modulo educativo

IEP. “SEÑOR DE LAVIDA” MATEMÁTICA - 1º SECUNDARIA

Lic. José Azañero Sánchez. - Lic. Alex Iparraguirre Zavaleta. www.iepsenordelavida.edu.pe

Representa de diversas formas la dependencia

funcional: verbal, tablas, gráficos etc.

MÓDULO Nº 2

Tema: RELACIONES Y FUNCIONES

CAPACIDAD

I. ACTIVIDAD DE REFLEXION: Ejemplo 1: El director de la I.E.P. Señor de la Vida

quiere construir una piscina de forma cúbica para el

área de educación física.

La Ingeniera está pensando en la cantidad de agua que

será necesaria para llenar la piscina. Esto dependerá de

la longitud del lado con la que se construya dicha

piscina.

La relación entre la longitud del lado de la piscina y el

volumen de agua que contiene, se puede representar

de tres formas distintas: mediante tablas, gráficas y fórmulas.

TABLA GRÁFICA FÓRMULA

El responsable de la construcción de la piscina tiene una

duda: ¿podríamos llenar dos piscinas cúbicas de iguales

dimensiones con distinto volumen de agua?

La respuesta es _____________________________

___________________________________________

Por tanto: La relación entre la longitud del lado de la

piscina y su volumen es una función porque a cada valor

del lado le corresponde un único valor del volumen.

RECUERDA



PAR ORDENADO

Conjunto de dos elementos y denotado por (a; b), siendo “a” la 1era componente y “b” la segunda componente.

Teorema

Dos pares ordenados son iguales si y sólo si sus respectivas componentes son iguales.

Así tenemos:

. (a; b) = (c; b) a = c b = d .

!ATENCIÓN!

(a; b) (b; a)

Ejemplo:

Si los pares ordenados (3m + 1; 9), (7; n + 2) son iguales, hallar “m + n”

Resolución

(2m + 1; 9) = (7; n + 2)

2m + 1 = 7 9 = n + 2

m = 3 n = 7

m + n = 10

PRODUCTO CARTESIANO

Sean los conjuntos no vacíos A y B se llama producto cartesiano de A con B denotado por A . B al conjunto de

pares ordenados, tal que la primera componente pertenece al conjunto A y la segunda componente pertenece al

conjunto B.

Así: A x B {(a; b)/a A b B}

Ejemplo: A = (3, 5,7) ; B = {2, 3}

Hallar A x B y B x A

Resolución

A x B {(3; 2), (3; 3), (5; 2), (5; 3), (7; 2), (7; 3)}

B x A {(2; 3), (2; 5), (2; 7), (3; 3), (3; 5), (3; 7)}

Observamos que: A . B B . A

(no es conmutativo)

Propiedades

1. El número de elementos de A . B es igual al producto del número de elementos de A por el número de elementos

de B.

n(A x B) n(A) x n(B)

2. Si: A x B = B x A A = B

3. Notación: A x A = A2



67

Grafica de un producto Cartesiano

Sea: A = {1; 2; 3} B = {a; b}

Hallar: . A x B y graficar .

Resolución

A x B = {1; 2; 3} . {a; b} A x B = {(1; a), (1; b), (2; a),(2; a),(3;a),(3;b)}

II. CONSTRUCCION DELCONOCIMIENTO:

RELACIONES

Una idea de relación es:

Sean los conjuntos: A = {Lima; Bogota; Montevideo}

B = {Colombia; Perú; Uruguay}

Y la regla de correspondencia: “........ Es capital de ...........”

Entonces podemos establecer el siguiente esquema



69

Otra manera de escribir el esquema anterior es con Pares

ordenados (Lima; Perú), (Bogotá; Colombia), (Montevideo; Uruguay)

Una relación es una correspondencia entre dos conjuntos que asocia elementos de un conjunto con algún elemento

de otro conjunto.

Si tenemos los conjuntos no vacíos A y B la relación R de A en B la podemos obtener como un subconjunto de

producto Cartesiano.

Así tenemos:

. R = {(x; y) A x B / x A x B} .

En la relación R de A en B denotado por R: A B.

es el conjunto de partida y B el conjunto de llegada, sus elementos x e y se llaman pre imagen e imagen

respectivamente y R se encarga de la correspondencia entre ellos.

Así: x R y dice que “x” se relaciona con “y” mediante R se puede reemplazar por: >; =; , es el doble de, etc.

Ejemplo: Dados los conjuntos:

A = {3, 6, 2} B = {4, 7}

Hallar:

A x B =

R1 = {(x; y)} A x B / x < y}

R2 = {(a; b) A x B / a + b es par}

R3 = {(m, n) A x B / m . n es múltiplo de 3}

Resolución

A x B = {(3; 4), (3; 7), (6; 4), (6; 7), (2; 4), (2; 7)}

R1 = {(3, 4), (3; 7), (2; 4), (2; 7)}

R2 = {

R3 = {

Notación:

R : A B : donde

A : Conjunto de partida

B : Conjunto de llegada

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN

Dominio

Es el conjunto cuyos elementos son todos los primeros componentes de los pares ordenados de la relación.



Rango

Es el conjunto cuyos elementos son todas las segundas componentes de los pares ordenados de la relación.

En toda relación hay:

a) Un conjunto de partida

b) Un conjunto de llegada

c) Una regla de correspondencia

Ejemplo: Dados los conjuntos

A = {7, 9, 11} ; B = {4, 7, 12}

Se define la relación R1 de la siguiente manera:

R1 = {(x; y) A . B / x < y}

Hallar su dominio y rango de R1

Resolución

A . B = {(7; 4), (7; 7), (7; 12), (9; 4),(9; 7), (9; 12), (11; 4), (11; 7)(11; 12)}

Luego se escoge los pares ordenados que cumplan con la condición

x < y (la 1ra componente sea menor que la 2da componente)

Así tenemos:

R1 = {(7; 12), (9, 12); (11; 12)}

Luego

Dominio de R1 = Dom(R1) = {7, 9, 11}

Rango de R1 = Rang (R1) = {12}

RELACIÓN BINARIA

Dados los conjuntos A y B, decimos que R es una relación de A en B si es un subconjunto del producto cartesiano

A x B

Notación:

R: A B R A x B

Donde

R: A B, si lee: “R es una relación de A en B”

R A x B; se lee “R esta incluido en A x B” o “R es un subconjunto de A x B”

Ejemplo: Dado: A = {1, 2, 3,} B = {1, 2}

Hallar: R = {(x; y) A x B / x 2}



Resolución

A x B = {(1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2), (3; 1), (3; 2)}

Luego:

R = = {(2; 1), (2; 2), (3; 1), (3; 2)}

Clases de Relaciones.

3.1. Relación Reflexiva.

V x A (x,x) R

3.2. Relación Simétrica.

(x,y) R (y,x) R

3.3. Relación Transitiva.

(x,y) R (y,z) R (x,z) R

3.4. Relación Equivalencia.

Cuando cumple los casos anteriores.

FUNCIONES

1. DEFINICIÓN.

Una función es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que asocia un elemento del primer

conjunto con un único elemento del segundo conjunto.

De acuerdo a la definición analicemos os siguientes diagramas sagitales, donde:

A = conjunto de partida

B = conjunto de llegada

1

2

3

4

5

6

AB

F1

f1 ………

1

2

3

4

5

6

AB

F2



f2…………

1

2

3

4

5

6

B

f3 ………

NOTACIÓN DE UNA FUNCIÓN. F = {(x,y) A x B / y = f(x) }

Donde:

A : Conjunto de partida

B : Conjunto de llegada

2. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN.

2.1. Dominio: Dom (f).

Denominado también pre-imagen, es el conjunto de los primeros elementos de la correspondencia que

pertenece al conjunto de partida A.

2.2. Rango: Ran (f).

Denominado también imagen, recorrido o contradominio, es el conjunto de los segundos elementos de la

correspondencia que pertenece al conjunto de llegada B.

Dom (f) A Ran (f) B

Ejemplo: Encontrar el dominio y rango de la siguiente función:

F={(2,5),(-1,-3),(2,2a-b),((-1,b-a),(b2,a) }

Resolución:

(2,5) = (2,2a-b) 2a – b = 5

(-1,-3) = (-1,b-a) b - a = -3

a = 2

Luego la Función F será:

F = {(2,5), (-1,-3), (1,2)}

Dom (f) = {-1,1,2} Ran (f) = {3,2,5}

III. TRANSFERENCIA: Resuelve los siguientes ejercicios y problemas en tu cuaderno de trabajo.

Y = f(x) Regla de

correspondencia



1. Hallar la suma de los elementos del dominio

de la relación:

R = {(1; 0), (2; 3), (7; 9), (2;5)}

Rpta.

2. El gráfico adjunto, indica la relación “R”

definida en A x A.

Calcular la suma de los elementos del rango

de la relación

Rpta.

3. Hallar los valores de “x” e “y” para que

exista la igualdad de los siguientes pares

ordenados.

(3x; 10) = (18; y - 3)

(5; 3 – 2x) = (5y; 5)

Rpta.

4. Hallar la mayor suma de elementos de algún par

ordenado de N x M. Si

M = {x N / 3 < x < 6}

N = {x z / -2 < x 1}

Rpta.

5. Hallar el dominio de R1 en:

A = {2; 3; 5; 6} B = {3; 4; 6}

R1 = {(x; y) A x B / x < y}

Rpta.

6. Hallar el rango de R2 en:

A = {3; 5; 7; 9} B = {1, 2}

R2 = {(x; y) A x B / x + y > 6}

Rpta.

7. Dada las siguientes relaciones, definidas en A = {1; 2;

3}, indicar la relación que es reflexiva justifique su

respuesta.

R1 = {(1; 2), (2; 3), (3; 3)}

R2 = {(1;1), (2;2), (3;3), (3;1)}

Rpta.

8. Dadas las siguientes relaciones, definidas

en M = {3, 5; 7} indicar la relación que es

simétrica. Justifique su respuesta.

R1 = {(3; 3), (3; 7), (7; 5)}

R2 = {(5; 3), (3; 5), (5; 5), (7;5)}

R3 = {(7;7),(3;5),(5;3),(7;5),(5;7)}

Rpta.

9. Hallar la suma de los elementos del dominio de

la relación “R” de “A en “A”

A = {4; 5; 6; 7; 8; 9}

R = {(a; b) A x A / b = a + 2}

Rpta.

10. Dados los conjuntos:

A = {1; 2; 3; 4}

B = {4; 5; 7; 8}

¿Cuál de los siguientes conjuntos son relaciones

de “A” en “B”

R1 = {(1; 5), (2; 7), (2; 8)}

R2 = {(2; 5), (2; 8), (4; 4)}

R3={(3; 5),(4; 2),(4; 8)}

Rpta.

11. Dados los conjuntos

A = {2; 4; 6}

B = {1; 2; 3}

Se tiene una relación “R” de “A” en “B”.

R={(2;1) (2;2) (2;a) (4;1) (4;b) (4;3)}

Si ningún par ordenado de “R” está repetido,

hallar “a + b”



Rpta.

12. Dado el conjunto:

A = {x/x N; 5 < 2x < 15}

Hallar el rango de la relación

R = {(a; b) A x A / a + b < 9}

Rpta.


A = {1; 3; 6}

B = {2; 4; 7}

C = {3; 4; 5; 6}

Cuántos conjuntos tendrá

(A - B) x (B - C)

Rpta.

14. De las siguientes relaciones. ¿Cuáles no son

funciones?

I. 6;6,5;5,4;4

II. 4;6,4;5,4;4,4;3

III. 6;5,3;5,2;5

IV. 5;2,2;5,4;3,3;4

V. 9;2,8;3,4;7,6;3

a) I ,II b) II,III c) III,IV,V d) III,V e) Sólo III

15. ¿Cuáles de los siguientes diagramas de Venn –

Euler representan a funciones:

A BI.- f

A BII.- f

A BIII.- f

A BIV.- f

A BV.- f

Son ciertas:

a) Todas b) I, IV y V c) I, III y IV d) I y I e) Sólo I

16. Dados los conjuntos 5;4;3;2;4;3;2;1 BA

¿Cuáles de las siguientes relaciones son

funciones?

yxAxByxR

yxAxByxR

yxAxByxR

1/;3

/;2

/;1

a) R1;R2;R3 b) Ninguna c) R2;R3

d) R3 e) R1;R2

17. Marcar verdadero (V) o falso (F)

Según corresponda:

* Toda función es una relación ( )

* Toda relación es una función ( )

* Toda recta es una función ( )

* Toda parábola es una función ( )

a) FVFF b) VFFF c) VFVV d) VFVF e) VFFV

18. De la figura mostrada:

(x)

(y)

f(x)6

3

2

1

1 2 3 4 5

Halle el valor de:)3(f)2(f

)1(f)5(fE

a) 1 b) ½ c) 2 d) 1/3 e) 3

19. De los gráficos:

3

4

5

8

f

3

2

1 2

g

3

Y

X



Calcule: )2(g)4(f

)3(g)3(f

20. Sea la función:

12;9x;1x

4;2x;1x)x(f

2

2

Calcule f(f(3))

21. Si f y g representan funciones:

Calcule: f(1).f(2).f(3) + g(6) + g(4) + g(5)

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

22. Sean los conjuntos

A = { 3 ; 6 ; 9} B = { 2 ; 4 } y el diagrama

sagital A x B

Hallar el valor de: ab

abab

a)4 b)5 c)6 d)3 e) 9

23. Calcule la suma de elementos del rango de R ,

si: R = { (a ; b) N x N / 1< a < b < 6}

a)12 b)9 c)11 d)10 e) 9

24. Si A = { 3, 4 , 5} se define en A2 las relaciones

R1 = { (x ; y )/ x + y es impar }

R2 = { (a ; b )/ a . b es par }

Calcular n( R 1 R 2 )

a)5 b)6 c)8 d)9 e) 12

25. Dado el conjunto:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, se grafica una función de A

en A, así: F: A A

12 3

64

5

Indicar la suma de elementos de su rango.

a) 21 b) 17 c) 16 d) 15 e) 12

26. Si el conjunto de pares ordenados

F = {(4 ; 3), (2 , x) , (4 ; y -1),(7 ; 5),(2 ; y)}

Representa una función,

halla Dom F Ran F

a) {2 ;4;7} b) {2;4} c) {4}

d) { 2} e) {5}

27. Siendo f una función lineal talque:

2 f (2) + f (4) = 21

f ( 3) 3 f (1) = 16

Hallar f (1)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Hallar la suma de los elementos del dominio de la

relación

R = {(1; 2), (4; 5), (7; 3), (2; 11)}

A) 5 B) 12 C) 13

D) 14 E) 21

2. El gráfico adjunto, indica la relación R definida en

A x A

3

f

1

2

0279 6

g

4

53

1

2



Calcular la suma de los elementos del rango

de la relación “R”

A) 9 B) 10 C) 11

D) 12 E) 13

3. Hallar “x + y” si existe la igualdad del

siguiente par ordenado

(2x + 5; 9) = (11; y - 7)

A) 26 B) 3 C) 20

D) 19 E) 1


A = {x + 3 / x N 5 <x < 12 }

B = {8; 9; 12; 14}

¿cuántos elementos tiene el producto cartesianos de

A x B?

A) 20 B) 21 C) 22

D) 24 E) 25

5. Si los pares ordenados:

(m + 3; n - 5) y (11 – m; m)

son iguales, hallar “m + n”

A) 10 B) 11 C) 12

D) 13 E) 15


A = {1; 2; 3; 4; 5}

B = {4; 5; 6; 7; 8}

Se define la relación “R” de “A” en “B”

R = {(a; b) A x B / b = a + 2}

Hallar la suma de los elementos del dominio

A) 13 B) 14 C) 15

D) 16 E) 17

7. Dado el conjunto A = {4; 6; 7; 8; 9} y la

relación R = {(a, b) A x A / a + b < 12}

Hallar la suma de los elementos del rango.

A) 18 B) 17 C) 19

D) 21 E) 12

8. Hallar “x” e “y” para que se cumpla:

(x + 7; y) = (12; x + 1)

A) 5 y 6 B) 3 y 6 C) 5 y 4

D) 5 y 7 E) 4 y 6

9. Sea el conjunto:

A = {2; 3; 4;: 5, 8; 10}

Y la relación:

R = {(a; b) A x A / a + b = 12}

Hallar la intersección del dominio y el rango de la

relación

A) {2} B) {2,4} C) {2,4,8}

D) {10} E) {2, 4, 8, 10}


A = {1; 5; 7} B = {3; 4; 5}

C = {4, 5; 8}

Hallar el número de elementos de: A x (B ∩ C)

A) 5 B) 6 C) 7

D) 8 E) 9



IV. AUTOEVALUACION:

1. En el desarrollo de este modulo me he sentido:

Muy bien Bien Más o menos Mal

Porque:………………………………………………………………………………………………………….

2. Lo desarrollado en este módulo me parece importante: SI NO

Porque:………………………………………………………………………………………………………….

3. Mi esfuerzo en este tema lo calificaría como:

Muy bueno Bueno Poco Muy poco

Porque:………………………………………………………………………………………………………….

4. Mi rendimiento es este Tema lo calificaría como:

Excelente Bueno Regular Malo

Porque:………………………………………………………………………………………………………….

Resuelve los niveles I y II de funciones de tu libro Pág. 348 – 350 (Así como revisa MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL Y MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONAL)



Resuelve problemas que implique razones y proporciones

MÓDULO Nº 3

Tema: RAZONES Y PROPORCIONES

CAPACIDAD

I. ACTIVIDAD DE REFLEXION:

COMENTARIO PREVIO

En nuestro quehacer cotidiano, podemos notar que

establecemos constantemente comparaciones como

por ejemplo

Un árbol es más alto que otro.

El peso de una persona es el doble que el de la

otra.

Este año tiene más días que el año pasado.

El costo de un artículo hace un mes era de $ 32

actualmente es de $ 61

La Temperatura en chimbote es de 24° C y en

Huaraz 9° C

En los casos anteriores se observa que el costo,

temperatura, altura son susceptibles de ser medidos

de allí que se les define como magnitud matemática,

se nota también que toda magnitud matemática viene

asociada a una cantidad, lo cual nos permite hacer

comparaciones y es precisamente ello lo que vamos a

estudiar.

II. CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO

RAZÓN: Es el resultado de comparar dos cantidades;

puede ser de dos clases:

1. RAZÓN ARITMÉTICA: Cuando se compara

mediante la diferencia.

Ejemplo:

Si tenemos:

OBSERVACIÓN: Las unidades de la razón son las

unidades del antecedente en general:

2. RAZÓN GEOMÉTRICA: Cuando la comparación es

mediante el cociente

Ejemplo:

OBSERVACIÓN: Cuando nos digan: dos cantidades

son entre sí como 3 es a 2, podremos plantear:

En general:

H bresM

bres bres

ANTECEDENTE CONSECUENTE RAZON

4530

45 15 mujeres

30 mujeres hom

hom hom

H bresM

bresRAZON

ANTECEDENTE

CONSECUENTE

4530

45

30

3

2

mujeres

H

M

mujeres

hom hom( )



PROPORCIÓN: Es la igualdad de dos razones y puede

ser de dos clases:

a) PROPORCIÓN ARITMÉTICA (Equi - diferencia)

Propiedad:

Suma de Extremos = Suma de Medios a + d =

b + c

b) PROPORCIÓN GEOMÉTRICA (Equi - cociente)

"El producto de extremos es igual al producto de

medios"

Observación: La proporción geométrica también se

acostumbra representar como:

CLASES DE PROPORCIONES

I. DISCRETAS: Si sus cuatro términos son diferentes

entre sí

a) Aritméticas discretas

Al último término se le llama cuarta

diferencial

b) Geométricas discretas

Al último término se le llama cuarta proporcional

II. CONTÍNUAS: Si sus términos medios son iguales

a) Aritméticas continuas

Se cumple:

A cada término igual se le llama media

diferencial y cada término distinto se le llama

tercera diferencial

b) Geométricas continuas

Se cumple:

(b es la media proporcional de a y d)

A cada término igual se le llama media

proporcional y a cada término distinto se le llama

tercera proporcional.

2

2

b a c

ba c

b a d

b a d

2 .

.



III. TRNASFERENCIA

1. Dos de cada 5 alumnos de la clase son niños. Hay

14 niños en la clase. ¿Cuántos alumnos hay en

total?

a) 24 b) 30 c) 35 d) 28 e) 30

2. Se consiguen naranjas a 6 por 3 soles. ¿Cuánto

costarán 24 naranjas?

a) 24 b) 30 c) 35 d) 28 e) 30

3. En un grupo, la razón de hombres casados a

solteros es de 5 a 3. Si hay 240 hombres en el

grupo. ¿Cuántos hay casados?

a) 124 b) 130 c) 150 d) 128 e) 160

4. La razón de dos números es 2/5. Si el mayor es 30.

¿Cuál es el menor?

a) 12 b) 13 c) 15 d) 18 e) 14

5. Dos números son entre sí como 7 es a 3. Si la suma

de dichos números es 800. Hallar el menor.

a) 560 b) 240 c) 360 d) 120 e) 300

6. La razón de dos números es como 11 es a 9; si la

diferencia de dichos números es 300. Hallar el

mayor.

a) 1450 b) 1650 c) 1258 d) 1028 e) 1230

7. Dos números son entre sí como 2 es a 3; si la suma

de sus cuadrados es 52. Hallar el menor número

positivo.

a) 4 b) 3 c) 5 d) 8 e) 6

8. Dos números son entre sí como 4 a 9, si la suma de

sus raíces cuadradas es 20. Hallar el mayor.

a) 144 b) 126 c) 135 d) 128 e) 130

9. La razón aritmética de dos números es 26 y su

razón geométrica es 9/7. Hallar el antecedente.

a) 124 b) 117 c) 66 d) 128 e) 130

10. La suma y la diferencia de dos números son entre sí

como 15 es a 7. Dichos números forman una

proporción con:

a) 11 y 4 b) 33 y 6 c) 33 y 4 d) 22 y 6 e) NA

11. La relación entre dos números es de 9 a 11. Si a uno

de ellos se le suma 25 y al otro se le resta 33,

ambos resultan igualados. Hallar el menor de

dichos números.

a) 261 b) 117 c) 266 d) 128 e) 130

12. Las edades de dos personas actualmente son de 28

y 35 años. ¿Dentro de cuántos años sus edades

estarán en la razón de 5/6?

a) 4 b) 7 c) 5 d) 8 e) 6

13. Sabiendo que el producto de los cuatro términos

de una proporción geométrica continua es 256 y

que uno de sus términos extremos es 8. Hallar la

suma de los cuatro términos.

a) 12 b) 14 c) 15 d) 18 e) 16

14. En una fiesta hay 45 varones y 60 damas. Si se

retira un cierto número de parejas, ahora el

número de varones es al número de damas como 2

es a 3. ¿Cuántas parejas se retiraron?

a) 14 b) 13 c) 15 d) 18 e) 16

15. En una proporción aritmética, la suma de los

términos extremos es igual a 52. Sabiendo que los

términos medios se diferencian en 16 unidades,

hallar el mayor de los medios.

a) 34 b) 33 c) 35 d) 38 e) 36

16. calcular la suma de la cuarta diferencial de 32; 24 y

45 con la media diferencial de 23 y 31.

a) 64 b) 53 c) 55 d) 58 e) 66

17. Tres números son entre sí como 2; 3 y 5; si la suma

de dichos números es 600. Hallar el número

intermedio.

a) 120 b) 140 c) 180 d) 300 e) 240

18. Dos números están en la relación de 3 y 7. Si se

aumenta 135 a uno de ellos y 75 al otro se obtiene

cantidades iguales. ¿Cuál es el menor?

a) 105 b) 115 c) 45 d) 75 e) 60

PRÁCTICA DE CLASE

Alumno: Ahora te asiste poner en práctica todo lo aprendido de este tema. Tienes tu compendio y la orientación de tu profesor para lograrlo



19. Si: 534

CBA Y 48

23

..23

CBA

BA. Hallar el

valor de: CB2

a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 7

20. La suma de los cuatro términos de una proporción

es 65; cada uno de los tres últimos términos es los

2/3 del precedente. ¿Cuál es el último término?

a) 27 b) 18 c) 12 d) 8 e) 14

IV. RESUMEN CONCEPTUAL

OBSERVACIÓN: Cuando nos digan: dos cantidades son

entre sí como 3 es a 2, podremos plantear:

I.AUTOEVALUACION:



Porque:………………………………………………………………………………………………………….

2. Lo desarrollado en este modulo me parece importante: SI NO

Porque:………………………………………………………………………………………………………….



Porque:………………………………………………………………………………………………………….



Porque:………………………………………………………………………………………………………….



Resuelve problemas de la vida diaria que implique

porcentaje

MÓDULO Nº 4

Tema: PORCENTAJES

CAPACIDAD

I. ACTIVIDAD DE REFLEXION: INICIANDO: En la vida diaria se presentan situaciones como:

El 82% de los alumnos de la IEP “Señor de la Vida” practican algún tipo de deporte. Esto quiere decir que de cada

100 alumnos del colegio, 82 practican algún tipo de deporte. Lo que significa que si en el colegio hay 600 alumnos (6

cientos) ¿Cuántos alumnos practican algún deporte?

Si no pudiste resolverlos revisemos la información que a continuación se te brinda.

A continuación obtendrás información, que te ayudará resolver este tipo de problemas sobre porcentajes.

II. CONSTRUCCION DELCONOCIMIENTO:

TANTO POR CIENTO O PORCENTAJE El tanto por ciento o porcentaje, es el número de centésimas partes que se puede tomar de una cantidad cualquiera. Por ejemplo: * 5 por ciento nos indica que tomemos: 5/100 de una cantidad cualquiera * 23,7 por ciento nos indica que tomemos: 23,7/100 de una cantidad cualquiera. La expresión “por ciento” se simboliza por %, que es la abreviatura de 1/100 Así tenemos que: Toda expresión porcentual puede escribirse en su forma equivalente (< >), como una fracción o un número decimal, es decir:

6 por ciento < > 6 % < > 100

6 < > 6 x

100

1

1/5 por ciento < > 1/5 % < >100

5

1

< > 100

1

5

1x

(a – b) por ciento < > (a – b )% < > 100

) b - a( < > (a – b ) x

100

1

Consideraciones * Una cantidad total representa su 100 % * Media cantidad, representa el 50 % * Una cantidad aumentada en el 28 % representa el 128 % ( tanto por ciento más )

A % = 100

A

IEP. “SEÑOR DE LAVIDA” AREA MATEMATICA


* Una cantidad disminuida en su 37 % representa el 63 % ( tanto por ciento menos)

CÁLCULO DE PORCENTAJES Todos los problemas de porcentajes, pueden al final, reducirse a una expresión como la siguiente:

P % de N = R de donde:

P % = Nos indica el número de centésimas a tomar N = Representa la cantidad de la cual hay que tomarlas. R = Es el resultado de la operación anterior. En porcentajes se dan tres situaciones o casos, que se deducen de la forma general, es decir: Recordar: Las palabras “de” , “del” , “de los” significa que debemos multiplicar y la palabra “es” significa igual. Ejemplos

1. En una aula del 2do. Año rindieron examen 55 alumnos de los cuales 13 fueron desaprobados. Hallar el % de alumnos aprobados. Solución:

Fueron aprobados: 55 – 13 = 42

Luego hallamos que % de los 65 es 42 aprobados Aplicando : R. T. S.: 55 100 % 42 x

2. El 15 % del 40 % de los 5/8 de un número es equivalente al 25 % del 0, 02 % de 2 250. El número es : Solución: Sea el número: N Entonces:

2250100

02.0

100

25

8

5

100

40

100

15xxxxx N

Primer Caso: RdeNP%

Se conocen P% y N

Se desconocen R

Ejercicios:

1. Hallar el 30% de 6000.

2. Hallar el 0,4% de 50000.

3. Hallar el 2% del 6% de 35000.

4. Hallar los 2/5% de la cuarta parte de 6000;

disminuido en 2.

5. Si: A=3/8 del 0,02% de 160000.

B=5/6 del 0,3% de 40000

6. De un granja de 4800 pollos se venden el 25%

y se donó a Essalud el 25% de los que

quedaban. ¿Cuántos pollos quedan en la



granja?.

7. Leonor compró un libro a s/18 que le habían

ofrecido a s/ 21. Aarón compró un pantalón a

s/ 54 que costaba s/ 60 ¿Quién recibió mayor

descuento?

8. Si un comerciante vende una tonelada de

camote de la siguiente manera: El 25% lo

vende a s/ 0,50 el kg y el resto a s/ 0,80 el kg.

¿Cuánto invertirá para su negocio si

corresponde al 72% de los que recauda?

Segundo Caso: RdeNP%

Se conocen P% y R

Se desconocen N

Ejercicios:

1. ¿El 20% de que número es 70?

2. ¿0,25% de qué número es 4?

3. Si tuviera 30% más del dinero que tengo,

tendría 260 soles. ¿Cuánto es el dinero que

tengo?

4. Si vendiera un libro de razonamiento

matemático en un 40% menos, costaría 6

soles. ¿Cuál es el precio del libro?

5. El 20% de qué número es el 40% del 5% de

600.

6. El 12% de lo que gana Losen en un año es s/

2400. ¿Cuánto recibe anualmente?

7. Si el 20% del 30% de la mitad de un número

es el 15% del 80% del 20% de 300. Hallar

dicho número.

8. Si el a% del 15% de (a/2) es el 75% de 6.

Hallar el 35% de a.

Tercer Caso: RdeNP%

Se conocen N y R

Se desconocen P

Ejercicios:

1. ¿Qué porcentaje de 80 es 4?


3. ¿Qué porcentaje de 0,04 es 0,0028?

4. ¿Qué % de 60 es 12?

5. Calcular que % de 360 es 90

6. ¿Que porcentaje de 23ba es

3202,0 ba ?

7. De 80 alumnos; 16 desaprueban el curso de

Raz. Mat. ¿Qué porcentaje de los 80 alumnos

aprobaron el curso de Raz. Mat.?

8. Si Luigui al construir un tablero de ajedrez

pinta de negro 20 recuadros. ¿Qué

porcentaje le falta pintar?

III. TRANSFERENCIA:

PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE PORCENTAJES

1. Hallar el 25% de 400.

a) 25 b) 100 c) 50 d) 125 e) 200

2. Hallar el 0,2% de 2000.

a) 2 b) 1 c) 4 d) 8 e) 6

3. Hallar el 1,25% de 3000.

a) 375 b)3,75 c) 37,5 d) 3750 e) 425

4. Hallar 2/3% de 15000

a) 10 b) 100 c) 30 d) 20 e) 80

5. Hallar: ¾% de la tercera parte de 1800,

disminuido en 2.

a) 2,5 b) 4,5 c) 6,5 d) 25 e) 30

6. Si Vanessa recibe el 32% de 200 soles.

¿Cuánto será lo que recibe?

a) 64 b) 640 c) 320 d) 60 e) 32

7. Hallar el 0,6% del 20% de 3105

a) 8 b) 6 c) 12 d) 36 e) 15



8. Hallar 3% del 30% del 5% de 4106

a) 27 b) 72 c) 81 d) 12 e) 15

9. ¿El 12% de que número es 36?

a) 3 b) 30 c) 300 d) 360 e) 60

10. ¿El 0,35% de qué número es 0,07?

a) 2 b) 20 c) 200 d) 0,7 e) 70

11. ¿El 20% de los 2/5% de qué número es 0,004?

a) 5 b) 0,5 c) 25 d) 0,4 e) 0,25

12. ¿3/8% de los 4/9% de qué número es

0,00024?

a) 144 b) 14,4 c) 1,44 d) 0,44 e) 0,144

13. ¿El 40% de qué número es el 20% del 6% de

800?

a) 48 b) 36 c) 24 d) 84 e) 42

14. ¿El 0,05% de que número es el 3% del 5% de

9?

a) 18 b) 27 c) 36 d) 81 e) 25

15. Si Manuel tuviera el 25% menos de la edad

que tiene, tendría 30 años. ¿Cuántos años

tendrá dentro de 6 años?

a) 36 b) 24 c) 46 d) 52 e) 48

16. Si vendiera mi libro de Raz. Mat. En un 25%

más; costaría 20 soles. ¿Cuál es el precio real

del libro?

a) 16 b) 25 c) 30 d) 45 e) 50


a) 6% b) 5% c) 8% d) 12% e) 9%


a) 16% b) 20% c) 4% d) 2% e) 50%

19. ¿Qué porcentaje de 0,36 es 0,0072?

a) 4% b) 2% c) 6% d) 8% e) 12%

20. ¿Qué % de 84 es 42?

a) 50% b) 5% c) 10% d) 20% e) 80%

21. ¿Qué porcentaje es 13 de 52?

a) 20% b) 30% c) 25% d) 35% e) 52%

22. De 200 melones, 80 resultaros en mal estado.

¿Qué porcentaje de los 200 están buenos

para venta?

a) 80% b) 120% c) 60% d) 30% e) 50%

23. Hallar el 0,5% del 0,4% del 25% del 5102

a) 20 b) 10 c) 1 d) 0,1 e) 0,01

24. Hallar el 0,02% del 60% de 4105

a) 12 b) 6 c) 60 d) 0,6 e) 10

25. Hallar el 15% de los 2/3 de 5/8 del 8% de

4104

a) 20 b) 200 c) 40 d) 10 e) 400

26. Si: A = 30% del 2% de 2105

B = 0,4% del 50% de 3103

Hallar: el 0,5% del 80% de (B - A)

a) 0,012 b) 1,20 c) 0,01 d) 0,12 e) 12,1

27. El 30% del 20% de los 2/5 de un número es

equivalente al 24% del 0,01% de 1000. El

número es:

a) 0,1 b) 0,2 c) 100 d) 120 e) 2

28. ¿El 0,08% de qué número es el 4% del 12% de

9?

a) 24 b) 48 c) 54 d) 64 e) 45



29. El 20% del 35% de los 5/8 de un número es

equivalente al 14% del 0,04% de 4105 , el

número es:

a) 36 b) 32 c) 48 d) 64 e) 720

30. Si Manuel tuviera el 25% más de la edad que

tiene, tendría 65 años. ¿Qué edad tuvo hace

4 años?

a) 56 b) 48 c) 46 d) 42 e) 52

31. Sandra va al mercado, donde al comprar un

cierto numero de naranjas le regalan un 12%

de las que compró. Obteniendo así 224

naranjas. ¿Cuántas naranjas compró?

a) 400 b) 600 c) 200 d) 120 e) 240

32. Jaime reparte su fortuna de la siguiente

manera: a Rosa le da el 28% de la fortuna: a

María el 32% y a Fidel los 160 soles restantes.

¿De cuánto fue la fortuna?

a) 800 b) 400 c) 320 d) 480 e) 840

33. Al comprar una grabadora en la tienda de mi

amigo me hace un descuento de 15%

costándome así 170 dólares. ¿Cuánto le

costaría a otra persona que no es su amigo?

a) 340 b) 200 c) 300 d) 240 e) 380

34. De 460 frutas, 115 son papayas. ¿Qué

porcentaje de las frutas no son papayas?

a) 25% b) 45% c) 65% d) 75% e) 85%

IV. AUTOEVALUACION:



Porque:………………………………………………………………………………………………………….

2. Lo desarrollado en este modulo me parece importante: SI NO Porque:………………………………………………………………………………………………………….



Porque:………………………………………………………………………………………………………….



Porque:………………………………………………………………………………………………………….

V. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

COVEÑAS NAQUICHE , Manuel. Matemática 1. Perú. Edit. Bruño. 2008.

ROJAS PUEMAPE Alfonso. Matematica 1. Perú. Edit. San Marcoa. 2008.

ROJAS PUEMAPE Alfonso. . Matematica 1. Perú. Edit. San Marcos. 2006

SANTILLANA, Innova. Matemática 1. Perú. 2008

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