calculo de limite de funciones. limites de funciones algebraicas

48
Calculo de Limite de Funciones

Upload: benito-paz-silva

Post on 03-Feb-2016

317 views

Category:

Documents


11 download

TRANSCRIPT

Page 1: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Calculo de Limite de Funciones

Page 2: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Limites de funciones

Algebraicas

Page 3: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Propiedades de las funciones

1.-si “c” es una constante, el limite de “c” cuando “x” tiende a “a”, es igual a “c”.

Ejemplo:

2.- el limite de “x” cuando “x” tiende a “a”, es igual a “a”.

Ejemplo:

Lim c = cX 2

Lim 5 = 5

X2

Lim x = aX a

Lim x = 3

X3

Demostración

Page 4: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Propiedades

3.- si “c” es una constante y “f” es una función, el limite del producto constante por función cuando “x” tiende a “a”, es igual al producto de la constante por el limite de la función.

Lim c f(x) = c Lim f(x)X a X a

Lim 4x = 4 Lim x = (4)(2) = 8

X2 X2

Demostración

Page 5: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

4.-si “f” y “g” son funciones, el limite de un producto de funciones cuando “x” tiende a “a”, es igual al producto de los limites de las funciones.

Lim f(x) g(x) = Lim f(x) Lim g(x)X a X a x a

Propiedades

Demostración

Page 6: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

5.- Si “f” y “g” son funciones, el limite de una suma o diferencia cuando “x” a “a”, es igual a la suma o diferencia de los limites de las funciones.

Lim [ f(x) ± g (x) = Lim f(x) ± Lim g (x)] xa xaEJEMPLO:

Lim (3x²+2x) = Lim 3x² + Lim 2x x5 x5 x5 =3 Lim x²+ 2 Lim x= 3(5)²+ 2(5) = 75+10=85

Propiedades

Demostración

Page 7: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

6.- Si “f” y “g” son funciones, el limite de un cociente cuando x tiende a “a”, es igual al cociente de los limites de las funciones;siempre y cuando el limite de la función del denominador se diferente de cero.

Propiedades

Lim f(x) = xa g(x) Lim g(x)

Lim f(x)

Xa

Sí Lim g(x) ≠ 0Xa

Demostración

Page 8: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Casos del calculo de limites de funciones

Caso I.- Si la función dada, esta totalmente simplificada, se sustituye directamente el valor a que tiende la variable independiente en la función, dando lugar al limite buscado.

Page 9: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

EJEMPLOS:

1. Calcular el limite de la función y = x +2x-1 cuando x2

Lim f(x) = Lim (x + 2x -1)= (2) +2(2) -1 =4+4-1= 7.

2. Calcular el limite de la función y = cuando x1/2

X + 5x4x - 6

3

Demostración

Page 10: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

FORMAS INDETERMINADAS DEL TIPO (0/0)

Al calcular el cociente se observa que:a).- si el numerador y el denominador tienen el limite distinto de cero, el limite del

cociente es igual al cociente de los limites (propiedad 6).

b).- si el limite del numerador es cero y el denominador es diferente de cero , el limite del cociente es igual a cero.

C).- si el limite del numerador es diferente de cero y el denominador es cero, el cociente no tiene limite y se establece que tiende a mas o menos infinito, según el caso.

D) si los limites del numerador y del denominador son ambos iguales a cero, se tiene la forma (0/0), que se denomina indeterminada ya que cualquier valor numérico que se ponga como cociente cumple con la condición de que multiplicado por el divisor da lugar al dividendo.

Ir a propiedad 6

Page 11: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Caso II

A veces es necesario simplificar la expresión dada antes de sustituir el valor de la variable, si no se hace da la forma indeterminada (0/0).

Se factoriza el numerados y el denominador de ser necesario.

Page 12: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Ejemplos:

y = x + x – 6 cuando x2x -4

2

2 Lim = x + x – 6 cuando x2x -4

2

2

= Lim (x+3) (x+2) = Lim x+3 x+3= 2+3 = 5

X 2 (x+2)(x-2) X 2 x+2 2+2 4

Mas ejemplos

Page 13: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Caso III

Para calcular el limite de una función dada, es necesario simplificar mediante la racionalización del numerador o del denominador, antes de sustituir el valor de la variable independiente, de no hacerlo se dará la forma (0/0).

Ejemplo:

Calcular el limite de f(x) cuando x 0x

X + 1 -1

Mas ejemplos

Page 14: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Infinito en limites Lim f(x) = ∞

Xa

Positivo Negativo

Lim f(x) = ∞Xa

Lim f(x) = -∞Xa

Lim f x² = ∞X0

1Lim f ‾ x² = - ∞X0

1

Lim f c = ∞X0 x

Lim f x = 0X0 c

Lim f cx = 0X0

Lim f c = 0X∞ x

Lim f x = ∞X∞ c

Lim f cx = ∞X∞

Se establece:

0 = ∞c

c = 00

∞ = 0c

c = ∞∞

C(0) = 0

C(∞) = ∞

Lim f(x) = AX∞

Page 15: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Indeterminadas del tipo ∞

Sí el numerador y el denominador son iguales a ∞:

Se elimina dividiendo ambos entre la variable de máxima potencia.

Ejemplo:

Limite de la función y = 49x³-5x²+6

7x-3x²+9x³

Solucionar

Page 16: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Caso IV

Cuando se desea obtener el cociente de polinomios y si la variable independiente tiende al infinito, en este caso es necesario dividir el numerador y el denominador por la variable de mayor exponente, antes de sustituir el valor al que tiende la variable.

EJEMPLO: 1.-Calcular el Lim 2- 5x² Y

4x + 8x²X∞

Lim 3t +2xt²+x²t³4-3xt-2x³t³T∞

Solucionar

Page 17: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Limites de funciones

Trascendentales

Page 18: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Teorema

Si “c” es un numero real en el dominio de una función trigonométrica indicada, se cumple las siguientes propiedades.

Lim sen (x) = sen (c)X c

Lim cos (x) = cos (c)X c

Lim tan (x) = tan (c)X c Demostración

Page 19: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Propiedad de SENO

Ejemplos:

Observe que en este caso el argumento es, por lo que en el denominador se necesita también la expresión , de ahí que se lleve a cabo el siguiente procedimiento:

Lim senx = 1X 0 x

Page 20: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Lim sen 3xX 0 x

sen 3x

X 0

= Lim 3 3x

sen 3x

X 0

= 3 Lim 3x

= 3 * 1 = 3

Demostración

Page 21: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Limite de funciones circulares trigonométricas inversas

Page 22: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Limites Trascendentales Inversos

Son los limites con funciones trigonométricas inversas:

Teorema: si “c” es un número real en el dominio de la función trigonométrica indicada, se cumplen las siguientes propiedades…

Page 23: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Lim cot (x) = cot (c)X c

Lim sec (x) = sec (c)X c

Lim csc (x) = csc (c)X c

Demostración

Page 24: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Recuerda las siguientes identidades trigonométricas

En muchas veces para resolver los limites trigonométricos tendremos que utilizar el simplificado de términos, formulas de ángulos dobles, medio ángulo, suma y resta de ángulos.

1) tan (x) = sen (x) cos (x)

2) cot (x) = cos (x)

sen (x)

3) csc (x) = 1

sen (x)

4) sec (x) = 1

cos (x)

2) sen² (x) + cos² (x) = 1

;o; cot (x) =1

tan (x)

Page 25: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Limites de funciones exponenciales y algorítmicas

La función exponencial (propiamente dicha) es una función matemática, que aparece a demás en muchas ecuaciones de la física. Se caracteriza porque los valores de la derivada de dicha función es igual al valor de la propia función. A demás es la inversa del logaritmo natural, esta función se denota equivalentemente como:

Page 26: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

X е ó x exp(x).

Donde “е” es la base de los logaritmos naturales.

En términos generales una función real f(x) es de tipo exponencial si tiene la forma:

f(x) = K * a

siendo a, “a”, K Є R números reales.

x

Page 27: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Todas sus propiedades provienen de las propiedades del logaritmo. Se llama función exponencial la función definida sobre los reales por x ℮ .

La exponencial es la única función que es igual a su derivada.

x

Page 28: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Relación adición-multiplicación

℮ = ℮ * ℮a+b a b

℮ =-a1℮a

℮ =a-b

℮b

a℮

Sus limites son: Lim ℮ = 0X -∞

x

Lim ℮ = ∞X +∞

x

Inversa del logaritmo: y = exp x

X = ln y (y > 0)

Demostración

Page 29: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, y satisface la sorprendente relación:

Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler:

℮ = cos t + i * sen ti*t

℮ = ℮ * (cos b + i sen b)a+bi a

Demostración

Page 30: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas
Page 31: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Fin

Page 32: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Demostración

Regresar

Page 33: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Demostración

Regresar

Page 34: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Demostración

Regresar

Page 35: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Demostración

Regresar

Page 36: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Demostración

Regresar

Page 37: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Demostración

Regresar

Page 38: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

6.- Si “f” y “g” son funciones, el limite de un cociente cuando x tiende a “a”, es igual al cociente de los limites de las funciones;siempre y cuando el limite de la función del denominador se diferente de cero.

Propiedades

Lim f(x) = xa g(x) Lim g(x)

Lim f(x)

Xa

Sí Lim g(x) ≠ 0Xa

Regresar

Page 39: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Demostración

Regresar

Page 40: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Demostración

Regresar

Page 41: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Demostración

Regresar

Page 42: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Demostración

Regresar

Page 43: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Demostración

Regresar

Page 44: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Demostración

Regresar

Page 45: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Demostración

Regresar

Page 46: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Demostración

Regresar

Page 47: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Demostración

Regresar

Page 48: Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas

Demostración

Regresar

X + 5x4x - 6

3

1.-

2.- X + 2x - 3X + 1

Y= Cuando x ½

Y= Cuando x 1