momento de inercia de una distribución de masas puntuales

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Momento de inercia de una distribución de masas puntuales Tenemos que calcular la cantidad donde x i es la distancia de la partícula de masa m i al eje de rotación. Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas de 1 kg cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de uno de los extremos. Calcular el momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa a través de Un extremo De la segunda masa Del centro de masa El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la primera partícula es I A =1·0 2 +1·0.25 2 +1·0.5 2 +1·0.75 2 +1·1 2 =1.875 kgm 2 El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la segunda partícula es I B =1·0.25 2 +1·0 2 +1·0.25 2 +1·0.5 2 +1·0.75 2 =0.9375 kgm 2 El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la tercera partícula (centro de masas) es I C =1·0.5 2 +1·0.25 2 +1·0 2 +1·0.25 2 +1·0.5 2 =0.625 kgm 2 En vez de calcular de forma directa los momentos de inercia, podemos calcularlos de forma indirecta empleando el teorema de Steiner . Conocido I C podemos calcular I A e I B , sabiendo las distancias entre los ejes paralelos AC=0.5 m y BC=0.25 m. La fórmula que tenemos que aplicar es I=I C +Md 2 I C es el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el centro de masa

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Momento de inercia de una distribucin de masas puntualesTenemos que calcular la cantidad

donde xi es la distancia de la partcula de masa mi al eje de rotacin.Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas de 1 kg cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de uno de los extremos. Calcular el momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa a travs de Un extremo De la segunda masa Del centro de masaEl momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la primera partcula esIA=102+10.252+10.52+10.752+112=1.875 kgm2

El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la segunda partcula esIB=10.252+102+10.252+10.52+10.752=0.9375 kgm2

El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la tercera partcula (centro de masas) esIC=10.52+10.252+102+10.252+10.52=0.625 kgm2

En vez de calcular de forma directa los momentos de inercia, podemos calcularlos de forma indirecta empleando el teorema de Steiner. Conocido IC podemos calcular IA e IB, sabiendo las distancias entre los ejes paralelos AC=0.5 m y BC=0.25 m.La frmula que tenemos que aplicar esI=IC+Md2 IC es el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el centro de masa I es el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior M es la masa total del sistema d es la distancia entre los dos ejes paralelos.IA=IC+50.52=0.625+1.25=1.875 kgm2.IB=IC+50.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.Momento de inercia de una distribucin continua de masaPasamos de una distribucin de masas puntuales a una distribucin continua de masa. La frmula que tenemos que aplicar es

dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotacinResolveremos varios ejemplos divididos en dos categoras Aplicacin directa del concepto de momento de inercia Partiendo del momento de inercia de un cuerpo conocido Momento de inercia de una varilla Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas.

La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es

El momento de inercia de la varilla es

Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos.

Momento de inercia de un disco Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotacin. El elemento es un anillo de radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectngulo de longitud 2x y anchura dx, cuya masa es

El momento de inercia del disco esMomento de inercia de un cilindro Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L respecto de su eje.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotacin. El elemento es una capa cilndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es

El momento de inercia del cilindro e

Momento de inercia de una placa rectangular Vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular delgada de masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la placa.Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotacin. El elemento es un rectngulo de longitud a de anchura dx. La masa de este rectngulo es

El momento de inercia de la placa rectangular es

Momento de inercia de un disco Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R, respecto de uno de sus dimetros.Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotacin. El elemento es un rectngulo de longitud 2y de anchura dx. La masa de este rectngulo es

El momento de inercia del disco es

Haciendo el cambio de variabley=Rcosx=RsenLlegamos a la integral

Momento de inercia de una esfera Vamos a calcular el momento de inercia de una esfera de masa M y radio R respecto de uno de sus dimetros

Dividimos la esfera en discos de radio x y de espesor dz. El momento de inercia de cada uno de los discos elementales es

La masa de cada uno de los discos es

El momento de inercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia de todos los discos elementales.

Para resolver la integral tenemos que relacionar la variable x con la z. Como vemos en la figura x2+z2=R2Momento de inercia de un cilindro Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L, respecto de un eje perpendicular a su generatriz y que pasa por su centro.

Dividimos el cilindro en discos de radio R y espesor dx. El momento de inercia de cada uno de los discos respecto de uno de sus dimetros es

Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de este disco, respecto de un eje paralelo situado a una distancia x.

El momento de inercia del cilindro es

Momento de inercia de un paraleppedo Vamos a calcular el momento de inercia de un paraleppedo de masa M y de lados a, b y c respecto de un eje perpendicular a una de sus caras.

Dividimos el paraleppedo en placas rectangulares de lados a y b y de espesor dx.El momento de inercia de cada una de las placas respecto de su eje de simetra es

Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de esta placa respecto de un eje paralelo situado a una distancia x es

El momento de inercia del slido en forma de paraleppedo es