elipse hiperbola resueltos

28

Click here to load reader

Upload: marco-antonio-m-t

Post on 14-Aug-2015

245 views

Category:

Engineering


19 download

TRANSCRIPT

Page 1: Elipse hiperbola resueltos

LA ELIPSE Y

LA HIPÉRBOLA

EJERCICIOS RESUELTOS UNIDAD 14

Page 2: Elipse hiperbola resueltos

Ejercicios Resueltos

OBJETIVO 1

OBJETIVO 2

OBJETIVO 3

Page 3: Elipse hiperbola resueltos

Objetivo 1. Recordarás y aplicarás la definición de la elipse como un lugar geométrico y su ecuación en la forma

canónica y en la forma general.

Page 4: Elipse hiperbola resueltos

1) Encuentra la ecuación de la elipse con focos F(0, 3) y F’(0, –3), y cada uno de sus lados rectos igual a 9.Como los focos tienen la misma abscisa, el eje focal es el eje y. El centro se encuentra en el punto medio entre ellos: C(0, 0).

•La distancia c es:

•El lado recto es:

330 c2 2 2b a c

922 ab

,

92 2

a

bLR

Page 5: Elipse hiperbola resueltos

•Sustituyendo:

•El valor negativo de a no se considera puesto que a es una longitud. Por tanto a = 6.

9

92 2

a

a

01892 2 aa 22

182499 2 a

4

159

4

144819

a 6

4

241 a

2

3

4

62 a

Page 6: Elipse hiperbola resueltos

•La ecuación de la elipse es:

922 ab

279362 b

13627

22

yx

Page 7: Elipse hiperbola resueltos

2) Los focos de una elipse son los puntos F(3, 8) y F’(3, 2) y la longitud de su eje menor es 8. Encuentra la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus vértices y su excentricidad.•El eje focal es paralelo al eje y. •El centro tiene la misma abscisa que los focos: h = 3. La distancia entre los focos es: k = 2 + c = 2 + 3 = 5 → C(3, 5)  2b = 8 b = 4

8 23

2c

222 cba 259162 a

Page 8: Elipse hiperbola resueltos

•Ecuación de la elipse:

•Vértices: V(h, k + a) = (3, 5 + 5) = (3, 10); V’(h, k – a) = (3, 5 – 5) = (3, 0)

•Excentricidad:

1

25

5

16

3 22

yx

cea

5

3

Page 9: Elipse hiperbola resueltos

3) Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto (4, 0) es igual a la mitad de su distancia a la recta x – 16 = 0 e interpreta el resultado.

•Distancia de un punto (x, y) al punto (4, 0):

•Distancia del mismo punto (x, y) a la recta x – 16 = 0:

1d 22 04 yx

2d 21

16

x

Page 10: Elipse hiperbola resueltos

El lugar geométrico descrito es una elipse horizontal con centro en el origen, eje mayor igual a 2(8) = 16 y eje menor igual a

1 2

1

2d d 2 24x y 1

162x

2 22 14 16

4x y x

256324

1168 222 xxyxx

218 64

4x x

2 2348

4x y

2 23

14 48 48

x y 1

4864

22

yx

482

Page 11: Elipse hiperbola resueltos

4) Un arco con forma de semi-elipse tiene una altura máxima de 45m y un claro de 150m. Encuentra la longitud de dos soportes verticales situados de manera que dividan en claro en tres espacios iguales. Si el eje x es la base del arco (el eje focal de

la elipse) y el origen es su punto medio, la ecuación es del tipo , con el

semieje mayor, a = 75 y el semieje menor, b = 45. Para que el claro se divida en tres partes iguales, la distancia de los soportes a cada vértice y entre ellos debe ser de 50m.

12

2

2

2

b

y

a

x

Page 12: Elipse hiperbola resueltos

•La ecuación es:1

20255625

22

yx

Page 13: Elipse hiperbola resueltos

Para determinar la altura de los soportes, se hace x = 25 en la ecuación y se despeja el valor de y:

Puesto que y es una longitud (la altura de los postes), se toma sólo la raíz positiva.

2 2251

5625 2025

y 1

20255625

625 2

y

120259

1 2

y

9

8

2025

2

y

18009

162002 y 230y

Page 14: Elipse hiperbola resueltos

Objetivo 2. Recordarás y aplicarás la definición de la hipérbola como un lugar geométrico y su ecuación

en la forma canónica.

Page 15: Elipse hiperbola resueltos

1) Encuentra los elementos de la hipérbola 1

169

22

xy

92 a 2 16 a = 3; b = 4b 222 bac 251692 c

5 (la raíz negativa se descarta)c

Centro C(0, 0)

Eje focal El eje y

Vértices V(0, 3), V’(0, –3)

Focos F(0, 5), F’(0, –5)

Distancia focal 10

Longitud del eje transverso 6

Longitud del eje conjugado 8

Longitud de cada lado recto

Excentricidad

Asíntotas

a

b223

32

a

ce

5

3

xy4

3 xy

4

3

Page 16: Elipse hiperbola resueltos

2)Encuentra la ecuación de la hipérbola horizontal que tiene su centro en (0, 0), su lado recto mide 6 unidades y su excentricidad es

72

226

bLR

a ab 32

2 2 7

2

c a bea a

4

72

22

a

ba 22 734 aaa

01247 22 aaa 0123 a 43

12a 162 a

12)4(32 b

11216

22

yx

12

2

2

2

b

y

a

x

Page 17: Elipse hiperbola resueltos
Page 18: Elipse hiperbola resueltos

3) Determina la ecuación de la hipérbola con C(0, 0), eje focal sobre el eje y, y que pasa por los puntos (4, 6) y (1, –3)

Hipérbola vertical:

Se sustituyen las coordenadas de los puntos por los que pasa:

12

2

2

2

b

x

a

y

2 2

2 2

(6) (4)1

a b 1

163622

ba

2222 1636 baab 2 2

2 2

( 3) (1)1

a b

1

1922

ba

22229 baab

Page 19: Elipse hiperbola resueltos

Se despeja a2 en la segunda ecuación:

y se sustituye en la primera:

2222 9baba 222 91 bba

1

92

22

b

ba

22

2

2

22

1

9

1

91636 b

b

b

b

bb

1

9

1

1441392

4

2

222

b

b

b

bbb

4224 91443636 bbbb 010827 24 bb

Page 20: Elipse hiperbola resueltos

Se resuelve para b y se sustituye para calcular a:

La ecuación de la hipérbola es:

10827 2 b

427

1082 b

5

36

14

)4(92

a

14

536

22

xy

Page 21: Elipse hiperbola resueltos

4) Los vértices de una hipérbola son los puntos (–3, 2) y (–3, –2) y la longitud de su eje conjugado es 6. Encuentra la ecuación de la hipérbola, las coordenadas de sus focos y su excentricidad.

V(–3, 2) y V’(–3, –2) → la hipérbola es vertical:

Centro de la hipérbola: h = –3,

1

2

2

2

2

b

hx

a

ky

2 2 42 ( 3,0)

2 2k C

Page 22: Elipse hiperbola resueltos

Semieje transverso:

Eje conjugado 2b = 6 → semieje conjugado: b = 3

Ecuación de la hipérbola:

Focos:

Excentricidad:

a = 0 2 2

1

9

3

4

0 22

xy

2 2c a b 1394

13,3 13,3

2

13e

Page 23: Elipse hiperbola resueltos

Objetivo 3. Recordarás y aplicarás la forma general de la ecuación de una

elipse o de una hipérbola y las características de los coeficientes de una

ecuación de segundo grado que representa a una elipse o a una hipérbola.

Page 24: Elipse hiperbola resueltos

1) Comprueba que el lugar geométrico de la ecuación es una elipse y encuentra las coordenadas del centro, de los vértices y focos.

A = 2, C = 4, 2 ≠ 4, ambos son positivos.D = 3, E = –12, F = 6;

la ecuación sí representa una elipse. Por los valores de A y de C, tiene su eje focal paralelo al eje x.

0612342 22 yxyx

2 2 4CD AE ACF 642412234 22

= 36 + 288 - 192 = 132 > 0

Page 25: Elipse hiperbola resueltos

Por lo tanto:a2 = 4; a = 2; b2 = 2; b =

2bA 2aC hbD 22 kaE 22 222222 bakahbF

2

2 2 2c a b 2242 c

22b

Dh

3

4

22a

Ek

12 3

8 2

2

3,

4

3C

3 32,

4 2V

2

3,

4

5 11 3' ,

4 2V

3 32,

4 2F

3 3

' 2,2 2

F

Page 26: Elipse hiperbola resueltos

2) Encuentra el lugar geométrico de los puntos P(x, y) tales que el producto de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos (–2, 1) y (4, 5) es igual a 3

Pendiente de las rectas que pasan por los puntos (x, y) y (–2, 1):

Pendiente de las rectas que pasan por los puntos (x, y) y (4, 5):

El lugar geométrico es una hipérbola.

1

1m =

2

y

x

2

5m =

4

y

x

1 2

1 5m m = 3

2 4

y y

x x

3

842

552

2

xxx

yyy

82356 22 xxyy 029663 22 yxyx

Page 27: Elipse hiperbola resueltos

3) Encuentra el lugar geométrico de los puntos P(x, y) tal que el producto de las pendientes de las rectas que unen el punto P con los puntos fijos (3, –2) y (–2, 1) es igual a .

Pendiente de la recta que une a P con (3, –2):

Pendiente de la recta que une a P con (–2, 1):

Es una elipse.

1m 3

2

x

y

2m 2

1

x

y

1 2mm 62

1

3

2

x

y

x

y

66

22

2

xx

yy 662 22 xxyy

03866 22 yxyx

Page 28: Elipse hiperbola resueltos

4) Encuentra todos los elemento de la elipse

•A = 2, C = 9, D = 0, E = 0, F = -18; 2 ≠ 9, ambos son positivos y C > A. La ecuación no tiene términos en x ni en y por lo que el centro está en el origen.

C(0, 0), V(3, 0), V’(-3, 0);

01892 22 yx

01892 22 yx

1892 22 yx

129

22

yx 7292 c

( 7,0)F '( 7,0)F

3

4LR

3

7e

2a = 6 2b = 2 2