METODOS MATEMATICOS METODOS MATEMATICOS APLICADOS A LA FISICA IAPLICADOS A LA FISICA I

PROYECCION ESTEREOGRAFICAPROYECCION ESTEREOGRAFICA

INTEGRANTES:INTEGRANTES:

-DUARTE ALCARAZ FCO ADRIAN-DUARTE ALCARAZ FCO ADRIAN

-SALCIDO VALLE OSCAR RENE-SALCIDO VALLE OSCAR RENE

PROYECCION ESTEREOGRAFICA O PTOLEMAICA:PROYECCION ESTEREOGRAFICA O PTOLEMAICA:

Una carta geográfica es una representación en un plano de Una carta geográfica es una representación en un plano de toda o solo una parte de la superficie terrestre. Las curvas que toda o solo una parte de la superficie terrestre. Las curvas que se encuentran sobre la superficie de la tierra (como líneas se encuentran sobre la superficie de la tierra (como líneas costeras, ríos o líneas fronterizas ) se representan en el plano costeras, ríos o líneas fronterizas ) se representan en el plano por curvas correspondientes.por curvas correspondientes.

Por ejemplo: los ángulos comprendidos en la intersección de las Por ejemplo: los ángulos comprendidos en la intersección de las curvas correspondientes del plano. Un mapa seria perfecto si curvas correspondientes del plano. Un mapa seria perfecto si preservara cada ángulo y redujera proporcionalmente a la preservara cada ángulo y redujera proporcionalmente a la misma escala toda distancia medida sobre una curva. misma escala toda distancia medida sobre una curva. Desafortunadamente es imposible hacer así un mapa perfecto Desafortunadamente es imposible hacer así un mapa perfecto sin embargo es posible construir un mapa semiperfecto que, sin embargo es posible construir un mapa semiperfecto que, aunque distorsione distancias, preserve ángulos; a un mapa de aunque distorsione distancias, preserve ángulos; a un mapa de esta clase se le llama conforme.esta clase se le llama conforme.

Un mapa conforme de la esfera es Un mapa conforme de la esfera es comúnmente llamado la proyección comúnmente llamado la proyección estereográfica.estereográfica.

Por lo tanto:Por lo tanto:

""NO EXISTE el mapa ideal, bueno para NO EXISTE el mapa ideal, bueno para cualquier propósito; toda proyección cualquier propósito; toda proyección tiene que sacrificar la exactitud y tiene que sacrificar la exactitud y tolerar distorsiones de uno u otro tolerar distorsiones de uno u otro tipo." tipo."

Algunas características y aplicacionesAlgunas características y aplicaciones

Las proyecciones estereográficas transfieren un objeto de tres dimensiones a una superficie de dos dimensiones (papel). Durante este proceso matemático se pierde información.

Generalmente se conocen proyecciones, cuales traspasan los ángulos correctos pero las distancias salen falso o distorsionado o proyecciones con las distancias correctas pero con los ángulos incorrectos. Además existe un gran numero de proyecciones entre los dos extremos. Pero nunca los dos parámetros salen sin distorsión.

En la geología, especialmente en la geología estructural y en la cristalografía, se necesitan un método para visualizar la orientación de los planos geológicos en diagramas. El problema principal es, que planos cubren los tres dimensiones (orientación de un plano) y un papel tiene solamente dos. Entonces se usan las proyecciones para reducir un objeto tridimensional a un grafico (diagrama) de dos dimensiones

La proyección estereográfica representa la superficie finita de una esfera en un mapa plano de dimensiones infinitas. Tiene la interesante propiedad de no distorsionar las figuras. Así, círculos en la esfera se convierten en círculos en el mapa, y no por ejemplo en elipses.

Existen otro tipo de proyecciones muy conocidas en geografía. Quizás la más famosa es la de Mercator.

La proyección de Mercator es una proyección cilíndrica modificada para que sea posible que una línea de rumbo Sur-Este por ejemplo sea una línea recta, lo que facilitaba el trabajo de los marineros al mirar un mapa.

En la figura 3(abajo) se representa a la izquierda la superficie esférica de la Tierra y a la derecha una proyección de Mercator de la misma

figura 3. figura 3.

Ejemplo de proyección de MercatorEjemplo de proyección de Mercator

Ejemplo de proyección elípticaEjemplo de proyección elíptica

¿Qué tiene que ver la proyección ¿Qué tiene que ver la proyección estereográfica con los números complejos?estereográfica con los números complejos?

Es de gran ayuda porque el Es de gran ayuda porque el punto al infinito no puede ser punto al infinito no puede ser representado por ningún punto representado por ningún punto del plano euclidiano.del plano euclidiano.

Para eso se utiliza la definición Para eso se utiliza la definición de lo que es un de lo que es un plano complejo ampliadoplano complejo ampliado

PLANO COMPLEJO AMPLIADOPLANO COMPLEJO AMPLIADO Definición: Un subconjunto de C es Definición: Un subconjunto de C es

compacto si y solo si, este es cerrado y compacto si y solo si, este es cerrado y acotado. Por lo tanto C no es compacto. acotado. Por lo tanto C no es compacto. Del mismo modo como se hace para el Del mismo modo como se hace para el plano en R2 , adjuntamos a C un único plano en R2 , adjuntamos a C un único punto llamado Punto al infinito, que punto llamado Punto al infinito, que designamos por inf . A la unión de designamos por inf . A la unión de

C U {inf} se le llama plano complejo C U {inf} se le llama plano complejo ampliado ampliado

Sin embargo el plano complejo Sin embargo el plano complejo ampliado admite una representacion ampliado admite una representacion geometrico por medio de una esfera, geometrico por medio de una esfera, la llamada la llamada esfera de esfera de RiemannRiemann

ESFERA DE RIEMANNESFERA DE RIEMANN Sea N un punto sobre la esfera cuyas coordenadas son (0,0,1) y consideremos la proyeccion estereografica del Sea N un punto sobre la esfera cuyas coordenadas son (0,0,1) y consideremos la proyeccion estereografica del

polo N.polo N. (ver imagen)(ver imagen)

Esta proyeccion asocia a cada punto P de la Esfera, distinto de N, el punto del plano W=0 alineado con N y P. y si Esta proyeccion asocia a cada punto P de la Esfera, distinto de N, el punto del plano W=0 alineado con N y P. y si lo asociamos con z=x+iy viene dado por: lo asociamos con z=x+iy viene dado por:

Donde (U,V,W) son las coordenadas del Donde (U,V,W) son las coordenadas del punto P.punto P.

*Esta correspondencia es una biyeccion *Esta correspondencia es una biyeccion entre los puntos de C, que se ve están entre los puntos de C, que se ve están sobre el plano W=0 y los de la superficie sobre el plano W=0 y los de la superficie de la esfera excepto el polo N.de la esfera excepto el polo N.

*Pero si a N le hacemos corresponder el *Pero si a N le hacemos corresponder el punto del infinito, se obtiene una relación punto del infinito, se obtiene una relación entre el plano complejo ampliado y la entre el plano complejo ampliado y la esfera. A esta esfera es a lo que se le esfera. A esta esfera es a lo que se le llama Esfera de Riemann. llama Esfera de Riemann.

Propiedades inmediatas de la Propiedades inmediatas de la proyección estereográfica sobre la proyección estereográfica sobre la esferaesfera

Cuando los puntos de cualquier paralela Cuando los puntos de cualquier paralela de latitud se unen a N, se obtiene un cono de latitud se unen a N, se obtiene un cono (cuyo eje, el diámetro que pasa por N, es (cuyo eje, el diámetro que pasa por N, es el eje de la esfera) de manera que la el eje de la esfera) de manera que la curva en el plano z que corresponde a una curva en el plano z que corresponde a una paralela de latitud es la intersección de paralela de latitud es la intersección de este cono con el plano z, es decir un este cono con el plano z, es decir un circulo con centro en el origen.circulo con centro en el origen.

Los meridianos de longitud son Los meridianos de longitud son intersecciones con los planos que intersecciones con los planos que pasan por el eje de la esfera (el pasan por el eje de la esfera (el diámetro que pasa por N y el polo diámetro que pasa por N y el polo sur). Así que la imagen de un sur). Así que la imagen de un meridiano de longitud es la meridiano de longitud es la intersección de dos planos que intersección de dos planos que pasan por el origen, o una línea pasan por el origen, o una línea recta que pasa por el origen.recta que pasa por el origen.

Ese enrejado que se forma por Ese enrejado que se forma por paralelas de latitud y meridianos paralelas de latitud y meridianos de longitud se aplican sobre un de longitud se aplican sobre un enrejado formado por círculos enrejado formado por círculos concéntricos y líneas rectas que concéntricos y líneas rectas que pasan por el centropasan por el centro

Ver imagenVer imagen

En general:En general: (a) (a) Un circulo en la esfera es la intersección Un circulo en la esfera es la intersección

de la esfera con un plano. de la esfera con un plano. Si el plano pasaSi el plano pasa porpor el polo norte, obtenemos un circulo que pasa por el polo norte, obtenemos un circulo que pasa por el polo norte.el polo norte.

(b) La línea recta que se proyecta pasando por N (b) La línea recta que se proyecta pasando por N y en cualquier punto de uno de estos círculos, esta y en cualquier punto de uno de estos círculos, esta en el plano que determina al circulo, por lo tanto en el plano que determina al circulo, por lo tanto el punto imagen esta en la intersección de este el punto imagen esta en la intersección de este plano con el plano ecuatorial, es decir, es una plano con el plano ecuatorial, es decir, es una recta: esta es la imagen del circulo que pasa por el recta: esta es la imagen del circulo que pasa por el polo norte.(caso particular de los meridianos)polo norte.(caso particular de los meridianos)

¿Cómo lo veo analíticamente?¿Cómo lo veo analíticamente? Veamos la matemática de este problema, primero necesitamos expresar Veamos la matemática de este problema, primero necesitamos expresar

por medio de ecuaciones el hecho de que un circulo en la esfera es la por medio de ecuaciones el hecho de que un circulo en la esfera es la intersección de la esfera con algún plano: un punto (U,V,W) de este circulo intersección de la esfera con algún plano: un punto (U,V,W) de este circulo satisface dos ecuaciones:satisface dos ecuaciones:

en donde suponemos que y que P>=0; en donde suponemos que y que P>=0;

Donde son los cósenos directores de la normal al planoDonde son los cósenos directores de la normal al plano

y P es la distancia del origen al planoy P es la distancia del origen al plano

En este caso p<1 por que queremos que la esfera y el plano se intersecan. En este caso p<1 por que queremos que la esfera y el plano se intersecan.

Tenemos entonces queTenemos entonces que U=x(1-W) y V=y(1-W) ;U=x(1-W) y V=y(1-W) ;Y escribimos las ecuaciones anteriores de la forma: Y escribimos las ecuaciones anteriores de la forma:

(1) (λx+μy)(1-W)+νW=P(1) (λx+μy)(1-W)+νW=P

(2) (2) (1-w)(1-w)22(x(x22+y+y22)+W)+W22=1=1

Dividimos la segunda ecuación entre 1-W, y descartamos únicamente el polo norte Dividimos la segunda ecuación entre 1-W, y descartamos únicamente el polo norte W=1. y eliminando W se obtiene que la imagen del circulo en la esfera en el plano W=1. y eliminando W se obtiene que la imagen del circulo en la esfera en el plano x+iy:x+iy:

(3) (p-v)(x(3) (p-v)(x22+y+y22+1)=2(λx+μy-v)+1)=2(λx+μy-v)

Esta es la ecuación de un circulo si p es diferente de v, y es la ecuación de la línea recta si Esta es la ecuación de un circulo si p es diferente de v, y es la ecuación de la línea recta si p=vp=v

El significado del caso p=v se ve de la El significado del caso p=v se ve de la ecuacion del plano para este caso: ecuacion del plano para este caso:

λU + μV + v(1-W)=0λU + μV + v(1-W)=0

Este plano pasa por el polo norte (0,0,1), es Este plano pasa por el polo norte (0,0,1), es decir, determina un circulo que pasa por el decir, determina un circulo que pasa por el polo norte, y con esto vemos que la polo norte, y con esto vemos que la imagen de un circulo de esta clase es una imagen de un circulo de esta clase es una linea recta.linea recta.

Como vimos anteriormente un circulo Como vimos anteriormente un circulo en la esfera se aplica siempre sobre en la esfera se aplica siempre sobre un circulo en el plano, a menos que un circulo en el plano, a menos que el circulo pase por el polo norteel circulo pase por el polo norte

Si transformamos la ecuación (3)Si transformamos la ecuación (3)

De la forma:De la forma:

x

p

2

yp v

21 p2

p ( )2

De la ecuación anterior se ve que cuando (p-v) -> 0, De la ecuación anterior se ve que cuando (p-v) -> 0, el centro y el radio del circulo tienden ambos a el centro y el radio del circulo tienden ambos a infinito (p no puede tender a 1) y el circulo se infinito (p no puede tender a 1) y el circulo se convierte en una rectaconvierte en una recta

conviene imaginar las rectas como círculos de conviene imaginar las rectas como círculos de radio infinito, y tomando en cuenta esta radio infinito, y tomando en cuenta esta observación, se tiene la afirmación general: observación, se tiene la afirmación general:

La transformación estereográfica manda La transformación estereográfica manda

círculos en la esfera sobre círculos del planocírculos en la esfera sobre círculos del plano

Otra característica especial de la Otra característica especial de la proyección estereográfica es que se proyección estereográfica es que se preservan los ángulospreservan los ángulos

BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA Variable compleja Variable compleja autores: George Polyaautores: George Polya Gordon LattaGordon Latta Editorial Limusa primera edicion.Editorial Limusa primera edicion.

• Complex Variables: Introduction and Complex Variables: Introduction and ApplicationsApplications

autores: Mark J Ablowitzautores: Mark J Ablowitz Athanassios S FokasAthanassios S Fokas Editorial CUPEditorial CUP

Páginas de Internet utilizadas:Páginas de Internet utilizadas:

http://descartes.cnice.mecd.es/m_Gehttp://descartes.cnice.mecd.es/m_Geometria/proyeccion_estereografica/ometria/proyeccion_estereografica/

http://plata.uda.cl/minas/apuntes/geohttp://plata.uda.cl/minas/apuntes/geologia/Geoestructural/prak02.htmlogia/Geoestructural/prak02.htm

http://redescolar.ilce.edu.mx/http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/redescolar/act_permanentes/geografia/mapas/carac.htmgeografia/mapas/carac.htm

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P(U,V,W)

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V

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