1. Dada la funcin f(x) = 3x 1, a qu valor se acerca f(x) cuando x se acerca a 2? x se acerca a 2 por la izquierda: x2 - + 2x :x se acerca a 2 por la derecha f(x) se acerca a 5 f(x) se acerca a 5 Vemos que a medida que x se acerca a 2, la funcin f(x) se acerca a 5. Se escribe:1. Cuando la variable se acerca a un valor MATEMTICAS 4 ESO TEMA 14. LMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernndez

2. Dada la funcin f(x) = (x 3 8)/(x 2), a qu valor se acerca f(x) cuando x se acerca a 2? x se acerca a 2 por la izquierda: x2 - + 2x :x se acerca a 2 por la derecha f(x) se acerca a 12 f(x) se acerca a 12 Vemos que a medida que x se acerca a 2, la funcin f(x) se acerca a 12.2. Cuando la variable se acerca a un valor MATEMTICAS 4 ESO TEMA 14. LMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernndez 3. Dada la funcin f(x) = 1/(x 2), a qu valor se acerca f(x) cuando x se acerca a 2? x se acerca a 2 por la izquierda: x2 - + 2x :x se acerca a 2 por la derecha f(x) se acerca a f(x) se acerca a + Vemos que a medida que x se acerca a 2, la funcin f(x) no tiene lmite. 3. La variable se acerca a un valor MATEMTICAS 4 ESO TEMA 14. LMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernndez 4. Dada la funcin f(x) = x/(x + 1), a qu valor se acerca f(x) cuando x tiende a ? Y cuando x tiende a + ? Cuando x tiende a Cuando x tiende a + f(x) se acerca a 1f(x) se acerca a 1 Vemos que a medida que x tiende a + , la funcin f(x) se acerca a 1, que cuando x tiende a , la funcin f(x) se acerca a 1. 4. Cuando la variable diverge MATEMTICAS 4 ESO TEMA 14. LMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernndez 5. Cuando una funcin f(x) tiene por lmite un valor L, en el punto u, a medida que x se acerca a u se verifica que sus transformados, f(x), se acercan a L tanto como queramos. El valor de L puede ser cualquier nmero real, o + . El valor u puede ser: a, a , a + , , + . En los casos dea , a +se trata de lmites laterales. 5. Idea de lmite de una funcin MATEMTICAS 4 ESO TEMA 14. LMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernndez El lmite de una funcin lo expresaremos as:entonces Si 6. 6. Propiedades de los lmites (I) MATEMTICAS 4 ESO TEMA 14. LMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernndez 7. 7. Propiedades de los lmites (II) MATEMTICAS 4 ESO TEMA 14. LMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernndez lim(cg) (x)clim g(x) Operaciones Funcin Propiedades Producto por un nmero Multiplicacin por un nmero Constante Compuesta Composicin Identidad Potenciacin Potencia xaxa xa limc c lim g[f(x)]g[lim f (x)] graz,log,sen,cos,log xaxa xa x lima xa g(x) xa lim g(x) xa f(x) lim lim f(x) 8. 8. Lmites determinados e indeterminados MATEMTICAS 4 ESO TEMA 14. LMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernndez Cuando realizamos las operaciones que nos indican el lmite a calcular y la solucin es un nmero real, decimos en tal caso que el lmite es determinado. Cuando realizamos las operaciones que nos indican el lmite a calcular y la solucin no sabemos que cantidad nos puede dar, decimos que el lmite es indeterminado. 9. 8 8 9. Indeterminaciones MATEMTICAS 4 ESO TEMA 14. LMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernndez 10. Para salvar una indeterminacin de este tipo se calculan los lmites laterales; si son iguales, la funcin tiene lmite +o . En caso contrario no existe lmite. 10.Lmite de funciones racionales (I) MATEMTICAS 4 ESO TEMA 14. LMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernndez es indeterminado del tipo k/0No existe 11. Para salvar una indeterminacin de este tipo se descompone en factores el numerador y el denominador y se simplifica. 11. Lmite de funciones racionales (II) MATEMTICAS 4 ESO TEMA 14. LMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernndez es indeterminado del tipo 0/0 12. Para salvar una indeterminacin de este tipo se divide numerador y denominador por la mxima potencia de x que haya en el denominador. 12. Lmite de funciones racionales (III) MATEMTICAS 4 ESO TEMA 14. LMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernndez es indeterminado del tipo / 13. Una funcin f(x) es continua en el punto x = a cuando la tasa de variacin se aproxima a 0 al aproximarse a 0 el incremento de la variable x: 13. Continuidad de funciones MATEMTICAS 4 ESO TEMA 14. LMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernndez 14. 14. Continuidad basada en el lmite MATEMTICAS 4 ESO TEMA 14. LMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernndez

Una funcin f(x) es continua en el punto x = a si se verifica:

La funcin est definida en x = a, es decir, existe f(a).

Y los dos valores anteriores son iguales.

Una funcin f(x) es continua en el punto x = a por la derecha si se verifica que Una funcin f(x) es continua en el punto x = a por la izquierda si se verifica que 15. Se llama discontinuidad inevitable en un punto cuando existen los lmites laterales en l y son distintos. 15.Discontinuidad evitable MATEMTICAS 4 ESO TEMA 14. LMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernndez 16. Una discontinuidad es evitable en un punto cuando existen los lmites laterales en l pero no coinciden con el valor de la funcin en el punto o la funcin no est definida en dicho punto. 16.Discontinuidad evitable MATEMTICAS 4 ESO TEMA 14. LMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Javier Fernndez