MODULO 3

ESTADISTICA BASICA

CONCEPTOS BASICOS.

Para desarrollar los esquemas que nos

permitan determinar algunas estimaciones

de la Demanda de renglones, bien sean

suministros, partes o repuestos, así como

para el uso de modelos en Control de

Inventarios, se requiere emplear algunos

conceptos básicos de estadística, tales

como Probabilidades y Funciones Teóricas

de probabilidad.

VARIABLES ALEATORIAS

• Generalmente, las variables a considerar en un proceso de Logística tienen carácter aleatorio; tal es por ejemplo, el uso de un repuesto en un equipo el cual se sustituye por fallas.

• Ahora bien, para tener definida una variable aleatoria, es preciso conocer todo el conjunto de valores que puede tomar dicha variable y, además, conocer la probabilidad que tiene de tomar esos valores.

VALOR QUE TOMA UNA VARIABLE

• Una variable aleatoria puede tomar un

conjunto de valores que pueden ser finitos

o infinitos; así mismo, el conjunto de

valores puede ser numerable o no.

• Los valores que toma la variable aleatoria

pueden ser discretos o continuos dentro

de un intervalo.

Si F(x) es continua y existe su derivada F’ (x) = f(x) y ésta es continua para

todo valor de x, excepto a lo más para cierto conjunto de valores, tal que

cualquier intervalo finito contiene un número finito de elementos, se dice

que la distribución es continua:

Luego

donde f(x) es la función de densidad correspondiente.

Decimos que una función de distribución es discreta cuando, en todo

intervalo finito, los valores que toma la variable xi son numerables y,

además, el conjunto es denso dondequiera. En este conjunto, todos los

valores de xi forman un conjunto R en el que todos sus puntos son límites.

La función correspondiente puede ser expresada por:

P(xi = Xi) = p(i)

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Para el desarrollo de los esquemas de

logística, se usan frecuentemente las

siguientes distribuciones de probabilidad

• 1. Poisson

• 2. Exponencial

• 3. Binomial

• 4. Normal

DISTRIBUCION DE POISSON

Una variable aleatoria xi se dice que tiene una Distribución de Poisson

cuando puede tomar todos los valores enteros y positivos 0, 1, 2,...... con la

Probabilidad

Siendo el valor RT el valor promedio y N el valor que toma la variable.

Los parámetros de la distribución son:

El Promedio M = RT

La Varianza V(x) = M

La desviación estándar DS = V(x)

A continuación se ilustra con un ejemplo el uso de esta distribución.

Un cojinete falla a una rata de 0,0001 por hora, esto es una falla

aproximadamente cada 10.000 horas de trabajo.

Es importante, a los fines de planificación, conocer cual es la probabilidad

de que el cojinete falle, 0, 1, 2, 3, 4 veces en 20.000 horas de trabajo,

expresado de la manera siguiente:

P (x=0) = P (0;2)

P (x=1) = P (1;2)

P (x=2) = P (2;2)

P (x=3) = P (3;2)

P (x=4) = P (4;2)

El valor RT es valor medio M y representa el número promedio de fallas en

20.000 horas, es decir: M = RT = (0,0001) * (20.000) = 2

DISTRIBUCION PROBABILISTICA DE POISSON

variable x probabilidad

acumulada

probabilidad

puntual riesgo

0 0,135335283 0,135335 0,864665

1 0,406005850 0,270671 0,593994

2 0,676676416 0,270671 0,323324

3 0,857123460 0,180447 0,142877

4 0,947346983 0,090224 0,052653

5 0,983436392 0,036089 0,016564

6 0,995466194 0,012030 0,004534

7 0,998903281 0,003437 0,001097

8 0,999762553 0,000859 0,000237

9 0,999953502 0,000191 0,000046

distProb.xls

La distribución exponencial es bastante parecida a la

distribución de Poisson. Su expresión matemática es:

F(x) = Exp [ -M ] = Exp [ -RT ]

Para fines de trabajo se expresa mediante un concepto

muy usado; es el término de CONFIABILIDAD, y

permite encontrar la probabilidad de no fallar

o Probabilidad de Sobrevivencia Ps.

Ps (T) = Exp [ -RT ]

DISTRIBUCION EXPONENCIAL

Para el ejemplo anterior se tiene:

Ps (20.000) = Exp [ -2 ]

Ps (20.000) = 0,1353

La probabilidad que el cojinete sobreviva 20.000 horas

es del 14% aproximadamente.

El parámetro de la distribución es el siguiente:

M = RT

V (X) = M

DISTRIBUCION EXPONENCIAL

Tiempo hs

rata fallas

Pb superv

Pb falla

20000 0,0001 1,35335E-05 0,999986

10000 0,0001 3,67879E-05 0,999963

5000 0,0001 6,06531E-05 0,999939

2000 0,0001 8,18731E-05 0,999918

1000 0,0001 9,04837E-05 0,999910

distProb.xls

DISTRIBUCION BINOMIAL

• La distribución binomial permite encontrar la probabilidad que un evento pueda ocurrir K veces en N intentos, cuando la probabilidad de ocurrencia viene dada por P.

• La función de densidad se define mediante:

• Que a través del desarrollo del binomio se expresa como:

• (n;k): son combinaciones de n elementos tomados de k en k

• P: Probabilidad que ocurra

• Q: 1– P: Probabilidad que no ocurra

• k: Número de eventos favorables, y

• n: Número de intentos

Supóngase tres artículos de un inventario; cada uno puede ser sustituido por

los otros y tienen una probabilidad independiente de salir del 0,05. Se

requiere conocer la probabilidad de tener:

tres artículos disponibles, 2, 1 y ninguno

P = 0.95 Q = 0,05

3 artículos: P (X = 3) = (3;3) . (0.95)3 . (0.05)0 = 0,8574

2 artículos: P (X = 2) = (3;2) . (0.95)2. (0.05)1 = 0,1354

1 artículo : P (X = 1) = (3;1) . (0.95)1. (0.05)2 = 0.0071

0 artículos: P (X = 0) = (3;0) . (0.95)0. (0.05)3 = 0.0001

Si el uso ocurre aleatoriamente en el tiempo, el riesgo de tener no más de 1

artículo disponible es:

1 – (0,8574 + 0,1354) = 0,0072

Los parámetros de la distribución binomial vienen dados por:

M = NP

DS = NPQ

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Pro

bab

ilid

ad

es

1 2 3 4

Variables discretas

DISTRIBUCION BINOMIAL

DISTRIBUCION BINOMIAL

Articulos

Probabilidad

puntual Riesgo

3 0,857375 0,142625

2 0,135375 0,864625

1 0,007125 0,992875

0 0,000125 0,999875

distProb.xls

La distribución normal es de carácter continuo y su función viene

dada por:

En consecuencia la función de distribución será:

DISTRIBUCION NORMAL

Esta última expresión está tabulada en la tabla

denominada Distribución Normal Acumulativa,

Tabla N°3-1

La distribución normal describe muchos de los

procesos naturales y permite encontrar sin mucha

dificultad probabilidades de ocurrencia tales

como:

La Tabla N° 3-2 siguiente muestra una tarjeta de

inventario con los datos deun elemento filtrante

de un motor Diesel. Sobre este problema se

pueden determinar algunas características, por

ejemplo:

1. ¿ Se distribuyen los datos normalmente?

2. ¿ Cuál es la rata promedio de uso?

3. ¿ Cuál es la desviación standard?

El promedio mensual de las cantidades despachadas MQD se

encuentra directamente en el Gráfico 3-1, al leer en la ordenada

correspondiente a X = 50%, es decir 197.

Se procede ahora a calcular los parámetros

y la desviación estándar

DISTRIBUCION NORMAL

Consumo Cantidad Pobabilidad Probabilidad

de Filtros s-orden en un punto acumulada

191 174 0,00684964 0,04352755

214 178 0,01089358 0,07864719

198 179 0,01206602 0,09012228

184 184 0,01851993 0,16630627

178 186 0,02115044 0,20599119

207 190 0,02582056 0,30031328

206 191 0,02676980 0,32661772

217 193 0,02830254 0,38177710

174 194 0,02886199 0,41037156

194 197 0,02961229 0,49844144

202 198 0,02953939 0,52803092

179 202 0,02768159 0,64327662

207 206 0,02375172 0,74670014

193 206 0,02375172 0,74670014

206 207 0,02254701 0,76985491

221 207 0,02254701 0,76985491

197 214 0,01342291 0,89579715

186 217 0,00989513 0,93064930

190 221 0,00610035 0,96226154

MEDIA 197,0526

DS 13,47209 distProb.xls

FUNCION DE DENSIDAD

0,0000

0,0050

0,0100

0,0150

0,0200

0,0250

0,0300

0,0350

0,0400

174 179 186 191 194 198 205 207 214 221

Cantidades

Pro

ba

bilid

ad

es

Datos reales

Curva Teórica

TIEMPO MEDIO ENTRE DESPACHOS

Cantidad usada meses entre despacho Probabilidad acum Complemento

1 13,9 0,988518217 0,011481783

2 12,2 0,967352981 0,032647019

3 10,1 0,905083483 0,094916517

4 8,2 0,796614971 0,203385029

5 7,6 0,750969520 0,249030480

6 6,6 0,664265059 0,335734941

7 6,1 0,616929152 0,383070848

8 4,2 0,426984330 0,573015670

9 4,2 0,426984330 0,573015670

10 3,8 0,387660521 0,612339479

11 3,8 0,387660521 0,612339479

12 3 0,312721265 0,687278735

13 2,7 0,286317447 0,713682553

14 2 0,229175852 0,770824148

15 1,7 0,206796441 0,793203559

16 1,7 0,206796441 0,793203559

17 1 0,159874100 0,840125900

18 0,5 0,130998996 0,869001004

19 0,3 0,120525558 0,879474442

Media 4,926315789

Desviaciòn Estandar 3,946143280 distProb.xls

El valor promedio se encuentra gráficamente

intersectando la P = 0,37 con el valor de x que es

5, luego

TMED = 5

La función para esta distribución es:

Por ejemplo para T = 10 meses

Luego, la probabilidad que el tiempo entre

despachos exceda de 10 meses es de

14%.