . , BL, C1, . . . , CL,

la integracin de f(x) se reduce al clculo de integrales de tipo similar a las estudiadas enlos Casos 1 y 4.

Ejemplo 1.14

Calcular

Z

f(x) dx; con: f(x) =2x3 6x2 4x 8

x4 8x .

Solucin. Puesto quex4 8x = x(x 2)(x2 + 2x+ 4)

f(x) se puede escribir como la siguiente suma de fracciones parciales:

f(x) =A

x+

B

x 2 +Dx+ E

x2 + 2x+ 4

=A(x3 8) +Bx(x2 + 2x+ 4) + (Dx+ E)(x2 2x)

x4 8x=

(A+B +D)x3 + (2B 2D + E)x2 + (4B 2E)x+ (8A)x4 8x .


Identificando los numeradores de esta ltima fraccin y de f(x) obtenemos el siguiente sistema linealde 4 ecuaciones para hallar las 4 incgnitas A, B, D y E:

Coeficientes de:

8

>

>

>

:

x3 : 2 = A+B +D

x2 : 6 = 2B 2D + Ex : 4 = 4B 2Ex0 : 8 = 8A

.

Resolviendo este sistema obtenemos

A = 1, B = 1, D = 2, E = 0.

Entonces

Z

f(x) dx se calcula como la suma de integrales estudiadas en los Casos 1 y 4:

Z

f(x) dx =

Z

dx

xZ

dx

x 2 + 2Z

x

x2 + 2x+ 4dx

= ln |x| ln |x 2|+ ln(x2 + 2x+ 4) 23arctan

x+ 13

+ C

= ln

x(x2 + 2x+ 4)

x 2

23arctan

x+ 13

+C.

Caso 8 El Mtodo de Ostrogradski

Se usa para calcularZ

PMQN

dx, donde P y Q son polinomios de grado M y N , respecti-

vamente, con M < N , cuando Q tiene races mltiples reales o complejas, es decir factoresde tipo

(x+ a)m con m 2, o (x2 + 2bx+ c)n con b2 c < 0 y n 2.

En este caso si Q1 es el mximo comn divisor de Q y Q, es decir el producto de factoresde tipo (x+ a)m1 o (x2 +2bx+ c)n1, respectivamente, y si Q2 = QQ1 (o sea el producto defactores tipo (x+ a) o (x2 + 2bx+ c), respectivamente), segn Ostrogradski se tiene que

Z

P (x)

Q(x)dx =

X(x)

Q1(x)+

Z

Y (x)

Q2(x)dx, (1.5)

donde X e Y son polinomios de un grado menor al de Q1 y Q2, respectivamente.Los coeficientes de X e Y se determinan derivando (1.5), escribiendo el segundo miembro

con denominador comn (que es Q obviamente), e identificando los numeradores.

Ejemplo 1.15

Z

x8 + x5 + 1

(x3 + 1)3dx =

Ax5 +Bx4 +Cx3 +Dx2 + Ex+ F

(x3 + 1)2+

Z

Gx2 +Hx+ I

x3 + 1dx.

Solucin. Derivando y luego de escribir el miembro de la derecha con su denominador comn, setiene

x8 + x5 + 1

(x3 + 1)3=

(5Ax4 + 4Bx3 + 3Cx2 + 2Dx+ E)(x3 + 1)

(x3 + 1)3

1.9 El mtodo de Ostrogradski mejorado 23

6x2(Ax5 +Bx4 + Cx3 +Dx2 + Ex+ F )

(x3 + 1)3

+(Gx2 +Hx+ I)(x3 + 1)2

(x3 + 1)3.

Igualando los coeficientes de los numeradores se obtiene un sistema de 9 ecuaciones y 9 incgnitaspara calcular los coeficientes A,B, . . . , I .

La integral de la derecha se resuelve luego por los mtodos antes descritos de fracciones parciales.

1.8.3 Ejercicios

Calcule usando, de ser necesario, el mtodo de fracciones parciales o la frmula de Ostrogradski.

1.

Z

dx

2x+ 1

2.

Z

dx

(2x+ 3)5

3.

Z

dx

(2x+ 1)(2x+ 3)

4.

Z

dx

x(x+ 1)(x 2)

5.

Z

2x

(x+ 1)(x2 + 2x+ 5)dx

6.

Z

x5

(x 1)(x2 + 4x+ 8) dx

7.

Z

x6

(x2 + x+ 1)(x2 x+ 1) dx

8.

Z

dx

x3(x+ 1)2

9.

Z

dx

x2(x2 2x+ 10)

10.

Z

x+ 2

x3(x2 + 1)dx

11.

Z

2x5 + x4 + 16x3 + 8x2 + 34x+ 17

(x2 + 4)3dx

12.

Z

dx

x4 + 8x2 + 16

13.

Z

x+ 1

x5 + 4x4 + 5x3dx

14.

Z

x3

x4 81 dx

15.

Z

x4

x3 + 1dx

16.

Z

x5

x3 1 dx

1.9 El mtodo de Ostrogradski mejorado

Se aplica en los mismos casos que el mtodo de Ostrogradski, es decir cuando una o msraces, reales o complejas del denominador Q(x) es o son mltiples. Notemos que en la frmulade Ostrogradski (1.5) el denominador Q2(x) solo puede tener factores simples de tipo (x+a)o (x2 + 2bx+ c) con b2 c < 0, por lo que el clculo de

Z

Y (x)

Q2(x)dx

conduce a integrales de tipoZ

dx

x+ ay/o

Z

Ax+B

x2 + 2bx+ cdx

que han sido ya estudiados en las Casos 1 y 4, luego de tener que aplicar aR Y (x)

Q2(x)dx el

mtodo de fracciones parciales. Esto exige el clculo de nuevos coeficientes en un nmeroigual al del grado de Q2(x).

En vez de eso proponemos escribir de inmediato, usando las frmulas dadas en los Casos1 y 4 a las integrales obtenidas de las fracciones parciales de Y (x)Q2(x) , con coeficientes que secalcularan simultneamente a los del polinomio X(x).

Vemoslo en algunos ejemplos.


Ejemplo 1.16

Segn la frmula de Ostrogradski, con

X(x) = A0 +A1x+ +An2xn2

se tiene:Z

Pn1(x)(x a)n dx =

A0 +A1x+ + An2xn2(x+ a)n1

+

Z

An1x a dx.

Pero podemos escribir directamenteZ

Pn1(x)(x a)n dx =

A0 + A1x+ + An2xn2(x a)n1 + An1 ln |x a|+C

=X(x)

(x a)n1 +An1 ln |x a|+ C.

Derivando y escribiendo todo con el mismo denominador comn (x a)n se obtiene la identidad

Pn1(x) (x a)X (x) (n 1)X(x) + An1(x a)n1

que nos permitir hallar los n coeficientes A0, A1, . . . , An1.

Ejemplo 1.17

En vez deZ

P2n1(x)(x2 + k2)n

dx =X(x)

(x2 + k2)n1+

Z

Ax+B

x2 + k2dx,

conX(x) = A0 + A1x+ + A2n3x2n3

podemos escribir directamenteZ

P2n1(x)(x2 + k2)n

dx =X(x)

(x2 + k2)n1+ A2n2 ln(x

2 + k2) + A2n1 arctanx

k

+ C.

Derivando y escribiendo todo con el mismo denominador comn (x2 + k2)n, se obtiene la identidad

P2n1(x) = (x2 + k2)X (x) 2(n 1)xX (x) + 2A2n2x(x2 + k2)n1 + kA2n1(x2 + k2)n1,

que nos permitir calcular directamente A0, A1, . . . , A2n1 y escribir la respuesta!

Ejemplo 1.18

Teniendo en cuenta que (x4 1) = (x+ 1)(x 1)(x2 + 1)Z

dx

(x4 1)3 =Ax7 +Bx6 + Cx5 +Dx4 +Ex3 + Fx2 +Gx+H

(x4 1)2+ I ln |x+ 1|+ J ln |x 1|+K ln |x2 + 1|+ L arctan x+M,

de donde

1 (x4 1)(7Ax6 + 6Bx5 + 5Cx4 + 4Dx3 + 3Ex2 + 2Fx+G)+ (2)(4x3)(Ax7 +Bx6 + Cx5 +Dx4 + Ex3 + Fx2 +Gx+H)+ I(x 1)(x2 + 1)(x4 1)2 + J(x+ 1)(x2 + 1)(x4 1)2

+ 2Kx(x2 1)(x4 1)2 + L(x2 1)(x4 1)2.Resolviendo el sistema lineal de ecuaciones correspondientes se obtienen los coeficientes

A = 0, B = 0, C =7

32, D = E = F = 0,


G = 1132, H = 0, I = J = 21

128, K = 0, L = 21

64,

por lo que

Z

dx

(x4 1)3 =7x5 11x32(x4 1)2 +

21

128ln

x 1x+ 1

2164

arctan x+ C.

Podemos aplicar el mtodo de Ostrogradski mejorado (MOM) desde el inicio, esto es, sinusar fracciones parciales para las fracciones cuyos denominadores tienen solo factores simplessean estos de primer grado, de segundo grado o ambos. As tenemos los siguientes casos.

1. Denominadores con factores simples de primer grado

Sean K 1, a1, . . . , ak R, PK1 un polinomio de grado menor que K.Z

PK1(x) dx(x+ a1)(x + a2) (x+ aK) =

KX

k=1

Ck ln |x+ ak|+ C,

donde C1, . . . , Ck se determinarn derivando la expresin anterior y escribiendo la ecua-cin obtenida con el mismo denominador comn

QKk=1(x + ak) en ambos miembros e

identificando los numeradores.

2. Denominadores con factores simples de segundo grado

Sean N 2, bn, cn R, 1 n N tales que b2n cn < 0 para todo n, P2N1 unpolinomio de grado menor que 2N .

Entonces

Z

P2N1(x) dx(x2 + 2b1x+ c1)(x2 + 2b2x+ c2) (x2 + 2bNx+ cN ) =

NX

n=1

AN ln(x2 + 2bnx+ cn)

+NX

n=1

BN arctanx+ bn

cn b2n+ C.

3. Denominadores con factores simples de primero y segundo grado

Sean K 1, N 1, an, bb, cn R, 1 k K, 1 n N tales que b2n cn < 0 paratodo n {1, . . .N} y sea P un polinomio de grado menor que K + 2N . Entonces:Z

P (x) dxQKk=1(x + ak)

QNn=1(x

2 + 2bnx+ cn)=

KX

k=1

Ck ln |x+ ak|+NX

n=1

Bn arctanx+ bn

cn b2n

+NX

n=1

An ln |x2 + 2bnx+ cn|+ C,

donde el clculo de Ck, 1 k K y de An y Bn, 1 n N , es anlogo.

4. Caso general

Si el caso precedente lo modificamos admitiendo factores mltiples, digamos de mul-tiplicidad Mk 1 para los factores (x + ak) y Nn para los factores cuadrticos dela forma (x2 + 2bnx + cn), se tendra, si P es un polinomio de grado menor que


PKk=1Mk + 2

PNn=1Nn y Q1 es el mximo comn divisor de Q y Q

, donde la fun-cin a integrar es f = PQ , lo que quiere decir que

Q1(x) =KY

k=1

(x+ ak)Mk1

NY

n=1

(x2 + 2bnx+ cn)Nn1.

EntoncesZ

f(x) dx =

Z

P (x) dxQK

k=1(x+ ak)Mk

QNn=1(x

2 + 2bnx+ cn)Nn

=X(x)

Q1(x)+

NX

n=1

An ln(x2 + 2bnx+ cn) +

NX

n=1

Bn arctanx+ bn

cn b2n

+KX

k=1

Ck ln |x+ ak|+ C,

donde X es un polinomio de grado igual al grado de Q1 menos 1, cuyos coeficientes, aligual que los An, Bn y Ck se calcularn derivando la ltima igualdad y escribiendo laobtenida con mismo denominador comn Q en ambos miembros, para luego identificarlos numeradores de estos dos quebrados.

Ejemplo 1.19

Volvamos a calcular

Z

f(x) dx con

f(x) =2x3 6x2 4x 8

x4 8xdel Ejemplo del Caso 7 donde aplicamos el mtodo de fracciones parciales. Esta vez calculemos laintegral con el mtodo de Ostrogradski mejorado.

Buscamos el resultado de la forma:Z

f(x) dx = A ln |x|+B ln |x 2|+D ln(x2 + 2x+ 4) + E arctan x+ 13

+ C.

Derivando ambos miembros de esta igualdad obtenemos la identidad

f(x) =A

x+

B

x 2 +(2x+ 2)D

x2 + 2x+ 4+

13E

1 +

x+13

2.

Como x4 8x es el denominador comn de la ltima expresin obtenemos

f(x) =A(x3 8) +Bx(x2 + 2x+ 4) + [2D(x+ 1) +3E](x2 2x)

x4 8x .

Identificando los coeficientes de los numeradores de estas fracciones obtenemos el siguiente sistemalineal de 4 ecuaciones para el clculo de A, B, D y E:

Coeficientes de:

8

>

>

>

:

x3 : 2 = A+B + 2D

x2 : 6 = 2B 2D +3Ex : 4 = 4B 4D 23Ex0 : 8 = 8A

.

Resolvemos este sistema y obtenemos que

A = 1, B = 1, D = 1, E = 23,


por lo cualZ

f(x) dx = ln |x| ln |x 2|+ ln(x2 + 2x+ 4) 23arctan

x+ 13

+ C.

Ejemplo 1.20

Calculemos

Z

f(x) dx con

f(x) =1

(x+ 1)(x2 + 2x+ 5).

Solucin. En primer lugar, si tenemos que:

f(x) =A

x+ 1+B

2x+ 2

x2 + 2x+ 5+ C

12

1 +

x+12

2,

entonces:

f(x) =A(x2 + 2x+ 5) + (x+ 1)[B(2x+ 2) + 2C]

(x+ 1)(x2 + 2x+ 5).

Obtenemos, entonces, el siguiente sistema lineal de 3 ecuaciones para el clculo de A, B y C:

Coeficientes de:

8

0 > 0 tal que h : 0 < |h| < |F (h) L| < .

Anlogamente:Z b

af(x) dx puede ser aproximado con la precisin que se desee por las sumas de

RiemannnX

k=1

f(xk)xk, para lo cual basta tomar P suficientemente pequeo.

Esto se puede escribir

Z b

a

f(x) dx = lmP0

nX

k=1

f(xk)xk > 0 > 0 tal que P P :

P <

nX

k=1

f(xk)xk Z b

af(x) dx

< .

En este caso f es Riemann-integrable en [a, b].En el ejemplo introductorio, que resuelve el problema de Arqumedes de la cuadratura de

la parbola,R 11 f(x) dx, con f(x) = 1 x2, es el rea buscada, en este caso 43 .

Usaremos el concepto de integral definida para resolver mltiples problemas de geometra,fsica, economa, etc.

34 La integral definida

En el ejemplo introductorio tendremos entonces que el rea buscada A es

A =

Z 1

1(1 x2) dx = 4

3.

Es decir que si ponemos f(x) = 1 x2, f es integrable en [1, 1] y su integral es 43 .La funcin f es un polinomio de segundo grado. Se puede probar que todo polinomio es

Riemann-integrable en cualquier intervalo [a, b]. Es ms, aunque no lo podemos demostraren este libro, vamos a tener en cuenta el siguiente resultado:

Teorema 2.1Sea f : [a, b] R una funcin real definida en un intervalo [a, b]. Entonces f es Riemann-integrable en [a, b] si se cumple una de las siguientes propiedades:

1. f es continua en [a, b].

2. f es montona en [a, b].

3. f es acotada en [a, b] y es continua en [a, b], salvo en un nmero finito de puntos.

Nota: Hemos definido antes lo que es una funcin montona y una funcin acotada; perorecordemos estas definiciones.

1. f es montona en [a, b] si f :o es no decreciente: para todo x1, x2 R

a x1 < x2 b f(x1) f(x2).

o es no creciente: para todo x1, x2 R

a x1 < x2 b f(x1) f(x2).

2. f es acotada en [a, b] si

existe R > 0 tal que: para todox [a, b], |f(x)| < R.

O, lo que es lo mismo, si

existen c1 < c2 tales que: para todo x [a, b], c1 < f(x) < c2.

Nota: Si se tiene una funcin f : [a, b] R y se quiere averiguar si es Riemann-integrableen [a, b], el uso de la definicin es en extremo complejo. Si por el contrario, ya se conoce que fes integrable, por cumplir alguna de las conocidas propiedades que son condiciones suficientespara ello, el clculo de

R ba f(x) dx se lo puede hacer tomando una sucesin de particiones Pn,

n 1, donde los subintervalos Ik = [xk1, xk] son de igual longitud. Tales particiones sellaman particiones homogneas y, en este caso,

xk = a+ kh, 0 k n, xk = h = b an

,

yPn 0 si y solo si n +.

Los valores xk se pueden tomar de modo que los clculos sean ms simples. Ilustremos estocon un ejemplo.

2.2 Definicin de integral definida 35

Ejemplo 2.21

Clculo deR 1

ox2 dx.

Solucin. Aqu, para n 1,

h = xk =1

n, xk = k

1

n, 0 < k < n.

Si ponemos f(x) = x2, f es creciente en el intervalo [0, 1] considerado, por lo que

mnxk1xxk

f(x) = f(xk1) =(k 1)2

n2y max

xk1xxkf(x) = f(xk) =

k2

n2.

tomando para 1 k n, xk = xk1, se tendr entonces que las sumas de Riemann tendrn elmnimo valor posible, mientras que si xk = xk, su valor ser el mximo posible. Realicemos losclculos siguientes. Pongamos :

Sn =

nX

k=1

f(xk1)xk =1

n3

nX

k=1

(k 1)2 = 1n3

n1X

k=1

k2,

Sn =

nX

k=1

f(xk)xk =1

n3

nX

k=1

k2.

Tendremos que para todo P = (x1, . . . , xn),

Sn nX

k=1

f(xk)xk Sn.

Sabemos quenX

k=1

k2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6,

por lo cual

n1X

k=1

k2 =(n 1)((n 1) + 1)(2(n 1) + 1)

6=

n1X

k=1

k2 =(n 1)n(2n 1)

6

Con las dos sumas anteriores hallamos que

Sn =(n 1)(2n 1)

6n2, Sn =

(n+ 1)(2n+ 1)

6n2.

Como para todo P = (x0, x1, . . . , xn)

Sn nX

k=1

f(xk)xk Sn,

y para las particiones homogneas

P 0 h 0 n,

como

lmn

Sn = lmn

Sn =1

3,

tendremos:Z 1

0

x2 dx =1

3.


La utilizacin de este procedimiento ilustra el hecho de que no importan los valores dexk que se tomen, pero tambin vemos que hacen falta frmulas que simplifiquen el clculode sumas de la forma

nX

k=1

f

a+ kb an

.

Si f es un polinomio de grado m, los clculos exigen conocer el valor de sumas de tipoP

k=1 km. Se conocen frmulas para m = 1, 2, 3, 4, . . . pero no mayores que 13.

El mtodo indicado es pues interesante pero no muy til para polinomios de grado mayory peor para funciones f arbitrarias, an en el caso de funciones muy conocidas y estudiadas,como son las funciones trigonomtricas, exponenciales, etc.

La utilidad prctica del concepto de integral definida sera limitada sin el descubrimientode un mtodo de clculo admirable por su simplicidad y amplitud que, no en vano, se loconoce como el teorema fundamental del clculo.

Antes de abordarlo, establezcamos algunas propiedades importantes de la integral defini-da. Previamente recordemos algo ms sobre la notacin de sumatorias y sus propiedades.

2.3 Sumatorias

Si estn dados, para n 1, n nmeros a1, a2, . . . , an, en vez de escribir

a1 + a2 + + an,

se suele escribirnX

k=1

ak,

que se lee sumatoria de ak, para k entre 1 y n. En general, si 1 m nnX

k=m

ak = am + am+1 + + an1 + an.

Las conocidas propiedades de la suma pueden entonces escribirse as:

(1)nX

k=1

ak = a1 + a2 + + an (definicin)

(2)nX

k=1

(ak) = nX

k=1

ak; R (distributiva)

(3)nX

k=1

(ak + bk) =nX

k=1

ak +nX

k=1

bk (aditiva)

(4)nX

k=1

(ak + bk) = nX

k=1

ak + nX

k=1

bk (lineal)

(5) Si para todo k {1, 2, . . . , n}, ak 0, entoncesnX

k=1

ak 0.

(6) Si para todo k {1, 2, . . . , n}, ak bk, entoncesnX

k=1

ak nX

k=1

bk.

2.3 Sumatorias 37

(7)

nX

k=1

ak

nX

k=1

|ak|.

(8)nX

k=1

ak =mX

k=1

ak +nX

k=m+1

ak.

(9)nX

k=m

ak =

n+pX

j=m+p

ajp. (cambio de variable)

Ejemplo 2.22

1.

5X

k=1

(2k 1) = (2 1 1) + (2 2 1) + (2 3 1) + (2 4 1) + (2 5 1)

= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.

2.6X

k=1

= + + + + + = 6. En generalnX

k=1

= n.

3. S(1)n =nX

k=1

k = 1 + 2 + + n = n(n+ 1)2

.

En efecto: S(1)n = 1+ 2+ + (n 1) + n. O tambin: S(1)n = n+ (n 1) + +2+ 1. Sumandolos respectivos miembros de las dos igualdades anteriores se obtiene:

2S(1)n = (n+ 1) + (n+ 1) + + (n+ 1) = n(n+ 1),

lo que conduce al resultado. ste tambin se puede probar mediante el mtodo induccin mate-mtica.

4. Probemos por induccin que S(2)n =nX

k=1

k2 = 12 + 22 + + (n 1)2 + n2 = F (n) para n 1,

donde F (n) =n(n+ 1)(2n+ 1)

6. En efecto, probemos que la igualdad es vlida para n = 1:

S(2)1 =

1X

k=1

k2 = 12 = 1. Por otro lado, F (1) =1(1 + 1)(2 1 + 1)

6= 1.

Probemos ahora que para todo n 1 si la igualdad es verdadera para n, tambin es verdaderapara n+ 1:

S(2)n+1 =

n+1X

k=1

k2 =

nX

k=1

k2 + (n+ 1)2 = F (n) + (n+ 1)2

=n(n+ 1)(2n+ 1)

6+ (n+ 1)2 =

(n+ 1)[n(2n + 1) + 6(n+ 1)]

6

=(n+ 1)(2n2 + 7n+ 6)

6=

(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3)

6.

Por otro lado, tenemos que

F (n+ 1) =(n+ 1)[(n+ 1) + 1][2(n+ 1) + 1]

6=

(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3)

6.

Por lo tanto, concluimos que F (n+ 1) = S(2)n+1.


5. Anlogamente se prueba que: S(3)n =nX

k=1

k3 =n2(n+ 1)2

4, y que

S(4)n =

nX

k=1

k4 =n(n+ 1)(6n3 + 9n2 + n 1)

30.

2.3.1 Ejercicios

1. Calcule los siguientes sumatorios:

(a)58X

k=23

(5k + 2k2)

(b)17X

k=3

(1 + 2k + 4k3 + 3k4)

(c)15X

k=10(k2 + k4)

(d)25X

n=5

(1 + 2n+ 6n2)

(e)NX

k=1

(k2 + k + 1)2

(f)100X

m=1

1

m(m+ 1)(m+ 2)

Sugerencia: descomponer cada binomio ensus fracciones parciales:

1

m(m+ 1)(m+ 2)=

1/2

m 1m+ 1

+1/2

m+ 2.

2. Escriba con la notacin de sumatoria las siguientes expresiones:

(a) 42 + 62 + 82 + 102 + + 202(b) 1 + 3 + 5 + 7 + + 251

(c) 1 + 5 + 9 + 13 + + 101(d) 1 2! + 3! 4! + + 99! 100!

2.4 Propiedades de la integral definida

Hemos definido, para a < b y f : [a, b] R,Z b

a

f(x) dx = lmP0

nX

k=1

f(xk)xk,

si el lmite existe, donde P = {x0, x1, . . . , xn} son particiones de [a, b]; es decir, se verificaque a = x0 < x1 < . . . < xn1 < xn = b, y P = (x1, . . . , xn) son particiones asociadas a P ,es decir que para todo k {1, . . . n}, xk [xk1, xk].

En el caso de que a = b, se defineZ a

a

f(x) dx = 0

y, tambin, se define:Z a

b

f(x) dx = Z b

a

f(x) dx.

Las propiedades se resumen en los siguientes dos teoremas:

Teorema 2.2Sean f : [a, b] R y g : [a, b] R dos funciones Riemann-integrables en [a, b] y , R.Entonces

2.4 Propiedades de la integral definida 39

1.Z b

a dx = (b a).

2. f es Riemann-integrable en [a, b] yZ b

a(f)(x) dx =

Z b

af(x) dx =

Z b

af(x) dx. (homogeneidad)

3. f + g es Riemann-integrable en [a, b] yZ b

a(f + g)(x) dx =

Z b

a[f(x) + g(x)] dx =

Z b

af(x) dx+

Z b

ag(x) dx.

(aditividad respecto a funciones)

4. f + g es Riemann-integrable en [a, b] yZ b

a(f + g)(x) dx =

Z b

a[f(x) + g(x)] dx =

Z b

af(x) dx+

Z b

ag(x) dx.

(linealidad de la integral definida)

Teorema 2.3Sean f : [a, b] R y g : [a, b] R dos funciones Riemann-integrables en [a, b], a1, b1,c1 [a, b]. Entonces

1. f es integrable en cualquier intervalo de extremos en {a1, b1, c1}. AdemsZ c1

a1

f(x) dx =

Z b1

a1

f(x) dx+

Z c1

b1

f(x) dx. (aditividad respecto a intervalos)

2. Si para todo x [a, b] f(x) g(x), entoncesZ b

af(x) dx

Z b

ag(x) dx. (monotona de

la integral)

3. Si |f | es integrable, entonces f tambin lo es y

Z b

af(x) dx

Z b

a|f(x)| dx.

Teorema 2.4 (Integral nula)Se tiene que:

1. Si : [a, b] R es la funcin nula, es decir si (x) = 0 para todo x [a, b], entoncesZ b

a(x) dx = 0.

2. Si f : [a, b] R es continua, y si para todo x [a, b], f(x) 0, entoncesZ b

af(x) dx = 0 f = .


Demostracin.

1. Es obvio porque las sumas de Riemann sern todas nulas.

2. Supongamos queR b

af(x) dx = 0. Basta probar que f(x) = 0 para todo x [a, b]. Por el

absurdo. Supongamos que existe x0 [a, b] tal que f(x0) > 0. Hay tres casos: (i) x0 ]a, b[,(ii) x0 = a, (iii) x0 = b.

Caso (i) Como f es continua en x0,

> 0 > 0 tal que ]x0 , x0 + [ [a, b] y |x x0| < |f(x) f(x0)| < .

Tomando = f(x0)2

> 0, se tiene que

a < x0 < x < x0 + < b f(x0)2

< f(x) < 3f(x0)

2.

Si ponemos

g(x) =

f(x0)2

si x0 < x < x0 + 0 si x / ]x0 , x0 + [

se tiene entonces que para todo x [a, b], g(x) f(x). EntoncesZ b

a

g(x)dx Z b

a

f(x) dx

peroZ b

a

g(x)dx =

Z x0

a

0 dx+

Z x0+

x0

f(x0)

2dx+

Z b

x0+

0 dx = f(x0)

y por hiptesisR b

af(x) dx = 0, por lo que

0 < f(x0) 0,lo cual es absurdo.

Casos (ii) y (iii): Para estos dos casos se obtiene anlogamente 0 0 0 > 0 tal que x0 < x < x0 + 0(0) b |f(x) f(x0)| < 0.

Es decir:x0 < x < x0 + 0 f(x0) 0 < f(x) < f(x0) + 0.

Probemos que

(i) f(x0) = lmh0+

fm(h),

(ii) f(x0) = lmh0+

fM (h).

(i) Sea > 0. Debemos hallar > 0 tal que

0 < h < |fm(h) f(x0)| < .

Basta tomar = 0(). En efecto, si 0 < h < 0(), como f es continua en [x0, x0 + h], existexm [x0, x0 + h] tal que

f(xm) = mnx0xx0+h

f(x) = fm(h).

Pero entonces |xm x0| < h < 0(), por lo que

|fm(a) f(x0)| = |f(xm) f(x0)| < .


(ii) Es idntica la demostracin.

Nota: Anlogamente se demuestra que si f es continua en [a, b] y si x0 ]a, b] y parah ]0, x0 a] ponemos

fm(h) = mnx0hxx0

f(x), fM (h) = maxx0hxx0

f(x),

entonceslmh0

fm(h) = lmh0

fM (h) = f(x0).

Con ayuda de esta propiedad de las funciones continuas demostraremos el Teorema Fun-damental del Clculo para estas funciones.

2.6 El teorema fundamental del clculo

Hemos mencionado ya que calcular la integral definida de una funcin dada, salvo en el casode los polinomios de grado no muy elevado, es prcticamente imposible si solo se utiliza ladefinicin.

El Teorema Fundamental del Clculo que presentaremos ahora nos provee de una he-rramienta maravillosa para dicho clculo.

Consideramos una funcin continua f : [a, b] R. Podemos definir A : [a, b] R por

A(x) =

Z x

af(t) dt.

Para visualizar esta funcin, tengamos en cuenta que cuando para todo t [a, b], f(t) 0,A(x) es el rea comprendida entre la grfica de f y las rectas t = a, t = x y el eje de lasabscisas.

f

A(x)

a x b t

El Teorema Fundamental del Clculo afirma que A es una primitiva de f ! Es decir queA = f .

Teorema 2.5 (Teorema Fundamental del Clculo I (TFC1))Si f : [a, b] R es continua y si A(x) = R xa f(t) dt, entonces A = f . Es decir:

A+(a) = f(a), A(b) = f(b)

y para todo x ]a, b[A(x) = f(x).

Demostracin. Basta probar que:

1. para todo x [a, b[, A+(x) = f(x), y2. para todo x ]a, b], A(x) = f(x),

donde A+(x) es la derivada de A en x por la derecha y A(x) es la derivada de A en x por la

izquierda. Hagamos las demostraciones.

2.6 El teorema fundamental del clculo 43

1. Sea x [a, b[. Debemos probar que

f(x) = lmh0+

A(x+ h) A(x)h

.

Sea h ]0, b x].

A(x+ h) =

Z x+h

a

f(t) dt

=

Z x

a

f(t) dt+

Z x+h

x

f(t) dt

= A(x) +

Z x+h

x

f(t) dt.

Por lo tanto:

A(x+ h) A(x) =Z x+h

x

f(t) dt.

Seanfm(h) = mn

xtx+hf(t), fM (h) = max

xtx+hf(t)

(existen porque f es continua en [x, x+ h]).Evidentemente

fm(h) f(t) fM (h) para todo t [x, x+ h].Integrando en [x, x+ h] se obtiene

Z x+h

x

fm(h) dt Z x+h

x

f(t) dt Z x+h

x

fM (h) dt,

de dondehfm(h) A(x+ h) A(x) hfM (h).

Dividiendo para h:

fm(h) A(x+ h) A(x)h

fM (h).Estas desigualdades son vlidas para todo h ]0, b x]. Tomamos lm

h0+y gracias al lema 2.1

de la pgina 41, tenemos que:

lmh0+

fm(h) = lmh0+

fM (h) = f(x),

de dondeA+(x) = f(x) para todo x [a, b[.

2. Anlogamente probamos que

A(x) = f(x) para todo x ]a, b],

de donde A+(a) = f(a), A(b) = f(b) y

A(x) = f(x) para todo x ]a, b[.

El teorema anterior tambin suele escribirse: si f es continua en un intervalo I, entonces

d

dt

Z x

af(t) dt = f(x) para todo x I.

El siguiente, equivalente, provee un mtodo de clculo de la integral definida.


Teorema 2.6 (Teorema Fundamental del Clculo II (TFC2))Si f : [a, b] R es continua y si F : [a, b] R es una primitiva de f (es decir, F = f ),entonces

Z b

af(x) dx = F (b) F (a).

Demostracin. Como ya probamos el TFC1, basta probar el siguiente teorema.

Teorema 2.7 (Equivalencia de los Teoremas Fundamentales del Clculo)

TFC1 TFC2.

Demostracin. Supongamos que TFC1 es verdadero. Vamos a probar que TFC2 tambin lo es.Por el TFC1 sabemos que, si A(x) =

R x

af(t) dt, A(x) = f(x) para todo x [a, b], tomando en

a y en b las correspondientes derivadas laterales. Como tambin F (x) = f(x) para todo x [a, b],por el teorema de la unicidad de las primitivas salvo una constante, existe C R tal que paratodo x [a, b], A(x) = F (x) + C. Con x = a tendremos entonces A(a) = F (a) + C y, comoA(a) =

R a

af(t) dt = 0, se obtiene que C = F (a). Con x = b se obtiene entonces A(b) = F (b) + C,

por lo queZ b

a

f(t) dt = F (b) F (a).

Ahora supongamos vlido el TFC2. Probemos que lo es tambin TFC1; es decir, si F = f y sia, x I , a < x, se tiene

A(x) =

Z x

a

f(t) dt = F (x) F (a).

Derivando obtenemosA(x) = F (x) 0 = f(x).

Se suele escribir, si F = fZ b

a

f(x) dx = F (b) F (a) = F (x)

b

a.

Teorema 2.8Si F [a, b] = {F : [a, b] R}, el conjunto de funciones, dotado de la suma y multiplicacin porun nmero, las aplicaciones

I : F [a, b] : R, f 7 I(f) =Z b

af(t) dt,

yJ : F [a, b] : R, F 7 J(F ) = F (b) F (a)

son lineales.

Demostracin. Tenemos que:

1. I(f + g) = I(f) + I(g).

2. J(F + G) = J(F ) + J(G).

2.6 El teorema fundamental del clculo 45

En la introduccin del concepto de integral definida logramos calcular, no sin esfuerzo,

I1 =

Z 1

1(1 x2) dx = 4

3,

I2 =

Z 1

0

x2 dx =1

3.

Si ponemosf1(x) = 1 x2, f2(x) = x2,

F1(x) = x x3

3, F2(x) =

x3

3,

por el TFC2 tendremos

I1 =

Z 1

1(1 x2) dx =

x x3

3

1

1=

1 13

(1) 13

=4

3,

I2 =

Z 1

0

x2 dx =x3

3

1

0

=1

3 0 = 1

3.

Como (senx) = cosx, tendremos, por ejemplo,

Z

pi2

pi6

cosx dx = senx

pi2

pi6

= sen

2 sen

6= 1 1

2=

1

2.

Utilizando la definicin con particiones homogneas del intervalo [pi6 ,pi2 ] se tendra que

Z

pi2

pi6

cosx dx = lmn

"

pi2 pi6n

nX

k=1

cos

6+ k

pi2 pi6n

#

.

Estos clculos son, en la prctica, imposibles de realizar!Vemos entonces que la necesidad de sistematizar el clculo de primitivas o antiderivadas

proviene de esta imposibilidad.

Ejemplo 2.23

Calcular:

1.

Z 2+3

3

f(x) dx con f(x) =x

x2 4x+ 5 .

2.

Z 4

2

f(x) dx con f(x) = xex2 .

Solucin.

1.

Z 2+

3

3

x

x2 4x+ 5 =1

2ln(x2 4x+ 5)

2+

3

3

+ 2arctan(x 2)

2+

3

3

=1

2ln

4

2+ 2

arctan3 arctan 1

= ln2 + 2

3

4

= ln2 +

6.


2. Si u = x, du = dx, dv = ex2 y v = 2ex2 tenemos:

Z 4

2

x

x2 4x+ 5 = 2xex2

4

2

+ 2

Z 4

2

ex2 dx

= 2(4e2 2e1) 4ex2

4

2

= 8e2 + 4e1 + 4(e2 e1) = 12e2 + 8e1.

2.6.1 Ejercicios

1. Usando la notacin G(x)

b

a= G(b)G(a), pruebe que

(a) [F (x) + G(x) + H(x)]

b

a= F (x)

b

a+G(x)

b

a+H(x)

b

a

(b) [F (x) + C]

b

a= F (x)

b

a

2. Calcule usando el Teorema Fundamental del Clculo:

(a)

Z 2

0

p

2x2 + 1 dx

(b)

Z b

a

(3x2 5x+ 2) dx

(c)

Z b

a

(a0 + a1x+ a2x2 + + aNxN) dx

(d)

Z /3

/4

(2 cos x 3 sen x) dx

(e)

Z x

3

(5t2 + cos t) dt

(f)

Z 1

x

(y2 + 1) sen y dy

(g)

Z 32

1

5t2 dt

(h)

Z 27

0

3x2 dx

(i)

Z /3

/6(secx+ tan x) dx

(j)

Z 1

0

(3 exp x+ cos(x/2)) dx

3. Comparando los resultados de

Z g(b)

g(a)

f(u) du y de

Z b

a

f(g(x))g(x) dx,

para el caso en que se conoce una primitiva F de f , justifique las frmulas de cambio de variableu g(x) para la integral definida por:

Z b

a

f(g(x))g(x) dx =

Z g(b)

g(a)

f(u) du;

Z g1(B)

g1(A)

f(g(x))g(x) dx =

Z B

A

f(u) du.

4. Deduzca la frmula de integracin por partes para la integral definida:

Z b

a

u(x)v(x) dx = u(x)v(x)

b

aZ b

a

v(x)u(x) dx.

5. Use cuando sea til los ejercicios 3 y 4 para calcular:

2.7 El cambio de variable para la integral definida 47

(a)

Z 9

4

cos(x/4)x

dx

(b)

Z /2

/3

1 + cosx

(x+ sen x)3dx

(c)

Z /6

/4

sen x cos x dx

(d)

Z 4

0

x23x+ 4

dx

(e)

Z 4

1

3p

1 + 4x

xdx

(f)

Z 1

0

x expx dx

(g)

Z 3

0

t2p

t3 + 1 dt

(h)

Z 2

1

x lnx dx

(i)

Z 1

3(|x|+ x) dx

(j)

Z 3

0

|(x 1)(x 2)| dx

(k)

Z 4

0

tan1x

xdx

(l)

Z 1

0

(x2 + x) exp(x) dx

6. Calcule, si F (x) =R x

1f(t) dt:

(a) F (7)

(b) F (x2)

(c) F (x2)

(d) F (x2 + x+ 1)

(e) [F (x2 + x+ 1)]

7. Calcule f (x) si:

(a) f(x) =

Z 5x

2

t+ 1 dt, para todo x R

(b) f(x) =

Z x2

3x

(3t+ 2t2) dt

(c) f(x) =

Z sen x

cos x

(t2 + t) dt

(d) f(x) =

Z expx

x

(t+ 1/t) dt

8. Calcule:

(a) maxaxb

Z x

a

(1 + t+ t2) dt

(b) mnaxb

Z x

a

(1 + t+ t2) dt

(c) max0x4

Z x

a

(t2 4t+ 3) dt

(d) mn0x3

Z x

a

(t2 4t+ 3) dt

2.7 El cambio de variable para la integral definida

Para calcular integrales indefinidas son muy tiles los mtodos de cambio de variable osustitucin y la integracin por partes. Veamos cmo se aplican en el caso de la integraldefinida.

Si g : J I tal que x 7 u = g(x) es una funcin biyectiva entre dos intervalos J e I setiene que para f : I R, con el cambio de variable u = g(x) o su equivalente x = g1(u):

1.Z

f(g(x))g(x) dx Z

f(u) du = F (u) + C F (g(x)) + C, si F = f .

2.Z

h(x) dx Z

h(g1(u))(g1)(u) du = F (u) + C F (g(x)) + C, si h : J R y siponemos f(u) = h(g1(u))(g1)(u) y F = f .

Combinando estos resultados con el TFC, se tiene que si g : J = [a, b] I es biyectiva,siendo I el intervalo cerrado de extremos A y B, con A = g(a) y B = g(b), entonces:


Como

Z b

af(g(x))g(x) dx = F (g(x))

b

a= F (g(b)) F (g(a)) = F (B) F (A),

y comoZ B

Af(u) du = F (u)

B

A= F (B) F (A),

tenemos que:

1.Z b

a

f(g(x))g(x) dx =Z g(b)

g(a)

f(u) du, y

2.Z b

ah(x) dx =

Z g(b)

g(a)h(g1(u))(g1)(u) du.

No hay entonces necesidad de regresar a la variable original, como en el caso de la integralindefinida. En la prctica a veces es ms fcil hallar un cambio de variable apropiado de laforma x = (u) con : J I tal que u 7 x = (u) biyectiva (es decir, hace el papelde g1 en la notacin precedente), por lo cual se tiene:

Para la integral indefinida:

Z

h(x) dx Z

h((u))(u) =Z

f(u) du = F (u) + C F (1(x)) + C,

con f(u) = h((u))(u) y F = f ; y para la integral definida:

Z b

ah(x) dx =

Z 1(b)

1(a)h((u))(u) du =

Z 1(b)

1(a)f(u) du = F (u)

1(b)

1(a).

Notemos que si (u) 0, es decreciente y 1 tambin, por lo cual 1(a) 1(b) yentonces

Z 1(b)

1(a)h((u))(u) du =

Z 1(a)

1(b)h((u))(u) du =

Z 1(a)

1(b)h((u))|(u)| du.

Es decir que si J = [a, b], e I es el intervalo cerrado de extremos 1(a) y 1(b), se puedeponer

Z

Jh(x) dx =

Z

Ih((u))|(u)| du.

El factor |(u)| se llama Jacobiano de la transformacin del intervalo J en el intervalo Idebido al cambio de variable x = (u). Para entender mejor lo que pasa, desde el punto devista geomtrico, veamos un caso simple:

Consideremos A =R 10 f(x) dx, donde y = f(x) = (b a)x + a es la recta que pasa por

P0(0, a) y P1(1, b).Si C es el punto de coordenadas (1, 0), A es evidentemente el rea del trapecio OP0P1C:

A =

Z 1

0

[(b a)x+ a] dx = a+ b2

.

Queremos valernos de este ejemplo simple para entender qu sucede cuando se hace un cambiode variable x (u).

2.7 El cambio de variable para la integral definida 49

x

y

+P0

P1

O

+b

C

A

f

1

a

u

v

+

Q0

Q1b

+

hO

B

g

1 < h

a

u

v

+

Q0

Q1b

+

hO

B

g

0 < h < 4

Tomemos para empezar

x (u) = 1hu con u = hx.

Con este cambio de variable cambian tambin los lmites de integracin:

x u1 h0 0

El intervalo de integracin [0, 1] se transforma en [0, h]. Si h > 1 el intervalo [0, 1] se estiray si h < 1, se encoge. Por otro lado, al hacer el cambio de variable tenemos una nuevafuncin g(u):

y = f(x) = f((u)) = (b a)uh+ a =: g(u).

Esto significa que la recta que es el grfico de f se transforma en una recta que pasa porQ0(0, a) y Q1(h, b), cuya ecuacin es

y = g(u).

u

x

hO

1

El rea A = a+b2 se transforma en B =a+b2 h, y se agranda o achica segn que h > 1

o 0 < h < 1, respectivamente. Por eso no se podra escribir simplemente

A =

Z 1

0f(x) dx igual

Z h

0g(u) du = B,

ya que el rea bajo la curva f se modifica con el cambio de variable.Pero sabemos que

A =

Z 1

0f(x) dx =

Z h

0f((u))(u) du =

Z h

0f((u)) |(u)| du,

donde (u) = 1h > 0. Este factor,1h , es el que compensa el cambio de rea producido al

estirarse o encogerse el intervalo [0, 1] que se convirti en el intervalo [0, h].Un cambio de variable x (v) = 1 1hv produce un resultado similar, pero en este caso

como (v) = 1h < 0, se tiene

A =

Z 1

0f(x) dx =

Z h

0f((v)) [(v)] dv =

Z h

0f((v)) |(v)| dv.


v

x

hO

1

El factor corrector |(u)| y |(v)| se llama Jacobiano y recoge la informacin de losestiramientos o encogimientos de cada punto del intervalo de integracin producidos porel cambio de variable.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo 2.24

Calcular

Z 4

1

(1 + 2x)3

xdx =: M.

Solucin. Con el cambio de variable x j(u) = u2 y como j(u) = 2u, y el intervalo j = [1, 4] setransforma en el intervalo I = [1, 2], puesto que j1(x) =

x, tenemos:

M =

Z 4

1

(1 + 2x)3

xdx =

Z 2

1

(1 + 2u)3

u2u du =

Z 2

1

(1 + 2u)32 du.

Podemos usar un nuevo cambio de variable: v 1 + 2u, dv 2du, y [1, 2] se transforma en [3, 5],por lo cual

M =

Z 2

1

(1 + 2u)32 du =

Z 5

3

v3 dv =v4

4

5

3=

1

4(54 34) = 136.

Algo notable es que en la frmula del cambio de variable para la integral definida

Z b

ah(x) dx =

Z B

cálculo en una variable (rojas germán).pdf

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