mini ensayo de matematica - 2009

MINI ENSAYO DE MATEMÁTICA Nº1

1. 8 – 6 {4 – 2[6 – (8 : -4 · 2) – 22]} =

A) -64 B) 20 C) 24 D) 56 E) 152

2. Si n = -5 y m = -6, entonces el doble del sucesor par de m disminuido en el antecesor

de n es

A) -2 B) -4 C) -16 D) -18 E) -20

3. ¿Cuál es el valor de x-y si x es igual a 3 e y es el antecesor de -2?

A) 27 B) 3 C) 1

D) 13

E) 127

4. Si n < 0, entonces ⎜5 – n⎟ – ⎜n – 5⎟ es igual a

A) 10 + 2n B) 10 – 2n C) 2n D) 10 E) 0

1

5. En la serie -2, 52

, -3, 72

, …, la diferencia entre el 5º y 7º término es

A) 9 B) 1 C) -1 D) -9 E) -18

6. Si x es un número entero e y un número entero negativo, ¿cuál(es) de las expresiones

siguientes es (son) siempre enteros positivos?

I) x3y2 II) (xy + 2)2

III) xy2 – 1

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III

7. Si 2x = 32, entonces ¿cuál es el valor de 2x – 2?

A) 128 B) 8

C) 1

128

D) -8 E) -128

8. Hace 8 años la edad de un padre era 8 veces la de su hijo, y 16 años después de la

edad actual, la edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuánto suman sus edades actuales?

A) 30 años B) 36 años C) 44 años D) 52 años E) 84 años

2

9. -1 – 11

1 1

3 2

−−

=

A) - 75

B) - 23

C) - 83

D) 35

E) 83

10. - – 32 = 3

22

A) 265 B) 73 C) -55 D) -73 E) -265

11. Un viaje de estudios tiene un valor de $ 288.000 por persona, de los cuales se debe

cancelar la cuarta parte para hacer reserva. Si el segundo mes se cancela la mitad del resto y la diferencia en 2 cuotas, ¿cuál es el valor de cada cuota?

A) $ 36.000 B) $ 54.000 C) $ 72.000 D) $ 108.000 E) $ 144.000

12. ¿A cuántos quintos corresponden 73

?

A) 115

B) 3515

C) 15 D) 21 E) 35

3

13. Si Julia puede hacer m queques en s minutos, ¿cuántos queques podrá hacer en 30 minutos?

A) 30 m

B) 30 sm

C) ms30

D) ms

E) 30 ms

14. Al ordenar en forma creciente los números a = 24 · 33 · 52, b = 23 · 32 · 54 y

c = 22 · 34 · 52 se obtiene

A) c, b, a B) a, c, b C) b, a, c D) c, a, b E) a, b, c

15. Se sabe que p es inversamente proporcional a q y que cuando p = 5, q = 3. Entonces,

¿cuál es el valor de p si q = x?

A) 5x3

B) x15

C) 15x

D) 15p

E) 5x

4

16. Si a y b son números enteros, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre un número entero positivo?

I) ab

II) ab

III) (ab + 1)2

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Ninguno de ellos

17. Sean α, β y γ ángulos interiores de un triángulo. Si α : β : γ = 1 : 3 : 5, entonces

2α – β + γ =

A) 100º B) 90º C) 80º D) 70º E) 60º

18. La expresión 103 + 10 expresada en notación científica es

A) 1010 B) 101 · 10 C) 10,1 · 102 D) 1,01 · 103 E) 101 · 10-2

19. En una elección se presentan dos candidatos, Humberto y Santiago, obteniendo el

primero de ellos el 60% de los votos. Si el 20% del resto corresponde a 30 votos nulos, ¿cuántos votos obtuvo Santiago, si no hubo votos en blanco?

A) 375 B) 255 C) 120 D) 90 E) 30

5

20. Si en la figura 1, AB : BC = 3 : 4 y BC : CD = 7 : 5, entonces AB : BD como

A) 3 : 9 B) 3 : 12 C) 3 : 48 A B C D

fig. 1 D) 3 : 4 E) 7 : 16

21. Si 936 = ps · qt · ru, entonces el cuociente entre la suma de las bases de las potencias y la suma de los exponentes primos es

A) 108 B) 90 C) 3

D) 185

E) 13

22. Si m = -2, entonces el valor de m2 · m1

m⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

es

A) 16 B) 2 C) 1 D) -1 E) -16

23. En la figura 2, todos los triángulos son equiláteros congruentes. ¿Cuál es la razón entre

los triángulos achurados y en blanco?

A) 9 : 16 B) 16 : 9

fig. 2 C) 9 : 7 D) 7 : 9 E) 7 : 16

6

24. Si un vehículo demora 3 horas en su viaje de ida a una rapidez de 70 kmh

, ¿cuál será la

rapidez en su viaje de vuelta por la misma carretera si demora 2 horas?

A) 46 kmh

B) 70 kmh

C) 105 kmh

D) 150 kmh

E) Ninguna de las anteriores

25. Si pq

= -2 y rq

= -3, entonces p qr q−−

es igual a

A) 12 B) 6

C) 23

D) 34

E) - 34

26. El valor de x – y es positivo si :

(1) x > y

(2) -x < y

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

27. El valor de n en la expresión p16 · 525 = α · 10n se puede obtener si :

(1) p = 4

(2) p = 2


7

28. Sea xy ≠ 0 y 3x = 0,3. Se puede determinar que xy es un número entero si :

(1) y es múltiplo de 2.

A) (1) por sí sola

(1) y (2) ó (2)

al

9. Se puede determinar en qué razón están a y 2c si :

(1) a : b = 2 : 3

A) (1) por sí sola

(1) y (2) ó (2)

al

expresión

(2) y es múltiplo de 5.

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, D) Cada una por sí sola, (1)E) Se requiere información adicion

2

(2) c : b = 2 : 1,5


x + 1 1x

−30. La es mayor que 0 si :

(1) x es cualquier número real.

A) (1) por sí sola

(1) y (2) ó (2)

al

(2) x ≥ 1


8

CLAVES

1 D 6 B 11 B 16 C 21 D 26 A

2 A 7 B 12 E 17 C 22 A 27 D

3 A 8 D 13 E 18 D 23 C 28 C

4 E 9 C 14 D 19 C 24 C 29 C

5 B 10 E 15 C 20 E 25 D 30 B

9

-

MINI ENSAYO DE MATEMÁTICA Nº 2

1. Un comerciante tiene bandejas con capacidades para 20 y 30 huevos cada una. Si quiere colocar 750 huevos en igual número de bandejas de ambas capacidades, ¿cuántas bandejas de cada capacidad necesita para colocar todos los huevos?

A) 30 B) 20 C) 15 D) 10 E) 5

2. El mínimo común múltiplo y el máximo común divisor entre 60 y 72 corresponde,

respectivamente, a

A) 23 · 32 · 5 y 2 · 3 B) 23 · 32 · 5 y 22 · 3 C) 23 · 3 · 5 y 22 · 3 D) 2 · 3 · 5 y 23 · 32 2

E) 2 · 32 · 5 y 22 · 3 3. Si a = -3, b = 5 y c = -2, entonces ¿cuál(es) de las siguientes expresiones

representa(n) un número primo?

I) a + b II) 2a + b – 3c

III) 3b – 2c

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

4. El resultado de -8 + 12 : 4 [24 – 32 – (2 · 3 – 2)] es

A) -23 B) -7 C) 1 D) 3 E) 25

1

5. Si p = 2 y q = -5, entonces ⎜p + q⎟ es equivalente a

A) 4p – q B) 4p + q C) p + q D) p – q E) 6p + 3q

6. Si a = 12

, b = 23

y c = 1, entonces a + b ac

c + a

− =

A) 59

B) 1118

C) 29

D) 49

E) 1 7. En la secuencia numérica 12, 22, 42, 82, …, el producto del cuarto con el quinto término

es igual a

A) 128 B) 162 C) 322 D) 642 E) 1282

8. Si p es un entero par positivo y q un entero impar positivo, entonces ¿cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) 3(p + q) es un entero par positivo. II) 4p – 2q es un entero par positivo.

III) (p + q)(p – q) es un entero impar negativo.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Ninguna de ellas. E) Todas ellas.

2

9. El producto de 8,56 · 3,2 · 10-2 expresado en notación científica es

A) 2,7392 · 10-1 B) 2,7392 · 10-2 C) 2,7392 · 10-3 D) 2,7392 · 10 E) 0,27392 · 10

10. 2 3

4

4 2

2

− =

A) 2 B) 20 C) 2-1 D) 2-2 E) -2-1

11. Al comprar un computador se paga $ 600.000, lo que corresponde a dos tercios de su

valor y el resto se paga en 10 cuotas iguales. ¿Cuál es el valor de cada cuota?

A) $ 90.000 B) $ 60.000 C) $ 50.000 D) $ 30.000 E) $ 25.000

12. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) Si a = 2 y b = 3, entonces a b− es irracional.

II) Si a = -1 y b = -3, entonces 2 2a + b es irracional.

III) Si a = 1 y b = 2, entonces 3 a b− es real.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

3

13. El orden decreciente de los números a = 3 6 , b = 4 3 y c = 5 2 es

A) a, b, c B) c, b, a C) c, a, b D) a, c, b E) b, c, a

14. El precio de un televisor ha sido rebajado en un 20%, costando ahora $ 240.000.

¿Cuánto costaba antes de la rebaja?

A) $ 300.000 B) $ 280.000 C) $ 260.000 D) $ 250.000 E) $ 200.000

15. Las variables x2 y p son directamente proporcionales, siendo x = 3, cuando p = 8.

¿Cuál es el valor de x si p = 32?

A) 2 B) 6 C) 12 D) 36 E) Otro valor

16. Si el precio de 5 litros de gasolina es $ 2.900, ¿cuál sería el valor de 3 litros y medio de

gasolina?

A) $ 20.300 B) $ 2.030 C) $ 1.740 D) $ 1.450 E) $ 580

17. x y p2 son inversamente proporcionales, siendo x = 4, cuando p = 3. ¿Cuál es el valor

de p cuando x = 2?

A) 36 B) 18 C) 9 D) 3 2 E) 2 3

4

18. En un establo hay 12 animales que tienen comida sólo para 20 días. Si el número de animales aumenta a 30, ¿para cuántos días les alcanzaría la misma cantidad de comida?

A) 2 B) 8 C) 18 D) 50 E) Ninguna de las anteriores.

19. Para que el valor de a en la igualdad 3a + 2 = 4b sea -4, el valor de b debe ser

A) -6

B) - 72

C) - 52

D) 52

E) 72

20. Si al cuadrado de la diferencia entre a y b se le resta el doble del cuadrado de la suma

entre a y b, se obtiene

A) 0 B) -a – 3b C) 3a2 + 2ab + 3b2 D) a2 + 6ab + b2 E) -[a2 + 6ab + b2]

21. Un capital de $ 20.000.000 se deposita en un Banco durante 2 años a un interés simple

trimestral de un 2%. ¿Cuál sería la ganancia en el primer año?

A) $ 20.000.000 · (0,08) B) $ 20.000.000 · (0,16) C) $ 20.000.000 · (1,08) D) $ 20.000.000 · (1,16) E) $ 20.000.000 · (0,2)

5

22. Si el pasaje del transantiago ($ 400) se reajustara anualmente en un 10%, ¿cuál sería el valor del pasaje en 10 años más?

A) $ 440 B) $ 800 C) $ 400 · (0,1)10 D) $ 400 · (1,01)10 E) $ 400 · (1,1)10

23. Las rectas L1 y L2 de la figura 1, se intersectan en el punto O. Si OA es bisectriz del

BOC, ¿cuál es la medida del y?

x + 8º

x + 20º

y O

C

L1

D A) 44º

B) 52º C) 64º

B

fig. 1A D) 104º E) 128º

E

L2 24. En el triángulo ABC de la figura 2, DE // AB, FAD = 150º y BCA = 80º. ¿Cuál es el

complemento del x?

F A B

D

C

E x + 50º

fig. 2

A) 10º B) 20º C) 30º D) 40º E) 60º

25. En la figura 3, ΔABE es equilátero y BCDE es rectángulo. Si ΔABF ≅ ΔCFB, ¿cuál es la

medida del x? D

E

B A

x F

fig. 3 A) 120º B) 210º C) 240º

C D) 270º E) Ninguna de las anteriores

6

26. En el paralelogramo ABCD de la figura 4, BAC = 20º, CDB = 50º y DB es bisectriz

del ABE. ¿Cuál es la medida del EFC?

F

A B

D C E

fig. 4

A) 50º B) 60º C) 100º D) 110º E) No se puede determinar

27. Se puede afirmar que a + b es racional si :

(1) b = 3a

(2) a = 1


28. Se puede conocer el valor numérico de 2a

b

4

4 si :

(1) a = 1 y b = 2

(2) b = 2a


29. En el ΔABC de la figura 5, se puede asegurar que ΔADF ≅ ΔCEF si :

(1) CD AB⊥ y AE BC⊥

B D

C

E

F

fig. 5(2) ΔABC es equilátero.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

A E) Se requiere información adicional

7

30. Se puede determinar que el triángulo ABC de la figura 6, es isósceles de base AB si :

(1) AD ≅ DB

A B D

C

(2) CD AB⊥ fig. 6


8

CLAVES

1 C 6 A 11 D 16 B 21 A 26 B

2 B 7 E 12 E 17 D 22 E 27 C

3 E 8 D 13 D 18 B 23 E 28 D

4 C 9 A 14 A 19 C 24 C 29 C

5 B 10 C 15 B 20 E 25 B 30 C

9

-


1.

3 1

14 + 1 1 1 0,251 2

−−

−− =

A) - 56

B) - 34

C) - 2112

D) 1924

E) 2 2. Los números p, q y r son primos. Si n = (p · q)r, entonces la cantidad de divisores que

tiene n es

A) r + 1 B) (r + 1) C) r2 D) r2 – 1 E) 2r

3. Si m y n son números primos y distintos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es (son) verdadera(s)?

I) m + n es irracional. II) m + n es irracional.

III) m · n es irracional.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III

1

4. Si p y q son dos números irracionales de modo que p : q = 3 : 5, entonces p y q

p q

A)

pueden ser, respectivamente

3 5 B) 27 50

C) 1

3 1

5

D) 54 120 E) 27 75

n5. Si n es un número entero positivo de modo que es primo, entonces ¿cuál de los

A) 22

6. Si x = 10-4, entonces

siguientes valores puede ser n?

B) 32 C) 42 D) 52 E) 72

-1(0,01) · (0,0001) · 1010 · 0,001

es igual a

A) x3 0 x2

D)

B) 100C) 2000 x2

2x1000

E) 3x

10

89

, B = 1

3 2 y C = 32

7, 7. Si A = entonces el orden creciente es

A) A, B ,C B) B, A ,C C) C, A ,B D) A, C, B E) C, B, A

2

8. Si 3 pies equivalen a una yarda y 12 pulgadas son equivalentes a 1 pie, entonces

A) 36 r

¿a cuántas yardas equivalen r pulgadas?

B) 12 r

C) r 36r

12 D)

E) 136

9. El 15% de un número resulta ser un número entero, entonces el número no puede ser

A)

33,3

B) 6,6 C) 10 D) 15 E) -40

10. Para obtener el 115% de ganancia en la venta de un artículo, éste se debe vender en

A) $ 7.000

1. Si una entidad financiera ofrece un préstamo de $ 2.000.000 al 1,4% mensual de interés

A) 2.000.000(1,14)36

$ 150.500. ¿Cuál era el precio del artículo?

B) $ 12.475 C) $ 70.000 D) $ 121.915 E) $ 137.075

1

compuesto, ¿cuál será la deuda en 3 años más?

B) 2.000.000 (1,014)36

C) 2.000.000 (1,014)3 D) 2.000.000 (0,014)36 E) 2.000.000 (0,14)3

3

12. El gráfico de la figura 1, representa el promedio de hurto semanal entre los meses de Enero y Abril del año 2009 en Santiago (Fuente: Diario “El Mercurio”). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El promedio de delitos el día Viernes aumenta en un 33,3% con respecto al día Jueves.

II) La disminución de robos que se produce el Domingo con respecto al Sábado es aproximadamente 41%.

III) Los días viernes y sábado la variación porcentual es igual a la variación porcentual de los días miércoles y jueves.

0 2 4 6 8

1012141618

vi días do sá ju mi malu

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III

fig. 1 D) Sólo II y III E) I, II y III

13. En un número de tres dígitos, a es el dígito de las centenas, b es el dígito de las decenas

y la unidad es c, entonces la deferencia de los números abc – cba es siempre múltiplo de

A) 17 B) 11 C) 7 D) 5 E) 2

14. Al dividir (p2x2 – px2 – p + 1 ) por ( p – 1) se obtiene

A) (x p – 1) (x p + 1)

B) (x p + 1)2

C) (x p – 1)

D) (x p – 1)2 E) No se puede determinar

4

15. En el ΔABC de la figura 2, AB BC⊥ y el triángulo AEC es isósceles de base AC . Si

ACB = 15º y AD es bisectriz, entonces la medida del ángulo ADB es C

B A

A) 20º B) 30º fig. 2 C) 40º D) 50º E E) 60º

D

16. Si A = Bpq + Bp2, entonces q =

A) ABP

– p2

B) AB(q + p)

C) A pq

B−

D) ABp

– p

E) AB

– p

17. Si p y q son números naturales, entonces en el triángulo PQR de la figura 3, se cumple

que

R fig. 3

p + q p

A) p < q B) p = q C) q < p D) p < 2q E) q = 3p P Q p + 2q

18. En la figura 4, el punto G es el centro de gravedad del triángulo equilátero ABC de lado

18 cm. Entonces, el perímetro del triángulo ABG es

fig. 4

B A

C

G

A) (12 3 + 18) cm B) (18 3 + 2) cm C) 54 cm D) 27 cm E) 18 cm

5

19. En el cuadrilátero ABCD de la figura 5, AB // CD y BC CD⊥ . Si ΔABD isósceles de base

AD y BAD : BDC = 2 : 1, entonces la medida del ángulo CBD es

D C

B A

A) 18º fig. 5 B) 36º

C) 54º D) 72º E) no se puede determinar

20. En la figura 6, BC AB⊥ , CD ⊥ L2 y L1 // L2. Si AD es bisectriz del ángulo BAC, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) AB BD≅

II) ΔCDE isósceles de base DE.

C

A

B D

E

III) BAC = BCD L1

A) Sólo I fig. 6 B) Sólo I y II C) Sólo I y III L2 D) Sólo II y III E) I, II y III

21. En la figura 7, L1 es simetral de AB y L2 es simetral de CB . Si P es un punto cualquiera de L1 y Q es un punto cualquiera de L2, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) PBC = QBC

II) AP // CQ

L2

C A

L1

B

III) PC y QC son bisectrices de los ángulos APB y CQB, respectivamente.

fig. 7

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III

22. En la circunferencia de centro O de la figura 8, CD AB⊥ y ACD = 12

DCB. Si

CD = 6 cm, entonces el área del círculo es

A

C

D O

A) 18π cm2 B) 36 3 π cm2 B C) 48π cm2 fig. 8 D) 108π cm2 E) 48 3 π cm2

6

23. En el triángulo ABC de la figura 9, CAB = 50º, CF ≅ CE y DB ≅ EB , entonces la

medida del ángulo DEF es C

A) 65º fig. 9

E F

D B

A

B) 115º C) 130º D) 230º E) no se puede determinar

24. Si los catetos del triángulo ABC rectángulo en C de la figura 10, miden 15 cm y 20 cm,

entonces el área de la región achurada es

A) 7150

25⎛ ⎞− π⎜ ⎟⎝ ⎠

cm2 fig. 10

C

B) 49150

4⎛ ⎞− π⎜ ⎟⎝ ⎠

cm2

C) (150 – 5π) cm2 D) (150 – 25π) cm2 E) no se puede determinar A B

25. En la circunferencia de centro O de la figura 11, BD ≅ AD y OD = 2 cm. Si BCO = 30º,

entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) BOD = 60º

II) BC = 2BD

O

C

B

A

D III) El área del círculo es 16π cm2. fig. 11


7

26. En la figura 12, la suma de las áreas de los tres círculos congruentes es 3π, entonces el área del triángulo equilátero PQR es

R

A) 4 + 2 3

B) 16 3

C) 6 3 3+

D) 7 3 12+

E) 144 3

27. En el cuadrado ABCD de la figura 13, de lado 8 cm, H y F son puntos medios de IJ y AB , respectivamente. Si BG : GC = 1 : 7, entonces el área de la región achurada es

A) 12 cm2 B) 18 cm2 C) 20 cm2 D) 32 cm2 E) 36 cm2

28. En el cuadrado ABCD de la figura 14, BAC = 20º, ΔDEC es equilátero de lado 6 cm.

¿Cuánto mide el área achurada?

A) 54 18 32

−

B) 18 3 – 9 C) 9 3 – 9 D) 36 – 3 3 E) 3 3

A B

fig. 14

D C

fig. 12

P Q

D C

fig. 13

H I J E G

A F B

8

29. En el trapecio ABCD de la figura 15, se puede determinar la medida del CEB si :

(1) ABCD trapecio rectángulo y ABC = 15

DCB.

(2) CE y BE son bisectrices de DCB y ABC, respectivamente.

A) (1) por sí sola fig. 15

A B

D C

E

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

30. Si en el triángulo ABC de la figura 16, ΔBCD es isósceles de base BC y CBD= 20º,

entonces se puede determinar la medida del ECD si :

(1) AC ≅ DC y E es punto medio.

fig. 16

A B E D

C (2) CE es altura.


9

CLAVES

1 A 6 B 11 B 16 D 21 C 26 D

2 B 7 B 12 A 17 C 22 C 27 D

3 D 8 C 13 B 18 A 23 A 28 C

4 E 9 D 14 A 19 C 24 D 29 C

5 C 10 C 15 E 20 A 25 E 30 D

10

-


1. El cuadrado de la figura 1, se completa con los números 1, 2, 3 y 4 de modo que no se

repitan en las filas, columnas y diagonales. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 2z = y – x

4 z

x 3 4

y 2

1 3

II) 2y = 3x + 2z III) y – x – 2z = 0

fig. 1


2. Un artículo vale $ 2.000 y se reajusta mensualmente en $ 200. ¿Cuál será su valor al

n-ésimo mes de reajuste?

A) $ 200n B) $ [2.000 + 200(n – 1)] C) $ [2.000 + 200n] D) $ [2.000 + 200]n E) $ 200(n – 1)

3. 43 : 22 · 4 – 8 · 4 : 2 =

A) -12 B) -8 C) -4 D) 48 E) 112

1

4. 1 – 11

1 1 + 1

− =

A) -2 B) -1

C) 13

D) 12

E) 1 5. Si a = 0,026 · 102 y b = 0,003 · 10-3, entonces la notación científica de a · b es igual a

A) 78 · 10-7 B) 78 · 10-6 C) 7,8 · 10-7 D) 7,8 · 10-6 E) 0,78 · 10-5

6. En una automotora hay m vehículos rojos y a vehículos azules de un total de z vehículos. Si m corresponde a la cuarta parte del total de vehículos y a corresponde a la mitad de los vehículos rojos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Los vehículos que no son rojos ni azules corresponde a 58

z.

II) El 37,5% de los vehículos son rojos y azules. III) El 25% de los vehículos son sólo rojos.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

7. El número 129 es igual a

A) 6 3 B) 53 C) 63 D) 123 E) 281

2

8. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas representa al siguiente enunciado: “La diferencia de los cuadrados de 2 impares consecutivos es igual a -72”?

A) (2p + 1)2 – (2p + 3)2 = -72 B) (2p + 1)2 + (2p + 3)2 = -72 C) [(2p + 1) – (2p + 3)]2 = -72 D) (p + 1)2 – (p + 3)2 = -72 E) [(p + 1) – (p + 3)]2 = -72

9. (a b + a )(a b – a ) =

A) a(ab – 2 ab + 1) B) a(ab + 2 ab – 1) C) a(ab + 1) D) -a(ab – 1) E) a(ab – 1)

10. La factorización de 8x3 – 27y3 es

A) (2x + 3y)[4x2 – 6xy + 9y2] B) (2x – 3y)[4x2 + 6xy + 9y2] C) (2x – 3y)[4x2 – 6xy + 9y2] D) (2x + 3y)[4x2 + 6xy – 9y2] E) (2x – 3y)[4x2 + 6xy – 9y2]

11. Si 2x – 2-x = m, entonces + 4-x es igual a x4

A) 2m2 B) m2 + 4 C) m2 + 2 D) m2 – 2 E) m2 – 4

12. Si p3 y 4q son directamente proporcionales y cuando p = 2 q vale 4, entonces ¿cuál es

el valor de q cuando p = 4?

A) 12

B) 6 C) 16 D) 32 E) 128

3

13. Un artículo que costaba $ (p + q) subió en un q%. ¿Cuál es el nuevo valor del artículo?

A) $ 100p + 101q100

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

B) $ (p + q)(100 + q)100

C) $ (p + 2q)

D) $ (p + q)(100 q)100

−

E) $ (p + q)(100 + p)100

14. El resultado de 2

-2 x 4 +

x + 3x + 5x + 6

− es

A) 3x + 3

B) 2x + 3

C) 2x + 4x + 3

D) 3x + 2

E) ninguna de las expresiones anteriores 15. En la figura 2, ABCD es un cuadrado, AFGC es un rectángulo y DCE un triángulo

equilátero de altura 2 3 . ¿Cuál es el perímetro de la figura 2?

A B

G

E

D C

F

A) 24 + 12 2 B) 12 + 12 2 fig. 2 C) 12 + 8 3 D) 12 + 4 3 E) 12 + 8 2

4

16. En el cuadrado ABCD de lado 8 cm de la figura 3, E, F, G y H son puntos medios de sus lados respectivos. Si I, J, K y L son puntos medios del cuadrado EFGH, entonces el área de la región achurada es

A) 48 cm2 B) 44 cm2 C) 24 cm2 D) 20 cm2 E) 14 cm2

17. En la circunferencia de centro O de la figura 4, PA y PC son secantes, AB ≅ AF ,

AE ≅ BE , AC = 120º y APC = 20º. ¿Cuál es el valor de x + y – z?

A) 340º B) 250º C) 190º D) 160º E) 130º

18. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto de coordenadas (2, 3) y es

perpendicular a 6y – 2x – 1 = 0?

A) 3x – y – 9 = 0 B) 3x + y + 9 = 0 C) 3x + y – 9 = 0 D) 2x – 6y + 1 = 0 E) 6x + 2y – 1 = 0

19. Si la suma de 2 números es 28 y su diferencia es 4, entonces el producto de esos

números es

A) 192 B) 112 C) 28 D) 4 E) -192

A F

fig. 3

D C H

B

K J

L I

E G

P 20º

120º

H G

A

O x

z

F

B

y

C E

fig. 4

5

20. Dado el sistema a + b = 5p 2qa b = 5p + 2q

−−

, el valor de b es

A) 5p B) 10p C) 2q D) -4q E) 10p – 2q

21. La solución de -3 < 3x – 6 < 12 es

A) 3 < x < 4 B) 1 < x < 6 C) -1 < x < 6 D) -3 < x < 2 E) -6 < x < -1

22. El intervalo solución de -4 < -3x + 2 ≤ 8 es

A) [-2, 2] B) [-2, 2[ C) ]-2, 2[ D) ]-2, 2] E) ]-∞, -2] ∪ ]2,+∞[

23. El conjunto solución de 2x 3 53x 1 < -7

− ≤−

A) {x ∈ lR / x ≤ 4} B) {x ∈ lR / x ≤ -2} C) {x ∈ lR / x < -2} D) {x ∈ lR / x > -2} E) {x ∈ lR / -2 < x ≤ 4}

6

24. Si f(x) = 3⎜2 – x⎟ – ⎜1 – x⎟, entonces ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?

I) f(3) = 5

II) f(1) = f(4) III) f(-1) + f(2) = 0

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

25. La mejor representación gráfica de f(x) = x 1− es

A) B) C)

D) E)

26. En un vehículo de transporte se gasta mensualmente $ 100.000 en mantención. Si cada

12 kilómetros recorridos gasta 1 litro de gasolina, ¿cuál es el costo total del mes, si recorre x kilómetros y el valor de cada litro de gasolina es de $ 600?

A) $ (100.000 – 50x) B) $ (600x + 100.000)

C) $ 12

· 600 + 100.000x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

D) $ 12 + 100.000

600x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

E) $ (50x + 100.000)

1 2

1

x

y

1 2 -1

x

y y

2

1

x 1

y

-1

2

1

x -3 -2 1

y 2

1

-1

-2

-1 -2 2 x

7

27. En la tabla de la figura 5, A y B son inversamente proporcionales. Se puede conocer el valor numérico de x + y + z si :

(1) x = 6 e y = 3 (2) m = 2

fig. 5 A 9 y m

B x 18 z


28. La edad actual de un padre es el triple de la edad de su hijo. Se puede conocer la edad

actual del padre si :

(1) Hace 5 años, la edad del padre era el cuádruplo de la edad de su hijo.

(2) En 15 años más, la edad del hijo será la mitad de la edad de su padre.


29. Las rectas L1: y = ax – 4 y L2: y = mx + b se intersectan en el punto (2, 3) si :

(1) m = b = 1

(2) a = 72


30. En la figura 6, ABCD es un rectángulo y EDC es un triángulo rectángulo en D. Se puede determinar que el ΔEDC ≅ ΔCBA si :

(1) CD es altura del ΔEAC.

fig. 6 (2) ED ≅ DA

C A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

A

D

B

E

8

CLAVES

1 E 6 E 11 C 16 D 21 B 26 E

2 C 7 D

12 D 17 D 22 B 27 C

3

9

D 8 A 13 B 18 C 23 C 28 D

4 B 9 E 14 A 19 A 24 B 29 C

5

D 10 B 15 E 20 C 25 A 30 B


1. Si 710

se resta de la suma entre 25

y 43

, se obtiene

A) 2920

B) 3130

C) 0

D) - 3130

E) - 2920

2. Si x es el menor de tres números enteros consecutivos que suman 114, entonces el

sucesor del número mayor es

A) 36 B) 37 C) 40 D) 57 E) 58

3. 2 2(8 1) + (25 1)− − =

A) 7 + 5 B) 691 C) 689 D) 25 E) 31

1

4. El valor de -a-3 · b2 – a2 · b-3, cuando a = b = - 13

es

A) -6

B) - 2243

C) 0

D) - 2243

E) 6 5. Con la tercera parte de p tarros de pintura se pinta la quinta parte de una casa.

¿Cuántos tarros de pintura se necesitan para pintar la tercera parte de la casa?

A) p5

tarros

B) p tarros C) 9p tarros

D) 95

p tarros

E) 59

p tarros

6. Si medio kilo de naranjas cuesta $ 400 y se proyecta que el kilo subirá a $ 1.000, ¿cuál será el porcentaje de aumento?

A) 200% B) 150% C) 50% D) 25% E) 20%

7. Una persona recibe a fin de mes $ a que equivale a un 9% menos de lo que recibe

habitualmente. ¿Cuánto debería recibir normalmente esa persona?

A) $ 1,10 a B) $ 0,91 a

C) $ a0,91

D) $ 0,9 a a

0,9 E) $

2

0,7 · 0,4 =8. 0,28

A) 1 B) 1,1

1 C) 1,D) 1,2

2E) 1,

2

2

x 5x + 6

3x 8x + 4

−

−9. Si 3x – 2 = 16, entonces =

A) 6

B)

16 32441

C)

548

D)

316

E)

0. El precio de dos artículos A y B es de $ 860 y $ 720, respectivamente. Entre los dos artículos, Rosario compró 11 unidades, gastando a lo más $ 8.650. ¿Cuál es la máxima

trayecto corto, Emilio da cierta cantidad de pasos de 80 cm cada uno, demorándose 10 minutos cuando camina. Al devolverse corriendo, disminuye la cantidad

1

cantidad de unidades que puede comprar Rosario del artículo A?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10

1.1 En un

de sus pasos en un 133

3% y se demora 4 minutos. ¿De qué longitud es cada paso que da

Emilio al correr?

A) 1,3 m

B) 1,2 m

osible calcularlo

C) 1,1 m D) 1 m E) No es p

3

38

, q = 1437

y r = 719

12. Dados los números reales p = , entonces se verifica que

r < q C) q < r < p

3. Un corredor de los 100 metros planos que se prepara para las Olimpiadas, ha registrado un tiempo de 10 segundos. ¿Cuál es la rapidez de este atleta?

B) 40 km/hora C) 45 km/hora

s y sopaipillas, Karen gastó $ 2.550. El valor de cada sopaipilla es de $ 120 y el valor de cada empanada es de $ 650. Entre sopaipillas y empanadas compró 8 unidades, ¿cuál es la ecuación que permite determinar la cantidad x que gastó Karen

0 · (x – 2.550) = 8 B) 650x + 120(x – 2.550) = 8

A) p < q < r B) P <

D) q < p < r E) r < p < q

1

A) 36 Km/hora

D) 50 km/hora E) 60 km/hora

14. Entre empanada

en sopaipillas?

A) 120 · x + 65

x 2.550 x + C)

120 650 = 8 −

D) x x 2.550 +

− = 8 120

E) 120x + (x – 8)650 = 2.550

5. Si

650

3x + 2y = -33x 2y = 5−

, entonces 4y2 – 9x2 =

A)

1

-33,3

B) - 233

15

C) -15 D) 3E)

4

kx + ay = 5ax + ky = k

16. ¿Para qué valor de k el sistema , tiene infinitas soluciones?

A) -5 ó 5 B)

5 ó - 5 C) -25 ó 25

7. Sea f(x + 3) = 2x – 1. Entonces f(x) =

C) 2x + 5

8. ¿Cuántos números enteros cumplen con la siguiente condición: “el triple del exceso de un número sobre 2, no es negativo y es menor que 5”?

B) 1 C) 2

9. El conjunto solución de la inecuación

D) 0 E) No se puede determinar

1

A) 2x + 2 B) 2x – 7

D) 2x · 7 E) 2x – 5

1

A) 0

D) 3 E) 4

x x 2x 1

3 6− ≤ − es 1

A) 6x lR / x ⎧ ⎫∈ ≤⎨ ⎬

11⎩ ⎭

B) 6x lR / x

11⎧ ⎫∈ ≥⎨ ⎬⎩ ⎭

C) 6x lR / x

13⎧ ⎫∈ ≥⎨ ⎬⎩ ⎭

6x lR / x -

13⎧ ⎫∈ ≤⎨ ⎬⎩ ⎭

D)

E) lR

5

20. En la figura 1, L1 // L2, A y B son puntos que pertenecen a las rectas L1 y L2, respectivamente. Si α = 50º, entonces el valor de x es

puede determinar

21. En la figura 2, ABCD es un cuadrilátero de modo u

A) 50º B) 40º C) 30º D) 20º E) no se

A

B

C

L1

q e AB = 4 cm, BC = 3 cm,

AD = 12 cm y CD = 13 cm. Entonces, el área del cuadrilátero AB

A) B) C) 26 cm2

2. l rapecio de la figura 3, tiene área 180 cm2. Si la altura mide x cm,

CD es

36 cm2 32 cm2

D) 24 cm2 2E) 12 cm

E t2 AB = x + 5 cm y CD = x + 1 cm, ¿cuál es la semisuma de las bases?

A) B) C) 18 cm

3. En la figura 4, rectángulo en C, E

12 cm 15 cm

D) 30 cm E) 36 cm

2 ABCΔ y F son dos puntos de la hipotenusa AB tales que AE = FB = ¿Cuál es el área del cu

8 cm

3 cm. adrilátero EFCD?

A) 1 2 B) 12 3 cmC) 9

2 3 cm2

D) 15 3 2

2 cm

E) 6 cm2

L2

fig. 1

α

x

D

B A

C

fig. 2

C D

B A

fig. 3

C

fig. 4D

E A F B

30º

6

cm. Si ABC y PBC 224. En la figura 5, ABCD y BPQC son cuadrados congruentes de lado 8 son semicircunferencias, entonces el perímetro de la región sombreada es

A) 8 Q C D 2 π cm B) 4 2 π cm C) 8π cm

5. En la figura 6, rectángulo isósceles de base

A B P

D) 4π cm

fig. 5

E) 16π cm

ABCΔ AB , BC = 4 2 , D y E puntos medios de AC

2, respectivamente, F punto medio de DE. y BC ¿Cuál es la ecuación de la recta

que pasa por F y es paralela a AC?

A) x – y + 2 = 0

B) x + y – 2 = 0 C) x – y + 4 = 0

6. En la figura 7,

A O B

E D F

C

y

fig. 6

D) x + y – 4 = 0 E) x – y – 2 = 0

x

≅ PB ≅ BQAP 2 y los R, respectivamente. ¿Cuál(es) de las verdadera(s)?

≅ ΔQPR

II) ΔABC y ΔQPR tiene igual área. III)

ΔABC y ΔPQR son rectángulos en C y siguientes afirmaciones es (son) siempre

I) ΔABC

CP BR≅

B) Sólo II C) Sólo III

II I

A) Sólo I

C fig. 7

B Q P A D) Sólo I y

E) I, II y II

R

7

27. En figura 8, ABCD es un rectángulo. Se puede determinar el perímetro de la región achurada si :

la

(1) El perímetro del rectángulo ABCD es 32 cm.

(2) AP PQ QB≅ ≅

A) 1) or sola í sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) í sola, (1) ó (2) rmación adicional

un rectángulo si :

(1) DAB = BCD = 90º

(2)

A P Q B

C D

fig. 8 ( p sí

B) (2) por s

D) Cada una por sE) Se requiere info

8.2 El cuadrilátero ABCD de la figura 9, es

AB CD≅

A) (1) por sol sol


+ by + c = 0 es obtuso si :

(1) ac > 0 y bc > 0


ultiplicar a por 4 se obtiene un número cuadrado perfecto si :

a es el cuadrado de un número entero.


A B

C D

fig. 9 sí a B) (2) por sí a


El29. ángulo de inclinación de la recta ax

(2) ab > 0

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola


0.3 Sea a un número entero positivo. Al m

(1) a es un número par.

(2)

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola


8

9

CLAVES

1 B 6 D 11 A 21 A 26 C B 16

2 C 7 C 12 E 17 B 22 B 27 A

3 D 8 E 13 A 18 C 23 B 28 C

4 E 9 E 14 C 19 B 24 C 29 D

5 E 10 B 15 E 20 B 25 A 30 B

MINI ENSAYO DE MATEMÁTICA Nº 6 1. 2 + 1

=1

2 + 1

2 + 2

A) 2912

B) 32

C) 3

D) 23

E) 713

2. Para pintar una casa, Felipe demora 6 días; pero trabajando con Adrián demorarían

4 días en pintar la misma casa. ¿Cuánto tiempo demoraría Adrián en pintar él solo la casa?

A) 2 días B) 6 días C) 8 días D) 10 días E) 12 días

3. Sea n un número entero par. Si 3 es un divisor de n+1, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) falsa(s)?

I) 2n + 1 es primo. II) n puede ser igual a 6.

III) n + 1 es cualquier múltiplo impar de 3.

A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

1

4. 4 3 + =

2x 2 3x 3− −

A) 3x 1−

B) 75x 5−

C) 9x 1−

D) 6x 1−

E) 1x 1−

5. En un trayecto de 560 km, un camión demoró 6 horas. Las dos primeras horas, la

rapidez promedio del camión fue el doble de la rapidez promedio alcanzada en la tercera hora. Si en las últimas 3 horas, la rapidez promedio fue el triple que la alcanzada en la

tercera hora, ¿cuál fue la rapidez promedio, en kmh

, que alcanzó el camión en la tercera

hora del trayecto?

A) 93 B) 80 C) 60 D) 50 E) 40

6. 2 29x y y 3x

: 3x + y 3x + y

− − =

A) -1 B) 1

C) 3x yx + y

−

D) -(3x + y) E) (3x + y)

2

7. 2

2

x 5x + 6 =

3x 8x + 4

−

−

A) x 33x 2

−−

B) -5x + 7-8x + 7

C) -1

D) x 23x 2

−−

E) 3x 23 x

−−

8. En la figura 1, las rectas y intersectan a los ejes coordenados en los puntos

indicados. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? 1L 2L

I) Las rectas 1L y 2L son paralelas.

II) El perímetro de la región sombreada es 13. III) El área de la región sombreada es 4.

3

5

4

4

L1 L2

x

y

fig. 1

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III 9. En la figura 2, el trapecio ABCD es rectángulo en C y BC CD≅ . Si AB = 16 cm, el área

del trapecio es

45º

C

B A

D A) 96 cm2 fig. 2 B) 84 cm2 C) 64 cm2 D) 48 cm2 E) 36 cm2

3

10. En la circunferencia de centro O de la figura 3, la medida angular del arco ACB es 260º, entonces el ACB =

A) 100º C

O

AB

B) 50º C) 40º fig. 3D) 30º E) no se puede calcular

11. En la figura 4, se presenta el triángulo equilátero ABC y las circunferencias inscrita y

circunscrita a él, de centro O. Si el radio de la circunferencia inscrita es 4 cm, ¿cuál es el área de la zona sombreada? (considere π = 3).

fig. 4

C

A B

O

A) 64 cm2 B) 80 cm2 C) (80 16 3)− cm2

D) (208 48 3)− cm2 E) Faltan datos para calcularla.

12. En la figura 5, el es isósceles y rectángulo en C. Si G es el centro de gravedad, y ABCΔ

PQ // AB , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) ΔCPG es isósceles de base CP . II) El área del trapecio ABQP es igual al área del ΔCPQ.

III) Área ΔCPQ : área ΔCAB = 4 : 9.

A) Sólo I fig. 5B) Sólo I y III

C) Sólo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas.

A B

C

P Q G

4

13. En el de la figura 6, ABCΔ PQ es mediana. Si PR pasa por el baricentro del PBCΔ , entonces la razón entre las áreas de los triángulos PQR y ABC, respectivamente, es

A P B

C

fig. 6 R

Q A) 1 : 3 B) 1 : 4 C) 1 : 9 D) 1 : 2 E) 2 : 7

14. La recta L1 corta a los ejes coordenados en los puntos A = (0, a) y B = (b, 0), con a y b

positivos, mientras que la recta L2 lo hace en los puntos B = (b, 0) y C = (0, -a). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) L1 ⊥ L2. II) La recta L1, forma con los ejes coordenadas un triángulo isósceles en el

primer cuadrante. III) Si M es el punto medio entre A y B, entonces M está en el primer cuadrante.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III

15. Si f(x) = 3x – 2 y g(x) = 2x – 3, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) f(x) – (x + 1) = g(x) II) g(x) +(x + 1) = f(x)

III) f(x) – g(x) = x + 1

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

5

16. El conjunto de todos los números reales que están a una distancia de 6 mayor que 5 y a una distancia menor que 3 de 5, es

A) ]-∞, 1[ ∪ ]11, +∞[ B) ]2, 8[ C) ]-∞, 1[ ∪ ]2, 8[ ∪ ]11, +∞[ D) lR E) ∅

17. Si x

x

0,001 10 =

0,010,00001 · 10, entonces 2x =

A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 8

18. Si 4x + 9(9x – 1 – 1) = 2 · 6x, con x > 0, entonces 3x – 2x =

A) -9 B) -3 C) 1 D) 3 E) 9

19. Si 3x = a y 2x + 1 = b, entonces 12x + 2 · 6x + 3x = A) ab

B) a2b C) a2b2 D) ab2 E) a(b + 1)

6

20. Si f(x) = x y g(x) = x + f(x) entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Los gráficos de ambas funciones se intersectan en el origen del sistema de coordenadas.

II) La solución de la ecuación g(x)= 0 es x=0. III) g(x) – f(x) = f(x), para todo número real x.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

21. Sean f(x) = ax2 + ax + a y g(x) = a – ax + ax2, con a ≠ 0. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) f(x) = g(x) para un solo valor de x. II) f(1) = g(2)

III) f(a) = 3g(a)

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

22. Si f(x) = 2x, g(x) = 3x y h(x) = 5x, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) Existe un número real, de modo que f(x) = g(x). II) f(x) + g(x) = h(x)

III) h(1) = g(2) – f(2)


7

23. Si 5x – 1 = 7, entonces x =

A) log7 + log5

B) log7log5

– 1

C) 5log7

+ 1

D) log7log5

+ 1

E) 7log5

24. En la ecuación cuadrática x2 + ax + b = 0, una de sus raíces es el doble de la otra, y el

producto de ellas es igual a 18. ¿Cuál de las siguientes opciones es siempre falsa?

A) b = 2a B) b = -2a C) a + b = -27 D) a + b = 9 E) a : b = 1 : 2

25. En la figura 7, PQRS es un cuadrado de lado 7 y ABCD es un cuadrado inscrito de lado 5.

Si AQ = x, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Las soluciones de la ecuación x2 – 7x + 12 = 0 son las medidas de los catetos del ΔAQB.

II) El perímetro de uno de los triángulos es 12. III) Necesariamente AQ = 3 y BQ = 4.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

26. Se puede determinar la razón entre dos números enteros positivos a y b, si :

(1) a es el doble de c. (2) c es el doble de b.


P Q

S R

D

C

B

fig. 7

A

8

27. En la figura 8, AB // CD y AC es un diámetro de la circunferencia. El cuadrilátero ABCD es un cuadrado si :

(1) AB = AD

fig. 8

A B

D C

(2) AB = BC


28. Sea M un número real tal que M = 2y – 3x. M es positivo si :

(1) 2y > 2 (2) 3x > 1


29. Se puede determinar el valor de log 72, si :

(1) Se conoce el valor de log 4. (2) Se conoce el valor de log 3.


30. Una de las raíces de la ecuación ax2 + bx + 2b = 0 es -1 si :

(1) a + b = 0

(2) a = - 32


9

10

CLAVES

1 A 6 D 11 C 16 E 21 C 26 C

2 E 7 A 12 B 17 B 22 D 27 D

3 B 8 C 13 B 18 D 23 D 28 E

4 A 9 A 14 C 19 D 24 C 29 C

5 E 10 B 15 E 20 E 25 E 30 A


1. Si p = 23

y q = 13

, entonces el valor numérico de la expresión p3 + q3 – (p2q + q2p) es

A) 227

B) 19

C) 1

D) - 19

E) - 227

2. Si x es un número real positivo, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) 2x – 2

log x ≥ 0

II) x2 – x ≥ 0 III) ⎜x⎟ – [x] ≥ 0

A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

3. Si f(x) = x + 3 y g(x) = x – 2, entonces el conjunto solución de la ecuación

f(x) · g(x) = 0 es

A) {2, 3} B) {3, -2} C) {-3, 2} D) {-3, -2} E) ∅

1

4. Si A = (8, 0) y B = (0, 6), entonces la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto medio de AB es

A) 3x – 4y = 0 B) 3x + 4y = 0 C) 4x – 3y = 0 D) 4x + 3y = 0 E) 3x + 4y = 12

5. Sea b un número real positivo. La ecuación x2 + bx + 4 = 0 tiene dos soluciones reales y distintas si

A) b ≥ 2 B) b > 2 C) b > 0 D) b ≥ 4 E) b > 4

6. El ΔABC de la figura 1, es rectángulo en C. Si ΔQBR es equilátero de lado 4 y BRPQ es un

rombo, entonces CR = C

R P A) 2 fig. 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 10 A Q B

7. En la circunferencia de centro O y diámetro AB de la figura 2, el ΔABC es equilátero. Si

AD = 6, el área del ΔAOD es

D

C

A O

A) 4 3 fig. 2 B) 3 3 C) 2 3 D) 3

B E) 3

2

2

8. En la figura 3, AC es tangente en B a la circunferencia de centro O y radio r. AS es una secante de la circunferencia que contiene a los puntos O y P. Si CS es otra tangente a la circunferencia y AP = 1 y AB = r – 1, entonces el área del cuadrilátero BCSO es

P

S

fig. 3 O

A) 144 B) 96 C) 48 D) 24 E) no se puede determinar

A B C

9. En la figura 4, es isósceles de base ABCΔ AB = 8 cm y área 12 cm 2 . DE AB⊥ y

EF BC⊥ . Si AE = 2 cm, entonces el perímetro del cuadrilátero CDEF es

F

D

C

fig. 4

A) 7,8 cm B) 8 cm C) 9 cm D) 9,5 cm E) no se puede calcular

A E B

10. En la circunferencia de diámetro AB = 8 de la figura 5, BC es tangente a la

circunferencia en el punto B. Si AC : AB = 2 : 1 entonces CD = A

D

fig. 5 A) 12 B) 11 C) 8 D) 6 3

E) 4 3 B C

11. En la circunferencia de la figura 6, BE diámetro y CDFA rectángulo. Entonces, ¿cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

C

F

B

D

O fig. 6

E

I) ΔABF ∼ ΔFBE II) ΔABF ∼ ΔDEO

III) ΔFBE ∼ ΔDEF


3

12. El ΔABC de la figura 7, es equilátero. Si AP : PC = CQ : QB = 1 : 2 y además PQ = 6, entonces el área del ΔABP es

C A) 27 3 fig. 7

Q B) 12 3 C) 9 3 P D) 9 E) 27

A B

13. El triángulo ABC de la figura 8, es rectángulo en C. Si AD es bisectriz del BAC, CD = 2

y DB = 4, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) ΔABC ∼ ΔDBE C II) sen 2α = 2 sen α · cos α

fig. 8 III) CE = EB

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

14. En la figura 9, el rectángulo está formado por dos cuadrados de lado 6 cada uno de ellos. Entonces, el área del ΔPRS es

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

15. Si ax2 + bx – a = 0 es una ecuación cuadrática con a y b números reales distintos,

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s) con respecto a esta ecuación?

I) Tiene dos raíces reales distintas.

II) Si a = 2 y b = 3 sus raíces son números enteros. III) El producto de sus raíces siempre es -1.

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

D

α A E B

D C P

fig. 9 R S

A Q B

4

16. El cuadrilátero de la figura 10, se puede inscribir en una circunferencia de diámetro AB = 10. Si AB es un eje de simetría y además AB = PA + AQ , ¿cuál es el área del cuadrilátero?

A) 100 3 B) 100 C) 25 3 D) 25 E) No se puede determinar

fig. 10

B

P

A

Q

17. ¿En cuál de las siguientes alternativas hay una simetría con respecto al punto P?

A) B) C)

D) E)

PP

P P

18. El punto simétrico de A = (3, 4), con respecto al origen O del sistema coordenado

cartesiano es el punto B = (a, b). Si se realiza una rotación de 90º en torno al origen, en sentido antihorario, el punto B tendrá las coordenadas

A) (-3, -4) B) ( 4, -3) C) (-4, -3) D) (-4, 3) E) ( 4, 3)

19. Si 0 < α < 90º de modo que tgα = 2 2

2ab

a b−, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es

(son) siempre verdadera(s)?

I) sen α = 2ab II) cos α = a2 – b2

III) cos2α + sen2α = (a2 + b2) 2 A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas

P

5

20. De acuerdo a la información dada por la tabla de distribución de frecuencias de la figura 11, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Para algún valor de p, el promedio puede ser 6.

II) Para cualquier valor positivo posible de p menor que 7, la mediana es 5. III) a = 20% sólo si p = 7.

A) Sólo I X F Fr B) Sólo II

4 6 C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III 21. En el juego del gato de la figura 12, le corresponde jugar a • . ¿Cuál es la probabilidad

de evitar que su contrincante complete tres X en línea en la siguiente jugada?

A) 19

B) 16

C) 1

3

D) 29

E) 14

22. De acuerdo a la información proporcionada en el gráfico de la figura 13 (fuente INE),

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La suma de porcentajes en estos meses es de un 6,3%. II) Si en febrero, un artículo costaba $ 40.000, en abril valía lo mismo.

III) La mayor alza con respecto al mes anterior se produjo en el mes de mayo.

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo I y III E) I, II y III

5 4 a fig. 11

6 p

7 3

fig. 12

X X

0,3

fig. 13

0,6

0,9

1,2

1,5

E F M A M J J A Meses

0,4

0,8

0,4

1,2

5

1,1 0,9

1,

6

23. La probabilidad de que un hombre y una mujer vivan dentro de 10 años son 45

y 23

,

respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que dentro de 10 años, al menos, uno viva?

A) 115

B) 15

C) 13

D) 815

E) 1415

24. En una caja hay 3 bolitas verdes, 2 azules y una roja. ¿Cuál es la probabilidad que al sacar dos bolitas, queden en el interior de la caja dos bolitas azules y dos bolitas verdes, dado que la primera bolita que se sacó fue roja?

A) 112

B) 110

C) 15

D) 35

E) 13

25. El hexágono de la figura 14, es regular si :

(1) AD es eje de simetría del hexágono.

(2) ΔABC ≅ ΔDCB


B C

F E

A D

fig. 14

7

26. Se puede determinar el vértice de la parábola definida por una función cuadrática si:

(1) Se conoce el recorrido de la función.

(2) Se conoce el eje de simetría del gráfico de la función.


27. En un grupo de 90 personas, el 20% son extranjeros. Se puede determinar la

probabilidad de escoger al azar un hombre chileno si:

(1) La tercera parte de los chilenos son hombres.

(2) En el grupo hay 48 mujeres chilenas.


28. En la tabla de distribución de frecuencia, de la figura 15, se tiene que a < b < c < d.

Entonces, b es la mediana si :

(1) p + q = 10 y r + s = 9 x f

a p

b q

c r

d s

fig. 15

(2) p < q

A) por sí sola B) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

29. En la figura 16, PQRSTU es un hexágono de área 36 cm2. Se puede determinar el área

del ΔABC si :

Q P

S T

R U

C

B A

(1) ΔCTS es equilátero.

(2) ΔABC es equilátero. fig. 16


8

30. La solución de la ecuación (2ax + b)2 – (2ax + c)2 = (b - c)2 es -1, si:

(1) c = 2a

(2) (b – c)2 > 0


9

10

CLAVES

1 B 6 A 11 C 16 C 21 B 26 C

2 C 7 B 12 C 17 C 22 D 27 D

3 C 8 C 13 E 18 B 23 E 28 C

4 A 9 A 14 B 19 E 24 D 29 E

5 E 10 A 15 C 20 D 25 E 30 C

mini ensayo de matematica - 2009

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