metodos matematicos aplicados a la ingenieria

7/26/2019 Metodos matematicos aplicados a la ingenieria

1/34

Universidad de los Andes

Departamento de Fsica

Metodos Matematicos

Gabriel Tellez


2/34

ii

c2002 Gabriel Tellez Acosta.Todos los derechos reservados por el autor. Se autoriza el uso para estudiopersonal e individual. Toda otra utilizacion, en particular comercial, requiere laautorizacion escrita del autor. Prohibida la venta sin la autorizacion escrita delautor.


3/34

Indice general

Prefacio VII

I. Funciones de una variable compleja 1

1. Funciones analticas y funciones holomorfas . . . . . . . . . . . . 11.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Condiciones de CauchyRiemann . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Funciones trascendentales elementales. . . . . . . . . . . . 6

2. Representaciones geometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93. Integracion compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1. Integral de linea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2. Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4. Serie de Taylor y serie de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.1. Serie de Taylor, funciones enteras . . . . . . . . . . . . . . 184.2. Serie de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3. Ceros, polos y singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . 204.4. Prolongacion analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5. Teorema y calculo de residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.1. Teorema de los residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2. Calculo de residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3. Ejemplos y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6. Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

II. Distribuciones 371. La distribucion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.1. Un ejemplo sacado del electromagnetismo . . . . . . . . . 371.2. Primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.3. Secuencias de funciones convergiendo hacia (x) . . . . . 391.4. Primitivas y derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.5. Otras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432. La teora de las distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.1. Los espaciosD(R) yD(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2. Ejemplos de distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3. Operaciones enD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4. Otras distribuciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . 50

iii


4/34

iv INDICE GENERAL

2.5. Distribuciones enRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.6. Soporte de una distribucion . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3. Producto de convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1. Producto de convolucion de dos funciones . . . . . . . . . 553.2. Producto de convolucion de dos distribuciones . . . . . . 553.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.4. La distribucion (1/r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.5. Continuidad, regularizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.6. Asociatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.7. Algebras de convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.8. Aplicacion a la solucion de ecuaciones diferenciales. Fun-

ciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.9. Senales y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66


III.Series de Fourier 731. Introduccion historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732. Serie de Fourier de una funcion periodica . . . . . . . . . . . . . 76

2.1. Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.2. Convergencia para funciones de variacion acotada . . . . . 782.3. Coeficientes de las derivadas def . . . . . . . . . . . . . . 802.4. Ejemplos y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3. Convergencia enL2(T). Interpretacion geometrica. . . . . . . . . 823.1. Interludio: Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 823.2. Series de Fourier y el espacio L2(T) . . . . . . . . . . . . 86

4. Serie de Fourier de una distribucion periodica . . . . . . . . . . . 884.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.2. Distribuciones periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.3. Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.4. Convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90


IV.Transformada de Fourier 951. Introduccion: de la serie de Fourier a la transformada de Fourier 962. Definiciones y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.1. Transformada y cotransformada de Fourier . . . . . . . . 972.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3. Transformada de Fourier de distribuciones . . . . . . . . . . . . . 1013.1. El espacioS(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.2. El espacioS(R) de las distribuciones templadas . . . . 1023.3. Transformacion de Fourier de distribuciones templadas . . 1044. Propiedades y aplicaciones varias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.1. Formula de Plancherel-Parseval . . . . . . . . . . . . . . . 1064.2. Convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.3. Funciones y distribuciones periodi cas . . . . . . . . . . . . 107

5. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108


5/34

INDICE GENERAL v

5.1. Funciones y distribuciones radiales . . . . . . . . . . . . . 1106. Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

V. Transformada de Laplace 1191. Transformada de Laplace de funciones . . . . . . . . . . . . . . . 119

1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1191.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

2. Transformada de Laplace de distribuciones . . . . . . . . . . . . 1242.1. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.2. Tabla de transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . 125

3. Formula de inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254. Convolucion y aplicacion a ecuaciones diferenciales . . . . . . . . 1305. Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

VI.Ecuaciones diferenciales de la Fsica 135

1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1352. Algunos casos sin fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2.1. Ecuacion de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1372.2. Ecuacion de onda no homogenea . . . . . . . . . . . . . . 138

3. Separacion de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414. Funciones y polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.1. Ecuacion de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.2. Funcion generatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.3. Relaciones de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.4. Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.5. Funciones asociadas de Legendre . . . . . . . . . . . . . . 1524.6. Funciones esfericas armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5. Funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.1. Ecuacion de Laplace en coordenadas cilndricas . . . . . . 1565.2. Funcion generatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.3. Relaciones de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.4. Representacion integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.5. Comportamientos asintoticos . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.6. Ortogonalidad y series de FourierBessel . . . . . . . . . . 1615.7. Ejemplo de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.8. Transformada de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6. Funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.1. Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.2. Coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169


Apendice 175

Bibliografa 177

Smbolos utilizados 179


6/34

vi INDICE GENERAL

Indice alfabetico 183


7/34

Prefacio

Este libro nace de unas notas de clase del curso Metodos Matematicos

para estudiantes de la carrera de Fsica de la Universidad de los Andesque dicte en el segundo semestre del ano 2000 y en el primer semestre del ano2002. Este trata los conceptos basicos de matematicas que todo fsico debe co-nocer. Para abordar este libro el lector debe tener conocimientos elementales decalculo diferencial, integral y vectorial, as como nociones de algebra lineal co-rrespondientes a los cursos universitarios de primeros semestres de toda carreracientfica. El contenido de este libro esta orientado principalmente a estudiantesde pregrado en fsica aunque puede ser provechoso para estudiantes de otrascarreras cientficas como matematicos e ingenieros. A pesar de esta orientacionhacia la fsica se trato de mantener un cierto rigor matematico.

El libro esta dividido en seis captulos. Cada captulo presenta la teorailustrada con ejercicios, algunos de ellos resueltos, otros no. Al final de cadacaptulo hay ejercicios y problemas adicionales.

El primer captulo trata sobre funciones de variable compleja. No se trato depresentar un compendio sobre este vasto tema sino solo lo esencial. En particular

se da enfasis en las aplicaciones del teorema de residuos al calculo de integralesdefinidas. La principal bibliografa utilizada para esta parte es [Spi67, Arf66,But68, Kah91].

El segundo captulo trata sobre las distribuciones o funciones generalizadas.Se presentan primero de manera intuitiva con la distribucion de Dirac y luego sedan algunos elementos de la teora de Schwartz de las distribuciones, mostrandoas el fundamento matematico de esta herramienta. La principal referencia paraeste captulo es naturalmente el libro de Schwartz [Sch66] as como [Sch98,Kah91].

Los captulos III, IV y V tratan del analisis de Fourier y la transforma-da de Laplace. Aqu se abordan las nociones basicas de estas transformacionespara funciones y distribuciones as como sus aplicaciones. Se presentan algu-nos ejemplos de como aparece en fenomenos fsicos la transformada de Fourier,

por ejemplo en optica, pero tambien su utilidad como herramienta matematicapara resolver ecuaciones diferenciales. La bibliografa en este tema es amplia.Podemos citar [Arf66, Sne51, Kah91, Sch98, Spi70] entre otros.

El ultimo captulo aborda el tema de las ecuaciones diferenciales que mascomunmente aparecen en fsica. Es la ocasion para presentar en detalle el meto-do de las funciones de Green, y resolver la ecuaci on de Laplace en diferen-

vii


8/34

viii INDICE GENERAL

tes sistemas de coordenadas. Naturalmente se presenta entonces el estudio delas funciones especiales que aparecen en la solucion de la ecuacion de Lapla-

ce, a saber los polinomios y funciones asociadas de Legendre y las funcionesesfericas armonicas para los problemas con simetra esferica, y las funcionesde Bessel para los problemas con simetra cilndrica. Para las propiedades deestas funciones especiales el lector encontrara muy util consultar libros talescomo [GR94, Wat44, WW27].

Gabriel Tellez

Bogota, febrero 2003


9/34

Captulo I

Funciones de una variable

compleja

En este captulo estudiaremos las propiedades de las funciones de una

variable compleja con valores complejos. En particular nos interesa estu-diar las funciones derivables (tambien llamadas holomorfaso analticas). Estastienen una propiedad muy particular: una funcion de variable compleja deriva-ble una vez lo es automaticamente una infinidad de veces. Esto es algo nuevocon respecto a la funciones de una variable real en que una funcion puede serderivable una vez pero no dos o mas veces. Esta propiedad tiene consecuen-cias muy especiales, una de ellas se conoce como la f ormula de Cauchy que nospermitira entre otros calcular muchas integrales definidas muy facilmente.

1. Funciones analticas y funciones holomorfas

1.1. Definiciones

En todo este captulo, salvo mencion de lo contrario, f es una funcion deuna variable compleja que toma valores complejos:

f : C C (I-1.1)z f(z) .

Definicion I.1.1. La funcion f es analtica en z0 C si existe >0 tal quepara todoz que cumple|z z0| < tenemos

f(z) =

n=0

an(z z0)n , (I-1.2)

con (an) una secuencia de numeros complejos.Decimos quefes analtica en un abiertoGde C si es analtica en todo punto

de G.

1


10/34

2 CAPITULO I. FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA

En otras palabrasfes analtica enz0si posee un desarrollo en serie de Tayloren la vecindad dez0.

Definicion I.1.2. Una funcion f esholomorfa o derivable en z0 si f esta de-finida en la vecindad dez0 y el lmite

lmh0

f(z0+h) f(z0)h

def= f(z0) , (I-1.3)

existe.Decimos que fes holomorfa en un abierto G de C si es holomorfa en todo

punto de G.

Se trata de la misma definicion que para funciones de variable real. Pero hayque caer en cuenta de un punto importante: h es un numero complejo. El lmitedebe existir y ser unico independientemente de como h se acerque a cero. Esto

tendra consecuencias importantes como lo veremos en la siguiente secci on.Teorema I.1.1. Toda funcion analtica es holomorfa y recprocamente.

Es bastante evidente que toda funcion analtica es derivable. Si f(z) =n=0an(z z0)n entonces:

f(z0+h) f(z0)h

= 1

h

n=0

anhn a0

(I-1.4)

= a1+n=2

anhn1

h0

a1 .

Tenemos ademas f(z0) = a1.La recproca, toda funcion holomorfa es analtica, es tambien cierta (aunque

no es evidente). Veremos su demostracion mas adelante. Notemos que esto escompletamente nuevo y es una propiedad muy fuerte. Para las funciones de unavariable real esto no es cierto: una funcion de variable real puede ser derivablesin ser analtica.

Finalmente, para funciones de una variable compleja, los terminos holomorfay analtica son sinonimos.

Ejemplo I.1.1. La funcionf(z) = z es holomorfa en todo C. La funcionf(z) =z, en donde z es el complejo conjugado dez , no es derivable en ningun punto.

Ejercicio I.1.1. Mostrarlo.

Algunas propiedades bastante evidentes para mostrar que una funcion esderivable:

Teorema I.1.2.

1. La suma de dos funciones derivables es derivable.


11/34

1. FUNCIONES ANALITICAS Y FUNCIONES HOLOMORFAS 3

2. El producto de dos funciones derivables es derivable.

3. El cociente de dos funciones derivables es derivable si el denominador nose anula.

4. Si f y g son derivables entonces f g es derivable. f g(z) def= f(g(z)) y(f g)(z) = f(g(z))g(z). Es la regla de la cadena: dfdz = dfdg dgdz .

5. Si f es derivable y su derivadaf no se anula yfes uno-a-uno de un abiertoGhacia un abiertoH, entonces la funcion recprocaf1 que aplica de HhaciaG es derivable. Su derivada es: (f1)() = 1/f(f1()). O escritode otra forma: = f(z),z = f1(),f(z) = ddz y (f

1)() = dzd = 1/ddz .

Son las mismas propiedades basicas que para las funciones de una variablereal y se demuestran de la misma forma.

1.2. Condiciones de CauchyRiemann

Como mencionamos anteriormente el lmite (I-1.3) que define la derivadano debe depender de como h tiende hacia cero. Eso impone varias condicionessobre las derivadas parciales de la parte real e imaginaria de f con respecto ala parte real e imaginaria de z. Pongamos que z = x+ iy con (x, y) R2 yf(z) = u(x, y) + iv(x, y) con u y v parte real e imaginaria de f. Supongamosque f es holomorfa en z y que las derivadas parciales de u y v en z existan.Pongamos h = x +iy. Tenemos

f(z) = lmx0y0

u(x+x, y+y) u(x, y) +i (v(x+x, y+y) v(x, y))x+iy

.

(I-1.5)

Ahora escojamosy = 0 y miremos el lmite cuando x 0.f(z) = lm

x0

u(x+x, y) u(x, y) +i (v(x+x, y) v(x, y))x

f(z) = u

x+ i

v

x . (I-1.6)

De manera similar, tomando primero x= 0 podemos mostrar que

f(z) =v

y i u

y . (I-1.7)

Comparando las dos ecuaciones (I-1.6) y (I-1.7) deducimos las condiciones deCauchyRiemann:

vy

= ux

, (I-1.8a)

v

x = u

y. (I-1.8b)

Acabamos de demostrar que:


12/34


Teorema I.1.3. Si f es derivable y las derivadas parciales de u y v existenentonces se cumplen las condiciones de CauchyRiemann. En otras palabras las

condiciones de CauchyRiemann son una condicion necesaria para que f seaholomorfa.

Recprocamente, si las derivadas parciales de u y v son continuas, las con-diciones de CauchyRiemann son una condicion suficientepara quef sea holo-morfa.

Ejercicio I.1.2. Demostrar la recproca.

El siguiente ejercicio contiene varios resultados importantes. Antes es tal vezutil recordar la nocion de convergencia simple y convergencia uniforme.

Definicion I.1.3 (Convergencia simple). Una secuencia de funciones (fn)definidas en un conjunto X (de C o de R) converge simplemente hacia una

funcionfsi y solamente si para todo z X,lmn

fn(z) = f(z) . (I-1.9)

Definicion I.1.4 (Convergencia uniforme). Una secuencia de funciones (fn)converge uniformemente en un conjunto Xhacia una funcion fsi y solamentesi

lmn

supxX

|fn(x) f(x)| = 0 (I-1.10)

Ejercicio I.1.3. Sea f(z) =

n=0anzn una serie de potencias de z con radio

de convergenciaR.

1. Mostrar que la serie converge uniformemente dentro de todo disco de radio

r < R.

2. Mostrar que la serie de derivadas

n=0nanzn1 converge uniformemente

dentro de todo disco de radio r < R.

3. Mostrar quef es holomorfa dentro de su radio de convergencia.

4. Mostrar quefes derivable una infinidad de veces y que f(n)(0) =n! an.

Solucion.

1. Podemos usar el criterio de convergencia uniforme de Weierstrass que diceque si en un conjuntoR, existe una cota Mn para una secuencia un(z),

|un(z)

|< Mn para todo z

Ry queMn converge entoncesun(z)

converge uniformemente enR.Sea M tal que r < M < R. Tenemos

n |an|Mn


13/34


2. Primero probemos que la serie

nanz

n1 tiene mismo radio de conver-gencia R. Sea

|z

| < R y sea

|z0

| tal que

|z

| 0 tal que para todo n > N,|anzn0 | N, los terminos dela serie derivada|annzn1|< n|zn1|/|zn0 | = un. Pero vemos que la serie

unconverge pues lmnun+1/un= |z|/|z0| R, sea|z0| > |z|. Tenemos|annzn1| > |anzn|/|z0|ycomo la serie

|anzn| diverge entonces |nanzn1| diverge. Pero comotoda serie de potencias converge absolutamente dentro de su disco deconvergencia deducimos que

nanz

n1 diverge. El radio de convergenciade

annzn1 esR, el mismo que para

anz

n.

Aplicando los resultados del punto 1 para la serie

bnz

n con bn = (n+1) an+1 concluimos que la serie annzn1 es uniformemente convergentedentro de todo disco incluido en el disco de convergencia.

3. Por la convergencia uniforme de la serie de derivadas

nnanzn1 y con-

vergencia simple de la serie

anzn podemos intercambiar lmite y suma-

toria y deducir quefes derivable en todo punto z al interior del disco deconvergencia.

4. Ademas

f(z) =

n=1

annzn1 . (I-1.11)

Mas generalmente tenemos

f(p)(z) =

n=p

n(n

1)

(n

p+ 1)anz

np . (I-1.12)

De este resultado deducimos que f(p)(0) =p!ap.

Ejercicio I.1.4. Sea f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) una funcion compleja de dosvariables reales. Definimos las nuevas variablesz = x + iyy z = x iy. Podemosver af como una funcion de z y z, f(z, z).

1. Mostrar que

z =

1

2

x i

y

, (I-1.13a)

z =

1

2

x + i

y

, (I-1.13b)

x =

z+

z, (I-1.13c)

y = i

z i

z. (I-1.13d)


14/34


2. Mostrar que f es una funcion analtica (holomorfa) de la variable z si y

solamente si f

z= 0 y que ademasf(z) =

f

z.

3. De manera similar, mostrar quefes una funcion analtica (holomorfa) de

la variable z si y solamente si fz = 0 y que ademas

f(z) =fz . En este

caso decimos que fes una funcion anti-analticade la variable z .

Usaremos muy a menudo esas derivadas parciales. Algunas notaciones usuales:

z = =

z, (I-1.14a)

z = =

z. (I-1.14b)

Ejercicio I.1.5. Pongamos z = rei y sea f(z) = R(r, )ei(r,). Mostrar que

las condiciones de CauchyRiemann en coordenadas polares se escriben

R

r =

R

r

, (I-1.15a)

R

r = R

r . (I-1.15b)

Ejercicio I.1.6. Funciones armonicas.Decimos que una funcion es armonica en un abierto G si su laplaciano es

nulo en ese abierto. Sea f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) una funcion de dos variables.

1. Mostrar, usando las condiciones de CauchyRiemann, que si f es holo-morfa entonces u y v son armonicas.

2. Mostrar que el laplaciano

def=

2

x2+

2

y2 = 4

z

z. (I-1.16)

Y deducir usando los resultados del ejercicio I.1.4 otra demostracion parael punto 1.

Ejercicio I.1.7. Seau(x, y) = ex(x sin y y cos y).1. Mostrar queu es armonica.

2. Encontrar v tal que f(z) = u+iv sea analtica.

1.3. Funciones trascendentales elementales.

Definimos la funcion exponencial por la serie

ez def=

n=0

zn

n! , (I-1.17)


15/34


y las funciones trigonometricas e hiperbolicas

cos z def= eiz +eiz2

, sin z def= eiz eiz2i

, (I-1.18)

cosh z def=

ez +ez

2 , sinh z

def=

ez ez2

. (I-1.19)

La funcion exponencial tiene radio de convergencia infinito. Por los resultadosdel ejercicio I.1.3 deducimos que la funcion exponencial es analtica en todo C.

Ejercicio I.1.8. Mostrar usando la definicion (I-1.17) que (ez) =ez y deducirqueez+h =ezeh.

Ejercicio I.1.9. Mostrar que cos iz= cosh z, sin iz= i sinh z, cos z= cosh iz ysinh iz= i sin z. Encuentre unz tal que| cos z| >1.

La siguiente funcion a estudiar es la funcion logaritmo. Sin embargo su defi-nicion pone problemas porque la funcion exponencial es periodica en la direcciondel eje imaginario. Si = ez decimos que z es el logaritmo natural de . Pe-ro como ez+i2 = ez vemos que z + 2i tambien es el logaritmo de . Masgeneralmente todos los z +i2n con n Z son logaritmos de .

Esto nos lleva a introducir la nocion de funciones multivaluadas o multivocas.Estas funciones pueden tomar varios valores para un valor fijo del argumento.Esto por oposicion a las funciones unvocas que toman un solo valor.

Empezemos por poner por definicion ln 1 = 0. Para definir el logaritmo enotro puntoz empezamos en 1 y nos movemos por el plano complejo sin el origen,C\{0}, (puesto que el logaritmo de 0 no esta definido) hasta llegar az, pero conla convencion siguiente: si le damos una vuelta al origen en el sentido positivo novolvemos al punto 1 sino a un punto por encima de este (ei2) que tiene por

logaritmo 2i. Igualmente si damos la vuelta en el sentido negativo llegamos aun punto por debajo de 1 (e2i). Podramos seguir dando vueltas y cada vezllegar a un punto diferente e2in al dar |n| vueltas en el sentido positivo si n >0o negativo si n < 0. Este punto tiene logaritmo 2in. Hemos as definido unnuevo conjunto que puede visualizarse como una superficie en espiral, tambienllamada superficie de Riemann, y que se conoce como el recubrimiento universalde C\{0}. As encima y abajo de cada punto de C\{0} hay una infinidad depuntos que corresponden a hojas (hojas de Riemann) una encima de otra ypegadas.

Ejercicio I.1.10. Para tener una mejor idea del recubrimiento universal deC\{0} construya un modelo en papel de esta superficie.

Para calcular el logaritmo ln z hay que saber como se va de 1 hasta z (enespecial cuantas vueltas se dan alrededor del origen). El punto 0 centro de lahelice decimos que es un punto de ramificacion. En la practica lo mas sencilloes poner z =|z|ei en forma polar, con [0, 2[. Si no se ha dado ningunavuelta alrededor del origen entonces ln z = ln |z| +i. Si se han dado n vueltasalrededor del origen entonces ln z = ln |z| +i+i2n.


16/34


En ocasiones nos limitaremos a trabajar en una sola hoja de Riemann, convi-niendo que nunca daremos una vuelta alrededor del origen. Para esto escogemos

uncorteen el plano complejo (por ejemplo la media linea ], 0]) que no atra-vesaremos y consideraremos que la funcion logaritmo no esta definida ah. As lafuncion se vuelve unvoca y ademas holomorfa.

Ejercicio I.1.11. Calcular la derivada de ln z para z C\ ], 0].Podemos ahora definir la funcion potencia. Para cualquier a C, la funcion

potenciaa esta definida as: za def= ea ln z. Por la presencia del logaritmo en la de-

finicion, esta funcion es, en general, multivaluada y definida en el recubrimientouniversal de C\{0}. Pero hay casos particulares:

Sia es entero positivo, se trata de la funcion potencia usual:za =z z z(aveces) y es una funcion unvoca.

Si a = p/qes racional consideremos dos puntos uno encima de otro sepa-rados por qhojas de Riemann: z =|z|ei y z =|z|ei+2iq . Claramentetenemosz a =|z|aeip/q+2ip =za. No tiene utilidad distinguir la hoja 0y la hojaqpuesto que tienen mismas imagenes. As para definir la funcionpotencia nos podemos limitar a qhojas.

Ejemplo I.1.2. f(z) =

z = z1/2 esta definida sobre dos hojas de Riemann.

e0 = 1, f(e0) = e0/2 = 1 , (I-1.20a)

e2i, f(e2i) = ei = 1 , (I-1.20b)e4i, f(e4i) = e2i = 1 . (I-1.20c)

Podemos identificar los puntos e0 y e4i.

Tambien puede haber recubrimientos universales de cualquier abierto. Por ejem-plo para la funcion f(z) =

z z1z z2 tendramos dos puntos de ramifica-

cion y espirales de dos hojas alrededor de cada punto z1 y z2.

Ejemplo I.1.3.

a

c

b

El camino de la figura es cerrado en el recubrimiento universal de C\{b}pero no lo es para los recubrimientos universales de C

\{a

}, C

\{c

}, C

\{a,b,c

}.

Ejercicio I.1.12. Para la funcion f(z) =

z z1z z2 con z1= z2, cons-truya la superficie de Riemann sobre la cual esta definida. Muestre que con doscortes uno que empiece enz1 y vaya hacia el infinito y el otro enz2 y vaya haciael infinito sin cruzarse, la funcion f es unvoca. Muestre tambien que con unsolo corte [z1, z2] basta para que la funcion sea unvoca.


17/34

2. REPRESENTACIONES GEOMETRICAS 9

Ejercicio I.1.13. Funciones hiperbolicas y trigonometricas inversas.Mostrar que

sinh1 = ln

2 + 1

, (I-1.21a)

cosh1 = ln

2 1

, (I-1.21b)

tanh1 = 1

2ln

+ 1

1

. (I-1.21c)

Encontrar formulas similares para las funciones trigonometricas inversas.

2. Representaciones geometricas

Como es bien sabido un numero complejo z = x+iy puede representarse

en el plano por un vector r = (x, y). Usando las notaciones del ejercicio I.1.4podemos encontrar representaciones de los operadores diferenciales usuales enel plano en terminos de derivadas complejas.

Gradiente:Sea(x, y) una funcion escalar. El gradiente de es

F= =

x

y

, (I-2.1)

y se puede representar por la funcion compleja

F = x

+ i y

= 2 z

(I-2.2)

Recordemos queF es perpendicular a las curvas constante.

Divergencia: A todo campo vectorial A(r) = (Ax(r), Ay(r)) podemosasociar una funcion compleja A = Ax+ iAy. La divergencia es A =xAx+yAy. En terminos de la funcion complejaA se expresa as

A= e(2zA) = Az

+A

z . (I-2.3)

Rotacional: Trabajando en el plano el rotacional no es un vector sino un

(pseudo) escalar: Rot A = xAy yAx. Con complejos se representa asRotA = m(2zA) = 1

i

A

z

A

z

. (I-2.4)

Ejercicio I.2.1. Verificar las formulas anteriores.


18/34


3. Integracion compleja

3.1. Integral de linea

Sea un caminoC en el plano parametrizado por dos funciones (X(t), Y(t)).Es decir que un punto corrienteM(t) del camino tiene coordenadas (X(t), Y(t)).El parametro t [, ] y M() = A y M() = B son los extremos del camino.

A

B

M(t)=( X(t), Y(t) )

Para dos funciones P(x, y) y Q(x, y) podemos definir la integral de linea ointegral de caminoC

[P(x, y)dx+Q(x, y)dy]def=

[P(X(t), Y(t))X(t) +Q(X(t), Y(t))Y(t)] dt .

(I-3.1)Para una funcion f(z) de una variable compleja tambien podemos definir

una integral de linea. Supongamos que los puntos A y B estan representadospor los numeros complejos a y b, la integral de linea de f sobreC esta definidapor suma de Riemann

C

f(z) dz =

ba

f(z) dz def= lm

Nzk0

Nk=1

zkf(k) , (I-3.2)

en donde hemos dividido el caminoC en pequenos segmentos zk =zk zk1yk esta en el segmento [zk1, zk].

a=z0

b=zN

z1

z2

zk1

zk

zk

Si f(z) = u(x, y) +iv(x, y) la relacion entre las dos integrales de linea es

C

f(z)dz = C

(u+iv)(dx+idy)

=

C

(u dx v dy) +iC

(u dy+v dx) . (I-3.3)

Si el punto corriente M(t) de la curvaC esta representado por el numero com-plejo(t) (es decir que la curva esta parametrizada por la funcion compleja


19/34

3. INTEGRACION COMPLEJA 11

de una variable real t) entonces podemos calcular la integral de fpor la formula

C

f(z) dz =

f((t)) d(t) =

f((t))(t) dt . (I-3.4)

Esta es una de las formulas que mas usaremos para calcular integrales de lineacomplejas.

Ejemplo I.3.1. Sea la funcion f(z) = zn con n Z. Calculemos Cf(z) dzparaCun crculo de radio 1 centrado en 0. La curva se puede parametrizar conla funcion(t) = eit con t [0, 2]. Tenemos

C

zn dz =

20

(eit)n d(eit) =

20

eintieit dt

=

1n+1

ei(n+1)t

2

0 = 0, si n = 1

2i, si n =

1(I-3.5)

Teorema I.3.1. Si f(z) = F(z) en un abierto que contieneC entonces ba

f(z) dz= F(b) F(a). (I-3.6)

Notar que en este caso la integral no depende del camino, solamente de lospuntos inicial y final. Caso particular: si el camino es cerrado

Cf(z) dz= 0.

Demostracion. ba

F(z) dz=

F((t))(t) dt=

d

dt[F((t))]dt = F(a)F(b) . (I-3.7)

Con respecto al ejemplo I.3.1 podemos notar que si n = 1,zn = (zn+1/(n+1)) y se aplica el teorema I.3.1 que nos dice que la integral sobre un caminocerrado es cero. Pero para n = 1, 1/z = (ln z). La funcion logaritmo esta de-finida sobre el recubrimiento universal de C\{0} y el camino considerado en elejemplo I.3.1no es cerrado sobre esta superficie de Riemann: al dar una vueltallegamos a un punto sobre otra hoja de Riemann. De ah que el resultado de laintegral no sea necesariamente cero.

3.2. Teorema de Cauchy

Presentamos ahora un teorema muy importante del analisis complejo.

Teorema I.3.2 (Teorema de Cauchy). Si f es holomorfa en una region

abiertaR simplemente conexa entonces para todo camino cerradoC RC

f(z) dz = 0 . (I-3.8)

Si la region R es multiplemente conexa se aplica el teorema a todo caminoChomotopo a un punto.


20/34


Expliquemos primero la terminologa. Una region simplemente conexa esuna region en que todo camino cerrado de esta envuelve solo puntos de esta

region. Una region es multiplemente conexa si no es simplemente conexa. Porejemplo un disco es simplemente conexo mientras que un anillo es multiplementeconexo. El plano entero es simplemente conexo mientras que el plano sin unpunto es multiplemente conexo. Un camino cerrado homotopo a un punto esun camino que puede deformarse continuamente hasta volverse un punto. En lafigura siguiente el camino 1 es homotopo a un punto mientras que el camino 2no lo es.

Camino 1

Camino 2

Demostracion. Si suponemos ademas que las derivadas de u y v (parte real eimaginaria) defson continuas podemos demostrar facilmente el teorema usandola formula de Stokes

C

(P dx+Qdy) =

(xQ yP) dxdy . (I-3.9)

En efecto, tenemos

C

f(z) dz =

C

(udx vdy) +iC

(vdx+udy)

=

(xv+yu)dxdy+i

(xu yv)dxdy

= 0 . (I-3.10)

El paso a la segunda linea se hace usando la f ormula de Stokes y en el paso a laultima linea usamos las condiciones de CauchyRiemann (I-1.8).

Sin embargo la demostracion se puede hacer sin suponer que f

es continua.Esto es mas interesante puesto que veremos posteriormente que el teorema deCauchy implica que fes infintamente derivable (y en particularf continua).

Ejercicio I.3.1. Demostrar el teorema de Cauchy sin suponer quef es continuapara un camino triangular.


21/34


I

II

III IV

Solucion. Podemos descomponer el triangulo grande en cuatro triangulospequenos I, II, III y IV. Tenemos

f=I

f+II

f+III

f+IV

f

por lo tanto |

f| |I

f|+ |II

f|+ |III

f|+ |IV

f| 4|1

f| en donde1 es el triangulo pequeno en donde la integral es mayor en modulo. Repitiendo

el proceso n veces tenemos| f| 4n| n f|, para triangulos cada vez maspequenos que tienden hacia un punto z0.

Comofes derivable tenemos paraz cerca az0,f(z) = f(z0)+(zz0)f(z0)+(z z0)(z) = a + bz + (z z0)(z) con lmzz0(z) = 0 ya = f(z0) z0f(z0),b= f(z0) son constantes (no dependen de z). Ahora comoa + bz es la derivadadeaz + bz2/2 su integral en un camino cerrado es cero

n

(a + bz) dz = 0 segun

el teorema I.3.1. Queda pues| f| 4n| n (z)(z z0) dz|.LlamemosPel permetro de , claramente el permetro de nes P /2n. Por

otro lado lmzz0(z) = 0 quiere decir que para cualquier >0 existe >0 talque si|z z0| < entonces|(z)|< . Escojamos n suficientemente grande demanera que P /2n < . As tenemos|z z0| < P/2n y entonces se cumple que|(z)| < . Obtenemos

n

(z)(z z0)dz

n

|z z0||dz| P2n

P2n

=P2

4n . (I-3.11)

Finalmente

f

4nn

(z)(z z0)dz P2 . (I-3.12)

Y esto para cualquier >0, concluimos pues que

f= 0.

Algunas consecuencias directas del teorema de Cauchy. Si dos caminos C1yC2 son homotopos (es decir se pueden transformar continuamente el uno enel otro) entonces

C1

f(z) dz =C2

f(z) dz. Si f es holomorfa en todo el plano

complejo la integral

b

af(z)dz no depende del camino para ir de a a b.

Las integrales son iguales. Las integrales son diferentes

a

b

a

b


22/34


Ejercicio I.3.2. Mostrar explcitamente que la integral de una funcion holo-morfa es igual para los dos caminos mostrados a continuacion.

C

Como consecuencia del teorema de Cauchy podemos deducir una f ormulafundamental del analisis complejo conocida como formula de Cauchy.

Teorema I.3.3 (Formula de Cauchy). Seaf una funcion holomorfa en unabiertoG de C y sea z0

G. Sea un camino

C G que encierre el punto z0

dando una sola vuelta en el sentido positivo alrededor de este punto. Entonces

f(z0) = 1

2i

C

f(z)

z z0 dz . (I-3.13)

Demostracion. Notemos primero que la funcion f(z)/(z z0) es holomorfa enG excepto en el punto z0 en donde tiene un polo simple. Entonces el teoremade Cauchy no se aplica y la integral no es nula.

Sea un crculo centrado enz0 de radio suficientemente pequeno para que Gy que encierrez0en el sentido positivo. Los caminos y Cson homotopospor tanto

Cf(z)/(z z0)dz =

f(z)/(z z0)dz .

z0

C

Parametrizando por z = z0+eit cont [0, 2] tenemosC

f(z)

z z0 dz =

f(z)

z z0 dz

=

20

f(z0+eit)

eit ieitdt

= 20

if(z0+eit

)dt

0

2if(z0) . (I-3.14)

Como es arbitrario tomamos el lmite 0, de ah se deduce la formula deCauchy.


23/34


Armados de la formula de Cauchy podemos ahora por fin demostrar queanaltica y holomorfa son sinonimos.

Teorema I.3.4. Si f es holomorfa en G entonces f es analtica en G. Masprecisamente para todo z0 Gtenemos

f(z) =n=0

an(z z0)n , (I-3.15)

para todoz en un disco centrado en z0 y de radio igual a la distancia de z0 a lafrontera deG. Este disco se muestra en la figura.

z0

z

G

convergenciaDisco de

Ademas los coeficientes

an= 1

2i

f()

( z0)n+1 d , (I-3.16)

con Gun crculo centrado en z0, orientado en el sentido positivo, tal que zeste al interior del crculo.

z0

z

Demostracion. Tenemos z = z0+z0 z = ( z0)(1 zz0z0 ). Y como

|(z

z0)/(

z0)

|


24/34


Apliquemos ahora la formula de Cauchy

f(z) = 12i

f()d z

= 1

2i

f()n=0

(z z0)n( z0)n+1 dz . (I-3.18)

La integral y la sumatoria se pueden permutar porque la serie es uniformementeconvergente en todo disco de radio a centrado en z0 y dentro de . Ya que|z z0| a


25/34


Corolario I.3.4 (Teorema de dAlembert o Teorema fundamental delalgebra). Todo polinomio no constante P(z) admite por lo menos una raz en

C.

Demostracion. Si no fuese as la funcion 1/P(z) seria holomorfa en todo C,ademas es acotada puesto que lm|z|1/P(z) = 0, entonces por el teorema deLiouville es constante: contradiccion.

Corolario I.3.5. Todo polinomioP(z) de grado n se puede factorizar

P(z) = an

k=1

(z zk) . (I-3.23)

Ejercicio I.3.3. Seafanaltica en un abiertoGyz0 G. Mostrar quef(z0) esigual al promedio defsobre un crculo de centroz0 y radior arbitrario incluidoenG:

f(z0) = 12

2

0

f(z0+reit) dt (I-3.24)

Ejercicio I.3.4. Seafanaltica en un abiertoGque incluye 0. Sea Cun caminode G cerrado que encierra el origen 0 en el sentido positivo, empezando en unpunto z0 y volviendo a z0. Mostrar que

C

(ln z)f(z) dz = 2i (f(z0) f(0)) (I-3.25)

Indicacion. Integracion por partes.

La recproca del teorema de Cauchy es tambien cierta:

Teorema I.3.5 (Morera). Si f es continua en un abierto G simplemente

conexo y paratodacurva simple cerrada Cde Gtenemos Cf(z) dz = 0 entoncesfes analtica en G.

Demostracion. De la hipotesis que la integral sobre un camino cerrado es cerose deduce que la integral sobre un camino de extremos z0 y z no depende delcamino solo de los puntosz0y z. Paraz0fijo podemos entonces definir la funcionF(z) de la variable z

F(z) =

zz0

f() d . (I-3.26)

Probemos queF(z) = f(z), en otras palabras queFes una primitiva o integral(indefinida) de f. Tenemos

F(z+h) F(z)h

f(z) = 1

h

z

z0

f()d

z+h

z0

f()d f(z)=

1

h

z+hz

f()d f(z)

= 1

h

z+hz

(f() f(z))d . (I-3.27)


26/34


Por hipotesis todas estas integrales no dependen del camino. Escojamos en laultima integral un camino recto [z, z + h]. La continuidad de f nos dice que

para todo >0, existe >0 tal que si| z| < entonces|f(z) f()| .Escojamos ahorah tal que|h| < , entonces en la integral anterior los puntos zycumplen|z | |h| < yF(z+h) F(z)h f(z)

1|h| z+hz

|f() f(z)| |dz|

1|h||h| = . (I-3.28)

Queda pues demostrado que lmh0(F(z + h)F(z))/h= f(z) es decirF(z) =f(z).

Ademas mostramos queFes holomorfa y entonces analtica, por consecuen-ciaF =f tambien es analtica.


27/34



28/34



29/34

Bibliografa

[AF88] J. M. Arnaudies y H. Fraysse.Cours de Mathematiques - 2: Analyse.Dunod Universite, 1988.

[Arf66] George Arfken. Mathematical Methods for Physicists. Academic

Press, 1966. (document)

[But68] Eugene Butkov. Mathematical Physics. Addison-Wesley, 1968. (do-cument)

[BW64] Max Born y Emil Wolf. Principles of optics. Pergammon Press,Macmillian, 1964. IV.2.2

[CCTL77] Bernard Diu Claude Cohen-Tannoudji y Franck Laloe. MecaniqueQuantique. Hermann, 1977.

[GR94] Izrail Solomonovich Gradshteyn y Iosif Moiseevich Ryzhik. Tableof Integrals, Series, and Products. Academic Press, Quinta edicion,1994. (document)

[Jac99] John David Jackson. Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons,Inc., Tercera edicion, 1999.

[Kah91] Jean-Pierre Kahane. Mathematiques: Cours et Exercices. Orsay Pu-bLications Universitaires Scientifiques, 1991. (document)

[Sch66] Laurent Schwartz. Theorie des distributions. Hermann, 1966. (do-cument)

[Sch98] Laurent Schwartz. Methodes mathematiques pour les sciences physi-ques. Hermann, 1998. (document)

[Sne51] Ian N. Sneddon. Fourier Transforms. McGraw-Hill, 1951. (docu-ment)

[Spi67] Murray R. Spiegel. Variable Compleja. McGraw-Hill, 1967. (docu-ment)

[Spi70] Murray R. Spiegel. Transformadas de Laplace. McGraw-Hill, 1970.(document)

177


30/34

178 BIBLIOGRAFIA

[Wat44] G. N. Watson. A treatise on the theory of Bessel functions. Cam-bridge University Press, Segunda edicion, 1944. (document)

[WW27] E. T. Whittaker y G. N. Watson. A course of Modern Analisys.Cambridge University Press, Cuarta edicion, 1927. (document)


31/34

182 BIBLIOGRAFIA


32/34

Indice alfabetico

abscisa de sumabilidad, 120analtica

funcion, 1, 15expansion en producto infini-

to, 32

parte analtica de una serie deLaurent, 18

prolongacion, 2123armonica

funcion, 6

base hilberciana, 85Bessel

ecuacion diferencial de, 157ecuacion diferencial de mo-

dificada, 158funcion generatriz de las fun-

ciones de , 158

funciones de, 156funciones de esfericas, 173funciones de modificadas, 158

Bromwichintegral de, 126

Cauchycriterio de convergencia de, 145formula de, 14secuencia de, 83Teorema, 11

CauchyRiemanncondiciones de, 3

cero, 20completo

espacio, 83condiciones de frontera

de Dirichlet, 166convergencia

simple, 4uniforme, 4

convolucionde dos distribuciones, 55de dos funciones, 55

corte, 7criterio de convergencia

de Cauchy, 145de Raabe-Duhamel, 145uniforme de Weierstrass, 4

dAlembertteorema de, 16

deltadistribucion, 37secuencias, 39

desigualdadde Schwarz, 84

triangular, 84difusion

ecuacion de, 73, 114Dirac

distribucion de, 37Dirichlet

condiciones de frontera, 166divergencia, 9dual, 46

topologico, 46

enterafuncion, 18

esfericas armonicas, 153teorema de adicion, 169

espacio completo, 83espacio dual, 46espectroscopa, 116estados coherentes, 114

183


33/34

184 INDICE ALFABETICO

Eulerconstante de, 113, 161

exponencialfuncion, 6

formulade Plancherel-Parseval, 106de Rodrigues, 152sumatoria de Poisson, 108

Fouriercoeficientes de, 76cotransformada, 97series de, 73transformada, 26, 95, 97

Fourier-Besselserie de, 163

Frobeniusmetodo de, 144

funcion generatriz, 146, 158funciones esfericas armonicas, 153

teorema de adicion, 169funciones test, 45

Gammafuncion, 33

gaussianafuncion, 57, 102, 114

transformada de Fourier de una,102generatriz

funcion, 146, 158gradiente, 9Green

funcion de, 60, 64, 137, 166

Hankelfunciones de, 157funciones de esfericas, 173representacion integral de, 35,

36

transformada, 95, 165Hilbert

espacio de, 82hiperbolicas

funciones hiperbolicas, 7inversas, 9

holomorfafuncion, 1, 15, 120

homotopo, 12, 14, 19

ndicede una curva cerrada con res-

pecto a un punto, 23integral

de camino, 10de linea, 10de linea compleja, 10

integral de Bromwich, 126isometra, 85

Kronecker

smbolo de, 75

Laplaceecuacion de, 73transformada, 95, 119

laplaciano, 6en coordenadas esfericas, 59

Laurentserie de, 1820

parte analtica, 18parte principal, 18

Legendreecuacion de, 143

ecuacion de asociada, 143funcion de, 143funcion de asociada, 153funcion generatriz de las fun-

ciones de , 146Liouville

teorema de, 16

metodo de imagenes, 166Mellin

transformada, 95Morera

teorema de, 17

multivaluadasfunciones, 7

multivocasfunciones, 7

Neumann


34/34

INDICE ALFABETICO 185

funcion de, 157

ortogonalidadde funciones, 75

Parsevalformula de, 87

periodicadistribucion, 88funcion, 76

Plancheral-Parsevalformula de, 106

Poissonformula sumatoria de, 108

polo, 20potencia

funcion, 8producto escalar, 83producto tensorial

de distribuciones, 53de funciones, 53

puntoaislado, 22de acumulacion, 22

Raabe-Duhamelcriterio de convergencia de, 145

ramificacionpunto de, 7relacion de incertidumbre de Heisen-

berg, 113residuos

calculo de, 24definicion, 23teorema de los, 24

respuesta impulsional, 70, 131Riemann

funcion zeta de, 36hojas de, 7ramas de, 7

superficie de, 7Rodrigues

formula de, 152rotacional, 9

Schwartz, 37

Schwarzdesigualdad de, 84

secuencia de Cauchy, 83separacion de variables, 74singularidad, 20

esencial, 21soporte

de una distribucion, 54de una funcion, 45

Taylorserie de, 2, 18

teora analtica del calor, 73teorema de fundamental del algebra,

16

transformadade Fourier, 95de Fourier en coseno, 95de Fourier en seno, 95de Hankel, 95, 165de Laplace, 95, 119de Mellin, 95

transformada de Fourierde 1, 105de la distribucion de Dirac, 104

trigonometricasfunciones trigonometricas, 7

inversas, 9

unvocasfunciones, 7

Weierstrasscriterio de convergencia unifor-

me de, 4producto infinito de, 32

metodos matematicos aplicados a la ingenieria

Documents