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Introduccin Mtodos Matemticos

en Ingeniera ICI-2204 Semestre 2015 1

Profesor:

Claudio Carmona C.

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Contenidos

1. Solucin numrica de ecuaciones lineales y no

lineales.

2. Integracin y diferenciacin numrica.

3. Mtodos Numricos para la Resolucin de

Ecuaciones Diferenciales.

4. Mtodos numricos en problemas de contorno.

5. Ecuaciones en derivadas parciales.

6. Ecuacin de Difusin y de Onda.

7. Mtodos Numricos en Ecuaciones Diferenciales

en Derivadas Parciales.

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Evaluacin y asistencia Evaluacin

Solemne 1 : 25%

Solemne 2 : 25%

Trabajo : 25%

Laboratorio : 25% (Comienzo primera semana de abril)

Asistencia

Ctedra : 70%

Laboratorio : 90%

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Bibliografa Titulo Autor Editorial Cdigo biblioteca

Anlisis Numrico.

Sptima Edicin Burden, R. L.,

Faires, J. D.

CENGAGE Learning 519.4 B896 2002

Mtodos

numricos para

ingenieros.

Cuarta Edicin

Chapra, Steven C.

Canale, Raymond

P.

Mc Graw-Hill 519.4 Ch467m

2003

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Qu son los Mtodos

Matemticos?

El trmino se refiere a tcnicas o

procedimientos directos (formales), y de

aproximacin numrica, a la solucin de

problemas de ingeniera expresados

matemticamente.

Estn basados en el Algebra Lineal y en el

Clculo.

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Qu son los Mtodos

Matemticos?

Por qu usar tcnicas de aproximacin

numrica?

Para resolver aquellos problemas para los

cuales no existen mtodos directos de

solucin, o bien, para aquellos que existe un

mtodo de solucin pero no es viable, como

ocurre con la regla de Cramer para la

resolucin de sistemas lineales; solo es

aplicable cuando la dimensin es pequea.

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Qu son los Mtodos

Matemticos?

Las tcnicas o procedimientos numricos

debern ser eficientes.

La eficiencia depender tanto de la

precisin que se requiera como de la

facilidad de su implementacin.

Su estudio se apoyar en el software

matemtico Matlab.

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Algoritmos

Las tcnicas o procedimientos numricos

normalmente se disearn usando

algoritmos.

Un algoritmo es un procedimiento que

describe, sin ambigedades, una serie finita

de pasos a realizar en un orden especifico

para resolver o aproximar la solucin de un

problema.

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Algoritmos

Inicio

leer base, altura

si base>0 y altura>0

area base*altura perimetro 2*(base + altura) escribir (area, perimetro)

si-no

escribir (datos incorrectos)

fin-si

Fin

Diagrama de flujo

Seudocdigo

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Algoritmos

El algoritmo resultante puede ser

implementado usando algn lenguaje de

programacin (Ej.: Java, Fortran, etc.), o

programado en un software matemtico

(Matlab, Maple, etc.).

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Algoritmos

function [] = Area_Perimetro()

base = input('Ingrese longitud base: ');

altura = input('Ingrese longitud altura: ');

if base>0 && altura>0

area = base*altura;

perimetro = 2*(base + altura);

fprintf('Area = %4.2f\t Perimetro =

%4.2f\n',area,perimetro);

else

disp('Datos incorrectos');

end

end

Inicio

leer base, altura

si base>0 y altura>0

area base*altura perimetro 2*(base + altura) escribir (area, perimetro)

si-no

escribir (datos incorrectos)

fin-si

Fin

Seudocdigo

Matlab

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Ejemplo Procedimiento

Numrico (algoritmo)

Problema: Calcular la raz cuadrada de un

numero positivo p. Usamos la serie

siguiente:

a0 = p

a1 = 0.5*(a0 + p/a0)

a2 = 0.5*(a1 + p/a1) ..

an = 0.5*(an-1 + p/an-1)

hasta que an =an-1 para alguna precisin

predefinida.

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Ejemplo

Calcular la raz de 12.27

Solucin: a0 = 12.27

a1 = 0.5*(12.270000 + 12.27/12.270000) 6.635

a2 = 0.5*(6.635000 + 12.27/6.635000) 4.24214

a3 = 0.5*(4.242140 + 12.27/ 4.242140) 3.567274

a4 = 0.5*(3.567274 + 12.27/ 3.567274) 3.503437

a5 = 0.5*(3.503437 + 12.27/ 3.503437) 3.502856

a6 = 0.5*(3.502856 + 12.27/ 3.502856 ) 3.502855

a7 = 0.5*(3.502856 + 12.27/ 3.502856 ) 3.502855

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Ejemplo

Respuesta

raz (12.27) = 3.502855

(Qu precisin tiene esta respuesta?)

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Computacin y Calculadora

Afortunadamente hoy tenemos calculadora

y computador.

En este curso haremos nuestras aplicaciones

usando fundamentalmente MatLab, aunque

en la practica se puede usar otros software.

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Repaso de Clculo

Teorema del valor medio

Si f C[a,b] y f es derivable en (a,b), entonces

existe un nmero c en (a,b) tal que:

ab

afbfcf

)()()('

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Repaso de Clculo

Teorema de Rolle

Suponga que f C[a,b] y f es derivable en (a,b).

Si f(a)=f(b), entonces existe un nmero c en

(a,b) tal que f(c)=0.

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Repaso de Clculo

Ejercicio

Demuestre que f(x) se anula al menos una

vez en el intervalo [0,1] .

))2/(()1(1)( xseneexf x

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Repaso de Clculo

Teorema de los valores extremos

Si f C[a,b], entonces existen c, d [a,b]

tales que para toda x [a,b].

Adems, si f es derivable en (a,b), entonces los

nmeros c, d aparecen en los extremos de [a,b] ,

o bien donde se anula f.

)()()( cfxfdf

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Repaso de Clculo Teorema de los valores extremos

(continuacin)

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Repaso de Clculo

Teorema del valor intermedio

Si f C[a,b] y K es cualquier nmero entre f(a)

y f(b), entonces existe un nmero c en (a,b) tal

que f(c)=K.

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Repaso de Clculo

Ejercicio

Demuestre que f(x) tiene al menos una

solucin en el intervalo [0.2;0.3] .

132)cos()( 2 xxxxxf

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Repaso de Clculo

Teorema de Taylor

Suponga que f Cn [a,b], que f(n+1) existe en

[a,b] y x0 [a,b]. Para cada x [a,b], existe un

nmero (x) entre x0 y x tal que

donde

),()()( xRxPxf nn

n

k

kk

n xxk

xfxP

0

00

)(

)(!

)()(

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Repaso de Clculo

Teorema de Taylor (continuacin)

y )1(0

)1(

)()!1(

))(()(

nn

n xxn

xfxR

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Repaso de Clculo

Ejercicio

Suponga que se utiliza el polinomio P2(x)

de Taylor para aproximar f(x)=cos(x) en el

intervalo [-0.5;0.5]. Determine una cota

para el error mximo.