LIMITES INDETERMINADOS E INFINITOS

TABLA DE CONTENIDO

• Límites indeterminados.• Límites infinitos

Solución

lim𝑋→2

𝑥 − 2

𝑥2 − 4=

2 − 2

22 − 4=0

0

LIMITES INDETERMINADOS

Un límite indeterminado es aquel que al ser evaluado en el punto dado la solución es una indeterminación, a/0

está indeterminación se da cuando en el denominador el resultado es 0 y es una indeterminación debido que la

división por cero no es posible.

Ejemplo 1.

Halle: lim𝑋→2

𝑥−2

𝑥2−4

Como vemos este límite es una indeterminación por que su resultado es 0/0

Para solución indeterminaciones en los limites, los que se debe es aplicar elementos algebraicos como lafactorización y la racionalización, los cuales van a permitir transformar la expresión o simplificarla, de tal formaque al volver a evaluar el limite, la indeterminación ya no existe.

Solución al ejemplo anterior

lim𝑋→2

𝑥 − 2

𝑥2 − 4

= lim𝑋→2

𝑥−2

(𝑥+2)(𝑥−2)Se factoriza el denominador

= lim𝑋→2

1

𝑥+2Se simplifica la expresión

=1

2+2se evalúa el límite

1

4se halla el límite de la expresión

Ejemplo 2.

Halle el limite de la siguiente expresión lim𝑋→𝑜

𝑥2−2𝑥

𝑥

Se plantea eliminar la indeterminación por factorización

lim𝑋→𝑜

𝑥2 − 2𝑥

𝑥

= lim𝑋→𝑜

𝑥(𝑥−2)

𝑥factorizamos el numerador

= lim𝑋→𝑜

𝑥 − 2 Se simplifica la expresión

= 0 - 2 Se evalúa el límite= -2 se halla el resultado del limite

lim𝑋→𝑜

𝑥2−2𝑥

𝑥= 02 −2

0= −2

0Se evalúa el limite y se obtiene indeterminación

Ejemplo 3.

Halle el limite de la siguiente expresión lim𝑋→2

𝑥2−4

𝑥−2

Se plantea eliminar la indeterminación por factorización y racionalización

lim𝑋→2

𝑥2 − 4

𝑥 − 2

= lim𝑋→2

(𝑥−2)(𝑥+2)

𝑥−2.

𝑥−2

𝑥−2factorizamos el numerador y se racionaliza el denominador

= lim𝑋→2

(𝑥−2)(𝑥+2) 𝑥−2

( 𝑥−2)2Se multiplican los denominadores

= lim𝑋→2

(𝑥−2)(𝑥+2) 𝑥−2

𝑥−2Se simplifica el radical en el denominador

= lim𝑋→2

(𝑥 + 2) 𝑥 − 2 Se simplifica la expresión x-2 en el numerador y el denominador

= (2 + 2) 2 − 2 se evalúa el limite

=4( 0) = 0 se halla el resultado del limite

lim𝑋→2

𝑥2−4

𝑥−2= 22 −4

2−2=

4−4

2−2=

0

0= 0

0Se evalúa el limite y se obtiene indeterminación

Ejemplo 4

Halle el limite de la siguiente expresión lim𝑋→3

𝑥2−7𝑥+12

𝑥 −3

lim𝑋→3

𝑥2−7𝑥+12

𝑥 −3

= 32−7(3)+12

3 −3

= 9−21+12

9

= 0

0

lim𝑋→3

𝑥2−7𝑥+12

𝑥 −3

= lim𝑋→3

(𝑥−4)(𝑥−3)

𝑥 −3

= lim𝑋→3

𝑥 − 4

= 3 – 4=- -1

LIMITES INFINITOS

Un límite es infinito cuándo la función crece o decrece infinitamente para un punto de la función

Ejemplo 5

Analizar la función 𝑓 𝑥 =1

𝑥 −2la cual se analiza para x= 2, de la que se obtiene la siguiente grafica

Grafica realizada con el programa graphmatica para Windows

Se observa como la función crece sin

limite cuando x tiene a 2 por la derecha y

como decrece sin limite cuando la función

tiene a 2 por la izquierda

En la función 𝑓 𝑥 =1

𝑥 −2se evalúan los limites laterales de

la función en el punto x= 2, de donde tenemos

lim𝑥→2+

1

𝑥 − 2= ∞, 𝑜 lim

𝑥→2−

1

𝑥 − 2= −∞

Lo que nos indica que este limite no tiene una solución real, por ello es un limite infinito o indeterminado.

Ejemplo 6

Analizar la función 𝑓 𝑥 =1

𝑥2−4la cual se analiza para x= ±2, de la que se obtiene la siguiente grafica

Grafica realizada con el programa graphmatica para Windows

Se observa como la función crece o

decrece sin limite cuando x tiene a ± 2 por

la izquierda y/o por la derecha.

En la función 𝑓 𝑥 =1

𝑥2−4se evalúan los limites laterales de la

función en el punto x= ± 2, de donde tenemos

lim𝑥→2

1

𝑥2 − 4

= 1

22−4

= 1

4−4

= 1

0

lim𝑥→−2

1

𝑥2 − 4

= 1

(−2)2−4

= 1

4−4

= 1

0

BIBLIOGRAFIA

• Calculo; Jorge B. Thomas Jr; ISBN Ebook: 9786073201650, • Calculo Diferencial, Jorge Luis Gil Sevilla; Ebook: 9786073219495• Introducción al cálculo diferencial; Garcia, Gomez y Larios; Ebook: ISBN

9781449227180• Cálculo diferencial e integral; Luna, Mena, Violeta; Ebook: ISBN 9781456217433 • Cálculo diferencial; Camacho, Alberto; Ebook: ISBN 9788499690971