matemÁticas aplicadas a las ciencias sociales 2º bac

MATEMÁTICAS

APLICADAS A LAS

CIENCIAS SOCIALES

2º BAC

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS

SOCIALES 2ºBAC

Guía de trabajo y ejercicios Página 1

BLOQUE I: ÁLGEBRA

TEMA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

GUÍA

1. ¿Qué es la solución de una ecuación lineal? ¿Qué es la solución

particular? ¿Qué es la solución general?

2. ¿Qué son los coeficientes? ¿Y los términos independientes? ¿Cómo se

denotan?

3. ¿Qué es un sistema de ecuaciones? ¿Cómo se resuelven?

4. ¿Qué es un sistema homogéneo?

5. ¿Qué tipo de ecuaciones lineales hay?

6. ¿Cuándo dos sistemas son equivalentes?

7. ¿Cómo se resuelven los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas?

8. ¿Cómo se resuelve un sistema por el Método de Gauss?

9. Interpretación geométrica de los diferentes tipos de sistemas.


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EJERCICIOS

1. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss y di de que tipo

son:

2. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss:


son:


son:

5. Clasifica los siguientes sistemas:

6. Un almacenista dispone de tres tipos de café: el A, de 9,80 €/kg; el B, de

8,75 €/kg, y el C, de 9,50 €/kg. Desea hacer una mezcla con los tres tipos

de 10,5 kg a 9,40 €/kg. ¿Cuántos kilos de cada tipo debe mezclar si tiene

que poner del tipo C el doble de lo que ponga del A y del B?

Sol: Debe mezclar 1,5 kg de A, 2 kg de B y 7 kg de C.


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7. Halla un número de tres cifras sabiendo que estas suman 9; que si al

número dado se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la

diferencia es 198, y que la cifra de las decenas es media aritmética de las

otras dos.

Sol: El número es el 432.

8. Dos amigos invierten 20 000 € cada uno. El primero coloca una cantidad A

al 4% de interés; una cantidad B, al 5%, y el resto, al 6%, ganando 1 050 €

de intereses. El otro invierte la misma cantidad A al 5%; la B, al 6%, y el

resto, al 4%, ganando 950 €. Determina las cantidades A, B y C.

Solución: A = 5000 €; B = 5000 €; C = 10000 €.

9. Una tienda ha vendido 600 ejemplares de un videojuego por un total de6

384 €. El precio original era de 12 €, pero también ha vendido copias

defectuosas con descuentos del 30% y del 40%.Sabiendo que el número de

copias defectuosas vendidas fue la mitad que elde copias en buen estado,

¿a cuántas copias se les aplicó el 30% de descuento?

Solución: El 30% de descuento se le aplicó a 120 copias.

10. Para fabricar collares con 50, 75 y 85 perlas, se utilizan en total 17 500

perlas y 240 cierres.

a) ¿Cuántos collares de cada tamaño se han de fabricar si se

desean tantos collares de tamaño mediano como la media

aritmética del número de collares grandes y pequeños?

b) Sin la condición anterior, ¿es posible fabricar el mismo número

de collares de cada tamaño?

Solución: a) Se fabricarán 60 collares pequeños, 80 medianos y 100

grandes. b) No es posible fabricar el mismo número de collares de cada

tamaño.

11. Se utilizan tres ingredientes, A, B y C, en la elaboración de tres tipos de

pizzas, P1, P2 y P3. La P1 se elabora con 1 unidad de A, 2 de B y 2 de C; la

P2 se elabora con 2 unidades de A, 1 de B y 1 de C; y la P3 se elabora con

2 unidades de A, 1 de B y 2 de C. El precio de venta es de 4,80 € por la P1,

4,10 € por la P2 y 4,90 € por la P3. Si el beneficio es de 1,60 € en cada

una, ¿cuánto cuesta cada unidad de A, B y C?

Solución: La unidad de A cuesta 0,6 €; la unidad de B, 0,5 €, y la unidad

de C, 0,8 €.


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12. Tres hermanos quieren reunir 26 euros para comprar un regalo a sus

padres. Después de una larga discusión han decidido que el mediano debe

poner el doble que el pequeño y el mayor debe poner dos terceras partes de

lo que ponga el mediano. ¿Cuánto debe poner cada uno?

13. En los tres cursos de una diplomatura hay matriculados un total de 350

alumnos. El número de matriculados en primer curso coincide con los de

segundo más el doble delos de tercero. Los alumnos matriculados en

segundo más el doble de los de primero superan en 250 al quíntuplo de los

tercero. Calcula el número de alumnos que hay matriculados en cada

curso.

14. Se han preparado dosis con dos tipos de complementos para los

astronautas de la nave Enterprise. Cada gramo de complemento A contiene

2 unidades de riboflavina, 3 de hierro y 2 de carbohidratos. Cada gramo de

complemento B contiene 2 unidades de riboflavina, 1 de hierro y 4 de

carbohidratos. Obtén el número de gramos del complemento A y del

complemento B necesario para producir exactamente una dosis de 12

unidades de riboflavina, 16 de hierro y 14 de carbohidratos.

15. Un pescadero compra un martes 96 kg de merluza y 130 kg de anchoas y

paga por ello 1 836 euros. El miércoles, debido a cierta crisis, el precio de la

merluza ha subido el 20 % y el de las anchoas el 30 %. Ese día compra 40

kg de merluza y 50 kg de anchoas y paga 918 euros. ¿Son los datos

anteriores suficientes para calcular el precio que tenían la merluza y las

anchoas el martes? Razona la respuesta.


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SELECTIVOS

PROBLEMA 1. Hemos invertido 4.000.000 ptas en acciones de las empresas A,

B y C. Después de un año, la empresa A repartió un beneficio del 6 %, la B del

8 % y la C del 10 %. En total recibimos 324.826 ptas.

a) Deducid razonadamente si se puede determinar o no lo que invertimos

en cada empresa.

b) Deducid razonadamente cuánto invertimos en cada empresa sabiendo

que en la empresa C invertimos el doble que en la empresa A.

Solución

a) no es posible determinar con exactitud y de manera única las cantidades

invertidas en A, B y C, sino expresar lo invertido en A y B en función de lo

invertido en C.

b) (241300, 3276100, 482600)

PROBLEMA 2. (Junio 2003) Cinco amigos salen a tomar cafés juntos. El primer

día tomaron 2 cafés, 2 cortados y un café con leche y debieron pagar 3 . Al día

siguiente tomaron un café un cortado y tres cafés con leche, por lo que pagaron

3,25 . El tercer día sólo acudieron cuatro de ellos y tomaron un café, dos

cortados y un café con leche, ascendiendo la cuenta a 2,45 . Calcular de forma

razonada el precio del café, del cortado y del café con leche.

Solución: El café vale 55 céntimos, el cortado 60 céntimos y el café con leche

70 céntimos.

PROBLEMA 3. (Junio 2004) Juan decide invertir una cantidad de 12000 en

bolsa, comprando acciones de tres empresas distintas, A, B y C. Invierte en A el

doble que en B y C juntas. Transcurrido un año, las acciones de la empresa A

se han revalorizado un 4 %, las de B un 5 % y las de C han perdido un 2 % de

su valor original. Como resultado de todo ello, Juan ha obtenido un beneficio

de 432,5 . Determinar cuánto invirtió Juan en cada una de las empresas.

Solución: (8000, 2750, 1250)

PROBLEMA 4. Elena, Pedro y Juan colocan diariamente hojas de propaganda

sobre los parabrisas de los coches aparcados en la calle. Pedro reparte siempre

el 20 % del total de propaganda, Juan reparte 100 hojas más que Elena y entre

Pedro y Elena colocan 850 hojas en los parabrisas. Plantear un sistema de

ecuaciones que permita averiguar cuántas hojas reparten, respectivamente,

Elena, Pedro y Juan y calcular estos valores.


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Solución: Elena coloca 550 hojas, Pedro 300 y Juan 650.

PROBLEMA 5. (2006) Tres constructoras invierten en la compra de terrenos de

la siguiente forma: la primera invirtió medio millón de euros en terreno urbano,

250.000 euros en terreno industrial y 250.000 euros en terreno rústico. La

segunda, invirtió 125.000, 250.000 y 125.000 euros en terreno urbano,

industrial y rústico, respectivamente, y la tercera, 100.000, 100.000 y 200.000

euros en estos mismos tipos de terreno, respectivamente. Transcurrido un año,

venden todos los terrenos. La rentabilidad que obtiene la primera constructora

es del 13,75%, la de la segunda del 11,25 % y, finalmente, la de la tercera es del

10 %. Determina la rentabilidad de cada uno de los tipos de terreno por

separado.

Solución: x=20%, y=10%, z=5%.

PROBLEMA 6 (2007). Los tres modelos existentes de una marca de automóviles

cuestan 12.000, 15.000 y 22.000 €, respectivamente. Un concesionario ha

ingresado 1.265.000 € por la venta de esta marca. ¿Cuántos coches ha vendido

de cada modelo si del más barato se vendieron tantos como de los otros dos

juntos y del más caro la tercer aparte de los coches que cuestan 15.000 €?

Solución: (44, 33, 11)

PROBLEMA 7 (2004): Dos hijos deciden hacer un regalo de 100 € a su madre.

Como no tienen suficiente dinero, cuentan con la ayuda de su padre, decidiendo

pagar el regalo de la siguiente forma: el padre paga el triple de lo que pagan los

dos hijos juntos y, por cada 2 € que paga el hermano menor, el mayor paga 3 €

¿Cuánto dinero ha de poner cada uno? Solución: (15, 10, 75)

PROBLEMA 8. Una persona adquirió en el mercado cierta cantidad de unidades

de memoria externa, de lectores de libros electrónicos y de tabletas gráficas a

un precio de 100, 120 y 150 euros la unidad, respectivamente. El importe total

de la compra fue de 1160 euros y el número total de unidades adquiridas 9.

Además, compró una unidad más de tabletas gráficas que de lectores de libros

electrónicos. ¿Cuántas unidades adquirió de cada producto?

Solución: Adquirió 2 unidades de memoria externa, 3 libros electrónicos y 4

tabletas gráficas.


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TEMA 2: MATRICES

GUÍA

1. ¿Qué es una matriz de números reales? ¿Para qué sirve?

2. ¿Qué es orden o dimensión de una matriz?

3. ¿Cómo se nombra a un elemento cualquiera de una matriz?

4. ¿Cuándo dos matrices son iguales?

5. Define y pon ejemplos de :

a) Matriz fila

b) Columna

c) Cuadrada

d) Opuesta de A

e) Traspuesta de A

f) Diagonal principal

g) Diagonal secundaria

h) Triangular superior

i) Triangular inferior

j) Diagonal

k) Simétrica

l) Identidad

m) Nula

6. ¿Cómo se suman dos matrices? ¿Qué condición tienen que tener para

que se puedan sumar? Ejemplo.

7. ¿Qué propiedades tiene la suma de matrices?

8. ¿Cómo se multiplica una matriz por un número? Ejemplo. ¿Se puede

hacer siempre esta operación? ¿Qué propiedades tiene?

9. ¿Cómo se multiplican dos matrices? Ejemplo. Explica el proceso. ¿Esta

operación se puede hacer siempre?

10. ¿Qué propiedades tiene la multiplicación de dos matrices?

11. ¿Cómo se eleva una matriz a una potencia? ¿Se puede siempre?

12. ¿Qué es la matriz inversa de otra dada? ¿Cómo se obtiene? Pon un

ejemplo.

13. Ecuaciones y sistemas matriciales.


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EJERCICIOS

1. Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta:

A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas.

B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas.

C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas.

Expresa matricialmente la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que

quiere comprar cada persona (A, B, C)

2. Calcula los valores de x, y, z para que las matrices

−+

+−

422 xx

zyyx y

67

18

sean iguales.

3. Escribe una matriz en los casos:

a) Nula de orden 3x2.

b) Cuadrada de orden 3.

c) Diagonal de orden 2.

d) Identidad de orden 4.

e) Fila de orden 2.

f) Columna de orden 4.

g) Simétrica de orden 2.

4. Responde a las siguientes cuestiones

a) ¿Cuál es la traspuesta de una matriz fila?

b) ¿Cuál es la traspuesta de una matriz columna?

c) Las matrices diagonales, ¿son simétricas?

5. Dadas las matrices

−

−=

2

4

5

3

0

1A ,

−

−−=

3

6

0

2

1

7B y

−

−−

−=

6

2

3

4

1

1C

, calcula -B + (C - A)

6. Sean las matrices:


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Calcula E = 2A – 3B + C – 2D.

Solución:

E=

7. Efectúa todos los posibles productos entre las siguientes matrices:

Solución:

8. Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices o averigua que no

la tiene:

Solución: a) b) c) No

tiene.


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9. Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices o averigua que no

la tiene:

Solución:

a) b) c)

No tiene.

10. Efectúa las siguientes operaciones con las matrices dadas:

A= B= C=

a) (A · B) + (A · C)

b) (A – B) · C

c) A · B · C

Solución:

a) b) c)

.

11. Dada la matriz A =

10

21 , comprueba que (A – I )2= 0.

12. Halla la matriz X en cada una de las siguientes ecuaciones:


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a) A2X – B = AX, siendo:

b) ABX = , siendo:

Solución:

a) b)

13. En un edificio hay tres tipos de viviendas: L3, L4 y L5. Las viviendas L3

tienen 4 ventanas pequeñas y 3 grandes; las L4 tienen 5 ventanas

pequeñas y 4 grandes, y las L5, 6 pequeñas y 5 grandes. Cada ventana

pequeña tiene 2 cristales y 4 bisagras, y las grandes, 4 cristales y 6

bisagras.

a) Escribe una matriz que describa el número y el tamaño de las

ventanas de cada vivienda y otra que exprese el número de cristales

y bisagras de cada tipo de ventana.

b) Calcula la matriz que expresa el número de cristales y de bisagras

de cada tipo de vivienda.

Solución:

a) b)


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14. Un industrial fabrica dos tipos de bombillas: transparentes (T) y opacas

(O). De cada tipo se hacen cuatro modelos: M1, M2, M3 y M4.

Esta tabla muestra la producción semanal de bombillas de cada tipo y modelo.

El porcentaje de bombillas defectuosas es el 2% en el modelo M1, el 5% en el

M2, el 8% en el M3 y el 10% en el M4.

Calcula la matriz que expresa el número de bombillas transparentes y opacas,

buenas y defectuosas, que se producen.

Solución:

15. Calcula la matriz M = P2– 3P – 2I, siendo I la matriz identidad de orden 2 y

Solución:

16. Calcula:

a) La inversa de la matriz A:

b) La matriz X que verifica XA = B, siendo A la matriz anterior y B = (1 –

1 0).

Siendo


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Solución:

a) b)

17. Determina a y b de forma que la matriz A = verifique A2= A.

Solución: a = 2 y b = –1.

18. Obtener de forma razonada la matriz X que verifique AX=2B-C, siendo:

𝐴 = (2 1

−5 0); 𝐵 = (

3 −4−1 1

) ; C=(−2 −713 2

)

19. Dadas las matrices A y B tales que:

• A tiene cuatro filas y una columna y el único elemento distinto de 0 es a

21 = 1.

• B tiene cuatro columnas y una fila y el único elemento distinto de 0 es b

12 = 1.

Calcula A·B y B·A.

20. Tenemos las matrices cuadradas reales de orden 2, y

. Calcula:

a) La matriz P-1

b) La matriz real cuadrada X de orden 2, tal que P-1XP=Q

c) La matriz (PQP-1)2

21. Sean I y A las matrices cuadradas siguientes: , .

Se pide calcular, escribiendo explícitamente, las operaciones necesarias:

a) Las matrices A2 y A3

b) Los números reales y para los que se verifica

=

32

21P

=

30

02Q

1 0

0 1I

=

17 29

10 17A

=

− −

3( )I A I A + = +


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22. Dadas las matrices , , , y ,

calcular razonadamente la matriz que satisface la ecuación

, donde significa la matriz transpuesta de la

matriz M

23. Dadas las matrices reales:

se pide:

a) Calcular la matriz M =A-2BC

b) Calcula la matriz D-1 inversa de D y calcular tal matriz

c) Calcular las matrices X, Y que cumplen DX=M=YD

24. Encuentra dos matrices X e Y que verifiquen:

Solución:

25. Halla las matrices X e Y que verifican el sistema:

Solución:

1

2

3

A

=

7

2

2

B

= −

0 0 0

0 1 0

0 0 1

C

=

0

2

2

D

=

2

5

3

E

=

x

X y

z

=

( ) ( )t tAB C X A D E+ = tM

=

−

−

=

−

−=

=

21

73

41

23

12

232

111

49

85DCBA


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26. Halla dos matrices A y B tales que:

Solución:


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SELECTIVOS

1. Obtener de forma razonada la matriz X que verifica AX=2B-C, siendo:

2. Calcular el vector X=

z

y

x

que verifique AX+B=C, siendo A=

356

024

001

B=

2

7

3

y C=

9

8

4

3. Resolver la ecuación matricial: AB + CX = D, siendo:

−

−=

511

102A

−=

=

−

=178

39-D

43

21C

21

10

03

B

4. En la tabla siguiente se indica la audiencia prevista (en miles de

espectadores), por tres cadenas de T.V. (A, B, y C), en determinada semana y en

cada uno de los tres segmentos horarios (mañana, tarde y noche):

A B C

Maña

na

40 60 150

Tarde 60 50 20

Noche 150 90 70

Sin embargo como consecuencia de la calidad de los programas emitidos, se

ha producido en la audiencia prevista (en todos los segmentos horarios), una

reducción del 10% en la cadena A, un 5% en la cadena B, y un aumento del

20% en la cadena C.

a) Obtener la matriz que expresa la audiencia real obtenida por dichas cadenas de

T.V.

b) Sabiendo que el beneficio por espectador es de 5€ por la mañana, 6€ por la

tarde y 9€ por la noche, obtener los beneficios por cada una de las tres cadenas.

−−=

−

−=

−=

213

72

11

43

05

12CBA


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c)

5. En una academia de idiomas se imparte inglés y alemán en cuatro niveles y

dos modalidades: grupos normales y grupos reducidos. La matriz

=

60100

130210

80120

160130

A

expresa el número de personas de cada grupo, donde la primera columna

corresponde a los cursos de inglés, la segunda a los de alemán y las filas, a los

niveles primero, segundo, tercero y cuarto, respectivamente. Las columnas de

la matriz

=

25.06.075.08.0

75.04.025.02.0B

reflejan el porcentaje de estudiantes (común para ambos idiomas) que siguen

curso reducido (primera fila) y curso normal (segunda fila) para cada uno de los

niveles.

a) Obtener la matriz que proporciona el número de estudiantes por modalidad e

idioma.

b) Sabiendo que la academia cobra 20€ por persona en grupos reducidos y 15€

por persona en grupo normal, hallar la cantidad ingresada en cada uno de los

idiomas.


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TEMA 3: DETERMINANTES

GUÍA

1. ¿Qué es un determinante de una matriz cuadrada?

2. ¿Cómo se calcula un determinante de orden 2? Ejemplo.

3. ¿Cómo se calcula un determinante de orden3? Ejemplo.

4. ¿Cuándo una matriz es regular?

5. Enuncia y pon ejemplo de cada una de las 9 propiedades que tienen los

determinantes.

6. Define matriz complementaria de un elemento aij. Ejemplo

7. Define menor complementario de un elemento aij. Ejemplo.

8. Define adjunto de un elemento aij. Ejemplo.

9. Define matriz adjunta.

10. Explica cómo se calcula un determinante por desarrollándolo por los

elementos de una fila o columna. Ejemplo.

11. Calculo de la matriz inversa por determinantes. Ejemplo.

12. ¿Toda matriz tiene inversa? ¿De qué depende? Ejemplo.

13. ¿Qué es rango de una matriz? Ejemplo.

14. ¿Qué es menor de orden p de una matriz? Ejemplo

15. ¿Cuándo dos filas son linealmente independientes?

16. ¿Cuándo tres filas son linealmente independientes? ¿Tiene que ver esto

con alguna propiedad de los determinantes?

17. ¿Cómo se estudia del rango de una matriz? Ejemplo


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EJERCICIOS

1. Calcula el valor de estos determinantes:

Solución: a) 17 b)0, porque la 2.afila es proporcional a la 1.a.c)0, porque

la 2.afila solo tiene ceros.d) –14

2. Calcula:

Solución: a)a·d– b·c. b) a2· b2(b– a). c) y d) 0

3. Calcula los siguientes determinantes:

Solución: a) -114 b) 3

4. Halla el valor de estos determinantes:

Solución: a) 14 b) 1000

5. Justifica, sin desarrollar, estas igualdades:


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Solución: a)Tiene una fila de ceros. b)La 3.afila es proporcional a la 1.c)La 3.afila

combinación lineal de las dos primeras. d)La 1.afila es combinación lineal

de las otras dos.

6. Teniendo en cuenta el resultado del determinante que se da, calcula el resto

sin desarrollar:

Solución: a) 3, b)1, c)1.

7. Sabiendo que dc

ba= 7, justifica las siguientes igualdades, citando en cada

caso las propiedades que has aplicado:

Solución: a) Si a una columna de una matriz se le suma la otra columna

multiplicada por un número, el determinante queda multiplicado por ese

número. b) Si multiplicamos cada elemento de una columna por un

número, el determinante queda multiplicado por ese número. c) Si

permutamos las dos columnas, el determinante cambia de signo. d) Si una

fila es suma de dos, el determinante puede descomponerse en suma de

dos determinantes.

8. Si qp

nm= –5, ¿cuál es el valor de cada uno de estos determinantes?:

Solución: a) -5; b) 5; c) -15; d) 10; e) -5.


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9. Calcula el valor de estos determinantes:

Solución: a) 0; b) 0; c) -25; d) 10.

10. ¿Qué valor de a anula estos determinantes?:

Solución: a) 1; b) 1 y -3; c) 33 −y ; d) 2 y -3.

11. Halla dos menores de orden dos y otros dos menores de orden tres de la

matriz M.

12. Halla el menor complementario y el adjunto de los elementos a12, a33y a43de

la matriz:

Solución: a12= –2; A12 = 2; a33= 108; A33= 108; a43= 16; A43= –16

13. Calcula el siguiente determinante aplicando la regla de Sarrus y

desarrollándolo por cada una de sus filas y cada una de sus columnas:


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Comprueba que se obtiene el mismo resultado en los siete casos.

Solución: 456.

14. Calcula los siguientes determinantes:

Solución: a) 2030, b) 0

15. Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices:

Solución:

16. Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices:

Solución:

17. Calcula la matriz inversa de las siguientes matrices y comprueba el

resultado:


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Solución:

a) b) c) d)

18. Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales:

Solución:

a) b)

19. Calcula la inversa de las siguientes matrices:

Después, resuelve estas ecuaciones: a) AX= B b) XB= A

Solución:

a) b)

20. Dadas A= y B= :

a) Halla A–1y B–1.

b) Halla la matriz inversa de A·B.

c) Comprueba que (AB)–1= B–1· A–1.

Solución: a)


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b)

21. Dada A= , determina la matriz B que verifica B– I= AtA–1.

Solución:

22. Sea A= .

a) Halla los valores de x para los que A tiene inversa.

b) Calcula, si es posible, A–1para x= 2.

Solución: a) x distinto de 0; b)

23. Dadas las matrices:

halla la matriz X que verifica AB + CX = D.

Solución:

24. Halla X tal que 3AX= B, siendo:


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Solución:

25. Resuelve la ecuación AXB= C siendo:

Solución: X=

−

−

11

11

26. Dada A =

21

32 , halla una matriz X tal que AXA =

32

11

Solución: X=

−−

11

21

27. Determina si las siguientes ecuaciones tienen solución y hállala si es

posible:

Solución: a) No tiene solución;

b)

28. Resuelve esta ecuación:

Solución: x= 1, y= –1, z= 1.


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29. Resuelve la ecuación siguiente:

Solución:

30. a) ¿Qué condición debe cumplir una matriz cuadrada para tener inversa?

b) ¿Existe algún valor de a para el cual la matriz

−

a

aa

1

22

no tenga inversa?

Solución: a) La condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada

A tenga inversa es que su determinante sea distinto de cero; b) No existe

ningún valor de apara el que la matriz dada no tenga inversa.

31. Sean A y B inversas una de otra. Si |A|= 4, ¿cuánto vale |B|?

Solución: ¼

32. Halla, en cada caso, la matriz X que verifica la igualdad:

a) A–1XA= B

b) (A+X)B= I, siendo

Solución: a) X=

−− 76

119; X=

−−

3

4

3

43

2

3

8

.

33. Para cada terna de números reales (x, y, z), se consideran las matrices:

−

−=

−=

12

11

12

,

553

111

z

y

x

B

zyx

A

a) Calcular los determinantes de las matrices A y B. (1 punto)

b) Para x = y = z = 1, calcular el determinante de la matriz producto AB.

(0,3 puntos)

c) Obtener, razonadamente, para qué valores de x, y, z, ninguna de las

matrices A y B tiene inversa. (2 puntos)

34. Obtener la matriz X que verifica AX-B=3X, siendo:


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35. Calcular la matriz que verifica la ecuación matricial

, siendo:

36. Se dan las matrices

y M, donde M es una matriz de dos filas y dos columnas que verifican que M2=M.

37. Obtener razonadamente:

a) Todos los valores reales k para los que la matriz B = A – k I tiene

inversa. (2 puntos)

b) La matriz inversa B-1 cuando k = 3. (2 puntos)

c) Las constantes reales α y β para las que se verifica que

(4 puntos).

d) Comprobar razonadamente que la matriz P = I – M cumple las

relaciones: P2 = P y M P = P M. (2 puntos, repartidos en 1 punto por

cada igualdad)

38. Se dan las matrices

y T, y se sabe que T es una matriz cuadrada de 3 filas y

tres columnas cuyo determinante vale .

39. Calcular razonadamente los determinantes de las siguientes matrices,

indicando explícitamente las propiedades utilizadas en su cálculo:

a)

.

(3 puntos)

32 1 2

A301 B 1

213 1

− − = =−

0

a bX

c

= AXB C=

10 12 12,

11 13 38A B yC

−− = = =

−− −−

=

−=

10

01I

31

20A ,

I2AA2 −=+

−

=

112

112

121

M

2

T2

1


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b) M4. (3 puntos)

c) T M3 T-1. (4 puntos)

40. Dadas las matrices cuadradas

a) Calcular las matrices (A – I )2 y A ( A – 2 I ). (4 puntos)

b) Justificar razonadamente que

b.1) Existen las matrices inversas de las matrices A y A – 2 I. (2 puntos)

b.2) No existe la matriz inversa de la matriz A – I. (2 puntos)

c) Determinar el valor del parámetro real λ para el que se verifica que

A-1 = λ (A – 2 I). (2 puntos)

41. Dadas las matrices

se pide:

a) Obtener razonadamente el valor de x para que el determinante de la

matriz A(x) sea 6. (4 puntos)

b) Calcular razonadamente el determinante de la matriz 2A(x). (2

puntos)

c) Demostrar que la matriz B(y) no tiene matriz inversa para ningún

valor real de y. (4 puntos)

42. Dada la matriz

, se pide:

a) Calcular, en función de α, el determinante de la matriz A(α),

escribiendo los cálculos necesarios. (1,3 puntos).

b) Determinar, razonadamente, los números reales α para los que el

determinante de la matriz inversa de A(α) es igual a 1/66. (2 puntos).

−−−

=

=

233

232

112

100

010

001

AyI

+

+

+

=

+

+

+

=

183

262

341

)(

283

262

342

)(

y

y

y

yBy

x

x

x

xA

−

−

=

6

234

221

)(

A


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SELECTIVOS

PROBLEMA 1. (Junio 2007) Dada la matriz , calcula ,

siendo At y A-1 las matrices traspuesta e inversa de A respectivamente.

PROBLEMA 2. (Junio 2003) Dada la siguiente ecuación matricial:

Obtener de forma razonada los valores de x, y, z.

Solución: (-2, 1, -2)

PROBLEMA 3. (Septiembre 2005) Calcular la matriz que verifica la

ecuación matricial , siendo:

Solución:

PROBLEMA 4. (septiembre 2002) Obtener de forma razonada la matriz X que

verifica AX=2B-C, siendo:

PROBLEMA 5. (Septiembre 2004) Obtener la matriz X que verifica AX-B=3X,

siendo:

1 2

1 3A

=

− 15tA A A− −

−

=

+

−

−

3

6

10

z

y

x

y

x

10

12

23

0

a bX

c

=

AXB C=

1 0 1 2 1 2,

1 1 1 3 3 8A B y C

− − = = =

− − − −

1 11 0 1 2 3 2 1 2 3 2 1 0

1 1 3 8 1 1 2 6 1 1 0 2X A CB− −

− − − − − = = = =

− − − − − − − − −

−−=

−

−=

−=

213

72

11

43

05

12CBA

3 2 1 2

A 3 0 1 B 1

2 1 3 1

− −

= = −


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Solución:

PROBLEMA 6. (Junio 2004) Dadas las matrices:

Calcular la matriz X que verifica la ecuación AXB=2C.

PROBLEMA 7. (Septiembre 2006) Dadas las matrices:

Calcular la matriz X que verifica la ecuación AXB=2C.

1

1 1 1 2 2 2 /51 1

X (A 3I) B 2 2 3 1 9 9 /55 5

9 4 6 1 28 28 /5

−

− − − − − −

= − = − − = − − = − −

4 0 1 2 2 0A B C

1 1 2 0 1 2

− − = = =

−

4 0 1 2 2 0A B C

1 1 2 0 1 2

− − = = =

−


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TEMA 4: RESOLVER SISTEMAS POR EL MÉTODO DE CRAMER

GUÍA

1. ¿Qué es la regla de Cramer? ¿Para qué sirve? ¿Se puede utilizar siempre?

Ejemplo.

2. Clasificación de los sistemas lineales.


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EJERCICIOS

1. Resuelve los sistemas por el método de Gauss y di que tipo de sistema es:

a)

=+−

=−+−

=++

2z5y3x5

3z3y2x

3z4yx3

b)

=+−

=−+

=++

02

4

02

zyx

zyx

zyx

c)

=+

−=++

=+

1y3x2

1z2yx

0z2x

d)

−=++

−=+−

=−+

1z3yx2

4zyx

9zy2x

e)

=+−

−=−+

=−−

62

423

02

zyx

zyx

zyx

f)

=−+−

=−+

=+−

02

23

622

zyx

zyx

zyx

2. Resuelve mediante la regla de Cramer:

Solución: a) x= 7, y= 2, z= –5; b) x= 5, y= 0, z= 3.

3. Resuelve mediante la regla de Cramer:

Solución: a) x= 5, y= 0, z= –2; b) No tiene solución, el sistema es incompatible.

4. Estudia y resuelve estos sistemas, cuando sea posible, aplicando la regla de

Cramer:

Solución: a) (-1/3, 2/3, 1/3). b) El sistema es incompatible. c) (–1 – , , 1 –

) . d) x= 2, y= 3, z= 4.


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5. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

Solución: a) El sistema es compatible indeterminado, x= 1 + , y= 7 , z=

2 ; b) El sistema es incompatible.

6. Discute que tipo de sistema es (según el rango) y resuelve los sistemas:

Solución: a) El sistema es compatible determinado. x= 1, y= 2, z= 3; b) El

sistema es incompatible.

7. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

Solución: a) x= – , y= –2 , z= . b) x= , y= – l, z= 0, t= 2 .

8. Estudia y, cuando sea posible, resuelve:

Solución: a) El sistema es compatible determinado. x= 1, y= –5. b) El sistema

es incompatible.

9. Estudia y resuelve los siguientes sistemas:

Solución: a) El sistema es compatible indeterminado, x= 1 – , y= –1 –7 , z=

3 . b) El sistema es compatible determinado, x= 3, y= –2, z= 1.


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SELECTIVOS

PROBLEMA 1. (Junio 2007) Los tres modelos existentes de una marca de

automóviles cuestan 12.000, 15.000 y 22.000 €, respectivamente. Un

concesionario ha ingresado 1.265.000 € por la venta de esta marca. ¿Cuántos

coches ha vendido de cada modelo si del más barato se vendieron tantos como

de los otros dos juntos y del más caro la tercer aparte de los coches que cuestan

15.000 €?

Solución: (44, 33, 11)

PROBLEMA 2. (Junio 2002)Un tren transporta 500 viajeros y la recaudación

del importe de los billetes de ellos asciende a 2115 euros. Calcular, de forma

razonada, cuántos viajeros han pagado el importe total del billete, que vale 9

euros, cuántos han pagado el 20 % del billete y cuántos el 50 %, sabiendo que

el número de viajeros que han pagado el 20 % es el doble del número de viajeros

que han pagado el billete entero.

Solución: 150 viajeros han pagado la totalidad del billete, 300 han pagado el 20

%, 50 han pagado el 50 %.

PROBLEMA 3. (Junio 2006) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones

utilizando el método de Crámer:

Solución: (3, -5, 2)

PROBLEMA 4. (Junio 2001) Calculad el valor de los determinantes ,

y . Aplicad los resultados obtenidos para resolver por la regla de

Crámer el sistema .

Solución:

5

4,

5

12

PROBLEMA 5. (Junio 2005) Elena, Pedro y Juan colocan diariamente hojas de

propaganda sobre los parabrisas de los coches aparcados en la calle. Pedro

reparte siempre el 20 % del total de propaganda, Juan reparte 100 hojas más

que Elena y entre Pedro y Elena colocan 850 hojas en los parabrisas. Plantear

x y 2z 6

x z 5

2x y 11

+ − = −

+ = − =

21

31 −

41

01

24

30 −

=+

=−

4y2x

0y3x


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un sistema de ecuaciones que permita averiguar cuántas hojas reparten,

respectivamente, Elena, Pedro y Juan y calcular estos valores.

Solución: Elena coloca 550 hojas, Pedro 300 y Juan 650.

PROBLEMA 6. Una persona adquirió en el mercado cierta cantidad de unidades

de memoria externa, de lectores de libros electrónicos y de tabletas gráficas a

un precio de 100, 120 y 150 euros la unidad, respectivamente. El importe total

de la compra fue de 1160 euros y el número total de unidades adquiridas 9.

Además, compró una unidad más de tabletas gráficas que de lectores de libros

electrónicos. ¿Cuántas unidades adquirió de cada producto?

Solución: Adquirió 2 unidades de memoria externa, 3 libros electrónicos y 4

tabletas gráficas.


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TEMA 5: PROGRAMACIÓN LINEAL

GUÍA

1. ¿Qué es una inecuación? ¿Cuándo dos inecuaciones son equivalentes?

Ejemplo.

2. ¿Cómo es la solución de una inecuación? Ejemplo.

3. ¿Cómo se realizan las inecuaciones lineales con una incógnita? ¿Cómo son

las soluciones? Pon un ejemplo.

4. ¿Cómo se realizan los sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita?

¿Cómo son las soluciones? Pon un ejemplo.

5. ¿Cómo se realizan las inecuaciones lineales con dos incógnitas? ¿Cómo son

las soluciones? Pon un ejemplo.

6. ¿Cómo se realizan los sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas?

¿Cómo son las soluciones? Pon un ejemplo.

7. ¿Qué es la programación lineal? ¿Para qué sirve?

8. ¿Cómo se resuelven los problemas de programación lineal? ¿Cómo se

expresa la solución del problema?

EJERCICIOS

1. Representa, de forma análoga, las siguientes inecuaciones:

a) x + 5y > 10 b) x + 2y1 6 c) 2x + y 20

2. Representa el recinto formado por las siguientes condiciones:

Solución:

3. Representa la región definida por el siguiente sistema de inecuaciones:x0,

y3, x+ y10, 2y3x. Averigua en qué puntos se hace máxima y mínima la

función F(x,y) = 4x+ 3y.

Solución: Mínima en A(0, 3) ymáxima en C(4, 6).

4. Representa el recinto definido por estas inecuaciones:x0, y0, x10, x

y, y– 2x6, 3x+ 4y35¿En qué punto la función F(x,y) = 10x+ 15yalcanza

el valor máximo?


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Solución: D(10, 26)

5. Maximiza la función F(x,y) = 25x+ 20ysometida a las siguientes restricciones:

x+ y120; 3yx; x100; y10.

Solución: El máximo se alcanza en C(100, 20) y vale 2900.

6. a) Maximiza y minimiza la función F(x,y) = 2x+ 3y con las siguientes

restricciones: x+ y5; x+ 3y9; x0, y0.

b) Haz lo mismo con la función G(x,y) = y– x.

Solución: a) El máximo de F(x, y) se alcanza en A(0, 5), y el mínimo, en C(0,

3).b) El máximo de G(x, y) se alcanza en A(0, 5) y el mínimo, en B(3, 2).

7. Maximiza la función z= x+ y+ 1 sujeta a las siguientes restricciones:

Solución: El máximo se alcanza en el punto A(10, 26) y vale 37.

8. En la región determinada por x+ y5, x+3y9, 4x+y8, x0 e y0, halla

el punto en el que la función F(x, y) = 2x+ 3y alcanza su valor mínimo.

¿Puede alcanzar su máximo en esa región?

Solución: No tiene máximo, pues hay puntos en la región en los que F(x, y)

toma valores tan grandes como queramos.

9. Calcula los puntos del recinto

que hacen mínima o máxima la función z=2x+y. ¿Cuántas soluciones hay?

Solución: Punto (20, 20)

10. Es posible maximizar y minimizar la función z=x+ y+ 1 sujeta a estas

restricciones?


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Solución: mínimo (3,1).

11. Las rectas 2x+ y= 18, 2x+ 3y= 24 y x+ y= 16 se cortan dos a dos en tres

puntos que son los vértices de un triángulo T. Sea S la intersección del

triángulo T con el primer cuadrante. Halla el máximo de la función z=5x+3y

cuando x e y varían en S. Expresa el recinto mediante un sistema de

inecuaciones.

Solución:

Máximo (24,-8) y mínimo (30/4,3)

12. Dibuja el recinto determinado por: x0, y0, y– x+ 1 0, y– 4 0,y+ 2x–

5 0.

a) Localiza los puntos de este recinto en los que la función objetivo

F(x,y)=x+y se hace máxima y mínima, respectivamente.

b) Sobre el mismo recinto, halla el máximo y el mínimo de la función

G(x,y)=5x+y.

Solución: a)F(x, y) alcanza el máximo en el punto (1/2, 4) y el mínimo en el

punto (0, 0).b)G(x, y) alcanza el máximo en el punto (2, 1) y el mínimo en el

punto (0, 0).

13. Considera el triángulo de vértices (0, 0), (2, 8) y (10, 3). Determina

razonadamente:

a) El punto del triángulo donde la función F(x,y) = –4x+ y+ 9 alcanza el

máximo.

b) El punto del triángulo donde la función F(x,y) = 4x+ y+ 12 alcanza el

máximo.

Solución: a) Hay infinitos puntos que hacen máxima la función: todos los puntos

del lado que une los vértices (0, 0)y (2, 8). b) La función alcanza el máximo en

el punto (10,3).

14. En una confitería se elaboran tartas de NATA y de MANZANA. Cada tarta de

nata requiere medio kilo de azúcar y 8 huevos; y una de manzana, 1 kg de

azúcar y6 huevos. En la despensa quedan 10 kg de azúcar y 120 huevos.

¿Cuántas tartas de cada tipo se deben hacer si pretendemos que los ingresos

por su venta sean máximos? Considera estos casos:

a) Sus precios son: nata, 12 €; manzana, 15 €.

b) Sus precios son: nata, 16 €; manzana, 12 €.

c) Sus precios son: nata, 15 €; manzana, 10 €.


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Solución: Las restricciones son:

a) Función objetivo: F1(x, y) = 12x+ 15y. Hacer 4 tartas de manzana y 12 de

nata. b) Función objetivo: F2(x, y) = 16x+ 12y.El máximo se consigue en

cualquier punto, de coordenadas enteras, del lado que pasa por los puntos A(0,

20) y B(12, 4). Además de estas dos, las soluciones son (3, 16), (6, 12) y (9, 8)

(la primera coordenada indica las tartas de nata que habría que hacer y la

segunda, las tartas de manzana).c) Función objetivo: F3(x, y) = 15x+ 10y.El

máximo son 12tartas de nata y 4 de manzana.

15. Una persona quiere invertir 100 000 € en dos tipos de acciones A y B. Las

de tipo A tienen más riesgo, pero producen un beneficio del 10%. Las de tipo B

son más seguras, pero producen solo el 7% nominal. Decide invertir como

máximo 60 000 € en la compra de acciones A y, por

lo menos, 20 000 € en la compra de acciones B. Además, quiere que lo

invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo debe invertir

los 100 000 € para que el beneficio anual sea máximo?

Solución: Punto (6, 4). Debe invertir 60 000 € en acciones de tipo A y 40 000 €

en acciones de tipo B.

16. Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje

de caballero requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana y un vestido de señora

necesita 2 m2 de cada una de las telas. Halla el número de trajes y vestidos

que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y

un vestido se venden por el mismo precio.

Solución: debe confeccionar 20 trajes y 30 vestidos.

SELECTIVOS


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PROBLEMA 1. Julio 2013. Un estudiante reparte propaganda publicitaria para

conseguir ingresos. Le pagan 8 cts. De euro por cada impreso colocado en el

parabrisas de un coche y 12 cts. Por cada uno depositado en un buzón. Ha

calculado que cada día puede repartir como máximo 150 impresos y la empresa

le exige diariamente que la diferencia entre los colocados en coche y el doble de

los colocados en buzones no se inferior a 30 unidades. Además, tiene que

introducir en buzones al menos 15 impresos diariamente. ¿Cuántos impresos

debe colocar en coches y buzones para maximizar sus ingresos diarios? ¿Cuál

es este ingreso máximo?

Solución: Debe colocar 110 impresos en los coches y 40 en buzones. De esta

forma conseguirá unos ingresos diarios de 13´60€.

PROBLEMA 2. Sept 2012. Sea el siguiente sistema de inecuaciones lineales:

−

+−

+

+

1

1

1

2

yx

yx

yx

yx

a) Resuélvelo gráficamente.

b) Halla el máximo y el mínimo de la función z = 2 x + y en el conjunto solución

de dicho sistema.

Solución: La función z = 2 x + y alcanza el máximo, que vale 3´5, en el punto

(3/2, 1/2), y el mínimo, que vale 1, en el punto ( 0 , 1 ).

PROBLEMA 3. Jun 2012. Un comerciante quiere invertir hasta 1000 euros en

la compra de dos tipos de aparatos, A y B, pudiendo almacenar en total hasta

80 aparatos. Cada aparato de tipo A le cuesta 15 euros y lo vende a 22, cada

uno del tipo B le cuesta 11 y lo vende a 17 euros. ¿Cuántos aparatos debe

comprar de cada tipo para maximizar su beneficio? ¿Cuál es el beneficio

máximo?

Solución: Para maximizar su beneficio debe comprar 30 aparatos del tipo A y

50 del tipo B. De esta forma el beneficio máximo será de 510€.

PROBLEMA 4. Sept 2011. El dueño de una tienda de golosinas dispone de 10

paquetes de pipas, 30 chicles y 18 bombones. Decide que para venderlas mejor

va a confeccionar dos tipos de paquetes. El tipo A estará formado por un paquete

de pipas, dos chicles y dos bombones y se venderá a 1,50 euros. El tipo B estará

formado por un paquete de pipas, cuatro chicles y un bombón y se venderá a 2

euros. ¿Cuántos paquetes de cada tipo conviene preparar para conseguir los

ingresos máximos? Determina los ingresos máximos.


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Solución: El máximo se alcanza en el punto ( 5 , 5 ) lo cual quiere decir que para

maximizar sus ingresos el tendero debe preparar 5 paquetes del tipo A y 5 del

tipo B. De esta forma conseguirá un ingreso máximo de 17´50€.

PROBLEMA 5. Sept 2010. Un ganadero dispone de alimento concentrado y

forraje para alimentar sus vacas. Cada kg. de alimento concentrado contiene

300 gr. de Proteína Cruda (PC), 100 gr. de Fibra Cruda (FC) y 2 Mcal. de Energía

Neta de Lactancia (ENL) y su coste es 11 euros. Por su parte, cada kg. de forraje

contiene 400gr. de PC, 300 gr. de FC y 1 Mcal. de ENL, siendo su coste de 6,50

euros. Determina la ración alimenticia de mínimo coste si sabemos que cada

vaca debe ingerir al menos 3500 gr. de PC, 1500 gr. de FC y 15 Mcal. de ENL.

¿Cuál es su coste?

Solución: Para que el coste sea mínimo la ración alimenticia debe estar formada

por 5 Kg. de alimento concentrado y 5 Kg. de forraje. El coste de esta ración

alimenticia será de 87´50 euros.

PROBLEMA 6. Jun 2010. En un horno mallorquín se fabrican dos tipos de

ensaimadas, grandes y pequeñas. Cada ensaimada grande requiere para su

elaboración 500 g. de masa y 250 g. de relleno, mientras que una pequeña

requiere 250 g. de masa y 250 g. de relleno. Se dispone de 20 kg. de masa y 15

kg. de relleno. El beneficio obtenido por la venta de una ensaimada grande es

de 2 euros y el de una pequeña es de 1,5 euros. a) ¿Cuántas ensaimadas de

cada tipo tiene que fabricar el horno para que el beneficio obtenido sea máximo?

b) ¿Cuál es el beneficio máximo?

Solución: a) Hay que fabricar 20 ensaimadas grandes y 40 pequeñas. b) De esta

forma se conseguirá un beneficio máximo de 100 €.

PROBLEMA 7. Sept 2009. Dado el siguiente sistema de inecuaciones:

−

−

−−

++

−

2

43

64

053

2

xy

xy

xy

yx

x

a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del mismo y determina

sus vértices.


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b) Obtén los puntos donde la función f(x, y) = 2 x – 3 y alcanza los valores mínimo

y máximo en dicha región.

Solución: Luego f(x,y), en dicha región, alcanza su máximo en el punto ( 1 , – 2

) {que es 8} y su mínimo en el punto ( – 1 , 1 ) {que es – 5}.

PROBLEMA 8. Jun 09. Un frutero quiere liquidar 500 kg de naranjas, 400 kg

de manzanas y 230 de peras. Para ello prepara dos bolsas de fruta de oferta: la

bolsa A consta de 1 kg de naranjas y 2 de manzanas y la bolsa B consta de 2 kg

de naranjas, 1 kg de manzanas y 1 kg de peras. Por cada bolsa del tipo A se

obtiene un beneficio de 2,50 euros y 3 euros por cada una del tipo B.

Suponiendo que vende todas las bolsas, ¿cuántas bolsas de cada tipo debe

preparar para maximizar sus ganancias? ¿Cuál es el beneficio máximo?

Solución: El máximo se alcanza en el punto ( 100 , 200 ) lo cual quiere decir que

para maximizar sus ganancias el frutero debe preparar 100 bolsas del tipo A y

200 del tipo B. De esta forma conseguirá un beneficio máximo de 850€.

PROBLEMA 9. Sept 08. Cierto armador se dedica a la pesca de rape y merluza.

Las cuotas pesqueras imponen que sus capturas totales no excedan las 30

toneladas (Tm). Por otro lado, la cantidad de rape como máximo puede triplicar

a la de la merluza y, además, esta última no puede superar las 18 Tm. Si el

precio del rape es de 15 €/kg y el de la merluza 10 €/Kg. ¿qué cantidades de

cada especie debe pescar para maximizar sus ingresos?

Solución: Para maximizar sus ingresos debe pescar 22500 kg de rape y 7500 kg

de merluza.

PROBLEMA 10. Junio 07. Una fábrica de fertilizantes produce dos tipos de

abono, A y B, a partir de dos materias primas M1 y M2. Para fabricar 1 tonelada

métrica de A hacen falta 500 kg de M1 y 750 kg de M2, mientras que las

cantidades de M1 y M2 utilizadas para fabricar 1 tonelada de B son 800 kg y

400kg, respectivamente. La empresa tiene contratado un máximo de 10

toneladas de cada materia prima y vende a 1.000 € y 1.500 € cada tonelada de

abono de A y B, respectivamente. Sabiendo que la demanda de B nunca llega a

triplicar la de A, ¿cuántas toneladas de cada abono debe fabricar para

maximizar sus ingresos y cuáles son éstos?


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Solución: El máximo se alcanza en el punto (10 , 6´25). Por lo que para

maximizar sus ingresos la fábrica debe producir 10 Tm del abono tipo A y 6´25

Tm del tipo B. Con esta producción los ingresos serían de 19375 €.


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TEMA 6: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

GUÍA

1. Define límite de una función en un punto. Idea intuitiva. Ejemplo.

2. Define límite de una función en un punto. Ejemplo.

3. Límites laterales. Ejemplo.

4. Limites infinitos en un punto. Ejemplo.

5. Límites en el infinito. Ejemplo.

6. Propiedades de los límites.

7. ¿Cómo se calcula el límite de una función en un punto?

8. ¿Qué es una indeterminación? ¿Qué es resolver una indeterminación?

a. Indeterminación de tipo K/0

b. Indeterminación de tipo 0/0

c. Indeterminación de tipo ∞/∞

d. Indeterminación de tipo ∞-∞

e. Indeterminación de tipo ∞.0

f. Indeterminación de tipo 1 ∞

9. Define función continua en un punto. ¿Qué condiciones se tienen que cumplir?

Ejemplo.

10. Define función continua en un intervalo.

11. Define función continua en todo su dominio.

12. ¿Cuándo una función es discontinua? Tipos de discontinuidades.


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EJERCICIOS

EJERCICIOS

2. Si u(x) →2 y v(x) → –3 cuando x→ + , calcula el límite cuando x→ + de:

a) u(x) + v(x) d) )(xv

b) v(x)/u(x) e) u(x) · v(x)

c) 5u(x) f) 3 )(xu

Solución: a) -1; b) -3/2; c) 25; d) No existe; e) -6; f) 3 2 .

3. Si u(x) →–1 y v(x) →0 cuando x→+ , calcula el límite cuando x→+ de:

a) u(x) – v(x) d) log2v(x)

b) v(x) – u(x) e) u(x) · v(x)

c) v(x)/u(x) f) 3 )(xu

Solución: a) -1; b) 1; c) 0; d) – si v(x) →0+ y no existe si v(x) → 0– ; e) 0; f) -1.

4. Sabemos que +→x

lim f(x)= + , +→x

lim g(x)= - y +→x

lim g(x)=3. ¿En cuáles de los siguientes casos

hay indeterminación para x→+? En los casos en que no la haya, di el límite:

a) f(x) + g(x) b) g(x) + h(x)

c) f(x)/h(x) d) f(x)/g(x)

e) [h(x)] g(x) f) [3 – h(x)] · f(x)

Solución: a) Indeterminado; b) - ; c) + ; d) Indeterminado; e) 0; f) Indeterminado.

5. Calcula:

Solución: a) - ; b) 9; c) + ; d) 2/3.

6. Calcula:

Solución: a) + ; b) - ; c) 0; d) 5/3.


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7. Calcula el límite, cuando x→+ , de las siguientes expresiones:

Solución: a) - ; b) 0; c) + ;d) + ; e) + ;f)0.

8. Calcula el límite, cuando x→ - , de las siguientes expresiones:

Solución: a) 5/3; b) No existe.

9. Halla el límite, cuando x→ - , de las siguientes expresiones:

Solución: a) -1/3; b) - ; c) 0.

10. Si +=→

)(lim2

xpx

, +=→

)(lim2

xqx

, 3)(lim2

=→

xrx

y 0)(lim2

=→

xsx

, di, en los casos en que sea

posible, el valor del de las siguientes funciones:

[Recuerda que las expresiones (+ )/(+ ), (+ )–(+ ), (0)·(+ ), (1) · (+ ),(0)/(0) son

indeterminaciones].

Solución: a) + ; b) Indeterminado; c) 0;d) 1; e) + ;f) Indeterminado, g) Indeterminado, h)

Indeterminado; i)+ ; j)1; k) Indeterminado; l) 1; m) + ; n) 0; ñ) Indeterminado; o)

Indeterminado.


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11. Calcula los límites siguientes:

Solución: -9/8, 15/28.

12. Calcula:

Solución: -5.

13. Calcula el límite, cuando x→ - , de las siguientes expresiones:

Solución: a) -2, b) 0, c) - , d) 1/5.

14. Calcula los siguientes límites comparando los exponentes del numerador y del

denominador:

Solución: a) 2

3, b) + , c) 0, d) 0.

15. Calcula estos límites comparando los órdenes de infinito:

Solución: a) + , b) 0, c) + , d) 0.


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16. Calcula los siguientes límites:

Solución: a) + derecha, − izquierda; b) -2; c) 2; d) + izquierda, − derecha.

17. Calcula:

Solución: a) + derecha, − izquierda; b) + izquierda, + derecha.

18. Calcula:

Solución: a) 0; b) -5; c) 3/2; d) 0.

19. Averigua si las siguientes funciones son continuas en x= 2:

Solución: a) f(x) es continua en x= 2; b) f(x) no es continua en x= 2.

20. Estudia la continuidad de las dos funciones siguientes:

Solución: a) f(x) es continua en todos los reales; b) f(x) es continua en – {0}.


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21. Estudia la continuidad y representa gráficamente la función f(x):

Solución: Es continua en todo su dominio.

22. Estudia la continuidad de las siguientes funciones y represéntalas gráfica-mente:

Solución: a) Hay una discontinuidad evitable en x= 0. Discontinuidad de salto finito en x= 1. b)

Discontinuidad de salto finito en x= 6.

23. Calcula el valor que debe tener k para que las siguientes funciones sean continuas:

Solución: a) k= 5, b) k= -1, c) La función es continua para cualquier valor de k.

24. Calcula el valor de k para que cada una de las siguientes funciones sea continua:

Solución: a) k= 4, b) k=2.

25. Estudia la continuidad de estas funciones para los distintos valores del parámetro a:

Solución: a) La función es continua si a=8, b) la función es continua si a=1/2.


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26. Dada la función:

Calcula el valor de b para que f(x) sea continua en x= –1. ¿Es continua en x= 1?

Solución: b=6 y f(x) es continua en x= 1.

27. Estudia la continuidad, representa y halla los límites para x→+ y x→ - de la función:

Solución: Discontinuidad de salto finito en x= 2.

28. Estudia la continuidad de las siguientes funciones y represéntalas:

Solución: Las tres son continuas en todos los reales.

29. Una empresa ha establecido para sus empleados un incentivo (en cientos de euros) en

relación con el valor x (en cientos de euros) de lo vendido porcada uno. Dicho incentivo

sigue la función:

a) Estudia la continuidad de f(x). Indica si el incentivo recibido por un empleado es

sensiblemente distinto si el valor de las ventas es ligeramente superior o inferior a

10000€.


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b) ¿Cuál es la cantidad máxima que un empleado podría recibir como incentivo si sus

ventas fueran muy grandes? Justifica tu respuesta.

Solución: a) Hay una discontinuidad de salto finito en x= 100. El incentivo recibido por un

empleado sí es sensiblemente distinto si el valor de sus ventas es ligeramente superior o

inferior a 10000 € (x= 100). b) 1500 €.

30. Las conclusiones de un estudio establecen que el número de individuos de una determinada

población de una especie protegida vendrá dado, durante los próximos años, por la función

siendo t el número de años transcurridos. Se pide:

a) Tamaño actual de la población.

b) Si esta función fuese válida indefinidamente, ¿se estabilizaría el tamaño de la población?

Justifica la respuesta.

Solución: a) f(0) = 5000 individuos. b) Se estabilizaría en 7500 individuos.

31. La profundidad de la capa de arena en una playa se verá afectada por la construcción de un

dique. En una zona de la playa, esa profundidad vendrá dada por la siguiente función:

Pes la profundidad en metros y t el tiempo en años desde el inicio de la construcción. Si la

profundidad llegara a superar los 4 metros, se debería elevar la altura del paseo marítimo.

a) ¿Es P(t) una función continua?

b) ¿Será necesario elevar la altura del paseo con el paso del tiempo, por causa de la

profundidad de la arena?

c) Haz una gráfica aproximada de P(t).

Solución: a) P(t) es continua, b) la profundidad nunca llega a superar los 4 metros y no será

necesario elevar la altura del paseo, c)


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32. Un equipo de investigación ha estimado que el tiempo (T, en minutos) quese tarda en

realizar cierta prueba de atletismo en función del tiempo de entrenamiento de los

deportistas (x, en días), es:

a) Justifica que la función T es continua en todo su dominio.

b) Por mucho que se entrene un deportista, ¿será capaz de hacer la prueba en menos de

1minuto? ¿Y en menos de 2?

Solución: b) Ningún deportista sería capaz de realizar la prueba en menos de 1 minuto, ni en

menos de 2 minutos.

33. Un comerciante vende un determinado producto. Por cada unidad de producto cobra 5 €.

No obstante, si se le encargan más de 10 unidades, disminuye el precio por unidad, y por

cada x unidades cobra:

a) Halla a de modo que el precio varíe de forma continua al variar el número de unidades

que se compran.

b) ¿A cuánto tiende el precio de una unidad cuando se compran “muchísimas” unidades?

Nota: El precio de una unidad es C(x)/x.

Solución: a) a= 20, b) 4,47 €.

34. Calcula los siguientes límites

a) 1

1lim

2

2

+

−

→ x

x

x

b) 222x

264lim

2

2

++

+−

→ x

xx

x

c) 14

1lim

3

2

+

−

→ x

x

x


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d) ( )1lim +−→

xxx

e) 2

37lim

−

−+

→ x

x

x

35. Calcula los límites:

44

6lim)

24lim)

32lim)

2

2

2

0

2

+−

−+

−+

−+−

→

→

+→

xx

xxc

x

xb

xxxa

x

x

x

36. Estudia la continuidad en el intervalo [-3, 3] de la función:

Sol: en x=-2 es continua y en x=1 es discontinua de salto finito. 41. a) Determina el valor de a para que la siguiente función sea continua en x=-1

b) Estudia la continuidad de la función en el caso a=0

Sol: a) 2

5=a . b) En x=-1 hay una discontinuidad de salto finito donde el valor del salto es 5 y en

x=1 hay una discontinuidad de salto infinito.

42. Estudia la continuidad de la función y=f(x) en el intervalo [-4,2], siendo:

2

3x 10 3 x 2

f(x) x 2 x 1

x 31 x 3

2

+ − −

= − +

3x a x 1

f(x) ax 2 1 x 1

(2x 11) /(x 3) x 1

+ −

= + − − −


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Sol: En x=-3 es discontinua de salto finito, el valor del salto es 9-2=7. Es continua en x=1.

43. Estudia si la función está acotada y alcanza máximos y mínimos en el intervalo [4,6]. Razona la respuesta.

Sol: si, porqué es continua (debes estudiarlo en profundidad).

44. Halla los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones indicando de qué tipo son:

−

+=

−−

+=

03

025)()

2

33)()

2

2

xsix

xsixxgb

xx

xxfa

Sol: a) Evitable en x=-1, no evitable de salto infinito en x=2. b) No evitable de salto finito en x=0.

45. Halla el valor de a y b para que sea continua la función:

−

−+

−+

=

1 para 2

11 para 1

1 para

)(

2

xb

xx

xax

xf

46. El área ocupada por una infección cutánea se desarrolla a partir del instante t = 0 según la

función 1

10)(2 +

+=t

ttf .

a) Calcula la superficie ocupada por la infección al principio. b) Estudiar qué ocurre con el transcurso del tiempo. ¿Se estabiliza o desaparece la

infección?

47. Una peña deportiva fundada en 1999 tiene x años de su fundación un número de miembros

que viene dada por la función: ( )482493

1)( 23 −+−−= xxxxf . ¿Llegará a quedarse sin

ningún socio?

48. Estudia la continuidad de la función.

2

2 3

( ) 3 1

1 1

x

f x x x

x

−

= −

4

12 −

−=

x

xy


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−

−=

165

1625

9

)(

xsix

xsixxf

49. El espacio recorrido por un móvil en función del tiempo viene dado por la siguiente

función:

++−

+

=

tsibtt

tsiat

tsit

te

513

523

203

)(

2

2

Determina el valor de a y de b para que la función sea continua en t=2 y t=5.

50. Estudia la continuidad de las siguientes funciones, el límite cuando x tiende a más y a

menos infinito y el límite cuando x tiende a +2 y –2.

a)

b)


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51. Estudia la continuidad de las siguientes funciones, el límite cuando x tiende a más y a

menos infinito y el límite cuando x tiende a 1 y –3.

a)

b)


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SELECTIVOS

Problema 1. Sept 2012. Se estima que el beneficio anual B(t), en %, que produce cierta inversión

viene determinado por el tiempo t en meses que se mantiene dicha inversión a través de la

siguiente expresión:

𝐵(𝑡) =36𝑡

𝑡2 + 324+ 1, 𝑡 ≥ 0

a) Describe la evolución del beneficio en función del tiempo durante los primeros 30 meses.

b) Calcula, razonadamente, cuánto tiempo debe mantenerse dicha inversión para que el

beneficio sea máximo. ¿Cuál es el beneficio máximo?

c) ¿Cuál sería el beneficio de dicha inversión si ésta se mantuviera en el tiempo de forma

indefinida?

Solución: a) Durante los 30 primeros meses la evolución del beneficio es: empieza

proporcionando un beneficio del 1% y va creciendo hasta los 18 meses en que alcanza su valor

máximo, un 2%. A partir de los 18 meses, a medida que aumenta el tiempo que se mantiene la

inversión el beneficio desciende y manteniéndola 30 meses alcanza el valor de 1´8824%.

b) Según hemos calculado anteriormente el beneficio máximo se alcanza manteniendo la

inversión durante 18 meses. Este beneficio máximo es del 2%.

c) Si la inversión se mantuviera en el tiempo de forma indefinida, el beneficio sería del 1%.

PROBLEMA 2. Junio 2010. La siguiente función representa la valoración de una empresa en

millones de euros en función del tiempo, t, a lo largo de los últimos 13 años:


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−+

−+

−

=

1310)10(1.075.4

105)5(05.05.4

501.05

)(

2 tsit

tsit

tsit

tf

Estudia analíticamente en el intervalo [0, 13]:

a) Si la función f(t) es o no continua, indicando en caso negativo los puntos de discontinuidad.

b) Instante t en el que la valoración de la empresa es máxima y dicha valoración máxima.

c) Instante t en el que la valoración de la empresa es mínima y dicha valoración mínima.

Solución: a) f(t) es continua en [ 0 , 13 ].

b) La valoración máxima se alcanza a los 13 años y es de 5´65 millones de euros.

c) La valoración mínima se alcanza a los 5 años y es de 4´5 millones de euros.


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TEMA 7: DERIVADAS

GUÍA

1. ¿Qué es la tasa de variación?

2. ¿Qué es la derivada de una función?

3. ¿Cómo se calcula la derivada de una función en un punto mediante la

definición?

4. ¿Qué es la derivada n-ésima de una función? ¿Cómo se calcula?

5. ¿Cómo se derivan las funciones constantes?

6. ¿Cómo se derivan las funciones potenciales?

7. ¿Cómo se derivan las funciones polinómicas?

8. ¿Cómo se derivan las funciones trigonométricas?

9. ¿Cómo se deriva la suma de funciones?

10. ¿Cómo se deriva el producto de funciones?

11. ¿Cómo se deriva el producto de una función por un número real?

12. ¿Cómo se deriva el cociente de funciones?

13. ¿Cómo se deriva composición de funciones? ¿Qué es la Regla de la Cadena?

14. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la curva en ese punto? ¿Cómo se

calcula?

15. ¿Cuándo una función no es derivable? ¿Qué son los puntos angulosos?

16. Calculo de máximos y mínimos.

17. Problemas de derivadas.


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EJERCICIOS

1. Calcula f '(2), utilizando la definición de derivada, siendo: f (x) = 2x2 + 5x

Solución: 13

2. Utiliza la definición de derivada para hallar la derivada de la siguiente

función en x=1 y en x=-2: 25)( xxf =

Solución: 10 y 20.

3. Determina la derivada de las siguientes funciones:

a) 2)( xxf = b)

5)( xxf = c) 2)( =xf

d) xxf =)( e) 3)( xxf = f)

xexf =)(

g) xxf 2)( = h) )ln()( xxf = i) )log()( xxf =

Solución: a) x2 b) 45x c) 0 d)

x2

1 e)

3 23

1

x f)

xe

g) )2ln(2 x h)

x

1 i)

)10ln(

1

x


a) 53)( 2 +−= xxxf b) 656)( 2 −+= xxxf

c) 133)( 23 +++= xxxxf d) xxxf −= 34)(

e) )ln()( xxxf += f) 2)( −−= xexf x

Solución: a) 16 −x b) 512 +x c) 363 2 ++ xx d) 112 2 −x e) x

11+

f) x

ex

−

2

1


a) xexxf =)( b) )ln()( 2 xxxf =


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c) xe

xxf

4

)( = d) )ln(

)(x

exf

x

=

e) x

xxf

)ln()( = f)

xxxf 2)( 2 =

Solución: a) xx exe + b) xxx +)ln(2 c)

xe

xx 434 − d)

)(ln

)ln(

2 x

x

exe

xx −

e) 2

)ln(1

x

xxx

−

= 2

)ln(1

x

x− f) )2ln(222 2 + xx xx

6. Deriva:

a) Sol:

b) Sol:

c) Sol:

d) Sol:

e) Sol:


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7. Deriva

Solución:

8. Deriva

Solución:

9. Deriva

Solución:

10. Deriva

Solución:

11. Deriva

Solución:

12. Deriva


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Solución:

13. Deriva

Solución:

14. Deriva

Solución:

15. Deriva:

a)

Sol:

b)

Sol:

c)

Sol:


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d)

Sol:

e)

Sol:

16. Calcular la derivada de las siguientes funciones.

a) 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 2)(𝑥3 + 1) Solución: 5𝑥4 + 6𝑥2 + 2𝑥

b) 𝑓(𝑥) = (𝑥4 − 1)(𝑥2 + 1)

c) 𝑓(𝑥) =1

3𝑥2+1 Solución:

−6𝑥

(3𝑥2+1)2

d) 𝑓(𝑥) =2

5𝑥2−1

e) 𝑓(𝑥) =𝑥−1

𝑥+1 Solución:

2

(𝑥+1)2

f) 𝑓(𝑥) =2𝑥−1

𝑥−1

g) 𝑓(𝑥) = (1 − 𝑥)2 Solución:: 2x-2

h) 𝑓(𝑥) = (2𝑥−5)7

2𝑥

i) 14

25)(

2 −

−=

x

xxf

17. Deriva:

a).-

b).-

c).-

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/dersumaspro.htm#a).- Solución

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/dersumaspro.htm#b).-Solución

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/dersumaspro.htm#c).- Solución


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d).-

18. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto

indicado.

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3, 𝑒𝑛 𝑥 = 1 Sol: 2x-y-4=0

b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥 − 5, 𝑒𝑛 𝑥 = 1 Sol: y=12x-8

19. Obtenga los puntos máximos y mínimos de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 −

3𝑥2 − 9𝑥 + 3 , así como los intervalos en los cuales es creciente y

decreciente.

20. Traza la gráfica de las siguientes funciones determinando sus puntos

máximos y mínimos, así como los intervalos en los cuales es creciente y

decreciente.

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 − 1 Sol: D (−∞, 3), 𝑀𝑖𝑛(−3,10), 𝐶(−3, ∞)

b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 4𝑥 − 2

c) 𝑓(𝑥) = 3 − 8𝑥 − 𝑥2

d) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 7𝑥 + 2

e) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 Sol: C(−∞, −4), 𝑚á𝑥(−4,19), 𝐷(−4, ∞)

21. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes

funciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

( ) ( )22+= xxf

( ) 123 2 +−= xxxf

( ) xxxxf 44 23 +−=

( )1

3

−

+=

x

xxf

( )1

2

+=

x

xxf

( )x

xxf

23 −=

( )4

22

2

−=

x

xxf

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/dersumaspro.htm#d).- Solución


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22. Se cuenta con el dinero para comprar 500 m2 de terreno. Dentro de este

terreno se quieren construir cuatro estanques rectangulares para el cultivo de

un molusco dado. Encontrar las dimensiones del terreno que garanticen que el

área de cada estanque será máxima. La separación entre estanques y con la

reja que cercará el terreno debe de ser de 2m.

Solución: Para garantizar que los estanques tendrán el área máxima, el

terreno a comprar deberá de ser de 35.355 m x 14.14 m.

23. En un estanque se tienen 25 peces. Cada pez engorda 45 g por mes. Por

cada 2 peces que se aumente al estanque, la producción por pez disminuye

en 2.5 g por mes. Hallar el número ideal de peces para garantizar la máxima

producción.

Solución:

( )( )2

2

25 45 2 5

1125 62 5 45 2 5

2 5 17 5 1125

P x . x

P . x x . x

P . x . x

= + −

= − + −

= − − +

Por lo tanto, al quitar 3.5 peces al estanque, la producción será máxima. Dado

que no es un número entero, se puede decidir entre quitar 3 o 4 peces dado que

ambos valores de x darán el mismo valor de producción.

24. Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede

inscribir en una circunferencia de radio 5cm.

25. Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x)

en miles de euros viene dada en función de la cantidad que se invierte, x en

miles de euros, por medio de la siguiente expresión:

R(x) = –0,001x2 + 0,4x + 3,5

a) Deduce y razona qué cantidad de dinero convendrá invertir en ese plan.

b) ¿Qué rentabilidad se obtendrá?

Solución: a) Invirtiendo 200000 € se obtiene la máxima rentabilidad.

b) 43,5 miles de € = 43500 €.


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SELECTIVOS

1. Julio 2013. Una cadena de montaje está especializada en la producción

de cierto modelo de motocicleta. Los costes de producción en euros, C(x), están

relacionados con el número de motocicletas fabricadas, x, mediante la siguiente

expresión:

C(x) = 10 x2 + 2000 x + 250000

Si el precio de venta de cada motocicleta es 8000 euros y se venden todas las

motocicletas fabricadas, se pide:

a) Definir la función de ingresos que obtiene la cadena de montaje en función

de las ventas de las motocicletas producidas.

b) ¿Cuál es la función que expresa los beneficios de la cadena de montaje?

c) ¿Cuántas motocicletas debe fabricar para maximizar beneficios? ¿A cuánto

ascenderán estos beneficios?

Solución: a) I(x) = 8000 x, siendo x = número de motocicletas fabricadas (x ∈

N).

b) La función que expresa los beneficios de la cadena de montaje, B(x), la

obtenemos restando a los ingresos los costes de producción, C(x), es decir: B(x)

=I(x) – C(x)= – 10 x2 + 6000 x – 250000.

c) Maximizará beneficios cuando fabrique 300 motocicletas y, en este caso, los

beneficios ascenderán a 650000€.

2. Sept 2012. Se estima que el beneficio anual B(t), en %, que produce cierta

inversión viene determinado por el tiempo t en meses que se mantiene dicha

inversión a través de la siguiente expresión:

0,1324

36)(

2+

+= t

t

ttB

a) Describe la evolución del beneficio en función del tiempo durante los primeros

30 meses.

b) Calcula, razonadamente, cuánto tiempo debe mantenerse dicha inversión

para que el beneficio sea máximo. ¿Cuál es el beneficio máximo?

c) ¿Cuál sería el beneficio de dicha inversión si ésta se mantuviera en el tiempo

de forma indefinida?

Solución: a) Durante los 30 primeros meses la evolución del beneficio es:

empieza proporcionando un beneficio del 1% y va creciendo hasta los 18 meses


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en que alcanza su valor máximo, un 2%. A partir de los 18 meses, a medida que

aumenta el tiempo que se mantiene la inversión el beneficio desciende y

manteniéndola 30 meses alcanza el valor de 1´8824%.

b) Según hemos calculado anteriormente el beneficio máximo se alcanza

manteniendo la inversión durante 18 meses. Este beneficio máximo es del 2%.

c) Si la inversión se mantuviera en el tiempo de forma indefinida, el beneficio

sería del 1%.

3. Jn 2012. Una empresa dispone de 15 comerciales que proporcionan unos

ingresos por ventas de 5750 euros mensuales cada uno. Se calcula que por cada

nuevo comercial que contrate la empresa los ingresos de cada uno disminuyen

en 250 euros. Calcula:

a) Los ingresos mensuales de la empresa proporcionados por los 15 comerciales.

b) La función que determina los ingresos mensuales que se obtendrían si se

contrataran x comerciales más.

c) El número total de comerciales que debe tener la empresa para que los

ingresos por este medio sean máximos.

d) Los ingresos máximos.

Solución: a) Los 15 comerciales proporcionan a la empresa uno ingresos

mensuales de 86250€

b) Llamando I (x) a la función que nos da los ingresos mensuales contratando a

x comerciales más I(x) = (15 + x ) . (5750 – 250 x ) = – 250 x2 + 2000 x + 86250,

x∈ N

c) El número total de comerciales que debe tener la empresa para que los

ingresos sean máximos es de 19 ( 15 + 4 ).

d) Para 19 comerciales (x = 4) los ingresos serán de I(4) = 90250. Los ingresos

máximos serán de 90250 €.

4. Sept 11 Un ganadero ordeña una vaca desde el día siguiente al día que ésta

pare hasta 300 días después del parto. La producción diaria en litros de

leche que obtiene de dicha vaca viene dada por la función:

405000

120)(

2

+−

=xx

xf donde x representa el número de días transcurridos

desde el parto. Se pide:


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a) El día de máxima producción y la producción máxima.

b) El día de mínima producción y la producción mínima.

Solución: el día de máxima producción es a los 60 días después del parto y

produce 40´72 l. de leche y el día de mínima producción es a los 300 días

después del parto y produce 29´2 l. de leche.

5. Junio 2011 Dada la función

−

+−−=

311

1032)(

2

xx

xxxxf

a) Estudia la continuidad de la función en el intervalo [0 , 3 ].

b) Calcula los máximos y mínimos absolutos de f(x).

Solución: a) Por lo tanto f(x) es continua en [0, 3].

b) el máximo absoluto de f(x) es el punto (0, 3) y el mínimo absoluto es el punto

(1 , 0 ).

6. Sept 10 Una pastelería ha comprobado que el número de pasteles de un

determinado tipo que vende semanalmente depende de su precio p en euros,

según la función: n(p) = 2000–1000p donde n(p) es el número de pasteles

vendidos cada semana. Calcula:

a) La función I(p) que expresa los ingresos semanales de la pastelería en

función del precio p de cada pastel.

b) El precio al que hay que vender cada pastel para obtener los ingresos

semanales máximos. ¿A cuánto ascenderán dichos ingresos máximos? Justifica

la respuesta.

Solución: a) I(p) = 2000 p – 1000 p2 y Dom I(p) = [ 0 , 2 ]. b) hay que vender los

pasteles a 1 euro para que el beneficio sea máximo y este beneficio será de 1000

euros.

7. Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euros vienen dados por la función I(x)=28x2+36000x, mientras que sus gastos (también en

euros), pueden calcularse mediante la función G(x)=44x2+12000x+700000, donde x representa la cantidad de unidades vendidas. Determinar:

a) La función que define el beneficio anual en euros. b) La cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio

sea máximo. Justificar que es máximo. c) El beneficio máximo.

Sol: b) 750 unidades. C) 8.300.000€


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8. La función , para , en la que el tiempo, t, está expresado en años, proporciona los beneficios de una empresa en miles de euros entre los años 1991 (t=0) y 2000 (t=9). a) Calcular de forma razonada la tasa de variación media del beneficio de esta empresa en este periodo de tiempo. b) Obtener de forma razonada la tasa de variación media del beneficio en los dos últimos años. c) ¿Qué podemos concluir sobre la variación del beneficio en los dos periodos anteriores? 9. Los beneficios anuales B(x), en miles de euros, previstos para una empresa para los próximos años vienen dados por la siguiente función, donde x representa el número de años a partir del actual:

a) ¿Cuántos años han de transcurrir para que la empresa obtenga el

máximo beneficio y cuál es el valor de dicho beneficio? b) ¿Puede esta empresa tener pérdidas algún año? ¿Por qué?

10. Jn 2009 Dada la función f(x) = x3 – 12 x + 7, se pide a) Hallar sus máximos y mínimos relativos. b) Hallar sus máximos y mínimos absolutos en el intervalo [ – 3 , 3 ]. c) Hallar sus máximos y mínimos absolutos en el intervalo [ – 4 , 4 ]. d) Hallar sus máximos y mínimos absolutos en el intervalo [ – 5 , 5 ]. Solución: a) f(x) tiene un máximo relativo en el punto ( – 2 , 23 ) y un mínimo relativo en el punto ( 2 , – 9). b) En el intervalo [– 3 , 3] el máximo absoluto es ( – 2 , 23 ) y el mínimo absoluto es ( 2 , – 9 ). c) En el intervalo [– 4 , 4] los máximos absolutos son ( – 2 , 23 ) y ( 4 , 23 ) y los mínimos absolutos son ( 2 , – 9) y ( – 4, – 9 ). d) En el intervalo [– 5 , 5] el máximo absoluto es ( 5 , 72 ) y el mínimo absoluto es ( – 5 , – 58 ). 11. Jn 2009 El rendimiento de cierto producto en función del tiempo de uso (medido en años) viene dado por la expresión:

0,1

35,8)(

2

++= x

x

xxf

a) ¿Existen intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece? ¿Y en los que decrece? ¿Cuáles son? b) ¿En qué punto se alcanza el rendimiento máximo? ¿Cuánto vale éste? c) Por mucho que pase el tiempo, ¿puede llegar a ser el rendimiento inferior al rendimiento que el producto tenía inicialmente? ¿Por qué? Solución: f(x) es creciente en el intervalo ( 0 , 1 ) y decreciente en ( 1 , +∞ ). b) El valor máximo es 10. C) Por mucho que pase el tiempo el rendimiento del producto se mantiene por encima del rendimiento inicial y va acercándose a este valor inicial.

1t8,0t1,2)t(f 2 −+= 9t0

2

25xB(x)

x 16=

+


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12. Sept 2009. La especialidad de una pastelería es la fabricación de cajas de bombones Xupladitis. Los costes de fabricación, C(x) en euros, están relacionados con el número de cajas producidas, x, mediante la función: C(x) = 0,1 x2 + 20 x + 2500 Si el precio de venta de una caja de bombones es de 80 euros y se venden todas las cajas producidas, se pide: a) La función de ingresos que obtiene la pastelería con la venta de las cajas. b) La función de beneficios, entendida como diferencia entre ingresos y costes de fabricación. c) El número de cajas de bombones que se deben producir para maximizar el beneficio y el beneficio máximo. Solución: a) La función de ingresos, I(x) = 80 x b) La función de beneficios, B(x) = Ingresos – Costes= – 0´1 x2 + 60 x – 2500 c) Para maximizar el beneficio hay que producir 300 cajas de bombones y el beneficio máximo será de 6500 €.

13. Sept 2008 La cuenta de resultados (pérdidas o ganancias) en millones de euros, y, de una empresa vienen dadas por la siguiente función de los años de existencia de la misma:

2

2

7

25205

x

xxy

+

−+=

a) ¿A partir de qué año deja la empresa de tener pérdidas? b) ¿En qué momento alcanza la empresa sus ganancias máximas? ¿A cuánto ascienden éstas? c) Describe la evolución de la cuenta de resultados de la empresa. ¿Cuáles serán sus beneficios a muy largo plazo? Solución: a) La empresa dejará de tener pérdidas a partir del primer año de existencia b) Por lo tanto la empresa alcanza sus ganancias máximas a los 7 años de su creación y estas ganancias son de 6428571€. c) Podemos describir la evolución de la cuenta de resultados de la empresa de la siguiente forma: - Durante el primer año tiene pérdidas. - A partir del segundo año y hasta el séptimo los beneficios crecen hasta alcanzar un máximo de 6´4 millones de euros y a partir del séptimo año los beneficios desciende pero se mantienen por encima de los 5 millones de euros. 14. Jn 2008 El coste de fabricación en euros de x unidades de un artículo viene

dado por la función f (x) = x − 2 x + 20

a) ¿Cuál es la función que determina el coste de fabricación unitario? b) ¿Para qué producción resulta mínimo el coste unitario? ¿Cuánto vale éste? Justifica que es mínimo.

Solución: a) x

xxxC

202)(

+−= b) El coste unitario resulta mínimo para una

producción de 400 unidades y este coste unitario es de 0´95 €. 15. Jn 2008 a) Calcula los máximos y mínimos absolutos de la función f(x) =

196 23 ++− xxx en el intervalo [1,4]. Justifica que los puntos encontrados son

máximos o mínimos absolutos. b) Estudia la continuidad en el intervalo [0,4] de la siguiente función:


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++−

+=

41196

1032)(

23 xxxx

xxxf

Solución: a) La función f(x) en el intervalo [1, 4] tiene: un mínimo absoluto en el punto ( 3 , 1 ) y dos máximos absolutos en los puntos ( 1 , 5 ) y ( 4 , 5 ). B) f(x) es continua en el intervalo [1, 4 ]. 16. Jn 2005. Se estima que los beneficios mensuales de una fábrica de golosinas, en miles

de euros, vienen dados por la función f(x) = – 0,1 x 2+ 2,5 x – 1 0, cuando se venden x toneladas

de producto. Se pide:

a) Calcular la cantidad de toneladas que se ha de vender para obtener el beneficio máximo y

calcular éste. Justificar que es máximo.

b) La cantidad mínima que se ha de vender para no tener pérdidas.

c) ¿Qué cantidad produce el máximo beneficio por tonelada vendida? Calcular el máximo

beneficio y justificar que es máximo.

Solución: a) Para obtener un beneficio máximo hay que vender 12´5 toneladas del producto y el

beneficio será de 5625 €. b) La cantidad mínima que se ha de vender para no tener pérdidas es

5 toneladas. c) La cantidad que produce el máximo beneficio por tonelada vendida es 10

toneladas, el beneficio será (10.0´5 = 5 miles de €) 5000 €.


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TEMA 8: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

GUÍA

1. ¿Qué es el dominio y recorrido de una función? ¿Cómo se calcula?

2. ¿Qué son los puntos de corte y las regiones de existencia de una función?

¿Cómo se calculan?

3. ¿Qué es la simetría de una función? ¿Cómo se calcula?

4. ¿Qué es la periodicidad de una función? ¿Cómo se calcula?

5. ¿Qué son los extremos relativos de una función? ¿Cómo se calculan?

6. ¿Qué es la monotonía de una función? ¿Cómo se calcula?

7. ¿Qué son los puntos de inflexión de una función? ¿Cómo se calculan?

8. ¿Qué es la curvatura de una función? ¿Cómo se calcula?

9. ¿Qué son las asíntotas de una función? ¿Cómo se calculan?

10. Representación de funciones a trozos.

11. Representación de funciones.


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EJERCICIOS

1. Realiza el estudio de la función:

2. Realiza el estudio de las funciones:

a) 2500153

)( 23

+−= xx

xf

b) 16)( 4 −= xxf

c) 34)( xxxf −=

d) 23 3)( xxxf −=


a) 1

2)(

2 −=

x

xxf

b) 1

)(2

−=

x

xxf


a) 1

32)(

2

−

−−=

x

xxxf

b) 1

14)(

2

−

+−=

x

xxxf

5. Representa gráficamente las funciones: a) y = x3 – 3x2 + 4 b) f(x) = x4 - 6x2

6. Representar gráficamente la función x

xxg

1)(

2 −=

7. Dada la función 3

1)(

2 +

−=

x

xxf , hallad su dominio, sus asíntotas, sus

intervalos de crecimiento, sus máximos y sus mínimos. Haced una

representación gráfica de la función que refleje los datos obtenidos.

8. Estudia (dominio, crecimiento, máximos y mínimos, asíntotas) y

representa gráficamente la función: 2

12)(

xx

xxf

−

−=

9. Representa la gráfica de la función f(x) = 3

5

3

5)( x

xxf −= . Para ello calcula

asíntotas, intervalos de crecimiento, extremos relativos y puntos de

inflexión.

2

5)(

−=

x

xxf


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10. Representa la gráfica de la función en el intervalo [-2,2],

22)( 24 +−= xxxf .

11. Representa gráficamente la curva x

xxf1

)( += . Para ello calcula

asíntotas, puntos críticos e intervalos de crecimiento.

12. Representar gráficamente la curva 4

)(2

3

−=

x

xxf . Para ello calcula

asíntotas, puntos críticos e intervalos de crecimiento.

13.

14. Estudiar y representar gráficamente la función 1

)(2

+=

x

xxf

15. Estudiar y representar gráficamente la función 4

3)(

2

2

−

+=

x

xxf


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SELECTIVOS

1 Julio 2014 Dada la función 158

168)(

2

2

+−

+−=

xx

xxxf se pide:

a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.

b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales.

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

d) Máximos y mínimos locales.

e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores.

2. Jn 2014. Dada la función 34

44)(

2

2

+−

−+−=

xx

xxxf , se pide

a) Su dominio y puntos de corte con os ejes coordenados.

b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales, si las hay.

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

d) Máximos y mínimos locales.

e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores.


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TEMA 9: INTEGRALES

GUÍA

1. ¿Qué es la primitiva de una función?

2. ¿Qué es la integral de una función?

3. ¿Qué es la integral indefinida? ¿Cuáles son sus propiedades?

4. ¿Cómo se realiza la integral de las funciones constantes?

5. ¿Cómo se realiza la integral de las funciones potenciales?

6. ¿Cómo se realiza la integral de las funciones polinómicas?

7. ¿Cómo se realiza la integral de las funciones trigonométricas?

8. ¿Qué es la integral definida? ¿Cuáles son sus propiedades?

9. ¿Cuál es la Regla de Barrow? ¿Para qué sirve?

10. ¿Cómo se calcula el área de una región continua en un intervalo?

11. ¿Cómo se calcula el área de una región limitada por dos curvas?


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EJERCICI0S

1. Realiza las siguientes integrales:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

Soluciones:

http://thales.cica.es./rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solinm1.gif















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2.

3. Resuelve la siguiente integral:

4. Calcula:

( ) :calcula ,32 función la Dada 2 xxxf −=

( )xf6

0

a)

( )xf−

0

1

b)

( )32 23

1+ x

+−

241

0

23

xx


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5. Halla el área del recinto limitado por la parábola 6)( 2 −−= xxxf y el eje

X en el intervalo [0,4]

6. Calcula el área del recinto limitado por la función 1)( 2 −= xxf en el

intervalo [0,2]:

7. Halla el área del recinto limitado por la parábola 32)( 2 ++= xxxf , el eje

X y las rectas x=-1 y x=1

8. Dada la función definida por ( )

−

+=

02

042)(

2xsix

xsixxf .

a) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con el eje de abscisas y esboza dicha gráfica.

b) Halla el área de la región acotada que está limitada por la gráfica de f y por el eje de abscisas. (Solución: 20/3 u2)

9. Dada la gráfica de la función f (x):

Sabiendo que el área del recinto I es 2u2 y que el área del recinto II es

19/2u2, calcula la integral de -2 a 2 de dicha función.

10. Halla el área comprendida entre la curva y = 2x2 + 2x - 1 y la recta y

= 4x + 3.

11. La gráfica de una cierta función, f(x) , es la siguiente:

1

I

II

2 f x( )

−2

1 2−1−2

Y

X

4

6

8

2

6 82 4−4 −2−8 −6−2

−4

−6

Y

X


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A partir de esta gráfica, calcula:

12. Halla el área limitada por la función xxxxf 2)( 23 −+= y el eje X.

13. Halla el área limitada por la función xxxf 4)( 3 −= y el eje X.

14. Sea la función

−

+=

024

042)(

xsix

xsixxf .

a) Haz un esbozo de la gráfica de f. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas.

15. Sea la función

=

24

2)(

2

xsi

xsixxf .

c) Haz un esbozo de la gráfica de f. d) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas.

16. Sea la función f(x)= x(x – 3)2 .

a) Haz un esbozo de la gráfica de f. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de

abscisas.

17. Dadas las funciones definidas mediante f(x) = x3 − 4x y g(x) = 3x − 6 a) Determina los puntos de corte de las gráficas de f y g.

(Solución: x=-3, x=1, x=2) b) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.

(Solución: 131/4 u2)

18. Dadas las funciones definidas por f(x) = x2 – 1 y g(x) = 2x + 2

a) Esboza las gráficas de f y g.

b) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas. (Solución: 32/3 u2)

19. Halla el área del recinto limitado por las curvas 12 −= xy e 21 xy −= .

20. Calcula el área limitada por la parábola y = x2+1, la recta y = 4x -3 y

el eje Y.

21. Halla el área del recinto limitado por las curvas xxy 52 2 −= , Halla el

área del recinto limitado por las curvas 12 −= xy e xxy 22 −= y 1−=x

( )xf4

0


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22.

Solución: 2

2

32u ,

2

3

216u , 2

2

1u , 2

3

4u , 29u , 2

3

32u .

23. La Las siguientes gráficas corresponden a las funciones:

Calcula el área del recinto limitada por ellas.

22

33 x

yexxy =−=

y x x= 23−

y=x3

2

4

6

8

2

6 82 4−4 −2−8 −6−2

−4

−6

Y

X


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TEMA 10: PROBABILIDAD

GUÍA

1. Definir los conceptos:

a) Espacio muestral.

b) Espacio de sucesos.

c) Suceso elemental.

d) Suceso compuesto.

e) Suceso seguro.

f) Suceso imposible.

g) Sucesos iguales.

h) Suceso contrario o complementario a A.

2. Definir las operaciones de unión, intersección y diferencia de sucesos.

3. Propiedades de la unión e intersección.

4. ¿Qué es la probabilidad?

5. ¿Cuáles son los tres axiomas de la probabilidad?

6. Calculo de la probabilidad mediante un diagrama de árbol.

7. ¿Cuál es la regla de Laplace?

8. ¿Qué es la probabilidad condicionada? ¿Cómo se calcula?

9. ¿Cuándo dos sucesos son independientes?

10. ¿Cuál es el teorema de l probabilidad total?

11. ¿Cuál es el teorema de Bayes?


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RESUMEN PROBABILIDAD

OPERACIONES CON SUCESOS:

Unión Intersección Diferencia

Diferencia

(A o B) (A y B) (Sólo suceso A)

(Sólo suceso B) (Sólo suceso A o B)

PROPIEDADES DE SUCESOS:

Distributiva: A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) Leyes de Morgan: BABA =

A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) BABA =

LEY DE LAPLACE: PROBABILIDAD DEL SUCESO A

muestral espacio del selementale sucesos de Número

A componen que selementale sucesos de Número

oexperiment del totales casos de Número

A suceso al favorables casos de Número)( ==AP

Siempre se debe cumplir que: 0 ≤ P(A) ≤ 1

PROBABILIDAD DEL SUCESO CONTRARIO: P(A ) = 1 - P(A)

PROBABILIDAD DE LA UNIÓN: P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Si dos sucesos A y B son incompatibles, P(A∩B) = 0 → P(AUB) = P(A) +

P(B)

A∩B


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PROBABILIDAD CONDICIONADA: )B(P

)BA(P)B/A(P

= ó

)A(P

)BA(P)A/B(P

=

Sucesos independientes: Dos sucesos son independientes si p(A/B) = P(A) ó

p(B/A) = P(B)

PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN: P(A∩B) = P(A/B) · P(B) ó P(A∩B) =

P(A) · P(B/A)

Si dos sucesos A y B son independientes p(A/B) = P(A), luego quedaría:

P(A∩B) = P(A)·P(B)

AYUDA PARA RESOLVER EJERCICIOS DE PROBABILIDADES

a) Diagramas de Venn: Por ejemplo

Probabilidad de la diferencia: P(A-B) = P(A) - P(A∩B)

b) Tablas de contingencia:

c) Diagramas de árbol:

A A Total

B )BA(P )BA(P P(B)

B )BA(P )BA(P P(B )

Total P(A) P(A ) 1

→ =P(A)·

B → P(A∩B)=P(A)·P(B/A)

P( )

P(A) A


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EJERCICI0S

1. En un experimento aleatorio se consideran los sucesos A y B. La

probabilidad de que no se verifique A es 0,1. La probabilidad de que no se

verifique B es 0,4. La probabilidad de que no se verifique A ni B es 0,04. Hallar

la probabilidad de que:

1º) Se verifique el suceso A o se verifique el suceso B.

2º) Se verifique el suceso A y se verifique el suceso B. ¿Son independientes los

sucesos A y B?

Solución:

Se tiene:

P(A ) = 0,1 → P(A) = 1 - P(A ) = 1 – 0,1 = 0,9

P(B ) = 0,4 → P(B) = 1 - P(B ) = 1 – 0,4 = 0,6

P( BA ) = 0,04

1º) P(AUB) = 1 – P( BA ) = 1 – 0,04 = 0,96

2º) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) →P(A∩B) = P(A) + P(B) – P(AUB)

P(A∩B) = 0,9 + 0,6 – 0,96 = 0,54

Dos sucesos son independientes si p(A/B) = P(A)

P(A) = 0,9

P(A/B) = P(A∩B) / P(B) = 0,54 / 0,6 = 0,9

Luego como son iguales los resultados, los sucesos son independientes.

También lo podríamos haber comprobado de la siguiente manera:

De la definición: P(A/B) = P(A∩B) / P(B) , despejando P(A∩B) , queda

P(A∩B) = P(A/B) · P(B) , y si A y B son independientes quedaría:

P(A∩B) = P(A) · P(B)

Como P(A)·P(B) = 0,9 · 0,6 = 0,54, y coincide con el resultado de P(A∩B), los

sucesos son independientes.


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A → P(AA)=7

2

6

3·

7

4=

63

2. A) Una caja contiene 7 tarjetas de la misma forma y tamaño: 4 de color

amarillo y 3 de color rojo. Se extrae de ella al azar una tarjeta, se anota su

color y sin devolverla a la caja extraemos de ésta una segunda tarjeta. Se pide:

1º) Escribir el espacio muestral.

2º) Hallar la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales del espacio

muestral.

Solución:

1º) Si A designa el suceso sacar tarjeta amarilla y R el suceso sacar tarjeta

roja, se tiene: E = {AA, AR, RA, RR}

2º) Podríamos hacer un diagrama de árbol de los sucesos posibles:

1ª Extracción 2ª Extracción

3. En una determinada asignatura hay matriculados 2500 alumnos. En

Junio se presentaron 1800 de los que aprobaron 1015, mientras que en

Septiembre, de los 700 que se presentaron, suspendieron 270. Elegido al azar

un alumno matriculado en esa asignatura, 1) calcula la probabilidad de que

la haya aprobado. 2) Si ha suspendido la asignatura, cuál es la probabilidad

de haberse presentado en Septiembre.

Solución: Toda la dificultad del ejercicio está en saber organizar los datos.

Lo podríamos hacer directamente, o bien, ayudándonos con una tabla de

contingencia o con un diagrama de árbol.

a) Intentamos resolver el ejercicio directamente:

1) Si A designa el suceso aprobar la asignatura, nos piden la probabilidad de

elegido un alumno al azar de los que se han matriculado que haya aprobado la

asignatura, que designaremos p(A).

Aplicando directamente la ley de Laplace de las probabilidades, tendremos:

R

R → P(AR)=7

2

6

3·

7

4=

R → P(RR)=7

1

6

2·

7

3=

A → P(RA)=7

2

6

4·

7

3=

62

64

63

73

74

A

(Observa que la suma de todos los resultados posibles sale 1)


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MUESTRAL ESPACIO DEL SELEMENTALE SUCESOS DE NUMERO

A COMPONEN QUE SELEMENTALE SUCESOS DE NÚMERO

OEXPERIMENT DEL TOTALES CASOS

A SUCESO AL FAVORABLES CASOS)( ==AP

En nuestro caso, el número total de alumnos que se han matriculado es

2500, de ellos han aprobado, 1015 en junio y 700 – 270 = 430 en Septiembre,

en total 1015 + 430 = 1 445 han aprobado, luego

asignatura la aprobaron osmatriculad alumnos de % 8,57578,0500

289

2500

1445)( ===AP

2) La segunda pregunta es el cálculo de la probabilidad de que el alumno se

hubiera presentado en Septiembre condicionada a que hubiera suspendido la

asignatura, es decir, necesitamos saber de todos los alumnos que han

suspendido cuantos los han hecho en Septiembre.

Calculamos el número de alumnos suspensos: en Junio suspendieron 1800 –

1015 = 785 y en Septiembre 270, luego suspendieron 785 + 270 = 1055.

En resumen de 1055 alumnos suspendidos, 270 lo hicieron en Septiembre,

luego,usando de nuevo la ley de Laplace, quedaría:

P(Si ha suspendido la asignatura, haberse presentado en Septiembre)=

% 59,2526,0211

54

1055

270=

b) Podríamos haber resuelto el ejercicio construyendo una tabla de

contingencia, de la siguiente manera:

1) asignatura la aprobaron osmatriculad alumnos de % 8,57578,0500

289

2500

1445)( ===AP

2)

.Septiembre en hicieron lo suspensos alumnos los de % 59,2526,0211

54

1055

270)/( ===SEP

c) Se podría haber resuelto, también, haciendo un diagrama de árbol, pero,

quizás, en este caso no sería la forma más aconsejada.

A=APROBADOS S=SUSPENSOS TOTALES

J=JUNIO 1015 1800 – 1015 = 785

1800

E=SEPTIEMBRE 700-270 = 430 270 700

TOTALES 1445 1055 2500


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4. En un centro de Secundaria, aprueban Biología 4 de cada 5 alumnos, las

Matemáticas las aprueban 2 de cada 3 alumnos y 3 de cada 5 alumnos

aprueban la Lengua. Elegido al azar un alumno matriculado de esas

asignaturas en ese centro, Calcula la probabilidad de que: 1) suspenda esas

tres asignaturas. 2) suspenda sólo una de ellas.

Solución: Si definimos los siguientes sucesos:

B = {aprobar Biología}; M = {aprobar Matemáticas}; L = {aprobar Lengua}

B ={suspender Biología}; M = {suspender Matemáticas} ; L = {suspender

Lengua}.

Tenemos las siguientes probabilidades:

P(B) = 4/5 ; P(B ) = 1 – P(B) = 1 – 4/5 = 1/5

P(M) = 2/3 ; P(M ) = 1 – P(M) = 1 – 2/3 = 1/3

P(L) = 3/5 ; P( L ) = 1 – P(L) = 1 – 3/5 = 2/5

1) P(suspender las tres asignaturas) = P(B ∩M ∩L )= P(B )·P(M )·P(L ) , ya que

los tres sucesos son independientes =

sasignatura tres las suspenden alumnos de % 6,2602,075

2

5

2·

3

1·

5

1 ===

2) P(suspender sólo una de ellas):

P(suspender sólo Biología y aprobar las otras dos) = P(B ∩M∩L) = 75

6

5

3·

3

2·

5

1=

P(suspender sólo Matemáticas y aprobar las otras dos) = P(B∩M ∩L) =

75

12

5

3·

3

1·

5

4 =

P(suspender sólo Lengua y aprobar las otras dos) = P(B∩M∩ L ) = 75

16

5

2·

3

2·

5

4 =

La probabilidad de suspender sólo una de ellas es igual a la suma de las tres

anteriores:


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P(suspender sólo una de ellas)= P(suspender sólo Biología o suspender sólo

Matemáticas o suspender sólo Lengua)= P[(B ∩M∩L) U (B∩M ∩L) U (B∩M∩L ) ]

= P(B ∩M∩L) + P(B∩M ∩L) + P(B∩M∩L ) =

= sasignatura las de una sólo onsuspendier alumnos de % 3,4545,075

34

75

16

75

12

75

6 ==++

5. Un estuche contiene 5 lápices de igual forma y tamaño: 2 de color azul y 3 de

color verde. Se extrae un lápiz del estuche ya a continuación, sin

reemplazamiento, se extrae otro lápiz. Se pide:

a) Escribir los sucesos elementales que definen los sucesos M = “Sólo ha salido

un lápiz de color verde” y N = “El segundo lápiz extraído es de color azul”

b) Calcula las probabilidades de los sucesos M, N y M∩N.

c) Estudia la independencia de los sucesos M y N. Razona la respuesta.

Solución: a) Llamamos: a = lápiz azul; v = lápiz verde el espacio muestral sería,

E = {(a,a),(a,v),(v,a),(v,v)}

M = {(a, v), (v, a)}

N = {(a, a), (v, a)}

b) La probabilidad de cada suceso elemental es:

P(a,a) = 20

2

4

1·

5

2= ; P(a,v) =

20

6

4

3·

5

2= ; P(v,a) =

20

6

4

2·

5

3= ; P(v,v)

= 20

6

4

2·

5

3=

Con esto:

p(M) = p(a, v) + p(v, a) =5

3

20

12

20

6

20

6==+

P(N) = p(a, a) + p(v, a) =5

2

20

8

20

6

20

2==+

p(M∩N) = p(v, a) = 10

3

20

6

4

2·

5

3==

c) Como hemos visto en ejercicios anteriores si se cumple que P(A∩B) = P(A) ·

P(B) , A y B son independientes.


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p(M) · p(N) = 25

6

5

2·

5

3= ; y p(M∩N) =

10

3 ,

luego como son distintos, los sucesos M y N no son independientes.

6. Los atletas veteranos de un club de atletismo tienen la siguiente

preferencia referente a su participación en distintos tipos de carreras.

El 70% suele participar en carreras de maratón (42 km 195 m)

El 75% suele participar en carreras de media maratón (21 km 97,5 m)

El 13% no suele participar en estos tipos de carreras.

Se elige al azar uno de estos atletas. Calcula la probabilidad de que:

(a) Suela participar en carreras de maratón o de media maratón.

(b) Suela participar en carreras de maratón y de media maratón.

(c) Suela participar únicamente en carreras de maratón o únicamente en

carreras de media maratón.

Solución:

a) Llamamos M a participar en la maratón y N a participar en la media maratón.

Se tienen las siguientes probabilidades:

P(M) = 0,7 ; P(N) = 0,75 ; P( NM ) = 0,13

(a) Es la probabilidad del suceso MUN.

P(MUN) = 1 - P( NM ) = 1 – 0,13 = 0,87

(b) Es la probabilidad del suceso M∩N:

P(MUN) = P(M) + P(N ) - P(M∩N) → P(M∩N) = P(M) + P(N ) - P(MUN) = 0,7

+ 0,75 – 0,87 = 0,58

(c) Es la diferencia simétrica, la probabilidad del suceso (M - N) U (N - M):

P[(M - N) U (N - M)] = P(M - N) + P (N - M)

P(M - N) = P(M) – P(M∩N) = 0,7 – 0,58 = 0,12

P (N - M) = P(N) – P(M∩N) = 0,75 – 0,58 = 0,17

Luego P[(M - N) U (N - M)] = P(M - N) + P (N - M) = 0,12 + 0,17 = 0,29


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Si hacemos un diagrama de Venn:

Del diagrama de Venn podemos observar que:

P[(M - N) U (N - M)] =

P(MUN) - P(M∩N) = 0,87 – 0,58 = 0,29

7. Se dispone de un dado trucado con cuatro caras con puntuaciones: 1, 2,

3, 4, de modo que p(4) = 4p(1), p(3) = 3 p(1), p(2) = 2p(1), en donde p(4) indica

la probabilidad de obtener la puntuación 4 y así sucesivamente. Se dispone

también de dos urnas con las siguientes composiciones: Urna U1: 1 bola roja

y 2 bolas verdes. Urna U2: 2 bolas rojas y 3 bolas verdes.

Se lanza el dado. Si sale número par extraemos una bola de la urna U1. Si sale

impar extraemos una bola de la urna U2. Se pide:

a) Determina las probabilidades de los sucesos elementales que se presentan al

lanzar el dado de cuatro caras.

b) Se lanza el dado y a continuación extraemos una bola de la urna que

corresponda. Halla la probabilidad de que sea de color verde.

Solución:

a) Si p = p(1), se tendrá que:

p(1) + p(2) + p(3) + p(4) = 1 ➔ p + 2p + 3p + 4p = 1 ➔ 10 p = 1 ➔ p =

1/10

Luego: p(1) = 1/10 ; p(2) = 2/10 ; p(3) = 3/10 ; p(4) = 4 /10

Además: p(par) = 6/10 = 3/5 = p(U1) ; p(impar) = 4/10 = 2/5 = p(U2)

b) p(verde) = p(v) = p(U1) · p(v/U1) + p(U2) · p(v/U2) = 25

16

25

6

5

2

5

3·

5

2

3

2·

5

3=+=+


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8. Se dispone de tres monedas. La primera de ellas está trucada de forma

que la probabilidad de obtener cara es 0,4. La 2ª moneda tiene dos cruces y la

3ª también está trucada de modo que la probabilidad de obtener cara es 0,6.

Se pide:

1º) Escribir el espacio muestral correspondiente al lanzamiento de estas tres

monedas, sucesivamente, y en el orden indicado.

2º) Probabilidad de que se obtengan exactamente dos cruces.

3º) Probabilidad del suceso A = “(cara, cruz, cara)”

4º) Probabilidad de obtener, al menos, una cara.

Solución:

Si C={suceso salga cara} X = {suceso salga cruz}, tendremos :

Moneda 1: P(C) = 0,4 ; P(X) = 0,6

Moneda 2: P(C) = 0 ; P(X) = 1

Moneda 3: P(C) = 0,6 ; P(X) = 0,4

1º) E = {(C, X, C), (C, X, X), (X, X, C), (X, X, X)}

2º) “exactamente dos cruces” = {(C, X, X), (X, X, C)}

P((C, X, X), (X, X, C)) = 0,4 · 1 · 0,4 + 0,6 · 1 · 0,6 = 0,52

3º) Probabilidad del suceso A = “(cara, cruz, cara)” = {(C, X, C)}

P(A) = 0,4 · 1 · 0,6 = 0,24

4º) “obtener, al menos, una cara” = {(C, X, C), (C, X, X), (X, X, C)}

P((C, X, C), (C, X, X), (X, X, C)) = 1 – P(X, X, X) = 1 – 0,6 · 1 · 0,4 = 0,76

9. En un experimento aleatorio, la probabilidad de un suceso A es dos

veces la probabilidad de otro suceso B, y la suma de la probabilidad de A y la

probabilidad del suceso contrario de B es 1,3. Se sabe, además, que la

probabilidad de la intersección de A y B es 0,18. Calcular la probabilidad de

que:

1º) Se verifique el suceso A o se verifique el suceso B.

2º) Se verifique el suceso contrario de A o se verifique el suceso contrario

de B.

3º) ¿Son independientes los sucesos A y B?

Solución:


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Tenemos: P(A) = 2P(B) ; P(A) + P(B ) = 1,3 ; P(A∩B) = 0,18

De: P(A) + P(B ) = 1,3 y como P(B ) = 1 – P(B) , resulta P(A) + 1 –

P(B) = 1,3.

Como, también, P(A) = 2P(B) ➔ 2P(B) + 1 – P(B) = 1,3 → P(B)=1,3

-1 = 0,3 ➔ P(A) = 2P(B) = 0,6

1º) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0,6 + 0,3 – 0,18 = 0,72

2º) Por una de las leyes de Morgan:

)BA(P)BA(P = = 1 – P(A∩B) = 1 – 0,18 = 0,82

3º) Como P(A∩B) = 0,18 y P(A) · P(B) = 0,6 · 0,3 = 0,18, los sucesos A y B son

independientes

10. Se dispone de dos urnas iguales con el siguiente contenido,

Urna P: 4 bolas amarillas y 6 bolas granates

Urna Q: 5 bolas amarillas y 7 bolas granates.

Se dispone de un dado cúbico con las siguientes puntuaciones: 1, 1, 2, 2, 2, 3.

Se lanza el dado. Si sale el número 1 se extrae una bola de la urna P. En los

demás casos la bola se extrae de la urna Q. Se pide la probabilidad de que:

a) Al lanzar el dado se obtenga una puntuación mayor de 1.

b) Al tomar una bola de la urna P sea de color granate.

c) Al extraer una bola, después de lanzar el dado, se obtenga de color

amarillo

Solución:

a) Para el dado se tiene: P(1) = 2/6 = 1/3 ; P(2) = 3/6=1/2 ; P(3) = 1/6

P(>1) = P(2) + P(3) = 3/6 + 1/6 = 4/6= 2/3

b) P(Granate/Urna P ) = 6/10 = 3/5

c) P(amarilla) = P(1) · P(amarilla/Urna P) + P(>1)

11. Se sabe que para un alumno cualquiera de un colegio, la probabilidad de que éste practique algún deporte es 0,5, acude al cine con asiduidad con una probabilidad de 0,6 y practica deporte o va al cine con una probabilidad de 0,9. Elegido un alumno al azar, calcular :


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a) La probabilidad de que vaya al cine y practique algún deporte.

b) La probabilidad de que no practique ningún deporte, ni vaya al cine. SOL: a)0,2 ; b)0,1

12. En una universidad existen tres facultades. En la facultad A, el número de alumnos matriculados es de 500; en la B , 1 000 ; y en la C, 1 500. Se sabe que el porcentaje de alumnos que suspenden en la Facultad A es del 25%, en la B el 15%, y en la C del 30%. Se elige al azar un alumno de esta universidad y se pide :

a) ¿Cuál es la probabilidad de aprobar?

b) ¿Cuál es la probabilidad de suspender? SOL: a) 0,76; b) 0,24

13. En una determinada prueba se presentan alumnos de tres centros. Del

primero se presentan 150 alumnos y aprueban un tercio de los presentados. Del segundo se presentan 125 y suspenden el 80% de los presentados. Y del tercero aprueban 75 y suspenden 25.

a) Hacer una tabla que recoja la información anterior.

b) Del total de alumnos presentados, ¿qué porcentaje corresponde a cada centro?

c) Calcular la probabilidad de que un alumno elegido al azar haya suspendido.

d) Si se sabe que un alumno elegido al azar no pertenece al primer centro, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado?

SOL: b)40% ; 33,3% ; 26,6% ; c)0,6 ; d)44,4%

14. Si en un juego se gana cuando al lanzar dos dados, la suma de ambos es 6 ó 7. Si jugamos 20 partidas, calcular la probabilidad de que :

a) Exactamente ganemos 10 de ellas.

b) Ganemos por lo menos 2 partidas. SOL: a) 0,342; b) 0,9933

15. Tenemos una moneda trucada con una probabilidad de salir cara 0,6. Si la lanzamos cuatro veces, ¿cuál es la probabilidad de que salga más de dos caras? Si lanzamos la moneda unas cuantas veces. ¿Qué significa que los lanzamientos son independientes?

SOL: 0,4752

16. . En un colegio se va a hacer una excursión a una estación de esquí con dos

autobuses, uno grande y otro pequeño. Las dos terceras partes de los

alumnos apuntados a la excursión irán en el autobús grande y el resto, en

el pequeño. Se sabe que todos los alumnos que viajarán en el autobús

pequeño saben esquiar y el 40% de los que lo harán en el otro autobús no

saben esquiar. Se pide:

a) Calcular la probabilidad de que un alumno de la excursión elegido al azar

sepa esquiar.

b) Se elige un alumno de la excursión al azar y se observa que sabe esquiar.

¿Cuál es la probabilidad de que viaje en el autobús grande?


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15. Dados dos sucesos A y B. si P(A)= 0.4 y P(B) = 0,5. ¿Es posible que

P(AUB)=0,7? Razonar la respuesta.

17. Se sabe que de cada 100 relojes que fabrica una determinada marca, 5

tienen algún defecto. Se selecciona un lote de 600 relojes.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan más de 37 defectuosos? b) ¿Cuál es el número esperado de relojes que no tienen defectos?

18. . A un almacén de pintura le abastecen tres fabricantes y el número total de

unidades recibidas es de 14 000. El primer proveedor le envía 2 000

unidades de las cuales 600 son blancas, 1 000 rojas y 400 azules. El

segundo le envía 4 000 unidades de las cuales 2 000 son blancas, 1 500

rojas y 500 azules. El tercer centro le remite 8 000 unidades de las cuales 4

000 son blancas, 3 500 rojas y 500 azules. Se pide:

a) Realizar una tabla que recoja la información anterior.

b) Determinar la probabilidad de que un producto elegido al azar sea blanco.

a) Si se sabe que un producto no procede del primer proveedor y ha sido elegido al azar, determinar la probabilidad de que sea azul.

19. Una urna contiene tres bolas negras y cinco bolas blancas. Extraemos al

azar una bola, anotamos el color y volvernos a ponerla en la urna; después

hacemos una segunda extracción. Calculad la probabilidad de que:

a) Las dos bolas sean negras.

b) Las dos bolas sean blancas.

c) Sea una bola de cada color.

20. En un bote hay 6 caramelos de fresa. 7 de menta y 7 de limón Si se extraen

3 caramelos sucesivamente, ¿cuál es la probabilidad de que los tres sean de

sabores distintos?

21. Lanzamos dos dados. Si la suma es 10 o más, cogemos una bola de la urna

A, en caso contrario la cogemos de B. La composición de las urnas es:

Urna A: 6 bolas blancas, 2 rojas y 4 azules.

Urna B: 3 blancas y 7 azules.

Se pide:

a) Probabilidad de que la bola sea blanca y de la urna A.

b) Probabilidad de que la bola sea azul.


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22. Tenemos una urna con 4 bolas blancas. 4 negras y 2 rojas. Cogemos 3 de ellas19. Tenemos una urna con 4 bolas blancas. 4 negras y 2 rojas. Cogemos 3 de ellas consecutivamente y devolvemos cada vez la bola a la urna antes de coger la siguiente. Calcula la probabilidad de que al menos 2 sean blancas.

23. Se consideran dos urnas. U1 y U2. En la urna U1 hay 5 bolas blancas y 2

negras y en la U2 hay 3 blancas y 5 negras. Se extrae una bola de una de las

urnas y se introduce en la otra urna; a continuación se extrae una bola de esta

última urna. Encontrar la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) La primera bola extraída sea blanca.

b) Las dos bolas extraídas sean del mismo color.

24. Una urna contiene 5 bolas blancas y 8 negras. Se extrae al azar una de las

bolas y se reemplaza en la urna por 2 bolas del otro color. A continuación, se

extrae una segunda bola. Hallar:

a) La probabilidad de que la segunda bola sea negra.

b) La probabilidad de que la segunda bola sea del mismo color que la primera.


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SELECTIVOS

1. La probabilidad de que ocurra el contrario de un suceso A es 1/3; la

probabilidad de un suceso B es 3/4 y la probabilidad de que ocurran a la vez

los sucesos A y B es 5/8.

a) Calcula la probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B.

b) Calcula la probabilidad de que no ocurra ni el suceso A ni el suceso B.

c) Calcula la probabilidad de que ocurra A, sabiendo que ha ocurrido B.

d) ¿Son independientes los sucesos A y B? Razona tu respuesta.

Solución:

a) 19/24. b) 5/24 c) 5/6 d) No porque )()()( BPAPBAP

2. Probamos una vacuna contra la gripe en un grupo de 400 personas, de

las que 180 son hombres y 220 mujeres. De las mujeres, 25 contraen la gripe y

de los hombres 23. Calcula las siguientes probabilidades:

a) Que al seleccionar una persona al azar resulte que no tiene gripe.

b) Que al seleccionar una persona al azar resulte ser una mujer que no tiene

gripe.

c) Que seleccionada una persona al azar que no tiene gripe, resulte ser hombre.

d) Que seleccionada una mujer al azar, resulte no tener gripe.

Solución: a) 0´88 b) 0´4875 c) 0´4460I d) 0´8864

3. En una empresa el 30% de los trabajadores son técnicos informáticos y

el 20% son técnicos electrónicos, mientras que un 10% tienen las dos

especialidades.

a) Calcula la probabilidad de que un trabajador de dicha empresa seleccionado

al azar sea técnico informático o electrónico.

b) Si seleccionamos al azar a un técnico electrónico, ¿cuál es la probabilidad de

que sea también técnico informático?

c) Si seleccionamos un trabajador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea

un técnico que tiene solo una de las dos especialidades?

Solución: a) 0´4 b) 0´5 c) 0´3

4. Una factoría dispone de tres máquinas para fabricar una misma pieza.

La más antigua fábrica 1000 unidades al día, de las que el 2% son defectuosas.

La segunda máquina más antigua, 3000 unidades al día, de las que el 1,5% son

defectuosas. La más moderna fabrica 4000 unidades al día, con el 0,5% de

defectuosas. Se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa?

b) Si una pieza elegida al azar es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que

haya sido fabricada en la máquina más antigua?


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c) Sabiendo que una pieza elegida al azar no es defectuosa, ¿cuál es la

probabilidad de que no haya sido fabricada en la máquina más moderna?

Solución: a) 0´0106 b) 0´2353 c) 0´4972

5. Julio 2016. El 35% de los alumnos de un instituto viste vaqueros y el

50% lleva calzado deportivo. El 30% de ellos no usa ni vaqueros ni calzado

deportivo. Calcula:

a) La probabilidad de que un alumno elegido al azar vista vaqueros o use calzado

deportivo.

b) La probabilidad de que un alumno elegido al azar vista vaqueros y use calzado

deportivo.

c) La probabilidad de que un alumno elegido al azar vista vaqueros pero no use

calzado deportivo.

d) Si se elige un alumno al azar y se observa que no lleva calzado deportivo,

¿cuál es la probabilidad de que no lleve vaqueros?

Sol: a) P ( V ∪ D ) = 0´70 b) P ( V ∩ D ) = 0´15 c) 0´20 d) 0´6

6. Jn 2016. Juan va normalmente a alquilar películas a uno de los tres videoclubs

siguientes: A, B y C. Se sabe que la probabilidad de que vaya al videoclub C es

0,2 y que la probabilidad de que vaya al A es la misma que la probabilidad de

que vaya al B. En el videoclub A el 35% de las películas son españolas, el 55%

en el B y el 40% en el C. Un día va a un videoclub y una vez allí elige

aleatoriamente una película. Se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya ido al videoclub A?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la película elegida sea española?

c) Suponiendo que ha elegido una película no española, ¿cuál es la probabilidad

de que haya ido al videoclub C?

Sol: a) 0.4 b) 0.44 c) 0.2143

matemÁticas aplicadas a las ciencias sociales 2º bac

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