215 matemáticas aplicadas a las ciencias sociales ii 2º

215

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Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Menéndez

Revisores: María Molero y Javier Rodrigo Todas las imágenes han sido creadas por los

autores utilizando software libre (GeoGebra y GIMP)

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

2º Bachillerato Capítulo 7: Integrales

2º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. Capítulo 7: Integrales Autores: Leticia González y Álvaro Valdés LibrosMareaVerde.tk Revisores: María Molero y Javier Rodrigo www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP

Integrales 216

Índice ACTIVIDADES DE INTRODUCCIÓN

1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN. LA INTEGRAL INDEFINIDA 1.1. DEFINICIÓN DE PRIMITIVA 1.2. DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA 1.3. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

2. INTEGRALES DE FUNCIONES ELEMENTALES 2.1. INTEGRAL DE DIFERENCIAL DE x. INTEGRALES INMEDIATAS 2.2. INTEGRAL DE LA FUNCIÓN CONSTANTE 2.3. INTEGRAL DE LAS FUNCIONES POTENCIALES 2.4. INTEGRAL DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES 2.5. INTEGRAL DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS

3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 3.1. INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE 3.2. INTEGRACIÓN POR PARTES

4. EL PROBLEMA DEL CÁLCULO DEL ÁREA 4.1. ÁREA BAJO UNA CURVA 4.2. LA INTEGRAL DEFINIDA 4.3 TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL 4.4. FUNCIÓN INTEGRAL O FUNCIÓN ÁREA 4.5. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL 4.6. REGLA DE BARROW 4.7. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Área encerrada bajo una curva Área comprendida entre dos curvas

Resumen A estas alturas de tu vida estudiantil has aprendido muchos símbolos matemáticos. Posiblemente este sea el último que aprenderás en el instituto, el símbolo de integral:

Fue introducido por el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1675, basándose en la palabra latina summa, ‘suma’, escrito ſumma, tomando sólo la inicial. Por tanto, este símbolo es una S, y la integral no deja de representar una suma.

El término “Cálculo integral”, por su parte, fue introducido por Jakob Bernoulli en 1690.

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/


Integrales 217

Actividades de introducción Calcula el área de la región limitada por la función ( ) xxf = entre el origen de coordenadas y un

punto genérico de abscisa x.

Solución:

Si representamos la función ( ) xxf = y dibujamos la superficie entre ella y el eje OX, obtenemos el triángulo rectángulo de la figura.

Sabemos que el área del triángulo es: 2alturabaseÁrea ⋅

=

Tanto la base como la altura valen x unidades, por tanto:

22Área

2xxx=

⋅=

Por tanto, el área bajo la curva ( ) xxf = se calcula como ( )2

A2xx = .

Calcula el área de la región limitada por la función ( ) xxf += 3 entre el origen de coordenadas y un punto genérico de abscisa x.

Solución:

Como antes, representamos la función ( ) xxf += 3 y dibujamos la superficie entre ella y el eje OX. Ahora obtenemos el trapecio rectángulo de la figura.

Si dividimos la figura en un rectángulo de altura 3 u y un triángulo, el área se calcula como:

23

23Área

2xxxxx +=⋅

+⋅=

Por tanto, el área bajo la curva ( ) xxf += 3 se calcula como:

( )2

3A2xxx += .

Actividades propuestas 1. Calcula el área de la región limitada por cada una de las funciones ( ) axf = , ( ) xaxg ⋅= y

( ) bxaxh +⋅= (con a y b ∈ R) entre el origen de coordenadas y un punto genérico de abscisa x.

Analiza: • Deriva las expresiones obtenidas en los ejercicios anteriores y razona qué relación hay entre las

funciones ( )xA y ( )xf . • Recuerda la interpretación de área como “suma de las unidades cuadradas encerradas por una

figura”. Aplícala para determinar el área de la función ( ) 216 xxf −= , representándola en una cuadrícula y contando el número de cuadrados bajo ella para diferentes valores de x.

• Razona qué ocurre con el área cuando la función ( )xf es negativa en el intervalo analizado.



Integrales 218

1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN. LA INTEGRAL INDEFINIDA 1.1. Definición de primitiva Se llama función primitiva de una función ( )xf a otra función ( )xF tal que la derivada de ( )xF es ( )xf , es decir, ( ) ( )xfxF =′

Ejemplo:

La función ( ) xxxxF 321 23 +−= es una primitiva de ( ) 33 2 +−= xxxf , ya que ( ) ( )xfxF =′ .

Teniendo en cuenta las propiedades de la derivada, se verifica que si ( )xF es una función primitiva de ( )xf , cualquier otra función primitiva de ( )xf es de la forma ( ) CxF + , con C ∈ R.

En efecto; consideramos la función ( ) CxF + , tal que ( ) ( )xfxF =′ y C ∈ R. Si derivamos:

( )( ) ( ) ( ) ( )xfxfCxFCxF =+=′+′=′+ 0 Por tanto, ( ) CxF + es primitiva de ( )xf . 1.2. Definición de integral indefinida La integral indefinida de una función ( )xf es el conjunto de todas sus primitivas, y se representa como

( )∫ dxxf . Se lee “integral de ( )xf diferencial de x”.

Por tanto, si ( )xF es una primitiva de ( )xf :

( ) ( )∫ += CxFdxxf

A C se la denomina constante de integración, y el dx nos indica que estamos integrando respecto de x.

Esto que ahora no parece tener demasiada importancia, sí la tendrá más adelante, ya que está relacionado con la regla de la cadena que vimos en el capítulo anterior y, en el futuro, aprenderás a realizar integrales en varias variables.

Por otro lado, si recordamos lo visto en la actividad inicial y lo explicado en el “Resumen” acerca del origen del símbolo de integral, la expresión de la integral indefinida es la estilización de la expresión:

Suma de ( )xf por ∆x cuando ∆x → 0, es decir:

( )∫ dxxf significa “la suma del área de todos los rectángulos de altura ( )xf y base infinitesimal (dx)”

Ejemplos:

∫ += Cxdxx 434 porque ( ) 34 4xCx =′+ .

∫ += Cxdxx

ln1 porque ( )

xCx 1ln =′+



Integrales 219

1.3. Propiedades de la integral indefinida Las propiedades de las derivadas justifican muchas de las propiedades de las integrales.

Suma (y resta) de integrales Sabiendo que si ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxhxgxfxh ′+′=′⇒+= :

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ +=+ dxxgdxxfdxxgxf

Producto por un número real Sabiendo que si ( ) ( ) ( ) ( )xfkxhxfkxh '' ⋅=⇒⋅= :

( ) ( )∫∫ ⋅=⋅ dxxfkdxxfk

Ejemplos:

( ) Cxxdxxdxxdxxx ++=+=+ ∫∫∫ 2544 2525 porque ( ) xxCxx 25 425 +=′

++ .

Cxdxxdxx +== ∫∫ sen 7 cos7 cos7 porque ( ) xCx cos 7sen 7 =′+

Actividades resueltas

Determina los valores de a, b y c para los que ( ) xcebxaxF x ++= 3 es una primitiva de la función ( ) 357 2 +−= xexxf .

Como ( )xF es una primitiva de ( )xf : ( ) ( ) { }3,5,3573 3

722 =−==⇒+−=++⇒=′ cbaexcebxaxfxF xx

Determina a y b para que ( ) xbxaxF += 3ln sea una primitiva de ( ) 5ln 2 −= xxf .

Como ( )xF es una primitiva de ( )xf :

( ) ( ) ⇒−≠+==′ 5ln3 23

2

xbxxaxfxF Es imposible

Si x representa el volumen de producción de una fábrica, el coste marginal de la misma viene

dado por la función ( ) 21583 xxxf ++= . Encuentra la función del coste total, ( )xF , si se sabe que dicha función viene dada por la primitiva F de f que verifica que ( ) 1000 =F .

Como F es una primitiva de ( ) 21583 xxxf ++= : ( ) ( ) ( ) CxxxdxxxdxxfxF +++=++== ∫∫ 3451583 232

Nos dicen que ( ) 1000 =F : ( ) 1001000304051000 23 =⇒=+⋅+⋅+⋅⇒= CCF

Entonces el coste total es: ( ) 100345 23 +++= xxxxF



Integrales 220

Actividades propuestas 2. Calcula las siguientes primitivas:

a) ∫ dxx34 b) ∫ dxx 23 c) ∫ dxx 45 d) ( )∫ +− dxxxx 234 345

3. Dada , calcula la primitiva F(x) de que verifica .

4. Comprueba si ( ) 524 23 +−+= xxxxF es una primitiva de ( ) 3412 2 ++= xxxf . En caso negativo, explica por qué.

5. Determina los valores de a, b, c y d para los que ( ) dxcxbxaxF +++= 23 es una primitiva de la función ( ) 354 2 +−= xxxf .

6. Al resolver una primitiva, Javier y Ricardo han utilizado métodos diferentes y, como era de esperar, han obtenido expresiones distintas. Después de revisarlo muchas veces y no encontrar ningún error en los cálculos, le llevan el problema a la profesora para ver quién tiene bien el ejercicio. Para su sorpresa, la profesora les dice que ambos tienen bien el problema. ¿Cómo es posible?

7. Razona por qué la gráfica siguiente:

es una primitiva de la función “parte entera de x”, ( )xE , (salvo en los puntos de discontinuidad donde no es derivable):

( ) 123 23 ++−= xxxxf ( )xf ( ) 40 =F



Integrales 221

2. INTEGRALES DE FUNCIONES ELEMENTALES 2.1. Integral del diferencial de x. Integrales inmediatas El término dx está relacionado, como su propio nombre indica, con el concepto de diferencial visto en el capítulo anterior. Teniendo en cuenta que la derivada y la integral son operaciones inversas una de la otra, es inmediato deducir que:

Cxdx +=∫ con C ∈ R.

Esta idea nos permite definir las integrales inmediatas:

Integrales inmediatas son las que se obtienen directamente por la propia definición de integral.

Si recordamos la regla de la cadena para la derivación:

( ) ( ) ( ) ( ) uufxFufxF ′⋅′=′⇒=

podemos reescribirla en forma diferencial como:

( ) ( ) ( ) duufdFufxF ⋅′=⇒= y, calculando su integral:

( ) ( ) CxFdFduuf +==⋅′ ∫∫ Ejemplos:

( ) ( ) CeCeduexxdedxexx xxuuxxxx +=+==+=⋅+ +++ ∫∫∫252525 325334 365

( ) ( ) ( ) ( ) CxCxxdxdxx ++=++

=++=+ ∫∫ 3 4

34

3/43/13 3

433333

( ) ( ) CxCxxdxx

dxxdxxx

+=+==⋅= ∫∫∫ 221

2

ln2

lnlnlnlnln

2.2. Integral de la función constante La integral de una constante es igual a esa constante multiplicada por x.

Cxkdxk +⋅=∫ con C ∈ R.

En efecto; consideramos la función ( ) CxkxF += , con C ∈ R. Si derivamos:

( ) ( ) kkCxkxF =+=′+=′ 0

También podríamos demostrarlo utilizando la propiedad del producto por un número (1.3) y con lo visto en 2.1:

Cxkdxkdxk +⋅=⋅= ∫∫

Ejemplos:

Cxdx +=∫ 33

( ) Cxdx +−=−∫ 88

Cxdx +=∫ 53

53

Cxdx +=∫ 3232



Integrales 222

2.3. Integrales de funciones potenciales Ya conocemos la derivada de la función potencial:

( ) ( ) 1−⋅=′⇒= nn xnxfxxf con n ∈ R

También conocemos que:

( ) ( ) 11ln −==′⇒= xx

xfxxf

Es fácil razonar el proceso inverso:

Cnxdxx

nn +

+=∫

+

1

1

si n ≠ –1 y con C ∈ R.

Ejemplos:

CxCxdxx +=++

=+

∫ 615

6155

CxCxCxdxxdxx +=+=++

==+

∫∫ 3 4

34

3/4

31

13/13/13

43

1

Cx

CxCxdxxdxx

+−

=+−

=++−

==−+−

−∫∫ 2

2133

3 21

2131

El caso n = –1 corresponde al logaritmo neperiano:

Cxdxxdxx

+== ∫∫ − ln1 1 con C ∈ R.

Donde el valor absoluto se debe a que tenemos que plantear todas las posibles funciones cuya derivada sea la función del integrando, y se cumple que:

( ) ( ) ( ) ( ) 01

01

01

0ln0ln

ln ≠∀=′⇒

>

<−−

=′⇒

><−

== xx

xfx

x

xxxf

xxxx

xxfsi

si

sisi

Estas dos fórmulas se pueden generalizar a partir de la regla de la cadena, como vimos antes:

( )[ ] ( ) ( )[ ]∫ +

+=′⋅

+

Cnxfdxxfxf

nn

1

1

si n ≠ –1 y

( )( ) ( ) Cxfdxxfxf

+=′

∫ ln con C ∈ R.

Ejemplos:

∫ +−=−− Cxdx

x49ln

494

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) CxCxfdxxfxfdxxxdxxx ++

=+=′⋅=⋅+=⋅+ ∫∫∫ 122

6222

626

215

2152

2152

∫ ++=+− Cxxdx

xxxx cossenln

cossensencos



Integrales 223

2.4. Integrales de funciones exponenciales Partiendo de la derivada de las funciones exponenciales:

( ) ( ) xx exfexf =′⇒= y ( ) ( ) xx aaxfaxf ⋅=′⇒= ln deducimos:

Cedxe xx +=∫ y

Ca

adxax

x +=∫ ln con C ∈ R y a ≠ 1.

Y su generalización con la regla de la cadena:

( ) ( ) ( ) Cedxxfe xfxf +=′⋅∫ y

( ) ( )( )

Ca

adxxfaxf

xf +=′∫ ln con C ∈ R y a ≠ 1.

Ejemplos:

Cdxx

x +=∫ 5ln55

Cedxe xx +=∫ 888

Cxdxx

x +=∫ 7ln747

22

22

Cedxedxe xxx +== ∫∫ 999

Cedxedxedxe xxx

x +=⋅=⋅

= ∫∫∫ 555

5

515

51

55

Necesitamos la derivada del exponente. Lo solucionamos multiplicando y dividiendo por 5

Cedxxedxexdxex xxx

x +=⋅=⋅⋅

=⋅ ∫∫∫33

33

313

31

33 2

22

Necesitamos la derivada del exponente, es decir, 23x . Tenemos el 2x , pero nos falta el 3. Para solucionarlo, multiplicamos y dividimos por 3

( ) Cdxdxdx

xx

xx

+⋅−=⋅−−=−−⋅

=−

−−

−

∫∫∫ 2ln232

313

3322

33

33

Necesitamos la derivada del exponente, es decir, .31−

Para ello, dividimos y multiplicamos por –3.

2.5. Integrales de funciones trigonométricas directas

Cxdxx +−=∫ cossen y ( ) ( ) ( ) Cxfdxxfxf +−=′⋅∫ cossen con C ∈ R.

Cxdxx +=∫ sencos y ( ) ( ) ( ) Cxfdxxfxf +=′⋅∫ sencos con C ∈ R.

Cxdxx +=∫ tgsec2 y ( ) ( ) ( ) Cxfdxxfxf +=′⋅∫ tgsec2 con C ∈ R.

Ejemplos:

( ) ( )∫ +−−=− Cxdxx 7cos7sen

( ) ( )∫ +−=⋅ Cxdxxx 22 2cos2sen4

( ) ( ) ( )∫ ∫ +=⋅= Cxdxx

xdxx

x 2lnsen12lncos2lncos



Integrales 224

Actividades resueltas Calcula las siguientes primitivas:

o ∫ + dxxx 52 2 .

Observamos que la derivada del radicando es 4x, así que multiplicamos y dividimos entre 4:

∫∫∫ ⋅+=+⋅=+ dxxxdxxxdxxx 45252452 2412

412

Entonces, esta primitiva es equivalente a CuCuduuduu +=+== ∫∫ 32

23

323

21

:

( ) ( )C

xC

xdxxx +

+=+

+⋅=+∫ 6

523

5224152

32322

o ∫ dxx2

2cos3

.

La función más importante es el coseno, y vemos que la raíz de tres no tiene nada que ver con ella. Lo sacamos fuera de la integral:

∫∫ =2

22

2 cos3

cos3

xx

dxdx

La derivada del argumento del coseno es 21 , así que multiplicamos por 2 y por 2

1 dentro y fuera de la integral para obtener una integral inmediata:

Cxdxxdxdxxx

+⋅=⋅=⋅⋅= ∫∫∫ 2tg32

22sec32

cos23

cos3 2

22

21

22

o ∫ +dx

ee

x

x

1.

De todas las primitivas que hemos visto, sólo el logaritmo y las potenciales con exponente negativo generan una fracción. Es una integral logarítmica si en el numerador tenemos la derivada del denominador. Lo comprobamos:

( ) xx ee =′

+1

Entonces, esta primitiva es equivalente a Cuudu

+=∫ ln , y resulta:

Cedxe

e xx

x

++=+∫ 1ln

1

o ( )∫+

dxe

ex

x

21.

Ahora el numerador NO es la derivada del denominador, sino sólo de la expresión entre

paréntesis. Es fácil ver que la primitiva es equivalente a Cu

Cuduuudu

+−

=+−

==−

−∫∫1

1

12

2 ,

y resulta:

( ) Ce

dxe

exx

x

++−

=+

∫ 11

1 2



Integrales 225

3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 3.1. Integración por cambio de variable La integración por cambio de variable busca transformar la primitiva dada en una más sencilla, y puede hacerse de dos formas diferentes:

Caso 1. Identificar una parte del integrando con una nueva variable t.

Ejemplo:

( )∫ + dxx 423 . No es necesario un cambio de variable, pero vamos a mostrar el mecanismo:

Hacemos el binomio igual a t y diferenciamos ambos términos:

( ) ∫∫∫ =⋅=+⇒=→=

=+dttdttdxxdtdxdtdx

tx444

31

323

33

23

Resolvemos la primitiva en la forma habitual:

CtCtdtt +=+⋅=∫ 15531

31 55

4

Finalmente, deshacemos el cambio:

( ) ( ) Cxdxx ++

=+∫ 152323

54

El caso más frecuente es aquél en el que observamos una función complicada y su derivada:

( )[ ] ( )∫ ′ dxxgxgf

Una vez identificada, el cambio de variable consiste en llamar a dicha función t y diferenciar:

( )[ ] ( ) ( )( ) dtdxxg

txgdxxgxgf

=′=

→′∫

La integral se transforma en otra que integraremos: ( ) ( ) CtFdttf +=∫

Para, finalmente, deshacer el cambio:

( )[ ] ( ) ( )[ ] CxgFdtxgxgf +=′∫

Ejemplo: ( )∫ ⋅++ dxeee xxx 122 .

Podríamos desarrollar el producto e integrar las exponenciales individualmente: ( ) ( ) Ceeedxeeedxeee xxxxxxxxx +++=⋅++=⋅++ ∫∫ 23

31232 212

Pero si hacemos la exponencial igual a t, integraremos un polinomio:

( ) ( ) Ctttdtttdxeeedtdxe

te xxxx

x

+++=++=⋅++⇒=

=∫∫ 23

3122 1212

Deshacemos el cambio y obtenemos: ( ) Ceeedxeee xxxxxx +++=⋅++∫ 23

312 12

Muchas veces se convertirá en una integral inmediata y, como en los ejemplos, no habría sido necesario dicho cambio.



Integrales 226

Caso 2. El cambio será de la forma ( )tgx = , donde ( )tg se elegirá de forma adecuada para simplificar el integrando. Se diferencia la igualdad:

( ) ( )( )dttgdxtgx

dxxf′=

=→∫

Sustituimos en la integral, integramos y deshacemos el cambio hallando la función inversa de g:

[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] CxgFdxxfxgt

tgxCtFdttgtgf +=⇒

=⇒=

→+=′ −− ∫∫ 11 )( )(

Ejemplo:

( )∫ +⋅

++dx

xx

x 16

1ln11

22 . La derivada del logaritmo es:

( )[ ]1

21ln 22

+=′+

xxx

que se encuentra en la fracción que precede al diferencial de x. Hacemos el cambio: ( )

( ) Cxdttdt

xdxx

tx+++⋅=++⋅=⋅

+=

=+

=+∫ 1ln1ln3Ct1ln33

11

12

1ln2

2

2

Hay muchos cambios ya estudiados, de uso frecuente para casos concretos, pero superan los contenidos de este curso.

Actividades resueltas

dxx 35∫ + . Como antes, es una integral inmediata, pero vamos a repetir el procedimiento:

Hacemos el binomio igual a t y diferenciamos:

dttdttdxxdtdxdtdx

tx⋅=⋅=+⇒

=→==+

∫∫∫ 51

51

51

355

35

Resolvemos la primitiva: CtCtdttdtt +=+⋅⋅==⋅ ∫∫ 323

21

152

32

51

51

51

Y deshacemos el cambio: ( ) Cxdxx ++=+∫ 335152 35

Resuelve ∫ ⋅+⋅ dxxx 12 haciendo el cambio de variable 21 tx =+

Hacemos el cambio que nos indican:

( )∫∫ ⋅⋅−==

−=⇒=+=⋅+⋅ dtttt

dttdxtxtx

dxxx 212

111 222

222

Desarrollamos el cuadrado, simplificamos e integramos:

( ) ( ) ( ) ( ) Ctttdttttdtttttdtttt ++−⋅=+−=⋅⋅+−=⋅⋅− ∫∫∫ 3315

527

7124624222 22221221

Y, finalmente, deshacemos el cambio:

( ) ( ) ( ) Cxxxxt

txdxxx ++++−+=

+==+

=⋅+⋅∫357

22 1

321

541

72

11

1



Integrales 227

Actividades propuestas 8. Calcula las siguientes primitivas utilizando el cambio indicado:

a) ∫− dxx

xx4

3

haciendo x = t12.

b) ∫ −+ xx eedx

haciendo ex = t.

c) ∫ +dx

xx

215 4

haciendo 221 tx =+

d) ∫−+ 12xx

dx haciendo txx =−+ 12

e) ( )∫ +−+ dxxxxx cos3sensen3sen2 23 haciendo tx =sen

9. Elige el cambio de variable que simplifica las siguientes integrales:

a) ( )∫

+

+ dxxx

x34

3

212

b) dxx

e x

∫ 2

tg

cos c)

( )∫ ⋅

dxxxx

lnlnln

d) ∫ ⋅− dxxx 492 43 e) dxxx

∫ +++

211

3 f) ∫

−dx

xx

241

3.2. Integración por partes La integración por partes es un método que nos permite calcular la integral del producto de dos funciones de naturaleza diferente, una fácilmente derivable y otra fácilmente integrable.

En este curso nos limitaremos a los productos de funciones logarítmicas, polinómicas, exponenciales y trigonométricas (senos y cosenos), que se recogen en la regla mnemotécnica A–L–P–E–S.

Con el método de integración por partes transformaremos integrales de la forma

( ) ( )∫ ′⋅ dxxvxu

donde ( )xv′ es la función fácil de integrar, en otra expresión más sencilla en la que aparece una nueva integral más fácil de calcular que la de partida.

Se utiliza la siguiente fórmula: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ′⋅−⋅=′⋅ dxxuxvxvxudxxvxu

que se suele escribir de forma abreviada como:

∫ ∫ ⋅−⋅=⋅ duvvudvu

Existen muchas reglas mnemotécnicas para recordar esta fórmula, recogemos tres de ellas:

- Salieron Unidos De Viaje Y Un Viajero Menos Se Vino De Ujo. Ujo es un hermoso pueblo asturiano

- Susanita Un Día Vio Un Valiente Soldado Vestido De Uniforme.

- Sergio Un Día Vio Una Vaca Sorda Vestida De Uniforme.



Integrales 228

Demostración:

Consideramos el producto de funciones ( ) ( )xvxu ⋅ y calculamos su derivada:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )xvxuxvxuxvxu ′⋅+⋅′=′⋅

Integramos ambos miembros de la igualdad:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]dxxvxuxvxudxxvxu ∫∫ ′⋅+⋅′=′⋅ ⇒ ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ′⋅+⋅′=′⋅ dxxvxudxxvxudxxvxu

De donde: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ′⋅+⋅′=⋅ dxxvxudxxvxuxvxu

Despejando, resulta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ′⋅−⋅=′⋅ dxxuxvxvxudxxvxu

Aunque suele escribirse en la forma anterior:

∫ ∫ ⋅−⋅=⋅ duvvudvu

Observaciones:

1. Como norma general, se elige como “u” a la primera función de la palabra ALPES y como dv al resto del integrando, pudiendo darse el caso de tener que plantear dv = dx.

Ejemplo:

Cxxxdxxxx

dxxxxxdxvdxdv

xdxduxu

dxx +−⋅=−⋅=⋅−⋅===→=

=→== ∫∫

∫∫ ln ln ln

lnln

2. Sabremos que estamos aplicando correctamente el método si obtenemos una integral más

simple que la inicial.

Ejemplo:

( ) ( ) =⋅−−−⋅=−==→=

=→==⋅⋅ ∫∫∫ cos cos cos sen sen sen dxxxxxdxxvdxxdv

dxduxudxxx

Cxxxdxxxx ++⋅−=+⋅−= ∫ sen cos cos cos 3. El proceso de integración por partes puede aplicarse varias veces. En ese caso se debe mantener

la elección inicial de u y v. Si se invierte, volveremos a la integral de partida.

Ejemplo:

=⋅−⋅=⋅−⋅===→=

=→==⋅ ∫∫∫∫ dxexexdxxeex

edxevdxedvdxxduxu

dxex xxxxxxx

x 2 2 2 22

22

[ ] =+⋅−⋅=−⋅⋅−⋅===→=

=→== ∫∫∫

dxeexexdxeexexedxevdxedvdxduxu

xxxxxxxxx 222 22

( ) CexxCeexex xxxx +⋅+−=+⋅+⋅−⋅= 2222 22



Integrales 229

4. Si la integral inicial es el producto de una exponencial por una trigonométrica, se obtiene lo que se denominan integrales cíclicas. Al aplicar por segunda vez el método de integración por partes, se obtiene la integral de partida, y se debe resolver como una ecuación:

Ejemplo:

=⋅==→=

=→==⋅⋅

∫∫ xdxxvdxxdvdxedueu

dxxexx

x

3sen 3 cos 3 cos2

3 cos31

222

=⋅⋅−⋅=⋅−⋅= ∫∫ dxxexedxexxe xxxx 3sen 3sen 23sen 3sen 2322

312

31

312

Repetimos: =⋅−==→=

=→=

∫ xdxxvdxxdvdxedueu xx

3 cos 3sen 3sen 2

31

22

( ) ( )[ ]⇒⋅⋅−−−⋅⋅−⋅=⋅⋅ ∫∫ dxexxexedxxe xxxx 231

312

322

312 23 cos3 cos3sen 3 cos

∫∫ ⋅−⋅+⋅=⋅⋅ dxxexexedxxe xxxx 3 cos3 cos3sen 3 cos 2942

922

312

Observamos que obtenemos la integral de partida. Si denotamos ∫ ⋅⋅= dxxeI x 3 cos2 :

xexeIIIxexeI xxxx 3 cos3sen 3 cos3sen 2922

31

94

942

922

31 ⋅+⋅=+⇒−⋅+⋅=

( )xexeIxexeI xxxx 3 cos3sen 3 cos3sen 2922

31

1392

922

31

913 ⋅+⋅⋅=⇒⋅+⋅=

Entonces, sustituyendo I por su expresión y desarrollando las fracciones:

( ) Cxxedxxex

x +⋅+⋅⋅=⋅⋅∫ 3 cos23sen 313

3 cos2

2

5. El método de integración por partes no es excluyente. Podemos utilizarlo después de vernos obligados a realizar un cambio de variable, o tener que realizar un cambio de variable después de haber aplicado la integración por partes.

6. Existen otras integrales que se resuelven por partes y que no están recogidas en “la regla de los ALPES”. La estrategia general es buscar una función “fácilmente integrable” y otra “fácilmente derivable” para simplificar la primitiva inicial.

Actividad resuelta

∫ − dxxx 123 .

Esta primitiva puede resolverse de varias formas diferentes: 1. Por partes:

La dificultad es encontrar la función fácilmente integrable. En este caso, la elección es:

( ) ( ) ( )∫∫ −−−=−⇒=→=

−=→−= dxxxxxdxxxdxxduxu

xvdxxxdv 2/32322/322

3123

2

2/32312

11 1 2

1 1

La segunda primitiva es más simple que la primera, así que estamos en el buen camino:

( ) ( ) ( ) ( ) Cxxxdxxxxxdxxx +−−−=−−−=− ∫∫2/52

51

322/322

312/32

322/322

3123 1111 1

Es decir: ( ) ( ) Cxxxdxxx +−−−=−∫5

2152

322

3123 11 1



Integrales 230

2. Por cambio de variable: El cambio de variable que buscamos es el que permite eliminar la raíz del integrando:

( ) ( )∫∫∫∫ +=⋅⋅+=−=−⇒=→=+=→=−

dttttdttt xdxxxdxxxdttdxxdttdxx

txtx 24222232222

11 122

11

Resolvemos la primitiva: ( ) ( ) ( ) CxxCttdttt +−+−=++=+∫3

231

52

513

315

5124 11

Las dos expresiones son diferentes, pero es sencillo manipularlas para hacerlas iguales. Actividades propuestas 10. Determina si las siguientes integrales son inmediatas o no:

a) ∫

+−+ dxx

xxx 2

33 134 b) ∫ dxxxln

c) ∫ dxxx cossen

d) ( )

∫+ dx

xx 1ln

e) ∫−

− dxx

x2

2

11

f) ∫ −+− dx

xxx

112

2

24

g) ∫ ⋅ dxex x22 h) ∫ dxe x2

11. Resuelve las siguientes integrales: a) ( )∫ ++ dxeeee xxxx 23 b) ∫ ⋅⋅ dxeex xx 22

cos c) ( )∫ dxxx tgcosln

d) ∫ + 41 xdxx

i) ∫ + x

x

edxe

21 j) ( )∫ +

xdxx 2ln

12. Resuelve las siguientes integrales: a) ( )∫ ++ dxexx x12 b) ∫ dxxln c) ∫ xdxx cos

d) Curiosidad – idea feliz: Resuelve la primitiva ( )∫ dxxlncos .

Para ello, multiplica y divide el integrando por x: ( ) ( )

=→=

=→==⋅∫ vdx

xx

dv

duxudxx

xx

lncoslncos

13. Sea ( ) 82 22 +−= xexf x , justifica si es primitiva de alguna de las siguientes funciones: ( ) 842 +−= xexg x ( ) xexh x 42 2 −=

14. Dada la función ( ) ( ) ( )231 −⋅+= xxxf . a) Calcula una primitiva de ( ).xf b) Justifica que la función ( ) 22 23 ++= xxxF no es primitiva de ( ).xf

15. Dada la función ( ) ( ) ,cos xaxxf += donde a es una constante, a) Encuentra una primitiva de .f b) Si F es una primitiva de ,f ¿puede serlo también ( ) ( ) xxFxG 2+= ?

16. Sea ( ) bxxxf += 2 donde b es una constante. Encuentra b, sabiendo que hay una primitiva F de f con ( ) 20 =F y ( ) 203 =F . Encuentra también la expresión de F.

17. Dada la función ( ) ( )025 22 ≠+−= x

xaxxf , donde a es una constante, encuentra una primitiva de

f. Posteriormente, encuentra a para que si f ′ es la derivada de f, entonces ( ) .21 −=′f



Integrales 231

4. EL PROBLEMA DEL CÁLCULO DEL ÁREA 4.1. Área bajo una curva

Dada una función ( )xf continua y no negativa en un intervalo [ ]ba, , su gráfica determina una región del plano que vendrá limitada por la función, el eje de abscisas y las rectas ax = y bx = .

Veamos cómo podemos calcular de forma aproximada el área de dicha región:

Tomamos una partición del intervalo [ ]ba, . Consiste en dividir el intervalo en n partes, tomando para ello los puntos nxxxx ,,,, 210 verificando

bxxxxa n =<<<<= 210 .

Así, tenemos los intervalos [ ] [ ] [ ]bxxxxa n ,,,,,, 1211 − .

A continuación, denotamos por im al mínimo valor que toma la función en el intervalo [ ]ii xx ,1− y por

iM al máximo valor que toma la función en el mismo intervalo.

Así, en cada intervalo [ ]ii xx ,1− consideraremos dos posibles figuras, la creada con rectángulos de base

1−− ii xx y altura im y la creada con rectángulos de base 1−− ii xx y altura iM . Sumando las áreas de los n rectángulos, obtenemos:

Suma inferior Suma superior

En el primer caso obtenemos una aproximación por defecto del área encerrada bajo la curva:

( ) ( ) ( ) ( )∑=

−− −=−++−+−=n

iiiinnn xxmxxmxxmxxms

111122011

Esta suma se denomina suma inferior de la partición en el intervalo [ ]ba, .

En el segundo caso obtenemos una aproximación por exceso del área encerrada bajo la curva.

( ) ( ) ( ) ( )∑=

−− −=−++−+−=n

iiiinnn xxMxxMxxMxxMS

111122011

Esta suma se denomina suma superior de la partición en el intervalo [ ]ba, .

Hemos obtenido dos aproximaciones del área A, una por defecto s y otra por exceso S. Se tiene que

SAs ≤≤



Integrales 232

Si tenemos una partición 1P del intervalo [ ]ba, , con suma inferior 1s y suma superior 1S , diremos que otra partición 2P del intervalo [ ]ba, es más fina que 1P si contiene todos los puntos de la partición 1P y además otros puntos nuevos.

Para dicha partición 2P , tenemos una suma inferior 2s y una suma superior 2S . Se verifica que:

1221 SSAss ≤≤≤≤

Es decir, al tomar una partición más fina, la suma inferior aumenta (siendo todavía menor o igual que el valor del área) y la suma superior disminuye (siendo mayor o igual que el valor del área).

Partición P1 Partición P2 Partición P1 Partición P2

Esto significa que cuanto más fina sea la partición, más nos acercamos al verdadero valor del área.

Considerando una sucesión de particiones cada una más fina que la anterior, ,,,,, 121 +nn PPPP , obtendremos ,,,,, 121 +nn ssss la sucesión de áreas por defecto y ,,,,, 121 +nn SSSS la sucesión de áreas por exceso.

Cuando ∞→n , la longitud de los intervalos de la partición se hace cada vez más pequeña, luego 01 →− −ii xx . Así, cuando la función sea integrable, las sumas inferiores y superiores tenderán al área:

0→− nn sS

Esto significa que ( ) nnnnnnnsSsS

∞→∞→∞→=⇒=− limlim0lim , y de aquí: AsS nnnn

==∞→∞→

limlim

Suma inferior y superior con la partición P1

Suma inferior y superior con la partición P2

…

Área



Integrales 233

4.2. Integral definida Sea una función ( )xf continua y no negativa en un intervalo [ ]ba, .

Definimos la integral definida entre a y b de ( )xf como la expresión

( )∫b

adxxf

Su valor es el área comprendida entre la gráfica de ( )xf , el eje de abscisas y las rectas ax = y bx = .

Los valores a y b se llaman límites de integración.

Hemos visto que dada una sucesión de particiones ,,,,, 121 +nn PPPP del intervalo [ ]ba, , cada una más fina de la anterior, con sumas inferiores ,,,,, 121 +nn ssss y sumas superiores

,,,,, 121 +nn SSSS , se verifica que dichas sumas tenderán al verdadero valor del área.

Se tiene que: ( ) nnn

b

a nsSdxxf lim lim

∞→∞→==∫ , es decir, que la integral se puede interpretar como:

“la suma del área de todos los rectángulos de altura ( )xf y base infinitesimal (dx) comprendidos entre a y b”

Propiedades:

1. – Si los límites de integración son iguales, la integral definida vale cero. ( ) 0=∫a

adxxf

2. – Si la curva está por encima del eje X ( )( )0>xf , la integral es positiva, ( )∫ >b

adxxf 0 , mientras que

si la curva está por debajo del eje X ( )( )0<xf , se puede definir también la integral definida, que

será negativa: ( )∫ <b

adxxf 0 .

3. – Sea ( )bac ,∈ , entonces podemos descomponer la integral de la forma:

( ) ( ) ( )∫∫∫ +=b

c

c

a

b

adxxfdxxfdxxf .

4. – Si intercambiamos los límites de integración, la integral cambia de signo.

( ) ( )∫ ∫−=a

b

b

adxxfdxxf

5. – Dadas dos funciones ( )xf y ( )xg continuas en el intervalo [ ]ba, , se tiene que:

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ +=+b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf y ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ −=−

b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf

6. – Dada una función ( )xf continua en el intervalo [ ]ba, y una constante k ∈ R, se tiene que:

( ) ( )∫∫ =b

a

b

adxxfkdxxfk

7. - Dadas dos funciones ( )xf y ( )xg continuas en [ ]ba, , verificando ( ) ( )xgxf ≤ [ ]bax ,∈∀ , se tiene:

( ) ( )∫∫ ≤b

a

b

adxxgdxxf



Integrales 234

4.3. Teorema del valor medio del cálculo integral Dada una función f continua en el intervalo [ ]ba, , entonces existe un punto ( )bac ,∈ tal que

( ) ( ) ( )abcfdxxfb

a−⋅=∫ .

Interpretación geométrica: Siendo la integral un área, la interpretación geométrica es simple: Existe un punto ( )bac ,∈ tal que el área encerrada entre la curva, el eje de abscisas y las rectas ax = y bx = es igual al área de un rectángulo de base la amplitud del intervalo, ab − , y altura el valor que toma la función en el punto intermedio, ( )cf .

Ejemplo:

Encuentra los valores de c que verifican ( ) ( ) ( )abcfdxxfb

a−⋅=∫ siendo ( )xf la semicircunferencia

de centro el origen y radio 1, y a y b los puntos de corte de la misma con el eje OX.

Sabemos que la ecuación de la circunferencia en el plano es 222 ryx =+ , así que para el

problema que se nos plantea tenemos que ( ) 21 xxf −+= y los puntos de corte con el eje son

( )0,1− y ( )0,1+ .

Se trata de encontrar el rectángulo (azul) cuya área coincide con la de la semicircunferencia (roja), sabiendo que la base para ambas figuras está comprendida entre los puntos ( )0,1− y ( )0,1+ .

Entonces, siendo:

hb ⋅=rectA y 2circA r⋅π=

Debe verificarse:

4212

212

21 π

=⇒⋅=⋅π⇒⋅=⋅π hhhbr

El valor de h corresponde a la variable y, pero nos piden un valor de x. Por tanto:

( ) 0.6189911 24

222222 ±=−±=⇒=+⇒=+ πxhxryx Que son los valores de c que nos piden.

4.4. Función integral o función área Dada una función f continua en el intervalo [ ]ba, , para cualquier punto [ ]bax ,∈ se define la función integral o función área como:

[ ]( ) ( )∫=→

→x

adttfxFx

baF

,: R



Integrales 235

4.5. Teorema fundamental del cálculo integral Sea f una función continua en el intervalo [ ]ba, y sea

( ) ( )∫=x

adttfxF

con [ ]bax ,∈ la función integral. Entonces F es derivable en ( )ba, y ( ) ( )xfxF =′

para cualquier punto ( )bax ,∈ . Demostración:

Aplicando la definición de derivada tenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

−=

−+=′ ∫∫

+

→→ h

dttfdttf

hxFhxFxF

x

a

hx

a

hh 00límlím

Separando la primera integral en dos sumandos (propiedad 3):

( )( ) ( ) ( ) ( )

==−+

=′ ∫∫ ∫ ∫+

→

+

→ h

dttf

h

dttfdttfdttfxF

hx

x

h

x

a

hx

x

x

a

h 00límlím

Aplicando el teorema del valor medio del cálculo integral, ( )hxxc +∈∃ , tal que

( ) ( ) ( ) ( ) hcfxhxcfdttfhx

x⋅=−+⋅=∫

+

Así:

( ) ( ) ( ) ( )cfh

hcfh

dttfxF

hh

hxx

h 000límlímlím→→

+

→=

⋅=∫=′

Como ( )hxxc +∈ , y f es continua entonces ( ) ( )xfcfh

=→0

lim y, por tanto: ( ) ( )xfxF =′ .

Actividad resuelta

Sin efectuar el cálculo de la integral indefinida, calcula ( )xf ′ si ( )( )∫+

=x

tdtxf

0 321

Aplicando el teorema fundamental del cálculo integral:

( )( )

( )( )320 32 1

11 x

xft

dtxfx

+=′⇒

+= ∫

Generalización (1):

Si en lugar de valores reales, los límites de integración son funciones reales de variable real, se aplica la regla de la cadena para obtener:

Sea f una función continua en el intervalo [ ]ba, en R y sea

( ) ( )( )∫=

xh

adttfxF

con [ ]bax ,∈ la función integral. Si h(x) es derivable, entonces F es derivable en ( )ba, y ( ) ( )[ ] ( )xhxhfxF ′⋅=′

para cualquier punto ( )bax ,∈ .



Integrales 236

Generalización (2):

Sea f una función continua en el intervalo [ ]ba, en R y sea

( ) ( )( )

( )∫=

xh

xgdttfxF

con [ ]bax ,∈ la función integral. Si h(x) y g(x) son derivables, entonces F es derivable en ( )ba, y

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )xgxgfxhxhfxF ′⋅−′⋅=′ para cualquier punto ( )bax ,∈ .

Actividad resuelta Sin efectuar el cálculo de la integral indefinida, calcula ( )xf ′ si ( )

( )∫+

=3

2 321

x

x tdtxf

Aplicando el teorema fundamental del cálculo integral:

( )( )

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )3436

2

322

2323

32 12

132

1

131

11

3

2

xx

xxx

xx

xxf

tdtxf

x

x +−

+=⋅

+−⋅

+=′⇒

+= ∫

4.6. Regla de Barrow Si ( )xf es una función continua en el intervalo [ ]ba, y ( )xF es una primitiva de ( )xf , entonces:

( ) ( ) ( )∫ −=b

aaFbFdxxf

y suele representarse como:

( ) ( )( ] ( ) ( )aFbFxFdxxfb

a

b

a−==∫

Demostración:

Se tiene que ( )xF es una primitiva de ( )xf . Por otro lado, aplicando el teorema fundamental del

cálculo integral, ( ) ( )∫=x

adttfxG también es una primitiva de ( )xf . Al ser dos primitivas de la misma

función, sólo se diferencian en una constante:

( ) ( ) ( ) ( ) CxFxGCxFxG +=⇒=−

Evaluando las dos expresiones anteriores en el punto ax = , tenemos:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )aFCCaFdttfaGdttfxG

CaFaGCxFxGx

a

a

a

−=⇒=+⇒

==⇒=

+=⇒+=

∫ ∫00

Evaluando ahora dichas expresiones anteriores en el punto bx = , tenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫

−=⇒

=⇒=

−=⇒+=⇒+= b

ax

a

b

a

aFbFdttfdttfbGdttfxGaFbFbGCbFbGCxFxG



Integrales 237

Entonces, para aplicar la Regla de Barrow se siguen los siguientes pasos:

1. Calculamos una primitiva ( )xF de ( )xf

2. Hallamos los valores de esa función entre a y b: ( )aF y ( )bF

3. Calculamos la integral ( ) ( )( ] ( ) ( )aFbFxFdxxfb

a

b

a−==∫

Ejemplos:

( )∫ −+−5

1

2 56 dxxx .

La función ( ) 562 −+−= xxxf es una función polinómica, luego es continua en todo R, y por tanto es continua en el intervalo [1, 5].

1. - Calculamos una primitiva de ( ):xf

( ) xxxdxxx 5656 2213

312 −⋅+−=−+−∫

2. - Hallamos el valor de esa primitiva para los extremos del intervalo: ( ) xxxxF 53 2331 −+−=

( )3753

311513

311 2

3

−=−+−=⋅−⋅+−=F y ( )3255553

355 2

3

=⋅−⋅+−=F

3. – Aplicamos la regla de Barrow:

( ) ( ) ( )3

3237

325

37

3251556

5

1

2 =+=

−−=−=−+−∫ FFdxxx

( )∫− −2

2

2 4 dxx .

La función ( ) 42 −= xxf es una función polinómica, luego es continua en todo R, y por tanto es continua en el intervalo [−2, +2].

1. - Calculamos una primitiva de ( ):xf

( ) xxdxx 44 331

2

2

2 −=−∫−

2. - Hallamos el valor de esa primitiva para los extremos del intervalo y restamos:

( ) ( ] ( ) ( )( ) ( ) ( )( )332

316

31624224244 3

313

312

23

31

2

2

2 −=−

−=−⋅−−−+⋅−+=−=−

+

−−∫ xxdxx

Actividades propuestas 18. Resuelve las siguientes integrales definidas:

a) ( )∫ ++6

0

2 1 dxxx b) ( )∫− ++1

1

2 1 dxxx

c) ∫ +3

0

2 1 dxxx d) ∫− +++1

1 2 221 dxxx

x

e) ∫π

0sen dxx f) ∫

edxx

1ln

19. Halla el valor de c que verifica ( ) ( ) ( )05125

0−⋅=+∫ cfdxx y razona su interpretación geométrica.

20. Sin efectuar el cálculo de la integral indefinida, calcula ( )xf ′ si ( ) ∫=xe

xdtxf

2 ln



Integrales 238

4.7. Aplicaciones de la integral definida

Área encerrada bajo una curva Para calcular el área comprendida entra la gráfica de una función ( )xf y el eje de abscisas en un intervalo en el que la gráfica aparece por encima y por debajo del eje X, es necesario hallar cada una de las áreas por separado.

En los subintervalos en los que la gráfica está por debajo del eje X, la integral será negativa, y tomaremos el valor absoluto en toda la integral.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21212

2

1

1Área xFbFxFxFaFxFdxxfdxxfdxxfb

x

x

x

x

a−+−+−=++= ∫∫∫

Desde el punto de vista práctico, si tenemos la representación gráfica de la función se puede plantear el área como suma o resta de las regiones donde la función es positiva o negativa, respectivamente.

Ejemplo:

Halla el área encerrada entre la gráfica de la función ( ) 322 −−= xxxf , el eje X y las rectas 3−=x y .4=x

La función ( ) 322 −−= xxxf es una función polinómica, luego es continua en todo R, y por tanto es continua en el intervalo [−3, 4].

La gráfica de ( )xf es una parábola cóncava (∪). Calculamos el vértice:

122

2==

−=

abx Si ( ) 4312111 2 −=−⋅−=⇒= fx

Tenemos: ( )4,1 −V

Calculamos los puntos de corte de la función con el eje X. Para ello, resolvemos la ecuación ( ) 0=xf :

( ) ( )=

⋅−⋅⋅−±

=⇒=−−⇒=12

314420320 2 xxxxf

( )( )

−→−→

=±

=±

=+±

=0,11

0,332

422

1622

1242

Representando la función ( ) 322 −−= xxxf y las rectas 3−=x y 4=x observamos que el área que queremos calcular se divide en tres regiones.



Integrales 239

Hallamos una primitiva de ( )xf :

( ) xxxdxxx 33

32 23

2 −−=−−∫

Hemos obtenido tres regiones. El área total será la suma del área de cada región:

( ) ( ) ( ) =−−+−−+−−= ∫∫∫ −

−

−

4

3

23

1

21

3

2 323232Área dxxxdxxxdxxx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−−−+−−+−−=−+−−+−−−= 9320

3599

35341331 FFFFFF

371

37

332

332

=++= u2

Por tanto, el área de la región es igual a 371

u2

También podríamos plantear, ya que tenemos la representación gráfica de la función:

( ) ( ) ( )∫∫∫ −−+−−−−−=+−=−

−

−

4

3

23

1

21

3

2321 323232ÁreaÁreaÁreaÁrea dxxxdxxxdxxx

Es decir:

=

−−+

−−−

−−=

+

+

+

−

−

−

4

3

233

1

231

3

23

33

33

33

Área xxxxxxxxx

( ) ( )371

37

332

3329

320

3599

35

=++=

−−−+

−−−

−−= u2

Propiedades:

1. – Si la función es impar, la integral definida en un intervalo simétrico respecto al origen es nula:

Si ( )xf es impar, ( ) 0=∫+

−

a

adxxf

2. – Si la función es par, la integral definida en un intervalo simétrico respecto al origen es:

( ) ( )∫∫ ⋅=+

−

aa

adxxfdxxf

02

Para entender estas dos propiedades nos basta con ver las gráficas de cada tipo de función.

- Si la función es impar, es simétrica respecto al origen de coordenadas y define dos recintos de signo opuesto e igual área a ambos lados del origen. Al sumarla, el resultado es nulo.

- Si la función es par, es simétrica respecto al eje OY y define dos recintos de igual signo e igual área.

Función impar Función par



Integrales 240

Actividad resuelta Calcula el área de un círculo de radio r.

Podemos elegir la ubicación de la circunferencia, así que la centramos en el origen. Para este caso, la ecuación de una circunferencia de radio r es:

22222 xryryx −±=⇒=+ Podemos aprovechar la simetría del problema y calcular el área a partir del recinto del primer cuadrante:

∫ −⋅=r

dxxrA0

224

La primitiva se resuelve con el cambio:

dttrdxtrx ⋅⋅=⇒⋅= cossen y proporciona:

Cxrxrxrdxxr +

−⋅+⋅=−∫ 22222 arcsen

21

Aplicando la regla de Barrow obtenemos:

=

−⋅+⋅=−⋅= ∫

rr

xrxrxrdxxrA

0

222

0

22 arcsen24

−

π⋅⋅=

−⋅+−−⋅+⋅= 0

22000arcsenarcsen2 222222 rr

rrrrr

rrrA

Es decir, llegamos a la conocida fórmula: 2rA ⋅π=

Área comprendida entre dos curvas El área comprendida entre las gráficas de las funciones ( )xf y ( )xg en el intervalo [ ]ba, es igual que al área que se encierra entre la función diferencia ( )( )xgf − y el eje X en ese intervalo.

( ) ( )[ ]∫ −=b

adxxgxfA

Siendo ( ) ( )xgxf > . Si no se determina qué función está por encima de la otra, podemos escribir la expresión general:

( ) ( )∫ −=b

adxxgxfA

Sin embargo, desde el punto de vista práctico, en el caso en el que las funciones ( )xf y ( )xg tengan varios puntos de corte, será conveniente hallar las diferentes regiones y determinar las áreas por separado.



Integrales 241

Ejemplo:

Halla el área comprendida entre las gráficas de las funciones ( ) xxxf 42 +−= y ( ) xxg = entre las rectas 1−=x y 3=x .

Las representaciones gráficas de ( )xf y ( )xg son una parábola y una recta, respectivamente, así que es de esperar que haya dos cortes entre ellas y, por tanto, es posible que haya varias regiones diferenciadas a tener en cuenta. La gráfica de ( ) xxxf 42 +−= es una parábola convexa. Hallamos su vértice:

( ) 224

124

2=

−−

=−⋅

−=

−=

abx Si ( ) 48424222 2 =+−=⋅+−=⇒= fx ⇒ ( )4,2V

Calculamos los puntos de corte de la función con el eje X, resolviendo la ecuación ( ) 0=xf :

( ) ( )

==

⇔=+−⋅⇔=+−⇒=40

04040 2

xx

xxxxxf

La gráfica de ( ) xxg = es una recta. Para dibujarla, basta con obtener dos puntos:

x 0 3 y 0 3

Para determinar la región de la que queremos calcular el área, la representamos, junto con los límites de integración: Buscamos los puntos de corte entre las dos funciones, resolviendo la ecuación ( ) ( )xgxf = :

( ) ( ) ⇔=+−⇔=−+−⇔=+−⇔= 03044 222 xxxxxxxxxgxf ( )

==

⇔=+−30

03xx

xx

Por tanto, el área que queremos calcular será:

( )( )∫− −=3

1Área dxxgf

Hallamos una primitiva de ( )( )xgf − :

( )( ) ( ) ( ) xxxxxxgxfxgf 34 22 +−=−+−=−=− ⇒

( )( ) ( )2

33

323

2 xxdxxxdxxgf +−=+−=− ∫∫

Hemos obtenido dos regiones. El área total será la suma del área de cada región:

( ) ( ) =

+−+

+−=+−++−=

−− ∫∫

3

0

230

1

233

0

20

1

2

23

323

333Área xxxxdxxxdxxx

( ) ( ) ( ) ( )3

1929

6110

29

61100310 =+=−+−=−+−−= FFFF u2

Por tanto, el área de la región es igual a 3

19 u2



Integrales 242

CURIOSIDADES. REVISTA

Historia de los símbolos matemáticos

Eudoxo de Cnido (390 aC – 337 aC)

Eudoxo demostró que el volumen de una pirámide es la tercera parte del de un prisma de su misma base y altura; y que el volumen de un cono es la tercera parte del de un cilindro de su misma base y altura.

Para demostrarlo elaboró el llamado método de exhausción.

Método de exhausción

El método de exhausción es un procedimiento geométrico de aproximación a un resultado, con el cual el grado de precisión aumenta en la medida en que avanza el cálculo. El nombre proviene del latín exhaustiö (agotamiento, exhausto)

Se utiliza para aproximar el área de un círculo, o la longitud de una circunferencia, inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares con cada vez mayor número de lados.

Arquímedes

Arquímedes, escribió su tratado sobre “El método de teoremas mecánicos”, que se consideraba perdido hasta 1906. En esta obra, Arquímedes emplea el cálculo infinitesimal, y muestra cómo el método de fraccionar una figura en un número infinito de partes infinitamente pequeñas puede ser usado para calcular su área o volumen. Fue escrito en forma de una carta dirigida a Eratóstenes de Alejandría.

Observa cómo es la base de los conceptos que en el siglo XVII permitieron a Isaac Newton y a Leibniz unificar el cálculo diferencial con el cálculo integral, y cómo es el precursor del concepto de integral definida como las sumas inferiores y las sumas superiores de Riemann.


http://es.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A1mide_%28geometr%C3%ADa%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Prisma_%28Geometr%C3%ADa%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Cono_%28geometr%C3%ADa%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Cilindro

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_exhausci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Aproximaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal

http://es.wikipedia.org/wiki/Alejandr%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVII

http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton

http://es.wikipedia.org/wiki/Leibniz

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Archimedes_pi.svg


Integrales 243

¿Has pensado alguna vez en la historia de los símbolos matemáticos?

Al principio las matemáticas eran retóricas, es decir, todos los cálculos se explicaban con palabras. Poco a poco empezaron a usarse abreviaturas, símbolos para representar las operaciones. Hoy las matemáticas están llenas de símbolos.

Por ejemplo, para indicar sumas y restas, primero se usaron letras como p y m, pero en el siglo XV comenzó a usarse los símbolos + y –. Para el producto se usó el aspa, x, de la cruz de San Andrés, pero Leibniz escribió a Bernoulli que ese símbolo no le gustaba pues se confundía con la x, y comenzó a usar el punto, ·. Para el cociente, la barra horizontal de las fracciones es de origen árabe, y los dos puntos, de nuevo se los debemos a Leibniz, que los aconseja cuando se quiere escribir en una sola línea.

El símbolo de infinito, ∞, se debe a John Wallis y, a pesar de su parecido, no está relacionado con la cinta de Möebius, sino con la Lemniscata.

En 1706 se empezó a usar π, como inicial de la palabra griega “perímetro” y se popularizó con Euler en 1737.

El símbolo de la integral se lo debemos, de nuevo, a Leibniz, y es una estilización de la letra S, inicial de suma. También le debemos la notación dx, dy para el cálculo diferencial.

A Euler le debemos la invención de muchos símbolos y la popularización de otros: No sabemos por qué uso la letra e para representar al número e, base de los logaritmos

neperianos, la letra i, para la unidad imaginaria compleja, Σ para el sumatorio, y la notación f (x) para las funciones.

En lógica y teoría de conjuntos se usan muchos y nuevos símbolos, como ∩, ∪, ⊃, ⊄, ⊂, ∈, ∉, {, }, ∧, ∨, ⇒, … que podemos deber a George Boole.

e i f(x)

∩, ∪, ⊃, ⊄, ⊂, ∈, ∉, {, }, ∧, ∨, ⇒



Integrales 244

RESUMEN

CUADRO DE PRIMITIVAS

Cxdx +=∫ ( ) ( ) Cxfdxxf + =′∫

( ) ( )( ) ( ) ( ) ±±=±± ∫∫∫ dxxgdxxfdxxgxf ( ) ( )∫∫ ⋅=⋅ dxxfadxxfa

( ) ( ) ( )[ ] Cxfdxxfxf ++

=′∫ 1+nn

1n1 , n ≠ –1


+=′

∫ ln

( ) ( ) Cedxxfe xfxf + )( =′∫ ( ) ( )( )

Ca

adxxfaxf

xf +ln

=′∫ , a ≠ 1, a>0

( )[ ] ( ) ( )[ ] Cxfdxxfxf +=′∫ sen cos ( )[ ] ( ) ( )[ ] Cxfdxxfxf +−=′∫ cos sen

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] Cxfdxxfxfxf +=′⋅∫ sec tg sec ( )[ ] ( ) ( )[ ] Cxfdxxfxf +=′∫ tg sec2

( )[ ] ( ) ( )[ ] Cxfdxxfxf +−=′∫ cotg cosec2

Método de integración por cambio de variable

1. ( )[ ] ( ) ( ) ( )dxxfdtxftdxxfxfg ′=⇒=→′⋅∫

( ) ( ) ( ) ( )[ ] CxfGxFCtGdttg +=⇒+=∫

2. ( ) ( ) ( )dttgdxtgxdxxf ′=⇒=→∫

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] CxgGxFCtGdttgtgf +=⇒+=′ −∫ 1

Método de integración por partes ∫∫ ⋅−⋅=⋅ duvvudvu

Regla de Barrow ( ) ( )( ] ( ) ( )aFbFxFdxxf ba

b

a−==∫

Área entre una curva y el eje OX ( )∫=

b

adxxfA

Área entre dos curvas ( ) ( )∫ −=b

adxxgxfA



Integrales 245

EJERCICIOS Y PROBLEMAS.

1. - Sabiendo que Cnxdxx

nn +

+=

+

∫ 1

1

y ( ) ( ) ( ) Cn

xfdxxfxfn

n ++

=′+

∫ 1

1

, calcula:

1) ∫ dxx5 2) ∫ dxx5

4 3) ∫ 2x

dx 4) ∫ dx37 5) ∫ dxx76

6) ∫ dxx 41

5 7) ∫ dxx35 8) ( )∫ −− dxxx 423 9) ( )∫ +− dxxx 352 5

10) ( ) dxx2332∫ + 11) ( )∫ + dxx 32 22 12) ( )∫ − dxx 231 13) ∫

+− dxxxx3

3 2

14) ∫

+− dxxx 24 3

2

15) dxxe

a a∫

+− 2

313 2 16) ∫

−+− dx

xx323

3

17) ∫

+− dxx

xx 5 2

25 2

343 18) ( )∫ − dxxx1 19) ∫

−+ dxxxx2

23 45

20) dxxxxe x∫

+−+ 2

23

45325 21)

( )∫

+ dxxx 21

22) ∫

+− dx

xxx 2

21

23) ( )∫ + dxxx 13 24) ∫

− dx

xx

325 25) ( )∫ − dxxx 53

26) ( )( )∫

−+ dxxxx 21

27) ( )∫ + dxx 243 28) ∫ − dxx 4)73(

29) ( )∫ − dxxx 32 4 30) ( )∫ + dxxx 32 23 31) ( )∫ + dxxx 223 2 32) ( )∫ + dxxx 23 3

33) ( )∫ − dxx 23

2 34) ( )∫ + dxxa 3 35) ( ) ( )[ ]∫ +−+ dxxx 23 22

36) ∫ + dxx 123 37) ∫ + 3xdx

38) ( )∫ − 31x

dx 39) ( )dxxxx 12)( 42 −−∫

40) ( )∫ + dxxx

211

41) ( )∫

−dx

xx

24

3

1 42) ( )∫

+32 4

x

dxx 43) ∫ − dxxx 72

44) ( )( )∫ +−− dxxxx 42 321 45) ∫+

dxx

x271

3 46) ( )∫

+dx

xx

23

2

28

47) ∫+3 2 3

3xxdx 48) ∫ −⋅ dxxx 3 21 49) ∫

+dx

xx

4 3

2

5 50) ( )∫ − dxxx 5

332 1

51) ∫ − dxxx 42 2 52) ( )∫ + dxee xx 31 53) ∫ dxxx cossen3

54) dxxxx∫ 224 sencos 55) ( )∫ +

+ dxx

xx3

3ln2

2

56) ∫ dxxx

3cossen

57) dxeex

x

32∫ −

58) dxxx sectg 25 ⋅∫ 59) ∫ dxxx

3 tg3sec2

60) ∫ dxxx

3ln



Integrales 246

2. - Sabiendo que Cxdxx

+=∫ ln1 y


+=∫ ln', calcula:

1) ∫ + 2xdx

2) ∫ − 32xdx

3) ∫ −1xdx

4) ∫ −12xdxx

5) ∫ −dx

xx

3

2

21 6) ∫ −

dxx

x3

2

1

7) ∫ + 2 3

2xdxx

8) ∫ +dx

x 534

9) ∫ +++ dxxx

x22

12 10) ∫

+ dx

xx 1

11) ∫

++ dxx

xx23

2 12) ∫ xxdxln

13) ( )∫ − xxdx1

14) ∫

+−

−dx

xx 121

121 15) ∫ +

dxe

ex

x

1 16) ∫ +

dxe

ex

x

32

2

17) dxx tg∫

18) ∫ dxxcotg 19) ∫ dxxx ln

5 20) ∫

+x

xx cos

cossen

21) ∫ +dx

xxx

2sen1 cos sen 2

22) ∫ +−

xxxx

cossen cossen

23) dxxx 2 cotg ∫

3. - Si Cedxe xx +=∫ , ( ) ( ) ( ) Cedxxfe xfxf +=′∫ , Ca

adxax

x +=∫ ln y ( ) ( )

( )C

aadxxfa

xfxf +=′∫ ln

' , calcula:

1) dxx∫3 2) dxa x∫ 4 3) dxe x∫ − 4) ∫ dxe x34

5) ∫ + dxex x 22 3

3 6) ∫ − dxe x44 7) ∫ dxex x32 8) ( )∫ + dxe x 21

9) ∫

+ dx

ee x

x21

10) ( )∫ + dxxe x 26 11) dxxe x∫ +− 22

12) ∫ dxx

e xln

13) ∫ dxxe x

3

12

14) ∫ dxxex x 2sen cos2

15) dxxe x∫ ⋅ 2sen 2cos3

16) ∫ dxx

e x

5 17) dxxe x sen cos ⋅∫ 18) dxe

ee x∫

−

+ +32

21

19)

dxxe xtg 2sec22∫ 20) ∫ +⋅ dxx x25333

2 21) ∫ −⋅ dxx x2532

2

4. - Sabiendo que ∫ +−= Cxdxx cossen , ( ) ( ) ( ) Cxfdxxfxf +−=⋅′∫ cossen , ∫ += Cxdxx sen cos y

( ) ( ) ( ) Cxfdxxfxf +=′∫ sen cos calcula:

1) ( )∫ + dxx 82sen 2) ∫ dxx2

sen 3) ∫ dxx3 cos

4) ∫ dxxx 2sen 5) dxxx∫

−

4 cos 2sen 3 6) dxx∫ 2sen

7) ∫ dxee xx cos 8) ( ) ( )dxxxx 2sen2cos 22∫ ⋅ 9) ( )

∫ dxx

xlnsen



Integrales 247

5. – Si ( )∫ ∫ +=+= Cxdxxdxx

tgtg1cos

1 22

y ( )( )

( )[ ] ( ) ( ) Cxfdxxfxfdxxf

xf+=⋅+=

′∫ ∫ tg'tg1

cos2

2, calcula:

1) ( )dxxx∫ + 2 tg1 2) ( ) dxx2

tg1∫ + 3) ∫ dxx3tg 2

6. – Halla el valor de las siguientes integrales, usando un cambio de variable:

1) ( ) dxx∫ + 452 2) ( )∫ + dxx 643 3) ( )∫ + dxxx 5236

4) ( )

dxxx∫

++

+ 3453

453

5) ( )dxxx 2323 3∫ +++ 6) ∫

− dxe

ex

x

2

4

7) ∫ ⋅⋅ dxxx cossen3 8) ∫ dxxx

cossen

9) ∫ dxxx

4sen cos

10) ∫ + dxxx 42 11) ∫

+ dxe

ex

x

2

3 12) ∫

+−

dxe

ex

x

3

2

7. – Halla el valor de las siguientes integrales, usando el método de integración por partes:

1) ∫ dxxx cos3 2) ∫ ⋅ dxxx sen2 3) ∫ dxxx ln2

4) ∫ dxxx ln 5) ∫ dxx

x2

ln 6) ∫ ⋅⋅ dxxe x cos2

8. – Halla el valor de las siguientes integrales definidas:

1) ∫3

1 2xdx

2) ∫ −

3

2 2 1dx

xx

3) ∫π

π3

5

4

sen dxx 4) ∫π

π4

6

3sen dxx 5) ∫−4

4dxx

6) dxxx∫−

+−

1

1

2 2123 7) dx

xx∫−

−−

+

2

1

33

22 8) dxxa

2532

2∫−

−

9. – Halla el valor de b para que se cumpla ( )∫− −=−b

dxxbx1

2 1232 .

10. – Halla el área entre la función ( ) xxxf 42 −= , el eje de abscisas y las rectas 1=x y 6=x .

11. – Halla el área de la región limitada por la función ( ) xxxxf 623 −−= y el eje de abscisas.

12. – Halla el área delimitada por las gráficas:

a) 121 2 +−= xxy e 01 =−− xy .

b) ( ) xxf = y ( ) 2xxg =

c) ( ) 42 ++= xxxf y ( ) 522 ++−= xxxg

Algunos problemas resueltos por el alumnado.



Integrales 248

AUTOEVALUACIÓN 1. Los valores de a, b y c para los que ( ) xcebxaxF x sen3 ++= es una primitiva de la función

( ) xexxf x cos573 2 +−= son: a) 1, −7, 5; b) 3, 7, −5; c) 1, −7, −5; d) 3, −7, 5

2. La integral inmediata ∫ + dxxx 32 2 vale:

a) ( )

Cx

++

652

32

; b) ( )

Cx

++

632

32

c) ( )

Cx

++

452

32

; d) ( )

Cx

++

652

22

3. La integral ∫ − 21 xdx vale:

a) Cxx+

−+

11ln ; b) C

xx+

+−

11ln c) C

xx+

−+

⋅11ln

21

; d) Cxx+

+−

⋅11ln

21

4. Al integrar por partes ∫ ⋅⋅ dxxx sen se obtiene:

a) Cxxx +−⋅ cossen ; b) Cxxx +−⋅ sen cos c) Cxxx ++⋅− sen cos ; d) Cxxx ++⋅− cossen

5. La integral ( )∫ ++ dxxx 1342 vale:

a) ( ) Cxx +++ 1342 ; b) Cxxx +++ 134 23 ; c) xxx 132 2331 ++ ; d) Cxxx +++ 132 23

31

6. La integral ∫ dxee xx cos vale:

a) Ce x +sen ; b) Ce x +− sen c) Ce

ex

x

+sen

; d) Cee xx +⋅ sen

7. La integral definida ∫π0 cos dxx vale:

a) 1; b) π c) 0; d) −1

8. El área comprendida entre la gráfica de la función ( ) xxxf 42 +−= , el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = 4 vale:

a) 128/3; b) 32/3 c) 64/2; d) 64/3

9. El área comprendida entre las gráficas de las funciones ( ) xxxf 42 +−= y ( ) xxg = vale:

a) 9/2; b) 19/3 c) 27/2; d) 3

10. La regla de Barrow sirve para…:

a) …calcular determinantes de orden 3; b) …resolver sistemas de ecuaciones;

c) …resolver integrales definidas; d) …calcular la probabilidad de sucesos.



Integrales 249

Apéndice: Problemas de integrales en las P.A.U.

(1) Calcula una primitiva de la función ( )3

3 53xxxxf +−

=

(2) Calcula haciendo el cambio de variable te x = :

a) ∫ −dx

eex

x

12 b) ∫ +− dx

eeex

xx

14 2

(3) Calcula ( )∫π

+20

2 cos dxxxe x

(4) Considera la función 3− 13 23 +−= xxy

a) Determina la recta tangente en el punto en que la función alcanza su máximo relativo.

b) Dibuja el recinto limitado por la curva y la recta tangente anterior.

c) Halla el área del recinto del apartado (b).

(5) Considera la función ( ) xxf sen 21−=

a) Dibuja el recinto acotado por la gráfica de ( )xf , el eje OX y las rectas x = 0 y 2π=x .

b) Calcula el área del recinto anterior.

(6) a) Dibuja el recinto plano limitado por la parábola y = 4x – x2 y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje de abscisas.

b) Halla el área del recinto dibujado en (a).

(7) Sea la función f : R → R definida por

( )

−>+−−≤+

=1341124

2 xxxxx

xfsisi

a) Haz un dibujo aproximado de la gráfica de la función f.

b) Calcula el área del recinto limitado por la función f, el eje de abscisas y la recta x = 2.

(8) Sea la parábola 632 +−= xxy

a) Halla la ecuación de la tangente a la gráfica de esa curva en el punto de abscisa x = 3.

b) Haz un dibujo aproximado del recinto limitado por la gráfica de la parábola, el eje OY y la recta tangente hallada anteriormente.

c) Calcula el área del recinto anterior.

(9) Considera las curvas ( ) 232 −−= xxxf y ( ) 22 −−= xxxg .

a) Encuentra sus puntos de intersección.

b) Representa el recinto limitado que encierran entre ellas.

c) Encuentra el área del recinto limitado por las dos curvas.



Integrales 250

(10) Dada la función ( ) ( ) xaxxf cos−= , busca el valor del número real a sabiendo que

( ) 22

20

−π

=∫π

dxxf

(11) Las curvas xey = , xey −= y la recta 1=x limitan un recinto finito en el plano.

a) Dibuja un esquema del recinto.

b) Calcula su área.

(12) Se considera la curva de ecuación xxxy +−= 23 2

a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa curva en el origen.

b) Dibuja un esquema del recinto limitado por la gráfica de la curva y la recta hallada.

c) Calcula el área de ese recinto.

(13) La derivada de una función ( )xf es ( ) ( ) ( )92 2 −⋅+=′ xxxf

a) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de ( )xf .

b) Determina la función f sabiendo que ( )510 =f .

(14) La gráfica de la parábola 22xy = divide al cuadrado de vértices ( )0,0A , ( )0,2B , ( )2,2C y ( )2,0D en dos recintos planos.

a) Dibuja la gráfica de la función y los recintos. b) Calcula el área de cada uno de ellos.

(15) a) Calcula la función ( )xf sabiendo que su derivada es ( ) ( ) xexxf 1−=′ y que ( ) ef =2 . b) Demuestra que ( )xf tiene un extremo relativo en un punto del eje de abscisas y razona si es

máximo o mínimo. (16) Las gráficas de la curva 3xy = y de la parábola xxy 22 += encierran un recinto plano.

a) Dibuja ese recinto. b) Calcula su área.

(17) Sea f : R → R la función definida por

( )

≤≤≤+

<=

xxnmx

xxxf

1210

02

sisisi

a) Calcula m y n para que f sea continua en todo su dominio. b) Para esos valores hallados, calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y la recta y = 1.

(18) Sea la función f : R → R definida por

( ) ( )

>−≤+

=02042

2 xxxx

xfsisi

a) Dibuja la gráfica de la función. b) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas.

(19) La curva xxy 33 −= y la recta xy = limitan un recinto finito en el plano. a) Dibuja un esquema del recinto. b) Calcula su área.



Integrales 251

(20) La parábola 12 += yx y la recta 3=x limitan un recinto finito en el plano. a) Dibuja un esquema del recinto. b) Calcula su área.

(21) La curva 32 += xy y la recta 32 += xy limitan un recinto finito en el plano. a) Dibuja un esquema del recinto. b) Calcula su área.

(22) Se considera la parábola 26 xxy −= a) Calcula la ecuación de las rectas tangentes a la gráfica de la parábola en los puntos de corte con

el eje OX. b) Dibuja un esquema del recinto limitado por la gráfica de la parábola y las rectas halladas

anteriormente. c) Calcula el área de ese recinto.

(23) Se considera la función ( )

≥+<−

= − 2222

22 xkexx

xf x sisi

a) Determina el valor de k > 0 para que la función sea continua en el intervalo [ ]4,0 . b) Suponiendo que 1=k , halla la recta tangente en 3=x . c) Suponiendo que 1=k , halla el área que la función determina con el eje OX, para [ ]4,0∈x .

(24) a) Resuelve por partes la siguiente integral: ( )∫ − dxxx ln1

b) De todas las primitivas de ( ) ( )xxxf ln1−= calcula la que pasa por el punto ( )3,1 .

(25) La gráfica de la parábola xy 82 = y la recta 2=x encierran un recinto plano. a) Dibuja aproximadamente dicho recinto. b) Calcula el área de ese recinto.

(26) La gráfica de la curva ( )x

xf−

=2

4 y las rectas 4=y y 0=x encierran un recinto plano.

a) Dibuja aproximadamente dicho recinto. b) Calcula el área de ese recinto.

(27) Esboza la gráfica de la parábola 472 ++−= xxy y halla el área de la región del plano determinada

por la parábola y la recta que pasa por los puntos ( )41,0 y ( )0,6

1 .

(28) Se dispone de una chapa de acero que puede representarse por la región del plano determinada por la parábola 42 +−= xy y la recta 1=y .

a) Representa gráficamente la chapa y calcula su área. b) Determina las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede obtener a partir de

dicha chapa con la condición de que uno de sus lados esté en la recta 1=y .

(29) Representa gráficamente las parábolas 042 =− xy y 042 =− yx y calcula el área que encierran.

(30) Se considera la función ( )1

2 2 +−=

xxxf

a) Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión. b) Para [ ]5,0∈x , esboza la gráfica de la función y calcula el área comprendida entre ella y el eje X.



Integrales 252

(31) Se considera la función ( )12 +

=x

xxf

a) Halla sus asíntotas, máximos y mínimos. b) Representa gráficamente la función. c) Halla el área delimitada por la función y el eje OX, para 11 ≤≤− x .

(32) Si x representa el volumen de producción de una fábrica, el coste marginal de la misma viene dado por la función ( ) 21583 xxxf ++= . Se pide:

a) Encuentra la función del coste total F , si se sabe que dicha función viene dada por la primitiva F de f que verifica que ( ) 1000 =F .

b) Estudia y representa gráficamente la función f en el intervalo [ )∞,0 . Calcula el área limitada por la curva y el eje X entre 0=x y 1=x .

(33) La función de costes marginales de una empresa es ( )( )21

10+

=x

xf . Se pide:

a) Encuentra la primitiva F de f verificando que ( ) 04 =F .

b) Estudia y representa gráficamente la función f . Calcula el área limitada por la curva y el eje X entre 0=x y 1=x .

(34) Sea la función ( ) 2

15x

xf += (x > 0). Si 'f representa su derivada,

a) Calcula ( )2f ′ .

b) Dibuja la función f . Halla el área limitada por la curva y el eje X entre 1=x y 2=x .

(35) Dada la función ( ) 22 x

xaxf += ( ),0>x donde a es una constante,

a) Si se supiera que ( ) 12 =′f donde 'f es la derivada de ,f ¿cuánto valdría a?

b) Dibuja la función f si 16=a y halla el área limitada por la curva y el eje X entre 2=x y .3=x

(36) Sea la función ( ) xxxf 63 2 −= . Si f ′ representa su derivada,

a) Encuentra una primitiva F de f verificando ( ) ( )32 fF ′= .

b) Dibuja la función f . Calcula el área limitada por la curva y el eje X entre 1=x y 3=x .

(37) Dada la función ( ) ,81 23 xxxf −=

a) Si f ′ representa la derivada de f , encuentra una primitiva F de f tal que ( ) ( ).4'4 fF =

b) Dibuja la función f . Halla el área limitada por la curva y el eje X entre 4−=x y 4=x .

(38) a) Dada la función ( ) ( )025 22 ≠+−= x

xaxxf , donde a es una constante, encuentra una

primitiva de f y halla el valor de a para que si f ′ es la derivada de f , entonces ( ) .21 −=′f

b) Dibuja la función ( ) ,25 2xxf −= y halla el área limitada por la curva y el eje de abscisas entre los puntos de abscisas 1=x y 6=x .

(39) Determina la función primitiva y el área bajo la curva en el intervalo [ ]e,1 de la función ( ) .ln xxf =

(40) Enuncia la regla de Barrow y aplícala a la función ( ) ( )1+= xexf x en el intervalo [ ].1,0


215 matemáticas aplicadas a las ciencias sociales ii 2º

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