UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS(UNIVERSIDAD DEL PERÚ DECANA DE AMÉRICA)

FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE QUÍMICA

MONOGRAFÍA DE FISICA I

ANALISIS DIMENSIONAL

Horario: Miércoles y viernes / 8 – 10 am

Integrantes: Código:

Martínez Gamarra Daniela 14070119

Torres Giron Joselyne Nicole 14070116

Álvarez Ninahuanca Sally 14070067

Lope Muñoz Juan Víctor

Profesor: Pablo Alarcón Velasco

INTRODUCCIÓN

No todos los problemas de ciencia pueden resolverse mediante ecuaciones

basadas en leyes o balances (de materia, energía, cantidad de movimiento.),

debido a que por un lado pueden resultar muy complejos y por otro lado los

problemas involucran un gran número de variables. Por ejemplo, para el flujo de

un fluido newtoniano en régimen laminar se pueden deducir ecuaciones de flujo y

pérdidas de fricción al aplicar un balance microscópico de cantidad de movimiento,

tal y como se ha demostrado previamente; sin embargo, para el flujo de un fluido

newtoniano en un régimen turbulento no se pueden obtener ecuaciones tan

simples. Como consecuencia de esta situación se emplean ecuaciones empíricas

basadas en experimentos. Una forma de facilitar la resolución de este tipo de

problemas y de otros similares consiste en agrupar las variables en una nueva

pseudo-variable adimensional para simplificar el análisis.

MARCO TEÓRICO

El análisis dimensional es una parte de la física que estudia la forma como se

relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales. Tal estudio se hace

básicamente para descubrir valores numéricos, a los que los llamaremos

“dimensiones”, los cuales aparecen como exponentes de los símbolos de las

magnitudes fundamentales.

MAGNITUDES Y UNIDADES

Todo aquello que sea susceptible de aceptar una comparación con otra de su

misma especie, es una magnitud (con la consideración de que ésta debe ser

inmaterial). Así por ejemplo son magnitudes, la longitud, la masa, el tiempo, el

área, el volumen, etc.

Llamamos unidad de medida así a aquella cantidad elegida como patrón de

comparación. Una misma magnitud puede tener varias unidades de medida.

CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES

Por su origen

A) Fundamentales.

B) Derivadas.

Por su naturaleza

C) Escalares.

D) Vectoriales.

A) MAGNITUDES FUNDAMENTALES:

Son todas aquellas que tienen la particular característica de estar presente en

todos o casi todos los fenómenos físicos, y además sirven de base para escribir o

representar las demás magnitudes. (Cualquier magnitud física, deberá expresarse

siempre mediante las magnitudes físicas fundamentales).

NOTA: Existían anteriormente dos sistemas, los cuáles han sido reemplazados por

el Sistema Internacional de unidades (S.I.), pero los estudiaremos por ser de

utilidad.

SISTEMA ABSOLUTO

Subsistemas Longitud (L) Masa (M) Tiempo (T)

M.K.S. o Giorgi Metro (m) Kilogramo (Kg) Segundo (s)

C.G.S. Centímetro (cm) Gramo (g) Segundo (s)

F.P.S. o Inglés Pie Libra (lb) Segundo (s)

SISTEMA TÉCNICO O PRÁCTICO

Subsistemas Longitud (L) Fuerza (F) Tiempo (T)

M.K.S. o Giorgi Metro (m) Kilogramo-fuerza kg – f) Segundo (s)

C.G.S. Centímetro (cm) Gramo-fuerza (g – f) Segundo (s)

F.P.S. o Inglés Pie Libra-fuerza (lb – f) Segundo (s)

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I)

Magnitud Símbolo Unidad Básica

1. Longitud L Metro (m)

2. Masa M Kilogramo (kg)

3. Tiempo. T Segundo (s)

4. Intensidad de corriente

eléctrica

I Ampere o Amperio (A)

5. Intensidad luminosa o

lumínica.

J Candela (cd)

6. Temperatura termodinámica ɵ Kelvin (K)

7. Cantidad de sustancia N Mol (mol)

Nombre Unidad Básica

MAGNITUDES AUXILIARES, COMPLEMENTARIAS O SUPLEMENTARIAS

1- Ángulo Plano Radian ( rad = m . m-1)

2- Ángulo Sólido Estereorradián ( sr = m2 . m-2)

B) MAGNITUDES DERIVADAS:

En número es el grupo más grande (ilimitado) en el cada uno puede definirse por

una combinación de magnitudes fundamentales y/o auxiliares. Estas

combinaciones se consiguen mediante las operaciones de multiplicación, división,

potenciación y radicación. Por lo tanto toda magnitud derivada tendrá la siguiente

forma: [X] = LªMbTcɵdIeJfNg ,donde los exponentes numéricos: a, b, c, d, e, f, g, se

conocen como dimensiones.

Ejemplo: Área, Volumen, velocidad, aceleración, fuerza, trabajo, energía, calor,

etc.

C) MAGNITUDES ESCALARES:

Son aquellas magnitudes que quedan perfectamente determinadas o bien

definidas con sólo conocer su valor numérico o cantidad y su respectiva unidad de

medida.

Ejemplo: Área, volumen, longitud, tiempo, trabajo, energía, calor, etc.

D) MAGNITUDES VECTORIALES:

Son aquellas magnitudes que además de conocer su valor numérico y su unidad,

se necesita la dirección y sentido para que dicha magnitud quede perfectamente

definida o determinada.

Ejemplo: Velocidad, aceleración, fuerza, gravedad, etc.

ECUACIONES DIMENSIONALES

Llamadas también “fórmulas dimensionales”, son expresiones matemáticas que

colocan a las magnitudes derivadas en función de las fundamentales, utilizando

para ello las reglas básicas del álgebra, excepto la suma y resta.

Notación: Si: A se lee como magnitud "A"; entonces: [A]: se lee como “ecuación

dimensional de A".

PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES

Las ecuaciones dimensionales, se resuelven como cualquier ecuación algebraica,

pero además deberás tener en cuenta algunas propiedades especiales:

1) Principio de homogeneidad dimensional o principio de Fourier (P.H.).

El cual nos indica que cada uno de los términos (monomios) de la ecuación

dimensional serán iguales dimensionalmente. (En forma práctica, lo que debemos

hacer, es cambiar los signos de SUMA o RESTA por signos de IGUALDAD).

2) Términos adimensionales:

Los números, los ángulos, los logaritmos, las constantes numéricas (como el

numero π) y las funciones trigonométricas, se consideran como términos

adimensionales porque no tienen dimensiones, pero para los efectos de cálculo,

se asume que es la unidad, siempre que vayan como coeficientes, de lo contrario

se conserva su valor.

3) No se cumplen la suma y la resta algebraica.

EJEMPLO: [X] + [X] + [X] = [X]

[M] – [M] = [M]

[MLT-1] + [MLT-1] + [MLT-1] + [MLT-1] = [MLT-1]

En estos tres ejemplos, te darás cuenta que, al sumar o restar magnitudes de la

misma naturaleza, el resultado es otra magnitud de la misma naturaleza.

4) Todas las ecuaciones dimensionales deben expresarse como productos y

nunca dejarse como cocientes.

- FÓRMULAS DIMENSIONALES (F.D.) MÁS USUALES EN EL SISTEMA

INTERNACIONAL (SI)

En el cuadro siguiente encontrarás las fórmulas dimensionales de las magnitudes

derivadas más usadas, las cuáles se debe aprender en su totalidad para el buen

aprendizaje y dominio de este tema.

El análisis dimensional es la herramienta que permite simplificar el estudio de

cualquier fenómeno en el que estén involucradas muchas magnitudes físicas en

forma de variables independientes. Su resultado fundamental, el teorema de

Buckingham (teorema Π) permite cambiar el conjunto original de parámetros de

entrada dimensionales de un problema físico por otro conjunto de parámetros de

entrada a dimensionales más reducido. 

Es importante considerar que en un experimento en un modelo (a escala

geométrica del prototipo) los resultados a dimensionales que se obtienen para el

modelo son también válidos para el prototipo.

Teorema “Π” DE Buckingham

El teorema Π de BUCKINGHAM establece que en un problema físico en que se

tengan “n” variables que incluyan “m” dimensiones distintas; las variables se

pueden agrupar en “n-m” grupos a dimensionales independientes.

Los grupos a dimensionales se forman a partir de la siguiente expresión genérica:

i=1,….m-n

Este teorema proporciona un método de construcción de parámetros

adimensionales, incluso cuando la forma de la ecuación es desconocida. De todas

formas la elección de parámetros adimensionales no es única y el teorema no

elige cuáles tienen significado físico.

ANALISIS DEL TEMA

Fines del Análisis Dimensional

1. El análisis dimensional sirve para expresar (relacionar) las magnitudes

derivadas en términos de las fundamentales.

2. Sirven para comprobar la veracidad o falsedad de las fórmulas físicas, haciendo

uso del principio de homogeneidad dimensional.

3. Sirven para deducir nuevas fórmulas a partir de datos experimentales.

(Fórmulas Empíricas).

Propiedades de las ecuaciones dimensionales

a) Dimensión de cualquier número es uno.

Ejemplo: [3] = 1 , [0,025] = 1 , [5/7] = 1

b) Dimensión de cualquier función trigonométrica es uno.

Ejemplo: [sen30º] = [tg3x] = 1

c) Dimensión de cualquier función logarítmica es uno.

Ejemplo: [log300] = [log1] = 1

d) Dimensión de cualquier función exponencial es uno.

Ejemplo: [e-0.5] = [24.37] = [10200] = 1

e) Dimensión de cualquier constante adimensional es uno.

Ejemplo: [e] = [ת] = 1

f) Si x = x0 ± y0 , [x] = [x0] ± [y0]

g) Si x = yzr , [x] = [y][z][r]

h) Si x = y/z , [x] = [y]/[z]

i) Si x = yn , [x] = [y]n

j) Si x= aym , [x] = [y]m

Principio de homogeneidad

Es una ecuación dimensional correcta, cada termino tiene la misma ecuación

dimensional. Sea la ecuación homogénea:

S=A + B + C + D.E

*Solamente se puede sumar o restar cantidades que tienen las mismas unidades.

Otra forma de definirla: “Los dos o más miembros que forman una igualdad deben

presentar la misma ecuación de dimensiones”. “Sólo se puede sumar o restar

cantidades de la misma especie”.

Ejemplo: Si y = y0 + pa – mt2 ,[y] = [y0 + pa – mt2]

[y] = [y0] = [pa] = [mt2]

Suponiendo: [y] = L, luego [y0] = [pa] = [mt2] = L

Recuerde:

- La unidad fundamental de la corriente eléctrica es el ampere

- Existe 7 magnitudes fundamentales según el S.I.

- Si: eX + dY + Z representa una magnitud física, entonces:

(eX ) = (dY) = (z)

- En el S.I el calor es una magnitud derivada.

- En el sistema técnico la fuerza es una magnitud fundamental.

- El análisis dimensional permite comprobar si una formula es dimensionalmente

correcta.

- El análisis dimensional es útil, para establecer las unidades de las magnitudes

derivadas.

- La interacción es considerada como el primer fenómeno físico.

APLICACIONES EN EL CAMPO DE LA QUÍMICA (Fisicoquímica)

En química trabajamos con cantidades y propiedades medibles. Algunas de éstas,

como la longitud, masa y volumen, son muy simples, pero hay otras, como la

tensión superficial y la viscosidad, que son mucho más complejas. Estas

cantidades se expresan en términos de unidades escogidas arbitrariamente. Por

ejemplo, podemos escoger como medida de longitud el metro, el pie o pulgada.

Como hay una vasta gama de unidades, podríamos escoger una unidad separada

e independiente para cada cantidad, con lo que podríamos llegar a tener tantas

unidades como cantidades medibles.

Para simplificar esta situación escogeremos un número mínimo de unidades y

definiremos todas las otras unidades en términos de estas unidades

fundamentales. En el sistema centímetro-gramo-segundo, conocido como sistema

cgs, el centímetro, el gramo y el segundo solar medio son las unidades

fundamentales. El centímetro es la centésima parte de la distancia entre dos

líneas en una barra de platino iridiado que se guarda en la oficina internacional de

pesos y medidas en Sévres, cerca de París, en Francia. El metro que contiene 100

cm, se consideraba originalmente como la diezmillonésima parte de la distancia

entre el Ecuador y el Polo Norte. El gramo, la unidad de masa, es la milésima

parte de una masa de platino iridiado que se guarda en la misma institución. El

segundo solar es 1/86400 de un día solar medio, es el tiempo promedio que tarda

la Tierra en completar una revolución sobre su eje polar.

TABLA 1-1

Cantidad Dimensiones Unidades cgs

Longitud L cm

Área L2 cm2

Volumen L3 cm3

Tiempo T seg

Velocidad LT-1 cm por seg

Aceleración LT-2 cm por seg por seg

Masa M gramo

Fuerza, peso LT-2M dina

Presión L-1T-2M dinas por cm2

Densidad L-3M gramos por cm3

Tensión superficial T-2M dinas por cm, ergs por

cm2, gramos por seg2

Energía L2T-2M erg

Si representamos a la longitud por “L”, al tiempo por “T” y la masa por “M”,

podemos preparar la Tabla 1-1 para algunas de las magnitudes usadas más

comúnmente en fisicoquímica.

Puede observarse en esta tabla la distinción entre masa y peso. Nótese que se

define a la dina como la fuerza que le da a una masa de un gramo una aceleración

de un cm por seg, y que el erg es el trabajo que se realiza cuando una fuerza de

una dina actúa sobre una distancia de un centímetro.

Si introducimos una unidad de temperatura, se puede expandir la Tabla 1-1 para

incluir tres cantidades nuevas: capacidad calorífica, calor específico y entropía.

TABLA 1-2

Cantidad Dimensiones

Temperatura ɵ

Capacidad calorífica L2T-2Mɵ-1

Calor específico L2T-2ɵ-1

Entropía L2T-2Mɵ-1

Esta unidad nueva es el grado de temperatura, y se representa por la letra griega

teta (ɵ). En la tabla 1-2 se da una lista de las dimensiones, pero no de las

unidades cgs usadas en cada caso, por las razones que se explican en el párrafo

siguiente.

La capacidad calorífica se define como la cantidad de calor que se necesita para

elevar la temperatura de una sustancia dada en 1ºC. El calor específico es la

cantidad de energía que se requiere para elevar la temperatura de 1g de la

sustancia 1ºC. En estas dos definiciones estamos estableciendo la unidad de

temperatura como el grado centígrado, que tiene un tamaño igual al del grado en

la escala absoluta. La entropía tiene las mismas dimensiones que la capacidad

calorífica. No se da una lista de las unidades cgs para las cantidades de la Tabla

1-2, porque al igual que la energía, rara vez se expresan en el sistema cgs.

En vez de ello se usan dos unidades prácticas, que son el joule absoluto y la

caloría definida. El joule absoluto, por definición, es igual a 107 ergs, y la caloría

definida es igual a 4.184 joules absolutos. Esta caloría no difiere significativamente

de la caloría 15º, que se toma como la cantidad de calor necesaria para elevar la

temperatura de 1g de agua 1º a 15ºC. La capacidad calorífica se expresa en

calorías por grado y el calor específico en calorías por grado por gramo. Es de

notarse que las dimensiones son siempre las mismas, independientemente de las

unidades usadas para las diversas cantidades.

La presión se ha dado en dinas por centímetro cuadrado, las atmósferas,

centímetros de mercurio y milímetros de mercurio son unidades prácticas de gran

utilidad. Algunas veces se les llama a estas, unidades secundarias.

El litro es unidad de este tipo. Se recordará del análisis cuantitativo que el litro es

el volumen de un kilogramo de agua libre de aire a 4ºC. Su volumen corresponde

a 1.000028 decímetros cúbicos. Por lo tanto, el milímetro (mL) no es exactamente

igual al centímetro cúbico (cm3), aunque la diferencia es tan pequeña que tiene

muy poco efecto en la mayoría de los cálculos fisicoquímicos. Otro sistema cuyo

uso se está extendiendo mucho en física es el sistema MKS, en el que las

unidades básicas son el metro, el kilogramo y el segundo. El uso de este sistema,

sin embargo, no se ha divulgado tanto en fisicoquímica.