Límites infinitos En esta sección abordaremos funciones cuyos valores crecen o decrecen sin límite cuando x

tienda a un número.

Se presentan como: ax ax

f(x)limof(x)lim y su significado geométrico es que la

recta x=a es una asíntota vertical de la gráfica de f.

Ejemplo 1. Calcular x

limx

1

0

Solución Usando la tabla de valores

x<0 x

1 x>0

x

1

-0.1 10 0.1 10

-0.01 100 0.01 100

-0.001 1000 0.001 1000

-0.0001 10000 0.0001 10000

Vemos que

00 xx f(x)lim y f(x)lim

Definición 1. ( Límites Infinitos )

a

Si x tiende a “a” por la derecha f(x) tiende a +

Si x tiende a “a” por izquierda f(x) tiende a -

Propiedades

1. Si n N, entonces

nx xlim

1

0

paresnsi

imparesnsi

xlim

nx

1

0

2. Si 00

cg(x)limyf(x)limaxax

, entonces

a) Si c>0 y f(x) 0 a través de valores positivos de f(x), entonces f(x)

g(x)lim

ax

b) Si c>0 y f(x) 0 a través de valores negativos de f(x), entonces f(x)

g(x)lim

ax

0

Fig. 11

0

Fig. 10

c) Si c<0 y f(x) 0 a través de valores positivos de f(x), entonces f(x)

g(x)lim

ax

d) Si c<0 y f(x) 0 a través de valores negativos de f(x), entonces f(x)

g(x)lim

ax

3. Si

eg(x)limyf(x)limaxax

ℝ, entonces

g(x)f(x)limax

4. Si

Cg(x)ax

limyf(x)ax

lim ℝ, entonces

g(x)f(x)limax

5. Si 0

cg(x)limyf(x)limaxax

, entonces

a) Si c>0,

xg.xflimax

b) Si c<0,

xg.xflimax

6. Si ,cg(x)limyf(x)limaxax

0

entonces

a) Si c>0 ,

g(x).f(x)limax

b) Si c<0 ,

g(x).f(x)limax

Ejemplo 2. Sea

f(x),f(x)hallar,xx

xf(x)

xx

11limlim

11

6

Solución

11

6lim

1 xx

x

x Porque el denominador se aproxima a cero tomando valores

positivos.(a)

11

6lim

1 xx

x

x Porque el denominador se aproxima a cero tomando valores

negativos.(b)

Con estos dos resultados, la gráfica de f(x), alrededor de x=1, es:

Ejemplo 3. Sea 𝑓(𝑥) =⟦𝑥⟧−2

𝑥−2, hallar f(x)lim

x 2 y f(x)lim

x 2

Solución

0

2

0

22 xlimf(x)lim

xx

2

1

22 xlimf(x)lim

xx

Con estos dos resultados, la gráfica de f(x), alrededor de x=2, es:

1

Fig. 12

Ejemplo 4. Si f(x)= 1

2

1

1

xx, hallar

1

2

1

1

1

xxlim

x

y 1

2

1

1

1

xx

lim-x

Solución

11

2

1

1

1 xxlim

x

y

11

2

1

1

1 xxlim

x

Entonces la gráfica de f(x) alrededor de x=1 es:

Definición 2. ( Asíntota Vertical )

La recta x=a es una Asíntota Vertical de la gráfica de f(x) si al menos uno de los siguientes enunciados es verdadero: a)

f(x)lim

ax

c)

f(x)limax

b)

f(x)limax

d)

f(x)limax

Ejemplo 7. Determinar la asíntota vertical de 2

2

xf(x)

Solución

Como

f(x)lim yf(x)limxx 22

, entonces x=2 es una asíntota vertical.

Ejemplo 8. Determinar la asíntota vertical de f(x)= 2

2

4 x

x

Solución

2

Fig. 13

1

Fig. 14

Como

f(x)x

lim yf(x)x

lim22

, entonces x=2 es una asíntota vertical.

Como

f(x)

xlimyf(x)

xlim

22, entonces x=-2 es una asíntota vertical.

2.5. Límites al infinito

Ahora estamos interesados en examinar el comportamiento, en términos de límites, de las funciones,

cuando x crece o decrece sin límite.

El significado geométrico de Lf(x)limx

o Lf(x)limx

es que la recta y=L es una asíntota

horizontal a la gráfica de la función f(x).

Ejemplo 1. Sea 1

2

2

x

xf(x) , analizarlo cuando x toma valores 0,1,2,5,10,100 y 1000.

x 1

2

2

x

xf(x)

0 0

1 0,5

2 0,8

5 0,9615

10 0,9900

100 0,9999

1000 0,999999

Propiedades

1. Si n N entonces a) 01

nx x

lim b) 01

nx x

lim

2. Cuando uno se encuentre con la forma indeterminada

, al calcular el límite de una función

racional, debe dividir el numerador y el denominador entre la potencia más alta de x que aparezca en el denominador.

Ejemplo 2. Sea 12

36

x

xf(x) determine f(x)

xlim

Solución

302

06

12

36

12

36

/x

/x

xlim

x

x

xlim

Ejemplo 3. Sea 16

13

3

2

x

xxf(x) determine f(x)

xlim

Solución

06

0

16

113

16

13

3

32

3

2

/x

xxx

xlim

x

xx

xlim

Ejemplo 4: hallar 6

2

x

xx

xlim

Solución

0

1 Asíntota horizontal

Fig. 16

0

10

61

11

62

2

xx

x

xlim

x

xx

xlim

Definición 2. (Asíntota Horizontal)

La recta y=b es una Asíntota Horizontal de la gráfica de la función f si al menos una de las proposiciones siguientes es verdadera.

a) ,bf(x)x

lim

y para algún número N, si x>N, entonces f(x)b ;

b) ,bf(x)x

lim

y para algún número N, si x<N, entonces f(x)b ;

Ejemplo 5. Hallar las asíntota horizontales de la gráfica de2

2

2

x

xf(x)

Solución

Como 2

21

2

2

2

22

/x

lim

x

xlim

xx, entonces y=2 es una asíntota horizontal.

Como 2

21

2

2

2

22

/x

-lim

x

xlim

xx, entonces y=-2 es una asíntota horizontal.

Ejemplo 6. Hallar una asíntota horizontal de la gráfica de 2167

836

24

23

xx

xxf(x)

Solución

2167

836

24

23

xx

xx lim

x

= 0

Por tanto y=0 es asíntota horizontal.

y=2

y=-2

Fig. 17

Continuidad de funciones reales

Con el concepto de límite dado, vamos ahora a construir un nuevo concepto previo a la derivada, llamada continuidad. Antes de dar su definición rigurosa, veamos los siguientes gráficos de funciones.

71

f(x)limx

62

f(x)limx

51

f(x)limx

f(1) no existe 82

f(x)limx

f(1)=7

existenof(x)limx 2

f(2)=8

Una función f(x) es continua en x=a, si no ocurre ninguna de las tres situaciones presentadas

anteriormente. Es decir

Definición 1. (Continuidad en un Punto)

La función f(x) es continua en x=a si cumple las tres condiciones siguientes: 1. f(a) existe 2. f(x)lim

axexiste

3. f(a)f(x)limax

Ejemplo 1.

2 4 7 10

Propiedad

1. Una función racional f(x) es continua en todo punto de su dominio. 2. Sea f(x) y g(x) dos funciones continuas en x=a. Entonces

a) (f + g)(x) es continua en x=a b) (f.g)(x) es continua en x=a

c) xg

f

es continua en x=a, g(a)0

3. Una función f:I ℝ ℝ definido en el intervalo abierto I de ℝ es continua en I si lo es todos los

puntos del intervalo I.

4. Una función f:[a,b] ℝ ℝ definida en el intervalo cerrado [a,b] de ℝ es continua en [a,b] si lo es en el intervalo abierto <a,b> y además:

f(x) es continua en x=0

f(x) no es continua en x=2

f(x) no es continua en x=4

1

7

2

6

8

1

5

7

Fig. 19

a) f(a)f(x)ax

lim

b) f(b)f(x)bx

lim

Ejemplo 2. Estudia la continuidad de 6

1

2

xx

xf(x)

Solución Para estudiar la continuidad, factorizamos el denominador de f(x), y resulta que

))(x(x-

xf(x)

23

1

De donde su Dominio = ℝ –{3,-2}. Entonces f es continua en xDominio. En cambio f(x) no es continua

en x=3, x=-2.

Ejemplo 3.

063

032

; xx

; x xf(x)

¿es continua en x = 0?

Solución

Utilizando los límites laterales se obtiene que:

30

f(x)limx

y 60

f(x)limx

,

de donde se concluye que f(x)limx 0

no existe y por tanto f(x) no es continua en x=0.

f(x) es discontinua en x=0

Ejemplo 5. Sea

132

11

12

2

2

x;x x

x;BAx

x;x

f(x)

¿Cuánto deben valer, A y B, para que esta función sea continua en x=1, x=-1?

Solución

1111

BABAf(x)lim , f(x)limxx

6611

BA f(x)lim B, Af(x)limxx

resolviendo el sistema: 2

7By

2

5A

3

6

Fig. 20

Entonces

132

112

7

2

5

12

2

2

x;x x

x;x

x;x

f(x)

es continua en x=-1 y x=1.

5242

22

)f(xlimf(x)limxx

Actividades de Sistematización

Para las siguientes funciones, calcular los límites laterales en el punto indicado y verifique si existe el límite en este punto.

1.

182

163

; xx

; xx f(x) , x=1 5.

012

024

; x -x

; x xf(x) , x=0

2. ;x-

x-xf(x)

2

2 x=2 6. ;

x

xf(x)

9

3

2

x=3

En los ejercicios 9–20 determine el límite.

9. 1

12

1

x

xlim

x

15. 2

1

4

2

0 x-x

xlim

x

10. 1

23

2

23

1

x

xxlim

x

En los ejercicios 21-32 determine los límites de las funciones siguientes.

21. 643

23

2

2

xx

xxlim

x 27.

57

75

2

2

xx

x-xlim

x

22.

8

3

3

5

2

1

xxxlim

x 28.

1

836

6

5

x

xxlim

x

23. 51

7

x

xlimx

29. 2232

xxlimx

En los ejercicios 33-38 hallar las asíntotas de cada una de las funciones siguientes.

33. 1

1

2

x

f(x) 36. 2

2

1 x

xf(x)

34. 4

2

x

xf(x) 37.

x

xf(x)

1

2

35. 4

232

x

xxf(x) 38.

3

4

1

1

x

xf(x)

De 39 al 42, diga si la función f(x) dada es continua en el punto indica

39.

1

11

2x;xx

x;xf(x) , x=1 41.

0

02

2x;xx

x;xf(x) , x=0

40.

13

11

13

x;

x;x

x

f(x) , x=1 42.

03

0

x;

x;x

xsen

f(x) , x=0

En los ejercicios 47 al 50, determine el valor de A para que la función sea continua en el punto indicado.

〚x〛

47.

1

11

1

x;Ax

x;x

x

f(x)

en x=-1

48.

0

01

2x;Ax

x;f(x)

en x=0