MOMENTOS DE INERCIA

CRISTIAN VERA , GABRIEL SANDOVAL, WILLIAM VARGAS∗

DEPARTAMENTO DE FÍSICA, UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

Abstract

Se intentó determinar el momento de inercia para varios cuer-pos de diferentes materiales, comparándolo con los resultados quese pueden obtener por la aplicación métodos teóricos. Para ello seutilizó la instrumentación que fue dispuesta en el laboratorio y seaplicaron dos procedimientos; el primero consistía en medir la acel-eración angular de las �guras para utilizar este dato en el cálculo delmomento de inercia. El segundo consistía en dejar caer masas desdeuna altura �ja para registrar su tiempo, y con estos datos calcularel momento de inercia. Comprobando así de dos maneras diferentes,algunas cualidades del momento de inercia.

Abstract

We aimed to determine the moment of inertia for various bodies of

di�erent materials, compared to the results that may be obtained by ap-

plying theoretical methods. The instrumentation that was arranged in

the laboratory was used and applied two procedures; the �rst consisted of

measuring the angular acceleration of the �gures to use this data in the

calculation of the moment of inertia. The second was to drop mass from

a �xed height to record their time, and with these data to calculate the

moment of inertia. So checking in two di�erent ways, some qualities of

moment of inertia.

1 Introducción

Es fácil darse cuenta que los objetos tienden a permanecer en el estado demovimiento en el que se encuentran y unos se oponen a cambiar tal estado conmás tenacidad que otros. Esta propiedad se conoce como inercia . Cuandoun cuerpo rota alrededor de un eje, presenta una propiedad análoga, segúnla cual, tiende a seguir girando alrededor de dicho eje, o, si el cuerpo no estárotando, presenta cierta resistencia a rotar. Dicha propiedad se denomina inerciarotacional o momento de inercia. Entre las nuevas caracteristicas se destacaademas, que esta no depende tan solo de la masa de un objeto, sino de cómo

∗wirvargasac@unal.edu.co

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esta se distribuye en el espacio, es decir, su forma respecto el eje de rotación.Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia delmismo se de�ne como la suma de los productos de las masas de las partículaspor el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Es sabido ademásque para un cuerpo de masa continua, su momento de inercia matemáticamentese expresa como:

I =

ˆm

r2dm (1.1)

Donde I Momento de Inecia, r la distancia al eje de rotación, y dm el

diferencial de masa.

El teorema de Steiner (denominado así en honor a Jakob Steiner) estableceque el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje quepasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al ejeque pasa por el centro de masa, más el producto de la masa por el cuadrado dela distancia entre los dos ejes:

Ieje = ICM +Md2 (1.2)

Donde Ieje Momento de inercia respecto a un eje que no pasa por el eje de

rotación, ICM Momento de inercia respecto al centro de masa, M masa total,

d distancia entre los dos ejes paralelos de rotación en consideración.

2 Aspectos experimentales

2.1 Parte A

Se utilizó un montaje que consta de un sistema rotante, un soporte horizontal

con un tambor de radio (2, 39± 0, 005cm), sobre el cual se ubicaron los objetosa los que se les midió el momento de inercia (ver Tabla 1), para esto se enrrollóuna cuerda al tambor y en el extremo libre se sujetó una masa m.Se le añadeuna polea al extremo de la mesa, para que una masa caiga desde una alturah1= 0, 715m del suelo, haciendo girar el sistema. Para intentar encontrar unarelación entre el momento de inercia del objeto rotante y el tiempo que le tomabaa la masa m llegar al suelo desde la altura establecida, se utilizó el principio deconservación de la energía para llegar a la siguiente fórmula[3]

I = mr2(gt2

2h− 1

)(2.1)

1. Se determinó el momento de inercia tambor más soporte usando una masam=50g, dejándola caer desde la altura h1, repitiéndose 5 veces el procesode registro del tiempo de caída.

2. Luego se colocó el disco sobre el soporte, variando la masa colgante regis-trando el tiempo de caída 5 veces para cada masa. Se reemplazó el discopor el anillo, a continuación se repitió el proceso anterior.

2

Figure 2.1:

3. Se colocaron simultáneamente el disco y el anillo repitiendo el proceso delnumeral 1.

4. Se colocó un cilindro vertical sobre el centro del disco, repitiéndose elproceso del numeral 1.

5. Se colocaron dos cilindros sobre el disco, colocando el anillo para contenerel movimiento producto de la inercia lineal de los cilindros. Repitiendoademás el proceso del numeral 1.

2.2 Parte B

En esta parte de la práctica se usó el montaje de dinámica rotacional PASCO,que consta de un soporte para poner discos metálicos de forma horizontal. Me-diante una polea sujeta al disco superior, se ata una cuerda, que reposa en otrapolea ubicada en el extremo del aparato de forma que una masa, sujeta al otroextremo de la cuerda, pueda colgar.

En este caso es posible aplicar una fuerza tangencial constante a un sistemaen rotación a través de una polea. Gracias a que, tanto la polea como la fuerza,se mantienen constantes, se genera un torque constante.

Se tomaron datos de doce casos en los que cambia el sistema en rotación quefueron comparados con datos obtenidos teóricamente. (Ver Tablas 3,4,5).

Para los casos en que los cilindros estaban sobre la cruz, estos se encontrabansiempre dispuestos horizontalmente.(Ver Figure 2.3). Separándose además, 1 cmen cada medida mientras estaban en el eje horizontal.

1. El aparato usado arroja un registro cada 2 segundos que se convierte avelocidad angular usando una constante κ, luego se halla la aceleraciónangular, tomando varios registros de L para esto. Finalmente se prome-diaron los cálculos de la aceleración angular, para cada caso en la Tablas3 y 4.

ω = κLi

3

Figure 2.2:

Figure 2.3:

α =ωn − ωn−1

2

Donde κ = π/100, α aceleración angular, ω velocidad angular, Li lectura

en la máquina.

2. Se dispuso del aparato de dinámica rotacional para permitir las medidasdel momento de inercia del disco de Al (ver Tabla 5). Para una alturah2 = 0, 95m, variando la masa colgante mientras se registraba el tiempode caída 4 veces para cada masa.

3 Resultados y análisis

3.1 Parte A

En las grá�cas (véase Figure 3.1,3.2,3.3) se muestra el momento de inercia decada uno de los cuerpo como función del objeto que cae. Las líneas naranjas

4

Table 1:

Table 2:

representan el valor teórico para el momento de inercia de la �gura, los puntosazules las medidas experimentales, así como el margen de error en las medidas.Puede observarse que el momento de inercia teóricamente no depende de lamasa, mientras experimentalmente varía muy ligeramente, sin que parezca estoatribuible a la masa, puesto que la variación no parece seguir un patrón deter-minado mientras varía la masa, manteniendo en general un tendencia similar ala teórica.

El valor experimental presenta pequeñas variaciones, aunque no di�ere sig-ni�cativamente. Lo anterior debido a errores de humanos de medida, propiosde los instrumentos usados y factores omitidos.

De acuerdo a lo observado en la experiencia resulta una buena aproximaciónIdisco+anillo = Idisco+Ianillo. Mientras en el caso de disco más cilindro, los datosno avalan el uso de una lógica similar a la usada anteriormente.(Ver Tabla 2).Sin embargo, si el eje de rotación no atraviesa el centro de masa de los cilindros,experimentalemente puede comprobarse el teorema de los ejes paralelos (Ec.1.2), sin tener mayor discrepancia.

Figure 3.1:

5

Figure 3.2:

Figure 3.3:

6

Table 3:

Table 4:

3.2 Parte B

Como el momento de inercia de la polea es del orden de 8 × 10−7se puededespreciar su importancia en los calculos, sin embargo fue tenido en cuenta.

En la grá�ca 3.7, puede apreciarse el valor teórico del momento de inercia deldisco de Al, junto con los valores experimentales obtenidos. Puede observarselos valores experimentales se aproximan al valor teórico, no resulta apreciableuna dependencia signi�cativa.

En las grá�cas (veáse Figure)

Table 5:

7

Figure 3.4:

Figure 3.5:

Figure 3.6:

8

Figure 3.7:

4 Conclusiones

4.1 Cabe resaltar que en donde puede apreciarse una discrepancia

alta, puede deberse a errores sistemáticos, así como la omisión

de factores que podrían afectar de alguna manera la medida,

tales como la extensión de las cuerdas, especialmente en la

parte A.

4.2 A partir de la coparación de ambas experiencias puede con-

cluirse que la fricción es un factor que inter�ere signi�cativa-

mente a la hora de tomar los datos para esta experiencia.

References

[1] Daniel Kleppner, Robert Kolenkow. An introdution to mechanics, (1973) p.248-254.

[2] Fernando Cristancho, Fabio Fajardo. Física Experimental II, p. 80-87.

[3] Paul Hewitt, Física Conceptual. p. 134-137

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