Lógica de enunciados

(o lógica proposicional)

Ejemplos de enunciados

• Cuba es una isla en el Pacífico

• 2 + 2 = 4

• Vicente Fox es el presidente de Guatemala

• Vicente Fox no es el presidente de Guatemala y sí es el presidente de México

enunciado

• Secuencia de símbolos (oración escrita o emitida oralmente)

+ Proposición (significado del enunciado en virtud del cual el enunciado es verdadero o falso)

Enunciados simples

• Tegucigalpa es la capital de Honduras

• 2 + 2 = 4

• El Sol es una estrella

• Vincente Fox es el presidente de México en el año 2005

• La UNAM tiene más de 250 mil estudiantes

Enunciados complejos• Tegucigalpa es la capital de Honduras y San José es

la capital de Costa Rica

• Juan sabe que Tegucigalpa es la capital de Honduras

• Juan cree que San José es la capital de Costa Rica

• Necesariamente 2+2 = 4

• Es posible que Pedro no sepa que Tegucigalpa es la capital de Honduras

Enunciados complejos

• Se distingue entre enunciados complejos intensionales y enunciados complejos extensionales

• La base de la distinción es el llamado “principio de sustitución de equivalentes”

Tegucigalpa es la capital de Honduras y Managua la capital de Nicaragua

• “Tegucigalpa es la capital de Honduras” es equivalente a “Lima es la capital de Perú”

• Lima es la capital de Perú y Managua la capital de Nicaragua

Paris es la capital de Honduras y Managua la capital de Nicaragua

• “Paris es la capital de Honduras” es equivalente a “Lima es la capital de Argentina”

• Lima es la capital de Argentina y Managua la capital de Nicaragua

Juan cree que Tegucigalpa es la capital de Honduras

• “Tegucigalpa es la capital de Honduras” es equivalente a

“Roma es la capital de Italia”

• Juan cree que Roma es la capital de Italia

 

Juan cree que Montevideo es la capital de Argentina

• “Montevideo es la capital de Argentina” es equivalente a “San José es la capital de Chile”

•   Juan cree que San José es la capital de Chile

Principio sustitución de equivalentes

Sea C una oración compleja, A una oración componente de C, B cualquier oración, y C* el resultado de substituir a A por B en C :

Si A tiene el mismo valor de verdad que B, entonces C tiene el mismo valor de verdad que C*.

Enunciados complejos

• Enunciados complejos extensionales (respetan siempre el principio de sustitución de

equivalentes)

•  Enunciados complejos intensionales (no siempre respetan el principio de sustitución de

equivalentes)

Operadores

• Intensionales : forman enunciados intensionales (ejemplos: “es necesario que”, “es obligatorio que”)

• Extensionales: forman enunciados extensionales (ejemplos: “y”, “o”, “no es el caso que”

Operadores importantes del lenguaje coloquial

• y

• O

• Si..., entonces

• No es el caso que

• Si y solo si

Usos que corresponden a funciones lógicas diferentes

• “y” en “Juan y Pedro son hermanos” tiene un función lógica diferente de la usada en “Juan es alto y Pedro es bajo”

• “o” a veces se usa en sentido exclusivo y otras en sentido inclusivo.

• “Si...entonces” tienen usos extensionales e intensionales

Es necesario expresar en forma precisa la función lógica de ciertos usos de cada uno de los operadores

mencionados. Con este fin, introduciremos un lenguaje formal,

el cual llamaremos LE

Lenguaje formal LE:símbolos básicos

• Parámetros de enunciados: letras mayúsculas del alfabeto

• Símbolos lógicos : (, ), , , , ,

Semántica de símbolos lógicos de LE

• Semántica informal: usando el lenguaje coloquial para interpretar cada símbolo. Por ejm., “” habrá de significar lo mismo que “y”. Problema: ambigüedad y falta de precisión de los operadores coloquiales

• Semántica formal: usando tablas de verdad

Reglas de construcción de fórmulas de LE

• Todo parámetro de enunciado es una fórmula de LE

• Si es una fórmula de LE, entonces • Si y son fórmulas de LE, entonces (

), ( ), ( ) y ( ) son fórmulas de LE

Ejemplos fórmulas de LE

• (A B)

• ( A M) (H R)

• ((D B) H)

• (I C) ( A M)

• (A B) (C H)

V V V

V F F

F V F

F F F 

Tabla de conjunción

V V V

V F V

F V V

F F F

Tabla de disyunción

V F

F V

Tabla de negación

V V V

V F F

F V F

F F V

 

Tabla de equivalencia material

V V V

V F F

F V V

F F V

Tabla de implicación material

Símbolo para consecuencia lógica

Ejemplo razonamiento en LE

AB

B

A

A B AB

B

A

V V V F F

V F F V F

F V V F V

F F V V V

P1 P2 C

Prueba de validez lógica por tablas de verdad

Prueba de validez lógica de razonamientos en lenguaje coloquial: procedimiento

• Traducir del lenguaje coloquial a LE

• Determinar la validez de la traducción mediante tablas de verdad

Si aumentan la inflación y quiebran algunas empresas, entonces aumentará la criminalidad.Aumentará la inflación y alguna empresas quebrarán. Por lo tanto, aumentará la criminalidad.

Un razonamiento en lenguaje coloquial

Traducción del razonamiento

• A: aumenta la inflación• E: algunas empresas quiebran• C: aumentará la criminalidad

• (A E) C• A E C

A E C (A E) (AE) C

V V V V V

V V F V F

V F V F V

V F F F V

F V V F V

F V F F V

F F V F V

F F F F V

C P2 P1

Prueba de validez de la traducción

Ámbito de confiabilidad del método

      Un razonamiento en lenguaje coloquial será válido intuitivamente, si la traducción de ese razonamiento a LE es dictaminada por el método como un razonamiento válido en LE. Si un razonamiento es intuitivamente inválido, entonces ese procedimiento siempre dictaminará su traducción a LE como inválido.   

Limitación del método  

      Si un razonamiento en lenguaje coloquial es intuitivamente válido, es posible que el método dictamine que la traducción de ese razonamiento a LE es inválido  Origen de esta limitación: el análisis de los razonamientos no penetra en la estructura lógica interna de los enunciados simples, lo cual no revela posibles relaciones lógicas entre las expresiones componentes de los enunciados simples

Todos los gatos son animalesTodos los animales son mortalesPor lo tanto, todos los gatos son mortales

Ejm. de razonamiento válido no cubierto por el método

Verdades lógicas de LE:

TODA FÓRMULA QUE RESULTA VERDADERA BAJO CUALQUIER

ASIGNACIÓN DE VALORES A LOS PARAMETROS DE

ENUNCIADOS COMPONENTES DE LA FÓRMULA

A A A

V V

F V 

Ejemplo de tautología

Sistematización de razonamientos válidos y tautologías de LE

• Mediante un sistema formal axiomático: axiomas y reglas

• Mediante un sistema formal de reglas de deducción natural: sólo reglas

En el caso de LE, se han construido sistemas

formales que

• Permiten derivar todas las tautologías

• Permiten derivar todos los razonamientos válidos en LE

Y, por otro lado,

• Todo enunciado derivable de tales sistemas formales es una tautología

• Todo razonamiento derivable de tales sistemas es válido