metodos matematicos de la fisica, universidad de granada

5/16/2018 Metodos Matematicos de La Fisica, Universidad de Granada - slidepdf.com

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A p u n t e s d e M é t o d o s M a t e m á t i c o s d e l a F í s i c a I I .

L I C E N C I A T U R A E N F Í S I C A .

C u r s o 2 0 0 5 - 2 0 0 6

J u a n C a r l o s C a b e l l o P í ñ a r

D e p a r t a m e n t o d e A n á l i s i s M a t e m á t i c o



2



Í n d i c e g e n e r a l

1 . N ú m e r o s r e a l e s , v e c t o r e s y f u n c i o n e s 5

1 . 1 . E l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r e a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 . 1 . 1 . E s t r u c t u r a a l g e b r a i c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 . 1 . 2 . E s t r u c t u r a o r d e n a d a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 . 1 . 3 . A x i o m a d e l s u p r e m o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

1 . 1 . 4 . V a l o r a b s o l u t o d e u n n ú m e r o r e a l . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

1 . 1 . 5 . I n t e r v a l o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

1 . 1 . 6 . E x p r e s i ó n d e c i m a l d e u n n ú m e r o r e a l . . . . . . . . . . . . . . . 1 3

1 . 1 . 7 . A p l i c a c i o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

1 . 1 . 8 . C o n j u n t o s n i t o s e i n n i t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

1 . 1 . 9 . R e l a c i ó n d e e j e r c i c i o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

1 . 2 . F u n c i o n e s e l e m e n t a l e s I : F u n c i o n e s r a c i o n a l e s y e x p o n e n c i a l e s . . . . . 1 9

1 . 2 . 1 . F u n c i o n e s r e a l e s d e v a r i a b l e r e a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9

1 . 2 . 2 . G r á c a d e u n a f u n c i ó n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0

1 . 2 . 3 . F u n c i o n e s r a c i o n a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

1 . 2 . 4 . F u n c i ó n l o g a r i t m o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3

1 . 2 . 5 . O p e r a c i o n e s c o n f u n c i o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4

1 . 2 . 6 . F u n c i ó n e x p o n e n c i a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

1 . 2 . 7 . F u n c i o n e s d e n i d a s a t r o z o s . F u n c i o n e s p a r t e e n t e r a y v a l o r a b -

s o l u t o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7

1 . 2 . 8 . R e l a c i ó n d e e j e r c i c i o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8

1 . 3 . F u n c i o n e s e l e m e n t a l e s I I : F u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s . . . . . . . . . . . 3 1

1 . 3 . 1 . E l n ú m e r o π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1

1 . 3 . 2 . F u n c i ó n a r c o c o s e n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2

1 . 3 . 3 . F u n c i o n e s s e n o y c o s e n o

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3

1 . 3 . 4 . F u n c i ó n t a n g e n t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

1 . 3 . 5 . F u n c i o n e s s e c a n t e , c o s e c a n t e y c o t a n g e n t e . . . . . . . . . . . . 3 6

1 . 3 . 6 . F u n c i o n e s a r c o s e n o y a r c o t a n g e n t e . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7

1 . 3 . 7 . I d e n t i d a d e s T r i g o n o m é t r i c a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8

1 . 3 . 8 . F u n c i o n e s H i p e r b ó l i c a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9


1 . 4 . S u c e s i o n e s d e n ú m e r o s r e a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1

1 . 4 . 1 . A c o t a c i ó n , m o n o t o n í a y c o n v e r g e n c i a d e s u c e s i o n e s . . . . . . . 4 1

1 . 4 . 2 . S u c e s i o n e s d i v e r g e n t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3




4 Í N D I C E G E N E R A L

1 . 5 . S e r i e s d e n ú m e r o s r e a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7

1 . 5 . 1 . S e r i e s d e n ú m e r o s r e a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7

1 . 5 . 2 . C r i t e r i o s d e c o n v e r g e n c i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0


1 . 6 . E l e s p a c i o e u c l í d e o . C a m p o s v e c t o r i a l e s y e s c a l a r e s . . . . . . . . . . . 5 3

1 . 6 . 1 . E s t r u c t u r a a l g e b r a i c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3

1 . 6 . 2 . E s t r u c t u r a e u c l í d e a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5

1 . 6 . 3 . C o n c e p t o s t o p o l ó g i c o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6

1 . 6 . 4 . S u c e s i o n e s e n Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 8

1 . 6 . 5 . C a m p o s v e c t o r i a l e s y e s c a l a r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9

1 . 6 . 6 . F u n c i o n e s c o o r d e n a d a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0




C a p í t u l o 1

N ú m e r o s r e a l e s , v e c t o r e s y f u n c i o n e s

C o m e n t a r i o

L o s e s t u d i o s a n t r o p o l ó g i c o s r e v e l a n q u e h a n s i d o n e c e s a r i o s m u c h o s s i g l o s a n t e s d e

q u e l o s h o m b r e s c o n c i b i e r a n l a i d e a d e l n ú m e r o . N u e s t r o s a n t e p a s a d o s d e b i e r o n h a c e r u n

g r a n e s f u e r z o p a r a a l e j a r s e d e l o c o n c r e t o d e l a s n e c e s i d a d e s d e l a v i d a y d e l a r e a l i d a d d e l

m u n d o c i r c u n d a n t e p a r a l l e g a r a l a c o n c e p c i ó n d e l a e n t i d a d n u m é r i c a , c o m p l e t a m e n t e

s e p a r a d a d e t o d a r e f e r e n c i a c o n c r e t a . L a s c o n c e p c i o n e s q u e e l h o m b r e h a t e n i d o s o b r e

l a i d e a d e n ú m e r o h a n s e g u i d o u n d e s a r r o l l o p a r a l e l o a l d e v e n i r h i s t ó r i c o d e l h o m b r e .

E n u n a p r i m e r a e t a p a s e a p r e n d i ó a c o n t a r e l n ú m e r o d e o b j e t o s i n d e p e n d i e n t e m e n t e

d e l a n a t u r a l e z a d e é s t o s y a s í a p a r e c i e r o n l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s . L a s d e u d a s e n e l

t r a t o c o m e r c i a l , h i c i e r o n n a c e r l o s n ú m e r o s e n t e r o s , m i e n t r a s q u e l a s r e p a r t i c i o n e s o e l

c o m i e n z o d e l a s m e d i c i o n e s d e c a m p o s , p e s o s , e t c d i e r o n l u g a r a l c o n c e p t o d e n ú m e r o

r a c i o n a l . F u e r o n l o s p i t a g ó r i c o s l o s q u e d e s c u b r i e r o n q u e s ó l o c o n l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s

y l a s f r a c c i o n e s n o p u e d e n r e a l i z a r s e t o d a s l a s m e d i d a s p o s i b l e s d e f o r m a e x a c t a , y a

q u e s e e n c o n t r a r o n p a r e s d e s e g m e n t o s c o m o l a d i a g o n a l y e l l a d o d e u n c u a d r a d o c u y o

c o c i e n t e d e l o n g i t u d e s n o e s u n a f r a c c i ó n . E s t o o b l i g ó a l a c o n s i d e r a c i ó n d e l o s n ú m e r o s

i r r a c i o n a l e s . E l c o n j u n t o f o r m a d o a ñ a d i e n d o a e s t o s ú l t i m o s a l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s

r a c i o n a l e s s e h a d a d o e n l l a m a r e l c o n j u n t o R d e l o s n ú m e r o s r e a l e s . E l c o n o c i m i e n t o

d e é s t o s e s l a p r i m e r a p r e m i s a p a r a a v a n z a r c o n p r o v e c h o e n e l e s t u d i o d e l A n á l i s i s

M a t e m á t i c o .

P o r o t r a p a r t e , e n d i v e r s o s c a m p o s d e l a a c t i v i d a d h u m a n a o c u r r e q u e , p a r a p o d e r

e x p r e s a r s i n a m b i g ü e d a d l a s l e y e s q u e l a d e t e r m i n a n , s e e s t a b l e c e n r e l a c i o n e s e n t r e

u n c o n j u n t o d e o b j e t o s ( l l a m a d o d o m i n i o ) y o t r o c o n j u n t o d e o b j e t o s ( l l a m a d o r a n g o

o r e c o r r i d o ) . E n r e a l i d a d s e t r a t a d e p u r o s a r t i c i o s u s a d o s p a r a d e s c r i b i r r e l a c i o n e s

e s p e c i a l e s e n f o r m a c u a n t i t a t i v a . C u a n d o e s t a s r e l a c i o n e s s o n t a l e s q u e a c a d a e l e m e n t o

d e l d o m i n i o c o r r e s p o n d e u n s ó l o e l e m e n t o d e l r a n g o , r e c i b e n e n g e n e r a l e l n o m b r e

d e a p l i c a c i o n e s . S i a d e m á s e l d o m i n i o y e l r a n g o d e e s t a s a p l i c a c i o n e s s o n c o n j u n t o s

n u m é r i c o s s e s u e l e n l l a m a r f u n c i o n e s .

V e a m o s a l g u n o s e j e m p l o s :

1 . - L a f u e r z a n e c e s a r i a p a r a e s t i r a r u n m u e l l e d e a c e r o h a s t a u n a l o n g i t u d

xa p a r t i r



6 C A P Í T U L O 1 . N Ú M E R O S R E A L E S , V E C T O R E S Y F U N C I O N E S

d e s u l o n g i t u d n o r m a l e s p r o p o r c i o n a l a x. E s d e c i r , F = cx, d o n d e c e s u n n ú m e r o

i n d e p e n d i e n t e d e x, q u e d e p e n d e d e l a n a t u r a l e z a d e l m u e l l e . E s t a f ó r m u l a , d e s c u b i e r t a

p o r R . H o o k e a m e d i a d o s d e l s i g l o X V I I , r e l a c i o n a c a d a l o n g i t u d ”e x t r a " c o n l a f u e r z a

r e q u e r i d a p a r a t a l a l a r g a m i e n t o .

C l a r a m e n t e s u d o m i n i o y s u r a n g o e s e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r e a l e s p o s i t i v o s y a

c a d a e l e m e n t o d e l d o m i n i o c o r r e s p o n d e u n s ó l o e l e m e n t o d e l r a n g o , p o r l o q u e e s t a m o s

t r a t a n d o c o n n u e s t r o p r i m e r e j e m p l o d e f u n c i ó n .

2 . - I m a g i n e m o s a h o r a u n d e t e r m i n a d o o b j e t o q u e e s l e v a n t a d o h a s t a c i e r t a a l t u r a

" h " y e s d e j a d o c a e r l i b r e m e n t e . S a b e m o s q u e l a a l t u r a e s p r o p o r c i o n a l a l c u a d r a d o

d e l t i e m p o q u e t a r d a e n l l e g a r a l s u e l o , c o n c r e t a m e n t e

h = 1/2gt2,

d o n d e l a c o n s t a n t e g e s e l v a l o r d e l a a c e l e r a c i ó n d e l a g r a v e d a d .

N ó t e s e q u e d e e s t a f o r m a o b t e n e m o s u n a n u e v a f u n c i ó n q u e e x p r e s a s i n a m b i g ü e d a d

c ó m o d e p e n d e l a a l t u r a a l c a n z a d a r e s p e c t o d e l t i e m p o q u e t a r d a e n c a e r .

E n r e a l i d a d , p u e d e a s e g u r a r s e q u e , p o r r e g l a g e n e r a l , l a s l e y e s q u e q u e d e t e r m i n a n u n

d e t e r m i n a d o f e n ó m e n o d e p e n d e n o s ó l o d e u n a v a r i a b l e s i n o d e v a r i a s . A s í p o r e j e m p l o ,

e n e l c o s t e d e u n p r o d u c t o , i n t e r v i e n e n l a m a t e r i a p r i m a , e l t r a n s p o r t e d e é s t a , l a m a n o

d e o b r a y o t r a s r e a l i d a d e s . E s t o n o s l l e v a a t e n e r q u e c o n s i d e r a r f u n c i o n e s d e n i d a s

e n u n s u b c o n j u n t o d e Rq. P e r o t o d a v í a m á s , e s n o r m a l c o n s i d e r a r v a r i o s a s p e c t o s d e

u n m i s m o f e n ó m e n o y s u d e p e n d e n c i a d e v a r i a s v a r i a b l e s l o q u e c o n d u c e a l e s t u d i o d e

f u n c i o n e s d e n i d a s e n u n s u b c o n j u n t o d e Rqc o n v a l o r e s e n Rn .

C o m o p u e d e u n o i m a g i n a r s e e x i s t e u n a g r a n v a r i e d a d d e e j e m p l o s d e f u n c i o n e s e n

e l c a m p o d e l o s f e n ó m e n o s n a t u r a l e s , y e n o t r o s m u c h o s c a m p o s d e l c o n o c i m i e n t o , e n

l o s q u e t a n t o e l d o m i n i o c o m o e l r a n g o s o n s u b c o n j u n t o s d e n ú m e r o s r e a l e s o d e s u

p r o d u c t o c a r t e s i a n o . A s í p u e s , d a d o q u e e l n ú c l e o d e e s t e c u r s o e s e l e s t u d i o d e l a s

f u n c i o n e s , s e e n t i e n d e q u e e l c o n o c i m i e n t o d e l o s n ú m e r o s r e a l e s e s l a p r i m e r a p r e m i s a

p a r a a v a n z a r c o n p r o v e c h o .

E n e s t e p r i m e r c a p í t u l o e s t u d i a r e m o s e n p r i m e r l u g a r e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s

r e a l e s R e i n i c i a r e m o s e l e s t u d i o d e l a s f u n c i o n e s d e n i d a s y c o n v a l o r e s e n R, c o n

e s p e c i a l é n f a s i s e n l a s f u n c i o n e s m á s i m p o r t a n t e s , l l a m a d a s f u n c i o n e s e l e m e n t a l e s . E n

s e g u n d o l u g a r , e s t u d i a r e m o s q u é p r o p i e d a d e s d e l c o n j u n t o R s e m a n t i e n e n p a r a e l c o n -

j u n t o p r o d u c t o c a r t e s i a n o Rn, y c ó m o r e l a c i o n a r c a d a f u n c i ó n c o n v a l o r e s e n Rn

c o n nf u n c i o n e s c o n v a l o r e s e n R.



1 . 1 . E L C O N J U N T O D E L O S N Ú M E R O S R E A L E S . 7

1 . 1 . E l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r e a l e s .

S u m a r i o

E n e s t a l e c c i ó n e s t u d i a r e m o s l a s p r o p i e d a d e s q u e s e p u e d e n c o n s i d e r a r e n e l c o n j u n t o

d e l o s n ú m e r o s r e a l e s . L a e s t r a t e g i a q u e s e g u i r e m o s e n e s t a p r i m e r a l e c c i ó n s e r á l a d e e x p o n e r

u n a l i s t a d e p r o p i e d a d e s f u n d a m e n t a l e s d e l o s n ú m e r o s r e a l e s , q u e s e r á n e n u n c i a d a s b a j o l a

f o r m a d e " a x i o m a s " , y s u s c o n s e c u e n c i a s m á s i m p o r t a n t e s . D e s t a c a r e m o s , d e e n t r e t o d o s

l o s a x i o m a s , e l q u e l l a m a r e m o s a x i o m a d e l s u p r e m o , d e h e c h o , e s t e a x i o m a n o s e v e r i c a e n

e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s , y e s t o l e c o n e r e a l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r e a l e s s u

i d e n t i d a d y p r i m a c í a . C u a l q u i e r o t r a p r o p i e d a d d e l o s n ú m e r o s r e a l e s s e d e d u c e d e é s t e y d e l

r e s t o d e l o s a x i o m a s . E l c o n t e n i d o c o m p l e t o d e e s t a l e c c i ó n s e a r t i c u l a d e l a s i g u i e n t e m a n e r a :

I . 1 . 1 E s t r u c t u r a a l g e b r a i c a .

I . 1 . 2 E s t r u c t u r a o r d e n a d a .

I . 1 . 3 A x i o m a d e l s u p r e m o .

I . 1 . 4 V a l o r a b s o l u t o d e u n n ú m e r o r e a l .

I . 1 . 5 I n t e r v a l o s .

I . 1 . 6 A p r o x i m a c i ó n d e c i m a l .

I . 1 . 7 C o n j u n t o s n i t o s e i n n i t o s .

I . 1 . 8 R e l a c i ó n d e e j e r c i c i o s .

1 . 1 . 1 . E s t r u c t u r a a l g e b r a i c a

A x i o m a I : E x i s t e u n c o n j u n t o , q u e n o t a r e m o s p o r R , e n e l q u e e x i s t e u n a o p e r a c i ó n

s u m a ( + ) , v e r i c a n d o :

1 . P r o p i e d a d a s o c i a t i v a :

(x + y) + z = x + (y + z) (x,y,z ∈ R)

( e s t o e s , n o e s n e c e s a r i o e s c r i b i r p a r é n t e s i s s i s ó l o a p a r e c e l a o p e r a c i ó n s u m a ) .

2 . P r o p i e d a d c o n m u t a t i v a :

x + y = y + x (x, y ∈ R).



8 I . 1 E l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r e a l e s

3 . P r o p i e d a d d e e x i s t e n c i a d e e l e m e n t o n e u t r o :

E x i s t e u n e l e m e n t o 0 ∈ R , t a l q u e , p a r a c a d a x ∈ R , s e t i e n e

x + 0 = x.

4 . P r o p i e d a d d e e x i s t e n c i a d e e l e m e n t o s i m é t r i c o :

D a d o c u a l q u i e r n ú m e r o r e a l x e x i s t e o t r o n ú m e r o r e a l −x t a l q u e

x + (−x) = 0.

A x i o m a I I : E n R e x i s t e t a m b i é n u n a o p e r a c i ó n p r o d u c t o ( . ) , q u e n o t a r e m o s p o r

y u x t a p o s i c i ó n , v e r i c a n d o :


(xy)z = x(yz) (x,y,z ∈ R),

( e s t o e s , n o e s n e c e s a r i o e s c r i b i r p a r é n t e s i s s i s ó l o a p a r e c e l a o p e r a c i ó n p r o d u c t o

) .


xy = yx (x, y ∈ R).


E x i s t e u n n ú m e r o r e a l 1 ∈ R , t a l q u e , p a r a c a d a x ∈ R , s e t i e n e

x1 = x.

4 . P r o p i e d a d d e e x i s t e n c i a d e e l e m e n t o i n v e r s o :

D a d o c u a l q u i e r n ú m e r o r e a l x = 0 e x i s t e o t r o n ú m e r o r e a l 1/x t a l q u e

x 1/x = 1.

A m b a s o p e r a c i o n e s s e r e l a c i o n a n e n t r e s í d e l a s i g u i e n t e m a n e r a

A x i o m a I I I :

P r o p i e d a d d i s t r i b u t i v a :

(x + y)z = xz + yz (x,y,z ∈ R).



A n á l i s i s M a t e m á t i c o 9

1 . 1 . 2 . E s t r u c t u r a o r d e n a d a

A x i o m a I V : E x i s t e u n a r e l a c i ó n b i n a r i a ( ≤) ) , v e r i c a n d o :

1 . P r o p i e d a d r e e x i v a : x ≤ x (x ∈ R).

2 . P r o p i e d a d a n t i s i m é t r i c a : S i x ≤ y e y ≤ x, e n t o n c e s x = y ( x, y ∈ R ) .

3 . P r o p i e d a d t r a n s i t i v a : S i x ≤ y e y ≤ z , e n t o n c e s x ≤ z ( x,y,z ∈ R) .

E s t a s t r e s p r o p i e d a d e s s e r e s u m e n d i c i e n d o q u e l a r e l a c i ó n ( ≤)) e s u n a r e l a c i ó n d e

o r d e n .

D e h e c h o , e l o r d e n e s t o t a l y a q u e :

A x i o m a V :

D a d o s d o s n ú m e r o s r e a l e s x e y , o c u r r e q u e ó b i e n x ≤ y ó b i e n y ≤ x.

A d e m á s e l o r d e n t i e n e u n b u e n c o m p o r t a m i e n t o c o n r e s p e c t o a l a s u m a

A x i o m a V I :

S e a n x,y,z t r e s n ú m e r o s r e a l e s a r b i t r a r i o s . S i x

≤y , e n t o n c e s x + z

≤y + z .

y t a m b i é n r e s p e c t o a l p r o d u c t o

A x i o m a V I I :

S e a n x, y d o s n ú m e r o s r e a l e s a r b i t r a r i o s y z ≥ 0 . S i x ≤ y , e n t o n c e s xz ≤ yz .

L a s p r o p i e d a d e s e n u n c i a d a s a n t e r i o r m e n t e s u e l e n r e s u m i r s e d i c i e n d o q u e e l

c o n j u n t o R d o t a d o c o n l a s o p e r a c i o n e s +, . y e l o r d e n ≤ t i e n e e s t r u c t u r a d e c u e r p o

o r d e n a d o .

N o t a c i ó n

N o t a r e m o s p o r :

- x < y , e l h e c h o d e q u e x ≤ y y x = y ,

- x − y = x + (−y)- x/y = x 1/y- x ≥ y a l a e x p r e s i ó n y ≤ x

y t a m b i é n p o r

R+ := {x ∈ R; 0 < x},

R−

:= {x ∈ R; x < 0},



1 0 I . 1 E l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r e a l e s

R+0 := {x ∈ R; 0 ≤ x},

R∗ := {x ∈ R; x = 0}.

A n t e s d e c o n t i n u a r v a m o s a r e s a l t a r a l g u n a s p r o p i e d a d e s q u e s o n c o n s e c u e n c i a

d e l o s a x i o m a s a n t e r i o r e s .

P r o p o s i c i ó n 1 . 1 . 1 . S e a n x,y,z t r e s n ú m e r o s r e a l e s .

1 . x,0 = 0, x.(−y) = −xy

2 . S i x ≤ y + z , e n t o n c e s x − z ≤ y .

3 . S i x ≤ yz y z > 0, e n t o n c e s x/z ≤ y .

4 . S i x ≤ yz y z < 0, e n t o n c e s x/z ≥ y .

5 . S i 0 < x < y , e n t o n c e s 0 < 1/y < 1/x.

6 . x ≤ y s i , y s ó l o s i x ≤ y + z , p a r a t o d o z ∈ R+.

1 . 1 . 3 . A x i o m a d e l s u p r e m o .

E s c l a r o q u e e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s Q c u m p l e t o d a s l a s p r o p i e d a d e s

e x h i b i d a s h a s t a e l m o m e n t o . S i n e m b a r g o , c o m o y a h e m o s a d v e r t i d o , e n e s t e c o n j u n t o

n o s e e n c u e n t r a n s u c i e n t e s e l e m e n t o s c o m o p a r a m e d i r p o r e j e m p l o l a d i a g o n a l d e u n

c u a d r a d o d e l a d o 1. D e b e h a b e r p u e s a l g u n a o t r a p r o p i e d a d e x c l u s i v a d e l c o n j u n t o Rq u e a s e g u r e q u e c o n t i e n e e s t o s n u e v o s e l e m e n t o s . P a r a p o d e r e n u n c i a r e s t a p r o p i e d a d

n e c e s i t a m o s i n t r o d u c i r a l g u n o s c o n c e p t o s .

S e a A u n s u b c o n j u n t o d e n ú m e r o s r e a l e s n o v a c í o y z ∈ R . S e d i c e q u e z e s u n

m a y o r a n t e o c o t a s u p e r i o r d e A s i v e r i c a q u e , p a r a c a d a x ∈ A,

x≤

z.

S e d i c e q u e z e s e l s u p r e m o

d e A s i e s e l m e n o r d e l o s m a y o r a n t e s d e A.

I n v i r t i e n d o e l o r d e n e n l a s d e n i c i o n e s a n t e r i o r e s , e n c o n t r a m o s l o s c o n c e p t o s d e

m i n o r a n t e o

c o t a i n f e r i o r y d e

í n m o .

S e d i r á q u e u n s u b c o n j u n t o A d e n ú m e r o s r e a l e s e s t á m a y o r a d o

( r e s p . m i n o r a d o

)

s i t i e n e m a y o r a n t e s ( r e s p . m i n o r a n t e s ) .

S e d i r á q u e u n s u b c o n j u n t o A d e n ú m e r o s r e a l e s e s t á a c o t a d o

s i t i e n e m a y o r a n t e s

y m i n o r a n t e s . E s t o e s , s i e s t á m a y o r a d o y m i n o r a d o .



A n á l i s i s M a t e m á t i c o 1 1

Y a p o d e m o s e n u n c i a r e l a x i o m a d i s t i n t i v o d e l c o n j u n t o R, c o n o c i d o c o m o e l a x i o m a

d e l s u p r e m o

A x i o m a V I I I :

T o d o s u b c o n j u n t o d e n ú m e r o s r e a l e s n o v a c í o y m a y o r a d o t i e n e s u p r e m o .

E s t e a x i o m a n o s p e r m i t e i n c l u i r , p o r e j e m p l o ,

√2 e n e l c o n j u n t o R , y a q u e e s f á c i l

p r o b a r q u e √2 = Sup{x ∈ Q; x2 < 2}.

P o r o t r a p a r t e , e s c o n s e c u e n c i a i n m e d i a t a d e l a x i o m a d e l s u p r e m o , q u e t o d o s u b -

c o n j u n t o d e n ú m e r o s r e a l e s n o v a c í o y m i n o r a d o t i e n e í n m o . E s t e h e c h o n o s p e r m i t e

v e r q u e e l n ú m e r o e e s t a m b i é n u n n ú m e r o r e a l , y a q u e é s t e p u e d e v e r s e c o m o

e = Inf

{(1 + 1/n)n+1; n

∈N

},

a u n q u e t a m b i é n

e = Sup{sn = 1 + 1 + 1/2 + ... + 1/n!; n ∈ N}.

O t r a s c o n s e c u e n c i a s , a l g u n a s s o r p r e n d e n t e s , d e é s t e a x i o m a s e r e c o g e n e n e l s i g u i e n t e

r e s u l t a d o :

T e o r e m a 1 . 1 . 2 .

1 . E l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s n o e s t á m a y o r a d o .

2 . P a r a c a d a n ∈ N y p a r a c a d a y ∈ R+e x i s t e u n ( ú n i c o ) n ú m e r o r e a l p o s i t i v o

x =n

√yt a l q u e

x

n

= y3 . D a d o s d o s n ú m e r o s r e a l e s x < y , e x i s t e u n n ú m e r o i r r a c i o n a l β t a l q u e x < β < y .

4 . D a d o s d o s n ú m e r o s r e a l e s x < y , e x i s t e u n n ú m e r o r a c i o n a l r t a l q u e x < r < y .

5 . S i P (n) e s u n a p r o p i e d a d r e l a t i v a a u n n ú m e r o n a t u r a l n y s e v e r i c a q u e P (1)e s c i e r t a y q u e s i e m p r e q u e l o s e a n P (1), P (2),...,P (n) l o s e a t a m b i é n P (n + 1) ,

e n t o n c e s d i c h a p r o p i e d a d e s c i e r t a p a r a t o d o s l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s .

L a r e c t a r e a l : r e p r e s e n t a c i ó n g r á c a d e l c o n j u n t o R

P a r a t e n e r u n a i d e a i n t u i t i v a d e l c o n j u n t o , l o s n ú m e r o s r e a l e s s u e l e r e p r e s e n t a r s e

c o m o l o s p u n t o s d e u n a r e c t a . P a r a d i c h a r e p r e s e n t a c i ó n j a m o s d o s p u n t o s s o b r e u n a

r e c t a h o r i z o n t a l q u e l l a m a m o s o r i g e n y p u n t o u n i d a d , y l e s a s i g n a m o s l o s n ú m e r o s 0 y 1,

r e s p e c t i v a m e n t e . E l s e g m e n t o e n t r e 0 y 1 e s t o m a d o c o m o u n i d a d d e m e d i d a y , l l e v a d o

h a c i a l a d e r e c h a d e l 1 , v a m o s o b t e n i e n d o l o s d i f e r e n t e s n ú m e r o s n a t u r a l e s . L l e v a n d o l a

m i s m a u n i d a d d e m e d i d a h a c i a l a s i z q u i e r d a d e c e r o , s e o b t i e n e e l r e s t o d e l o s n ú m e r o s

e n t e r o s . L o s h u e c o s s e r á n r e l l e n a d o s p o r e l r e s t o d e l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s e i r r a c i o n a l e s

t e n i e n d o e n c u e n t a l o s a p a r t a d o s 3) y 4) d e l t e o r e m a 1 . 1 . 2 . A s í , e l h e c h o d e q u e x ≤ ys e i n t e r p r e t a c o m o q u e e l ” p u n t o ” x s e e n c u e n t r a s i t u a d o a l a i z q u i e r d a d e l ” p u n t o ”y .




1 . 1 . 4 . V a l o r a b s o l u t o d e u n n ú m e r o r e a l

D a d o u n n ú m e r o r e a l x , s e d e n e s u v a l o r a b s o l u t o

p o r l a s i g u i e n t e r e g l a

|x| =

x si x ≥ 0

−x si x < 0

C o n v i e n e d e s t a c a r a l g u n a s d e s u s p r o p i e d a d e s :

P r o p o s i c i ó n S e a n x e y d o s n ú m e r o s r e a l e s , e n t o n c e s

1 . |x| = 0 s i , y s ó l o s i x = 0.

2 . S i x = 0, e n t o n c e s |x| > 0.

3 . |x| = | − x| , |xy| = |x||y| .

4 . x2 = |x|2 ,

√x2 = |x|.

5 . |x| ≤ y s i , y s ó l o s i −y ≤ x ≤ y .

6 . ||x| − |y| | ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|,

1 . 1 . 5 . I n t e r v a l o s

O t r o s s u b c o n j u n t o s e s p e c i a l m e n t e i n t e r e s a n t e s s o n l o s l l a m a d o s i n t e r v a l o s , e s t o

e s , h a b l a n d o r u d a m e n t e , l o s c o n j u n t o s q u e n o t i e n e n a g u j e r o s .

D a d o s d o s n ú m e r o s r e a l e s a y b, s e l l a m a r á

I n t e r v a l o a b i e r t o d e e x t r e m o s a y b, a l c o n j u n t o

]a, b[:=

{x

∈R; a < x < b

}.

I n t e r v a l o c e r r a d o d e e x t r e m o s a y b, a l c o n j u n t o

[a, b] := {x ∈ R; a ≤ x ≤ b}.

I n t e r v a l o c e r r a d o e n a y a b i e r t o e n b, a l c o n j u n t o

[a, b[:= {x ∈ R; a ≤ x < b}.

I n t e r v a l o a b i e r t o e n a y c e r r a d o e n b, a l c o n j u n t o

]a, b] := {x ∈ R; a < x ≤ b}.




S e m i r r e c t a a b i e r t a d e o r i g e n a a l c o n j u n t o

]a, +

∞[:=

{x

∈R; a < x

}.

S e m i r r e c t a c e r r a d a d e o r i g e n a a l c o n j u n t o

[a, +∞[:= {x ∈ R; a ≤ x}.

S e m i r r e c t a a b i e r t a d e e x t r e m o b a l c o n j u n t o

] − ∞, b[:= {x ∈ R; x < b}.

S e m i r r e c t a c e r r a d a d e e x t r e m o b a l c o n j u n t o

] − ∞, b] := {x ∈ R; x ≤ b}.

E s t o s o c h o t i p o s d e c o n j u n t o s j u n t o c o n e l p r o p i o R s o n l o s ú n i c o s s u b c o n j u n t o s

d e R q u e n o t i e n e n ” a g u j e r o s ” , e s t o e s , d i c h o d e f o r m a m á s r i g u r o s a , s o n l o s ú n i c o s

s u b c o n j u n t o s I d e n ú m e r o s r e a l e s q u e v e r i c a n q u e , p a r a c a d a d o s p u n t o s x, y ∈ I , s e

t i e n e q u e e l i n t e r v a l o ]x, y[ e s t á c o n t e n i d o e n I .

1 . 1 . 6 . E x p r e s i ó n d e c i m a l d e u n n ú m e r o r e a l

A l o s e l e m e n t o s d e l c o n j u n t o D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} s e l e s d e n o m i n a n ú m e r o s

d í g i t o s . L L a m a r e m o s e x p r e s i ó n d e c i m a l d e u n n ú m e r o r e a l d a d o x a u n a l i s t a d e

n ú m e r o s d í g i t o s q u e e s t á u n í v o c a m e n t e d e t e r m i n a d a p o r d i c h o n ú m e r o .

P a r a v e r c ó m o s e g e n e r a e s t a a s o c i a c i ó n ( n ú m e r o r e a l - l i s t a d e d í g i t o s ) , c o m e n z a m o s

c o n e l c a s o p a r t i c u l a r e n q u e 0 ≤ x < 1. E n e s t e c a s o s e p u e d e p r o b a r q u e

P r o p o s i c i ó n 1 . 1 . 3 . S e a 0 ≤ x < 1. E n t o n c e s

1 . E x i s t e , p a r a c a d a n ∈ N , u n ú n i c o rn ∈ Q t a l q u e 10nrn ∈ Z y rn ≤ x < rn + 110n

2 . P a r a c a d a n ∈ N , e x i s t e n n n ú m e r o s d í g i t o s t a l e s q u e

rn =a1

10+

a2

102+ ... +

an10n

.

E n t a l c a s o , a l n ú m e r o x s e l e a s o c i a l a l i s t a {a1, a2,...,an,...} y s u e l e e s c r i b i r s e

x = 0a1a2...an...

U n a t a l e x p r e s i ó n r e c i b e e l n o m b r e d e e x p r e s i ó n d e c i m a l d e l n ú m e r o

x.




A s í p o r e j e m p l o , l a e x p r e s i ó n d e c i m a l d e l n ú m e r o 1/6 e s

1/6 = 01666..,6...

¾ Q u é o c u r r e s i e l n ú m e r o n o e s t á e n e l i n t e r v a l o [0, 1[? P u e s b i e n , p a r a e x t e n d e r e s t a

a s o c i a c i ó n a c u a l q u i e r n ú m e r o r e a l u s a r e m o s e l c o n c e p t o d e p a r t e e n t e r a d e u n n ú m e r o .

S e l l a m a p a r t e e n t e r a

d e u n n ú m e r o r e a l x a l n ú m e r o e n t e r o E (x) d a d o p o r

E (x) = Sup{ p ∈ Z; p ≤ x}.

E s i n m e d i a t o c o m p r o b a r q u e p a r a c a d a x ∈ R:

1 . E (x) ≤ x < E (x + 1) ,

2 . s i p e s u n n ú m e r o e n t e r o v e r i c a n d o :

p ≤ x < p + 1,

e n t o n c e s p = E [x].

A p a r t i r d e a q u í e s c l a r o q u e p a r a c a d a n ú m e r o r e a l x, s e t i e n e q u e x − E (x) e s u n

n ú m e r o r e a l c o m p r e n d i d o e n t r e 0 y 1 y p o r t a n t o , u s a n d o l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r ,

t i e n e s u c o r r e s p o n d i e n t e l i s t a d í g i t o s a s o c i a d a

{a1, a2,...,an,...

}. E n t a l c a s o , S e l l a m a

e x p r e s i ó n d e c i m a l d e x ∈ R+a l a e x p r e s i ó n E (x)a1a2,...an... y s u e l e e s c r i b i r s e

x = E (x)a1a2,...,an.

S i x ∈ R− , b a s t a c o n s i d e r a r −x y e s c r i b i r

x = −E (−x)a1a2,...an.

A s í p u e s , p o r c o m o d i d a d , v a m o s a s u p o n e r q u e x ∈ R+, y a q u e l a s d e n i c i o n e s p a r a

l o s n ú m e r o s n e g a t i v o s s o n a n á l o g a s .

S i l a e x p r e s i ó n d e c i m a l d e x e s t a l q u e an = 0 a p a r t i r d e u n c i e r t o v a l o r p , d i r e m o s

q u e l a e x p r e s i ó n d e c i m a l d e x e s n i t a

o q u e x a d m i t e u n d e s a r r o l l o d e c i m a l n i t o

y e n t a l c a s o e s c r i b i r e m o s

x = E (x)a1, a2,...a p.

M e r e c e l a p e n a d e s t a c a r q u e e n e s t e c a s o , c l a r a m e n t e , x e s u n n ú m e r o r a c i o n a l .

P u e d e o c u r r i r q u e u n n ú m e r o r a c i o n a l , n o a d m i t a u n d e s a r r o l l o d e c i m a l n i t o , s i

b i e n , e n t a l c a s o s e a d v i e r t e q u e e x i s t e u n a l i s t a d e d í g i t o s q u e s e r e p i t e p e r i ó d i c a m e n t e .

S i E (x)a1, a2,...,an,... e s l a e x p r e s i ó n d e c i m a l d e u n n ú m e r o r a c i o n a l p o s i t i v o x, d o n d e

a p, a p+1, a p+2,...,aq e s u n a l i s t a d e d í g i t o s q u e s e r e p i t e d e f o r m a c o n t i n u a d a , s u e l e

e s c r i b i r s e

x = E (x)

a1, a2,...,a p−1, (a p, a p+1, a p+2,...,aq).




U n a t a l e x p r e s i ó n r e c i b e e l n o m b r e d e e x p r e s i ó n d e c i m a l p e r i ó d i c a

.

A s í , p o r e j e m p l o

43 = 1 a1a2...an,..., d o n d e , p a r a c a d a n ∈ N , s e t i e n e q u e , an = 3.

E n t a l c a s o e s c r i b i r e m o s 4/3 = 1 3.

L a e x p r e s i ó n d e c i m a l d e u n n ú m e r o i r r a c i o n a l n i e s n i t a n i e s p e r i ó d i c a .

S e a x u n n ú m e r o r e a l p o s i t i v o , y s e a E (x)a1a2...an... s u e x p r e s i ó n d e c i m a l . A l v a l o r

E (x)a1a2...an s e l e d e n o m i n a a p r o x i m a c i ó n d e c i m a l d e x c o n n c i f r a s e x a c t a s .

E n l o s c á l c u l o s c o n n ú m e r o s i r r a c i o n a l e s s u e l e u s a r s e l a a p r o x i m a c i ó n d e c i m a l c o n

c i f r a s e x a c t a s , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e p a r a e l l o l a ú l t i m a c i f r a q u e a p a r e c e e s f r u t o

d e l r e d o n d e o y q u e e l n ú m e r o d e c i f r a s e x a c t a s a u s a r e n c a d a c a s o d e p e n d e r á d e l a

p r e c i s i ó n q u e n e c e s i t e m o s . P o r e j e m p l o e n l u g a r d e

e = 2718281828459045235360287471352662497757247...,

p u e d e e s c r i b i r s e , s i e n l o s c á l c u l o s s ó l o n e c e s i t a m o s c o n t a r c o n s e i s d e c i m a l e s ,

e ≈ 2718282.

1 . 1 . 7 . A p l i c a c i o n e s

C o n e l n d e h a c e r u n a d e n i c i ó n r i g u r o s a n e c e s i t a m o s r e c o r d a r a l g u n o s

c o n c e p t o s :

D a d o s d o s c o n j u n t o s A y B s e d i c e q u e u n a c o r r e s p o n d e n c i a f e n t r e l o s

e l e m e n t o s d e A y d e B e s u n a a p l i c a c i ó n e n t r e A y B s i a c a d a e l e m e n t o d e l c o n j u n t o

A c o r r e s p o n d e u n s ó l o e l e m e n t o d e l c o n j u n t o B . E s t e h e c h o s u e l e n o t a r s e

f : A −→ B.

A l c o n j u n t o A s e l e s u e l e l l a m a r d o m i n i o d e l a a p l i c a c i ó n f y a l c o n j u n t o B r a n g o

d e l a a p l i c a c i ó n f .

A s í p u e s , u n a a p l i c a c i ó n v i e n e d e t e r m i n a d a p o r

1 . s u d o m i n i o ,

2 . e l c o j u n t o d o n d e t o m a v a l o r e s ,

y

3 . l a l e y d e c o r r e s p o n d e n c i a , x −→ f (x) .

P o r o t r a p a r t e , s e d i c e q u e u n a a p l i c a c i ó n f : A −→ B e s

1 . i n y e c t i v a

s i , p a r a c u a l e s q u i e r a d o s e l e m e n t o s x, y ∈ A t a l e s q u e x = y , e n t o n c e s

f (x) = f (y)) , ó e q u i v a l e n t e m e n t e s i

f (x) = f (y)s i e m p r e q u e

x = y.




2 . s o b r e y e c t i v a

s i e l c o n j u n t o i m a g e n d e f , f (A) , q u e n o e s o t r o q u e e l c o n j u n t o

f (A) =

{y

∈R; e x i s t e x

∈A, t a l q u e y = f (x)

},

c o i n c i d e c o n e l c o n j u n t o d o n d e t o m a v a l o r e s l a f u n c i ó n ,

3 . b i y e c t i v a

s i e s s o b r e y e c t i v a e i n y e c t i v a .

S e a f : A −→ B e s u n a a p l i c a c i ó n i n y e c t i v a . A l a a p l i c a c i ó n c u y o d o m i n i o e s f (A),

c u y o r a n g o e s A y q u e v i e n e d e n i d a p o r l a l e y f (x) −→ x s e l e d e n o m i n a a p l i c a c i ó n

i n v e r s a d e f y e s n o t a d a p o r f −1 .

O b s é r v e s e q u e l a f u n c i ó n i n v e r s a f −1 : f (A) −→ A e s u n a a p l i c a c i ó n b i y e c t i v a .

D a d a u n a a p l i c a c i ó n f : A −→ B y d a d o u n s u b c o n j u n t o C d e A, l l a m a r e m o s

r e s t r i c c i ó n d e

f a l c o n j u n t o

C ,

f /C , a u n a n u e v a a p l i c a c i ó n c u y o d o m i n i o e s

C ,

q u e t o m a v a l o r e s e n B y c u y a l e y d e c o r r e s p o n d e n c i a v i e n e d a d a p o r

(f /B)(x) = f (x) ( x ∈ B).

S e a C u n s u b c o n j u n t o d e A y g : C −→ B u n a a p l i c a c i ó n . L l a m a r e m o s

e x t e n s i ó n d e g a l c o n j u n t o A, gA , a u n a n u e v a a p l i c a c i ó n d e n i d a e n A, c o n v a l o r e s

e n B y c u y a l e y d e c o r r e s p o n d e n c i a e s t á s u j e t a a l a s i g u i e n t e c o n d i c i ó n .

gA(x) = g(x) ( x ∈ C ).

D a d o s C ⊆ A, y f : A −→ B , e s c l a r o q u e f e s u n a e x t e n s i ó n d e f /C a l

c o n j u n t o A.

1 . 1 . 8 . C o n j u n t o s n i t o s e i n n i t o s

U n c o n j u n t o A s e d i c e n i t o

s i e s v a c í o o s i e x i s t e u n n ú m e r o n a t u r a l n, t a l q u e s e

p u e d e e s t a b l e c e r u n a a p l i c a c i ó n b i y e c t i v a e n t r e e l p r o p i o A y e l c o n j u n t o {1, 2,...,n}.

A d e m á s , e l n ú m e r o n a t u r a l n s e d e n o m i n a r á c o m o e l c a r d i n a l d e A,

U n c o n j u n t o s e d i c e i n n i t o s i n o e s n i t o .

E l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s N , e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s e n t e r o s Z, e l

c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s Q, e l d e l o s n ú m e r o s i r r a c i o n a l e s R/Q y t o d o s l o s

i n t e r v a l o s s o n c o n j u n t o s i n n i t o s .

P o d e m o s p r e g u n t a r n o s a h o r a s i t o d o s t i e n e n e l m i s m o " n ú m e r o d e e l e m e n t o s " .

P a r a e l l o i n t r o d u c i m o s e l s i g u i e n t e c o n c e p t o .

U n c o n j u n t o A s e d i c e N U M E R A B L E

s i e s v a c í o o s i e x i s t e u n a a p l i c a c i ó n i n y e c t i v a

d e é l e n

N.




C l a r a m e n t e t o d o s l o s c o n j u n t o s n i t o s s o n n u m e r a b l e s y s e p u e d e p r o b a r q u e u n

c o n j u n t o i n n i t o e s n u m e r a b l e s i , y s ó l o s i , e x i s t e u n a a p l i c a c i ó n b i y e c t i v a d e é l e n N .

S i c o n s i d e r a m o s l a s s i g u i e n t e s a p l i c a c i o n e s i n y e c t i v a s

- I : N −→ N d e n i d a p o r I (n) = n ,

- f : Z −→ N d e n i d a p o r f (−n) = 3n , f (0) = 1 y f (n) = 2n ,

- g : Q −→ N d e n i d a p o r g( p/q) = f ( p)5q , s i e m p r e q u e m.c.d(| p|, q) = 1, y q ∈ N

d e d u c i r e m o s q u e t a n t o N, Z c o m o Q s o n c o n j u n t o s i n n i t o s n u m e r a b l e s y p o r t a n t o

e n a l g ú n s e n t i d o t i e n e l o s m i s m o s e l e m e n t o s .

S i n e m b a r g o , s e p u e d e p r o b a r q u e n o e s é s t e e l c a s o d e n i n g u n o d e l o s i n t e r v a l o s

n i d e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s i r r a c i o n a l e s . O b s é r v e s e q u e e s t o ú l t i m o c h o c a c o n l a

p r i m e r a i m p r e s i ó n s a c a d a d e l o s a p a r t a d o s

3)y

4)d e l T e o r e m a 1 . 1 . 2 .

1 . 1 . 9 . R e l a c i ó n d e e j e r c i c i o s

1 . S u p u e s t o q u e

s

t<

x

y, d o n d e s, x ∈ R , t, y ∈ R+

, p r o b a r q u e

s

t

<s + x

t + y

<x

y

.

2 . D a d o s l o s n ú m e r o s r e a l e s x, y , d i s c ú t a s e l a v a l i d e z d e l a s s i g u i e n t e s a r m a c i o n e s

a )

2x − 3

x + 2<

1

3

b ) |x − 5| < |x + 1|c ) |x| − |y| = |x − y|

3 . D e m u é s t r e s e q u e p a r a c a d a n ú m e r o n a t u r a l

ns e v e r i c a q u e

a ) 1 + 3 + ... + 2n − 1 = n2.

b ) 12 + 22 + ... + n2 =n(n + 1)(2n + 1)

6.

c ) 13 + 23 + ... + n3 = (1 + 2 + ... + n)2 .

d ) 4n ≥ n2

e ) 1 + 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2n = 2n+1

f ) (r + s)n =n

k=0 n

k rk sn−k , d o n d e r, s

∈R y

n

k =n!

k!(n − k)!

.




4 . C a l c ú l e n s e , s i e x i s t e n , e l s u p r e m o , e l m á x i m o , e l í n m o y e l m í n i m o d e l o s s i g u -

i e n t e s s u b c o n j u n t o s d e n ú m e r o s r e a l e s :

a ) A = {x ∈ R; x2 − 4 ≥ 0},

b ) B = {x ∈ R; x2 − 4 < 0},

c ) C = {1/n; n ∈ N}.

5 . P r u é b e s e q u e

√3 e s i r r a c i o n a l .

6 . P r u é b e s e q u e e n t o d a r e u n i ó n d e p e r s o n a s e x i s t e n a l m e n o s d o s q u e c o n o c e n

e x a c t a m e n t e e l m i s m o n ú m e r o d e a s i s t e n t e s .



1 . 2 . F U N C I O N E S E L E M E N T A L E S I : F U N C I O N E S R A C I O N A L E S Y E X P O N E N C I A L E S 1 9

1 . 2 . F u n c i o n e s e l e m e n t a l e s I : F u n c i o n e s r a c i o n a l e s y

e x p o n e n c i a l e s

S u m a r i o

C o m o y a h e m o s a d v e r t i d o , e l n ú c l e o d e l c u r s o e s t á c o n s t i t u i d o p o r e l e s t u d i o d e a q u e l l a s

a p l i c a c i o n e s e n e l q u e t a n t o e l d o m i n i o c o m o e l r e c o r r i d o s o n s u b c o n j u n t o s d e n ú m e r o s r e a l e s .

E n e s t a l e c c i ó n e s t u d i a r e m o s a l g u n o s e j e m p l o s i m p o r t a n t e s d e é s t a s . E l c o n t e n i d o c o m p l e t o

d e e s t a l e c c i ó n s e a r t i c u l a d e l a s i g u i e n t e m a n e r a :

I . 2 . 1 F u n c i o n e s r e a l e s d e v a r i a b l e r e a l .

I . 2 . 2 G r á c a s .

I . 2 . 3 F u n c i o n e s r a c i o n a l e s .

I . 2 . 4 F u n c i ó n l o g a r i t m o .

I . 2 . 5 O p e r a c i o n e s c o n f u n c i o n e s .

I . 2 . 6 F u n c i ó n e x p o n e n c i a l .

I . 2 . 7 F u n c i o n e s d e n i d a s a t r o z o s . F u n c i o n e s v a l o r a b s o l u t o y p a r t e e n t e r a .


1 . 2 . 1 . F u n c i o n e s r e a l e s d e v a r i a b l e r e a l .

L l a m a r e m o s f u n c i ó n r e a l d e v a r i a b l e r e a l

a t o d a a p l i c a c i ó n d e n i d a e n u n

s u b c o n j u n t o d e n ú m e r o s r e a l e s y c o n v a l o r e s e n R , e s t o e s , a t o d a f u n c i ó n f u n c i ó n

f : A −→ B,

d o n d e A y B s o n d o s s u b c o n j u n t o s n o v a c í o s d e n ú m e r o s r e a l e s .

S e a A u n s u b c o n j u n t o d e n ú m e r o s r e a l e s y s e a f : A −→ R u n a f u n c i ó n . S e d i c e

q u e f e s

1 . c r e c i e n t e

e n A s i s i e m p r e q u e x, y ∈ A c o n x < y , e n t o n c e s f (x) ≤ f (y).

2 . e s t r i c t a m e n t e c r e c i e n t e e n A s i s i e m p r e q u e x, y ∈ A c o n x < y , e n t o n c e s

f (x) < f (y).



2 0 I . 2 . F u n c i o n e s e l e m e n t a l e s I

3 . d e c r e c i e n t e

e n A s i s i e m p r e q u e x, y ∈ A c o n x < y , e n t o n c e s f (x) ≥ f (y) .

4 . e s t r i c t a m e n t e d e c r e c i e n t e

e n

As i s i e m p r e q u e

x, y ∈ Ac o n

x < y, e n t o n c e s

f (x) > f (y).

5 . m o n ó t o n a

( r e s p . e s t r i c t a m e n t e m o n ó t o n a

e n A s i e s c r e c i e n t e o d e c r e c i e n t e

( r e s p . e s t r i c t a m e n t e c r e c i e n t e o d e c r e c i e n t e ) .

1 . 2 . 2 . G r á c a d e u n a f u n c i ó n

E n o c a s i o n e s r e s u l t a ú t i l t e n e r u n a " i m a g e n f o t o g r á c a " d e l a s f u n c i o n e s , e s t o s e

c o n s i g u e m e d i a n t e l a g r á c a

d e d i c h a f u n c i ó n . D a d a u n a f u n c i ó n f : A −→ R s e d e n e

l a g r á c a d e f , c o m o e l c o n j u n t o

Graf (f ) : {(x, y) ∈ R× R; y = f (x), x ∈ A}.

E s c l a r o q u e e l c o n j u n t o Graf (f ) e s u n s u b c o n j u n t o d e l p r o d u c t o c a r t e s i a n o

R × R q u e n o t a r e m o s p o r R2. A l i g u a l q u e u s a m o s c o m o r e p r e s e n t a c i ó n g r á c a d e R

l a r e c t a r e a l , p o d r e m o s u s a r e l p l a n o c o m o r e p r e s e n t a c i ó n g r á c a d e l c o n j u n t o R2y ,

p o r e n d e , l a g r á c a d e u n a f u n c i ó n r e a l d e v a r i a b l e r e a l p o d r á r e p r e s e n t a r s e c o m o u n

s u b c o n j u n t o d e é s t e .

L a i d e a q u e a h o r a q u e r e m o s r e s a l t a r e s q u e l a f o r m a d e l a g r á c a r e v e l a m u c h a s

d e l a s p r o p i e d a d e s d e l a f u n c i ó n c o r r e s p o n d i e n t e .

-6 -4 -2 2 4 6

-1

-0.5

0.5

1




E n t r e e l l a s e s t a r á p o r s u p u e s t o l a m o n o t o n í a , p e r o h a b r á o t r a s m u c h a s : a c o t a c i ó n ,

c o n t i n u i d a d , d e r i v a b i l i d a d , e x t r e m o s , e t c .

1 . 2 . 3 . F u n c i o n e s r a c i o n a l e s

V e a m o s a l g u n o s e j e m p l o s i m p o r t a n t e s d e f u n c i o n e s r e a l e s d e v a r i a b l e r e a l .

1 . F u n c i ó n i d e n t i d a d

D a d a A u n s u b c o n j u n t o d e n ú m e r o s r e a l e s , s e d e n e l a f u n c i ó n i d e n t i d a d e n

A,

I A, c o m o a q u e l l a f u n c i ó n

I A : A −→ R q u e v i e n e d e n i d a p o r

I A(x) = x, ∀x ∈ A.

D i c h a f u n c i ó n e s e s t r i c t a m e n t e c r e c i e n t e y s u g r á c a

Graf (I A) = {(x, x); x ∈ A}.

e s u n s u b c o n j u n t o d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l

D := {(x, x); x ∈ A}.

S i A = [

−2, 3] , e n t o n c e s s u g r á c a p u e d e s e r r e p r e s e n t a d a p o r

-2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

2 . F u n c i o n e s c o n s t a n t e s

D a d a A u n s u b c o n j u n t o d e n ú m e r o s r e a l e s y d a d o a ∈ R, s e d e n e l a f u n c i ó n

c o n s t a n t e r e s t r i n g i d a a l c o n j u n t o A , C a , c o m o l a f u n c i ó n C a : A −→ R q u e v i e n e

d e n i d a p o r

C a(x) = a, ∀x ∈ A.

L a g r á c a d e d i c h a f u n c i ó n

Graf (C a) = {(x, a); x ∈ R}p u e d e v e r s e c o m o u n s u b c o n j u n t o d e l a r e c t a h o r i z o n t a l y = a:

S i A = [−2, 3] y a = 3 , e n t o n c e s s u g r á c a p u e d e s e r r e p r e s e n t a d a p o r




-2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

3 . F u n c i o n e s p o l i n ó m i c a s

U n a f u n c i ó n f : A −→ R s e d i c e s e r p o l i n ó m i c a

s i e x i s t e n a0, a1, a2,...,ann ú m e r o s r e a l e s t a l e s q u e f (x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0 p a r a c a d a x ∈ A.

L a f u n c i ó n i d e n t i d a d y t o d a f u n c i ó n c o n s t a n t e s o n e j e m p l o s s e n c i l l o s d e f u n c i o n e s

p o l i n ó m i c a s .

S i A = [−2, 3] y f (x) = x3 + x2 + 1 , e n t o n c e s l a g r á c a d e l a f u n c i ó n p o l i n ó m i c a

f p u e d e s e r r e p r e s e n t a d a p o r l a s i g u i e n t e g u r a .

-2 -1 1 2 3

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

4 . F u n c i o n e s r a c i o n a l e s

U n a f u n c i ó n f : A −→ Rs e d i c e s e r

r a c i o n a l s i e x i s t e n s e n d a s f u n c i o n e s

p o l i n ó m i c a s f 1 y f 2 , c o n f 2(x) = 0, p a r a c a d a x ∈ A y t a l e s q u e , p a r a c a d a x ∈ A

f (x) = f 1(x)/f 2(x).

E s c l a r o q u e t o d o s l o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s l o s o n d e f u n c i o n e s r a c i o n a l e s .

S i A = [−

2, 3]y f (x) = x+1

x2

+1, e n t o n c e s l a g r á c a d e l a f u n c i ó n r a c i o n a l f p u e d e

s e r r e p r e s e n t a d a p o r

-2 -1 1 2 3

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2




1 . 2 . 4 . F u n c i ó n l o g a r i t m o .

S e d e n e l a f u n c i ó n L o g a r i t m o n e p e r i a n o

,

log, c o m o l a ú n i c a b i y e c c i ó n

e s t r i c t a m e n t e c r e c i e n t e , q u e e x i s t e d e R+e n R , v e r i c a n d o :

- log(1) = 0- log(e) = 1- log(xy) = log(x) + log(y).

C o m o c o n s e c u e n c i a , s e p u e d e n o b t e n e r a l g u n a s p r o p i e d a d e s t a l e s c o m o q u e :

- log(x p) = plog(x) , p a r a c a d a x ∈ R+y p a r a c a d a p ∈ N.

- log(x/y) = log(x) − log(y), p a r a c a d a x, y ∈ R+.

S i A =]0, 5] e n t o n c e s l a g r á c a d e l a r e s t r i c c i ó n d e l a f u n c i ó n l o g a r i t m o n e p e r i a n o

a l c o n j u n t o

Ap u e d e s e r r e p r e s e n t a d a p o r

1 2 3 4 5

-8

-6

-4

-2

F u n c i ó n l o g a r i t m o d e b a s e a

D a d o a > 0 , a = 1 , s e l l a m a f u n c i ó n l o g a r i t m o d e b a s e

a, loga , a l a f u n c i ó n

d e n i d a e n R+m e d i a n t e l a l e y

loga(x) = log(x)/log(a).

S i a > 1 , e n t o n c e s l a f u n c i ó n l o g a r i t m o d e b a s e a e s u n a b i y e c c i ó n e s t r i c t a m e n t e

c r e c i e n t e d e R+e n R, m i e n t r a s q u e s i a < 1 e n t o n c e s e s u n a b i y e c c i ó n e s t r i c t a m e n t e

d e c r e c i e n t e d e R+e n R.

A s í p o r e j e m p l o , p a r a A =]0, 5] y p a r a a = 10 y a = 0 , 2 l a s g r á c a s d e l a s c o r r e -

s p o n d i e n t e s r e s t r i c c i o n e s d e l a f u n c i ó n l o g a r i t m o a l c o n j u n t o

Ap u e d e n s e r c o m p a r a d a s

c o n l a a n t e r i o r

1 2 3 4 5

-4

-2

2

4




1 . 2 . 5 . O p e r a c i o n e s c o n f u n c i o n e s .

A n t e s d e s e g u i r c o n e l l i s t a d o d e l a s f u n c i o n e s e l e m e n t a l e s c o n v i e n e h a c e r a l g u n a s

p r e c i s i o n e s .

1 . A l g e b r a d e f u n c i o n e s

E n p r i m e r l u g a r h a c e m o s n o t a r q u e d a d a s d o s f u n c i o n e s f y g d e n i d a s s o b r e u n

m i s m o s u b c o n j u n t o d e n ú m e r o s r e a l e s A, s e p u e d e n d e n i r l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s :

a ) F u n c i ó n s u m a

: f + g .

L a f u n c i ó n s u m a e s u n a n u e v a f u n c i ó n f + g : A −→ R d e n i d a , p a r a

c a d a

x ∈ A, p o r

(f + g)(x) = f (x) + g(x).

C o m o c o n s e c u e n c i a d e e s t a d e n i c i ó n a p a r e c e , a s o c i a d a s a c a d a f u n c i ó n

f : A −→ R , l a l l a m a d a f u n c i ó n o p u e s t a

, −f , e s t o e s , l a f u n c i ó n

−f : A −→ R,

d e n i d a , p a r a c a d a x ∈ A, p o r

(

−f )(x) =

−f (x).

b ) F u n c i ó n p r o d u c t o

, f.g :

L a f u n c i ó n p r o d u c t o e s u n a n u e v a f u n c i ó n f.g : A −→ R d e n i d a , p a r a

c a d a x ∈ A, p o r

f.g(x) = f (x)g(x).

C o m o c o n s e c u e n c i a , s i e m p r e 0 ∈ f (A) , d e n i m o s l a f u n c i ó n i n v e r s a

p a r a e l p r o d u c t o , 1/f , c o m o l a f u n c i ó n

1/f : A −→ R,

d a d a , p a r a c a d a x ∈ A, p o r

(1/f )(x) =1

f (x).

c ) F u n c i ó n p r o d u c t o p o r u n e s c a l a r a, af :

P a r a c a d a a ∈ R , l a f u n c i ó n , af , e s u n a n u e v a f u n c i ó n d e A e n R q u e

v i e n e d e n i d a , p a r a c a d a x ∈ A, p o r

(af )(x) = af (x).




2 . C o m p o s i c i ó n d e f u n c i o n e s

S u p o n g a m o s a h o r a q u e e x i s t e n s e n d a s f u n c i o n e s f : A

−→R y g : B

−→R d e

m a n e r a q u e e l c o n j u n t o B c o n t i e n e a l P o d e m o s d e n i r l a f u n c i ó n c o m p o s i c i ó n

d e a m b a s , g ◦ f , c o m o l a f u n c i ó n

g ◦ f : A −→ Rd e n i d a , p a r a c a d a x ∈ A, p o r

g ◦ f (x) = g[f (x)].

R e c o r d e m o s q u e a s o c i a d a a t o d a f u n c i ó n i n y e c t i v a f : A −→ R p o d e m o s

c o n s i d e r a r l a f u n c i ó n i n v e r s a , f −1 , d e n i d a e n f (A), c o n v a l o r e s e n A y q u e v i e n e

d e n i d a m e d i a n t e l a l e y :

f −1(f (x)) = x (x ∈ A),

e s t o e s ,

f −1 ◦ f = I A.

A d e m á s e s c l a r o q u e

f ◦ f −1 = I f (A).

E s f á c i l p r o b a r , u s a n d o e s t a s ú l t i m a s c o n s i d e r a c i o n e s , q u e t o d a a p l i c a c i ó n e s t r i c -

t a m e n t e m o n ó t o n a e s i n y e c t i v a y q u e s u i n v e r s a e s i g u a l m e n t e e s t r i c t a m e n t e m o n ó t o n a

y d e l m i s m o t i p o ( c r e c i e n t e ó d e c r e c i e n t e ) .

1 . 2 . 6 . F u n c i ó n e x p o n e n c i a l .

Y a p o d e m o s c o n t i n u a r c o n l a l i s t a d e e j e m p l o s

L l a m a r e m o s f u n c i ó n e x p o n e n c i a l

, ex , a l a f u n c i ó n i n v e r s a d e l l o g a r i t m o

n e p e r i a n o , s e r á p o r t a n t o , u n a b i y e c c i ó n e s t r i c t a m e n t e c r e c i e n t e d e R e n R+t a l q u e :

- e0 = 1- e1 = e- ex+y = exey , p a r a c a d a x, y ∈ R.

- elogx = x- log(ex) = x.

S u g r á c a s e p u e d e r e p r e s e n t a r c o m o s i g u e :

D a d o s x ∈ R+e y ∈ R , c o n v e n d r e m o s e n n o t a r

xy

= eylogx

,




-2 -1 1 2 3

5

10

15

20

e n p a r t i c u l a r s e o b t i e n e q u e :

log(xy) = ylogx,

F u n c i ó n e x p o n e n c i a l d e b a s e a

D a d o a > 0 , a = 1 , l a f u n c i ó n ha : R −→ R+d e n i d a p o r ha(x) = ax , s e

d e n o m i n a f u n c i ó n e x p o n e n c i a l d e b a s e a, y s e n o t a r á p o r ax .

D i c h a f u n c i ó n e s e s t r i c t a m e n t e c r e c i e n t e ( r e s p . d e c r e c i e n t e ) s i a > 1 ( r e s p . a < 1 )

d e R

e n R+

y v e r i c a l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s :

- a0 = 1- a1 = a- ax+y = axay.

S u s g r á c a s p a r a a = 0, 1 y a = 5 s e p u e d e n r e p r e s e n t a r c o m o s i g u e n :

-2 -1 1 2 3

10

20

30

40




F u n c i ó n p o t e n c i a l

D a d o b

= 0, l a f u n c i ó n pb : R+

−→R+

d e n i d a p o r pb(x) = xb, s e d e n o m i n a

f u n c i ó n p o t e n c i a l d e e x p o n e n t e b, y s e n o t a r á p o r xb .

D i c h a f u n c i ó n e s e s t r i c t a m e n t e c r e c i e n t e ( r e s p . d e c r e c i e n t e ) s i b > 0 ( r e s p . s i b < 0)

d e R+e n R+

y v e r i c a l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s :

- 1b = 1- (xy)b = xbyb.

S u s g r á c a s ( p a r a b = π y b = −1 ) s e p u e d e n r e p r e s e n t a r c o m o s i g u e n :

0.5 1 1.5 2 2.5 3

10

20

30

40

1 . 2 . 7 . F u n c i o n e s d e n i d a s a t r o z o s . F u n c i o n e s p a r t e e n t e r a y

v a l o r a b s o l u t o .

S u p o n g a m o s q u e t e n e m o s u n s u b c o n j u n t o A d e n ú m e r o s r e a l e s y d o s s u b c o n -

j u n t o s d i s j u n t o s d e é s t e B y C t a l e s q u e A = B ∪ C . D i s p o n g a m o s a d e m á s d e s e n d a s

f u n c i o n e s r e a l e s d e v a r i a b l e r e a l g y h d e n i d a s r e s p e c t i v a m e n t e e n B y C . A p a r t i r d e

a q u í p o d e m o s d e n i r u n a n u e v a f u n c i ó n f : A −→ Rm e d i a n t e l a s i g u i e n t e e x p r e s i ó n :

f (x) =

g(x) s i x ∈ Bh(x) s i x ∈ C.

D e c i m o s q u e u n a t a l f u n c i ó n e s u n a f u n c i ó n d e n i d a a t r o z o s

. E s e v i d e n t e q u e

l a s p r o p i e d a d e s d e l a n u e v a f u n c i ó n d e p e n d e r á n d e l a s p r o p i e d a d e s d e l a s f u n c i o n e s q u e

l a d e n e n y d e l a f o r m a e n q u e l o s s u b c o n j u n t o s s e c o m p l e m e n t a n .

C o m o e j e m p l o s m á s s e n c i l l o s v e r e m o s l o s d o s s i g u i e n t e s :

F u n c i ó n p a r t e e n t e r a :

S e d e n e l a f u n c i ó n e n t e r a

, E , c o m o l a f u n c i ó n E : R −→ R d e n i d a p o r

E (x) = Sup{ p ∈ Z; p ≤ x}.

D i c h a f u n c i ó n e s c r e c i e n t e y s u g r á c a p u e d e r e p r e s e n t a r s e c o m o u n a e s c a l e r a ”i n n i t a ” c u y o s p e l d a ñ o s s o n i n t e r v a l o s d e l o n g i t u d u n o , y q u e , e n c a d a n ú m e r o e n t e r o ,

t i e n e u n

”s a l t o

”d e a l t u r a u n o .




-2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

S i A = [−2, 3], e n t o n c e s l a g r á c a d e l a f u n c i ó n E (x) r e s t r i n g i d a a l c o n j u n t o Ap u e d e s e r r e p r e s e n t a d a p o r

F u n c i ó n v a l o r a b s o l u t o .

S e d e n e l a f u n c i ó n v a l o r a b s o l u t o

c o m o l a f u n c i ó n |.| : R −→ R, d e n i d a

p a r a c a d a x∈R

p o r

|x| = x si x ≥ 0

−x si x < 0

L a g r á c a p u e d e r e p r e s e n t a r s e c o m o l a u n i ó n d e l a s b i s e c t r i c e s d e l p r i m e r y

s e g u n d o c u a d r a n t e .

-2 -1 1 2 3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

1 . 2 . 8 . R e l a c i ó n d e e j e r c i c i o s .

1 . E n u n a v a s i j a d e 3 0 c m d e a l t u r a e n t r a a g u a a r i t m o c o n s t a n t e . S e l l e n a e n

5 s e g u n d o s . U s a d e s t a i n f o r m a c i ó n y l a f o r m a d e l a v a s i j a p a r a r e s p o n d e r a l a s

s i g u i e n t e s c u e s t i o n e s :




a ) S i d r e p r e s e n t a l a p r o f u n d i d a d d e l a g u a m e d i d a e n c e n t í m e t r o s y t e l t i e m p o

t r a n s c u r r i d o e n s e g u n d o s , e x p l i c a d p o r q u é d e s f u n c i ó n d e t.

b ) H a l l a d e l d o m i n i o y e l r e c o r r i d o d e d i c h a f u n c i ó n .

c ) E s b o z a d u n a p o s i b l e g r á c a d e l a f u n c i ó n .

2 . S e a A u n s u b c o n j u n t o d e n ú m e r o s r e a l e s y f : A −→ R u n a f u n c i ó n r e a l d e

v a r i a b l e r e a l . S e d i c e q u e f e s p a r ( r e s p . i m p a r ) s i , p a r a c a d a x ∈ A, s e v e r i c a

q u e −x ∈ A y q u e f (x) = f (−x) ( r e s p . f (x) = −f (−x) . ¾ Q u é s e p u e d e d e c i r

a c e r c a d e l a g r á c a d e u n a f u n c i ó n p a r ? , ¾ y d e u n a f u n c i ó n i m p a r ? D e n s e e j e m p l o s

d e f u n c i o n e s p a r , i m p a r y n o p a r n i i m p a r .

3 . S e a A u n s u b c o n j u n t o d e n ú m e r o s r e a l e s y f : A −→ R u n a f u n c i ó n r e a l d e

v a r i a b l e r e a l . S e d i c e q u e

f e s t á

a c o t a d a ( r e s p .

a c o t a d a s u p e r i o r m e n t e / i n -

f e r i o r m e n t e ) s i s u c o n j u n t o i m a g e n f (A) e s u n s u b c o n j u n t o d e n ú m e r o s r e a l e s

a c o t a d o ( r e s p . s u p e r i o r m e n t e / i n f e r i o r m e n t e a c o t a d o ) . P r ú e b e s e q u e f e s t á a c o t a -

d a s i , y s ó l o s i , e x i s t e M ∈ R , t a l q u e , p a r a c a d a x ∈ A, s e v e r i c a q u e |f (x)| ≤ M.

4 . ¾ Q u é f u n c i o n e s c o m p o n e n l a f u n c i ó n f : R+ −→ R e n c a d a u n o d e l o s s i g u i e n t e s

c a s o s ?

1) f (x) = (log2x)ex2

, 2) f (x) = (√

x)logx3

.

D e n s e o t r o s e j e m p l o s d e c o m p o s i c i ó n d e f u n c i o n e s .



1 . 3 . F U N C I O N E S E L E M E N T A L E S I I : F U N C I O N E S T R I G O N O M É T R I C A S 3 1

1 . 3 . F u n c i o n e s e l e m e n t a l e s I I : F u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i -

c a s

S u m a r i o

L a s f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s s o n i m p o r t a n t e s p o r q u e p e r m i t e n e x p r e s a r l a s d i s t i n t a s

r e l a c i o n e s e n t r e l o s l a d o s y l o s á n g u l o s d e u n t r i á n g u l o , y p o r q u e s u s p r o p i e d a d e s l e c o n e r e n

u n a e s p e c i a l d i s p o s i c i ó n p a r a e x p r e s a r m u c h o s f e n ó m e n o s n a t u r a l e s . E s t a s d o s f a c e t a s h a c e n

q u e s u e m p l e o e n l a F í s i c a y e n l a I n g e n i e r í a s e a m u y f r e c u e n t e . E l c o n t e n i d o c o m p l e t o d e e s t a

l e c c i ó n s e a r t i c u l a d e l a s i g u i e n t e m a n e r a :

I . 3 . 1 E l n ú m e r o π

.

I . 3 . 2 F u n c i ó n a r c o c o s e n o .

I . 3 . 3 F u n c i o n e s s e n o y c o s e n o .

I . 3 . 4 F u n c i ó n t a n g e n t e .

I . 3 . 5 F u n c i o n e s s e c a n t e , c o s e c a n t e y c o t a n g e n t e .

I . 3 . 6 F u n c i o n e s a r c o s e n o y a r c o t a n g e n t e .

I . 3 . 7 I d e n t i d a d e s t r i g o n o m é t r i c a s .

I . 3 . 8 F u n c i o n e s h i p e r b ó l i c a s .


1 . 3 . 1 . E l n ú m e r o π

C o n s i d e r e m o s l a f u n c i ó n f : [−1, 1] −→ R d e n i d a p o r

f (x) =√

1 − x2, ∀t ∈ [−1, 1].

L a g r á c a d e e s t a f u n c i ó n r e c i b e e l n o m b r e d e s e m i c i r c u n f e r e n c i a u n i d a d

.

N o t e m o s p o r γ : [−1, 1] −→ R2l a a p l i c a c i ó n d e n i d a p o r

γ (t) = (t,√

1 − t2).

E s c l a r o q u e

Graf (f ) = γ ([−1, 1]).



3 2 I . 3 . F U N C I O N E S E L E M E N T A L E S I I

-1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

S e a P = {t0, t1,...,tn} , t a l q u e t0 = −1 y tn = 1 y ti−1 < ti , p a r a i ∈ {1, 2,...,n} . U n

t a l c o n j u n t o P r e c i b e e l n o m b r e d e p a r t i c i ó n d e l c o n j u n t o

[−1, 1] . A s o c i a d o a e s t a

p a r t i c i ó n p o d e m o s c o n s i d e r a r l a " p o l i g o n a l " γ P q u e r e s u l t a d e u n i r l o s " s e g m e n t o s "

[γ (t0), γ (t1)], [γ (t1), γ (t2],..., [γ (tn−1), γ (tn)].

N o t e m o s p o r l(γ P ) a l a l o n g i t u d d e l a p o l i g o n a l γ P d e t e r m i n a d a p o r l a p a r t i c i ó n P , e s t o

e s ,

l(γ P ) = dist(γ (t0), γ (t1)) + ... + dist(γ (tn−1), γ (tn)).

A s í , p o r e j e m p l o s i P = {−1, −1/2, 1/2, 1}, o b t e n e m o s l a s i g u i e n t e p o l i g o n a l i n s c r i t a

e n l a s e m i c i r c u n f e r e n c i a u n i d a d :

-1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

c u y a l o n g i t u d v i e n e d a d a p o r :

l(γ P ) = dist(γ (−1), γ (−1/2)) + dist(γ (−1/2), γ (1/2)) + +dist(γ (1/2), γ (1)).

E s n o t o r i o q u e c u a n t o m á s p u n t o s t e n g a l a p a r t i c i ó n , m a y o r e s l a l o n g i t u d d e l a c o -

r r e s p o n d i e n t e p o l i g o n a l y , p o r c o n s i g u i e n t e , s u l o n g i t u d e s t á m á s c e r c a n a a l a l o n g i t u d d e

l a s e m i c i r c u n f e r e n c i a u n i d a d . E s f á c i l p r o b a r q u e l a l o n g i t u d d e d i c h a s e m i c i r c u n f e r e n c i a ,

l(γ ) , n o e s o t r a c o s a q u e :

l(γ ) = Sup{l(γ P ); P p a r t i c i ó n d e [−1, 1]}.

P u e s b i e n , d i c h a l o n g i t u d , q u e e s u n n ú m e r o r e a l e n v i r t u d d e l a x i o m a d e l s u p r e m o ,

e s c o n o c i d o c o m o e l n ú m e r o

π . S e p u e d e p r o b a r q u e π n o e s u n n ú m e r o r a c i o n a l .

P a s a m o s a h o r a a d e n i r l a s d i s t i n t a s f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s .

1 . 3 . 2 . F u n c i ó n a r c o c o s e n o

C o n s i d e r e m o s a h o r a , p a r a c a d a x ∈ [−1, 1], e l t r o z o d e s e m i c i r c u n f e r e n c i a q u e e s

i m a g e n d e γ/[x, 1]. D e n i m o s p o r

l(γ/[x, 1]) = Sup

{l(γ Q); Q

p a r t i c i ó n d e [x, 1]

},




d o n d e l(γ Q) e s l a l o n g i t u d d e l a ” p o l i g o n a l ” a s o c i a d a a l a p a r t i c i ó n Q.

D e n i m o s l a f u n c i ó n a r c o c o s e n o , arc cosx, c o m o l a f u n c i ó n b i y e c t i v a y e s t r i c t a -

m e n t e d e c r e c i e n t e d e l i n t e r v a l o [−1, 1] e n e l i n t e r v a l o [0, π] d e n i d a p o r l a l e y

arc cosx = l(γ/[x, 1]),

s e p u e d e p r o b a r q u e :

1 . arc cosx + arc cos(−x) = π .

2 . arc cos(0) = π2

.

Y s u g r á c a p u e d e s e r r e p r e s e n t a d a c o m o s i g u e

-1 -0.5 0.5 1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

A n t e s d e p a s a r a l r e s t o d e l a s f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s , v a m o s d e n i r u n a p r o p i e d a d

i n t e r e s a n t e q u e t i e n e n a l g u n a s d e l a s f u n c i o n e s q u e v a m o s a d e n i r a c o n t i n u a c i ó n : l a

p e r i o d i c i d a d .

S e d i c e q u e u n a f u n c i ó n f : A −→ R e s u n a f u n c i ó n p e r i ó d i c a

, s i e x i s t e u n n ú m e r o

r e a l n o n u l o T t a l q u e p a r a t o d o x ∈ A, e n t o n c e s x + T ∈ A y

f (x + T ) = f (x).

D i c h o n ú m e r o r e a l T r e c i b e e l n o m b r e d e p e r i o d o d e l a f u n c i ó n

f .

1 . 3 . 3 . F u n c i o n e s s e n o y c o s e n o

S e l l a m a f u n c i ó n c o s e n o

y s e n o t a p o r cosx a l a ú n i c a f u n c i ó n d e R e n R p a r y

p e r i ó d i c a c o n p e r i o d o 2π c u y a r e s t r i c c i ó n a [0, π] e s t a l q u e

cos(x) = (arc cos)−1(x),

y p o r t a n t o , p a r a c a d a x ∈ [0, π] ,

arccos(cosx) = x,




-6 -4 -2 2 4 6

-1

-0.5

0.5

1

y p a r a c a d a y ∈ [−1, 1] ,

cos(arcosy) = y.

L a g r á c a d e l a f u n c i ó n c o s e n o e s c o m o s i g u e

S e l l a m a f u n c i ó n s e n o

, senx, a l a ú n i c a f u n c i ó n d e R e n R i m p a r y p e r i ó d i c a c o n

p e r i o d o

2πc u y a r e s t r i c c i ó n a

[0, π]e s t a l q u e

sen(x) =

1 − cos2(x).

L a g r á c a d e l a f u n c i ó n s e n o e s c o m o s i g u e

-6 -4 -2 2 4 6

-1

-0.5

0.5

1

E l s i g u i e n t e r e s u l t a d o r e s u m e a l g u n a s p r o p i e d a d e s d e l s e n o y c o s e n o .

T e o r e m a 1 . 3 . 1 .

1 . sen2x + cos2x = 1 (x ∈ R)

.

2 . L a r e s t r i c c i ó n d e l a f u n c i ó n c o s e n o a l i n t e r v a l o [0, π]

e s u n a b i y e c c i ó n e s t r i c t a -

m e n t e d e c r e c i e n t e d e é s t e e n e l i n t e r v a l o [−

1, 1] , c o n

cos0 = 1, cosπ

2= 0, cosπ = −1, cos

π

4=

√2

2, cos

π

3=

1

2, cos

π

6=

√3

2.

3 . L a r e s t r i c c i ó n d e l a f u n c i ó n s e n o a l i n t e r v a l o [−π

2, π2

]e s u n a b i y e c c i ó n e s t r i c t a -

m e n t e c r e c i e n t e d e é s t e e n e l i n t e r v a l o [−1, 1], c o n

sen0 = 0, sen(−π

2) = −1, sen

π

2= 1, sen

π

4=

√2

2, sen

π

3=

√3

2sen

π

6=

1

2.

4 . L a i m a g e n d e a m b a s f u n c i o n e s e s e l i n t e r v a l o [−

1, 1] .




5 . L a f u n c i ó n c o s e n o e s u n a f u n c i ó n p a r y p e r i ó d i c a d e p e r i o d o 2π :

cosx = cos(

−x), cos(x + 2π) = cosx, (x

∈R),

m i e n t r a s q u e l a f u n c i ó n s e n o e s i m p a r y p e r i ó d i c a :

sen(−x) = −senx, sen(x + 2π) = senx (x ∈ R).

6 .

cos(x + π) = −cosx, sen(x + π) = −senx (x ∈ R).

7 . cos(x + y) = cosxcosy − senxseny. sen(x + y) = senxcosy + cosxseny.

8 . D a d o s d o s n ú m e r o s r e a l e s

a, b, v e r i c a n d o q u e

a2

+b2

= 1, e x i s t e u n ú n i c o n ú m e r o

r e a l x t a l q u e x ∈] − π, π], cosx = a y senx = b.

9 . S e a n x, y ∈ R t a l e s q u e senx = seny y cosx = cosy , e n t o n c e s e x i s t e u n ú n i c o

n ú m e r o e n t e r o p t a l q u e x = y + 2 pπ .

1 0 . {x ∈ R; cosx = 0} = {π2

+ kπ; k ∈ Z}. {x ∈ R; senx = 0} = {kπ; k ∈ Z}.

1 . 3 . 4 . F u n c i ó n t a n g e n t e

S e a A = R\{π2

+ kπ; k ∈ Z}. S e l l a m a f u n c i ó n t a n g e n t e

, tgx , a l a f u n c i ó n d e Ae n R d e n i d a p o r

tg(x) =senx

cosx.

A l g u n a s d e s u s p r o p i e d a d e s p u e d e n v e r s e e n e l s i g u i e n t e r e s u l t a d o

P r o p o s i c i ó n 1 . 3 . 2 . 1 . L a f u n c i ó n t a n g e n t e e s u n a f u n c i ó n p e r i ó d i c a d e p e r i o d o π ,

e s t o e s , p a r a c a d a

x ∈ A,

tg(x + π) = tg(x).

2 . L a f u n c i ó n t a n g e n t e r e s t r i n g i d a a l i n t e r v a l o ]−π2

, π2

[, e s u n a b i y e c c i ó n e s t r i c t a m e n t e

c r e c i e n t e d e d i c h o i n t e r v a l o e n R .

3 . L a g r á c a d e l a f u n c i ó n t a n g e n t e r e s t r i n g i d a a l c o n j u n t o [−π, π]\{−π2 , π

2} p u e d e

r e p r e s e n t a r s e d e l a s i g u i e n t e f o r m a :




-3 -2 -1 1 2 3

-40

-20

20

40

1 . 3 . 5 . F u n c i o n e s s e c a n t e , c o s e c a n t e y c o t a n g e n t e

S e a A = R\{π2

+ kπ; k ∈ Z} . S e l l a m a f u n c i ó n s e c a n t e

, secx , a l a f u n c i ó n d e Ae n R d e n i d a p o r

sec(x) =1

cosx.

L a g r á c a d e l a f u n c i ó n s e c a n t e r e s t r i n g i d a a l c o n j u n t o [−π, π]\{−π2 , π2} p u e d e r e p r e -

s e n t a r s e d e l a s i g u i e n t e f o r m a :

-3 -2 -1 1 2 3

-20

-10

10

20

S e a B = R\{kπ; k ∈ Z}. S e l l a m a

f u n c i ó n c o s e c a n t e , cosecx , a l a f u n c i ó n d e B

e n R d e n i d a p o r

cosec(x) =1

senx.

L a g r á c a d e l a f u n c i ó n c o s e c a n t e r e s t r i n g i d a a l c o n j u n t o A =] − π, π[/{0}p u e d e

r e p r e s e n t a r s e d e l a s i g u i e n t e f o r m a :

-3 -2 -1 1 2 3

-20

-10

10

20

L l a m a r e m o s f u n c i ó n c o t a n g e n t e

, cotgx , a l a f u n c i ó n d e B e n R d e n i d a p o r

cotg(x) =cosx

senx.




-3 -2 -1 1 2 3

-40

-20

20

40

L a g r á c a d e l a f u n c i ó n c o t a n g e n t e r e s t r i n g i d a a l c o n j u n t o A =] − π, π[/{0} p u e d e

r e p r e s e n t a r s e c o m o h e m o s v i s t o e n e l d i b u j o a n t e r i o r .

1 . 3 . 6 . F u n c i o n e s a r c o s e n o y a r c o t a n g e n t e .

L l a m a r e m o s f u n c i ó n a r c o s e n o

, arc senx , a l a f u n c i ó n i n v e r s a d e l a r e s t r i c c i ó n d e

l a f u n c i ó n s e n o a l i n t e r v a l o [−π2

, π2

] , e s t o e s ,

arc sen[sen(x)] = x, (x ∈ [−π

2,

π

2] sen[arc sen(y)] = y (y ∈ [−1, 1]).

D i c h a f u n c i ó n e s p u e s u n a b i y e c c i ó n e s t r i c t a m e n t e c r e c i e n t e d e [−π2

, π2

] e n [−1, 1] c o n

arc sen(−1) = −π

2arc sen(0) = 0, arc sen(1) =

π

2.

S u g r á c a e s c o m o s i g u e :

-1 -0.5 0.5 1

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

L l a m a r e m o s f u n c i ó n a r c o t a n g e n t e

, arc tgx a l a i n v e r s a d e l a r e s t r i c c i ó n d e l a

f u n c i ó n t a n g e n t e a l i n t e r v a l o ]−

π

2

, π

2

[, e s t o e s ,

arc tg[tg(x)] = x, tg[arc tg(y)] = y.

D i c h a f u n c i ó n e s u n a b i y e c c i ó n e s t r i c t a m e n t e c r e c i e n t e d e d i c h o i n t e r v a l o e n t o d o e l

c o n j u n t o R c o n

arc tg(0) = 0.

S u g r á c a d e e s c o m o s i g u e :




-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

1 . 3 . 7 . I d e n t i d a d e s T r i g o n o m é t r i c a s .

U s a n d o l a s p r o p i e d a d e s a n t e s d e s c r i t a s d e l a s f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s p u e d e n

d e d u c i r s e o t r a s m u c h a s c o n o c i d a s c o m o i d e n t i d a d e s t r i g o n o m é t r i c a s . A c o n t i n u a c i ó n

d a m o s a l g u n a s d e e l l a s . D a d o s d o s n ú m e r o s r e a l e s x e y e n e l d o m i n i o c o r r e s p o n d i e n t e ,

o b t e n e m o s q u e :

1 . I d e n t i d a d e s p i t a g ó r i c a s

tg2(x) + 1 = sec2(x), ó s i s e q u i e r e cos(x) =1

1 + tg2(x).

cotg2(x) + 1 = cosec2(x), ó s i s e q u i e r e sen(x) =tg(x)

1 + tg2(x).

2 .

tg(x±

y) =tgx ± tgy

1 tgx tgy.

3 . á n g u l o d o b l e

sen2x = 2senxcosx, cos2x = 2cos2x − 1 = 1 − 2sen2x.

4 . á n g u l o m i t a d

sen2x =1

2(1 − cos2x), cos2x =

1

2(1 + cos2x),

tg(x

2) =

1 − cosx

senx=

senx

1 + cosx.

5 . p r o d u c t o

senxseny =1

2[cos(x − y) − cos(x + y)],

cosxcosy =1

2[cos(x − y) + cos(x + y)],

senxcosy =1

2[sen(x + y) + sen(x − y)].




1 . 3 . 8 . F u n c i o n e s H i p e r b ó l i c a s .

S e d e n e l a f u n c i ó n c o s e n o h i p e r b ó l i c o

,

coshx, c o m o u n a f u n c i ó n

cosh :R

−→R ,

d e n i d a p o r

coshx =ex + e−x

2.

S e d e n e l a f u n c i ó n s e n o h i p e r b ó l i c o

, senhx, c o m o u n a f u n c i ó n senh : R −→ R ,

d e n i d a p o r

senhx =ex − e−x

2.

E l s i g u i e n t e r e s u l t a d o r e s u m e a l g u n a s p r o p i e d a d e s d e l s e n o y c o s e n o h i p e r b ó l i c o s .

P r o p o s i c i ó n 1 . 3 . 3 .

1 . L a f u n c i ó n c o s e n o h i p e r b ó l i c o e s u n a f u n c i ó n p a r y l a f u n c i ó n s e n o h i p e r b ó l i c o e s

u n a f u n c i ó n i m p a r .

2 . L a f u n c i ó n s e n o h i p e r b ó l i c o e s u n a b i y e c c i ó n e s t r i c t a m e n t e c r e c i e n t e d e R e n R .

3 . L a r e s t r i c c i ó n d e l a f u n c i ó n c o s e n o h i p e r b ó l i c o a R+0 ( r e s p . R−0 ) e s u n a b i y e c c i ó n

e s t r i c t a m e n t e c r e c i e n t e ( r e s p . d e c r e c i e n t e ) d e R+0 ( r e s p . R−0 ) s o b r e [1, +∞[.

4 .

cosh2x − senh2x = 1.

5 .

cosh(x + y) = coshx coshy + senhx senhy.

senh(x + y) = senhx coshy + coshx senhy.

L a g r á c a d e l s e n o h i p e r b ó l i c o e s c o m o s i g u e :

-4 -2 2 4

-20

-10

10

20

L a g r á c a d e l a f u n c i ó n c o s e n o h i p e r b ó l i c o r e s t r i n g i d a a R+0 e s c o m o s i g u e




1 2 3 4

5

10

15

20

25

F i n a l m e n t e , d i r e m o s q u e , p o r a n a l o g í a c o n l a s f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s , p o d e m o s

h a b l a r d e t a n g e n t e h i p e r b ó l i c a

, tgh , l a c u a l e s u n a b i y e c c i ó n e s t r i c t a m e n t e c r e c i e n t e

d e R s o b r e ] − 1, 1[ y s u g r á c a e s c o m o s i g u e :

-4 -2 2 4

-1

-0.5

0.5

1


1 . H á l l e s e l a f u n c i ó n i n v e r s a d e

a ) senhx.

b ) coshx/R+0

.

2 . S e a g : R −→] − π, π[l a f u n c i ó n d e n i d a p o r g(y) = 2arctgy . H á l l e s e e n f u n c i ó n

d e y ,

a ) seng(y).

b ) cosg(y).



1 . 4 . S U C E S I O N E S D E N Ú M E R O S R E A L E S 4 1

1 . 4 . S u c e s i o n e s d e n ú m e r o s r e a l e s

S u m a r i o

I n t r o d u c i r e m o s e n e s t a l e c c i ó n u n a h e r r a m i e n t a m u y p o t e n t e d e l a n á l i s i s m a t e m á t i c o :

l a s s u c e s i o n e s . E s t a n o s f a c i l i t a r á l a c o m p r e n s i ó n d e l o s c o n c e p t o s d e l í m i t e y d e c o n t i n u i d a d .

E l c o n t e n i d o c o m p l e t o d e e s t a l e c c i ó n s e a r t i c u l a d e l a s i g u i e n t e m a n e r a :

I . 4 . 1 A c o t a c i ó n , m o n o t o n í a y c o n v e r g e n c i a d e s u c e s i o n e s .

I . 4 . 2 S u c e s i o n e s d i v e r g e n t e s .


1 . 4 . 1 . A c o t a c i ó n , m o n o t o n í a y c o n v e r g e n c i a d e s u c e s i o n e s

U n a s u c e s i ó n d e e l e m e n t o s d e u n c i e r t o c o n j u n t o A n o e s m á s q u e u n a " l i s t a o r -

d e n a d a " d e e l e m e n t o s d e A o d i c h o d e f o r m a m á s r i g u r o s a : u n a s u c e s i ó n d e e l e m e n t o s

d e A e s u n a a p l i c a c i ó n f : N −→ A.

E n l u g a r d e e s c r i b i r f (n) s e s u e l e e s c r i b i r xn , m i e n t r a s q u e l a s u c e s i ó n f s u e l e

n o t a r s e p o r {xn}n∈N ó s i m p l e m e n t e {xn}. A l a i m a g e n xn s e l e d e n o m i n a r á t é r m i n o

n - é s i m o d e l a s u c e s i ó n {xn}n∈N . U n a s u c e s i ó n d e n ú m e r o s r e a l e s

n o e s m á s q u e u n a

s u c e s i ó n e n l a q u e A ⊆ R .

D a d a u n a s u c e s i ó n {xn}, a l c o n j u n t o {xn : n ∈ N} s e l e d e n o m i n a c o n j u n t o

i m a g e n d e l a s u c e s i ó n {xn}. A s í p o r e j e m p l o s i c o n s i d e r a m o s l a s u c e s i ó n {1, 0, 1, 0, 1,...}s u c o n j u n t o i m a g e n e s t á f o r m a d o p o r s ó l o d o s e l e m e n t o s , a s a b e r {0, 1}.

V e a m o s a h o r a a l g u n a s p r o p i e d a d e s q u e p u e d e n t e n e r l a s s u c e s i o n e s .

S e d i c e q u e u n a s u c e s i ó n d e n ú m e r o s r e a l e s {xn}n∈N

1 . e s t á m a y o r a d a

, s i e x i s t e u n n ú m e r o r e a l M t a l q u e , p a r a c a d a n ∈ N, xn ≤ M .

2 . e s t á m i n o r a d a , s i e x i s t e u n n ú m e r o r e a l M t a l q u e , p a r a c a d a n ∈ N , xn ≥ M .

3 . e s t á a c o t a d a

s i e s t á m a y o r a d a y m i n o r a d a . E s f á c i l p r o b a r q u e u n a s u c e s i ó n e s t á

a c o t a d a s i , y s ó l o s i , e x i s t e u n n ú m e r o r e a l p o s i t i v o M t a l q u e |xn| ≤ M .

4 . e s c r e c i e n t e s i , p a r a c a d a

n ≤ m ∈ N, s e t i e n e q u e

xn ≤ xm .



4 2 I . 4 . S u c e s i o n e s

5 . e s d e c r e c i e n t e

s i , p a r a c a d a n ≤ m ∈ N , s e t i e n e q u e xn ≥ xm ) .

E s f á c i l p r o b a r p o r i n d u c c i ó n q u e u n a

{xn

}n∈N e s c r e c i e n t e ( r e s p . d e c r e c i e n t e ) s i ,

p a r a c a d a n a t u r a l n , xn ≤ xn+1 ( r e s p . xn ≥ xn+1 .

6 . e s c o n v e r g e n t e

s i e x i s t e u n n ú m e r o r e a l x v e r i c a n d o l o s i g u i e n t e :

" p a r a c a d a i n t e r v a l o c e n t r a d o e n x, e x i s t e u n t é r m i n o d e l a s u c e s i ó n , a p a r t i r d e l

c u a l , t o d o s l o s r e s t a n t e s t é r m i n o s e s t á n i n c l u i d o s e n d i c h o i n t e r v a l o " ,

o e s c r i t o e n l e n g u a j e f o r m a l

∀ε > 0, ∃N ∈ N, t a l q u e s i n ≥ N e n t o n c e s |xn − x| < ε.

S e d i c e e n t a l c a s o q u e x e s e l l í m i t e d e l a s u c e s i ó n {xn}n∈N ó q u e l a s u c e s i ó n

{xn}n∈N c o n v e r g e a x, y s u e l e n o t a r s e p o r

x = limnxn ó {xn} −→ x.

S e a σ : N −→ N u n a a p l i c a c i ó n e s t r i c t a m e n t e c r e c i e n t e y s e a {xn} u n a s u c e s i ó n . S e

d i c e q u e {yn} e s u n a s u c e s i ó n p a r c i a l

d e {xn} s i

yn = xσ(n).

L o s e j e m p l o s m á s s e n c i l l o s d e s u c e s i o n e s p a r c i a l e s d e u n a s u c e s i ó n d a d a s o n l a s s u c e -

s i o n e s d e s u s t é r m i n o s p a r e s σ(n) = 2n y d e s u s t é r m i n o s i m p a r e s σ(n) = 2n + 1

E n e l s i g u i e n t e r e s u l t a d o r e c o g e m o s m á s p r o p i e d a d e s i m p o r t a n t e s d e l a s s u c e s i o n e s .

P r o p o s i c i ó n 1 . 4 . 1 .

1 . T o d a s u c e s i ó n c o n v e r g e n t e t i e n e u n ú n i c o l í m i t e .

2 . S e a n {xn} u n a s u c e s i ó n d e n ú m e r o s r e a l e s , x ∈ R y p ∈ N. L a s u c e s i ó n {xn} e s

c o n v e r g e n t e a

xs i , y s ó l o s i , l a s u c e s i ó n

{xn+ p}c o n v e r g e t a m b i é n a

x.

3 . U n a s u c e s i ó n e s c o n v e r g e n t e s i , y s ó l o s i , t o d a s s u s s u c e s i o n e s p a r c i a l e s c o n v e r g e n

a l m i s m o l í m i t e .

4 . L a s u c e s i ó n {xn} c o n v e r g e a c e r o , s i y s ó l o s i l a s u c e s i ó n {|xn|}c o n v e r g e a c e r o .

5 . T o d a s u c e s i ó n c r e c i e n t e y m a y o r a d a {xn} e s c o n v e r g e n t e a x = Sup{xn; n ∈ N}.

E n p a r t i c u l a r l a s u c e s i ó n {xn}, d o n d e p a r a c a d a n ∈ N, xn = 1/0! + 1/1! + 1/2! +... + 1/(n − 1)! e s c o n v e r g e n t e y s u l í m i t e e s e l n ú m e r o e.

6 . T o d a s u c e s i ó n d e c r e c i e n t e y m i n o r a d a {xn} e s c o n v e r g e n t e a x = Inf {xn; n ∈ N}.

E n p a r t i c u l a r l a s u c e s i ó n {1/nα

} c o n v e r g e a c e r o p a r a t o d o

α > 0.




7 . S e a n x, y ∈ R y s e a {xn} u n a s u c e s i ó n c o n v e r g e n t e a x. S i p a r a c a d a n ∈ N ,

xn ≥ y , e n t o n c e s x ≥ y .

S i a d e m á s s e t i e n e q u e

{yn}y

{zn}s o n d o s s u c e s i o n e s d e n ú m e r o s r e a l e s t a l e s

q u e ,

a ) p a r a c a d a n ∈ N , xn ≤ yn ≤ zn ,

b ) limnzn = x,

e n t o n c e s l a s u c e s i ó n {yn} c o n v e r g e t a m b i é n a x.

8 . S i {xn}e {yn} s o n d o s s u c e s i o n e s c o n v e r g e n t e s r e s p e c t i v a m e n t e a x e y , e n t o n c e s

l a s u c e s i ó n

a ) s u m a , e s t o e s , l a s u c e s i ó n

{xn + yn

}c o n v e r g e a x + y .

b ) p r o d u c t o

, e s t o e s , l a s u c e s i ó n {xnyn} c o n v e r g e a xy .

c ) c o c i e n t e

, e s t o e s , l a s u c e s i ó n {xn/yn}, c o n v e r g e a x/y s i e m p r e q u e y = 0 e

yn = 0 , p a r a t o d o n ∈ N.

9 . E l p r o d u c t o d e u n a s u c e s i ó n a c o t a d a p o r u n a c o n v e r g e n t e a c e r o e s u n a s u c e s i ó n

c o n v e r g e n t e a c e r o .

E j e m p l o :

P r u é b e s e q u e s i

|x|

< 1, e n t o n c e s l a s u c e s i ó n

{xn

}c o n v e r g e a c e r o .

E s f á c i l p r o b a r q u e t o d a s u c e s i ó n c o n v e r g e n t e e s t á a c o t a d a y s i n e m b a r g o , l a

s u c e s i ó n {1, 0, 1, 0,...} q u e e s t á m a y o r a d a p o r 1 y m i n o r a d a p o r 0 , l u e g o a c o t a d a , d e -

m u e s t r a q u e e x i s t e n s u c e s i o n e s a c o t a d a s q u e n o s o n c o n v e r g e n t e s . N o o b s t a n t e t e n e m o s

e l s i g u i e n t e i m p o r t a n t e r e s u l t a d o p a r c i a l

P r o p o s i c i ó n 1 . 4 . 2 . ( T e o r e m a d e B o l z a n o - W e i e r s t r a s s )

T o d a s u c e s i ó n a c o t a d a a d m i t e u n a p a r c i a l c o n v e r g e n t e .

1 . 4 . 2 . S u c e s i o n e s d i v e r g e n t e s

S e d i c e q u e u n a s u c e s i ó n {xn}n∈N d i v e r g e p o s i t i v a m e n t e s i

∀M > 0, ∃N ∈ N, t a l q u e s i n ≥ N e n t o n c e s xn > M.

E s t e h e c h o s u e l e n o t a r s e p o r

limnxn = +∞ó

{xn} −→ +∞.



4 4 I . 4 . S u c e s i o n e s

S e d i c e q u e u n a s u c e s i ó n {xn}n∈N d i v e r g e n e g a t i v a m e n t e s i

∀N < 0,

∃N

∈N, t a l q u e s i n

≥N e n t o n c e s xn < N.

E s t e h e c h o s u e l e n o t a r s e p o r

limnxn = −∞ó

{xn}−→−∞.

D i r e m o s q u e q u e u n a s u c e s i ó n {xn}n∈N e s d i v e r g e n t e

s i l o e s p o s i t i v a m e n t e o l o e s

n e g a t i v a m e n t e .

V e a m o s a h o r a a l g u n a s p r o p i e d a d e s d e l a s s u c e s i o n e s d i v e r g e n t e s .

P r o p o s i c i ó n 1 . 4 . 3 .

1 . - U n a s u c e s i ó n d i v e r g e p o s i t i v a m e n t e s i , y s ó l o s i , t o d a s s u s s u c e s i o n e s p a r c i a l e s

d i v e r g e n p o s i t i v a m a n t e .

2 . - S e a n {xn} u n a s u c e s i ó n d e n ú m e r o s r e a l e s , y

p ∈ N . L a s u c e s i ó n {xn} d i v e r g e

p o s i t i v a m e n t e s i , y s ó l o s i , l a s u c e s i ó n {xn+ p} d i v e r g e p o s i t i v a m e n t e .

3 . - T o d a s u c e s i ó n c r e c i e n t e y n o m a y o r a d a e s d i v e r g e n t e p o s i t i v a m e n t e . E n p a r t i c u l a r

s i |x| > 1 , e n t o n c e s l a s u c e s i ó n {|xn|} d i v e r g e p o s i t i v a m e n t e .

4 . - T o d a s u c e s i ó n d e c r e c i e n t e y n o m i n o r a d a d i v e r g e n e g a t i v a m e n t e .

5 . - S e a n {xn}, {yn} d o s s u c e s i o n e s d e n ú m e r o s r e a l e s t a l e s q u e , p a r a c a d a n ∈ N ,

xn ≤ yn . S i l a s u c e s i ó n {xn} d i v e r g e p o s i t i v a m e n t e , e n t o n c e s l a s u c e s i ó n {yn}t a m b i é n d i v e r g e p o s i t i v a m e n t e .

6 . - S i {an} e s u n a s u c e s i ó n d i v e r g e n t e p o s i t i v a m e n t e , e n t o n c e s e x i s t e k ∈ N t a l q u e

l a s u c e s i ó n {1/an+k} c o n v e r g e a c e r o .

7 . - S i {an} e s u n a s u c e s i ó n d e t é r m i n o s p o s i t i v o s q u e c o n v e r g e a c e r o , e n t o n c e s l a

s u c e s i ó n {1/an} d i v e r g e n t e p o s i t i v a m e n t e . E n p a r t i c u l a r l a s u c e s i ó n {nα} d i v e r g e

p o s i t i v a m e n t e p a r a t o d o α > 0.





1 . P r o b a r q u e s i {xn} −→ x, e n t o n c e s {|xn|}−→|x|. ¾ E s c i e r t o e l r e c í p r o c o ?

2 . P r o b a r q u e s i {xn} e {yn} s o n s u c e s i o n e s a c o t a d a s , {xn + yn} y {xnyn} t a m b i é n

l o s o n .

3 . E s t u d i a r l a c o n v e r g e n c i a d e l a s u c e s i ó n {xn} e n l o s s i g u i e n t e s c a s o s :

a ) x1 =√

2, xn+1 =√

2 + xn, ∀n ∈ N.

b ) x1 = 1, xn+1 =√

2xn, ∀n ∈ N .

4 . D e s e u n e j e m p l o d e u n a s u c e s i ó n d e n ú m e r o s r e a l e s . . .

a ) p o s i t i v o s , c o n v e r g e n t e a c e r o , q u e n o s e a m o n ó t o n a .

b ) n o a c o t a d a q u e a d m i t a u n a p a r c i a l c o n v e r g e n t e .



1 . 5 . S E R I E S D E N Ú M E R O S R E A L E S 4 7

1 . 5 . S e r i e s d e n ú m e r o s r e a l e s

S u m a r i o

I n t r o d u c i r e m o s e n e s t a l e c c i ó n u n a d e l a s h e r r a m i e n t a s m á s p o t e n t e s d e l A n á l i s i s

M a t e m á t i c o : l a s s e r i e s . N o s o t r o s l a s u s a r e m o s p a r a a p r o x i m a r l o s v a l o r e s q u e s e o b t e n d r í a n a l

e v a l u a r a l g u n a s f u n c i o n e s , y a q u e d i c h o s v a l o r e s n o s o n m á s q u e l a s u m a d e u n a d e t e r m i n a d a

s e r i e . E l c o n t e n i d o c o m p l e t o d e e s t a l e c c i ó n s e a r t i c u l a d e l a s i g u i e n t e m a n e r a :

I . 5 . 1 S e r i e s d e n ú m e r o s r e a l e s .

I . 5 . 2 C r i t e r i o s d e c o n v e r g e n c i a .


1 . 5 . 1 . S e r i e s d e n ú m e r o s r e a l e s

P a r a m o t i v a r e l c o n c e p t o d e s e r i e d e n ú m e r o s r e a l e s v a m o s a e x p o n e r l a s i g u i e n t e

p a r a d o j a p r o p u e s t a p o r Z e n ó n ( 4 9 5 - 4 3 5 a . d e C . )

P a r a d o j a d e l c o r r e d o r : ”U n c o r r e d o r n o p u e d e a l c a n z a r n u n c a l a m e t a .

”

P a r a j u s t i c a r e s t a c o n c l u s i ó n v a m o s a d i v i d i r e l r e c o r r i d o t o t a l q u e h a d e h a c e r

e l c o r r e d o r e n l a s i g u i e n t e f o r m a : c o n s i d e r a m o s e n p r i m e r l u g a r l a m i t a d d e l r e c o r r i d o

i n i c i a l y a é s t e a ñ a d i m o s l a m i t a d d e l r e c o r r i d o r e s t a n t e , a é s t e ú l t i m o a ñ a d i m o s i g u a l -

m e n t e l a m i t a d d e l r e c o r r i d o r e s t a n t e y a s í s u c e s i v a m e n t e . O b s é r v e s e q u e p a r a r e c o r r e r

p o r s e p a r a d o c a d a u n a d e e s t a s p a r t e s , c a d a v e z m á s p e q u e ñ a s , s e n e c e s i t a u n a c a n t i d a d

p o s i t i v a d e t i e m p o , p a r e c e n a t u r a l a r m a r q u e e l t i e m p o n e c e s a r i o p a r a e l t r a y e c t o t o -

t a l h a d e s e r l a s u m a d e t o d a s e s t a s c a n t i d a d e s d e t i e m p o . D e c i r q u e e l c o r r e d o r n u n c a

p u e d e a l c a n z a r l a m e t a e q u i v a l e a d e c i r q u e n u n c a l l e g a e n u n t i e m p o n i t o ; o d i c h o

d e o t r o m o d o , q u e l a s u m a d e u n n ú m e r o i n n i t o d e i n t e r v a l o s p o s i t i v o s d e t i e m p o n o

p u e d e s e r n i t a .

E s t a p a r a d o j a f u e r e s u e l t a m u y p o s t e r i o r m e n t e c o n l a i n t r o d u c c i ó n d e l c o n c e p t o d e

s e r i e .

S e l l a m a s e r i e d e n ú m e r o s r e a l e s

a t o d o p a r o r d e n a d o d e s u c e s i o n e s d e

n ú m e r o s r e a l e s ({an}, {S n}), d o n d e ({an} e s u n a s u c e s i ó n a r b i t r a r i a y , p a r a c a d a n a t u r a l

n , l a s e g u n d a s u c e s i ó n e s t a l q u e : S n =n

i=1 an .

L a s u c e s i ó n {S n} r e c i b e e l n o m b r e d e s u c e s i ó n d e s u m a s p a r c i a l e s d e l a

s e r i e . D i c h a s e r i e s u e l e r e p r e s e n t a r s e p o r n≥1 an .



4 8 I . 5 . S e r i e s d e n ú m e r o s r e a l e s

S e d i c e q u e l a s e r i e

n≥1

an e s c o n v e r g e n t e

s i l o e s l a s u c e s i ó n {S n} d e s u s s u m a s

p a r c i a l e s . A l l í m i t e d e é s t a ú l t i m a s u c e s i ó n s e l e d e n o m i n a s u m a d e l a s e r i e n≥1 an y

s e r e p r e s e n t a p o r

∞n=1

an .

A n t e s d e p a s a r a l o s e j e m p l o s v e a m o s a l g u n a s p r o p i e d a d e s d e l a s s e r i e s c o n v e r -

g e n t e s .

P r o p o s i c i ó n 1 . 5 . 1 . S e a n

n≥1

an y

n≥1

bn d o s s e r i e s d e n ú m e r o s r e a l e s .

1 . S i l a s e r i e

n≥1

an e s c o n v e r g e n t e e n t o n c e s l a s u c e s i ó n {an} c o n v e r g e a c e r o .

2 . S i a m b a s s e r i e s s o n c o n v e r g e n t e s y r, s s o n d o s n ú m e r o s r e a l e s , e n t o n c e s l a s e r i e n≥1 ran + sbn e s c o n v e r g e n t e y s e v e r i c a q u e :

∞n=1

(ran + sbn) = r∞n=1

an + s∞n=1

bn.

3 . S e a k∈N . E n t o n c e s l a s e r i e n≥1 an e s c o n v e r g e n t e s i , y s ó l o s i , l a s e r i e n≥1 an+k

t a m b i é n l o e s . A d e m á s e n c a s o d e q u e c o n v e r j a n t e n e m o s q u e :

∞n=1

an = a1 + a2 + ... + ak +∞n=1

an+k.

4 . S u p o n g a m o s q u e , p a r a c a d a n ∈ N s e t i e n e q u e |an| ≤ bn . S i l a s e r i e

n≥1

bn e s

c o n v e r g e n t e e n t o n c e s

n≥1 an t a m b i é n e s c o n v e r g e n t e y s e v e r i c a q u e :

| ∞n=1

an| ≤ ∞n=1

bn.

E n p a r t i c u l a r , s i l a s e r i e

n≥1

|an| e s c o n v e r g e n t e t a m b i é n l o e s l a s e r i e

n≥1

an .

5 . ( C r i t e r i o d e c o n d e n s a c i ó n ) S i l a s u c e s i ó n {an} e s u n a s u c e s i ó n d e c r e c i e n t e d e

n ú m e r o s r e a l e s n o n e g a t i v o s , e n t o n c e s l a s e r i e

n≥1

an e s c o n v e r g e n t e s i , y s ó l o s i ,

l a s e r i e

n≥12na2n t a m b i é n l o e s .




V e a m o s a h o r a a l g u n o s e j e m p l o s d e s e r i e s

1 . S e r i e g e o m é t r i c a d e r a z ó n

r = 1.

E s a q u e l l a c u y o t é r m i n o g e n e r a l e s an = rn−1 y c u y a s u c e s i ó n d e s u m a s

p a r c i a l e s e s p o r t a n t o S n = 1 + r + ... + rn−1 = 1−rn

1−r. D e a q u í s e d e d u c e q u e d i c h a

s e r i e e s c o n v e r g e n t e s i , y s ó l o s i , |r| < 1. A d e m á s e n c a s o d e q u e s e a c o n v e r g e n t e

s e t i e n e q u e

∞n=1

rn−1 =1

1 − r.

2 . S e r i e c u y o t é r m i n o g e n e r a l e s an = 1

(n−1)!.

E s a q u e l l a c u y a s u c e s i ó n d e s u m a s p a r c i a l e s c o r r e s p o n d i e n t e e s

S n = 1 + 1 + 1/2 + ... + 1(n − 1)!

.

V e r e m o s m á s a d e l a n t e q u e d i c h a s e r i e e s c o n v e r g e n t e , d e h e c h o , s e p u e d e p r o b a r

q u e

∞n=1

1/(n − 1)! = e.

3 . S e r i e a r m ó n i c a

.

E s a q u e l l a c u y o t é r m i n o g e n e r a l e s an = 1/n y c u y a s u c e s i ó n d e s u m a s

p a r c i a l e s e s p o r t a n t o S n = 1 + 1/2 + ... + 1/n. S e p u e d e p r o b a r , u s a n d o l a ú l t i m a

p r o p i e d a d q u e q u e d i c h a s e r i e n o e s c o n v e r g e n t e . E n g e n e r a l s e p u e d e p r o b a r ,

u s a n d o e s t a m i s m a p r o p i e d a d , q u e l a s e r i e c u y o t é r m i n o g e n e r a l e s an = 1/nαe s

c o n v e r g e n t e s i , y s ó l o s i , α > 1.

4 . S e r i e a r m ó n i c a - a l t e r n a d a

.

E s a q u e l l a c u y o t é r m i n o g e n e r a l e s an = (−1)n+1/n y c u y a s u c e s i ó n d e s u m a s

p a r c i a l e s e s p o r t a n t o S n = 1 − 1/2 + ... + (−1)n+1/n. M á s t a r d e d e d u c i r e m o s q u e

d i c h a s e r i e e s c o n v e r g e n t e , d e h e c h o s e p u e d e p r o b a r q u e

∞

n=1(−1)

n+1

/n = log2.

O b s é r v e s e q u e e s t e ú l t i m o e j e m p l o p r u e b a q u e l a s e r i e

n≥1 an e s c o n v e r g e n t e

y n o l o e s l a s e r i e

n≥1

|an| . E s t o d a p i e a l a s i g u i e n t e d e n i c i ó n .

S e d i c e q u e u n a s e r i e

n≥1

an e s a b s o l u t a m e n t e c o n v e r g e n t e

s i l a s e r i e d e

v a l o r e s a b s o l u t o s n≥1 |an

|e s c o n v e r g e n t e .




R e s u m i e n d o h e m o s v i s t o q u e :

a b s o l u t a m e n t e c o n v e r g e n t e

⇒c o n v e r g e n t e

c o n v e r g e n t e ⇒ a b s o l u t a m e n t e c o n v e r g e n t e .

D e s a f o r t u n a d a m e n t e , a e x c e p c i ó n d e l o s e j e m p l o s a n t e r i o r m e n t e y a c i t a d o s y

a l g u n o s d e r i v a d o s d e e l l o s , p a r a e l r e s t o d e l a s s e r i e s c o n v e r g e n t e s e s d i f í c i l c a l c u l a r l a

s u m a . E s t o n o s o b l i g a a r e d u c i r n u e s t r o e s t u d i o a p r o b a r s i u n a d e t e r m i n a d a s e r i e e s

c o n v e r g e n t e o n o .

1 . 5 . 2 . C r i t e r i o s d e c o n v e r g e n c i a

1 . S e r i e s d e t é r m i n o s n o n e g a t i v o s

O b s é r v e s e q u e s i u n a s e r i e

n≥1

an e s d e t é r m i n o s n o n e g a t i v o s , p a r a c a d a

n ∈ N, an ≥ 0, e n t o n c e s l a s e r i e d e s u m a s p a r c i a l e s e s u n a s u c e s i ó n c r e c i e n t e ,

y p o r t a n t o , c o n v e r g e n t e s i , y s ó l o s i , e s t á m a y o r a d a . E n c o n s e c u e n c i a . l a s e r i e

e s c o n v e r g e n t e s i , y s ó l o s i , l a s u c e s i ó n d e s u m a s p a r c i a l e s e s t á m a y o r a d a . E s t a

p a r t i c u l a r i d a d j u s t i c a q u e , p a r a e s t a s s e r i e s , d i s p o n g a m o s d e n u m e r o s o s c r i t e r i o s

d e c o n v e r g e n c i a . P o r o t r a p a r t e , e s c l a r o q u e , d e s p u é s d e l a s p r o p i e d a d e s v i s t a s

c o n a n t e r i o r i d a d , s ó l o l a s s e r i e s n≥1 an , c u y o s c o n j u n t o s

{n

∈N; an < 0

}ó

{n

∈N; an > 0} s e a n i n n i t o s q u e d a n e x c l u i d o s d e e s t e e p í g r a f e .

V e a m o s a l g u n o s c r i t e r i o s d e c o n v e r g e n c i a p a r a e s t e t i p o d e s e r i e s .

T e o r e m a 1 . 5 . 2 . ( C r i t e r i o d e c o m p a r a c i ó n )

S e a {an} u n a s u c e s i ó n d e n ú m e r o s r e a l e s n o n e g a t i v o s y {bn} u n a s u c e s i ó n d e

n ú m e r o s r e a l e s p o s i t i v o s .

a ) S i l a s u c e s i ó n

{an/bn

}c o n v e r g e a u n n ú m e r o p o s i t i v o , e n t o n c e s l a s e r i e n≥1 an

c o n v e r g e s i , y s ó l o s i , c o n v e r g e l a s e r i e

n≥1

bn .

b ) S i l a s u c e s i ó n {an/bn} c o n v e r g e a c e r o y l a s e r i e

n≥1

bn e s c o n v e r g e n t e , e n -

t o n c e s l a s e r i e

n≥1

an e s c o n v e r g e n t e .

c ) S i l a s u c e s i ó n {an/bn} d i v e r g e p o s i t i v a m e n t e y l a s e r i e

n≥1 an e s c o n v e r -

g e n t e , e n t o n c e s l a s e r i e

n≥1bn e s c o n v e r g e n t e .




C o n v i e n e r e s a l t a r q u e e s t e c r i t e r i o s e m o s t r a r á m á s p o t e n t e c u á n t o m a y o r

n ú m e r o d e e j e m p l o s c o n o z c a m o s s u c o n v e r g e n c i a . E n e s t e c o n o c i m i e n t o e s i n d i s -

p e n s a b l e r e c o r d a r q u e l a s e r i e c u y o t é r m i n o g e n e r a l e s an = 1/nαe s c o n v e r g e n t e

s i , y s ó l o s i , α > 1.

V e a m o s a h o r a a l g u n o s c r i t e r i o s d e c o n v e r g e n c i a i n t r í n s e c o s , e s t o e s , c r i t e r i o s

q u e i n v o l u c r a n s ó l o a l a p r o p i a s e r i e .

E n p r i m e r l u g a r , o b s é r v e s e q u e s i e l e l c o n j u n t o {n ∈ N; an ≥ 1} e s i n n i t o ,

e n t o n c e s l a s e r i e

n≥1

an n o e s c o n v e r g e n t e , y a q u e p o d r í a m o s c o n s t r u i r u n a p a r c i a l

d e l a s u c e s i ó n t é r m i n o g e n e r a l n o c o n v e r g e n t e a c e r o .

V e a m o s a c o n t i n u a c i ó n u n p r i m e r c r i t e r i o p o s i t i v o

T e o r e m a 1 . 5 . 3 . ( C r i t e r i o d e l a r a í z )

S e a {an} u n a s u c e s i ó n d e n ú m e r o s r e a l e s n o n e g a t i v o s y L ∈ [0, 1[. S i l a s u c e s i ó n

{ n

√an} c o n v e r g e a L, e n t o n c e s l a s e r i e

n≥1

an e s c o n v e r g e n t e .

S i l o s t é r m i n o s s o n p o s i t i v o s e l s i g u i e n t e c r i t e r i o e s m á s c ó m o d o

T e o r e m a 1 . 5 . 4 . ( C r i t e r i o d e l c o c i e n t e )

S e a

{an

}u n a s u c e s i ó n d e n ú m e r o s r e a l e s p o s i t i v o s y L

∈[0, 1[. E n t o n c e s

a ) S i l a s u c e s i ó n {an+1/an} c o n v e r g e a L, e n t o n c e s l a s e r i e

n≥1

an e s c o n v e r -

g e n t e .

b ) S i l a s u c e s i ó n {an+1/an} c o n v e r g e a 1/L, e n t o n c e s l a s e r i e

n≥1

an n o e s

c o n v e r g e n t e .

C o m o c o n s e c u e n c i a o b t e n e m o s p o r e j e m p l o q u e l a s e r i e

n≥1

1/n! e s c o n v e r g e n t e .

O b s é r v e s e q u e , c u a n d o d i c h o c o c i e n t e {an+1/an} t i e n d e a u n o , e s t e c r i t e r i o

n o s d e j a s i n i n f o r m a c i ó n . E n a l g u n o s c a s o s e s t a l a g u n a s e r e s u e l v e c o n u n t e r c e r

c r i t e r i o :

T e o r e m a 1 . 5 . 5 . ( C r i t e r i o d e R a a b e )

S e a {an} u n a s u c e s i ó n d e n ú m e r o s r e a l e s p o s i t i v o s y L ∈ [0, 1[. E n t o n c e s

a ) S i l a s u c e s i ó n {n(1 − an+1an

)} c o n v e r g e a L, e n t o n c e s l a s e r i e

n≥1

an n o e s





b ) S i l a s u c e s i ó n {n(1 − an+1an

)} c o n v e r g e a 1/L, e n t o n c e s l a s e r i e

n≥1

an e s


2 . S e r i e s d e t é r m i n o s c u a l e s q u i e r a

L a e s t r a t e g i a q u e s e g u i r e m o s p a r a l a s s e r i e s n o i n c l u i d a s e n e l a p a r t a d o a n t e r i o r

s e r á l a d e e s t u d i a r p r i m e r a m e n t e s i s o n a b s o l u t a m e n t e c o n v e r g e n t e s , y p a r a e l l o

u s a r e m o s l o s c r i t e r i o s d e l a p a r t a d o a n t e r i o r . S i s o n a b s o l u t a m e n t e c o n v e r g e n t e s ,

e n v i r t u d d e l o y a v i s t o , s e r á n t a m b i é n c o n v e r g e n t e s , e n o t r o c a s o n e c e s i t a r í a m o s

d e a l g ú n o t r o c r i t e r i o . E n e s t e c u r s o s ó l o v e r e m o s e l c r i t e r i o d e L e i b n i t z p a r a s e r i e s

a l t e r n a d a s .

T e o r e m a 1 . 5 . 6 . ( C r i t e r i o d e L e i b n i t z )

S i {an} e s u n a s u c e s i ó n d e n ú m e r o s r e a l e s d e c r e c i e n t e y c o n v e r g e n t e a c e r o , e n -

t o n c e s l a s e r i e

n≥1

(−1)n+1an e s c o n v e r g e n t e .

C o m o c o n s e c u e n c i a y a p o d e m o s j u s t i c a r q u e l a s e r i e

n≥1

(−1)n+1/n e s



E s t ú d i e s e l a c o n v e r g e n c i a d e l a s s i g u i e n t e s s e r i e s d e n ú m e r o s r e a l e s :

1 . a )

1

n2n, b )

log(n)

n, c )

1

2n − 1, d )

(−1)n

1

n.

2 . a ) 2n

n . b ) 1√n . c ) 1

nlog(n) . d ) 3√

n

(n + 1)√n .

3 . a )

(−1)n

2n − 1

2n. b )

1

n!. 1

(3n − 2)(3n + 1).

4 . a )

(−1)n

1

log(n). b )

nn

en2+1. c )

2nn!

nn.



1 . 6 . E L E S P A C I O E U C L Í D E O . C A M P O S V E C T O R I A L E S Y E S C A L A R E S 5 3

1 . 6 . E l e s p a c i o e u c l í d e o . C a m p o s v e c t o r i a l e s y e s c a l a r e s

S u m a r i o

E n e s t a l e c c i ó n n o s c e n t r a m o s e n l a e s t r u c t u r a e u c l í d e a d e Rn , q u e e s i n d i s p e n s a b l e

p a r a e x t e n d e r l a s p r o p i e d a d e s y c o n c e p t o s v i s t o s e n e l c o n j u n t o R

. A s o c i a r e m o s a c a d a f u n c i ó n

d e n i d a e n u n s u b c o n j u n t o A

d e Rq

c o n v a l o r e s e n Rn n

f u n c i o n e s d e n i d a s e n A

y c o n v a l o r e s

e n R

, t é c n i c a q u e r e s u l t a r á m u y e c a z m á s a d e l a n t e . R e a l m e n t e , c o m o v e r e m o s , n u e s t r o e s t u d i o

s e p o d r í a c e ñ i r a l o s c a s o s e n q u e n, q ∈ {1, 2, 3} q u e s o n e n l o s q u e t r a b a j a r e m o s s i e m p r e , s i n

e m b a r g o , l a e s t r u c t u r a e u c l í d e a p u e d e d e n i r s e s i n d i c u l t a d p a r a c u a l q u i e r n . E l c o n t e n i d o

c o m p l e t o d e e s t a l e c c i ó n s e a r t i c u l a d e l a s i g u i e n t e m a n e r a :

I . 6 . 1 E s t r u c t u r a a l g e b r a i c a .

I . 6 . 2 E s t r u c t u r a e u c l í d e a .

I . 6 . 3 C o n c e p t o s t o p o l ó g i c o s .

1 . 6 . 4 S u c e s i o n e s e n Rn

.

I . 6 . 5 C a m p o s v e c t o r i a l e s y e s c a l a r e s .

I . 6 . 6 F u n c i o n e s c o o r d e n a d a s .


1 . 6 . 1 . E s t r u c t u r a a l g e b r a i c a

D a d o n ∈ N , c o n s i d e r e m o s e n e l c o n j u n t o

Rn = R×R

×. .n.

×R =

{(x1, x2,...,xn); xi

∈R, i = 1, 2,...,n

},

l a s i g u i e n t e o p e r a c i ó n S u m a

:

(x1, x2,...,xn) + (y1, y2,...,yn) = (x1 + y1, x2 + y2,...,xn + yn) :

E s c l a r o q u e e s t a o p e r a c i ó n h e r e d a l a s p r o p i e d a d e s d e l a s u m a d e n ú m e r o s

r e a l e s :


[(x1, x2,...,xn)+(y1, y2,...,yn)]+(x1, x2,...,zn) = (x1, x2,...,xn)+[(y1, y2,...,yn)+(z1, y2,...,zn)].



5 4 I . 6 E l e s p a c i o e u c l í d e o . C a m p o s v e c t o r i a l e s y e s c a l a r e s


(x1, x2,...,xn) + (y1, y2,...,yn) = (y1, y2,...,yn) + (x1, x2,...,xn).


E x i s t e u n a n- u p l a , (0, 0,..., 0) t a l q u e p a r a c a d a n - u p l a (x1, x2,...,xn), s e t i e n e

q u e

(x1, x2,...,xn) + (0, 0,..., 0) = (x1, x2,...,xn).

4 . P r o p i e d a d d e e x i s t e n c i a d e e l e m e n t o s i m é t r i c o :

P a r a c a d a n - u p l a (x1, x2,...,xn), l a n- u p l a (−x1, −x2,..., −xn) , v e r i c a q u e

(x1, x2,...,xn) + (−

x1,−

x2,...,−

xn) = (0, 0,..., 0).

P o r o t r a p a r t e , ú n i c a m e n t e e n e l c a s o n = 2 s e p u e d e d e n i r u n p r o d u c t o c o n

p r o p i e d a d e s a c e p t a b l e s , p e r o e s t e h e c h o n o l o t r a t a r e m o s a q u í . E n e l c a s o n > 2 n o

e s p o s i b l e d e n i r n i n g ú n p r o d u c t o i n t e r e s a n t e d e s d e n u e s t r o p u n t o d e v i s t a . S i n

e m b a r g o , v a m o s a d e n i r d o s " s e u d o - p r o d u c t o s " q u e e n m u c h o s c a s o s s e r á n s u c i e n t e s

p a r a p o d e r t r a b a j a r .

E n p r i m e r l u g a r , d e n i r e m o s e l p r o d u c t o p o r u n e s c a l a r

, e l c u a l a s o c i a a c a d a

p a r e j a f o r m a d a p o r u n e s c a l a r t y u n a n - u p l a (x1, x2,...,xn) u n a n u e v a n - u p l a d e n i d a

p o r

t(x1, x2,...,xn) = (tx1, tx2,...,txn).

E s t e s e u d o - p r o d u c t o h e r e d a a l g u n a s p r o p i e d a d e s :

1 ) P a r a c a d a n - u p l a (x1, x2,...,xn) s e t i e n e q u e :

1(x1, x2,...,xn) = (x1, x2,...,xn).

2 ) P r o p i e d a d s e u d o - a s o c i a t i v a :

P a r a c a d a d o s d o s e s c a l a r e s t, s ∈ R y u n a n- u p l a (x1, x2,...,xn) s e t i e n e q u e :

t[s(x1, x2,...,xn)] = ts(x1, x2,...,xn).

3 ) P r o p i e d a d s e u d o - d i s t r i b u t i v a :

P a r a c a d a d o s d o s e s c a l a r e s t, s ∈ R y u n a n- u p l a (x1, x2,...,xn) s e t i e n e q u e :

(s + t)(x1, x2,...,xn) = s(x1, x2,...,xn) + t(x1, x2,...,xn)




4 ) P r o p i e d a d s e u d o - d i s t r i b u t i v a :

P a r a c a d a d o s d o s n- u p l a s , (x1, x2,...,xn), (y1, y2,...,yn) y u n e s c a l a r s∈R

s e t i e n e q u e :

s[(x1, x2,...,xn) + (y1, y2,...,yn)] = s(x1, x2,...,xn) + s(y1, y2,...,yn).

E s t e h e c h o s e e x p r e s a d i c i e n d o q u e Rnd o t a d o c o n l a s o p e r a c i o n e s

s u m a y

p r o d u c t o p o r u n e s c a l a r a r r i b a d e n i d a s t i e n e e s t r u c t u r a d e

e s p a c i o v e c t o r i a l . A

p a r t i r d e a q u í p o d e m o s l l a m a r v e c t o r e s

a l a s n - u p l a s .

1 . 6 . 2 . E s t r u c t u r a e u c l í d e a

E l s e g u n d o s e u d o - p r o d u c t o q u e v a m o s a v e r , a s o c i a a c a d a p a r d e n- u p l a s u n

e s c a l a r .

S e a n ∈ N . D a d o s x = (x1, x2,...,xn) e y = (y1, y2,...,yn) d o s v e c t o r e s d e Rn ,

l l a m a m o s p r o d u c t o e s c a l a r

d e a m b o s , < x, y > , a l n ú m e r o r e a l d e n i d o p o r

< x, y >=ni=1

xiyi.

E n a l g u n o s l i b r o s d e F í s i c a , s u e l e e s c r i b i r s e x.y e n l u g a r d e < x, y > . S e d i c e

q u e d o s v e c t o r e s x e y s o n o r t o g o n a l e s

s i < x, y >= 0 , e n t a l c a s o s e e s c r i b e x ⊥ y .

E s t a l e y v e r i c a l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s :

P r o p o s i c i ó n 1 . 6 . 1 . D a d o s x,y,z ∈ Rn

y r ∈ R , s e t i e n e q u e :

1 . < x, y >=< y, x >.

2 . r < x, y >=< rx,y >=< x, ry > .

3 . < x, y + z >=< x, y > + < x, z > .

4 . < x, x >≥ 0.

5 . < x, x) > 0 s i , y s ó l o s i x = 0.

E s t e h e c h o s e e x p r e s a d i c i e n d o q u e e l e s p a c i o v e c t o r i a l Rnd o t a d o c o n e s t a n u e v a

” o p e r a c i ó n " t i e n e e s t r u c t u r a d e e s p a c i o e u c l í d e o

.




1 . 6 . 3 . C o n c e p t o s t o p o l ó g i c o s

E n t r e l a s c o n s e c u e n c i a s m á s n o t o r i a s d e l a e x i s t e n c i a d e u n p r o d u c t o e s c a l a r

p o d e m o s s u b r a y a r l a e x i s t e n c i a d e u n a f u n c i ó n , q u e e n R c o i n c i d e c o n l a f u n c i ó n v a l o r

a b s o l u t o , y q u e a s o c i a a c a d a v e c t o r u n n ú m e r o r e a l n o n e g a t i v o . C o n c r e t a m e n t e , d a d o

x = (x1, x2,...,xn) ∈ Rnd e n i m o s s u

n o r m a , x, m e d i a n t e l a s i g u i e n t e l e y :

x =√

< x, x > =

ni=1

x2i .

E s f á c i l p r o b a r q u e l a a p l i c a c i ó n d e n i d a p o r x −→ x h a c e e l m i s m o p a p e l

q u e l a f u n c i ó n v a l o r a b s o l u t o e n R , t a l c o m o m u e s t r a , e n t r e o t r a s c o s a s , e l s i g u i e n t e

r e s u l t a d o :

P r o p o s i c i ó n 1 . 6 . 2 .

1 . | < x, y > | ≤ x y. ( D e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z )

2 . x + y2 = x2 + y2 + 2 < x, y > . ( T e o r e m a d e P i t á g o r a s )

3 . rx = |r|x (r ∈ R).

4 . x + y ≤ x + y. ( D e s i g u a l d a d t r i a n g u l a r )

5 .

x

= 0 , s i y s ó l o s i x = 0 .

L a i m p o r t a n c i a d e l a e x i s t e n c i a d e e s t a f u n c i ó n - n o r m a e s t r i b a e n e l h e c h o d e

q u e é s t a n o s c a p a c i t a p a r a d e n i r u n a ” d i s t a n c i a ” e n t r e d o s v e c t o r e s , y p o r t a n t o , l a

p r o x i m i d a d o l e j a n í a d e d o s v e c t o r e s d e Rn . C o n c r e t a m e n t e , p a r a c a d a d o s v e c t o r e s

x = (x1, x2,...,xn), y = (y1, y2,...,yn) ∈ Rn,

d e n i m o s l a d i s t a n c i a e n t r e e l l o s , p o r

dist(x, y) = y − x.

A s u v e z é s t a n o s p e r m i t e c o n s i d e r a r :

1 . C o n j u n t o s d e Rnq u e h a c e n e l m i s m o p a p e l q u e l o s i n t e r v a l o s d e R :

a ) B o l a a b i e r t a d e c e n t r o a ∈ Rny r a d i o r ∈ R+

B(a, r) = {x ∈ Rn; x − a < r}.

b ) B o l a c e r r a d a d e c e n t r o a ∈ Rn

y r a d i o r ∈ R+

B(a, r) = {x ∈ Rn

; x − a ≤ r}.




2 . C o n j u n t o s q u e j u e g a n e l p a p e l d e l o s e x t r e m o s d e l i n t e r v a l o :

E s f e r a d e c e n t r o a

∈Rn

y r a d i o r

∈R+

S (a, r) = {x ∈ Rn; x − a = r}.

3 . C o n j u n t o a c o t a d o

S e a A u n s u b c o n j u n t o n o v a c í o d e v e c t o r e s d e Rn. S e d i c e q u e A e s u n

c o n j u n t o a c o t a d o s i e x i s t e M ∈ R+

t a l q u e

A

⊆B(0, M ).

E j e m p l o : S e a A = {(x, y) ∈ R2; x ∈]0, 1[, y ∈ [0, 2]}.

E s c l a r o q u e e l c o n j u n t o A e s a c o t a d o e n R2, m i e n t r a s q u e e l e j e x n o l o e s .

4 . P u n t o d e a c u m u l a c i ó n y p u n t o a d h e r e n t e

S e d i c e q u e x0 ∈ Rn e s u n p u n t o d e a c u m u l a c i ó n

( r e s p e c t i v a m e n t e p u n t o

a d h e r e n t e ) d e A, x0 ∈ A( r e s p . x0 ∈ A), s i t o d o b o l a ” p u n t e a d a ” c e n t r a d a e n

x0 i n t e r s e c t a a l c o n j u n t o A, e s t o e s

B(x0, ε)\{x0}A = 0, ∀ε > 0,

( r e s p . t o d a b o l a c e n t r a d a e n x0 i n t e r s e c t a a l c o n j u n t o A, e s t o e s ,

B(x0, ε)

A = 0, ∀ε > 0).

N o t a r e m o s p o r A( r e s p . p o r A) a l c o n j u n t o d e p u n t o s d e a c u m u l a c i ó n ( r e s p .

p u n t o s a d h e r e n t e s ) d e A. E s c l a r o q u e A = A

A.

E j e m p l o : S i c o n s i d e r a m o s e l m i s m o c o n j u n t o

A, c o n s i d e r a d o a n t e r i o r m e n t e , t e n -

d r e m o s q u e (0, 1) ∈ A.

5 . P u n t o i n t e r i o r

S e d i c e q u e y ∈ A e s u n p u n t o i n t e r i o r

d e A, s i e x i s t e r > 0 t a l q u e

B(y, r) ⊆ A.

N o t a r e m o s p o r A◦a l c o n j u n t o d e p u n t o s i n t e r i o r e s d e A.

E j e m p l o : C o n s i d e r a n d o e l m i s m o c o n j u n t o a n t e r i o r , s e t i e n e q u e (1/2, 1)

∈A◦

.




6 . C o n j u n t o a b i e r t o

D i r e m o s q u e u n c o n j u n t o A e s a b i e r t o

s i A = A◦.

E j e m p l o : E l c o n j u n t o {(x, y) ∈ R2; x ∈]0, 1[, y ∈]0, 2[} e s a b i e r t o , m i e n t r a s q u e

e l c o n j u n t o A, q u e u s a m o s e n t o d o s l o s e j e m p l o s , n o l o e s .

7 . C o n j u n t o c e r r a d o

D i r e m o s q u e u n c o n j u n t o A e s c e r r a d o

s i A ⊆ A ó e q u i v a l e n t e m e n t e s i

A = A. E s f á c i l p r o b a r q u e A e s c e r r a d o s i s u c o m p l e m e n t a r i o e s a b i e r t o .

A l c o n j u n t o A\A◦s e l e d e n o m i n a

f r o n t e r a d e A y s u e l e n o t a r s e p o r F r(A) o p o r

δ(A).

E j e m p l o : E l c o n j u n t o C = {(x, y) ∈ R2; x ∈ [0, 1], y ∈ [0, 2]} e s c e r r a d o ,

m i e n t r a s q u e e l c o n j u n t o B a n t e r i o r n o l o e s . E s c l a r o q u e

F r(C ) = {(x, y) ∈ R2; x = 0, y ∈ [0, 2]}

{(x, y) ∈ R2; x = 1, y ∈ [0, 2]}

{(x, y) ∈ R2; x ∈ [0, 1], y = 0}

{(x, y) ∈ R2; x ∈ [0, 1], y = 2}.

8 . C o n j u n t o c o m p a c t o

D i r e m o s q u e u n c o n j u n t o A e s c o m p a c t o

s i A e s c e r r a d o y a c o t a d o .

E j e m p l o : E l c o n j u n t o {(x, y) ∈ R2; x ∈ [0, 1], y ∈ [0, 2]} e s c o m p a c t o , m i e n t r a s

q u e e l c o n j u n t o A n o l o e s .

1 . 6 . 4 . S u c e s i o n e s e n

Rn

S i A e s u n s u b c o n j u n t o d e Rn, e n t o n c e s u n a a p l i c a c i ó n

f : N −→ A,

q u e n o t a r e m o s p o r {x p} p∈N, d o n d e x p = (x p1, x p2,...,x pn) = f ( p), d i r e m o s q u e e s

u n a s u c e s i ó n d e v e c t o r e s d e A, ó s i s e q u i e r e , d e

Rn.

S e d i c e q u e u n a s u c e s i ó n {x p} p∈N e s c o n v e r g e n t e

s i e x i s t e u n v e c t o r x =

(x1, x2,...,xn) ∈ Rn

v e r i c a n d o q u e :




" p a r a c u a l q u i e r b o l a a b i e r t a d e c e n t r o x, e x i s t e u n t é r m i n o d e l a s u c e s i ó n a p a r t i r

d e l c u a l , t o d o s l o s r e s t a n t e s t é r m i n o s e s t á n i n c l u i d o s e n d i c h a b o l a , ”

ó e s c r i t o e n l e n g u a j e m a t e m á t i c o

∀ε > 0, ∃N ∈ N, t a l q u e s i p ≥ N , e n t o n c e s x p ∈ B(x, ε).

S e d i c e e n t a l c a s o q u e x e s e l l í m i t e

d e l a s u c e s i ó n {x p} p∈N ó q u e l a s u c e s i ó n

{x p} p∈N c o n v e r g e a x, y s u e l e n o t a r s e p o r

x = lim p{x p}

ó

{x p} −→ x.

E n e l s i g u i e n t e r e s u l t a d o r e c o g e m o s a l g u n a s p r o p i e d a d e s i m p o r t a n t e s d e l a s

s u c e s i o n e s c o n v e r g e n t e s .

P r o p o s i c i ó n 1 . 6 . 3 .

a ) T o d a s u c e s i ó n c o n v e r g e n t e t i e n e u n ú n i c o l í m i t e .

b ) S e a x = (x1, x2,...,xn) ∈ Rn, e n t o n c e s {x p} c o n v e r g e a x s i , y s ó l o s i , p a r a

c a d a

i ∈ {1, 2,...,n}, l a s u c e s i ó n d e n ú m e r o s r e a l e s {x

p

i } p∈N c o n v e r g e a

xi.

c ) T o d a s u c e s i ó n a c o t a d a a d m i t e u n a p a r c i a l c o n v e r g e n t e ( T e o r e m a d e B o l z a n o -

W e i e r s t r a s s ) .

d ) S i A e s u n s u b c o n j u n t o d e Rn, e n t o n c e s x e s u n p u n t o a d h e r e n t e d e A s i , y

s ó l o s i , e x i s t e u n a s u c e s i ó n d e e l e m e n t o s d e A q u e c o n v e r g e a x.

E j e m p l o : C a l c u l a r e l l í m i t e d e l a s u c e s i ó n {( 1

n, n−1

n)}.

1 . 6 . 5 . C a m p o s v e c t o r i a l e s y e s c a l a r e s

A l a s f u n c i o n e s d e n i d a s e n u n s u b c o n j u n t o d e Rqy c o n v a l o r e s e n R l a s

l l a m a r e m o s c a m p o s e s c a l a r e s

. M i e n t r a s q u e a l a s f u n c i o n e s d e n i d a s e n d i c h o

t i p o d e s u b c o n j u n t o p e r o c o n v a l o r e s e n Rn( n > 1) s e l e s d e n o m i n a r á

c a m p o s

v e c t o r i a l e s .

V e a m o s a l g u n o s e j e m p l o s :




a ) P r o y e c c i o n e s

S e a q ∈ N . P a r a c a d a i ∈ {1, 2,...,q} s e p u e d e c o n s i d e r a r l a a p l i c a c i ó n

pi : Rq −→ R,

d e n i d a p o r

pi : (x1, x2,...,xq) −→ xi.

D i c h a a p l i c a c i ó n r e c i b e e l n o m b r e d e p r o y e c c i ó n i - é s i m a

. C a d a f u n c i ó n

p r o y e c c i ó n e s u n c a m p o e s c a l a r .

b ) I n y e c c i o n e s .

P o d e m o s c o n s i d e r a r a h o r a l a a p l i c a c i ó n

I i : R −→ Rq,

d e n i d a p o r

I i : r −→ (0, 0,...,i) r, 0,..., 0).

D i c h a a p l i c a c i ó n r e c i b e e l n o m b r e d e i n y e c c i ó n i - é s i m a

y e s u n e j e m p l o

s e n c i l l o d e c a m p o v e c t o r i a l .

c ) L a f u n c i ó n n o r m a

P o d e m o s c o n s i d e r a r e l c a m p o e s c a l a r

. : Rn −→ R,

d e n i d o p o r

x −→ x.

D i c h a a p l i c a c i ó n r e c i b e e l n o m b r e d e f u n c i ó n n o r m a

V i s t a s l a s p r o p i e d a d e s d e Rn, e s f á c i l c o m p r e n d e r q u e d a d a s d o s c a m p o s

v e c t o r i a l e s s e p u e d e n s u m a r p e r o n o

m u l t i p l i c a r y q u e e n c a m b i o , t o d o c a m p o

v e c t o r i a l s í s e p u e d e m u l t i p l i c a r p o r u n c a m p o e s c a l a r .

1 . 6 . 6 . F u n c i o n e s c o o r d e n a d a s

N u e s t r o o b j e t i v o a h o r a e s s e ñ a l a r c ó m o t o d o c a m p o v e c t o r i a l c o n v a l o r e s e n

Rnp u e d e r e l a c i o n a r s e c o n n c a m p o s e s c a l a r e s .

S e a A u n s u b c o n j u n t o n o v a c í o d e v e c t o r e s d e Rqy s e a f : A −→ Rn u n c a m p o

v e c t o r i a l . E l c a m p o e s c a l a r

f i = pi ◦ f : A −→ R,




d o n d e pi e s l a c o r r e s p o n d i e n t e p r o y e c c i ó n i−é s i m a , r e c i b e e l n o m b r e d e f u n c i ó n

c o o r d e n a d a i - é s i m a .

P a r a c a d a i ∈ {1, 2,...,n} s e p u e d e c o m p r o b a r f á c i l m e n t e q u e

f =ni=1

I i ◦ f i,

d o n d e p o r I i q u e r e m o s i n d i c a r l a c o r r e s p o n d i e n t e f u n c i ó n i n y e c c i ó n i - é s i m a .

M á s a d e l a n t e v e r e m o s c ó m o l a s p r o p i e d a d e s d e u n c a m p o v e c t o r i a l e s t á n

í n t i m a m e n t e r e l a c i o n a d a s c o n l a s p r o p i e d a d e s d e s u s f u n c i o n e s c o o r d e n a d a s .

( E x t r e m o s a b s o l u t o s )

V e a m o s n a l m e n t e l a d e n i c i ó n d e e x t r e m o s p a r a u n c a m p o e s c a l a r

. S e a Au n s u b c o n j u n t o n o v a c í o d e Rq

, a ∈ A y f : A −→ R u n c a m p o e s c a l a r . S e d i c e

q u e

a e s u n m á x i m o a b s o l u t o

, ó s i m p l e m e n t e q u e e s u n m á x i m o , d e f , ó q u e

f a l c a n z a s u m á x i m o e n a s i s e v e r i c a q u e

f (a) ≥ f (x), ∀x ∈ A.

a e s u n m í n i m o a b s o l u t o

ó s i m p l e m e n t e q u e e s u n m í n i m o , d e f ó q u e f a l c a n z a s u m í n i m o e n a s i s e v e r i c a q u e

f (a) ≤ f (x), ∀x ∈ A.a e s u n

p u n t o e x t r e m o d e f s i ó b i e n e s u n m á x i m o ó b i e n e s u n m í n i m o .


a ) P r u é b e s e q u e p a r a c u a l e s q u i e r a x, y ∈ Rns e v e r i c a :

||x + y

||2 +

||x

−y

||2 = 2(

||x

||2 +

||y

||2) ( I d e n t i d a d d e l p a r a l e l o g r a m o ) .

b ) P r o b a r q u e s i {xn} −→ x, e n t o n c e s {||xn||}−→||x||. ¾ E s c i e r t o e l r e c í p r o c o ?

c ) D e s c r í b a n s e e l i n t e r i o r , l a a d h e r e n c i a , l a a c u m u l a c i ó n y l a f r o n t e r a d e l o s

s i g u i e n t e s C o n j u n t o s :

1 ) a ) N b ) Q. c ) R\Q . d ) [0, 1] ∪ {2}. e ) {1/n; n ∈ N}.

2 ) A = {(xn, yn); xn = 20n

, yn = 0, ∀n ∈ N}.

3 ) {(x, y) ∈ R2; y = rx}. (r ∈ R)

4 ) {(x, y) ∈ R2; x2

a2+ y2

b2≤ 1} (0 < a < b ∈ R.

5 ) {(x,y,z) ∈ R3; x2

a2+ y2

b2+ z2

c2= 1} (0 < a < b < c ∈ R .

6 )

{(x, y)

∈R2; x2

a2+ y2

b2< 1

}(0 < a < b

∈R .

metodos matematicos de la fisica, universidad de granada

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