Módulo 3

Módulo 1

Introducción

Propósito

Prepueba

Módulo 3

Postprueba

Biografía

Módulo 2

MÓDULO 1

• La Universidad Interamericana de Puerto Rico, Recinto de Guayama, en colaboración con el proyecto Título V, ha desarrollado una serie de módulos instruccionales para cursos de matemática y estadística. Un módulo instruccional es una unidad autónoma de estudio independiente diseñada para individualizar y facilitar el aprendizaje. Es una herramienta adicional que le brinda al estudiante otras opciones de estudio. El estudiante tiene la oportunidad de aprender de forma individualizada.

Antes de comenzar a estudiar los módulos debes contestar la pre-prueba. Es importante que pongas interés al contestarla.

Te invito a que repases los temas presentados en los módulos y de tener dudas consulta con el profesor asignado al curso.

INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN

Este módulo se propone ampliar las actividades de enseñanza y aprendizaje básicas aplicadas a las matemáticas y la estadística, incluidos en el Proyecto Título V Cooperativo: “Fortaleciendo los logros académicos por medio de un consorcio para incorporar tecnología en el currículo básico”. El proyecto está integrado por la Pontificia Universidad Católica de Puerto Rico en Ponce desde donde se dirige y sus recintos de Arecibo, Mayagüez y Guayama; la Escuela de Artes Plásticas de Puerto Rico y el Recinto de Guayama de la Universidad Interamericana.

PROPÓSITO PROPÓSITO

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

• Es un resumen tabular de un conjunto de datos que muestra el número (frecuencia) de observaciones en cada una de las clases que no se traslapan.

¿CÓMO SE HACE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS?

• Supongamos que se administró un examen a 25 estudiantes de un curso de matemáticas y estos fueron los resultados:

75 60 74 68 7580 65 78 70 8590 59 88 80 10095 85 82 82 9570 98 94 90 90

¿Cómo podemos emplear la distribución de frecuencias para describir los datos?

CONTINUACIÓN

• Para hacer una distribución de frecuencias hay que dividir los datos en clases. El primer paso, decidir el número de clases. Podemos usar la siguiente regla: 2 a la c ( )en palabras (2 elevado a la c potencia) sea mayor o igual que n. Donde n = al número de observaciones, tamaño de la muestra o número de datos. Al buscar la potencia que se eleva el 2 tenemos, . En el ejemplo usaremos 5 clases. Segundo paso, determinar el intervalo o ancho de clase.

c2

2525

c2

¿CÓMO SE DETERMINA EL INTERVALO DE CLASE?

• Ancho de clase = valor mayor – valor menor (intervalo) número de clases

Ancho de clase =

Como el 8.2 es un número poco práctico, el intervalo se puede ajustar hacia arriba o hacia abajo. En este caso escogimos el 10.

2.85

41

5

59100

CONTINUACIÓN• Luego de obtener el número de clases y el

ancho de cada clase, tabulamos los datos como se presentan a continuación:

Clases Frecuencia 100 – 90 8

89 – 80 7 79 – 70 6 69 – 60 3 59 – o menos 1

Con los datos tabulados podemos inferir que 8 estudiantes obtuvieron una puntuación entre 100 y 90. La distribución de las clases se hizo tomando en consideración la curva estándar para evaluar notas. También, podemos decir que 8 estudiantes obtuvieron A.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA RELATIVA• La distribución de frecuencia relativa

(FR) convierte la frecuencia (F) en un porcentaje. Se determina dividiendo la frecuencia de cada clase por N (número de observaciones).

• Frecuencia Relativa = Frecuencia de la clase N

Así, con los datos del ejemplo anterior escogemos la frecuencia de cada clase y la dividimos entre 25. Veamos como se emplea:

FRECUENCIA RELATIVA

Clases F FR100 – 90 8 0.32 89 – 80 7 0.28

79 – 70 6 0.24 69 – 60 3 0.12 59 o menos 1 0.04

FR = = 0.32

25

8

FRECUENCIA PORCENTUAL

• La frecuencia porcentual (FP) es la frecuencia relativa multiplicada por 100.

• Continuando con el ejemplo anterior tenemos:

Clases F FR FP100 – 90 8 0.32 32% 89 – 80 7 0.28 28%

79 – 70 6 0.24 24% 69 – 60 3 0.12 12% 59 o menos 1 0.04 4%

FP = 0.32 X 100 = 32

GRÁFICA DE BARRAS

• La gráfica de barras es una forma gráfica de representar datos que se han resumido en una distribución de frecuencias, frecuencias relativas y frecuencias porcentuales. En el eje horizontal se colocan las clases y en el eje vertical la frecuencia.

• ¿Cómo podemos presentar los resultados del examen en forma gráfica?. Veamos

0

5

10

15

20

25

30

35

100-90 89-80 79-70 69-60 59 ómenos

100-90

89-80

79-70

69-60

59 ómenos

A

BCD

F

32, 32%

28, 28%

24, 24%

12, 12%4, 4%

A B C D F

MÓDULO 2

VALORES Z

• Es otro valor asociado con cada valor de Xi. Se puede interpretar como el número de desviaciones estándar que dista Xi del promedio (media). Con la media y la desviación estándar se puede localizar esta relación. Al

interpretar si Z1 = 1.5, indicaría que X1 es 1.5 desviaciones estándar mayor que la media de la muestra.

De igual manera, si Z2 = -2.5, indicaría que X2 está a 2.5 desviaciones estándar por debajo de la media.

VALORES Z

• Los valores Z se calculan con la siguiente ecuación:

donde;

valor Z del elemento Xi.

= promedio (media) de la muestra

S = desviación estándar de la muestra

Veamos como se emplean los valores Z en el siguiente ejemplo:

S

XXZ i

iZX

VALORES Z

• Ejemplo 1

Tenemos una muestra con los valores de datos 15, 10, 14, 18 y 13. Calcule el valor Z para cada uno de los datos. Como se desconoce la media y la desviación estándar, hay que calcularlas.

Xi ( ) ∑( )15 14 1 110 14 -4 1614 14 0 018 14 4 16 13 14 -1 1

= 34

xx i X xx i

X 145

70

22

VALORES Z

Varianza

S = =

Desviación estándar

Luego de calcular la media y la desviación estándar podemos calcular los valores Z.

(15)

Interpretación: El resultado indica que el 15 está 0.34 desviaciones estándar por encima de

la media.

2

1

)(

N

xxi2 5.84

34

91.25.82 SS

34.091.2

1

91.2

1415

S

XXZ i

CONTINUACIÓN

(10)

(14)

(18)

(13)

37.191.2

4

91.2

1410

S

XXZ i

091.2

0

91.2

1414

S

XXZ i

37.191.2

4

91.2

1418

S

XXZ i

34.091.2

1

91.2

1413

S

XXZ i

VALORES Z

Ejemplo # 2:

Se obtuvo una muestra con una media de 10 y una desviación estándar de 5 con valores de 10, 12, 14, 8 y 6. Determine el valor Z de cada uno de los valores. Nota: este ejercicio nos provee la media y desviación estándar.

(10)

(12)

05

0

5

1010

S

XXZ i

4.05

2

5

1012

S

XXZ i

CONTINUACIÓN

(14)

(8)

(6)

8.05

4

5

1014

S

XXZ i

4.05

2

5

108

S

XXZ i

8.05

4

5

106

S

XXZ i

MÓDULO 3

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

• Es una medida de la variabilidad de un conjunto de datos usada en la estadística que nos indica cuanto tienden a alejarse los valores de los datos de la media en una distribución. Dicho en otras palabras, la desviación estándar es el promedio de la distancia de cada dato con respecto a su media. Se calcula sacando la raíz cuadrada de la varianza. Se determina mediante la siguiente fórmula:

• Dale un clip al botón rojo y encontrarás una animación que te ayudará a visualizar la interpretación de la desviación estándar.

2SS

• Anderson, D.R. Sweeney, D. J. & Williams, T.A. (2004). Estadística para Administración y Economía (8va. ed.) Thomson.

• Vera Vélez, Lamberto,(2005). Manual Básico de Estadística Descriptiva para la Educación y las Ciencias Sociales Publicaciones Puertorriqueñas, Inc.

• Cronk, Brian C. (2004). How to use SPSS. Third edition, Pyrezak Publishing.

• Lind, D.A., Marchal, W.G. & Wathen, S.A. (2005). Estadística Aplicada a los Negocios y a la Economía. (12a.ed.) México: McGraw-Hill/Latinoamericana Editores, S.A.

BIBLIOGRAFÍA

BIBLIOGRAFÍA

Inicio

PREPRUEBA

PREPRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN

Este módulo te provee una preprueba de auto- evaluación con el propósito de conocer cuáles son tus fortalezas y debilidades en cuanto a los conocimientos y destrezas sobre el contenido de los temas presentados en el mismo. La preprueba te ayudará a identificar cuáles son las áreas en las que debes poner mayor interés. No se utilizará para determinar la nota del curso, sin embargo, te servirá para conocer tu entendimiento sobre los temas. Antes de comenzar a estudiar el contenido de este módulo te invito a que conteste la preprueba.

INSTRUCCIONES PARA TOMAR LA PRE-PRUEBA

La primera parte de la preprueba contiene 7 ejercicios de selección múltiple. Cada alternativa de selección tiene al lado izquierdo un círculo color azul. Debes mover el apuntador al círculo de la alternativa que tu entiendas es la correcta y dar un clip. La máquina automáticamente te indicará si es correcta o incorrecta. Cada alternativa tiene un valor de 2 puntos. En los ejercicios el primero vale 22 puntos y el segundo 18 puntos y el tercero 30 puntos. La pre-prueba tiene un valor de 84 puntos. Al finalizar la pre-prueba determina el promedio. Debes obtener un 70% o más. De no obtener esa puntuación, debes repasar nuevamente el material.

PARTE I. SELECCIÓN MULTIPLE: (2pts.c/u)

1.Es una forma gráfica de representar datos que se han resumido en una distribución de frecuencias, frecuencias

relativas y frecuencias porcentuales :a. Gráfica de barras

b. Diagrama de pastel

c. Frecuencia porcentual

d. Frecuencia relativa

2. Es la frecuencia relativa multiplicada por 100:

a. Frecuencia acumulada

b. Frecuencia

c. Frecuencia porcentual

d. Número de clasesCorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Correcta

CONTINUACIÓN

3.Es un resumen tabular de un conjunto de datos que muestra el número (frecuencia) de artículos en cada una de varias clases que no se traslapan :

a. Frecuencia relativab. Distribución de frecuencias

c. Frecuencia porcentuald. Diagrama de pastel

4. Se determina dividiendo la frecuencia de la clase entre N:

a. Frecuencia porcentualb. Gráfica de barrasc. Diagrama de pastel d. Frecuencia relativa

Incorrecta

Incorrecta

Correcta

Incorrecta

IncorrectaCorrecta

Incorrecta

Incorrecta

C0NTINUACIÓN

5. Es una forma de representar la distribución de frecuencias relativas y de frecuencias porcentuales:

a. Diagrama de pastelb. Gráfica de barrasc. Histogramad. Una ojiva

6. Se define como la raíz cuadrada de la varianza:a. La media

b. La moda c. La desviación estándard. La mediana

CorrectaIncorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Correcta

C0NTINUACIÓN

7. Representa la cantidad de desviaciones estándar que hay entre cada valor de Xi y el promedio (media):

a. La medianab. Valores Zc. Desviación estándard. La media

Incorrecta

Correcta

Incorrecta

Incorrecta

1. Se obtuvo una muestra de las edades de20 estudiantes del curso de Historia de Puerto Rico:

25 20 19 35 2219 22 28 18 2923 21 18 31 1920 22 20 18 36

Forme una distribución de frecuencias, frecuenciasrelativas y frecuencias porcentuales. ¿Quéporcentaje de estudiantes tienen edades entre 25

y34 años?.(22pts.)

Parte II. Resuelve los siguientes ejercicios

C0NTINUACIÓN

2. Se realizó una encuesta para conocer cual era el campo de preferencia de los estudiantes del Departamento de Administración de Empresas de la Universidad Interamericana de Puerto Rico, Recinto de Guayama y estos fueron los resultados: (18pts.)

Campo AlumnosFinanzas 50Contabilidad 60Recursos Humanos 70Mercadeo 20

C0NTINUACIÓN

A. Forme una distribución de frecuencias relativas y porcentuales.

B. Dibuje una gráfica de barras.C. Dibuje un diagrama de pastel.

3. Se obtuvo una muestra con valores de 10, 15, 14, 16 y 10. Determine el valor Z para cada uno de los datos. (30pts.)

Ver Respuesta

Inicio

INSTRUCCIONES PARA TOMAR LA POSPRUEBA

La primera parte de la posprueba contiene 7 ejercicios de selección múltiple. Cada alternativa de selección tiene al lado izquierdo un círculo color azul. Debes mover el apuntador al círculo de la alternativa que tu entiendas es la correcta y dar un clip. La máquina automáticamente te indicará si es correcta o incorrecta. Cada alternativa tiene un valor de 2 puntos. En los ejercicios el primero vale 22 puntos, el segundo 18 puntos y el tercero 30 puntos. La pre-prueba tiene un valor de 84 puntos. Al finalizar la pre-prueba determina el promedio. Debes obtener un 70% o más. De no obtener esa puntuación, debes repasar nuevamente el material.

PARTE I. SELECCIÓN MULTIPLE: (2pts.c/u)

1. Es una forma de representar la distribución de frecuencias relativas y de frecuencias porcentuales:

a. Diagrama de pastelb. Gráfica de barrasc. Histogramad. Una ojiva

2. Se define como la raíz cuadrada de la varianza:a. La media

b. La moda c. La desviación estándard. La mediana

CorrectaIncorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Correcta

C0NTINUACIÓN

3. Representa la cantidad de desviaciones estándar que hay entre cada valor de Xi y el promedio (media):

a. La medianab. Valores Zc. Desviación estándard. La media

Incorrecta

Correcta

Incorrecta

Incorrecta

CONTINUACIÓN

4.Es un resumen tabular de un conjunto de datos que muestra el número (frecuencia) de artículos en cada una de varias clases que no se traslapan :

a. Frecuencia relativab. Distribución de frecuencias

c. Frecuencia porcentual

d. Diagrama de pastel

5. Se determina dividiendo la frecuencia de la clase entre N:

a. Frecuencia porcentual

b. Gráfica de barras

c. Diagrama de pastel

d. Frecuencia relativa

Incorrecta

Incorrecta

Correcta

Incorrecta

IncorrectaCorrecta

Incorrecta

Incorrecta

CONTINUACIÓN

6.Es una forma gráfica de representar datos que se han resumido en una distribución de frecuencias,

frecuencias relativas y frecuencias porcentuales :a. Gráfica de barras

b. Diagrama de pastel

c. Frecuencia porcentual

d. Frecuencia relativa

7. Es la frecuencia relativa multiplicada por 100:a. Frecuencia acumulada

b. Frecuencia

c. Frecuencia porcentual

d. Número de clasesCorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Incorrecta

Correcta

• 1. Se obtuvo una muestra de las edades de 20 estudiantes del curso de Historia de Puerto Rico:• 25 20 19 35 22

19 22 28 18 2923 21 18 31 1920 22 20 18 36

Forme una distribución de frecuencias, frecuenciasrelativas y frecuencias porcentuales. ¿Quéporcentaje de estudiantes tienen edades entre 25

y34 años?.

Resuelve los siguientes ejercicios

C0NTINUACIÓN

2. Se realizó una encuesta para conocer cual era el campo de preferencia de los estudiantes del Departamento de Administración de Empresas de la Universidad Interamericana de Puerto Rico, Recinto de Guayama y estos fueron los resultados:

Campo AlumnosFinanzas 50Contabilidad 60Recursos Humanos 70Mercadeo 20

C0NTINUACIÓN

A. Forme una distribución de frecuencias relativas y porcentuales.B. Dibuje una gráfica de barras.C. Dibuje un diagrama de pastel.

C0NTINUACIÓN

3. Se obtuvo la siguiente muestra con valores de 10, 15, 14, 16 y 8. Determine los valores Z para cada uno de los datos.

Ver Respuesta

Fin de la Prueba

Contestaciones de los Ejercicios Preprueba

Ejercicio # 1ClasesF FR FP15-19 6 0.3 30%20-24 8 0.4 40%25-29 3 0.15 15%30-34 1 0.05 5%35-39 2 0.1 10%¿Qué porcentaje de estudiantes tienen las edades entre 25 y 34?

20%

Ejercicio # 2aCampo F FR FPFinanza 50 0.25 25%Contabilidad 60 0.30 30%Recursos 70 0.35 35%HumanosMercadeo 20 0.10 10%

Contestaciones de los Ejercicios Preprueba

Ejercicio #2b Gráfica de Barra

0

10

20

30

40

50

60

70

Finanzas Contabilidad Recursos Humanos Mercadeo

Finanzas

Contabilidad

RecursosHumanos

Mercadeo

Ejercicio #2c Gráfica de Pastel

50, 25%

60, 30%

70, 35%

20, 10%

Finanzas Contabilidad Recursos Huamnos Mercadeo

Ejercicio #3Como el ejercicio no provee la media ni la desviación estándar, tenemos que calcularlas. Veamos;

∑

10 13 -3 915 13 2 414 13 1 116 13 3 910 13 3 9

32

iX X XX i XX i

2

1

)(

N

xxi2s 84

32

135

65X

Continuación

Con la media y la desviación estándar podemos calcular el valor Z de los datos. Veamos;

(10) 10 – 13 = -3 = -1.06 2.83 2.83

(15) 15 – 13 = 2 = 0.71 2.83 2.83

(14) 14 – 13 = 1 =0.35 2.83 2.83

Continuación

(16) 16 – 13 = 3 = 1.06 2.83 2.83

(10) 10 – 13 = -3 = -1.06 2.83 2.83

Contestaciones de los Ejercicios Posprueba

Ejercicio # 1ClasesF FR FP15-19 6 0.3 30%20-24 8 0.4 40%25-29 3 0.15 15%30-34 1 0.05 5%35-39 2 0.1 10%¿Qué porcentaje de estudiantes tienen las edades entre 25 y 34?

20%

Ejercicio # 2aCampo F FR FPFinanza 50 0.25 25%Contabilidad 60 0.30 30%Recursos 70 0.35 35%HumanosMercadeo 20 0.10 10%

Contestaciones de los Ejercicios Posprueba

Ejercicio #2b Gráfica de Barra

0

10

20

30

40

50

60

70

Finanzas Contabilidad Recursos Humanos Mercadeo

Finanzas

Contabilidad

RecursosHumanos

Mercadeo

Ejercicio #2c Gráfica de Pastel

50, 25%

60, 30%

70, 35%

20, 10%

Finanzas Contabilidad Recursos Huamnos Mercadeo

Ejercicio #3Como el ejercicio no provee la media ni la desviación estándar, tenemos que calcularlas. Veamos;

∑

10 13 -3 915 13 2 414 13 1 116 13 3 910 13 3 9

32

iX X XX i XX i

2

1

)(

N

xxi2s 84

32

135

65X

Continuación

Con la media y la desviación estándar podemos calcular el valor Z de los datos. Veamos;

(10) 10 – 13 = -3 = -1.06 2.83 2.83

(15) 15 – 13 = 2 = 0.71 2.83 2.83

(14) 14 – 13 = 1 =0.35 2.83 2.83

Continuación

(16) 16 – 13 = 3 = 1.06 2.83 2.83

(10) 10 – 13 = -3 = -1.06 2.83 2.83