matemáticas, lee,piensa y decide curso

Lee, piensa, decide y aprendeMatemticas Tercera faseGua del alumno

Estrategia Integral para la Mejora del Logro Educativo

Programa Escuelas de Tiempo Completo

Programa Escuelas de Calidad

Lee, piensa, decide y aprende. Tercera fase. Gua del alumno es una publicacin de la Direccin General de Desarrollo de la Gestin e Innovacin Educativa (DGDGIE) de la Subsecretara de Educacin Bsica, Secretara de Educacin Pblica, a travs de los Programas Escuelas de Tiempo Completo y Escuelas de Calidad, en coordinacin con el Programa para la Mejora del Logro Educativo.

Secretara de Educacin PblicaJos ngel Crdova Villalobos

Subsecretara de Educacin BsicaFrancisco Ciscomani Freaner

Direccin General de Desarrollode la Gestin e Innovacin EducativaJuan Martn Martnez Becerra

Coordinacin General de InnovacinErnesto Ponce Rodrguez

Coordinacin Nacional para el Fortalecimiento del Logro EducativoLilia Dalila Lpez Salmorn

Coordinacin Nacional del Programa Escuelas de Tiempo CompletoMarcela Ramrez Jordn

Coordinacin Nacional del Programa Escuelas de CalidadDaniel Hernndez Ruiz

Coordinacin AcadmicaAraceli Castillo Macas

Autores Manuel Aguilar Soto Hctor Manuel Monges MornJos Arturo Rodrguez Guerrero

Revisin Tcnico-PedaggicaAraceli Castillo Macas y Equipo Tcnicodel Programa para la Mejora del Logro Educativo

Coordinacin de Produccin Editorial y DifusinMarco Antonio Cervantes Gonzlez

DiseoSociedad para el Desarrollo Educativo Prospectiva, SA de CVJorge Isaac Guerrero Reyes

Ilustraciones Roco Padilla Medina

Cuidado editorialEsteban Manteca AguirreTonatiuh Arroyo CerezoAraceli Snchez Villaseor

Este programa est financiado con recursos pblicos aprobados por la Cmara de Diputados del H. Congreso de la Unin y queda prohibido su uso para fines partidistas, electorales o de promocin personal de los funcionarios: Ley Federal de Transparencia y Acceso a la Informacin Pblica Gubernamental.

Segunda edicin: 2012ISBN: 978-607-8017-84-3

DR Secretara de Educacin Pblica, 2012 Argentina 28, Colonia Centro Histrico, CP 06020; Mxico, DF

Impreso en MxicoDistribucin gratuita (prohibida su venta)

Contenido

Introduccin

Tema 1. Operaciones con nmeros naturales

Tema 2. Fracciones

Tema 3. Proporcionalidad

Tema 4. Geometra

4

6

14

22

32

Introduccin

La entrada a la escuela secundaria genera en ti una mezcla de emociones y sensaciones. El entusiasmo, la alegra y la expectacin se combinan con la angustia, la preocupacin e incluso el miedo. Algunos de los temores ms fre-cuentes se relacionan con la inseguridad en el manejo de ciertos temas vistos en la primaria; en particular, los temas de matemticas han sido de los que resultan ms complicados para los estudiantes en las escuelas de educacin bsica en el pas.

Por lo anterior, hemos elaborado este material con la intencin de contri-buir a fortalecer tu seguridad al momento de emprender nuevas aventuras y enfrentar los retos que se te presentan. Te contaremos, como si fuera una historia, la experiencia de un grupo de amigos, en edad de ingresar a la escuela secundaria, que se enfrentan a diversas situaciones en su vida cotidiana. Lo relevante de esta historia es que los cuatro amigos transforman dichas situa-ciones en retos matemticos, en los cuales ponen en prctica algunos de los aprendizajes que adquirieron en la primaria: operaciones bsicas, fracciones, proporcionalidad y geometra.

La historia se conforma por cuatro temas de estudio que inician con una si-tuacin problemtica: un reto matemtico que te invitar a repasar temas que te sern de utilidad en tu trayecto por la secundaria; en seguida se recuperan los aprendizajes con que ya cuentas para resolver el problema y se formulan preguntas que generan distintas formas para llegar a un resultado correcto, al tiempo que t mismo vas proponiendo soluciones. Esta manera de indagar y construir juntos las respuestas contribuir a consolidar tu aprendizaje aut-nomo, y te servir cuando consultes distintas fuentes de informacin que te ayudarn a superar algunas de las dificultades que se te presenten a lo largo de las actividades.

66

El desarrollo de cada tema se estructura con cuatro momentos, que podrs identificar por medio de los siguientes iconos:

ResuelveAcepta el reto

Analizalo aprendido

Desarrollay comprueba

Acepta el reto indica que es muy importante tu compromiso para trabajar el tema y aprovechar todo lo que ofrece. Es necesario que leas con cuidado el problema e identifiques qu informacin te proporciona y qu es lo que te pide. Te recomendamos que investigues en tus libros de primaria, en la biblioteca o en internet los conceptos que no recuerdes muy bien.

Resuelve ofrece un espacio para que, antes de continuar leyendo el material, busques alguna manera de resolver el problema; considera que sta es una tarea que requiere concentracin, imaginacin y anlisis, por lo que debes dedicarle tiempo.

Desarrolla y comprueba consiste en que, despus de resolver o in-tentar resolver el problema, contines leyendo el material, pues en este momento te presentamos algunas ideas que te ayudarn a resolverlo o a conocer otras formas de hacerlo. Es importante que analices cada una de las ideas y que a partir de tu anlisis completes los distintos procesos de solucin del problema.

Analiza lo aprendido presenta el aspecto principal que engloba el trabajo con cada ejercicio. Te invitamos a que, antes de leer este momen-to, escribas en tu cuaderno qu aprendiste al trabajar el tema para que compares tu escrito con la sntesis que te presentamos.

Estamos convencidos de que con tu inters y compromiso hars del trabajo con este material una aventura. Te invitamos a acompaar las interrogantes, los procesos y los resultados de Lucas, Daniela, Octavio y Pamela en la resolucin de los proble-mas que se les presentan y a que les encuentres solucin ejercitando tus propios aprendizajes.

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Tema 1Operaciones con nmeros naturales

Aprendizajes esperados

Utiliza distintos mtodos para abordar problemas que involucran opera-ciones con nmeros naturales.

Acepta el reto

Lucas, Daniela, Octavio y Pamela viven en una comunidad del municipio de San Juan, un lugar rodeado de montaas y frondosos rboles. Las calles principales estn pavimentadas y cuentan con servicios bsicos, as como con extensas reas de espar-cimiento, canchas deportivas y espacios para jugar.

Es un lunes de verano y los cuatro amigos estn de vacaciones, por lo que decidie-ron dar un paseo en La pista, un circuito para bicicletas que mide 4000 m de largo. Al llegar, Daniela y Octavio aceptan competir para ver quin cruza primero la meta. Desde la lnea de salida, Lucas y Pamela estaban observando la carrera, cuando se les ocurri plantear el siguiente problema:

Si Daniela avanza 500 metros en un minuto y Octavio 400 en el mismo tiempo y, adems, Daniela decide darle a Octavio una ventaja de 300 metros, quin de los dos llegar primero y por cuntos metros le ganar a su contrincante?

Resuelve

9


Lucas y Pamela trabajan en el problema. Lucas decidi trazar una recta en el suelo y marc la ventaja que Daniela le dio a Octavio.

SALIDA META

300m 1000m 2000m 3000m

Utiliza la recta que traz Lucas para resolver el problema.

Quin va ganando en el primer minuto?

Quin va ganando en el minuto 4?

Quin gana la carrera y por cuntos metros?

Daniela

Octavio

10

Describe el procedimiento que utilizaste para resolver el problema, con base en la recta de Lucas.

Pamela decidi registrar en una tabla el avance de Daniela y en otra el de Octavio, primero sin tomar en cuenta la ventaja.

Cul de los dos tarda menos tiempo en recorrer los 4000 metros?

Avance de Octavio

Minutos Metros

1 400

2

3

Avance de Daniela

Minutos Metros

1 500

2

3

11

A Pamela se le ocurri que poda hacer una sola tabla con el avance de los dos y tomar en cuenta la ventaja para resolver el problema. Ayuda a Pamela completando la tabla, no olvides considerar la ventaja.

MinutosMetros

Daniela Octavio

0

1

2

3

4

5

Quin gana la carrera?

Describe el procedimiento para resolver el problema a partir de la tabla.

12

Cuando Daniela y Octavio completaron el circuito, analizaron los procesos de solucin de sus amigos y se unieron a la resolucin del problema. Propusieron otra forma de resolverlo: haciendo operaciones.

Resuelve el problema utilizando operaciones.

Daniela dijo que primero podran calcular cunto tardara ella en recorrer los 4000 metros.

Qu operacin puedes realizar para calcular lo que pide Daniela?, suma, resta, multiplicacin o divisin?

Realiza la operacin y explica por qu la elegiste.

Compara el resultado de la operacin que hiciste con la informacin que obtuviste mediante las estrategias de Lucas y de Pamela.

13

Es posible que si utilizas diferentes estrategias para calcular el tiempo de recorrido de Daniela obtengas resultados diferentes?

Explica por qu.

Despus, Octavio coment que se le ocurra calcular cuntos metros podra recorrer l en el mismo tiempo en el que Daniela recorri los 4000 metros.

Ayuda a Octavio a decidir qu operacin le ayuda a calcular lo que se le ocurri y explica por qu esa operacin le sirve.

Aprovecha los resultados que obtuvieron Daniela y Octavio para calcular quin gan la carrera y describe el proceso para calcular quin gan la carrera y por cuantos me-tros gan.

Compara los resultados que obtuviste con los tres procedimientos; si los resultados son distintos, es importante que revises tus operaciones y procedimientos.

14

Analiza cules son las ventajas y limitaciones de cada una de las estrategias que se utilizaron para resolver el problema.

Analizalo aprendido

Las operaciones como la suma, resta, multiplicacin y divisin nos ayudan a realizar clculos de manera ms rpida. Es importante identificar qu se quiere calcular y de-cidir cul de las operaciones nos dara esa informacin.

15

Tema 2Fracciones


Resuelve problemas que implican identificar a las fracciones como nmeros que se repre-sentan y se ubican en la recta; asimismo, que con ellos se pueden realizar operaciones.

Acepta el reto

Es sbado al medioda, los cuatro amigos se encuentran en el parque para celebrar el cumpleaos de Lucas. Entre otros regalos, Lucas recibe de parte de su abuelo cuatro carritos de juguete que lo hacen brincar de contento porque le fascinan los autos. Cuando les ensea a sus amigos su regalo, Octavio propone jugar carreras.

Para hacer ms interesante el juego, Daniela dibuja una pista de tres metros y entre todos deciden las reglas del juego:

Cada quien impulsar su carrito dos veces: la primera, desde la marca de salida y la segunda ser a partir de la posicin a la que lleg con el primer impulso.

El carrito que salga de la pista o se volte, se elimina.

En el primer impulso, el carrito de Daniela recorri 410 de la pista, el de Pamela 36

de la pista, el de Lucas 38 de la pista y el de Octavio qued a 25 de la meta. Desde

la posicin en que quedaron, les dieron el segundo impulso y cada carrito avanz un poco ms: el carrito de Daniela, 12 del total de la pista; el de Pamela,

25 del total

de la pista; el de Lucas qued a 112 de la meta y el de Octavio avanz 13 del total de la

pista. En qu lugar qued cada carrito despus del segundo impulso?

Resuelve

17


Los cuatro amigos proponen estrategias para resolver el problema.

Octavio dibuja una recta y ubica en ella la posicin en que queda cada uno de los carritos despus del primer impulso.

Describe qu tienes que hacer para ubicar la fraccin 25 en un segmento de recta.

Utiliza el siguiente segmento de recta para ubicar en qu lugar queda cada carrito despus del primer impulso.

SALIDA META

Cul carrito lleg ms lejos?

Cul carrito avanz menos?

Cuntos metros avanz el carrito de Lucas?

Cuntos metros avanz el carrito de Octavio?

Recuerda que las fracciones son nmeros que se expresan como cocientes. Puedes re-visar la leccin 26, La mitad de la mitad, de tu libro de 3 de primaria: pp. 85-88 y la leccin 2, El cociente y la fraccin, de tu libro de 6 de primaria: pp. 12-14.

Recuerda que una fraccin o nmero fraccionario se pue-de ubicar en la recta tomando en cuenta la informacin que proporcionan tanto el numerador como el denominador. Puedes revisar la leccin 13, Graduados especiales en las rectas, de tu libro de 5 de primaria: pp. 45 y 46 y la leccin 13, En dnde quedan las fracciones y decima-les?, de tu libro de 6 de primaria: pp. 51-53.

18

Lucas, al ver el dibujo de Octavio, comenta que se confunde con tantas divisiones en un solo segmento de recta, y decide trazar 4 segmentos para ubicar de nuevo la posicin en que qued cada uno de los carritos despus del primer impulso.

Observa los dos conjuntos de segmentos de recta identificados con los incisos a) y b). Marca en los dos grupos la posicin en la que quedan los carritos despus del primer impulso.

a)

b)

DanielaMETA

PamelaMETA

LucasMETA

OctavioMETA

En cul de los dos conjuntos puedes identificar cul carrito avanz ms?

Por qu?

DanielaMETA

Recuerda que para poder comparar

fracciones a partir de su representacin es

necesario que las frac-ciones estn ubicadas

en el mismo entero o en enteros iguales.

Puedes revisar la leccin 2, Compara medidas de tapetes y listones,

de tu libro de 4 de primaria: pp. 14-16.

PamelaMETA

OctavioMETA

LucasMETA

19

Marca, en el conjunto de segmentos de recta del inciso b), la posicin en que quedan los carritos despus del segundo impulso.

Daniela META

Pamela META

Lucas META

Octavio META

Cul de los carritos qued ms cerca de la meta?

En qu lugar qued el carrito de Pamela?

Qu fraccin del recorrido avanz el carrito de Lucas?

Recuerda que para ubicar en el mismo segmento de recta dos fracciones con distinto denominador conviene dividir el segmento en un nmero de par-tes que sea mltiplo comn de los dos de-nominadores. Puedes revisar la leccin 13, Graduados especiales en las rectas, de tu libro de 5 de primaria: pp. 45 y 46.

Daniela comenta que mientras estaban ubicando las fracciones se le ocurri cal-cular los metros que corresponden a cada fraccin y construy una tabla para anotar la equivalencia en metros del avance de los carritos.

20

Completa la tabla que propuso Daniela.

Carrito deRecorrido en metros

Total de metrosPrimer impulso Segundo impulso

Daniela 1.2 1.5 2.7

Pamela 1.5

Lucas

Octavio

Qu operacin hizo Daniela para calcular la cantidad de metros recorridos por su carrito con el primer impulso?

Cmo calculas cuntos metros avanz el carrito de Pamela en el primer impulso?

Cmo calculas cuntos metros avanz el carrito de Pamela en el segundo impulso?

Cmo calculas el total de metros que recorri el carrito de Pamela?

Recuerda que es lo mis-mo trabajar con metros

que con mltiplos o submltiplos del metro; por ejemplo, con cent-metros. Puedes revisar

la leccin 20, El metro y sus mltiplos, de tu

libro de 5 de primaria: pp. 64 y 65.

Recuerda que otra forma de comparar

nmeros fraccionarios es comparando su equi-

valente en decimales. Puedes revisar la leccin

32, De decimales a fracciones, de tu libro de 6 de primaria: pp.

126-128.

21

Cuando los nios completaron la tabla de Daniela, comentaron en qu lugar que-daba cada carrito. Pamela propuso una manera ms de abordar el problema: hacer operaciones con las fracciones.

Subraya la suma que da como resultado la fraccin del recorrido donde queda el carrito de Octavio despus del segundo impulso.

a) 35 + 13 =

48 b)

35 +

13 =

315 c)

35 +

13 =

1415

Calcula a qu fraccin del recorrido llega cada carrito, utiliza la propuesta de Pamela.

El carrito de Daniela recorre 410 de la pista en el primer impulso y 12 en el segundo

impulso, cunto de la pista recorre en total?

El carrito de Lucas est en 38 de la pista despus del primer impulso y con el se-gundo impulso llega a 112 de la meta, qu operacin haces para saber la fraccin de la pista que avanz el carrito de Lucas con el segundo impulso?

Recuerda que para sumar fracciones con diferente denominador puedes sumar fraccio-nes equivalentes a las que necesitas, pero que tengan el mismo deno-minador. Puedes revisar la leccin 27, Fraccio-nes de la hoja, de tu libro de 5 de primaria: pp. 93-95.

22

Cunto recorre en total el carrito de Pamela?

Para verificar tu respuesta, compara tus resultados con los que obtuviste en las dos propuestas anteriores.

Analizalo aprendido

Las fracciones son nmeros que se representan como cocientes. Al igual que los n-meros naturales, a las fracciones las puedes ubicar en la recta, compararlas entre s, realizar operaciones con ellas, as como determinar su equivalencia en decimales.

23

Tema 3Proporcionalidad


Resuelve problemas que implican identi-ficar la relacin que existe entre cantidades proporcionales.

Acepta el reto

Es mircoles y Octavio espera impaciente la llegada de sus tres amigos. Su mam va a hornear galletas y quiere que le ayuden. Ninguno de los cuatro muchachos sabe cmo se preparan ni qu ingredientes necesitan, pero les entusiasma la idea de aprender cosas nuevas Adems de que les gustan mucho las galletas que prepara la mam de Octavio.

Cuando llegan, van directamente a la cocina, donde la mam de Octavio les in-dica que la primera actividad es leer la receta con atencin para saber cules son los ingredientes y la cantidad indicada para cocinar las galletas.

Galletas de nuez con chocolate

Ingredientes para preparar 80 galletas: 4 yemas de huevo

Una lata de leche condensada

200 g de nuez picada finamente

Una cucharada de vainilla

400 g de mantequilla

3 12 tazas de harina cernida

12 taza de azcar glass

14 de taza de chocolate para repostera

Modo de preparacin:1. Bata la mantequilla hasta que acreme.

2. Aada la leche, la nuez, la vainilla, las yemas y la harina.

3. Extienda la pasta hasta que quede de 12 cm de grosor y corte las galletas a su gusto.

4. Colquelas en una charola y hornee a 200 durante 20 minutos.

5. Deje enfriar y decrelas con azcar glass y chocolate derretido.

25

Cuando terminan de leer, inmediatamente quieren empezar a preparar las galletas, pero les gustara hornear 20 para cada uno, y 20 para la mam de Octavio. Sin embar-go, las cantidades que aparecen en la receta son para 80 galletas y de acuerdo con sus clculos ellos tendran que hacer ms de 80. Cuntas galletas tendran que hacer?

Los cuatro amigos comentan divertidos que pueden seguir la receta para 80 ga-lletas y hacer galletas ms pequeas para completar las 20 galletas para cada uno de los cinco participantes. Los cuatro ren pues les gustan mucho las galletas y prefieren preparar la pasta necesaria para las 100 galletas. As que deciden aumentar la canti-dad de cada uno de los ingredientes de la receta.

Qu haras para calcular las cantidades necesarias de cada ingrediente para pre-parar 100 galletas?

Resuelve

26


Lucas comenta que si hay que hacer ms galletas entonces lo que se necesita es preparar ms pasta y para eso basta con agregar un poco ms de cada ingrediente. Ests de acuerdo con Lucas?, por qu?

Octavio est de acuerdo con Lucas pero considera que si slo se aumenta la canti-dad de cada ingrediente al tanteo entonces las galletas no tendrn el mismo sabor que las de la receta que prepara su mam. Ests de acuerdo con Octavio?, por qu?

Daniela recuerda que en la escuela trabajaron algo sobre cantidades proporciona-les y todas tenan que aumentar de la misma manera, aunque no recuerda muy bien qu quiere decir eso. Despus comenta que quiz se refiere a aumentar lo mismo a cada cantidad. Por ejemplo, debido a que se harn 20 galletas ms, entonces hay que aumentar 20 g de mantequilla, 20 ml de leche, 20 g de nuez etctera.

Octavio escucha con atencin a Daniela y les dice a sus amigos que cuando l pre-para gelatina, si quiere hacer el doble de gelatina tiene que utilizar el doble de polvo, el doble de agua caliente y el doble de agua fra. As que concluye si quisieran hacer 160 galletas tendran que utilizar el doble de yemas de huevo, o sea 8 yemas, y el doble de leche, es decir, dos latas.

Con cul de los dos ests de acuerdo?

Recuerdas cmo se comportan las cantidades proporcionales?

Para recordar cmo se comportan las canti-

dades proporcionales, puedes revisar la lec-

cin 21, Relacin entre dos cantidades,pp. 66 y 67 o la

leccin 50, Aumenta y disminuye proporcio-nalmente, de tu libro

de 5 de primaria:pp. 178 y 179.

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Lucas propone que, para hacer los clculos ms rpido, cada uno calcule lo corres-pondiente a dos ingredientes. l escoge calcular las cantidades de los dos primeros, Pamela elige los dos siguientes, Daniela dice que ella calcular la cantidad de huevo y de harina, y Octavio acepta que le toca calcular las cantidades de los ltimos dos ingredientes.

Observa y analiza los procesos para calcular las cantidades de los ingredientes que eligi cada uno y completa la informacin.

Lucas decide construir una tabla en la que retoma el comentario de Octavio:

IngredientesNmero de galletas

80 160 240 320 400 100

Yemas de huevo 4 8 12

Lata de leche 1 2

Por qu Lucas va incrementando el nmero de galletas?, qu busca?

Por qu Lucas esper hasta llegar a 400 galletas para bajar a 100?

Qu operacin utilizas para pasar de 400 a 100 galletas?

Puedes utilizar la misma operacin que en la pregunta anterior para calcular la cantidad de mantequilla para las 100 galletas? Explica por qu.

Para recordar el trabajo con tablas de cantidades proporcio-nales puedes revisar la leccin 17, Hacemos recetas, de tu libro de 3 de primaria: pp. 122 y 123; la leccin 86, El museo, de tu libro de 4 de primaria: pp. 194 y 195; o la leccin 9, El valor faltante, de tu libro de 4 de prima-ria: pp. 36 y 37.

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Pamela propone lo siguiente:

Cantidad de nuez

80 galletas 200 g de nuez40 galletas 100 g de nuez20 galletas __________

Cantidad de vainilla

80 galletas Una cucharada de vainilla40 galletas ____________________ __________

Qu crees que est buscando Pamela en su proceso?

Si Pamela est disminuyendo el nmero de galletas, cmo calcular las cantidades necesarias de nuez y de vainilla para las 100 galletas?

Cul es la cantidad de nuez que se necesita para elaborar 100 galletas?

Qu cantidad de vainilla se requiere para 100 galletas?

29

Daniela piensa que la relacin que hay entre la cantidad de galletas y la cantidad de cada ingrediente se debe conservar siempre igual para que las cantidades sean proporcionales y decide encontrar la razn que hay entre la cantidad de mantequilla y la cantidad de galletas. Daniela escribe la siguiente operacin:

80 400

Realiza la operacin y contesta.

Para qu hace esta operacin Daniela?, qu es lo que est buscando?

Cmo va a calcular Daniela la cantidad de mantequilla para las 100 galletas?

Daniela explica que hizo lo mismo para calcular la cantidad necesaria de harina para las 100 galletas. Pero que antes tuvo que convertir la fraccin 3 12 a decimales.

Convierte la fraccin 3 12 a decimales.

Para repasar qu es la constante de proporcio-nalidad puedes revisar la leccin 21, Relacin entre dos cantidades, de tu libro de 5 de primaria: pp. 66 y 67 y la leccin 19, Cul es la constante de propor-cionalidad?, de tu libro de 6 de primaria: pp. 69-71.

Para recordar cmo convertir una fraccin en su equivalente en decimales puedes revi-sar la leccin 32, De decimales a fracciones, de tu libro de 6 de primaria: pp. 126-128.

30

Calcula la cantidad de harina necesaria para hornear 100 galletas utilizando el proceso de Daniela.

Lucas comenta que se puede calcular la cantidad de harina necesaria para 100 galletas trabajando con la fraccin 3 12 sin tener que convertirla a decimales. l comenta que tendran que dividir 72 entre 80.

Por qu Lucas propone dividir 72 entre 80 y no 3 12 entre 80?

Realiza la operacin que propone Lucas.

Compara tu resultado con el que encontraste al trabajar con decimales. Obtuviste el mismo resultado o resultados distintos?

Puedes encontrar ms problemas para

determinar el factor de proporcionalidad en la

leccin 20, Tablas y factores de proporcio-

nalidad, de tu libro de 6 de primaria:

pp. 72-74.

Para recordar cmo dividir una fraccin

entre un nmero na-tural, puedes revisar la

leccin 34, Para dividir en partes, de tu libro

de 6 de primaria:pp. 34-37.

31

El rectngulo resaltado en la figura anterior, qu fraccin representa de la cantidad de azcar para 80 galletas?

El rectngulo resaltado, qu fraccin representa de toda la taza de azcar?

De acuerdo con los dibujos de Octavio, cunta azcar se necesita para las 100 galletas?

Octavio comenta que es posible representar grfica-mente las cantidades de ingredientes para 80 galletas y determinar as las cantidades necesarias para 100 galletas. Despus, dibuja un rectngulo para representar la cantidad de azcar que se emplea en 80 galletas:

80 galletas

Taza de azcar

Luego, considerando que 20 es la cuarta parte de 80, re-salt la cantidad correspondiente a 20 galletas como sigue:

32

Utiliza el procedimiento de Octavio para calcular la cantidad de chocolate que se necesita para las 100 galletas.

Puedes suponer que el rectngulo siguiente representa la taza de chocolate y representar la fraccin que corresponde a la cantidad de chocolate para 80 galletas.

De acuerdo con lo que hiciste, Cunto chocolate se necesita para las 100 galletas?

Analizalo aprendido

Cuando tenemos dos o ms cantidades que se relacionan proporcionalmente y una de ella aumenta o disminuye por un factor, debemos tener cuidado de que las otras cantidades tambin aumenten o disminuyan por el mismo factor, para que la relacin que hay entre ellas se conserve. La constante de proporcionalidad o factor de propor-cionalidad permite conservar la relacin entre dos cantidades.

33

Tema 4Geometra


Identifica estrategias para resolver problemas que implican calcular superficies y longitudes de figuras irregulares.

Acepta el reto

Es el viernes de la ltima semana de vacaciones de verano. Los muchachos miran las figuras caprichosas que se forman en el piso con los mosaicos que lo recubren. Como atrada por un imn, a Daniela le llama fuertemente la atencin algo a lo que no con-sigue encontrarle forma; observa muy atenta la figura en el piso hasta que adquiere relieve en su mirada fija.

AB

C D E

F

Entonces, llama a sus amigos para decirles que le gustara saber el permetro y el rea de la figura que se forma con las lneas de dos mosaicos: un segmento de recta y dos arcos. Todos ponen atencin a la figura que Daniela seala y deciden apoyarla.

Cada uno de los mosaicos que estn observando mide 20 cm de lado y tiene mar-cado un arco. En el dibujo de arriba se muestra la figura que seala Daniela, los arcos se trazan apoyndose en el vrtice C y en el vrtice A.

Despus de analizar durante unos minutos el problema, Pamela comenta que no conoce alguna frmula para calcular el rea o el permetro de figuras como sa, pero que recordaba las frmulas que aprendieron en la escuela para calcular reas y permetros de cuadrados, tringulos, rectngulos y crculos. Lucas est de acuerdo con Pamela y les dice que quiz podran buscar otras maneras de calcular permetros y reas.

Cmo calcularas el rea y el permetro de la figura sombreada?

Recuerda que el per-metro de una figura es

la medida de su contor-no y que el rea de una

figura es la medida de la superficie encerrada

por el contorno de la figura. Puedes revisar

las lecciones 10, El permetro del terreno, de tu libro de 5 de pri-

maria: pp. 31-34, y la leccin 33, Aproxima-damente cunto mide esa superficie?, de tu libro de 3 de primaria:

pp. 107 y 108.

35

Resuelve

Recuerda que es posi-ble calcular el rea de una figura a partir de calcular las reas de las figuras que la forman. Puedes revisar la leccin 7, Figuras, reas y pe-rmetros, de tu libro de 5 de primaria: pp. 25 y 26, y leccin 38, Cul tiene mayor permetro y rea?, de tu libro de 4 de primaria: pp. 136 y 137.


Los cuatro amigos deciden calcular primero el rea de la figura; despus de pensar por un momento, cada uno expresa lo que se le ocurre para calcularla.

36

Octavio les dice que recuerda haber obtenido en la escuela la medida de reas de figuras irregulares mediante el clculo de reas de figuras regulares. Nuevamente observan la figura y dan algunas ideas:

Qu figura forman los dos mosaicos?

Cmo calculas el rea de esa figura?

Daniela dice que podran calcular el rea que queda fuera de la figura sombreada.

AB

C D E

F

Pinta de azul la superficie de los mosaicos que queda fuera de la figura sombreada.

Recuerda que la circunfe-rencia es una lnea curva

cerrada cuyos puntos estn todos a la misma

distancia de un punto fijo llamado centro.

Un crculo es una su-perficie plana limitada

por una circunferencia. Puedes revisar la leccin

6, La circunferencia y sus elementos, de tu

libro de 6 de primaria: pp. 25-28.

Para recordar de dnde se deduce la frmula

para calcular reas de rectngulos puedes

revisar la leccin 40, Lado por lado, de tu libro de 4 de primaria:

pp. 141-143.

37

Recuerda que el radio de una circunferen-cia es la distancia que hay del centro a cualquier punto de la circunferencia.

Para recordar cmo calcular el rea de un crculo y qu significa

puedes consultar las lecciones 35, Polgo-nos en el crculo, y 36, Obteniendo , de tu libro de 6 de primaria: pp. 138-140.

Para verificar que las figuras de uno de los adoquines son iguales a las que se forman en el otro, puedes dibujar la figura en una hoja de papel o cartulina, recorta los pedazos y confirma cules son iguales

Cmo calcularas el rea de la superficie que pintaste de azul?

Cul es el rea de la figura sombreada?

A Pamela se le ocurre otra forma de calcular el rea de la figura sombreada: pro-pone remarcar de rojo el lado por el que estn unidos los mosaicos y, al hacerlo, comenta que las dos figuras que se forman en el primer mosaico son iguales a las que se forman en el segundo.

AB

C D E

F

Qu figuras forman la figura sombreada?

38

Para recordar cmo se deduce la frmula

para calcular el rea de un tringulo, puedes revisar la leccin 31,

Triangula cuadrilteros y encuentra su rea,

de tu libro de 5 de primaria: pp. 103-105.

Describe cmo puedes calcular el rea de la figura sombreada.

Octavio presenta una manera ms de resolver el problema: traza dos diagonales, una en cada uno de los mosaicos y observa que los gajos que se forman parecen iguales.

AB

C D E

F

Cmo puedes verificar si los gajos son iguales?

Qu figuras se forman en el rectngulo con las diagonales que traz Octavio?

Cul de las figuras que se forman tiene rea igual al rea de la figura sombreada?

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Los cuatro amigos estn felices por todo lo que repasaron al calcular el rea de la figura sombreada. Ellos comentaron que, con todo lo que aprendieron en la primaria, el clculo del permetro no les costara mucho trabajo.

T, qu dices?: puedes calcular el permetro de la figura sombreada y describir la estrategia que utilices.

Analizalo aprendido

El rea y el permetro de una figura son medidas que se pueden calcular a travs de frmulas convencionales o de estrategias de composicin y descomposicin de figuras.

En geometra es importante manipular las figuras, dibujarlas, colorearlas, recor-tarlas, moverlas, etctera, de manera que se logre ver ms all de lo que aparece a simple vista.

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Los cuatro amigos estn satisfechos porque lograron disfrutar de sus vacaciones, compar-tiendo momentos especiales entre todos y preparndose para la nueva etapa acadmica que les espera.

Estamos seguros de que t, al igual que Lucas y sus amigos, repasaste varios temas que te ayudarn en tus clases de matemticas en la secundaria y que, adems, ahora conoces otra forma de aprender y hacer matemticas.

Escribe qu aprendiste en tu trabajo con este material.

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Se imprimi por encargo de la Subsecretara de Educacin Bsica,en... con domicilio en...

El tiraje fue de... ejemplares.


matemáticas, lee,piensa y decide curso

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