Momento de inerciaPara otros usos de este término, véase Momento de inercia (desambiguación).

Una bailarina tendrá másmomento de inercia si extiende los brazos, girando más rápido si los contrae.

El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientosgiroscópicos.

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

Índice

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1 Ecuaciones del momento de inercia

o 1.1 Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos

o 1.2 Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas

2 Tensor de inercia de un sólido rígido

3 Véase también

4 Referencias

o 4.1 Bibliografía

o 4.2 Enlaces externos

Ecuaciones del momento de inercia[editar]

¿Cuál de estos giros resulta más difícil?

El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular.

Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Se resuelve a través de una integral triple.

Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa inercial es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton:   tiene como equivalente para la rotación:

donde:

 es el momento aplicado al cuerpo.

 es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y

 es la aceleración angular.

Siempre y cuando la distancia con respecto al sistema de referencia permanezca constante.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es  , mientras que la

energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es  , donde   es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular  :

El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular  . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.

Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos[editar]Artículo principal: Teorema de Steiner

El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

donde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I(CM)

eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M (Masa Total) y h(Distancia entre los dos ejes paralelos considerados).

La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición

de coordenadas relativa al centro de masas C   inmediata:

donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa.

El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa sólo depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que está inmerso dicho cuerpo.

Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas[editar]

1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples

2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por 

.

3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas

partes   con respecto a los ejes X e Y. Y calcular el

cdm   de toda la figura formada por todas las áreas parciales

anteriores.

4. Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total

de la figura.

5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de

centro de masas (que serán paralelos a x e y). Designar como:   

e  , para el área i-ésima.

6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y

aplicando el teorema del eje paralelo, es decir, el teorema de

Steiner:   

y 

7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los

momentos anteriores:   e 

Tensor de inercia de un sólido rígido[editar]

Artículo principal: Tensor de inercia

El tensor de inercia de un sólido rígido, es un tensor simétrico de segundo orden, que expresado en una base ortonormal viene dado por una matriz simétrica, cuyas componentes tensoriales son:

Donde   son las coordenadas cartesianas rectangulares.

, es el símbolo de Kronecker o delta de Kronecker definida como: 

Los elementos   reciben el nombre de momento de inercia respecto al eje  , y son las componentes diagonales del tensor. Las componentes del tensor de inercia en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares son:

Y los tres productos de inercia según los mismos ejes:

Todas las formas anteriores pueden derivarse de la definición del tensor de momento de inercia haciendo :

.

El momento con respecto a cualquier otro eje puede expresarse como combinación lineal anterior de las anteriores magnitudes:

Donde la matriz es el tensor de inercia expresado en la base XYZ

y   es el vector paralelo al eje según el cual se pretende encontrar el momento de inercia.

Límite elásticoEl límite elástico, también denominado límite de elasticidad, es la tensión máxima que un material elastoplástico puede soportar sin sufrir deformaciones permanentes. Si se aplican tensiones superiores a este límite, el material experimenta un comportamiento plástico deformaciones permanentes y no recupera espontáneamente su forma original al retirar las cargas. En general, un material sometido a tensiones inferiores a su límite de elasticidad es deformado temporalmente de acuerdo con la ley de Hooke.

Los materiales sometidos a tensiones superiores a su límite de elasticidad tienen un comportamiento plástico. Si las tensiones ejercidas continúan aumentando el material alcanza su punto de fractura. El límite elástico marca, por tanto, el paso del campo elástico a la zona de fluencia. Más formalmente, esto comporta que en una situación de tensión uniaxial, el límite elástico es la tensión admisible a partir de la cual se entra en la superficie de fluencia del material.

Determinación del límite elástico[editar]

Determinación del límite elástico convencional.

Si se disponen las tensiones en función de las deformaciones en un gráfico se observa que, en un principio y para la mayoría de los materiales (los elastómeros no lo cumplen, por ejemplo), aparece una zona que sigue una distribución casi lineal, donde la pendiente es el módulo de elasticidad E. Esta zona se corresponde a las deformaciones elásticas del material hasta un punto donde la función cambia de régimen y empieza a curvarse, zona que se corresponde al inicio del régimen plástico. Ese punto es el límite elástico.

Debido a la dificultad para localizarlo exactamente y con total fidelidad, ya que en los gráficos experimentales la recta es difícil de determinar y existe una banda donde podría situarse el límite elástico, en ingeniería se adopta un criterio convencional y se considera como límite elástico la tensión a la cual el material tiene una deformación plástica del 0.2% (o también ε = 0.002)

Fluencia

Curva tensión-deformación.

La fluencia o cedencia es la deformación irrecuperable de la probeta, a partir de la cual sólo se recuperará la parte de su deformación correspondiente a ladeformación elástica, quedando una deformación irreversible. Este fenómeno se sitúa justo encima del límite elástico, y se produce un alargamiento muy rápido sin que varíe la tensión aplicada. Mediante el ensayo de tracción se mide esta deformación característica que no todos los materiales experimentan.

El fenómeno de fluencia se da cuando las impurezas o los elementos de aleación bloquean las dislocaciones de la red cristalina impidiendo su deslizamiento, proceso mediante el cual el material se deforma plásticamente.

Alcanzado el límite de fluencia se llegan a liberar las dislocaciones, produciéndose una brusca deformación. La defomación en este caso también se distribuye uniformemente a lo largo de la probeta, pero concentrándose en las zonas en las que se ha logrado liberar las dislocaciones (bandas de Lüders). No todos los materiales presentan este fenómeno, en cuyo caso la transición entre la deformación elástica y plástica del material no se aprecia de forma clara.

Se aprecia gráficamente en la curva tensión-deformación obtenida tras el ensayo de tracción: el periodo de fluencia se sitúa en el 2.

Límite de fluencia[editar]

Diagrama de tracción del acero

El límite de fluencia es el punto donde comienza el fenómeno conocido como fluencia, que consiste en un alargamiento muy rápido sin que varíe la tensión aplicada en un ensayo de tracción. Hasta el punto de fluencia el material se comporta elásticamente, siguiendo la ley de Hooke, y por tanto se puede definir elmódulo de Young. No todos los materiales elásticos tienen un límite de fluencia claro, aunque en general está bien definido en la mayor parte de metales.

También denominado límite elástico aparente, indica la tensión que soporta una probeta del ensayo de tracción en el momento de producirse el fenómeno de la cedencia o fluencia. Este fenómeno tiene lugar en la zona de transición entre las deformaciones elásticas y plásticas y se caracteriza por un rápido incremento de la deformación sin aumento apreciable de la carga aplicada.

Esbeltez mecánicaLa esbeltez mecánica, también denominada esbeltez, es una característica mecánica de las barras estructurales o prismas mecánicos que relaciona la rigidez de la sección transversal de una pieza prismática con su longitud total. Se caracteriza por un parámetro adimensional que interviene en el cálculo de las tensiones y predice las inestabilidades elásticas de las barras.

Además se distingue entre los valores de esbeltez natural dependientes sólo de las propiedades geométricas y mecánicas de la barra y esbeltez efectiva que contabiliza también las condiciones de enlace o sujeción en los extremos de la barra.

Índice

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1 Esbeltez flexional

o 1.1 Esbeltez flexional relativa (eurocódigo)

2 Esbeltez torsional

o 2.1 Esbeltez torsional relativa (eurocódigo)

Esbeltez flexional[editar]

Si sobre una barra esbelta recta se aplica un esfuerzo normal de compresión, además de acortamiento de la misma aparece una deflexión desde la forma recta, lo que se conoce como pandeo, la magnitud de cuyo efecto depende de la llamada esbeltez mecánica flexional, o simplemente esbeltez mecánica efectiva, que viene dada por:

(1)

Donde:

, es un valor adimensional que relaciona la esbeltez flexional natural y la esbeltez

flexional, depende de las condiciones de enlace en los extremos (ver más abajo).

, es la longitud real de la barra.

, es el módulo de Young.

, son respectivamente el valor del área de la sección transversal y del segundo

momento de área o momento de inercia mínimo de la sección transversal.

La fórmula (1) también puede escribirse como:

(2)

Donde L es la longitud natural de la barra, im el "radio de giro" mínimo (el menor de los dos posibles), A el área de la sección de la barra, Im el menor momento de área y α un coeficiente que dependiente del tipo de sujeción de los extremos de la barra, por ejemplo:

α = 2.00 Empotrada-Libre

α = 1.00 Biarticulada

α = 0.71 Empotrada-Articulada

α = 0.50 Biempotrada

En ocasiones el producto   es denominado longitud de pandeo ( ). Si se prescinde del valor de α en las fórmulas (1) y (2) se obtiene la esbeltez flexional natural de la barra.

Esbeltez flexional relativa (eurocódigo)[editar]

Algunas normas como la norma europea eurocódigo 3 usan la llamada esbeltez relativa donde que se obtiene de comparar la esbeltez flexional convencional un factor adimiensional que depende de las características de la sección y el material dicha esbeltez relativa viene dada por:

(3)

Donde:

, esbeltez flexional convencional.

, longitud de pandeo.

, es el módulo de Young.

, es la tensión de límite elástico del material.

, son respectivamente el valor del área de la sección transversal y del segundo

momento de área o momento de inercia mínimo de la sección transversal.

Esbeltez torsional[editar]

La esbeltez mecánica torsional, o simplemente esbeltez torsional, es un parámetro adimensional que mide el grado

de alabeo que presentará una sección al ser sometida a esfuerzos de torsión que viene dado por:

Donde:

, es la longitud natural de la barra.

, es un valor adimensional que relaciona la esbeltez torsional natural y la esbeltez torsional

efectiva y toma los mismos valores para la esbeltez flexional según sean las condiciones de

enlace en los extremos.

, es un parámetro relacionado con el esfuerzo cortante, que para barras esbeltas es

cercano a 1.

, son respectivamente el módulo de elasticidad transversal y el módulo de elasticidad

longitudinal.

, son respectivamente el módulo de torsión y el módulo de alabeo.

Torsión mecánica

Barra de sección no circular sometida a torsión, al no ser la sección transversal circular necesariamente se

produce alabeo seccional.

Viga circular bajo torsión

En ingeniería, torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas.

La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por las dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él (ver torsión geométrica).

El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de solicitación la sección transversal de una pieza en general se caracteriza por dos fenómenos:

1. Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la sección transversal. Si estas se representan

por un campo vectorial sus líneas de flujo "circulan" alrededor de la sección.

2. Cuando las tensiones anteriores no están distribuidas adecuadamente, cosa que sucede

siempre a menos que la sección tenga simetría circular, aparecen alabeos seccionales que

hacen que las secciones transversales deformadas no sean planas.

El alabeo de la sección complica el cálculo de tensiones y deformaciones, y hace que el momento torsor pueda descomponerse en una parte asociada a torsión alabeada y una parte asociada a la llamada torsión de Saint-Venant. En función de la forma de la sección y la forma del alabeo, pueden usarse diversas aproximaciones más simples que el caso general.

Índice

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1 Torsión general: Dominios de torsión

2 Torsión de Saint-Venant pura

o 2.1 Torsión recta: Teoría de Coulomb

o 2.2 Torsión no recta: Teoría de Saint-Venant

o 2.3 Analogía de la membrana de Prandtl

o 2.4 Secciones cerradas simples de pared delgada

o 2.5 Secciones multicelulares de pared delgada

3 Torsión alabeada pura

o 3.1 Secciones abiertas de pared delgada

4 Torsión mixta

5 Tensiones tangenciales máximas

6 Referencias

o 6.1 Bibliografía

Torsión general: Dominios de torsión[editar]

En el caso general se puede demostrar que el giro relativo de una sección no es constante y no coincide tampoco con la función de alabeo unitario. A partir del caso general, y definiendo la esbeltez torsional como:

Donde G, E son respectivamente el módulo de elasticidad transversal y el módulo elasticidad longitudinal, J, Iω son el módulo torsional y el momento de alabeo y L es la longitud de la barra recta. Podemos clasificar los diversos casos de torsión general dentro de límites donde resulten adecuadas las teorías aproximadas expuestas a continuación. De acuerdo con Kollbruner y Basler:1

Torsión de Saint-Venant pura, cuando  .

Torsión de Saint-Venant dominante, cuando  .

Torsión alabeada mixta, cuando  .

Torsión alabeada dominante, cuando  .

Torsión alabeada pura, cuando  .

El cálculo exacto de la torsión en el caso general puede llevarse a cabo mediante métodos variacionales o usando un lagrangiano basado en la energía de deformación. El caso de la torsión alabeada mixta sólo puede ser tratado la teoría general de torsión. En cambio la torsión de Saint-Venant y la torsión alabeada puras admiten algunas simplifaciones útiles.

Torsión de Saint-Venant pura[editar]

La teoría de la torsión de Saint-Venant es aplicable a piezas prismáticas de gran inercia torsional con cualquier forma de sección, en esta simplificación se asume que el llamado momento de alabeo es nulo, lo cual no significa que el alabeo seccional también lo sea. La teoría de torsión de Saint-

Venant da buenas aproximaciones para valores  , esto suele cumplirse en:

1. Secciones macizas de gran inercia torsional (circulares o de otra forma).

2. Secciones tubulares cerradas de pared delgada.

3. Secciones multicelulares de pared delgada.

Para secciones no circulares y sin simetría de revolución la teoría de Sant-Venant además de un giro relativo de la sección transversal respecto al eje baricéntrico predice un alabeo seccional o curvatura de la sección transversal. La teoría de Coulomb de hecho es un caso particular en el que el alabeo es cero, y por tanto sólo existe giro.

Torsión recta: Teoría de Coulomb[editar]

Ejemplo de solicitación que produce un momento torsor constante y torsión recta sobre en una barra de

sección cilíndric.

Distribución de tensiones sobre una sección circular maciza y una sección circular hueca para pequeñas

deformaciones.

La teoría de Coulomb es aplicable a ejes de transmisión de potencia macizos o huecos, debido a la simetría circular de la sección no pueden existir alabeos diferenciales sobre la sección. De acuerdo con la teoría de Coulomb la torsión genera una tensión cortante el cual se calcula mediante la fórmula:

Donde:

: Esfuerzo cortante a la distancia  .

: Momento torsor total que actúa sobre la sección.

: distancia desde el centro geométrico de la sección hasta el punto donde se está

calculando la tensión cortante.

: Módulo de torsión.

Esta ecuación se asienta en la hipótesis cinemática de Coulomb sobre como se deforma una pieza prismática con simetría de revolución, es decir, es una teoría aplicable sólo a elementos sección circular o circular hueca. Para piezas con sección de ese tipo se supone que el eje baricéntrico permanece inalterado y cualquier otra línea paralea al eje se transforma en una espiral que gira alrededor del eje baricéntrico, es decir, se admite que la deformación viene dada por unos desplazamientos del tipo:

El tensor de deformaciones para una pieza torsionada como la anterior se obtiene derivando adecuadamente las anteriores componentes del vector de desplazamiento:

A partir de estas componentes del tensor de deformaciones usando las ecuaciones de Lamé-Hooke llevan a que el tensor tensión viene dado por:

Usando las ecuaciones de equivalencia se llega a la relación existente entre la función α y el momento torsor:

Donde  , es el momento de inercia polar que es la suma de los segundos momentos de área.

Torsión no recta: Teoría de Saint-Venant[editar]

Para una barra recta de sección no circular además del giro relativo aparecerá un pequeño alabeo que requiere una hipótesis cinemática más complicada. Para representar la deformación se puede tomar un sistema de ejes en el que X coincida con el eje de la viga y entonces el vector de desplazamientos de un punto de coordenadas (x, y, z) viene dado en la hipótesis cinemática de Saint-Venant por:

Donde   es el giro relativo de la sección (siendo su derivada constante); siendo zC y yC las coordenadas

del centro de cortante respecto al centro de gravedad de la sección transversal y siendo ω(y, z) la función de alabeo unitario que da los desplazamientos perpendiculares a la sección y permiten conocer la forma curvada final que tendrá la sección transversal. Conviene señalar, que la teoría al postular que la derivada del giro es constante es sólo una aproximación útil para piezas de gran inercia torsional. Calculando las componentes del tensor de deformaciones a partir de las derivadas del desplazamiento se tiene que:

Calculando las tensiones a partir de las anteriores deformaciones e introduciéndolas en la ecuación de equilibrio elástico se llega a:

Analogía de la membrana de Prandtl[editar]

Para secciones macizas de gran rigidez torsional la distribución de las tensiones asociadas a la torsión guarda una analogía mecánica con la deformación de una membrana elástica cuasiplana. ConcretamentePrandtl probó en 1903 que la forma que adopta la membrana puede relacionarse con una función de tensiones cuyas derivadas dan las tensiones tangenciales en cada dirección.2 Dicho de otra manera la pendiente de una membrana de Prandtl deformada coinciden con las tensiones tangenciales de torsión de un prisma mecánico cuya sección transversal tenga precisamente la misma forma que la membrana.

En ese caso para una sección simplemente

conexa   (es decir, maciza), el problema de la torsión puede plantearse en términos de la función de tensiones de Prandtl que viene definida por:

Y en términos de estas las tensiones vienen dadas por:

Secciones cerradas simples de pared delgada[editar]

En este caso las tensiones tangenciales pueden considerarse aproximadamente constantes sobre una línea paralela al espesor de la pieza, es decir, perpendicular al contorno exterior de la pieza. La tensión tangencial en este caso puede expresarse mediante:

Donde:

, es el área encerrada por la línea media de la sección tubular.

, es el espesor de la sección tubular en el punto s de la curva del contorno.

Mientras que el giro:

En caso de que el espesor sea e(s) = e0constante esta última ecuación se reduce a:

Secciones multicelulares de pared delgada[editar]

Torsión alabeada pura[editar]

Para piezas de muy escasa inercia torsional, como las piezas de pared delgada abierta, puede construirse un conjunto de ecuaciones muy simples en la que casi toda la resistencia a la torsión se debe a las tensiones cortantes inducidas por el alabeo de la sección. En la teoría de torsión alabeada pura se usa la aproximación de que el momento de alabeo coincide con el momento torsor total. Esta teoría se aplica especialmente a piezas de pared delgada abierta, donde no aparecen esfuerzos de membrana.

Secciones abiertas de pared delgada[editar]

Para un rectángulo muy alargado (b << a) la tensión tangencial máxima y el giro pueden aproximarse por:

Para una perfil I o perfil H que puede ser aproximado uniendo rectángulos de

dimensiones   (dos alas rectangualres alargadas y un alma rectangular alargada) las expresiones anteriores se pueden generalizar a:

Donde τi,max es la tensión tangencial máxima sobre el rectángulo i-ésimo, bi es el espesor (ancho) de dicho rectángulo y ai su largo.

Torsión mixta[editar]

En el dominio de torsión de Saint-Venant dominante y de torsión alabeada dominante, pueden emplearse con cierto grado de aproximación la teoría de Sant-Venant y la teoría de torsión alabeada. Sin embargo en el dominio central de torsión extrema, se cometen errores importantes y es necesario usar la teoría general más complicada.

Donde las magnitudes geométricas   son respectivamente el segundo momento de alabeo y

el módulo de torsión y los "esfuerzos"   se denominan bimomento y momento de alabeo, todos ellos definidos para prismas mecánicos.

Tensiones tangenciales máximas[editar]

Para una pieza de sección ciruclar de radio R sometida a un momento torsor MT la tensión tangencial máxima viene dada por:

Para un triángulo equilátero y un cuadrado las tensiones máximas debidas a la torisón se dan sobre la mitad de uno de sus lados y vienen dadas por:

donde L es lado del triángulo o el cuadrado. Para una sección general simplemente conexa de gran rigidez torisonal sometida a torsión de Saint-Venant, y por tanto para cual sea válida la analogía de la membrana de Prandtl puede probarse que la tensión tangencial máxima debida a la torsión viene acotada de la manera siguiente:3

donde:

, es la mínima curvatura del contorno (positiva si el centro de curvatura cae dentro de la

sección, negativa si cae fuera).

 es un número relacionado con el radio del máximo   círculo que se

puede inscribir en la sección. Si además la curvatura es positiva en todo el contorno  ,

entonces