Alternativa 2evaluadaAnlisis medianteun modelo deingeniera econmicaFlujos de efectivodurante algnperiodo de tiempoDescripcin e InformacinMejoramiento del equipo antiguoAlternativa 2

Alternativa 1evaluadaAnlisis medianteun modelo deingeniera economicaFlujos de efectivodurante algnperiodo de tiempoDescripcin e InformacinEquipo NuevoAlternativa 1Problema identificado: objetivo definido

- Valor del dinero en el tiempo- Tasa de inters- Medida de valor

- Estimaciones de egresos e ingresos- Estrategias de financiamiento- Leyes tributarias

- Clculo de la medida de valorAtributos no econmicos por considerar

Implementacin de la alternativa 1

Elijo la alternativa 1

Pasos del proceso de toma de decisionesPaso 1Paso 2Paso 3Paso 4Paso 5Paso 6Figura 1.1Enfoque de estudio deIngeniera econmica.Ejemplo 1.3Un empleado de LaserKineticks.com solicita un prstamo de $10,000 el 1 de Mayo y debe pagar un total de $ 10,700 exactamente un ao despus. Determine el inters y la tasa de inters pagado.

Solucin:Aqu el problema se analiza desde la perspectiva del prestatario en virtud que los $10,700 pagan un prstamo Aplique la ecuacin (1.1) para calcular el inters pagado.

Inters = $10,700 - $10,000 = $700

La ecuacin (1.2) nos permite establecer la tasa de inters pagado durante un ao.

Ejemplo 1.4Stereophonics, Inc., tiene planes de solicitar un prstamo bancario de $20,000 durante un ao al 9% de inters para adquirir un equipo nuevo de grabacin. a) Calcule el inters y la cantidad total debido despus de una ao. b) Construya una grfica de barras que muestre las cantidades original y total debida despus de un ao, utilizadas para calcular la tasa de inters del prstamo del 9% anual.

Solucin:a) Calcule el inters total causado resolviendo la ecuacin (1,2) para el inters causado.

Inters = $20,0000 (0.9) $1 800

La cantidad total a pagar es la suma del principal y el inters.

Total a pagar = $20 000 + $1 800 = $ 21 800ComentarioObserve que en el inciso a) la cantidad a pagar tambin se calcula de la siguiente manera:

Adeudo total = principal(1 + tasa de inters = $20 000(1.09) = $21 800Fig. 1.2. Valores utilizados para calcular la tasa de inters del 9% anual (ejemplo 1.4).

Este mtodo se utilizar posteriormente para determinar las cantidades futuras para periodos de tiempo mayores dentro de un periodo de inters.

Cantidadoriginal del prstamo1 ao despusAhoraEl periodode interses un ao$$21 800

$20 000Calcule la cantidad depositada hace un ao si ahora se tienen $1 000 a una tasa de inters del 5% anual.Determine la cantidad por intereses ganados durante este periodo.

Solucin:La cantidad total acumulada es la suma del depsito original y del inters ganado. Si X es el depsito original.

Total acumulado = original (tasa de inters)

%1 000 = X + X(0.05) = X(1 + 0.05) = 1.05X

b) Aplique la ecuacin (1.3) para determinar el inters ganado

Inters = $1 000 952.38 = $47.62

EjemPlo 1.7Pacific Telephone Credit Union otorg un prstamo a un miembro del personal de ingeniera para que ste adquiriera un avin a escala dirigido por un radio controlador. El prstamo asciende a $1 000 por tres aos con un inters simple de 5% anual Cunto debe pagar el ingeniero al final de los tres aos? Tabule los resultados.

Solucin:El inters para cada uno de los tres aos es:

Inters anual = $1 000(0.05) = $50

El inters total de los tres aos de acuerdo con la ecuacin (1.5) es:

Inters total = 1 000(3)(0.05) = $150

El monto adeudado despus de los tres aos es:

Adeudo total = $1 000 + 150 = $1 150

El inters acumulado de $50 en el primer ao y el inters acumulado de $50 en el segundo ao no generan intereses. El inters que se adeuda cada ao se calcula exclusivamente sobre el principal de $1 000.Los detalles de los pagos del prstamo se tabulan en la tabla 1.1 desde el punto de vista del prestatario. El tiempo cero representa el presente, es decir, cuando se otorga el prstamo. No se hacen pagos sino hasta que concluya el tercer ao. El monto que se adeuda cada ao se incrementa uniformemente $50, en virtud de que el inters simple se calcula slo sobre el principal del prstamo.

Tabla 1.1 Clculos de inters simple(1)(2)(3)(4)(5)Final del aoCantidad obtenida en prstamoIntersAdeudoSuma pagada0123$1 000---------$505050$1 0501 1001 150$ 001 150Ejemplo 1.8Un ingeniero solicita a la cooperativa de crdito de la empresa un prstamo de $1 000 con un inters anual compuesto de 5% Calcule el adeudo total despus de tres aos. Elabore una grfica y compare los resultados de este ejemplo y del anterior.

Solucin:El inters y el adeudo total de cada ao se calcula por separado mediante la ecuacin (1.6)

Inters del primer ao: $1 000(0.05) = $50.00Adeudo total despus del primer ao: $1 000 + 50.00 = $1 050.00Inters del segundo ao: $1 050(0.05) = $52.50Adeudo total despus del segundo ao: $1 050 + 52.50 = $1 102.50Inters del tercer ao: $1 102.50(0.05) = $55.13Adeudo total despus del segundo ao: $1 102.50 + 55.13 = $1 157.63

Tabla 1.1 Clculos de inters simple(1)(2)(3)(4)(5)Final del aoCantidad obtenida en prstamoIntersAdeudoSuma pagada0123$1 000---------$50.0052.5055.13$1 050.001 102.501 157.63$ 0.000.001 157.63

Los detalles aparecen en la tabla 1.2. El plan de pagos es el mismo que el del ejemplo del inters simple: el pago nico es el principal ms los intereses acumulados al final de los tres aos.La figura 1.4 muestra el adeudo al final de cada uno de los tres aos. En el caso del inters compuesto, se reconoce la diferencia debida al valor del dinero en el tiempo. Aqu se paga un inters adicional de $1 157.63 - $1 150 = $7.63 en comparacin con el inters simple durante el periodo de 3 aos.

$1 050$1 050$1 100$1 102.5$1 150$1 157.63Adeudo total, $SCSCSC

Inters por ao, $$50$50$50$2.5$50$55.63SSCSCFigura 1.4Comparacin de los clculos del inters simple y del inters compuesto(Ejemplos 1.7 y 1.8)

C

(1)(2)(3)(4)(5)Final del aoIntereses a pagar por el aoAdeudo total al fin del aoPago de fin de aoAdeudo total despus del pagoPlan 1: Inters simple: pago total al final012345Totales$400.00400.00400.00400.00400.00$5 400.005 800.006 200.006 600.007 000.00----------------$7 000.00$7 000.00$ 5 000.005 400.005 800.006 200.006 600.00Plan 2: Inters compuesto: pago del total al final012345Totales$400.00432.00466.56503.88544.20

$5 400.005 832.006 298.566 802.447 346.64

----------------$7 346.64$7 346.64$ 5 000.005 400.005 832.006 298.566 802.44

Tabla 1.3 Diferentes planes de pago de $5 000 durante 5 aos con un inters del 8%

(1)(2)(3)(4)(5)Final del aoIntereses a pagar por el aoAdeudo total al fin del aoPago de fin de aoAdeudo total despus del pagoPlan 3: Pago anual del inters simple: reembolso del principal al final012345Totales$ 400.00400.00400.00400.00400.00$ 5 400.005 400.005 400.005 400.005 400.00$ 5400.00400.00400.00400.005400.00$ 7 000.00$ 5 000.005 000.005 000.005 000.005 000.00Plan 4: Pago anual del inters compuesto y de parte del principal012345Totales$ 400.00320.00240.00160.0080.00

$ 5 400.004 320.003 240.002 160.001 080.00

$ 1 400.001 320.001 240.001 160.001 080.00$ 6 200.00$ 5 000.004 000.003 000.002 000.001 000.00

Plan 5: Pagos anuales iguales del inters compuesto y del principal012345Totales$ 400.00331.82258.18178.6592.76$ 5 400.004 479.543 485.432 411.801 252.28$ 1 252.281 252.281 252.281 252.281 252.28$ 6 261.41$ 5 000.005 400.005 832.006 298.566 802.44Ejemplo 1.10Una recin graduada de la universidad trabaja en Boeing Aerospace. Tiene planes de solicitar un prstamo de $10 000 ahora para adquirir un automvil. Decide que reembolsar todo el principal ms 8% de intereses anuales despus de 5 aos. Identifique los smbolos de ingeniera econmica necesarios para resolver el problema, as como los valores que tienen para el adeudo total despus de 5 aos.

Solucin:En este caso, estn involucradas P y F, ya que todas las cantidades son pagos nicos, as como i y n. El tiempo est expresa en aos.

P = $10 000 i = 8% anual n = 5 aos F = ?

Se desconoce la cantidad futura F.

Suponga que obtiene un prstamo de $2 000 ahora al 7% anual durante 10 aos, y debe reembolsarlo en pagos anuales iguales. Determine los smbolos que se requieren para resolver el problema y sus valores.

Solucin:

El tiempo est expresa en aos.

P = $2 000A = ? Anuales durante 5 aosi = 7% anualn = 10 aos

El 1 de julio de 2002, su nuevo empleador Ford Motor Company, deposita $5 000 en su cuenta bancaria como parte de su bono de empleo. La cuenta paga un inters del 5% anual. Usted espera retirar una cantidad anual igual durante los siguientes 10 aos. Identifique los smbolos y sus valores.

Solucin:El tiempo est expresa en aos.

P = $5 000A = ? Anualesi = 5% anualn = 10 aos

Usted planea hacer un depsito nico de $5 000 ahora en una cuenta de inversin que paga el 6% anual, y desea retirar una cantidad igual de $1 000 a fin de ao 0 durante 5 aos, comenzando el siguiente ao. Al final del sexto ao, usted piensa cerrar la cuenta retirando el saldo. Defina los smbolos de ingeniera econmica que implica el problema.

Solucin:El tiempo est expresa en aos.

P = $5 000A = ? 1 000 anuales durante 5 aosF = ? Al final del ao 6I = 6% anualn = 5 aos para la serie A y 6 para el valor F

El ao pasado la abuela de Jane ofreci suficiente dinero en una cuenta de ahorros que generar $1 000 este ao para ayudar a Jane con los gastos de la universidad. a) Identifique los smbolos, y b) calcule la cantidad que se deposit hace exactamente un ao para ganar $1 000 de intereses ahora, si la tasa de retorno es de 6% anual.Solucin:a) El tiempo est expresa en aos.P = ?i = 6% anualn = 1 aoF = P + inters= ? + $1 000

b) Remitindose a las ecuaciones (1.3) y (1.4), sea F = monto total hoy y P = cantidad original. Sabemos que F P + P= $1 000 es el inters acumulado. Ahora se determina P para Jane y su abuela.F = P + (tasa de inters)Los $1 000 de inters pueden expresarse de la siguiente manera:Inters = F P = (P + P(Tasa de inters) P= P(tasa de inters)$1 000 = P(0.06)

Figura 1.6Magnitud de la TMAR con respecto a otros valores de tasas de rendimiento

Tasa de rendimientoporcentajeTasa de rendimiento esperadade una nueva propuestaRango para la tasa de rendimiento en propuestas aceptadas, en caso de que otras propuestas fueran rechazadas por alguna raznTasa de rendimiento esperadade una nueva propuestaTMARTodas las propuestas deben ofrecer al menos la TMAR a fin de que sean consideradasReconsidere el ejemplo 1.10, donde se solicita un prstamo P = $10 000 al 8% anual y se pretende determinar F despus de 5 aos. Construya el diagrama de flujo de efectivo.

Solucin:La figura 1.9 muestra el diagrama de flujo de efectivo desde el punto de vista del prestatario. La suma actual P constituye una entrada de efectivo del principal del prstamo en el ao 0, y la cantidad futura F es la salida de efectivo correspondiente al pago de la deuda al final del ao 5. La tasa de inters debe indicarse en el diagrama.

P = $10 000i = 12%0 1 2 3 4 5AoF = ?Figura 1.9Diagrama de flujo de efectivo (Ejemplo 1.15)Cada ao Exxon-Mobil gasta cantidades de dinero importantes en sistemas mecnicos de seguridad en sus operaciones alrededor del mundo. Carla Ramos, ingeniera industrial para las operaciones que se llevan a cabo en Mxico y Amrica Central, programa gastos de un milln de dlares ahora y en cada uno de los siguientes cuatro aos , exclusivamente para el mejoramiento de vlvulas de alivio de presin industriales. Construya el diagrama de flujo de efectivo para determinar el valor equivalente de dichos gastos al final del ao 4, utilizando un costo del capital estimado para fondos seguros al 12% anual.

Solucin:La figura 1.10 muestra la serie de flujos de efectivo negativos y uniformes (gastos) durante 5 periodos, as como el valor desconocido de F (flujo de efectivo positivo equivalente) exactamente en el mismo momento que el quinto gasto. Como los gastos comienzan ha hacerse de inmediato, el primer milln de dlares aparece en el tiempo cero, no en el tiempo 1. Por lo tanto, el ltimo flujo de efectivo negativo aparece al final del cuarto ao, cuando tambin se presenta F. Para que este diagrama se asemeje al de la figura 1.9, con cinco aos completos en la escala del tiempo, se agrega el ao -1 antes del ao 0 para completar el diagrama con 5 aos completos. Esta edicin demuestra que el ao 0 es el punto que representa el final del periodo del ao -1.

Figura 1.10Diagrama de flujo de efectivo (Ejemplo 1.16)

A = $10 000i = 12%01234AoF = ?-1

Un padre desea depositar una cantidad nica desconocida en una oportunidad de inversin 2 aos despus de hoy, suficiente como para retirar $4 000 anuales que destinar para pagar la universidad durante 5 aos comenzando dentro de 3 aos. Si se estima que la tasa de rendimiento es de 15.5% anual, construya el diagrama de flujo de efectivo.

Solucin:La figura 1.11 muestra los flujos de efectivo desde la perspectiva del padre. El valor presente P es una salida de efectivo dentro de 2 aos por determinar (P = ?). Note que este valor presente no ocurre en el tiempo t = 0, sino en un periodo anterior al primer valor A de $4 000m que constituye la entrada de efectivo del padre.

Figura 1.11Diagrama de flujo de efectivo (Ejemplo 1.17)

A = $4 000i = 15%23456AoF = ?107

Tiempo para duplicacin (aos)Tasa de retorno, % anualEstimacin por la regla del 72Aos despus125102040723614.47.23.61.870.035.314.37.53.92.0Tabla 1.4 Estimaciones de tiempos para duplicacin aplicando la regla del 72 y el tiempo real con clculos de inters compuesto.

Ejemplo 1.18 (Contiene 3 hoja de clculo)

Ejemplo 1.19DIAGRAMAS DE FLUJO DE EFECTIVOUna empresa dedicada al alquiler de equipo gasto $2 500 en una nueva compresora de aire hace 7 aos. El ingreso anual por concepto del alquiler de la compresora fue de $750. Adems, los $100 gastados en mantenimiento durante el primer ao aumentaron $25 cada ao. La empresa tiene planes de vender la compresora al final del ao siguiente en $150. Construya el diagrama de flujo desde la perspectiva de la empresa.Solucin:Denote ahora como el tiempo t = 0. Los ingresos y costos para los aos -7 a 1 (prximo ao)aparecen en la siguiente tabla con los clculos de flujo de efectivo neto efectuados mediante la ecuacin (1.8). Los flujos de efectivo neto(1 negativo y 8 positivos) aparecen en el diagrama de la figura 1.13.

Final del aoIngresosCostosFlujo de efectivo neto-7-6-5-4-3-2-101$ 0750750750750750750750750 + 150$2 500100125150175200225250275$ -2 500650625600575550525500625

$650$625$600$575$550$525$500$625-7-6-5-4-3-2-101P = $2 500AoFigura 1.13Diagrama de flujo de efectivo (ejemplo 1.19)DIAGRAMAS DE FLUJO DE EFECTIVOClaudia desea depositar una cantidad P de dinero ahora, de tal manera que pueda retirar una cantidad anual igual a A1 = $2 000 durante los primeros 5 aos, empezando un ao despus del depsito, y desea retirar una cantidad anual diferente de A2 = $3 000 los siguientes 3 aos Cmo se vera el diagrama de flujo de efectivo si i = 8.5% anual?Solucin:La figura 1.14 muestra los diagrama de flujo de efectivo. El flujo de efectivo negativo de salida P se presenta ahora. El primer retiro (flujo de efectivo positivo de entrada) para la serie A1, ocurre al final del ao 1, y A2, ocurre en los aos 6 a 8.

P = ?A2 = $3 000 Ao0 1 2 3 4 5 6 7 8i = 8.5%Figura 1.14Diagrama de flujo de efectivo con dos diferentes de series A (ejemplo1.20Capitulo 2

P = dadoi = dadoF = ?n0 1 2 n 2 n - 1a)

P = ?i = dadoF = dadon0 1 2 n 2 n - 1b)

FactorEncontrar /dadoEcuacin en notacin estndarEcuacin con frmula de factorFunciones de ExcelNotacinNombre(F/P , i , n)

(P/F , i , n) Cantidad compuesta pago nicoValor presentePago nicoF/P

P/FF = P(F/P , i , n)

P = F(P/F , i , n)F = P(1 + i)n

P = F[1/(1 + i)n]

FV(i% , n , , P)

PV(i% , n , , F)

Tabla 2.1 Factores F/P y P/F : notacin y ecuacionesEjemplo 2.1Un ingeniero industrial recibi un bono de $12 000 que desea invertir ahora. Quiere calcular el valor equivalente despus de 24 aos, cuando planea usar todo el dinero resultante como enganche o pago inicial de una casa de vacaciones en una isla. Suponga una tasa de retorno de 8% anual para cada uno de los 24 aos. a) Determine la cantidad que puede pagar inicialmente, usando tanto la notacin estndar como la frmula de factor. b) Use una computadora para encontrar la cantidad antes mencionada. a) Solucin a manoLos smbolos y sus valores sonP = $12 000 F = ? i = 8% anual n = 24 aosEl diagrama de flujo de efectivo es el mismo que el de la figura 2.1a.Notacin estndar: Determine F usando el factor F/P para 8% y 24 aos. La tabla 13 proporciona el valor del factor.F = P(F/P, i , n) = 12 000(F/P, 8% , 24)= 12 000(6.3412)= $76 094.40Frmula de factor: Aplique la ecuacin (2.2) para calcular el valor futuro F:F = P(1 + i)n = 12 000(1 + 0.08)24 = 12 000(6.341181)= $76 094.17

La ligera diferencia en las respuestas se debe al error de redondeo introducido por los valores de factor tabulados. Una interpretacin equivalente de este resultado es que los $ 12 000 actuales equivalen a $76 094 despus de 24 aos de crecer al 8% por ao, anualmente compuesto.

b) Solucin por computadoraPara encontrar el valor futuro use la funcin VF que tiene el formato VF(i% , n , A, P). La hoja de clculo se desplegar como la que se muestra en la figura 1.5a, excepto que la entrada de celda es VF(8% , 24, , 12 000). El valor F desplegado por Excel aparece como ($76,094.17) en rojo para indicar un flujo de efectivo de salida. La funcin VF realiza el clculo F = P(1 + i)n = 12,000(1 + 0.08)24 y presenta la respuesta en la pantalla.

Ejemplo 2.2Hewlett Packard realiz un estudio que indica que $50 000 en la reduccin de mantenimiento este ao (es decir, ao cero), en una lnea de procesamiento, fue el resultado del mejoramiento de la tecnologa de fabricacin de circuitos integrados (CI), con base en diseos que cambian rpidamente..

a) Si Hewlett Packard considera que este tipo de ahorro vale un 20% anual, encuentre el valor equivalente de este resultado despus de 5 aos.b) Si el ahorro de $50 000 en mantenimiento ocurre ahora, calcule su valor equivalente 3 aos antes con un inters de 20% anual.c) Desarrolle una hoja de clculo para responder los dos incisos anteriores a tasas compuestas de 20 y 5% anuales. De manera adicional, elabore una grfica de barras en Excel que indique los valores equivalentes, en los tres diferentes momentos, para ambos valores de la tasa de rendimiento.Solucin a manoa) El diagrama de flujo de efectivo aparece como en la figura 2.1a. Los smbolos y sus valores sonP = $50 000 F = ? i = 20% anual n = 5 aosUtilice el factor F/P para determinar F despus de 5 aos.F = P(F/P, i , n) = $50 000(F/P, 20% , 5)= 50 000(2.4883)= $124,415.00La funcin VF(20%,5,50000) proporciona la misma respuesta. Vase la figura 2.2a, celda C4.

b) En este caso, el diagrama de flujo de efectivo aparece como en la figura 2.1b, con F ubicado en el tiempo t = 0 y el valor P colocado 3 aos antes en t = -3. Los smbolos y sus valores sonP = ? F = $50 000 i = 20% anual n = 3 aosUse el factor P/F para determinar P tres aos antes.P = F(P/F, i , n) = $50 000(P/F, 20% , 3)= 50 000(0.5787) = $28,935.00Un enunciado equivalente es que $28,935 de hace 3 aos es lo mismo que $50,000 en la actualidad, que crecer a $124,415 dentro de cinco aos, considerando una tasa de inters compuesto anual del 20% por cada ao.Use la funcin VP(i% , n , A , F) y omita el valor A. La figura 2.2a muestra el resultado de ingresar VP(20% , 3, 50000) en la celda F4, que es lo mismo que utilizar el facto P/F.Solucin por computadorac) La fig. 2.2b es una solucin completa en hoja de clculo con una tabla de valores y una grfica de barras. Se emplean dos columnas para efectuar clculos primero con 20 y 5%, de modo que sea posible tener la grfica para comparar los valores F y P. La fila 14 muestra los valores F usando la funcin VF con el formato VF(i%, 5 , 0, -50000), donde los valores i se toman de las celdas C5 y D5. El valor futuro F = $124,416 en la celda C14 es el mismo (considerando el redondeo) que el calculado lneas arriba. El signo menos para 50,000 asegura que el resultado sea un nmero positivo en la grfica.La funcin VP se utiliza para encontrar los valores P en al fila 6. Por ejemplo, el valor presente a 20% en el ao -3 se determina en la celda C6 utilizando la funcin VP. El resultado P = $28,935 es el mismo que el obtenido previamente al usar el factor P/F. La grfica muestra visualmente la notable diferencia que generan, sobre el periodo de 8 aos, tasa de 20 y 5%.

Un conductor independiente en ingeniera examin algunos registros y encontr que el costo de los suministros de oficina vara como se muestra en la grfica circular de la figura 2.3. Si el ingeniero quiere conocer el valor equivalente en el ao 10 slo de las cantidades mayores. Cul ser ste a una tasa de inters de 5% anual?

Figura 2.3Grfica circular de costos, ejemplo 2.3

Ao 0$600Ao 5$400$175Ao 1$300Ao 4$250Ao 3$135Ao 2Figura 2.4Diagrama para un valor futuro en el ao 10, ejemplo 2.3.Solucin:Dibuje el diagrama de flujo de efectivo para los valores $600, $300 y $400 desde la perspectiva del ingeniero (figura 2.4). Use factores F/P para encontrar F en el ao 10.F = 600(F/P, 5%, 10) + 300(F/P, 5%, 8) + 400(F/P, 5%,5)= 600(1.6289) + 300(1.4775) + 400(1.2763)= $1 931.11El problema tambin puede resolverse encontrando el valor presente en el ao 0 de los costos $300 y $400 con los factores P/F, y luego determinando el valor futuro del total en el ao 10.P = 600 + 300(P/F, 5% , 2) + 400(P/F, 5% , 5)= 600 + 300(0.9070) + 400(0.7835)= $1 185.50F = 1 185.50(F/P, 5%, 10) = 1 185.50(1.6289)= $1 931.06ComentarioDebe ser evidente que existen diversas maneras de enfrentar el problema, puesto que puede utilizarse cualquier ao para encontrar el total equivalente de los costos antes de encontrar el valor futuro en el ao 10. Como ejercicio, resuelva el problema usando el ao 5 para el total equivalente y luego determine la cantidad total en el ao 10. todas las respuestas debern ser iguales, salvo por cierto error de redondeo.

$600 F = ?i = 5%$300 $400 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

El valor presente P equivalente de una serie uniforme A de flujo de efectivo al final del periodo se muestra en la figura 2.5a. Puede determinarse una expresin para el valor presente considerando cada valor de A como un valor futuro F, calculando su valor presente con el factor P/F para luego sumar resultados.

a)P = ?i = dadoA = dado0 1 2 n 2 n 1 n

b)P = dadoi = dadoA = ?0 1 2 n 2 n 1 nFigura 2.5Diagrama de flujo efectivo para determinar a) P de una serie uniforme y b) A para un valor presente.

Los trminos entre corchetes representan los factores P/F durante los aos 1 hasta n, respectivamente. Si se factoriza A,

(2.4)

2.5

i 0

(2.6)

FactorEncontrar /dadoEcuacin en notacin estndarEcuacin con frmula de factorFunciones de ExcelNotacinNombre(P/A , i , n)

(A/P , i , n) Series uniformes de Valor presente

Recuperacin de capitalP/A

A/PP = A(P/A, i, n)

A = P(A/P, i, n)PV(i% , n , , A)

PMT(i% , n , , P)

Tabla 2.2 Factores P/A y A/P : notacin y ecuaciones

Cunto dinero debera destinarse para pagar ahora por $600 garantizados cada ao durante 9 aos, comenzando el prximo ao, a una tasa de rendimiento de 16% anual?

Solucin:El diagrama de flujo de efectivo (figura 2.6) se ajusta al factor P/A. El valor presente es:P = 600(P/A, 16%, 9) = 600(4.6065) = $2 263.90La funcin VP(16%, 9, 600) ingresada en una celda de una hoja de clculo desplegar la respuesta P = $2 763.93.

P = ?A = $600 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9i = 16%Figura 2.6Diagrama para encontrar P usando el factor P/A, ejemplo 2.4

ComentarioOtro mtodo de solucin consiste en utilizar los factores P/F para cada uno de los nueve pagos y agregar los valores presentes resultantes, para obtener la respuesta correcta. Otra forma es calcular el valor futuro F de los pagos de $600 y luego encontrar el valor presente del valor F. Existen diversas formas de resolver un problema de ingeniera econmica. Aqu slo se presenta los mtodos ms directos.

La forma ms simple de derivar el factor A/F consiste en sustituirlo en aquellos ya desarrollados. Por lo tanto, si P de la ecuacin (2.3) se sustituye en la ecuacin (2.7) resulta la siguiente frmula:.

La expresin entre corchetes de la ecuacin (2.8) es el factor de fondo de amortizacin o A/F, el cual determina la serie de valor anual uniforme que sera equivalente a un valor futuro determinado F, lo cual se muestra grficamente en la figura 2.7a.

La serie uniforme A se inicia al final del periodo 1 y continua a lo largo del periodo de la F dada.

La ecuacin (2.8) puede reordenarse para encontrar F para una serie A dada en los periodos 1 a n (Figura 2.7b).(2.8)

(2.9)El trmino entre corchetes se denomina el factor de cantidad compuesta, serie uniforme (FCCSU), o factor F/A. Cuando se multiplica por la cantidad anual uniforme A dada, produce el valor futuro de la serie uniforme. Es importante recordar que la cantidad futura F ocurre durante el mismo periodo que la ltima A.La notacin estndar sigue la misma forma que la de los otros factores. stas son (F/A, i, n) y (A/F, i, n). La tabla 2.3 resume las notaciones y las ecuaciones, que tambin se encuentran en los forros interiores de este libro. Las tablas 1 al 29 incluyen valores de los factores F/A y A/F.

A = ?

a)i = dadoF = dado0 1 2 n 2 n 1 nA = dada

b)i = dadoF = ?0 1 2 n 2 n 1 nFigura 2.7Diagrama de flujo de efectivo para a) determinar A dado F, y b) determinar F dado A.

FactorEncontrar /dadoFrmula del factorEcuacin en notacin estndarFunciones de ExcelNotacinNombre(F/A , i , n)

(A/F , i , n) Cantidad compuesta serie uniforme

Fondo de amortizacinF/A

A/FF = A(F/A, i, n)

A = F(A/F, i, n)VF(i% , n , , A)

PAGO(i% , n , , P)

Tabla 2.3 Factores P/A y A/P : notacin y ecuaciones

Formasa Plastics tiene grandes plantas de fabricacin en Texas y Hon Kong. Su presidente quiere saber el valor futuro equivalente de una inversin de capital de $1 milln cada ao durante 8 aos, empezando un ao a partir de ahora. El capital de Formasa gana a una tas del 14% anual.

Solucin:El diagrama de flujo de efectivo (figura 2.8) muestra los pagos anuales que inician al final del ao 1 y terminan en el ao en que se desea calcular el valor futuro. Los flujos de efectivo se indican en unidades de $1 000. El valor F en 8 aos es:P = 1 000(F/A, 14%, 8) = 1 000(13.2328) = $13 232.80El valor futuro real ser $13 232 800. La funcin es VF(14%, 8, 1000000.

F = ?A = $1 000 0 1 2 3 4 5 6 7 8i = 14%Figura 2.8Diagrama para calcular F en una serie uniforme, ejemplo 2.5.Cunto dinero necesita depositar Carol cada ao, empezando un ao a partir de ahora, a 5 % por ao, para que pueda acumular $6 000 en 7 aos?

Solucin:El diagrama de flujo de efectivo desde la perspectiva de Carol (figura 2.9a) se ajusta al factor A/F.A = 6 000(A/F, 5.5%, 7) = 6 000(0.12096) = $725.76 por aoEl valor del factor A/F de 0.12096 se calcul utilizando la frmula del factor de la ecuacin(2.8). De manera alternativa, use la funcin PAGO como se muestra en la figura 2.9b para obtener A = $725.79 por ao.

F = 6 000A = ?a) 0 1 2 3 4 5 6 7i = 5 %Figura 2.8Diagrama para calcular F en una serie uniforme, ejemplo 2.5.

i o nFactor

tabuladoab deseado

tabuladovalor 1cno listado d

valorTabla 2.4 Arreglo para la interpolacin lineal.

Determine el valor del factor A/P para una tasa de inters de 7.3% y n de 10 aos, es decir, (A/P, 7.3%, 10).

Solucin:Los valores del factor A/P paro tasas de inters de 7 y 8% y n = 10 se indican en las tablas 12 y 13, respectivamente.7% 0.14238a cb 7.3% X d

8% 0.14903La variable desconocida X es el valor deseado del factor. De acuerdo con la ecuacin (2.10).

Puesto que el valor del factor est aumentando conforme la tasa de inters se incrementa de 7 a 8%, el valor de c debe agregarse al valor del factor de 7%. As,

X = 0.14238 + 0.00199 = 0.14437ComentarioSe considera una buena prctica verificar lo razonable de la respuesta final comprobando que X se encuentre entre los valores de los factores conocidos en las proporciones correctas aproximadamente. En este caso, ya que 0.14437 es menor que 0.5 de la distancia entre 0.14238 y 0.14903, la respuesta parece razonable. Si se aplica la ecuacin (2.7), el valor exacto del factor es 0.144358.