NUMEROS

VECTORES

FUNCIONES

Universidad Nacional de Colombia / Seccional Manizales Facultad de Ciencias y Administración Departamento de Ciencias Manizales - 1992

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SECCIONAL MANIZALES

FACULTAD DE CIENCIAS Y ADMINISTRACION DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

NUMEROS, VECTORES Y FUNCIONES

BERNARDO ACEVEDO FRIAS OMAR EVELIO OSPINA ARTEAGA

MANIZALES, DICIEMBRE 1992

Autores: Ornar Evelio Ospina Arteaga Matemático Ms. Se. Profesor Asociado Bernardo Acevedo Frías Matemático Profesor Asociado Universidad Nacional de Colombia Seccional Man Ízales

Revisado por: Profesor Fernando Pfo Betancourt López, Ing. Electricista. Profesor Nelson Puerta García, Ing. Civil

Diseño Portada: Jorge Echeverri González

impreso por: Centro de Publicaciones Universidad Nacional de Colombia Seccional Manizales

Diciembre de 1992 Primera Edición

PROLOGO

La transición del bachillerato a la Universidad, conlleva naturalmente un cambio en el estilo de trabajo de los estudiantes, que en nuestro medio es frecuentemente traumático, reforzado por la creencia de que las Instituciones de Educación Superior no deben asumir responsabilidad por las deficiencias en la enseñanza media, exhibida por los recién admitidos; esta posición está siendo abandonada por una más realista y es así como se ha volcado la atención, en el campo específico de las matemáticas, hacia los textos de lo que se ha dado en llamar Precálculo.

El texto: Números Vectores y Funciones que han elaborado los profesores Asociados Ornar Evelio Ospina y Bernardo Acevedo, responde a esta necesidad con sobresalientes cualidades pedagógicas, entre las cuales se destacan el desarrollo detallado de los temas y la proliferación de ejercicios resueltos, lo cual genera un diálogo directo con el lector que puede así aprovechar totalmente su lectura. El material presentado es el fruto de un cuidadoso análisis de los autores, sobre las experiencias de los cursos similares que se han dictado en la Seccional, frente a las necesidades actuales de los estudiantes y se constituye en un texto excelente, de consulta obligada para nuestros profesores y estudiantes.

NELSON PUERTA GARCIA Director Departamento de Ciencias

Presentación

El presente material ha sido elaborado con la idea de que sea

útil para los estudiantes que se preparan para iniciar un

primer semestre universitario, pues, en él se presentan los

elementos necesarios para cursar los temas de cálculo

diferencial e integral. Además de esto puede utilizarse como

material de apoyo para cursos de matemáticas fundamentales e

introducción a la geometría vectorial.

La presentación de los temas se hace en una forma

constructiva, tratando de motivar in ic ia lrnen te la razón per-

la cual es necesario introducir los conceptos, ilustrando

después éstos con ejemplos ciaros y proponiendo después de

cada sección ejerciciios que pretenden no solamente que el

lector adquiera habilidad en la part mecánica, sino además

adquiera destreza en el manejo del concept--.

Agradecemos la colaboración que tuvimos de compañeros de

trabajo, y especialmente del grupo de estudio sobre

integración de matemática y física del cual recogimos ideas

valiosas que tratamos de transmitir en este texto. Sobra

decir que cualquier sugerencia o crítica será bien recibida.

OMAR EVEI.IO 05PINA ARTEAGA

BERNARDO ACEVEDO FRIAS

TABLA DE CONTENIDO

CAPITULO I

NUMEROS 1

1-1 NÚMEROS NATURALES 2

1.1.1 CARACTERÍSTICAS 2

EJERCICIOS 10

1.1.2 SUMATORIA 11

1.1.3 FACTORIAL 18

EJERCICIOS 20 •

1.1.4 NÚMEROS COMBINATORIOS 21

EJERICIOS 22 LHJ'IMO* OflHMUM MU H(I A-JÍ -lAH J • '

1 1.5 EL TEOREMA DEL BINOMIO 25

EJERCICIOS 30 0LH.I4M00 OnaMUM wU H'¡ "JUAI 'J i'fi4- '

1.2 NUMEROS ENTEROS 31

EJERCICIOS 33

1.3 NÚMEROS RACIONALES 35

EJERCICIOS 39

1.4 NÚMEROS IRRACIONALES 41

EJERCICIOS 43 1.5 NÚMEROS REALES 44

1.5.1 PROPIEDADES FUNDAMENTALES 44

1.5.2 OTRAS PROPIEDADES 46

1.5.3 INTERVALOS 50

EJERCICIOS 61

1.5.4 VALOR ABSOLUTO 63

EJERCICIOS 75

1.5.5 LA COHPLETEZ DE LOS NÚMEROS REALES 76

EJERCICIOS 80

1.5.6 EL CONJUNTO R2 81

EJERCICIOS 83

1.5.7 REPRESENTACIÓN EN COORDENADAS POLARES 84

EJERCICIOS 91

1.6 NUMEROS COMPLEJOS 92

EJERCICIOS 98

1.6.1 CONSTRUCCION Y OPERACIONES 98

1.6.2 REPRESENTACION GRAFICA DE UN NUMERO COMPLEJO ...99

EJERCICIOS 102

1.6.3 CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO 103

EJERCICIOS 105

1.6.4 PROPIEDADES 106

EJERCICIOS 107

CAPITULO II

VECTORES 110

2.1 EL ESPACIO R3 111

EJERCICIOS 113

2.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 114

EJERCICIOS H"7

2.3 CONCEPTO DE VECTOR 118

EJERCICIOS 121

2.4 IGUALDAD DE VECTORES 122

EJERCICIOS 129

2.5 PRODUCTO POR ESCALAR 130

EJERCIOOS 135

2.6 SUMA DE VECTORES 137

EJERCICIOS 145

2.7 NORMA DE VECTORES 147

EJERCICIOS 151

2.8 PRODUCTO INTERNO 152

EJERCICIOS 162

2.9 DETERMINANTE DE TERCER ORDEN 165

2.10 PROPIEDADES 171

EJERCICICOS 160

2.11 PRODUCTO VECTORIAL Y PRODUCTO MIXTO 182

EJERCICIOS 200

CAPITULO III

FUNCIONES 202

3.1 INTRODUCCION 203

EJERCICIOS 2 1 7

EJERCICIOS 113

2.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 114

EJERCICIOS 117

2.3 CONCEPTO DE VECTOR 118

EJERCICIOS 121

2.4 IGUALDAD DE VECTORES 122

EJERCICIOS 129

2.5 PRODUCTO POR ESCALAR 130

EJERCIOOS 135

2.6 SUMA DE VECTORES 137

EJERCICIOS 145

2.7 NORMA DE VECTORES 147

EJERCICIOS 151

2.8 PRODUCTO INTERNO 152

EJERCICIOS ..162

2.9 DETERMINANTE DE TERCER ORDEN 165

2.10 PROPIEDADES 171

EJERCICICOS 180

2.11 PRODUCTO VECTORIAL Y PRODUCTO MIXTO 182

EJERCICIOS 200

CAPITULO III

FUNCIONES 202

3.1 INTRODUCCION 203

EJERCICIOS 217

3.2 OPERACIONES ENTRE FUNCIONES 221

3.3 ESTUDIO DE ALGUNAS RELACIONES Y FUNCIONES 225

EJERCICIOS 228

3.3.2 LA CIRCUNFERENCIA 232

EJERCICIOS 234

3.3.3 LA PARABOLA 237

EJERCICIOS 238

3.3.4 LA ELIPSE 248

EJERCICIOS 255

3.3.5 LA HIPERBOLA 258

EJERCICOS 265

3.3.6 FUNCIONES CON VALOR ABSOLUTO 267

EJERCICOS . 271

3.3.7 FUNCION COMPUESTA 273

EJERCICIOS 277

3.3.8 POLINOMIOS Y FUNCIONES POI.INOMIALES 280

3.3.8.1 ALGORITMO DE LA DIVISION 283

3.3.8.2 TEOREMA DEL RESIDUO 285

3.3.8.3 TEOREMA DEL FACTOR 286

3.3.8.4 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA 287

3.3.8.5 TEOREMA DE LAS RAICES RACIONALES 289

EJERCICIOS 293

3.3.9 FUNCION CUADRATICA 296

EJERCICIOS 301

3.3.10 FUNCIONES RACIONALES 303

EJERCICIOS 306

3.3.11 DESCOMPOSICION EN FRACCIONES PARCIALES 307

EJERCICIOS 316

3.3.12 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 318

3.3.12.1 MEDIDA DE ANGULOS 320

EJERCICIOS 321

3.3.12.2 CONSTRUCCION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 322

EJERCICIOS 335

3.3.12.3 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 338

EJERCICIOS 346

3.3.12.4 FUNCIONES INVERSAS 349

3.3.12.5 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS 357

EJERCICIOS 367

3.3.12.6 ECUACIONES TRIGONOMETRICAS 369

EJERCICIOS 376

3.3.13 FORMAS TRIGONOMETRICAS DE NUMEROS COMPLEJOS ...382

3.3.13.1 RAICES DE UN NUMERO COMPLEJO 385

EJERCICIOS 389

3.3.13.2 SOLUCION DE TRIANGULOS 391

EJERCICIOS 397

3.3.14 FUNCION EXPONENCIAL 398

3.3.14.1 CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES 401

,3.3.15 FUNCION LOGARITMO 405

3.3.15.1 OTRAS PROPIEDADES 408

3.3.15.2 ECUACIONES EN LOGARITMOS 411

EJERCICIOS 414

3.3.15.3 ALGUNAS DESIGUALDADES 417

EJERCICIOS 422

3.3.16 FUNCIONES HIPERBOLICAS 426

3.3.16.1 FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSAS 433

EJERCICIOS 435

CAPITULO X NUMEROS

El objetivo de este capítulo, es presentar una visión general

de los diferentes sistemas numéricos, prefiriendo el proceso

intuitivo al axiomático, aprovechando que los estudiantes se

encuentran ya familiarizados con las principales propiedades

de los números.

Se estudiarán las propiedades que caracterizan los sistemas

numéricos representados en el siguiente diagrama:

f

Reales Complejos (R)

(C) Irracionales (I)

Imaginarios

1

1.1. HUMEROS NATURALES

1.1.1. CARACTERISTICAS

Los números Naturales son lo que se emplean para contar:

1,2,3,4, De la construcción de este conjunto se pueden

apreciar las siguientes características:

El conjunto tiene un primer elemento, (el uno); cada elemento

tiene un sucesor, (el sucesor del 1 es el 2, el sucesor del

20 es el 21,...), lo que implica que el conjunto tiene

infinitos elementos.

Otra característica importante de los Números Naturales, es

el llamado principio de inducción matemática, que dice, que

si una proposición cualquiera se satisface para el número

Natural 1 y que si además siempre que se satisfaga para el

número Natural R, se satisface para el número Natural k+1;

entonces el conjunto de los números que satisface esta

propiedad es el conjunto de los números Naturales. Esta

propiedad se puede utilizar para demostrar que determinadas

proposiciones se cumplen para todos los números Naturales o

para todos los números Naturales a partir de un número

Natural fijo n Q.

El principio de inducción matemática se puede ilustrar de la

forma siguiente: Imagínese que una persona desea subir todos

los escalones de una escalera infinita; si a esta persona se

le garantizan dos cosas: Primero, que la dejen subir al

escalón número uno y segundo, que siempre que se encuentre en

el escalón K, lo dejarán subir al escalón k+1, es evidente

que esa persona podrá subir todos los escalones. Observe que

si una de las dos condiciones no se da, entonces no se puede

garantizar que la persona recorra todos los escalones.

Un error frecuente que se comete cuando se pide demostrar que

determinada propiedad es válida para todos los números

Naturales, es verificar que ésta se cumple para el 1, el 2,

hasta un número fijo no. Con esto se garantiza realmente sólo

que la propiedad se cumple para el número 1, 2, hasta no,

pero no para todos los números Naturales como se puede

apreciar en el siguiente ejemplo:

Ejenplo 1

Se quiere ver la validez de la proposición: Para todo número

Natural n, n 2-n+41 es un número primo.

Se verifica para n=l; 1-1+41=41 es un número primo.

3

para n=2; 4-2+41=43 es un número primo.

para n=40; 402-40+41=1601 es un número primo

pero para n=41; (41 ) 2-41+41=41 2, que no es un número primo.

Con lo anterior se muestra que si con los resultados, de por

ejemplo los primeros 30 casos (que siempre dan primos), se

hubiese sacado la conclusión de que la proposición es válida

para todos los números Naturales, se hubiese cometido un

error.

Algunas fórmulas de uso frecuente, se pueden demostrar

utilizando el principio de inducción matemática como se

ilustra en los siguientes ejemplos:

Ejemplo 2

Demostrar que para todo número Natural n, se verifica que:

n(n+l) 1+2+3+ +n = .

2

4

1) Se verifica que la propiedad se cumple para n=l„ haciendo

n=l en los dos lados de la ecuación:

1 ( 1 + 1 ) 1= = 1

2) Se supone que la proposición se cumple para n=k, es decir,

k( k+1) se supone que 1+2+3+....+k = (Hipótesis de

inducción ) .

3) Se verá que la proposición se cumple para n=k+l, es decir,

que :

(k+1) (k+2) 1+1+3+....+k+(k+1) = , usando la hipótesis

2

inducción. En efecto:

k(k+l) k2+3k+2 (k+1}(k+2)

1+2+3+....+k+(k+i)={1+2+3+...+k)+(k+l) = +(k+l) = =

2 2 2

De lo anterior se concluye que la proposición es válida

para todo número Natural.

Ejemplo 3

Demostrar que para todo número Natural n, se verifica que:

5

a ( l _ r n + l ) a+ar+ +arn = r*l.

1-r

1) Se verifica que la propiedad se cumple para n=l, haciendo

n=l en ambos lados de la ecuación:

a(l_ ri+i) a(1-r 2) a+ar = = = a(l + r) = a+ar.

1-r 1-r

2) Se supone que la proposición se cumple para n=k, es decir,

que:

a( l-r k +i) a+ar+...+ark = (Hipótesis de inducción).

1-r

3) Se verá que la proposición se cumple para n=(k+l), es

decir, que:

a(1-r k + 2) a+ar+.. .+ar k+ar k + 1 = , usando la hipótesis de

1-r

inducción. En efecto:

a+ar+ar2+ +ar k+ar k + 1 = (a+ar+ar 2+...+ar k)+ar k + 1

a d - r ^ 1 ) a(l-r k + 1)+ar k + 1(l-r) + a r k + 1 =

1-r 1-r

6

a( i-rit+i+rk+i_rkH-2 ) a( l-r k + z )

1-r 1-r

De lo anterior se concluye que la proposición es válida para

todo número Natural.

Bjenplo 4

Demostrar que' si x - P+Jq > c o n P y q números Racionales y si

n es un número Natural, entonces x" - o+Py^g para algunos a y 0 números Racionales. En efecto:

1) Se verifica que la propiedad se cumple para n=l, pues, x 1 - (p+Jq) -p+Jqt a -p, p-1

2) Se supone que la proposición se cumple para n=k; es decir, se supone que x

k - (p+Jq) k-A+Bjq , con A y B números Racionales. (Hipótesis de inducción).

3) Se verá que la proposición se cumple para n=k+l, es decir, que - (p+y/q) - a + Pv^T > c o n a V P números Racionales.

En efecto: - xx k-x(A+Bjq) = (P+v/g) (A+By/q) -

PA+PR/q+Ajq+Bq- (PA+Bq) + (PB+A)</q • Ahora, como P, A, B, q son números Racionales, entonces PA+Bq es un número

racional y PB+A es un número racional, luego llamando PA+Bq=a y PB+A=£, entonces = a + Py'g.

7

Como se puede apreciar en el ejemplo 1, cump 1 ie'ndose la

primera condición, pero no la segunda, se llega a

resultados erróneos. En el ejemplo siguiente se ilustrará

como se llega a resultados erróneos, si se satisface la

segunda condición, más no la primera; es decir; siempre es

necesario verificar que se satisfagan las dos condicones.

Ejenplo 5 1

Para todo número Natural n, l+2+3+...+n = - (2n+l)2. 8

Se supone que es cierto para n=k, es decir:

1 1+2+3+..+k = — (2k+l)2, y se verifica para n=k+l, es decir,

8

1 1 que : 1+2+3+...+k+(k+1) = - (2(k+l)+l)2 - _ (2K+3)2.

8 8

1 En efecto: 1+2+...+k+(k+1)=(1+2+...+k)+(k+1)= - (2k+l)2+k+l

8

1 1 1 1 = - ((2K+1)2 + - (8k+8) = - (4k2+4k+l+8k+8) = - (4k2+12k+9)

8 8 8 8

1 = - (2k+3)2.

8

8

Es decir la segunda condición se cumple. Observese que no se

cumple para k=l, tampoco para los otros valores de k, por

1 49 ejemplo k=3; 1+2+3=6; pero - (2*3+l)2= — , en forma análoga

8 8

para k=5, etc.

9

EJERCICIOS

Demostr ar que para todo número Natural n, se cumple qué:

1. (ab) n=a nb n con a,b números

2. 4 2 n - l es divisible por 5

n(n+l) (2n+1) 3. 12+22+...+n2 =

6 4. 13+23+. . .+n3 = (l+2+3+. .,+n)2. Indicación: Recuerde que

n(n+l) l+2+3+...+n = .

2

1 1 1 n 5. + + . . . + =

1*2 2*3 n(n+1) n+1

6. 2 n>n.

7. Demostrar que para todo número Natural n, n>2 se cumple

que a(xi+x2+...+Xn)=axi+ax2+...+axn, donde

a, xi,X2f ...,Xn son números.

10

8. Cuestiónese la siguiente afirmación: Todo subconjunto de

los números Naturales tiene primer elemento. ¿Será esto

cierto para cualquier conjunto numérico?.

1.1.2. SUMATORIA

Con el fin de comprimir la suma de un número finito de

términos, que de alguna forma están relacionados entre sí, se

introduce un símbolo que se llamará sumatoria y es

representado por la griega Sigma ) , la cual se define

como: 1 a+X a E a* - y E Q " a*> +a«n >

donde ak es cualquier expresión m a t e m á t i c a <3ue depende de k.

Observe que de la definición :

2 i E a * " < E a * > +aJ-a1+a2

*-l Jc-l 3 2 ^ a*" fJE + a3" ai+a2) +a3-a1+aa+a3

a n-l E a*" < E a*> + aB" • • • +afl-i) +an-a1+a2+.. . +afl Jt-l Jc-l

En una forma más general :

11

a

jjC a*"ap+ap+i+« • • +an# donde p, k, n son números naturales y -p pSn.

Ejemplos

4 i) Ulc+l)-(2*1+1)+(2*2+1)+(2*3+1)+ (2*4+1)-3+5+7+9-24

SkSea (Í2L) =3 Sen-^- +4 S e n - Ü = 2 2 2 2

(3)(-1)+4(0)+5(1)-2 iii) El ejemplo 2 de la sección anterior con el símbolo de

sunatoria quedará : y^ jc. n{n+l) y e l e j e m p i 0 3 de la

" a(l-rn+M misma sección quedará ar *- ^ — - con r*l .

Cuando se trabaja con el símbolo de sumatoria es necesario

conocer algunas propiedades de él, las cuales facilitarán su

manipulación:

1) Al cambiar el símbolo k, en toda parte donde se presente

con una sumatoria por otro símbolo, el valor de la a n a

sumatoria no varía, es decir: a¿"]C ai ' x-p t~p tt

12

Ejemplo 1

s s s g 3*-32+3a+34+35-360-g 3*

a a

2) ^ Cat-C*Tl donde C es una constante.

En efecto: a j

g Ca j c-Ca 1+Ca 2+Ca 3+— +caa-c(a1+a2+... +an) -cj

Ejemplo 3 3

21ca-2Y * a«2 <l+22+32) =2*14=28

3) ¿ < a W > * > - ¿ a * + í > * jt-i jt-i *-i

Demostración Ejercicio.

Ejemplo

g V*+6Jc-g 6lc-¿ Je

a a

4) g 1«J3 ; en efecto : g 1=1+1+1+...+l=n

Ejempio «

»1+1+1+1+1+1-6 S1"3

13

5 > F3 k-p+l

Demostración Ejercicio

Ejemplo

10 6

u p a 6> £ ak~j2 a*+ £ a* p < n ' p >

E3 £S *-p+l

Demostración Ejercicio.

Ejemplo 6

10 S 10

£ * a - £ * 2 + £ * 2 M R M

a 7) E ajE-aJC_1-aa-a0 (propiedad telescópica).

En efecto: n JC ak~ak-i" + (aa

_ai) + (a3~a2) + (a4-a5) +.... + (an_t-an_2) + ( a ^ a ^ i

En la anterior expresión se puede observar que el primer

término de cada paréntesis, se cancelan con el segundo

término del paréntesis, por tanto solo quedan, el segundo

14

término del primer paréntesis y el primer término del último , 230

Paréntesis; es decir: ¿

Ejemplo

330

i ) £ 2*,-2*~1»2230 -21"1-2230-l 230

£

100

(*>1) ~~3Jc" 3(100+1) "3TT o b s e r v e que 100

ü ) ¿ — - i - X . 1 i Sí 3<Jc+l) 3J

a * " T T K i T y 730

,1,5

EJERCICIOS

1) Establezca a que son iguales las sumatorias siguientes:

Ü) g u-2-3)

19 1 1 í ü ) y ( i — i ) fcf ¿ +4 i+3

2) Enuncie las propiedades de las sumatorias haciendo

variar k desde otro número diferente de 1.

3) Explicar las propiedades de las sumatorias con los

siguientes ejemplos.

ao

i) g (3(i-1)3-3i3+i)

ü ) |(Jcj-j*)

4) Cuáles de las siguientes sumatorias se puede expresar como

sumas telescópicas. a

i) E <a*-i-a*> »-i a

ii) g (aJt+l-ai:)

16

m > s a

(2JC+1) -2k

iv) y (JL-^ 2k 2k-l}

20 V) y ( ± i

éí (3ÍC+1) (3Jc+2)

io vi) V h 22k '

17

1.1.3. FACTORIAL (!)

Se plantea el siguiente problema: ¿De cuántas formas se

pueden acomodar 5 personas en una mesa de 5 sillas?.

Para la primera persona a sentarse tiene cinco opciones; por

cada opción de esta persona, la segunda persona tiéne

solamente cuatro opciones, (pues ya hay una silla ocupada);

por cada opción anterior la tercera persona tiene tres

opciones; por cada opción anterior; la cuarta persona tiene

dos opciones y por cada opción anterior; la quinta persona

tiene una opción, por lo tanto en total el número de formas

en que se pueden acomodar las cinco personas en la mesa es

5*4*3*2*1. En la solución de problemas análogos al anterior y

otros tipos de problemas, aparece el producto de un número

Natural por todos los que le preceden. Esto se llama el

factorial de este número Natural y se denota n!, es decir :

n!=n*(n-l)*(n-2)*...2*1.

De esta definición se puede concluir que:

n!=n(n-l)(n-2 )*..,*2*1 = n[(n-1) (n-2 )*...2*2]=n(n-1)!.

18

Ejemplo 1

8! =8*7*6*5*4*3*2*1 = 8(7*6*5*4*3*2*1) = 8*7!=40320.

Observe como el factorial de un número crece rápidamente,

pues si se tuviera solamente 8 personas para sentarlas

alrededor de una mesa, existirían 40320 formas posibles de

hacerlo.

Resulta conveniente en la condensación de algunas

expresiones, definir el factorial del número cero, el cual se

define como 1, es decir 0!=1. Esto se justifica si se tiene

en cuenta que de ní=(n-l)!n, para n=l se tiene 1!=0!1

entonces 1=0 i.

Ejemplo 2

D • ! ! X 101 »61»31 . Para simplificar la expresión : 7|»51»6»2 ' s e p r o c e " e a

descomponer los factoriales de los números más grandes en

términos del factorial de los números más pequeños con el

objeto de cancelarlos así:

=10*9*8*3=2160 (7 !) » (51) *6»2 (7 !) *(5!) *6*2

19

EJERCICIOS

1) ¿De cuántas formas acomodaría 10 personas en una fila?

2) Simplificar las expresiones siguientes:

. , (10»).31 (81).21

• j \ (201).(301) ; (181).(32!)

20

1.1.4. NÚMEROS COMBINATORIOS

Considérese un conjunto A con 7 elementos, se trata de hallar

el número de subconjuntos diferentes con 3 elementos que

tiene A. Para el primer elemento se tiene siete opciones,

para el segundo elemento se tienen seis opciones, por cada

opción del primero. Para el tercer elemento se tiene cinco

opciones, por cada opción anterior y por lo tanto el número

de subconjuntos con tres es 7*6*5 . Pero estos subconjuntos

no son todos diferentes, ya que aparece por ejemplo el

subconjunto {a,b,c} y también los subconjuntos {b,c,a},

{a,c,b}, {c,b,a}, {c,a,b},y {b,a,c} que son iguales como

conjuntos; es decir, cada subconjunto de tres elementos apa

rece 3! veces, (pues el número de acomodar tres elementos en

una fila es 3!); luego el número de subconjuntos diferentes

de tres elementos es (7*6*5)/3!, lo cual se puede

7*6*5 7*6*5*(4*3*2*1) 71 71 expresar así: = = = = 35.

,31 31(4*3*2*1") 31(4! ) 31(7-3)1

Generalizando, se tiene que el número de subconjuntos

diferentes con k elementos que se puede extraer de un

conjunto con n elementos (n>k) es , . , . . JeI (JI-Jc) I

21

Esta expresión aparece en algunos problemas similares y s

llama el número combinatorio n,k el cual se nota por

i) De cuántas•formas diferentes le pueden repartir a una

persona siete fichas de un dominó (28 piezas). Este

problema es equivalente a hallar el número de subconjunto

con siete elementos que se puede extraer de un conjunto

con 28 elementos, luego la solución es :

es decir : k\ (n-k) I

ni

Ejemplo

7 I . (28-7) I 7I .211 281 281

28*27*26*25*24*23*22*21! 9*26*23*11*5*4 = 1184040.

7*6*5*4*3*2*21!

ii) Hallar el valor de:

5121 Este es

un caso particular de la siguiente propiedad:

ya que:

(n-k)I(n-(n-k))\ n I

(n-k) 1*1

22

iii) Hallar el valor de

ni (ni 01) •i y

12! <n!(n-k)) =1

iv) La siguiente propiedad resulta útil en el trabajo con

números combinatorios, por ejemplo en la construcción del

conocido triangulo de Pascal, como se verá más adelante:

(jcHjc-lH"*1) • En efecto:

("W n U ni + ni \kf\k-lj k\(n-k)\ (Je-1) ! (n-Jc+l) I

ni + nj Jc(Jc-l) I (n-k) I (Jc-1) ! (n-k) ! (n-k+1) ~

n\ (n-k+1)+n\k k(k-l) !(n-k)!(n-k+1) "

nI (n+1) _ (n+1) I ln+1\ k\ (n-k+1) l J e ! ( i j + 1 —Je) ! \ J e /

23

EJERCICIOS

i) Dar una interpretación de

ii) Hallar el valor de los combinatorios

(S)'(SM'.)'(T,) • iii) Verifique con un ejemplo que | " j+| Z1^ J

iv) ¿De cuántas formas es posible extraer de un grupo de 15

personas una comisión de 7 personas? Y una de 8?.

24

1.1.5. EL TEOREMA DEL BINOMIO

Recuerde que la expresión (a+b)n se expande como la suma de

an, a n _ 1 b , a n _ 2b 2,...,b n, multiplicando cada uno de estos

elementos por un coeficiente que se determina mediante el

conocido triángulo de Pascal.

(a+b)n Coeficientes de: an, a n - 1b, a n - 2b 2,...,b n en este

Una vez ubicadas las dos primeras filas, este triángulo se

construye fila por fila así: A partir de una fila conocida,

la siguiente se formará sumando los términos consecutivos de

esta fila conocida y colocando como primero y último elemento

el 1 respectivamente.

Asi por ejemplo (x+y) 5=x 5+5x 4y+10x 3y 2+10x 2y 3+5xy 4+y 5. Si se

escriben los unos de los das primeras filas del triángulo de

Pascal como

orden

(a+b)0 (a+b ) 1

(a+b)2

(a+b)3

(a+b)4

(a+b)5

1 1 1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

25

(0) *

El término que ocupa la posición * será (o)*(l) q U e c'e

acuerdo a la propiedad del ejemplo iv de combinatoria es

(1)

Teniendo en cuenta que j^j-l; (^j* 1 ' l a s t r e s primeras

filas del triángulo de Pascal se pueden expresar como:

(o)

(o) (i)

(o) (?) [D

El término que ocupa la posición de * es [o)+(l)"(l) y e l

término ocupado por X será (i)"^^)"!^) ' l u e g o l a c u a r t a

fila será j^j j^) (3)' a s í l a s P r i m e r a s cuatro filas

del trángulo de Pascal se pueden expresar como:

26

(o)

(o1) (i)

(o) (?) (2)

(o) (i) (a) (l)

* * * * *

como

El término que ocupa la posición * será, ( o)*( 1)"{ 1) ' e l d e

(lH3HS) elde (DilHS)

y

; entonces las cinco primeras filas del triángulo

de Pascal se pueden expresar como :

( ! )

U) U) (í) l í ) ( í)

(o) (?) (J) (J)

U) (í) (S) (í) (i) generalizando este resultado, se tiene que la fila que

corresponde a (a+b)n en el triángulo de Pascal es:

(o) (l) (2) (3) (í) (n) p o r t a n t o l a expresión (a+b)n

se puede expresar como { £ Ja ^ Ja-1^ °)an"a¿>a +. . . » , i a

cual condensada con el símbolo de sumatoria queda:

27

(a+b)| ^ * , que se conoce con el nombre de Teorema

Del Binomio, del cual se dará una demostración rigurosa,

usando la inducción matemática: (Justificar todos los pasos).

Demostración

i) Para n=l; ( a + f c ) | * Ja1"1*)Jjai»0*! * )a°fc-a+i> .

ii) Se supone cierto para n = k; es decir (a+i>) ( ¿ ja*_ii>i y

se demostrará que es válida para n=(k+l), es decir que:

(a+2>) | "^t1 Ja*4-1"*/» 1 . En efecto:

(a+i>)(a+jb) (a+Jb)*- (a+jb) g |

(?)«'-*'"»Si i)«"*

Í l - ^ ' í

i o)a""t ( 'í (A K1-1* i 28

Ejemplo

i ) (a+3i>) a « g ( 2 ja2-i 0 b ) ^ 2 jaa+j 2 Ja (3jb) 2 I {3i)) a,

aa+6ab+9i>a.

ii) <*-ya) »-g ( 5 (.ya) 5 j ^ j 5 Jx< (_ y l ) 1+| 5 (_yî) 2 +

*5-5x4ya+10x3y4-10x2y6+5xys-y10.

2?

EJERCICIOS

1) Hallar (x-5y)4; (3+2x)4; (1+1)", aplicando el teorema el

Binomio.

2) Dado un conjunto con 5 elementos, cuántos subconjuntos

tiene sin elementos, cuántos con 1, 2, 3, 4, 5 y cuántos

subconjuntos tiene el conjunto.

3) Cuántos subconjuntos tiene un conjunto con n elementos

(Relacione los ejercicios anteriores).

30

1.2. NÚMEROS ENTEROS (Z)

Además de los números Naturales, es necesario introducir un

símbolo que indique ausencia total de elementos, este símbolo

es el número cero (0).

Aparte de los aspectos del mundo físico que se pueden

describir usando los números Naturales, hay otros que

demandan nuestra atención. Muchas de las situaciones

cotidianas envuelven la idea de magnitud con sentido, es

decir de magnitudes que dependiendo si se toman a la derecha

ó a la izquierda de un punto de referencia dado, se les

asigna un valor positivo o negativo. Considerando el número

cero como punto de referencia, al igual que existen

temperaturas superiores a los cero grados centrígrados

también las hay inferiores. Considerando que a nivel del mar

se tiene altitud cero, asi como hay alturas sobre el nivel

del mar, también las hay bajo el nivel del mar. Considerando

como nivel "0" a la estabilidad de precios, asi como hay

subida de precios, también hay caída de precios, etc.

Estas situaciones se manejan más fácilmente introduciendo

unos números opuestos a los númetos Naturales, tomando cero

como punto de referencia, que se llamará números enteros

31

negativos (Z -) los cuales junto con los números Neturales y

el cero forman el conjunto de los números enteros (Z).

Entre los números enteros existe una relación de orden, que

tiene en cuenta el orden obvio de los números Naturales y la

ubicación de cada entero negativo -k, simétrico al número

Natural k; respecto al cero, como se ilustra a continuación

< » — 1 • • • , > -k - 2 - 1 0 1 2 k

32

EJERCICIOS

1. Cuestione la validez de los siguientes enunciados:

i) ¿La suma, resta y producto de dos números Naturales es

un número Natural?.

ii) ¿La suma, resta y producto de dos números enteros es

un número entero?.

iii) ¿Todo subconjunto de números enteros tiene un primer

elemento?.

2. Un número entero se dice que es par si es de la forma 2k

para algún entero k y se dice que es impar si es de la

forma 2k+l para algún k entero.

Demuestre:

i) La suma de dos enteros pares es par, la suma de dos

enteros impares es par. I,..

ii) Si a€Z, a 2 es par sí y sólo sí a es par y a 2 es impar

sí y sólo sí a es impar.

33

3. Revise para números enteros sus conocimientos sobre

números primos, divisibilidad, Máximo común divisor,

Minimo común múltiplo y primos relativos.

34

1.3. HUMEROS RACIONALES (9>

En las actividades del hombre, además de contar objetos, es

necesario medirlos; por ejemplo, decir que tamaño (medida)

tiene una cuerda o decir que cantidad (medida) de agua tiene

una cubeta, etc. Es evidente que para dar solución a

cualquiera de estos problemas es necesario partir de un

patrón por ejemplo un metro para la longitud de la cuerda o

un litro para la cantidad de agua de la cubeta. Una vez

determinado este patrón se establecerá cuantos de estos

patrones caben en el objeto a medir y es claro que

generalmente el número de veces que este patrón cabe en dicho

objeto no será exacto, sobrará una parte que no alcanza a

medir un metro o un litro, sino una fracción de él; es decir,

se hace necesario recurrir a números no enteros que

representen una parte de un entero, estos números junto con

los enteros se llaman números Racionales (Q)

Los números Racionales se representan en la forma p/q, con p

y q enteros y q*0.

El número \ indica que el patrón o unidad se dividió en dos

partes (denominador) y de ella se tomó una (Numerador); el

número 7/3 indica que la unidad se dividió en tres pedazos

35

(denominador) y se tomaron siete pedazos con ese tamaño

(numenador), etc.

Con el objeto de caracterizar de otra forma los números

Racionales, se analizará el cociente que resulta de efectuar

la división entre el numerador y el denominador.

Observando los siguientes ejemplos:

i) 4 ? ! - 4 ' 8 1 6 0 0 - . . ü ) 4-0,33...

125 3

i i i) -^--3,41414141... iv) -^=37,58333... y v) -y-0,142857 142857 142857 ... .

Se puede apreciar, que a partir de algún número en la parte

decimal, se empieza a repetir indefinidamente un bloque de

números: El cero en el primer ejemplo, el 3 en el segundo

ejemplo; el 41 en el tercer ejemplo, el 3 en el cuarto y el

142856 en el quinto ejemplo. Y esto sucedará siempre que se

realice la división entre el numerador y el denominador de un

número Racional. A estos bloques de números que se repiten se

llama la parte periódica del número racional y se dice que el

número racional siempre tiene una representación decimal

periódica.

36

Recíprocamente, siempre que se tenga una representación

decimal periódica, ésta representa un número Racional, es

decir, se puede escribir de la forma p/q, con p, q€Z y q#0.

El proceso para conseguir esta presentación es un poco

artificioso y se ilustrará con el siguiente ejemplo:

Sea a = 32,273535....

Primero se cuentan los dígitos que aparecen en la parte

decimal hasta donde termina la primera parte periódica, en

este caso cuatro, y se considera el número

104a=322735,3535...., luego se considera el número a

multiplicado por 10 elevado a la potencia que indique el

número de dígitos que hay en la parte decimal antes de

empezar el bloque periódico, en este caso 2. Por último se

hace la diferencia entre estos dos resultados así:

104«»322735,3535... 10*«* 3227,3535... > l u e g Q

104«-102«-319508

a (104-10a) -319508, asi Que «.J2^.3|||££ que es

número de la forma p/q, con p y q€Z, q*0.

un

El lector ya se encuentra familiarizado con las operaciones

entre números Racionales y puede recordar que la suma y el

producto de dos números Racionales es un número Racional y

que el cociente de dos números Racionales es un número

37

Racional siempre y

divide no sea cero

cuando el número Racional por

(0).

el que se

Por lo tanto si a y 0 son dos números Racionales distintos,

con a<0, el número (a+0)/2 es también otro número Racional y

además se encuentra entre ambos, es decir a<(a+£S)/2<0, pues

en efecto: Cpmo ct<íJ, si se suma a a ambos lados de la

desigualdad se tiene que a+a<0+a, es decir, 2a<£+a; en forma

análoga se suma 0 y se tiene que a+0<2£, es decir, se tiene

que 2a<fc+a y a+B<2B, luego se puede concluir que 2a<É5+a<2$ y

así a<(a+0)/2<&.

Asi se puede concluir que entre dos números Racionales dados,

siempre habrá otro número Racional, además aplicando este

resultado sucesivamente entre el número Racional hallado y

uno de los números Racionales dados, se puede concluir que

entre dos números Racionales, no importa que tan cerca esté

el uno del otro, hay infinitos números Racionales, es decir,

los números Racionales se encuentran suficientemente

"amontonados".

38

EJERCICIOS

1. Expresar en forma decimal periódica los siguientes números

Racionales:

i) 2/3. ii) 5/4. i i i) 15/12. iv) 8/3.

2. Expresar en la forma p/q las siguientes expresiones

decimales periódicas:

i) 2,345345,... ii) 13,023491491...

3. Si p y q son números enteros, con p>q y q#0, ¿Cómo

hallaría números enteros s, r tales que p=sq+r? ó

P r — = s + — e ilustrarlo con un ejemplo. q q

4. ¿Qué significa que un número Racional de la formna p/q sea

irreducible? Ilustrarlo con un ejemplo.

5. ¿Todo subconjunto de los números Racionales tiene un

primer elemento?.

39

Dado a un número

Racional que sea

Racional, ¿Puede encontrar un número

el anterior a a ?

40

1.4. HUMEROS IRRACIONALES (I)

No siempre que se hace una medida, el resultado de ello es un

número Racional, por ejemplo, si se trata de medir la

hipotenusa de un trángulo rectángulo cuyos dos catetos miden, uno (1), de acuerdo alTeorema DePitágoras, esta m e d i d a será

y como se demostrará a continuación, yfí no es un número Racional. En efecto:

Si se supone que y^ es Racional; entonces v^"-^»

considerando irreducible, o sea con p y q sin divisores q comunes. Si se elevan al cuadrado ambos términos de la

2 igualdad , se tiene que, y de esto se tiene

Q q2

que 2q2*>p2, lo que implica que p 2 es par, de donde se deduce que p es par, es decir p=2k para algún k Natural, así

que; p 2=(2k) 2=4k 2=2q 2, (pues p 2=2q 2) luego 2k 2=q 2 lo que

indica que q 2 es par, por tanto q es par, es decir tanto p

como q son números pares, lo que implica que tienen al 2 como

divisor común, lo que contradice el supuesto de que p/q era irreducible, entonces fó no puede ser Racional.

Pero no es solamente , sino también es posible demostrar que existen otros números que no son Racionales, por ejemplo

J5, 3^2, n, etc. .

41

A estos números que no son Racionales, se les llama números

Irracionales y se caracterizan porque su representación

decimal no es periódica, por ejemplo: 414213562...

*=3,141592654... Números que por más que se representen con muchas cifras

decimales nunca se repetirán en forma periódica. De igual

forma que los números Racionales, los números Irracionales se

encuentran también "amontonados", en el sentido de que entre

dos números Irracionales cualesquiera existen infinitos

números Irracionales y también infinitos números Racionales y

entre dos números Racionales existen infinitos números

Irracionales.

42

EJERCICIOS

1 ¿Todo subconjunto de números Irracionales tiene un primer

elemento?

2 Dado un número Irracional a. ¿Puede existir un número

Irracional que sea el siguiente de a ?

3. ¿Es la suma y el producto de números irracionales un

número Irracional?

4. ¿Que clase de número es la suma de un número Racional con

un número Irracional?

43