limite de funciones reales doc

Universidad Nacional de Tumbes Límites de Funciones Reales

MSc. Raúl Alfredo Sánchez Ancajima 1

Límites y Continuidad deFunciones

MSc. Raúl Alfredo Sánchez AncajimaDepartamento Académico de Matemática e Informática

Universidad Nacional de TumbesAvenida Arica Nº 361

Tumbes, Perúe-mail: [email protected]

Marzo 05, 2012

ContenidoLÍMITES DE FUNCIONES REALES...................................................2

PROPIEDADES OPERACIONALES DE LOS LÍMITES. ...................4

LIMITES LATERALES........................................................................6

LIMITES AL INFINITO. ......................................................................7

LIMITES TRIGONOMETRICOS. ........................................................9

LIMITES INFINITOS. ........................................................................12

LIMITES EXPONENCIALES Y LOGARITMICOS...........................14

EJERCICIOS PROPUESTOS..............................................................18

ASINTOTAS DE UNA CURVA. ........................................................22

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN................................................25

EJERCICIOS PROPUESTOS..............................................................28

mailto:[email protected]



LÍMITESDEFUNCIONES REALES

1. DEFINICION: Sea f una función definida en todo numero de algún intervalo

abierto I que contenga a “a”, excepto posiblemente en el numero a mismo. El

límite de n )(xf cuando x tiende a a es L y se escribe Lxfax

)(lim , si el

siguiente enunciado es verdadero:

Dado cualquier Lxfaxsiquetal )(00,0

Una interpretación grafica de la definición se muestra en la fig. 1

Fig. 1

Tener en cuenta que el 10 , entonces 10

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS.

Ejemplo 1. Sea la función 74)( xxf

a) Pruebe que 5)74(lim3

xx

b) Para 01,0 , determine el correspondiente

Solución:

a) De acuerdo a la definición se tiene:

Dado 5)74(300,0 xxsiquetal …….(*)

En Efecto, partimos de:

43341245)74( xxxx …(1)

Como 3x , tomando en cuenta (1), tome4

Por lo tanto hemos establecido que si4 , el enunciado (*) se cumple, lo que

prueba que 5)74(lim3

xx

b) Si 01,0 0025,0401,0

Ejemplo 2. Si 123)( 2 xxxf , probar que 6)(lim1

xfx

Solución:

Dado 6)123(100,0 2 xxxsiquetal ……..(*)



Tome 5315236123 22 xxxxxx …(1)

Debemos mayorar 53 x , para ello tome 11 x , en efecto

Si 11 x 63020111 xxx

11535 x 1153115311 xx ………………(2)

Como por hipótesis 1x ……………………………..(3)

Multiplicando (2) con (3) se tiene: 11531 xx ………………(4)

Igualando extremos de (1) y (4) se tiene11

11

Luego, para11

,0 , por lo que podemos afirmar que: 6)(lim1

xfx

NOTA. Para poder probar la existencia del límite mediante la definición, es suficiente

determinar el que dependa del 0

Ejemplo 3. Sea33)(

xxxf , probar que 4)(lim

5

xf

x

Solución: Por definición de límite se tiene: 433lim

5

xx

xsi y sólo si,

43350/0,0

xxx

Tome:

53

33

)5(33153

312434

33

x

xxx

xx

xxx

xx

53

3 xx

……………………………………………(1)

Debemos acotar3

1x

, para ello tome 13521

1 , luego se tiene:

3316415115 1 xxxx

33

333

3113

131

xxx

………………( 2 )

Como por hipótesis se tiene: 5x …………………………………………. ( 3 )

Multiplicando (2) y (3), se tiene: 353

3

x

x……………………(4)

Igualando extremos en ( 1) y (4), se tiene:3

3

Por lo tanto, para,3

,0 , por lo que podemos afirmar que:

433lim

5

xx

x



PROPIEDADES OPERACIONALES DE LOS LÍMITES.

Sean gyf dos funciones tales que MxgLxfaxax

)(lim)(lim ,

entonces:

a) kkax

lim , donde k es una constante

b) kLxfkxkfaxax

)(lim)(lim , donde k es una constante

c) MLxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

d) MLxgxfxgxfaxaxax

.)(lim).(lim)().(lim

e)Mxgxg

axax

1)(lim

1)(

1lim

; M 0

f)ML

xg

xf

xgxf

ax

axax

)(lim

)(lim

)()(lim ; M 0

g) nnax

nax

Lxfxf

)(lim)(lim

2.1. Teorema

Considere tres funciones f(x), g(x) y h(x) tales que

(i) 0)()()( xxxhxgxf y

(ii) Si LxgLxhxfxxxxxx

)(lim)(lim)(lim000

Ejemplo 4. Hallar10

6105lim 3

2

2

xxx

x

Solución: 336

10862020

10lim

6105lim

106105lim 3

2

2

23

2

2

x

xx

xxx

x

xx

Ejemplo 5. Hallar23

66lim 21

xxx

x

Solución: Al reemplazar x = 1 se tiene:00

23166

2366lim 21

xx

xx

..F.I

Para poder levantar la indeterminación, se factoriza el numerador y denominador,

esto es:

61

62

6lim)2)(1(

)1(6lim23

66lim1121

xxxx

xxx

xxx

Observación 1. Las formas de indeterminación son:

00 ;1;0;.0;;;00

Ejemplo 6. Hallar

32 812

21lim

xxx

Solución: Vemos que al sustituir x = 2 en los denominadores estos resultan cero,

luego:



)42)(2(1242lim

)42)(2(12

21lim

812

21lim 2

2

22232 xxxxx

xxxxxx xxx

21

126

424lim

)42)(2()4)(2(lim

)42)(2(82lim 22222

2

2

xx

xxxx

xxxxx

xxxxx

Ejemplo 7. Calcular1436lim

3

xx

x

Solución: Este límite es de la forma00

, para poderlo resolver efectuamos una doble

racionalización, esto es:

)336)(14()14)(96(lim

)336)(14)(14()14)(36)(336(lim

1436lim

333

xxx

xxxx

xx

xxx

31

3311

33614lim

)336)(3()14)(3(lim

)336)(3()14)(3(lim

333

xx

xxx

xxxxx

Observación 2. Para la racionalización es necesario recordar:

(i) adorracioanlizFactor

nnnnnnn babbabaababa )....()()( 122321

(ii) adorracionalizFactor

nnnnnnn babbabaababa )....()()( 122321 ,

si n es impar

Ejemplo 8. Si216327)(

4

3

xxxf , evaluar )(lim

0xf

x

Solución: Por sustitución directa resulta00

216327lim

4

3

0

xx

xF.I.

(a) Como x 0, buscamos el factor “x” para racionalizar el numerador y el

denominado cuyos factores son:

FRN(a, b)= 22 baba , donde 33 2727 bxa

FRD(a, b) = 3223 babbaa , donde 44 1616 bxa

(b) Determinamos el valor para cada factor de racionalización, en efecto

1)(lim.),(lim

n

axaxbnbaFR , para cada caso se tiene.

27)27(lim.3),(lim 2300

xx

baFRN

32)16(lim.4),(lim 3400

xx

baFRD

(c) Racionalizamos la expresión

),().,().216(),().,().327()(

4

3

baFRNbaFRDxbaFRDbaFRNxxf

),(16)16(

),(27)27(),(.)16()16(),(.)27()27()( 4444

3333

baFRNxbaFRDx

baFRNxbaFRDxxf



Resultando para x 0,),().()(baFRNbaFRDxf

Por lo tanto:2732

),(lim

),(lim

),(),(lim)(lim

0

0

00

baFRN

baFRD

baFRNbaFRDxf

x

x

xx

LIMITES LATERALESCuando se calcula )(lim xf

ax, el problema se reduce a encontrar el numero L al cual

se aproximan los valores de f(x) cuando x tiende hacia a, tanto por valores menores

que a ( por la izquierda), como para valores mayores que a (por la derecha).

Notaciones:

(1)Límite por la izquierda: )(lim xfax

(2) Límite por la derecha: )(lim xfax

Proposición. El LxfLxfLxfaxaxax

)(lim)(lim)(lim

Ejemplo 9. Sea

1,11,11,3

)(

2

xsixxsixsix

xf

Calcular el límite de )(xf y trazar la gráfica.

Solución: Observamos que antes de 1 y después de 1 la función tiene diferentes reglas

de correspondencia, por lo que es necesario calcular los límites laterales

a) 2111lim)(lim11

xxfxx

b) 2313lim)(lim 2

11

xxf

xx

Puesto que: 2)(lim)(lim)(lim111

xfxfxfxxx

c) Graficando

Ejemplo 10. Sea

5,552,2

2,4)(

2

xsixxsi

xsixxf

a) Calcular si existe )(lim)(lim52xfyxf

xx b) Trazar la grafica de esta función.

Solución:



)(lim)(lim)(lim22lim)(lim

04lim)(lim

22222

2

22 xfnoxfxfxf

xxf

xxxxx

xx

)(lim)(lim)(lim05lim)(lim

22lim)(lim

55525

25 xfnoxfxfxxf

xf

xxxxx

xx

b) Graficando:

LIMITES AL INFINITO.Sea IRaf ),(: una función definida en el intervalo ),( a , el límite de la

función )(xf cuando “x” crece sin límite es el número “L” y se denota por

Lxfx

)(lim

Análogamente: Sea IRaf ),(: una función definida en el intervalo

),( a , el límite de la función )(xf cuando “x” crece sin límite es el número “L” y

se denota por Lxfx

)(lim

4.1. Proposición. Sea n un número entero positivo cualquiera entonces se cumple:

(i) 01lim nx x

(ii) 01lim nx x

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS: Calcular los siguientes límites

1.1234432lim 23

23

xxxxxx

x

Solución: La forma más práctica de calcular los límites cuando x ó x ,

es dividiendo tanto el numerador como el denominador, entre la mayor potencia de“x” del divisor que aparece en la expresión dada, luego de aplica el criterio de laproposición 4.1. Para nuestro caso dividimos entre x3.

En efecto

333

2

3

3

333

2

3

3

23

23

1234

432

lim1234432lim

xxx

xx

xx

xxx

xx

xx

xxxxxx

xx

41

00040001

1234

4321lim

32

32

xxx

xxxx

2.1

432lim4

2

x

xxx

Solución: Como “x” toma valores bastante grandes, se toma 42 xx con lo cual

dividimos el numerador y denominador entre 42 xx se tiene:



201002

11

432lim

1

432

lim1

432lim

4

2

44

4

222

2

4

2

x

xx

xxx

xxx

xx

xxx

xxx

4.2. Proposición. Sin

nnm

mm

bxbxbaxaxaxf

..................)( 1

10

110

, donde m, n son enteros

positivos, a0, b0 son números reales, con b0 0, se tiene:

(i)0

0)(limbaxf

x

, si m = n (ii) 0)(lim

xf

x, si m < n

(iii)

)(lim xfx

, si m > n y 00

0 ba

(iv)

)(lim xfx

, si m > n y 00

0 ba

3. 23

32

)21)(23()35()32(limxxxx

x

Solución: Factorizando en el numerador y denominador, se tiene:

9)2.(3)3.(2

)2/1)(/23()3/5()/32(lim

)2/1()./23()3/5(.)/32(lim 2

32

33

32

2233

3322

xxxx

xxxxxxxx

xx

4. )2712(lim 22

xxxxx

Solución: Para poder aplicar las proposiciones correspondientes , en necesarioexpresar la función como un cociente, en efecto

)2712(45lim)2712(lim

2222

xxxxxxxxx

xx

25

115

/2/71/1/21)/45(lim

/2/71/1/21)/45(lim

22

22

xxxxx

xxxxxxxx

x

x

5. )30274

573(lim 3 232

23

xx

xxxxx

x

Solución. Se observa que el numerador es de grado mayor que el denominador, eneste caso se resta y suma “x” a la vez para luego hacer las operaciones respectivas.

)30274

573(lim 3 232

23

xxxxxxxL

x

)302()74

573(lim 3 232

23

xxxxxxxxxL

x

= ))302(302

30274

5(lim3 2233 232

2

2

2

xxxxxxx

xxx

x

Ahora dividimos numerador y denominador entre x2

))3021(30211

302

741

51(lim

3 23

33

2

2

2

xxxx

x

xx

xLx



35

321

001001102

00101

33

6.2

2lim

x

xxxx

Solución. Como “x” toma valores positivos dividimos numerador y denominador

entre x , en efecto:

22lim

xxxx

x

x

xxxx 21

2111lim

43

01001lim

x

2

2lim

x

xxxx

=1

7.

329

1453lim 2

2

23

xxxxxx

x

Solución: Para poder evaluar este límite, debemos eliminar el término 33x y obtener

une función racional cuyo numerador y denominador sea del mismo grado. Para ellorestamos y sumamos “3x” a la ves, luego hacer las operaciones respectivas, esto es:

329

1453lim 2

2

23

xxxxxx

x

=

xxxx

xxxx

x33293

1453lim 2

2

23

=

xxxx

xxxx

x 332932

1432lim

22

2

=35

312

3009022

)3/3/29()/32(lim2

2

xxxxx

x

LIMITES TRIGONOMETRICOS.

Para el cálculo de los límites trigonométricos se requiere establecer algunos límitesbásicos y estos se mencionan en la siguiente proposición.

5.1. Proposición:

(i) 0lim0

xSenx

(ii) 1lim0

xCosx

(iii) 1lim0

x

xSenx

(iv) 1lim0

x

xTgx

(v) 01lim0

xxCos

x(vi)

211lim 20

xxCos

x

5.2 Proposición: Límites de las funciones trigonométricas inversas

(i) 0lim0

xSenarcx

(ii)2

lim0

xCosarc

x

(iii) 1lim0

x

xSenarcx

(iv) 1lim0

x

xTgarcx

(v)2

lim

xTgarc

x(vi)

2lim

0

xTgarc

x



5.3. Proposición

(i) 1lim0

xSen

xx

(ii) 1lim0

xTg

xx

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS. Calcular los siguientes límites trigonométricos:

1.xxSen

x

6lim0

Solución: 6)1(66

6lim66lim00

x

xSenxxSen

xx

2.

xSen

xSenx

3

lim0

Solución: L =

xSen

xSenx

3

lim0

=

31

33lim

0 xSenx

xxSen

x

Es evidente que como 03;0;0 xxx , entonces

L =31)1)(1(

31

33lim.lim

31

030

xSenx

xxSen

xx

3.

20

1lim

xxCos

x

Solución: Racionalizando se tiene:

20

1lim

xxCos

x=

)1(1lim

)1()1)(1(

lim2020 xCosx

xCosxCosx

xCosxCosxx

Como:xCosxSenxCos

11

2

, se tiene:

41

)11)(11(11

)1)(1(1lim

2

0

xCosxCosxxSen

x

4.

xCos

xTgxSecx 41

2lim2

4/

Solución: Expresamos la función en términos se senos y cosenos, esto es:

xCos

xTgxSecx 41

2lim2

4/=

xCosxCosxSen

xCosx 22

21

lim 2

2

4/

=

)21(2

21lim22

21lim 224/224/ xSenxCosxSen

xCosxCosxCosxSen

xx

21

)11()2

1(2

1)21(2

1lim2

224/

xSenxCosx

5.

xxSen

xSenx 3

2lim 2

3

0

Solución:

xxSen

xSenx 3

2lim 2

3

0=

xSenx

xSenx 3

12lim 2

3

0



=98

98)1()1(

98

33

22lim 23

2

223

0

x

xxSenx

xxSen

x

6.

)2/(

21lim 20 xTg

xCosxSenxx

Solución: Racionalizando el numerador, esto es:

)2/(

21lim 20 xTg

xCosxSenxx

=

)2/().21(21lim 20 xTgxCosxSenxxCosxSenx

x

=

)2/().21(2lim 2

2

0 xTgxCosxSenxxSenxSenx

x

Observamos que cuando x 0, entonces )21( xCosxSenx 2,

resultando:

)2/().21(2lim 2

2

0 xTgxCosxSenxxSenxSenx

x=

)2/(.

2lim21

2

2

0 xTgxSenxSenx

x..(1)

Dado que en (1) persiste la indeterminada, dividimos el numerador y denominadorentre x2, esto es

L = 6)1(

)1(21)4(21

2/)2/(

41.

2lim

21

2

2

2

2

0

xxTgxxSen

xxSen

x

7.

113lim 21 x

xCosxSenx

Solución:

113lim 21 x

xCosxSenx

=

113

11lim

1 xxCosxSen

xx

=

113lim

21

1 xxCosxSen

x

, cambiando variable, tome: u = x – 1,

x = u + 1. Si x 1, entonces u 0

Luego: L =

uuCosuSen

u

1)1()1(3lim21

0

………………….(1)

Tome:

uCosuCosuSenuSen

)(3)33(

, reemplazando en (1)

L =

uuCosuSen

u

13lim21

0

=

uuCos

uuSen

uu

1lim

33lim3

21

00

Por lo tanto: 2

3)0()1(321 L

8.

xxSen

x 3lim

3

Solución: Tome y = x - 3 ; si x 3, entonces y 0

xxSen

x 3lim

3

=

yySen

y

)3(lim0



=

y

SenxCosCosySeny

33lim0

=

y

ySenyySen

yy 00limlim

9.

)3(

)4(1lim 20 xSenSenxSenCos

x

Solución:

)3(

)4(1lim 20 xSenSenxSenCos

x=

22

22

0)

3)3((3

4)4(1(4

lim

xSenxSenSenxSen

xSenxSenCosxSen

x

=

2

2

2

22

2

0)

3)3((3

4)4(1(4

lim

xSenxSenSen

xxSen

xSenxSenCos

xxSen

x=

22

22

0)

3)3(()

33(9

4)4(1()

44(16

lim

xSenxSenSen

xxSen

xSenxSenCos

xxSen

x

=98

)1)(1(9

)21)(1(16

10.

xSen

xCosx 6

61lim0

Solución:

xSen

xCosx 6

61lim0

= 0)0(16

616

6lim0

x

xCosxSen

xx

LIMITES INFINITOS.

Sea la función2

1)(

x

xf , cuya gráfica es:

En la gráfica se observa que cuando x se aproxima a 2 por la derecha la función f(x)crece sin límite y su notación es :

)(lim2

xfx

y cuando x se aproxima a 2 por la izquierda f(x) decrece sin límite y su notación es

)(lim2

xfx

A estos tipos de límites se les llama límites infinitos.

6.1. Proposición. Si “n” es un número entero positivo cualquiera, entonces:

(i) nx x

1lim0

(ii)

paresnsi

imparesnsixnx ,

,1lim0

6.2. Propiedades.



Si Lxfax

)(lim , 0)(lim

xgax

, donde “a” es un número real y L 0, entonces:

(i) Si 0)( xg para valores positivos de )(xg , es decir 0)( xg entonces

0,)

0,))()(lim

LsibLsia

xgxf

ax

(ii) 0)( xg para valores negativos de )(xg , es decir 0)( xg , entonces

0,)

0,))()(lim

LsibLsia

xgxf

ax

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS: Evaluar los siguientes límites

1.42lim 22

xx

x

Solución:42lim 22

xx

x=

)2)(2(2lim

2

xxx

x=

01

21lim

2 xx

2. 2

3

1 215limxx

xx

Solución: 2

3

1 215limxx

xx

=

04

)1)(2(15lim

215lim

3

12

3

1 xxx

xxx

xx

2.4

16lim2

4

xx

x

Solución:4

16lim2

4

xx

x=

242

2

4 16)4()4)(4(lim

16)4(16lim

xxxx

xxx

xx

=

0

816

)4(lim16)4(

)4)(4(lim2424 x

xxx

xxxx

3.

41

21lim 22 xxx

Solución:

41

21lim 22 xxx

=)2)(2(

1lim)2)(2(

12lim22

xxx

xxx

xx

En el denominador: 02022 xxx

Por lo tanto:

0

3)2)(2(

1lim2 xx

xx

4.935

214lim 23

2

3

xxxxx

x

Solución:935

214lim 23

2

3

xxxxx

x=

)1)(3()7(lim

)1()3()3)(7(lim

323

xxx

xxxx

xx

En el denominador 01033 xxx

Por lo tanto:

0

10935

214lim 23

2

3 xxxxx

x

6.3. LIMITES INFINITOS EN INFINITOS

Son límites de la forma

)(lim xfx

, es decir son funciones que crecen sin límite y

decrecen sin límite



5.

2

3

656253limxx

xxx

Solución: Factorizando en numerador y denominador:

2

3

656253limxx

xxx

=

)6/5/6()/2/53(lim 22

323

xxxxxx

x=

)6/5/6()/2/53(lim 22

32

xxxxxx

x

6600

)0`3(656

253lim 2

3

xxxx

x

6. )1(lim 2 xxxx

Solución: Racionalizando se tiene:

)1(lim 2 xxxx

=xxx

xxxxxx

xx

)/11(

lim1

)1(lim22

22

Dado que x toma valores muy grandes negativamente xx , por lo que resulta:

1/111lim

1/11lim

/11lim

222

xxx

xxxx

xxx

1011

0

1

7.)1(4)6(lim

xxx

x

Solución:)1(4)6(lim

xxx

x=

xxx

xxxx

xx /31)/61(lim

)/31()/61(lim

2

= 01

)01(

LÍMITES EXPONENCIALES Y LOGARITMICOS.7.1. Propiedades de los límites exponenciales y logarítmicos.

(1) ex

x

x

)11(lim (2) ex x

x

/1

0)1(lim

(3) ax

xe

xa

)1(lim (4) ax

xeax

/1

0)1(lim

(5) Si 0)(lim

xfax

con 0)( xf , para ax exf xf

ax

)(/1)(1lim

(6) )ln(1lim100

ax

aaaSix

x

(7) LxfxfLLxfSiaxaxax

ln)(limln)(lnlim0,)(lim

(8) 1)1ln(lim0

xx

x

7.2. Límites de la forma: Lxf xg

ax

)()(lim

Al evaluar estos límites, se deben tener en cuenta los siguientes casos:

Caso 1. Si existen los límites finitos



B

axaxALBxgAxf

)(lim)(lim

Caso 2. Si

ALxgAxf

axax)(lim1)(lim

(i) Si A > 1 0 ALAL

(ii) Si 0 < A < 1 ALAL 0

Caso 3. Si

1)(lim1)(lim Lxgxf

axax

El problema se resuelve suponiendo que f(x) = 1 + h(x), donde 0)(lim

xhax

.

Entonces: u

xgxh

xh

axexhL

)().(

)(1

)(1lim , donde:

)(.1)(lim)().(lim xgxfxgxhuaxax

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS.

1. Calcular:x

x

x xxx 38

52

2

2

2 234lim

Solución: Tome:x

xxgxx

xxf38

52)(23

4)( 2

2

Si A = 412lim

)2)(1()2)(2(lim)(lim

222

x

xxxxxAxf

xxx

B =21

3852lim)(lim

22

x

xBxgxx

Como A y B son finitos, tenemos el Caso 1, por lo que

L = AB = 4-½ = ½

2. Calcular:

32

2

2

233lim

x

x xxx

Solución: Tome 32)(233)( 2

2

xxgxxxxf

Si A =31

233lim)(lim 2

2

x

xxAxfxx

B =

)32(lim)(lim xBxgxx

Tenemos el Caso 2, donde 0 < A < 1 y B = +

L = ( 1/3)+= 0 ¼½¾

3. Calcular:

2

31lim

x

x xx

Solución: Por el cálculo directo obtenemos la forma indeterminada 1 , tenemos elCaso 3, entonces:

ux

xe

xxL

2

31lim

Para determinar “u”, tome:

3

41311)))()(1)(

xx

xxfxhxhxf



43

84lim)2(3

4lim)().(lim

xxx

xxgxhu

xxx

Por lo tanto 4 eL

4. Calcular: x

xbxSenaxCos /1

0lim

Solución: Al sustituir x = 0, el límite toma la forma indeterminada 1 , tenemos elCaso 3, entonces:

ux

xebxSenaxCosL

/1

0lim


)1(11)()( xCosbxSenabxSenaxCosxfxh

x

xCosbxSenaxgxhuxx

)1(lim)().(lim00

= abbxbxSenab

xxCos

xbxSena

xxx

0lim1limlim

000

Por lo tantoabeL

5.

x

a xx

1lim0

Solución: Hacemos un cambio de variable, para este caso.

Sea taat xx 11 , aplicando logaritmo natural se tiene:

atxtaxta x

ln)1ln()1ln(ln)1ln(ln

Luego:

)1ln(lnlim

ln)1ln(

lim1lim000 t

at

at

tx

aLtt

x

x

= aea

ta

ttln

lnln

)1ln(lnlim /10

6.

x

ee bxax

x 0lim

Solución: Sumando y restando 1 en el numerador, se tiene:

xe

xe

xeeL

bx

x

ax

x

bxax

x

1lim1lim)1()1(lim000

= baebeabxeb

axea

e

bx

x

e

ax

x

lnln1lim1lim

ln

0

ln

0

7.2/1

0)(lim x

xxCos

Solución: Por el Caso 3,ux

xexCos

2/1

0)(lim


)1(11)()( xCosxCosxfxh



211lim)().(lim 200

x

xCosxgxhuxx

Por lo tantoe

eL 12/1

8. 30 1

1ln1limaxax

axx

Soluci

ax

x

ax

xx axax

axax

axax

axL

31

0

31

03

0 11limln

11lnlim

11ln1lim

El límite del corchete tiene la forma 1

Entonces: ueueaxaxL uax

x

lnln11limln

31

0


axax

axaxxfxh

121

111)()(

32

11lim

32

31

12lim)().(lim

000

axaxax

axxgxhuxxx

Por lo tanto: 3/2L

9.xTg

xxTg 2

4/)(lim

Solución: El límite tiene la forma 1 , luego:

uxTg

xexTgL

2

4/)(lim


11)()( xTgxfxh

xTgxTgxgxhuxx

21lim)().(lim4/4/

111

21

2lim1

21lim4/24/

xTg

xTgxTgxTgxTgu

xx

Por lo tanto: eeL 11

10.)1ln(

)1ln(lim20 xx

ex x

x

Solución: Dividiendo el numerador y denominador entre “x”, se tiene

xxx

xex

L

x

x )1ln(

)1ln(

lim20

(i) 1)1()1ln(lim)1ln(lim 0

001

e

xeexe

xexL x

xx

x

x

x

(ii) x

xxxx

xxxL

/12

0

2

02 1lnlim)1ln(lim



ueLxxL ux

x

)ln(1limln 2

/12

02

Aquí, L2 tiene la forma indeterminada 1 (Caso 3), tome:

111)()( 2 xxxfxh

xx

xxxxgxhu

xxx

111lim11lim)().(lim2

0

2

00

10111

1lim20

xxu

x

Por lo tanto: 111

2

1 LLL

11.bx

xxaCos )/5(lim

Solución: Cambiando variable: Sea 255zax

xaz , si

0 zx , luego:uzab

zezCosL

2/5

0)(lim

La sustitución directa da al límite la forma indeterminada 1 (Caso 3), tome:

)1(11)()( zCoszCoszfzh

20200

1lim5)5)(1(lim)().(limz

zCosabzabzCoszgzhu

zzz

25)

21(5 ababu

Por lo tanto:2/5abeL

12. xxxx

ln)1ln(lim

Solución: x

xxx xx

xxxxxxL

1lnlim1lnlimln)1ln(lim

1ln11limln

e

xL

x

x

EJERCICIOS PROPUESTOSI. Use la definición para demostrar que el límite es el número indicado, determinar los

números 0 para los valores de dados

1. 3)53(lim 2

2

xx

x; 04,0 2. 17)12(lim 2

3

x

x; 02,0

3. 10)44(lim 2

2

xx

x; 033,0 4. 23)27(lim

3

x

x; 07,0

5. 21319lim

2

3/1

xx

x; 027,0 6.

21

11lim

1

xx

x; 013,0

7.47

48362lim 2

2

2

xxxx

x8.

31

84lim 3

2

2

xx

x

9.25

134lim

1

xx

x10. 2

3613lim

3/1

xx

x



11. 1252

lim 21

xxx

x12. 752lim

1

x

x

13.32

322lim

0

xx

x14. 8)133(lim 23

3

xxx

x

15.41

21lim

4

xx16. 1)196(lim 23

2

xxx

x

17. 475

35lim1

xx

x18.

38

6091lim

7

xx

x

II. Calcular los siguientes límites:

1.

3339lim

3

3 xx

x2.

2

4 42

0

11limx

xxx

3.1111lim

4

3

0

xx

x4.

47466lim 2

3

2

xxx

x

5.4

35 2

1 1lim

xxx

x

6.

xx

x

5153lim

4

7.48lim

364

xx

x8.

13lim

34

1

xxxx

x

9.1

13354lim1

x

xxxx

10.4

625lim 2

33

2

xxx

x

11. 2

23 3

0

48limx

xxx

12.4

64lim 2

4 23 2

2

xxxx

x

13.x

xxx

11lim3

014.

11353lim

3

3

2

xxx

x

15.4103

31lim23

2

xxxx

x16.

1232lim

4

xx

x

17.11lim

31

xx

x18.

8727lim

3

1

xx

x

III. Hallar los límites indicados, si existen; trazar la gráfica correspondiente

1.

1,27

1,21,32

)(xsixxsixsix

xf ; )(lim1xf

x

2.

2,1321,23

1,72)(

2 xsixxxsix

xsixxf ; )(lim

1xf

x y )(lim

2xf

x

3.

2,222,62,26

)(2

2

xsixxxsixsixx

xf ; )(lim2xf

x

4. 164

1)( 2 x

xxf ; )(lim0xf

x

5.

4,441,

1,)(

2

xsixxsix

xsixxf ; )(lim

1xf

xy )(lim

4xf

x



6.

5,5

3512

5,41

5

)(2

xsixxx

xsix

x

xf ; )(lim5xf

x

7.

3,2

11

3,3

652

)(

23

xsixx

xsix

xxx

xf ; )(lim3xf

x

IV. Evaluar los siguientes límites al infinito

1. )34

1223(lim

22

xxx

xx

x2.

74lim

2

xx

x

3.7

4lim2

xx

x4. )65(lim 2 xxx

x

5. )42(lim 2 xxxx

6. )2(lim 2 xxxx

7. )9(lim 22

xxxx

8. )1(lim 3 32

xxxx

9. )1212

(lim2

2

3

xx

xx

x10.

1lim

xxxx

x

11.6234lim

2

xxx

x12.

3 32 82743limxx

xx

13. )2(lim 3 32 xxxx

14. )2(lim 2 xxxx

15. )2712(lim 22

xxxxx

16. )22(lim 22 xxxxxxx

17.

329

1453lim 2

2

23

xxxxxx

x

V. Evaluar los siguientes límites trigonométricos:

1.xSenxxSenx

x 43226lim

0

2. 20

)()(limx

nxCosmxCosx

3.xSenxCos

x 661lim

0

4.xCosxSenxCosxSen

x

11lim

0

5. 21

1lim2 1x

Cos xx x

6.)()(lim

xxxSen

x

7.xxCos

x 321lim

3

8.xCosxCos

x 4131lim

0

9.bCosxxCosbbSenxxSenb

bx

lim 10.

1)()1(lim

xTgCosxCosTg

x

11. 21

3 1lim(1)x

Sen x Cos xx

12. 42/ )2/()1(1lim

xxSenCos

x

13.xCosx

xSenxSenx

37lim0

14.xxSen

x 3lim

3



15.3751255

)2510(lim 23

2

5

xxxxxSen

x16.

)(118lim

2

0 xCosx

x

17.xxxSenarc

x 2)2(lim 22

18.xCtgxCoxxTgxSenarc

x sec)3(

lim0

VI. Evaluar los siguientes límites infinitos.

1. 2

3

1 213limxx

xx

2. 2

3

1 213limxx

xx

3.4

15lim3 2

4

xx

x4.

416lim

2

4

xx

x

5.35

126lim 2

3

xxx

x6.

xxxx

x

2

23

1

78lim

7. 2

2

2 4923lim

xxx

x

8. 2

2

3 925lim

xxx

x

9.

931lim 23 x

xxx

10. 20 )1()1(lim

xxxSen

x

11.6673lim 2

2

2

xxxx

x12.

12209lim 2

23

3

xxxxx

x

13.1

352lim2

1

xxx

x14. 32

3

0 3542limxxx

x

15.

121

11lim 21 xxxx

16.

41

21lim 22 xxx

17.6673lim 2

2

2

xxxx

x18.

532123lim 2

23

xxxx

x

VII. Evaluar los siguientes límites exponenciales y logarítmicos

1.

1

3

23

52123lim

x

x xxxxx

2.

1

3

23

52123lim

x

x xxxxx

3.xSen

x xSenaSenxSenaSen 3

1

0 33lim

4. 2

1

02lim x

xxCos

5.

2

3

0

))((lnlim

bxaxCos

x6.

x

x xaCos

43lim

7.

2

3

32

432lim

x

x xxx

8.

13

4

242

452123lim

xx

x xxxxx

9.xx

x xxx

1

2

22

43lim

10.

xx

x

)1(lnlim0

11.xx

xx

11ln1lim

0

12.

x

e xx

1lim0

13.

x

x

x

17lim0

14.

x

xx

x

57lim0

15.

xx

xx

x 6879lim

016.

)1(ln3lim

0 xxSenxSen

x17.

x

ee bxax

x 0lim

18.11

2

2

11lim

x

x

x xx

19.

2

31lim 2

2 x

x xx

20.

x

x xxx

2

2

2

25lim



ASINTOTAS DE UNA CURVA.8.1. Definición. Consideremos una recta L y un punto A que se desplaza a lo largo de

una curva C : y = f(x), cuando la distancia entre la recta L y el punto A de la curva

tiende a cero, cuando el punto A tiende al infinito, entonces a la recta L se denominaasíntota de la curva es decir:

0),(lim

ALdA

8.2. Definición. La recta x = a es una asíntota vertical de la curva C : y = f(x) si se

cumple una de las relaciones siguientes:

(i)

)(lim xfax

(ii)

)(lim xfax

(iii)

)(lim xfax

8.3. Definición. La recta y = k es una asíntota horizontal de la curva C : y = f(x) si se

cumple una de las relaciones siguientes:

(i) kxfx

)(lim (ii) kxfx

)(lim (iii) kxfx

)(lim

8.4. Definición. La recta y = mx + b es una asíntota oblicua de la curva C: y = f(x) si se

cumple que:

0)()(lim

bmxxfx

ó 0)()(lim

bmxxfx

Observación: La forma práctica de encontrar las asíntotas oblicuas u horizontalesde una curva y = f(x) es de la manera siguiente:

Si existen los límites mxxf

x

)(lim ; bmxxfx

)(lim

La recta y = mx + b es una asíntota oblicua (a la derecha cuando x + ; y a la

izquierda cuando x - ) y es una asíntota horizontal cuando m = 0

Ejemplos ilustrativos

1. Determinar las asíntotas de la curva C: 9)3( 2 xxy

Solución:

(a) Asíntotas verticales. Si 9)3( 2 xxy 392

xxy , como el

denominador se anula para x = 3 , entonces:

39lim

2

3 xx

x, entonces la recta x = 3 es una asíntota vertical

(b) Asíntota oblicuas u horizontales:

1139lim

)3(9limlim 2

22

mxx

xxxx

xym

xxx

3

39lim39lim)(lim

222

x

xxxxxxmxyb

xxx

33393lim

bxxb

x

Luego como m 0, la asíntota oblicua es la recta: y= x + 3



2. Determinar las asíntotas de la curva C:4

32

2

xxy

Solución:

(a) Asíntotas verticales. Si4

32

2

xxy , observamos que el denominador se anula

para x = 2 y además

4

3lim2

2

2 xx

x, entonces se tiene que las rectas x = 2

son las asíntotas verticales.

(b) Asíntotas oblicuas u horizontales.

)/41(

)/31(lim4

3limlim22

22

2

2

xxxxx

xxx

xym

xxx

1/41

)/31(lim/41

)/31(lim2

2

22

22

xx

xxxxm

xx

0,0)4

3(lim)(lim2

2

bx

xxmxyb

xx

Luego las asíntotas oblicuas son: y = x ; y = - x


352 2

xxxy

Solución:

(a) Asíntotas verticales. Si1

352 2

xxxy , el denominador se anula para x = 1

y además

1

352lim2

1 xxx

x, entonces la asíntota vertical es la recta x = 1


22352limlim 2

2

m

xxxx

xym

xx

31

33lim)21

352(lim)(lim2

xxx

xxxmxyb

xxx

Por lo tanto la asíntota oblicua es la recta y = 2x – 3


3

xxy

Solución: (a) Asíntotas verticales. Si22

3

xxxy

xxy , el

denominador se anula para x = 2, y 0

222

lim2 x

xxx

Por lo tanto, la recta x = 2 es asíntota vertical


* 112

limlim

mxx

xx

xym

xx

*)2(2

2lim)2

(lim)(lim

xxx

xxxxxmxyb

xxx= 1

Por lo tanto las rectas y = x + 1 y y = -x – 1, son asíntotas oblicuas


3

xxxy

Solución:



(a) Asíntotas verticales. Si)1)(2(2

3

2

3

xxx

xxxy , el denominador se

anula para x = - 2 y x = 1 , luego evaluamos:

*

0

8)1)(2(

lim3

2 xxx

x

* 0

1)1)(2(

lim3

1 xxx

x

Por tanto las rectas x = -2 y x = 1 son las asíntotas verticales


* 112

limlim 2

2

mxxx

xym

xx

* 12

2lim2

lim)(lim 2

2

2

3

xxxxx

xxxmxyb

xxx

Por tanto, la recta y = x -1 es una asíntota oblicua


852 2

xxxy

Solución:

(a)Asíntotas verticales. Si3

852 2

xxxy , x = -3, es posible asíntota vertical, en

efecto:

3

852lim2

3 xxx

x, entonces x = - 3 es AV


* 223

852limlim 2

2

m

xxxx

xym

xx

* 138lim2

3852lim)(lim

2

x

xxxxxmxyb

xxx

Por tanto, la recta y = 2x -1 es una asíntota oblicua

EJERCICIOS PROPUESTOS

Determinar las asíntotas para las siguientes curvas y = f(x)

1.1

352 2

xxxy 2. 3 23 2793 xxxy

3.4

12

2

xxy 4.

1075

2

xx

xy

5.12

2

xxy 6. 4 234 99 xxxxy

7. 4 234 3693 xxxxy 8. 124 2 xxy

9. 9)3( 22 xxy 10. 843 22 xyxy

11.107

52

xxxy 12.

xxxy 122

13.6416869

2

2

xxxxy 14.

8696416

2

2

xxxxy



CONTINUIDAD DE UNAFUNCIÓN9.1. Continuidad de una función en un punto. Consideremos una función real de

variable real IRIRf : , diremos que la función f es continua en el punto x = x0 ,

si y sólo si, se cumplen las tres condiciones siguientes:

(i) Existe fDxdeciresxf 00 ),(

(ii) Existe )(lim0

xfxx

(iii) )()(lim 00

xfxfxx

Observación: Cuando una de las tres condiciones no se cumple, se dice que la funciónes discontinua en el punto x = x0

9.2. Propiedades sobre continuidad.

a) Consideremos dos funciones f y g continuas en x = x0, entonces:

f g es continua en el punto x = x0

k f es continua en el punto x = x0, k Ŗ

f . g es continua en el punto x = x0

b) Las funciones polinómicas son continuas pues: )()(lim 00

xPxPxx

c) Las funciones racionales, o sea los cocientes de polinomios, son continuas, pues

0)(;)()(

)()(lim 0

0

0

0

xQsixQxP

xQxP

xx

9.3. Tipos de discontinuidad

(a) Discontinuidad evitable o removible. Diremos que una función real IRIRf :tiene una discontinuidad evitable o removible en un punto x = x0 si:

(i) Existe el número )(lim0

xfxx

(ii) Si ffxxDxDxparaxfxf

000 );()(lim0

, en este caso

definimos la función

0

0

;)(lim,)(

)(0

xxsixfxxsixf

xFxx

(b)Discontinuidad no evitable o irremovible( esencial)

b.1 Discontinuidad de primera especie. Diremos que la función f(x) tiene una

discontinuidad de primera especie si existen los límites laterales )(lim0

xfxx

y

)(lim0

xfxx

, finitos y diferentes

b.2. Discontinuidad de segunda especie. Diremos que la función f(x) tiene una

discontinuidad de segunda especie en el punto x0 si no existen )(lim0

xfxx

, o si uno

de los límites laterales es

Ejemplos ilustrativos. Analizar la continuidad de las siguientes funciones

1.

1,3

)2,1(,1

22)(

23

xsi

xsix

xxxxf .

Solución: Si 1;21

22)();2,1( 223

xx

xxxxxfx

Veamos si para x = 1 se cumplen las condiciones de la definición 8.1

(i) f(1) = 3, existe por definición



(ii) 321)2(lim)(lim 2

11

xxf

xx

(iii) De (i) y (ii) se sigue que: )1()(lim1

fxfx

2.

32,521,42

11,3)(

2

2

xsixxsixxsix

xf,

Solución: Siendo f una función seccionada, los posibles puntos de continuidad sepresentan en la unión de los intervalos de definición, esto es, en x = 1 y x = 2

Analicemos la continuidad en cada caso

(a) Continuidad en x = 1

(i) 24)1(2)1( f

(ii) 2)(lim;2)42(lim

2)3(lim)(lim

11

2

1

1

xfx

xxf

xx

x

x

(iii) De (i) y (ii) se tiene 2)1()(lim1

fxfx

, por lo tanto la función es

continua en x = 1

(b) Continuidad en x = 2

(i) 125)2( 2 f

(ii) )(lim;1)5(lim

0)42(lim)(lim

22

2

2

2xfexisteno

x

xxf

xx

x

x

Por lo tanto, como no se cumple la condición (ii) la función no es continua en x = 2

3.

2,3

2,4)(

2

xsi

xsixxf

Solución: Al eliminar las barras del valor absoluto obtenemos

2,3

22,422,4

)( 2

2

xsixsix

xxsixxf

Continuidad en x = - 2



(i) 3)2( f , existe por definición

(ii) 0)(lim;0)4(lim

0)4(lim)(lim

22

2

2

2

2

xfx

xxf

xx

x

x

(iii)Como )2()(lim2

fxfx

, la función es discontinua es x = - 2

(a) Continuidad en x = 2(i) 3)2( f , existe por definición

(ii) 0)(lim;0)4(lim

0)4(lim)(lim

22

2

2

2

2

xfx

xxf

xx

x

x

Por lo tanto: Como )2()(lim2

fxfx

, la función es discontinua es x = 2

4.

3,331,38

1,32)(

xsixxsix

xsixxf

Solución:(i) 5)1( f ; 6)3( f , existen

(ii) )(lim;5)38(lim

5)32(lim)(lim

11

1

1xf

x

xxf

xx

x

x

)(lim;6)3(lim

1)38(lim)(lim

33

3

3xfexisteno

x

xxf

xx

x

x

Por lo tanto la función es continua en x = 1 y discontinua en x = 3

5. Analizar la continuidad o discontinuidad de la función:

4512112)( 2

23

xxxxxxf

Solución: Primeramente simplificamos

4;1;3)1)(4(

)3)(1)(4(45

12112)( 2

23

xxxxxxx

xxxxxxf

Luego la función f(x) tiene puntos de discontinuidad evitable en los puntos x = 1; x = 4

Ahora definiremos la función de tal manera que sea continua en todo x.

4313lim)(lim11

xxf

xx; 7343lim)(lim

14

xxf

xx

471,4

4,1,3)(

xparaxparaxparax

xF

6. Determinar el tipo de discontinuidad de la función:

43246)( 2

xxxxf



Solución: Para hallar los puntos de discontinuidad de la función, es necesariodeterminar los valores de “x” para los cuales f no está definida. En este caso son los

valores que anulan el denominador. )1)(4(332 xxxx , luego f no

está definida en x = 1 y x = - 4.

Para determinar el tipo de discontinuidad, es necesario averiguar acerca de los límitesen esos puntos, o asea:

)1)(4()4(6lim)(lim

11 xxxxf

xxy

56

)1)(4()4(6lim)(lim

44

xx

xxfxx

La discontinuidad en x = - 4 es evitable y la discontinuidad en x = 1 es esencial. En losdemás valores de x, la función es continua.

Redefiniendo la función en x = - 4 se tiene:

4,4/6

4,43

246)( 2

xpara

xparaxx

xxF

Que es continua en x = - 4, mientras que la discontinuidad en x = 1 no puede evitarse.

7.

0,20,2

)(

2

xparaxxSen

xparaxxf

Solución:

(i) 220)0( 2 f

(ii) 2)(lim;22lim

2)2(lim)(lim

0

0

2

0

0

xf

xxSen

xxf

x

x

x

x

Como 2)0()(lim0

fxfx

, entonces f es continua en x = 0

8.

2,2

2732,3

)( 2

xparaxxx

xparaxf

Solución:

(i) 3)2( f

(ii) 5)13(lim)2(

)2)(13(lim2

273lim)(lim22

2

22

x

xxx

xxxxf

xxxx

Como )2()(lim2

fxfx

, f no es continua en x = 2

EJERCICIOS PROPUESTOSAnalizar la continuidad de las siguientes funciones.

1.

2,2

2,3)(

3

xparax

xparaxxf

2.

3,12

3,2)(

xparaxxxparax

xf

3.1

1)( 2

3

xx

xxf 4.xx

xxf5616)(

2

5.2349)(

2

xxxf



6.42)(

xxxf 7.

1,1,32

)(2 xsix

xsixxf

8.3

6)(2

xxxxf 9.

443)(

2

xxxxf

10.

4,1

4,4

5)(

xsi

xsixxf 11.

2,0

2,2

1)(

xsi

xsixxf

12.45

)12()1()( 2

2

xxxxxxf 13.

)12()1(45)( 2

2

xxxxxxf

14.

2,1222,2

2,1)(

xsixxsix

xsixxf 15.

3212)( 2

2

xxxxxf

16.

53,3432,62

21,16)(

2

2

xsixxxsixxsixx

xf Tome: x0 =2 y x0 = 3

17.

1,4

1,1

22)(

23

xsi

xsix

xxxxf

limite de funciones reales doc

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