LÍMITEDE UNA

SUCESIÓN

Estudiar la convergencia de una sucesión es ver que sucede con los términos según la sucesión avanza, es decir, según n se hace más y más grande.

Pueden suceder varias cosas, por ejemplo, consideremos las sucesiones:

LÍMITE DE UNA SUCESIÓN

n 1 10 100 1000 10000 100000 1000000

an2 0,2 0,02 0,002 0,0002 0,00002 0,000002

Estudiemos lo que pasa con la sucesión

Observe que conforme n se hace cada vez mas grande, an se va acercando cada vez mas a 0. si n siguiera tomando valores mas grandes (acercándose a infinito), los términos de la sucesión estarían cada vez mas cerca de cero. Lo cual nos dice que la sucesión converge a 0 (cero), es decir que su limite es cero. Matemáticamente, esto seria;

2lim lim 0nn na

n

Se lee “limite cuando n tiende a infinito de an es igual a cero”

n 1 10 100 1000 10000 100000 1000000

anNo existe

11,11… 101,01… 1001,001… 10001,001… 100001 1000001

Estudiemos lo que pasa con la sucesión

Observe que conforme n se hace cada vez mas grande, bn se va haciendo cada vez mas grande también. si n siguiera tomando valores mas grandes (acercándose a infinito), los términos de la sucesión también se estarían acercando cada vez mas a infinito. Lo cual nos dice que la sucesión converge a ∞ (infinito), es decir que su limite es infinito. Matemáticamente, esto seria;

Se lee “limite cuando n tiende a infinito de an es igual a infinito”

2

lim lim1nn n

nb

n

n 1 10 100 1000 10000 100000 1000000

anNo existe

11,11… 101,01… 1001,001… 10001,001… 100001 1000001

Estudiemos lo que pasa con la sucesión

Observe que conforme n se hace cada vez mas grande, bn se va haciendo cada vez mas grande también. si n siguiera tomando valores mas grandes (acercándose a infinito), los términos de la sucesión también se estarían acercando cada vez mas a infinito. Lo cual nos dice que la sucesión diverge a ∞ (infinito), es decir que su limite es infinito. Matemáticamente, esto seria;

Se lee “limite cuando n tiende a infinito de bn es igual a infinito”

2

lim lim1nn n

nb

n

n 10 11 100 101 1000 1001 10000

an1 -1 1 -1 1 -1 1

Estudiemos lo que pasa con la sucesión

Observe que de acuerdo al valor que toma n (par o impar), bn se va alternando entre -1 si n es impar y 1 si n es par. Lo cual nos dice que la sucesión no converge a algún valor determinado ni tampoco diverge a ∞ o - ∞, es decir que su limite no existe. Matemáticamente, esto seria;

Se lee “limite cuando n tiende a infinito de cn no existe”

Ya sabemos que significa ser convergente pero:

• ¿Cómo podemos saber si una sucesión tiene o no límite?

• ¿Cómo se calculan los límites?

CUIDADO!!!

Para ver si una sucesión tiene límite, una tabla como las anteriores puede ayudar, pero no es definitiva. Observa que hubiera sucedido si completases la 1ª tabla con la sucesión cn ¿qué hubieras pensado?

DEFINICIÓN DE LIMITE DE UNA SUCESIÓN

Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que |an−L| < ε.

EJEMPLOLa sucesión an = 1/n tiene por límite 0.

Se puede determinar a partir de que término de la sucesión, su distancia a 0 es menor que un número positivo (ε), por pequeño que éste sea.

Como k>10 a partir del a11 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.1.

Vamos a determinar a partir de que término la distancia a 0 es menor que 0.001.

A partir del a1001 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.001.

También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos:

Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los términos que siguen pertenecen a dicho entorno.

EJERCICIOS RESUELTOS

Demuestra que la sucesión tiene límite 2. Averigua los términos cuya distancia a 2 es menor que 0.1.

Aplicamos la definición de limite de sucesiones

Resta de fracciones

cancelamos términos , aplicamos la definición de valor absoluto y resolvemos la inecuación

A partir de a41 la distancia a 2 será menor que una decima.

Demuestra que la sucesión tiene por limite 1 y averigua cuántos términos de la sucesión están fuera del E (1 , 0.001).

Aplicamos la definición de limite de sucesiones

Resta de fracciones

Definición de valor absoluto

Resolvemos la inecuación

Los primeros 54 términos quedan fuera del entorno.

EJERCICIOS PROPUESTOS • Probar que . Averigua los términos cuya

distancia al límite es menor que 0.01.• Probar que .Averigua los términos

cuya distancia al límite es menor que 0.001.• Probar que .Averigua los términos

cuya distancia al límite es menor que 0.01.