Juliaacuten MOLIAN ZAMBRANO

1

La loacutegica modal es una de las partes maacutes difiacuteciles de la loacutegica de Aristoacuteteles

Se presenta en dos libros para los enunciados en Peri Hermeneia (12 y13) y en los Primeros Analiacuteticos (I 3 y 13) para los silogismos en los Primeros Analiacuteticos (I 8-22)

En estos textos encontramos dos sentidos de posibilidad o contingencia que estaacuten en el origen de confusiones

2

Las modalidadesEl modo es triple (1) uno determina al sujeto

de la oracioacuten (un hombre blancoblanco corre) (2) otro determina al predicado (Soacutecrates es un hombre blanco) y (3) el tercero determina a la composicioacuten del predicado con el sujeto (Que Soacutecrates corra es posiblees posible) Y soacutelo del tercer tipo es que la oracioacuten se denomina ldquomodalrdquo

3

Los modosLos modos son seis verdadero falso

necesario posible imposible y contingente Sin embargo ldquoverdaderordquo y ldquofalsordquo no antildeaden nada a la significacioacuten porque indican lo mismo cuando se dice ldquoSoacutecrates correrdquo que cuando se dice ldquoes verdad que Soacutecrates correrdquo igualmente ldquoSoacutecrates no correrdquo y ldquoes falso que Soacutecrates correrdquo

4

Como el predicado determina al sujeto es necesario que para tener una oracioacuten modal el verbo de la unioacuten del sujeto y el predicado se tome como sujeto En latiacuten el verbo de la proposicioacuten se pone en infinitivo y el sujeto en acusativo (Socratem currere en lugar de Socrates currit) A esto se denomina ldquodictumrdquo Ahora bien cuando el dictum se toma como sujeto y el modo (necesario imposible posible y contingente) como predicado tenemos una oracioacuten modal Socratem currere est possibile

5

De dicto y de reLas oraciones modales pueden ser del dictum

o de las cosas Las modales de dicto toman al dictum como sujeto y al modo como predicado (Socratem currere est possibileest possibile) Las modales de re se originan cuando el modo se coloca dentro del dictum (Socratem possibilepossibile est currere)

Todas las oraciones de dicto son singulares mientras que las de re se conciben como universales particulares singulares e indefinidas seguacuten el sujeto del dictum

6

Las modales de re corresponde a la estructura aristoteacutelica donde el modo no determina a la composicioacuten [del sujeto y el predicado mediante el verbo] sino al predicado o al modo como el atributo determina al sujeto

ldquoA es posiblementeposiblemente Brdquo se puede analizar en ldquosi x es A entonces x es posiblementeposiblemente Brdquo

Las modales de dicto tienen la estructura de Teofrasto Es posibleEs posible que A sea B

7

de Aristoacuteteles

8

Comentario de santo TomaacutesldquoEste libro se titula Sobre la interpretacioacuten

como si se dijera Sobre la frase enunciativa porque es en ella donde se encuentra lo verdadero y lo falsohellip El enunciado es un discurso que significa lo verdadero o lo falsordquo

9

Su finalidadldquoLa loacutegica se dice ciencia racional Su

consideracioacuten trata necesariamente sobre lo que pertenece a las tres operaciones de la razoacuten Lo que pertenece a la primera operacioacuten de la inteligencia es decir lo que es concebido por una inteligencia Aristoacuteteles lo trata en el libro de las Categoriacuteas

10

Comentario de santo TomaacutesldquoLo que pertenece a la segunda operacioacuten a

saber a la enunciacioacuten afirmativa y negativa el Filoacutesofo lo trata en el libro Sobre la interpretacioacuten Enseguida lo que pertenece a la tercera operacioacuten lo trata en el libro de los Primeros Analiacuteticos hellip

11

Comentario de santo TomaacutesldquoEs por lo que en conformidad con el orden

mencionado de las tres operaciones el libro de las Categoriacuteas estaacute ordenado al libro Sobre la interpretacioacuten el cual estaacute ordenado al libro de los Primeros Analiacuteticos y siguientesrdquo

12

C W A WhitakerEsta visioacuten no es correcto El libro De

Interpretatione no presupone las Categoriacuteas Maacutes bien comienza con lo baacutesico y proporciona en los capiacutetulos del 1 al 6 los elementos necesarios para el trabajo real contenido en los capiacutetulos del 7 al 14 Tampoco es una preparacioacuten para los Primeros Analiacuteticos

El tema central del De Interpretatione no es la proposicioacuten vista como el elemento baacutesico del silogismo sino los pares contradictorios y los pares contradictorios y sus implicacionessus implicaciones

13

El tratado estaacute orientado asiacute a los Toacutepicos y a los Elencos Sofiacutesticos que trata de las preguntas y respuestas de las cuestiones dialeacutecticas con el fin de refutar una tesis

El dialeacutectico debe ser capaz de clasificar las proposiciones en pares contradictorioshellip debe conocer la contradictoria de la tesis ambas contradictorias debe conocerlas para responder a la cuestioacuten

14

Estrategia didaacutecticaCon el supuesto de Whitaker de que se debe

buscar los pares contradictorios y sus implicaciones trataremos de comprender coacutemo se forman si no los pares contradictorios siacute las oposiciones que operan entre las modalidades asiacute como determinar sus implicaciones existen entre ellas

15

La negacioacuten de las modalidadesLas negaciones de las proposiciones

asertoacutericas se forman al agregar lsquonorsquo a la coacutepula Las aserciones contradictorias estaacuten marcadas por lsquoesrsquo y lsquono-esrsquo (21ordf38)

En el capiacutetulo 10 Aristoacuteteles la aplica primero a las aserciones que contienen la coacutepula lsquoesrsquo y luego lo extiende a los verbos

Las aserciones que contienen un verbo en lugar de lsquoesrsquo operan de la misma manera el verbo es lo que es dicho en lugar de lsquoserrsquo y su negacioacuten es similar (21b5-10)

16

Primera dificultadAristoacuteteles declara que la negacioacuten de lsquoser

posiblersquo es lsquono ser posiblersquo (21b23) En este caso de manera diferente a las aserciones la negacioacuten consiste no en negar la copula lsquoserrsquo sino el operador modaloperador modal

Los operadores modales son vistos en el lugar de la copula y asiacute son la parte propia de la negacioacuten del enunciado modal si una negacioacuten debe formarse

17

Es posible que P tiene como negacioacuten no es posible que P

La negacioacuten de no es posible que no-P no es es posible que P sino es posible que no-P

El mismo anaacutelisis vale naturalmente para el resto de las modalidades contingente necesario y imposible

18

Las negaciones modalesEs posible que P No es posible que PEs contingente que P No es contingente que

PEs necesario que P No es necesario que PEs imposible que P No es imposible que P

Por ahora sabemos coacutemo realizar la negacioacuten

19

Segunda dificultadExisten pares de enunciados singulares sobre

el futuro que siendo en apariencia contradictorios son verdaderos

laquo Socratem currere est possibile y Socratem non currere est possibile son ambas verdaderas porque Soacutecrates puede correr y puede no correr y la posibilidad es verdadera respecto de ambos enunciados Por lo tanto una no es afirmativa y la otra negativa raquo [Comentario de santo Tomaacutes]

20

Algo es capaz de caminar no necesita en acto estar caminando todo el tiempo y asiacute debe ser capaz de no caminar tambieacuten Ambas afirmaciones pueden ser simultaacuteneamente verdaderas del mismo sujeto y por tanto no pueden ser contradictorias (21b17)

Es la naturaleza de la cosa afirmada como el sujeto de las dos aserciones que les permite a ambos ser verdadera

21

Hay cuatro posibilidades de verdad de dos enunciados sobre futuros contingentes

1 Ambos enunciados son verdaderos2 Ambos enunciados son falsos3 Uno es verdadero y el otro falso en el

presente4 Uno es verdadero y el otro es falso en

potencia

22

1 Si asumimos el Principio de no-Contradiccioacuten entonces el par de futuros contingentes no pueden ser los dos verdaderos

2 Si aceptamos el Principio de Tercero Excluido entonces no pueden ser los dos falsos

3 Si el Principio de Bivalencia tiene validez universal entonces uno es verdadero y el otro es falso en el presente

Posicioacuten aristoteacutelica uno es verdadero y el otro es falso en potencia por ello el Principio de Bivalencia debe restringirse y ademaacutes se debe evitar de tener por necesarios (absolutamente) a los enunciados sobre futuros contingentes

23

Aristoacuteteles rechaza la tesis megaacuterica de la necesidad del ser por la verdad (P P si P sucede entonces es necesario que P suceda) lo que significa que todos los futuros son o necesarios o imposibles

La negacioacuten de este necesitarismo implica restringir el Principio de Bivalencia para los futuros contingentes es decir la verdad de un enunciado depende del ser siendo el futuro un ser en potencia no puede declararse

24

El mundo sublunar consta de seres contingentes que no existen siempre en acto pero cuando una propiedad se actualiza se debe a una necesidad condicional esto es el predicado determina al sujeto durante el presente en que se actualiza Por ejemplo el sol se eclipsa por la lunaPor lo tanto no se puede mantener que toda enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso restringiendo asiacute el Principio de Bivalencia

25

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

La loacutegica modal es una de las partes maacutes difiacuteciles de la loacutegica de Aristoacuteteles

Se presenta en dos libros para los enunciados en Peri Hermeneia (12 y13) y en los Primeros Analiacuteticos (I 3 y 13) para los silogismos en los Primeros Analiacuteticos (I 8-22)

En estos textos encontramos dos sentidos de posibilidad o contingencia que estaacuten en el origen de confusiones

2

Las modalidadesEl modo es triple (1) uno determina al sujeto

de la oracioacuten (un hombre blancoblanco corre) (2) otro determina al predicado (Soacutecrates es un hombre blanco) y (3) el tercero determina a la composicioacuten del predicado con el sujeto (Que Soacutecrates corra es posiblees posible) Y soacutelo del tercer tipo es que la oracioacuten se denomina ldquomodalrdquo

3

Los modosLos modos son seis verdadero falso

necesario posible imposible y contingente Sin embargo ldquoverdaderordquo y ldquofalsordquo no antildeaden nada a la significacioacuten porque indican lo mismo cuando se dice ldquoSoacutecrates correrdquo que cuando se dice ldquoes verdad que Soacutecrates correrdquo igualmente ldquoSoacutecrates no correrdquo y ldquoes falso que Soacutecrates correrdquo

4

Como el predicado determina al sujeto es necesario que para tener una oracioacuten modal el verbo de la unioacuten del sujeto y el predicado se tome como sujeto En latiacuten el verbo de la proposicioacuten se pone en infinitivo y el sujeto en acusativo (Socratem currere en lugar de Socrates currit) A esto se denomina ldquodictumrdquo Ahora bien cuando el dictum se toma como sujeto y el modo (necesario imposible posible y contingente) como predicado tenemos una oracioacuten modal Socratem currere est possibile

5

De dicto y de reLas oraciones modales pueden ser del dictum

o de las cosas Las modales de dicto toman al dictum como sujeto y al modo como predicado (Socratem currere est possibileest possibile) Las modales de re se originan cuando el modo se coloca dentro del dictum (Socratem possibilepossibile est currere)

Todas las oraciones de dicto son singulares mientras que las de re se conciben como universales particulares singulares e indefinidas seguacuten el sujeto del dictum

6

Las modales de re corresponde a la estructura aristoteacutelica donde el modo no determina a la composicioacuten [del sujeto y el predicado mediante el verbo] sino al predicado o al modo como el atributo determina al sujeto

ldquoA es posiblementeposiblemente Brdquo se puede analizar en ldquosi x es A entonces x es posiblementeposiblemente Brdquo

Las modales de dicto tienen la estructura de Teofrasto Es posibleEs posible que A sea B

7

de Aristoacuteteles

8

Comentario de santo TomaacutesldquoEste libro se titula Sobre la interpretacioacuten

como si se dijera Sobre la frase enunciativa porque es en ella donde se encuentra lo verdadero y lo falsohellip El enunciado es un discurso que significa lo verdadero o lo falsordquo

9

Su finalidadldquoLa loacutegica se dice ciencia racional Su

consideracioacuten trata necesariamente sobre lo que pertenece a las tres operaciones de la razoacuten Lo que pertenece a la primera operacioacuten de la inteligencia es decir lo que es concebido por una inteligencia Aristoacuteteles lo trata en el libro de las Categoriacuteas

10

Comentario de santo TomaacutesldquoLo que pertenece a la segunda operacioacuten a

saber a la enunciacioacuten afirmativa y negativa el Filoacutesofo lo trata en el libro Sobre la interpretacioacuten Enseguida lo que pertenece a la tercera operacioacuten lo trata en el libro de los Primeros Analiacuteticos hellip

11

Comentario de santo TomaacutesldquoEs por lo que en conformidad con el orden

mencionado de las tres operaciones el libro de las Categoriacuteas estaacute ordenado al libro Sobre la interpretacioacuten el cual estaacute ordenado al libro de los Primeros Analiacuteticos y siguientesrdquo

12

C W A WhitakerEsta visioacuten no es correcto El libro De

Interpretatione no presupone las Categoriacuteas Maacutes bien comienza con lo baacutesico y proporciona en los capiacutetulos del 1 al 6 los elementos necesarios para el trabajo real contenido en los capiacutetulos del 7 al 14 Tampoco es una preparacioacuten para los Primeros Analiacuteticos

El tema central del De Interpretatione no es la proposicioacuten vista como el elemento baacutesico del silogismo sino los pares contradictorios y los pares contradictorios y sus implicacionessus implicaciones

13

El tratado estaacute orientado asiacute a los Toacutepicos y a los Elencos Sofiacutesticos que trata de las preguntas y respuestas de las cuestiones dialeacutecticas con el fin de refutar una tesis

El dialeacutectico debe ser capaz de clasificar las proposiciones en pares contradictorioshellip debe conocer la contradictoria de la tesis ambas contradictorias debe conocerlas para responder a la cuestioacuten

14

Estrategia didaacutecticaCon el supuesto de Whitaker de que se debe

buscar los pares contradictorios y sus implicaciones trataremos de comprender coacutemo se forman si no los pares contradictorios siacute las oposiciones que operan entre las modalidades asiacute como determinar sus implicaciones existen entre ellas

15

La negacioacuten de las modalidadesLas negaciones de las proposiciones

asertoacutericas se forman al agregar lsquonorsquo a la coacutepula Las aserciones contradictorias estaacuten marcadas por lsquoesrsquo y lsquono-esrsquo (21ordf38)

En el capiacutetulo 10 Aristoacuteteles la aplica primero a las aserciones que contienen la coacutepula lsquoesrsquo y luego lo extiende a los verbos

Las aserciones que contienen un verbo en lugar de lsquoesrsquo operan de la misma manera el verbo es lo que es dicho en lugar de lsquoserrsquo y su negacioacuten es similar (21b5-10)

16

Primera dificultadAristoacuteteles declara que la negacioacuten de lsquoser

posiblersquo es lsquono ser posiblersquo (21b23) En este caso de manera diferente a las aserciones la negacioacuten consiste no en negar la copula lsquoserrsquo sino el operador modaloperador modal

Los operadores modales son vistos en el lugar de la copula y asiacute son la parte propia de la negacioacuten del enunciado modal si una negacioacuten debe formarse

17

Es posible que P tiene como negacioacuten no es posible que P

La negacioacuten de no es posible que no-P no es es posible que P sino es posible que no-P

El mismo anaacutelisis vale naturalmente para el resto de las modalidades contingente necesario y imposible

18

Las negaciones modalesEs posible que P No es posible que PEs contingente que P No es contingente que

PEs necesario que P No es necesario que PEs imposible que P No es imposible que P

Por ahora sabemos coacutemo realizar la negacioacuten

19

Segunda dificultadExisten pares de enunciados singulares sobre

el futuro que siendo en apariencia contradictorios son verdaderos

laquo Socratem currere est possibile y Socratem non currere est possibile son ambas verdaderas porque Soacutecrates puede correr y puede no correr y la posibilidad es verdadera respecto de ambos enunciados Por lo tanto una no es afirmativa y la otra negativa raquo [Comentario de santo Tomaacutes]

20

Algo es capaz de caminar no necesita en acto estar caminando todo el tiempo y asiacute debe ser capaz de no caminar tambieacuten Ambas afirmaciones pueden ser simultaacuteneamente verdaderas del mismo sujeto y por tanto no pueden ser contradictorias (21b17)

Es la naturaleza de la cosa afirmada como el sujeto de las dos aserciones que les permite a ambos ser verdadera

21

Hay cuatro posibilidades de verdad de dos enunciados sobre futuros contingentes

1 Ambos enunciados son verdaderos2 Ambos enunciados son falsos3 Uno es verdadero y el otro falso en el

presente4 Uno es verdadero y el otro es falso en

potencia

22

1 Si asumimos el Principio de no-Contradiccioacuten entonces el par de futuros contingentes no pueden ser los dos verdaderos

2 Si aceptamos el Principio de Tercero Excluido entonces no pueden ser los dos falsos

3 Si el Principio de Bivalencia tiene validez universal entonces uno es verdadero y el otro es falso en el presente

Posicioacuten aristoteacutelica uno es verdadero y el otro es falso en potencia por ello el Principio de Bivalencia debe restringirse y ademaacutes se debe evitar de tener por necesarios (absolutamente) a los enunciados sobre futuros contingentes

23

Aristoacuteteles rechaza la tesis megaacuterica de la necesidad del ser por la verdad (P P si P sucede entonces es necesario que P suceda) lo que significa que todos los futuros son o necesarios o imposibles

La negacioacuten de este necesitarismo implica restringir el Principio de Bivalencia para los futuros contingentes es decir la verdad de un enunciado depende del ser siendo el futuro un ser en potencia no puede declararse

24

El mundo sublunar consta de seres contingentes que no existen siempre en acto pero cuando una propiedad se actualiza se debe a una necesidad condicional esto es el predicado determina al sujeto durante el presente en que se actualiza Por ejemplo el sol se eclipsa por la lunaPor lo tanto no se puede mantener que toda enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso restringiendo asiacute el Principio de Bivalencia

25

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Las modalidadesEl modo es triple (1) uno determina al sujeto

de la oracioacuten (un hombre blancoblanco corre) (2) otro determina al predicado (Soacutecrates es un hombre blanco) y (3) el tercero determina a la composicioacuten del predicado con el sujeto (Que Soacutecrates corra es posiblees posible) Y soacutelo del tercer tipo es que la oracioacuten se denomina ldquomodalrdquo

3

Los modosLos modos son seis verdadero falso

necesario posible imposible y contingente Sin embargo ldquoverdaderordquo y ldquofalsordquo no antildeaden nada a la significacioacuten porque indican lo mismo cuando se dice ldquoSoacutecrates correrdquo que cuando se dice ldquoes verdad que Soacutecrates correrdquo igualmente ldquoSoacutecrates no correrdquo y ldquoes falso que Soacutecrates correrdquo

4

Como el predicado determina al sujeto es necesario que para tener una oracioacuten modal el verbo de la unioacuten del sujeto y el predicado se tome como sujeto En latiacuten el verbo de la proposicioacuten se pone en infinitivo y el sujeto en acusativo (Socratem currere en lugar de Socrates currit) A esto se denomina ldquodictumrdquo Ahora bien cuando el dictum se toma como sujeto y el modo (necesario imposible posible y contingente) como predicado tenemos una oracioacuten modal Socratem currere est possibile

5

De dicto y de reLas oraciones modales pueden ser del dictum

o de las cosas Las modales de dicto toman al dictum como sujeto y al modo como predicado (Socratem currere est possibileest possibile) Las modales de re se originan cuando el modo se coloca dentro del dictum (Socratem possibilepossibile est currere)

Todas las oraciones de dicto son singulares mientras que las de re se conciben como universales particulares singulares e indefinidas seguacuten el sujeto del dictum

6

Las modales de re corresponde a la estructura aristoteacutelica donde el modo no determina a la composicioacuten [del sujeto y el predicado mediante el verbo] sino al predicado o al modo como el atributo determina al sujeto

ldquoA es posiblementeposiblemente Brdquo se puede analizar en ldquosi x es A entonces x es posiblementeposiblemente Brdquo

Las modales de dicto tienen la estructura de Teofrasto Es posibleEs posible que A sea B

7

de Aristoacuteteles

8

Comentario de santo TomaacutesldquoEste libro se titula Sobre la interpretacioacuten

como si se dijera Sobre la frase enunciativa porque es en ella donde se encuentra lo verdadero y lo falsohellip El enunciado es un discurso que significa lo verdadero o lo falsordquo

9

Su finalidadldquoLa loacutegica se dice ciencia racional Su

consideracioacuten trata necesariamente sobre lo que pertenece a las tres operaciones de la razoacuten Lo que pertenece a la primera operacioacuten de la inteligencia es decir lo que es concebido por una inteligencia Aristoacuteteles lo trata en el libro de las Categoriacuteas

10

Comentario de santo TomaacutesldquoLo que pertenece a la segunda operacioacuten a

saber a la enunciacioacuten afirmativa y negativa el Filoacutesofo lo trata en el libro Sobre la interpretacioacuten Enseguida lo que pertenece a la tercera operacioacuten lo trata en el libro de los Primeros Analiacuteticos hellip

11

Comentario de santo TomaacutesldquoEs por lo que en conformidad con el orden

mencionado de las tres operaciones el libro de las Categoriacuteas estaacute ordenado al libro Sobre la interpretacioacuten el cual estaacute ordenado al libro de los Primeros Analiacuteticos y siguientesrdquo

12

C W A WhitakerEsta visioacuten no es correcto El libro De

Interpretatione no presupone las Categoriacuteas Maacutes bien comienza con lo baacutesico y proporciona en los capiacutetulos del 1 al 6 los elementos necesarios para el trabajo real contenido en los capiacutetulos del 7 al 14 Tampoco es una preparacioacuten para los Primeros Analiacuteticos

El tema central del De Interpretatione no es la proposicioacuten vista como el elemento baacutesico del silogismo sino los pares contradictorios y los pares contradictorios y sus implicacionessus implicaciones

13

El tratado estaacute orientado asiacute a los Toacutepicos y a los Elencos Sofiacutesticos que trata de las preguntas y respuestas de las cuestiones dialeacutecticas con el fin de refutar una tesis

El dialeacutectico debe ser capaz de clasificar las proposiciones en pares contradictorioshellip debe conocer la contradictoria de la tesis ambas contradictorias debe conocerlas para responder a la cuestioacuten

14

Estrategia didaacutecticaCon el supuesto de Whitaker de que se debe

buscar los pares contradictorios y sus implicaciones trataremos de comprender coacutemo se forman si no los pares contradictorios siacute las oposiciones que operan entre las modalidades asiacute como determinar sus implicaciones existen entre ellas

15

La negacioacuten de las modalidadesLas negaciones de las proposiciones

asertoacutericas se forman al agregar lsquonorsquo a la coacutepula Las aserciones contradictorias estaacuten marcadas por lsquoesrsquo y lsquono-esrsquo (21ordf38)

En el capiacutetulo 10 Aristoacuteteles la aplica primero a las aserciones que contienen la coacutepula lsquoesrsquo y luego lo extiende a los verbos

Las aserciones que contienen un verbo en lugar de lsquoesrsquo operan de la misma manera el verbo es lo que es dicho en lugar de lsquoserrsquo y su negacioacuten es similar (21b5-10)

16

Primera dificultadAristoacuteteles declara que la negacioacuten de lsquoser

posiblersquo es lsquono ser posiblersquo (21b23) En este caso de manera diferente a las aserciones la negacioacuten consiste no en negar la copula lsquoserrsquo sino el operador modaloperador modal

Los operadores modales son vistos en el lugar de la copula y asiacute son la parte propia de la negacioacuten del enunciado modal si una negacioacuten debe formarse

17

Es posible que P tiene como negacioacuten no es posible que P

La negacioacuten de no es posible que no-P no es es posible que P sino es posible que no-P

El mismo anaacutelisis vale naturalmente para el resto de las modalidades contingente necesario y imposible

18

Las negaciones modalesEs posible que P No es posible que PEs contingente que P No es contingente que

PEs necesario que P No es necesario que PEs imposible que P No es imposible que P

Por ahora sabemos coacutemo realizar la negacioacuten

19

Segunda dificultadExisten pares de enunciados singulares sobre

el futuro que siendo en apariencia contradictorios son verdaderos

laquo Socratem currere est possibile y Socratem non currere est possibile son ambas verdaderas porque Soacutecrates puede correr y puede no correr y la posibilidad es verdadera respecto de ambos enunciados Por lo tanto una no es afirmativa y la otra negativa raquo [Comentario de santo Tomaacutes]

20

Algo es capaz de caminar no necesita en acto estar caminando todo el tiempo y asiacute debe ser capaz de no caminar tambieacuten Ambas afirmaciones pueden ser simultaacuteneamente verdaderas del mismo sujeto y por tanto no pueden ser contradictorias (21b17)

Es la naturaleza de la cosa afirmada como el sujeto de las dos aserciones que les permite a ambos ser verdadera

21

Hay cuatro posibilidades de verdad de dos enunciados sobre futuros contingentes

1 Ambos enunciados son verdaderos2 Ambos enunciados son falsos3 Uno es verdadero y el otro falso en el

presente4 Uno es verdadero y el otro es falso en

potencia

22

1 Si asumimos el Principio de no-Contradiccioacuten entonces el par de futuros contingentes no pueden ser los dos verdaderos

2 Si aceptamos el Principio de Tercero Excluido entonces no pueden ser los dos falsos

3 Si el Principio de Bivalencia tiene validez universal entonces uno es verdadero y el otro es falso en el presente

Posicioacuten aristoteacutelica uno es verdadero y el otro es falso en potencia por ello el Principio de Bivalencia debe restringirse y ademaacutes se debe evitar de tener por necesarios (absolutamente) a los enunciados sobre futuros contingentes

23

Aristoacuteteles rechaza la tesis megaacuterica de la necesidad del ser por la verdad (P P si P sucede entonces es necesario que P suceda) lo que significa que todos los futuros son o necesarios o imposibles

La negacioacuten de este necesitarismo implica restringir el Principio de Bivalencia para los futuros contingentes es decir la verdad de un enunciado depende del ser siendo el futuro un ser en potencia no puede declararse

24

El mundo sublunar consta de seres contingentes que no existen siempre en acto pero cuando una propiedad se actualiza se debe a una necesidad condicional esto es el predicado determina al sujeto durante el presente en que se actualiza Por ejemplo el sol se eclipsa por la lunaPor lo tanto no se puede mantener que toda enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso restringiendo asiacute el Principio de Bivalencia

25

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Los modosLos modos son seis verdadero falso

necesario posible imposible y contingente Sin embargo ldquoverdaderordquo y ldquofalsordquo no antildeaden nada a la significacioacuten porque indican lo mismo cuando se dice ldquoSoacutecrates correrdquo que cuando se dice ldquoes verdad que Soacutecrates correrdquo igualmente ldquoSoacutecrates no correrdquo y ldquoes falso que Soacutecrates correrdquo

4

Como el predicado determina al sujeto es necesario que para tener una oracioacuten modal el verbo de la unioacuten del sujeto y el predicado se tome como sujeto En latiacuten el verbo de la proposicioacuten se pone en infinitivo y el sujeto en acusativo (Socratem currere en lugar de Socrates currit) A esto se denomina ldquodictumrdquo Ahora bien cuando el dictum se toma como sujeto y el modo (necesario imposible posible y contingente) como predicado tenemos una oracioacuten modal Socratem currere est possibile

5

De dicto y de reLas oraciones modales pueden ser del dictum

o de las cosas Las modales de dicto toman al dictum como sujeto y al modo como predicado (Socratem currere est possibileest possibile) Las modales de re se originan cuando el modo se coloca dentro del dictum (Socratem possibilepossibile est currere)

Todas las oraciones de dicto son singulares mientras que las de re se conciben como universales particulares singulares e indefinidas seguacuten el sujeto del dictum

6

Las modales de re corresponde a la estructura aristoteacutelica donde el modo no determina a la composicioacuten [del sujeto y el predicado mediante el verbo] sino al predicado o al modo como el atributo determina al sujeto

ldquoA es posiblementeposiblemente Brdquo se puede analizar en ldquosi x es A entonces x es posiblementeposiblemente Brdquo

Las modales de dicto tienen la estructura de Teofrasto Es posibleEs posible que A sea B

7

de Aristoacuteteles

8

Comentario de santo TomaacutesldquoEste libro se titula Sobre la interpretacioacuten

como si se dijera Sobre la frase enunciativa porque es en ella donde se encuentra lo verdadero y lo falsohellip El enunciado es un discurso que significa lo verdadero o lo falsordquo

9

Su finalidadldquoLa loacutegica se dice ciencia racional Su

consideracioacuten trata necesariamente sobre lo que pertenece a las tres operaciones de la razoacuten Lo que pertenece a la primera operacioacuten de la inteligencia es decir lo que es concebido por una inteligencia Aristoacuteteles lo trata en el libro de las Categoriacuteas

10

Comentario de santo TomaacutesldquoLo que pertenece a la segunda operacioacuten a

saber a la enunciacioacuten afirmativa y negativa el Filoacutesofo lo trata en el libro Sobre la interpretacioacuten Enseguida lo que pertenece a la tercera operacioacuten lo trata en el libro de los Primeros Analiacuteticos hellip

11

Comentario de santo TomaacutesldquoEs por lo que en conformidad con el orden

mencionado de las tres operaciones el libro de las Categoriacuteas estaacute ordenado al libro Sobre la interpretacioacuten el cual estaacute ordenado al libro de los Primeros Analiacuteticos y siguientesrdquo

12

C W A WhitakerEsta visioacuten no es correcto El libro De

Interpretatione no presupone las Categoriacuteas Maacutes bien comienza con lo baacutesico y proporciona en los capiacutetulos del 1 al 6 los elementos necesarios para el trabajo real contenido en los capiacutetulos del 7 al 14 Tampoco es una preparacioacuten para los Primeros Analiacuteticos

El tema central del De Interpretatione no es la proposicioacuten vista como el elemento baacutesico del silogismo sino los pares contradictorios y los pares contradictorios y sus implicacionessus implicaciones

13

El tratado estaacute orientado asiacute a los Toacutepicos y a los Elencos Sofiacutesticos que trata de las preguntas y respuestas de las cuestiones dialeacutecticas con el fin de refutar una tesis

El dialeacutectico debe ser capaz de clasificar las proposiciones en pares contradictorioshellip debe conocer la contradictoria de la tesis ambas contradictorias debe conocerlas para responder a la cuestioacuten

14

Estrategia didaacutecticaCon el supuesto de Whitaker de que se debe

buscar los pares contradictorios y sus implicaciones trataremos de comprender coacutemo se forman si no los pares contradictorios siacute las oposiciones que operan entre las modalidades asiacute como determinar sus implicaciones existen entre ellas

15

La negacioacuten de las modalidadesLas negaciones de las proposiciones

asertoacutericas se forman al agregar lsquonorsquo a la coacutepula Las aserciones contradictorias estaacuten marcadas por lsquoesrsquo y lsquono-esrsquo (21ordf38)

En el capiacutetulo 10 Aristoacuteteles la aplica primero a las aserciones que contienen la coacutepula lsquoesrsquo y luego lo extiende a los verbos

Las aserciones que contienen un verbo en lugar de lsquoesrsquo operan de la misma manera el verbo es lo que es dicho en lugar de lsquoserrsquo y su negacioacuten es similar (21b5-10)

16

Primera dificultadAristoacuteteles declara que la negacioacuten de lsquoser

posiblersquo es lsquono ser posiblersquo (21b23) En este caso de manera diferente a las aserciones la negacioacuten consiste no en negar la copula lsquoserrsquo sino el operador modaloperador modal

Los operadores modales son vistos en el lugar de la copula y asiacute son la parte propia de la negacioacuten del enunciado modal si una negacioacuten debe formarse

17

Es posible que P tiene como negacioacuten no es posible que P

La negacioacuten de no es posible que no-P no es es posible que P sino es posible que no-P

El mismo anaacutelisis vale naturalmente para el resto de las modalidades contingente necesario y imposible

18

Las negaciones modalesEs posible que P No es posible que PEs contingente que P No es contingente que

PEs necesario que P No es necesario que PEs imposible que P No es imposible que P

Por ahora sabemos coacutemo realizar la negacioacuten

19

Segunda dificultadExisten pares de enunciados singulares sobre

el futuro que siendo en apariencia contradictorios son verdaderos

laquo Socratem currere est possibile y Socratem non currere est possibile son ambas verdaderas porque Soacutecrates puede correr y puede no correr y la posibilidad es verdadera respecto de ambos enunciados Por lo tanto una no es afirmativa y la otra negativa raquo [Comentario de santo Tomaacutes]

20

Algo es capaz de caminar no necesita en acto estar caminando todo el tiempo y asiacute debe ser capaz de no caminar tambieacuten Ambas afirmaciones pueden ser simultaacuteneamente verdaderas del mismo sujeto y por tanto no pueden ser contradictorias (21b17)

Es la naturaleza de la cosa afirmada como el sujeto de las dos aserciones que les permite a ambos ser verdadera

21

Hay cuatro posibilidades de verdad de dos enunciados sobre futuros contingentes

1 Ambos enunciados son verdaderos2 Ambos enunciados son falsos3 Uno es verdadero y el otro falso en el

presente4 Uno es verdadero y el otro es falso en

potencia

22

1 Si asumimos el Principio de no-Contradiccioacuten entonces el par de futuros contingentes no pueden ser los dos verdaderos

2 Si aceptamos el Principio de Tercero Excluido entonces no pueden ser los dos falsos

3 Si el Principio de Bivalencia tiene validez universal entonces uno es verdadero y el otro es falso en el presente

Posicioacuten aristoteacutelica uno es verdadero y el otro es falso en potencia por ello el Principio de Bivalencia debe restringirse y ademaacutes se debe evitar de tener por necesarios (absolutamente) a los enunciados sobre futuros contingentes

23

Aristoacuteteles rechaza la tesis megaacuterica de la necesidad del ser por la verdad (P P si P sucede entonces es necesario que P suceda) lo que significa que todos los futuros son o necesarios o imposibles

La negacioacuten de este necesitarismo implica restringir el Principio de Bivalencia para los futuros contingentes es decir la verdad de un enunciado depende del ser siendo el futuro un ser en potencia no puede declararse

24

El mundo sublunar consta de seres contingentes que no existen siempre en acto pero cuando una propiedad se actualiza se debe a una necesidad condicional esto es el predicado determina al sujeto durante el presente en que se actualiza Por ejemplo el sol se eclipsa por la lunaPor lo tanto no se puede mantener que toda enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso restringiendo asiacute el Principio de Bivalencia

25

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Como el predicado determina al sujeto es necesario que para tener una oracioacuten modal el verbo de la unioacuten del sujeto y el predicado se tome como sujeto En latiacuten el verbo de la proposicioacuten se pone en infinitivo y el sujeto en acusativo (Socratem currere en lugar de Socrates currit) A esto se denomina ldquodictumrdquo Ahora bien cuando el dictum se toma como sujeto y el modo (necesario imposible posible y contingente) como predicado tenemos una oracioacuten modal Socratem currere est possibile

5

De dicto y de reLas oraciones modales pueden ser del dictum

o de las cosas Las modales de dicto toman al dictum como sujeto y al modo como predicado (Socratem currere est possibileest possibile) Las modales de re se originan cuando el modo se coloca dentro del dictum (Socratem possibilepossibile est currere)

Todas las oraciones de dicto son singulares mientras que las de re se conciben como universales particulares singulares e indefinidas seguacuten el sujeto del dictum

6

Las modales de re corresponde a la estructura aristoteacutelica donde el modo no determina a la composicioacuten [del sujeto y el predicado mediante el verbo] sino al predicado o al modo como el atributo determina al sujeto

ldquoA es posiblementeposiblemente Brdquo se puede analizar en ldquosi x es A entonces x es posiblementeposiblemente Brdquo

Las modales de dicto tienen la estructura de Teofrasto Es posibleEs posible que A sea B

7

de Aristoacuteteles

8

Comentario de santo TomaacutesldquoEste libro se titula Sobre la interpretacioacuten

como si se dijera Sobre la frase enunciativa porque es en ella donde se encuentra lo verdadero y lo falsohellip El enunciado es un discurso que significa lo verdadero o lo falsordquo

9

Su finalidadldquoLa loacutegica se dice ciencia racional Su

consideracioacuten trata necesariamente sobre lo que pertenece a las tres operaciones de la razoacuten Lo que pertenece a la primera operacioacuten de la inteligencia es decir lo que es concebido por una inteligencia Aristoacuteteles lo trata en el libro de las Categoriacuteas

10

Comentario de santo TomaacutesldquoLo que pertenece a la segunda operacioacuten a

saber a la enunciacioacuten afirmativa y negativa el Filoacutesofo lo trata en el libro Sobre la interpretacioacuten Enseguida lo que pertenece a la tercera operacioacuten lo trata en el libro de los Primeros Analiacuteticos hellip

11

Comentario de santo TomaacutesldquoEs por lo que en conformidad con el orden

mencionado de las tres operaciones el libro de las Categoriacuteas estaacute ordenado al libro Sobre la interpretacioacuten el cual estaacute ordenado al libro de los Primeros Analiacuteticos y siguientesrdquo

12

C W A WhitakerEsta visioacuten no es correcto El libro De

Interpretatione no presupone las Categoriacuteas Maacutes bien comienza con lo baacutesico y proporciona en los capiacutetulos del 1 al 6 los elementos necesarios para el trabajo real contenido en los capiacutetulos del 7 al 14 Tampoco es una preparacioacuten para los Primeros Analiacuteticos

El tema central del De Interpretatione no es la proposicioacuten vista como el elemento baacutesico del silogismo sino los pares contradictorios y los pares contradictorios y sus implicacionessus implicaciones

13

El tratado estaacute orientado asiacute a los Toacutepicos y a los Elencos Sofiacutesticos que trata de las preguntas y respuestas de las cuestiones dialeacutecticas con el fin de refutar una tesis

El dialeacutectico debe ser capaz de clasificar las proposiciones en pares contradictorioshellip debe conocer la contradictoria de la tesis ambas contradictorias debe conocerlas para responder a la cuestioacuten

14

Estrategia didaacutecticaCon el supuesto de Whitaker de que se debe

buscar los pares contradictorios y sus implicaciones trataremos de comprender coacutemo se forman si no los pares contradictorios siacute las oposiciones que operan entre las modalidades asiacute como determinar sus implicaciones existen entre ellas

15

La negacioacuten de las modalidadesLas negaciones de las proposiciones

asertoacutericas se forman al agregar lsquonorsquo a la coacutepula Las aserciones contradictorias estaacuten marcadas por lsquoesrsquo y lsquono-esrsquo (21ordf38)

En el capiacutetulo 10 Aristoacuteteles la aplica primero a las aserciones que contienen la coacutepula lsquoesrsquo y luego lo extiende a los verbos

Las aserciones que contienen un verbo en lugar de lsquoesrsquo operan de la misma manera el verbo es lo que es dicho en lugar de lsquoserrsquo y su negacioacuten es similar (21b5-10)

16

Primera dificultadAristoacuteteles declara que la negacioacuten de lsquoser

posiblersquo es lsquono ser posiblersquo (21b23) En este caso de manera diferente a las aserciones la negacioacuten consiste no en negar la copula lsquoserrsquo sino el operador modaloperador modal

Los operadores modales son vistos en el lugar de la copula y asiacute son la parte propia de la negacioacuten del enunciado modal si una negacioacuten debe formarse

17

Es posible que P tiene como negacioacuten no es posible que P

La negacioacuten de no es posible que no-P no es es posible que P sino es posible que no-P

El mismo anaacutelisis vale naturalmente para el resto de las modalidades contingente necesario y imposible

18

Las negaciones modalesEs posible que P No es posible que PEs contingente que P No es contingente que

PEs necesario que P No es necesario que PEs imposible que P No es imposible que P

Por ahora sabemos coacutemo realizar la negacioacuten

19

Segunda dificultadExisten pares de enunciados singulares sobre

el futuro que siendo en apariencia contradictorios son verdaderos

laquo Socratem currere est possibile y Socratem non currere est possibile son ambas verdaderas porque Soacutecrates puede correr y puede no correr y la posibilidad es verdadera respecto de ambos enunciados Por lo tanto una no es afirmativa y la otra negativa raquo [Comentario de santo Tomaacutes]

20

Algo es capaz de caminar no necesita en acto estar caminando todo el tiempo y asiacute debe ser capaz de no caminar tambieacuten Ambas afirmaciones pueden ser simultaacuteneamente verdaderas del mismo sujeto y por tanto no pueden ser contradictorias (21b17)

Es la naturaleza de la cosa afirmada como el sujeto de las dos aserciones que les permite a ambos ser verdadera

21

Hay cuatro posibilidades de verdad de dos enunciados sobre futuros contingentes

1 Ambos enunciados son verdaderos2 Ambos enunciados son falsos3 Uno es verdadero y el otro falso en el

presente4 Uno es verdadero y el otro es falso en

potencia

22

1 Si asumimos el Principio de no-Contradiccioacuten entonces el par de futuros contingentes no pueden ser los dos verdaderos

2 Si aceptamos el Principio de Tercero Excluido entonces no pueden ser los dos falsos

3 Si el Principio de Bivalencia tiene validez universal entonces uno es verdadero y el otro es falso en el presente

Posicioacuten aristoteacutelica uno es verdadero y el otro es falso en potencia por ello el Principio de Bivalencia debe restringirse y ademaacutes se debe evitar de tener por necesarios (absolutamente) a los enunciados sobre futuros contingentes

23

Aristoacuteteles rechaza la tesis megaacuterica de la necesidad del ser por la verdad (P P si P sucede entonces es necesario que P suceda) lo que significa que todos los futuros son o necesarios o imposibles

La negacioacuten de este necesitarismo implica restringir el Principio de Bivalencia para los futuros contingentes es decir la verdad de un enunciado depende del ser siendo el futuro un ser en potencia no puede declararse

24

El mundo sublunar consta de seres contingentes que no existen siempre en acto pero cuando una propiedad se actualiza se debe a una necesidad condicional esto es el predicado determina al sujeto durante el presente en que se actualiza Por ejemplo el sol se eclipsa por la lunaPor lo tanto no se puede mantener que toda enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso restringiendo asiacute el Principio de Bivalencia

25

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

De dicto y de reLas oraciones modales pueden ser del dictum

o de las cosas Las modales de dicto toman al dictum como sujeto y al modo como predicado (Socratem currere est possibileest possibile) Las modales de re se originan cuando el modo se coloca dentro del dictum (Socratem possibilepossibile est currere)

Todas las oraciones de dicto son singulares mientras que las de re se conciben como universales particulares singulares e indefinidas seguacuten el sujeto del dictum

6

Las modales de re corresponde a la estructura aristoteacutelica donde el modo no determina a la composicioacuten [del sujeto y el predicado mediante el verbo] sino al predicado o al modo como el atributo determina al sujeto

ldquoA es posiblementeposiblemente Brdquo se puede analizar en ldquosi x es A entonces x es posiblementeposiblemente Brdquo

Las modales de dicto tienen la estructura de Teofrasto Es posibleEs posible que A sea B

7

de Aristoacuteteles

8

Comentario de santo TomaacutesldquoEste libro se titula Sobre la interpretacioacuten

como si se dijera Sobre la frase enunciativa porque es en ella donde se encuentra lo verdadero y lo falsohellip El enunciado es un discurso que significa lo verdadero o lo falsordquo

9

Su finalidadldquoLa loacutegica se dice ciencia racional Su

consideracioacuten trata necesariamente sobre lo que pertenece a las tres operaciones de la razoacuten Lo que pertenece a la primera operacioacuten de la inteligencia es decir lo que es concebido por una inteligencia Aristoacuteteles lo trata en el libro de las Categoriacuteas

10

Comentario de santo TomaacutesldquoLo que pertenece a la segunda operacioacuten a

saber a la enunciacioacuten afirmativa y negativa el Filoacutesofo lo trata en el libro Sobre la interpretacioacuten Enseguida lo que pertenece a la tercera operacioacuten lo trata en el libro de los Primeros Analiacuteticos hellip

11

Comentario de santo TomaacutesldquoEs por lo que en conformidad con el orden

mencionado de las tres operaciones el libro de las Categoriacuteas estaacute ordenado al libro Sobre la interpretacioacuten el cual estaacute ordenado al libro de los Primeros Analiacuteticos y siguientesrdquo

12

C W A WhitakerEsta visioacuten no es correcto El libro De

Interpretatione no presupone las Categoriacuteas Maacutes bien comienza con lo baacutesico y proporciona en los capiacutetulos del 1 al 6 los elementos necesarios para el trabajo real contenido en los capiacutetulos del 7 al 14 Tampoco es una preparacioacuten para los Primeros Analiacuteticos

El tema central del De Interpretatione no es la proposicioacuten vista como el elemento baacutesico del silogismo sino los pares contradictorios y los pares contradictorios y sus implicacionessus implicaciones

13

El tratado estaacute orientado asiacute a los Toacutepicos y a los Elencos Sofiacutesticos que trata de las preguntas y respuestas de las cuestiones dialeacutecticas con el fin de refutar una tesis

El dialeacutectico debe ser capaz de clasificar las proposiciones en pares contradictorioshellip debe conocer la contradictoria de la tesis ambas contradictorias debe conocerlas para responder a la cuestioacuten

14

Estrategia didaacutecticaCon el supuesto de Whitaker de que se debe

buscar los pares contradictorios y sus implicaciones trataremos de comprender coacutemo se forman si no los pares contradictorios siacute las oposiciones que operan entre las modalidades asiacute como determinar sus implicaciones existen entre ellas

15

La negacioacuten de las modalidadesLas negaciones de las proposiciones

asertoacutericas se forman al agregar lsquonorsquo a la coacutepula Las aserciones contradictorias estaacuten marcadas por lsquoesrsquo y lsquono-esrsquo (21ordf38)

En el capiacutetulo 10 Aristoacuteteles la aplica primero a las aserciones que contienen la coacutepula lsquoesrsquo y luego lo extiende a los verbos

Las aserciones que contienen un verbo en lugar de lsquoesrsquo operan de la misma manera el verbo es lo que es dicho en lugar de lsquoserrsquo y su negacioacuten es similar (21b5-10)

16

Primera dificultadAristoacuteteles declara que la negacioacuten de lsquoser

posiblersquo es lsquono ser posiblersquo (21b23) En este caso de manera diferente a las aserciones la negacioacuten consiste no en negar la copula lsquoserrsquo sino el operador modaloperador modal

Los operadores modales son vistos en el lugar de la copula y asiacute son la parte propia de la negacioacuten del enunciado modal si una negacioacuten debe formarse

17

Es posible que P tiene como negacioacuten no es posible que P

La negacioacuten de no es posible que no-P no es es posible que P sino es posible que no-P

El mismo anaacutelisis vale naturalmente para el resto de las modalidades contingente necesario y imposible

18

Las negaciones modalesEs posible que P No es posible que PEs contingente que P No es contingente que

PEs necesario que P No es necesario que PEs imposible que P No es imposible que P

Por ahora sabemos coacutemo realizar la negacioacuten

19

Segunda dificultadExisten pares de enunciados singulares sobre

el futuro que siendo en apariencia contradictorios son verdaderos

laquo Socratem currere est possibile y Socratem non currere est possibile son ambas verdaderas porque Soacutecrates puede correr y puede no correr y la posibilidad es verdadera respecto de ambos enunciados Por lo tanto una no es afirmativa y la otra negativa raquo [Comentario de santo Tomaacutes]

20

Algo es capaz de caminar no necesita en acto estar caminando todo el tiempo y asiacute debe ser capaz de no caminar tambieacuten Ambas afirmaciones pueden ser simultaacuteneamente verdaderas del mismo sujeto y por tanto no pueden ser contradictorias (21b17)

Es la naturaleza de la cosa afirmada como el sujeto de las dos aserciones que les permite a ambos ser verdadera

21

Hay cuatro posibilidades de verdad de dos enunciados sobre futuros contingentes

1 Ambos enunciados son verdaderos2 Ambos enunciados son falsos3 Uno es verdadero y el otro falso en el

presente4 Uno es verdadero y el otro es falso en

potencia

22

1 Si asumimos el Principio de no-Contradiccioacuten entonces el par de futuros contingentes no pueden ser los dos verdaderos

2 Si aceptamos el Principio de Tercero Excluido entonces no pueden ser los dos falsos

3 Si el Principio de Bivalencia tiene validez universal entonces uno es verdadero y el otro es falso en el presente

Posicioacuten aristoteacutelica uno es verdadero y el otro es falso en potencia por ello el Principio de Bivalencia debe restringirse y ademaacutes se debe evitar de tener por necesarios (absolutamente) a los enunciados sobre futuros contingentes

23

Aristoacuteteles rechaza la tesis megaacuterica de la necesidad del ser por la verdad (P P si P sucede entonces es necesario que P suceda) lo que significa que todos los futuros son o necesarios o imposibles

La negacioacuten de este necesitarismo implica restringir el Principio de Bivalencia para los futuros contingentes es decir la verdad de un enunciado depende del ser siendo el futuro un ser en potencia no puede declararse

24

El mundo sublunar consta de seres contingentes que no existen siempre en acto pero cuando una propiedad se actualiza se debe a una necesidad condicional esto es el predicado determina al sujeto durante el presente en que se actualiza Por ejemplo el sol se eclipsa por la lunaPor lo tanto no se puede mantener que toda enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso restringiendo asiacute el Principio de Bivalencia

25

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Las modales de re corresponde a la estructura aristoteacutelica donde el modo no determina a la composicioacuten [del sujeto y el predicado mediante el verbo] sino al predicado o al modo como el atributo determina al sujeto

ldquoA es posiblementeposiblemente Brdquo se puede analizar en ldquosi x es A entonces x es posiblementeposiblemente Brdquo

Las modales de dicto tienen la estructura de Teofrasto Es posibleEs posible que A sea B

7

de Aristoacuteteles

8

Comentario de santo TomaacutesldquoEste libro se titula Sobre la interpretacioacuten

como si se dijera Sobre la frase enunciativa porque es en ella donde se encuentra lo verdadero y lo falsohellip El enunciado es un discurso que significa lo verdadero o lo falsordquo

9

Su finalidadldquoLa loacutegica se dice ciencia racional Su

consideracioacuten trata necesariamente sobre lo que pertenece a las tres operaciones de la razoacuten Lo que pertenece a la primera operacioacuten de la inteligencia es decir lo que es concebido por una inteligencia Aristoacuteteles lo trata en el libro de las Categoriacuteas

10

Comentario de santo TomaacutesldquoLo que pertenece a la segunda operacioacuten a

saber a la enunciacioacuten afirmativa y negativa el Filoacutesofo lo trata en el libro Sobre la interpretacioacuten Enseguida lo que pertenece a la tercera operacioacuten lo trata en el libro de los Primeros Analiacuteticos hellip

11

Comentario de santo TomaacutesldquoEs por lo que en conformidad con el orden

mencionado de las tres operaciones el libro de las Categoriacuteas estaacute ordenado al libro Sobre la interpretacioacuten el cual estaacute ordenado al libro de los Primeros Analiacuteticos y siguientesrdquo

12

C W A WhitakerEsta visioacuten no es correcto El libro De

Interpretatione no presupone las Categoriacuteas Maacutes bien comienza con lo baacutesico y proporciona en los capiacutetulos del 1 al 6 los elementos necesarios para el trabajo real contenido en los capiacutetulos del 7 al 14 Tampoco es una preparacioacuten para los Primeros Analiacuteticos

El tema central del De Interpretatione no es la proposicioacuten vista como el elemento baacutesico del silogismo sino los pares contradictorios y los pares contradictorios y sus implicacionessus implicaciones

13

El tratado estaacute orientado asiacute a los Toacutepicos y a los Elencos Sofiacutesticos que trata de las preguntas y respuestas de las cuestiones dialeacutecticas con el fin de refutar una tesis

El dialeacutectico debe ser capaz de clasificar las proposiciones en pares contradictorioshellip debe conocer la contradictoria de la tesis ambas contradictorias debe conocerlas para responder a la cuestioacuten

14

Estrategia didaacutecticaCon el supuesto de Whitaker de que se debe

buscar los pares contradictorios y sus implicaciones trataremos de comprender coacutemo se forman si no los pares contradictorios siacute las oposiciones que operan entre las modalidades asiacute como determinar sus implicaciones existen entre ellas

15

La negacioacuten de las modalidadesLas negaciones de las proposiciones

asertoacutericas se forman al agregar lsquonorsquo a la coacutepula Las aserciones contradictorias estaacuten marcadas por lsquoesrsquo y lsquono-esrsquo (21ordf38)

En el capiacutetulo 10 Aristoacuteteles la aplica primero a las aserciones que contienen la coacutepula lsquoesrsquo y luego lo extiende a los verbos

Las aserciones que contienen un verbo en lugar de lsquoesrsquo operan de la misma manera el verbo es lo que es dicho en lugar de lsquoserrsquo y su negacioacuten es similar (21b5-10)

16

Primera dificultadAristoacuteteles declara que la negacioacuten de lsquoser

posiblersquo es lsquono ser posiblersquo (21b23) En este caso de manera diferente a las aserciones la negacioacuten consiste no en negar la copula lsquoserrsquo sino el operador modaloperador modal

Los operadores modales son vistos en el lugar de la copula y asiacute son la parte propia de la negacioacuten del enunciado modal si una negacioacuten debe formarse

17

Es posible que P tiene como negacioacuten no es posible que P

La negacioacuten de no es posible que no-P no es es posible que P sino es posible que no-P

El mismo anaacutelisis vale naturalmente para el resto de las modalidades contingente necesario y imposible

18

Las negaciones modalesEs posible que P No es posible que PEs contingente que P No es contingente que

PEs necesario que P No es necesario que PEs imposible que P No es imposible que P

Por ahora sabemos coacutemo realizar la negacioacuten

19

Segunda dificultadExisten pares de enunciados singulares sobre

el futuro que siendo en apariencia contradictorios son verdaderos

laquo Socratem currere est possibile y Socratem non currere est possibile son ambas verdaderas porque Soacutecrates puede correr y puede no correr y la posibilidad es verdadera respecto de ambos enunciados Por lo tanto una no es afirmativa y la otra negativa raquo [Comentario de santo Tomaacutes]

20

Algo es capaz de caminar no necesita en acto estar caminando todo el tiempo y asiacute debe ser capaz de no caminar tambieacuten Ambas afirmaciones pueden ser simultaacuteneamente verdaderas del mismo sujeto y por tanto no pueden ser contradictorias (21b17)

Es la naturaleza de la cosa afirmada como el sujeto de las dos aserciones que les permite a ambos ser verdadera

21

Hay cuatro posibilidades de verdad de dos enunciados sobre futuros contingentes

1 Ambos enunciados son verdaderos2 Ambos enunciados son falsos3 Uno es verdadero y el otro falso en el

presente4 Uno es verdadero y el otro es falso en

potencia

22

1 Si asumimos el Principio de no-Contradiccioacuten entonces el par de futuros contingentes no pueden ser los dos verdaderos

2 Si aceptamos el Principio de Tercero Excluido entonces no pueden ser los dos falsos

3 Si el Principio de Bivalencia tiene validez universal entonces uno es verdadero y el otro es falso en el presente

Posicioacuten aristoteacutelica uno es verdadero y el otro es falso en potencia por ello el Principio de Bivalencia debe restringirse y ademaacutes se debe evitar de tener por necesarios (absolutamente) a los enunciados sobre futuros contingentes

23

Aristoacuteteles rechaza la tesis megaacuterica de la necesidad del ser por la verdad (P P si P sucede entonces es necesario que P suceda) lo que significa que todos los futuros son o necesarios o imposibles

La negacioacuten de este necesitarismo implica restringir el Principio de Bivalencia para los futuros contingentes es decir la verdad de un enunciado depende del ser siendo el futuro un ser en potencia no puede declararse

24

El mundo sublunar consta de seres contingentes que no existen siempre en acto pero cuando una propiedad se actualiza se debe a una necesidad condicional esto es el predicado determina al sujeto durante el presente en que se actualiza Por ejemplo el sol se eclipsa por la lunaPor lo tanto no se puede mantener que toda enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso restringiendo asiacute el Principio de Bivalencia

25

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

de Aristoacuteteles

8

Comentario de santo TomaacutesldquoEste libro se titula Sobre la interpretacioacuten

como si se dijera Sobre la frase enunciativa porque es en ella donde se encuentra lo verdadero y lo falsohellip El enunciado es un discurso que significa lo verdadero o lo falsordquo

9

Su finalidadldquoLa loacutegica se dice ciencia racional Su

consideracioacuten trata necesariamente sobre lo que pertenece a las tres operaciones de la razoacuten Lo que pertenece a la primera operacioacuten de la inteligencia es decir lo que es concebido por una inteligencia Aristoacuteteles lo trata en el libro de las Categoriacuteas

10

Comentario de santo TomaacutesldquoLo que pertenece a la segunda operacioacuten a

saber a la enunciacioacuten afirmativa y negativa el Filoacutesofo lo trata en el libro Sobre la interpretacioacuten Enseguida lo que pertenece a la tercera operacioacuten lo trata en el libro de los Primeros Analiacuteticos hellip

11

Comentario de santo TomaacutesldquoEs por lo que en conformidad con el orden

mencionado de las tres operaciones el libro de las Categoriacuteas estaacute ordenado al libro Sobre la interpretacioacuten el cual estaacute ordenado al libro de los Primeros Analiacuteticos y siguientesrdquo

12

C W A WhitakerEsta visioacuten no es correcto El libro De

Interpretatione no presupone las Categoriacuteas Maacutes bien comienza con lo baacutesico y proporciona en los capiacutetulos del 1 al 6 los elementos necesarios para el trabajo real contenido en los capiacutetulos del 7 al 14 Tampoco es una preparacioacuten para los Primeros Analiacuteticos

El tema central del De Interpretatione no es la proposicioacuten vista como el elemento baacutesico del silogismo sino los pares contradictorios y los pares contradictorios y sus implicacionessus implicaciones

13

El tratado estaacute orientado asiacute a los Toacutepicos y a los Elencos Sofiacutesticos que trata de las preguntas y respuestas de las cuestiones dialeacutecticas con el fin de refutar una tesis

El dialeacutectico debe ser capaz de clasificar las proposiciones en pares contradictorioshellip debe conocer la contradictoria de la tesis ambas contradictorias debe conocerlas para responder a la cuestioacuten

14

Estrategia didaacutecticaCon el supuesto de Whitaker de que se debe

buscar los pares contradictorios y sus implicaciones trataremos de comprender coacutemo se forman si no los pares contradictorios siacute las oposiciones que operan entre las modalidades asiacute como determinar sus implicaciones existen entre ellas

15

La negacioacuten de las modalidadesLas negaciones de las proposiciones

asertoacutericas se forman al agregar lsquonorsquo a la coacutepula Las aserciones contradictorias estaacuten marcadas por lsquoesrsquo y lsquono-esrsquo (21ordf38)

En el capiacutetulo 10 Aristoacuteteles la aplica primero a las aserciones que contienen la coacutepula lsquoesrsquo y luego lo extiende a los verbos

Las aserciones que contienen un verbo en lugar de lsquoesrsquo operan de la misma manera el verbo es lo que es dicho en lugar de lsquoserrsquo y su negacioacuten es similar (21b5-10)

16

Primera dificultadAristoacuteteles declara que la negacioacuten de lsquoser

posiblersquo es lsquono ser posiblersquo (21b23) En este caso de manera diferente a las aserciones la negacioacuten consiste no en negar la copula lsquoserrsquo sino el operador modaloperador modal

Los operadores modales son vistos en el lugar de la copula y asiacute son la parte propia de la negacioacuten del enunciado modal si una negacioacuten debe formarse

17

Es posible que P tiene como negacioacuten no es posible que P

La negacioacuten de no es posible que no-P no es es posible que P sino es posible que no-P

El mismo anaacutelisis vale naturalmente para el resto de las modalidades contingente necesario y imposible

18

Las negaciones modalesEs posible que P No es posible que PEs contingente que P No es contingente que

PEs necesario que P No es necesario que PEs imposible que P No es imposible que P

Por ahora sabemos coacutemo realizar la negacioacuten

19

Segunda dificultadExisten pares de enunciados singulares sobre

el futuro que siendo en apariencia contradictorios son verdaderos

laquo Socratem currere est possibile y Socratem non currere est possibile son ambas verdaderas porque Soacutecrates puede correr y puede no correr y la posibilidad es verdadera respecto de ambos enunciados Por lo tanto una no es afirmativa y la otra negativa raquo [Comentario de santo Tomaacutes]

20

Algo es capaz de caminar no necesita en acto estar caminando todo el tiempo y asiacute debe ser capaz de no caminar tambieacuten Ambas afirmaciones pueden ser simultaacuteneamente verdaderas del mismo sujeto y por tanto no pueden ser contradictorias (21b17)

Es la naturaleza de la cosa afirmada como el sujeto de las dos aserciones que les permite a ambos ser verdadera

21

Hay cuatro posibilidades de verdad de dos enunciados sobre futuros contingentes

1 Ambos enunciados son verdaderos2 Ambos enunciados son falsos3 Uno es verdadero y el otro falso en el

presente4 Uno es verdadero y el otro es falso en

potencia

22

1 Si asumimos el Principio de no-Contradiccioacuten entonces el par de futuros contingentes no pueden ser los dos verdaderos

2 Si aceptamos el Principio de Tercero Excluido entonces no pueden ser los dos falsos

3 Si el Principio de Bivalencia tiene validez universal entonces uno es verdadero y el otro es falso en el presente

Posicioacuten aristoteacutelica uno es verdadero y el otro es falso en potencia por ello el Principio de Bivalencia debe restringirse y ademaacutes se debe evitar de tener por necesarios (absolutamente) a los enunciados sobre futuros contingentes

23

Aristoacuteteles rechaza la tesis megaacuterica de la necesidad del ser por la verdad (P P si P sucede entonces es necesario que P suceda) lo que significa que todos los futuros son o necesarios o imposibles

La negacioacuten de este necesitarismo implica restringir el Principio de Bivalencia para los futuros contingentes es decir la verdad de un enunciado depende del ser siendo el futuro un ser en potencia no puede declararse

24

El mundo sublunar consta de seres contingentes que no existen siempre en acto pero cuando una propiedad se actualiza se debe a una necesidad condicional esto es el predicado determina al sujeto durante el presente en que se actualiza Por ejemplo el sol se eclipsa por la lunaPor lo tanto no se puede mantener que toda enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso restringiendo asiacute el Principio de Bivalencia

25

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Comentario de santo TomaacutesldquoEste libro se titula Sobre la interpretacioacuten

como si se dijera Sobre la frase enunciativa porque es en ella donde se encuentra lo verdadero y lo falsohellip El enunciado es un discurso que significa lo verdadero o lo falsordquo

9

Su finalidadldquoLa loacutegica se dice ciencia racional Su

consideracioacuten trata necesariamente sobre lo que pertenece a las tres operaciones de la razoacuten Lo que pertenece a la primera operacioacuten de la inteligencia es decir lo que es concebido por una inteligencia Aristoacuteteles lo trata en el libro de las Categoriacuteas

10

Comentario de santo TomaacutesldquoLo que pertenece a la segunda operacioacuten a

saber a la enunciacioacuten afirmativa y negativa el Filoacutesofo lo trata en el libro Sobre la interpretacioacuten Enseguida lo que pertenece a la tercera operacioacuten lo trata en el libro de los Primeros Analiacuteticos hellip

11

Comentario de santo TomaacutesldquoEs por lo que en conformidad con el orden

mencionado de las tres operaciones el libro de las Categoriacuteas estaacute ordenado al libro Sobre la interpretacioacuten el cual estaacute ordenado al libro de los Primeros Analiacuteticos y siguientesrdquo

12

C W A WhitakerEsta visioacuten no es correcto El libro De

Interpretatione no presupone las Categoriacuteas Maacutes bien comienza con lo baacutesico y proporciona en los capiacutetulos del 1 al 6 los elementos necesarios para el trabajo real contenido en los capiacutetulos del 7 al 14 Tampoco es una preparacioacuten para los Primeros Analiacuteticos

El tema central del De Interpretatione no es la proposicioacuten vista como el elemento baacutesico del silogismo sino los pares contradictorios y los pares contradictorios y sus implicacionessus implicaciones

13

El tratado estaacute orientado asiacute a los Toacutepicos y a los Elencos Sofiacutesticos que trata de las preguntas y respuestas de las cuestiones dialeacutecticas con el fin de refutar una tesis

El dialeacutectico debe ser capaz de clasificar las proposiciones en pares contradictorioshellip debe conocer la contradictoria de la tesis ambas contradictorias debe conocerlas para responder a la cuestioacuten

14

Estrategia didaacutecticaCon el supuesto de Whitaker de que se debe

buscar los pares contradictorios y sus implicaciones trataremos de comprender coacutemo se forman si no los pares contradictorios siacute las oposiciones que operan entre las modalidades asiacute como determinar sus implicaciones existen entre ellas

15

La negacioacuten de las modalidadesLas negaciones de las proposiciones

asertoacutericas se forman al agregar lsquonorsquo a la coacutepula Las aserciones contradictorias estaacuten marcadas por lsquoesrsquo y lsquono-esrsquo (21ordf38)

En el capiacutetulo 10 Aristoacuteteles la aplica primero a las aserciones que contienen la coacutepula lsquoesrsquo y luego lo extiende a los verbos

Las aserciones que contienen un verbo en lugar de lsquoesrsquo operan de la misma manera el verbo es lo que es dicho en lugar de lsquoserrsquo y su negacioacuten es similar (21b5-10)

16

Primera dificultadAristoacuteteles declara que la negacioacuten de lsquoser

posiblersquo es lsquono ser posiblersquo (21b23) En este caso de manera diferente a las aserciones la negacioacuten consiste no en negar la copula lsquoserrsquo sino el operador modaloperador modal

Los operadores modales son vistos en el lugar de la copula y asiacute son la parte propia de la negacioacuten del enunciado modal si una negacioacuten debe formarse

17

Es posible que P tiene como negacioacuten no es posible que P

La negacioacuten de no es posible que no-P no es es posible que P sino es posible que no-P

El mismo anaacutelisis vale naturalmente para el resto de las modalidades contingente necesario y imposible

18

Las negaciones modalesEs posible que P No es posible que PEs contingente que P No es contingente que

PEs necesario que P No es necesario que PEs imposible que P No es imposible que P

Por ahora sabemos coacutemo realizar la negacioacuten

19

Segunda dificultadExisten pares de enunciados singulares sobre

el futuro que siendo en apariencia contradictorios son verdaderos

laquo Socratem currere est possibile y Socratem non currere est possibile son ambas verdaderas porque Soacutecrates puede correr y puede no correr y la posibilidad es verdadera respecto de ambos enunciados Por lo tanto una no es afirmativa y la otra negativa raquo [Comentario de santo Tomaacutes]

20

Algo es capaz de caminar no necesita en acto estar caminando todo el tiempo y asiacute debe ser capaz de no caminar tambieacuten Ambas afirmaciones pueden ser simultaacuteneamente verdaderas del mismo sujeto y por tanto no pueden ser contradictorias (21b17)

Es la naturaleza de la cosa afirmada como el sujeto de las dos aserciones que les permite a ambos ser verdadera

21

Hay cuatro posibilidades de verdad de dos enunciados sobre futuros contingentes

1 Ambos enunciados son verdaderos2 Ambos enunciados son falsos3 Uno es verdadero y el otro falso en el

presente4 Uno es verdadero y el otro es falso en

potencia

22

1 Si asumimos el Principio de no-Contradiccioacuten entonces el par de futuros contingentes no pueden ser los dos verdaderos

2 Si aceptamos el Principio de Tercero Excluido entonces no pueden ser los dos falsos

3 Si el Principio de Bivalencia tiene validez universal entonces uno es verdadero y el otro es falso en el presente

Posicioacuten aristoteacutelica uno es verdadero y el otro es falso en potencia por ello el Principio de Bivalencia debe restringirse y ademaacutes se debe evitar de tener por necesarios (absolutamente) a los enunciados sobre futuros contingentes

23

Aristoacuteteles rechaza la tesis megaacuterica de la necesidad del ser por la verdad (P P si P sucede entonces es necesario que P suceda) lo que significa que todos los futuros son o necesarios o imposibles

La negacioacuten de este necesitarismo implica restringir el Principio de Bivalencia para los futuros contingentes es decir la verdad de un enunciado depende del ser siendo el futuro un ser en potencia no puede declararse

24

El mundo sublunar consta de seres contingentes que no existen siempre en acto pero cuando una propiedad se actualiza se debe a una necesidad condicional esto es el predicado determina al sujeto durante el presente en que se actualiza Por ejemplo el sol se eclipsa por la lunaPor lo tanto no se puede mantener que toda enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso restringiendo asiacute el Principio de Bivalencia

25

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Su finalidadldquoLa loacutegica se dice ciencia racional Su

consideracioacuten trata necesariamente sobre lo que pertenece a las tres operaciones de la razoacuten Lo que pertenece a la primera operacioacuten de la inteligencia es decir lo que es concebido por una inteligencia Aristoacuteteles lo trata en el libro de las Categoriacuteas

10

Comentario de santo TomaacutesldquoLo que pertenece a la segunda operacioacuten a

saber a la enunciacioacuten afirmativa y negativa el Filoacutesofo lo trata en el libro Sobre la interpretacioacuten Enseguida lo que pertenece a la tercera operacioacuten lo trata en el libro de los Primeros Analiacuteticos hellip

11

Comentario de santo TomaacutesldquoEs por lo que en conformidad con el orden

mencionado de las tres operaciones el libro de las Categoriacuteas estaacute ordenado al libro Sobre la interpretacioacuten el cual estaacute ordenado al libro de los Primeros Analiacuteticos y siguientesrdquo

12

C W A WhitakerEsta visioacuten no es correcto El libro De

Interpretatione no presupone las Categoriacuteas Maacutes bien comienza con lo baacutesico y proporciona en los capiacutetulos del 1 al 6 los elementos necesarios para el trabajo real contenido en los capiacutetulos del 7 al 14 Tampoco es una preparacioacuten para los Primeros Analiacuteticos

El tema central del De Interpretatione no es la proposicioacuten vista como el elemento baacutesico del silogismo sino los pares contradictorios y los pares contradictorios y sus implicacionessus implicaciones

13

El tratado estaacute orientado asiacute a los Toacutepicos y a los Elencos Sofiacutesticos que trata de las preguntas y respuestas de las cuestiones dialeacutecticas con el fin de refutar una tesis

El dialeacutectico debe ser capaz de clasificar las proposiciones en pares contradictorioshellip debe conocer la contradictoria de la tesis ambas contradictorias debe conocerlas para responder a la cuestioacuten

14

Estrategia didaacutecticaCon el supuesto de Whitaker de que se debe

buscar los pares contradictorios y sus implicaciones trataremos de comprender coacutemo se forman si no los pares contradictorios siacute las oposiciones que operan entre las modalidades asiacute como determinar sus implicaciones existen entre ellas

15

La negacioacuten de las modalidadesLas negaciones de las proposiciones

asertoacutericas se forman al agregar lsquonorsquo a la coacutepula Las aserciones contradictorias estaacuten marcadas por lsquoesrsquo y lsquono-esrsquo (21ordf38)

En el capiacutetulo 10 Aristoacuteteles la aplica primero a las aserciones que contienen la coacutepula lsquoesrsquo y luego lo extiende a los verbos

Las aserciones que contienen un verbo en lugar de lsquoesrsquo operan de la misma manera el verbo es lo que es dicho en lugar de lsquoserrsquo y su negacioacuten es similar (21b5-10)

16

Primera dificultadAristoacuteteles declara que la negacioacuten de lsquoser

posiblersquo es lsquono ser posiblersquo (21b23) En este caso de manera diferente a las aserciones la negacioacuten consiste no en negar la copula lsquoserrsquo sino el operador modaloperador modal

Los operadores modales son vistos en el lugar de la copula y asiacute son la parte propia de la negacioacuten del enunciado modal si una negacioacuten debe formarse

17

Es posible que P tiene como negacioacuten no es posible que P

La negacioacuten de no es posible que no-P no es es posible que P sino es posible que no-P

El mismo anaacutelisis vale naturalmente para el resto de las modalidades contingente necesario y imposible

18

Las negaciones modalesEs posible que P No es posible que PEs contingente que P No es contingente que

PEs necesario que P No es necesario que PEs imposible que P No es imposible que P

Por ahora sabemos coacutemo realizar la negacioacuten

19

Segunda dificultadExisten pares de enunciados singulares sobre

el futuro que siendo en apariencia contradictorios son verdaderos

laquo Socratem currere est possibile y Socratem non currere est possibile son ambas verdaderas porque Soacutecrates puede correr y puede no correr y la posibilidad es verdadera respecto de ambos enunciados Por lo tanto una no es afirmativa y la otra negativa raquo [Comentario de santo Tomaacutes]

20

Algo es capaz de caminar no necesita en acto estar caminando todo el tiempo y asiacute debe ser capaz de no caminar tambieacuten Ambas afirmaciones pueden ser simultaacuteneamente verdaderas del mismo sujeto y por tanto no pueden ser contradictorias (21b17)

Es la naturaleza de la cosa afirmada como el sujeto de las dos aserciones que les permite a ambos ser verdadera

21

Hay cuatro posibilidades de verdad de dos enunciados sobre futuros contingentes

1 Ambos enunciados son verdaderos2 Ambos enunciados son falsos3 Uno es verdadero y el otro falso en el

presente4 Uno es verdadero y el otro es falso en

potencia

22

1 Si asumimos el Principio de no-Contradiccioacuten entonces el par de futuros contingentes no pueden ser los dos verdaderos

2 Si aceptamos el Principio de Tercero Excluido entonces no pueden ser los dos falsos

3 Si el Principio de Bivalencia tiene validez universal entonces uno es verdadero y el otro es falso en el presente

Posicioacuten aristoteacutelica uno es verdadero y el otro es falso en potencia por ello el Principio de Bivalencia debe restringirse y ademaacutes se debe evitar de tener por necesarios (absolutamente) a los enunciados sobre futuros contingentes

23

Aristoacuteteles rechaza la tesis megaacuterica de la necesidad del ser por la verdad (P P si P sucede entonces es necesario que P suceda) lo que significa que todos los futuros son o necesarios o imposibles

La negacioacuten de este necesitarismo implica restringir el Principio de Bivalencia para los futuros contingentes es decir la verdad de un enunciado depende del ser siendo el futuro un ser en potencia no puede declararse

24

El mundo sublunar consta de seres contingentes que no existen siempre en acto pero cuando una propiedad se actualiza se debe a una necesidad condicional esto es el predicado determina al sujeto durante el presente en que se actualiza Por ejemplo el sol se eclipsa por la lunaPor lo tanto no se puede mantener que toda enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso restringiendo asiacute el Principio de Bivalencia

25

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Comentario de santo TomaacutesldquoLo que pertenece a la segunda operacioacuten a

saber a la enunciacioacuten afirmativa y negativa el Filoacutesofo lo trata en el libro Sobre la interpretacioacuten Enseguida lo que pertenece a la tercera operacioacuten lo trata en el libro de los Primeros Analiacuteticos hellip

11

Comentario de santo TomaacutesldquoEs por lo que en conformidad con el orden

mencionado de las tres operaciones el libro de las Categoriacuteas estaacute ordenado al libro Sobre la interpretacioacuten el cual estaacute ordenado al libro de los Primeros Analiacuteticos y siguientesrdquo

12

C W A WhitakerEsta visioacuten no es correcto El libro De

Interpretatione no presupone las Categoriacuteas Maacutes bien comienza con lo baacutesico y proporciona en los capiacutetulos del 1 al 6 los elementos necesarios para el trabajo real contenido en los capiacutetulos del 7 al 14 Tampoco es una preparacioacuten para los Primeros Analiacuteticos

El tema central del De Interpretatione no es la proposicioacuten vista como el elemento baacutesico del silogismo sino los pares contradictorios y los pares contradictorios y sus implicacionessus implicaciones

13

El tratado estaacute orientado asiacute a los Toacutepicos y a los Elencos Sofiacutesticos que trata de las preguntas y respuestas de las cuestiones dialeacutecticas con el fin de refutar una tesis

El dialeacutectico debe ser capaz de clasificar las proposiciones en pares contradictorioshellip debe conocer la contradictoria de la tesis ambas contradictorias debe conocerlas para responder a la cuestioacuten

14

Estrategia didaacutecticaCon el supuesto de Whitaker de que se debe

buscar los pares contradictorios y sus implicaciones trataremos de comprender coacutemo se forman si no los pares contradictorios siacute las oposiciones que operan entre las modalidades asiacute como determinar sus implicaciones existen entre ellas

15

La negacioacuten de las modalidadesLas negaciones de las proposiciones

asertoacutericas se forman al agregar lsquonorsquo a la coacutepula Las aserciones contradictorias estaacuten marcadas por lsquoesrsquo y lsquono-esrsquo (21ordf38)

En el capiacutetulo 10 Aristoacuteteles la aplica primero a las aserciones que contienen la coacutepula lsquoesrsquo y luego lo extiende a los verbos

Las aserciones que contienen un verbo en lugar de lsquoesrsquo operan de la misma manera el verbo es lo que es dicho en lugar de lsquoserrsquo y su negacioacuten es similar (21b5-10)

16

Primera dificultadAristoacuteteles declara que la negacioacuten de lsquoser

posiblersquo es lsquono ser posiblersquo (21b23) En este caso de manera diferente a las aserciones la negacioacuten consiste no en negar la copula lsquoserrsquo sino el operador modaloperador modal

Los operadores modales son vistos en el lugar de la copula y asiacute son la parte propia de la negacioacuten del enunciado modal si una negacioacuten debe formarse

17

Es posible que P tiene como negacioacuten no es posible que P

La negacioacuten de no es posible que no-P no es es posible que P sino es posible que no-P

El mismo anaacutelisis vale naturalmente para el resto de las modalidades contingente necesario y imposible

18

Las negaciones modalesEs posible que P No es posible que PEs contingente que P No es contingente que

PEs necesario que P No es necesario que PEs imposible que P No es imposible que P

Por ahora sabemos coacutemo realizar la negacioacuten

19

Segunda dificultadExisten pares de enunciados singulares sobre

el futuro que siendo en apariencia contradictorios son verdaderos

laquo Socratem currere est possibile y Socratem non currere est possibile son ambas verdaderas porque Soacutecrates puede correr y puede no correr y la posibilidad es verdadera respecto de ambos enunciados Por lo tanto una no es afirmativa y la otra negativa raquo [Comentario de santo Tomaacutes]

20

Algo es capaz de caminar no necesita en acto estar caminando todo el tiempo y asiacute debe ser capaz de no caminar tambieacuten Ambas afirmaciones pueden ser simultaacuteneamente verdaderas del mismo sujeto y por tanto no pueden ser contradictorias (21b17)

Es la naturaleza de la cosa afirmada como el sujeto de las dos aserciones que les permite a ambos ser verdadera

21

Hay cuatro posibilidades de verdad de dos enunciados sobre futuros contingentes

1 Ambos enunciados son verdaderos2 Ambos enunciados son falsos3 Uno es verdadero y el otro falso en el

presente4 Uno es verdadero y el otro es falso en

potencia

22

1 Si asumimos el Principio de no-Contradiccioacuten entonces el par de futuros contingentes no pueden ser los dos verdaderos

2 Si aceptamos el Principio de Tercero Excluido entonces no pueden ser los dos falsos

3 Si el Principio de Bivalencia tiene validez universal entonces uno es verdadero y el otro es falso en el presente

Posicioacuten aristoteacutelica uno es verdadero y el otro es falso en potencia por ello el Principio de Bivalencia debe restringirse y ademaacutes se debe evitar de tener por necesarios (absolutamente) a los enunciados sobre futuros contingentes

23

Aristoacuteteles rechaza la tesis megaacuterica de la necesidad del ser por la verdad (P P si P sucede entonces es necesario que P suceda) lo que significa que todos los futuros son o necesarios o imposibles

La negacioacuten de este necesitarismo implica restringir el Principio de Bivalencia para los futuros contingentes es decir la verdad de un enunciado depende del ser siendo el futuro un ser en potencia no puede declararse

24

El mundo sublunar consta de seres contingentes que no existen siempre en acto pero cuando una propiedad se actualiza se debe a una necesidad condicional esto es el predicado determina al sujeto durante el presente en que se actualiza Por ejemplo el sol se eclipsa por la lunaPor lo tanto no se puede mantener que toda enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso restringiendo asiacute el Principio de Bivalencia

25

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Comentario de santo TomaacutesldquoEs por lo que en conformidad con el orden

mencionado de las tres operaciones el libro de las Categoriacuteas estaacute ordenado al libro Sobre la interpretacioacuten el cual estaacute ordenado al libro de los Primeros Analiacuteticos y siguientesrdquo

12

C W A WhitakerEsta visioacuten no es correcto El libro De

Interpretatione no presupone las Categoriacuteas Maacutes bien comienza con lo baacutesico y proporciona en los capiacutetulos del 1 al 6 los elementos necesarios para el trabajo real contenido en los capiacutetulos del 7 al 14 Tampoco es una preparacioacuten para los Primeros Analiacuteticos

El tema central del De Interpretatione no es la proposicioacuten vista como el elemento baacutesico del silogismo sino los pares contradictorios y los pares contradictorios y sus implicacionessus implicaciones

13

El tratado estaacute orientado asiacute a los Toacutepicos y a los Elencos Sofiacutesticos que trata de las preguntas y respuestas de las cuestiones dialeacutecticas con el fin de refutar una tesis

El dialeacutectico debe ser capaz de clasificar las proposiciones en pares contradictorioshellip debe conocer la contradictoria de la tesis ambas contradictorias debe conocerlas para responder a la cuestioacuten

14

Estrategia didaacutecticaCon el supuesto de Whitaker de que se debe

buscar los pares contradictorios y sus implicaciones trataremos de comprender coacutemo se forman si no los pares contradictorios siacute las oposiciones que operan entre las modalidades asiacute como determinar sus implicaciones existen entre ellas

15

La negacioacuten de las modalidadesLas negaciones de las proposiciones

asertoacutericas se forman al agregar lsquonorsquo a la coacutepula Las aserciones contradictorias estaacuten marcadas por lsquoesrsquo y lsquono-esrsquo (21ordf38)

En el capiacutetulo 10 Aristoacuteteles la aplica primero a las aserciones que contienen la coacutepula lsquoesrsquo y luego lo extiende a los verbos

Las aserciones que contienen un verbo en lugar de lsquoesrsquo operan de la misma manera el verbo es lo que es dicho en lugar de lsquoserrsquo y su negacioacuten es similar (21b5-10)

16

Primera dificultadAristoacuteteles declara que la negacioacuten de lsquoser

posiblersquo es lsquono ser posiblersquo (21b23) En este caso de manera diferente a las aserciones la negacioacuten consiste no en negar la copula lsquoserrsquo sino el operador modaloperador modal

Los operadores modales son vistos en el lugar de la copula y asiacute son la parte propia de la negacioacuten del enunciado modal si una negacioacuten debe formarse

17

Es posible que P tiene como negacioacuten no es posible que P

La negacioacuten de no es posible que no-P no es es posible que P sino es posible que no-P

El mismo anaacutelisis vale naturalmente para el resto de las modalidades contingente necesario y imposible

18

Las negaciones modalesEs posible que P No es posible que PEs contingente que P No es contingente que

PEs necesario que P No es necesario que PEs imposible que P No es imposible que P

Por ahora sabemos coacutemo realizar la negacioacuten

19

Segunda dificultadExisten pares de enunciados singulares sobre

el futuro que siendo en apariencia contradictorios son verdaderos

laquo Socratem currere est possibile y Socratem non currere est possibile son ambas verdaderas porque Soacutecrates puede correr y puede no correr y la posibilidad es verdadera respecto de ambos enunciados Por lo tanto una no es afirmativa y la otra negativa raquo [Comentario de santo Tomaacutes]

20

Algo es capaz de caminar no necesita en acto estar caminando todo el tiempo y asiacute debe ser capaz de no caminar tambieacuten Ambas afirmaciones pueden ser simultaacuteneamente verdaderas del mismo sujeto y por tanto no pueden ser contradictorias (21b17)

Es la naturaleza de la cosa afirmada como el sujeto de las dos aserciones que les permite a ambos ser verdadera

21

Hay cuatro posibilidades de verdad de dos enunciados sobre futuros contingentes

1 Ambos enunciados son verdaderos2 Ambos enunciados son falsos3 Uno es verdadero y el otro falso en el

presente4 Uno es verdadero y el otro es falso en

potencia

22

1 Si asumimos el Principio de no-Contradiccioacuten entonces el par de futuros contingentes no pueden ser los dos verdaderos

2 Si aceptamos el Principio de Tercero Excluido entonces no pueden ser los dos falsos

3 Si el Principio de Bivalencia tiene validez universal entonces uno es verdadero y el otro es falso en el presente

Posicioacuten aristoteacutelica uno es verdadero y el otro es falso en potencia por ello el Principio de Bivalencia debe restringirse y ademaacutes se debe evitar de tener por necesarios (absolutamente) a los enunciados sobre futuros contingentes

23

Aristoacuteteles rechaza la tesis megaacuterica de la necesidad del ser por la verdad (P P si P sucede entonces es necesario que P suceda) lo que significa que todos los futuros son o necesarios o imposibles

La negacioacuten de este necesitarismo implica restringir el Principio de Bivalencia para los futuros contingentes es decir la verdad de un enunciado depende del ser siendo el futuro un ser en potencia no puede declararse

24

El mundo sublunar consta de seres contingentes que no existen siempre en acto pero cuando una propiedad se actualiza se debe a una necesidad condicional esto es el predicado determina al sujeto durante el presente en que se actualiza Por ejemplo el sol se eclipsa por la lunaPor lo tanto no se puede mantener que toda enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso restringiendo asiacute el Principio de Bivalencia

25

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

C W A WhitakerEsta visioacuten no es correcto El libro De

Interpretatione no presupone las Categoriacuteas Maacutes bien comienza con lo baacutesico y proporciona en los capiacutetulos del 1 al 6 los elementos necesarios para el trabajo real contenido en los capiacutetulos del 7 al 14 Tampoco es una preparacioacuten para los Primeros Analiacuteticos

El tema central del De Interpretatione no es la proposicioacuten vista como el elemento baacutesico del silogismo sino los pares contradictorios y los pares contradictorios y sus implicacionessus implicaciones

13

El tratado estaacute orientado asiacute a los Toacutepicos y a los Elencos Sofiacutesticos que trata de las preguntas y respuestas de las cuestiones dialeacutecticas con el fin de refutar una tesis

El dialeacutectico debe ser capaz de clasificar las proposiciones en pares contradictorioshellip debe conocer la contradictoria de la tesis ambas contradictorias debe conocerlas para responder a la cuestioacuten

14

Estrategia didaacutecticaCon el supuesto de Whitaker de que se debe

buscar los pares contradictorios y sus implicaciones trataremos de comprender coacutemo se forman si no los pares contradictorios siacute las oposiciones que operan entre las modalidades asiacute como determinar sus implicaciones existen entre ellas

15

La negacioacuten de las modalidadesLas negaciones de las proposiciones

asertoacutericas se forman al agregar lsquonorsquo a la coacutepula Las aserciones contradictorias estaacuten marcadas por lsquoesrsquo y lsquono-esrsquo (21ordf38)

En el capiacutetulo 10 Aristoacuteteles la aplica primero a las aserciones que contienen la coacutepula lsquoesrsquo y luego lo extiende a los verbos

Las aserciones que contienen un verbo en lugar de lsquoesrsquo operan de la misma manera el verbo es lo que es dicho en lugar de lsquoserrsquo y su negacioacuten es similar (21b5-10)

16

Primera dificultadAristoacuteteles declara que la negacioacuten de lsquoser

posiblersquo es lsquono ser posiblersquo (21b23) En este caso de manera diferente a las aserciones la negacioacuten consiste no en negar la copula lsquoserrsquo sino el operador modaloperador modal

Los operadores modales son vistos en el lugar de la copula y asiacute son la parte propia de la negacioacuten del enunciado modal si una negacioacuten debe formarse

17

Es posible que P tiene como negacioacuten no es posible que P

La negacioacuten de no es posible que no-P no es es posible que P sino es posible que no-P

El mismo anaacutelisis vale naturalmente para el resto de las modalidades contingente necesario y imposible

18

Las negaciones modalesEs posible que P No es posible que PEs contingente que P No es contingente que

PEs necesario que P No es necesario que PEs imposible que P No es imposible que P

Por ahora sabemos coacutemo realizar la negacioacuten

19

Segunda dificultadExisten pares de enunciados singulares sobre

el futuro que siendo en apariencia contradictorios son verdaderos

laquo Socratem currere est possibile y Socratem non currere est possibile son ambas verdaderas porque Soacutecrates puede correr y puede no correr y la posibilidad es verdadera respecto de ambos enunciados Por lo tanto una no es afirmativa y la otra negativa raquo [Comentario de santo Tomaacutes]

20

Algo es capaz de caminar no necesita en acto estar caminando todo el tiempo y asiacute debe ser capaz de no caminar tambieacuten Ambas afirmaciones pueden ser simultaacuteneamente verdaderas del mismo sujeto y por tanto no pueden ser contradictorias (21b17)

Es la naturaleza de la cosa afirmada como el sujeto de las dos aserciones que les permite a ambos ser verdadera

21

Hay cuatro posibilidades de verdad de dos enunciados sobre futuros contingentes

1 Ambos enunciados son verdaderos2 Ambos enunciados son falsos3 Uno es verdadero y el otro falso en el

presente4 Uno es verdadero y el otro es falso en

potencia

22

1 Si asumimos el Principio de no-Contradiccioacuten entonces el par de futuros contingentes no pueden ser los dos verdaderos

2 Si aceptamos el Principio de Tercero Excluido entonces no pueden ser los dos falsos

3 Si el Principio de Bivalencia tiene validez universal entonces uno es verdadero y el otro es falso en el presente

Posicioacuten aristoteacutelica uno es verdadero y el otro es falso en potencia por ello el Principio de Bivalencia debe restringirse y ademaacutes se debe evitar de tener por necesarios (absolutamente) a los enunciados sobre futuros contingentes

23

Aristoacuteteles rechaza la tesis megaacuterica de la necesidad del ser por la verdad (P P si P sucede entonces es necesario que P suceda) lo que significa que todos los futuros son o necesarios o imposibles

La negacioacuten de este necesitarismo implica restringir el Principio de Bivalencia para los futuros contingentes es decir la verdad de un enunciado depende del ser siendo el futuro un ser en potencia no puede declararse

24

El mundo sublunar consta de seres contingentes que no existen siempre en acto pero cuando una propiedad se actualiza se debe a una necesidad condicional esto es el predicado determina al sujeto durante el presente en que se actualiza Por ejemplo el sol se eclipsa por la lunaPor lo tanto no se puede mantener que toda enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso restringiendo asiacute el Principio de Bivalencia

25

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

El tratado estaacute orientado asiacute a los Toacutepicos y a los Elencos Sofiacutesticos que trata de las preguntas y respuestas de las cuestiones dialeacutecticas con el fin de refutar una tesis

El dialeacutectico debe ser capaz de clasificar las proposiciones en pares contradictorioshellip debe conocer la contradictoria de la tesis ambas contradictorias debe conocerlas para responder a la cuestioacuten

14

Estrategia didaacutecticaCon el supuesto de Whitaker de que se debe

buscar los pares contradictorios y sus implicaciones trataremos de comprender coacutemo se forman si no los pares contradictorios siacute las oposiciones que operan entre las modalidades asiacute como determinar sus implicaciones existen entre ellas

15

La negacioacuten de las modalidadesLas negaciones de las proposiciones

asertoacutericas se forman al agregar lsquonorsquo a la coacutepula Las aserciones contradictorias estaacuten marcadas por lsquoesrsquo y lsquono-esrsquo (21ordf38)

En el capiacutetulo 10 Aristoacuteteles la aplica primero a las aserciones que contienen la coacutepula lsquoesrsquo y luego lo extiende a los verbos

Las aserciones que contienen un verbo en lugar de lsquoesrsquo operan de la misma manera el verbo es lo que es dicho en lugar de lsquoserrsquo y su negacioacuten es similar (21b5-10)

16

Primera dificultadAristoacuteteles declara que la negacioacuten de lsquoser

posiblersquo es lsquono ser posiblersquo (21b23) En este caso de manera diferente a las aserciones la negacioacuten consiste no en negar la copula lsquoserrsquo sino el operador modaloperador modal

Los operadores modales son vistos en el lugar de la copula y asiacute son la parte propia de la negacioacuten del enunciado modal si una negacioacuten debe formarse

17

Es posible que P tiene como negacioacuten no es posible que P

La negacioacuten de no es posible que no-P no es es posible que P sino es posible que no-P

El mismo anaacutelisis vale naturalmente para el resto de las modalidades contingente necesario y imposible

18

Las negaciones modalesEs posible que P No es posible que PEs contingente que P No es contingente que

PEs necesario que P No es necesario que PEs imposible que P No es imposible que P

Por ahora sabemos coacutemo realizar la negacioacuten

19

Segunda dificultadExisten pares de enunciados singulares sobre

el futuro que siendo en apariencia contradictorios son verdaderos

laquo Socratem currere est possibile y Socratem non currere est possibile son ambas verdaderas porque Soacutecrates puede correr y puede no correr y la posibilidad es verdadera respecto de ambos enunciados Por lo tanto una no es afirmativa y la otra negativa raquo [Comentario de santo Tomaacutes]

20

Algo es capaz de caminar no necesita en acto estar caminando todo el tiempo y asiacute debe ser capaz de no caminar tambieacuten Ambas afirmaciones pueden ser simultaacuteneamente verdaderas del mismo sujeto y por tanto no pueden ser contradictorias (21b17)

Es la naturaleza de la cosa afirmada como el sujeto de las dos aserciones que les permite a ambos ser verdadera

21

Hay cuatro posibilidades de verdad de dos enunciados sobre futuros contingentes

1 Ambos enunciados son verdaderos2 Ambos enunciados son falsos3 Uno es verdadero y el otro falso en el

presente4 Uno es verdadero y el otro es falso en

potencia

22

1 Si asumimos el Principio de no-Contradiccioacuten entonces el par de futuros contingentes no pueden ser los dos verdaderos

2 Si aceptamos el Principio de Tercero Excluido entonces no pueden ser los dos falsos

3 Si el Principio de Bivalencia tiene validez universal entonces uno es verdadero y el otro es falso en el presente

Posicioacuten aristoteacutelica uno es verdadero y el otro es falso en potencia por ello el Principio de Bivalencia debe restringirse y ademaacutes se debe evitar de tener por necesarios (absolutamente) a los enunciados sobre futuros contingentes

23

Aristoacuteteles rechaza la tesis megaacuterica de la necesidad del ser por la verdad (P P si P sucede entonces es necesario que P suceda) lo que significa que todos los futuros son o necesarios o imposibles

La negacioacuten de este necesitarismo implica restringir el Principio de Bivalencia para los futuros contingentes es decir la verdad de un enunciado depende del ser siendo el futuro un ser en potencia no puede declararse

24

El mundo sublunar consta de seres contingentes que no existen siempre en acto pero cuando una propiedad se actualiza se debe a una necesidad condicional esto es el predicado determina al sujeto durante el presente en que se actualiza Por ejemplo el sol se eclipsa por la lunaPor lo tanto no se puede mantener que toda enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso restringiendo asiacute el Principio de Bivalencia

25

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Estrategia didaacutecticaCon el supuesto de Whitaker de que se debe

buscar los pares contradictorios y sus implicaciones trataremos de comprender coacutemo se forman si no los pares contradictorios siacute las oposiciones que operan entre las modalidades asiacute como determinar sus implicaciones existen entre ellas

15

La negacioacuten de las modalidadesLas negaciones de las proposiciones

asertoacutericas se forman al agregar lsquonorsquo a la coacutepula Las aserciones contradictorias estaacuten marcadas por lsquoesrsquo y lsquono-esrsquo (21ordf38)

En el capiacutetulo 10 Aristoacuteteles la aplica primero a las aserciones que contienen la coacutepula lsquoesrsquo y luego lo extiende a los verbos

Las aserciones que contienen un verbo en lugar de lsquoesrsquo operan de la misma manera el verbo es lo que es dicho en lugar de lsquoserrsquo y su negacioacuten es similar (21b5-10)

16

Primera dificultadAristoacuteteles declara que la negacioacuten de lsquoser

posiblersquo es lsquono ser posiblersquo (21b23) En este caso de manera diferente a las aserciones la negacioacuten consiste no en negar la copula lsquoserrsquo sino el operador modaloperador modal

Los operadores modales son vistos en el lugar de la copula y asiacute son la parte propia de la negacioacuten del enunciado modal si una negacioacuten debe formarse

17

Es posible que P tiene como negacioacuten no es posible que P

La negacioacuten de no es posible que no-P no es es posible que P sino es posible que no-P

El mismo anaacutelisis vale naturalmente para el resto de las modalidades contingente necesario y imposible

18

Las negaciones modalesEs posible que P No es posible que PEs contingente que P No es contingente que

PEs necesario que P No es necesario que PEs imposible que P No es imposible que P

Por ahora sabemos coacutemo realizar la negacioacuten

19

Segunda dificultadExisten pares de enunciados singulares sobre

el futuro que siendo en apariencia contradictorios son verdaderos

laquo Socratem currere est possibile y Socratem non currere est possibile son ambas verdaderas porque Soacutecrates puede correr y puede no correr y la posibilidad es verdadera respecto de ambos enunciados Por lo tanto una no es afirmativa y la otra negativa raquo [Comentario de santo Tomaacutes]

20

Algo es capaz de caminar no necesita en acto estar caminando todo el tiempo y asiacute debe ser capaz de no caminar tambieacuten Ambas afirmaciones pueden ser simultaacuteneamente verdaderas del mismo sujeto y por tanto no pueden ser contradictorias (21b17)

Es la naturaleza de la cosa afirmada como el sujeto de las dos aserciones que les permite a ambos ser verdadera

21

Hay cuatro posibilidades de verdad de dos enunciados sobre futuros contingentes

1 Ambos enunciados son verdaderos2 Ambos enunciados son falsos3 Uno es verdadero y el otro falso en el

presente4 Uno es verdadero y el otro es falso en

potencia

22

1 Si asumimos el Principio de no-Contradiccioacuten entonces el par de futuros contingentes no pueden ser los dos verdaderos

2 Si aceptamos el Principio de Tercero Excluido entonces no pueden ser los dos falsos

3 Si el Principio de Bivalencia tiene validez universal entonces uno es verdadero y el otro es falso en el presente

Posicioacuten aristoteacutelica uno es verdadero y el otro es falso en potencia por ello el Principio de Bivalencia debe restringirse y ademaacutes se debe evitar de tener por necesarios (absolutamente) a los enunciados sobre futuros contingentes

23

Aristoacuteteles rechaza la tesis megaacuterica de la necesidad del ser por la verdad (P P si P sucede entonces es necesario que P suceda) lo que significa que todos los futuros son o necesarios o imposibles

La negacioacuten de este necesitarismo implica restringir el Principio de Bivalencia para los futuros contingentes es decir la verdad de un enunciado depende del ser siendo el futuro un ser en potencia no puede declararse

24

El mundo sublunar consta de seres contingentes que no existen siempre en acto pero cuando una propiedad se actualiza se debe a una necesidad condicional esto es el predicado determina al sujeto durante el presente en que se actualiza Por ejemplo el sol se eclipsa por la lunaPor lo tanto no se puede mantener que toda enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso restringiendo asiacute el Principio de Bivalencia

25

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

La negacioacuten de las modalidadesLas negaciones de las proposiciones

asertoacutericas se forman al agregar lsquonorsquo a la coacutepula Las aserciones contradictorias estaacuten marcadas por lsquoesrsquo y lsquono-esrsquo (21ordf38)

En el capiacutetulo 10 Aristoacuteteles la aplica primero a las aserciones que contienen la coacutepula lsquoesrsquo y luego lo extiende a los verbos

Las aserciones que contienen un verbo en lugar de lsquoesrsquo operan de la misma manera el verbo es lo que es dicho en lugar de lsquoserrsquo y su negacioacuten es similar (21b5-10)

16

Primera dificultadAristoacuteteles declara que la negacioacuten de lsquoser

posiblersquo es lsquono ser posiblersquo (21b23) En este caso de manera diferente a las aserciones la negacioacuten consiste no en negar la copula lsquoserrsquo sino el operador modaloperador modal

Los operadores modales son vistos en el lugar de la copula y asiacute son la parte propia de la negacioacuten del enunciado modal si una negacioacuten debe formarse

17

Es posible que P tiene como negacioacuten no es posible que P

La negacioacuten de no es posible que no-P no es es posible que P sino es posible que no-P

El mismo anaacutelisis vale naturalmente para el resto de las modalidades contingente necesario y imposible

18

Las negaciones modalesEs posible que P No es posible que PEs contingente que P No es contingente que

PEs necesario que P No es necesario que PEs imposible que P No es imposible que P

Por ahora sabemos coacutemo realizar la negacioacuten

19

Segunda dificultadExisten pares de enunciados singulares sobre

el futuro que siendo en apariencia contradictorios son verdaderos

laquo Socratem currere est possibile y Socratem non currere est possibile son ambas verdaderas porque Soacutecrates puede correr y puede no correr y la posibilidad es verdadera respecto de ambos enunciados Por lo tanto una no es afirmativa y la otra negativa raquo [Comentario de santo Tomaacutes]

20

Algo es capaz de caminar no necesita en acto estar caminando todo el tiempo y asiacute debe ser capaz de no caminar tambieacuten Ambas afirmaciones pueden ser simultaacuteneamente verdaderas del mismo sujeto y por tanto no pueden ser contradictorias (21b17)

Es la naturaleza de la cosa afirmada como el sujeto de las dos aserciones que les permite a ambos ser verdadera

21

Hay cuatro posibilidades de verdad de dos enunciados sobre futuros contingentes

1 Ambos enunciados son verdaderos2 Ambos enunciados son falsos3 Uno es verdadero y el otro falso en el

presente4 Uno es verdadero y el otro es falso en

potencia

22

1 Si asumimos el Principio de no-Contradiccioacuten entonces el par de futuros contingentes no pueden ser los dos verdaderos

2 Si aceptamos el Principio de Tercero Excluido entonces no pueden ser los dos falsos

3 Si el Principio de Bivalencia tiene validez universal entonces uno es verdadero y el otro es falso en el presente

Posicioacuten aristoteacutelica uno es verdadero y el otro es falso en potencia por ello el Principio de Bivalencia debe restringirse y ademaacutes se debe evitar de tener por necesarios (absolutamente) a los enunciados sobre futuros contingentes

23

Aristoacuteteles rechaza la tesis megaacuterica de la necesidad del ser por la verdad (P P si P sucede entonces es necesario que P suceda) lo que significa que todos los futuros son o necesarios o imposibles

La negacioacuten de este necesitarismo implica restringir el Principio de Bivalencia para los futuros contingentes es decir la verdad de un enunciado depende del ser siendo el futuro un ser en potencia no puede declararse

24

El mundo sublunar consta de seres contingentes que no existen siempre en acto pero cuando una propiedad se actualiza se debe a una necesidad condicional esto es el predicado determina al sujeto durante el presente en que se actualiza Por ejemplo el sol se eclipsa por la lunaPor lo tanto no se puede mantener que toda enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso restringiendo asiacute el Principio de Bivalencia

25

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Primera dificultadAristoacuteteles declara que la negacioacuten de lsquoser

posiblersquo es lsquono ser posiblersquo (21b23) En este caso de manera diferente a las aserciones la negacioacuten consiste no en negar la copula lsquoserrsquo sino el operador modaloperador modal

Los operadores modales son vistos en el lugar de la copula y asiacute son la parte propia de la negacioacuten del enunciado modal si una negacioacuten debe formarse

17

Es posible que P tiene como negacioacuten no es posible que P

La negacioacuten de no es posible que no-P no es es posible que P sino es posible que no-P

El mismo anaacutelisis vale naturalmente para el resto de las modalidades contingente necesario y imposible

18

Las negaciones modalesEs posible que P No es posible que PEs contingente que P No es contingente que

PEs necesario que P No es necesario que PEs imposible que P No es imposible que P

Por ahora sabemos coacutemo realizar la negacioacuten

19

Segunda dificultadExisten pares de enunciados singulares sobre

el futuro que siendo en apariencia contradictorios son verdaderos

laquo Socratem currere est possibile y Socratem non currere est possibile son ambas verdaderas porque Soacutecrates puede correr y puede no correr y la posibilidad es verdadera respecto de ambos enunciados Por lo tanto una no es afirmativa y la otra negativa raquo [Comentario de santo Tomaacutes]

20

Algo es capaz de caminar no necesita en acto estar caminando todo el tiempo y asiacute debe ser capaz de no caminar tambieacuten Ambas afirmaciones pueden ser simultaacuteneamente verdaderas del mismo sujeto y por tanto no pueden ser contradictorias (21b17)

Es la naturaleza de la cosa afirmada como el sujeto de las dos aserciones que les permite a ambos ser verdadera

21

Hay cuatro posibilidades de verdad de dos enunciados sobre futuros contingentes

1 Ambos enunciados son verdaderos2 Ambos enunciados son falsos3 Uno es verdadero y el otro falso en el

presente4 Uno es verdadero y el otro es falso en

potencia

22

1 Si asumimos el Principio de no-Contradiccioacuten entonces el par de futuros contingentes no pueden ser los dos verdaderos

2 Si aceptamos el Principio de Tercero Excluido entonces no pueden ser los dos falsos

3 Si el Principio de Bivalencia tiene validez universal entonces uno es verdadero y el otro es falso en el presente

Posicioacuten aristoteacutelica uno es verdadero y el otro es falso en potencia por ello el Principio de Bivalencia debe restringirse y ademaacutes se debe evitar de tener por necesarios (absolutamente) a los enunciados sobre futuros contingentes

23

Aristoacuteteles rechaza la tesis megaacuterica de la necesidad del ser por la verdad (P P si P sucede entonces es necesario que P suceda) lo que significa que todos los futuros son o necesarios o imposibles

La negacioacuten de este necesitarismo implica restringir el Principio de Bivalencia para los futuros contingentes es decir la verdad de un enunciado depende del ser siendo el futuro un ser en potencia no puede declararse

24

El mundo sublunar consta de seres contingentes que no existen siempre en acto pero cuando una propiedad se actualiza se debe a una necesidad condicional esto es el predicado determina al sujeto durante el presente en que se actualiza Por ejemplo el sol se eclipsa por la lunaPor lo tanto no se puede mantener que toda enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso restringiendo asiacute el Principio de Bivalencia

25

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Es posible que P tiene como negacioacuten no es posible que P

La negacioacuten de no es posible que no-P no es es posible que P sino es posible que no-P

El mismo anaacutelisis vale naturalmente para el resto de las modalidades contingente necesario y imposible

18

Las negaciones modalesEs posible que P No es posible que PEs contingente que P No es contingente que

PEs necesario que P No es necesario que PEs imposible que P No es imposible que P

Por ahora sabemos coacutemo realizar la negacioacuten

19

Segunda dificultadExisten pares de enunciados singulares sobre

el futuro que siendo en apariencia contradictorios son verdaderos

laquo Socratem currere est possibile y Socratem non currere est possibile son ambas verdaderas porque Soacutecrates puede correr y puede no correr y la posibilidad es verdadera respecto de ambos enunciados Por lo tanto una no es afirmativa y la otra negativa raquo [Comentario de santo Tomaacutes]

20

Algo es capaz de caminar no necesita en acto estar caminando todo el tiempo y asiacute debe ser capaz de no caminar tambieacuten Ambas afirmaciones pueden ser simultaacuteneamente verdaderas del mismo sujeto y por tanto no pueden ser contradictorias (21b17)

Es la naturaleza de la cosa afirmada como el sujeto de las dos aserciones que les permite a ambos ser verdadera

21

Hay cuatro posibilidades de verdad de dos enunciados sobre futuros contingentes

1 Ambos enunciados son verdaderos2 Ambos enunciados son falsos3 Uno es verdadero y el otro falso en el

presente4 Uno es verdadero y el otro es falso en

potencia

22

1 Si asumimos el Principio de no-Contradiccioacuten entonces el par de futuros contingentes no pueden ser los dos verdaderos

2 Si aceptamos el Principio de Tercero Excluido entonces no pueden ser los dos falsos

3 Si el Principio de Bivalencia tiene validez universal entonces uno es verdadero y el otro es falso en el presente

Posicioacuten aristoteacutelica uno es verdadero y el otro es falso en potencia por ello el Principio de Bivalencia debe restringirse y ademaacutes se debe evitar de tener por necesarios (absolutamente) a los enunciados sobre futuros contingentes

23

Aristoacuteteles rechaza la tesis megaacuterica de la necesidad del ser por la verdad (P P si P sucede entonces es necesario que P suceda) lo que significa que todos los futuros son o necesarios o imposibles

La negacioacuten de este necesitarismo implica restringir el Principio de Bivalencia para los futuros contingentes es decir la verdad de un enunciado depende del ser siendo el futuro un ser en potencia no puede declararse

24

El mundo sublunar consta de seres contingentes que no existen siempre en acto pero cuando una propiedad se actualiza se debe a una necesidad condicional esto es el predicado determina al sujeto durante el presente en que se actualiza Por ejemplo el sol se eclipsa por la lunaPor lo tanto no se puede mantener que toda enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso restringiendo asiacute el Principio de Bivalencia

25

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Las negaciones modalesEs posible que P No es posible que PEs contingente que P No es contingente que

PEs necesario que P No es necesario que PEs imposible que P No es imposible que P

Por ahora sabemos coacutemo realizar la negacioacuten

19

Segunda dificultadExisten pares de enunciados singulares sobre

el futuro que siendo en apariencia contradictorios son verdaderos

laquo Socratem currere est possibile y Socratem non currere est possibile son ambas verdaderas porque Soacutecrates puede correr y puede no correr y la posibilidad es verdadera respecto de ambos enunciados Por lo tanto una no es afirmativa y la otra negativa raquo [Comentario de santo Tomaacutes]

20

Algo es capaz de caminar no necesita en acto estar caminando todo el tiempo y asiacute debe ser capaz de no caminar tambieacuten Ambas afirmaciones pueden ser simultaacuteneamente verdaderas del mismo sujeto y por tanto no pueden ser contradictorias (21b17)

Es la naturaleza de la cosa afirmada como el sujeto de las dos aserciones que les permite a ambos ser verdadera

21

Hay cuatro posibilidades de verdad de dos enunciados sobre futuros contingentes

1 Ambos enunciados son verdaderos2 Ambos enunciados son falsos3 Uno es verdadero y el otro falso en el

presente4 Uno es verdadero y el otro es falso en

potencia

22

1 Si asumimos el Principio de no-Contradiccioacuten entonces el par de futuros contingentes no pueden ser los dos verdaderos

2 Si aceptamos el Principio de Tercero Excluido entonces no pueden ser los dos falsos

3 Si el Principio de Bivalencia tiene validez universal entonces uno es verdadero y el otro es falso en el presente

Posicioacuten aristoteacutelica uno es verdadero y el otro es falso en potencia por ello el Principio de Bivalencia debe restringirse y ademaacutes se debe evitar de tener por necesarios (absolutamente) a los enunciados sobre futuros contingentes

23

Aristoacuteteles rechaza la tesis megaacuterica de la necesidad del ser por la verdad (P P si P sucede entonces es necesario que P suceda) lo que significa que todos los futuros son o necesarios o imposibles

La negacioacuten de este necesitarismo implica restringir el Principio de Bivalencia para los futuros contingentes es decir la verdad de un enunciado depende del ser siendo el futuro un ser en potencia no puede declararse

24

El mundo sublunar consta de seres contingentes que no existen siempre en acto pero cuando una propiedad se actualiza se debe a una necesidad condicional esto es el predicado determina al sujeto durante el presente en que se actualiza Por ejemplo el sol se eclipsa por la lunaPor lo tanto no se puede mantener que toda enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso restringiendo asiacute el Principio de Bivalencia

25

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Segunda dificultadExisten pares de enunciados singulares sobre

el futuro que siendo en apariencia contradictorios son verdaderos

laquo Socratem currere est possibile y Socratem non currere est possibile son ambas verdaderas porque Soacutecrates puede correr y puede no correr y la posibilidad es verdadera respecto de ambos enunciados Por lo tanto una no es afirmativa y la otra negativa raquo [Comentario de santo Tomaacutes]

20

Algo es capaz de caminar no necesita en acto estar caminando todo el tiempo y asiacute debe ser capaz de no caminar tambieacuten Ambas afirmaciones pueden ser simultaacuteneamente verdaderas del mismo sujeto y por tanto no pueden ser contradictorias (21b17)

Es la naturaleza de la cosa afirmada como el sujeto de las dos aserciones que les permite a ambos ser verdadera

21

Hay cuatro posibilidades de verdad de dos enunciados sobre futuros contingentes

1 Ambos enunciados son verdaderos2 Ambos enunciados son falsos3 Uno es verdadero y el otro falso en el

presente4 Uno es verdadero y el otro es falso en

potencia

22

1 Si asumimos el Principio de no-Contradiccioacuten entonces el par de futuros contingentes no pueden ser los dos verdaderos

2 Si aceptamos el Principio de Tercero Excluido entonces no pueden ser los dos falsos

3 Si el Principio de Bivalencia tiene validez universal entonces uno es verdadero y el otro es falso en el presente

Posicioacuten aristoteacutelica uno es verdadero y el otro es falso en potencia por ello el Principio de Bivalencia debe restringirse y ademaacutes se debe evitar de tener por necesarios (absolutamente) a los enunciados sobre futuros contingentes

23

Aristoacuteteles rechaza la tesis megaacuterica de la necesidad del ser por la verdad (P P si P sucede entonces es necesario que P suceda) lo que significa que todos los futuros son o necesarios o imposibles

La negacioacuten de este necesitarismo implica restringir el Principio de Bivalencia para los futuros contingentes es decir la verdad de un enunciado depende del ser siendo el futuro un ser en potencia no puede declararse

24

El mundo sublunar consta de seres contingentes que no existen siempre en acto pero cuando una propiedad se actualiza se debe a una necesidad condicional esto es el predicado determina al sujeto durante el presente en que se actualiza Por ejemplo el sol se eclipsa por la lunaPor lo tanto no se puede mantener que toda enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso restringiendo asiacute el Principio de Bivalencia

25

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Algo es capaz de caminar no necesita en acto estar caminando todo el tiempo y asiacute debe ser capaz de no caminar tambieacuten Ambas afirmaciones pueden ser simultaacuteneamente verdaderas del mismo sujeto y por tanto no pueden ser contradictorias (21b17)

Es la naturaleza de la cosa afirmada como el sujeto de las dos aserciones que les permite a ambos ser verdadera

21

Hay cuatro posibilidades de verdad de dos enunciados sobre futuros contingentes

1 Ambos enunciados son verdaderos2 Ambos enunciados son falsos3 Uno es verdadero y el otro falso en el

presente4 Uno es verdadero y el otro es falso en

potencia

22

1 Si asumimos el Principio de no-Contradiccioacuten entonces el par de futuros contingentes no pueden ser los dos verdaderos

2 Si aceptamos el Principio de Tercero Excluido entonces no pueden ser los dos falsos

3 Si el Principio de Bivalencia tiene validez universal entonces uno es verdadero y el otro es falso en el presente

Posicioacuten aristoteacutelica uno es verdadero y el otro es falso en potencia por ello el Principio de Bivalencia debe restringirse y ademaacutes se debe evitar de tener por necesarios (absolutamente) a los enunciados sobre futuros contingentes

23

Aristoacuteteles rechaza la tesis megaacuterica de la necesidad del ser por la verdad (P P si P sucede entonces es necesario que P suceda) lo que significa que todos los futuros son o necesarios o imposibles

La negacioacuten de este necesitarismo implica restringir el Principio de Bivalencia para los futuros contingentes es decir la verdad de un enunciado depende del ser siendo el futuro un ser en potencia no puede declararse

24

El mundo sublunar consta de seres contingentes que no existen siempre en acto pero cuando una propiedad se actualiza se debe a una necesidad condicional esto es el predicado determina al sujeto durante el presente en que se actualiza Por ejemplo el sol se eclipsa por la lunaPor lo tanto no se puede mantener que toda enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso restringiendo asiacute el Principio de Bivalencia

25

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Hay cuatro posibilidades de verdad de dos enunciados sobre futuros contingentes

1 Ambos enunciados son verdaderos2 Ambos enunciados son falsos3 Uno es verdadero y el otro falso en el

presente4 Uno es verdadero y el otro es falso en

potencia

22

1 Si asumimos el Principio de no-Contradiccioacuten entonces el par de futuros contingentes no pueden ser los dos verdaderos

2 Si aceptamos el Principio de Tercero Excluido entonces no pueden ser los dos falsos

3 Si el Principio de Bivalencia tiene validez universal entonces uno es verdadero y el otro es falso en el presente

Posicioacuten aristoteacutelica uno es verdadero y el otro es falso en potencia por ello el Principio de Bivalencia debe restringirse y ademaacutes se debe evitar de tener por necesarios (absolutamente) a los enunciados sobre futuros contingentes

23

Aristoacuteteles rechaza la tesis megaacuterica de la necesidad del ser por la verdad (P P si P sucede entonces es necesario que P suceda) lo que significa que todos los futuros son o necesarios o imposibles

La negacioacuten de este necesitarismo implica restringir el Principio de Bivalencia para los futuros contingentes es decir la verdad de un enunciado depende del ser siendo el futuro un ser en potencia no puede declararse

24

El mundo sublunar consta de seres contingentes que no existen siempre en acto pero cuando una propiedad se actualiza se debe a una necesidad condicional esto es el predicado determina al sujeto durante el presente en que se actualiza Por ejemplo el sol se eclipsa por la lunaPor lo tanto no se puede mantener que toda enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso restringiendo asiacute el Principio de Bivalencia

25

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

1 Si asumimos el Principio de no-Contradiccioacuten entonces el par de futuros contingentes no pueden ser los dos verdaderos

2 Si aceptamos el Principio de Tercero Excluido entonces no pueden ser los dos falsos

3 Si el Principio de Bivalencia tiene validez universal entonces uno es verdadero y el otro es falso en el presente

Posicioacuten aristoteacutelica uno es verdadero y el otro es falso en potencia por ello el Principio de Bivalencia debe restringirse y ademaacutes se debe evitar de tener por necesarios (absolutamente) a los enunciados sobre futuros contingentes

23

Aristoacuteteles rechaza la tesis megaacuterica de la necesidad del ser por la verdad (P P si P sucede entonces es necesario que P suceda) lo que significa que todos los futuros son o necesarios o imposibles

La negacioacuten de este necesitarismo implica restringir el Principio de Bivalencia para los futuros contingentes es decir la verdad de un enunciado depende del ser siendo el futuro un ser en potencia no puede declararse

24

El mundo sublunar consta de seres contingentes que no existen siempre en acto pero cuando una propiedad se actualiza se debe a una necesidad condicional esto es el predicado determina al sujeto durante el presente en que se actualiza Por ejemplo el sol se eclipsa por la lunaPor lo tanto no se puede mantener que toda enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso restringiendo asiacute el Principio de Bivalencia

25

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Aristoacuteteles rechaza la tesis megaacuterica de la necesidad del ser por la verdad (P P si P sucede entonces es necesario que P suceda) lo que significa que todos los futuros son o necesarios o imposibles

La negacioacuten de este necesitarismo implica restringir el Principio de Bivalencia para los futuros contingentes es decir la verdad de un enunciado depende del ser siendo el futuro un ser en potencia no puede declararse

24

El mundo sublunar consta de seres contingentes que no existen siempre en acto pero cuando una propiedad se actualiza se debe a una necesidad condicional esto es el predicado determina al sujeto durante el presente en que se actualiza Por ejemplo el sol se eclipsa por la lunaPor lo tanto no se puede mantener que toda enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso restringiendo asiacute el Principio de Bivalencia

25

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

El mundo sublunar consta de seres contingentes que no existen siempre en acto pero cuando una propiedad se actualiza se debe a una necesidad condicional esto es el predicado determina al sujeto durante el presente en que se actualiza Por ejemplo el sol se eclipsa por la lunaPor lo tanto no se puede mantener que toda enunciado sobre el futuro sea verdadero o falso restringiendo asiacute el Principio de Bivalencia

25

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Parece que Aristoacuteteles propone una Parece que Aristoacuteteles propone una asimetriacutea privilegiando el principio de asimetriacutea privilegiando el principio de no contradiccioacuten y al tercero excluso no contradiccioacuten y al tercero excluso pero dejando de lado al principio de pero dejando de lado al principio de bivalenciabivalencia

26

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Dos sentidos de lo posibleLa palabra posible tiene dos sentidos (1) su

sentido propio es la negacioacuten contradictoria de lo imposible y en esta acepcioacuten lo que es necesario es posible es decir lo necesario implica lo posible y (2) lo que no es ni imposible ni necesario es decir lo que puede puede serser (lo no-imposible) y tambieacuten lo que puede puede no serno ser (lo no-necesario)

Para evitar confusiones diremos en el primer caso que tratamos con un puro posible en el segundo con un posible bilateral

27

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

La posibilidad pura o unilateral es lo que no es imposible es decir la necesidad la implica

La posibilidad bilateral es lo que ni es necesario ni necesariamente no es esto es lo que no es necesario ni es imposible

28

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Cuadrado Necesario Imposible P notlozP notloznotP notP

Posible Contingente puro lozP notP notnotP notloznotP

29

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

En los Primeros Analiacuteticos el estudio de los silogismos modales requiere de manera previa una teoriacutea de la conversioacuten de los enunciados puesto que una de las maneras de justificar los silogismos imperfectos hace alusioacuten a esta operacioacuten Lo posible y lo contingente son tomados siempre como sinoacutenimos pero esta vez en sentido bilateral

30

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

ldquoPor ser contingente y por lo contingente entiendo lo que no es necesario y puede ser supuesto existir sin que haya en eso de imposibilidadrdquo (Primeros Analiacuteticos I 13 32 a 18-19)

31

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

32

Es contingente que P

Es necesario que P Es imposible que P

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Un ejemplo tiacutepico es Wittgenstein que en su Tractatus (4464) llamoacute a una proposicioacuten (Satz) lo que puede ser verdadero y puede ser falso en oposicioacuten a las tautologiacuteas y a las contradicciones Por esta razoacuten dice que la verdad de una proposicioacuten es posible

En general no se distingue entre lo contingente y lo posible como resultado de la conjuncioacuten de Posible y Contingente

33

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Lo contingenteEsta misma ambiguumledad la encontramos en la

palabra contingente En un primer sentido es tomado como la negacioacuten contradictoria de lo necesario es decir lo no-necesario Pero frecueacutenteme se le entiende tambieacuten como lo que puede no ser Eacuteste es un contingente bilateral cuyo sentido se confunde con el del posible bilateral

34

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Lo posible-contingenteAristoacuteteles emplea las dos nociones de

posible (dynatoacuten) y contingente o admisible (endeacutechomenon) indistintamente por lo cual algunos autores prefieren usar la expresioacuten posible-contingente

El uso indistinto que hace el estagirita propicia ambiguumledades en el vocabulario y con ello su teoriacutea modal resulta afectada

35

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

En el lenguaje natural lo posible corresponde a la conjuncioacuten de dos proposiciones opuestas Cuando alguien dice que ldquoes posible que lluevardquo quiere decir que ldquoes posible que llueva y tambieacuten es posible que no lluevardquo es decir que ldquono es necesario que lluevardquo

NB no se debe confundir con el razonamiento inductivo

36

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Compromiso metafiacutesicoLa divisioacuten de las proposiciones en

necesarias y no-necesarias estaacute en relacioacuten con la nocioacuten de accidente que se define como lo que puede pertenecer o no pertenecer al objeto considerado

37

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Potencia siempre asociada al actoEn la metafiacutesica hay dos clases de potencia y

en consecuencia en su loacutegica hay dos clases de posibilidad A la potencia de los seres eternos y necesarios corresponde la posibilidad que es implicada por lo necesario porque no hay en ellos potencia exterior para lograr el acto lo que es necesario tiene la potencia de ser

38

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Potencia disociada del actoAl contrario los seres moacuteviles tienen la

potencia unida al acto (el hombre que corre tiene la potencia de realizar el acto de correr) y la potencia disociado del acto (el hombre sentado tiene la potencia de correr junto con la potencia de permanecer sentado)

Esta segunda potencia (disociada del acto) excluye la necesidad

39

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Las modalidades oacutenticas se organizan en un cuadro como en un triaacutengulo

El cuadrado de modalidades se expone en el De Interpretatione donde aparece la posibilidad unilateral con la particularidad que las cuatro modalidades se pueden a partir de una tomada como primitiva

40

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

En cambio en los Primeros Analiacuteticos la posibilidad que entra en juego es la bilateral la cual junto con las modalidades necesarias y no-necesarias (imposible) se organizan en una estructura triangular

Las tres modalidades retenidas son incompatibles de dos en dos Por lo que respecta a lo necesario y lo imposible su situacioacuten es la misma que en el cuadrado

La novedad es que la estructura de la modalidad interna ya no es simple

41

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Otra novedad reside en que la negacioacuten del contingente bilateral es eacutel mismo

Es contingente que P si y soacutelo si es contingente que no-P

ldquoYa que lo contingente no es necesario y que lo no-necesario puede no pertenecer es evidente que si es contingente que A pertenezca a B es contingente tambieacuten que no le pertenezcardquo (Primeros Analiacuteticos13 32 a 36-38)

42

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Segundo triaacutenguloNo-contingente

P or notlozP Necesario Imposible P notlozP

Posible Contingente puro

lozP not1048576P

lozP and notPContingente bilateral

43

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

I Posible O Contingente

E Imposible A Necesario

Y Bilateralmente Posible

U Determinado

44

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Lo determinado U es decir lo necesario o lo imposible y el lugar de lo bilateralmente posible Y equivale a la conjuncioacuten de I y O

45

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

ImplicacioacutenAhora bien si se toman dos de los seis teacuterminos

dados (A E I O U o Y) con la condicioacuten de no elegir dos que sean la negacioacuten uno del otro (A-O E-I U-Y) se podraacuten construir (por medio de la negacioacuten de la conjuncioacuten y la disyuncioacuten) relaciones de razonamientos En estas condiciones de entre las quince relaciones posibles que se pueden formular con los seis lugares del hexaacutegono once de ellas se hacen estrictamente tautologiacuteas

46

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

Si se eligen A y E como los dos teacuterminos primarios podremos formular las siguientes definiciones

I E O A U A E y Y A middot ELas once tautoloacutegicas a las que se reducen

las combinaciones entre los seis lugares son

47

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

A ne O que es equivalente a A ne AE ne I

ldquo E ne AU ne Y

ldquo (A v E) ne ( A middot

E)A Y

ldquo A ( A middot E)E Y

ldquo E ( A middot E)I U

ldquo E (A E)

O Uldquo

A (A E)

A Uldquo

A (A E)

E Uldquo

E (A E)

Y Ildquo

( A middot E) E

Y Oldquo

( A middot E) A48

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

De la misma manera podemos partir de A e Y y asiacute tendremos las siguientes definiciones

O A (Lo contingente lo no- necesario) U Y (Lo determinado lo no-bilateralmente posible)

I A Y (Lo posible lo necesario o bilateralmente posible)

E A middot Y (Lo imposible Lo no-necesario y lo no bilateralmente posible)

49

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

BibliografiacuteaAristoacuteteles Tratados de loacutegica (Oacuterganon) II

Sobre la interpretacioacuten Analiacuteticos primeros y Analiacuteticos segundos Biblioteca Claacutesica Gredos 1ordf reimpresioacuten 1995

Aristoacuteteles Categoriacuteas De Interpretatione Tecnos 1999

Aristotle The Categories On Interpretation Harvard University Press reimpresioacuten 1996 tomo I

I M Bochenski Historia de la Loacutegica Formal Gredos 2ordf reimpresioacuten 1985

50

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51

BibliografiacuteaRobert Blanche y Jacques Dubucs La logique et

son histoire Armand Colin-Masson 1970Jean-Louis Gardies Essai sur la logique des

modaliteacutes PUF 1979William Kneale y Martha Kneale The

Development of Logic Clarendon Press 11ordf ed 1991

C W A Whitaker Aristotlersquos De Interpretatione Contradiction and Dialectic Oxford University Press 1996

51