fundamentos matematicos
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ESCUELA:
NOMBRES:
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
FECHA:
Ciencias de la Computación
Ing. Ricardo Blacio
ABRIL - AGOSTO 2010
1
Ecuaciones Ecuaciones Lineales: son de la forma ax +
b = 0; a≠0; (a y b son R) 1 sol.
Ecuaciones Cuadráticas: su forma: ax2+bx+c = 0;a≠0 2 sol.
Se puede resolver mediante: Factorización, completar el trinomio cuadrado perfecto y aplicando la fórmula cuadrática.
2
2. Ecuaciones y desigualdades
3
xx
41
12
Resuelva la ecuación:
x
x
x
x 412
2x – 1 = x + 4
* x
2x – 1 + 1= x + 4 + 1
2x = x + 5
2x – x = x – x + 5
995
45
5
1105
41
5
12
Comprobación:
x = 5
4
Resolver la ecuación completando el trinomio cuadrado perfecto:
x2 + 10 x + 38 = 0
x2 + 10 x + (b/2)2 = - 38 + (b/2)2
x2 + 10 x + (10/2)2 = - 38 + (10/2)2
x2 + 10 x + 25 = - 38 + 25
(x + 5)2 = - 13
135 xLa raíz de índice par y radicando negativo no están definido dentro del conjunto de los números reales.
ix 135
5
a
acbbx
2
42
Discriminante.
acb 42 Sí
realesraicestieneNoacb
diferentesyrealesraicesDosacb
raízUnaacb
04
04
04
2
2
2
Fórmula cuadrática
6
Resolver la ecuación aplicando la fórmula cuadrática:
a
acbbx
2
42
x2 + 10 x + 38 = 0
)1(2
)38)(1(4)10(10 2 x
2
15210010 x
2
5210 x
2
13.210 2 x
2
13210 x
ix 135
1a b c
Otro tipo de ecuaciones como son:
Ecuaciones con valor absoluto. Solución de una Ecuación por
agrupación. Ecuaciones con exponentes racionales Ecuaciones con radicales
7
8
191122 x
11911122 x
18122 x
912 x
/ 2
2x + 1 = 9 2x + 1 = - 9o
2x = 8
x = 8 / 2
x = 4
2x = - 10
x = - 10 /2
x = - 5
Si a y b son números reales con b > 0, entonces |a|= b si y sólo si a = b o bien a = - b por lo tanto, si |2x+1|= 9
Ecuaciones con valor absoluto:
a b
9
x 4/3 = 16
4/316x
4
3.4
2x
32x
8x
Ecuaciones con exponente racional:
Para la ecuación x m/n = a, donde x es un número real elevamos ambos lados a la potencia de n/m (recíproca m/n) para despejar x.-Si m es impar resulta x = an/m
-Si m es par tendremos x = ± an/m
par
Ecuación con radical:
4 1964 xx
242 )196()4( xx
1964 xx
22 )196()4( xx
x2 + 8x +16 = 6x + 19
x2 + 8x +16 – 6x -19= 6x + 19 - 6x - 19
x2 + 2x - 3 = 0 ( x + 3) (x – 1) = 0 x = - 3x = 1
11
Desigualdades
Se solucionan utilizando las propiedades de las desigualdades.
La mayor parte de las desigualdades posee un infinito número de soluciones.
La solución de las desigualdades se dan en notación de intervalos.
Un intervalo es un conjunto infinito de puntos con una notación especial. Ejemplos:
initoIntervalobxb
osemiabiertIntervalobxaba
cerradoIntervalobxaba
abiertoIntervalobxaba
inf,
,
,
,
Desigualdades: Lineales, racionales, con valor absoluto, cuadráticas
Desigualdad con valor absolutoPropiedades|a| < b equivale a –b < a < b|a| > b equivale a a < –b ó a > b
13
Resuelva la desigualdad:
10 – 7x < 4 + 2x
10 – 7x – 10 < 4 + 2x - 10
– 7x – 2x < 2x - 2x - 6
- 9x < - 6
- 9x /- 9 < - 6 /- 9
x > 6 / 9
x > 2 / 3 ( 2/3 , ∞ )
14
5132 x
151132 x
632 x
33 x
/ -2Propiedades de los valores absolutos (b > 0)1.lal < b - b < a < b2.lal > b a < - b or a > b
333 x
333333 x
60 x
[ 0 , 6 ]
Resuelva la desigualdad:
02
)3(2
x
xxx2 ( 3 – x ) = 0
x2 = 0 3 – x = 0
x1 = 0
x2 = 3
x + 2 = 0
x3 = - 2
Ambos valores forman parte de la solución , por cuanto la
condición dice ≤ 0.
- ∞ -2 0 3 + ∞
(- ∞, - 2) (- 2, 0) (0 , 3) (3 , + ∞)
Resuelva la desigualdad:
Intervalo
(-∞ , -2) -3
(-2 , 0) -1
(0 , 3) 1
(3 , +∞) 4
x2 ( 3 – x ) + + + -
x + 2 - + + +
Resultado
- + + -≤ 0
Solución: (- ∞ , -2) U {0} U [ 3 , ∞ )
Puntos críticos:
17