modelosenergeticos2008-1, clases 3y4

Dr. Salom Gonzles Chvez MODELOS ENERGETICOS

PARTE 2 INTRODUCCION AL CONCEPTO DE PREDICCIONES La determinacin de las predicciones del comportamiento futuro de variables energticas, desempea un papel importante en el desarrollo de una adecuada planificacin energtica de una regin o pas. Cada una de las series histricas (series temporales) originadas por las diversas actividades energticas tienen un comportamiento particular, dado que poseen un determinado tipo de tendencia y componente estacional. Para alcanzar buenos resultados, las tcnicas de prediccin a adoptar deben estar en estrecha relacin con las caractersticas propias de cada variable temporal.

As, en esta parte del curso se realiza la evaluacin de predicciones de variables energticas mediante el anlisis cuantitativo univariante de series temporales, utilizando el enfoque determinstico y el enfoque estocstico. Bajo el enfoque determinstico se hace la formulacin de los mtodos de ajuste de tendencias, medias mviles y alisados exponenciales mltiples, mientras que bajo el enfoque estocstico se tiene la modelizacin ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average). Por otro lado se realiza las predicciones mediante un anlisis multivariante utilizando los modelos economtricos dinmicos. 2.1 IMPORTANCIA DE LAS PREDICCIONES Dentro del campo de la investigacin y desarrollo, el pronstico es una tcnica que ayuda a predecir lo que ocurrir en el futuro. El futuro, por lo general no es determinstico; ninguna tcnica de pronstico ser aplicable a todos los procesos de decisin en una organizacin productiva de bienes y servicios. En este sentido, es importante adoptar las tcnicas predictivas en mutua correspondencia con la pericia en la materia a predecir. Desde una perspectiva cientfica y bajo un sentido cuantitativo, se entienden prediccin y previsin como sinnimos para anticipar el futuro de un determinado suceso. El pronstico es un elemento necesario del proceso de planeacin o planificacin, predice lo que pasar si las tendencias histricas no cambian y, en el caso de cambiar, se requiere del ajuste necesario. 2.2 METODOS ALTERNATIVOS DE PREDICCION El conocimiento de los mtodos o tcnicas de prediccin disponibles es necesario, tanto para juzgar sobre las predicciones elaboradas externamente, como para formular las propias. Sin embargo, la variedad de tcnicas y diversidad de opiniones sobre su validez hacen difcil disponer de una visin


equilibrada de conjunto. Segn el tipo de informacin y sus combinaciones, se puede decir que la prediccin toma como base:

a) La opinin que tienen ciertas personas sobre el futuro de la materia en estudio. En este caso, que denominaremos informacin subjetiva, las tcnicas que se utilizan tratan de obtener el mximo aprovechamiento de las experiencias, opiniones y expectativas de sujetos individuales o instituciones seleccionadas segn diversos criterios.

b) La evolucin del fenmeno objeto de estudio en perodos anteriores.

Para este enfoque, la informacin bsica es la propia informacin histrica, la serie temporal de la variable dependiente objeto de estudio.

c) Las reglas internas de funcionamiento del tema cuyo comportamiento se

trata de predecir. Este planteamiento subraya la importancia de la informacin relacional o causal, de la propia conexin entre variables condicionantes del tema que se trata de predecir. Las leyes de comportamiento que se supone van a regir en el futuro es frecuente que se deduzcan de la experiencia sobre su funcionamiento en el pasado, con lo cual la informacin histrica resulta tambin relevante

En principio, para adoptar la tcnica de prediccin a una situacin dada han de tenerse en cuenta las siguientes condiciones:

El horizonte temporal que se contempla Las variables participantes El nivel de detalle El uso futuro del pronstico El costo del pronstico. Incluye el desarrollo, almacenamiento,

operacin y la oportunidad de la tcnica utilizada La existencia o no de un proceso de planeacin

Es de indicar que el peligro latente en cualquier clase de prediccin, es que las regularidades o relaciones observadas en el perodo de observacin no se mantengan durante el perodo de prediccin, es decir que se presenten los denominados cambios estructurales. La posible aparicin de cambios estructurales constituye siempre una amenaza, tanto ms temible cuanto mayor sea el horizonte temporal de la prediccin. 2.3 CLASIFICACION DE LOS METODOS PREDICTIVOS Los mtodos o tcnicas de prediccin se pueden clasificar de diversas formas, atendiendo a los objetivos que se persigan obtener. En el contexto temporal, se pueden distinguir dos clases de predicciones: condicionales e incondicionales.


Las predicciones condicionales son las que se realizan mediante mtodos causales ( mtodos multivariantes, en los que se utilizan varias series cronolgicas y que incluyen relaciones entre la magnitud que se ha de predecir y otras magnitudes ). Las predicciones incondicionales son las que se hacen mediante mtodos autoproyectivos ( mtodos univariantes, en los que se emplea una sola serie cronolgica y en los que el modelo est basado en la aceptacin de que los modelos histricos seguirn siendo vlidos ). Estos mtodos pueden estar basados en dos enfoques alternativos: el determinista o clsico y el estocstico o moderno. En general, los mtodos de prediccin se pueden dividir en dos grandes grupos: cuantitativos y cualitativos. 2.3.1 METODOS CUANTITATIVOS Son mtodos formales que utilizan las matemticas para el tratamiento sistemtico de una informacin histrica, como es una serie histrica de datos, para luego identificar y estimar relaciones funcionales que conlleven hacia la prediccin de dicha serie. Entre los mtodos cuantitativos se tienen los siguientes:

Medias mviles Alisados exponenciales Modelo de Brown Modelos de Holt y Winters Mtodo de ajuste de tendencias Mtodo economtrico (modelos economtricos) Mtodo estocstico (modelos ARIMA)

2.3.2 METODOS CUALITATIVOS Se basan en el juicio subjetivo de una persona o grupo de personas que realizan un anlisis sobre determinada situacin, considerando o no la informacin que se tenga sobre el pasado. Los mtodos cualitativos pueden ser exploratorios y normativos. Los primeros parten de un diagnstico del presente y pretenden proyectar lo que ser el futuro; es decir explican lo que pasar. Los normativos parten de un futuro, idealizado o no, y de l derivan las tecnologas, acciones, programas, estrategias, etc., que movern el presente a este escenario idealizado; es decir explican lo que hay que hacer para alcanzar un futuro propuesto. Entre los principales mtodos cualitativos se cuentan los siguientes:


Mtodo Delphi (Delfos) Investigacin Morfolgica Encuestas e investigaciones de mercado Consenso de grupo Impactos cruzados

A continuacin se describen brevemente cada uno de estos mtodos

Mtodo Delphi. Es de tipo normativo y consiste en que un grupo de expertos crean un panel de ideas, mediante la respuesta a una serie de preguntas. El grupo de expertos incorpora estas respuestas, que no son conocidas entre las diferentes personas preguntadas, a sucesivas fases del trabajo. Para homogeneizar las respuestas, stas se cuantifican y se establecen las probabilidades de ocurrencia de los acontecimientos futuros o las fechas en que pueden suceder. La realimentacin de la informacin pretende guardar la incomunicacin entre los miembros del panel, ya que el anonimato es una de las principales caractersticas del mtodo. Los principales inconvenientes de este mtodo radican en la posibilidad de eleccin incorrecta del grupo, una errnea interpretacin de las respuestas de los expertos por los coordinadores y la influencia de la personalidad dominante de uno o varios miembros del grupo en la toma de decisiones.

Mtodo de investigacin morfolgica. Tambin es normativo,

establece previsiones examinando los principales componentes de un fenmeno, identificando todos los posibles estados de cada elemento para posteriormente determinar el nmero concreto de posibles combinaciones futuras de los mismos. La probabilidad de ocurrencia de los acontecimientos (basada en informacin subjetiva ) puede ser utilizada, si se incorpora un carcter meramente exploratorio, como etapa precedente para otras previsiones posteriores, o si se toma como tcnica normativa, para establecer un orden de posibles soluciones entre los problemas planteados.

Encuestas e investigaciones de mercado. Con estas encuestas,

bien sea de intenciones, bien de actitudes, se establece el comportamiento o las expectativas del mercado. Considerando las respuestas obtenidas, se pueden establecer las intenciones o ndices de sentimiento con relacin a determinadas conductas futuras; estas caractersticas hacen que las predicciones sean, tal vez, ms tiles a corto que a largo plazo.

Consenso de grupos o panel de expertos. En este mtodo se

fomenta la comunicacin de un grupo de personas, generalmente expertos, en forma de discusin abierta para que lleguen a conclusiones concretas sobre el futuro desarrollo de ciertos acontecimientos. Se utiliza principalmente en prediccin tecnolgica.


La idea principal es que varios expertos pueden dar predicciones ms precisas que los individuos aisladamente.

Mtodo de impactos cruzados. Est basado en una matriz que

contempla la probabilidad de ocurrencia de un nmero de posibles desarrollos; representa la direccin y fuerza del impacto que un acontecimiento puede tener sobre la probabilidad de otros (incrementndolo, reducindolo o dejndolo invariante). Se suele utilizar la opinin de expertos como fuente de informacin de partida, y puede utilizar escenarios, ms que acontecimientos aislados. Su capacidad predictiva parece estar demostrada ms en situaciones a largo que a corto plazo.

2.4 PREDICCIONES MEDIANTE SERIES TEMPORALES Una serie temporal, llamada tambin serie histrica o serie cronolgica, es una sucesin de valores observados de una variable referidos a momentos o a perodos de tiempo diferentes, generalmente regulares. La caracterstica distintiva de una serie temporal, en contraposicin a las observaciones de corte transversal, es que los datos aparecen ordenados cronolgicamente. Este hecho, que parece intranscendente, tiene diversas repercusiones tericas y prcticas, entre las que se destacan las siguientes:

El tiempo es, en s mismo, una variable continua, y as ha de considerarse en la formulacin de modelos tericos; sin embargo en las aplicaciones empricas el tiempo se trata como una variable discreta debido a la naturaleza de los datos.

Para designar la serie temporal observada utilizaremos la notacin

Xt ( t = 1, 2, 3,........N ) t: mes, trimestre, ao...

Autocorrelacin. Al estar los datos referidos a momentos o perodos

de tiempo sucesivos, interesa conocer las relaciones entre los trminos consecutivos. El coeficiente de correlacin entre Xt y Xt-1 se denomina coeficiente de autocorrelacin de primer orden; anlogamente, el coeficiente de correlacin entre Xt y Xt-2 es el coeficiente de autocorrelacin de segundo orden, y as sucesivamente.

Para medir la amplitud, longitud o tamao de la serie temporal se

puede utilizar el tiempo transcurrido durante el perodo muestral o el nmero de observaciones; ambas variables estn relacionadas por la unidad de tiempo utilizada en las observaciones


2.4.1 FINALIDAD DE LAS SERIES TEMPORALES En trminos generales, el anlisis de series temporales persigue los siguientes fines:

La descripcin de una serie temporal dada La prediccin de la evolucin futura de una serie temporal

Para ello es posible adoptar los enfoques alternativos univariante y multivariante.

a) El enfoque univariante hace uso de los datos histricos de la variable (serie temporal) para elaborar un modelo que describa aceptablemente el comportamiento de la misma en el pasado. Tal modelo descriptivo puede usarse para realizar predicciones de los valores futuros de la variable. Este tipo de prediccin, como se indic anteriormente, tambin se denomina autoproyectivo.

b) El enfoque multivariante busca relaciones entre dos o ms series

temporales. Refirindose al campo econmico, cabe adoptar hiptesis de mayor o menor contenido de teora econmica. Las relaciones estructurales dinmicas de alto contenido terico son los modelos economtricos, que son modelos causales.

Cuando se espera que sean los datos los que determinen la relacin entre las variables, a travs de mtodos estadsticos en los que la teora econmica no juega ningn papel, estamos ante los modelos multivariantes del anlisis de series temporales. Por ltimo; Cuando se trata de relaciones entre variables en las que influyen principalmente los condicionantes estadsticos y luego los condicionantes de la teora econmica, estamos ante el caso de los modelos economtricos dinmicos modernos

2.4.2 PATRONES BASICOS DE UNA SERIE TEMPORAL Dentro del enfoque univariante, en el anlisis de series temporales existen cuatro patrones bsicos a considerar, que pueden o no presentarse en la serie y que son fundamentales para la seleccin de la tcnica de prediccin: la tendencia, el patrn cclico, el patrn de estacionalidad y la horizontalidad.

El patrn de tendencia existe cuando una serie histrica tiende a aumentar o a disminuir sus valores medios con el tiempo. Una ilustracin de esta caracterstica se muestra en la figura 1.1.


Figura 1.1 Serie de tiempo con una tendencia

El patrn de estacionalidad existe cuando una serie de tiempo flucta de acuerdo con un factor temporal que suele depender de un determinado perodo del ao. Por ejemplo, el consumo de energa en calefaccin y agua caliente sanitaria aumenta en los meses de invierno y disminuye en los meses de verano (figura 1.2).

Figura 1.2 Serie de tiempo con patrn de estacionalidad

El patrn cclico es similar al de estacionalidad, pero en l las fluctuaciones suelen ocurrir ms lentamente. Son cambios graduados en el tiempo ( figura 1.3).

Pronstico de la variable

Serie Temporal

Valor medio

Tiempo

Pronstico de la variable V Verano

O Otoo I Invierno P Primavera

V O I P V O I P V O I P Tiempo


Figura 1.3 Serie de tiempo con patrn cclico

La horizontalidad, es indicativo de una serie de tiempo que no tiene una tendencia determinada. La serie es en este caso estacionaria (figura 1.4).

Figura 1.4 Serie de tiempo con patrn horizontal Una serie de tiempo puede combinar los patrones de tendencia, estacionalidad y ciclaje. Sin embargo, alguno de estos patrones puede dominar la serie; existen tcnicas que permiten identificar el elemento dominante, como lo es el mtodo de descomposicin. A estos cuatro patrones hay que aadir un elemento indeseable en toda serie de tiempo, que siempre existe, y que es la aleatoriedad de la observacin.


Tiempo


Tiempo

MODELOS ENERGETICOS Salom Gonzles Chvez

PARTE 3 MODELOS DETERMINISTICOS DE PREDICCIONES 3.1 MEDIAS MOVILES Es un mtodo de prediccin de estructura variable que define la prediccin como la media simple de unos cuantos periodos muestrales previos al que corresponde la prediccin. Al nmero de observaciones que se utiliza para definir la media se le llama longitud de la media mvil. Dado una serie temporal expresada por:

Xt Valor observado en el perodo t de una serie temporal: t = 1,2,3,4....N N Tamao muestral de la serie o periodo muestral de la serie k Longitud de la media mvil. Puede tomarse en el caso de datos mensuales igual k = 12, en el caso de datos trimestrales k = 4

El predictor que corresponde al mtodo de medias mviles de longitud k, se puede expresar como:

=

=1

0

1)1(k

iitt Xk

X

Entre sus caractersticas se tiene:

Para definir la prediccin con este mtodo es preciso disponer de un nmero de observaciones previas igual a la longitud elegida; por otra parte el nmero de periodos de la longitud es el nmero de periodos iniciales para los que no puede definirse la prediccin

Cuanto menor sea la longitud ms sensible ser la prediccin a los valores recientes de la serie y cuanto mayor sea la longitud, menos sensible o mas alisada ser la prediccin

El procedimiento consiste:

Se fija un periodo muestral inferior al perodo real, surgiendo as un periodo extramuestral aparente

Para obtener la prediccin para los valores del periodo extramuestral aparente, slo se utiliza la informacin disponible en el periodo muestral inferior.


Para determinar la exactitud del pronstico, se procede a calcular el error absoluto puntual, ety as minimizar el error cuadrtico medio (ECM), el error absoluto medio (EAM) y el error absoluto medio porcentual (EAMP). Estos indicadores de error vienen expresados por:

et = ( )X t 1 - Xt, t = 1,2,3,..., n

=

= ni

ten

nECM1

21)(

=

= ni

ten

nEAM1

1)(

1001)(1

= +

= ni it

t

Xe

nnEAM

MEDIA MOVIL DOBLE Es un mtodo de estructura variable que obtiene las predicciones suponiendo que la tendencia es localmente lineal; esto significa que la pendiente no es constante en todo el perodo muestral, sino que se va redefiniendo conforme se incorpora nueva informacin. Esta tcnica requiere en principio de una media mvil simple, a cuyos resultados se vuelve a aplicar el mismo mtodo. Con el perfeccionamiento de esta tcnica se ha encontrado que un pequeo ajuste a la media mvil simple produce mejores resultados. En efecto: Inicialmente se obtiene la media mvil simple y de all la media mvil doble, a partir de:

( )X t 1 = ( ( )X t 1 + ( )Xt1 1 + ( )X t 2 1 +.........+ ( )X t N +1 1 )/N El ajuste se obtiene al introducir dos parmetros a y b, calculados mediante:

a = 2 ( )X t 1 - ( )X t 1 b = 2 ( ( )X t 1 - ( )X t 1 )/( N-1 )

As, el pronstico final ajustado queda:

( )X mt = a + b m Donde m es el nmero de perodos futuros que se desea predecir. Con esta tcnica se requieren almacenar 2N observaciones histricas antes de poder iniciar el pronstico.


3.2 ALISADO EXPONENCIAL SIMPLE Es un mtodo mediante el cual se obtienen mecnicamente predicciones de una serie temporal en funcin de las observaciones pasadas. Es decir, se obtiene por una media mvil con ponderaciones decrecientes en forma de progresin geomtrica. As se puede dar mayor importancia a las observaciones ms recientes o a las ms antiguas. Se expresa como:

( )X t 1 = Xt + (1 - ) Xt-1 + (1 - )2 Xt-2 +....= ( ) 10

=

i

iX t i

Donde el coeficiente puede tomar valores entre 0 y 1. La suma de los coeficientes ser la unidad, puesto que:

( ) 1 1 1 10 = == ii ( )

Una expresin alternativa, ms resumida, para el clculo es:

( )X t 1 = Xt + (1 - ) ( )Xt1 1 Por tanto, la prediccin de alisado puede interpretarse como una media ponderada de los valores previos anteriores, reales y de prediccin. Adems, recordando la expresin del error et, la frmula anterior puede tomar la forma:

( )X t 1 = ( )Xt1 1 + (Xt - ( )Xt1 1 ) de donde se obtiene:

( )X t 1 = ( )Xt1 1 + et

Esto indica, que las variaciones del valor de prediccin son una proporcin, , del error del perodo precedente. De aqu se desprende que en el alisado exponencial se da distinto peso a las observaciones. Para cercano a 1, se da mayor importancia a las observaciones ms recientes, ya que se concede mucho peso al error de la prediccin anterior. Si, por el contrario, es cercano a 0, se da mayor importancia a las observaciones ms antiguas. Se debe tener en cuenta tambin que si la serie presenta pequeas oscilaciones irregulares se deben utilizar valores reducidos de ; al contrario, para valores de cercanos a la unidad es muy posible que los datos presenten tendencias o estacionalidad.


Tal como se puede comprobar, para hacer predicciones utilizando alisado exponencial es necesario saber el valor de y el valor inicial de ( )X t 1 1 . Esta ltima cuestin es relativamente poco importante y puede resolverse adoptando directamente ( )X 1 1 = X1, o bien, igualando este primer valor al promedio de un pequeo nmero inicial de observaciones, como por ejemplo:

( )X 1 1 = (X1 + X2 + X3) / 3

La eleccin del parmetro debe acomodarse a cada serie en particular. Se trata de encontrar el valor ptimo de , en el sentido de seleccionar aqul que minimiza el valor del error cuadrtico medio, el valor medio del error absoluto o el valor medio del sesgo. 3.3 MODELO DE BROWN Con el propsito de abordar este modelo de prediccin, otra manera de interpretar el alisado exponencial simple, visto anteriormente, es suponiendo una serie temporal Xt, sin tendencia y con un trmino de error ut , generada por:

Xt = + ut Para realizar predicciones de Xt bastar con estimar . Si para obtener tal estimacin, que designamos por b, se adopta el criterio:

min X bb

i

it i

( )( ) ( )

=

20

1 para dado, entre 0 y 1, el resultado de la minimizacin da como solucin:

( )b Xii

t i= =

1

0

la cual coincide con la primera expresin de alisado exponencial simple. Puesto que el elemento determinista de Xt es constante, indica que todas las predicciones sern iguales, es decir:

b = ( )X t 1 = ( )X t 2 = ( )X t 3 =........ 3.3.1 MODELO DE BROWN CON TENDENCIA LINEAL Consiste en sustituir la hiptesis anterior, de una serie sin tendencia, por la de tendencia lineal. Es decir de la forma:

Xt+i = + .i + ut+i i = 0, 1, 2, 3,.....


La prediccin en el perodo t a horizonte m se obtendr mediante:

( )X mt = a + b.m Donde a y b son estimaciones de y que se consiguen previamente a partir de los datos de la serie temporal Xt (t = 1, 2, 3,....N). Entonces, adoptando el criterio

[ ]min X a bia b t i

i

i( , )( ) ( )

=

20

1 0 < < 1

Para obtener los valores de a y b que minimizan la expresin anterior se igualan a cero sus primeras derivadas con respecto de a y b, de donde se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

X a i bt i i iii

+ = ( ) ( )1 1 0 X i a i b it i i i

i

i

ii + = ( ) ( ) ( )1 1 1 02

Como i i

i( )1

12 = y i ii 2 31

1 2( )

( )( ) = Reemplazando se forma el siguiente sistema de ecuaciones:

X a bt ii

i + = ( ) ( )1 1 0

2 1 1

1 20X i a bt i i

i + = ( ) ( ) ( )( )

De acuerdo a la primera expresin de alisado exponencial simple, se puede definir la serie alisada, St , partiendo de la serie original, Xt , mediante la expresin:

= S Xt ii

t i ( )1 t = 1, 2, 3...

Anlogamente se puede aplicar por segunda vez la frmula de alisado, ahora a la serie St

= S St ii

t i ( )1 que tambin adopta la forma:

= + S i X St i ti

t i 2 1( )


Si se considera t variable, para cada valor de t se tiene un par de valores de a y b como solucin del sistema de ecuaciones mostrado anteriormente. Es decir se denotarn como at y bt , siendo til esta denotacin cuando se contempla la actualizacin de las estimaciones de a y b al aumentar el tamao muestral. Aplicando estas nuevas notaciones en el sistema de ecuaciones anterior, se obtienen at y bt .

a S S

b S S

t t t

t t t

= =

2

1 ( )

Por tanto, las predicciones en el perodo t a horizonte m , actualizando at y bt con la ltima informacin disponible, relativa al perodo corriente t, se calcular mediante:

( )X mt = at + bt m 3.3.2 MODELO DE BROWN CON TENDENCIA CUADRATICA Se plantea como una extensin del modelo anterior cuando se supone que la serie original sigue una tendencia cuadrtica de la forma:

Xt+i = + .i + .i2 + ut+i i = 0, 1, 2, 3,..... Las predicciones se obtienen mediante:

( ) . .X m a b m c mt t t t= + + 122

Para dado, los parmetros at , bt y ct se estiman mediante las siguientes expresiones deducidas:

[ ]a S S S

b S S S

c S S S

t t t t

t t t t

t t t t

= + = +

= +

3 3

2 16 5 10 8 4 3

12

2

2

2

( )( ) ( ) ( )

( )( )

Donde

= S Xt ii

t i ( )1 t = 1, 2, 3... = S St i

it i ( )1


= S St ii

t i ( )1

Para realizar los clculos se utilizan las siguientes ecuaciones:

= + = + = +

S X SS S SS S S

t t t

t t t

t t t

( )( )( )

111

1

1

1

La inicializacin se puede llevar a cabo, haciendo:

= = =S S S X1 2 3 1 3.4 MODELO DE HOLT Este mtodo sirve para realizar predicciones bajo el supuesto de tendencia lineal, pero utilizando dos parmetros de alisado, y , en lugar de solamente uno como es el caso de del modelo de Brown con tendencia lineal. La expresin matemtica de la prediccin se puede formular de la siguiente forma:

( )X m S mbt t t= + y las expresiones de actualizacin estn dadas por:

S X S bb S S bt t t t

t t t t

= + + < 0 1 11 0, Dependiendo de c1, este modelo contiene como casos particulares el lineal y el exponencial. En efecto se puede utilizar para verificar la hiptesis de que la tendencia de Xt es lineal (c1=1), frente a la hiptesis alternativa de que existe adems una componente exponencial ( )c1 1 . Este modelo se puede aplicar, por ejemplo, para representar tendencias que presentan dos componentes aditivas, una lineal y otra exponencial.


3.5.4 FUNCION LOGISTICA Esta funcin no lineal caracteriza a evoluciones temporales de variables, en cuyo ciclo vital suelen presentarse tres fases: la primera de crecimiento, la segunda de estabilidad y la tercera de declinacin. Cada una de estas fases debe ser analizada por separado utilizando diferentes modelos de tendencias. La forma de S de la fase de crecimiento puede representarse mediante la funcin logstica:

T tTbe rt

( )*= 1

Donde r, b y T* (asntota horizontal) son constantes positivas y las coordenadas del punto de inflexin son:

( ln ,*

)1

2rbT

Una manera simple de abordar la estimacin de la logstica, evitando problemas de no linealidad, consiste en partir de la ecuacin diferencial de T(t) que tiene la forma:

[ ]dT tdt

kT t T T t krT

( )( ) * ( ) ,

*= =

En el muestreo a intervalos temporales discretos se dispone de las observaciones Xt, por lo que es preciso plantear alguna aproximacin discreta, para un ajuste parcial, de la forma siguiente:

ln , *XX

R KX u R KXt

t tt

= + =1

1

3.5.5 CURVA DE GOMPERTZ Al igual que la funcin logstica, para describir fenmenos de crecimiento con un punto de inflexin, tambin se puede utilizar la curva de Gompertz que tiene por ecuacin:

T t T bert

( ) *=

Los parmetros r, b y T* (punto de inflexin), son positivos. Comparando frente a la funcin logstica, esta curva no presenta simetra y su mxima tasa de crecimiento, que tiene lugar en el punto de inflexin, es inferior. La ecuacin diferencial de esta curva viene dada por:


[ ] [ ]d T tdt

r T T tln ( )

ln ln ( )*=

La curva de Gompertz es preferible a la logstica en aquellas situaciones de crecimiento asimtrico en las que la tasa de crecimiento aumenta rpidamente al principio y declina lentamente al final del proceso. Para la estimacin simplificada de la curva de Gompertz se puede utilizar la siguiente aproximacin discreta de su ecuacin diferencial:

ln ln ln*XX

a X a X ut

tt

t

= +

1

1

r = ln(1-a)

A partir de esta expresin se obtienen estimaciones de a y de X* aplicando los mtodos de regresin lineal. Para estimar b se sustituyen en la primera ecuacin T(t) y t por X ty (medias muestrales), respectivamente, y T* por X* estimada; luego se despeja el parmetro b. Para hacer una comprobacin de si los datos siguen una tendencia segn la curva de Gompertz al representar ln(Xt/Xt-1) versus lnXt-1 , la nube de puntos resultante debe obedecer a una recta. 3.6 MODELO DE WINTERS Este mtodo se adecua al tratamiento de predicciones de series con tendencia y que adems presenten variaciones estacionales. Se expresa mediante forma aditiva o multiplicativa de sus componentes tendencia y estacionalidad. Una forma multiplicativa, se muestra en la siguiente expresin:

smtttt IbmSmX ++= )()( Donde s es el nmero de observaciones anuales. La componente estacional se tiene en cuenta mediante el factor It+m-s , y las frmulas de actualizacin son:

stt

tt

tttt

ttst

tt

ISXI

bSSb

bSIXS

+=+=

++=

)1(

)1()(

))(1(

11

11

Donde est relacionado con la componente aleatoria, con la componente estacional y con la tendencia. El Programa SPSS, ofrece otra modelo ms general al Winters, en el que se puede realizar combinaciones en el objetivo minimizar el margen de error.

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